Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup
UDC 512.542 Let $\Bbb P$ be the set of all primes. A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\Bbb P$-subnormal, if either $H = G$ or there exists a chain of subgroups $H = H_0\le H_1\le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}|\in \Bbb P,$ $1\le i\le n.$We prove that any finite group...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2264 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508217191170048 |
|---|---|
| author | Kniahina , V. N. Monakhov , V. S. Княгіна , В. М. Монахов , В. С. Monakhov, Victor |
| author_facet | Kniahina , V. N. Monakhov , V. S. Княгіна , В. М. Монахов , В. С. Monakhov, Victor |
| author_sort | Kniahina , V. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:43Z |
| description | UDC 512.542
Let $\Bbb P$ be the set of all primes. A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\Bbb P$-subnormal, if either $H = G$ or there exists a chain of subgroups $H = H_0\le H_1\le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}|\in \Bbb P,$ $1\le i\le n.$We prove that any finite group with a $\Bbb P$-subnormal Sylow $p$-subgroup of odd order is $p$-solvability and any group with $\Bbb P$-subnormal generalized Schmidt subgroups is metanilpotent.
  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i10.2264 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i10.2264
УДК 512.542
В. М. Княгiна, В. С. Монахов (Гомел. держ. ун-т iм. Ф. Скорини, Бiлорусь)
CКIНЧЕННI ГРУПИ З \BbbP -СУБНОРМАЛЬНОЮ СИЛОВСЬКОЮ ПIДГРУПОЮ
Let \BbbP be the set of all primes. A subgroup H of a finite group G is called \BbbP -subnormal, if either H = G or there exists
a chain of subgroups H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Hn = G such that | Hi : Hi - 1| \in \BbbP , 1 \leq i \leq n. We prove that any finite
group with a \BbbP -subnormal Sylow p-subgroup of odd order is p-solvability and any group with \BbbP -subnormal generalized
Schmidt subgroups is metanilpotent.
Нехай \BbbP — множина всiх простих чисел. Пiдгрупа H скiнченної групи G називається \BbbP -субнормальною, якщо
або H = G, або iснує такий ряд пiдгруп H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Hn = G, що | Hi : Hi - 1| \in \BbbP , 1 \leq i \leq n.
Встановлено p-розв’язнiсть скiнченних груп iз \BbbP -субнормальною силовською p-пiдгрупою непарного порядку i
доведено метанiльпотентнiсть груп iз \BbbP -субнормальними узагальненими пiдгрупами Шмiдта.
Вступ. Всi розглядуванi групи вважаються скiнченними. Використовуванi позначення та тер-
мiнологiя вiдповiдають [1, 2]. Множину всiх простих чисел позначено через \BbbP .
А. Ф. Васильєв, Т. I. Васильєва та В. М. Тютянов [3] ввели таке поняття. Пiдгрупа H
групи G називається \BbbP -субнормальною, якщо або H = G, або iснує ланцюжок пiдгруп
H = H0 \leq H1 \leq . . . \leq Hn = G
такий, що | Hi : Hi - 1| \in \BbbP для будь-якого i = 1, 2, . . . , n.
Групи з системами \BbbP -субнормальних пiдгруп вивчались у багатьох роботах (див. бiблiогра-
фiю в [4 – 7]). Зокрема, групи, в яких усi силовськi пiдгрупи \BbbP -субнормальнi, досить детально
описано в [3 – 6]. В. М. Тютянов [7], використовуючи класифiкацiю скiнченних простих груп,
отримав розв’язнiсть групи, в якiй всi пiдгрупи Шмiдта \BbbP -субнормальнi.
У цiй статтi встановлено p-розв’язнiсть груп iз \BbbP -субнормальною силовською p-пiдгрупою
непарного порядку й доведено метанiльпотентнiсть груп iз \BbbP -субнормальними узагальненими
пiдгрупами Шмiдта.
1. Попереднi результати. Нагадаємо деякi позначення. Напiвпрямий добуток двох пiдгруп
A i B з нормальною пiдгрупою A записується як [A]B. Центр, комутант, пiдгрупи Фраттiнi
та Фiттiнга групи G позначаються вiдповiдно через Z(G), G\prime , \Phi (G) i F (G). Якщо \pi \subseteq \BbbP ,
то \pi \prime = \BbbP \setminus \pi , а \pi (G) — множина простих дiльникiв порядку групи G. При | \pi (G)| = 1 група G
називається примарною.
Введемо такi позначення: Zm — циклiчна група порядку m; Epm — елементарна абелева
група порядку pm; Sn i An — симетрична i знакозмiнна групи степеня n.
Група G з нормальною силовською p-пiдгрупою Gp називається p-замкненою. Якщо в гру-
пi G є нормальна пiдгрупа Gp\prime така, що G = [Gp\prime ]Gp, то група G називається p-нiльпотентною.
Наведемо твердження, якi будемо використовувати у цiй статтi.
Лема 1.1 ([4], леми 3, 4). Нехай N — нормальна пiдгрупа групи G, H — довiльна пiдгрупа.
Тодi справедливi такi твердження:
1) якщо H \BbbP -субнормальна в G, то H \BbbP -субнормальна в HN, (H \cap N) \BbbP -субнормальна в
N i HN/N \BbbP -субнормальна в G/N ;
2) якщо N \leq H i H/N \BbbP -субнормальна в G/N, то H \BbbP -субнормальна в G;
c\bigcirc В. М. КНЯГIНА, В. С. МОНАХОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10 1365
1366 В. М. КНЯГIНА, В. С. МОНАХОВ
3) якщо H \BbbP -субнормальна в пiдгрупi K i K \BbbP -субнормальна в G, то H \BbbP -субнормальна
в G;
4) якщо H — пiдгрупа розв’язної групи G i A — \BbbP -субнормальна в G пiдгрупа, то (A\cap H)
\BbbP -субнормальна в H .
Лема 1.2 ([4], лема 8). Нехай p — найбiльший простий дiльник порядку групи G i A —
деяка p-пiдгрупа з G. Якщо A \BbbP -субнормальна в G, то A субнормальна в G.
Введемо таку множину простих неабелевих груп: T = \{ PSL(2, 7), PSL(2, 11), SL(3, 3),
SL(3, 5), L(2, 2n), 2n + 1 = p — просте число\} .
Лема 1.3 ([7], лема 1.1, [8, с. 342]). Якщо G — проста неабелева група, а її одинична пiд-
група \BbbP -субнормальна, то G iзоморфна групi з T.
Ненiльпотентна група, всi власнi пiдгрупи якої нiльпотентнi, називається групою Шмiдта.
Огляд результатiв щодо груп Шмiдта та їхнi застосування в теорiї класiв скiнченних груп
наведено в [9, 10]. Я. Г. Беркович i З. Янко запропонували [11, с. 461] називати B-групою
групу, фактор-група якої за пiдгрупою Фраттiнi є групою Шмiдта. B-групи називають також
узагальненими групами Шмiдта. Наслiдуючи [10], групу Шмiдта з нормальною силовською
p-пiдгрупою та ненормальною силовською q-пiдгрупою будемо називати S\langle p,q\rangle -групою. B-
групу G, в якiй G/\Phi (G) є S\langle p,q\rangle -групою, будемо називати B\langle p,q\rangle -групою. Зрозумiло, що будь-
яка S\langle p,q\rangle -група буде B\langle p,q\rangle -групою. Дiедральна група порядку 18 є B\langle 3,2\rangle -групою i не є групою
Шмiдта.
Окремим випадком груп Шмiдта є групи типу A. Групою типу A називають ненiльпотентну
групу, всi власнi пiдгрупи якої примарнi. З властивостей груп Шмiдта [9, 10] випливає, що
фактор-група будь-якої групи Шмiдта за своєю пiдгрупою Фраттiнi є групою типу A. Тому B-
групу можна визначити як групу, в якiй фактор-група за пiдгрупою Фраттiнi є групою типу A.
Лема 1.4 [10, c. 83]. Якщо S — група типу A, то справедливi такi твердження:
1) S = [P ]Q, де P — нормальна силовська p-пiдгрупа, Q — ненормальна силовська q-
пiдгрупа, p i q — рiзнi простi числа;
2) Q — циклiчна пiдгрупа простого порядку q i Q дiє незвiдно на P ;
3) P — елементарна абелева пiдгрупа порядку pm, де m — показник числа p за модулем q,
пiдгрупа P є мiнiмальною нормальною пiдгрупою групи S;
4) Z(S) = \Phi (S) = 1; S\prime = P.
Лема 1.5. Нехай B — B\langle p,q\rangle -група, P i Q — її силовськi p- i q-пiдгрупи. Тодi справедливi
такi твердження:
1) B = [P ]Q;
2) P \cap \Phi (B) = \Phi (P ), P = B\prime i P/\Phi (P ) — головний фактор групи B порядку pm, де m —
показник числа p за модулем q;
3) Q = \langle y\rangle — циклiчна пiдгрупа i yq \in Z(B). Крiм того, \Phi (B) = \Phi (P ) \times \langle yq\rangle i Z(B) \leq
\leq \Phi (B);
4) якщо H — нормальна в B пiдгрупа i H \not = B, то H нiльпотентна;
5) якщо M — максимальна в B пiдгрупа, то або M нормальна в B i M = P \times \langle yq\rangle , або
M = [\Phi (P )]Qx для деякого x \in B.
Доведення. 1. Згiдно з [1] (4.33) \pi (B) = \pi (B/\Phi (B)), тому \pi (B) = \{ p, q\} . Оскiльки
P\Phi (B)/\Phi (B) нормальна в B/\Phi (B), то P нормальна в B i B = [P ]Q.
2. За лемою 1.4 (2) у фактор-групi B/\Phi (B) силовська q-пiдгрупа має простий порядок. З
[5] (2.11) випливає, що Q циклiчна, тому B\prime \leq P. За властивостями комутанта [1] (4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
CКIНЧЕННI ГРУПИ З \BbbP -СУБНОРМАЛЬНОЮ СИЛОВСЬКОЮ ПIДГРУПОЮ 1367
(B/\Phi (B))\prime = B\prime \Phi (B)/\Phi (B),
а оскiльки комутант групи типу A за лемою 1.4 (4) збiгається з нормальною силовською пiд-
групою, то B\prime \Phi (B) = P\Phi (B). Оскiльки P \cap \Phi (B) = \Phi (P ) [5] (2.10), то B\prime \Phi (P ) = P\Phi (P ) i
B\prime = P.
Пiдгрупа P\Phi (B)/\Phi (B) за лемою 1.4 (3) є мiнiмальною нормальною пiдгрупою групи
B/\Phi (B). Iзоморфiзм
P\Phi (B)/\Phi (B) \simeq P/\Phi (P )
є B-iзоморфiзмом, тому P/\Phi (P ) — головний фактор групи B. Згiдно з лемою 1.4 (3) вiн має
порядок pm, де m — показник числа p за модулем q.
3. У п. 2 доведено, що Q = \langle y\rangle — циклiчна пiдгрупа. Оскiльки | Q\Phi (B)/\Phi (B)| = q, то
| Q : Q \cap \Phi (B)| = q, Q \cap \Phi (B) = \langle yq\rangle .
Пiдгрупа Q не мiститься в \Phi (B), а максимальна пiдгрупа \langle yq\rangle з Q мiститься в \Phi (B), тому
\Phi (B) = \Phi (P )\times \langle yq\rangle , \langle yq\rangle \lhd B.
Оскiльки P \langle yq\rangle = P \times \langle yq\rangle , то \langle yq\rangle — силовська q-пiдгрупа в Z(B). За лемою 1.4 (4)
Z(B/\Phi (B)) = 1, отже, Z(B) \leq \Phi (B).
4. Нехай H — нормальна в B пiдгрупа i H \not = B. Тодi H\Phi (B) \not = B i H\Phi (B)/\Phi (B)
нiльпотентна. Згiдно з [1] (3.24) пiдгрупа H нiльпотентна.
5. Нехай M — максимальна в B пiдгрупа. Оскiльки B розв’язна i \pi (B) = \{ p, q\} , то або | B :
M | = qb, або | B : M | = pa, a, b \in \BbbN . Якщо | B : M | = qb, то P \leq M, а оскiльки P = B\prime , то M
нормальна в B, b = 1 i M = P \times \langle yq\rangle . Тепер розглянемо випадок, коли | B : M | = pa. Оскiльки
M/\Phi (B) нiльпотентна i | B/\Phi (B) : M/\Phi (B)| = pa, то з леми 1.4 (3) випливає, що M/\Phi (B) —
q-пiдгрупа й a — показник p за модулем q. Тому M = [\Phi (P )]Qx для деякого x \in B.
Лема 1.6. Нехай U — нормальна пiдгрупа в групi V i V/U є B\langle p,q\rangle -групою. Якщо H —
найменша в V пiдгрупа така, що HU = V, то H буде B\langle p,q\rangle -групою.
Доведення. Згiдно з [1] (3.21) H \cap U \leq \Phi (H), тому
\Phi (H/H \cap U) = \Phi (H)/(H \cap U).
Нехай B \simeq V/U \simeq H/(H \cap U) — B\langle p,q\rangle -група. Тодi
B/\Phi (B) \simeq (H/H \cap U)/\Phi (H/H \cap U) = (H/(H \cap U))/(\Phi (H)/H \cap U) \simeq H/\Phi (H)
буде S\langle p,q\rangle -групою. А це означає, що H — B\langle p,q\rangle -група.
Лема 1.7. Нехай у групi G всi B-пiдгрупи \BbbP -субнормальнi i N — нормальна пiдгрупа групи
G. Тодi справедливi такi твердження:
1) у пiдгрупi N всi B-пiдгрупи \BbbP -субнормальнi;
2) у фактор-групi G/N всi B-пiдгрупи \BbbP -субнормальнi;
3) якщо група G розв’язна i H — пiдгрупа з G, то в H всi B-пiдгрупи \BbbP -субнормальнi.
Доведення. 1. Твердження випливає з леми 1.1 (1).
2. Нехай K/N — B\langle p,q\rangle -пiдгрупа з G/N. За лемою 1.6 в K iснує така B\langle p,q\rangle -пiдгрупа L,
що K = LN. За умовою пiдгрупа L \BbbP -субнормальна в G. З леми 1.1 (1) випливає, що K/N
\BbbP -субнормальна в G/N.
3. Нехай G розв’язна, H — пiдгрупа з G i A — B\langle p,q\rangle -пiдгрупа з H. За умовою пiдгрупа A
\BbbP -субнормальна в G. За лемою 1.1 (4) пiдгрупа A = H \cap A \BbbP -субнормальна в H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1368 В. М. КНЯГIНА, В. С. МОНАХОВ
Лема 1.8. 1. Якщо в групi G немає B\langle p,q\rangle -пiдгруп для всiх q \in \pi (G), то група G p-
нiльпотентна.
2. Якщо в групi G немає 2-нiльпотентних B-пiдгруп парного порядку, то група G 2-
замкнена.
Доведення. 1. Скористаємось iндукцiєю за порядком групи. Якщо H — власна в G пiдгру-
па, то H задовольняє умову леми й за iндукцiєю H p-нiльпотентна. Тепер згiдно з [2] (IV.5.4)
група G або p-нiльпотентна, або є p-замкненою групою Шмiдта, а отже, й B-групою. Останнє
виключається умовою.
2. За умовою в групi G немає 2-нiльпотентних B-пiдгруп парного порядку. Тому в нiй
немає й 2-нiльпотентних пiдгруп Шмiдта парного порядку. Згiдно з лемою 2.3 з [12] група G
2-замкнена.
2. Групи з \BbbP -субнормальною силовською пiдгрупою.
Теорема 2.1. Якщо в групi G силовська p-пiдгрупа \BbbP -субнормальна i p > 2, то G p-
розв’язна.
Доведення. Скористаємось iндукцiєю за порядком групи. Нехай P — силовська p-пiдгрупа,
p > 2, за умовою P \BbbP -субнормальна в G. Тодi P мiститься в пiдгрупi M простого iндексу r,
r \in \pi (G) \setminus \{ p\} , i P \BbbP -субнормальна в M. За iндукцiєю пiдгрупа M p-розв’язна.
Припустимо, що G — проста група. Зображення групи G на множинi лiвих сумiжних класiв
за пiдгрупою M буде [2] (I.6.2) точним степеня r i група G iзоморфна пiдгрупi симетричної
групи Sr степеня r. Тому r — найбiльше в \pi (G) i силовська r-пiдгрупа R в групi G має
простий порядок r. Пiдгрупа R не \BbbP -субнормальна в G за лемою 1.2. Оскiльки одинична
пiдгрупа \BbbP -субнормальна в P, то одинична пiдгрупа також \BbbP -субнормальна в G i група G
iзоморфна за лемою 1.3 однiй iз груп множини T.
Якщо G \sim = PSL(2, 7), то | PSL(2, 7)| = 23 \cdot 3 \cdot 7, r = 7, p = 3, P — силовська 3-пiдгрупа,
\BbbP -субнормальна в M \sim = S4 [14]. За лемою 1.2 пiдгрупа P нормальна в M, суперечнiсть. Тому
iзоморфiзм G \sim = PSL(2, 7) виключається.
Якщо G \sim = PSL(2, 11), то | PSL(2, 11)| = 22 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11, r = 11, p = 3 або p = 5, i
M \sim = A5 [14]. Проте A5 не 3-розв’язна й не 5-розв’язна. Тому iзоморфiзм G \sim = PSL(2, 11)
виключається.
Якщо G \sim = SL(3, 3), то | SL(3, 3)| = 24 \cdot 33 \cdot 13, r = 13, p = 3 i M \sim = [E9]GL(2, 3) [14]. За
лемою 1.2 силовська 3-пiдгрупа P нормальна в M, суперечнiсть. Тому iзоморфiзм G \sim = SL(3, 3)
виключається.
Якщо G \sim = SL(3, 5), то | SL(3, 5)| = 25 \cdot 3 \cdot 53 \cdot 31, r = 31, p = 3 або p = 5 i M \sim =
\sim = [E52 ]GL(2, 5) [14]. Оскiльки пiдгрупа M p-розв’язна для p = 3 або для p = 5, то M
має бути розв’язною. Проте GL(2, 5) не розв’язна, тому iзоморфiзм G \sim = SL(3, 5) виключа-
ється.
Лишився випадок, коли G \sim = SL(2, 2n), де 2n + 1 — просте число Ферма. Оскiльки
| SL(2, 2n)| = 2n \cdot (2n - 1)(2n + 1), то r = 2n + 1 i | M | = 2n \cdot (2n - 1), тобто p дiлить 2n - 1.
Пiдгрупа M є [2] (II.8.27) нормалiзатором силовської 2-пiдгрупи i M = [E2n ]Z2n - 1. Згiдно
з лемою 1.1 (4) пiдгрупа P \BbbP -субнормальна в [E2n ]P i E2n \times P нiльпотентна за лемою 1.2.
Але в M = [E2n ]Z2n - 1 це неможливо [2] (II.8.27). Тому iзоморфiзм G \sim = SL(2, 2n) виключа-
ється.
Отже, група G не є простою. Нехай N — неодинична нормальна в G пiдгрупа. Тодi P \cap N —
силовська p-пiдгрупа групи N i P \cap N \BbbP -субнормальна в N за лемою 1.1 (1). За iндук-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
CКIНЧЕННI ГРУПИ З \BbbP -СУБНОРМАЛЬНОЮ СИЛОВСЬКОЮ ПIДГРУПОЮ 1369
цiєю N p-розв’язна. Фактор-група PN/N є силовською p-пiдгрупою групи G/N i PN/N
\BbbP -субнормальна в G/N за лемою 1.1 (1). За iндукцiєю G/N p-розв’язна. Тому G p-розв’язна.
Наслiдок 2.1. Якщо в групi G силовська 3-пiдгрупа i силовська 5-пiдгрупа \BbbP -субнормальнi,
то G розв’язна.
Доведення. За теоремою 2.1 група G 3- i 5-розв’язна. Тому iснує нормальний ряд, фактори
якого є 3-, 5- або \{ 3, 5\} \prime -групами. Оскiльки \{ 3, 5\} \prime -групи [13] розв’язнi, то група G розв’язна.
Наслiдок 2.2. Нехай G — проста неабелева група i r \in \pi (G). У групi G iснує \BbbP -субнор-
мальна пiдгрупа порядку r тодi i тiльки тодi, коли виконується одне з таких тверджень:
1) r = 2 i G — будь-яка група з T;
2) r = 3 i G \sim = SL(3, 3);
3) r = 5 i G \sim = SL(3, 5).
Доведення. Оскiльки одинична пiдгрупа \BbbP -субнормальна, то G належить множинi T. У
кожнiй групi з T є \BbbP -субнормальна пiдгрупа порядку 2. Тому вважаємо, що r > 2, i нехай R —
\BbbP -субнормальна пiдгрупа порядку r. Якщо силовська пiдгрупа непарного порядку має простий
порядок, то за теоремою 2.1 вона не \BbbP -субнормальна в групi. Тому в групах PSL(2, 7) i
PSL(2, 11) немає \BbbP -субнормальних пiдгруп простого непарного порядку. У групi SL(3, 3) є
\BbbP -субнормальна пiдгрупа порядку 3, а в групi SL(3, 5) є \BbbP -субнормальна пiдгрупа порядку 5.
Нехай G \sim = SL(2, 2n), 2n+1 = p — просте число. Оскiльки | SL(2, 2n)| = 2n \cdot (2n - 1)(2n+1),
то p найбiльше i p — порядок силовської p-пiдгрупи. За теоремою 2.1 в SL(2, 2n) немає \BbbP -
субнормальних пiдгруп порядку p. Тому r дiлить 2n - 1. Нехай M — пiдгрупа простого iндексу
в SL(2, 2n), в якiй пiдгрупа R \BbbP -субнормальна. Тодi | SL(2, 2n) : M | = p, пiдгрупа M є [2]
(II.8.27) нормалiзатором силовської 2-пiдгрупи i M = [E2n ]Z2n - 1. Згiдно з лемою 1.1 (4) пiдгру-
па R \BbbP -субнормальна в [E2n ]R та E2n\times R нiльпотентна за лемою 1.2. Проте в M = [E2n ]Z2n - 1
це неможливо [2] (II.8.27). Тому в SL(2, 2n) немає \BbbP -субнормальних пiдгруп простого непар-
ного порядку.
3. Групи з \BbbP -субнормальними \bfitB -пiдгрупами.
Теорема 3.1. 1. Нехай p — найбiльший простий дiльник порядку групи G. Якщо в групi
G кожна B\langle p,q\rangle -пiдгрупа \BbbP -субнормальна для всiх q \in \pi (G), то G/Op(G) p-нiльпотентна;
зокрема, група G p-розв’язна.
2. Нехай G — група i p \in \pi (G) \setminus \{ 2, 3, 5\} . Якщо в групi G кожна B\langle p,q\rangle -пiдгрупа \BbbP -
субнормальна для всiх q \in \pi (G), то група G p-розв’язна.
3. Якщо в групi G всi надрозв’язнi B-пiдгрупи \BbbP -субнормальнi, то G надрозв’язна.
4. Якщо в групi G кожна B-пiдгрупа \BbbP -субнормальна, то G метанiльпотентна.
Доведення. 1. Якщо в групi G немає B\langle p,q\rangle -пiдгруп для всiх q \in \pi (G), то за лемою 1.8 (1)
група G p-нiльпотентна i твердження справедливе. Нехай у групi G мiститься B\langle p,q\rangle -пiдгрупа B,
де p — найбiльший простий дiльник порядку групи G i q \in \pi (G). Згiдно з твердженнями 1 – 3
леми 1.5 група B = [P ]Q, де P — нормальна силовська p-пiдгрупа, Q — циклiчна силовська
q-пiдгрупа. За умовою пiдгрупа [P ]Q \BbbP -субнормальна в G, а за лемою 1.5 (1) пiдгрупа P
\BbbP -субнормальна в [P ]Q. Тепер за лемою 1.1 (3) пiдгрупа P \BbbP -субнормальна в G. Оскiльки p
найбiльше в \pi (G), то за лемою 1.2 пiдгрупа P субнормальна в G i P \leq Op(G). Отже, група
G не проста i N = Op(G) \not = 1.
Розглянемо фактор-групу G/N. Очевидно, що Op(G/N) = 1. Припустимо, що G/N мiс-
тить B\langle p,q\rangle -пiдгрупу K/N для деякого q \in \pi (G). За лемою 1.6 мiнiмальний додаток L до
пiдгрупи N в групi K буде B\langle p,q\rangle -пiдгрупою. За умовою пiдгрупа L \BbbP -субнормальна в G,
а за лемою 1.1 (1) фактор-група K/N = LN/N \BbbP -субнормальна в G/N. Тепер силовська
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
1370 В. М. КНЯГIНА, В. С. МОНАХОВ
p-пiдгрупа A/N з K/N буде \BbbP -субнормальною в G/N за лемою 1.5 (1), а пiдгрупа A/N —
субнормальною в G/N за лемою 1.2. Тому A/N \leq Op(G/N) = 1, суперечнiсть. Отже, G/N
не мiстить B\langle p,q\rangle -пiдгруп. За лемою 1.8 (1) фактор-група G/N p-нiльпотентна, тому G p-
розв’язна. Твердження 1 доведено.
2. Якщо в G немає B\langle p,q\rangle -пiдгруп для всiх q \in \pi (G), то група G p-нiльпотентна за ле-
мою 1.8 (1), а отже, й p-розв’язна. Тому слiд вважати, що в групi G є B\langle p,q\rangle -пiдгрупа [P ]Q
для деякого q \in \pi (G). Пiдгрупа Z простого порядку з P буде \BbbP -субнормальною в G за ле-
мою 1.1 (3). Оскiльки p > 5, то за наслiдком 2.2 група G не є простою. Нехай N — нормальна
в G пiдгрупа, 1 \not = N \not = G, i B — B\langle p,q\rangle -пiдгрупа, B \leq N. За умовою B \BbbP -субнормальна в G.
За лемою 1.1 (1) пiдгрупа B \BbbP -субнормальна в N. За iндукцiєю пiдгрупа N p-розв’язна. Не-
хай D/N — довiльна B\langle p,q\rangle -пiдгрупа в G/N i H — найменша в D пiдгрупа така, що HN = D.
За лемою 1.6 пiдгрупа H буде B\langle p,q\rangle -пiдгрупою. За умовою H \BbbP -субнормальна в G. За ле-
мою 1.1 (1) пiдгрупа HN/N = D/N \BbbP -субнормальна в G/N. За iндукцiєю фактор-група G/N
p-розв’язна. Тому група p-розв’язна. Твердження 2 доведено.
3. Якщо в групi G немає надрозв’язних B-пiдгруп, то в G немає надрозв’язних пiдгруп
Шмiдта i група G розв’язна [15] (лема 4). Тому в групi G є надрозв’язнi B-пiдгрупи.
Припустимо, що група є простою. Тодi G iзоморфна групi з T. За лемою 1.2 для най-
бiльшого простого p \in \pi (G) силовська p-пiдгрупа не \BbbP -субнормальна в G. В PSL(2, 7) є
група Шмiдта S порядку 21, вона надрозв’язна, максимальна, а її iндекс дорiвнює 8. Тому S
не \BbbP -субнормальна в PSL(2, 7). В PSL(2, 11) є група Шмiдта S порядку 55 i силовська
11-пiдгрупа буде \BbbP -субнормальною в PSL(2, 11). Проте 11 — найбiльше в \pi (PSL(2, 11)),
суперечнiсть. В SL(3, 3) є група Шмiдта S порядку 39, i її силовська 13-пiдгрупа має бути
\BbbP -субнормальною в PSL(3, 3), суперечнiсть з лемою 1.2. В SL(3, 5) є група Шмiдта S по-
рядку 93, i за лемою 1.2 її силовська 31-пiдгрупа не може бути \BbbP -субнормальною в PSL(3, 3).
В групi SL(2, 2n), де 2n + 1 = p — просте число Ферма, є [2] (II.8.27) дiедральна пiдгрупа
порядку 2p. Вона є надрозв’язною пiдгрупою Шмiдта, й за лемою 1.2 її силовська p-пiдгрупа
не може бути \BbbP -субнормальною в SL(2, 2n).
Таким чином, група G не є простою. Нехай N — нормальна в G пiдгрупа, 1 \not = N \not = G,
i X — її довiльна надрозв’язна B-пiдгрупа. За умовою X \BbbP -субнормальна в G. За лемою 1.1 (1)
пiдгрупа X \BbbP -субнормальна в N. За iндукцiєю пiдгрупа N розв’язна. Нехай Y/N — довiльна
надрозв’язна B-пiдгрупа в G/N i H — найменша в Y пiдгрупа така, що HN = Y. За лемою 1.6
пiдгрупа H буде надрозв’язною B-пiдгрупою. За умовою H \BbbP -субнормальна в G. За ле-
мою 1.1 (1) пiдгрупа HN/N = Y/N \BbbP -субнормальна в G/N. За iндукцiєю фактор-група G/N
розв’язна. Тому група розв’язна. Твердження 3 доведено.
4. Згiдно з твердженням 3 група G розв’язна. Згiдно з твердженнями 1 – 3 леми 1.7 у кожнiй
пiдгрупi i в кожнiй фактор-групi G/N всi B-пiдгрупи \BbbP -субнормальнi. За iндукцiєю H i G/N
метанiльпотентнi для кожної власної пiдгрупи H i кожної нормальної в G пiдгрупи N, 1 \not = N \not =
\not = G. Тому група G примiтивна i є мiнiмальною неметанiльпотентною групою. Згiдно з лемою 3
з [16] фактор-група G/F (G) є групою Шмiдта. Оскiльки F (G) — мiнiмальна нормальна в G
пiдгрупа i G = [F (G)]M для деякої максимальної пiдгрупи M, то M — група Шмiдта. За
умовою пiдгрупа M \BbbP -субнормальна в G. Тому | F (G)| — просте число i M абелева.
Вимогу „p — найбiльший простий дiльник порядку групи G” вiдкинути не можна. Пiд-
твердженням є проста група SL(2, 4) при p = 2. У цiй групi кожна B\langle 2,q\rangle -пiдгрупа iзоморфна
знакозмiннiй групi A4 степеня 4, яка \BbbP -субнормальна в SL(2, 4). Вiдповiдний ланцюг має
вигляд A4 \leq SL(2, 4), | SL(2, 11) : A4| = 5.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
CКIНЧЕННI ГРУПИ З \BbbP -СУБНОРМАЛЬНОЮ СИЛОВСЬКОЮ ПIДГРУПОЮ 1371
Лiтература
1. В. С. Монахов, Введение в теорию конечных групп и их классов, Вышэйш. шк., Минск (2006).
2. B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer, Berlin etc. (1967).
3. А. Ф. Васильев, Т. И. Васильева, В. Н. Тютянов, О конечных группах сверхразрешимого типа, Сиб. мат. журн.,
51, № 6, 1270 – 1281 (2010).
4. V. N. Kniahina, V. S. Monakhov, Finite groups with \BbbP -subnormal subgroups, Ric. Mat., 62, № 2, 307 – 322 (2013).
5. V. N. Kniahina, V. S. Monakhov, On supersolvability of finite groups with \BbbP -subnormal subgroups, Int. J. Group
Theory, 2, № 4, 21 – 29 (2013).
6. В. С. Монахов, Конечные группы с абнормальными и U-субнормальными подгруппами, Сиб. мат. журн., 57,
№ 2, 447 – 462 (2016).
7. В. Н. Тютянов, Конечные группы с \BbbP -субнормальными подгруппами Шмидта, Проблемы физики, математики
и техники, № 1 (22), 88 – 91 (2015).
8. P. J. Cameron, R. Solomon, Chains of subgroups in symmetric groups, J. Algebra, № 127, 340 – 352 (1989).
9. Н. Ф. Кузенный, С. С. Левищенко, Конечные группы Шмидта и их обобщения, Укр. мат. журн., 43, № 7-8,
963 – 968 (1991).
10. В. С. Монахов, Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения, Укр. мат. конгр.: сб. тр.,
Ин-т математики НАН Украины, Киев (2002), c. 81 – 90.
11. Y. G. Berkovich, Z. Janko, Groups of prime power order, Vol. 3, Walter de Gruyter (2011).
12. В. Н. Княгина, В. С. Монахов, Е. В. Зубей, О разрешимости конечной группы с S -полунормальными подгруп-
пами Шмидта, Укр. мат. журн., 70, № 11, 1511 – 1518 (2018).
13. D. Gorenstein, Finite simple groups. An introduction to their classification, Plenum Publ. Corp., New York (1982).
14. J. H. Conway, Atlas of finite groups, Clarendon, London (1985).
15. В. С. Монахов, О конечных группах с заданным набором подгрупп Шмидта, Мат. заметки, 58, № 5, 717 – 722
(1995).
16. В. С. Монахов, О группах с формационно субнормальными 2-максимальными подгруппами, Мат. заметки, 105,
№ 2, 269 – 277 (2019).
Одержано 07.12.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2264 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:42Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8e/4f96b1af335ffc2e5b572362fafeb28e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22642025-03-31T08:49:43Z Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup Cкiнченнi групи з $\Bbb P$-субнормальною силовською підгрупою Cкiнченнi групи з $\Bbb P$-субнормальною силовською підгрупою Kniahina , V. N. Monakhov , V. S. Княгіна , В. М. Монахов , В. С. Monakhov, Victor скінченна група підгрупа Шмідта силівська підгрупа UDC 512.542 Let $\Bbb P$ be the set of all primes. A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\Bbb P$-subnormal, if either $H = G$ or there exists a chain of subgroups $H = H_0\le H_1\le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}|\in \Bbb P,$ $1\le i\le n.$We prove that any finite group with a $\Bbb P$-subnormal Sylow $p$-subgroup of odd order is $p$-solvability and any group with $\Bbb P$-subnormal generalized Schmidt subgroups is metanilpotent.   УДК 512.542 Пусть~$\Bbb P$~--- множество всех простых чисел.Подгруппа $H$ конечной группы~$G$ называется $\Bbb P$\nobreakdash-\hspace{0pt}{\slсубнормальной},если либо $H=G$, либо существует цепочка подгрупп $H=H_0\le H_1\le \ldots \le H_n=G$такая, что $|H_i:H_{i-1}|\in \Bbb P$, $\forall i$.Устанавливается $p$-разрешимость конечной группы с $\Bbb P$\nobreakdash-\hspace{0pt}субнормальной силовской$p$-подгруппой нечетного порядка и доказывается метанильпотентностьгруппы с $\Bbb P$\nobreakdash-\hspace{0pt}субнормальными обобщенными подгруппами Шмидта.   УДК 512.542 Нехай $\Bbb P$ — множина всіх простих чисел. Пiдгрупа $H$ скінченної групи $G$ називається $\Bbb P$- субнормальною, якщо або $H = G,$ або існує такий ряд підгруп $H = H_0\le H_1\le \ldots \le H_n = G,$ що $|H_i\colon H_{i-1}|\in \Bbb P,$ $1\le i\le n.$Встановлено $p$-розв'язність скінченних груп із $\Bbb P$-субнормальною силовською $p$-підгрупою непарного порядку і доведено метанiльпотентнiсть груп із $\Bbb P$-субнормальними узагальненими підгрупами Шмiдта.   Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2264 10.37863/umzh.v72i10.2264 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 10 (2020); 1365 - 1371 Український математичний журнал; Том 72 № 10 (2020); 1365 - 1371 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2264/8768 Copyright (c) 2020 Victor Monakhov |
| spellingShingle | Kniahina , V. N. Monakhov , V. S. Княгіна , В. М. Монахов , В. С. Monakhov, Victor Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup |
| title | Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup |
| title_alt | Cкiнченнi групи з $\Bbb P$-субнормальною силовською підгрупою Cкiнченнi групи з $\Bbb P$-субнормальною силовською підгрупою |
| title_full | Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup |
| title_fullStr | Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup |
| title_full_unstemmed | Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup |
| title_short | Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup |
| title_sort | finite groups with $\bbb p$-subnormal sylow subgroup |
| topic_facet | скінченна група підгрупа Шмідта силівська підгрупа |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2264 |
| work_keys_str_mv | AT kniahinavn finitegroupswithbbbpsubnormalsylowsubgroup AT monakhovvs finitegroupswithbbbpsubnormalsylowsubgroup AT knâgínavm finitegroupswithbbbpsubnormalsylowsubgroup AT monahovvs finitegroupswithbbbpsubnormalsylowsubgroup AT monakhovvictor finitegroupswithbbbpsubnormalsylowsubgroup AT kniahinavn ckinčennigrupizbbbpsubnormalʹnoûsilovsʹkoûpídgrupoû AT monakhovvs ckinčennigrupizbbbpsubnormalʹnoûsilovsʹkoûpídgrupoû AT knâgínavm ckinčennigrupizbbbpsubnormalʹnoûsilovsʹkoûpídgrupoû AT monahovvs ckinčennigrupizbbbpsubnormalʹnoûsilovsʹkoûpídgrupoû AT monakhovvictor ckinčennigrupizbbbpsubnormalʹnoûsilovsʹkoûpídgrupoû |