A time-optimal control problem for a set-valued linear control system
UDC 517.9 We consider the time-optimal control problem for a set-valued linear control system in the case where a section of the solution of the system coincides with a target set.  For this problem, we obtain the solvability conditions as well as the optimal time and optim...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2300 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508238433222656 |
|---|---|
| author | Komleva, T. O. Plotnikov, A. V. Комлева, Тетьяна Плотников, Андрей Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. |
| author_facet | Komleva, T. O. Plotnikov, A. V. Комлева, Тетьяна Плотников, Андрей Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. |
| author_sort | Komleva, T. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:02:00Z |
| description | UDC 517.9
We consider the time-optimal control problem for a set-valued linear control system in the case where a section of the solution of the system coincides with a target set.  For this problem, we obtain the solvability conditions as well as the optimal time and optimal controls.  The results are illustrated by model examples.  |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i7.2300 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i8.2300
УДК 517.9
Т. О. Комлєва, А. В. Плотнiков (Одес. держ. акад. буд-ва та архiтектури)
ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЇ ШВИДКОДIЇ
ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ КЕРОВАНОЇ БАГАТОЗНАЧНОЇ СИСТЕМИ
We consider the time-optimal control problem for a set-valued linear control system in the case where a section of the
solution of the system coincides with a target set. For this problem, we obtain the solvability conditions as well as the
optimal time and optimal controls. The results are illustrated by model examples.
Розглядається задача оптимальної швидкодiї для лiнiйної керованої багатозначної системи у випадку, коли пере-
рiз розв’язку цiєї системи збiгається з цiльовою множиною. Отримано умови розв’язностi даної задачi, а також
оптимальний час та оптимальнi керування. Результати проiлюстровано на модельних прикладах.
1. Вступ. У 1969 р. F. S. de Blasi та F. Iervolino розглянули багатозначнi диференцiальнi рiвнян-
ня з похiдною Хукухари [1]. Пiсля цього багато авторiв дослiджували властивостi розв’язкiв
багатозначних диференцiальних рiвнянь [2 – 11], багатозначних iнтегро-диференцiальних i iн-
тегральних рiвнянь [12 – 18], багатозначних iмпульсних рiвнянь [19 – 22], багатозначних дис-
кретних cистем [23 – 25], а також багатозначних диференцiальних включень [2, 22, 26, 27].
Багатозначнi рiвняння широко застосовуються при дослiдженнi звичайних диференцiальних
(iнтегральних, iмпульсних та iнших) включень [2, 6, 19, 20, 28] i нечiтких диференцiальних
(iнтегральних, iмпульсних та iнших) рiвнянь i включень [3, 29 – 35]. Останнiм часом iнтенсив-
но дослiджувалися багатозначнi та нечiткi системи керування [36 – 53], тобто системи, в яких
поведiнка об’єкта описується керованими багатозначними або нечiткими рiвняннями.
У данiй статтi розглянуто одну задачу оптимальної швидкодiї для лiнiйної багатозначної
керованої системи й отримано умови iснування розв’язку для такої задачi, а також оптимальний
час та оптимальнi керування. Результати проiлюстровано на модельних прикладах.
2. Основнi означення i позначення. Нехай \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) — простiр непорожнiх, опуклих,
компактних пiдмножин простору Rn з метрикою Гаусдорфа
h(A,B) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ r \geq 0 : A \subset B +Br(0), B \subset A+Br(0)\} ,
де A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn), Br(c) = \{ x \in Rn : \| x - c\| \leq r\} .
Крiм звичайних теоретико-множинних операцiй розглянемо у просторi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) ще двi
операцiї: суму множин i добуток скаляра на множину:
A+B = \{ a+ b : a \in A, b \in B\} та \lambda A = \{ \lambda a : a \in A, \lambda \in R\} .
Справджуються такi основнi властивостi [2, 3]:
1) (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn), h) — повний метричний простiр,
2) h(A+ C,B + C) = h(A,B),
3) h(\lambda A, \lambda B) = | \lambda | h(A,B) для всiх A,B,C \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) i \lambda \in R.
c\bigcirc Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ, 2020
1082 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЇ ШВИДКОДIЇ ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ КЕРОВАНОЇ БАГАТОЗНАЧНОЇ СИСТЕМИ 1083
Однак простiр \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) не є лiнiйним простором щодо наведених операцiй, оскiльки в
загальному випадку неможливо ввести поняття протилежного елемента для A \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn),
тобто в загальному випадку A+( - 1)A \not = \{ 0\} , хоча якщо A належить до Rn, то для нього про-
тилежний елемент iснує. Вiдсутнiсть протилежного елемента у просторi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) призводить
до неоднозначного введення поняття рiзницi множин i умов її iснування.
У данiй статтi ми будемо використовувати рiзницю Хукухари [54].
Означення 1 [54]. Нехай X,Y \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn). Множина Z \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) така, що X = Y +Z,
називається рiзницею Хукухари множин X, Y i позначається X H——Y.
Зауваження 1. Рiзниця Хукухари є окремим випадком рiзницi Мiнковського, коли Y пов-
нiстю вимiтає множину X [2, 3, 19].
Зауваження 2. Очевидно, що рiзниця Хукухари двох множин може не iснувати. Наприклад,
якщо A = \{ a \in R2 : \| a\| \leq 1\} , B = \{ b \in R2 : | bi| \leq 1, i = 1, 2\} , то рiзниця Хукухари A H——B
не iснує.
Так само, якщо A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(A) < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(B), то рiзниця Хукухари AHB не
iснує. Наприклад, якщо A = B = \{ a \in R2 : \| a\| \leq 1\} , то рiзниця Хукухари AH tB не iснує для
всiх t > 1.
Наведемо основнi властивостi рiзницi Хукухари [2, 3, 19]:
1) якщо рiзниця Хукухари двох множин A H——B iснує, то вона єдина,
2) A H——A = \{ 0\} для всiх A \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn),
3) (A+B) H——B = A для всiх A,B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn).
Означення 2 [2, 3, 19, 54]. Багатозначне вiдображення X(\cdot ) : R1 \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) має похiд-
ну за Хукухарою в точцi t0 \in R1, якщо iснує множина DHX(t0) \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) така, що границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta \rightarrow 0+
\Delta - 1
\bigl(
X(t0 +\Delta ) H——X(t0)
\bigr)
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta \rightarrow 0+
\Delta - 1
\bigl(
X(t0)
H——X(t0 - \Delta )
\bigr)
iснують та рiвнi DHX(t0).
Вiдомо, що якщо вiдображення X(\cdot ) диференцiйовне за Хукухарою на сегментi [a, b], то
функцiя t \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X(t)), t \in [a, b], є неспадною на цьому сегментi.
Зауваження 3. Властивостi похiдної за Хукухарою розглянуто докладнiше в [2, 3, 19, 54].
3. Багатозначна система керування. Нехай поведiнка об’єкта описується лiнiйним керо-
ваним диференцiальним рiвнянням з похiдною Хукухари
DHX(t) = v(t)X(t) + u(t), X(0) = X0, (1)
де X : R+ \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) — багатозначне вiдображення; X0 \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) — початкова множина;
DHX(t) — похiдна Хукухари вiд багатозначного вiдображення X(\cdot ) в момент часу t \in Rn;
v(\cdot ), u(\cdot ) — допустимi керування, тобто вимiрнi за Лебегом функцiї, такi, що v(t) \in [0, 1] та
| ui(t)| \leq 1, i = 1, n, для всiх t \in R+.
Як вiдомо з [19, 20], для будь-яких допустимих керувань v(\cdot ) i u(\cdot ) багатозначний розв’язок
X(\cdot , v, u) системи (1) iснує для всiх t \geq 0 i його можна записати у виглядi
X(t, v, u) = e
\int t
0 v(s) dsX0 + e
\int t
0 v(s) ds
t\int
0
e -
\int s
0 v(\tau )d\tau u(s) ds. (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1084 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ
Зрозумiло, що рiвняння (2) можна записати у виглядi суми багатозначного вiдображення
F (t,X0, v) i векторної функцiї g(t, v, u), тобто
X(t, v, u) = F (t,X0, v) + g(t, v, u),
де F (t,X0, v) = e
\int t
0 v(s) dsX0, g(t, v, u) = e
\int t
0 v(s) ds
\int t
0
e -
\int s
0 v(\tau )d\tau u(s) ds.
Отже, початкова множина X0 визначає „форму” перерiзу багатозначного вiдображення
X(t, v, u) в момент часу t, а допустиме керування v(\cdot ) — змiну його розмiру. Зазначимо, що
багатозначне вiдображення F (t,X0, v) має такi властивостi:
1) F (0, X0, v) = X0,
2) для будь-якого t > 0 множина F (t,X0, v) гомотетична початковiй множинi X0 зi сталою
k(t) = e
\int t
0 v(s) ds \geq 1,
3) якщо v(t) \equiv 0 для всiх t \geq 0, то F (t,X0, v) = X0.
Так само очевидно, що векторна функцiя g(t, v, u), яка залежить вiд допустимих керувань
v(\cdot ) i u(\cdot ), задає додатковi зсуви перерiзу багатозначного вiдображення X(t, v, u) в момент
часу t > 0 вiдносно початкової множини X0.
Нехай задано деяку множину XK \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) (цiльову множину).
Розглянемо таку задачу оптимального керування: знайти мiнiмальний час T \ast > 0 i допу-
стимi керування v\ast (\cdot ), u\ast (\cdot ) такi, що багатозначний розв’язок системи (1) задовольняє умову
X(T \ast , v\ast , u\ast ) = XK .
Зауваження 4. З огляду на наведенi вище властивостi розв’язку системи (1) можна сфор-
мулювати необхiдну умову iснування розв’язку даної задачi оптимального керування: множина
XK повинна бути гомотетична множинi X0 з коефiцiєнтом a \geq 1, тобто повиннi iснувати такi
a \geq 1 i b \in Rn, що XK = aX0 + b.
Якщо ця умова не виконується, то розглянута задача оптимального керування розв’язку
не має.
Спочатку розглянемо випадок, коли X0 = Bc(d). Тодi, згiдно iз зауваженням 4, цiльова
множина XK = aX0 + b = aBc(d) + b = Bac(ad+ b).
Зауваження 5. Якщо a = 1, b = 0, то XK = Bc(d) = X0. Отже, початкова множина X0 i
цiльова множина XK збiгаються, тобто в цьому випадку дана задача оптимального керування
не має сенсу.
Далi розглянемо два можливих випадки:
1) a = 1, b \in Rn \setminus \{ 0\} ,
2) a > 1, b \in Rn.
Випадок 1: a = 1, b \not = 0. Тодi XK = Bc(d+ b).
Отже, XK = X0+ b = Bc(d)+ b. На пiдставi властивостi 3 розв’язку системи (1) керування
v\ast (t) \equiv 0. Тодi система (1) набирає вигляду
DHX(t) = u(t), X(0) = Bc(d),
i її розв’язок можна записати у виглядi
X(t, v, u) = Bc(d) +
t\int
0
u(s) ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЇ ШВИДКОДIЇ ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ КЕРОВАНОЇ БАГАТОЗНАЧНОЇ СИСТЕМИ 1085
Отже, необхiдно знайти деяке мiнiмальне T \ast i припустиме керування u\ast (\cdot ) такi, що
X(T \ast , v\ast , u\ast ) = Bc(d) +
T \ast \int
0
u\ast (s) ds = Bc(d) + b,
тобто
T \ast \int
0
u\ast i (s) ds = bi, i = 1, n.
Звiдси T \ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| , а оптимальне керування u\ast (\cdot ) =
\bigl(
u\ast 1(\cdot ), . . . , u\ast n(\cdot )
\bigr) T
таке, що | u\ast i (t)| \leq
\leq 1, i = 1, n, та iснує хоча б одне j \in \{ 1, . . . , n\} таке, що | u\ast j (t)| \equiv 1 для всiх t \in [0, T \ast ].
Очевидно, що у класi сталих функцiй таким оптимальним керуванням буде таке u\ast (\cdot ) =
= (u\ast 1, . . . , u
\ast
n)
T , що u\ast i \equiv
bi
bmax
, i = 1, n, де bmax = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| .
Випадок 2: a > 1, b \in Rn. Тодi XK = Bac(ad+ b), тобто XK = aX0 + b.
Вiзьмемо v(t) \equiv 1, оскiльки в цьому випадку таке керування забезпечує максимально
стрiмке зростання дiаметра перерiзу розв’язку системи (1) та максимальний зсув його центра
у просторi Rn.
Тодi система (1) набирає вигляду
DHX(t) = X(t) + u(t), X(0) = Bc(d), (3)
i її розв’язок можна записати у виглядi
X(t, v, u) = etBc(d) + et
t\int
0
e - su(s) ds (4)
або
X(t, v, u) = Bcet(de
t) + et
t\int
0
e - su(s) ds. (5)
Очевидно, що в момент часу T1 = \mathrm{l}\mathrm{n}(a) дiаметр перерiзу розв’язку X(T1, v, u) буде дорiв-
нювати довжинi дiаметра цiльової множини XK .
Також iз (5) маємо, що центр розв’язку системи (3) буде рухатись у просторi Rn за тра-
єкторiєю
x(t, v, u) = det + et
t\int
0
e - su(s) ds. (6)
Тодi при виборi оптимального керування u\ast (\cdot ) в деякий момент часу T2 повинна виконуватись
умова
deT2 + eT2
T2\int
0
e - su\ast (s) ds = ad+ b. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1086 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ
Отже, можливi три випадки: a) T1 = T2; b) T1 > T2; c) T1 < T2.
Розглянемо послiдовно всi цi випадки.
a) T1 = T2 = T \ast = \mathrm{l}\mathrm{n}(a). З (4) i (7) маємо
ceT2 = ceT1 = ceT
\ast
= ac, ad+ a
T \ast \int
0
e - su\ast (s) ds = ad+ b,
тобто iснує таке керування u\ast (\cdot ) =
\bigl(
u\ast 1(\cdot ), . . . , u\ast n(\cdot )
\bigr) T
, що
T \ast \int
0
e - su\ast i (s) ds =
bi
a
, | u\ast i (t)| \leq 1
для всiх t \in [0, T \ast ] та i = 1, n.
Оскiльки u\ast (\cdot ) — оптимальне керування, то iснує хоча б одне j \in \{ 1, . . . , n\} таке, що
| u\ast j (t)| \equiv 1 i | bj | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| . Вiдтак
\int T \ast
0
e - sds =
| bj |
a
, тобто a - 1 = | bj | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| .
Також зазначимо, що оптимальним керуванням u\ast (\cdot ) =
\bigl(
u\ast 1(\cdot ), . . . , u\ast n(\cdot )
\bigr) T
з класу сталих
функцiй буде u\ast i (t) =
bi
bmax
для всiх t \in [0, T \ast ] та i = 1, n.
b) T1 > T2. З (4) i (7) маємо
ceT2 < ceT1 = ac, deT2 + eT2
T2\int
0
e - su\ast (s) ds = ad+ b,
тобто a - 1 > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| .
Отже, при виборi оптимального керування u\ast (\cdot ) переведення центра перерiзу розв’язку
системи, згiдно з рiвнянням (6), у центр цiльової множини XK вiдбудеться за час T2 < T1.
Тим самим перерiз розв’язку системи в момент часу T2 буде мати радiус, менший за радiус
цiльової множини, тобто X(T2, v, u
\ast ) \subset XK .
Тому в цьому випадку оптимальними будуть час T \ast = T1 = \mathrm{l}\mathrm{n}(a), керування v\ast (t) \equiv 1 i
u\ast (\cdot ) =
\bigl(
u\ast 1(\cdot ), . . . , u\ast n(\cdot )
\bigr) T
таке, що | u\ast i (t)| \leq 1 i
\int T \ast
0
e - su\ast i (s) ds =
bi
a
для всiх t \in [0, T \ast ]
та i = 1, n. Наприклад, таким оптимальним керуванням у класi сталих функцiй буде таке
u\ast (\cdot ) = (u\ast 1, . . . , u
\ast
n)
T , що u\ast i =
bi
a - 1
, i = 1, n.
c) T1 < T2. З (4) та (7) маємо
ceT2 > ceT1 = ac, deT2 + eT2
T2\int
0
e - su\ast (s) ds = ad+ b,
тобто a - 1 < \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| .
Отже, при виборi оптимального керування u\ast (\cdot ) переведення центра перерiзу розв’язку
системи, згiдно з рiвнянням (6), у центр цiльової множини XK вiдбудеться за час T2 > T1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЇ ШВИДКОДIЇ ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ КЕРОВАНОЇ БАГАТОЗНАЧНОЇ СИСТЕМИ 1087
Тим самим перерiз розв’язку в момент часу T2 буде мати радiус, бiльший за радiус цiльової
множини, тобто XK \subset X(T2, v
\ast , u\ast ).
Тодi в даному випадку не можна вибирати v\ast (t) \equiv 1 на промiжку [0, T2], тобто ми повиннi
вибрати таке v\ast (\cdot ), що 0 \leq v\ast (t) \leq 1 для всiх t \geq 0 i v\ast (t) \not \equiv 1. Також зазначимо, що в цьому
випадку час T переведення центра перерiзу розв’язку системи (5) у центр цiльової множини
XK буде бiльшим за T2.
Запишемо таку систему:
e
\int T
0 v\ast (s) ds = a,
de
\int T
0 v\ast (s) ds + e
\int T
0 v\ast (s) ds
T\int
0
e -
\int t
0 v\ast (s) dsu\ast (t) dt = ad+ b.
Звiдси маємо
e
\int T
0 v\ast (s) ds = a,
T\int
0
e -
\int t
0 v\ast (s) dsu\ast (t) dt =
b
a
.
Оскiльки | u\ast j (t)| \equiv 1 i | bj | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| для деякого j \in \{ 1, . . . , n\} , то
e
\int T\ast
0 v\ast (s) ds = a,
T \ast \int
0
e -
\int t
0 v\ast (s) dsdt =
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi|
a
.
Якщо v\ast (t) = v\ast = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, то
eT
\ast v\ast = a,
T \ast \int
0
e - tv\ast dt =
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi|
a
.
Отже,
T \ast =
\mathrm{l}\mathrm{n}(a)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi|
a - 1
та v\ast =
a - 1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi|
. (8)
Тодi оптимальне керування u\ast (\cdot ) =
\bigl(
u\ast 1(\cdot ), . . . , u\ast n(\cdot )
\bigr) T
повинно задовольняти умову
| u\ast i (t)| \leq 1,
T \ast \int
0
e - tv\ast u\ast i (t) dt =
bi
a
, i = 1, n. (9)
Наприклад, таким оптимальним керуванням у класi сталих функцiй буде таке u\ast (\cdot ) = (u\ast 1, . . .
. . . , u\ast n)
T , що u\ast i =
bi
bmax
, i = 1, n.
Проiлюструємо отриманi результати на прикладах.
Приклад 1. Нехай поведiнка системи описується рiвнянням (1), де X0 = Bc(d), XK =
= Bc(g), c =
2
7
, d =
\biggl(
- 1
2
, 1
\biggr) T
, g =
\biggl(
4
3
, 2
\biggr) T
.
Очевидно, що множина XK гомотетична початковiй множинi X0, тобто XK = aX0 + b i
a = 1, b =
\biggl(
11
6
, 1
\biggr) T
. Тодi T \ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
11
6
, 1
\biggr\}
=
11
6
, v\ast \equiv 0, u\ast =
\biggl(
1,
6
11
\biggr) T
(див. рис. 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1088 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ
Рис. 1. X(t, v\ast , u\ast ), t \in
\biggl[
0,
11
6
\biggr]
.
Приклад 2. Нехай поведiнка системи описується рiвнянням (1), де X0 = Bc(d), XK =
= Bf (g), c =
2
7
, f =
3
2
, d =
\biggl(
- 1
2
, 1
\biggr) T
, g =
\biggl(
4
3
, 2
\biggr) T
.
Очевидно, що множина XK гомотетична початковiй множинi X0, тобто XK = aX0 + b i
a =
21
4
, b =
\biggl(
95
24
, - 13
4
\biggr) T
. Оскiльки a > 1 i a - 1 =
17
4
,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| b1| , | b2|
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 9524
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 13
4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} =
95
24
,
то a - 1 > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| b1| , | b2|
\bigr\}
.
Для v\ast \equiv 1 з (4) i (7) маємо T1 = \mathrm{l}\mathrm{n}(a) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
21
4
\biggr)
, T2 = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
14
3
\biggr)
. Оскiльки T1 > T2, то
eT1 > eT2 . Отже, якщо взяти керування u\prime (\cdot ), яке максимально швидко переведе центр початко-
вої множини X0 у центр цiльової множини XK , то X(T2, v
\ast , u\prime ) \subset XK , але X(T2, v
\ast , u\prime ) \not = XK
(див. рис. 2).
Тому оптимальним часом буде T \ast = T1 = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
21
4
\biggr)
, а оптимальне керування u\ast (\cdot ) =
= (u\ast 1(\cdot ), u\ast 2(\cdot ))T повинно задовольняти умову | u\ast i (t)| \leq 1 i
\int T1
0
e - su\ast i (s) ds =
bi
a
для всiх
t \in [0, T1] та i = 1, 2.
Наприклад, оптимальним керуванням u\ast (\cdot ) =
\bigl(
u\ast 1(\cdot ), u\ast 2(\cdot )
\bigr) T
у класi сталих функцiй буде
u\ast 1 \equiv
95
102
, u\ast 2 \equiv - 13
17
(див. рис. 3).
Приклад 3. Нехай поведiнка системи описується рiвнянням (1), де X0 = Bc(d), XK =
= Bf (g), c =
2
7
, f = 1, d =
\biggl(
- 1
2
, 1
\biggr) T
, g =
\biggl(
4
3
, 2
\biggr) T
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЇ ШВИДКОДIЇ ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ КЕРОВАНОЇ БАГАТОЗНАЧНОЇ СИСТЕМИ 1089
x1
1
00.5
1
1.5
t
2
x2
2.5
0
3
0.5 1
2
1
0
0.5
0
1
0.5
1.5
t1
2
2.5
3
x1
x2
Рис. 2. X(t, v\ast , u\prime ), t \in
\biggl[
0, \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
14
3
\biggr) \biggr]
. Рис. 3. X(t, v\ast , u\ast ), t \in
\biggl[
0, \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
21
4
\biggr) \biggr]
.
Очевидно, що множина XK гомотетична початковiй множинi X0, тобто XK = aX0 + b i
a =
7
2
, b =
\biggl(
37
12
, - 3
2
\biggr) T
. Оскiльки a > 1 та a - 1 =
5
2
,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| b1| , | b2|
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 3712
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 3
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} =
37
12
,
то
5
2
= a - 1 < \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| b1| , | b2|
\bigr\}
=
37
12
.
Для v\prime \equiv 1 з (4) i (7) маємо T1 = \mathrm{l}\mathrm{n}(a) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
7
2
\biggr)
, T2 = \mathrm{l}\mathrm{n}(5). Оскiльки T2 > T1, то eT2 >
> eT1 . Отже, якщо взяти керування u\prime (\cdot ), яке максимально швидко переведе центр початкової
множини X0 в центр цiльової множини XK , то XK \subset X(T2, v
\prime , u\prime ), але X(T2, v
\prime , u\prime ) \not = XK
(див. рис. 4).
Отже, не можна вибирати v(t) \equiv 1 для всiх t \geq 0. Тодi з (8), (9) маємо v\ast \equiv 30
37
, u\ast 1 \equiv 1,
u\ast 2 \equiv - 18
37
, T \ast \equiv 37
30
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
7
2
\biggr)
(див. рис. 5).
Зауваження 6. Якщо цiльова множина XK гомотетична початковiй множинi X0, тобто
XK = aX0 + b i сфери SK , S0 описанi навколо множин (або вписанi у множини) XK , X0
вiдповiдно, то вiдповiднi кулi BK i B0 гомотетичнi та BK = aB0 + b.
Зауваження 7. Якщо множини X0 \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) i Y0 \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn) такi, що X0 \subset Y0, то для
будь-яких допустимих керувань v(\cdot ) i u(\cdot ) багатозначнi розв’язки X(\cdot , v, u,X0) i X(\cdot , v, u, Y0)
системи (1) задовольняють умову X(t, v, u,X0) \subset X(t, v, u, Y0) для всiх t \geq 0 [19, 20].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1090 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ
2
1
00
1
0.5
1.5
t
2
1
2.5
3
x1
x2
2100
1
1.5
0.5
2
t1
2.5
x1
x2
Рис. 4. X(t, v\prime , u\prime ), t \in [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(5)]. Рис. 5. X(t, v\ast , u\ast ), t \in
\biggl[
0,
37
30
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
7
2
\biggr) \biggr]
.
З огляду на всi попереднi мiркування сформулюємо таку теорему.
Теорема 1. Якщо множини X0 i XK є гомотетичними з коефiцiєнтами a \geq 1 i b \in Rn,
то вiдповiдну задачу оптимального керування можна розв’язати, причому оптимальним часом
T \ast i оптимальними керуваннями v\ast , u\ast в класi сталих функцiй будуть
T \ast =
\left\{
bmax, a = 1,
\mathrm{l}\mathrm{n}(a), a > 1, a - 1 \geq bmax,
\mathrm{l}\mathrm{n}(a)bmax
a - 1
, a > 1, a - 1 < bmax,
v\ast =
\left\{
0, a = 1,
1, a > 1, a - 1 \geq bmax,
a - 1
bmax
, a > 1, a - 1 < bmax,
u\ast =
\left\{
bi
bmax
, a = 1,
bi
a - 1
, a > 1, a - 1 \geq bmax,
bi
bmax
, a > 1, a - 1 < bmax,
де bmax = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | bi| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЇ ШВИДКОДIЇ ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ КЕРОВАНОЇ БАГАТОЗНАЧНОЇ СИСТЕМИ 1091
20
0
1
0
2
3
0.5 t
4
5
x1
x2
Рис. 6. X(t, v\ast , u\ast ), t \in
\biggl[
0, 3 \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
5
2
\biggr) \biggr]
. Рис. 7. X(t, v\ast , u\ast ), t \in [0, \mathrm{l}\mathrm{n}(3)].
Проiлюструємо цю теорему на деяких прикладах.
Приклад 4. Нехай поведiнка системи описується рiвнянням (1), де X0 =
\bigl\{
(x1, x2)
T |
| x1| \leq 2, | x2 - 1| \leq 1\} , XK =
\bigl\{
(x1, x2)
T | | x1 - 1| \leq 5, | x2 + 2| \leq 2,5
\bigr\}
— прямокутники.
Описаними колами B0 i BK вiдповiдно будуть
B0 =
\bigl\{
(x1, x2)
T | x21 + (x2 - 1)2 \leq 5
\bigr\}
,
BK =
\bigl\{
(x1, x2)
T | (x1 - 1)2 + (x2 + 2)2 \leq 31,25
\bigr\}
.
Легко перевiрити, що множина XK гомотетична початковiй множинi X0, тобто XK =
= aX0 + b i a = 2, b = (1, - 4,5)T . Оскiльки a > 1 i a - 1 = 1, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | b1| , | b2| \} =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ | 1| , | - 4,5| \} = 4,5, то 1 = a - 1 < \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | b1| , | b2| \} = 4,5.
Тодi з теореми 1 маємо v\ast \equiv 1
3
, u\ast 1 \equiv
2
9
, u\ast 2 \equiv - 1, T \ast = 3 \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
5
2
\biggr)
(див. рис. 6).
Приклад 5. Нехай поведiнка системи описується рiвнянням (1), де X0 — рiвнобедрений
трикутник з вершинами у точках
\bigl(
0,
\surd
3
\bigr)
, ( - 1, 0), (1, 0), XK — рiвнобедрений трикутник з
вершинами у точках
\bigl(
1,5; 2 + 3
\surd
2
\bigr)
, ( - 1,5; - 1), (4,5; - 1).
Вiдповiдно, вписаними колами B0 i BK будуть
B0 =
\left\{ (x1, x2)
T
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x21 +
\Biggl(
x2 -
\surd
3
3
\Biggr) 2
\leq 1
3
\right\} ,
BK =
\Biggl\{
(x1, x2)
T
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( x1 - 3
2
\biggr) 2
+ (x2 - 2)2 \leq 3
\Biggr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1092 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ
Очевидно, що множина XK гомотетична початковiй множинi X0, тобто XK = aX0 + b i
a = 3, b =
\bigl(
1,5; 2 -
\surd
3
\bigr) T
. Оскiльки a > 1 i a - 1 = 2, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| b1| , | b2|
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| 1,5| ,
\bigm| \bigm| 2 - \surd
3
\bigm| \bigm| \bigr\} =
= 1,5, то 2 = a - 1 > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | b1| , | b2| \} = 1,5.
Тодi з теореми 1 маємо v\ast \equiv 1, u\ast 1 \equiv
3
4
, u\ast 2 \equiv
2 -
\surd
3
2
, T \ast = \mathrm{l}\mathrm{n}(3) (див. рис. 7).
Лiтература
1. F. S. de Blasi, F. Iervolino, Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso, Boll. Unione Mat. Ital.,
2, № 4-5, 491 – 501 (1969).
2. В. А. Плотников, А. В. Плотников, А. Н. Витюк, Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы, АстроПринт, Одесса (1999).
3. А. В. Плотников, Н. В. Скрипник, Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной правой
частью. Асимптотические методы, АстроПринт, Одесса (2009).
4. V. Lakshmikantham, T. Granna Bhaskar, J. Vasundhara Devi, Theory of set differential equations in metric spaces,
Cambridge Sci. Publ. (2006).
5. A. A. Martynyuk, Qualitative analysis of set-valued differential equations, Springer Nature Switzerland AG, Birk-
häuser, Cham (2019).
6. А. А. Толстоногов, Дифференциальные включения в банаховом пространстве, Наука, Новосибирск (1986).
7. Е. В. Очеретнюк, В. И. Слынько, Оценки площади решений псевдолинейных дифференциальных уравнений с
производной Хукухары в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(R2), Укр. мат. журн., 69, № 2, 189 – 214 (2017).
8. A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, An existence and uniqueness theorem to the Cauchy problem for generalised set
differential equations, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. A, Math. Anal., 20, № 4, 433 – 445 (2013).
9. А. В. Плотников, Н. В. Скрипник, Многозначные дифференциальные уравнения с обобщенной производной,
Укр. мат. журн., 65, № 10, 1350 – 1362 (2013).
10. Н. В. Скрипник, Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщен-
ной производной, Нелiнiйнi коливання, 20, № 3, 391 – 400 (2017).
11. A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, Averaging of a system of set-valued differential equations with the
Hukuhara derivative, J. Uncertain Systems, 13, № 1, 3 – 13 (2019).
12. А. В. Плотников, А. В. Тумбрукаки, Интегро-дифференциальные уравнения с многозначными траекториями,
Укр. мат. журн., 52, № 3, 359 – 367 (2000).
13. А. В. Плотников, А. В. Тумбрукаки, Интегро-дифференциальные включения с производной Хукухары, Нелiнiйнi
коливання, 8, № 1, 80 – 88 (2005).
14. Н. В. Скрипник, Усреднение многозначных интегральных уравнений, Нелiнiйнi коливання, 16, № 3, 408 – 415
(2013).
15. V. Babenko, Numerical methods for solution of Volterra and Fredholm integral equations for functions with values
in L-spaces, Appl. Math. and Comput., 291, 354 – 372 (2016).
16. V. Babenko, Calculus and nonlinear integral equations for functions with values in L-spaces, Anal. Math., 45, № 4,
727 – 755 (2019).
17. A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, I. V. Molchanyuk, Existence and uniqueness theorem for set-valued Volterra –
Hammerstein integral equations, Asian-Eur. J. Math., 11, № 3 (2018), 11 p.
18. A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Existence and uniqueness theorem for set integral equations, J. Adv. Res. Dyn. and
Control Syst., 5, № 2, 65 – 72 (2013).
19. Н. А. Перестюк, В. А. Плотников, А. М. Самойленко, Н. В. Скрипник, Импульсные дифференциальные
уравнения с многозначной и разрывной правой частью, Ин-т математики НАН Украины, Киев (2007).
20. N. A. Perestyuk, V. A. Plotnikov, A. M. Samoilenko, N. V. Skripnik, Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities, De Gruyter Stud. Math., 40, Walter De Gruyter GmbH& Co, Berlin;
Boston (2011).
21. Н. А. Перестюк, Н. В. Скрипник, Усреднение импульсных многозначных систем, Укр. мат. журн., 65, № 1,
126 – 142 (2013).
22. Н. В. Скрипник, Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары, Нелiнiйнi
коливання, 10, № 3, 416 – 432 (2007).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЇ ШВИДКОДIЇ ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ КЕРОВАНОЇ БАГАТОЗНАЧНОЇ СИСТЕМИ 1093
23. И. В. Атамась, В. И. Слынько, Устойчивость неподвижных точек одного класса квазилинейных каскадов в
пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}(Rn), Укр. мат. журн., 69, № 8, 1166 – 1179 (2017).
24. Т. А. Комлева, Л. И. Плотникова, А. В. Плотников, Одна многозначная дискретная система и ее свойства,
Укр. мат. журн., 70, № 11, 1519 – 1524 (2018).
25. T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, A. V. Plotnikov, Partial averaging of discrete-time set-valued systems, Stud. Univ.
Babeş-Bolyai Math., 63, № 4, 539 – 548 (2018).
26. Т. А. Комлева, А. В. Плотников, Дифференциальные включения с производной Хукухары, Нелiнiйнi коливання,
10, № 2, 229 – 246 (2007).
27. А. В. Плотников, Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары, Укр. мат. журн., 41, № 1,
121 – 125 (1989).
28. Н. В. Плотникова, Аппроксимация пучка решений линейных дифференциальных включений, Нелiнiйнi коливан-
ня, 9, № 3, 386 – 400 (2006).
29. Н. В. Скрипник, Периодические решения линейных дифференциальных включений с импульсами, Укр. мат.
журн., 60, № 9, 1287 – 1296 (2008).
30. V. Lakshmikantham, R. N. Mohapatra, Theory of fuzzy differential equations and inclusions, Taylor & Francis,
London (2003).
31. Н. А. Перестюк, Н. В. Скрипник, Усреднение нечетких систем, Укр. мат. журн., 70, № 3, 412 – 428 (2018).
32. Т. А. Комлева, А. В. Плотников, Н. В. Скрипник, Дифференциальные уравнения с многозначными решениями,
Укр. мат. журн., 60, № 10, 1326 – 1337 (2008).
33. А. В. Плотников, Т. А. Комлева, Усреднение нечетких дифференциальных уравнений на конечном промежутке,
Нелiнiйнi коливання, 14, № 4, 516 – 527 (2011).
34. A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, The full averaging of fuzzy integrodifferential equations, J. Adv. Res. Dyn. and
Control Syst., 4, № 1, 48 – 59 (2012).
35. A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, Averaging of the fuzzy differential equations, J. Uncertain Systems, 6, № 1, 30 – 37
(2012).
36. А. В. Арсирий, А. В. Плотников, Системы управления многозначными траекториями с многозначным кри-
терием качества, Укр. мат. журн., 61, № 8, 1142 – 1147 (2009).
37. Т. А. Комлева, И. В. Молчанюк, Н. В. Скрипник, А. В. Плотников, Одна линейная многозначная задача
управления, Дослiдження в математицi i механiцi, 24, № 2(34), 45 – 66 (2019).
38. Т. А. Комлева, Л. И. Плотникова, А. В. Плотников, Н. В. Скрипник, Усреднение нечетких управляемых систем,
Нелiнiйнi коливання, 14, № 3, 325 – 332 (2011).
39. А. В. Плотников, Управляемые квазидифференциальные уравнения и их некоторые свойства, Дифференц.
уравнения, 34, № 10, 1332 – 1336 (1998).
40. В. А. Плотников, О. Д. Кичмаренко, Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары, Нелiнiйнi
коливання, 9, № 3, 376 – 385 (2006).
41. Y. Feng, L. Hua, On the quasi-controllability of continuous-time dynamic fuzzy control systems, Chaos, Solitons,
Fractals, 30, № 1, 177 – 188 (2006).
42. R. Jafari, S. Razvarz, A. Gegov, W. Yu, Fuzzy control of uncertain nonlinear systems with numerical techniques: A
survey, Adv. Comput. Intell. Systems, UKCI 2019, 1043, Springer, Cham (2020), p. 3 – 14.
43. R. Jafari, W. Yu, Fuzzy control for uncertainty nonlinear systems with dual fuzzy equations, J. Intell. Fuzzy Syst., 29,
1229 – 1240 (2015).
44. S. Melliani, A. El Allaoui, L. S. Chadli, Controlled fuzzy evolution equations, Recent Adv. Intuition. Fuzzy Logic
Systems, 372, Springer, Cham (2019), p. 113 – 126.
45. M. Najariyan, M. H. Farahi, Optimal control of fuzzy controlled system with fuzzy initial conditions, Iran. J. Fuzzy
Syst., № 10, 21 – 35 (2013).
46. M. Najariyan, M. H. Farahi, M. Alavian, Optimal control of HIV infection by using fuzzy dynamical systems, J. Math.
and Comput. Sci., № 2, 639 – 649 (2011).
47. A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, The averaging of control linear fuzzy 2\pi -periodic differential equations, Dyn.
Contin. Discrete Impuls. Syst., Ser. B, Appl. Algorithms, 18, № 6, 833 – 847 (2011).
48. N. D. Phu, N. V. Hoa, H. Vu, On comparisons of set solutions for fuzzy control integro-differential systems, J. Adv.
Res. Appl. Math., 4, № 1, 84 – 101 (2012).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
1094 Т. О. КОМЛЄВА, А. В. ПЛОТНIКОВ
49. N. D. Phu, T. T. Tung, Some properties of sheaf solutions of sheaf set control problems, Nonlinear Anal., Hybrid
Syst., 67, 1309 – 1315 (2007).
50. N. D. Phu, T. T. Tung, Existence of solutions of set control differential equations, Science & Technology Development,
10, № 6, 5 – 14 (2007).
51. L. T. Quang, N. D. Phu, N. V. Hoa, H. Vu, On maximal and minimal solutions for set integro-differential equations
with feedback control, Nonlinear Stud., 20, № 1, 39 – 56 (2013).
52. W. Witayakiattilerd, Nonlinear fuzzy differential equation with time delay and optimal control problem, Abstr. and
Appl. Anal., 2015, Article ID 659072 (2015), 14 p.
53. W. Yu, R. Jafari, Modeling and control of uncertain nonlinear systems with fuzzy equations and Z -number, Wiley-
IEEE Press (2019).
54. M. Hukuhara, Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe, Funkcial. Ekvac.,
№ 10, 205 – 223 (1967).
Одержано 09.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2300 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:02Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a6/f6a624d8437cffff8d44183fec9d56a6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23002022-03-26T11:02:00Z A time-optimal control problem for a set-valued linear control system Одна задача оптимальної швидкодiї для лiнiйної керованої багатозначної системи Одна задача оптимальної швидкодiї для лiнiйної керованої багатозначної системи Komleva, T. O. Plotnikov, A. V. Комлева, Тетьяна Плотников, Андрей Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. багатозначна керована система похідна Хукухари задача швидкодії control set-valued system Hukuhara derivative time-optimal control problem UDC 517.9 We consider the time-optimal control problem for a set-valued linear control system in the case where a section of the solution of the system coincides with a target set.&nbsp;&nbsp;For this problem, we obtain the solvability conditions as well as the optimal time and optimal controls.&nbsp;&nbsp;The results are illustrated by model examples.&nbsp; УДК 517.9 В статье рассматривается задача оптимального быстродействия для линейной управляемой многозначной системы, когда сечение решения этой системы совпадает с целевым множеством. Получены условия разрешимости данной задачи, а так же оптимальное время и оптимальные управления. Результаты проиллюстрированы модельными примерами. &nbsp; УДК 517.9 Розглядається задача оптимальної швидкодії для лінійної керованої багатозначної системи у випадку, коли переріз розв'язку цієї системи збігається з цільовою множиною. Отримано умови розв'язності даної задачі, а також оптимальний час та оптимальні керування. Результати проілюстровано на модельних прикладах.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2300 10.37863/umzh.v72i7.2300 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 8 (2020); 1082-1094 Український математичний журнал; Том 72 № 8 (2020); 1082-1094 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2300/8748 Copyright (c) 2020 Тетяна Комлєва, Андрій Плотніков |
| spellingShingle | Komleva, T. O. Plotnikov, A. V. Комлева, Тетьяна Плотников, Андрей Комлєва, Т. О. Плотніков, А. В. A time-optimal control problem for a set-valued linear control system |
| title | A time-optimal control problem for a set-valued linear control system |
| title_alt | Одна задача оптимальної швидкодiї для лiнiйної керованої багатозначної системи Одна задача оптимальної швидкодiї для лiнiйної керованої багатозначної системи |
| title_full | A time-optimal control problem for a set-valued linear control system |
| title_fullStr | A time-optimal control problem for a set-valued linear control system |
| title_full_unstemmed | A time-optimal control problem for a set-valued linear control system |
| title_short | A time-optimal control problem for a set-valued linear control system |
| title_sort | time-optimal control problem for a set-valued linear control system |
| topic_facet | багатозначна керована система похідна Хукухари задача швидкодії control set-valued system Hukuhara derivative time-optimal control problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2300 |
| work_keys_str_mv | AT komlevato atimeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT plotnikovav atimeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT komlevatetʹâna atimeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT plotnikovandrej atimeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT komlêvato atimeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT plotníkovav atimeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT komlevato odnazadačaoptimalʹnoíšvidkodiídlâlinijnoíkerovanoíbagatoznačnoísistemi AT plotnikovav odnazadačaoptimalʹnoíšvidkodiídlâlinijnoíkerovanoíbagatoznačnoísistemi AT komlevatetʹâna odnazadačaoptimalʹnoíšvidkodiídlâlinijnoíkerovanoíbagatoznačnoísistemi AT plotnikovandrej odnazadačaoptimalʹnoíšvidkodiídlâlinijnoíkerovanoíbagatoznačnoísistemi AT komlêvato odnazadačaoptimalʹnoíšvidkodiídlâlinijnoíkerovanoíbagatoznačnoísistemi AT plotníkovav odnazadačaoptimalʹnoíšvidkodiídlâlinijnoíkerovanoíbagatoznačnoísistemi AT komlevato timeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT plotnikovav timeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT komlevatetʹâna timeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT plotnikovandrej timeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT komlêvato timeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem AT plotníkovav timeoptimalcontrolproblemforasetvaluedlinearcontrolsystem |