Stokes formula for Banach manifolds
UDC 517.98+515.164.17 We suggest a divergent version of the Stokes formula for a Banach manifold with a uniform atlas.
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2295 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508232725823488 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Юрий Викторович Богданський, Ю. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Юрий Викторович Богданський, Ю. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 517.98+515.164.17
We suggest a divergent version of the Stokes formula for a Banach manifold with a uniform atlas. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.2295 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:21:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.2295
УДК 517.98+515.164.17
Ю. В. Богданський (Iн-т прикл. систем. аналiзу Нац. техн. ун-ту України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ФОРМУЛА СТОКСА НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ
We suggest a divergent version of the Stokes formula for a Banach manifold with a uniform atlas.
Запропоновано дивергентний варiант формули Стокса на банаховому многовидi з рiвномiрним атласом.
Класична формула Стокса, записана у виглядi\int
S
d\omega =
\int
\partial S
\omega , (1)
не допускає безпосереднього узагальнення на випадок нескiнченновимiрного многовиду S. У
випадку, коли S є областю вихiдного простору, формула (1) допускає iнший, „дивергентний”
запис („формула Гаусса – Остроградського”):\int
S
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfX d\mu =
\int
\partial S
(\bfX ,\bfn ) d\sigma . (2)
В даний час iснують рiзноманiтнi узагальнення формули Гаусса – Остроградського на не-
скiнченновимiрних лiнiйних просторах i нелiнiйних многовидах [1 – 5], а також у просторах
конфiгурацiй [6, 7]. У роботi [8] отримано варiант формули Стокса (у виглядi (1)) на локально
опуклому просторi зi щiльно вкладеним сепарабельним гiльбертовим простором для областi
S вихiдного простору. При цьому форми скiнченного костепеня \omega розумiлися як векторнi
борелiвськi мiри спецiального вигляду, запропонованi у роботi [9].
У данiй роботi запропоновано дивергентний варiант формули Стокса на поверхнi скiнченної
корозмiрностi, вкладенiй у банахiв многовид. Отриманi тут результати також мають мiсце у
банахових просторах, на яких iснують гладкi функцiї з непорожнiм обмеженим носiєм, зокрема
у рефлексивних банахових просторах.
1. Попереднi вiдомостi (див. [4, 10, 11]). Нехай M — зв’язний ґаусдорфiв банахiв многовид
класу C2 з модельним дiйсним простором E.
Атлас \Omega =
\bigl\{
(U\alpha , \varphi \alpha )
\bigr\}
на M називаємо обмеженим, якщо iснує таке число K > 0, що
вiдображення склейки F\beta \alpha = \varphi \beta \circ \varphi - 1
\alpha для кожної пари карт атласу задовольняє умову
\bigl(
x \in
\in \varphi \alpha (U\alpha \cap U\beta )
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| F \prime
\beta \alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K,
\bigm\| \bigm\| F \prime \prime
\beta \alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K
\Bigr)
.
Обмеженi атласи \Omega 1 та \Omega 2 називаємо еквiвалентними, якщо \Omega 1 \cup \Omega 2 знову є обмеженим
атласом. Якщо на M задано клас еквiвалентних обмежених атласiв, то кажемо, що на M задано
обмежену структуру (класу C2).
Нехай (M1,\Omega 1) i (M2,\Omega 2) — два банаховi многовиди M1 i M2 класу C2 з модельними
просторами E1 i E2 та обмеженими атласами \Omega 1 i \Omega 2 вiдповiдно. Вiдображення f : M1 \rightarrow M2
класу C2 назвемо обмеженим морфiзмом, якщо для нього iснує таке число C > 0, що для
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11 1455
1456 Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ
будь-якої пари карт (U,\varphi ) \in \Omega 1 i (V, \psi ) \in \Omega 2 виконується умова
\bigl(
p \in U, f(p) \in V
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| (\psi \circ
\circ f \circ \varphi - 1)(k)
\bigl(
\varphi (p)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq C, k = 1, 2
\Bigr)
. Природним чином визначається обмежений iзоморфiзм
(M1,\Omega 1) i (M2,\Omega 2).
Властивiсть вiдображення f бути обмеженим морфiзмом не залежить вiд вибору представ-
никiв у класах еквiвалентних обмежених атласiв вихiдних многовидiв.
Задання на M обмеженого атласу приводить до коректного означення довжини L(\Gamma )
кусково-гладкої кривої \Gamma в M. Для кусково-гладкої кривої \Gamma : [t1, t2] \ni t \mapsto - \rightarrow x(t) \in M розгляда-
ються всi можливi розбиття \Delta : t1 = s0 < s1 < . . . < sm = t2 вiдрiзка параметра, при яких кож-
на дiлянка кривої \Gamma k = \{ x(t) | sk - 1 \leq t \leq sk\} лежить в областi визначення однiєї з карт \varphi k ви-
хiдного атласу. Кожному розбиттю \Delta ставимо у вiдповiднiсть число l(\Gamma ,\Delta ) =
\sum m
k=1
l(\Gamma k)\varphi k
,
де l(\Gamma k)\varphi — довжина зображення кривої \Gamma k в картi \varphi : l(\Gamma k)\varphi =
\int Sk
Sk - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dds\varphi (x(s))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ds. Дов-
жину кривої \Gamma визначимо формулою L(\Gamma ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\Delta \{ l(\Gamma ,\Delta )\} . Вiдповiдна внутрiшня метрика \rho
(\rho (x, y) — точна нижня межа довжин всiляких кусково-гладких кривих, що з’єднують точки
x та y) узгоджена з вихiдною топологiєю. Обмежений морфiзм f : (M1,\Omega 1) \rightarrow (M2,\Omega 2) є
лiпшицевим вiдносно вiдповiдних внутрiшнiх метрик.
Фiксацiя обмеженого атласу дозволяє ввести у дотичному просторi TpM до многовиду M
норму формулою | | | \xi | | | p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\alpha \| \xi \varphi \alpha \| , де \{ (U\alpha , \varphi \alpha )\} — повний набiр карт вихiдного атласу, для
яких p \in U\alpha , а \xi \varphi \in E — зображення дотичного вектора \xi у картi \varphi . При цьому має мiсце
властивiсть рiвномiрного топологiчного iзоморфiзму просторiв TpM i модельного простору E :
\| \xi \varphi \| \leq | | | \xi | | | p \leq K\| \xi \varphi \| , де K — стала з означення обмеженого атласу, \varphi — карта в точцi p \in M.
На многовидi з обмеженим атласом (M,\Omega ) коректним є задання обмеженого тензорного
поля \bfT класу C1. Припускається iснування числа C > 0, що обмежує зверху норму \bfT \varphi
кожного локального зображення у картi тензора \bfT разом з його похiдною:
\bigl(
(U,\varphi ) \in \Omega ; x \in
\in U
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| \bfT \varphi
\bigl(
\varphi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq C;
\bigm\| \bigm\| \bfT \prime
\varphi
\bigl(
\varphi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq C
\Bigr)
. Властивiсть обмеженостi тензорного поля
є iнварiантною вiдносно переходу до еквiвалентного обмеженого атласу. Такi тензорнi поля
називаємо тензорними полями класу C1
b (M). Природним чином визначаємо гладкi функцiї
класу Cp
b , p = 0, 1, 2, Cb = C0
b . Вказанi позначення будемо використовувати i у випадку, коли
областю визначення полiв i функцiй є область V в M, E або на поверхнi в M. Пiд тензорним
полем класу C1
0 (V ) розумiємо тензорне поле класу C1
b (V ), якщо воно має обмежений носiй,
який мiститься у V з деяким своїм \varepsilon -околом.
Обмежений атлас \Omega називаємо рiвномiрним, якщо iснує таке число r > 0, що для будь-якої
точки p \in M iснує карта (U,\varphi ) \in \Omega , для якої \varphi (U) мiстить кулю в E з центром \varphi (p) радiуса
r. Подiбна умова на атлас многовиду, мабуть уперше, з’явилась у формулюваннi твердження
4 у книзi [12, с. 96]. Бiльш детальне означення рiвномiрного атласу, а також обмежених тен-
зорних полiв, наведено i застосовано у книзi [13, с. 177, 178]. У данiй роботi використовується
означення з роботи [4].
В скiнченновимiрному випадку рiвномiрний атлас iснує на компактних многовидах. Прикла-
дом нескiнченновимiрного многовиду M з рiвномiрним атласом є зв’язна компонента поверхнi
сумiсного рiвня скiнченного набору функцiй Fk, k = 1, . . . ,m, визначених на гiльбертовому
просторi, якi належать до класу C2(U) в околi U поверхнi M, похiднi яких F \prime
k та F \prime \prime
k рiвномiрно
обмеженi на U i виконується умова \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}M \Gamma (\bfg \bfr \bfa \bfd F1, . . . ,\bfg \bfr \bfa \bfd Fm) > 0, де \Gamma (\cdot ) — детермiнант
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ФОРМУЛА СТОКСА НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ 1457
Грама. Рiвномiрний атлас будується (ортогональним) проектуванням околiв точок p \in M на
вiдповiднi дотичнi простори TpM.
Внутрiшня метрика на M, що породжена рiвномiрним атласом, перетворює M у повний
метричний простiр. Якщо обмежений атлас є еквiвалентним рiвномiрному, то метрика, що
породжена цим атласом, також є повною. Якщо серед еквiвалентних атласiв, що задають на
M обмежену структуру, є рiвномiрний атлас, то цю структуру будемо називати рiвномiрною.
Структури обмежено iзоморфних многовидiв одночасно або рiвномiрнi, або нi.
Потiк \Phi (t, x) векторного поля \bfX класу C1
b на многовидi M з рiвномiрною структурою є
визначеним на \BbbR \times M [12, с. 96].
Протягом усiєї роботи многовид \bfitM вважаємо надiленим рiвномiрною структурою.
Якщо V — вiдкрита множина в \BbbR m, то для многовиду з обмеженим атласом (M,\Omega ) обме-
жену структуру на M \times V (з модельним простором E \dotplus \BbbR m) домовимося задавати атласом
\Omega \times id =
\bigl\{
(U \times V, \varphi \times id) | (U,\varphi ) \in \Omega
\bigr\}
.
Елементарну (вкладену) поверхню \Sigma \subset M корозмiрностi m визначаємо таким чином.
Нехай N — многовид з обмеженою структурою, модельний простiр якого E1 є пiдпростором в
E корозмiрностi m (у подальшому E ототожнюємо з E1\dotplus \BbbR m); V — вiдкритий окiл нуля \vec{}0 \in \BbbR m
i g : N \times V \rightarrow U \subset M — обмежений („спрямлюючий”) iзоморфiзм на вiдкриту пiдмножину U
в M. При цьому \Sigma = g
\bigl(
N \times \{ \vec{}0\}
\bigr)
.
Для \varepsilon > 0 покладемо
\Sigma - \varepsilon := \Sigma
\bigcap \bigl\{
x | \rho (x,M \setminus U) \geq \varepsilon
\bigr\}
. (3)
При цьому \Sigma =
\bigcup \infty
n=1\Sigma - 1
n
.
Розглянемо диференцiальну m-форму \omega класу C1
b , визначену на U (або, можливо, на
бiльшiй вiдкритiй пiдмножинi в M ), для якої у довiльнiй точцi x \in \Sigma дотичний простiр
Tx\Sigma є асоцiйованим пiдпростором зовнiшньої форми \omega (x) у просторi TxM (тобто Tx\Sigma =
=
\bigl\{
Y \in TxM | iY \omega (x) = 0
\bigr\}
, де iY — внутрiшнiй добуток зовнiшньої форми на вектор
Y ). Якщо, додатково, iснує обмежений атлас \Omega , узгоджений iз заданою на M рiвномiрною
структурою, для якого виконується така умова: якщо для кожного \varepsilon > 0 iснує таке \delta > 0, що
для всiх x \in \Sigma - \varepsilon i карти (U,\varphi ) \in \Omega в точцi x \in \Sigma - \varepsilon (тобто x \in U ) має мiсце нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \omega \varphi (\varphi (x))
\bigm\| \bigm\| \geq \delta (\omega \varphi — зображення \omega в картi \varphi )”, то форму \omega називаємо асоцiйованою m-
формою вкладення \Sigma в M.
Якщо g : N \times V \rightarrow U — спрямлюючий iзоморфiзм елементарної поверхнi \Sigma , P — проекцiя
N \times V на V i h — неперервно диференцiйовна функцiя на V, для якої h(\vec{}0) \not = 0, то \omega =
=
\bigl(
g - 1
\bigr) \ast
P \ast (h dt1\wedge dt2\wedge . . .\wedge dtm) є прикладом асоцiйованої m-форми вкладення \Sigma . Зазначимо,
що побудована m-форма \omega є замкненою.
Нехай тепер \mu — (скiнченна) борелева мiра на M. Асоцiйована борелева мiра \mu \omega на \Sigma
будується за таким принципом. Спочатку розглядається строго трансверсальний до \Sigma набiр
\vec{}\bfY = \{ \bfY 1, . . . ,\bfY m\} визначених на U (або, можливо, на бiльшiй вiдкритiй множинi в M )
векторних полiв класу C1
b , що попарно комутують. Строга трансверсальнiсть набору \vec{}\bfY розу-
мiється так: для кожного \varepsilon > 0 iснує таке \delta > 0, що для будь-якого x \in \Sigma - \varepsilon має мiсце нерiвнiсть\bigm| \bigm| \omega (\vec{}\bfY )(x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \omega (\bfY 1, . . . ,\bfY m)(x)
\bigm| \bigm| \geq \delta . Iснування такого набору полiв доведено в [10].
Позначивши через \Phi Yk
t потiк поля \bfY k, покладемо \Phi
\vec{}Y
\vec{}t
:= \Phi Y1
t1
. . .\Phi Ym
tm . При цьому справ-
джується рiвнiсть \Phi
\vec{}Y
\vec{}t+\vec{}s
= \Phi
\vec{}Y
\vec{}t
\Phi
\vec{}Y
\vec{}s .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1458 Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ
Для борелевих множин B \in \scrB (\BbbR m), A \in \scrB (M) множина \Phi
\vec{}Y
BA :=
\bigl\{
\Phi
\vec{}Y
\vec{}t
(x) | \vec{}t \in B;x \in A
\bigr\}
є борелевою в M. При цьому для кожного \varepsilon > 0 iснує таке r > 0, що
\bigl(
A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon ); B \in
\in \scrB (Br)
\bigr)
=\Rightarrow
\bigl(
\Phi
\vec{}Y
BA \in \scrB (U)
\bigr)
. Тут Br =
\bigl\{
\vec{}t | \| \vec{}t \| < r
\bigr\}
\subset \BbbR m. Для кожної множини B \in \scrB (Br)
визначимо мiру \nu B на \scrB (\Sigma - \varepsilon ) рiвнiстю \nu B(A) = \mu
\bigl(
\Phi
\vec{}Y
BA
\bigr)
.
Нехай \lambda m — iнварiантна мiра Лебега на \BbbR m. Якщо для кожного A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon ) iснує границя
\sigma \vec{}Y
(A) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
\nu Br(A)
\lambda m(Br)
, (4)
то за теоремою Нiкодима функцiя множин \scrB (\Sigma - \varepsilon ) \ni A \mapsto \rightarrow \sigma \vec{}Y
(A) \in \BbbR є (скiнченною) бореле-
вою мiрою на \Sigma - \varepsilon . Зображення множини A \in \scrB (\Sigma ) у виглядi A =
\bigcup \infty
n=1
\Bigl(
A \cap \Sigma - 1
n
\Bigr)
дозволяє
продовжити мiру \sigma \vec{}Y
на \scrB (\Sigma ).
У роботi [10] наведено достатнi умови iснування границi (4); мiру \sigma \vec{}Y
запропоновано нази-
вати поверхневою мiрою першого типу на \Sigma (породженою сiм’єю полiв \vec{}\bfY ).
Поверхневу мiру другого типу \mu \omega вводимо на \Sigma формулою
\mu \omega =
1
\omega (\vec{}\bfY )
\bigm| \bigm|
\Sigma
\sigma \vec{}Y . (5)
У роботi [10] доведено коректнiсть даного означення (незалежнiсть правої частини в (5) вiд
вибору строго трансверсального до \Sigma набору полiв \vec{}\bfY , що попарно комутують).
Доцiльно зазначити, що запровадження базових для подальшого понять: елементарної по-
верхнi, обмежених тензорних полiв, поверхневих мiр ґрунтується на умовi iснування рiвномiр-
ного атласу многовиду M.
Далi протягом усiєї роботи припускається iснування вiдповiдних поверхневих мiр першого
та другого типiв.
Якщо тепер S — вкладена в \Sigma елементарна поверхня корозмiрностi m i \alpha — диференцiальна
форма на U, обмеження якої \widetilde \alpha на \Sigma — асоцiйована форма вкладення S в \Sigma , то \alpha \wedge \omega —
асоцiйована форма вкладення S в M i для невiд’ємної мiри \mu має мiсце рiвнiсть
\mu \alpha \wedge \omega = (\mu \omega )\widetilde \alpha . (6)
Даний факт доведено в [11]. Зайвою є умова замкненостi форми \omega у роботi [11]. Дiйсно,
якщо \omega i \omega 1 — двi асоцiйованi форми вкладення \Sigma в M, то iснує функцiя f \in C1(\Sigma ), для якої
при кожному \varepsilon > 0 функцiї f та
1
f
належать до C1
b (\Sigma - \varepsilon ), така, що \omega
\bigm| \bigm|
\Sigma
= f \cdot \omega 1
\bigm| \bigm|
\Sigma
(наслiдок
колiнеарностi зовнiшнiх m-форм з однаковим асоцiйованим пiдпростором L \subset E ). Тому з (5)
випливають рiвностi
\mu \omega 1 = f \cdot \mu \omega , \mu \alpha \wedge \omega 1 = f
\bigm| \bigm|
S
\cdot \mu \alpha \wedge \omega .
Якщо при цьому \omega — замкнена форма i виконується рiвнiсть (6), то для форми \omega 1 ця рiвнiсть
також має мiсце:
\mu \alpha \wedge \omega 1 = f
\bigm| \bigm|
S
\cdot \mu \alpha \wedge \omega = (f \cdot \mu \omega )\widetilde \alpha = (\mu \omega 1)\widetilde \alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ФОРМУЛА СТОКСА НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ 1459
2. Допомiжнi леми. Нехай \Sigma — елементарна поверхня, \vec{}\bfY — строго трансверсальний до
\Sigma набiр полiв класу C1
b , якi попарно комутують. Згiдно з конструкцiєю асоцiйованої мiри
\sigma = \sigma \vec{}Y
для кожного \varepsilon > 0 формула \sigma r(A) =
1
\lambda m(Br)
\mu (\Phi
\vec{}Y
Br
A) визначає на \Sigma - \varepsilon борелеву
мiру; \sigma r(A) \rightarrow \sigma (A), r \rightarrow 0 для кожного A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon ). Далi покладемо \Phi BA = \Phi
\vec{}Y
BA.
Лема 1. Якщо \mu — радонова мiра на M i \varepsilon > 0, то \sigma r i \sigma — радоновi мiри на \Sigma - \varepsilon .
Доведення. Нехай A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon ), r > 0, \delta > 0. Тодi iснує такий компакт K \subset \Phi BrA, що
| \mu | (\Phi BrA \setminus K) < \delta \cdot \lambda m(Br). Нехай K1 =
\bigl\{
x \in \Sigma - \varepsilon | \exists \vec{}t \in Br : \Phi \vec{}t x \in K
\bigr\}
. Тодi K1 \subset A, K1 —
компакт в \Sigma - \varepsilon (образ K при неперервному вiдображеннi) i \Phi BrK1 \supset K, а тому | \sigma r| (A\setminus K1) < \delta .
Це доводить, що мiра \sigma r є радоновою.
Залишилося зазначити, що для кожного r > 0 мiра \sigma абсолютно неперервна вiдносно мiри
\sigma r, що доводить радоновiсть мiри \sigma на \Sigma - \varepsilon .
Наслiдок 1. Якщо \omega — асоцiйована m-форма вкладення \Sigma в M i \varepsilon > 0, то мiра \mu \omega є
радоновою на \Sigma - \varepsilon .
Доведення безпосередньо випливає з рiвностi (5).
Лема 2. Нехай \mu — невiд’ємна мiра Радона на M, u \in Cb(M), \varepsilon > 0 i A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon ). Тодi
має мiсце рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrA
u d\mu =
\int
A
u d\sigma .
Доведення. Для функцiї v : \Sigma - \varepsilon \rightarrow \BbbR через \^v позначимо функцiю на \Phi Br\Sigma - \varepsilon , для якої
\^v(\Phi \vec{}t x) = v(x) при всiх \vec{}t \in Br, x \in \Sigma - \varepsilon .
Для обмеженої борелевої функцiї v на \Sigma - \varepsilon має мiсце збiжнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi Br\Sigma - \varepsilon
\^v d\mu = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
\int
\Sigma - \varepsilon
v d\sigma r =
\int
\Sigma - \varepsilon
v d\sigma ,
а тому достатньо довести рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrA
(u - \^v) d\mu = 0,
де v = u
\bigm| \bigm|
\Sigma - \varepsilon
.
Покладемо C1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}M | u| , C2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}r>0\{ \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(\sigma r)\} <\infty (тут \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(\sigma r) — варiацiя мiри \sigma r на
\Sigma - \varepsilon ). Нехай \delta > 0. За лемою 1 iснує компакт K \subset A, для якого \sigma (A \setminus K) < \delta .
Для кожної точки x \in K iснують окiл Vx \subset \Sigma - \varepsilon i число r(x) > 0 такi, що для будь-якої
точки y \in Ux =
\bigl\{
\Phi \vec{}t z | z \in Vx; \| \vec{}t \| < r(x)
\bigr\}
виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| u(y) - \^v(y)
\bigm| \bigm| < \delta .
Нехай Vx1 , Vx2 , . . . , Vxn — скiнченне пiдпокриття K i r1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ r(x1), . . . , r(xn)\} . Тодi для
кожної точки x \in K i \vec{}t \in Br1 виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| u(\Phi \vec{}t x) - \^v(\Phi \vec{}t x)
\bigm| \bigm| < \delta .
Покладемо A1 = A \setminus K. Iснує таке r2 > 0, що при будь-якому r \in (0, r2) має мiсце
нерiвнiсть
\mu (\Phi BrA1) < 2\delta \lambda m(Br).
Покладемо r0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(r1, r2). Тодi для r \in (0, r0) виконуються нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1460 Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Phi BrA
(u - \^v) d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\int
\Phi BrK
| u - \^v| d\mu +
\int
\Phi BrA1
(| u| + | \^v| ) d\mu \leq
\leq \delta C2\lambda m(Br) + 2C1 \cdot 2\delta \lambda m(Br) = \delta \lambda m(Br)(C2 + 4C1),
звiдки i випливає твердження леми.
Означення 1. У випадку, коли u \in L1(M,\mu ), де L1(M,\mu ) — простiр \mu -iнтегровних на M
функцiй, i для множини A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon ) iснує \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrA
u d\mu , домовимося останню
границю позначати символом
\int
A
u d\sigma .
У роботi [10] доведено iснування для кожного \varepsilon > 0 числа \delta = \delta (\varepsilon ) > 0, для якого
вiдображення \Phi : \Sigma - \varepsilon \times B\delta \ni (x,\vec{}t ) \mapsto \rightarrow \Phi \vec{}t x \in \Phi B\delta
\Sigma - \varepsilon є гомеоморфiзмом.
Лема 3. Для кожного \varepsilon > 0 iснує \gamma = \gamma (\varepsilon ) > 0, для якого \Phi : \Sigma - \varepsilon \times B\gamma \rightarrow \Phi B\gamma \Sigma - \varepsilon є
обмеженим дифеоморфiзмом.
Доведення. Неперервна диференцiйовнiсть вiдображення \Phi на \Sigma - \varepsilon \times B\delta випливає iз за-
гальної теорiї диференцiальних рiвнянь у банахових просторах. При природному ототожненнi
\Sigma - \varepsilon \times B\delta з \Phi B\delta
\Sigma - \varepsilon похiдна \Phi \prime (\langle x,\vec{}0\rangle ) при кожному x \in \Sigma - \varepsilon є тотожним оператором; опера-
торна сiм’я \Phi \prime
x(\langle x,\vec{}t \rangle ) частинних похiдних по x задовольняє систему рiвнянь
\partial
\partial ti
\Phi \prime
x(\langle x,\vec{}t \rangle ) = (\bfY i)
\prime
x
\bigl(
\Phi (\langle x,\vec{}t \rangle )
\bigr)
\Phi \prime
x(\langle x,\vec{}t \rangle ), i = 1, 2, . . . ,m, (7)
а частиннi похiднi по ti задовольняють рiвняння
\partial
\partial ti
\Phi (\langle x,\vec{}t \rangle ) = \bfY i
\bigl(
\Phi (\langle x,\vec{}t \rangle )
\bigr)
, i = 1, 2, . . . ,m. (8)
Оскiльки поля \bfY i належать до класу C1
b , то умови (7), (8) дозволяють зробити висновок
про iснування \gamma \in (0, \delta ), при якому має мiсце рiвномiрна обмеженiсть операторного поля \Phi \prime (\cdot )
на \Sigma - \varepsilon \times B\gamma .
Зменшуючи, якщо необхiдно, \gamma > 0 i враховуючи строгу трансверсальнiсть системи полiв
\vec{}\bfY , на пiдставi теореми про обернене вiдображення отримуємо iснування, неперервнiсть i
обмеженiсть операторного поля (\Phi - 1)\prime (\cdot ) на \Phi B\gamma \Sigma - \varepsilon , що завершує доведення леми.
Наслiдок 2. Для кожного \varepsilon > 0 iснують \gamma = \gamma (\varepsilon ) i визначена на \Phi B\gamma \Sigma - \varepsilon замкнена
диференцiальна m-форма \omega , яка при кожному \vec{}t \in B\gamma є асоцiйованою формою для поверхнi
\Phi \vec{}t\Sigma - \varepsilon i при цьому \langle \omega , \vec{}\bfY \rangle = \omega (\bfY 1, . . . ,\bfY m) \equiv 1 в \Phi B\gamma \Sigma - \varepsilon .
Доведення. Нехай \xi — m-форма dt1\wedge . . .\wedge dtm на \Sigma - \varepsilon \times B\gamma , де \gamma = \gamma (\varepsilon ) побудовано згiдно
з лемою 3. Тодi \omega = (\Phi - 1)\ast \xi є шуканою m-формою.
Означення 2. Асоцiйовану форму \omega = \omega \vec{}Y
, побудовану в наслiдку 2, назвемо канонiчною
формою, що вiдповiдає набору полiв \vec{}\bfY .
Лема 4. Нехай E — лiнiйний простiр, L — пiдпростiр в E корозмiрностi m, \alpha — асоцiйо-
вана з L зовнiшня m-форма на E (тобто L = \{ x | ix\alpha = 0\} ). Нехай \vec{}W = \{ W0,W1 . . . ,Wm\} —
впорядкований набiр векторiв в E, \vec{}W i = \{ W0, . . . ,\widehat Wi . . . ,Wm\} — пiднабiр \vec{}W з вiдсутнiм Wi,
X =
\sum m
i=0
( - 1)i\langle \alpha , \vec{}W i\rangle Wi. Тодi X належить до L.
Доведення. Покладемо \widetilde Wi — клас вектора Wi в E/L.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ФОРМУЛА СТОКСА НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ 1461
Випадок 1. Нехай система \{ \widetilde Wi, i = 0, . . . ,m\} повна в E/L. Достатньо перевiрити, що
\alpha (X,Wi1 , . . . ,Wim - 1) = 0 для будь-якого пiднабору (Wi1 , . . . ,Wim - 1). Без втрати загальностi
вважаємо, що i1 < i2 < . . . < im - 1.
Якщо j < k, \{ j, k\} = \{ 0, 1, . . . ,m\} \setminus \{ i1, . . . , im - 1\} , то
\alpha (X,Wi1 , . . . ,Wim - 1) = ( - 1)j\alpha ( \vec{}W j)\alpha (Wj ,Wi1 , . . . ,Wim - 1)+
+( - 1)k\alpha ( \vec{}W k)\alpha (Wk,Wi1 , . . . ,Wim - 1) = \alpha ( \vec{}W j)\alpha ( \vec{}W k) - \alpha ( \vec{}W k)\alpha ( \vec{}W j) = 0.
Випадок 2. Нехай система \{ \widetilde Wi\} не повна в E/L. Тодi \widetilde \alpha \bigl( \widetilde Wi1 , . . . ,
\widetilde Wim
\bigr)
= 0 для будь-якого
пiднабору m векторiв з
\bigl\{ \widetilde Wi
\bigr\}
. Тут \widetilde \alpha — m-форма на E/L, iндукована \alpha : \widetilde \alpha \bigl( \widetilde Z1, . . . , \widetilde Zm
\bigr)
=
= \alpha (Z1, . . . , Zm). Тому i в цьому випадку X належить до L.
3. Полiвекторнi поля i оператор дивергенцiї. Якщо \bfZ 1, . . . ,\bfZ m — векторнi поля на M,
то m-векторне поле \vec{}\bfZ = \bfZ 1 \wedge . . . \wedge \bfZ m на M — поле кососиметричного тензора на M типу
(0,m), визначене на диференцiальних m-формах класу C1
b (M) рiвнiстю \langle \vec{}\bfZ , \omega \rangle = \langle \omega , \vec{}\bfZ \rangle =
= \omega (\bfZ 1,\bfZ 2, . . . ,\bfZ m).
Природним чином визначаються неперервнi полiвекторнi поля; m-векторне поле \vec{}\bfZ на M,
для якого iснує послiдовнiсть неперервних m-векторних полiв \vec{}\bfZ n таких, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}\bfZ n(p) - \vec{}\bfZ (p)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
= 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ), назвемо \mu -вимiрним векторним полем (тут | | | \cdot | | | p —
норма в просторi \Lambda m(TpM), див. п. 1).
Для вимiрного полiвекторного поля \vec{}\bfZ функцiя x \mapsto \rightarrow
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}\bfZ (x)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x
є \mu -вимiрною на M. У ви-
падку, коли ця функцiя iнтегровна на M за мiрою \mu , полiвекторне поле \vec{}\bfZ назвемо iнтегровним:
\vec{}\bfZ \in L1(\mu ) (див. [14]). Аналогiчно вводяться полiвекторнi поля класу Lp(\mu ), 1 < p \leq \infty .
Нескладно перевiрити, що у випадку, коли векторнi поля \bfZ 2,\bfZ 3, . . . ,\bfZ m вимiрнi й обме-
женi на M, а \bfZ 1 — поле класу Lp(\mu ), полiвекторне поле \vec{}\bfZ належить до Lp(\mu ). Аналогiчно\Bigl(
\vec{}\bfZ \in Lp(\mu ), \omega \in Cb(M)
\Bigr)
=\Rightarrow
\Bigl(
\omega (\vec{}\bfZ ) \in Lp(\mu ))
\Bigr)
.
Лiнiйнi комбiнацiї m-векторних полiв класу Lp(\mu ) утворюють лiнiйний простiр, який бу-
демо позначати через Lp\Lambda m(\mu ).
Означення 3. Нехай \vec{}\bfZ = \bfZ 1 \wedge . . . \wedge \bfZ m — m-векторне поле класу C1
b (M) (тобто всi
векторнi поля \bfZ i \in C1
b (M)), \vec{}\bfW \in L1\Lambda m - 1(\mu ). \vec{}\bfW назвемо дивергенцiєю \vec{}\bfZ
\bigl(
\vec{}\bfW = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfZ ,
\vec{}\bfZ \in D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v})
\bigr)
, якщо для будь-якої диференцiальної (m - 1)-форми \omega класу C1
0 (M) має мiсце
рiвнiсть \int
M
\langle \omega , \vec{}\bfW \rangle d\mu = -
\int
M
\langle d\omega , \vec{}\bfZ \rangle d\mu . (9)
Лема 5. Нехай на просторi E iснує функцiя класу C1
0 з непорожнiм обмеженим носiєм
(достатньо вимагати рефлексивнiсть простору E, див. [15]), \mu — радонова мiра. Тодi для
довiльного m-векторного поля \vec{}\bfZ класу C1
b не iснує двох рiзних елементiв простору L1\Lambda m - 1(\mu ),
що є дивергенцiями \vec{}\bfZ .
Доведення. Припускаючи, що \vec{}\bfW \not = \vec{}0 ( \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ), доведемо iснування (m - 1)-форми \omega \in
\in C1
0 (M), для якої
\int
M
\langle \omega , \vec{}\bfW \rangle d\mu \not = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1462 Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ
Крок 1. Завдяки тому, що мiра \mu є радоновою, iснує компакт L \subset M, для якого | \mu | (L) > 0;
\vec{}\bfW (x) \not = 0 для кожної точки x \in L, а тому iснує карта \varphi : V \rightarrow \varphi (V ) \subset E, для якої
| \mu |
\Bigl( \bigl\{
x \in V | \vec{}\bfW (x) \not = 0
\bigr\} \Bigr)
> 0. (10)
Iндуковану гомеоморфiзмом \varphi мiру Радона на \varphi (V ) i тензорне поле позначимо через \mu \varphi i \vec{}\bfW \varphi
вiдповiдно. При цьому \vec{}\bfW \varphi \in L1\Lambda m - 1(\mu \varphi ).
Крок 2. Нехай \alpha — зовнiшня (m - 1)-форма на E. Функцiя f = \langle \alpha , \vec{}\bfW \varphi \rangle \in L1(\mu \varphi ).
Припустивши, що для кожної функцiї u \in C1
0
\bigl(
\varphi (V )
\bigr)
має мiсце рiвнiсть
\int
\varphi (V )
uf d\mu \varphi = 0,
доведемо, що f = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu \varphi ).
Якщо u \in C1
0 (E), U = \{ x | u(x) > 0\} \not = \varnothing , то для довiльних функцiй h \in C1(\BbbR ), h(0) = 0,
чисел k \in \BbbR i векторiв b \in E функцiї v(x) = h \circ u(kx+ b) також належать до C1
0 (E). Тому на
E iснує сiм’я функцiй u\alpha \in C1
0 (E), для яких u\alpha (x) \in [0; 1], i множини U\alpha = \{ x | u\alpha (x) > 0\}
утворюють базу топологiї в E.
Використовуючи теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть, приходимо до висновку, що
для будь-якої множини U\alpha має мiсце рiвнiсть
\int
U\alpha
f d\mu \varphi = 0. Оскiльки сiм’я множин U\alpha є
замкненою вiдносно скiнченних об’єднань, для кожного компакту K \subset \varphi (V ) i \varepsilon > 0 знайдеться
U\alpha , для якого мають мiсце вкладення K \subset U\alpha \subset K\varepsilon (тут i далi A\varepsilon — \varepsilon -окiл множини A), звiдки
випливає рiвнiсть
\int
K
f d\mu \varphi = 0. Завдяки радоновостi мiри \mu \varphi отримуємо рiвнiсть
\int
A
f d\mu \varphi = 0
для кожного A \in \scrB
\bigl(
\varphi (V )
\bigr)
, тобто f = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu \varphi ).
Крок 3. Застосовуючи до тензорного поля \vec{}\bfW \varphi узагальнену теорему Лузiна (див. [16]) i
враховуючи (10), приходимо до висновку про iснування компакту K в \varphi (V ), на якому \vec{}\bfW \varphi
\bigm| \bigm|
K
неперервне i при цьому | \mu \varphi |
\Bigl( \bigl\{
x \in K | \vec{}\bfW \varphi (x) \not = 0
\bigr\} \Bigr)
> 0.
Множина \{ \vec{}\bfW \varphi (x) | x \in K\} вкладається у сепарабельний пiдпростiр F простору \Lambda m - 1(E),
а тому iснує злiченна сiм’я \{ \beta n\} зовнiшнiх (m - 1)-форм на E, якi вiдокремлюють елементи
F. Оскiльки, за доведеним вище, \langle \beta n, \vec{}\bfW \varphi \rangle = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu \varphi ) \forall n \in \BbbN , отримуємо суперечнiсть:
| \mu \varphi |
\Bigl( \bigl\{
x \in K | \vec{}\bfW \varphi (x) \not = 0
\bigr\} \Bigr)
= 0.
Лему доведено.
У подальшому модельний простiр E задовольняє умову леми 5.
Лема 6. Нехай векторне поле \bfX i m-векторне поле \vec{}\bfZ належать до C1
b (M)\cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}). Тодi
\bfX \wedge \vec{}\bfZ \in C1
b (M) \cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}) i має мiсце рiвнiсть
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\bfX \wedge \vec{}\bfZ ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfX \cdot \vec{}\bfZ - \bfX \wedge \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfZ + LX
\vec{}\bfZ , (11)
де LX — диференцiювання Лi.
Доведення. Нехай \omega — диференцiальна m-форма на M класу C1
0 (M). Будемо виходити з
рiвностi \bigl\langle
d\omega ,\bfX \wedge \vec{}\bfZ
\bigr\rangle
=
\bigl\langle
iXd\omega , \vec{}\bfZ
\bigr\rangle
= \bfX
\bigl\langle
\omega , \vec{}\bfZ
\bigr\rangle
-
\bigl\langle
d iX\omega , \vec{}\bfZ
\bigr\rangle
-
\bigl\langle
\omega ,LX
\vec{}\bfZ
\bigr\rangle
. (12)
З (9) i (12) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ФОРМУЛА СТОКСА НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ 1463\int
M
\bigl\langle
d\omega ,\bfX \wedge \vec{}\bfZ
\bigr\rangle
d\mu =
\int
M
\bigl\langle
\omega , - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfX \cdot \vec{}\bfZ +\bfX \wedge \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfZ - LX
\vec{}\bfZ
\bigr\rangle
d\mu ,
звiдки i випливає твердження леми.
Наслiдок 3. Якщо \vec{}\bfZ = \bfZ 1\wedge . . .\wedge \bfZ m i всi векторнi поля \bfZ k належать до C1
b (M)\cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}),
то \vec{}\bfZ належить до C1
b (M) \cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}).
Нехай \vec{}\bfW = \bfW 0\wedge \bfW 1\wedge . . .\wedge \bfW m \in C1
b (M)\cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}), \omega — диференцiальна m-форма класу
C1
b (M). Покладемо
\bfZ = \langle \omega , \vec{}\bfW \rangle :=
m\sum
i=0
( - 1)i
\bigl\langle
\omega , \vec{}\bfW i
\bigr\rangle
\bfW i, (13)
де \vec{}\bfW i = \bfW 0 \wedge . . . \wedge \bfW i - 1 \wedge \bfW i+1 \wedge . . . \wedge \bfW m.
Лема 7. Векторне поле \bfZ , визначене формулою (13), належить до C1
b (M)\cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}), i має
мiсце „правило Лейбнiца”:
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ =
\bigl\langle
\omega ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfW
\bigr\rangle
+
\bigl\langle
d\omega , \vec{}\bfW
\bigr\rangle
. (14)
Доведення. Нехай u — функцiя на M класу C1
0 (M). Тодi\int
M
u
\Bigl( \bigl\langle
\omega ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfW
\bigr\rangle
+
\bigl\langle
d\omega , \vec{}\bfW
\bigr\rangle \Bigr)
d\mu =
=
\int
M
\bigl\langle
u\omega ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfW
\bigr\rangle
d\mu +
\int
M
\bigl\langle
d(u\omega ), \vec{}\bfW
\bigr\rangle
d\mu -
\int
M
\bigl\langle
du \wedge \omega , \vec{}\bfW
\bigr\rangle
d\mu =
= -
\int
M
\Biggl(
m\sum
i=0
( - 1)i\langle du,\bfW i\rangle
\bigl\langle
\omega , \vec{}\bfW i
\bigr\rangle \Biggr)
d\mu = -
\int
M
\langle du,\bfZ \rangle d\mu ,
звiдки, внаслiдок довiльностi u \in C1
0 (M), випливає твердження леми.
Нехай \varepsilon > 0, \omega = \omega \vec{}Y
— канонiчна m-форма поверхнi \Sigma - \varepsilon , що вiдповiдає набору полiв
\vec{}\bfY = \{ \bfY 1, . . . ,\bfY m\} , i \vec{}\bfW = \bfW 0 \wedge \bfW 1 \wedge . . . \wedge \bfW m \in C1
b (M) \cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}).
Лема 8. Для кожного \varepsilon > 0 iснує таке r(\varepsilon ) > 0, що для будь-якого r \in (0, r(\varepsilon )) i будь-якої
функцiї u \in C1
0 (\Sigma - \varepsilon ) має мiсце рiвнiсть\int
\Phi Br\Sigma - \varepsilon
\^u \cdot
\bigl\langle
\omega ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfW
\bigr\rangle
d\mu = -
\int
\Phi Br\Sigma - \varepsilon
\bfZ \^u d\mu , (15)
де поле \bfZ визначено формулою (13); \^u(\Phi \vec{}t x) = u(x) для кожного x \in \Sigma - \varepsilon i \omega = \omega \vec{}Y
.
Доведення. Оскiльки m-форма \omega є замкненою, то внаслiдок (14) справджується рiвнiсть\bigl\langle
\omega ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfW
\bigr\rangle
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ . (16)
За наслiдком 2 i лемою 4 векторне поле \bfZ дотикається до кожної поверхнi \Phi \vec{}t\Sigma - \varepsilon при
фiксованому \vec{}t достатньо малої норми
\bigl(
\| \vec{}t \| < \gamma
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1464 Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ
Зафiксуємо r \in (0, \gamma ). Нехай послiдовнiсть функцiй \varphi n \in C[0, r] при n > 3 визначено
умовами
\varphi n(s) = 0 при s \in
\biggl[
0,
n - 3
n
r
\biggr]
\cup
\biggl[
n - 1
n
r, r
\biggr]
,
\varphi n(s) = - n
2
r2
s+
n(n - 3)
r
при s \in
\biggl[
n - 3
n
r,
n - 2
n
r
\biggr]
,
\varphi n(s) =
n2
r2
s - n(n - 1)
r
при s \in
\biggl[
n - 2
n
r,
n - 1
n
r
\biggr]
.
Тодi послiдовнiсть функцiй hn(s) = 1 +
\int s
0
\varphi n(s) ds є такою, що функцiї un(\Phi \vec{}t x) =
= hn
\bigl(
\| \vec{}t \|
\bigr)
\cdot u(x) збiгаються з функцiєю \^u(\Phi \vec{}t x) в \Phi Bn - 3
n r
\Sigma - \varepsilon . При цьому un \in C1
0 (\Phi Br\Sigma - \varepsilon ),
а тому мають мiсце рiвностi \int
\Phi Br\Sigma - \varepsilon
un \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu = -
\int
\Phi Br\Sigma - \varepsilon
\bfZ un d\mu . (17)
При цьому (\bfZ un)(\Phi \vec{}t x) = hn
\bigl(
\| \vec{}t \|
\bigr)
\cdot (\bfZ \^u)(\Phi \vec{}t x), x \in \Sigma - \varepsilon . Тому, переходячи в (17) до границi
при n\rightarrow \infty з урахуванням (16), приходимо до рiвностi (15).
Лему доведено.
4. Основна теорема. Нехай M — зв’язний ґаусдорфiв банахiв многовид класу C2 з модель-
ним дiйсним простором E, на якому iснує функцiя класу C1 з непорожнiм обмеженим носiєм.
Многовид M надiлено рiвномiрною структурою; \mu — невiд’ємна мiра Радона на M ; \Sigma — еле-
ментарна поверхня в M корозмiрностi m; S — область в \Sigma - \varepsilon при деякому \varepsilon > 0, границя якої
\partial S є елементарною вкладеною в \Sigma поверхнею корозмiрностi 1; \omega — диференцiальна m-форма
класу C1
b в околi U поверхнi \Sigma , асоцiйована з вкладенням \Sigma в M ; \alpha — 1-форма класу C1
b на
U, обмеження якої \widetilde \alpha на \Sigma є асоцiйованою формою вкладення \partial S в \Sigma ; \vec{}\bfW = \bfW 0\wedge . . .\wedge \bfW m —
полiвекторне поле на M ; \bfW i \in C1
b (M) \cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}); \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfW i \in L\infty (\mu ), i = 0, 1, . . . ,m.
Теорема. При виконаннi наведених вище умов справджується рiвнiсть\int
\partial S
\bigl\langle
\alpha \wedge \omega , \vec{}\bfW
\bigr\rangle
d\mu \alpha \wedge \omega =
\int
S
\bigl\langle
\omega ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfW
\bigr\rangle
d\mu \omega . (18)
Доведення. Iдея доведення теореми полягає в зведеннi формули (18) до вигляду (19) з
векторним полем \bfZ , що визначено формулою (13), iз подальшим доведенням вiдповiдної версiї
формули Гаусса – Остроградського.
Крок 1. Зазначимо, що мiра \mu \omega визначається формулою (5) через комутовний строго транс-
версальний до \Sigma набiр полiв \vec{}\bfY . При цьому без втрати загальностi в якостi форми \omega можна
взяти канонiчну форму \omega \vec{}Y
, оскiльки перехiд до iншої асоцiйованої форми вкладення \Sigma в M
не змiнить жодну з частин рiвностi (18) (див. п. 1).
За наслiдком 2
\vec{}\bfW \in C1
b (M) \cap D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}),
\bigl\langle
\alpha \wedge \omega , \vec{}\bfW
\bigr\rangle
=
m\sum
i=0
( - 1)i\alpha (\bfW i)\omega ( \vec{}\bfW
i) = \langle \alpha ,\bfZ \rangle ,
де поле \bfZ визначене формулою (13) i за лемою 4 дотикається до \Sigma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ФОРМУЛА СТОКСА НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ 1465
Оскiльки \langle \alpha ,\bfZ \rangle
\bigm| \bigm|
\Sigma
=
\bigl\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \bigm| \bigm|
\Sigma
\bigr\rangle
, то з урахуванням (16) i рiвностi (6) рiвнiсть (18) перетво-
рюється у таку: \int
\partial S
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \bigm| \bigm|
\Sigma
\rangle d(\mu \omega )\widetilde \alpha =
\int
S
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu \omega . (19)
Тут \widetilde \alpha (обмеження на \Sigma форми \alpha ) — асоцiйована форма вкладення \partial S в \Sigma ,\int
S
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu \omega := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
1
\langle \omega , \vec{}\bfY \rangle
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu ,
якщо остання границя iснує.
Далi для зручностi позначатимемо \bfZ
\bigm| \bigm|
\Sigma
через \bfZ .
Крок 2. Нехай \bfX \in C1
b (\Sigma ) — векторне поле на \Sigma , строго трансверсальне до \partial S, зовнiшнє
по вiдношенню до областi S. Завдяки обмеженостi поля \bfX його потiк \Phi t = \Phi X
t є визначеним
у околi t0 = 0 рiвномiрно вiдносно x \in \partial S. При цьому\int
\partial S
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle d(\mu \omega )\widetilde \alpha =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi tS
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle
\langle \widetilde \alpha ,\bfX \rangle
d\mu \omega .
Якщо u належить до C1
0 (S), то за лемою 8 справджується рiвнiсть
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\^u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu = - 1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\bfZ \^u d\mu , (20)
де \^u — продовження функцiї u на \Phi BrS — стала на траєкторiях полiв набору \vec{}\bfY .
Оскiльки \bfZ \^u належить до Cb(\Phi Br\Sigma - \varepsilon ), то за лемою 2 права частина в (20) має границю
при r \rightarrow 0, що дорiвнює -
\int
S
\bfZ u d\sigma .
Визначимо функцiю t(\cdot ) в околi \partial S на \Sigma тотожнiстю \Phi
\bigl(
t(x), x
\bigr)
\in \partial S (тут \Phi (t, x) = \Phi tx).
Функцiя t(\cdot ) визначена в околi (\partial S)\delta i, за теоремою про неявну функцiю, t(\cdot ) \in C1
\bigl(
(\partial S)\delta
\bigr)
.
Оскiльки \bfX належить до C1
b (\Sigma ), то t(\cdot ) належить до C1
b
\bigl(
(\partial S)\delta
\bigr)
й iснує таке \gamma > 0, що
\Phi [ - \gamma ,\gamma ](\partial S) \subset (\partial S)\delta .
Зафiксуємо \beta \in (0, \gamma ) i визначимо функцiю \psi \beta : \BbbR \rightarrow \BbbR умовами: \psi \beta (t) = 0 при t \leq 0,
\psi \beta (t) = 1 при t \geq \beta i \psi \beta (t) =
1
\beta
t при 0 < t < \beta . Покладемо u\beta (x) = \psi \beta
\bigl(
t(x)
\bigr)
при x \in (\partial S)\delta ,
u\beta (x) = 1 при x \in S \setminus (\partial S)\delta i u\beta (x) = 0 при x \in \Sigma \setminus S\delta .
\mu \omega (\partial S) = \mu \omega
\bigl(
\Phi - \beta (\partial S)
\bigr)
= 0 (див. [4]), а тому функцiя \bfZ u\beta визначена майже скрiзь на
\Sigma (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu \omega ). Для x \in \Sigma \setminus
\bigl(
\partial S \cup \Phi - \beta (\partial S)
\bigr)
має мiсце рiвнiсть (\bfZ u\beta )(x) = \psi \prime
\beta
\bigl(
t(x)
\bigr)
\cdot (\bfZ t)(x).
Нехай послiдовнiсть функцiй \varphi n = \varphi n,\beta \in C1(\BbbR ) задовольняє такi умови: \varphi n(t) = 0
при t \leq 1
n
<
\beta
3
, \varphi n(t) = 1 при t \geq \beta , послiдовнiсть \{ \varphi \prime
n\} рiвномiрно обмежена на \BbbR i
\varphi \prime
n(t) \rightarrow \psi \prime
\beta (t) у кожнiй точцi t \in \BbbR \setminus \{ 0;\beta \} .
Приклад послiдовностi: \varphi n(t) =
\int t
- \infty
hn(s) ds, де hn(s) = 0 при s \in
\biggl(
- \infty ,
1
n
\biggr]
\cup [\beta ,+\infty );
hn(s) =
n2
n\beta - 2
\biggl(
s - 1
n
\biggr)
при s \in
\biggl[
1
n
,
2
n
\biggr]
; hn(s) = - n2
n\beta - 2
(s - \beta ) при s \in
\biggl[
\beta - 1
n
, \beta
\biggr]
;
hn(s) =
n
n\beta - 2
при s \in
\biggl[
2
n
, \beta - 1
n
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1466 Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ
Тодi \varphi n \circ t належить до C1
0 (S); послiдовнiсть \varphi n \circ t при n\rightarrow \infty рiвномiрно на \Sigma збiгається
до u\beta ;
\bigl(
\bfZ (\varphi n \circ t)
\bigr)
(x) = \varphi \prime
n
\bigl(
t(x)
\bigr)
\cdot (\bfZ t)(x). Тому за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть\int
S
\bfZ (\varphi n \circ t) d\mu \omega \rightarrow
\int
S
\bfZ u\beta d\mu \omega , n\rightarrow \infty .
Крок 3. Векторне поле \bfQ = \bfZ - \langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle
\langle \widetilde \alpha ,\bfX \rangle
\bfX є визначеним на \Sigma в околi \partial S. Оскiльки \langle \widetilde \alpha ,\bfQ \rangle =
= 0, то поле \bfQ дотикається до \partial S.
У достатньо малому околi V \subset \Sigma поверхнi \partial S справджується рiвнiсть\int
V
\bfZ u\beta d\mu \omega =
\int
V
\bfQ u\beta d\mu \omega +
\int
V
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle
\langle \widetilde \alpha ,\bfX \rangle
\bfX u\beta d\mu \omega . (21)
При цьому (\bfX u\beta )(x) = \psi \prime
\beta
\bigl(
t(x)
\bigr)
(\bfX t)(x), (\bfX t)(x) =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
t(\Phi sx) =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\bigl(
t(x) - s
\bigr)
= - 1.
Тому (\bfX u\beta )(x) = - 1
\beta
при x \in S \setminus \Phi - \beta S, (\bfX u\beta )(x) = 0 при x \in \Phi - \beta S,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0
\int
V
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle
\langle \widetilde \alpha ,\bfX \rangle
\bfX u\beta d\mu \omega = - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0
1
\beta
\int
S\setminus \Phi - \beta S
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle
\langle \widetilde \alpha ,\bfX \rangle
d\mu \omega = -
\int
\partial S
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle d(\mu \omega )\widetilde \alpha .
Аналогiчно
(\bfQ u\beta )(x) = \psi \prime \bigl( t(x)\bigr) (\bfQ t)(x), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0
\int
V
\bfQ u\beta d\mu \omega = - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0
1
\beta
\int
S\setminus \Phi - \beta S
(\bfQ t) d\mu \omega = 0,
оскiльки \bfQ t \equiv 0 на \partial S.
Тепер, виходячи з рiвностi (21) i конструкцiї функцiї \varphi n,\beta , робимо висновок про iснування
послiдовностi функцiй vk(x) = \varphi n(k), 1
k
\circ t \in C1
0 (S), для якої Ak = \{ x \in S | vk(x) \not = 1\} \searrow \varnothing ;
-
\int
S
\bfZ vk d\sigma - \rightarrow
\int
\partial S
\langle \widetilde \alpha ,\bfZ \rangle d\mu \alpha \wedge \omega , k \rightarrow \infty . (22)
При цьому
\bigm| \bigm| vk(x)\bigm| \bigm| \leq 1 i vk(x) \rightarrow 1 при кожному x \in S, а тому при достатньо малих r > 0 має
мiсце збiжнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\^vk \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu =
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu .
Крок 4. Нехай C = \| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ \| L\infty . За теоремою Вiталi – Лебега має мiсце рiвномiрна по r
збiжнiсть
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrAn
| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ | d\mu \leq C\sigma r(An) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ФОРМУЛА СТОКСА НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ 1467
Якщо k > n, то з побудови послiдовностi \{ vk\} випливає нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
(\^vn - \^vk) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C\sigma r(An),
а з нерiвностi \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\^vk \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu +
\int
S
\bfZ vk d\sigma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C\sigma r(An) +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\^vn \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu +
\int
S
\bfZ vn d\sigma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
S
\bfZ vk d\sigma -
\int
S
\bfZ vn d\sigma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
i збiжностi (22) — рiвномiрнiсть по n такої збiжностi при r \rightarrow 0:
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\^vn \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu - \rightarrow -
\int
S
\bfZ vn d\sigma .
Тепер на пiдставi класичної теореми аналiзу приходимо до висновку про iснування i рiвнiсть
повторних границь:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\^vn \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
\left( - 1
\lambda m(Br)
\int
\Phi BrS
\bfZ \^vn d\mu
\right) ,
звiдки випливає рiвнiсть (19), рiвносильна (18). При цьому
\int
S
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfZ d\mu \omega трактується у сенсi
означення 1.
Теорему доведено.
Зауваження 1. При m = 0 з доведення теореми випливає формула Гаусса – Остроград-
ського \int
\partial S
\langle \alpha ,\bfW 0\rangle d\mu \alpha =
\int
S
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfW 0 d\mu ,
де S — область в M, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\bfW 0 \in L1(M,\mu ) (порiвн. з [4]).
Зауваження 2. У випадку (нескiнченновимiрного) рiманового многовиду M (див., наприк-
лад, [14]) можна розглядати „нормальний полiвектор” \vec{}\bfn = \vec{}\bfn S = \bfn 1\wedge \bfn 2\wedge . . .\wedge \bfn m до поверхнi
S, де для кожної точки x \in S вектори \bfn 1(x),\bfn 2(x) . . .\bfn m(x) утворюють ортонормований
базис простору TxM \ominus TxS. Полiвектор \vec{}\bfn породжує асоцiйовану форму до S за принципом
\omega \vec{}n(\bfY 1, . . .\bfY m) =
\bigl(
\vec{}\bfn (\cdot ), \vec{}\bfY (\cdot )
\bigr)
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
\bfn i(\cdot ),\bfY j(\cdot )
\bigr)
. Якщо \bfn \partial — таке векторне поле на M, що у
кожнiй точцi x \in \partial S вектор \bfn \partial (x) є нормованим вектором в TxS \ominus Tx(\partial S), то формула (18)
набирає вигляду \int
\partial S
\langle \bfn \partial \wedge \vec{}\bfn , \vec{}\bfW \rangle d\mu n\partial \wedge \vec{}n =
\int
S
\langle \vec{}\bfn ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}\bfW \rangle d\mu \vec{}n
(тут \mu \vec{}n := \mu \omega \vec{}n
).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1468 Ю. В. БОГДАНСЬКИЙ
Лiтература
1. А. В. Скороход, Интегрирование в гильбертовом пространстве, Наука, Москва (1975).
2. Х.-С. Го, Гауссовские меры в банаховых пространствах, Мир, Москва (1979).
3. A. V. Uglanov, Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht
(2000).
4. Ю. В. Богданский, Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского,
Укр. мат. журн., 64, № 10, 1299 – 1313 (2012).
5. Ю. В. Богданский, Формула Гаусса – Остроградского в L2 -версии. Приложение к задаче Дирихле, Укр. мат.
журн., 70, № 5, 611 – 624 (2018).
6. Н. В. Смородина, Формула Гаусса – Остроградского для пространства конфигураций, Теория вероятностей
и ее применения, 35, № 4, 727 – 739 (1990).
7. D. L. Finkelshtein, Yu. G. Kondratiev, A. Yu. Konstantinov, M. Rockner, Gauss formula and symmetric extensions
of Laplacian on configuration spaces, Infinite Dimens. Anal., Quantum Probab. and Relat. Top., 4, № 4, 489 – 509
(2001).
8. Э. Ю. Шамарова, Н. Н. Шамаров, Дифференциальные формы на локально выпуклых пространствах и формула
Стокса, Изв. вузов. Математика, № 8, 84 – 97 (2016).
9. О. Г. Смолянов, Потоки де Рама и формула Стокса в гильбертовом пространстве, Докл. АН СССР, 286,
№ 3, 554 – 558 (1986).
10. Ю. В. Богданский, Е. В. Моравецкая, Поверхностные меры на банаховых многообразиях с равномерной
структурой, Укр. мат. журн., 69, № 8, 1030 – 1048 (2017).
11. Ю. В. Богданский, Е. В. Моравецкая, Транзитивность поверхностных мер на банаховых многообразиях с
равномерной структурой, Укр. мат. журн., 69, № 10, 1299 – 1309 (2017).
12. С. Ленг, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, Мир, Москва (1967).
13. Ю. Л. Далецкий, Я. И. Белопольская, Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия, Вища шк.,
Киев (1989).
14. Ю. В. Богданский, А. Ю. Потапенко, Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. I, Укр.
мат. журн., 68, № 7, 897 – 907 (2016).
15. R. Fry, S. McManus, Smooth bump functions and the geometry of Banach spaces. A brief survey, Exposit. Math., 20,
№ 2, 143 – 183 (2002).
16. D. H. Fremlin, Measurable functions and almost continuous functions, Manuscripta Math., 33, № 3-4, 387 – 405
(1981).
Одержано 05.01.20,
пiсля доопрацювання — 23.06.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2295 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:21:56Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4d/637b593683199b59ee01d1f446da824d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-22952025-03-31T08:49:35Z Stokes formula for Banach manifolds Формула Стокса на банаховых многообразиях Формула Стокса на банахових многовидах Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Юрий Викторович Богданський, Ю. В. UDC 517.98+515.164.17 We suggest a divergent version of the Stokes formula for a Banach manifold with a uniform atlas. Предложен дивергентный вариант формулы Стокса на банаховом многообразии с равномерным атласом.&nbsp; УДК 517.98+515.164.17 Запропоновано дивергентний варiант формули Стокса на банаховому многовидi з рiвномiрним атласом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2295 10.37863/umzh.v72i11.2295 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1455-1468 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1455-1468 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2295/8775 Copyright (c) 2020 Юрій Вікторович Богданський |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Юрий Викторович Богданський, Ю. В. Stokes formula for Banach manifolds |
| title | Stokes formula for Banach manifolds |
| title_alt | Формула Стокса на банаховых многообразиях Формула Стокса на банахових многовидах |
| title_full | Stokes formula for Banach manifolds |
| title_fullStr | Stokes formula for Banach manifolds |
| title_full_unstemmed | Stokes formula for Banach manifolds |
| title_short | Stokes formula for Banach manifolds |
| title_sort | stokes formula for banach manifolds |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2295 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv stokesformulaforbanachmanifolds AT bogdanskijûrijviktorovič stokesformulaforbanachmanifolds AT bogdansʹkijûv stokesformulaforbanachmanifolds AT bogdanskiiyuv formulastoksanabanahovyhmnogoobraziâh AT bogdanskijûrijviktorovič formulastoksanabanahovyhmnogoobraziâh AT bogdansʹkijûv formulastoksanabanahovyhmnogoobraziâh AT bogdanskiiyuv formulastoksanabanahovihmnogovidah AT bogdanskijûrijviktorovič formulastoksanabanahovihmnogovidah AT bogdansʹkijûv formulastoksanabanahovihmnogovidah |