Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree
UDC 517.98 We study the translation-invariant Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree of order $k.$  We find the exact critical value $\theta_{cr}=1$ such that there exists a unique translation-invariant Gibbs measure for $\theta \geq\theta_{cr}$ and there...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2281 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508224068780032 |
|---|---|
| author | Khatamov , N. M. Хатамов, Н. М. Хатамов, Н. М. |
| author_facet | Khatamov , N. M. Хатамов, Н. М. Хатамов, Н. М. |
| author_sort | Khatamov , N. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:35Z |
| description | UDC 517.98
We study the translation-invariant Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree of order $k.$  We find the exact critical value $\theta_{cr}=1$ such that there exists a unique translation-invariant Gibbs measure for $\theta \geq\theta_{cr}$ and there exist exactly three translation-invariant Gibbs measures for $0<\theta<\theta_{cr}$ in the case of a wand for the model.  In addition, we investigate the problem of (non)extremes for these measures. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i4.2281 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i4.2281
УДК 517.98
Н. М. Хатамов (Наманган. гос. ун-т, Узбекистан)
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА
ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ В СЛУЧАЕ „ЖЕЗЛ” НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ
We study the translation-invariant Gibbs measures for the Blume – Capel model with a wand on a Cayley tree of order k.
We find the exact critical value \theta cr = 1 such that there exists a unique translation-invariant Gibbs measure for \theta \geq \theta cr
and there exist exactly three translation-invariant Gibbs measures for 0 < \theta < \theta cr in the case of a wand for the model. In
addition, we investigate the problem of (non)extremes for these measures.
Розглядаються трансляцiйно-iнварiантнi мiри Гiббса для моделi Блюма – Капеля у випадку „жезл” на деревi Келi
порядку k. Знайдено таке точне критичне значення \theta cr = 1, що при \theta \geq \theta cr iснує єдина трансляцiйно-iнварiантна
мiра Гiббса, а при 0 < \theta < \theta cr iснують точно три трансляцiйно-iнварiантнi мiри Гiббса у випадку „жезл” для
розглядуваної моделi. Крiм того, вивчено задачу (не)крайностi для цих мiр.
1. Введение. Мера Гиббса — это фундаментальный закон, определяющий вероятность микро-
скопического состояния данной физической системы. Она играет важную роль в определении
существования фазового перехода той или иной физической системы, так как каждой пре-
дельной мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы и происходит фазовый
переход, когда мера Гиббса не единственна. Кроме того, известно, что множество всех пре-
дельных мер Гиббса образует непустое выпуклое компактное подмножество в множестве всех
вероятностных мер и каждая точка этого выпуклого множества однозначно разлагается по его
крайним точкам. В связи с этим особый интерес представляет описание всех крайних точек
этого выпуклого множества, т. е. крайних мер Гиббса (см. [1 – 3]).
Изучению предельных мер Гиббса на дереве Кэли для таких моделей статистической фи-
зики, как модель Изинга, модель Поттса, модель жесткой сердцевины, модель SOS, посвя-
щено много работ (см., например, [4 – 9]). В частности, в работе [5] дано полное описание
трансляционно-инвариантных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с q-состояниями
и показано, что их количество равно 2q - 1, а в работе [7] изучена задача крайности этих мер.
В [8] изучены гиббсовские меры для моделей жесткой сердцевины с тремя состояниями на
дереве Кэли порядка k \geq 1 и доказано, что трансляционно-инвариантная мера Гиббса не един-
ственна. Кроме того, указаны области, где меры являются (не)крайними. Более подробно с
результатами, посвященными предельным мерам Гиббса на дереве Кэли, можно ознакомиться
в монографии [10].
Настоящая работа посвящена изучению динамической модели Блюма – Капеля, которая еще
не была изучена на дереве Кэли. Это двумерная спиновая система, где спин может принимать
три значения: - 1, 0,+1. Первоначально он был введен для изучения He3 - He4 фазового
перехода (см. [11]). Можно говорить о ней как о системе частиц со спином. Значение \sigma (x) =
= 0 спина на узле решетки (или на узле дерева) x будет соответствовать отсутствию частиц
(вакансия), в то время как значения \sigma (x) = +1, - 1 будут соответствовать наличию на узле x
частицы со спином +1, - 1 соответственно (см. [11 – 13]).
c\bigcirc Н. М. ХАТАМОВ, 2020
540 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 541
Опишем кратко структуру статьи. Во втором пункте приведены предварительные сведе-
ния; в третьем пункте доказана теорема, обеспечивающая условие согласованности меры; в
четвертом пункте найдено точное критическое значение \theta cr = 1 такое, что при \theta \geq \theta cr суще-
ствует единственная трансляционно-инвариантная мера Гиббса, а при 0 < \theta < \theta cr существуют
ровно три трансляционно-инвариантные меры Гиббса; в пятом и шестом пунктах изучена
(не)крайность этих мер.
2. Предварительные сведения. Дерево Кэли \Gamma k = (V,L) порядка k \geq 1 — это бесконечное
дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно k+1 ребро, где V —
множество вершин \Gamma k, L — его множество ребер. Пусть i — функция инцидентности, сопостав-
ляющая каждому ребру l \in L его концевые точки x, y \in V. Если i(l) = \{ x, y\} , то вершины x и
y называются ближайшими соседями и обозначаются через \langle x, y\rangle . Расстояние d(x, y), x, y \in V,
на дереве Кэли определяется формулой d(x, y) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
d | \exists x = x0, x1, . . . , xd - 1, xd = y \in V
такой, что \langle x0, x1\rangle , . . . , \langle xd - 1, xd\rangle
\bigr\}
.
Известно, что дерево Кэли представляется как группа Gk, являющаяся свободным произ-
ведением k + 1 циклической группы второго порядка с образующими a1, a2, . . . , ak+1 [1].
Рассмотрим модель, где спин принимает значения из множества \Phi = \{ - 1, 0,+1\} . Тогда
конфигурация \sigma на V определяется как функция x \in V \rightarrow \sigma (x) \in \Phi ; множество всех конфигу-
раций совпадает с \Omega = \Phi V . Пусть A \subset V. Обозначим через \Omega A пространство конфигураций,
определенных на множестве A.
Рассмотрим граф с тремя вершинами: - 1, 0,+1 (на множестве значений \sigma (x)), который
имеет следующий вид [4]:
жезл: \{ 0, - 1\} , \{ 0,+1\} , \{ - 1, - 1\} , \{ +1,+1\} .
Гамильтониан модели Блюма – Капеля определяется следующим образом:
H(\sigma ) = J
\sum
\langle x,y\rangle ,x,y\in V
(\sigma (x) - \sigma (y))2, (1)
где J \in R.
Пусть x0 \in V — фиксированная точка. Будем писать x < y, если путь от x0 до y проходит
через x.
Обозначим
Wn = \{ x \in V : d(x0, x) = n\} , Vn = \{ x \in V : d(x0, x) \leq n\} .
Точка y называется „прямым потомком” точки x, если x < y и d(x, y) = 1.
Для x \in Gk обозначим через S(x) множество „прямых потомков” точки x \in V.
Пусть O = \{ жезл\} , G \in O. Конфигурация \sigma называется G-допустимой конфигурацией на
дереве Кэли (в Vn или Wn), если \{ \sigma (x), \sigma (y)\} — ребро G для любой ближайшей пары соседей
x, y из V (из Vn). Обозначим множество G-допустимых конфигураций через \Omega G(\Omega G
Vn
).
Пусть h : x \mapsto \rightarrow hx = (h - 1,x, h0,x, h+1,x) — вектор-функция от x \in V\diagdown \{ x0\} . Рассмотрим
вероятностное распределение \mu (n) на \Omega G
Vn
:
\mu (n)(\sigma n) = Z - 1
n \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- \beta H(\sigma n) +
\sum
x\in Wn
h\sigma (x),x
\biggr\}
, (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
542 Н. М. ХАТАМОВ
где \sigma n \in \Omega G
Vn
, Zn =
\sum
\sigma n\in \Omega G
Vn
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- \beta H(\sigma n) +
\sum
x\in Wn
h\sigma (x),x
\Bigr\}
и h\sigma ,x \in R.
Говорят, что вероятностное распределение \mu (n) (\forall n \geq 1) согласованно, если\sum
\sigma (n)
\mu (n)(\sigma n - 1, \sigma
(n)) = \mu (n - 1)(\sigma n - 1) (3)
для всех n \geq 1 и \sigma n - 1 \in \Omega G
Vn - 1
.
В этом случае существует единственная мера \mu на \Omega G
V такая, что
\mu
\bigl(
\{ \sigma | Vn= \sigma n\}
\bigr)
= \mu (n)(\sigma n)
для всех n \geq 1 и \sigma n \in \Omega G
Vn
.
Пусть L(G) — множество ребер графа G. Обозначим через A \equiv AG = (aij)i,j= - 1,0,+1
матрицу смежности G, т. е.
aij \equiv aGij =
\left\{ 1, если \{ i, j\} \in L(G),
0, если \{ i, j\} /\in L(G).
3. Система функциональных уравнений. Следующая теорема содержит необходимые и
достаточные условия на hi,x, при которых выполняется (3).
Теорема 1. Пусть k \geq 2. Вероятностное распределение \mu (n)(\sigma n), n = 1, 2, . . . , в (2) со-
гласованно тогда и только тогда, когда для любого x \in V имеют место следующие уравнения:
z+1,x =
\prod
y\in S(x)
a+1, - 1\theta
4z - 1,y + a+1,0\theta + a+1,+1z+1,y
a0, - 1\theta z - 1,y + a0,0 + a0,+1\theta z+1,y
,
z - 1,x =
\prod
y\in S(x)
a - 1, - 1z - 1,y + a - 1,0\theta + a - 1,+1\theta
4z+1,y
a0, - 1\theta z - 1,y + a0,0 + a0,+1\theta z+1,y
,
(4)
где \theta = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta \} , \beta = 1/T, zi,x = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(hi,x - h0,x), i = +1, - 1.
Доказательство. Необходимость. В силу условия согласования (3) получаем
Zn - 1
Zn
\sum
\omega n\in \Omega Wn
\prod
x\in Wn - 1
\prod
y\in S(x)
a\sigma n - 1(x),\omega n(y) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- J\beta (\sigma n - 1(x) - \omega n(y))
2 + h\omega n(y),y
\bigr\}
=
=
\prod
x\in Wn - 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(h\sigma n - 1(x),x), (5)
где \sigma (x) \in \Phi .
В случае \sigma n - 1(x) = - 1, \sigma n - 1(x) = 0, \sigma n - 1(x) = +1 запишем (5) в виде
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(h+1,x - h0,x) =
\prod
y\in S(x)
\sum
\omega n\in \Omega Wn
a+1,\omega n(y) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- J\beta (1 - \omega n(y))
2 + h\omega n(y),y
\bigr\}
\sum
\omega n\in \Omega Wn
a0,\omega n(y) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- J\beta \omega 2
n(y) + h\omega n(y),y
\bigr\} ,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(h - 1,x - h0,x) =
\prod
y\in S(x)
\sum
\omega n\in \Omega Wn
a - 1,\omega n(y) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- J\beta ( - 1 - \omega n(y))
2 + h\omega n(y),y
\bigr\}
\sum
\omega n\in \Omega Wn
a0,\omega n(y) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- J\beta \omega 2
n(y) + h\omega n(y),y
\bigr\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 543
Следовательно,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(h+1,x - h0,x) =
=
\prod
y\in S(x)
a+1, - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - 4J\beta \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h - 1,y - h0,y\} + a+1,0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta \} + a+1,+1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h+1,y - h0,y\}
a0, - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h - 1,y - h0,y\} + a0,0 + a0,+1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h+1,y - h0,y\}
,
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(h - 1,x - h0,x) =
=
\prod
y\in S(x)
a - 1, - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h - 1,y - h0,y\} + a - 1,0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta \} + a - 1,+1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - 4J\beta \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h+1,y - h0,y\}
a0, - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h - 1,y - h0,y\} + a0,0 + a0,+1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta \} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h+1,y - h0,y\}
.
Отсюда получаем (4).
Достаточность. Пусть имеет место (4). Тогда для некоторой функции b(x) > 0, x \in V,
выполняется следующее:\prod
y\in S(x)
\sum
u\in \{ - 1,0,+1\}
at,u \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - J\beta (t - u)2 + hu,y\} = b(x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(ht, x), t = - 1, 0,+1. (6)
Имеем
(3) =
1
Zn
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \beta H(\sigma n - 1))\times
\times
\prod
x\in Wn - 1
\prod
y\in S(x)
\sum
u\in \{ - 1,0,+1\}
a\sigma n - 1(x),u \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- J\beta (\sigma n - 1(x) - u)2 + hu,y
\bigr\}
. (7)
Учитывая (6), из (7), обозначая
Bn(x) =
\prod
x\in Wn - 1
b(x),
получаем
(6) =
Bn - 1
Zn
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \beta H(\sigma n - 1))
\prod
x\in Wn - 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(h\sigma n - 1(x),x). (8)
Поскольку \mu (n), n \geq 1, — вероятность, то\sum
\sigma n - 1\in \Omega Vn - 1
\sum
\omega n\in \Omega Wn
\mu (n)(\sigma n - 1, \omega n) = 1.
Следовательно, из (8) получаем равенство Zn - 1Bn - 1 = Zn и справедливость (3).
Теорема 1 доказана.
4. Tрансляционно-инвариантные меры Гиббса. Tрансляционно-инвариантные меры
Гиббса соответствуют решениям (4) с zi,x = zi при всех x \in V и i = - 1,+1. Для удоб-
ства обозначим z+1 = z1, z - 1 = z2. Тогда система уравнений (4) в случае „жезл” примет
вид
z1 =
\biggl(
\theta + z1
\theta z1 + \theta z2
\biggr) k
,
z2 =
\biggl(
\theta + z2
\theta z1 + \theta z2
\biggr) k
.
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
544 Н. М. ХАТАМОВ
Пусть z1 = z2 = z. Тогда из (9) получаем
z =
\biggl(
\theta + z
2\theta z
\biggr) k
. (10)
Справедлива следующая лемма.
Лемма. Пусть k \geq 2. Для любого \theta > 0 уравнение (10) имеет единственное решение.
Доказательство. Запишем уравнение (10) в виде
z = f(z), (11)
где
f(z) =
\biggl(
\theta + z
2\theta z
\biggr) k
.
Заметим, что производная функции f(z)
f \prime (z) = k
\biggl(
\theta + z
2\theta z
\biggr) k - 1\biggl(
- 1
2z2
\biggr)
< 0,
т. е. функция f(z) является убывающей при z > 0. Значит, уравнение (11) имеет единственное
решение z\ast = z\ast (k, \theta ) для любого \theta > 0.
Лемма доказана.
Далее, вычитая из первого уравнения системы (9) второе, получаем
(z1 - z2)
\biggl[
1 - (\theta + z1)
k - 1 + . . .+ (\theta + z2)
k - 1
(\theta z1 + \theta z2)k
\biggr]
= 0. (12)
Следовательно, z1 = z2 или
\theta k(z1 + z2)
k = (\theta + z1)
k - 1 + . . .+ (\theta + z2)
k - 1. (13)
Для z1 = z2 = z из леммы следует, что система (9) имеет единственное решение (z\ast , z\ast ).
Рассмотрим случай, когда k = 2. В этом случае справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Для модели (2) существует такое \theta cr = 1, что при \theta \geq \theta cr существует ровно
одна трансляционно-инвариантная мера Гиббса, а при 0 < \theta < \theta cr существуют ровно три
такие меры.
Доказательство. Из (12) при k = 2 получаем
(z1 - z2)
\biggl(
1 - 2\theta + z1 + z2
\theta 2(z1 + z2)2
\biggr)
= 0.
Из леммы известно, что в случае z1 = z2 при любых \theta > 0 для модели (2) существует
единственная трансляционно-инвариантная мера Гиббса.
Пусть z1 \not = z2. Тогда
\theta 2(z1 + z2)
2 = 2\theta + z1 + z2.
Отсюда
\theta 2(z1 + z2)
2 - (z1 + z2) - 2\theta = 0.
Решая это уравнение относительно z1 + z2, находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 545
(z1 + z2)1,2 =
1\mp
\surd
1 + 8\theta 3
2\theta 2
= \varphi 1,2(\theta ) (14)
для всех \theta > 0.
Ясно, что
\varphi 1(\theta ) =
1 -
\surd
1 + 8\theta 3
2\theta 2
< 0, \varphi 2(\theta ) =
1 +
\surd
1 + 8\theta 3
2\theta 2
> 0.
Таким образом, z1 + z2 = \varphi 2(\theta ). Отсюда с учетом первого из уравнений (9) получаем
квадратное уравнение относительно z1, т. е.
z21 -
\bigl(
\theta 2\varphi 2
2(\theta ) - 2\theta
\bigr)
z1 + \theta 2 = 0, (15)
где
D = \theta 4\varphi 4
2(\theta ) - 4\theta 3\varphi 2
2(\theta ) > 0,
что равносильно неравенству \theta \varphi 2
2(\theta ) - 4 > 0. Тогда, заменив \varphi 2(\theta ) из (14) его выражением,
получим \theta 3 < 1, т. е. D > 0 при 0 < \theta < \theta cr = 1. Значит, уравнение (15) имеет два
положительных решения при 0 < \theta < \theta cr = 1:
z
(1)
1 =
1
2
\varphi 2(\theta ) +
\surd
D
2
,
z
(2)
1 =
1
2
\varphi 2(\theta ) -
\surd
D
2
.
(16)
Поскольку z1 + z2 = \varphi 2(\theta ), то
z
(1)
2 = z
(2)
1 , z
(1)
1 = z
(2)
2 ,
т. е. решения системы (z1, z2) и (z2, z1) симметричны (см. рис. 1).
Теорема 2 доказана.
5. Условия некрайности мер. Чтобы проверить некрайность меры, воспользуемся методом
из работ [15 – 17]. Для этого рассмотрим цепы Маркова с состояниями \{ - 1, 0,+1\} и матрицу
P\mu вероятностных переходов P\sigma (x)\sigma (y), определенную данной трансляционно-инвариантной
гиббсовской мерой \mu , т. е. P\sigma (x)\sigma (y) — вероятность сдвига от состояния \sigma (x) к состоянию \sigma (y).
Достаточным условием некрайности меры Гиббса, соответствующей матрице P\mu , является
то, что k\lambda 2
2 > 1, где \lambda 2 — второе по модулю максимальное собственное значение матрицы P\mu
(условие Кестена – Стигума).
Чтобы проверить это условие, нужно знать явный вид решения системы (9). Точные реше-
ния пока нам известны только при k = 2.
Ясно, что при k = 2 система уравнений (9) при \theta \geq \theta cr = 1 имеет единственное решение
(z\ast , z\ast ), где z\ast — единственное решение уравнения
z =
\biggl(
\theta + z
2\theta z
\biggr) 2
, (17)
а при 0 < \theta < \theta cr = 1 имеет три решения: (z\ast , z\ast ), (z1, z2), (z2, z1), где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
546 Н. М. ХАТАМОВ
Рис. 1. Графики функций z\ast (\theta ) (непрерывная кривая), z1(\theta )
(штриховая кривая) и z2(\theta ) (пунктирная кривая).
z1 =
A+
\surd
D
2
, z2 =
A -
\surd
D
2
. (18)
Здесь A =
1 +
\surd
1 + 8\theta 3
2\theta 2
, D = \theta 4A4 - 4\theta 3A2.
Найдем условия некрайности мер, соответствующим этим решениям. Для этого рассмотрим
P\sigma (x)\sigma (y) =
a\sigma (x),\sigma (y) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- J\beta (\sigma (x) - \sigma (y))2 + h\sigma (y)
\bigr\} \sum
\widetilde \sigma (y)\in \{ - 1,0,+1\}
a\sigma (x),\widetilde \sigma (y) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\bigl\{ - J\beta (\sigma (x) - \widetilde \sigma (y))2 + h\widetilde \sigma (y)\bigr\} .
В этом случае G = жезл
a - 1, - 1 = 1, a - 1,0 = 1, a - 1,+1 = 0,
a0, - 1 = 1, a0,0 = 0, a0,+1 = 1,
a+1, - 1 = 0, a+1,0 = 1, a+1,+1 = 1.
Отсюда получаем
P - 1, - 1 =
z2
z2 + \theta
, P - 1,0 =
\theta
z2 + \theta
, P - 1,+1 = 0,
P0, - 1 =
z2
z1 + z2
, P0,0 = 0, P0,+1 =
z1
z1 + z2
,
P+1, - 1 = 0, P+1,0 =
\theta
z1 + \theta
, P+1,+1 =
z1
z1 + \theta
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 547
Следовательно,
\BbbP =
\left(
z2
z2 + \theta
\theta
z2 + \theta
0
z2
z1 + z2
0
z1
z1 + z2
0
\theta
z1 + \theta
z1
z1 + \theta
\right) . (19)
Ясно, что одно из собственных значений этой матрицы s3 = 1. Найдем s1 и s2 :
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(P - sE) = 0 \Rightarrow
\Rightarrow (s - 1)
\bigl(
(z1 + z2)(\theta + z1)(\theta + z2)s
2 + (z1 + z2)(\theta
2 - z1z2)s - 2\theta z1z2
\bigr)
= 0. (20)
Сначала проверим условие некрайности мер \mu 1, \mu 2, соответствующих решениям (z1, z2),
(z2, z1) соответственно. Для этого, разделив левую часть последнего уравнения на s - 1 и
заметив, что z1z2 = \theta 2, получим квадратное уравнение
(z1 + z2)(\theta + z1)(\theta + z2)s
2 - 2\theta 3 = 0.
Решения этого квадратного уравнения имеют вид
s1 = - 2
\surd
2\theta 3\sqrt{}
(1 +
\surd
1 + 8\theta 3)(1 +
\surd
1 + 8\theta 3 + 4\theta 3)
,
s2 =
2
\surd
2\theta 3\sqrt{}
(1 +
\surd
1 + 8\theta 3)(1 +
\surd
1 + 8\theta 3 + 4\theta 3)
.
Отсюда следует, что | s1| = | s2| < s3 = 1. Теперь проверим условие некрайности мер ks22 > 1.
Из этого неравенства следует, что
s2 =
2
\surd
2\theta 3\sqrt{}
(1 +
\surd
1 + 8\theta 3)(1 +
\surd
1 + 8\theta 3 + 4\theta 3)
>
1\surd
2
.
Решение этого неравенства имеет вид \theta >
3
\sqrt{}
2 +
\surd
5
2
\approx 1,28. Действительно,
2
\left( 2
\surd
2\theta 3\sqrt{}
(1 +
\surd
1 + 8\theta 3)(1 +
\surd
1 + 8\theta 3 + 4\theta 3)
\right) 2
- 1 > 0.
Введем обозначение
\surd
1 + 8\theta 3 = t, т. е. \theta 3 =
t2 - 1
8
. Тогда
2
8\theta 6
(1 + t)(1 + t+ 4\theta 3)
> 1 \Rightarrow
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
548 Н. М. ХАТАМОВ
\Rightarrow (t+ 1)2(2(t+ 1) - (t - 1)2) < 0 \Rightarrow t > 2 +
\surd
5 \Rightarrow
\Rightarrow
\sqrt{}
1 + 8\theta 3 > 2 +
\surd
5 \Rightarrow \theta >
3
\sqrt{}
2 +
\surd
5
2
.
Но решения (z1, z2), (z2, z1) существуют только при 0 < \theta < 1. Значит, меры, соответствующие
этим решениям, заведомо являются крайними. Это мы проверим в дальнейших исследованиях.
Далее, при k = 2 проверим условие некрайности единственной меры \mu 0, соответствующей
единственному решению уравнения (10). В этом случае уравнение (20) после деления его на
s - 1 превратится в квадратное уравнение
2z(\theta + z)2s2 + 2z(\theta 2 - z2)s - 2\theta z2 = 0,
которое имеет два решения
s1 =
z
z + \theta
, s2 = - \theta
z + \theta
,
где z — решение уравнения (17). Найдем \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| s1| , | s2|
\bigr\}
:
| s1| - | s2| =
z
z + \theta
- \theta
z + \theta
=
z - \theta
z + \theta
.
Если 0 < \theta < 1, то z > \theta . Тогда
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| s1| , | s2|
\bigr\}
= | s1| .
Если же \theta > 1, то z < \theta . Тогда \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| s1| , | s2|
\bigr\}
= | s2| , т. е.
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| s1| , | s2|
\bigr\}
=
\left\{ | s1| , если 0 < \theta < 1,
| s2| , если \theta > 1.
Отсюда следует, что s1 < | s2| < s3 = 1 при \theta > \theta cr = 1.
Пусть \theta > \theta cr = 1. В этом случае проверим условие Кестена – Стигума некрайности меры
\mu 0 : 2s22 > 1. С помощью формулы Кардано решим уравнение (10). Оно имеет одно веществен-
ное решение
z =
1
12
3
\sqrt{}
36\theta 3 + 216\theta 6 + 1 + 24
\surd
3
\sqrt{}
1+27\theta 3
\theta \theta 5
\theta 2
+
+
1
12
24\theta 3 + 1
\theta 2
3
\sqrt{}
36\theta 3 + 216\theta 6 + 1 + 24
\surd
3
\sqrt{}
1+27\theta 3
\theta \theta 5
+
1
12\theta 2
. (21)
Чтобы определить интервал некрайности этой меры, проверим условие
2s2
2 - 1 = 2 \cdot
\biggl(
\theta
z + \theta
\biggr) 2
- 1 > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 549
–
–
–
–
–
Рис. 2. График функции 2s22 - 1.
где z имеет вид (21). С помощью программы Maple можно увидеть, что последнее неравен-
ство выполняется при \theta \in
\biggl(
1
2
3
\sqrt{}
28 + 20
\surd
2;+\infty
\biggr)
, где
1
2
3
\sqrt{}
28 + 20
\surd
2 \approx 1,915, т. е. при этом
условии мера \mu 0 является некрайней (см. рис. 2).
Пусть теперь 0 < \theta < \theta cr = 1. В этом случае | s2| < s1 < s3 = 1. Тогда условие Кестена –
Стигума некрайности меры \mu 0 имеет вид 2s21 > 1.
Чтобы определить интервал некрайности меры \mu 0 в случае 0 < \theta < \theta cr = 1, проверим
условие
2s21 - 1 = 2
\biggl(
z
z + \theta
\biggr) 2
- 1 > 0,
где z имеет вид (21). С помощью программы Maple можно увидеть, что последнее неравенство
выполняется при \theta \in
\biggl(
0;
1
2
3
\sqrt{}
4
\surd
2 - 4
\biggr)
, где
1
2
3
\sqrt{}
4
\surd
2 - 4 \approx 0,5916498694, т. е. при этом
условии мера \mu 0 является некрайней (см. рис. 3).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть k = 2. Тогда для модели Блюма – Капеля мера \mu 0 при
\theta \in
\biggl(
0;
1
2
3
\sqrt{}
4
\surd
2 - 4
\biggr)
\cup
\biggl(
1
2
3
\sqrt{}
28 + 20
\surd
2;+\infty
\biggr)
не является крайней.
6. Условия крайности мер \bfitmu 0, \bfitmu 1, \bfitmu 2 . Для исследования крайности применимы методы
из работы [17]. Приведем необходимые определения из работы [17]. Если удалить произвольное
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
550 Н. М. ХАТАМОВ
– –
Рис. 3. График функции 2s21 - 1.
ребро \langle x0, x1\rangle = l \in L из дерева Кэли \Gamma k, то оно разобьется на две компоненты: \Gamma k
x0 и \Gamma k
x1 ,
каждая из которых называется полубесконечным деревом или полудеревом Кэли.
Рассмотрим конечное полное поддерево \Im , которое содержит все начальные точки полуде-
рева \Gamma k
x0 . Граница \partial \Im поддерева \Im состоит из ближайших соседей его вершин, которые лежат
в \Gamma k
x0 \setminus \Im . Мы отождествляем поддерево \Im с множеством его вершин. Через E(A) обозначим
множество всех ребер A и \partial A.
В работе [17] введены две ключевые величины: \kappa и \gamma , которые играют важную роль
при исследовании крайности трансляционно-инвариантных гиббсовских мер. Эти величины
являются свойствами множества мер Гиббса \{ \mu \tau
\Im \} , где граничное условие \tau фиксировано
и \Im является произвольным, начальным, полным и конечным поддеревом \Gamma k
x0 . Для данного
начального поддерева \Gamma k
x0 и вершины x \in \Im будем писать \Im x для (максимального) поддерева
\Im с начальной точкой в x. Если же x не является начальной точкой \Im , через \{ \mu s
\Im \} обозначим
меру Гиббса, в которой „предок” x имеет спин s и конфигурация на нижней границе \Im x (т. е.
на \partial \Im \setminus \{ „предок” x\} ) задается через \Gamma .
Для двух мер на \Omega через \mu 1 и \mu 2 обозначим расстояние по норме
\| \mu 1 - \mu 2\| x =
1
2
\sum
i\in \{ - 1,0,+1\}
\bigm| \bigm| \mu 1(\sigma (x) = i) - \mu 2(\sigma (x) = i)
\bigm| \bigm| .
Пусть \eta x,s — конфигурация \eta со спином в x, установленная в s. Следуя [17], определяем
\kappa \equiv \kappa (\mu ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \Gamma k
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,s,s\prime
\bigm\| \bigm\| \mu s
\Im x
- \mu s\prime
\Im x
\bigm\| \bigm\|
x
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 551
\gamma \equiv \gamma (\mu ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
A\subset \Gamma k
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,s
A - \mu \eta y,s
\prime
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
,
где максимум берется по всем граничным условиям \eta всеми y \in \partial A, всеми соседями x \in A
вершины y и всеми спинами s, s\prime \in \{ - 1, 0,+1\} .
Сначала найдем условие крайности меры \mu 0. Ясно, что z > \theta при 0 < \theta < 1 и z < \theta при
\theta > 1 (см. рис. 1).
Заметим, что формула для \kappa имеет простой вид
\kappa =
1
2
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\sum
l\in \{ - 1,0,+1\}
| Pil - Pjl| .
Отсюда ясно, что | Pil - Pjl| = 0 при i = j. Используя [17], при i \not = j вычисляем\sum
l\in \{ - 1,0,+1\}
| Pil - Pjl| =
=
\left\{
2z
z + \theta
, 0 < \theta < 1, i = - 1, j = 0, или i = 0, j = - 1,
или i = 0, j = +1, или i = +1, j = 0,
1, \theta > 1, i = - 1, j = 0, или i = 0, j = - 1,
или i = 0, j = +1, или i = +1, j = 0,
2\theta
z + \theta
, \theta > 0, i = - 1, j = +1, или i = +1, j = - 1.
Значит, для решений (z\ast , z\ast ) при 0 < \theta < 1 имеем
\kappa =
z
z + \theta
,
а при \theta \geq 1
\kappa =
\theta
z + \theta
.
Теперь оценку для \gamma , как и в работе [17, с. 15], будем искать в виде
\gamma = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y, - 1
A - \mu \eta y,0
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y, - 1
A - \mu \eta y,+1
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,0
A - \mu \eta y,+1
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
\Bigr\}
,
где \bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,1
A - \mu \eta y,0
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
=
=
1
2
\sum
s\in \{ - 1,0,+1\}
\bigm| \bigm| \bigm| \mu \eta y,1
A (\sigma (x) = s) - \mu \eta y,0
A (\sigma (x) = s)
\bigm| \bigm| \bigm| =
=
1
2
\Bigl(
| P+1, - 1 - P0, - 1| + | P+1,0 - P0,0| + | P+1,+1 - P0,+1|
\Bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
552 Н. М. ХАТАМОВ
=
1
2
z + 3\theta + | z - \theta |
2(z + \theta )
=
\left\{
1
2
, 0 < \theta < 1,
\theta
z + \theta
, \theta \geq 1,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,+1
A - \mu \eta y, - 1
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
=
1
2
\sum
l\in \{ - 1,0,+1\}
| P+1,l - P - 1,l| =
1
2
2z
z + \theta
=
z
z + \theta
, \theta > 0,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,0
A - \mu \eta y,+1
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
=
1
2
\sum
l\in \{ - 1,0,+1\}
| P0,l - P+1,l| =
=
1
2
| z - \theta | + 3\theta + z
2(z + \theta )
=
\left\{
1
2
, 0 < \theta < 1,
\theta
z + \theta
, \theta \geq 1,\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,0
A - \mu \eta y, - 1
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
=
1
2
\sum
l\in \{ - 1,0,+1\}
| P0,l - P - 1,l| =
=
1
2
| z - \theta | + 3\theta + z
2(z + \theta )
=
\left\{
1
2
, 0 < \theta < 1,
\theta
z + \theta
, \theta \geq 1.
Следовательно, при 0 < \theta < 1
\gamma = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
2
,
z
z + \theta
\biggr\}
=
z
z + \theta
,
а при \theta > 1
\gamma = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\theta
z + \theta
,
z
z + \theta
\biggr\}
=
\theta
z + \theta
.
Теперь для меры \mu 0 проверим условие крайности 2\kappa \gamma < 1. При 0 < \theta < 1 это условие
имеет вид
2\kappa \gamma - 1 = 2 \cdot
\biggl(
z
z + \theta
\biggr) 2
- 1 < 0,
а при \theta \geq 1
2\kappa \gamma - 1 = 2 \cdot
\biggl(
\theta
z + \theta
\biggr) 2
- 1 < 0.
С помощью компьютерного анализа убеждаемся, что последние неравенства выполняются
при
1
2
3
\sqrt{}
4
\surd
2 - 4 < \theta <
1
2
3
\sqrt{}
28 + 20
\surd
2
(см. рис. 4).
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть k = 2. Тогда для модели Блюма – Капеля мера \mu 0 при
1
2
3
\sqrt{}
4
\surd
2 - 4 <
< \theta <
1
2
3
\sqrt{}
28 + 20
\surd
2 является крайней.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 553
–
–
Рис. 4. График функции 2\kappa \gamma - 1.
Теперь найдем условие крайности мер \mu 1, \mu 2. Заметим, что при 0 < \theta < 1 выполняется
z2(\theta ) < \theta < z1(\theta ) (см. рис. 5).
Тогда \sum
l\in \{ - 1,0,+1\}
| Pil - Pjl| =
=
\left\{
2
z1
z1 + z2
, i = - 1, j = 0, или i = 0, j = - 1,
или i = 0, j = +1, или i = +1, j = 0,
2
\theta
z2 + \theta
, i = - 1, j = +1, или i = +1, j = - 1.
Значит, для решений z1, z2 при 0 < \theta < 1 имеем
\kappa =
z1
z1 + z2
.
Теперь найдем оценку для \gamma :\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,1
A - \mu \eta y,0
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
=
1
2
\sum
s\in \{ - 1,0,+1\}
\bigm| \bigm| \bigm| \mu \eta y,1
A (\sigma (x) = s) - \mu \eta y,0
A (\sigma (x) = s)
\bigm| \bigm| \bigm| =
=
1
2
\Bigl(
| P+1, - 1 - P0, - 1| + | P+1,0 - P0,0| + | P+1,+1 - P0,+1|
\Bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
554 Н. М. ХАТАМОВ
3
2
–2
1
–1
0–0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
100
80
60
40
20
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
а б
Рис. 5. Графики функций z2(\theta ) - \theta (а) и z1(\theta ) - \theta (б).
=
1
2
z2(\theta + z1) + \theta (z1 + z2) + z1| \theta - z2|
(z1 + z2)(\theta + z1)
= (\theta > z2) =
\theta
\theta + z1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,1
A - \mu \eta y, - 1
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
=
1
2
\bigl(
| P+1, - 1 - P - 1, - 1| + | P+1,0 - P - 1,0| + | P+1,+1 - P - 1,+1|
\Bigr)
=
=
1
2
z2(\theta + z1) + z1(\theta + z2) + \theta | z2 - z1|
(\theta + z1)(\theta + z2)
= (z1 > z2) =
z1
\theta + z1
,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mu \eta y,0
A - \mu \eta y, - 1
A
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
x
=
1
2
\Bigl(
| P0, - 1 - P - 1, - 1| + | P0,0 - P - 1,0| + | P0,+1 - P - 1,+1|
\Bigr)
=
=
1
2
z1(\theta + z2) + \theta (z1 + z2) + z2| z1 - \theta |
(z1 + z2)(\theta + z2)
= (\theta < z1) =
z1
z1 + z2
,
т. е.
\| \mu \eta y,1
A - \mu \eta y,0
A \| x =
\theta
\theta + z1
,
\| \mu \eta y,1
A - \mu \eta y, - 1
A \| x =
z1
\theta + z1
,
\| \mu \eta y,0
A - \mu \eta y, - 1
A \| x =
z1
z1 + z2
.
Тогда
\gamma = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\theta
\theta + z1
,
z1
\theta + z1
,
z1
z1 + z2
\biggr\}
=
z1
z1 + z2
.
Действительно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
КРАЙНОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ МЕР ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ БЛЮМА – КАПЕЛЯ . . . 555
–
–
Рис. 6. График функции 2\kappa \gamma - 1.
\theta
\theta + z1
- z1
z1 + z2
=
\theta z2 - z21
(\theta + z1)(z1 + z2)
< 0,
z1
\theta + z1
- z1
z1 + z2
=
z1(z2 - \theta )
(\theta + z1)(z1 + z2)
< 0.
Теперь проверим условие 2\kappa \gamma < 1 для \mu 1, \mu 2 :
2\kappa \gamma - 1 = 2 \cdot
\biggl(
z1
z1 + z2
\biggr) 2
- 1 < 0.
Последнее неравенство выполняется при
3
\sqrt{}
\surd
2 - 1 +
\sqrt{}
2
\surd
2 - 2
2
< \theta < 1,
где
3
\sqrt{}
\surd
2 - 1 +
\sqrt{}
2
\surd
2 - 2
2
\approx 0,95 (см. рис. 6).
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Пусть k = 2. Тогда для модели Блюма – Капеля меры \mu 1, \mu 2 при
3
\sqrt{}
\surd
2 - 1 +
\sqrt{}
2
\surd
2 - 2
2
< \theta < 1
являются крайними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
556 Н. М. ХАТАМОВ
Замечание. Для мер \mu 1, \mu 2 при 0 < \theta <
3
\sqrt{}
\surd
2 - 1 +
\sqrt{}
2
\surd
2 - 2
2
задача (не)крайности пока
остается открытой.
Автор благодарит профессора У. А. Розикова за полезные советы, которые способствовали
улучшению статьи.
Литература
1. Х.-О. Георги, Гиббсовские меры и фазовые переходы, Мир, Москва (1992).
2. C. J. Preston, Gibbs states on countable sets, Cambridge Tracts Math., 68, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1974).
3. Я. Г. Синай, Теория фазовых переходов. Строгие результаты, Наука, Москва (1980).
4. Н. М. Хатамов, Новые классы основных состояний для модели Поттса с рассеянными конкурирующими
взаимодействиями на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 180, № 1, 827 – 834 (2014).
5. C. Külske, U. A. Rozikov, R. M. Khakimov, Description of all translation-invariant (splitting) Gibbs measures for
the Potts model on a Cayley tree, J. Stat. Phys., 156, № 1, 189 – 200 (2014).
6. Н. М. Хатамов, Неединственность меры Гиббса для шаровой модели Изинга с радиусом взаимодействия два,
Теор. и мат. физика, 180, № 3, 318 – 328 (2014).
7. C. Külske, U. A. Rozikov, Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley
tree, Random Structures and Algorithms (2016), DOI: 10.1002/rsa.20671.
8. U. A. Rozikov, R. M. Khakimov, Gibbs measures for the fertile three-state hard core models on a Cayley tree,
Queueing Syst., 81, № 1, 49 – 69 (2015).
9. Н. Н. Ганиходжаев, У. А. Розиков, Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных
моделей на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 111, № 1, 109 – 117 (1997).
10. U. A. Rozikov, Gibbs measures on Cayley trees, World Sci. (2013).
11. E. N. Cirillo, E. Olivieri, Metastability and nucleation for the Blume – Capel model. Different mechanisms of transition,
J. Stat. Phys., 83 473 – 554 (1996).
12. P. E. Theodorakis, N. J. Fytas, Monte Carlo study of the triangular Blume – Capel model under bond randomness,
Phys. Rev., 86, 011140 (2012).
13. O. Hryniv, R. Kotecky, Surfase tension and the Orustein – Zernike behavior for the 2D Blume – Capel model, J. Stat.
Phys., 106, № 314 (2002).
14. Н. М. Хатамов, Г. Т. Мадгозиев, Меры Гиббса для обобщенной модели Поттса с радиусом взаимодействия
два, Теор. и мат. физика, 183, № 3, 450 – 459 (2015).
15. M. Formentin, C. Külske, A symmetric entropy bound on the non-reconstruction regime of Markov chains on
Galton – Watson trees, Electron. Commun. Probab., 14, 587 – 596 (2009).
16. H. Kesten, B. P. Stigum, Additional limit theorem for indecomposable multidimensional Galton – Watson processes,
Ann. Math. Statist., 37, 1463 – 1481 (1966).
17. F. Martinelli, A. Sinclair, D. Weitz, Fast mixing for independent sets, coloring and other models on trees, Random
Structures and Algorithms, 31, 134 – 172 (2007).
18. У. А. Розиков, Р. М. Хакимов, Крайность трансляционно-инвариантной меры Гиббса для HC-модели на дереве
Кэли, arxiv: 1610.04755v1, [math-ph].
19. У. А. Розиков, Р. М. Хакимов, Х. Ф. Хайдаров, Крайность трансляционно-инвариантных мер Гиббса для
модели Поттса на дереве Кэли, Теор. и мат. физика, 196, № 1, 117 – 134 (2018).
20. N. Khatamov, R. Khakimov, Translation-invariant Gibbs measures for the Blume – Kapel model on a Cayley tree,
Журн. мат. фiзики, аналiзу, геометрiї, 15, № 2, 239 – 255 (2019).
Получено 30.12.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2281 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:48Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/96/b749818f5b344d3f7ec9acb2c48e0696.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22812022-03-26T11:01:35Z Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree Крайность трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Блюма–Капеля в случае “жезл” на дереве Кэли Крайность трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Блюма–Капеля в случае “жезл” на дереве Кэли Khatamov , N. M. Хатамов, Н. М. Хатамов, Н. М. дерево Келі конфігурація міра Гіббса configuration Cayley tree Gibbs measures UDC 517.98 We study the translation-invariant Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree of order $k.$ &nbsp;We find the exact critical value $\theta_{cr}=1$ such that there exists a unique translation-invariant Gibbs measure for $\theta \geq\theta_{cr}$ and there exist exactly three translation-invariant Gibbs measures for $0&lt;\theta&lt;\theta_{cr}$ in the case of a wand for the model. &nbsp;In addition, we investigate the problem of (non)extremes for these measures. УДК 517.98 В данной работе рассмотрены трансляционно-инвариантные меры Гиббса для модели Блюма-Капеляв случаи "жезл" на дереве Кэли порядка $k$. Найдено точное критическое значение$\theta_{cr}=1$ такое, что при $\theta \geq\theta_{cr}$ существует единственная трансляционно-инвариантная мера Гиббса,&nbsp;а при $0&lt;\theta&lt;\theta_{cr}$ существуют ровно три трансляционно-инвариантные меры Гиббса в случаи "жезл" для&nbsp;рассматриваемой модели. Кроме того, изучена задача (не)крайности для этих мер. УДК 517.98 Розглядаються трансляційно-інваріантні міри Гіббса для моделі Блюма–Капеля&nbsp;у випадку ,,жезл'' на дереві Келі порядку $k.$ Знайдено таке точне критичне значення&nbsp;$\theta_{cr} = 1,$ що при $\theta \geq\theta_{cr}$ існує єдина трансляційно-інваріантна міра Гіббса, а при $0&lt;\theta&lt;\theta_{cr}$ існують точно три трансляційно-інваріантні міри Гіббса у випадку ,,жезл'' для розглядуваної моделі. Крім того, вивчено задачу (не)крайності для цих мір. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2281 10.37863/umzh.v72i4.2281 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 4 (2020); 540-556 Український математичний журнал; Том 72 № 4 (2020); 540-556 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2281/8706 Copyright (c) 2020 nosirjon xatamov |
| spellingShingle | Khatamov , N. M. Хатамов, Н. М. Хатамов, Н. М. Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree |
| title | Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree |
| title_alt | Крайность трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Блюма–Капеля в случае “жезл” на дереве Кэли Крайность трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Блюма–Капеля в случае “жезл” на дереве Кэли |
| title_full | Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree |
| title_fullStr | Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree |
| title_full_unstemmed | Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree |
| title_short | Translation-invariant extreme Gibbs measures for the Blume–Capel model with a wand on a Cayley tree |
| title_sort | translation-invariant extreme gibbs measures for the blume–capel model with a wand on a cayley tree |
| topic_facet | дерево Келі конфігурація міра Гіббса configuration Cayley tree Gibbs measures |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2281 |
| work_keys_str_mv | AT khatamovnm translationinvariantextremegibbsmeasuresfortheblumecapelmodelwithawandonacayleytree AT hatamovnm translationinvariantextremegibbsmeasuresfortheblumecapelmodelwithawandonacayleytree AT hatamovnm translationinvariantextremegibbsmeasuresfortheblumecapelmodelwithawandonacayleytree AT khatamovnm krajnostʹtranslâcionnoinvariantnyhmergibbsadlâmodeliblûmakapelâvslučaežezlnaderevekéli AT hatamovnm krajnostʹtranslâcionnoinvariantnyhmergibbsadlâmodeliblûmakapelâvslučaežezlnaderevekéli AT hatamovnm krajnostʹtranslâcionnoinvariantnyhmergibbsadlâmodeliblûmakapelâvslučaežezlnaderevekéli |