Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation
We study the behavior of a multidimensional singular integral operator in the function spaces de ned by the conditions imposed on generalized oscillation of a function.
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2278 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508221191487488 |
|---|---|
| author | Rzaev, R. M. Aliyeva, L. R. Huseinova, L. E. Rzaev, Rahim Aliyeva, Lale Huseinova, Lale Рзаєв, Р. М. Алiєва, Л. Р. Гусейнова, Л. Е. |
| author_facet | Rzaev, R. M. Aliyeva, L. R. Huseinova, L. E. Rzaev, Rahim Aliyeva, Lale Huseinova, Lale Рзаєв, Р. М. Алiєва, Л. Р. Гусейнова, Л. Е. |
| author_sort | Rzaev, R. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:40Z |
| description |
We study the behavior of a multidimensional singular integral operator in the function spaces de ned by the conditions imposed on generalized oscillation of a function.
|
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i9.2278 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i9.2278
УДК 517.518.13
Р. М. Рзаєв (Азербайджан. держ. пед. ун-т, Баку),
Л. Р. Алiєва, Л. Е. Гусейнова (Iн-т математики i механiки НАН Азербайджану, Баку)
СИНГУЛЯРНИЙ IНТЕГРАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР У ПРОСТОРАХ,
ЯКI ВИЗНАЧАЮТЬСЯ ЗА ДОПОМОГОЮ УЗАГАЛЬНЕНОЇ ОСЦИЛЯЦIЇ
We study the behavior of a multidimensional singular integral operator in the function spaces defined by the conditions
imposed on generalized oscillation of a function.
Вивчено поведiнку багатовимiрного сингулярного iнтегрального оператора у функцiональних просторах, якi визна-
чаються за допомогою умов на узагальнену осциляцiю функцiї.
1. Вступ. Нехай Rn — n-вимiрний евклiдiв простiр точок x =
\bigl(
x1, x2, . . . , xn
\bigr)
, B(a, r) :=
:= \{ x \in Rn : | x - a| \leq r\} — замкнена куля в Rn радiуса r > 0 з центром у точцi a \in Rn, N —
множина всiх натуральних чисел, \nu = (\nu 1, \nu 2, . . . , \nu n) , x
\nu = x\nu 11 x\nu 22 . . . x\nu nn , | \nu | = \nu 1 + \nu 2 + . . .
. . . + \nu n, де \nu 1, \nu 2, . . . , \nu n — невiд’ємнi цiлi числа. Через Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
позначимо сукупнiсть усiх
локально сумовних у Rn функцiй.
Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, k \in \mathrm{N}
\bigcup
\{ 0\} . Розглянемо полiном (див. [5, 13])
Pk,B(a.r)f(x) :=
\sum
| \nu | \leq k
\left( 1
| B(a, r)|
\int
B(a,r)
f(t)\varphi \nu
\biggl(
t - a
r
\biggr)
dt
\right) \varphi \nu
\biggl(
x - a
r
\biggr)
,
де | B(a, r)| позначає об’єм кулi B(a, r) i \{ \varphi \nu \} , | \nu | \leq k, — ортонормована система, отримана в
результатi застосування процесу ортогоналiзацiї вiдносно скалярного добутку
(f, g) :=
1
| B(0, 1)|
\int
B(0,1)
f(t)g(t)dt
до системи степеневих функцiй \{ x\nu \} , | \nu | \leq k, що розмiщенi в частково лексикографiчному
порядку [14] (див. також [16]). Pk,B(a,r)f — полiном степеня не вищого за k. Сукупнiсть усiх
полiномiв у Rn степеня не вищого за k позначимо через Pk. Таким чином, Pk,B(a,r)f \in Pk.
Модуль середньої осциляцiї k-го порядку (k \in N) локально сумовної функцiї f визнача-
ється рiвнiстю
Mk
f (\delta ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\Omega k
\bigl(
f,B(x, r)
\bigr)
: 0 < r \leq \delta , x \in Rn
\bigr\}
, \delta > 0,
де
\Omega k
\bigl(
f,B(x, r)
\bigr)
:=
1
| B(x, r)|
\int
B(x,r)
\bigm| \bigm| f(t) - Pk - 1,B(x,r)f(t)
\bigm| \bigm| dt, x \in Rn, r > 0.
\Omega k (f,B(a, r)) називається середньою осциляцiєю k-го порядку функцiї f у кулi B(a, r) у
метрицi L1.
c\bigcirc Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9 1231
1232 Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА
Через \Psi позначимо клас усiх додатних монотонно зростаючих на (0,+\infty ) функцiй \varphi (t)
таких, що \varphi (+0) = 0. За визначенням функцiю \varphi (t) \equiv 1 теж будемо вважати елементом класу
\Psi . Через \Psi k позначимо сукупнiсть усiх функцiй \varphi \in \Psi таких, що \varphi (t)t - k майже спадає1.
Нехай \varphi \in \Psi k, k \in N, 1 \leq \theta \leq \infty . Через BMOk
\varphi ,\theta позначимо сукупнiсть усiх функцiй
f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, для яких \| f\| BMOk
\varphi ,\theta
< +\infty , де \| f\| BMOk
\varphi ,\theta
:=
\left( \int \infty
0
\Biggl(
Mk
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
при
1 \leq \theta < \infty ,
\| f\| BMOk
\varphi ,\infty
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
Mk
f (t)
\varphi (t)
: t > 0
\Biggr\}
.
Зазначимо, що простори BMOk
\varphi ,\theta вперше введено в роботi [12]. Цi простори є банаховими
щодо зазначеної вище норми. Властивостi багатовимiрних сингулярних iнтегральних операто-
рiв у просторах BMOk
\varphi ,\theta дослiджено в роботах [11 – 13].
Неважко бачити, що якщо k = 1, \varphi (t) \equiv 1, \theta = \infty , то BMOk
\varphi ,\theta = BMO, де BMO —
простiр функцiй з обмеженою середньою осциляцiєю. Зауважимо, що простiр BMO введено в
роботi [8] у зв’язку з питаннями регулярностi розв’язкiв елiптичних диференцiальних рiвнянь
i вiн має численнi застосування в рiзних питаннях аналiзу. Простори Campanato введено в [4]
(див., наприклад, [18]), i вони є узагальненнями простору BMO. Простори BMOk
\varphi ,\theta можна
вiднести до просторiв типу Campanato.
Простори, що визначаються умовами на середню осциляцiю функцiй, є iнтенсивним об’єк-
том дослiдження з точки зору внутрiшнiх задач теорiї функцiй. Такими є, наприклад, задачi
опису гладкiсних властивостей функцiй у термiнах середньої осциляцiї, дослiдження iнтеграль-
них операторiв гармонiчного аналiзу у просторах типу BMO, а також питання апроксимацiї
локально сумовних функцiй сингулярними iнтегралами в термiнах середньої осциляцiї. Функ-
цiональнi простори, що визначаються умовами на середню осциляцiю функцiй, вивчались у
роботах багатьох авторiв (див., наприклад, [4, 5, 7, 9, 10, 19]). Вивчення зв’язкiв таких про-
сторiв iз ранiше вiдомими просторами та дослiдження сингулярних iнтегральних операторiв i
операторiв типу потенцiалу в цих просторах надають можливiсть, наприклад, вивчати бiльш
широкi класи диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними.
Питання про обмеженiсть сингулярних iнтегральних операторiв у деяких просторах типу
Campanato дослiджено, наприклад, у роботах [7, 10].
У роботах [11 – 13] одержано оцiнки типу оцiнки А. Зигмунда у термiнах модуля середньої
осциляцiї вищого порядку i за допомогою цих оцiнок доведено теореми про обмеженiсть
сингулярних iнтегральних операторiв у просторах BMOk
\varphi ,\theta .
2. Попереднi факти i позначення. Нехай \alpha > 0, r > 0 i
\Phi (\alpha )(x) = c(\alpha )n
1
1 + | x| n+\alpha
, \Phi (\alpha )
r (x) = r - n\Phi (\alpha )
\biggl(
x
r
\biggr)
,
де c
(\alpha )
n вибирається так, щоб виконувалась умова
1Невiд’ємна функцiя H(t), T \in (0,+\infty ), називається майже спадною, якщо iснує c > 0 таке, що для будь-яких
t1, t2 \in (0,+\infty ) (t1 < t2 \Rightarrow h(t1) \geq ch(t2)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
СИНГУЛЯРНИЙ IНТЕГРАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР У ПРОСТОРАХ, ЯКI ВИЗНАЧАЮТЬСЯ . . . 1233\int
Rn
\Phi (\alpha )(x)dx = 1.
Легко бачити, що тодi для будь-якого r > 0 має мiсце рiвнiсть\int
Rn
\Phi (\alpha )
r (x)dx = 1.
Для функцiї f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
введемо також такi позначення:
\Omega k,\alpha
\bigl(
f,B(x; r)
\bigr)
:=
\int
Rn
\Phi (\alpha )
r (x - t)
\bigm| \bigm| f(t) - Pk - 1,B(x,r)f(t)
\bigm| \bigm| dt, x \in Rn, r > 0,
Hk,\alpha
f (\delta ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \Omega k,\alpha (f,B(x, r)) : 0 < r \leq \delta , x \in Rn\} , \delta > 0.
Очевидно, що функцiя Hk,\alpha
f (\delta ) монотонно зростає за аргументом \delta \in (0,+\infty ). Величини
\Omega k,\alpha
\bigl(
f,B(x; r)
\bigr)
i Hk,\alpha
f (\delta ) вперше було введено в [17]. \Omega k,\alpha
\bigl(
f,B(x; r)
\bigr)
ми називаємо \Phi -
осциляцiєю або узагальненою осциляцiєю k-го порядку функцiї f у кулi B(x; r).
У роботi [17] доведено нерiвностi, що пов’язують характеристики Mk
f (\delta ) i Hk,\alpha
f (\delta ). А саме,
доведено такi твердження.
Теорема 2.1 [17]. Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, \alpha > 0, k \in N, k < \alpha + 1. Тодi виконується
нерiвнiсть
Hk,\alpha
f (\delta ) \leq c\delta \alpha
\infty \int
\delta
Mk
f (t)
t\alpha +1
dt, \delta > 0, (2.1)
де c > 0 не залежить вiд f i \delta .
Теорема 2.2 [17]. Якщо f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, \alpha > 0, k \in N, то виконується нерiвнiсть
Mk
f (\delta ) \leq cHk,\alpha
f (\delta ), \delta > 0, (2.2)
де c > 0 не залежить вiд f i \delta .
Нехай P (x) — ядро Пуассона для Rn, тобто P (x) = cn
\bigl(
1+ | x| 2
\bigr) - n+1
2 , де cn = \Gamma
\biggl(
n+ 1
2
\biggr)
\times
\times \pi - n+1
2 . Легко перевiрити, що P (x) \approx \Phi (1)(x), x \in Rn. Зазначимо, що для невiд’ємних
функцiй F (x) i G(x) (x \in X) запис F (x) \approx G(x), x \in X, означає таке: iснують додатнi сталi
c1 i c2 такi, що для всiх x \in X має мiсце нерiвнiсть
c1F (x) \leq G(x) \leq c2F (x).
Для f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
покладемо
Hf (\delta ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<r\leq \delta
x\in Rn
\int
Rn
Pr(x - t)
\bigm| \bigm| f(t) - Prf(x)
\bigm| \bigm| dt, \delta > 0,
де Pr(x) := r - nP
\biggl(
x
r
\biggr)
(r > 0), Prf(x) := (Pr \ast f)(x) =
\int
Rn
Pr(x - t)f(t)dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1234 Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА
Hf (\delta ) називається модулем гармонiчної осциляцiї (див. [3, 17]). У роботi [17] показано, що
Hf (\delta ) \approx H1,1
f (\delta ), \delta > 0, де сталi вiдносно \approx не залежать вiд f i \delta .
Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, \alpha > 0, k \in N, \varphi \in \Psi k. Будемо використовувати також такi позначення
(див. [1]):
Ak,\alpha
\varphi ,\theta (f) :=
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
при 1 \leq \theta < \infty ,
Ak,\alpha
\varphi ,\infty (f) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
: t > 0
\Biggr\}
;
A\varphi ,\theta (f) :=
\left( \infty \int
0
\biggl(
Hf (t)
\varphi (t)
\biggr) \theta dt
t
\right) 1/\theta
при 1 \leq \theta < \infty ,
A\varphi ,\infty (f) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
Hf (t)
\varphi (t)
: t > 0
\biggr\}
.
Нехай \varphi \in \Psi k, k \in N, 1 \leq \theta \leq \infty , \alpha > 0, k < \alpha + 1. Через HOk,\alpha
\varphi ,\theta позначимо сукупнiсть
усiх функцiй f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, для яких Ak,\alpha
\varphi ,\theta < +\infty . Можна перевiрити, що HOk,\alpha
\varphi ,\theta є лiнiйним
простором. Оскiльки для будь-якого полiнома \pi \in Pk - 1 i довiльної кулi B з Rn виконується
рiвнiсть \Omega k,\alpha (\pi ,B) = 0, то ми ототожнюємо f \in HOk,\alpha
\varphi ,\theta з функцiєю f + \pi , де \pi \in Pk - 1.
Тому клас HOk,\alpha
\varphi ,\theta можна розглядати як пiдмножину у фактор-просторi Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
/Pk - 1. Норму
в цьому класi введемо рiвнiстю
\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
:= Ak,\alpha
\varphi ,\theta .
Введемо також такi позначення:
HO\varphi ,\theta :=
\bigl\{
f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
: A\varphi ,\theta (f) < +\infty
\bigr\}
,
\| f\| HO\varphi ,\theta
:= A\varphi ,\theta (f), \varphi \in \Psi 1, 1 \leq \theta \leq \infty .
Якщо врахувати, що Hf (\delta ) \approx H1,1
f (\delta ), \delta > 0, то з визначень отримуємо, що HO1,1
\varphi ,\theta = HO\varphi ,\theta i
їхнi норми еквiвалентнi.
3. Про iзоморфiзм просторiв \bfitH \bfitO \bfitk ,\bfitalpha
\bfitvarphi ,\bfittheta i \bfitB \bfitM \bfitO \bfitk
\bfitvarphi ,\bfittheta .
Теорема 3.1. Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, 1 \leq \theta \leq \infty , \alpha > 0, k \in N, \varphi \in \Psi k. Тодi якщо
Ak,\alpha
\varphi ,\theta (f) < +\infty , то f \in BMOk
\varphi ,\theta i виконується нерiвнiсть
\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
\leq cAk,\alpha
\varphi ,\theta (f),
де стала c > 0 не залежить вiд f.
Доведення. Нехай спочатку \theta = \infty . Якщо Ak,\alpha
\varphi ,\theta (f) < +\infty , то це означає, що
Hk,\alpha
f (\delta ) \leq Ak,\alpha
\varphi ,\infty (f)\varphi (\delta ), \delta > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
СИНГУЛЯРНИЙ IНТЕГРАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР У ПРОСТОРАХ, ЯКI ВИЗНАЧАЮТЬСЯ . . . 1235
Звiдси завдяки нерiвностi (2.2) отримуємо
Mk
f (\delta ) \leq cHk,\alpha
f (\delta ) \leq cAk,\alpha
\varphi ,\infty (f)\varphi (\delta ), \delta > 0.
Останнє означає, що f \in BMOk
\varphi ,\theta i, крiм того,
\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
\leq cAk,\alpha
\varphi ,\theta (f), \delta > 0,
де c > 0 — стала з нерiвностi (2.2).
Якщо 1 \leq \theta < \infty , то у випадку Ak,\alpha
\varphi ,\theta (f) < +\infty , застосовуючи нерiвнiсть (2.2), маємо
\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
=
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Mk
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq c
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
= cAk,\alpha
\varphi ,\theta (f),
тобто i в цьому випадку одержуємо необхiдне твердження.
Теорему доведено.
Нехай \mu — додатне число. Через Z\mu позначимо сукупнiсть усiх функцiй \varphi \in \Psi таких, що
\delta \mu
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\mu +1
dt = O
\bigl(
\varphi (\delta )
\bigr)
, \delta > 0. (3.1)
Зауважимо, що в подальшому через (\alpha ) позначається найбiльше цiле число, яке менше за
число \alpha .
Теорема 3.2. Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, \alpha > 0, k = (\alpha ) + 1 i \varphi \in Z\alpha . Тодi якщо f \in BMOk
\varphi ,\theta ,
то справджуються спiввiдношення:
a)
\int
Rn
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm|
1 + | x| n+\alpha
dx < +\infty ,
b) Ak,\alpha
\varphi ,\theta (f) < +\infty .
При цьому виконується нерiвнiсть
Ak,\alpha
\varphi ,\theta (f) \leq c\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
, (3.2)
де стала c > 0 не залежить вiд f.
Доведення. Нехай f \in BMOk
\varphi ,\theta . Спочатку розглянемо випадок \theta = \infty . Тодi маємо
Mk
f (r) \leq \| f\| BMOk
\varphi ,\infty
\varphi (r), r > 0. (3.3)
У цьому випадку справедливiсть твердження a) випливає з теореми 1 роботи [15]. Далi завдяки
нерiвностям (2.1), (3.3) й умовi \varphi \in Z\alpha маємо
Hk,\alpha
f (\delta ) \leq c\delta \alpha
\infty \int
\delta
Mk
f (t)
t\alpha +1
dt \leq c\| f\| BMOk
\varphi ,\infty
\delta \alpha
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\alpha +1
dt \leq
\leq c1\| f\| BMOk
\varphi ,\infty
\varphi (\delta ), \delta > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1236 Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА
де c1 > 0 не залежить вiд f i \delta . Звiдси отримуємо
Ak,\alpha
\varphi ,\infty (f) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
Hk,\alpha
f (\delta )
\varphi (\delta )
: \delta > 0
\Biggr\}
\leq c1\| f\| BMOk
\varphi ,\infty
,
тобто має мiсце твердження b) теореми й виконується нерiвнiсть (3.2).
Нехай тепер 1 \leq \theta < \infty i f \in BMOk
\varphi ,\theta . Тодi для будь-якого r \in (0,+\infty ) маємо\left( \infty \int
r
\Biggl(
Mk
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\geq
\left( 2r\int
r
\Biggl(
Mk
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\geq
Mk
f (r)
\varphi (2r)
(\mathrm{l}\mathrm{n} 2)1/\theta . (3.4)
Покажемо, що якщо виконується умова \varphi \in Z\alpha , то справджується спiввiдношення \varphi (2r) \approx
\approx \varphi (r), r > 0. Справдi, завдяки монотонному зростанню \varphi маємо \varphi (r) \leq \varphi (2r), r > 0. З
iншого боку, за допомогою нерiвностi (3.1) з \mu = \alpha отримуємо
c\varphi (r) \geq \delta \alpha
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\alpha +1
dt \geq \delta \alpha
\infty \int
2\delta
\varphi (t)
t\alpha +1
dt \geq \varphi (2r)\delta \alpha
\infty \int
2\delta
t - 1 - \alpha dt = \varphi (2r)
1
\alpha \cdot 2\alpha
,
тобто \varphi (2r) \leq c\alpha \cdot 2\alpha \varphi (r), r > 0. Таким чином, \varphi (2r) \approx \varphi (r), r > 0.
Далi, зi спiввiдношення (3.4) одержуємо
Mk
f (r) = (\mathrm{l}\mathrm{n} 2) - 1/\theta c\varphi (r)
\left( \infty \int
r
\Biggl(
Mk
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq c1\varphi (r)\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
, r \in (0,+\infty ),
звiдки, зокрема, випливає, що
\infty \int
1
Mk
f (t)
t\alpha +1
dt \leq c1\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
\infty \int
1
\varphi (t)
t\alpha +1
dt < +\infty .
Тому й у цьому випадку, застосовуючи теорему 1 з [15], переконуємось у справедливостi
твердження а).
Введемо позначення Gk,\alpha
f (r) := r\alpha
\int \infty
r
Mk
f (t)
t\alpha +1
dt i доведемо, що
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Gk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq c\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
,
де стала c > 0 не залежить вiд f.
Нехай g \in L\theta 1(0,+\infty ), g(t) \geq 0 (t > 0),
1
\theta 1
+
1
\theta
= 1. Тодi, змiнюючи порядок iнтегрування,
отримуємо
\infty \int
0
Gk,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
g(t)dt =
\infty \int
0
\left( 1
t1/\theta \varphi (t)
t\alpha
\infty \int
t
Mk
f (y)
y\alpha +1
dy
\right) g(t)dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
СИНГУЛЯРНИЙ IНТЕГРАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР У ПРОСТОРАХ, ЯКI ВИЗНАЧАЮТЬСЯ . . . 1237
=
\infty \int
0
Mk
f (y)
y\alpha +1
\left( y\int
0
t\alpha g(t)
t1/\theta \varphi (t)
\right) dy. (3.5)
Вiдомо [2], що якщо виконується умова \varphi \in Z\alpha , то iснує число \nu \in (0, \alpha ) таке, що
\varphi (t)
t\nu
майже спадає. Нехай \beta = \nu - \alpha +
1
\theta
. Тодi за допомогою (3.5) одержуємо
\infty \int
0
Gk,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
g(t) dt =
\infty \int
0
Mk
f (y)
y\alpha +1
\left(
y\int
0
g(t)\biggl(
\varphi (t)
t\nu
\biggr)
t\beta
dt
\right) dy \leq
\leq c
\infty \int
0
Mk
f (y)
y\alpha +1
\left( y\nu
\varphi (y)
y\int
0
g(t)t - \beta dt
\right) dy =
= c
\infty \int
0
Mk
f (y)
\varphi (y)
\left( y\nu - \alpha - 1
y\int
0
g(t)t - \beta dt
\right) dy =
= c
\infty \int
0
Mk
f (y)
y1/\theta \varphi (y)
\left( y\beta - 1
y\int
0
g(t)t - \beta dt
\right) dy, (3.6)
де c > 0 — деяка стала, яка залежить лише вiд \varphi i \nu .
Далi знаходимо \beta = \nu +
1
\theta
- \alpha < \alpha +
1
\theta
- \alpha =
1
\theta
\leq 1, тобто \beta < 1. Враховуючи це, при
\theta 1 = \infty (тобто \theta = 1) з нерiвностi (3.6) отримуємо
\infty \int
0
Gk,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
g(t)dt = c\| g\| L\theta 1 (0,+\infty )
\infty \int
0
Mk
f (y)
y\varphi (y)
\left( y\beta - 1
y\int
0
t - \beta dt
\right) dy =
= c
1
1 - \beta
\| g\| L\theta 1 (0,+\infty )\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
. (3.7)
Тепер розглянемо випадок 1 < \theta 1 < \infty . Застосовуючи нерiвнiсть Гельдера, з (3.6) одержу-
ємо
\infty \int
0
Gk,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
g(t)dt \leq c
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Mk
f (y)
\varphi (y)
\Biggr) \theta
dy
y
\right) 1/\theta
\times
\times
\left( \infty \int
0
\left( y\beta - 1
y\int
0
g(t)t - \beta dt
\right) \theta 1
dy
\right)
1/\theta 1
. (3.8)
Позначимо r = (1 - \beta )\theta 1 - 1. Тодi
r =
\biggl(
1 - \nu - 1
\theta
+ \alpha
\biggr)
\theta 1 - 1 >
\biggl(
1 - \nu - 1
\theta
+ \nu
\biggr)
\theta 1 - 1 =
\biggl(
1 - 1
\theta
\biggr)
\theta 1 - 1 =
1
\theta 1
\theta 1 - 1 = 1 - 1 = 0,
тобто r > 0. Тепер, застосовуючи нерiвнiсть Гардi (див. [20])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1238 Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА\left( \infty \int
0
\left( x\int
0
| h(y)| dy
\right) \theta 1
x - r - 1dx
\right)
1/\theta 1
\leq \theta 1
r
\left( \infty \int
0
(y| h(y)| )\theta 1 y - r - 1dy
\right) 1/\theta 1
i покладаючи h(y) = g(y)y - \beta , з (3.8) отримуємо
\infty \int
0
Gk,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
g(t)dt \leq c\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
\theta 1
r
\left( \infty \int
0
\Bigl(
yg(y)y - \beta
\Bigr) \theta 1
y(\beta - 1)\theta 1dy
\right) 1/\theta 1
=
= c
\theta 1
(1 - \beta )\theta 1 - 1
\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
\left( \infty \int
0
(g(y))\theta 1 dy
\right) 1/\theta 1
=
= c
\theta 1
(1 - \beta )\theta 1 - 1
\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
\| g\| L\theta 1 (0,+\infty ). (3.9)
Iз нерiвностей (3.7) i (3.9) видно, що при 1 \leq \theta < \infty виконується нерiвнiсть\left( \infty \int
0
\Biggl(
Gk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq c\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
,
де стала c > 0 не залежить вiд f. Звiдси за допомогою нерiвностi (2.1) одержуємо
Ak,\alpha
\varphi ,\theta (f) =
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq c
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Gk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq c1\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
,
тобто справджується твердження b) теореми i виконується нерiвнiсть (3.2) у випадку 1 \leq \theta <
< \infty .
Теорему доведено.
Iз теорем 3.1 i 3.2 випливає така теорема.
Теорема 3.3. Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, 1 \leq \theta \leq \infty , \alpha > 0, k = (\alpha ) + 1 i \varphi \in Z\alpha . Тодi
BMOk
\varphi ,\theta = HOk,\alpha
\varphi ,\theta i
\exists c1 > 0 \exists c2 > 0 \forall f : c1\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
\leq \| f\|
Hk,\alpha
\varphi ,\theta
\leq c2\| f\| BMOk
\varphi ,\theta
.
Нехай BMO\varphi ,\theta := BMO1
\varphi ,\theta , BMO\varphi := BMO\varphi ,\infty . З попередньої теореми випливають такi
твердження у термiнах модуля гармонiчної осциляцiї Hf (\delta ).
Наслiдок 3.1. Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, 1 \leq \theta \leq \infty i \varphi \in Z1. Тодi BMO\varphi ,\theta = HO\varphi ,\theta i
\exists c1 > 0 \exists c2 > 0 \forall f : c1\| f\| BMO\varphi ,\theta
\leq \| f\| H\varphi ,\theta
\leq c2\| f\| BMO\varphi ,\theta
.
Наслiдок 3.2. Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
i \varphi \in Z1. Тодi еквiвалентнi такi умови:
1) f \in BMO\varphi ,
2) A\varphi (f) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} r>0
x\in Rn
1
\varphi (r)
\int
Rn
Pr(x - t)
\bigm| \bigm| f(t) - Prf(x)
\bigm| \bigm| dt < +\infty .
При цьому \| f\| BMO\varphi \approx A\varphi (f), де сталi щодо \approx не залежать вiд f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
СИНГУЛЯРНИЙ IНТЕГРАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР У ПРОСТОРАХ, ЯКI ВИЗНАЧАЮТЬСЯ . . . 1239
4. Властивостi сингулярного iнтегрального оператора. Розглянемо сингулярний iнте-
гральний оператор (див., наприклад, [13, 16])
Akf(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\int
Rn
\left\{ K\varepsilon (x - y) -
\left( \sum
| \nu | \leq k - 1
xv
v!
DvK( - y)
\right) X\{ | t| >1\} (y)
\right\} f(y) dy,
де
K(x) = \omega (x)| x| - n,
\int
Sn - 1
\omega (x)ds = 0, K\varepsilon (x) = K(x)X\{ | t| >\varepsilon \} (x),
\omega (x) — однорiдна функцiя степеня 0, X\{ | t| >\varepsilon \} — характеристична функцiя множини \{ t \in Rn :
| t| > \varepsilon \} , Sn - 1 — одинична сфера в евклiдовому просторi Rn. Припускаємо, що при k = 1
функцiя K(x) диференцiйовна i має обмеженi частиннi похiднi першого порядку, а при k > 1
функцiя K(x) є k разiв неперервно диференцiйовною на сферi Sn - 1; v = (v1, v2, . . . , vn),
v1, v2, . . . , vn — цiлi невiд’ємнi числа, | v| = v1 + v2 + . . .+ vn, v! = v1!v2! . . . vn!, k \in N,
Dvf :=
\partial | v| f
\partial xv11 \partial xv22 . . . \partial xvnn
.
Лема 4.1. Нехай f \in Lloc
\bigl(
Rn
\bigr)
, \alpha > 0, k \in N, k < \alpha , \~f := Akf i
\infty \int
1
Hk,\alpha
f (t)
tk+1
dt < +\infty .
Тодi виконується нерiвнiсть
Hk,\alpha
\~f
(\delta ) \leq C\delta k
\infty \int
\delta
Hk,\alpha
f (t)
tk+1
dt, \delta > 0, (4.1)
де стала C > 0 не залежить вiд f i \delta .
Доведення. Вiдомо [13], що при збiжностi iнтеграла у правiй частинi виконується нерiвнiсть
Mk
\~f
(\delta ) \leq c\delta k
\infty \int
\delta
Mk
f (t)
tk+1
dt, \delta > 0, (4.2)
де c > 0 не залежить вiд f i \delta .
Застосовуючи нерiвностi (2.1), (4.2) i (2.2), отримуємо
Hk,\alpha
\~f
(\delta ) \leq c\delta \alpha
\infty \int
\delta
Mk
\~f
(t)
t\alpha +1
dt \leq c1\delta
\alpha
\infty \int
\delta
1
t\alpha +1
\left( tk
\infty \int
t
Mk
f (y)
yk+1
dy
\right) dt =
= c1\delta
\alpha
\infty \int
\delta
1
t\alpha +1 - k
\left( \infty \int
t
Mk
f (y)
yk+1
dy
\right) dt \leq c2\delta
\alpha
\infty \int
\delta
1
t\alpha +1 - k
\left( \infty \int
t
Hk,\alpha
f (y)
yk+1
dy
\right) dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1240 Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА
= c2\delta
\alpha
\infty \int
\delta
Hk,\alpha
f (y)
yk+1
\left( y\int
\delta
tk - \alpha - 1dt
\right) dy \leq c2
\alpha - k
\delta \alpha
\infty \int
\delta
Hk,\alpha
f (y)
yk+1
\Bigl(
\delta k - \alpha - yk - \alpha
\Bigr)
dy \leq
\leq c2
\alpha - k
\delta k
\infty \int
\delta
Hk,\alpha
f (y)
yk+1
dy, \delta > 0.
Лему доведено.
Лема 4.2. Якщо \mu 1 < \mu 2, то Z\mu 1 \subset Z\mu 2 .
Доведення. Нехай \varphi \in Z\mu 1 , тобто
\delta \mu 1
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\mu 1+1
dt = O
\bigl(
\varphi (\delta )
\bigr)
, \delta > 0.
Звiдси при \mu 1 < \mu 2 отримуємо
\delta \mu 2
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\mu 2+1
dt = \delta \mu 1\delta \mu 2 - \mu 1
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\mu 1+1
1
t\mu 2 - \mu 1
dt \leq
\leq \delta \mu 1\delta \mu 2 - \mu 1
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\mu 1+1
1
\delta \mu 2 - \mu 1
dt = \delta \mu 1
\infty \int
\delta
\varphi (t)
t\mu 1+1
dt = O
\bigl(
\varphi (\delta )
\bigr)
, \delta > 0.
Лему доведено.
Теорема 4.1. Нехай \alpha > 0, k \in N, k < \alpha + 1, 1 \leq \theta \leq \infty , \mu = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \alpha , k\} , \varphi \in Z\mu . Тодi
оператор Ak обмежено дiє в просторi HOk,\alpha
\varphi ,\theta .
Доведення. Нехай спочатку \alpha \leq k < \alpha + 1. Оскiльки k — натуральне число i \alpha — додатне
число, то ця нерiвнiсть рiвносильна тому, що k = (\alpha ) + 1, де через (\alpha ) позначено найбiльше
цiле число, яке менше за число \alpha .
Якщо \varphi \in Z\alpha , то в цьому випадку простори HOk,\alpha
\varphi ,\theta i BMOk
\varphi ,\theta є iзоморфними (теорема 3.3).
Крiм того, вiдомо [13], що при виконаннi умови \varphi \in Zk оператор Ak обмежено дiє в просторi
BMOk
\varphi ,\theta . Таким чином, згiдно з лемою 4.2 отримуємо, що якщо \varphi \in Z\alpha (в цьому випадку
\mu = \alpha ), то оператор Ak обмежено дiє в просторi HOk,\alpha
\varphi ,\theta .
Тепер розглянемо випадок k < \alpha . Нехай \varphi \in Zk (у цьому випадку \mu = k).
Якщо \theta = \infty , то умова f \in HOk,\alpha
\varphi ,\theta рiвносильна такiй:
\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\infty
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
: t > 0
\Biggr\}
< +\infty .
Звiдси отримуємо, що Hk,\alpha
f (\delta ) \leq \| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\infty
\varphi (\delta ), \delta > 0. Тодi завдяки умовi \varphi \in Zk за допомо-
гою нерiвностi (4.1) маємо
Hk,\alpha
\~f
(\delta ) \leq c\delta k
\infty \int
\delta
Hk,\alpha
f (t)
tk+1
dt \leq c\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\infty
\delta k
\infty \int
\delta
\varphi (t)
tk+1
dt \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
СИНГУЛЯРНИЙ IНТЕГРАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР У ПРОСТОРАХ, ЯКI ВИЗНАЧАЮТЬСЯ . . . 1241
\leq c1\| f\| HOk,\alpha
\varphi ,\infty
\varphi (\delta ), \delta > 0,
де \~f := Akf, а додатна стала c1 не залежить вiд f i \delta . З останньої нерiвностi випливає, що
\~f \in HOk,\alpha
\varphi ,\infty i
\| Akf\| HOk,\alpha
\varphi ,\infty
= \| \~f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\infty
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{ Hk,\alpha
\~f
(\delta )
\varphi (\delta )
: \delta > 0
\right\} \leq c1\| f\| HOk,\alpha
\varphi ,\infty
,
тобто оператор Akf = \~f обмежено дiє у просторi HOk,\alpha
\varphi ,\infty .
Далi розглянемо випадок 1 \leq \theta < \infty . Нехай f \in HOk,\alpha
\varphi ,\theta . Це означає, що
\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
:=
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right)
1
\theta
< +\infty .
Звiдси отримуємо, що для будь-якого x \in (0,+\infty )
\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
\geq
\left( \infty \int
x
\Biggl(
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right)
1
\theta
\geq
\geq
\left( 2x\int
x
\Biggl(
Hk,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right)
1
\theta
\geq
Hk,\alpha
f (x)
\varphi (2x)
(\mathrm{l}\mathrm{n} 2)
1
\theta . (4.3)
Можна показати, що якщо \varphi \in Zk, то
\exists C > 0 \forall x \in (0,+\infty ) : \varphi (2x) \leq C\varphi (x).
За допомогою цього факту i нерiвностi (4.3) встановлюємо, що
Hk,\alpha
f (x) \leq (\mathrm{l}\mathrm{n} 2) -
1
\theta C\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
\varphi (x), x \in (0,+\infty ).
Звiдси одержуємо нерiвнiсть
\infty \int
1
Hk,\alpha
f (x)
xk+1
dx \leq (\mathrm{l}\mathrm{n} 2) -
1
\theta C\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
\infty \int
1
\varphi (t)
tk+1
dt < +\infty .
Таким чином, якщо 1 \leq \theta < \infty , f \in HOk,\alpha
\varphi ,\theta i \varphi \in Zk, то збiгається iнтеграл
\infty \int
1
Hk,\alpha
f (x)
xk+1
dx.
Тому має мiсце нерiвнiсть (4.1). Якщо ввести позначення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1242 Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА
F k,\alpha
f (x) := xk
\infty \int
x
Hk,\alpha
f (t)
tk+1
dt, x \in (0,+\infty ),
то згiдно з нерiвнiстю (4.1) доведення теореми буде завершено, якщо ми покажемо, що\left( \infty \int
0
\Biggl(
F k,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq C\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
, (4.4)
де C — додатна стала, яка не залежить вiд f.
Нехай h \in L\theta 1(0,+\infty ), h(t) \geq 0,
1
\theta 1
+
1
\theta
= 1. Тодi, змiнюючи порядок iнтегрування, маємо
\infty \int
0
F k,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
h(t)dt =
\infty \int
0
\left( 1
t1/\theta \varphi (t)
tk
\infty \int
t
Hk,\alpha
f (\tau )
\tau k+1
d\tau
\right) h(t) dt =
=
\infty \int
0
Hk,\alpha
f (\tau )
\tau k+1
\left( \tau \int
0
tkh(t)
t1/\theta \varphi (t)
dt
\right) d\tau . (4.5)
Вiдомо [2], що якщо \varphi \in Zk, то iснує число \sigma \in (0, k) таке, що \varphi (t)t - \sigma майже спадає. Нехай
\beta = \sigma - k +
1
\theta
. Тодi за допомогою спiввiдношення (4.5) отримуємо
\infty \int
0
F k,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
h(t)dt =
\infty \int
0
Hk,\alpha
f (\tau )
\tau k+1
\left(
\tau \int
0
h(t)\biggl(
\varphi (t)
t\sigma
\biggr)
t\beta
dt
\right) d\tau \leq
\leq c
\infty \int
0
Hk,\alpha
f (\tau )
\tau k+1
\left( \tau \sigma
\varphi (\tau )
\tau \int
0
h(t)t - \beta dt
\right) d\tau =
= c
\infty \int
0
Hk,\alpha
f (\tau )
\varphi (\tau )
\left( \tau \sigma - k - 1
\tau \int
0
h(t)t - \beta dt
\right) d\tau =
= c
\infty \int
0
Hk,\alpha
f (\tau )
\tau 1/\theta \varphi (\tau )
\left( \tau \beta - 1
\tau \int
0
h(t)t - \beta dt
\right) d\tau .
Далi, застосовуючи нерiвнiсть Гельдера, звiдси одержуємо
\infty \int
0
F k,\alpha
f (t)
t1/\theta \varphi (t)
h(t)dt \leq c
\left( \infty \int
0
\Biggl(
Hk,\alpha
f (\tau )
\varphi (\tau )
\Biggr) \theta
d\tau
\tau
\right) 1/\theta
\left( \infty \int
0
\left( \tau \beta - 1
\tau \int
0
h(t)t - \beta dt
\right) \theta 1
d\tau
\right)
1/\theta 1
(4.6)
з вiдповiдною модифiкацiєю у випадку \theta 1 = \infty (тобто \theta = 1), де c — додатна стала. Згiдно з
нашими позначеннями \beta = \sigma +
1
\theta
- k < k +
1
\theta
- k =
1
\theta
\leq 1, тобто \beta < 1. Тому при \theta 1 = \infty з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
СИНГУЛЯРНИЙ IНТЕГРАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР У ПРОСТОРАХ, ЯКI ВИЗНАЧАЮТЬСЯ . . . 1243
нерiвностi (4.6) безпосередньо випливає, що
\infty \int
0
F k,\alpha
f (t)
\varphi (t)t1/\theta
h(t)dt \leq c\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
\| h\| L\theta 1 (0,+\infty ). (4.7)
Нехай тепер 1 < \theta 1 < \infty . Розглянемо оператор Гардi Pf(x) =
\int x
0
f(t) dt.
Вiдомо (див. [6, 20]), що якщо w(x) = xa, v(x) = xa+p, 1 \leq p < \infty i a < - 1, то
виконується нерiвнiсть\left( \infty \int
0
| Pg(x)| pw(x)dx
\right) 1/p
\leq c
\left( \infty \int
0
| g(x)| pv(x)dx
\right) 1/p
, (4.8)
де стала c > 0 не залежить вiд g.
Позначаючи a = (\beta - 1)\theta 1, p = \theta 1, маємо
a+ p = (\beta - 1)\theta 1 + \theta 1 = \beta \theta 1,
a = (\beta - 1)\theta 1 =
\biggl(
\sigma +
1
\theta
- k - 1
\biggr)
\theta 1 <
\biggl(
k +
1
\theta
- k - 1
\biggr)
\theta 1 =
=
\biggl(
1
\theta
- 1
\biggr)
\theta 1 =
\biggl(
- 1
\theta 1
\biggr)
\theta 1 = - 1,
тобто a < - 1. Тодi для функцiї (4.8) з нерiвностi g(x) = h(x)x - \beta одержуємо\left( \infty \int
0
x(\beta - 1)\theta 1
\left( x\int
0
h(t)t - \beta dt
\right) \theta 1
dx
\right)
1/\theta 1
\leq c
\left( \infty \int
0
(h(x)x - \beta )\theta 1x\beta \theta 1dx
\right) 1/\theta 1
=
= c
\left( \infty \int
0
(h(x))\theta 1dx
\right) 1/\theta 1
= c\| h\| L\theta 1 (0,+\infty ).
Враховуючи це, з нерiвностi (4.6) отримуємо
\infty \int
0
F k,\alpha
f (t)
\varphi (t)t1/\theta
h(t)dt \leq c\| f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
\| h\| L\theta 1 (0,+\infty ), (4.9)
де c > 0 — деяка стала, що не залежить вiд f i h.
Iз нерiвностей (4.7) i (4.9) видно, що при 1 \leq \theta < \infty виконується нерiвнiсть (4.4). Звiдси
завдяки нерiвностi (4.1) знаходимо
\| Akf\| HOk,\alpha
\varphi ,\theta
= \| \~f\|
HOk,\alpha
\varphi ,\theta
=
\left( \infty \int
0
\left( Hk,\alpha
\~f
(t)
\varphi (t)
\right) \theta
dt
t
\right)
1/\theta
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
1244 Р. М. РЗАЄВ, Л. Р. АЛIЄВА, Л. Е. ГУСЕЙНОВА
\leq C
\left( \infty \int
0
\Biggl(
F k,\alpha
f (t)
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
\leq C1\| f\| HOk,\alpha
\varphi ,\theta
,
де стала C1 > 0 не залежить вiд f. Остання нерiвнiсть означає, що оператор Akf = \~f обмежено
дiє у просторi HOk,\alpha
\varphi ,\theta .
Теорему доведено.
Наслiдок 4.1. Нехай 1 \leq \theta \leq \infty , \varphi \in Z1. Тодi оператор A1 обмежено дiє у просторi
HO\varphi ,\theta .
Лiтература
1. L. R. Aliyeva, Equivalent norms in spaces of mean oscillation, Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. and
Math. Sci., 31, № 4, 19 – 26 (2011).
2. N. K. Bari, S. B. Stechkin, Best approximation and differential properties of two conjugate functions (in Russian),
Tr. Mosk. Mat. Obshch., 5, 483 – 552 (1956).
3. O. Blasco, M. A. Perez, On functions of integrable mean oscillation, Rev. Mat. Complut., 18, № 2, 465 – 477 (2005).
4. S. Campanato, Proprieta di hölderianita di alcune classi di funzioni, Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, 17, 175 – 188
(1963).
5. De R. Vore, R. Sharpley, Maximal functions measuring smoothness, Mem. Amer. Math. Soc., 47, № 293, 1 – 115
(1984).
6. E. M. Dyn’kin, B. P. Osilenker, Weighted estimates for singular integrals and their applications (in Russian), Itogi
Nauki i Tekh. Ser. Mat. Anal., 21, 42 – 129 (1983).
7. Ch. Fefferman, E. M. Stein, Hp spaces of several variables, Acta Math., 129, № 3-4, 137 – 193 (1972).
8. F. John, L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation, Commun. Pure and Appl. Math., 14, 415 – 426
(1961).
9. G. N. Meyers, Mean oscillation over cubes and Hölder continuity, Proc. Amer. Math. Soc., 15, 717 – 721 (1964).
10. J. Peetre, On the theory of Lp,\lambda spaces, J. Funct. Anal., 4, 71 – 87 (1969).
11. R. M. Rzaev, A multidimensional singular integral operator in spaces defined by conditions on the mean oscillation
of functions, Sov. Math. Dokl., 42, № 2, 520 – 523 (1991).
12. R. M. Rzaev, On boundedness of multidimensional singular integral operator in spaces BMOk
\varphi ,\theta and Hk
\varphi ,\theta (in
Russian), Proc. Azerb. Math. Soc., 2, 164 – 175 (1996).
13. R. M. Rzaev, A multidimensional singular integral operator in spaces defined by conditions on the k-th order mean
oscillation (in Russian), Dokl. Akad. Nauk, 356, № 5, 602 – 604 (1997).
14. R. M. Rzaev, On some maximal functions, measuring smoothness, and metric characteristics, Trans. Acad. Sci.
Azerb., 19, № 5, 118 – 124 (1999).
15. R. M. Rzaev, Some growth conditions for locally summable functions, Abstracts Intern. Conf. Math. and Mech.,
Baku, 147 (2006).
16. R. M. Rzaev, L. R. Aliyeva, On local properties of functions and singular integrals in terms of the mean oscillation,
Cent. Eur. J. Math., 6, № 4, 595 – 609 (2008).
17. R. M. Rzaev, L. R. Aliyeva, Mean oscillation, \Phi -oscillation and harmonic oscillation, Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb.
Ser. Phys.-Tech. and Math. Sci., 30, № 1, 167 – 176 (2010).
18. R. M. Rzaev, Z. Sh. Gakhramanova, L. R. Alieva, On generalized Besov and Campanato spaces, Ukr. Math. J., 69,
№ 8, 1275 – 1286 (2018).
19. S. Spanne, Some function spaces defined using the mean oscillation over cubes, Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, 19,
593 – 608 (1965).
20. E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ
(1970).
Одержано 27.12.19,
пiсля доопрацювання — 11.08.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2278 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:45Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ce/0e77679f174112bc4517cd1a973f42ce.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22782025-03-31T08:46:40Z Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation Сингулярний інтегральний оператор у просторах, які визначаються за допомогою узагальненої осциляції Rzaev, R. M. Aliyeva, L. R. Huseinova, L. E. Rzaev, Rahim Aliyeva, Lale Huseinova, Lale Рзаєв, Р. М. Алiєва, Л. Р. Гусейнова, Л. Е. . We study the behavior of a multidimensional singular integral operator in the function spaces de ned by the conditions imposed on generalized oscillation of a function. UDC 517.518.13 We study the behavior of a multidimensional singular integral operator in the function spaces de ned by the conditions imposed on generalized oscillation of a function. &nbsp; УДК 517.518.13 Вивчено поведiнку багатовимiрного сингулярного iнтегрального оператора у функцiональних просторах, якi визначаються за допомогою умов на узагальнену осциляцiю функцiї. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-09-16 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2278 10.37863/umzh.v73i9.2278 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 9 (2021); 1231 - 1244 Український математичний журнал; Том 73 № 9 (2021); 1231 - 1244 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2278/9107 Copyright (c) 2021 Rahim Rzaev |
| spellingShingle | Rzaev, R. M. Aliyeva, L. R. Huseinova, L. E. Rzaev, Rahim Aliyeva, Lale Huseinova, Lale Рзаєв, Р. М. Алiєва, Л. Р. Гусейнова, Л. Е. Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation |
| title | Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation |
| title_alt | Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation Сингулярний інтегральний оператор у просторах, які визначаються за допомогою узагальненої осциляції |
| title_full | Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation |
| title_fullStr | Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation |
| title_full_unstemmed | Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation |
| title_short | Singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation |
| title_sort | singular integral operator in spaces defined by a generalized oscillation |
| topic_facet | . |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2278 |
| work_keys_str_mv | AT rzaevrm singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT aliyevalr singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT huseinovale singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT rzaevrahim singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT aliyevalale singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT huseinovalale singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT rzaêvrm singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT aliêvalr singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT gusejnovale singularintegraloperatorinspacesdefinedbyageneralizedoscillation AT rzaevrm singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT aliyevalr singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT huseinovale singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT rzaevrahim singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT aliyevalale singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT huseinovalale singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT rzaêvrm singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT aliêvalr singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí AT gusejnovale singulârnijíntegralʹnijoperatoruprostorahâkíviznačaûtʹsâzadopomogoûuzagalʹnenoíoscilâcíí |