Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods
We study some problems of approximation of functions by the linear methods of summation of their Fourier–Laplace series.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2241 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508194536685568 |
|---|---|
| author | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. |
| author_facet | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. |
| author_sort | Lasuriya, R. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:27:00Z |
| description | We study some problems of approximation of functions by the linear methods of summation of their Fourier–Laplace series. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. А. Ласурия (Абхаз. гос. ун-т, Сухум)
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ
We study some problems of approximation of the functions by linear methods of summation of their Fourier – Laplace
series.
Дослiджуються деякi питання наближення функцiй лiнiйними методами пiдсумовування їх рядiв Фур’є – Лапласа.
1. Некоторые сведения из гармонического анализа. Пусть
Sm−1 =
{
x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm :
m∑
i=1
|xi|2 = 1
}
, m ≥ 3,
— единичная сфера в евклидовом пространстве Rm, dx — инвариантная относительно группы
вращений SO(m), нормированная единицей мера Хаара на Sm−1, Lp(S
m−1), 1 ≤ p < ∞, —
пространство суммируемых в p-й степени на Sm−1 функций f(x), где норма задана равенством
‖f‖Lp(Sm−1) =
∫
Sm−1
|f(x)|pdx
1/p
,
L∞(Sm−1) — пространство измеримых существенно ограниченных на Sm−1 функций f(x) с
нормой
‖f‖L∞(Sm−1) = ess sup
x∈Sm−1
|f(x)|,
C(Sm−1) — пространство непрерывных функций f(x) на сфере Sm−1, в котором норма задается
равенством
‖f‖C(Sm−1) = max
x∈Sm−1
|f(x)|.
Функцию xα
df
=
∑m
ν=1
xανν , αν ∈ Z+,
∑m
ν=1
αν = k, называют алгебраическим мономом
порядка k от m переменных. Линейная комбинация мономов k-го порядка называется однород-
ным полиномом k-го порядка. Если однородный полином k-го порядка Pk(x) удовлетворяет
уравнению Лапласа
∆Pk(x) = 0,
то он называетсяm-мерным гармоническим однородным полиномом k-го порядка. Пространст-
во L2(Sm−1) разлагается в прямую ортогональную сумму конечномерных и неприводимых
относительно группы SO(m) подпространств Hk:
L2(Sm−1) = ⊕
∞∑
k=0
Hk.
Каждое пространство Hk состоит из сужений на сферу Sm−1 однородных гармонических
полиномов степени k от переменных x1, . . . , xm и является собственным подпространством
c© Р. А. ЛАСУРИЯ, 2014
1498 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ 1499
оператора ∆0 Лапласа – Бельтрами на сфере Sm−1, соответствующим собственному значению
δk = −k(k + m − 2). Элементы подпространства Hk называются сферическими гармониками
степени k. Каждое подпространство содержит единственную зональную сферическую гармони-
ку zk(x), вещественнозначную, зависящую только от θ = d
(
x, x0
)
— сферического расстояния
между точкой x ∈ Sm−1 и точкой x0 = (0, . . . , 0, 1), такую, что для любой сферической гармо-
ники Y ∈ Hk ее значение в точке x = σx0, σ ∈ SO(m), определяется с помощью равенства
Y (x) = Y
(
σx0
)
=
∫
Sm−1
Y
(
x′
)
zk
(
σ−1x′
)
dx′.
Норма зональных сферических гармоник zk(x) в пространстве L2(Sm−1) при k ≥ 2 такова:
‖zk(x)‖L2(Sm−1) =
√
dimHk =
√√√√(m+ k − 1
k
)
−
(
m+ k − 3
k − 2
)
� k
m−2
2 .
Зональные сферические гармоники выражаются через полиномы Гегенбауэра P
(
m−2
2
)
k (t) сле-
дующим образом:
zk(x) = z̃k(θ) =
2k +m− 2
m− 2
P
(
m−2
2
)
k (cos θ).
Для зональной функции g(x) = g̃(θ) ∈ L(Sm−1) = L1(Sm−1) и функции f ∈ L(Sm−1) опреде-
ляется свертка [f ∗ g](x) по формуле
[f ∗ g](x) = [f ∗ g]
(
σx0
)
=
∫
Sm−1
f
(
x′
)
g
(
σ−1x′
)
dx′.
При этом выполняется неравенство Юнга
‖f ∗ g‖Ls(Sm−1) ≤ ‖f‖Lp(Sm−1)‖g‖Lq(Sm−1), (1)
где 1 ≤ p, s, q ≤ ∞, 1/s = 1/q + 1/p− 1.
Оператор ортогонального проектирования Y (λ)
k : L2(Sm−1)→ Hk задается формулой
Y
(λ)
k (f ;x) = [f ∗ zk](x). (2)
Относительно приведенных выше элементов гармонического анализа на сфере Sm−1 см. [1, 2].
2. Необходимые определения и постановка задачи. Пусть ψ = ψ(k) = ψ (k,m) , k ∈ N,
— произвольная функция натурального аргумента при каждом фиксированном m и
S(λ) [f ] =
∞∑
k=0
Y
(λ)
k (f ;x), λ =
m− 2
2
, (3)
— ряд Фурье – Лапласа функции f ∈ L(Sm−1).
Если ряд
A0 +
∞∑
k=1
ψ(k)Y
(λ)
k (f ;x), A0 ≡ const,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1500 Р. А. ЛАСУРИЯ
является рядом Фурье – Лапласа некоторой функции F ∈ L(Sm−1), то по аналогии с 2π-
периодическим случаем (см., например, [3]) функцию F (x) назовем ψ-интегралом функции
f(x) : F = IΨf. Множество ψ-интегралов функций f ∈ L(Sm−1) обозначим Lψ(Sm−1). Если
N ⊂ L(Sm−1), то LψN будет обозначать множество ψ̄-интегралов функций f ∈ N.
Пусть теперь ψ(k) 6= 0, k ∈ N, и ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
Y
(λ)
k (f ;x)
является рядом Фурье – Лапласа некоторой функции ϕ ∈ L(Sm−1). Функция ϕ(x) называется
ψ-производной функции f(x) : ϕ(x) = Dψ(f ;x) = fψ(x). Таким образом,
S(λ)[fψ] =
∞∑
k=1
1
ψ(k)
Y
(λ)
k (f ;x) =
∞∑
k=1
Y
(λ)
k
(
fψ;x
)
.
Подмножество функций f ∈ L(Sm−1), имеющих ψ-производные, обозначим через
L̄ψ(Sm−1). Если f ∈ L̄ψ(Sm−1) и fψ ∈ N, пишем f ∈ L̄ψN.
Связь между ψ-интегралами и ψ-производными устанавливается в следующем утвержде-
нии.
Предложение 1. Если функция f принадлежит L(Sm−1), ряд (3) — ее ряд Фурье – Лапласа
и ψ(k) 6= 0 ∀k ∈ N, то Iψ(f ;x) имеет ψ-производную и Dψ
(
Iψ(f ;x)
)
= f(x) − C0, C0 =
= Y
(λ)
0 (f ;x) = const .
Если f принадлежит Lψ(Sm−1), ряд (3) — ее ряд Фурье – Лапласа, то функция Dψ(f ;x)
имеет ψ-интеграл и при этом Iψ
(
Dψ(f ;x)
)
= f(x)+A0, A0 ≡ const, L̄ψ(Sm−1) = Lψ(Sm−1).
Доказательство следует непосредственно из определений ψ-интеграла и ψ-производной
функции f ∈ L(Sm−1).
Предположим, далее, что функция ψ = ψ(k) 6= 0 ∀k ∈ N такова, что ряд
∞∑
k=1
ψ(k)zk(x) (4)
является рядом Фурье некоторой зональной функции
gψ = g̃ψ(θ) ∈ L(Sm−1).
Известно (см., например, [4]), что если ψ(k) = ψ (k,m) = (k (k +m− 2))−
r
2 , r > 0, то
существует зональная функция gr(x) = g̃r(θ) ∈ L(Sm−1) такая, что ряд (4) является ее рядом
Фурье.
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 2. Если ряд (4) является рядом Фурье функции gψ ∈ L(Sm−1), то функция
f принадлежит Lψ(Sm−1) тогда и только тогда, когда почти всюду на Sm−1 выполняется
равенство
f(x) = C0 +
[
fψ ∗ gψ
]
(x), C0 = Y
(λ)
0 (f ;x) = const. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ 1501
Доказательство. Если f принадлежит Lψ(Sm−1), то
Y
(λ)
k (f ;x) = ψ(k)Y
(λ)
k
(
fψ;x
)
, k ∈ N. (6)
Используя формулы (2), (6) и ассоциативность свертки, находим
S(λ)
[
fψ ∗ gψ
]
=
∞∑
k=1
Y
(λ)
k
([
fψ ∗ gψ
]
;x
)
=
=
∞∑
k=1
[[
fψ ∗ gψ
]
∗ zk
]
(x) =
∞∑
k=1
[
fψ ∗ [gψ ∗ zk]
]
(x) =
=
∞∑
k=1
[
fψ ∗ Y (λ)
k (gψ; ·)
]
(x) =
∞∑
k=1
[
fψ ∗ ψ(k)zk
]
(x) =
=
∞∑
k=1
ψ(k)
[
fψ ∗ zk
]
(x) =
∞∑
k=1
ψ(k)Y
(λ)
k
(
fψ;x
)
=
=
∞∑
k=1
Y
(λ)
k (f ;x) = S(λ) [f − C0] .
Таким образом, f(x) = C0 +
[
fψ ∗ gψ
]
(x) почти всюду на Sm−1.
Обратно, пусть выполнено равенство (5). Тогда, вновь используя (2) и ассоциативность
свертки, имеем
1
ψ(k)
Y
(λ)
k (f ;x) =
1
ψ(k)
[f ∗ zk](x) =
1
ψ(k)
[
C0 +
[
fψ ∗ gψ
]
∗ zk
]
(x) =
=
1
ψ(k)
[[
fψ ∗ gψ
]
∗ zk
]
(x) =
1
ψ(k)
[
fψ ∗ [gψ ∗ zk]
]
(x) =
=
1
ψ(k)
[
fψ ∗ Y (λ)
k (gψ; ·)
]
(x) =
1
ψ(k)
[
fψ ∗ ψ(k)zk
]
(x) =
=
[
fψ ∗ zk
]
(x) = Y
(λ)
k
(
fψ;x
)
∀k ∈ N.
Предложение 2 доказано.
Обозначим через Cψp (Sm−1), 1 ≤ p ≤ ∞, множество всех функций f(x), которые представ-
ляются в виде свертки
f(x) = C0 +
∫
Sm−1
h
(
x′
)
gψ
(
σ−1x′
)
dx′, h(x) ∈ B0
p(Sm−1), (7)
B0
p(Sm−1) =
h(x) ∈ Lp(Sm−1) : ‖h‖Lp(Sm−1) ≤ 1, Y
(λ)
0 (h) =
∫
Sm−1
h(x)dx = 0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1502 Р. А. ЛАСУРИЯ
с фиксированным ядром gψ(x) = g̃ψ(θ) ∈ Lp′(S
m−1), 1/p + 1/p′ = 1, ряд Фурье которого
имеет вид (4).
Поскольку h ∈ Lp(Sm−1), gψ ∈ Lp′(Sm−1), то Cψp (Sm−1) ⊂ C(Sm−1). Если ψ(k) = (k(k +
+m−2))−r/2, r > 0, то классы Cψp (Sm−1) переходят в известные классы W r
p (Sm−1), при этом
если r >
m− 1
p
, 1 < p <∞, то gψ = gr ∈ Lp′(Sm−1), и если r > m− 1, то gr ∈ C(Sm−1).
Ясно, что при p = 2 включение gψ ∈ L2(Sm−1) эквивалентно условию
∞∑
k=1
ψ2(k)ak <∞, ak = ‖zk(x)‖2L2(Sm−1). (8)
Будем считать, что последовательность ψ(k) является сужением на множестве натуральных
чисел некоторой непрерывной функции ψ(t) непрерывного аргумента t ≥ 1. Множество всех
выпуклых вниз при t ≥ 1 функций ψ(t), удовлетворяющих условию limt→∞ ψ(t) = 0, обозна-
чают через M. Согласно [3, с. 160], каждой функции ψ ∈ M поставим в соответствие пару
функций η(t) = η(ψ; t) и µ(t) = µ(ψ; t) с помощью формул
η(t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
, µ(t) =
t
η(t)− t
, t ≥ 1, (9)
где ψ−1(·) — функция, обратная к ψ(·).
Величина η(t)−t на основании ее определения — длина отрезка [t, η(t)], на котором значение
функции ψ(t) уменьшается ровно в два раза. В связи с этим функцию µ(ψ; t) называют модулем
полураспада функции ψ(t). Из множества M можно выделять различные подмножества в
соответствии со свойствами функций µ(ψ, t) и η(t) (см. [3]).
Рассмотрим линейные полиномиальные методы приближения функций из классов
Lψ(Sm−1) ∩ C(Sm−1).
Пусть α =
∥∥∥α(n)
k
∥∥∥ , k = 0, 1, . . . , n = 0, 1, . . . , — бесконечная треугольная матрица чисел
таких, что
α
(n)
0 = 1, n = 0, 1, . . . , α
(n)
k = 0, k = n, n+ 1, . . . , lim
n→∞
α
(n)
k = 1, (10)
и линейный оператор U (λ)
n = U
(λ)
n (α) каждой функции f ∈ Lψ(Sm−1) ставит в соответствие
сферический полином
U (λ)
n (f ;x;α) =
n∑
k=0
α
(n)
k Y
(λ)
k (f ;x), Y
(λ)
0 (f ;x) = C0 = const . (11)
Если
α
(n)
k =
1, 0 ≤ k ≤ n,
0, k > n,
то полином U (λ)
n (f ;x;α) является частичной суммой Фурье S(λ)
n (f ;x) степени n функции f(x).
Для оператора U (λ)
n рассмотрим величину
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ 1503
En
(
Cψ2 (Sm−1);α
)
C
= sup
f∈Cψ2 (Sm−1)
∥∥∥f(x)− U (λ)
n−1(f ;x;α)
∥∥∥
C(Sm−1)
. (12)
В данной работе рассматривается, в частности, задача нахождения точных значений вели-
чин (12).
Пусть, далее, f ∈ Lp(Sm−1), 1 ≤ p ≤ ∞, и
En(f)p = inf
Tn−1
‖f − Tn−1‖Lp(Sm−1)
— наилучшее приближение f(x) в метрике пространства Lp(Sm−1) сферическими полиномами
Tn−1(x) =
n−1∑
k=0
Yk(x), Yk(x) ∈ Hk, x ∈ Sm−1,
степени не выше n− 1.
Если N ⊂ C(Sm−1), U
(λ)
n — линейный оператор вида (11), то величину
En(N)C = inf
U
(λ)
n−1
sup
f∈N
∥∥∥f − U (λ)
n−1(f)
∥∥∥
C(Sm−1)
(13)
называют наилучшим линейным приближением класса N с помощью линейных операторов
вида (11) в метрике пространства C(Sm−1), а оператор Ū (λ)
n−1(f), который реализует инфимум
в правой части (13), называется наилучшим линейным оператором приближения класса N. В
работе показывается, что величина En
(
Cψp (Sm−1)
)
C
совпадает с наилучшим приближением
ядра gψ(x) = g̃ψ(θ) ∈ Lp′(Sm−1), 1/p + 1/p′ = 1, в метрике пространства Lp′(Sm−1), а также
устанавливаются некоторые оценки норм отклонений
ρ(λ)
n (f ;x) = f(x)− S(λ)
n−1(f ;x)
в пространстве Ls(Sm−1) через наилучшие приближения ψ-производных fψ(x) в пространстве
Lp(S
m−1) 1 ≤ p, s ≤ ∞, для быстро убывающих функций ψ(·). При этом оценки имеют общий
характер в том смысле, что в них параметры m, p и s независимы между собой.
Задачи аналогичного характера в случае тригонометрических рядов Фурье 2π -периодических
функций ставились и изучались в работах [3, 5, 6].
3. Основные результаты. Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть функция ψ = ψ(k) удовлетворяет условию (8), а α =
∥∥∥α(n)
k
∥∥∥ — услови-
ям (10). Тогда для любого n ∈ N
En(Cψ2 (Sm−1);α)C =
(
n−1∑
k=1
(1− α(n)
k )
2
ψ2(k)ak +
∞∑
k=n
ψ2(k)ak
)1/2
, (14)
где
ak = ‖zk(x)‖2L2(Sm−1) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1504 Р. А. ЛАСУРИЯ
Приведем некоторые следствия из теоремы 1. Для сумм Фурье – Лапласа в силу (14) спра-
ведливо равенство
En(Cψ2 (Sm−1);S
(λ)
n−1)
C
=
( ∞∑
k=n
ψ2(k)ak
)1/2
. (15)
При ψ(k) = ψ(k,m) = (k(k +m− 2))−r/2, r > 0, с учетом соотношения ak � km−2 из (15)
получаем порядковое соотношение
En(W r
2 (Sm−1);S
(λ)
n−1)
C
� n
m−1
2 −r, r >
m− 1
2
,
которое было получено в [7].
Если
α
(n)
k =
1, 0 ≤ k ≤ n− l,
1− k − n+ l
l
, n− l < k ≤ n− 1,
0, k > n− 1,
то
U (λ)
n (f ;x;α) = V
(λ)
n,l (f ;x)
— суммы Валле Пуссена. Тогда из (14) получаем
En(Cψ2 (Sm−1);V
(λ)
n−1,l)C
=
(
1
l
n−1∑
k=n−l+1
(k − n+ l)2ψ2(k)ak +
∞∑
k=n
ψ2(k)ak
)1/2
.
Теорема 2. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, ψ = ψ(k) 6= 0 ∀k ∈ N и gψ ∈ Lp′(Sm−1), 1/p + 1/p′ = 1.
Тогда для любого n ∈ N
En
(
Cψp (Sm−1)
)
C
= En(gψ)p′ . (16)
Лемма 1. Пусть ряд
∞∑
k=1
ψ(k)zk(x), x ∈ Sm−1,
является рядом Фурье некоторой ограниченной на сфере Sm−1 зональной функции gψ(x) = g̃ψ(θ).
Тогда если 1 ≤ p, s ≤ ∞, то для любой функции f ∈ LψLp(Sm−1) и для любого n ∈ N
∥∥∥ρ(λ)
n (f ;x)
∥∥∥
LS(Sm−1)
≤ KλEn(fψ)p
∞∑
k=n
ψ(k)km−2, λ =
m− 2
2
, (17)
где Kλ = K(λ) — множитель, не зависящий от n, p, s и f(x) ∈ LψLp(Sm−1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ 1505
Теорема 3. Пусть ψ ∈ M, функция ψ(t)tm−2, m ≥ 3, монотонно убывая, стремится к
нулю, а функция η(t) = η(ψ; t) удовлетворяет условиям:
1) η(t)− t ≤ K ∀t ≥ 1,
2) η(t) ≤ βt, 0 < β < 2
1
m−2 , ∀t ≥ 1.
Тогда если 1 ≤ p, s ≤ ∞, то для любой функции f ∈ LψLp(Sm−1) и любого n ∈ N
En(f)S ≤
∥∥∥ρ(λ)
n (f ;x)
∥∥∥
LS(Sm−1)
≤ Kλψ(n)nm−2En
(
fψ
)
p′
, (18)
где Kλ — множитель, имеющий такой же смысл, как и в неравенстве (17).
Обозначая
Lψp (Sm−1) =
{
f(x) ∈ LψLp(Sm−1) : fψ ∈ Bo
p(S
m−1)
}
,
в условиях теоремы 3 из (18) получаем оценки
sup
f∈Lψp (Sm−1)
En(f)S ≤ sup
f∈Lψp (Sm−1)
∥∥∥ρ(λ)
n (f ;x)
∥∥∥
LS(Sm−1)
≤ Kλψ(n)nm−2.
Условиям теоремы 3 удовлетворяет, в частности, функция ψ(t) = exp (−tr) при r≥ m− 2,
для которой
η(t) = η(ψ; t) = (ln 2 + tr)1/r, t ≥ 1.
Очевидно, что условие 1 выполняется. Условие 2 следует из того, что
η(t) ≤ (ln 2 + 1)1/rt, t ≥ 1.
Тогда, полагая β = (ln 2 + 1)1/r, имеем
βm−2 = (ln 2 + 1)
m−2
r < 2.
4. Доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1. В силу (7), фор-
мулы (2) и ассоциативности свертки имеем
f(x)− U (λ)
n−1 (f ;x;α) =
[
fψ ∗ gψ
]
(x)−
n−1∑
k=1
α
(n)
k [f ∗ zk](x) =
=
[
fψ ∗ gψ
]
(x)−
n−1∑
k=1
α
(n)
k [[f ∗ gψ] ∗ zk](x) =
=
[
fψ ∗ gψ
]
(x)−
n−1∑
k=1
α
(n)
k
[
fψ ∗ [gψ ∗ zk]
]
(x) =
=
[
fψ ∗ gψ
]
(x)−
n−1∑
k=1
[
fψ ∗ α(n)
k [gψ ∗ zk]
]
(x) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1506 Р. А. ЛАСУРИЯ
=
[
fψ ∗ gψ
]
(x)−
[
fψ ∗
n−1∑
k=1
α
(n)
k [gψ ∗ zk]
]
(x) =
=
[
fψ ∗ gψ
]
(x)−
[
fψ ∗
n−1∑
k=1
α
(n)
k Y
(λ)
k
(
gψ;x
)]
(x) =
=
[
fψ ∗ gψ
]
(x)−
[
fψ ∗
n−1∑
k=1
α
(n)
k ψ(k)zk(·)
]
(x) =
=
[
fψ ∗
(
gψ(·)−
n−1∑
k=1
α
(n)
k ψ(k)zk(·)
)]
(x) =
[
fψ ∗ gψ,n
]
(x), (19)
где
gψ,n (x, α)
df
= gψ(x)−
n−1∑
k=1
a
(n)
k ψ(k)zk(x)
и
S [gψ,n] =
n−1∑
k=1
(
1− α(n)
k
)
ψ(k)zk(x) +
∞∑
k=n
ψ(k)zk(x).
Для произвольной функции u ∈ Lp′(Sm−1), 1 ≤ p′ ≤ ∞, имеет место соотношение двой-
ственности [8, с. 27]
inf
a∈R
‖u− a‖Lp′ (S
m−1) = sup
ϕ∈B0
p(Sm−1)
∫
Sm−1
u(t)ϕ(t) dt,
1
p
+
1
p′
= 1. (20)
В силу инвариантности классов Cψ2 (Sm−1) и оператора U (λ)
n (α) относительно сдвигов, с
учетом равенства (19), условия (8) и соотношения (20) при p = p′ = 2, а также равенства
Парсеваля находим
En
(
Cψ2 (Sm−1);α
)
C
= sup
f∈Cψ2 (Sm−1)
∥∥∥f(x)− U (λ)
n−1 (f ;x;α)
∥∥∥
C(Sm−1)
=
= sup
f∈Cψ2 (Sm−1)
∣∣∣f (x0
)
− U (λ)
n−1
(
f ;x0;α
)∣∣∣ =
= sup
h∈B0
2(Sm−1)
∣∣∣∣∣∣
∫
Sm−1
h(x)gψ,n (x, α) dx
∣∣∣∣∣∣ =
= inf
a∈R
∥∥gψ,n (x, α)− a
∥∥
L2(Sm−1)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ 1507
= inf
a∈R
(
n−1∑
k=1
(
1− α(n)
k
)2
ψ2(k) ‖zk‖2L2(Sm−1) +
∞∑
k=n
ψ2(k) ‖zk‖2L2(Sm−1)
)1
2
=
= inf
a∈R
(
n−1∑
k=1
(
1− α(n)
k
)2
ψ2(k)ak +
∞∑
k=n
ψ2(k)ak
)1
2
.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Если ψ(k) 6= 0 ∀k ∈ N, то для любой функции f ∈ Cψp (Sm−1)
и зонального сферического полинома
T 0
n−1(t) =
n−1∑
k=1
ckzk(t)
с нулевым средним значением
(
Y
(λ)
0 (Tn−1; ·) = 0
)
на сфере Sm−1 имеем
C0 +
∫
Sm−1
fψ
(
x′
)
T 0
n−1
(
σ−1x′
)
dx′ =
= C0 +
[
fψ ∗ T 0
n−1
]
(x) = c0 +
[
fψ ∗
n−1∑
k=1
ckzk
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=1
ck
[
fψ ∗ zk
]
(x) = C0 +
n−1∑
k=1
ck
[
fψ ∗ ψ(k)
ψ(k)
zk
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=1
ck
1
ψ(k)
[
fψ ∗ ψ(k)zk
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=1
ck
1
ψ(k)
[
fψ ∗ Y (λ)
k (gψ; ·)
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=1
ck
1
ψ(k)
[
fψ ∗ [gψ ∗ zk]
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=1
ck
1
ψ(k)
[[
fψ ∗ gψ
]
∗ zk
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=1
ck
1
ψ(k)
[f ∗ zk](x) = C0 +
n−1∑
k=1
ck
1
ψ(k)
Y
(λ)
k (f ;x) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1508 Р. А. ЛАСУРИЯ
= C0 +
n−1∑
k=1
α
(n)
k Y
(λ)
k (f ;x) = U
(λ)
n−1 (f ;x;α) ,
где
α
(n)
k
df
=
ck
ψ(k)
.
Обратно, произвольный сферический полином Un−1 (f ;x;α) вида (11) представляется в виде
свертки
C0 +
∫
Sm−1
fψ
(
x′
)
T 0
n−1
(
σ−1x′
)
dx′
с полиномом T 0
n−1(t), коэффициенты которого имеют вид
ck = ψ(k)α
(n)
k .
В самом деле, на основании формулы (2) и свойств свертки находим
U
(λ)
n−1 (f ;x;α) = C0 +
n−1∑
k=n
α
(n)
k Yk(f ;x) =
= C0 +
n−1∑
k=n
α
(n)
k [f ∗ zk](x) =
= C0 +
n−1∑
k=n
α
(n)
k
[[
fψ ∗ gψ
]
∗ zk
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=n
α
(n)
k
[
fψ ∗ [gψ ∗ zk]
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=n
α
(n)
k
[
fψ ∗ ψ(k)zk
]
(x) =
= C0 +
n−1∑
k=n
[
fψ ∗ α(n)
k ψ(k)zk
]
(x) =
= C0 +
[
fψ ∗
n−1∑
k=n
α
(n)
k ψ(k)zk
]
(x) = C0 +
[
fψ ∗ T 0
n−1
]
(x) =
= C0 +
∫
Sm−1
fψ
(
x′
)
T 0
n−1
(
σ−1x′
)
dx′,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ 1509
где T 0
n−1(t) — зональный полином с коэффициентами
ck = α
(n)
k ψ(k).
Поэтому с учетом (1) и соотношения двойственности (20) получаем
En
(
Cψp ;Sm−1
)
C
= inf
U
(λ)
n−1
sup
f∈Cψp (Sm−1)
∥∥∥f − U (λ)
n−1(f)
∥∥∥
C(Sm−1)
=
= inf
T 0
n−1
sup
f∈Cψp (Sm−1)
∥∥∥[fψ ∗ [gψ − T 0
n−1
]]
(x)
∥∥∥
C(Sm−1)
=
= inf
T 0
n−1
sup
h∈B0
p(Sm−1)
∣∣∣∣∣∣
∫
Sm−1
h(t)
(
gψ(t)− T 0
n−1(t)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
= inf
T 0
n−1
inf
a∈R
∥∥gψ(t)− T 0
n−1(t)− a
∥∥
Lp′ (S
m−1)
= En(gψ)p′ .
Равенство (16) установлено.
Теорема 2 доказана.
Из рассуждений, использованных при доказательстве теоремы 2, следует, что при ψ(k) 6= 0
∀k ∈ N, для класса Cψp (Sm−1) среди всех линейных методов приближения U
(λ)
n−1 вида (11)
наилучшим является метод Ū
(λ)
n−1(f ;x;α), который порождается матрицей α =
∥∥α(n)
k
∥∥ с эле-
ментами
α
(n)
k =
c̄k
ψ(k)
, k = 1, . . . , n, α
(n)
k = 0, k > n, n = 1, 2, . . . , (21)
где c̄k — коэффициенты полинома наилучшего приближения ядра gψ(x) в метрике пространства
Lp′(S
m−1). Поскольку En(gψ)2 =
∥∥∥gψ − S(λ)
n−1 (gψ)
∥∥∥
L2(Sm−1)
, наилучшим линейным методом
приближения Ū
(λ)
n−1 классов Cψp (Sm−1) является метод α =
∥∥α(n)
k
∥∥, определяемый равенст-
вом (21), в котором c̄k — коэффициенты Фурье функции gψ(x).
Доказательство леммы 1. Согласно предложению 2 почти всюду на Sm−1 имеем пред-
ставление
ρ(λ)
n (f ;x) = f(x)− S(λ)
n−1(f ;x) =
[
fψ ∗ gψ,n
]
(x),
где
gψ,n(x) = g̃ψ,n(θ) =
∞∑
k=n
ψ(k)zk(x).
Поскольку функция gψ,n(x) ортогональна любому сферическому полиному Tn−1(x), имеем
ρ(λ)
n (f ;x) =
[(
fψ − Tn−1
)
∗ gψ,n
]
(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1510 Р. А. ЛАСУРИЯ
На основании неравенства Юнга для сверток (1) находим∥∥∥ρ(λ)
n (f ;x)
∥∥∥
LS(Sm−1)
=
∥∥∥[(fψ − Tn−1
)
∗ gψ,n
]
(x)
∥∥∥
LS(Sm−1)
≤
≤
∥∥∥fψ(x)− Tn−1(x)
∥∥∥
Lp(Sm−1)
‖gψ,n(x)‖Lq(Sm−1),
1
s
=
1
q
+
1
p
− 1, 1 ≤ p ≤ s ≤ ∞.
Вследствие неравенства (см., например, [7])
|zk(x)| ≤ Kλk
2λ, Kλ = K(λ), λ =
m− 2
2
, (22)
учитывая, что q−1 ∈ [0, 1] , получаем
‖gψ,n(x)‖Lq(Sm−1) ≤ ‖gψ,n(x)‖L∞(Sm−1) ≤
≤
∞∑
k=n
ψ(k)‖zk(x)‖L∞(Sm−1) ≤ Kλ
∞∑
k=n
ψ(k)km−2.
Следовательно,∥∥∥ρ(λ)
n (f ;x)
∥∥∥
Ls(Sm−1
) ≤ Kλ
∥∥∥fψ(x)− Tn−1(x)
∥∥∥
Lp(Sm−1)
∞∑
k=n
ψ(k)km−2.
Если 1 ≤ s < p ≤ ∞, в силу неравенства Гельдера∥∥∥ρ(λ)
n (f ;x)
∥∥∥
LS(Sm−1)
≤
∥∥∥[(fψ − Tn−1
)
∗ gψ,n
]
(x)
∥∥∥
Lp(Sm−1)
≤
≤
∥∥∥fψ(x)− Tn−1(x)
∥∥∥
Lp(Sm−1)
‖gψ,n(x)‖
L∞(Sm−1)
≤
≤ Kλ
∥∥∥fψ(x)− Tn−1(x)
∥∥∥
Lp(Sm−1)
∞∑
k=n
ψ(k)km−2.
Выбирая в качестве Tn−1(x) полином T ∗n(x) наилучшего приближения в Lp(Sm−1) производной
fψ(x), приходим к неравенству (17).
Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 3 основано на лемме 1. Требуется показать, что в условиях
теоремы 3
Jn
df
=
∞∑
k=n
ψ(k)km−2 ≤ cψ(n)nm−2, c = const > 0. (23)
Положим t0 = n, ti = η (ψ; ti−1) , i ∈ N, где η(ψ, t) — величина, определяемая формулой (9).
Поскольку ψ (ti) ≤ ψ(n)2−i, используя условие 1, находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СФЕРЕ ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ 1511
Jn ≤
∞∫
n
ψ (v) vm−2dv =
∞∑
i=0
ti+1∫
ti
ψ (v) vm−2dv ≤
≤
∞∑
i=0
ψ (ti) ti
m−2 (ti+1 − ti) ≤
≤ ψ(n)
∞∑
i=0
2−itm−2
i (ti+1 − ti) ≤ Kψ(n)
∞∑
i=0
2−itm−2
i ,
K = const > 0.
В силу условия 2
ti = η (ti−1) ≤ βti−1 = βη (ti−2) ≤ β2ti−2 ≤ . . . ≤ βin,
tm−2
i ≤ βi(m−2) · nm−2, 0 < β < 2
1
m−2 , m ≥ 3.
Поэтому
Jn ≤ Kψ(n)nm−2
∞∑
i=0
2−iβi(m−2) ≤ K1ψ(n)nm−2, K1 = const > 0.
На основании неравенств (22), (23) и условий теоремы устанавливаем равномерную сходимость
ряда
∞∑
k=1
ψ(k)zk(x), x ∈ Sm−1.
Поэтому сумма gψ(x) = g̃ψ(θ) этого ряда является непрерывной на Sm−1 функцией. Применяя
лемму 1, приходим к оценкам (18).
Теорема 3 доказана.
1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974. – 333 с.
2. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. – М.: Наука, 1965. – 588 с.
3. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
4. Askey R., Wainger S. On the behavior of special classes of ultrasherical expansions // J. Anal. Math. – 1965. – 15. –
P. 193 – 244.
5. Бабенко В. Ф., Пичугов С. А. О наилучшем линейном приближении некоторых классов дифференцируемых
периодических функций // Мат. заметки. – 1980. – 27, № 5. – С. 683 – 689.
6. Сердюк А. С., Соколенко I. В. Рiвномiрнi наближення класiв (ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй лiнiйними
методами // 3б. праць Iн-ту математики НАН України. – 2011. – 8, № 1. – С. 181 – 189.
7. Камзолов А. И. О приближении гладких функций на сфере Sn методом Фурье // Мат. заметки. – 1982. – 31,
№ 6. – С. 847 – 853.
8. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
Получено 03.09.13,
после доработки — 22.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2241 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:20Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4a/f5f18e9d084cc1d53275082dfec4ef4a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22412019-12-05T10:27:00Z Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods Приближение функций на сфере линейными методами Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. We study some problems of approximation of functions by the linear methods of summation of their Fourier–Laplace series. Досліджуються дєякі питання наближення Функцій лінійними методами підсумовування їх рядів Фур'є-Лапласа. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2241 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 11 (2014); 1498-1511 Український математичний журнал; Том 66 № 11 (2014); 1498-1511 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2241/1483 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2241/1484 Copyright (c) 2014 Lasuriya R. A. |
| spellingShingle | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods |
| title | Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods |
| title_alt | Приближение функций на сфере линейными методами |
| title_full | Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods |
| title_fullStr | Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods |
| title_full_unstemmed | Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods |
| title_short | Approximation of Functions on the Sphere by Linear Methods |
| title_sort | approximation of functions on the sphere by linear methods |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2241 |
| work_keys_str_mv | AT lasuriyara approximationoffunctionsonthespherebylinearmethods AT lasuriâra approximationoffunctionsonthespherebylinearmethods AT lasuriâra approximationoffunctionsonthespherebylinearmethods AT lasuriyara približeniefunkcijnasferelinejnymimetodami AT lasuriâra približeniefunkcijnasferelinejnymimetodami AT lasuriâra približeniefunkcijnasferelinejnymimetodami |