Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables
UDC 517.946+511.37 We investigate the solvability of a nonlocal boundary value problem for a differential equation with nonlinearity. Using the Nash–Mozer iteration scheme, we establish conditions of solvability of the problem in the Hörmander spaces of functions of several real variables that form...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2270 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508219112161280 |
|---|---|
| author | Il’kiv, V. S. Strap , N. I. Volyanska , I. I. Iлькiв, В. С. Страп, Н. І. Волянська, I. I. |
| author_facet | Il’kiv, V. S. Strap , N. I. Volyanska , I. I. Iлькiв, В. С. Страп, Н. І. Волянська, I. I. |
| author_sort | Il’kiv, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:34Z |
| description | UDC 517.946+511.37
We investigate the solvability of a nonlocal boundary value problem for a differential equation with nonlinearity. Using the Nash–Mozer iteration scheme, we establish conditions of solvability of the problem in the Hörmander spaces of functions of several real variables that form a refined Sobolev scale. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i4.2270 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i4.2270
УДК 517.946+511.37
В. С. Iлькiв, Н. I. Страп, I. I. Волянська (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО РIВНЯННЯ
ЗI СЛАБКОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ В УТОЧНЕНIЙ СОБОЛЄВСЬКIЙ ШКАЛI
ПРОСТОРIВ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ДIЙСНИХ ЗМIННИХ
We investigate the solvability of a nonlocal boundary value problem for a differential equation with nonlinearity. Using the
Nash – Mozer iteration scheme, we establish conditions of solvability of the problem in the Hörmander spaces of functions
of several real variables that form a refined Sobolev scale.
Розглянуто нелокальну крайову задачу для диференцiального рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю. За допомогою
iтерацiйної схеми Неша – Мозера встановлено умови розв’язностi даної задачi у гiльбертових просторах Хермандера
функцiй багатьох дiйсних змiнних, що утворюють уточнену соболєвську шкалу просторiв.
1. Вступ. Останнiм часом зростає iнтерес до дослiдження задач для рiвнянь з частинними
похiдними у рiзних класах функцiональних просторiв, як у соболєвських просторах [1, 2], так i
у просторах Хермандера [3, 4], та поширення теорiї нелокальних крайових задач для рiвнянь з
частинними похiдними [5], зокрема iз класу просторiв Соболєва на клас гiльбертових просторiв
Хермандера, якi утворюють уточнену шкалу соболєвських просторiв [6, 7].
Особливiстю даної роботи є дослiдження нелокальної крайової задачi для диференцiально-
операторного рiвняння з нелiнiйною правою частиною в уточненiй соболєвськiй шкалi функцiй
багатьох дiйсних змiнних. У цих шкалах просторiв числовий параметр задає основну гладкiсть,
а функцiональний параметр визначає допомiжну. Доведення розв’язностi задачi проводиться за
iтерацiйною схемою Неша – Мозера [8, 9]. Найбiльш важливим моментом у цiй схемi є отриман-
ня оцiнок норм у вiдповiдних просторах обернених лiнеаризованих операторiв, якi виникають
у кожнiй iтерацiї. Оцiнювання пов’язане з проблемою малих знаменникiв, яка вирiшується за
допомогою метричного пiдходу на множинi параметрiв задачi. У роботi [10] дослiджено умови
розв’язностi даної нелокальної задачi у соболєвських просторах функцiй багатьох дiйсних
змiнних.
2. Основнi позначення та постановка задачi. Нехай \bfX — сепарабельний гiльбертiв прос-
тiр; \^Ai : \bfX \rightarrow \bfX , i = 1, . . . , p, — лiнiйнi оператори, що мають спiльне спектральне зображення,
тобто iснує повна ортонормована система елементiв xk \in \bfX , k \in \BbbN , таких, що виконуються
рiвностi \^Aixk = \alpha ikxk, i = 1, . . . , p, k \in \BbbN , для деяких комплексних чисел \alpha ik.
Далi будемо використовувати позначення \alpha k = (\alpha 1k, . . . , \alpha pk), \| \alpha k\| 2 = | \alpha 1k| 2+ . . .+ | \alpha pk| 2,
i припущення \| \alpha k\| > Ck\beta 0 , C > 0, \beta 0 \in \BbbR .
Позначимо через \scrM 1 множину всiх повiльно змiнних за Караматою на нескiнченностi
функцiй, тобто множину таких функцiй \theta , для яких виконується рiвнiсть \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty
\theta (\lambda t)
\theta (t)
=1 для
кожного \lambda >0, а через \scrM множину всiх вимiрних за Борелем на пiвосi [1,\infty ) функцiй \theta :
[1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) з \scrM 1 таких, що функцiї \theta i 1/\theta обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b], де
1 < b <\infty .
Нехай \bfX d,r,\theta (\Omega ), d, r\in \BbbR , \Omega \subseteq (\BbbN \times \BbbZ ), — гiльбертiв простiр функцiй
c\bigcirc В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА, 2020
452 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО . . . 453
u(t,\Omega ) =
\sum
(k,m)\in \Omega
uk,mxke
\tau (m)t, \tau (m)=(i2\pi m - \mathrm{l}\mathrm{n}\mu )/T,
\mathrm{l}\mathrm{n}\mu — головне значення логарифма, зi скалярним добутком
(u, v)d,r,\theta =
\sum
(k,m)\in \Omega
(1 + \| \alpha k\| 2)d(1 +m2)r\theta 2(k,m)uk,m\=vk,m,
який стандартним чином породжує норму \| u\| 2d,r,\theta = (u, u)d,r,\theta , де
v(t,\Omega )=
\sum
(k,m)\in \Omega
vk,mxke
\tau (m)t,
i, зокрема, \bfX d,r,\theta (\BbbN \times \BbbZ ) = \bfX d,r,\theta , u(t,\BbbN \times \BbbZ ) = u(t), \| \cdot \| d,r,\BbbN \times \BbbZ = \| \cdot \| d,r,\theta . Функцiя \theta = \theta (m, k)
є добутком двох повiльно змiнних на нескiнченностi функцiй \varphi = \varphi (k) i \psi = \psi (m) iз класу
\scrM , тобто \theta (m, k) = \varphi (k)\psi (m).
Очевидно, що якщо \Omega = \Omega 1 \cup \Omega 2 i \Omega 1 \cap \Omega 2 = \varnothing , то \bfX d,r,\theta = \bfX d,r,\theta (\Omega 1)\oplus \bfX d,r,\theta (\Omega 2), де \oplus
означає пряму суму. Тодi для кожної функцiї u(t,\Omega ) \in \bfX d,r,\theta маємо u(t,\Omega ) = u(t,\Omega 1)+u(t,\Omega 2),
де u(t,\Omega 1) \in \bfX d,r,\theta (\Omega 1), u(t,\Omega 2) \in \bfX d,r,\theta (\Omega 2).
Розглянемо задачу з нелокальними умовами для диференцiально-операторного рiвняння зi
сталими коефiцiєнтами та нелiнiйною (слабко нелiнiйною) правою частиною
L(dt, \^A)u \equiv dnt u+
n - 1\sum
s0=0
\sum
| s| \leq n - s0
a\^s \^A
sds0t u = \varepsilon f(u), (1)
Mmu \equiv \mu dm - 1
t u
\bigm| \bigm|
t=0
- dm - 1
t u
\bigm| \bigm|
t=T
= 0, m = 1, . . . , n, \mu \not = 0, (2)
де \^s = (s0, s) \in \BbbZ p+1
+ , s = (s1, . . . , sp) \in \BbbZ p
+, | s| = s1 + . . . + sp, a\^s, \varepsilon i \mu — комплекснi
параметри, dt = d/dt, \^As = \^As1
1 . . . \^A
sp
p .
Розглянемо задачу на власнi значення для оператора L, породженого диференцiальним
виразом L(dt, \^A) i крайовими умовами (2) з \mu \not = 0, тобто
L(dt, \^A)u = \lambda u, Mmu = 0, m = 1, . . . , n. (3)
Для фiксованого (k,m) \in \BbbN \times \BbbZ позначимо через Rk,m множину таких векторiв (k\ast ,m\ast ) \in
\in \BbbN \times \BbbZ , для яких справджується рiвнiсть L(\tau (m\ast ), \alpha k\ast ) = L(\tau (m), \alpha k), де \tau (m) = (i 2\pi m -
- \mathrm{l}\mathrm{n}\mu )/T.
Власними значеннями задачi (3) є числа \lambda k,m = L(\tau (m), \alpha k), (k,m) \in \BbbN \times \BbbZ , а власними
функцiями, що вiдповiдають власному значенню \lambda k,m, — функцiї xk\ast e\tau (m
\ast )t, (k\ast ,m\ast ) \in Rk,m.
Виберемо функцiї \varphi 1 = \varphi 1(k) \in \scrM i \psi 1 = \psi 1(m) \in \scrM так, щоб \zeta 1(2) < \infty i \zeta 2(2) < \infty ,
де функцiї \zeta 1(x) i \zeta 2(x) задаються формулами
\zeta 1(x) =
\sum
k\in \BbbN
\bigl(
1 + \| \alpha k\| 2
\bigr) 1
2\varphi - x
1 (k), \zeta 2(x) =
\sum
m\in \BbbZ
\bigl(
1 + | m| 2
\bigr) 1
2\psi - x
1 (m).
Iз властивостей повiльно змiнних функцiй та означення класу \scrM випливає iснування чисел
K \prime > 1 i K \prime \prime > 1 таких, що для всiх x \geq 1 i j = 1, 2 виконуються нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
454 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА
\varphi 1(x) \leq K \prime x2\kappa j , \psi 1(x) \leq K \prime \prime x2\alpha j ,
де \kappa j = \kappa - n
2
\delta 1j , \alpha j = \alpha - n
2
\delta 2j , \kappa = 1/(4\beta 0), \alpha = 1/4, \delta ij — дельта Кронекера. Позначимо
\theta 1 = \theta 1(m, k) = \varphi 1(k)\psi 1(m). З властивостей повiльно змiнних функцiй випливає, що функцiя
\theta 1 також є повiльно змiнною функцiєю з класу \scrM .
Розв’язок задачi (1), (2) будемо шукати, використовуючи iтерацiйну схему Неша – Мозера,
у виглядi границi послiдовностi гладких (аналiтичних) функцiй.
Для кожного N \in \BbbN розiб’ємо простiр \bfX d,r,\theta на пiдпростори: \bfX d,r,\theta = \bfW (N) \oplus \bfW (N)\bot , де
\bfW (N) = \bfX d,r,\theta (\Omega
N ) =
\Bigl\{
u \in \bfX d,r,\theta : u =
\sum
(k,m)\in \Omega N
uk,mxke
\tau (m)t
\Bigr\}
є скiнченновимiрним (а
отже, i аналiтичним) пiдпростором простору \bfX d,r,\theta , \bfW
(N)\bot = \bfX d,r,\theta ((\BbbN \times \BbbZ ) \setminus \Omega N ) =
\Bigl\{
u \in
\in \bfX d,r,\theta : u =
\sum
(k,m)\in (\BbbN \times \BbbZ )\setminus \Omega N
uk,mxke
\tau (m)t
\Bigr\}
, \Omega N =
\bigl\{
(k,m) : 1 + \| \alpha k\| 2 \leq N, 1 +m2 \leq N
\bigr\}
.
Позначимо через \mathrm{P}N : \bfX d,r,\theta \rightarrow \bfW (N) i \mathrm{P}\bot
N : \bfX d,r,\theta \rightarrow \bfW (N)\bot , N \in \BbbN , оператори проек-
тування у просторi \bfX d,r,\theta на пiдпростори \bfW (N) i \bfW (N)\bot вiдповiдно, тодi \bfW (N) = \mathrm{P}N\bfX d,r,\theta ,
\bfW (N)\bot = \mathrm{P}\bot
N\bfX d,r,\theta . Для довiльного u \in \bfX d,r,\theta вони визначаються формулами
\mathrm{P}Nu =
\sum
(k,m)\in \Omega N
uk,mxke
\tau (m)t, \mathrm{P}\bot
Nu = u - \mathrm{P}N u =
\sum
(k,m)\in (\BbbN \times \BbbZ )\setminus \Omega N
uk,mxke
\tau (m)t. (4)
З означень простору \bfX d,r,\theta i проектора \mathrm{P}N випливає, що для будь-яких N \in \BbbN , d \in \BbbR ,
r \in \BbbR , \theta \in \scrM виконуються нерiвностi
\| \mathrm{P}Nu\| d+j1,r+j2,\theta \theta 1 \leq N j1+j2\varphi 1(N)\psi 1(N)\| u\| d,r,\theta для кожної u \in \bfX d,r,\theta , (5)
\| \mathrm{P}\bot
Nu\| d,r,\theta \leq
\bigl(
N j1+j2\varphi 1(N)\psi 1(N)
\bigr) - 1\| u\| d+j1,r+j2,\theta \theta 1 для кожної u \in \bfX d+j1,r+j2,\theta \theta 1 . (6)
Iснування розв’язку задачi (1), (2) базується на наведених нижче властивостях (P1) – (P5)
коефiцiєнтiв рiвняння a\^s i функцiї f, яка, за припущенням, вiдображає простiр \bfX d,r,\theta в себе
для деяких d, r, \theta , якi зафiксуємо.
Позначимо \Omega 1 =
\bigl\{
(k,m) \in \BbbN \times \BbbZ : | \tau (m)| < \| \alpha k\|
\bigr\}
, \Omega 2 = (\BbbN \times \BbbZ ) \setminus \Omega 1. Нехай невiд’ємнi
числа l, m, C0, C1, C2 є такими, що l \geq d+2, m \geq r+2, а функцiя f задовольняє такi умови:
(P1) f \in \bfC 2(\bfX d,r,\theta ;\bfX d,r,\theta );
(P2) для будь-яких d\prime \in [d, l), r\prime \in [r,m) i функцiї u \in \bfX d\prime ,r\prime ,\theta виконується нерiвнiсть
\| f(u)\| d\prime ,r\prime ,\theta \leq C0(1 + \| u\| d\prime ,r\prime ,\theta );
(P3) для довiльних функцiй u \in K1 i h \in \bfX d,r,\theta iснують \=\=d > d + 4\delta , \=\=r > r + 4\delta , де
\delta = \kappa + \alpha - n
2
, такi, що Duf(u) \in \bfC 1
\bigl(
\bfX d,r,\theta ;\bfX \=\=d1, \=\=r1,\theta
\oplus \bfX \=\=d2, \=\=r2,\theta
\bigr)
, \=\=di, \=\=ri \in \BbbR , i = 1, 2, i\bigm\| \bigm\| \mathrm{D}uf(u)[h]
\bigm\| \bigm\| \=\=d,\=\=r,\theta
\leq C1\| h\| d,r,\theta ;
(P4) для будь-яких d\prime \in [d, l - 2], r\prime \in [r,m - 2] i функцiй u \in \bfX d\prime ,r\prime ,\theta
\bigcap
K1, h \in \bfX d\prime ,r\prime ,\theta
виконується
\bigm\| \bigm\| f(u+ h) - f(u) - \mathrm{D}uf(u)h
\bigm\| \bigm\|
d\prime ,r\prime ,\theta
\leq C2
\bigl(
\| u\| d\prime ,r\prime ,\theta \| h\| 2d,r,\theta + \| h\| d,r,\theta \| h\| d\prime ,r\prime ,\theta
\bigr)
.
З (P1) випливає, що функцiї f, \mathrm{D}uf, \mathrm{D}
2
uf обмеженi на кулi K1 =
\bigl\{
u \in \bfX d,r,\theta : \| u\| d,r,\theta \leq 1
\bigr\}
простору \bfX d,r,\theta , а з властивостi (P4) — нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| f(u+ h) - f(u) - \mathrm{D}uf(u)h
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq 2C2\| h\| 2d,r,\theta , u \in K1, h \in \bfX d,r,\theta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО . . . 455
Першi чотири властивостi характеризують поведiнку функцiї f у кулi K1 простору \bfX d,r,\theta .
Множина функцiй, якi задовольняють умови (P1) – (P4), є непорожньою, зокрема мiстить гладкi
функцiї.
Для формулювання властивостi (P5) введемо такi позначення. Нехай коефiцiєнти рiвнян-
ня (1) належать кругу \scrO a0 = \{ z \in \BbbC : | z| < a0\} . Введемо позначення векторiв
\vec{}\varepsilon = (\mathrm{R}\mathrm{e} \varepsilon , \mathrm{I}\mathrm{m} \varepsilon ), \vec{}a =
\bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e} a\^s(j), \mathrm{I}\mathrm{m} a\^s(j)
\bigr)
j=0,1,...,p
(7)
для \^s(j) = (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
j
, n, 0, . . . , 0), причому a\^s(j) = y2j+1 + iy2j+2, де y2j+1 i y2j+2 — дiйснi
числа. Тодi для вектора \vec{}a \in \scrO p+1
a0 справедливим є такий запис: \vec{}a = (y1, . . . , y2p+2).
Введемо послiдовнiсть натуральних чисел Nq, де q \in \BbbN , за формулою
Nq = N2q
0 (8)
з N0 \geq 2, зокрема зауважимо, що Nq = N2
q - 1.
Оператор L розглядатимемо на множинi параметрiв \vec{}a \in \scrO p+1
a0 , всi iншi a\^s вважатимемо
фiксованими. За умови (P3) для \gamma > 0 та вибраних функцiй \varphi 1 i \psi 1 побудуємо послiдовнiсть
множин A0, A1, . . . , де Aq — множина векторiв \vec{}a з рiвняння (1), для яких виконується оцiнка
| \lambda k,m| > \gamma (1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa j (1 +m2) - \alpha j\theta - 1
1 (k,m) при (k,m) \in \Omega Nq \cap \Omega j , j = 1, 2, (9)
де \theta 1(k,m) = \varphi 1(k)\psi 1(m).
Iз задання множин Aq очевидними є вкладення . . . \subseteq A1 \subseteq A0 \subset \scrO p+1
a0 .
Введемо вiдповiднi до множин Aq множини \scrA q = \scrO \varepsilon 0 \times Aq, де q \geq 0, \scrO \varepsilon 0=\{ z \in \BbbC :
| z| < \varepsilon 0\} ,
\varepsilon 0 = \gamma \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl\{
3
16C3
,
1
2C0N4\delta
0
, y1, y2
\Biggr\}
, C3 = K \prime K \prime \prime \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ C0, C1, 2C2\} , (10)
y1, y2 — додатнi розв’язки вiдповiдно рiвнянь
2K \prime K \prime \prime C0N
16\delta
0 y3 + y2 =
1
24
C - 2
3 , 2C0K
\prime K \prime \prime y2 + (2 +N - 16\delta
0 )y =
3
4
C - 1
3 .
Множини \scrA q, q \geq 0, утворюють послiдовнiсть вкладених множин . . . \subseteq \scrA 1 \subseteq \scrA 0 \subset \scrO \varepsilon 0 \times
\times \scrO p+1
a0 .
Для довiльних u \in \bfW (N), h \in \bfW (N) i \varepsilon \in \BbbC \setminus \{ 0\} позначимо
\scrL N [h] \equiv \scrL N (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, u)[h] = Lh - \varepsilon \mathrm{P}N\mathrm{D}uf(u)h, N \in \BbbN ,
де L — лiва частина рiвняння (1), проектор \mathrm{P}N задає формула (4).
Наступна властивiсть є властивiстю неперервностi оператора, оберненого до лiнiйного опе-
ратора \scrL Nq(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, u) : \bfW
(Nq)\rightarrow \bfW (Nq), q \geq 0:
(P5) для довiльної функцiї u \in \bfW (Nq) \cap K1 i \gamma > 0 для всiх векторiв (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q оператор
\scrL Nq(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, u) : \bfW (Nq)\rightarrow \bfW (Nq) є оборотним, зокрема для \=d \in [d, \=\=d - 4\delta ], \=r \in [r, \=\=r - 4\delta ] i h \in \bfW (Nq)
виконується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \scrL - 1
Nq
(\varepsilon ,\vec{}a, u)[h]
\bigm\| \bigm\|
\=d,\=r,\theta
\leq 2K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
q \| h\| \=d,\=r,\theta , q \in \BbbN . (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
456 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА
Доведення властивостi (P5). Для довiльного цiлого q \geq 0 запишемо оператор \scrL Nq у виглядi
\scrL Nq = \scrD - \scrT q, де \scrD — дiагональний оператор, \scrD = L, а \scrT q = \varepsilon \mathrm{P}Nq\mathrm{D}uf(u), i факторизуємо:
\scrL Nq = | \scrD |
1
2\scrU | \scrD |
1
2 - \scrT q = | \scrD |
1
2 (\scrU - \scrR 1)| \scrD |
1
2 = | \scrD |
1
2\scrU (\scrI - \scrU - 1\scrR 1)| \scrD |
1
2 ,
причому \scrU = | \scrD | -
1
2\scrD | \scrD | -
1
2 , \scrR 1 = | \scrD | -
1
2\scrT q| \scrD | -
1
2 , \scrI — одиничний оператор.
Дiагональний оператор \scrD та дiагональнi оператори | \scrD | \nu , \nu \geq 0, визначенi i дiють у шкалi
просторiв \{ \bfX d,r,\theta \} d,r\in \BbbR , зокрема якщо h =
\sum
(k,m)\in \BbbN \times \BbbZ
hk,m\varphi k,m, то
\scrD h =
\sum
(k,m)\in \BbbN \times \BbbZ
\lambda k,mhk,m\varphi k,m, | \scrD | \nu h =
\sum
(k,m)\in \BbbN \times \BbbZ
| \lambda k,m| \nu hk,m\varphi k,m.
Для \nu < 0 оператори | \scrD | \nu iснують за умови \lambda k,m \not = 0 для всiх (k,m) \in \BbbN \times \BbbZ . Оператори \scrD i
| \scrD | \nu , \nu \in \BbbR , у просторi \bfW (Nq) представленi дiагональними матрицями, мають власнi значення
\lambda k,m i | \lambda k,m| \nu вiдповiдно i власнi функцiї \varphi k,m = e\tau (m)txk при (k,m) \in \Omega Nq .
Лема 1. Для всiх векторiв \vec{}a \in Aq, q \geq 0, оператор | \scrD | є оборотним у просторi \bfW (Nq) i
для довiльних d\ast , r\ast \in \BbbR , \theta \in \scrM i h \in \bfW (Nq) виконується оцiнка\bigm\| \bigm\| | \scrD | -
1
2h
\bigm\| \bigm\|
d\ast ,r\ast ,\theta ,\Omega j
\leq 1
\surd
\gamma
\| h\|
d\ast +\kappa j ,r\ast +\alpha j ,\theta \theta
1
2
1 ,\Omega j
, j = 1, 2.
Доведення цiєї леми наведено у п. 4.
Розглянемо обернений до \scrL Nq оператор \scrL - 1
Nq
i факторизуємо його:
\scrL - 1
Nq
= | \scrD | -
1
2 (\scrI - \scrU - 1\scrR 1)
- 1\scrU - 1| \scrD | -
1
2 = | \scrD | -
1
2 (\scrI - \scrR ) - 1\scrU - 1| \scrD | -
1
2 ,
де \scrR = \scrU - 1\scrR 1 i (\scrI - \scrR ) - 1 = \scrI +
\sum \infty
r=1
\scrR r за умови збiжностi ряду.
Лема 2. Нехай точковий спектр оператора L не мiстить нуля. Тодi для будь-яких d\ast ,
r\ast \in \BbbR , \theta \in \scrM оператор \scrU є iзометричним у просторi \bfX d\ast ,r\ast ,\theta .
Лема 3. Для оператора \scrR 1 : \bfW (Nq) \rightarrow \bfW (Nq), q \geq 0, для всiх \=d \in [d, \=\=d - 4\delta ], \=r \in [r, \=\=r - 4\delta ]
i u \in \bfW (Nq) справджується оцiнка \| \scrR 1h\| \=d,\=r,\theta \leq C1K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
\| h\| \=d,\=r,\theta .
Доведення лем 2 та 3 див. у п. 4.
З формули \scrR = \scrU - 1\scrR 1 i лем 2, 3 для всiх \=d \in [d, \=\=d - 4\delta ], \=r \in [r, \=\=r - 4\delta ] отримаємо
нерiвнiсть \| \scrR h\| \=d,\=r,\theta = \| \scrU - 1\scrR 1h\| \=d,\=r,\theta = \| \scrR 1h\| \=d,\=r,\theta \leq C1K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
\| h\| \=d,\=r,\theta . Запишемо таку
оцiнку:
\bigm\| \bigm\| (I - \scrR ) - 1h
\bigm\| \bigm\|
\=d,\=r,\theta
\leq \| h\| \=d,\=r,\theta +
\sum
r\in \BbbN
\| \scrR rh\| \=d,\=r,\theta , де
\| \scrR rh\| \=d,\=r,\theta =
\bigm\| \bigm\| \scrR (\scrR r - 1h)
\bigm\| \bigm\|
\=d,\=r,\theta
\leq C1K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
\| \scrR r - 1h\| \=d,\=r,\theta \leq
\biggl(
C1K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
\biggr) r
\| h\| \=d,\=r,\theta ,
з якої за умови | \varepsilon | < \varepsilon 0 i рiвностi (10) маємо | \varepsilon | < 3\gamma
16C3
<
\gamma
C1
, а також
\bigm\| \bigm\| (\scrI - \scrR ) - 1h
\bigm\| \bigm\|
\=d,\=r,\theta
\leq \| h\| \=d,\=r,\theta
\infty \sum
r=0
\biggl(
C1K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
\biggr) r
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО . . . 457
= \| h\| \=d,\=r,\theta
\biggl(
1 - C1K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
\biggr) - 1
=
\gamma
\gamma - C1K \prime K \prime \prime | \varepsilon |
\| h\| \=d,\=r,\theta .
Повертаючись до оцiнки норми оператора \scrL - 1
Nq
, з лем 1, 2 i формул (6), (10) виводимо, що
для всiх \=d \in [d, \=\=d - 4\delta ], \=r \in [r, \=\=r - 4\delta ] i векторiв (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q справджується оцiнка\bigm\| \bigm\| \scrL - 1
Nq
h
\bigm\| \bigm\|
\=d,\=r,\theta ,\Omega j
\leq 1
\surd
\gamma
\gamma
\gamma - C1K \prime K \prime \prime | \varepsilon |
\bigm\| \bigm\| | \scrD | -
1
2h
\bigm\| \bigm\|
\=d+\kappa j ,\=r+\alpha j ,\theta \theta
1
2
1 ,\Omega j
\leq
\leq 1
\gamma - C1K \prime K \prime \prime | \varepsilon |
\| h\| \=d+2\kappa j ,\=r+2\alpha j ,\theta \theta 1,\Omega j
\leq
\leq
K \prime K \prime \prime N4\delta
q
\gamma - C1K \prime K \prime \prime | \varepsilon |
\| h\| \=d,\=r,\theta =
K \prime K \prime \prime N4\delta
q
\gamma
2
- C1K \prime K \prime \prime | \varepsilon | + \gamma
2
\| h\| \=d,\=r,\theta \leq
2K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
q \| h\| \=d,\=r,\theta .
Отже, властивiсть (P5) доведено.
За властивiстю (P5) нерiвнiсть (11) виконується для всiх (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q. Далi для довiльного
\gamma > 0 покажемо, що послiдовнiсть вкладених множин \{ \scrA q\} q=0,1,... збiгається до множини \scrA \infty ,
тобто \scrA \infty = \scrA \infty (\gamma ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}q\rightarrow \infty \scrA q. Саме на цiй множинi iснує розв’язок задачi (1), (2).
3. Встановлення умов розв’язностi задачi (1), (2). Рекурентно задамо послiдовнiсть
\{ uq\} q\geq 0 функцiй uq \in \bfW (Nq), визначених на \scrA q, яка збiгатиметься до розв’язку u \in \bfX d,r,\theta за-
дачi (1), (2) для кожного (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA \infty . Метою побудови цiєї послiдовностi є також дослiдження
множини параметрiв \scrA \infty , для яких iснує розв’язок задачi (1), (2). Покажемо, що \scrA \infty є досить
великою пiдмножиною у множинi \scrO \varepsilon 0 \times \scrO p+1
a0 , та знайдемо оцiнку знизу її мiри.
Теорема 1. Нехай виконуються властивостi (P1) – (P5), \beta = 12\delta , \delta = \kappa + \alpha - n/2. Тодi
iснує послiдовнiсть функцiй \{ uq\} q\geq 0, в якiй uq =
\sum q
i=0
hi належить до простору \bfW (Nq) та
є розв’язком рiвняння
Luq - \varepsilon \mathrm{P}Nqf(uq) = 0, (PNq )
що визначений для всiх векторiв (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q i має такi властивостi: (PNq) Bq \leq B0N
4\delta
q+1,
q \in \BbbN , B0\leq 1+
| \varepsilon |
\gamma
2K \prime K \prime \prime C0N
16\delta
0 та \| hi\| d,r,\theta \leq 4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
i , i\in \BbbN , де Bq = 1+\| uq\| d+\beta ,r+\beta ,\theta
для q \geq 0.
Доведення. Використаємо метод математичної iндукцiї. За умови (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA 0 знайдемо
розв’язок рiвняння
Lu - \varepsilon \mathrm{P}N0f(u) = 0. (PN0)
Оскiльки iснує L - 1 : \bfW (N0)\rightarrow \bfW (N0), зокрема
L - 1w=
\sum
(k,m)\in \Omega N0
\lambda - 1
k,mwk,m\varphi k,m=
\sum
(k,m)\in \Omega N0
wk,m\varphi k,m
\lambda k,m
для довiльних функцiй w =
\sum
(k,m)\in \Omega N0
wk,m\varphi k,m, то з оцiнки (9) випливає нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| L - 1w
\bigm\| \bigm\| 2
d,r,\theta ,\Omega j
=
\sum
(k,m)\in \Omega N0\cap \Omega j
\theta 2(k,m)(1 + \| \alpha k\| 2)d(1 +m2)r
| wk,m| 2
| \lambda k,m| 2
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
458 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА
\leq
\sum
(k,m)\in \Omega N0\cap \Omega j
1
\gamma 2
\theta 2(k,m)\theta 21(k,m)
\bigl(
1 + \| \alpha k\| 2
\bigr) d+2\kappa j (1 +m2)r+2\alpha j | wk,m| 2 =
=
1
\gamma 2
\| w\| 2d+2\kappa j ,r+2\alpha j ,\theta \theta 1,\Omega j
, j = 1, 2.
Тодi (PN0) зводиться до вигляду u=\varepsilon L - 1\mathrm{P}N0f(u) i для \omega \in \bfW (N0) за нерiвнiстю (5) справджу-
ються оцiнки
\bigm\| \bigm\| L - 1w
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta ,\Omega j
\leq 1
\gamma
\| w\| d+2\kappa j ,r+2\alpha j ,\theta \theta 1,\Omega j
\leq
\leq K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
0 \| w\| d,r,\theta ,\Omega j
\leq K
\prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
0 \| w\| d,r,\theta , j = 1, 2. (12)
Зауваження. Якщо C1 = 0, то f(u) = f(0) i u = \varepsilon L - 1\mathrm{P}N0f(0) — єдиний розв’язок
рiвняння (PN0) для всiх векторiв (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a)\in \scrA 0. Зокрема, якщо C0=0, то C1=0 i f(u)=f(0)=0.
Позначимо через H0 : \bfW (N0) \rightarrow \bfW (N0) оператор зi значенням H0(u) = \varepsilon L - 1\mathrm{P}N0f(u) на
елементi u \in \bfW (N0). Тодi знаходження розв’язку рiвняння (PN0) зводиться до вiдшукання
нерухомої точки u\in \bfW (N0) цього оператора.
Покажемо, що для кожного вектора (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA 0 оператор H0 є стиском в областi G0 =
=
\biggl\{
u \in \bfW (N0) : \| u\| d,r,\theta \leq \rho 0 =
| \varepsilon |
\gamma
2C0K
\prime K \prime \prime N4\delta
0
\biggr\}
. На основi нерiвностi (12), властивостi (P2),
умови | \varepsilon | < \varepsilon 0 та формули (10) для u \in G0 справедливою є оцiнка
\bigm\| \bigm\| H0(u)
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq | \varepsilon |
\gamma
K \prime K \prime \prime N4\delta
0
\bigm\| \bigm\| f(u)\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq | \varepsilon |
\gamma
K \prime K \prime \prime N4\delta
0 C0(1 + \| u\| d,r,\theta ) \leq
\leq | \varepsilon |
\gamma
K \prime K \prime \prime N4\delta
0 C0(1 + \rho 0) =
\rho 0
2
+
| \varepsilon |
\gamma
K \prime K \prime \prime N4\delta
0 C0\rho 0 \leq \rho 0,
тобто H0(G0) \subset G0. Використовуючи нерiвнiсть (12), властивiсть (P3) i рiвнiсть H0(u) -
- H0(u\prime ) = \varepsilon L - 1\mathrm{P}N0
\bigl(
f(u) - f(u\prime )
\bigr)
, записуємо для довiльних u, u\prime \in G0 оцiнку
\bigm\| \bigm\| H0(u) - H0(u\prime )
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq | \varepsilon |
\gamma
K \prime K \prime \prime N4\delta
0
\bigm\| \bigm\| f(u) - f(u\prime )
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq C1K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
N4\delta
0 \| u - u\prime \| d,r,\theta .
З умови (10) випливає, що вiдображення H0 : \bfW (N0) \rightarrow \bfW (N0) є стиском в областi G0,
тобто u = u0 \in G0 \subset \bfW (N0) є єдиним розв’язком рiвняння (PN0) i B0 \leq 1 + N\beta
0 \rho 0 =
= 1 +
| \varepsilon |
\gamma
2C0K
\prime K \prime \prime N16\delta
0 . Нульовий крок iндукцiї зроблено.
Далi за iндукцiєю будуємо елементи послiдовностi \{ uq\} q>0 вигляду uq =
\sum q
i=0
hi, де
h0 = u0, для оцiнки норми яких у просторi \bfX d+\beta ,r+\beta ,\theta (\Omega j), j = 1, 2, використовуємо таку
лему (доведення леми див. у п. 4).
Лема 4. Для елементiв uq послiдовностi \{ uq\} q\geq 0 справджується оцiнка
Bq+1 \leq
\bigl(
1 +N4\delta
q+1
\bigr)
Bq. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО . . . 459
З нерiвностi (13) за iндукцiєю отримуємо Bq \leq B0
q\prod
i=1
(1 + N4\delta
i ) = B0
q\prod
i=1
\Bigl(
1 +
\bigl(
N2i
0
\bigr) 4\delta \Bigr)
.
Оскiльки 1 +
\bigl(
N2i
0
\bigr) 4\delta \leq \bigl( N2i+2 - i
0
\bigr) 4\delta
, то виконується нерiвнiсть
Bq \leq B0
q\prod
i=1
\bigl(
N2i+2 - i
0
\bigr) 4\delta
= B0N
\sum q
i=1 4\delta (2
i+2 - i)
0 = B0N
4\delta 2q+1 - 4\delta +
\sum q
i=1 \delta 2
2 - i
0 \leq B0N
4\delta
q+1.
Вважаючи вiдомими функцiї u0, u1, . . . , uq, доведемо iснування функцiй uq+1 \in \bfW (Nq+1) —
розв’язку рiвняння
Luq+1 - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1f(uq+1) = 0. (PNq+1)
Оскiльки uq+1 = uq+hq+1, то hq+1\in \bfW (Nq+1) i Bq+1 = 1+\| uq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq B0N
4\delta
q+2. Оцiнимо
доданок hq+1 у просторi \bfX d,r,\theta .
Для кожного h \in \bfW (Nq+1) запишемо процедуру лiнеаризацiї лiвої частини рiвняння (PNq+1):
L(uq + h) - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1f(uq + h) = Luq - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1f(uq) + Lh - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1\mathrm{D}uf(uq)h+
+\varepsilon \mathrm{P}Nq+1\mathrm{D}uf(uq)h+ \varepsilon \mathrm{P}Nq+1f(uq) - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1f(uq + h) = rq + \scrL Nq+1(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq)h -
- \varepsilon \mathrm{P}Nq+1(f(uq + h) - f(uq) - \mathrm{D}uf(uq)h) = rq + \scrL Nq+1(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq)h+Rq(h),
де rq = Luq - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1f(uq), Rq(h) = - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1
\bigl(
f(uq +h) - f(uq) - \mathrm{D}uf(uq)h
\bigr)
, у пiдсумку якої
hq+1 є розв’язком у просторi \bfW (Nq+1) лiнеаризованого у точцi uq рiвняння
rq + \scrL Nq+1(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq)h+Rq(h) = 0.
Оскiльки uq є розв’язком рiвняння (PNq), тобто Luq = \varepsilon \mathrm{P}Nqf(uq), то
rq = \varepsilon (\mathrm{P}Nq - \mathrm{P}Nq+1)f(uq) = - \varepsilon \mathrm{P}\bot
Nq
\mathrm{P}Nq+1f(uq) \in \bfW (Nq)\bot \cap \bfW (Nq+1).
Звiдси, використовуючи формулу (6) та властивiсть (P2), отримуємо
\| rq\| d,r,\theta =| \varepsilon | N - 2\beta
q \| \mathrm{P}Nq+1f(uq)\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq | \varepsilon | C0N
- 2\beta
q Bq\leq | \varepsilon | C0B0N
- 2\beta
q N4\delta
q+1.
Для оцiнки норми \| Rq(h)\| d,r,\theta елемента Rq(h) \in \bfW (Nq+1) використаємо властивiсть (P4)
й одержимо \| Rq(h)\| d,r,\theta \leq 2C2| \varepsilon | \| h\| 2d,r,\theta . Оскiльки для будь-яких h, h\prime \in \bfW (Nq+1)
Rq(h) - Rq(h
\prime ) = - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1
\bigl(
f(uq + h) - f(uq + h\prime ) - \mathrm{D}uf(uq)(h - h\prime )
\bigr)
=
= - \varepsilon \mathrm{P}Nq+1
\bigl(
f(uq + h\prime + (h - h\prime )) - f(uq + h\prime ) - \mathrm{D}uf(uq)(h - h\prime )
\bigr)
,
то за властивiстю (P4) справджується оцiнка\bigm\| \bigm\| Rq(h) - Rq(h
\prime )
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq | \varepsilon | \| f(uq + h\prime + (h - h\prime )) - f(uq + h\prime ) - \mathrm{D}uf(uq)(h - h\prime )\| d,r,\theta \leq
\leq | \varepsilon |
\bigm\| \bigm\| f(uq + h\prime + (h - h\prime )) - f(uq + h\prime ) - \mathrm{D}uf(uq + h\prime )(h - h\prime ) + \mathrm{D}uf(uq + h\prime )(h - h\prime ) -
- \mathrm{D}uf(uq)(h - h\prime )
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq | \varepsilon |
\bigl(
2C2\| h - h\prime \| 2d,r,\theta + C1\| h - h\prime \| d,r,\theta \| h\prime \| d,r,\theta
\bigr)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
460 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА
\leq | \varepsilon |
\bigl(
2C2\| h - h\prime \| d,r,\theta (\| h\| d,r,\theta + \| h\prime \| d,r,\theta )+C1\| h - h\prime \| d,r,\theta \| h\prime \| d,r,\theta
\bigr)
\leq
\leq C3
K \prime K \prime \prime | \varepsilon |
\bigl(
\| h\| d,r,\theta + 2\| h\prime \| d,r,\theta
\bigr)
\| h - h\prime \| d,r,\theta .
За властивiстю (P5) оператор \scrL Nq+1(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq) є оборотним для всiх векторiв (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q+1,
uq \in \bfW (Nq) i
\bigm\| \bigm\| \scrL - 1
Nq+1
(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq)[h]
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq 2K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
q+1\| h\| d,r,\theta .
Позначимо через Hq+1 : \bfW (Nq+1) \rightarrow \bfW (Nq+1) оператор зi значенням
Hq+1(h) = - \scrL - 1
Nq+1
(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq)
\bigl(
rq +Rq(h)
\bigr)
на елементi h \in \bfW (Nq+1). Тодi розв’язування рiвняння (\mathrm{P}Nq+1) еквiвалентне знаходженню
нерухомої точки hq+1 = h \in \bfW (Nq+1) рiвняння h = Hq+1(h).
Лема 5. Для кожного вектора (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q+1 оператор Hq+1, де q \geq 0, є стиском в
областi Gq+1 =
\biggl\{
h \in \bfW (Nq+1) : \| h\| d,r,\theta \leq \rho q+1 = 4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
q+1
\biggr\}
.
З леми 5 випливає iснування для (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q+1 єдиного розв’язку hq+1 \in \bfW (Nq+1) рiвняння
h = Hq+1(h), який задовольняє нерiвнiсть \| hq+1\| d,r,\theta \leq \rho q+1 = 4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
q+1 .
Функцiя uq+1 = uq + hq+1 є розв’язком у просторi \bfW (Nq+1) рiвняння (PNq+1), який визна-
чений для всiх (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA q+1 \subseteq \scrA 0 i uq+1 =
\sum q+1
i=0
hi, де hi \in \bfW (Ni), i виконуються оцiнки
\| hi\| d,r,\theta \leq 4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
i для будь-якого i = 0, 1, . . . , q + 1.
Теорему 1 доведено.
Мiру (Лебега) множини \scrA \infty , для елементiв якої справджується теорема 1, описує така
теорема.
Теорема 2. Множину \scrA \infty визначає формула \scrA \infty =
\bigcap
q\geq 0
\scrA q, а для її мiри \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty справед-
ливою є оцiнка \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty \geq \varepsilon 20a
2p+2
0 \pi p+2
\Biggl(
1 - \gamma 2
\~Cp2n\zeta 1(2)\zeta 2(2)
A2
\Biggr)
, \~C = 2n/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
1, C2n
\bigr\}
> 0.
Доведення. Оскiльки \scrA q =
q\bigcap
l=0
\scrA l, то \scrA \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}q\rightarrow \infty \scrA q =
\infty \bigcap
q=0
\scrA q =
\bigcap
q\geq 0
\scrA q.
Зауважимо, що \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty = \varepsilon 20a
2p+2
0 \pi p+2 - \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty , де \scrA \infty =
\infty \bigcup
q=0
\scrA q, \scrA q = \scrO \varepsilon 0 \times Aq i
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}q\rightarrow \infty \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA q, а горизонтальна риска над множиною означає операцiю допов-
нення цiєї множини у множинi \scrO \varepsilon 0 \times \scrO p+1
a0 або у множинi \scrO p+1
a0 .
Знайдемо мiру множини \scrA \infty . Для цього оцiнимо мiру множини Aq =
\bigcup
(k,m)\in \Omega Nq
Aq(k,m), де
Aq(k,m) — множина векторiв \vec{}a, для яких при фiксованому векторi (k,m) \in \Omega Nq виконується
нерiвнiсть
| \lambda k,m| < \gamma (1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa j (1 +m2) - \alpha j\theta - 1
1 (k,m), j = 1, 2.
Розглянемо випадок, коли j = 1, тобто (k,m) \in \Omega 1. Виберемо число \eta , найбiльше з чисел
j, таке, що | \alpha \eta k| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}j=1,...,n
\bigl\{
| \alpha jk|
\bigr\}
. Тодi | \tau (m)| < \| \alpha k\| i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО . . . 461
| \lambda k,m| = | \alpha \eta k| n
\bigm| \bigm| \bigm| a\^s(\eta ) + \sum
\^s \not =\^s(\eta )
a\^s\tau
s0(m)\alpha s
k
\bigm| \bigm| \bigm| < \gamma (1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa 1(1 +m2) - \alpha 1\theta - 1
1 (k,m),
звiдки \bigm| \bigm| \bigm| a\^s(\eta ) + \sum
\^s \not =\^s(\eta )
a\^s\tau
s0(m)\alpha s
k
\bigm| \bigm| \bigm| < \gamma
| \alpha \eta k| n
(1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa 1(1 +m2) - \alpha 1\theta - 1
1 (k,m).
Оскiльки p| \alpha \eta k| 2\geq \| \alpha k\| 2, звiдки | \alpha \eta k| n \geq p -
n
2 \| \alpha k\| n, i
\| \alpha k\| 2\geq
C2+\| \alpha k\| 2
2
\geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\}
2
(1+\| \alpha k\| 2),
звiдки \| \alpha k\| n\geq
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\}
2
\biggr) n
2 \bigl(
1+\| \alpha k\| 2
\bigr) n
2 , C > 0, то виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \bigm| a\^s(\eta ) + \sum
\^s \not =\^s(\eta )
a\^s\tau
s0(m)\alpha s
k
\bigm| \bigm| \bigm| < \gamma p
n
2
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\}
2
\biggr) - n
2
(1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa 1 - n
2 (1 +m2) - \alpha 1\theta - 1
1 (k,m).
Для мiри \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq(k,m) множини Aq(k,m) для (k,m) \in \Omega 1 справджується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq(k,m) \leq \pi p+1a2p0 \gamma
2pn
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1;C2\}
2
\biggr) - n
(1+\| \alpha k\| 2) - 2\kappa 1 - n(1+m2) - 2\alpha 1\theta - 2
1 (k,m). (14)
Розглянемо випадок, коли j = 2, тобто (k,m) \in \Omega 2. Тодi | \tau (m)| \geq \| \alpha k\| i
| \lambda k,m| = | \tau (m)| n
\bigm| \bigm| \bigm| a\^s(0) + \sum
\^s \not =\^s(0)
a\^s\tau
s0(m)\alpha s
k
\bigm| \bigm| \bigm| < \gamma (1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa 2(1 +m2) - \alpha 2\theta - 1
1 (k,m),
звiдки
\bigm| \bigm| \bigm| a\^s(0) +\sum
\^s \not =\^s(0)
a\^s\tau
s0(m)\alpha s
k
\bigm| \bigm| \bigm| < \gamma
| \tau (m)| n
(1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa 2(1 +m2) - \alpha 2\theta - 1
1 (k,m).
Оскiльки
\bigm| \bigm| \tau (m)
\bigm| \bigm| 2\geq C2+m2
2
\geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\}
2
(1+m2), звiдки | \tau (m)| n \geq
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\}
2
\biggr) n
2 \bigl(
1 +
+m2
\bigr) n
2 , C > 0, то виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \bigm| a\^s(0) + \sum
\^s \not =\^s(0)
a\^s\tau
s0(m)\alpha s
k
\bigm| \bigm| \bigm| < \gamma
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\}
2
\biggr) - n
2
(1 + \| \alpha k\| 2) - \kappa 2(1 +m2) - \alpha 2 - n
2 \theta - 1
1 (k,m).
Для мiри \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq(k,m) множини Aq(k,m) при (k,m) \in \Omega 2 справджується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq(k,m) \leq \pi p+1a2p0 \gamma
2
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\}
2
\biggr) - n
(1 + \| \alpha k\| 2) - 2\kappa 2(1 +m2) - 2\alpha 2 - n\theta - 2
1 (k,m). (15)
Запишемо оцiнку \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq(k,m) \leq \~C\pi p+1a2p0 p
n\gamma 2(1+\| \alpha k\| 2) - 2\kappa (1+m2) - 2\alpha \theta - 2
1 (k,m), де \~C =
= (\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, C2\} /2) - n, для мiри множини Aq(k,m) при довiльному векторi (k,m), врахувавши
нерiвностi (14), (15):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
462 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq \leq
\sum
(k,m)\in \Omega Nq
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq(k,m) \leq
\leq \~Cp2n\pi p+1a2p0 \gamma
2
\sum
(k,m)\in \Omega Nq
(1 + \| \alpha k\| 2) - 2\kappa (1 +m2) - 2\alpha \theta - 2
1 (k,m) \leq
\leq \~Cp2n\pi p+1a2p0 \gamma
2
\sum
k\in \BbbN
(1 + \| \alpha k\| 2) - 2\kappa \varphi 2
1(k)
\sum
m\in \BbbZ
(1 +m2) - 2\alpha \psi 2
1(m) \leq \~Cp2n\pi p+1a2p0 \gamma
2\zeta 1(2)\zeta 2(2).
Тодi для мiри \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA q множини \scrA q справедливою є оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA q \leq \pi \varepsilon 20\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}Aq \leq \~C\pi p+2\varepsilon 20p
2na2p0 \gamma
2\zeta 1(2)\zeta 2(2).
Знайдемо мiру \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}q\rightarrow \infty \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA q, а саме \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty \leq \~C\pi p+2\varepsilon 20p
2na2p0 \gamma
2\zeta 1(2)\zeta 2(2).
Мiра множини \scrA \infty має асимптотику \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty =
\gamma \rightarrow 0
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}
\bigl(
\scrO \varepsilon 0 \times \scrO p+1
a0
\bigr)
+O(\gamma 2), зокрема
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty \geq \varepsilon 20a
2p+2
0 \pi p+2 - \~C\pi p+2\varepsilon 20p
2na2p0 \zeta 1(2)\zeta 2(2)\gamma
2 =
= \varepsilon 20a
2p+2
0 \pi p+2
\Biggl(
1 - \gamma 2
\~Cp2n\zeta 1(2)\zeta 2(2)
a20
\Biggr)
.
Теорему 2 доведено.
Доведемо теорему iснування розв’язку u задачi (1), (2) у просторi \bfX d,r,\theta .
Теорема 3. Для всiх векторiв (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA \infty , довiльного \gamma > 0 i натурального N0 \geq 2 ряд\sum
i\geq 0
hi є збiжним у просторi \bfX d,r,\theta до розв’язку u задачi (1), (2), норма якого визначається
нерiвнiстю \| u\| d,r,\theta \leq
| \varepsilon |
\gamma
8C3B0
N4\delta
0
.
Доведення. За теоремою 1 для всiх (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in \scrA \infty для мажорантного ряду
\sum
i\geq 0
\| hi\| d,r,\theta
виконується оцiнка \sum
i\geq 0
\| hi\| d,r,\theta \leq
\sum
i\geq 0
4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
i .
Тому ряд
\sum
i\geq 0
hi збiгається у просторi \bfX d,r,\theta до деякої функцiї u \in \bfX d,r,\theta , оскiльки
\| u\| d,r,\theta \leq
\sum
i\geq 0
\| hi\| d,r,\theta \leq
\sum
i\geq 0
4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
i =4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
\sum
i\geq 0
\bigl(
N2i
0
\bigr) - 4\delta \leq 4C3B0
| \varepsilon |
\gamma
2
N4\delta
0
=
8C3B0
N4\delta
0
| \varepsilon |
\gamma
.
Покажемо, що Lu = \varepsilon f(u). Функцiя uq є розв’язком рiвняння (PNq), тодi
Luq = \varepsilon PNqf(uq) = \varepsilon f(uq) - \varepsilon P\bot
Nq
f(uq). (16)
З властивостi (6) проектора P\bot
Nq
, (P2) i оцiнки для Bq у доведеннi теореми 1 знаходимо\bigm\| \bigm\| P\bot
Nq
f(uq)
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq N - 2\beta
q \| f(uq)\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq C0N
- 2\beta
q Bq \leq C0B0N
- 24\delta
q N4\delta
q+1 =
= C0B0N
- 24\delta
q N8\delta
q = C0B0N
- 16\delta
q = C0B0N
- 16\delta 2q
0 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО . . . 463
Звiдси випливає, що P\bot
Nq
f(uq) \rightarrow 0 при q \rightarrow \infty . За властивiстю (P1) права частина (16) є
збiжною до \varepsilon f(u) у просторi \bfX d,r,\theta , а з неперервностi оператора L випливає, що лiва час-
тина (16) Luq при q \rightarrow \infty збiгається до Lu у сенсi розподiлiв.
Теорему 3 доведено.
Отже, за допомогою iтерацiйної схеми Неша – Мозера для довiльного числа \gamma > 0 за умо-
ви (10) доведено iснування розв’язку u \in \bfX d,r,\theta задачi (1), (2) для всiх векторiв (\vec{}\varepsilon ,\vec{}a) \in
\in \scrA \infty (\gamma ) \subset \scrO \varepsilon 0 \times \scrO p+1
a0 , причому \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\scrA \infty (\gamma ) \geq (1 - \Gamma 1\gamma
2)\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}(\scrO \varepsilon 0 \times \scrO p+1
a0 ), \Gamma 1 =
=
\~Cp2n\zeta 1(2)\zeta 2(2)
a20
.
4. Доведення допомiжних лем. Доведення леми 1. Для всiх векторiв \vec{}a \in Aq
оператор | \scrD | -
1
2 iснує, оскiльки \scrD не має нульового власного значення. Якщо
h =
\sum
(k,m)\in \Omega Nq
e\tau (m)txkhk,m, то | \scrD | -
1
2h =
\sum
(k,m)\in \Omega Nq
hk,m\varphi k,m\sqrt{}
| \lambda k,m|
, а з нерiвностi (9) ви-
пливає оцiнка\bigm\| \bigm\| | \scrD | -
1
2h
\bigm\| \bigm\| 2
d\ast ,r\ast ,\theta ,\Omega j
=
\sum
(k,m)\in \Omega Nq
(1 + \| \alpha k\| 2)d
\ast
(1 +m2)r
\ast
\theta 2(k,m)
| hk,m| 2
| \lambda k,m|
\leq
\leq
\sum
(k,m)\in \Omega Nq
1
\gamma
(1 + \| \alpha k\| 2)d
\ast +\kappa j (1 +m2)r
\ast +\alpha j\theta 2(k,m)\theta 1(k,m)| hk,m| 2 = 1
\gamma
\| h\| 2
d\ast +\kappa j ,r\ast +\alpha j ,\theta \theta
1
2
1 ,\Omega j
,
що й доводить лему 1.
Доведення леми 2. Оскiльки \scrU = | \scrD | -
1
2\scrD | \scrD | -
1
2 , то його дiю на h \in \bfX d\ast ,r\ast ,\theta задає формула
\scrU h =
\sum
(k,m)\in \BbbN \times \BbbZ
\lambda k,m
| \lambda k,m|
hk,m\varphi k,m, де \lambda k,m — власнi значення оператора \scrD . Використовуючи
означення простору \bfX d\ast ,r\ast i норми у цьому просторi, отримуємо \| \scrU - 1h\| d\ast ,r\ast ,\theta = \| h\| d\ast ,r\ast ,\theta .
Лему 2 доведено.
Доведення леми 3. Оскiльки \scrR 1h = \varepsilon | \scrD | -
1
2\mathrm{P}Nq
\bigl(
Duf | \scrD | -
1
2h
\bigr)
, то, використовуючи лему 1,
умову (P3) i нерiвнiсть (5), одержуємо
\| \scrR 1h\| \=d,\=r,\theta ,\Omega j
\leq | \varepsilon | 1
\surd
\gamma
\bigm\| \bigm\| \mathrm{P}Nq\mathrm{D}uf | \scrD | -
1
2h
\bigm\| \bigm\|
\=d+\kappa j ,\=r+\alpha j ,\theta \theta
1
2
1 ,\Omega j
\leq
\leq | \varepsilon | 1
\surd
\gamma
N - 3\delta
q \| \mathrm{D}uf | \scrD | -
1
2h\|
\=d+4\kappa j ,\=r+4\alpha j ,\theta \theta
1
2
1 ,\Omega j
\leq | \varepsilon | 1
\surd
\gamma
N - 3\delta
q C1\| | \scrD | -
1
2h\|
\=d,\=r,\theta \theta
1
2
1 ,\Omega j
\leq
\leq C1| \varepsilon |
1
\gamma
N - 3\delta
q \| h\| \=d+\kappa j ,\=r+\alpha j ,\theta \theta 1,\Omega j
\leq C1| \varepsilon |
K \prime K \prime \prime
\gamma
\| h\| \=d,\=r,\theta ,\Omega j
\leq C1| \varepsilon |
K \prime K \prime \prime
\gamma
\| h\| \=d,\=r,\theta .
Лему 3 доведено.
Доведення леми 4. Оскiльки uq+1 = uq + hq+1 i hq+1 \in Gq+1, то
Bq+1 = 1 + \| uq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq 1 + \| uq\| d+\beta ,r+\beta ,\theta + \| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta = Bq + \| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta .
Для норми розв’язку hq+1 рiвняння hq+1 = - \scrL - 1
Nq+1
(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq)
\bigl(
rq + Rq(hq+1)
\bigr)
у просторi
\bfX d+\beta ,r+\beta ,\theta справджується оцiнка
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq
2K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
q+1
\bigl(
\| rq\| d+\beta ,r+\beta ,\theta + \| Rq(hq+1)\| d+\beta ,r+\beta ,\theta
\bigr)
. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
464 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА
Оскiльки rq = - \varepsilon \mathrm{P}\bot
Nq
\mathrm{P}Nq+1f(uq), то, використовуючи властивiсть (P2), записуємо оцiнку для
\| rq\| d+\beta ,r+\beta ,\theta :
\| rq\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq | \varepsilon | \| f(uq)\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq | \varepsilon | C0(1 + \| uq\| d+\beta ,r+\beta ,\theta ) = | \varepsilon | C0Bq. (18)
Для оцiнки величини \| Rq(hq+1)\| d+\beta ,r+\beta ,\theta застосуємо лему 5 i властивiсть (P4):
\| Rq(hq+1)\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq | \varepsilon | C2
\bigl(
\| uq\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \| hq+1\| 2d,r,\theta + \| hq+1\| d,r,\theta \| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta
\bigr)
\leq
\leq | \varepsilon | C2
\bigl(
Bq\rho
2
q+1 + \rho q+1\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta
\bigr)
. (19)
Пiдставляючи оцiнки (18), (19) у нерiвнiсть (17), отримуємо
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq
2K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
q+1
\Bigl(
| \varepsilon | C0Bq + | \varepsilon | C2
\bigl(
Bq\rho
2
q+1 + \rho q+1\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta
\bigr) \Bigr)
=
= 2K \prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1(C0Bq + C2\rho
2
q+1Bq + C2\rho q+1\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta ) <
< C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1(2Bq + \rho 2q+1Bq + \rho q+1\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta ).
Враховуючи лему 5 i рiвнiсть (10) при | \varepsilon | <\varepsilon 0, з нерiвностi 4C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1\rho q+1<4C3
\varepsilon 0
\gamma
N4\delta
q+1\rho q+1<1
одержуємо для q \geq 2 оцiнку
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq 2C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1Bq +
\rho q+1
4
Bq +
1
4
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta < 2C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1Bq+
+C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
q+1Bq +
1
4
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta = 2C3
| \varepsilon |
\gamma
Bq(N
4\delta
q+1 +
1
2
B0N
- 4\delta
q+1 ) +
1
4
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq
\leq 4C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1Bq +
1
4
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta .
Тодi
3
4
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq 4C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1Bq для q \geq 2, звiдки, враховуючи (10) при | \varepsilon | < \varepsilon 0, маємо
\| hq+1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq
16
3
C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1Bq \leq N4\delta
q+1Bq, q \geq 2,
\| h1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq
8
3
C3
| \varepsilon |
\gamma
(1 + \alpha 1)N
4\delta
1 B0, \| h2\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq
8
3
C3
| \varepsilon |
\gamma
(1 + \alpha 2)N
4\delta
2 B1,
де \alpha 1 =
1
2
B0N
- 16\delta
0 , \alpha 2 =
1
2
B0N
- 32\delta
0 .
З (10) випливає, що | \varepsilon | < y1 i, отже, | \varepsilon | < 3\gamma
\Bigl(
8C3
\Bigl(
1+
1
2
N - 16\delta
0
\Bigl(
1+
| \varepsilon |
\gamma
2C0K
\prime K \prime \prime N16\delta
0
\Bigr) \Bigr) \Bigr) - 1
,
звiдки | \varepsilon | < 3\gamma
\Bigl(
8C3(1 + \alpha 1)
\Bigr) - 1
. Тодi виконується нерiвнiсть \| h1\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq N4\delta
1 B0. Анало-
гiчно за умовою (10) справджується нерiвнiсть | \varepsilon | < y2 i, отже, | \varepsilon | < 3\gamma
\Bigl(
8C3
\Bigl(
1+
1
2
N - 32\delta
0
\Bigl(
1+
+
| \varepsilon |
\gamma
2C0K
\prime K \prime \prime N16\delta
0
\Bigr) \Bigr) \Bigr) - 1
. Тодi | \varepsilon | < 3\gamma
\Bigl(
8C3(1 + \alpha 2)
\Bigr) - 1
i \| h2\| d+\beta ,r+\beta ,\theta \leq N4\delta
2 B1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI НЕЛОКАЛЬНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО . . . 465
Отже, Bq+1\leq Bq +N4\delta
q+1Bq=(1 +N4\delta
q+1)Bq, що i потрiбно було довести.
Лему 4 доведено.
Доведення леми 5. За властивiстю (P5) для h \in Gq+1 маємо
\| Hq+1(h)\| d,r,\theta \leq
2K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
q+1
\bigl(
\| rq\| d,r,\theta + \| Rq(h)\| d,r,\theta
\bigr)
\leq
\leq 2C0K
\prime K \prime \prime B0
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1N
- 2\beta
q N4\delta
q+1 + 4C2K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1\| h\| 2d,r,\theta .
Враховуючи значення \beta , рiвнiсть Nq+1 = N2
q , формулу (10) i умову | \varepsilon | < \varepsilon 0, отримуємо
нерiвнiсть
\| Hq+1(h)\| d,r,\theta \leq 2C0K
\prime K \prime \prime B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
q+1 + 4C2K
\prime K \prime \prime | \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1\rho
2
q+1 \leq
\leq 2C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
q+1 + 2C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1\rho
2
q+1 \leq
\rho q+1
2
+ 8B0
\biggl(
C3
| \varepsilon |
\gamma
\biggr) 2
\rho q+1 \leq \rho q+1,
тому оператор Hq+1 вiдображає Gq+1 в себе.
Для довiльних h, h\prime \in Gq+1 виконується Hq+1(h) - Hq+1(h
\prime )= - \scrL - 1
Nq+1
(\vec{}\varepsilon ,\vec{}a, uq)
\bigl(
Rq(h) - Rq(h
\prime )
\bigr)
,
тому для норми цiєї рiзницi у просторi \bfX d,r,\theta справедливою є оцiнка
\| Hq+1(h) - Hq+1(h
\prime )\| d,r,\theta \leq
2K \prime K \prime \prime
\gamma
N4\delta
q+1
\bigm\| \bigm\| Rq(h) - Rq(h
\prime )
\bigm\| \bigm\|
d,r,\theta
\leq
\leq 2C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+1(\| h\| d,r,\theta + 2\| h\prime \| d,r,\theta )\| h - h\prime \| d,r,\theta \leq
\leq 2C3
| \varepsilon |
\gamma
N4\delta
q+112C3B0
| \varepsilon |
\gamma
N - 4\delta
q+1 \| h - h\prime \| d,r,\theta \leq 24B0
\biggl(
C3
| \varepsilon |
\gamma
\biggr) 2
\| h - h\prime \| d,r,\theta .
З (10) випливає, що | \varepsilon | < y1 i | \varepsilon | < \gamma
\biggl(
2
\surd
6C3
\sqrt{}
1 +
| \varepsilon |
\gamma
2C0K \prime K \prime \prime N16\delta
0
\biggr) - 1
, звiдки одержу-
ємо нерiвнiсть | \varepsilon | < \gamma
2C3
\surd
6B0
. Отже, оператор Hq+1 є стиском.
Лему 5 доведено.
5. Висновки. У роботi дослiджено нелокальну крайову задачу для диференцiально-опера-
торного рiвняння зi слабко нелiнiйною правою частиною у гiльбертових просторах Херманде-
ра, що утворюють уточнену соболєвську шкалу просторiв функцiй багатьох дiйсних змiнних.
Знаходження умов розв’язностi проведено за допомогою iтерацiйної схеми Неша – Мозера.
Отримано оцiнки норм у вiдповiдних функцiональних просторах обернених лiнеаризованих
операторiв, якi виникають на кожному кроцi цiєї схеми; побудовано послiдовнiсть наближе-
них розв’язкiв. При цьому виникає проблема малих знаменникiв, яку вирiшено за допомогою
метричного пiдходу.
Лiтература
1. Б. Й. Пташник, В. С. Iлькiв, I. Я. Кмiть, В. М. Полiщук, Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь з частинними
похiдними, Наук. думка, Київ (2002).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
466 В. С. IЛЬКIВ, Н. I. СТРАП, I. I. ВОЛЯНСЬКА
2. P. W. Eloea, B. Ahmadb, Positive solutions of a nonlinear nth order boundary value problem with nonlocal conditions,
J. Appl. Math. Lett., 18, № 5, 521 – 527 (2005).
3. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Extended Sobolev scale and elliptic operators, Ukr. Math. J., 65, № 3, 435 – 447
(2013).
4. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems, De Gruyter, Berlin; Boston
(2014).
5. V. S. Il’kiv, Z. M. Nytrebych, P. Y. Pukach, Nonlocal problem with moment conditions for hyperbolic equations,
Electron. J. Different. Equat., 2017, № 265, 1 – 9 (2017).
6. В. С. Iлькiв, Н. I. Страп, Розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для системи диференцiально-операторних
рiвнянь у шкалi просторiв Соболєва та уточненiй шкалi, Укр. мат. журн., 67, № 5, 611 – 624 (2014).
7. В. С. Iлькiв, Н. I. Страп, Про розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для диференцiально-операторного
рiвняння в уточненiй соболєвськiй шкалi, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 10, № 2, 1 – 23 (2013).
8. M. Berti, P. Bolle, Cantor families of periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations, Duke
Math. J., 134, № 2, 359 – 419 (2006).
9. M. Berti, P. Bolle, Cantor families of periodic solutions of wave equations with Ck nonlinearities, Nonlinear Different.
Equat. and Appl., 15, 247 – 276 (2008).
10. I. Volyanska, V. Il’kiv, N. Strap, Solvability conditions of nonlocal boundary value problem for the differential-
operator equation with weak nonlinearity, Mat. Stud., 50, № 1, 44 – 59 (2018).
Одержано 15.12.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2270 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:43Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/99e74180dc3881aba816a859da9a5044.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22702022-03-26T11:01:34Z Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables Условия разрешимости нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения со слабой нелинейностью в уточненной Соболевский шкале пространств функций многих действительных переменных Умови розв'язності нелокальної крайової задачі для диференціально-операторного рівняння зі слабкою нелінійністю в уточненій соболєвській шкалі просторів функцій багатьох дійсних змінних Il’kiv, V. S. Strap , N. I. Volyanska , I. I. Iлькiв, В. С. Страп, Н. І. Волянська, I. I. UDC 517.946+511.37 We investigate the solvability of a nonlocal boundary value problem for a differential equation with nonlinearity. Using the Nash–Mozer iteration scheme, we establish conditions of solvability of the problem in the Hörmander spaces of functions of several real variables that form a refined Sobolev scale. УДК 517.946+511.37Розглянуто нелокальну крайову задачу для диференціального рівняння зі слабкою нелінійністю. За допомогою ітераційної схеми Неша–Мозера встановлено умови розв'язності даної задачі у гільбертових просторах Хермандера функцій багатьох дійсних змінних, що утворюють уточнену соболєвську шкалу просторів. УДК 517.946+511.37 Розглянуто нелокальну крайову задачу для диференціального рівняння зі слабкою нелінійністю. За допомогою ітераційної схеми Неша–Мозера встановлено умови розв'язності даної задачі у гільбертових просторах Хермандера функцій багатьох дійсних змінних, що утворюють уточнену соболєвську шкалу просторів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-30 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2270 10.37863/umzh.v72i4.2270 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 4 (2020); 452-466 Український математичний журнал; Том 72 № 4 (2020); 452-466 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2270/8700 Copyright (c) 2020 Наталія Страп |
| spellingShingle | Il’kiv, V. S. Strap , N. I. Volyanska , I. I. Iлькiв, В. С. Страп, Н. І. Волянська, I. I. Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables |
| title | Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables |
| title_alt | Условия разрешимости нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения со слабой нелинейностью в уточненной Соболевский шкале пространств функций многих действительных переменных Умови розв'язності нелокальної крайової задачі для диференціально-операторного рівняння зі слабкою нелінійністю в уточненій соболєвській шкалі просторів функцій багатьох дійсних змінних |
| title_full | Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables |
| title_fullStr | Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables |
| title_full_unstemmed | Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables |
| title_short | Solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined Sobolev scale of spaces of functions of several real variables |
| title_sort | solvability conditions of a nonlocal boundary value problem for a differential-operator equation with nonlinearity in a refined sobolev scale of spaces of functions of several real variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2270 |
| work_keys_str_mv | AT ilkivvs solvabilityconditionsofanonlocalboundaryvalueproblemforadifferentialoperatorequationwithnonlinearityinarefinedsobolevscaleofspacesoffunctionsofseveralrealvariables AT strapni solvabilityconditionsofanonlocalboundaryvalueproblemforadifferentialoperatorequationwithnonlinearityinarefinedsobolevscaleofspacesoffunctionsofseveralrealvariables AT volyanskaii solvabilityconditionsofanonlocalboundaryvalueproblemforadifferentialoperatorequationwithnonlinearityinarefinedsobolevscaleofspacesoffunctionsofseveralrealvariables AT ilʹkivvs solvabilityconditionsofanonlocalboundaryvalueproblemforadifferentialoperatorequationwithnonlinearityinarefinedsobolevscaleofspacesoffunctionsofseveralrealvariables AT strapní solvabilityconditionsofanonlocalboundaryvalueproblemforadifferentialoperatorequationwithnonlinearityinarefinedsobolevscaleofspacesoffunctionsofseveralrealvariables AT volânsʹkaii solvabilityconditionsofanonlocalboundaryvalueproblemforadifferentialoperatorequationwithnonlinearityinarefinedsobolevscaleofspacesoffunctionsofseveralrealvariables AT ilkivvs usloviârazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâdifferencialʹnooperatornogouravneniâsoslabojnelinejnostʹûvutočnennojsobolevskijškaleprostranstvfunkcijmnogihdejstvitelʹnyhperemennyh AT strapni usloviârazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâdifferencialʹnooperatornogouravneniâsoslabojnelinejnostʹûvutočnennojsobolevskijškaleprostranstvfunkcijmnogihdejstvitelʹnyhperemennyh AT volyanskaii usloviârazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâdifferencialʹnooperatornogouravneniâsoslabojnelinejnostʹûvutočnennojsobolevskijškaleprostranstvfunkcijmnogihdejstvitelʹnyhperemennyh AT ilʹkivvs usloviârazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâdifferencialʹnooperatornogouravneniâsoslabojnelinejnostʹûvutočnennojsobolevskijškaleprostranstvfunkcijmnogihdejstvitelʹnyhperemennyh AT strapní usloviârazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâdifferencialʹnooperatornogouravneniâsoslabojnelinejnostʹûvutočnennojsobolevskijškaleprostranstvfunkcijmnogihdejstvitelʹnyhperemennyh AT volânsʹkaii usloviârazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâdifferencialʹnooperatornogouravneniâsoslabojnelinejnostʹûvutočnennojsobolevskijškaleprostranstvfunkcijmnogihdejstvitelʹnyhperemennyh AT ilkivvs umovirozv039âznostínelokalʹnoíkrajovoízadačídlâdiferencíalʹnooperatornogorívnânnâzíslabkoûnelíníjnístûvutočneníjsobolêvsʹkíjškalíprostorívfunkcíjbagatʹohdíjsnihzmínnih AT strapni umovirozv039âznostínelokalʹnoíkrajovoízadačídlâdiferencíalʹnooperatornogorívnânnâzíslabkoûnelíníjnístûvutočneníjsobolêvsʹkíjškalíprostorívfunkcíjbagatʹohdíjsnihzmínnih AT volyanskaii umovirozv039âznostínelokalʹnoíkrajovoízadačídlâdiferencíalʹnooperatornogorívnânnâzíslabkoûnelíníjnístûvutočneníjsobolêvsʹkíjškalíprostorívfunkcíjbagatʹohdíjsnihzmínnih AT ilʹkivvs umovirozv039âznostínelokalʹnoíkrajovoízadačídlâdiferencíalʹnooperatornogorívnânnâzíslabkoûnelíníjnístûvutočneníjsobolêvsʹkíjškalíprostorívfunkcíjbagatʹohdíjsnihzmínnih AT strapní umovirozv039âznostínelokalʹnoíkrajovoízadačídlâdiferencíalʹnooperatornogorívnânnâzíslabkoûnelíníjnístûvutočneníjsobolêvsʹkíjškalíprostorívfunkcíjbagatʹohdíjsnihzmínnih AT volânsʹkaii umovirozv039âznostínelokalʹnoíkrajovoízadačídlâdiferencíalʹnooperatornogorívnânnâzíslabkoûnelíníjnístûvutočneníjsobolêvsʹkíjškalíprostorívfunkcíjbagatʹohdíjsnihzmínnih |