Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric
We obtain the exact-order estimates for the best uniform approximations and uniform approximations by Fourier sums in the classes of convolutions of periodic functions from the unit balls of the spaces $L_p, 1 ≤ p < ∞$, with generating kernel $Ψ_{β}$ for which the absolute values of its Fouri...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2014
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2253 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508211624280064 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T10:27:15Z |
| description | We obtain the exact-order estimates for the best uniform approximations and uniform approximations by Fourier sums in the classes of convolutions of periodic functions from the unit balls of the spaces $L_p, 1 ≤ p < ∞$, with generating kernel $Ψ_{β}$ for which the absolute values of its Fourier coefficients $ψ(k)$ are such that $∑_{k = 1}^{∞} ψ_p ′(k)k^{p ′ − 2} |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ),
Т. А. Степанюк (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ
ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є В РIВНОМIРНIЙ МЕТРИЦI КЛАСIВ
ЗГОРТОК ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ НЕВЕЛИКОЇ ГЛАДКОСТI
We obtain the exact order estimates of the best uniform approximations and uniform approximations by Fourier sums for
the classes of convolutions of periodic functions from the unit balls of the spaces Lp, 1 ≤ p <∞, with generating kernel
Ψβ for which the absolute values of Fourier coefficients ψ(k) are such that
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, and
the product ψ(n)n1/p cannot tend to zero faster than power functions.
Получены точные по порядку оценки наилучших равномерных приближений и равномерных приближений суммами
Фурье классов сверток периодических функций, принадлежащих единичным шарам пространств Lp, 1 < p <∞,
с производящим ядром Ψβ , модули ψ(k) коэффициентов Фурье которого таковы, что
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞,
1
p
+
1
p′
= 1, а произведение ψ(n)n1/p не может стремиться к нулю быстрее степенных функций.
Позначимо через C простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй, в якому норму задано за
допомогою рiвностi
‖f‖C := max
t
∣∣f(t)
∣∣;
Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних функцiй f зi скiнченною нормою ‖f‖p, де
‖f‖p :=
(∫ π
−π
|f(t)|pdt
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess sup
t
∣∣f(t)
∣∣, p =∞.
Нехай f — функцiя iз L1, ряд Фур’є якої має вигляд
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx).
Нехай, далi, ψ(k) — довiльна фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел i β — фiксоване дiйсне
число. Тодi якщо ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk sin
(
kx+
βπ
2
))
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї ϕ, то цю функцiю називають (див., наприклад, [1, с. 132])
(ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через fψβ . Множину функцiй f, у яких iснує (ψ, β)-
похiдна, позначають через Lψβ .
Покладемо
B0
p :=
{
ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖p ≤ 1, ϕ ⊥ 1
}
, 1 ≤ p ≤ ∞.
c© А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК, 2014
1658 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1659
Якщо f ∈ Lψβ i водночас fψβ ∈ B
0
p , то кажуть, що функцiя f належить класу Lψβ,p. Позначимо
також Cψβ = C ∩ Lψβ , C
ψ
β,p = C ∩ Lψβ,p.
Будемо розглядати послiдовностi ψ(k) такi, що ψ(k)k1/p монотонно не зростає i
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1.
Тодi з урахуванням леми 12.6.6 монографiї [2, с. 193] та твердження 3.8.3 монографiї [1, с. 139]
функцiї f з множини Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, для всiх x ∈ R зображуються за допомогою згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, ϕ ∈ B0
p , (1)
де
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, β ∈ R, (2)
i при цьому майже скрiзь ϕ = fψβ .
При ψ(k) = k−r, r > 0, ядра Ψβ(t) вигляду (2) є ядрами Вейля – Надя Br,β(t),
Br,β(t) =
∞∑
k=1
k−r cos
(
kt− βπ
2
)
, β ∈ R, (3)
а класи функцiй f, що зображуються у виглядi
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Br,β(x− t)ϕ(t)dt, ϕ ∈ B0
p , (4)
є вiдомими класами Вейля – Надя W r
β,p, 1 < p <∞. Зрозумiло, що при r >
1
p
, 1 < p ≤ ∞, для
довiльних β ∈ R має мiсце включення W r
β,p ⊂ C.
Позначимо через M множину всiх опуклих донизу, неперервних функцiй ψ(t), t ≥ 1,
таких, що limt→∞ ψ(t) = 0. Будемо вважати, що послiдовнiсть ψ(k), k ∈ N, яка задає клас
Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, є звуженням на множину натуральних чисел функцiй ψ(t) iз M.
Услiд за О. I. Степанцем (див., наприклад, [1, с. 160]) за допомогою характеристики µ(ψ; t)
функцiй ψ ∈M вигляду
µ(t) = µ(ψ; t) :=
t
η(t)− t
, (5)
де η(t) = η(ψ; t) := ψ−1 (ψ(t)/2) , ψ−1 — обернена до ψ функцiя, з множини M видiлимо такi
пiдмножини:
M0 =
{
ψ ∈M : ∃K > 0 ∀t ≥ 1 0 < µ(ψ; t) ≤ K <∞
}
, (6)
MC =
{
ψ ∈M : ∃K1,K2 > 0 ∀t ≥ 1 K1 ≤ µ(ψ; t) ≤ K2 <∞
}
, (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1660 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
M+
∞ =
{
ψ ∈M : µ(ψ; t) ↑ ∞
}
.
В (6) i (7) K, K1, K2, взагалi кажучи, можуть залежати вiд ψ. Очевидно, що MC ⊂M0. Заува-
жимо, що природними представниками множини MC є функцiї ψ(t) = t−r, r > 0, множини
M0 \MC — функцiї ψ(t) = ln−ε(t+ 1), ε > 0, а множини M+
∞ — функцiї e−αt
r
, r > 0, α > 0.
Крiм величини (5) для функцiй ψ ∈M важливу роль вiдiграє характеристика
α(ψ; t) :=
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) := ψ′(t+ 0). (8)
В [1, с. 160] було доведено, що необхiдною i достатньою умовою належностi функцiї ψ ∈M
до множини M0 є умова
α(ψ; t) > K > 0 ∀t ≥ 1,
а необхiдною i достатньою умовою того, щоб функцiя ψ ∈ M належала до множини MC , є
умова
0 < K1 ≤ α(ψ; t) ≤ K2 <∞ ∀t ≥ 1.
Якщо ψ ∈ M+
∞, то (див., наприклад, [3, с. 97]) множини Cψβ складаються з нескiнченно
диференцiйовних функцiй. З iншого боку, як показано в [4, с. 1692], для кожної нескiнченно
диференцiйовної 2π-перiодичної функцiї f можна вказати функцiю ψ з множини M+
∞ таку, що
f ∈ Cψβ для довiльних β ∈ R.
Для класiв Cψβ,p будемо розглядати величини
En(Cψβ,p)C = sup
f∈Cψβ,p
∥∥f(·)− Sn−1(f ; ·)
∥∥
C
, 1 ≤ p ≤ ∞,
де Sn−1(f ; ·) — частиннi суми Фур’є порядку n − 1 функцiї f, а також найкращi рiвномiрнi
наближення класiв Cψβ,p тригонометричними полiномами порядку не вищого за n− 1, тобто
величини вигляду
En(Cψβ,p)C = sup
f∈Cψβ,p
inf
tn−1∈T2n−1
∥∥f(·)− tn−1(·)
∥∥
C
, 1 ≤ p ≤ ∞,
де T2n−1 — пiдпростiр усiх тригонометричних полiномiв tn−1 порядку не вищого за n− 1.
У роботi розв’язується задача про знаходження точних порядкових оцiнок для величин
En(Cψβ,p)C i En(Cψβ,p)C при 1 < p <∞, β ∈ R.
Для класiв Вейля – Надя W r
β,p, r >
1
p
, β ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞, точнi порядковi оцiнки величин
En(W r
β,p)C i En(W r
β,p)C є вiдомими (див., наприклад, [5, с. 47 – 49]). Крiм того, для величин
En(W r
β,∞)C , r > 0, β ∈ R, при n → ∞ встановлено асимптотичнi рiвностi (див., наприклад,
[6 – 8]), а для величин найкращих наближень En(W r
β,∞)C при усiх n ∈ N, знайдено їх точнi
значення (див. роботи [8 – 13]).
Для класiв Cψβ,p при p = 2 i β ∈ R за умови
∑∞
k=1
ψ2(k) < ∞ в роботi [14] доведено
рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1661
En(Cψβ,2)C =
1√
π
( ∞∑
k=n
ψ2(k)
)1/2
, n ∈ N.
У статтi [15] у випадку, коли ψ ∈ B ∩ Θp, де Θp, 1 ≤ p < ∞, — множина незростаючих
функцiй ψ(t), для яких iснує стала α >
1
p
така, що функцiя tαψ(t) майже спадає (тобто
знайдеться додатна стала K така, що tα1ψ(t1) ≤ Ktα2ψ(t2) для будь-яких t1 > t2 ≥ 1), а B —
множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), t ≥ 1, для кожної з яких можна вказати додатну
сталу K таку, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ K, t ≥ 1, показано, що iснують додатнi величини K(1) i K(2), якi
можуть залежати лише вiд ψ i p, такi, що для довiльних 1 < p <∞, β ∈ R i n ∈ N виконуються
спiввiдношення
K(2)ψ(n)n1/p ≤ En(Cψβ,p)C ≤ En(Cψβ,p)C ≤ K
(1)ψ(n)n1/p. (9)
У випадку ψ ∈M+
∞ порядковi оцiнки величин En(Cψβ,p)C i En(Cψβ,p)C , 1 ≤ p <∞, знайдено
в роботах [3, 16 – 18].
Мета даної роботи полягає у знаходженнi двостороннiх оцiнок для величин En(Cψβ,p)C та
En(Cψβ,p)C , у випадку коли функцiя gp(t) = ψ(t)t1/p належить до множини M0 i
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1.
При цьому сталi в отриманих оцiнках будуть вираженi через параметри класiв в явному виглядi.
Теорема 1. Нехай ψ(t)t1/p ∈M0 i
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞, 1 < p < ∞, 1
p
+
1
p′
= 1. Тодi
для довiльних n ∈ N i β ∈ R мають мiсце спiввiдношення
K
(1)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
≤ En(Cψβ,p)C ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (10)
в яких K(1)
ψ,p i K(2)
ψ,p — додатнi величини, що залежать лише вiд ψ i p.
Доведення. Згiдно з iнтегральним зображенням (1), за виконання умов теореми для довiль-
ної функцiї f ∈ Cψβ,p в кожнiй точцi x ∈ R справджується рiвнiсть
f(x)− Sn−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
Ψβ,n(x− t)fψβ (t)dt, ‖fψβ ‖p ≤ 1, fψβ ⊥ 1, (11)
де
Ψβ,n(t) =
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, β ∈ R, n ∈ N. (12)
З (11) i твердження 3.8.1 роботи [1, с. 137] одержуємо
En(Cψβ,p)C ≤
1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
‖fψβ (·)‖p ≤
1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1. (13)
При знаходженнi оцiнки величини
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
нам знадобиться така лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1662 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Лема 1. Нехай 1 < s < ∞ i {ak}∞k=1 — монотонно незростаюча послiдовнiсть додатних
чисел така, що
∑∞
k=1
askk
s−2 <∞. Тодi для Ls-норми функцiї
hγ,n(x) =
∞∑
k=n
ak cos(kx+ γ), γ ∈ R, n ∈ N,
виконується нерiвнiсть
‖hγ,n(x)‖s ≤ ξ(s)
( ∞∑
k=n
askk
s−2 + asnn
s−1
)1/s
, (14)
де
ξ(s) := max
{
4
( π
s− 1
)1/s
, 14(8π)1/ss
}
. (15)
Доведення. Для довiльних n ∈ N, γ ∈ R i 1 < s <∞ маємо
‖hγ,n(x)‖ss =
π∫
−π
|hγ,n(x)|sdx =
=
∫
π
2n≤|x|≤π
|hγ,n(x)|sdx+
∫
|x|≤ π
2n
|hγ,n(x)|sdx = J (1)
s,n + J (2)
s,n , (16)
де
J (1)
s,n :=
∫
π
2n≤|x|≤π
|hγ,n(x)|sdx,
J (2)
s,n :=
∫
|x|≤ π
2n
|hγ,n(x)|sdx.
Оцiнимо величину J (1)
s,n . Згiдно з перетворенням Абеля для довiльних M,N ∈ N
N∑
k=M
ak cos(kx+ γ) =
=
N−1∑
k=M
∆ak
k∑
j=0
cos(jx+ γ)− aM
M−1∑
j=0
cos(jx+ γ) + aN
N∑
j=0
cos(jx+ γ), (17)
де ∆ak := ak − ak+1.
Використовуючи формулу
k∑
j=0
cos(jx+ γ) = cos
(
k
2
x+ γ
)
sin
(k + 1)x
2
cosec
x
2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1663
(див., наприклад, [19, с. 43]) та очевидну нерiвнiсть
sin
|x|
2
≥ |x|
π
, 0 ≤ |x| ≤ π,
отримуємо ∣∣∣∣∣∣
k∑
j=0
cos(jx+ γ)
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1∣∣∣sin x
2
∣∣∣ ≤ π
|x|
, 0 < |x| ≤ π. (18)
З умов леми 1 випливає, що ak → 0 при k → ∞. Тому з (17), (18) i того, що внаслiдок
монотонностi послiдовностi ak ∆ak ≥ 0, одержуємо∣∣∣∣∣
∞∑
k=M
ak cos(kx+ γ)
∣∣∣∣∣ ≤ π
|x|
∞∑
k=M
∆ak + aM
π
|x|
= aM
2π
|x|
, 0 < |x| ≤ π, M ∈ N. (19)
Використавши нерiвнiсть (19) при M = n, запишемо оцiнку
J (1)
s,n ≤ (2πan)s
∫
π
2n≤|x|≤π
1
|x|s
dx <
4sπ
s− 1
asnn
s−1. (20)
Оцiнимо тепер величину J (2)
s,n . Для довiльних l, n ∈ N, l > n,
|hγ,n(x)| ≤
l−1∑
k=n
ak +
∣∣∣∣∣
∞∑
k=l
ak cos(kx+ γ)
∣∣∣∣∣. (21)
Покладемо
An,l :=
l−1∑
k=n
ak. (22)
Беручи до уваги формули (21), (22) та використовуючи нерiвнiсть (19) при M = l, отримуємо
|hγ,n(x)| ≤ An,l + al
2π
|x|
, 0 < |x| ≤ π. (23)
Для довiльних l ≥ 2n,
π
l + 1
< |x| ≤ π
l
, l, n ∈ N, внаслiдок монотонного незростання послi-
довностi ak можемо записати
alπ
|x|
≤ al(l + 1) = al(l − n+ n+ 1) ≤ al
(
2(l − n) + 1
)
≤ 3al(l − n) ≤ 3
l−1∑
k=n
ak = 3An,l. (24)
Об’єднуючи (23) i (24), записуємо
|hγ,n(x)| ≤ 7An,l,
π
l + 1
< |x| ≤ π
l
, l ≥ 2n. (25)
Iз (25) випливає
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1664 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
J (2)
s,n =
∫
|x|≤ π
2n
|hγ,n(x)|sdx =
∞∑
l=2n
∫
π
l+1<|x|≤
π
l
|hγ,n(x)|sdx ≤ 2 · 7s
∞∑
l=2n
π/l∫
π
l+1
Asn,ldx ≤
≤ 2π7s
∞∑
l=2n
Asn,l
l2
≤ 2π7s
∞∑
l=n+1
Asn,l
l2
. (26)
При кожному фiксованому n ∈ N позначимо через αn(t), t ≥ 0, функцiю, що означається
таким чином:
αn(t) :=
ak, k ≤ t < k + 1, k ≥ n,
0, 0 ≤ t < n.
При таких позначеннях має мiсце рiвнiсть An,l =
∫ l
0
αn(t)dt. Тодi
∞∑
l=n+1
Asn,l
l2
=
∞∑
l=n+1
(∫ l
0
αn(t)dt
)s
l2
=
∞∑
l=n+1
l+1∫
l
(∫ l
0
αn(t)dt
)s
l2
dx ≤
≤
∞∑
l=n+1
l+1∫
l
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
(x− 1)2
dx =
∞∫
n+1
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
(x− 1)2
dx =
=
∞∫
n+1
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
x2
dx+
∞∫
n+1
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
x2
2x− 1
(x− 1)2
dx ≤
≤
∞∫
n+1
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
x2
dx+
(
2
n
+
1
n2
) ∞∫
n+1
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
x2
dx ≤ 4
∞∫
n
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
x2
dx. (27)
Для оцiнки останнього iнтеграла нам буде корисним наступне твердження, встановлене
Хардi (див., наприклад, [20, с. 40]).
Лема 2. Нехай g(x) — невiд’ємна функцiя, визначена для x ≥ 0, i r > 1, σ < r − 1. Тодi
якщо gr(x)xσ є iнтегровною на (0,∞), то функцiя
(
1
x
∫ x
0
g(t)dt
)r
xσ також є iнтегровною
на (0,∞) i при цьому виконується нерiвнiсть
∞∫
0
1
x
x∫
0
g(t)dt
r
xσdx ≤
(
r
r − σ − 1
)r ∞∫
0
gr(x)xσdx. (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1665
Застосовуючи нерiвнiсть (28) при g(·) = αn(·), r = s, σ = s− 2, одержуємо
∞∫
n
(∫ x
0
αn(t)dt
)s
x2
dx ≤ ss
∞∫
n
αsn(x)xs−2dx = ss
∞∑
l=n
l+1∫
l
asl x
s−2dx ≤ (2s)s
∞∑
l=n
asl l
s−2. (29)
Формули (26), (27) i (29) дозволяють записати оцiнку
J (2)
s,n ≤ 8π(14s)s
∞∑
l=n
asl l
s−2. (30)
Об’єднуючи (16), (20) i (30), маємо
∥∥hγ,n(x)
∥∥s
s
= J (1)
s,n + J (2)
s,n ≤ max
{
4sπ
s− 1
, 8π(14s)s
}( ∞∑
l=n
asl l
s−2 + asnn
s−1
)
, (31)
n ∈ N, 1 < s <∞.
Iз (31) випливає (14).
Лему 1 доведено.
Застосуємо до функцiї Ψβ,n(t) вигляду (12) лему 1, поклавши в її умовах ak = ψ(k),
γ = −βπ
2
, s = p′. Тодi отримаємо оцiнку
‖Ψβ,n(t)‖p′ ≤ ξ(p′)
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 + ψp
′
(n)np
′−1
)1/p′
, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1,
(32)
де характеристика ξ(p′) означена рiвнiстю (15).
Для будь-якої функцiї ψ ∈M через αn(ψ) i αn(ψ), n ∈ N, позначимо величини
αn(ψ) := inf
t≥n
α(ψ; t), (33)
αn(ψ) := sup
t≥n
α(ψ; t), (34)
де характеристика α(ψ; t) означена формулою (8). У прийнятих позначеннях має мiсце таке
твердження.
Лема 3. Нехай gp(t) := ψ(t)t1/p,
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, n ∈ N.
Тодi якщо gp ∈M0, то виконується нерiвнiсть
ψp
′
(n)np
′−1 ≤ p′
αn(gp)
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2, (35)
а якщо gp ∈MC , то має мiсце спiввiдношення
p′
αn(gp)
nαn(gp)
p′ + nαn(gp)
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 ≤ ψp′(n)np
′−1 ≤ p′
αn(gp)
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2. (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1666 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Доведення. Нехай gp ∈M0. Встановимо нерiвнiсть (35).
Оскiльки gp(t) монотонно спадає до нуля, то
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 =
∞∑
k=n
gp
′
p (k)
k
≥
∞∫
n
gp
′
p (t)
t
dt =
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt. (37)
Застосувавши метод iнтегрування частинами до останнього iнтеграла iз (37), отримаємо
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt =
−1
p′ − 1
ψp
′
(n)np
′−1 − p′
p′ − 1
∞∫
n
ψp
′−1(t)ψ′(t)tp
′−1dt =
=
−1
p′ − 1
ψp
′
(n)np
′−1 +
p′
p′ − 1
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2
α(ψ; t)
dt. (38)
З (38) випливає
ψp
′
(n)np
′−1 = p′
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2
α(ψ; t)
dt− (p′ − 1)
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt. (39)
Покажемо, що
1
α(ψ; t)
− 1
α(gp; t)
=
1
p
, t ≥ 1, 1 < p <∞. (40)
Дiйсно, оскiльки ψ(t) = gp(t)t
−1/p, то
1
α(ψ; t)
=
t|ψ′(t)|
ψ(t)
=
−t
(
−1
p
t−1/p−1gp(t) + t−1/pg′p(t)
)
gp(t)t−1/p
=
1
p
t−1/pgp(t) + t−1/p+1|g′p(t)|
gp(t)t−1/p
=
=
1
p
+
t|g′p(t)|
gp(t)
=
1
p
+
1
α(gp; t)
.
На пiдставi (39) i (40)
ψp
′
(n)np
′−1 = p′
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2
(
1
p
+
1
α(gp; t)
)
dt− (p′ − 1)
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt =
= p′
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2 1
α(gp; t)
dt. (41)
З (33), (37) i (41) випливають спiввiдношення
ψp
′
(n)np
′−1 ≤ p′
αn(gp)
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt ≤ p′
αn(gp)
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2. (42)
Нерiвнiсть (35) доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1667
Нехай gp ∈MC . Оскiльки MC ⊂M0, то друга нерiвнiсть в (36) випливає з (35).
Враховуючи (42), маємо
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 ≤ ψp′(n)np
′−2 +
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt ≤
(
p′
αn(gp)
1
n
+ 1
) ∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt. (43)
На пiдставi формул (41) i (43) одержуємо
ψp
′
(n)np
′−1 ≥ p′
αn(gp)
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt ≥ p′
αn(gp)
(
p′
αn(gp)
1
n
+ 1
)−1 ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2.
Тим самим спiввiдношення (36), а отже i лему 3, доведено.
З нерiвностей (13), (32) i (35) отримуємо
En(Cψβ,p)C ≤
1
π
ξ(p′)
(
1 +
p′
αn(gp)
)1/p′ ( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (44)
Оскiльки послiдовнiсть αn(gp) монотонно не спадає, то для довiльних n ∈ N
En(Cψβ,p)C ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, (45)
де
K
(2)
ψ,p =
1
π
ξ(p′)
(
1 +
p′
α1(gp)
)1/p′
.
Встановимо оцiнку знизу величини En(Cψβ,p)C . З цiєю метою розглянемо функцiю
f∗(t) = f∗(ψ; p;n; t) =
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 cos kt, (46)
де
λ = λ(ψ; p;n) :=
1
ξ(p)
(
αn(gp)
p′ + αn(gp)
)1/p
, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, (47)
a величини ξ(p) i αn(gp) означенi формулами (15) i (33) вiдповiдно.
З умови
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞ випливає, що f∗ ∈ C. Покажемо, що
∥∥(f∗(t))ψβ
∥∥
p
≤ 1.
Оскiльки, згiдно з умовою теореми 1, gp ∈ M0, то функцiя ψp
′−1(t)tp
′−2 = gp
′−1
p (t)t−1/p
′
монотонно спадає до нуля. Згiдно з означенням (ψ, β)-похiдної, майже скрiзь виконується
рiвнiсть
(
f∗(t)
)ψ
β
=
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p ∞∑
k=n
ψp
′−1(k)kp
′−2 cos
(
kt+
βπ
2
)
. (48)
Покладаючи в умовах леми 1 ak = ψp
′−1(k)kp
′−2, γ =
βπ
2
, s = p, iз (48) i (35) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1668 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК∥∥(f∗)ψβ
∥∥
p
≤
≤ λξ(p)(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p
( ∞∑
k=n
(
ψp
′−1(k)kp
′−2)pkp−2 + ψ(p′−1)p(n)n(p
′−2)pnp−1
)1/p
=
= λξ(p)
1 +
ψp
′
(n)np
′−1∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
1/p
≤ λξ(p)
(
1 +
p′
αn(gp)
)1/p
= 1. (49)
З (49) випливає включення f∗ ∈ Cψβ,p.
Оскiльки послiдовнiсть αn(gp) монотонно не спадає, то на пiдставi (47)
λ ≥ 1
ξ(p)
(
α1(gp)
p′ + α1(gp)
)1/p
, n ∈ N,
i для функцiї f∗ має мiсце оцiнка
En(Cψβ,p)C ≥
∣∣f∗(0)− Sn−1(f∗, 0)
∣∣ =
=
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 = λ
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
≥
≥ K(1)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, n ∈ N, (50)
де
K
(1)
ψ,p =
1
ξ(p)
(
α1(gp)
p′ + α1(gp)
)1/p
.
Об’єднуючи (45), (47) i (50), отримуємо (10).
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. В ходi доведення теореми 1 за виконання її умов було показано, що для
довiльних n ∈ N виконується бiльш точна, порiвняно з (10), оцiнка
1
ξ(p)
(
αn(gp)
p′ + αn(gp)
)1/p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
≤ En(Cψβ,p)C ≤
≤ 1
π
ξ(p′)
(
p′ + αn(gp)
αn(gp)
)1/p′( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (51)
де ξ(p), 1 < p <∞, i αn(gp) — додатнi величини, що означаються за допомогою формул (15) i
(33) вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1669
Теорема 2. Нехай
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞, ψ(t) = gp(t)t
−1/p, де gp ∈ M0, 1 < p < ∞,
1
p
+
1
p′
= 1 i
α1(gp) = inf
t≥1
α(gp; t) >
p′
2
. (52)
Тодi для довiльних n ∈ N i β ∈ R мають мiсце спiввiдношення
K
(3)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
≤ En(Cψβ,p)C ≤ En(Cψβ,p)C ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (53)
в яких K(2)
ψ,p, K
(3)
ψ,p — додатнi величини, що залежать лише вiд ψ i p.
Доведення. Згiдно з теоремою 1, якщо ψ(t) = gp(t)t
−1/p, gp ∈ M0 i
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <
<∞, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, то iснує стала K(2)
ψ,p така, що при всiх n ∈ N i β ∈ R
En(Cψβ,p)C ≤ En(Cψβ,p)C ≤ K
(2)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (54)
Встановимо оцiнку знизу для величин En(Cψβ,p)C . Покладемо
Φp′(x) :=
∞∫
x
ψp
′
(t)tp
′−2dt
i
A(n) = A(ψ; p;n) :=
[
Φ−1p′
(
K∗
n
Φp′(n)
)]
+ 1, (55)
де [α] — цiла частина дiйсного числа α, Φ−1p′ — функцiя, обернена до Φp′ , a
K∗ = K∗(ψ; p) :=
1
2
(
1− p′
2α1(gp)
)
, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1. (56)
Розглянемо функцiю f∗ вигляду (46). Як зазначалось ранiше (див. (49)), f∗ ∈ Cψβ,p, 1 < p <∞.
Покажемо, що має мiсце оцiнка
En(f∗)C = inf
tn−1∈T2n−1
∥∥f∗(·)− tn−1(·)∥∥C ≥ K(3)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (57)
де K(3)
ψ,p — деяка додатна стала, що може залежати лише вiд ψ i p.
Розглянемо iнтеграл
I =
π∫
−π
(
f∗(t)− tn−1(t)
)(
VA(n)(t)− Vn−1(t)
)
dt, (58)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1670 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
де tn−1 ∈ T2n−1, Vm(t) — ядра Валле Пуссена вигляду
Vm(t) =
1
2
+
1
m
2m−1∑
k=m
k∑
j=1
cos jt, m ∈ N,
а послiдовнiсть A(n) означена формулою (55).
За твердженням Д.1.1 з [21, с. 391]
I ≤ ‖f∗(t)− tn−1(t)‖C‖VA(n)(t)− Vn−1(t)‖1. (59)
Встановимо оцiнку норми ‖VA(n)(t)− Vn−1(t)‖1. Вiдомо, що
Vm(t) = 2F2m−1(t)− Fm−1(t) (60)
(див., наприклад, [5, с. 28]), де Fk(t) — ядра Фейєра порядку k :
Fk(t) =
1
2
+
1
k + 1
k∑
ν=0
(
ν∑
j=1
cos jt
)
, k ∈ N.
Оскiльки (див., наприклад, [20, с. 148])
‖Fk(t)‖1 = π, k ∈ N, (61)
то з (60) i (61) отримуємо
‖Vm(t)‖1 ≤ 2‖F2m−1(t)‖1 + ‖Fm−1(t)‖1 ≤ 3π, m ∈ N.
Тому
‖VA(n)(t)− Vn−1(t)‖1 ≤ ‖VA(n)(t)‖1 + ‖Vn−1(t)‖1 ≤ 6π. (62)
З (59) i (62) маємо
I ≤ 6π‖f∗(t)− tn−1(t)‖C . (63)
Для ядер Vm(t) виконується рiвнiсть (див., наприклад, формулу (1.3.15) роботи [1, с. 31])
Vm(t) =
1
2
+
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
cos kt, m ∈ N,
а тому
VA(n)(t)− Vn−1(t) =
=
A(n)∑
k=n
cos kt+ 2
2A(n)−1∑
k=A(n)+1
(
1− k
2A(n)
)
cos kt− 2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
cos kt. (64)
Враховуючи очевиднi рiвностi
π∫
−π
cos kt cosmtdt =
0, k 6= m,
π, k = m,
k,m ∈ N,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1671
з формул (46), (58) i (64) одержуємо, що для довiльних tn−1 ∈ T2n−1
I =
π∫
−π
(f∗(t)− tn−1)
(
VA(n)(t)− Vn−1(t)
)
dt =
=
π∫
−π
f∗(t)
(
VA(n)(t)− Vn−1(t)
)
dt =
=
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p
π∫
−π
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 cos kt×
×
A(n)∑
k=n
cos kt+ 2
2A(n)−1∑
k=A(n)+1
(
1− k
2A(n)
)
cos kt− 2
2n−3∑
k=n
(
1− k
2n− 2
)
cos kt
dt =
=
πλ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p
A(n)∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 + 2
2A(n)−1∑
k=A(n)+1
ψp
′
(k)kp
′−2
(
1− k
2A(n)
)
−
−2
2n−3∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
(
1− k
2n− 2
))
>
>
πλ( ∞∑
k=n
ψp′(k)kp′−2
)1/p
A(n)∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 − 2
2n−3∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
(
1− k
2n− 2
). (65)
Встановимо оцiнку зверху для суми
∑2n−3
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
(
1 − k
2n− 2
)
. Враховуючи нерiв-
нiсть (35) та спадання функцiї ψp
′
(t)tp
′−2, маємо
2
2n−3∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
(
1− k
2n− 2
)
≤ ψp′(n)np
′−2 1
n− 1
2n−3∑
k=n
(2n− k − 2) =
= ψp
′
(n)np
′−2n− 2
2
<
1
2
ψp
′
(n)np
′−1 <
p′
2αn(gp)
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2. (66)
Беручи до уваги спiввiдношення (63), (65) i (66), записуємо
‖f∗(t)− tn−1(t)‖C ≥
1
6π
I ≥
≥ 1
6π
πλ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p
A(n)∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 − p′
2αn(gp)
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
>
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1672 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
>
1
6
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p
(1− p′
2αn(gp)
) ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 −
∞∑
k=A(n)+1
ψp
′
(k)kp
′−2
. (67)
Iз (55) та монотонного спадання функцiї Φp′(·) випливає, що
Φp′(A(n)) = Φp′
([
Φ−1p′
(
K∗
n
Φp′(n)
)]
+ 1
)
<
K∗
n
Φp′(n),
а тому
∞∑
k=A(n)+1
ψp
′
(k)kp
′−2 ≤
∞∫
A(n)
ψp
′
(t)tp
′−2dt = Φp′(A(n)) <
K∗
n
Φp′(n) ≤ K∗
n
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2,
(68)
при цьому з урахуванням (52) i (56) 0 < K∗ <
1
2
.
Iз (67) i (68) з урахуванням монотонного неспадання послiдовностi αn(gp) для полiнома
t∗n−1(t) найкращого рiвномiрного наближення функцiї f∗ отримуємо оцiнку
En(f∗)C = ‖f∗(t)− t∗n−1(t)‖C ≥
≥ 1
6
λ(∑∞
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p
(
1− p′
2αn(gp)
− K∗
n
) ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 ≥
≥ K(3)
ψ,p
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (69)
де
K
(3)
ψ,p =
1
12ξ(p)
(
α1(gp)
p′ + α1(gp)
)1/p(
1− p′
2α1(gp)
)
. (70)
Iз (69) випливає справедливiсть оцiнки (57). Об’єднуючи (54) i (57), одержуємо (53).
Теорему 2 доведено.
Зауваження 2. З (51) та ходу доведення теореми 2 випливає, що за виконання умов∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, ψ(t) = gp(t)t
−1
p , де gp ∈M0, 1 < p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, n ∈ N i
αn(gp) = inf
t≥n
α(gp; t) >
p′
2
,
для довiльного β ∈ R виконується бiльш точна, порiвняно з (53), оцiнка
1
12ξ(p)
(
αn(gp)
p′ + αn(gp)
)1/p(
1− p′
2αn(gp)
)( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
≤
≤ En(Cψβ,p)C ≤ En(Cψβ,p)C ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1673
≤ 1
π
ξ(p′)
(
p′ + αn(gp)
αn(gp)
)1/p′( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (71)
де ξ(p), 1 < p <∞, i αn(gp) — додатнi величини, означенi формулами (15) i (33) вiдповiдно.
Далi, як зазвичай прийнято, для послiдовностей A(n) > 0 i B(n) > 0 пiд записом
A(n) � B(n) будемо розумiти iснування сталих K1 > 0 i K2 > 0 таких, що K1B(n) ≤ A(n) ≤
≤ K2B(n), n ∈ N.
Iз теорем 1 i 2 безпосередньо випливає наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞, ψ(t) = gp(t)t
−1/p, де gp ∈ M0, 1 < p < ∞,
1
p
+
1
p′
= 1, n ∈ N i β ∈ R. Тодi
En(Cψβ,p)C �
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (72)
Якщо, крiм того, виконується умова (52), то
En(Cψβ,p)C � En(Cψβ,p)C �
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
. (73)
Припустимо, що виконуються умови наслiдку 1 i, крiм того, gp ∈MC . Тодi, як випливає зi
спiввiдношення (36),
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 � ψp′(n)np
′−1.
Отже, має мiсце таке твердження.
Наслiдок 2. Нехай
∑∞
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞, ψ(t) = gp(t)t
−1/p, де gp ∈ MC , 1 < p < ∞,
1
p
+
1
p′
= 1, n ∈ N i β ∈ R. Тодi
En(Cψβ,p)C � ψ(n)n1/p. (74)
Якщо, крiм того, виконується умова (52), то
En(Cψβ,p)C � En(Cψβ,p)C � ψ(n)n1/p. (75)
Справедливiсть порядкових оцiнок (74) i (75) встановлено в [15].
Зауважимо, що коли gp(t) ∈M0 i
lim
t→∞
α(gp; t) =∞, (76)
то порядковi оцiнки (74) i (75) не справджуються, оскiльки в цьому випадку виконується оцiнка
ψ(n)n1/p = o
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, n→∞,
яка є наслiдком нерiвностi (35) i того, що αn(gp(t))→∞ при n→∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1674 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Прикладом функцiй ψ(t), якi задовольняють умови наслiдку 1 i для яких виконується
умова (76), є функцiї
ψ(t) = t−1/p ln−γ(t+K), γ >
1
p′
, K ≥ eγp′/2. (77)
Для них
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 =
∞∑
k=1
1
k lnγp
′
(k +K)
<∞
i
gp(t) = ln−γ(t+K), g′p(t) = −γ ln−γ−1(t+K)
1
t+K
,
α(gp; t) =
ln(t+K)
γ
t+K
t
>
ln
(
t+ eγp
′/2
)
γ
,
а тому α(gp; t)→∞ при t→∞ i
α1(gp) >
p′
2
. (78)
Наведемо порядковi оцiнки величин En(Cψβ,p)C i En(Cψβ,p)C у випадку, коли ψ(t) мають
вигляд (77).
Наслiдок 3. Нехай ψ(t) = t−1/p ln−γ(t+K), γ >
1
p′
, K ≥ e
γp′
2 , 1 < p < ∞, 1
p
+
1
p′
= 1,
β ∈ R i n ∈ N. Тодi
En(Cψβ,p)C � En(Cψβ,p)C � ψ(n)n1/p ln1/p
′
n, n ≥ 2.
Доведення. З (43) i (78) одержуємо
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt ≤
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2 ≤ 3
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt. (79)
Згiдно з (73) i (79) для зазначених ψ
En(Cψβ,p)C � En(Cψβ,p)C �
( ∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
�
∞∫
n
ψp
′
(t)tp
′−2dt
1/p′
=
=
∞∫
n
dt
t lnγp
′
(t+K)
1/p′
� ln1/p′−γ n =
= ψ(n)n1/p ln1/p
′
n
ln−γ(n)
ln−γ(n+K)
� ψ(n)n1/p ln1/p
′
n, n ≥ 2.
Наслiдок 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1675
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40,
Ч. I. – 427 с.
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
3. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 c.
4. Степанец А. И., Сердюк А. С., Шидлич А. Л. Классификация бесконечно дифференцируемых функций // Укр.
мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – С. 1686 – 1708.
5. Temlyakov V. N. Approximation of periodic function. – Nova Sci. Publ., Inc., 1993. – 419 p.
6. Kolmogoroff A. Zur Grössennordnung des Restgliedes Fourierschen Reihen differenzierbarer Funktionen // Ann.
Math. – 1935. – 36, № 2. – S. 521 – 526.
7. Пинкевич В. Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1940. – 4, № 6. – С. 521 – 528.
8. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Cер.
мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207 – 256.
9. Favard J. Sur l’approximation des fonctions périodiques par les polynomes trigonométriques // C. r. Acad. sci. –
1936. – 203. – P. 1122 – 1124.
10. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, имеющих ограниченную s-ю
производную (0 < s < 1) // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1953. – 17. – С. 135 – 162.
11. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от
линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Мат. заметки. – 1974. – 16, № 5. – С. 691 – 701.
12. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими
полиномами // Изв. АН СССР. Cер. мат. – 1956. – 20. – С. 643 – 648.
13. Сунь Юн-шен. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими
полиномами // Изв. АН СССР. Cер. мат. – 1959. – 23, № 1. – С. 67 – 92.
14. Сердюк А. С., Соколенко I. В. Рiвномiрнi наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй лiнiйними
методами // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2011. – 8, № 1. – С. 181 – 189.
15. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 9. – С. 1186 – 1197.
16. Романюк В. С. Дополнения к оценкам приближения суммами Фурье классов бесконечно дифференцируемых
функций // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Пр. Iн-ту математики НАН України. –
2003. – 46. – С. 131 – 135.
17. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв
нескiнченно диференцiйовних функцiй // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. – С. 255 – 282.
18. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Оцiнки найкращих наближень класiв нескiнченно диференцiйовних функцiй у
рiвномiрнiй та iнтегральних метриках// Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 9. – С. 1244 – 1256.
19. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматиз, 1962. –
1100 с.
20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
21. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
Одержано 20.03.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2253 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:36Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1e/05bbcf14279d1cd47c9f82cea3be581e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22532019-12-05T10:27:15Z Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric Порядкові оцінки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є в рівномірній метриці класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. We obtain the exact-order estimates for the best uniform approximations and uniform approximations by Fourier sums in the classes of convolutions of periodic functions from the unit balls of the spaces $L_p, 1 ≤ p < ∞$, with generating kernel $Ψ_{β}$ for which the absolute values of its Fourier coefficients $ψ(k)$ are such that $∑_{k = 1}^{∞} ψ_p ′(k)k^{p ′ − 2} Получены точные по порядку оценки наилучших равномерных приближений и равномерных приближений суммами Фурье классов сверток периодических функций, принадлежащих единичным шарам пространств $L_p, 1 ≤ p < ∞$, с производящим ядром $Ψ_{β}$, модули $ψ(k)$ коэффициентов Фурье которого таковы, что$∑_{k = 1}^{∞} ψ_p ′(k)k^{p ′ − 2} Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2014-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2253 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 66 No. 12 (2014); 1658–1675 Український математичний журнал; Том 66 № 12 (2014); 1658–1675 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2253/1507 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2253/1508 Copyright (c) 2014 Serdyuk A. S.; Stepanyuk T. A. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric |
| title | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric |
| title_alt | Порядкові оцінки найкращих наближень та наближень
сумами Фур’є в рівномірній метриці класів згорток періодичних функцій невеликої гладкості |
| title_full | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric |
| title_fullStr | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric |
| title_full_unstemmed | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric |
| title_short | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums in the Classes of Convolutions of Periodic Functions of Low Smoothness in the Uniform Metric |
| title_sort | order estimates for the best approximations and approximations by fourier sums in the classes of convolutions of periodic functions of low smoothness in the uniform metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2253 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsintheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothnessintheuniformmetric AT stepanyukta orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsintheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothnessintheuniformmetric AT serdûkas orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsintheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothnessintheuniformmetric AT stepanûkta orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsintheclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsoflowsmoothnessintheuniformmetric AT serdyukas porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹtanabliženʹsumamifurêvrívnomírníjmetricíklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí AT stepanyukta porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹtanabliženʹsumamifurêvrívnomírníjmetricíklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí AT serdûkas porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹtanabliženʹsumamifurêvrívnomírníjmetricíklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí AT stepanûkta porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹtanabliženʹsumamifurêvrívnomírníjmetricíklasívzgortokperíodičnihfunkcíjnevelikoígladkostí |