Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series
It is known that any $x \in \left(0;1\right]\equiv\Omega$ has a unique Engel expansion $$ \displaystyle x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(p_1(x)+1\right)\ldots \left(p_n(x)+1\right)},$$ where $p_n(x)\in\mathbb{N},$ $p_{n+1}(x)\geq p_n(x)$ for all $n \i...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2284 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508223772033024 |
|---|---|
| author | Moroz, M. P. М. П. Мороз, М. П. |
| author_facet | Moroz, M. P. М. П. Мороз, М. П. |
| author_sort | Moroz, M. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:41Z |
| description | It is known that any $x \in \left(0;1\right]\equiv\Omega$ has a unique Engel expansion $$ \displaystyle x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(p_1(x)+1\right)\ldots \left(p_n(x)+1\right)},$$ where $p_n(x)\in\mathbb{N},$ $p_{n+1}(x)\geq p_n(x)$ for all $n \in \mathbb{N}.$ This means that $p_n(x)$ is a well-defined measurable function on the probability space $ (\Omega, \mathcal {F}, \lambda),$ where $\mathcal{F}$ is the $\sigma$-algebra of Lebesgue-measurable subsets of $\Omega$ and $\lambda$ is the Lebesgue measure.
 
The main subject of our research is the function $$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_n(x)+1},$$ defined on $\Omega^*\subset\Omega,$ where $ \Omega^* $ is the convergence set of the series $\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{p_n(x)+1}.$ We prove that the function $\psi$ is defined a.e. on $(0;1]$ and $\psi$ is a random variable on the probability space $(\Omega^*, \mathcal{F^*}, \lambda),$ where $\mathcal{F^*}$ is the $\sigma$-algebra of Lebesgue-measurable subsets of $\Omega^*,$ and obtain the mathematical expectation and variance of the function $\psi.$ Also, we consider the  variables $\psi_k$ as a generalization of the function $ \psi $ and calculate the mathematical expectations $M\psi_k $ of these random variables. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i5.2284 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i5.2284
УДК 511.72+511.75+519.21
М. П. Мороз (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ)
ЧИСЛОВI ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ,
ПОВ’ЯЗАНОЇ IЗ ЗОБРАЖЕННЯМ ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ РЯДАМИ ЕНГЕЛЯ
It is known that any x \in (0; 1] \equiv \Omega has a unique Engel expansion
x =
\infty \sum
n=1
1
(p1(x) + 1) . . . (pn(x) + 1)
,
where pn(x) \in \BbbN , pn+1(x) \geq pn(x) for all n \in \BbbN . This means that pn(x) is a well-defined measurable function on
the probability space (\Omega ,\scrF , \lambda ), where \scrF is the \sigma -algebra of Lebesgue-measurable subsets of \Omega and \lambda is the Lebesgue
measure.
The main subject of our research is the function
\psi (x) =
\infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
,
defined on \Omega \ast \subset \Omega , where \Omega \ast is the convergence set of the series
\sum \infty
n=1
1
pn(x) + 1
. We prove that the function \psi is
defined a.e. on (0; 1] and \psi is a random variable on the probability space (\Omega \ast ,\scrF \ast , \lambda ), where \scrF \ast is the \sigma -algebra of
Lebesgue-measurable subsets of \Omega \ast , and obtain the mathematical expectation and variance of the function \psi . Also, we
consider the variables \psi k as a generalization of the function \psi and calculate the mathematical expectations M\psi k of these
random variables.
Вiдомо, що будь-яке число x \in (0; 1] \equiv \Omega єдиним чином розкладається в ряд Енгеля
x =
\infty \sum
n=1
1
(p1(x) + 1) . . . (pn(x) + 1)
,
де pn(x) \in \BbbN , pn+1(x) \geq pn(x) \forall n \in \BbbN . Цей розклад коректно визначає pn(x) як вимiрну функцiю (випадкову
величину) на ймовiрнiсному просторi (\Omega ,\scrF , \lambda ), де \scrF — \sigma -алгебра вимiрних за Лебегом пiдмножин множини \Omega , \lambda
— мiра Лебега.
На множинi \Omega \ast \subset \Omega збiжностi функцiонального ряду
\sum \infty
n=1
1
pn(x) + 1
визначається функцiя
\psi (x) =
\infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
,
яка є основним об’єктом дослiдження в данiй роботi. Доведено, що функцiя \psi визначена (набуває скiнченних зна-
чень) майже скрiзь на (0; 1] та є випадковою величиною на ймовiрнiсному просторi (\Omega \ast ,\scrF \ast , \lambda ), де \scrF \ast — \sigma -алгебра
вимiрних за Лебегом пiдмножин множини \Omega \ast , обчислено її математичне сподiвання та дисперсiю. Розглянуто ви-
падковi величини \psi k як узагальнення функцiї \psi та обчислено їхнi математичнi сподiвання M\psi k.
1. Вступ. Iснує багато рiзних моделей загальної аксiоматичної теорiї дiйсних чисел. В однiй iз
них моделлю числа є ряд, у другiй – ланцюговий дрiб, у третiй – нескiнченний добуток тощо.
Окрему групу моделей утворюють зображення чисел рядами, елементами яких є єгипетськi
дроби (чисельник яких дорiвнює 1, а знаменник — довiльному натуральному числу). До таких
вiдносяться зображення чисел рядами Люрота [1, 3], Остроградського – Серпiнського – Пiрса
[4], Сiльвестера [6], Енгеля [7] та iншi. Серед них бiльш зручними для розвитку метричної та
ймовiрнiсної теорiї дiйсних чисел є додатнi ряди, до яких вiдносяться ряди Енгеля.
c\bigcirc М. П. МОРОЗ, 2020
658 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЧИСЛОВI ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ПОВ’ЯЗАНОЇ IЗ ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 659
Означення 1. Рядом Енгеля називається додатний ряд вигляду
1
p1 + 1
+
1
(p1 + 1) (p2 + 1)
+ . . .+
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)
+ . . . =
\infty \sum
n=1
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)
,
де pn \in \BbbN , pn+1 \geq pn \forall n \in \BbbN .
Теорема 1 [7]. Сума кожного ряду Енгеля є дiйсним числом з (0; 1]. Будь-яке число x з
(0; 1] можна єдиним чином зобразити у виглядi ряду Енгеля, тобто iснує єдина неспадна
послiдовнiсть натуральних чисел (pn(x)) така, що
x =
\infty \sum
n=1
1
(p1(x) + 1) . . . (pn(x) + 1)
\equiv \Delta E
p1(x)...pn(x)...
.
Скорочений (символiчний) запис \Delta E
p1(x)...pn(x)...
називається \Delta E -зображенням числа x, при
цьому натуральне число pn(x) називається n-ю цифрою \Delta E -зображення числа x. Кожна \Delta E -
цифра є коректно означеною функцiєю числа, що зображується у виглядi ряду Енгеля, внаслiдок
єдиностi такого зображення.
Означення 2. Цилiндром \Delta E
c1c2...cm рангу m з основою c1c2 . . . cm, що породжений зобра-
женням чисел рядами Енгеля, називається множина всiх чисел вигляду \Delta E
c1c2...cm\alpha m+1\alpha m+2....
Вiдомо [7], що рiзнi \Delta E -цилiндри або не перетинаються, або один iз них є власною пiд-
множиною iншого. При цьому \Delta E
a1a2...am \subset \Delta E
b1b2...bn
тодi i тiльки тодi, коли n < m та ai = bi,
i = 1, n. Кожен цилiндр \Delta E
c1c2...cm є пiввiдрiзком, довжина (мiра Лебега) якого обчислюється за
формулою
\lambda
\bigl(
\Delta E
c1c2...cm
\bigr)
=
1
(c1 + 1) . . . (cm + 1) cm
.
У роботi [2] розглянуто послiдовностi (qn(x))
\infty
n=1 елементiв розкладу чисел з вiдрiзка [0; 1]
в ряди Остроградського – Серпiнського – Пiрса. Для цих послiдовностей доведено властивостi,
що з рiзних бокiв характеризують швидкiсть зростання їхнiх елементiв. Зокрема, встановлено,
що для майже всiх x \in [0; 1] має мiсце рiвнiсть \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
n
\sqrt{}
qn(x) = e, ряд
\sum \infty
n=1
1
qn(x)
збiгається майже скрiзь на [0; 1] (у розумiннi мiри Лебега), а математичне сподiвання суми
цього ряду дорiвнює 1.
Ми будемо розглядати функцiю \psi (x) =
\sum \infty
n=1
1
pn(x) + 1
, що визначена на множинi \Omega \ast
збiжностi функцiонального ряду, яким вона задана. Ця функцiя є аналогом ряду, який розглядав
Дж. Шаллiт [2]. Тому варто очiкувати, що деякi їхнi властивостi будуть схожими. З цих причин
будемо розв’язувати задачу (аналогiчну до задачi Дж. Шаллiта щодо рядiв Остроградського –
Серпiнського – Пiрса) про обчислення математичного сподiвання випадкової величини \psi (x),
що визначена на ймовiрнiсному просторi (\Omega \ast ,\scrF \ast , \lambda ), де \lambda — мiра Лебега, \scrF \ast — \sigma -алгебра
вимiрних за Лебегом пiдмножин множини \Omega \ast .
Взагалi кажучи, ряд
\sum \infty
n=1
1
pn(x) + 1
залежно вiд числа x може бути як збiжним, так i
розбiжним. У данiй статтi ми встановлюємо, що цей ряд збiгається майже скрiзь на (0; 1] (у
розумiннi мiри Лебега), та обчислюємо математичне сподiвання випадкової величини \psi (x).
Крiм цього, ми розв’язуємо нову задачу — обчислюємо дисперсiю випадкової величини \psi (x).
2. Функцiя \bfitpsi як випадкова величина. Розглядається ймовiрнiсний простiр (\Omega ,\scrF , \lambda ), де
\Omega = (0, 1] , \lambda — мiра Лебега, \scrF — \sigma -алгебра вимiрних за Лебегом пiдмножин множини \Omega .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
660 М. П. МОРОЗ
Нехай n — фiксоване натуральне число. Розглядається функцiя pn : \Omega - \rightarrow \BbbR .
Теорема 2. Функцiя
1
pn + 1
є дискретною випадковою величиною на (\Omega ,\scrF , \lambda ).
Доведення. Враховуючи припущення, що передують теоремi, залишилось показати, що
функцiя
1
pn(x) + 1
є вимiрною, тобто множина
\biggl\{
x :
1
pn(x) + 1
\leq a
\biggr\}
\in \scrF для будь-якого
a \in \BbbR . Зрозумiло, що
1
pn(x) + 1
може набувати тiльки злiченну множину значень, причо-
му 0 <
1
pn(x) + 1
\leq 1
2
. Якщо a \leq 0, то
\biggl\{
x :
1
pn(x) + 1
\leq a
\biggr\}
= \varnothing \in \scrF . Якщо a \geq 1
2
, то\biggl\{
x :
1
pn(x) + 1
\leq a
\biggr\}
= \Omega \in \scrF .
Нехай 0 < a <
1
2
. Тодi функцiя
1
pn(x) + 1
набуває злiченну множину значень, що не
перевищують a, а саме значень iз множини
\biggl\{
1
k
,
1
k + 1
, . . .
\biggr\}
, де k \in \BbbN \setminus \{ 1\} та
1
k
\leq a <
1
k - 1
.
Тодi \biggl\{
x :
1
pn(x) + 1
\leq a
\biggr\}
=
\infty \bigcup
r=0
\biggl\{
x :
1
pn(x) + 1
=
1
k + r
\biggr\}
=
\infty \bigcup
r=0
\{ x : pn(x) + 1 = k + r\} =
=
\infty \bigcup
r=0
\left( \bigcup
c1\leq ...\leq cn - 1\leq k+r - 1
\Delta E
c1...cn - 1[k+r - 1]
\right) .
Зрозумiло, що
\bigcup
c1\leq ...\leq cn - 1\leq k+r - 1
\Delta E
c1...cn - 1[k+r - 1] є злiченним об’єднанням цилiндрiв, ко-
жен з яких є вимiрною за Лебегом множиною. Тому таке об’єднання теж є вимiрною множиною.
Звiдси отримуємо, що й множина
\biggl\{
x :
1
pn(x) + 1
\leq a
\biggr\}
є вимiрною за Лебегом.
Отже,
\biggl\{
x :
1
pn(x) + 1
\leq a
\biggr\}
\in \scrF \forall a \in \BbbR , а тому функцiя
1
pn(x) + 1
є випадковою величи-
ною для будь-якого n \in \BbbN .
Теорему 2 доведено.
Далi нам знадобиться теорема, яка має мiсце для iнтеграла Лебега.
Теорема 3 [5, c. 303] (Теорема Б. Левi). Нехай дано вимiрний простiр iз мiрою (A,A, \mu )
та послiдовнiсть iнтегровних функцiй fn(x) : A\rightarrow \BbbR таких, що
f1(x) \leq f2(x) \leq . . . \leq fn(x) \leq . . .
i для яких iснує таке число K \in \BbbR , що
\int
A
fn(x) d\mu \leq K \forall n \in \BbbN . Тодi майже скрiзь на A iснує
границя
f(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
fn(x),
причому функцiя f(x) iнтегровна на A та\int
A
fn(x) d\mu \rightarrow
\int
A
f(x) d\mu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЧИСЛОВI ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ПОВ’ЯЗАНОЇ IЗ ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 661
Наслiдок 1. Якщо gn(x) \geq 0 та
\sum \infty
k=1
\int
A
gn(x) d\mu < +\infty , то майже скрiзь на A збiгає-
ться ряд
\sum \infty
k=1
gn(x) та
\int
A
\Bigl( \sum \infty
k=1
gn(x)
\Bigr)
d\mu =
\sum \infty
k=1
\int
A
gn(x) d\mu .
Нехай A(k, t) =
\sum
k\leq p1\leq ...\leq pn\leq k+t
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)
, де сума обчислюється по всiх мож-
ливих скiнченних послiдовностях (pi)
n
i=1 таких, що k \leq p1 \leq . . . \leq pn \leq k + t , k — довiльне
натуральне число, t — довiльне невiд’ємне число.
Теорема 4. A(k, t) =
\sum
k\leq p1\leq ...\leq pn\leq k+t
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1)
=
t+ 1
k
.
Доведення. Для доведення скористаємося методом математичної iндукцiї.
Якщо t = 0, то A (k, 0) =
1
k + 1
+
1
(k + 1)2
+ . . . =
1
k
=
t+ 1
k
, оскiльки в цьому випадку
pi = k \forall i \in \BbbN .
Якщо t = 1, то pi = k або pi = k + 1. Згрупуємо дроби за степенем входження множника
pi + 1 = k + 2 в знаменники дробiв. Тодi отримаємо
A(k, 1) =
\biggl(
1
k + 1
+
1
(k + 1)2
+
1
(k + 1)3
+ . . .
\biggr)
+
+
\biggl(
1
k + 2
+
1
(k + 1)(k + 2)
+
1
(k + 1)2(k + 2)
+ . . .
\biggr)
+
+
\biggl(
1
(k + 2)2
+
1
(k + 1)(k + 2)2
+
1
(k + 1)2(k + 2)2
+ . . .
\biggr)
+ . . . =
= A(k, 0) +
1
k + 2
(1 +A(k, 0)) +
1
(k + 2)2
(1 +A(k, 0)) + . . . =
= A(k, 0) + (1 +A(k, 0))
\biggl(
1
k + 2
+
1
(k + 2)2
+ . . .
\biggr)
=
1
k
+
k + 1
k
1
k + 1
=
2
k
=
t+ 1
k
.
При t = 0 та t = 1 твердження справджується. Припустимо, що твердження справджується
при t = s, тобто має мiсце рiвнiсть A(k, s) =
s+ 1
k
. Тодi при t = s+ 1, згрупувавши дроби за
степенем входження в їхнi знаменники множника k+s+2, як i у випадку при t = 1, отримаємо
A(k, s+ 1) = A(k, s) +
1
k + s+ 2
(1 +A(k, s)) +
1
(k + s+ 2)2
(1 +A(k, s)) + . . . =
= A(k, s) + (1 +A(k, s))
\biggl(
1
k + s+ 2
+
1
(k + s+ 2)2
+ . . .
\biggr)
=
=
s+ 1
k
+
k + s+ 1
k
1
k + s+ 1
=
s+ 1
k
+
1
k
=
s+ 2
k
=
t+ 1
k
.
Отже, за принципом математичної iндукцiї A(k, t) =
t+ 1
k
для довiльного цiлого не-
вiд’ємного t та довiльного натурального k.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
662 М. П. МОРОЗ
Теорема 5. Ряд
\infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
(1)
збiгається майже скрiзь (в сенсi мiри Лебега) на множинi \Omega .
Доведення. Розглянемо ймовiрнiсний простiр (\Omega ,\scrF , \lambda ). Нехай на множинi \Omega визначено
послiдовнiсть функцiй
gn(x) =
1
pn(x) + 1
> 0.
Покажемо, що ряд
\sum \infty
n=1
\int
\Omega
gn (x) =
\sum \infty
n=1
\int
\Omega
1
pn(x) + 1
d\lambda є збiжним. Маємо
\int
\Omega
1
p1(x) + 1
d\lambda =
\infty \sum
k=1
\biggl(
1
k
\lambda (\Delta E
k )
\biggr)
=
\infty \sum
k=1
\biggl(
1
k + 1
1
(k + 1)k
\biggr)
=
\infty \sum
k=1
1
k(k + 1)2
,
\infty \sum
n=2
\int
\Omega
1
pn(x) + 1
d\lambda =
\infty \sum
n=2
\infty \sum
pn=1
\left( 1
pn + 1
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq pn
\lambda (\Delta E
p1...pn - 1pn)
\right) =
=
\infty \sum
n=2
\infty \sum
pn=1
\left( 1
pn + 1
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq pn
1
(p1 + 1) . . . (pn + 1) pn
\right) =
=
\infty \sum
n=2
\infty \sum
pn=1
\left( 1
pn(pn + 1)2
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq pn
1
(p1 + 1) . . . (pn - 1 + 1)
\right) =
=
\infty \sum
n=2
\infty \sum
k=1
\left( 1
k(k + 1)2
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq k
1
(p1 + 1) . . . (pn - 1 + 1)
\right) =
=
\infty \sum
k=1
\left( 1
k(k + 1)2
\infty \sum
n=2
\left( \sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq k
1
(p1 + 1) . . . (pn - 1 + 1)
\right) \right) =
=
\infty \sum
k=1
\biggl(
1
k(k + 1)2
A (1, k - 1)
\biggr)
=
\infty \sum
k=1
\biggl(
1
k(k + 1)2
k
\biggr)
=
\infty \sum
k=1
1
(k + 1)2
.
Остаточно отримуємо
\infty \sum
n=1
\int
\Omega
1
pn(x) + 1
d\lambda =
\int
\Omega
1
p1(x) + 1
d\lambda +
\infty \sum
n=2
\int
\Omega
1
pn(x) + 1
d\lambda =
=
\infty \sum
k=1
1
k(k + 1)2
+
\infty \sum
k=1
1
(k + 1)2
=
\infty \sum
k=1
1 + k
k(k + 1)2
=
\infty \sum
k=1
1
k(k + 1)
= 1.
Отже, згiдно з наслiдком з теореми Б. Левi, ряд
\sum \infty
n=1
1
pn(x) + 1
збiгається майже скрiзь на
множинi \Omega . При цьому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЧИСЛОВI ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ПОВ’ЯЗАНОЇ IЗ ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 663
\int
\Omega
\Biggl( \infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
\Biggr)
d\lambda =
\infty \sum
n=1
\int
\Omega
1
pn(x) + 1
d\lambda = 1.
Теорему 5 доведено.
Позначимо через T пiдмножину множини \Omega , на якiй ряд (1) розбiгається. Згiдно з попе-
редньою теоремою, \lambda (T ) = 0. Розглянемо множину \Omega \ast = \Omega \setminus T, \lambda (\Omega \ast ) = \lambda (\Omega ) = 1. Нехай
\scrF \ast — \sigma -алгебра пiдмножин множини \Omega \ast , вимiрних за Лебегом. Таким чином, (\Omega \ast ,\scrF \ast , \lambda ) —
ймовiрнiсний простiр.
Розглянемо функцiю \psi : \Omega \ast \rightarrow \BbbR таку, що
\psi (x) =
\infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
.
Враховуючи попереднi результати, можемо стверджувати, що функцiя \psi (x) є випадковою вели-
чиною (вимiрною функцiєю) на (\Omega \ast ,\scrF \ast , \lambda ) , оскiльки вона є границею послiдовностi вимiрних
функцiй, що монотонно зростають в кожнiй точцi областi визначення [8, c.133].
Зауваження. Як зазначено в роботi [8, c. 126], при розглядi вимiрних функцiй можна
допускати набуття ними нескiнченних значень. Тому функцiю \psi можна розглядати i на множинi
\Omega . Оскiльки множини \Omega i \Omega \ast збiгаються з точнiстю до множини мiри нуль, то iнтегральнi
властивостi функцiї \psi не залежать вiд того, на якiй з цих двох множин вона визначена.
3. Числовi характеристики випадкової величини \bfitpsi .
Теорема 6. Математичне сподiвання M\psi випадкової величини \psi дорiвнює 1.
Доведення. Оскiльки M\psi =
\int
\Omega \ast
\psi (x) d\lambda , то, враховуючи промiжнi результати, одержанi
при доведеннi теореми 5, отримуємо
M\psi =
\int
\Omega \ast
\psi (x) d\lambda =
\int
\Omega \ast
\Biggl( \infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
\Biggr)
d\lambda =
\int
\Omega
\Biggl( \infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
\Biggr)
d\lambda = 1.
Теорему 6 доведено.
Теорема 7. Дисперсiя D\psi випадкової величини \psi дорiвнює \zeta (2) - 1, де \zeta (2) — значення
\zeta -функцiї Рiмана в точцi 2.
Доведення. Оскiльки D\psi = M\psi 2 - (M\psi )2, то D\psi = M\psi 2 - 1. Бачимо, що обчислення
дисперсiї зводиться до обчислення математичного сподiвання випадкової величини \psi 2 :
(\psi (x))2 =
\Biggl( \infty \sum
n=1
1
pn(x) + 1
\Biggr) 2
=
\infty \sum
n=1
1
(pn(x) + 1)2
+ 2
\sum
k,m\in \BbbN
k<m
1
(pk(x) + 1)(pm(x) + 1)
.
Кожна з двох сум в останнiй рiвностi є вимiрною функцiєю, яка набуває на \Omega \ast тiльки
скiнченних значень, а тому вони є випадковими величинами. При цьому кожен доданок, що
входить до цих сум, також є випадковою величиною. Тому
M\psi 2 =
\infty \sum
n=1
M
1
(pn + 1)2
+ 2
\sum
k,m\in \BbbN
k<m
M
1
(pk + 1)(pm + 1)
.
Знайдемо значення суми
\sum \infty
n=1
M
1
(pn + 1)2
:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
664 М. П. МОРОЗ
M
1
(p1 + 1)2
=
\infty \sum
p1=1
\biggl(
1
(p1 + 1)2
\lambda
\bigl(
\Delta E
p1
\bigr) \biggr)
=
\infty \sum
p1=1
1
(p1 + 1)3p1
=
\infty \sum
n=1
1
n(n+ 1)3
,
\infty \sum
n=2
M
1
(pn + 1)2
=
\infty \sum
n=2
\infty \sum
pn=1
\left( 1
(pn + 1)2
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq pn
\lambda (\Delta E
p1...pn - 1pn)
\right) =
=
\infty \sum
n=2
\infty \sum
pn=1
\left( 1
(pn + 1)2
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq pn
1
(p1 + 1) . . . (pn - 1 + 1)(pn + 1)pn
\right) =
=
\infty \sum
pn=1
\left( 1
(pn + 1)3pn
\infty \sum
n=2
\left( \sum
1\leq p1\leq ...\leq pn - 1\leq pn
1
(p1 + 1) . . . (pn - 1 + 1)
\right) \right) =
=
\infty \sum
pn=1
\biggl(
1
pn(pn + 1)3
A (1, pn - 1)
\biggr)
=
\infty \sum
pn=1
pn
pn(pn + 1)3
=
\infty \sum
n=1
1
(n+ 1)3
.
Таким чином,
\infty \sum
n=1
M
1
(pn + 1)2
=M
1
(p1 + 1)2
+
\infty \sum
n=2
M
1
(pn + 1)2
=
\infty \sum
n=1
1
n(n+ 1)3
+
\infty \sum
n=1
1
(n+ 1)3
=
=
\infty \sum
n=1
1
n(n+ 1)2
=
\infty \sum
n=1
1
n(n+ 1)
-
\infty \sum
n=1
1
(n+ 1)2
= 1 - (\zeta (2) - 1) = 2 - \zeta (2).
Тепер знайдемо значення суми
\sum
k,m\in \BbbN
k<m
M
1
(pk + 1)(pm + 1)
:
\sum
k,m\in \BbbN
k<m
M
1
(pk + 1)(pm + 1)
=
=
\sum
k,m\in \BbbN
k<m
\left( \sum
1\leq pk\leq pm
\left( 1
(pk + 1)(pm + 1)
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pm
\lambda
\bigl(
\Delta E
p1...pk...pm
\bigr) \right) \right) =
=
\sum
1\leq pk\leq pm
k<m
\left( 1
(pk + 1)2(pm + 1)2pm
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pm
1
(p1 + 1). . .(pk - 1 + 1)(pk+1 + 1). . .(pm - 1 + 1)
\right) .
Знайдемо значення суми
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pm
1
(p1 + 1) . . . (pk - 1 + 1)(pk+1 + 1) . . . (pm - 1 + 1)
за
всiма допустимими наборами натуральних чисел (p1, . . . , pk, . . . , pm), де pk i pm — фiксованi
числа, порядковi номери яких можуть набувати довiльних допустимих значень:\sum
1\leq p1\leq ...\leq pm
1
(p1 + 1) . . . (pk - 1 + 1)(pk+1 + 1) . . . (pm - 1 + 1)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЧИСЛОВI ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ПОВ’ЯЗАНОЇ IЗ ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 665
=
\left( 1 +
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pk
1
(p1 + 1) . . . (pk - 1 + 1)
\right) \left( 1 +
\sum
pk\leq ...\leq pm
1
(pk+1 + 1) . . . (pm - 1 + 1)
\right) .
В сумi 1 +
\sum
1\leq p1\leq ...\leq pk
1
(p1 + 1) . . . (pk - 1 + 1)
перший доданок вiдповiдає випадку, коли
перед елементом pk не мiститься жодних iнших елементiв, тобто коли k = 1. Наступнi доданки
(вони знаходяться пiд знаком суми) вiдповiдають випадкам, коли перед pk мiститься принаймнi
один елемент.
В сумi 1+
\sum
pk\leq ...\leq pm
1
(pk+1 + 1) . . . (pm - 1 + 1)
перший доданок вiдповiдає випадку, коли
мiж елементами pk i pm не мiститься жодного елемента, тобто коли m = k + 1. Наступнi
доданки (вони знаходяться пiд знаком суми) вiдповiдають випадкам, коли мiж pk i pm мiститься
принаймнi один елемент.
За теоремою 4 \sum
1\leq p1\leq ...\leq pm
1
(p1 + 1) . . . (pk - 1 + 1)(pk+1 + 1) . . . (pm - 1 + 1)
=
= (1 +A(1, pk - 1)) (1 +A(pk, pm - pk)) =
(pk + 1)(pm + 1)
pk
.
Тодi\sum
k,m\in \BbbN
k<m
M
1
(pk + 1)(pm + 1)
=
\sum
1\leq pk\leq pm
k<m
\biggl(
1
(pk + 1)2(pm + 1)2pm
(pk + 1)(pm + 1)
pk
\biggr)
=
=
\sum
1\leq pk\leq pm
1
pk(pk + 1)pm(pm + 1)
=
\infty \sum
pk=1
\Biggl(
1
pk(pk + 1)
\infty \sum
pm=pk
1
(pm + 1)pm
\Biggr)
=
=
\infty \sum
pk=1
\biggl(
1
pk(pk + 1)
1
pk
\biggr)
=
\infty \sum
n=1
1
n2(n+ 1)
=
\infty \sum
n=1
(n+ 1) - n
n2(n+ 1)
=
=
\infty \sum
n=1
1
n2
-
\infty \sum
n=1
1
n(n+ 1)
= \zeta (2) - 1.
Остаточно отримуємо
D\psi =M\psi 2 - (E\psi )2 =
\infty \sum
n=1
M
1
(pn + 1)2
+ 2
\sum
k,m\in \BbbN
k<m
M
1
(pk + 1)(pm + 1)
- 1 =
= 2 - \zeta (2) + 2(\zeta (2) - 1) - 1 = \zeta (2) - 1.
Теорему 7 доведено.
4. Узагальнення випадкової величини \bfitpsi . Розглянемо випадкову величину \psi k : \Omega \ast \rightarrow \BbbR
таку, що
\psi k(x) =
\infty \sum
n=1
1
pn(x) + k
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
666 М. П. МОРОЗ
де k — деяке фiксоване натуральне число. Вона є узагальненням випадкової величини \psi .
Зрозумiло, що для довiльного x \in \Omega \ast ряд
\sum \infty
n=1
1
pn(x) + k
збiгається, оскiльки збiгається ряд\sum \infty
n=1
1
pn(x) + 1
.
Знайдемо математичне сподiвання E\psi k.
Аналогiчно до мiркувань в доведеннях теорем 4 – 6 одержуємо
M\psi k =
\int
\Omega \ast
\psi k(x) d\lambda =
\int
\Omega \ast
\Biggl( \infty \sum
n=1
1
pn(x) + k
\Biggr)
d\lambda =
\int
\Omega
\Biggl( \infty \sum
n=1
1
pn(x) + k
\Biggr)
d\lambda =
=
\infty \sum
n=1
\int
\Omega
1
pn(x) + k
d\lambda =
\int
\Omega
1
p1(x) + k
d\lambda +
\infty \sum
n=2
\int
\Omega
1
pn(x) + k
d\lambda =
=
\infty \sum
i=1
1
i(i+ 1)(i+ k)
+
\infty \sum
i=1
1
(i+ 1)(i+ k)
=
\infty \sum
i=1
1
i(i+ k)
.
При k = 1 маємо \psi 1 = \psi , а тому M\psi = M\psi 1 =
\sum \infty
i=1
1
i(i+ 1)
= 1, що узгоджується з
теоремою 6.
При k \geq 2 отримуємо
M\psi k =
\infty \sum
i=1
1
i(i+ k)
=
1
k
\infty \sum
i=1
k
i(i+ k)
=
1
k
\infty \sum
i=1
(k + i) - i
i(i+ k)
=
=
1
k
\infty \sum
i=1
\biggl(
1
i
- 1
i+ k
\biggr)
=
1
k
\biggl(
1 +
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
k
\biggr)
=
H (k)
k
,
де H (k) = 1 +
1
2
+ . . .+
1
k
— k-те гармонiчне число.
В данiй статтi ми не обчислюємо дисперсiї цих випадковх величин через певнi технiчнi
труднощi. Проте не виключено, що цю задачу буде розв’язано згодом.
Лiтература
1. Yu. Khvorostina, M. Pratsiovytyi, Topological and metric properties of distributions of random variables represented
by the alternating Lüroth series with independent elements, Random Oper. Stoch. Equat., 21, № 4, 385 – 401 (2013).
2. J. O. Shallit, Metric theory of Pierce expansions, Fibonacci Quart., 24, № 1, 22 – 40 (1986).
3. Yu. Zhykharyeva, M. Pratsiovytyi, Expansions of numbers in positive Lüroth series and their applications to metric,
probabilistic and fractal theories of numbers, Algebra and Discrete Math., 14, № 1, 145 – 160 (2012).
4. О. М. Барановський, М. В. Працьовитий, Г. М. Торбiн, Ряди Остроградського – Серпiнського – Пiрса та їхнi
застосування, Наук. думка, Київ (2013).
5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, Москва (1976).
6. I. М. Працьовита, М. В. Заднiпряний, Розклади чисел в ряди Сiльвестера та їх застосування, Наук. часопис
Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки, № 10, 73 – 87 (2009).
7. М. В. Працьовитий, Б. I. Гетьман, Ряди Енгеля та їх застосування, Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм.
М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки, № 7, 105 – 116 (2006).
8. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 5, Наука, Москва (1959).
Одержано 31.12.19,
пiсля доопрацювання — 14.04.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2284 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:48Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a4/f5594c4218486e1669ed450731c877a4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22842022-03-26T11:01:41Z Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series Числовые характеристики случайной величины, связанной с разложением действительных чисел в ряды Энгеля Числовi характеристики випадкової величини, пов'язаної iз зображенням дiйсних чисел рядами Енгеля Moroz, M. P. М. П. Мороз, М. П. It is known that any $x \in \left(0;1\right]\equiv\Omega$ has a unique Engel expansion $$&nbsp;\displaystyle&nbsp;x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(p_1(x)+1\right)\ldots \left(p_n(x)+1\right)},$$&nbsp;where $p_n(x)\in\mathbb{N},$ $p_{n+1}(x)\geq p_n(x)$ for all $n \in \mathbb{N}.$&nbsp;This means that $p_n(x)$ is a well-defined measurable function on the probability space $ (\Omega, \mathcal {F}, \lambda),$ where $\mathcal{F}$ is the $\sigma$-algebra of Lebesgue-measurable subsets of $\Omega$ and $\lambda$ is the Lebesgue measure. &nbsp; The main subject of our research is the function&nbsp;$$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_n(x)+1},$$&nbsp;defined on $\Omega^*\subset\Omega,$ where $ \Omega^* $ is the convergence set of the series $\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{p_n(x)+1}.$&nbsp;We prove that the function $\psi$ is defined a.e. on $(0;1]$ and $\psi$ is a random variable on the probability space $(\Omega^*, \mathcal{F^*}, \lambda),$ where $\mathcal{F^*}$ is the $\sigma$-algebra of Lebesgue-measurable subsets of $\Omega^*,$ and obtain the mathematical expectation and variance of the function $\psi.$&nbsp;Also, we consider the&nbsp; variables $\psi_k$ as a generalization of the function $ \psi $ and calculate the mathematical expectations $M\psi_k $ of these random variables. УДК 511.72+511.75+519.21 Відомо, що будь-яке число $x \in \left(0;1\right]\equiv\Omega$ єдиним чином розкладається в ряд Енгеля $$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(p_1(x)+1\right)\ldots \left(p_n(x)+1\right)},$$ де $p_n(x)\in\mathbb{N},$ $p_{n+1}(x)\geq p_n(x)$ $\forall n \in \mathbb{N}.$ Цей розклад коректно визначає $p_n(x)$ як вимірну функцію (випадкову величину) на ймовірнісному просторі $(\Omega, \mathcal{F}, \lambda),$ де $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра вимірних за Лебегом підмножин множини $\Omega,$ $\lambda$ — міра Лебега. &nbsp; На множині $\Omega^*\subset\Omega$ збіжності функціонального ряду&nbsp; $\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{p_n(x)+1}$ визначається функція $$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_n(x)+1},$$ яка є основним об'єктом дослідження в даній роботі. Доведено, що функція $\psi$ визначена (набуває скінченних значень) майже скрізь на $(0;1]$ та є випадковою величиною на ймовірнісному просторі $(\Omega^*, \mathcal{F^*}, \lambda),$ де $\mathcal{F^*}$ — $\sigma$-алгебра вимірних за Лебегом підмножин множини $\Omega^*,$ обчислено її математичне сподівання та дисперсію. Розглянуто випадкові величини $\psi_k$ як узагальнення функції $\psi$ та обчислено їхні математичні сподівання $M\psi_k.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-04-29 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2284 10.37863/umzh.v72i5.2284 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 5 (2020); 658–666 Український математичний журнал; Том 72 № 5 (2020); 658–666 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2284/8694 Copyright (c) 2020 Микола Мороз |
| spellingShingle | Moroz, M. P. М. П. Мороз, М. П. Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series |
| title | Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series |
| title_alt | Числовые характеристики случайной величины, связанной с разложением действительных чисел в ряды Энгеля Числовi характеристики випадкової величини, пов'язаної iз зображенням дiйсних чисел рядами Енгеля |
| title_full | Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series |
| title_fullStr | Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series |
| title_full_unstemmed | Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series |
| title_short | Numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the Engel series |
| title_sort | numerical characteristics of the random variable associated with the expansions of real numbers by the engel series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2284 |
| work_keys_str_mv | AT morozmp numericalcharacteristicsoftherandomvariableassociatedwiththeexpansionsofrealnumbersbytheengelseries AT mp numericalcharacteristicsoftherandomvariableassociatedwiththeexpansionsofrealnumbersbytheengelseries AT morozmp numericalcharacteristicsoftherandomvariableassociatedwiththeexpansionsofrealnumbersbytheengelseries AT morozmp čislovyeharakteristikislučajnojveličinysvâzannojsrazloženiemdejstvitelʹnyhčiselvrâdyéngelâ AT mp čislovyeharakteristikislučajnojveličinysvâzannojsrazloženiemdejstvitelʹnyhčiselvrâdyéngelâ AT morozmp čislovyeharakteristikislučajnojveličinysvâzannojsrazloženiemdejstvitelʹnyhčiselvrâdyéngelâ AT morozmp čisloviharakteristikivipadkovoíveličinipov039âzanoíizzobražennâmdijsnihčiselrâdamiengelâ AT mp čisloviharakteristikivipadkovoíveličinipov039âzanoíizzobražennâmdijsnihčiselrâdamiengelâ AT morozmp čisloviharakteristikivipadkovoíveličinipov039âzanoíizzobražennâmdijsnihčiselrâdamiengelâ |