On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces
We obtain upper estimates for the distortion of the modulus of families of paths under the Sobolev class mappings, whose dilatation is locally integrable.  As a consequence, we prove theorems on local and boundary behavior for these mappings.
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2292 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508230860406784 |
|---|---|
| author | Sevost’yanov, E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. |
| author_facet | Sevost’yanov, E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. |
| author_sort | Sevost’yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:42Z |
| description | We obtain upper estimates for the distortion of the modulus of families of paths under the Sobolev class mappings, whose dilatation is locally integrable.  As a consequence, we prove theorems on local and boundary behavior for these mappings. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i5.2292 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i5.2292
УДК 517.5
Є. О. Севостьянов (Житомир. держ. ун-т iм. I. Франка; Iн-т прикл. математики i механiки НАН України,
Слов’янськ)
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО
ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ
We obtain upper estimates for the distortion of the modulus of families of paths under the Sobolev class mappings, whose
dilatation is locally integrable. As a consequence, we prove theorems on local and boundary behavior for these mappings.
Отримано верхнi оцiнки спотворення модуля сiмей кривих при вiдображеннях класу Соболєва, внутрiшня дилатацiя
яких є локально iнтегровною. Як наслiдок доведено теореми про локальну i межову поведiнку вiдображень.
1. Вступ. Дану статтю присвячено вивченню вiдображень з обмеженим i скiнченним спотворен-
ням, якi активно дослiджуються останнiм часом (див., наприклад, [1 – 3]). Зокрема, йдеться про
випадок рiманових поверхонь гiперболiчного типу [4, 5]. Зауважимо, що принципове значення
для дослiдження вiдображень мають оцiнки спотворення модуля при них (див., наприклад, [1],
розд. 2.3, [2], розд. 4.1, [3], означення 13.1 i [6], теорема 3.1). Саме цi оцiнки допомагають до-
слiдити деякi їхнi фундаментальнi властивостi (див. [3], теореми 17.13, 17.15, [6], теорема 4.2
i [7], теореми 3.6, 3.7). Основна мета даної роботи — отримати верхню оцiнку спотворення
модуля сiмей кривих при вiдображеннях i завдяки цьому дослiдити їхню межову поведiнку
(див. останнiй пункт). Зауважимо, що класичну нерiвнiсть Полецького отримано в роботi [8]
(теорема 1) i стосується вона вiдображень евклiдового простору з обмеженою характеристи-
кою (див. також [2], теореми 8.1 i 8.5). У данiй роботi йдеться про вiдображення рiманових
поверхонь, а характеристика квазiконформностi може бути необмеженою.
Нагадаємо означення. Рiмановою поверхнею будемо називати двовимiрний многовид зi зчис-
ленною базою, в якому вiдображення переходу мiж вiдповiдними картами є конформними [4].
Рiмановi поверхнi \BbbS i \BbbS \ast , що розглядаються нижче, будуть вважатися поверхнями гiперболiчного
типу, тобто конформно еквiвалентними фактор-просторам \BbbD /G i \BbbD /G\ast вiдповiдно, де \BbbD =
= \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} i G, G\ast — деякi розривнi групи дробово-лiнiйних автоморфiзмiв одиничного
круга без нерухомих точок. Завдяки теоремi Клейна – Пуанкаре про факторизацiю (див. [9],
теорема 6.I) ми можемо ототожнити рiмановi поверхнi \BbbS i \BbbS \ast з вiдповiдними фактор-просторами
\BbbD /G i \BbbD /G\ast вказаного вигляду. Отже, ми вважаємо, що \BbbS = D/G i \BbbS \ast = D/G\ast , де G i G\ast —
деякi групи дробово-лiнiйних автоморфiзмiв одиничного круга, що не мають нерухомих точок
i дiють розривно в \BbbD . Нагадаємо, що G дiє розривно в \BbbD , якщо кожна точка x \in \BbbD має окiл U
такий, що g(U) \cap U = \varnothing для всiх g \in G, g \not = I, за винятком скiнченної кiлькостi елементiв g,
де I — тотожне вiдображення. Ми також говоримо, що G не має нерухомих точок у \BbbD , якщо
для кожного a \in \BbbD рiвнiсть g(a) = a може мати мiсце лише у випадку, коли g = I.
Нагадаємо, що кожен елемент p0 фактор-простору \BbbD /G є орбiтою точки z0 \in \BbbD , тобто
p = \{ z \in \BbbD : z = g(z0), g \in G\} . Скрiзь далi в одиничному крузi \BbbD використовуються так звана
гiперболiчна метрика
h(z1, z2) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + t
1 - t
, t =
| z1 - z2|
| 1 - z1z2|
, (1)
c\bigcirc Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5 705
706 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
а також гiперболiчна площа множини S \subset \BbbD i довжина кривої \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbD , якi задаються,
вiдповiдно, спiввiдношеннями
v(S) =
\int
S
4 dm(z)
(1 - | z| 2)2
, z = x+ iy, sh(\gamma ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\pi
n - 1\sum
k=0
h(\gamma (tk), \gamma (tk+1)), (2)
де h взято з (1), а супремум береться по всiх розбиттях \pi = \{ a = t0 \leq t1 \leq t2 \leq . . . \leq tn = b\}
(див. [4], спiввiдношення (2.4), (2.5)). Безпосереднiми обчисленнями легко переконатися, що
гiперболiчна метрика, довжина i площа iнварiантнi вiдносно дробово-лiнiйних вiдображень
одиничного круга на себе.
Для точки y0 \in \BbbD i числа r \geq 0 визначимо гiперболiчний круг Bh(y0, r) i гiперболiчне коло
Sh(y0, r) за допомогою спiввiдношень
Bh(y0, r) :=
\bigl\{
y \in \BbbD : h(y0, y) < r
\bigr\}
, Sh(y0, r) :=
\bigl\{
y \in \BbbD : h(y0, y) = r
\bigr\}
.
Рiмановi поверхнi можна метризувати таким чином. Якщо p1, p2 \in \BbbD /G, покладемо
\widetilde h(p1, p2) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g1,g2\in G
h(g1(z1), g2(z2)), (3)
де pi = Gzi =
\bigl\{
\xi \in \BbbD : \exists g \in G : \xi = g(zi)
\bigr\}
, i = 1, 2. В останньому випадку множину Gzi
будемо називати орбiтою точки zi, а p1 i p2 назвемо орбiтами точок z1 i z2 вiдповiдно. Далi
\widetilde B(p0, r) :=
\bigl\{
p \in \BbbS : \widetilde h(p0, p) < r
\bigr\}
, \widetilde S(p0, r) := \bigl\{
p \in \BbbS : \widetilde h(p0, p) = r
\bigr\}
— круг i коло з центром у точцi p0 на поверхнi \BbbS . Скрiзь далi B(z0, r) i S(z0, r) позначають
круг i коло з центром у точцi z0 \in \BbbC на площинi.
З метою спрощення дослiджень введемо до розгляду так звану фундаментальну множину
F. Визначимо її як пiдмножину \BbbD , що мiстить одну, i лише одну, точку орбiти z \in Gz0 (див.
[10], розд. 9, § 9.1). Фундаментальною областю D0 називається область в \BbbD з властивiстю
D0 \subset F \subset D0 така, що v(\partial D0) = 0 (див. там же). Найважливiшим прикладом фундаментальної
областi є багатокутник Дiрiхле,
D\zeta =
\bigcap
g\in G,g \not =I
Hg(\zeta ),
де Hg(\zeta ) =
\bigl\{
z \in \BbbD : h(z, \zeta ) < h(z, g(\zeta ))
\bigr\}
(див. [4], спiввiдношення (2.6)).
Нехай \pi — природна проекцiя \BbbD на \BbbD /G, тодi \pi — аналiтична функцiя, конформна на D0
(див. також пропозицiю 9.2.2 [10] i коментар пiсля (2.11) в [4]). Зауважимо, крiм того, що мiж
точками F i \BbbD /G, а отже i мiж точками F i \BbbS , iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть. Зокрема,
для вимiрної множини E \subset \BbbD /G покладемо
\widetilde v(E) := v
\bigl(
\pi - 1(E)
\bigr)
, (4)
де v — гiперболiчна мiра в одиничному крузi з елементом площi dv(z) =
4 dm(z)
(1 - | z| 2)2
, m —
плоска мiра Лебега. Тут i далi множину E \subset \BbbD /G будемо називати вимiрною, якщо \pi - 1(E)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ 707
є вимiрною в \BbbD вiдносно мiри Лебега. Аналогiчно можна визначити борелеву множину E \subset
\subset \BbbD /G.
Нехай D, D\ast — областi на рiманових поверхнях \BbbS i \BbbS \ast вiдповiдно. Позначимо через \widetilde h
метрику на рiмановiй поверхнi \BbbS , а через \widetilde h\ast — на рiмановiй поверхнi \BbbS \ast . Елементи довжини i
об’єму позначаються на поверхнях \BbbS i \BbbS \ast вiдповiдно через ds\widetilde h, d\widetilde v i ds\widetilde h\ast , d \widetilde v\ast . Вiдображення f :
D \rightarrow D\ast будемо називати дискретним, якщо прообраз f - 1(y) кожної точки y \in D\ast складається
лише з iзольованих точок, i вiдкритим, якщо образ будь-якої вiдкритої множини U \subset D є вiд-
критою множиною в D\ast . Означення вiдображень класу Соболєва W 1,1
loc на рiмановiй поверхнi
можна знайти, наприклад, у роботi [4]. Далi для вiдображень f : D \rightarrow D\ast класу W 1,1
loc в локаль-
них координатах fz = (fx + ify)/2 i fz = (fx - ify)/2, z = x+ iy. Крiм того, норма i якобiан
вiдображення f в локальних координатах виражаються вiдповiдно як \| f \prime (z)\| = | fz| + | fz| i
Jf (z) = | fz| 2 - | fz| 2. Будемо говорити, що f \in W 1,2
loc (D), якщо f \in W 1,2
loc i, крiм того, в локаль-
них координатах \| f \prime (z)\| \in L2
loc(D). Скрiзь далi ми вважаємо, що диференцiйовне майже скрiзь
вiдображення f має невiд’ємний якобiан майже скрiзь у локальних координатах. Дилатацiя
порядку p вiдображення f у точцi z визначається спiввiдношенням
Kf (z) =
| fz| + | fz|
| fz| - | fz|
при Jf (z) \not = 0, Kf (z) = 1 при \| f \prime (z)\| = 0 i Kf (z) = \infty — в рештi випадкiв. Шляхом обчислень
неважко переконатись, що величина Kf (z) не залежить вiд локальних координат. Як правило,
крива \gamma на рiмановiй поверхнi \BbbS визначається як неперервне вiдображення \gamma : I \rightarrow \BbbS , де
I — скiнченний вiдрiзок [a, b], iнтервал (a, b), або один iз пiвiнтервалiв [a, b), (a, b] числової
прямої. Згiдно з [11] (розд. 7.1) (див. також [3], теорема 2.4), довiльна спрямлювана крива \gamma :
I \rightarrow \BbbC (вiдповiдно \gamma : I \rightarrow \BbbS ) допускає параметризацiю \gamma (t) = (\gamma 0 \circ l\gamma )(t), де l\gamma позначає
довжину кривої \gamma на вiдрiзку [a, t]. В залежностi вiд контексту цю довжину можна розумiти
як у евклiдовому, так i у гiперболiчному сенсi, а також у сенсi рiманової поверхнi. В цьому
випадку крива \gamma 0 : [0, l(\gamma )] \rightarrow \BbbC
\bigl(
вiдповiдно \gamma 0 : [0, l(\gamma )] \rightarrow \BbbS
\bigr)
єдина i називається нормальним
зображенням кривої \gamma . Для локально спрямлюваної кривої \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbD позначимо
\int
\alpha
\rho (x) dsh(x) =
l(\gamma )\int
0
\rho (\alpha 0(s)) ds.
Аналогiчно, для локально спрямлюваної кривої \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbD /G позначимо
\int
\alpha
\rho (p) ds\widetilde h(p) =
l(\gamma )\int
0
\rho (\alpha 0(s)) ds.
Нехай \Gamma — сiм’я кривих в \BbbS . Борелеву функцiю \rho : \BbbS \rightarrow [0,\infty ] будемо називати допустимою
для сiм’ї \Gamma кривих \gamma , якщо
\int
\gamma
\rho (p) ds\widetilde h(p) \geq 1 для будь-якої (локально спрямлюваної) кривої
\gamma \in \Gamma . Це коротко записується так: \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma . Модуль сiм’ї \Gamma визначається як
M(\Gamma ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in adm\Gamma
\int
\BbbS
\rho 2(p) d\widetilde v(p).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
708 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Нехай \Delta \subset \BbbR — вiдкритий iнтервал числової прямої, а \gamma : \Delta \rightarrow \BbbS — локально спрямлювана
крива. У такому випадку очевидно, що iснує єдина неспадна функцiя довжини l\gamma : \Delta \rightarrow \Delta \gamma \subset \BbbR
з умовою l\gamma (t0) = 0, t0 \in \Delta , така, що значення l\gamma (t) дорiвнює довжинi пiдкривої \gamma | [t0,t] кривої
\gamma , якщо t > t0, i довжинi пiдкривої \gamma | [t, t0] зi знаком мiнус, якщо t < t0, t \in \Delta . Нехай g :
| \gamma | \rightarrow \BbbS \ast — неперервне вiдображення, де | \gamma | = \gamma (\Delta ) \subset \BbbS . Припустимо, що крива \widetilde \gamma = g\circ \gamma також
локально спрямлювана. Тодi очевидно, що iснує єдина неспадна функцiя L\gamma , g : \Delta \gamma \rightarrow \Delta \widetilde \gamma така,
що L\gamma , g(l\gamma (t)) = l\widetilde \gamma (t) при всiх t \in \Delta . Якщо крива \gamma задана на вiдрiзку [a, b] або пiвiнтервалi
[a, b), то будемо вважати, що a = t0. Крива \gamma називається (повним) пiдняттям кривої \widetilde \gamma при
вiдображеннi f : D \rightarrow \BbbS \ast , якщо \widetilde \gamma = f \circ \gamma .
Наступне означення можна знайти в [2] (розд. 8.4) або [3] (означення 5.2). Кажуть, що
вiдображення f : D \rightarrow \BbbR n належить класу ACP в областi D (абсолютно неперервне на майже
всiх кривих в областi D, пишемо f \in ACP ), якщо для майже всiх кривих \gamma в областi D крива\widetilde \gamma = f \circ \gamma локально спрямлювана, при цьому функцiя довжини L\gamma , f , введена вище, абсолютно
неперервна на всiх вiдрiзках, що лежать в \Delta \gamma . Тут i далi деяка властивiсть P виконується для
майже всiх кривих, якщо модуль сiм’ї кривих, для якого ця властивiсть порушується, дорiвнює
нулю.
Припустимо, що f : D \rightarrow \BbbS \ast таке, що нiяка крива \alpha \subset D при вiдображеннi f не переходить
в точку. Тодi (коректно) може бути визначена функцiя L - 1
\gamma , f . У цьому випадку будемо говорити,
що f має властивiсть ACP - 1 в областi D \subset \BbbS (пишемо f \in ACP - 1), якщо для майже всiх
кривих \widetilde \gamma \in f(D) кожне пiдняття \gamma кривої \widetilde \gamma при вiдображеннi f, f \circ \gamma = \widetilde \gamma , є локально спрям-
люваною кривою i, крiм того, обернена функцiя L - 1
\gamma , f абсолютно неперервна на всiх вiдрiзках,
що лежать у \Delta \widetilde \gamma , для майже всiх кривих \widetilde \gamma в f(D) i кожного пiдняття \gamma кривої \widetilde \gamma = f \circ \gamma .
Зауважимо, що якщо f — гомеоморфiзм такий, що f - 1 \in W 1,2
loc
\bigl(
f(D)
\bigr)
, то вiн завжди належить
класу ACP - 1 (див. [3], теорема 28.2). Будемо говорити, що вiдображення f має N-властивiсть
Лузiна, якщо \widetilde v\ast \bigl( f(E)
\bigr)
= 0 для будь-якого E \subset D такого, що \widetilde v(E) = 0. Аналогiчно, будемо го-
ворити, що вiдображення f має N - 1-властивiсть Лузiна, якщо \widetilde v\bigl( f - 1(E\ast )
\bigr)
= 0 для будь-якого
E\ast \subset D\ast такого, що \widetilde v\ast (E\ast ) = 0. Справджується таке твердження (див. також [4], лема 3.1).
Теорема 1. Нехай D i D\ast — областi рiманових поверхонь \BbbS i \BbbS \ast вiдповiдно, при цьому D
i D\ast є компактами. Нехай також f — диференцiйовне майже скрiзь вiдображення областi
D на D\ast , що належить класу ACP - 1 i має N - i N - 1-властивостi Лузiна. Тодi для кожної
сiм’ї (локально спрямлюваних) кривих \Gamma в областi D i кожної допустимої функцiї \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma
виконується нерiвнiсть
M(f(\Gamma )) \leq
\int
D
Kf (p)\rho
2(p) d\widetilde v(p). (5)
З огляду на теорему 28.2 [3] i наслiдок B [12] отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай D i D\ast — областi рiманових поверхонь \BbbS i \BbbS \ast вiдповiдно, при цьому
D i D\ast є компактами. Нехай також f — областi D на D\ast такi, що f \in W 1,2
loc (D) i f - 1 \in
\in W 1,2
loc
\bigl(
f(D)
\bigr)
. Тодi виконується спiввiдношення (5).
2. Попереднi зауваження. Перед тим як перейти до допомiжних тверджень i доведення
основних результатiв, зробимо деякi важливi зауваження. Припустимо, що F i D0 — деякi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ 709
фундаментальнi множина i область вiдповiдно (див. зауваження, наведенi у вступi). Для z1, z2 \in
\in F покладемо
d(z1, z2) := \widetilde h\bigl( \pi (z1), \pi (z2)\bigr) ,
де \widetilde h визначено в (3). Зауважимо, що за означенням d(z1, z2) \leq h(z1, z2). Покажемо, що для
будь-якого компакту A \subset \BbbD знайдеться \delta = \delta (A) > 0 таке, що
d(z1, z2) = h(z1, z2) \forall z1, z2 \in A, h(z1, z2) < \delta . (6)
Припустимо протилежне. Тодi для довiльного k \in \BbbN знайдуться комплекснi числа xk, zk \in A
такi, що h(zk, xk) < 1/k, i при цьому d(zk, xk) < h(zk, xk). Тодi за означенням метрики d
й iнварiантностi метрики h при дробово-лiнiйних вiдображеннях одиничного круга на себе
знайдеться таке gk \in G, що
d(zk, xk) \leq h(zk, gk(xk)) < h(zk, xk) < 1/k, gk \in G, k = 1, 2, . . . . (7)
Оскiльки A — компакт в \BbbD , можемо вважати, що xk, zk \rightarrow x0 \in \BbbD при k \rightarrow \infty . Тодi з (7) за
нерiвнiстю трикутника маємо h
\bigl(
gk(xk), x0
\bigr)
\leq h
\bigl(
gk(xk), zk
\bigr)
+ h(zk, x0) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , i,
отже, h(xk, g
- 1
k (x0)) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , оскiльки метрика h iнварiантна при дробово-лiнiйному
вiдображеннi. Однак тодi також за нерiвнiстю трикутника h(g - 1
k (x0), x0) \leq h(g - 1
k (x0), xk) +
+ h(xk, x0) \rightarrow 0, k \rightarrow \infty . Останнє суперечить розривностi групи G в \BbbD , бо порушено умову
g(U) \cap U = \varnothing для як завгодно малого околу U точки x0 i нескiнченної кiлькостi елементiв
g \in G. Це i доводить (6).
Справджується така лема.
Лема 1. Нехай 0 < 2r0 < 1, тодi знайдеться стала C1 = C1(r0) > 0 така, що
C1h(z1, z2) \leq | z1 - z2| \leq h(z1, z2) \forall z1, z2 \in B(0, r0). (8)
Бiльше того, права нерiвнiсть у (8) виконується при всiх z1, z2 \in \BbbD .
Доведення. Зауважимо, що за нерiвнiстю трикутника 0 < | z1 - z2| < 2r0. Тому r := | z1 - z2|
змiнюється в межах вiд 0 до 2r0 < 1. Нагадаємо, що
h(z1, z2) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 +
| z1 - z2|
| 1 - z1z2|
1 - | z1 - z2|
| 1 - z1z2|
.
Позначивши r = | z1 - z2| , зауважимо, що h(z1, z2) \geq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + r/2
1 - r/2
. Зазначимо, що
h(z1, z2) \geq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + r/2
1 - r/2
\geq r, r \in (0, 1). (9)
Справдi, функцiя \varphi (r) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + r/2
1 - r/2
- r зростає по r \in [0, 1], що можна перевiрити взяттям
похiдної. Отже, її мiнiмум досягається при r = 0, тобто \varphi (r) \geq 0 при всiх r \in (0, 1) i
виконується нерiвнiсть (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
710 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Встановимо лiву нерiвнiсть у (8). Для цього зауважимо, що
h(z1, z2) \leq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 - r20 + r
1 - r20 - r
, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 - r20 + r
1 - r20 - r
\sim 2
1 - r20
r при r \rightarrow 0.
Тодi при деяких 0 < r1 < r0 i M =M(r0)
h(z1, z2) \leq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 - r20 + r
1 - r20 - r
\leq Mr, r \in (0, r1).
При r \in [0, 2r0] функцiя 1 - r20 - r строго додатна по r. Тому функцiя
1
r
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 - r20 + r
1 - r20 - r
не-
перервна на r \in [r1, 2r0] i, отже, обмежена при тих же r з деякою сталою \widetilde C. Поклавши
C - 1
1 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
M, \widetilde C\bigr\} , отримаємо
h(z1, z2) \leq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 - r20 + r
1 - r20 - r
\leq C - 1
1 r = C - 1
1 | z1 - z2| \forall z1, z2 \in B(0, r0).
Лему 1 доведено.
Доведемо важливе твердження, що узагальнює теорему 1.3(5) [3].
Лема 2. Припустимо, що крива \alpha : [a, b] \rightarrow \BbbD спрямлювана в сенсi гiперболiчної довжини
sh в (2), крiм того, sh = sh(t) позначає гiперболiчну довжину кривої \alpha , обчислену на вiдрiзку
[a, t], a \leq t \leq b. Тодi \alpha \prime (t) i s\prime h(t) iснують при майже всiх t \in [a, b], при цьому
2| \alpha \prime (t)|
1 - | \alpha (t)| 2
= s\prime h(t) (10)
при майже всiх t \in [a, b].
Доведення. Функцiя sh = sh(t) монотонна i тому майже скрiзь диференцiйовна. Крiм
того, оскiльки \alpha (t) спрямлювана, то знайдеться таке 0 < r0 < 1, що \alpha (t) \in B(0, r0) при всiх
t \in [a, b]. Тодi з леми 1 випливає, що крива \alpha також спрямлювана в евклiдовому сенсi, тому
має обмежену варiацiю i, отже, також диференцiйовна майже скрiзь.
Щоб встановити рiвнiсть (10), будемо дотримуватися логiки мiркувань, що були використанi
при доведеннi теореми 1.3(5) [3]. Насамперед, виходячи з означення гiперболiчної довжини
кривої в (2), можемо записати
h
\bigl(
\alpha (t), \alpha (t0)
\bigr)
| t - t0|
\leq
\bigm| \bigm| sh(t) - sh(t0)
\bigm| \bigm|
| t - t0|
. (11)
Домножаючи чисельник i знаменник спiввiдношення (11) на
\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| , отримуємо\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| h
\bigl(
\alpha (t), \alpha (t0)
\bigr)
| t - t0|
\leq
\bigm| \bigm| sh(t) - sh(t0)
\bigm| \bigm|
| t - t0|
. (12)
З’ясуємо поведiнку функцiї \varphi (t) =
h(\alpha (t), \alpha (t0))\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| при t \rightarrow t0. Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1 + x
1 - x
\sim 2x при
x\rightarrow 0, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ 711
\varphi (t) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\left(
1 +
\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \alpha (t)\alpha (t0)
\bigm| \bigm|
1 -
\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \alpha (t)\alpha (t0)
\bigm| \bigm|
\right) 1\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| \sim 2
\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \alpha (t)\alpha (t0)
\bigm| \bigm| 1\bigm| \bigm| \alpha (t) - \alpha (t0)
\bigm| \bigm|
при t \rightarrow t0. Тодi \varphi (t) \rightarrow 2
1 -
\bigm| \bigm| \alpha (t0)\bigm| \bigm| 2 при t \rightarrow t0. У такому випадку, переходячи в (12) до
границi при t\rightarrow t0, одержуємо
2
\bigm| \bigm| \alpha \prime (t0)
\bigm| \bigm|
1 -
\bigm| \bigm| \alpha (t0)\bigm| \bigm| 2 \leq s\prime h(t0) (13)
при майже всiх t0 \in [a, b].
Для завершення доведення залишилось встановити протилежну до (13) нерiвнiсть. Позна-
чимо через A множину всiх точок вiдрiзка [a, b], для яких \alpha \prime (t) i s\prime h(t) iснують i при цьому
2
\bigm| \bigm| \alpha \prime (t0)
\bigm| \bigm|
1 -
\bigm| \bigm| \alpha (t0)\bigm| \bigm| 2 < s\prime h(t0).
Нехай Ak — множина всiх точок t \in A таких, що для будь-яких a \leq p \leq t \leq q \leq b,
0 < q - p < 1/k, виконується нерiвнiсть
sh(q) - sh(p)
q - p
\geq
h
\bigl(
\alpha (q), \alpha (p)
\bigr)
q - p
+ 1/k.
З урахуванням означень множин A i Ak можна показати, що A =
\infty \bigcup
k=1
Ak
\bigl(
див. доведення
теореми 1.3(5) [3]
\bigr)
. Для завершення доведення досить встановити, що m1(Ak) = 0 при будь-
якому k = 1, 2, . . . , де m1 — мiра Лебега в \BbbR 1.
Нехай l(\alpha ) позначає довжину кривої \alpha . Для довiльного \varepsilon > 0 розглянемо розбиття вiдрiзка
[a, b] точками a \leq t0 \leq t1 \leq t2 \leq . . . \leq tm = b так, що l(\alpha ) \leq
\sum m
k=1
h
\bigl(
\alpha (tk), \alpha (tk - 1)
\bigr)
+ \varepsilon /k i
tj - tj - 1 < 1/k при всiх j = 1, 2, . . . ,m. Якщо [tj - 1, tj ] \cap Ak \not = \varnothing , то за означенням множини
Ak sh(tj) - sh(tj - 1) \geq h
\bigl(
\alpha (tj), \alpha (tj - 1)
\bigr)
+ (tj - tj - 1)/k. Отже, позначивши \Delta j := [tj - 1, tj ],
будемо мати
m1(Ak) \leq
\sum
\Delta j\cap Ak \not =\varnothing
m1(\Delta j) \leq k
m\sum
j=1
\bigl(
sh(tj) - sh(tj - 1) - h(\alpha (tj), \alpha (tj - 1))
\bigr)
\leq
\leq k
\left( l(\alpha ) - m\sum
j=1
h(\alpha (tj), \alpha (tj - 1))
\right) \leq \varepsilon .
Останнє спiввiдношення доводить рiвнiсть m1(Ak) = 0, а отже, оскiльки A =
\infty \bigcup
k=1
Ak, m1(A) =
= 0, що i потрiбно було довести.
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
712 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Мiркуючи, як i при доведеннi пункту (4) теореми 1.3 в [3], можна показати, що крива \gamma :
I \rightarrow \BbbD є абсолютно неперервною тодi i тiльки тодi, коли її функцiя довжини sh(t) абсолютно
неперервна. Тодi якщо \gamma — абсолютно неперервна, то, виконуючи замiну змiнної, отримуємо
\int
\gamma
\rho (x) dsh(x) =
l(\gamma )\int
0
\rho (\gamma 0(s)) ds =
b\int
a
\rho (\gamma (t))s\prime h(t) dt.
Таким чином, з леми 2 випливає таке твердження.
Наслiдок 2. Нехай \alpha : [a, b] \rightarrow \BbbD — абсолютно неперервна крива i \rho : \BbbD \rightarrow \BbbR — невiд’ємна
борелева функцiя. Тодi \int
\alpha
\rho (x) dsh(x) =
b\int
a
2\rho (\alpha (t))| \alpha \prime (t)|
1 - | \alpha (t)| 2
dt, (14)
зокрема
l(\alpha ) =
b\int
a
2| \alpha \prime (t)|
1 - | \alpha (t)| 2
dt. (15)
Нехай p0 \in \BbbS i z0 \in \BbbD таке, що \pi (z0) = p0, де \pi — природна проекцiя \BbbD на \BbbD /G. Позна-
чимо через D0 багатокутник Дiрiхле з центром у точцi z0 i покладемо \varphi := \pi - 1. Зауважимо,
що вiдображення \varphi є гомеоморфiзмом
\bigl(
\BbbS ,\widetilde h\bigr) на (F, d), де \widetilde h — метрика на поверхнi \BbbS , а d —
означена вище метрика на фундаментальнiй множинi F, D0 \subset F \subset D0. Не обмежуючи за-
гальностi, можна також вважати, що z0 = 0. Справдi, в iншому випадку розглянемо допомiжне
вiдображення g0(z) = (z - z0)/(1 - zz0), що не має нерухомих точок всерединi одиничного
круга. Оберемо компактний окiл V \subset \BbbD точки 0 \in F \subset \BbbD такий, що d(x, z) = h(x, z) при всiх
x, z \in V, що можливо з огляду на умову (6). Крiм того, виберемо V так, щоб V \subset B(0, r0)
при деякому 0 < r0 < 1. Покладемо U := \pi (V ). Окiл U у цьому випадку назвемо нормальним
околом точки p0.
Враховуючи леми 8.2 i 8.3 [2], переходячи до покриття рiманової поверхнi скiнченною або
зчисленною кiлькiстю нормальних околiв i використовуючи зчисленну напiвадитивнiсть мiри\widetilde h, отримуємо таке твердження.
Твердження 1. Нехай вiдображення f : D \rightarrow \BbbS \ast майже скрiзь диференцiйовне в локальних
координатах i, крiм того, має N - i N - 1-властивостi Лузiна. Тодi знайдеться не бiльш нiж
зчисленна послiдовнiсть компактних множин C\ast
k \subset D така, що \widetilde v(B) = 0, де B = D \setminus
\infty \bigcup
k=1
C\ast
k
i f | C\ast
k
взаємно однозначне i бiлiпшицеве в локальних координатах для кожного k = 1, 2, . . . .
Бiльш того, вiдображення f диференцiйовне при всiх x \in C\ast
k i виконується умова Jf (x) \not = 0.
Для довiльної множини B \subset \BbbS покладемо
l\gamma (B) = \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1
\bigl\{
s \in [0, l(\gamma )] : \gamma (s) \in B
\bigr\}
,
де, як правило, \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}1 позначає лiнiйну мiру Лебега в \BbbR , а l(\gamma ) — довжина \gamma . Аналогiчно можна
визначити величину l\gamma (B) для штрихової лiнiї \gamma , тобто коли \gamma :
\infty \bigcup
i=1
(ai, bi) \rightarrow \BbbS , де ai < bi при
всiх i \in \BbbN i (ai, bi) \cap (aj , bj) = \varnothing при всiх i \not = j.
Доведемо тепер таке твердження (див. також [3], теорема 33.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ 713
Лема 3. Припустимо, що множина B0 \subset \BbbS має нульову \widetilde v-мiру. Тодi для майже всiх кривих
\gamma в \BbbS
l\gamma (B0) = 0.
Доведення. Внаслiдок регулярностi лебегової мiри знайдеться борелева множина B \subset \BbbS
така, що B0 \subset B i \widetilde v(B0) = \widetilde B = 0, де \widetilde v — мiра на поверхнi \BbbS , визначена спiввiдношенням (4).
Розглянемо покриття поверхнi \BbbS всiма можливими кулями вигляду \widetilde B(x0, r0), де r0 = r(x0) > 0
таке, що \widetilde B(x0, r0) лежить в деякому нормальному околi U точки x0. Оскiльки \BbbS — простiр iз
зчисленною базою, то за теоремою Лiндельофа [13] можна видiлити послiдовнiсть точок xi,
i = 1, 2, . . . , i радiусiв куль, що їм вiдповiдають ri = ri(xi), i = 1, 2, . . . , таких, що
\BbbS =
\infty \bigcup
i=1
\widetilde B(xi, ri), \widetilde B(xi, ri) \subset Ui.
Позначимо через \varphi i = \pi - 1
i вiдображення, що вiдповiдає означенню нормального околу Ui
(див. коментарi, наведенi перед твердженням 1). Нехай gi — характеристична функцiя множини
\varphi i(B \cap Ui). Позначимо для зручностi \varphi i(\gamma ) := \varphi i
\bigl(
\gamma \cap \widetilde B(xi, ri)
\bigr)
. Згiдно з теоремою 3.2.5 при
m = 1 [14], будемо мати \int
\varphi i(\gamma )
gi(z)| dz| = \scrH 1
\bigl(
\varphi i(B \cap | \gamma | )
\bigr)
, (16)
де \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbS — довiльна локально спрямлювана крива, | \gamma | — носiй кривої \gamma в \BbbS , а | dz| —
елемент евклiдової довжини. Мiркуючи, як i при доведеннi теореми 33.1 [3], покладаємо
\rho (p) =
\left\{ \infty , p \in B,
0, p /\in B.
Зауважимо, що \rho — борелева функцiя. Нехай \Gamma i — пiдсiм’я всiх кривих з \Gamma , для яких \scrH 1
\bigl(
\varphi i(B\cap
\cap | \gamma | \cap \widetilde B(xi, ri))
\bigr)
> 0. З огляду на (16) для кожної \gamma \in \Gamma i маємо\int
\gamma \cap \widetilde B(xi,ri)
\rho (p) ds\widetilde h(p) =
\int
\varphi i(\gamma )
\rho (\pi i(y)) dsh(y) =
= 2
\int
\varphi i(\gamma )
\rho (\pi i(y))
1 - | y| 2
| dy| = 2
\int
\varphi i(\gamma )
gi(y)\rho (\pi i(y))
1 - | y| 2
| dy| = \infty ,
де \gamma \cap \widetilde B = \gamma | Si — штрихова лiнiя, Si =
\bigl\{
s \in [0, l(\gamma )] : \gamma (s) \in \widetilde B(xi, ri)
\bigr\}
. Тодi \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma i.
Таким чином,
M(\Gamma i) \leq
\int
\BbbS
\rho 2(p) d\widetilde v(p) = 0. (17)
Зауважимо, що \Gamma >
\infty \bigcup
i=1
\Gamma i, тому iз спiввiдношення (17) випливає, що M(\Gamma ) \leq
\sum \infty
i=1
M(\Gamma i) = 0.
Лему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
714 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Нехай f : D \rightarrow \BbbC (або f : D \rightarrow \BbbS ) — вiдображення, для якого образ будь-якої кривої в D
не вироджується в точку. Нехай I0 — вiдрiзок i \beta : I0 \rightarrow \BbbC (або \beta : I0 \rightarrow \BbbS ) — спрямлювана
крива. Нехай також \alpha : I \rightarrow D — деяка крива, така, що f \circ \alpha \subset \beta . Якщо функцiя довжини l\beta :
I0 \rightarrow [0, l(\beta )] стала на деякому iнтервалi J \subset I, то \beta стала на J i, з огляду на припущення
вiдносно f, крива \alpha також стала на J. Звiдси випливає, що iснує єдина крива \alpha \ast : l\beta (I) \rightarrow D
така, що \alpha = \alpha \ast \circ (l\beta | I). Будемо говорити, що \alpha \ast є f -зображенням кривої \alpha вiдносно \beta .
3. Доведення теореми 1. Нехай B0 i C\ast
k , k = 1, 2, . . . , — множини, що вiдповiдають
позначенням твердження 1. Поклавши B1 = C\ast
1 , B2 = C\ast
2 \setminus B1, . . . ,
Bk = C\ast
k \setminus
k - 1\bigcup
l=1
Bl,
отримаємо зчисленне покриття областi D множинами Bk, k = 0, 1, 2, . . . , що попарно не
перетинаються, такими, що \widetilde v(B0) = 0, B0 = D \setminus
\infty \bigcup
k=1
Bk. Оскiльки за умовою вiдображення f
має N-властивiсть в D, то \widetilde v\ast (f(B0)) = 0.
Оскiльки D i D\ast — компакти, то iснують скiнченнi покриття Ui, 1 \leq i \leq I0, i Vn, 1 \leq n \leq
\leq N0, такi, що
D \subset
I0\bigcup
i=1
Ui, D\ast \subset
N0\bigcup
n=1
Vn,
де Ui i Vn — нормальнi околи деяких точок xi \in \BbbS i yn \in \BbbS \ast . Можна вибрати цi покриття таким
чином, щоб \widetilde v(\partial Ui) = \widetilde v\ast (\partial Vn) = 0 при кожних Ui, 1 \leq i \leq I0, i Vn, 1 \leq n \leq N0. Зокрема,
знайдуться конформнi вiдображення \varphi i : Ui \rightarrow B(0, ri), 0 < ri < 1, i \psi n : Vn \rightarrow B(0, Rn),
0 < Rn < 1, такi, що довжина i площа в Ui i Vn обчислюються за допомогою карт \varphi i i \psi n
згiдно з формулами (2) i (15). Покладемо
R0 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq n\leq N0
Rn, r0 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq I0
ri,
а також
U \prime
1 = U1, U
\prime
2 = U2 \setminus U1, U
\prime
3 = U3 \setminus
\bigl(
U1 \cup U2
\bigr)
, . . . , U \prime
I0 = UI0 \setminus
\bigl(
U1 \cup U2 . . . UI0 - 1
\bigr)
.
Зауважимо, що за означенням U \prime
i \subset Ui при 1 \leq i \leq I0 i U \prime
i \cap U \prime
j = \varnothing при i \not = j. Крiм того,
D \subset
\biggl(
I0\bigcup
i=1
U \prime
i
\biggr) \bigcup
B\ast
0 , де U \prime
i вiдкритi, а \widetilde v(B\ast
0) = 0.
Аналогiчно, покладемо
V \prime
1 = V1, V
\prime
2 = V2 \setminus V1, V \prime
3 = V3 \setminus
\bigl(
V1 \cup V2
\bigr)
, . . . , V \prime
N0
= VN0 \setminus
\bigl(
V1 \cup V2 . . . VN0 - 1
\bigr)
.
За означенням V \prime
n \subset Vn при 1 \leq n \leq N0 i V \prime
n \cap V \prime
j = \varnothing при n \not = j. Крiм того, D\ast \subset
\subset
\biggl(
N0\bigcup
n=1
V \prime
n
\biggr) \bigcup
B\ast \ast
0 , де V \prime
n вiдкритi, а \widetilde v\ast (B\ast \ast
0 ) = 0.
Далi покладемо Un,i = f - 1(V \prime
n) \cap U \prime
i . Зауважимо, що за побудовою i неперервнiстю f
множини Un,i є вiдкритими. Крiм того, за N - 1-властивiстю \widetilde v\bigl( f - 1(B\ast \ast
0 )
\bigr)
= 0. Таким чином,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ 715
D \subset
\left( \bigcup
1\leq i\leq I0
1\leq n\leq N0
Un,i
\right) \bigcup
f - 1(B\ast \ast
0 )
\bigcup
B\ast
0 (18)
(див. рисунок). Зауважимо, що рiвнiсть Un1i1 = Un2i2 можлива лише при n1 = n2 i i1 = i2.
D
f
D
*
Uni
B1
B2
B3
B4
B5
~
=f
Справдi, нехай p \in Un1i1 \cap Un2i2 . Тодi, зокрема, p \in U \prime
i1
\cap U \prime
i2
, що можливо лише при i1 = i2,
оскiльки U \prime
i \cap U \prime
j = \varnothing при i \not = j. Далi, з умови p \in Un1i1 \cap Un2i2 випливає також, що f(p) \in
\in V \prime
n1
\cap V \prime
n2
, що також неможливо при n1 \not = n2, бо V \prime
i \cap V \prime
j = \varnothing при i \not = j. Отже, одночасно
i1 = i2 i n1 = n2, що i потрiбно було показати.
Покладемо
fn,i(p) :=
\bigl(
\psi n \circ f \circ \varphi - 1
i
\bigr)
(\varphi i(p)), p \in Un,i.
Нехай \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma i
\widetilde \rho (p\ast ) = \chi f(D\setminus B0) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
p\in f - 1(p\ast )\cap D\setminus B0
\rho \ast (p),
де
\rho \ast (p) =
\left\{ \rho (p)/l
\bigl(
f \prime n,i(\varphi i(p))
\bigr)
, p \in Un,i \setminus B0,
0 — в iнших випадках.
Зауважимо, що \widetilde \rho (p\ast ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} k\in \BbbN ,1\leq i\leq I0
1\leq n\leq N0
\rho k,i,n(p\ast ), де
\rho k,i,n(p\ast ) =
\left\{ \rho
\ast \bigl( f - 1
k,i,n(p\ast )
\bigr)
, p\ast \in f(Bk \cap Un,i),
0 — в iнших випадках,
де вiдображення fk,i,n = f
\bigm| \bigm|
Bk\cap Un,i
, k = 1, 2, . . . , є iн’єктивним. Звiдси випливає, що функцiя\widetilde \rho є борелевою (див. [14], розд. 2.3.2).
Розглянемо, насамперед, випадок, коли \widetilde \gamma — замкнена спрямлювана крива сiм’ї f(\Gamma ). Тодi \widetilde \gamma :
[a, b] \rightarrow \BbbS \ast i \widetilde \gamma = f\circ \gamma , де \gamma \in \Gamma . Нехай \widetilde \gamma 0 — нормальне зображення кривої \widetilde \gamma i \gamma \ast :
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] \rightarrow D
є f -зображенням вiдносно \widetilde \gamma , тобто f(\gamma \ast (s)) = \widetilde \gamma 0(s) при s \in
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] . Зауважимо, що множина
Sn,i =
\bigl\{
s \in
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] : \gamma \ast (s) \in Un,i
\bigr\}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
716 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
є вiдкритою в \BbbR як прообраз вiдкритої множини Uni при неперервному вiдображеннi \gamma \ast .
Отже, \widetilde \gamma | Sn,i — це не бiльш нiж зчисленна кiлькiсть вiдкритих дуг, довжина кожної з яких
обчислюється в координатах (V \prime
n, \psi n) за допомогою гiперболiчної метрики (див. зауваження,
наведенi у вступi). Позначимо \widetilde \gamma n,i := \widetilde \gamma | Sn,i . Згiдно з викладеним, \widetilde \gamma n,i = \infty \bigcup
l=1
\widetilde \gamma ln,i, де \widetilde \gamma ln,i —
деяка вiдкрита дуга. (Оскiльки криву \widetilde \gamma ми вибирали замкненою, то рiвно двi iз вказаних дуг
можуть виявитись напiввiдкритими, однак iнтервали вигляду [a, c) i (c, b] ми iнтерпретуємо
як вiдкритi множини по вiдношенню до вiдрiзка [a, b].) Оскiльки f має N-властивiсть, то\widetilde v\ast (B\ast \ast
0 \cup f(B\ast
0)) = 0. За лемою 3
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] = \bigcup
1\leq i\leq I0
1\leq n\leq N0
Sn,i \cup B\ast , де B\ast має лiнiйну мiру нуль. У
такому випадку \int
\widetilde \gamma
\widetilde \rho (p\ast ) ds\widetilde h\ast (p\ast ) = \sum
1\leq i\leq I0
1\leq n\leq N0
\int
Sn,i
\widetilde \rho (\widetilde \gamma 0(s)) ds (19)
для майже всiх кривих \widetilde \gamma \in f(\Gamma ). Оскiльки \widetilde v\ast (f(B0)) = 0, то за лемою 3 \widetilde \gamma 0(s) \not \in f(B0) при
майже всiх s \in
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] i майже всiх кривих \widetilde \gamma \in f(\Gamma ). Тодi для майже всiх кривих \widetilde \gamma i всiх \gamma
таких, що \widetilde \gamma = f \circ \gamma , отримуємо\int
Sn,i
\widetilde \rho (\widetilde \gamma 0(s)) ds = \int
Sn,i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
p\in f - 1(\widetilde \gamma 0(s))\cap D\setminus B0
\rho \ast (p) ds \geq
\geq
\int
Sn,i
\rho (\gamma \ast (s))
l(f \prime n,i(\varphi i(\gamma
\ast (s))))
ds. (20)
Оскiльки \widetilde \gamma спрямлювана, то i \widetilde \gamma 0 є спрямлюваною, зокрема \widetilde \gamma 0(s) майже скрiзь диференцi-
йовна (див. лему 1). Покажемо, що \gamma \ast абсолютно неперервна для майже всiх кривих \widetilde \gamma . Справдi,
\gamma \ast спрямлювана для майже всiх \widetilde \gamma , оскiльки f \in ACP - 1. Нехай L - 1
\gamma ,f — функцiя з означення
ACP - 1-властивостi. Тодi
\gamma \ast \circ l\widetilde \gamma (t) = \gamma (t) = \gamma 0 \circ l\gamma (t) = \gamma 0 \circ L - 1
\gamma ,f
\bigl(
l\widetilde \gamma (t)\bigr) . (21)
Позначаючи s := l\widetilde \gamma (t), одержуємо
\gamma \ast (s) = \gamma 0 \circ L - 1
\gamma ,f (s). (22)
Тодi \gamma \ast абсолютно неперервна в локальних координатах, оскiльки за умовою L - 1
\gamma ,f (s) абсолютно
неперервна i
\widetilde h\bigl( \gamma 0(s1), \gamma
0(s2)
\bigr)
\leq | s1 - s2|
при всiх s1, s2 \in [0, l(\gamma )]. Тут також враховано, що локально \widetilde h\bigl( \gamma 0(s1), \gamma
0(s2)
\bigr)
збiгається з
h
\bigl(
\varphi (\gamma 0(s1)), \varphi (\gamma
0(s2))
\bigr)
у вiдповiдних локальних координатах (U,\varphi ), крiм того,
\bigm| \bigm| \varphi (\gamma 0(s1)) -
- \varphi (\gamma 0(s2))
\bigm| \bigm| \leq h
\bigl(
\varphi (\gamma 0(s1)), \varphi (\gamma
0(s2))
\bigr)
за лемою 1.
Оскiльки \widetilde \gamma 0(s) \not \in f(B0) для майже всiх s \in
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] i майже всiх кривих \widetilde \gamma , то \gamma \ast (s) \not \in B0
для майже всiх s \in
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] . Отже,
\bigl(
fn,i
\bigl(
\varphi i(\gamma
\ast (s))
\bigr) \bigr) \prime
i (\varphi i(\gamma
\ast (s)))\prime iснують при майже всiх
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ 717
s \in
\bigl[
0, l(\widetilde \gamma )\bigr] \cap Sn,i i кожних 1 \leq i \leq I0, 1 \leq n \leq N0. Нагадаємо, що \widetilde \gamma n,i =
\infty \bigcup
l=1
\widetilde \gamma ln,i, де
\widetilde \gamma ln,i := \widetilde \gamma | \Delta l
n,i
, \Delta l
n,i = (\alpha ln,i, \beta
l
n,i), або \Delta l
n,i = [\alpha ln,i, \beta
l
n,i), або \Delta l
n,i = (\alpha ln,i, \beta
l
n,i]. Зауважимо, що
l\widetilde \gamma (s) = \alpha ln,i + sh(s) \forall s \in \Delta l
n,i, l = 1, 2, . . . , (23)
де sh(s) позначає гiперболiчну довжину кривої \psi n
\bigl( \widetilde \gamma \Delta l
n,i
\bigr)
на вiдрiзку [\alpha ln,i, s], причому sh(s) \equiv
\equiv s. З (23) i за лемою 2 при майже всiх s \in \Delta l
n,i маємо
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dds\bigl( fn,i\bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \bigr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 1 -
\bigm| \bigm| fn,i\bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \bigm| \bigm| 2
2
\leq 1
2
. (24)
З iншого боку, за правилом похiдної складеної функцiї для майже всiх s \in \Delta l
n,i\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dds\bigl( fn,i\bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \bigr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| f \prime n,i\bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \prime \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \prime n,i\bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr)
\bigl(
\varphi i(\gamma
\ast (s))
\bigr) \prime \bigm| \bigm| \bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \prime \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \prime \bigm| \bigm| \geq
\geq l
\bigl(
f \prime n,i
\bigl(
\varphi i(\gamma
\ast (s))
\bigr) \bigr) \bigm| \bigm| \bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \prime \bigm| \bigm| . (25)
Поєднуючи (24) i (25), для майже всiх s \in Sn,i отримуємо
\rho (\gamma \ast (s))
l
\bigl(
f \prime n,i
\bigl(
\varphi i(\gamma \ast (s))
\bigr) \bigr) \geq 2\rho (\gamma \ast (s))
\bigm| \bigm| \bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \prime \bigm| \bigm| . (26)
Нехай \gamma 0 — нормальне зображення кривої \gamma . Тодi, оскiльки f \in ACP - 1, L - 1
\gamma ,f має N-
властивiсть вiдносно одновимiрної лiнiйної мiри для майже всiх \widetilde \gamma = f \circ \gamma (див. [14], тео-
рема 2.10.13). Отже, за спiввiдношенням (21) \gamma 0(s0) \not \in f - 1(B\ast \ast
0 )
\bigcup
B\ast
0 при майже всiх s0 \in
\in [0, l(\gamma )] i майже всiх кривих \widetilde \gamma = f \circ \gamma . Позначимо
Qn,i =
\bigl\{
s0 \in [0, l(\gamma )] : s0 \in Un,i
\bigr\}
.
Тодi за абсолютною неперервнiстю кривої \gamma \ast (s), а також з огляду на наслiдок 2 (див. спiввiд-
ношення (14)), (18) i (22) маємо
1 \leq
\int
\gamma
\rho (p) ds\widetilde h(p) = \sum
1\leq i\leq I0
1\leq n\leq N0
\int
Qn,i
\rho (\gamma 0(s0)) ds0 =
=
\sum
1\leq i\leq I0
1\leq n\leq N0
\int
Sn,i
2\rho (\gamma \ast (s))
\bigm| \bigm| \bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \prime \bigm| \bigm|
1 -
\bigm| \bigm| \varphi i(\gamma \ast (s))\bigm| \bigm| 2 ds \leq
\leq 2
1 - r20
\sum
1\leq i\leq I0
1\leq n\leq N0
\int
Sn,i
\rho (\gamma \ast (s))
\bigm| \bigm| \bigl( \varphi i(\gamma \ast (s))\bigr) \prime \bigm| \bigm| ds. (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
718 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
Поєднуючи (19), (20), (26) i (27), робимо висновок, що
1
1 - r20
\int
\widetilde \gamma \widetilde \rho (p\ast ) ds\widetilde h\ast (p\ast ) \geq 1 для майже
всiх замкнених кривих \widetilde \gamma \in f(\Gamma ). Випадок довiльної кривої \widetilde \gamma можна отримати взяттям супре-
мума у виразi
1
1 - r20
\int
\widetilde \gamma \prime \widetilde \rho (p) ds\widetilde h\ast (p\ast ) \geq 1 по всiх замкнених пiдкривих \widetilde \gamma \prime кривою \widetilde \gamma . Отже,
1
1 - r20
\widetilde \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} f(\Gamma ) i
M (f (\Gamma )) \leq 1\bigl(
1 - r20
\bigr) 2 \int
D\ast
\widetilde \rho 2(p\ast ) dv\ast (p\ast ). (28)
Згiдно з теоремою 3.2.5 при m = 2 [14], маємо\int
Un,i\cap Bk
Kf (p)\rho
2(p) d\widetilde v(p) =
= 4
\int
\varphi i(Un,i\cap Bk)
\bigm\| \bigm\| (\psi n \circ f \circ \varphi - 1
i )\prime (x)
\bigm\| \bigm\| 2
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl\{
(\psi n \circ f \circ \varphi - 1
i )\prime (x)
\bigr\}
(1 - | x| 2)2
\rho 2
\bigl(
\varphi - 1
i (x)
\bigr)
dm(x) \geq
\geq 4
\int
\varphi i(Un,i\cap Bk)
\bigm\| \bigm\| (\psi n \circ f \circ \varphi - 1
i )\prime (x)
\bigm\| \bigm\| 2
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl\{
(\psi n \circ f \circ \varphi - 1
i )\prime (x)
\bigr\} \rho 2\bigl( \varphi - 1
i (x)
\bigr)
dm(x) =
= 4
\int
\psi n(f((Un,i\cap Bk)))
\rho 2
\bigl(
(f - 1
k \circ \psi - 1
n )(y)
\bigr) \Bigl\{
l
\Bigl(
f \prime n,i
\bigl(
(\varphi i \circ f - 1
k \circ \psi - 1
n )(y)
\bigr) \Bigr) \Bigr\} 2 dm(y) \geq
\geq
\bigl(
1 - R2
0
\bigr) 2 \int
f(D)
\rho 2k,i,n(p\ast ) d \widetilde v\ast (p\ast ). (29)
Нарештi, за теоремою Лебега (див. [15], теорема I.12.3), враховуючи (28) i (29), отримуємо\int
D
Kf (p)\rho
2(p) d\widetilde v(p) = \sum
1\leq i\leq I0, 1\leq n\leq N0
1\leq k<\infty
\int
Un,i\cap Bk
Kf (p)\rho
2(p) d\widetilde v(p) \geq
\geq
\bigl(
1 - R2
0
\bigr) 2 \int
f(D)
\sum
1\leq i\leq I0, 1\leq n\leq N0
1\leq k<\infty
\rho 2k,i,n(p\ast ) d \widetilde v\ast (p\ast ) \geq
\geq
\bigl(
1 - R2
0
\bigr) 2 \int
f(D)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1\leq i\leq I0, 1\leq n\leq N0
1\leq k<\infty
\rho 2k,i,n(p\ast ) d \widetilde v\ast (p\ast ) =
=
\bigl(
1 - R2
0
\bigr) 2 \int
f(D)
\widetilde \rho 2(p\ast ) d \widetilde v\ast (p\ast ) \geq \bigl(
1 - R2
0
\bigr) 2\bigl(
1 - r20
\bigr) 2
M(f(\Gamma )).
Остаточно спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ПРО НЕРIВНIСТЬ ТИПУ ПОЛЕЦЬКОГО ДЛЯ ВIДОБРАЖЕНЬ РIМАНОВИХ ПОВЕРХОНЬ 719
M(f(\Gamma )) \leq c
\int
D
Kf (p)\rho
2(p) d\widetilde v(p) (30)
виконується для кожної \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma , де c :=
1\bigl(
1 - R2
0
\bigr) 2\bigl(
1 - r20
\bigr) 2 . Спрямовуючи в (30) r0 i R0
до нуля, отримуємо спiввiдношення (5).
Теорему 1 доведено.
4. Межова поведiнка вiдображень. Насамкiнець розглянемо застосування теореми 1 до
проблеми про межову поведiнку вiдображень. Нехай D — область в \BbbS i E, F \subset D — довiль-
нi множини. Далi через \Gamma (E,F,D) ми позначатимемо сiм’ю всiх кривих \gamma : [a, b] \rightarrow D, якi
з’єднують E i F в D, тобто \gamma (a) \in E, \gamma (b) \in F i \gamma (t) \in D при t \in [a, b]. Домовимося
говорити, що межа \partial D областi D є сильно досяжною у точцi p0 \in \partial D, якщо для кожного
околу U точки p0 знайдуться компакт E \subset D, окiл V \subset U цiєї ж точки i число \delta > 0 такi,
що для будь-яких континуумiв E i F, що перетинають як \partial U, так i \partial V, виконується нерiвнiсть
M
\bigl(
\Gamma (E,F,D)
\bigr)
\geq \delta . Ми також будемо говорити, що межа \partial D є сильно досяжною, якщо вона
є сильно досяжною в кожнiй своїй точцi. Для множини E \subset \BbbS , як правило,
C(f,E) =
\bigl\{
p\ast \in \BbbS \ast : \exists pk \in D, p \in E : pk \rightarrow p, f(pk) \rightarrow p\ast , k \rightarrow \infty
\bigr\}
.
Дотримуючись [16] (розд. 2) (див. також [2], розд. 6.1, гл. 6), будемо говорити, що функцiя \varphi :
D \rightarrow \BbbR має скiнченне середнє коливання у точцi p0 \in D (пишемо \varphi \in FMO(p0)), якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
1\widetilde v\bigl( \widetilde B(p0, \varepsilon )
\bigr) \int
\widetilde B(p0, \varepsilon )
\bigm| \bigm| \varphi (p) - \varphi \varepsilon
\bigm| \bigm| d\widetilde v(p) <\infty ,
де \varphi \varepsilon =
1\widetilde v( \widetilde B(p0, \varepsilon ))
\int
\widetilde B(p0,\varepsilon )
\varphi (p) d\widetilde v(p). Справджується таке твердження.
Теорема 2. Нехай D i D\ast — областi рiманових поверхонь \BbbS i \BbbS \ast вiдповiдно, при цьому
D i D\ast є компактами. Нехай також f — вiдкрите дискретне диференцiйовне майже скрiзь
вiдображення областi D на D\ast , що належить класу ACP - 1 i має N - i N - 1-властивостi
Лузiна. Припустимо, що область D локально лiнiйно зв’язна у точцi b \in \partial D, C(f, \partial D) \subset \partial D\prime ,
i \partial D\prime сильно досяжна хоча б в однiй своїй точцi p\ast \in C(f, b). Якщо Q \in FMO(b), то
C(f, b) = \{ p\ast \} .
Доведення. За теоремою 1 вiдображення f задовольняє спiввiдношення (5) для кожної сiм’ї
кривих \Gamma в областi D. Зокрема, для будь-яких двох континуумiв C0 \subset \widetilde B(b, r1), C1 \subset \BbbS \setminus \widetilde B(b, r2)
виконується умова
M
\bigl(
f(\Gamma (C1, C0, D))
\bigr)
\leq
\int
A\cap D
Q(p)\rho 2(p) d\widetilde v(p) \forall \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma (C1, C0, D),
A = A(b, r1, r2) =
\bigl\{
p \in \BbbS : r1 < \widetilde h(p, b) < r2
\bigr\}
, 0 < r1 < r2 <\infty .
Нехай \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] — довiльна вимiрна за Лебегом функцiя, що задовольняє умову\int r2
r1
\eta (t) dt \geq 1. Покладемо \rho (p) = \eta
\bigl( \widetilde h(p, p0)\bigr) . Тодi для довiльної (локально спрямлюваної)
кривої \gamma \in \Gamma (C1, C0, D) з огляду на [2] (пропозицiя 13.4) виконується умова
\int
\gamma
\rho (p) ds\widetilde h(p) \geq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
720 Є. О. СЕВОСТЬЯНОВ
У такому випадку
M
\bigl(
f(\Gamma (C1, C0, D))
\bigr)
\leq
\int
A\cap D
Q(p)\eta
\bigl( \widetilde h(p, p0)\bigr) d\widetilde v(p).
Зауважимо, що кожна крива \beta : [a, b) \rightarrow D\ast має максимальне f -пiдняття з початком у точцi
p \in f - 1(\beta (a)) в областi D (див. [17], лема 2.1). Крiм того, рiмановi поверхнi локально регулярнi
по Альфорсу (див., наприклад, [10], теорема 7.2.2). У такому випадку необхiдний висновок
випливає з теореми 5 [18].
Лiтература
1. O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Distortion and singularities of quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math., 465, 1 – 13 (1970).
2. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Sci. + Business Media,
LLC, New York (2009).
3. J. Väisälä, Lectures on N-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., 229 (1971).
4. V. Ryazanov, S. Volkov, On the boundary behavior of mappings in the class W 1,1
loc on Riemann surfaces, Complex
Anal. and Oper. Theory, 11, 1503 – 1520 (2017).
5. V. Ryazanov, S. Volkov, Prime ends in the Sobolev mapping theory on Riemann surfaces, Mat. Stud., 48, 24 – 36
(2017).
6. J. Väisälä, Modulus and capacity inequalities for quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 509, 1 – 14
(1972).
7. R. Näkki, Boundary behavior of quasiconformal mappings in N-space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 484, 1 – 50
(1970).
8. Е. А. Полецкий, Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений, Мат. сб., 83, № 2,
261 – 272 (1970).
9. С. Л. Крушкаль, Б. Н. Апанасов, Н. А. Гусевский, Униформизация и клейновы группы, Новосиб. гос. ун-т,
Новосибирск (1979).
10. А. Бердон, Геометрия дискретных групп, Наука, Москва (1986).
11. J. Heinonen, Lectures on analysis on metric spaces, Springer Sci. + Business Media, New York (2001).
12. J. Maly, O. Martio, Lusin’s condition N and mappings of the class W 1,n
loc , J. reine und angew. Math., 458, 19 – 36
(1995).
13. К. Куратовский, Топология, т. 1, Мир, Москва (1966).
14. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, Москва (1987).
15. С. Сакс, Теория интеграла, Изд-во иностр. лит., Москва (1949).
16. А. Игнатьев, В. Рязанов, Конечное среднее колебание в теории отображений, Укр. мат. вестн., 2, № 3, 395 – 417
(2005).
17. E. A. Sevost’yanov, A. A. Markysh, On Sokhotski – Casorati – Weierstrass theorem on metric spaces, Complex Var.
and Elliptic Equat., 64, № 12, 1973 – 1993 (2019).
18. Е. А. Севостьянов, О локальном и граничном поведении отображений в метрических пространствах, Алгебра
и анализ, 28, № 6, 118 – 146 (2016).
Одержано 03.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2292 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:55Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c2/59cbfb1b912cea4c7ad0b9d926db40c2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22922022-03-26T11:01:42Z On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces О неравенстве типа Полецкого для отображений римановых поверхностей Про нерівність типу Полецького для відображень ріманових поверхонь Sevost’yanov, E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. We obtain upper estimates for the distortion of the modulus of families of paths under the Sobolev class mappings, whose dilatation is locally integrable.&nbsp; As a consequence, we prove theorems on local and boundary behavior for these mappings. В статье получены верхние оценки искажения модуля семейств кривыхпри отображениях класса Соболева, дилатация которых локальноинтегрируема. Как следствие, получены теоремы о локальном играничном поведении отображений УДК 517.5 Отримано верхні оцінки спотворення модуля сімей кривих при&nbsp;відображеннях класу Соболєва, внутрішня дилатація яких є локально&nbsp;інтегровною. Як наслідок доведено теореми про локальну і межову&nbsp;поведінку відображень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-04-29 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2292 10.37863/umzh.v72i5.2292 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 5 (2020); 705–720 Український математичний журнал; Том 72 № 5 (2020); 705–720 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2292/8698 Copyright (c) 2020 Євген Олександрович Севостьянов |
| spellingShingle | Sevost’yanov, E. A. Севостьянов, Євген Олександрович Севостьянов, Є. О. On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces |
| title | On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces |
| title_alt | О неравенстве типа Полецкого для отображений римановых поверхностей Про нерівність типу Полецького для відображень ріманових поверхонь |
| title_full | On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces |
| title_fullStr | On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces |
| title_full_unstemmed | On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces |
| title_short | On Poletsky type inequality for mappings of Riemannian surfaces |
| title_sort | on poletsky type inequality for mappings of riemannian surfaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2292 |
| work_keys_str_mv | AT sevostyanovea onpoletskytypeinequalityformappingsofriemanniansurfaces AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič onpoletskytypeinequalityformappingsofriemanniansurfaces AT sevostʹânovêo onpoletskytypeinequalityformappingsofriemanniansurfaces AT sevostyanovea oneravenstvetipapoleckogodlâotobraženijrimanovyhpoverhnostej AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič oneravenstvetipapoleckogodlâotobraženijrimanovyhpoverhnostej AT sevostʹânovêo oneravenstvetipapoleckogodlâotobraženijrimanovyhpoverhnostej AT sevostyanovea pronerívnístʹtipupolecʹkogodlâvídobraženʹrímanovihpoverhonʹ AT sevostʹânovêvgenoleksandrovič pronerívnístʹtipupolecʹkogodlâvídobraženʹrímanovihpoverhonʹ AT sevostʹânovêo pronerívnístʹtipupolecʹkogodlâvídobraženʹrímanovihpoverhonʹ |