Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis
UDC 517.91 We consider the Stark operator $T=-\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+x+q\left(x\right)$ on the half-axis $0\le x<\infty $ with a Dirichlet boundary condition at zero. By using transformation operators, we study the direct and inverse spectral problems and obtain the main integral equation...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2302 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508236252184576 |
|---|---|
| author | Latifova, A. R. Khanmamedov, A. Kh. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. |
| author_facet | Latifova, A. R. Khanmamedov, A. Kh. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. |
| author_sort | Latifova, A. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:36Z |
| description | UDC 517.91
We consider the Stark operator $T=-\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+x+q\left(x\right)$ on the half-axis $0\le x<\infty $ with a Dirichlet boundary condition at zero. By using transformation operators, we study the direct and inverse spectral problems and obtain the main integral equation for the inverse problem. We prove that the main integral equation is uniquely solvable and suggest an effective algorithm of reconstruction for the perturbed potential. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i4.2302 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i4.2302
УДК 517.91
А. Р. Лятифова, А. Х. Ханмамедов (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку;
Бакин. гос. ун-т; Ун-т Азербайджан, Баку)
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШТАРКА НА ПОЛУОСИ
We consider the Stark operator T = - d2
dx2
+ x+ q (x) on the half-axis 0 \leq x < \infty with a Dirichlet boundary condition
at zero. By using transformation operators, we study the direct and inverse spectral problems and obtain the main integral
equation for the inverse problem. We prove that the main integral equation is uniquely solvable and suggest an effective
algorithm of reconstruction for the perturbed potential.
Розглянуто оператор Штарка T = - d2
dx2
+ x + q(x) на пiвосi 0 \leq x < \infty з граничною умовою Дiрiхле в нулi.
Методом оператора перетворення вивчено пряму й обернену спектральнi задачi. Отримано основне iнтегральне
рiвняння оберненої задачi i доведено однозначну розв’язнiсть цього рiвняння. Наведено ефективний алгоритм
вiдновлення потенцiалу збурення.
1. Введение. В спектральной теории наблюдается повышенный интерес к изучению оператора
Штарка. Прямые и обратные спектральные задачи для этого оператора в различных контекстах
изучались в работах многих авторов (см. [1 – 12] и приведенную в них библиографию). Насто-
ящая работа продолжает работу [13], в которой исследована асимптотика спектра одномерного
оператора Штарка на полуоси [0,\infty ) с краевым условием Дирихле в нуле.
Рассмотрим граничную задачу, порождаемую на полуоси 0 \leq x < \infty дифференциальным
уравнением
- y\prime \prime + xy + q(x)y = \lambda y, \lambda \in C, (1.1)
и краевым условием
y (0) = 0, (1.2)
в случае, когда функция q(x) вещественна и удовлетворяет условиям
q(x) \in C(1) [0,\infty ) , q(x) = o(x), x\rightarrow \infty ,
\infty \int
0
\bigm| \bigm| x4q(x)\bigm| \bigm| dx <\infty . (1.3)
В работе [13] доказано, что при условиях (1.3) задача (1.1), (1.2) имеет чисто дискрет-
ный спектр, состоящий из растущих простых собственных значений \lambda n, n = 1, 2, . . . , где
\lambda n \rightarrow +\infty при n \rightarrow \infty . При этом собственные значения \lambda n, n = 1, 2, . . . , являются кор-
нями функции f (0, \lambda ) , где f (x, \lambda ) — решение уравнения (1.1) с асимптотикой f (x, \lambda ) =
Ai (x - \lambda ) (1 + o (1)) , x\rightarrow \infty , Ai (z) — функция Эйри первого рода.
Совокупность величин \{ \lambda n, \alpha n > 0\} \infty n=1 , где \alpha n =
\sqrt{} \int \infty
0
| f (x, \lambda n)| 2 dx, назовем спек-
тральными данными задачи (1.1), (1.2). В настоящей работе изучается обратная спектральная
c\bigcirc А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ, 2020
494 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА . . . 495
задача для граничной задачи (1.1), (1.2), т. е. задача восстановления потенциала q(x) из класса
(1.3) по спектральным данным.
Отметим, что в работах [4, 5] методом оператора преобразования изучалась обратная за-
дача рассеяния для уравнения (1.1), заданного на всей оси. Эта задача методом задачи Рима-
на исследовалась в работе [9]. Много важных результатов о резонансах одномерных возму-
щенных операторов Штарка получены в работах [11, 12]. Обратные задачи для одномерного
уравнения Шредингера с растущим потенциалом в различных постановках исследовались в
работах [14 – 19].
В настоящей работе методом операторов преобразования изучена обратная спектральная
задача для задачи (1.1), (1.2) в классе потенциалов (1.3). Получено интегральное уравнение ти-
па Марченко и доказана его однозначная разрешимость. Приведен эффективный алгоритм для
восстановления потенциала q(x). Отметим, что отсутствие аддитивных свойств ядра интеграль-
ного уравнения типа Марченко существенно затрудняет применение традиционных подходов
к решению обратной задачи.
2. Прямая спектральная задача. Рассмотрим невозмущенное уравнение
- y\prime \prime + xy = \lambda y, 0 \leq x <\infty , \lambda \in C. (2.1)
Известно, что уравнение (2.1) имеет [20] решение f0 (x, \lambda ) в виде
f0 (x, \lambda ) = Ai (x - \lambda ) , (2.2)
где Ai (z) — функция Эйри первого рода. Функция Ai (z) является (см. [9, 20]) целой функцией
порядка 3/2 и типа 2/3. Имеют место [20] следующие асимптотические равенства при | z| \rightarrow \infty :
\mathrm{A}i (z) \sim \pi -
1
2 z -
1
4 e - \zeta
\bigl[
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr]
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < \pi ,
Ai\prime (z) \sim - \pi -
1
2 z
1
4 e - \zeta
\bigl[
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr]
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < \pi ,
(2.3)
\mathrm{A}i ( - z) \sim \pi -
1
2 z -
1
4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
\zeta +
\pi
4
\Bigr) \bigl[
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr]
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < 2\pi
3
, (2.4)
Ai\prime ( - z) \sim - \pi -
1
2 z
1
4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
\zeta +
\pi
4
\Bigr) \bigl[
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr]
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < 2\pi
3
, (2.5)
где \zeta =
2
3
z
3
2 . Очевидно, что спектр задачи (2.1), (1.2) дискретен и состоит из корней функции
f0 (0, \lambda ) = Ai ( - \lambda ) . Функция Ai ( - \lambda ) имеет [20] корни \^\lambda n, n = 1, 2, . . . , только на положи-
тельной полуоси, и справедливо асимптотическое равенство
\^\lambda n = g
\biggl(
3\pi (4n - 1)
8
\biggr)
, (2.6)
где
g (z) \sim z
2
3
\biggl(
1 +
5
48
z - 2 - 5
36
z - 4 +
77125
82944
z - 6 - 108056875
6967296
z - 8 + . . .
\biggr)
, z \rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
496 А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ
Более того, система функций
\left\{ f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
\right\}
\infty
n=1
служит ортонормированным базисом в про-
странстве L2 (0,\infty ) , т. е. имеет место равенство
\infty \sum
n=1
f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
= \delta (x - y) , (2.7)
где \delta — дельта-функция Дирака, а нормировочные числа \^\alpha n, n = 1, 2, . . . , определяются
формулами
\^\alpha n =
\sqrt{} \infty \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| f0 \Bigl( x, \^\lambda n\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx. (2.8)
Исследуем асимптотику нормировочных чисел \^\alpha n при n\rightarrow \infty . Условимся точками обозна-
чать дифференцирование по \lambda , а штрихами — по x : u\prime =
\partial
\partial x
u, \.u =
\partial
\partial \lambda
u. Поскольку f0 (x, \lambda )
экспоненциально убывает при x \rightarrow \infty , то из стандартного (см., например, [16, 21]) тождества
f2 =
\Bigl\{
\.f, f
\Bigr\} \prime
, где \{ u, v\} = uv\prime - u\prime v, следует, что
\^\alpha 2
n =
\infty \int
0
f20
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
dx =
\Bigl\{
\.f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
, f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr) \Bigr\} \bigm| \bigm| \bigm| \infty
0
=
= - \.f0
\Bigl(
0, \^\lambda n
\Bigr)
f \prime 0
\Bigl(
0, \^\lambda n
\Bigr)
=
\Bigl[
Ai\prime
\Bigl(
- \^\lambda n
\Bigr) \Bigr] 2
. (2.9)
Используя теперь (2.6) – (2.8), а также известное [20] соотношение
Ai\prime
\Bigl(
- \^\lambda n
\Bigr)
= ( - 1)n - 1 g1
\biggl(
3\pi (4n - 1)
8
\biggr)
, (2.10)
где
g1 (z) \sim \pi -
1
2 z
1
6
\biggl(
1 +
5
48
z - 2 - 1525
4608
z - 4 +
2397875
663552
z - 6 . . .
\biggr)
, z \rightarrow \infty ,
из (2.9), (2.10) выводим
(\^\alpha n)
2 =
\biggl[
g1
\biggl(
3\pi (4n - 1)
8
\biggr) \biggr] 2
. (2.11)
Рассмотрим теперь возмущенное уравнение (1.1). Известно [4, 5], что уравнение (1.1) при
условии (1.3) имеет решение f (x, \lambda ) , представимое в виде
f (x, \lambda ) = f0 (x, \lambda ) +
\infty \int
x
K (x, t) f0 (t, \lambda ) dt, (2.12)
причем ядро K (x, t) является непрерывно дифференцируемой функцией и удовлетворяет со-
отношениям
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА . . . 497
| K (x, t)| \leq C\sigma 0
\biggl(
x+ t
2
\biggr)
, (2.13)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial K (x1, x2)
\partial xj
+
1
2
q
\biggl(
x1 + x2
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C
\Bigl[
1 + (x2 - x1)
2
\Bigr]
\sigma 0
\biggl(
x1 + x2
2
\biggr)
, (2.14)
K (x, x) =
1
2
\infty \int
x
q (t) dt, (2.15)
где \sigma 0(x) =
\int \infty
x
| q(t)| dt, а через C здесь и далее обозначаются, вообще говоря, различные
постоянные. Из (2.12), (2.13) следует, что функция f (x, \lambda ) при каждом \lambda принадлежит про-
странству L2 (0,\infty ) . Следовательно, спектр задачи (1.1), (1.2) совпадает с множеством корней
функцииf (0, \lambda ) , т. е. справедливы равенства f (0, \lambda n) = 0, n = 1, 2, . . . . Как показано в [13],
при выполнении условий (1.3) для собственных значений \lambda n справедлива асимптотическая
формула
\lambda n =
\biggl(
3\pi (4n - 1)
8
\biggr) 2
3
+O
\Bigl(
n -
2
3
\Bigr)
, n\rightarrow \infty . (2.16)
Полагая
\alpha n =
\sqrt{} \infty \int
0
| f (x, \lambda n)| 2 dx, (2.17)
вводим нормировочные числа \alpha n. Тогда собственные функции
\biggl\{
f (x, \lambda n)
\alpha n
\biggr\} \infty
n=1
задачи (1.1),
(1.2) образуют в пространстве L2 (0,\infty ) ортонормированный базис, т. е. имеет место формула
\infty \sum
n=1
f (x, \lambda n)
\alpha n
f (y, \lambda n)
\alpha n
= \delta (x - y) . (2.18)
Нам понадобится асимптотика нормировочных чисел \alpha n при n\rightarrow \infty .
Лемма 2.1. Имеет место соотношение
\alpha - 2
n = \^\alpha - 2
n
\Bigl[
1 +O
\Bigl(
n -
2
3
\Bigr) \Bigr]
, n\rightarrow \infty . (2.19)
Доказательство. Аналогично (2.9) имеем
\alpha 2
n =
\infty \int
0
f2 (x, \lambda n) dx =
\Bigl\{
\.f (x, \lambda n) , f (x, \lambda n)
\Bigr\} \bigm| \bigm| \bigm| \infty
0
= - \.f (0, \lambda n) f
\prime (0, \lambda n) . (2.20)
Следовательно, собственные значения граничной задачи (1.1), (1.2) простые. Далее, из (2.3) –
(2.5), (2.12) – (2.14), (2.16) получаем
f \prime (0, \lambda n) = f \prime 0
\Bigl(
0, \^\lambda n
\Bigr) \Bigl[
1 +O
\Bigl(
n -
2
3
\Bigr) \Bigr]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
498 А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ
\.f (0, \lambda n) = \.f0
\Bigl(
0, \^\lambda n
\Bigr) \Bigl[
1 +O
\Bigl(
n -
2
3
\Bigr) \Bigr]
.
Тогда из (2.20) следует (2.19).
Лемма доказана.
Запишем установленные выше свойства в виде условия, которое понадобится при решении
обратной задачи рассеяния.
1. Спектральные данные \{ \lambda n, \alpha n > 0\} \infty n=1 задачи (1.1), (1.2) удовлетворяют соотношениям
(2.16), (2.19).
Рассмотрим последовательность функций
\Phi N (x, y) =
N\sum
n=1
f (x, \lambda n) f (y, \lambda n)
\alpha 2
n
-
N\sum
n=1
f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha 2
n
. (2.21)
Из результатов работы [22] (см. формулу (5.2)), следует, что последовательность \Phi N (x, y)
сходится равномерно в каждой конечной области изменения переменных x и y.
Лемма 2.2. Последовательность функций
FN (x, y) =
N\sum
n=1
f0 (x, \lambda n) f0 (y, \lambda n)
\alpha 2
n
-
N\sum
n=1
f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha 2
n
(2.22)
сходится равномерно в каждой конечной области изменения переменных x и y.
Доказательство. Из известных свойств операторов преобразования (см., например, [21])
и из (2.12), (2.13) следует, что
f0(x, \lambda ) = f(x, \lambda ) +
\infty \int
x
\^K(x, t)f(t, \lambda )dt, (2.23)
где ядро \^K(x, y) удовлетворяет уравнению
\^K(x, y) +K(x, y) +
y\int
x
\^K (x, t)K (t, y) dt = 0. (2.24)
Из последнего уравнения и (2.13), (2.14) следует, что\bigm| \bigm| \bigm| \^K(x, y)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C\sigma 0
\biggl(
x+ y
2
\biggr)
, (2.25)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \^K (x1, x2)
\partial xj
+
1
2
q
\biggl(
x1 + x2
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C
\Bigl[
1 + (x2 - x1)
2
\Bigr]
\sigma 0
\biggl(
x1 + x2
2
\biggr)
.
Отсюда и из (1.3) находим, что ядро \^K(x, y) удовлетворяет оценке
\infty \int
x
\biggl[ \bigm| \bigm| \bigm| \^K \prime
y(x, y)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 + y2
\bigm| \bigm| \bigm| \^K(x, y)
\bigm| \bigm| \bigm| 2\biggr] dy <\infty . (2.26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА . . . 499
Далее, обозначим через \mu k, k = 1, 2, . . . , перенумерованный в порядке возрастания спектр
задачи
- y\prime \prime + | x| y = \lambda y, - \infty < x <\infty .
В силу четности функции | x| собственные значения \mu k, k = 1, 2, . . . , последней задачи совпа-
дают (см. также [23]) с корнями функции \Delta (\lambda ) = Ai ( - \lambda )Ai\prime ( - \lambda ) . Поскольку корни функ-
ций Ai ( - \lambda ) и Ai\prime ( - \lambda ) чередуются (см. [20]), то справедливы равенства Ai ( - \mu 2n) = 0 и
Ai\prime ( - \mu 2n - 1) = 0. Более того, собственная функция, соответствующая собственному значению
\mu k, имеет вид
\psi (x, \mu k) =
\Biggl\{
Ai (x - \mu k) , x \geq 0,
( - 1)k - 1Ai ( - x - \mu k) , x < 0.
Тогда в силу (2.26) при каждом x \geq 0 коэффициент ck =
\int \infty
x
\^K (x, t)
\psi (t, \mu k)
\beta k
dt, где
\beta 2k =
\int \infty
- \infty
| \psi (t, \mu k)| 2 dt, удовлетворяет (см. [24], глава II, формула (3.20)) неравенству
\infty \sum
k=1
\mu k | ck| 2 <\infty .
Очевидно, что \mu 2n = \^\lambda n, \beta
2
2n = 2\^\alpha 2
n. Поэтому при каждом x \geq 0 коэффициент
\^cn =
\infty \int
x
\^K (x, t)
f0
\Bigl(
t, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
dt (2.27)
удовлетворяет оценке
\infty \sum
n=1
\^\lambda n | \^cn| 2 <\infty . (2.28)
Далее, воспользовавшись формулами (2.4), (2.6), (2.11), убедимся, что при больших значениях
n равномерно относительно x, взятых из каждого конечного отрезка [0, b] , имеет место оценка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C
n
1
3
, (2.29)
где C = C (b) .
Запишем теперь формулу (2.23) в виде f0 (y, \lambda ) =
\Bigl(
Iy + \^Ky
\Bigr)
f (y, \lambda ) . Применяя к равенству
(2.21) оператор
\Bigl(
Ix + \^Kx
\Bigr) \Bigl(
Iy + \^Ky
\Bigr)
и используя теорему о равномерной сходимости (см. [25],
глава VII), получаем\Bigl(
Ix + \^Kx
\Bigr) \Bigl(
Iy + \^Ky
\Bigr)
\Phi N (x, y) =
N\sum
n=1
f0 (x, \lambda n) f0 (y, \lambda n)
\alpha 2
n
-
-
N\sum
n=1
\Bigl(
Ix + \^Kx
\Bigr) \Bigl(
Iy + \^Ky
\Bigr) f0 \Bigl( x, \^\lambda n\Bigr) f0 \Bigl( y, \^\lambda n\Bigr)
\^\alpha 2
n
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
500 А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ
= FN (x, y) -
N\sum
n=1
\left( \infty \int
x
\^K (x, t)
f0
\Bigl(
t, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
dt
\right) f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
-
-
N\sum
n=1
\left( \infty \int
y
\^K (y, t)
f0
\Bigl(
t, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
dt
\right) f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
-
-
N\sum
n=1
\left( \infty \int
x
\^K (x, t)
f0
\Bigl(
t, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
dt
\right) \left( \infty \int
y
\^K (y, t)
f0
\Bigl(
t, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
dt
\right) . (2.30)
Левая часть тождества (2.30) сходится равномерно в каждой конечной области изменения пе-
ременных x и y. Поэтому это справедливо и для правой части. Но в силу (2.27) – (2.29) второе,
третье и четвертое слагаемые сходятся равномерно в каждой конечной области изменения пе-
ременных x и y. Поэтому первое слагаемое справа в (2.30), т. е. последовательность функций
FN (x, y), равномерно сходится, что и требовалось доказать.
Рассмотрим функцию
F (x, y) =
\infty \sum
n=1
\left\{ f0 (x, \lambda n) f0 (y, \lambda n)\alpha 2
n
-
f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha 2
n
\right\} . (2.31)
В силу леммы 2.2 ряд (2.31) в каждой конечной области изменения переменных x и y рав-
номерно сходится к пределу F (x, y). При решении обратной задачи, а также при установ-
лении основных свойств функции F (x, y) важную роль играет интегральное уравнение типа
Марченко.
Теорема 2.1. При каждом фиксированном x функция K(x, y), входящая в представление
(2.12), удовлетворяет интегральному уравнению
F (x, y) +K(x, y) +
\infty \int
x
K (x, t)F (t, y) dt = 0, y > x. (2.32)
Доказательство. Рассмотрим представление (2.23). Тогда при y > x из (2.18) следует, что
\infty \sum
n=1
f (x, \lambda n)
\alpha n
f0 (y, \lambda n)
\alpha n
=
\infty \sum
n=1
f (x, \lambda n)
\alpha n
f (y, \lambda n)
\alpha n
+
\infty \int
y
\^K (y, t)
\Biggl\{ \infty \sum
n=1
f (x, \lambda n)
\alpha n
f (t, \lambda n)
\alpha n
\Biggr\}
dt =
= \delta (x - y) +
\infty \int
y
\^K (y, t) \delta (x - t) dt = \delta (x - y) + \^K (y, x) = \delta (x - y) .
Используя (2.7), (2.12) и последнее равенство, получаем
\infty \sum
n=1
f (x, \lambda n)
\alpha n
f0 (y, \lambda n)
\alpha n
=
\infty \sum
n=1
f0 (x, \lambda n)
\alpha n
f0 (y, \lambda n)
\alpha n
+
\infty \int
x
K (x, t)
\Biggl\{ \infty \sum
n=1
f0 (t, \lambda n)
\alpha n
f0 (y, \lambda n)
\alpha n
\Biggr\}
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА . . . 501
=
\infty \sum
n=1
f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
+
\infty \sum
n=1
\left\{ f0 (x, \lambda n)\alpha n
f0 (y, \lambda n)
\alpha n
-
f0
\Bigl(
x, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
\right\} +
+
\infty \int
x
K (x, t)
\left\{
\infty \sum
n=1
f0
\Bigl(
t, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
\right\} dt+
+
\infty \int
x
K (x, t)
\left\{
\infty \sum
n=1
\left\{ f0 (t, \lambda n)\alpha n
f0 (y, \lambda n)
\alpha n
-
f0
\Bigl(
t, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
\^\alpha n
\right\}
\right\} dt =
= \delta (x - y) + F (x, y) +K(x, y) +
\infty \int
x
K (x, t)F (t, y) dt.
Сравнивая два последних равенства, получаем основное интегральное уравнение (2.32).
Теорема доказана.
Используем уравнение Марченко для уточнения свойств функции F (x, y). Учитывая сим-
метричность F (x, y), интегральное уравнение (2.32) можно записать в виде
F (x, y) +
y\int
x
K (x, z)F (z, y) dz = - K(x, y) -
\infty \int
y
K (x, z)F (y, z) dz. (2.33)
При фиксированном y рассмотрим оператор I + K, определяемый левой частью уравнения
(2.33). Поскольку K является вольтерровским интегральным оператором, то оператор I + K
имеет обратный того же вида. Пусть
(I +K) - 1 h(x, y) = h(x, y) +
y\int
x
L (x, z)h (z, y) dz.
Легко проверить, что L (x, z) удовлетворяет уравнению
L (x, z) +K (x, z) +
z\int
x
K (x, t)L (t, z) dt = 0.
Из последнего уравнения и неравенства (2.13) следует, что L (x, z) допускает оценку
| L (x, z)| \leq C\sigma 0
\biggl(
x+ z
2
\biggr)
.
Обращая оператор в левой части (2.33), получаем
F (x, y) = \~K(x, y) +
\infty \int
y
\~L (x, z, y)F (y, z) dz, (2.34)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
502 А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ
\~K(x, y) = - K(x, y) -
y\int
x
L (x, z)K (z, y) dz,
\~L (x, z, y) = - K (x, z) -
y\int
x
L (x, t)K (t, z) dt.
Из последних соотношений и оценок K(x, y), L (x, z) находим\bigm| \bigm| \bigm| \~K(x, y)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C\sigma 0
\biggl(
x+ y
2
\biggr)
, (2.35)
\bigm| \bigm| \bigm| \~L (x, z, y)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C\sigma 0
\biggl(
x+ z
2
\biggr)
, (2.36)
причем последняя оценка выполняется равномерно относительно y. Применяя метод после-
довательных приближений к уравнению (2.34), можно получить, что n-й член Fn(x, y) ряда
последовательных приближений для F (x, y) удовлетворяет оценке
| Fn(x, y)| \leq C\sigma 0
\biggl(
x+ y
2
\biggr)
(C\sigma (y))n
n!
, (2.37)
где \sigma (y) =
\int \infty
y
\sigma 0
\Bigl( z
2
\Bigr)
dz. Из этой оценки следует, что ряд последовательных приближений
для F (x, y) сходится и справедлива оценка
| F (x, y)| \leq C\sigma 0
\biggl(
x+ y
2
\biggr)
. (2.38)
Кроме того, из непрерывности функций \~K(x, y), \~L (x, z, y) и соотношений (2.34) – (2.37) сле-
дует, что функция F (x, y) непрерывна по своим переменным.
Установим непрерывную дифференцируемость функции F (x, y). Дифференцируя уравне-
ние (2.32) по x, находим
\partial F (x, y)
\partial x
= - \partial K(x, y)
\partial x
+K (x, x)F (x, y) -
\infty \int
x
\partial K (x, t)
\partial x
F (t, y) dt.
Отсюда и из (2.14), (2.38) следуют непрерывная дифференцируемость функции F (x, y) по x и
оценка \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (x, y)\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\biggl( x+ y
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + C
\Bigl[
1 + (y - x)2
\Bigr]
\sigma 0
\biggl(
x+ y
2
\biggr)
. (2.39)
Дифференцируя уравнение (2.32) по y, получаем
\partial F (x, y)
\partial y
= - \partial K(x, y)
\partial y
-
\infty \int
x
K (x, t)
\partial F (y, t)
\partial y
dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА . . . 503
Из (2.38), (2.39) следует, что\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (x, y)\partial y
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\biggl( x+ y
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + C
\Bigl[
1 + (y - x)2
\Bigr]
\sigma 0
\biggl(
x+ y
2
\biggr)
. (2.40)
Далее, функция
\biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial y
\biggr)
F (x, y) является решением уравнения
\biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial y
\biggr)
F (x, y) +
\infty \int
x
K (x, t)
\biggl[ \biggl(
\partial
\partial y
+
\partial
\partial t
\biggr)
F (t, y)
\biggr]
dt = -
=
\biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial y
\biggr)
K(x, y) -
\infty \int
x
\biggl[ \biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial t
\biggr)
K (x, t)
\biggr]
F (t, y) dt. (2.41)
Полагая в уравнении (2.41) y = x, находим
d
dx
F (x, x) = - d
dx
K (x, x) -
\infty \int
x
K (x, t)
\biggl[ \biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial t
\biggr)
F (t, x)
\biggr]
dt -
-
\infty \int
x
\biggl[ \biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial t
\biggr)
K (x, t)
\biggr]
F (t, x) dt.
Используя соотношения (1.3), (2.13), (2.14), (2.38) – (2.40) и последнее представление, убеж-
даемся, что кроме условия I спектральные данные удовлетворяют также следующему условию:
II. Ряд (2.31) ограниченно сходится, причем его сумма F (x, y) является непрерывно диф-
ференцируемой функцией в области x > 0, y > 0 и имеют место соотношения
| F (x, y)| \leq C,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
y3 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| F (x, y)| dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| <\infty , (2.42)
\infty \int
0
y
\biggl[
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (x, y)\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (x, y)\partial y
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr] dy <\infty , (2.43)
\infty \int
0
x4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ddxF (x, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dx <\infty ,
d
dx
F (x, x) = o(x), x\rightarrow \infty . (2.44)
3. Обратная спектральная задача. Как отмечалось выше, система функций
\bigl\{
f0(x,\^\lambda n)
\bigr\} \infty
n=1
служит ортогональным базисом в пространстве L2 (0,\infty ) . Оказывается, что для любых чисел
\lambda n вида (2.16) система \{ f0 (x, \lambda n)\} \infty n=1 сохраняет свойство полноты1.
Лемма 3.1. Пусть даны числа \lambda n, n = 1, 2, . . . , \lambda n \not = \lambda k, n \not = k, вида (2.16). Тогда после-
довательность \{ f0 (x, \lambda n)\} \infty n=1 полна в L2 (0,\infty ) .
1Доказательство полноты системы функций \{ f0 (x, \lambda n)\} \infty n=1 сообщено Х. Э. Аббасовой, которой авторы
искренне благодарны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
504 А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ
Доказательство. Пусть h(x) \in L2 (0,\infty ) такова, что
\infty \int
0
h(x)Ai (x - \lambda n) dx = 0, n \geq 0.
Рассмотрим факторизацию Адамара функции Ai ( - \lambda ):
Ai ( - \lambda ) = C0e
p\lambda
\infty \prod
n=1
\biggl(
1 - \lambda
\^\lambda n
\biggr)
e
\lambda
\^\lambda n ,
где C0 = Ai (0) =
3 -
2
3
\Gamma
\biggl(
2
3
\biggr) , p = - Ai
\prime (0)
Ai (0)
=
3
1
3\Gamma
\biggl(
2
3
\biggr)
\Gamma
\biggl(
1
3
\biggr) . Введем также функцию
A (\lambda ) = C1e
p\lambda
\infty \prod
n=1
\biggl(
1 - \lambda
\lambda n
\biggr)
e
\lambda
\^\lambda n ,
множество корней которой совпадает с последовательностью \lambda n. Здесь C1 = C0
\prod \infty
n=1
\lambda n
\^\lambda n
. Из
(2.6), (2.16) следует, что A (\lambda ) является целой функцией порядка
3
2
. При h(x) \in L2 (0,\infty ) ,
как показано в [10] ,
\int \infty
0
h(x)Ai (x - \lambda ) dx — целая функция порядка \rho \leq 3
2
. Отсюда следует,
что A - 1 (\lambda )
\int \infty
0
h(x)Ai (x - \lambda ) dx является целой функцией порядка \rho \leq 3
2
. Далее, при 0 \leq
\leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda \leq 2\pi функция Ai - 1 ( - \lambda )
\int \infty
0
h(x)Ai (x - \lambda ) dx допускает (см. [10]) оценку
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Ai - 1 ( - \lambda )
\infty \int
0
h(x)Ai (x - \lambda ) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M \| h\| R
1
2 , R = | \lambda | > R0.
С другой стороны, внутри угла \delta \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda \leq 2\pi - \delta , \delta > 0 выполняется соотношение\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda n - \^\lambda n
\lambda - \lambda n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq Cn -
2
3
| \lambda n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \delta |
\leq C1
n
4
3
.
Тогда из формулы
Ai ( - \lambda )
A (\lambda )
=
\infty \prod
n=1
\Biggl(
1 +
\lambda n - \^\lambda n
\lambda - \lambda n
\Biggr)
следует, что \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Ai ( - \lambda )A (\lambda )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C2.
С помощью последних соотношений получаем, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА . . . 505\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A - 1 (\lambda )
\infty \int
0
h(x)Ai (x - \lambda ) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M1 \| h\| R
1
2 , (3.1)
где R = | \lambda | > R0, \delta \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda \leq 2\pi - \delta . Пусть теперь \delta > 0 таково, что раствор секто-
ра - \delta \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda \leq \delta меньше
2\pi
3
. Применив теорему Фрагмена – Линделефа [26] к функции
(1 + \lambda ) -
1
2 A - 1 (\lambda )
\int \infty
0
h(x)Ai (x - \lambda ) dx, получим, что оценка (3.1) выполняется и в секторе
- \delta \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda \leq \delta . Используя тогда теорему Лиувилля [26], заключаем, что
A - 1 (\lambda )
\int \infty
0
h(x)Ai (x - \lambda ) dx \equiv 0 и, следовательно, h(x) = 0.
Лемма доказана.
Перейдем теперь к изучению разрешимости основного интегрального уравнения (2.32).
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия I, II. Тогда при каждом фиксированном x \geq 0
уравнение (2.32) имеет единственное решение K(x, y) в пространстве Lp (x,\infty ) , p = 1, 2.
Доказательство. Из оценок (2.42), (2.43) следует, что уравнение (2.32) порождается вполне
непрерывным оператором в Lp (x,\infty ) , p = 1, 2. В силу альтернативы Фредгольма достаточно
доказать, что однородное уравнение
h(y) +
\infty \int
x
F (t, y)h(t)dt = 0 (3.2)
имеет только тривиальное решение в Lp (x,\infty ) , p = 1, 2. С другой стороны, если h(y) \in
\in L1 (0,\infty ) — решение уравнения (3.2), то из условия II следует, что функция h(y) ограничена
в интервале (x,\infty ) . Поэтому будем считать, что h(y) принадлежит L2 (x,\infty ) . Тогда
\infty \int
x
h2(y)dy +
\infty \int
x
\infty \int
x
F (t, y)h(t)h(y)dtdy = 0. (3.3)
Запишем последнее равенство в виде
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow \infty
\left[ b\int
x
h2(y)dy +
b\int
x
b\int
x
F (t, y)h(t)h(y)dtdy
\right] = 0.
Согласно условию II функция FN (x, y), определенная формулой (2.22), ограниченно сходится
к функции F (x, y). Подставляя тогда вместо F (x, y) соответствующий предел и меняя местами
интегралы и предел, получаем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow \infty
\left[ b\int
x
h2(y)dy +
\infty \sum
n=1
1
(\alpha n)
2
\left( b\int
x
h(y)f0 (y, \lambda n) dy
\right) 2
-
-
\infty \sum
n=1
1
(\^\alpha n)
2
\left( b\int
x
h(y)f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
dy
\right) 2
\right] = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
506 А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ
Отметим, что в силу (2.7) ряд
\sum \infty
n=1
1
(\^\alpha n)
2
\biggl( \int b
x
h(y)f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
dy
\biggr) 2
при каждом b сходится,
причем справедливо равенство Парсеваля
b\int
x
h2(y)dy =
\infty \sum
n=1
1
(\^\alpha n)
2
\left( b\int
x
h(y)f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
dy
\right) 2
.
Кроме того, из (2.2), (2.4), (2.6), (2.16), (2.19) следует, что
1
(\alpha n)
2
\left( b\int
x
h(y)f0 (y, \lambda n) dy
\right) 2
\sim 1
(\^\alpha n)
2
\left( b\int
x
h(y)f0
\Bigl(
y, \^\lambda n
\Bigr)
dy
\right) 2
, n\rightarrow \infty .
Поэтому при каждом b ряд
\sum \infty
n=1
1
(\alpha n)
2
\biggl( \int b
x
h(y)f0 (y, \lambda n) dy
\biggr) 2
также сходится. Тогда из
последних двух равенств находим
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow \infty
\infty \sum
n=1
1
(\alpha n)
2
\left( b\int
x
h(y)f0 (y, \lambda n) dy
\right) 2
= 0.
Отсюда следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
b\rightarrow \infty
1
(\alpha n)
2
\left( b\int
x
h(y)f0 (y, \lambda n) dy
\right) 2
= 0.
Поэтому имеет место равенство
\infty \int
x
h(y)f0 (y, \lambda n) dy = 0, n \geq 1.
Поскольку в силу леммы 2.1 система функций \{ f0 (y, \lambda n)\} \infty 0 полна в L2 (x,\infty ) , то h(y) = 0,
что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
После некоторой переформулировки необходимые условия I и II становятся и достаточными
для того, чтобы удовлетворяющий им набор величин \{ \lambda n, \alpha n > 0\} \infty n=1 был спектральными
данными граничной задачи вида (1.1), (1.2) с потенциалом q(x), удовлетворяющим требованиям
(1.3). Действительно, из теоремы 2.1 следует, что оператор I+K(x), порожденный левой частью
уравнения (2.32), имеет при каждом x \geq 0 ограниченный обратный в пространстве L1 (x,\infty ) .
Кроме того, вследствие (2.42) при x \rightarrow \infty имеем
\bigm\| \bigm\| K(x)
\bigm\| \bigm\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\geq x
\int \infty
x
| F (y, z)| dy \rightarrow 0, x \rightarrow
\rightarrow \infty , откуда следует, что обратный оператор
\bigl(
I +K(x)
\bigr) - 1
ограничен в L1 (x,\infty ) по норме
равномерно относительно x (x \geq 0). Отсюда и из (2.32) получaeм
| K(x, y)| \leq | F (x, y)| + C \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq x
| F (t, y)| . (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА . . . 507
Аналогично доказывается, что оператор
\bigl(
I +K(x)
\bigr) - 1
ограничен в L\infty (x,\infty ) по норме
равномерно относительно x (x \geq 0). Далее с помощью (2.42), (2.43) устанавливается, что
решение K(x, y)уравнения (2.32) абсолютно непрерывно в области y \geq x \geq 0 по каждому
аргументу, а функция K (x, x) абсолютно непрерывна в области x \geq 0.
Дифференцируя тогда (2.32) по y, x, получаем
\infty \int
x
y
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial K(x, y)
\partial y
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dy <\infty ,
\infty \int
x
y
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial K(x, y)
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dy <\infty . (3.5)
Для изучения функции
dK (x, x)
dx
введем функцию
B(x, y) =
\biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial y
\biggr)
(K(x, y) + F (x, y)) . (3.6)
Из основного уравнения (2.32) имеем
B(x, y) +
\infty \int
x
B (x, z)F (z, y) dz = C(x, y), (3.7)
где
C(x, y) =
\infty \int
x
F (z, y)
\biggl(
\partial F (x, z)
\partial x
+
\partial F (x, z)
\partial z
\biggr)
dz -
\infty \int
x
K(x, y)
\biggl(
\partial F (y, z)
\partial y
+
\partial F (y, z)
\partial z
\biggr)
dz.
Используя тогда (2.42) – (2.44), (3.5) и (3.6), из (3.7) находим, что при любом x \geq 0 имеет место
соотношение
\infty \int
x
x4 | B (x, x)| dx <\infty , B (x, x) = o(x), x\rightarrow \infty .
С помощью последних соотношений и (2.44), (3.6) получаем
\infty \int
x
x4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ddxK (x, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dx <\infty ,
d
dx
K (x, x) = o(x), x\rightarrow \infty . (3.8)
Далее, с помощью основного уравнения (2.32), как и в [27], устанавливается, что опреде-
ленная формулой (2.12) функция f (x, \lambda ) является решением задачи
- f \prime \prime (x, \lambda ) + xf (x, \lambda ) + q(x)f (x, \lambda ) = \lambda f (x, \lambda ) , 0 \leq x <\infty ,
f (x, \lambda n) = 0, n \geq 1,
где потенциал q(x) определяется по формуле (2.15). В силу (2.15) и (3.8) потенциал q(x)
удовлетворяет соотношениям
\infty \int
0
x4 | q(x)| dx+ <\infty , q(x) = o(x), x\rightarrow \infty .
Это замечание и завершает решение обратной задачи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
508 А. Р. ЛЯТИФОВА, А. Х. ХАНМАМЕДОВ
Литература
1. J. Avron, I. Herbst, Spectral and scattering theory of Schrödinger operators related to the Stark effect, Commun.
Math. Phys., 52, 239 – 254 (1977).
2. F. Calogero, A. Degasperis, Inverse spectral problem for the one-dimensional Schrödinger equation with an additional
linear potential, Lett. Nuovo Cim., 23, № 4, 143 – 149 (1978).
3. Y. Lin, M. Qian, Q. Zhang, Inverse scattering problem for one-dimensional Schrödinger operators related to the
general Stark effect, Acta Math. Appl. Sin., 5, № 2, 116 – 136 (1989).
4. Yishen Li, One special inverse problem of the second order differential equation on the whole real axis, Chin. Ann.
Math., 2, № 2, 147 – 155 (1981).
5. A. P. Kachalov, Ya. V. Kurylev, The method of transformation operators in the inverse scattering problem. The
one-dimensional Stark effect, J. Soviet Math., 5, № 3, 3111 – 3122 (1991).
6. Х. Х. Муртазин, Т. Г. Амангильдин, Асимптотика спектра оператора Штурма – Лиувилля, Мат. сб., 110
(152), № 1, 135 – 149 (1979).
7. I. Herbst, Dilation analyticity in constant electric field I. The two body problem, Commun. Math. Phys., 64, 279 – 298
(1979).
8. A. Jensen, Perturbation results for Stark effect resonances, J. reine und angew. Math., 394, 168 – 179 (1989).
9. A. Its, V. Sukhanov, A Riemann – Hilbert approach to the inverse problem for the Stark operator on the line, Inverse
Problems, 32, 1 – 28 (2016).
10. А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, Спектральные свойства комплексного оператора Эйри на полуоси, Функцион.
анализ и его прил., 51, № 1, 82 – 98 (2017).
11. E. L. Korotyaev, Resonances for 1D Stark operators, J. Spectral Theory, 7, № 3, 633 – 658 (2017).
12. E. L. Korotyaev, Asymptotics of resonances for 1D Stark operators, Lett. Math. Phys., 118, № 5, 1307 – 1322 (2018).
13. М. Г. Махмудова, А. Х. Ханмамедов, О спектральных свойствах одномерного оператора Штарка на полуоси,
Укр. мат. журн., 71, № 11, 1579 – 1584 (2019).
14. М. Г. Гасымов, Б. А. Мустафаев, Обратная задача рассеяния для ангармонического уравнения на полуоси,
Докл. АН СССР, 228, № 11, 321 – 323 (1976).
15. D. Chelkak, P. Kargaev, E. Korotyaev, Inverse problem for harmonic oscillator perturbed by potential,
characterization, Commun. Math. Phys., 249, № 4, 133 – 196 (2004).
16. D. Chelkak, E. Korotyaev, The inverse problem for perturbed harmonic oscillator on the half-line with Dirichlet
boundary condition, Ann. H. Poincaré, 8, № 6, 1115 – 1150 (2017).
17. I. M. Guseinov, A. Kh. Khanmamedov, A. F. Mamedova, Inverse scattering problem for the Schrödinger equation
with an additional quadratic potential on the entire axis, Theor. and Math. Phys., 195, № 6, 538 – 547 (2018).
18. И. М. Гусейнов, А. Х. Ханмамедов, К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера с
растущим потенциалом, Укр. мат. журн., 70, № 10, 1390 – 1402 (2018).
19. S. M. Bagirova, A. Kh. Khanmamedov, The inverse spectral problem for the perturbed harmonic oscillator on the
entire axis, Proc. Inst. Math. and Mech. NAS Azerbaijan, 44, № 2, 1 – 10 (2018).
20. М. Абрамович, И. Стиган, Справочник по специальным функциям, Наука, Москва (1979).
21. В. А. Марченко, Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения, Наук. думка, Киев (1977).
22. Б. М. Левитан, Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциаль-
ного уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям. II, Изв. АН СССР, сер. мат., 19,
33 – 58 (1955).
23. N. G. Mamedova, A. Kh. Khanmamedov, One remark on the eigenvalues of the Schrödinger operator with growing
potential, Casp. J. Appl. Math., Ecol. and Econ., 2, 2 – 5 (2019).
24. Ф. А. Березин, М. А. Шубин, Уравнение Шредингера, Наука, Москва (1983).
25. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Введение в спектральную теорию, Наука, Москва (1970).
26. Е. Ч. Титчмраш, Теория функций, Наука, Москва (1980).
27. Б. М. Левитан, Обратные задачи Штурма – Лиувилля, Наука, Москва (1984).
Получено 09.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2302 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:00Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b3/d66bcefa247f42042fe4db61e7801bb3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23022022-03-26T11:01:36Z Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis Обратная спектральная задача для одномерного оператора Штарка на полуоси Обратная спектральная задача для одномерного оператора Штарка на полуоси Latifova, A. R. Khanmamedov, A. Kh. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. обернена спектральна задача оператор перетворення оператор Штарка one-dimensional Stark operator inverse spectral problem spectral data transformation operator UDC 517.91 We consider the Stark operator $T=-\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+x+q\left(x\right)$ on the half-axis $0\le x&lt;\infty $ with a Dirichlet boundary condition at zero. By using transformation operators, we study the direct and inverse spectral problems and obtain the main integral equation for the inverse problem. We prove that the main integral equation is uniquely solvable and suggest an effective algorithm of reconstruction for the perturbed potential. УДК 517.91 Розглянуто оператор Штарка $T=-\dfrac{d^{2} }{dx^{2} } +x+q(x)$ на півосі $0\le x&lt;\infty $ з граничною умовою Діріхле в нулі. Методом оператора перетворення вивчено пряму й обернену спектральні задачі. Отримано основне інтегральне рівняння оберненої задачі і доведено однозначну розв'язність цього рівняння. Наведено ефективний алгоритм відновлення потенціалу збурення. УДК 517.91 Розглянуто оператор Штарка $T=-\dfrac{d^{2} }{dx^{2} } +x+q(x)$ на півосі $0\le x&lt;\infty $ з граничною умовою Діріхле в нулі. Методом оператора перетворення вивчено пряму й обернену спектральні задачі. Отримано основне інтегральне рівняння оберненої задачі і доведено однозначну розв'язність цього рівняння. Наведено ефективний алгоритм відновлення потенціалу збурення. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-03-28 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2302 10.37863/umzh.v72i4.2302 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 4 (2020); 494-508 Український математичний журнал; Том 72 № 4 (2020); 494-508 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2302/8703 Copyright (c) 2020 Agil Khanmamedov |
| spellingShingle | Latifova, A. R. Khanmamedov, A. Kh. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. Лятифова , А. Р. Ханмамедов, А. Х. Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis |
| title | Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis |
| title_alt | Обратная спектральная задача для одномерного оператора Штарка на полуоси Обратная спектральная задача для одномерного оператора Штарка на полуоси |
| title_full | Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis |
| title_fullStr | Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis |
| title_full_unstemmed | Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis |
| title_short | Inverse spectral problem for the one-dimensional Stark operator on the half-axis |
| title_sort | inverse spectral problem for the one-dimensional stark operator on the half-axis |
| topic_facet | обернена спектральна задача оператор перетворення оператор Штарка one-dimensional Stark operator inverse spectral problem spectral data transformation operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2302 |
| work_keys_str_mv | AT latifovaar inversespectralproblemfortheonedimensionalstarkoperatoronthehalfaxis AT khanmamedovakh inversespectralproblemfortheonedimensionalstarkoperatoronthehalfaxis AT lâtifovaar inversespectralproblemfortheonedimensionalstarkoperatoronthehalfaxis AT hanmamedovah inversespectralproblemfortheonedimensionalstarkoperatoronthehalfaxis AT lâtifovaar inversespectralproblemfortheonedimensionalstarkoperatoronthehalfaxis AT hanmamedovah inversespectralproblemfortheonedimensionalstarkoperatoronthehalfaxis AT latifovaar obratnaâspektralʹnaâzadačadlâodnomernogooperatoraštarkanapoluosi AT khanmamedovakh obratnaâspektralʹnaâzadačadlâodnomernogooperatoraštarkanapoluosi AT lâtifovaar obratnaâspektralʹnaâzadačadlâodnomernogooperatoraštarkanapoluosi AT hanmamedovah obratnaâspektralʹnaâzadačadlâodnomernogooperatoraštarkanapoluosi AT lâtifovaar obratnaâspektralʹnaâzadačadlâodnomernogooperatoraštarkanapoluosi AT hanmamedovah obratnaâspektralʹnaâzadačadlâodnomernogooperatoraštarkanapoluosi |