On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order
UDC 517.98 We establish the solvability of a nonlocal multipoint time problem (which is treated as a generalization of the Cauchy problem) for an evolution equation with a pseudodifferential operator (a differentiation operator of infinite order) with initial conditions in the space of generalized f...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2321 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508245473361920 |
|---|---|
| author | Horodets’kyi , V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецкий, В. В. Martynyuk, O. V. Петришин, Р. И. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. I. |
| author_facet | Horodets’kyi , V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецкий, В. В. Martynyuk, O. V. Петришин, Р. И. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. I. |
| author_sort | Horodets’kyi , V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:54Z |
| description | UDC 517.98
We establish the solvability of a nonlocal multipoint time problem (which is treated as a generalization of the Cauchy problem) for an evolution equation with a pseudodifferential operator (a differentiation operator of infinite order) with initial conditions in the space of generalized functions having type of ultra distributions. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i7.2321 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i7.2321
УДК 517.98
В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, Р. I. Петришин (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ НЕСКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ
We establish the solvability of a nonlocal multipoint time problem (which is treated as a generalization of the Cauchy
problem) for an evolution equation with a pseudodifferential operator (a differentiation operator of infinite order) with
initial conditions in the space of generalized functions having type of ultra distributions.
Встановлено розв’язнiсть нелокальної багатоточкової за часом задачi (яка трактується як певне узагальнення задачi
Кошi) для еволюцiйного рiвняння з псевдодиференцiальним оператором (оператором диференцiювання нескiнчен-
ного порядку) з початковою умовою у просторi узагальнених функцiй типу ультрарозподiлiв.
Вступ. Досить широкий клас диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними охоплюють
лiнiйнi параболiчнi та B-параболiчнi рiвняння, теорiя яких бере свiй початок iз дослiдження
рiвняння теплопровiдностi. Класичну теорiю задачi Кошi та крайових задач для таких рiвнянь
i систем рiвнянь побудовано у працях I. Г. Петровського, С. Д. Ейдельмана, С. Д. Iвасишена,
М. I. Матiйчука, М. В. Житарашу, А. Фрiдмана, С. Теклiнда, В. О. Солонникова, В. В. Кре-
хiвського та iн. Задача Кошi з початковими даними з просторiв узагальнених функцiй типу
розподiлiв та ультрарозподiлiв вивчалася Г. Є. Шиловим, Б. Л. Гуревичем, М. Л. Горбачуком,
В. I. Горбачук, Я. I. Житомирським, С. Д. Iвасишеним, В. В. Городецьким, В. А. Лiтовченком
та iн.
Формальним розширенням класу рiвнянь параболiчного типу є еволюцiйнi рiвняння з
псевдодиференцiальними операторами (ПДО), якi можна записати у виглядi A =
= J - 1
\sigma \rightarrow x[a(t, x;\sigma )Jx\rightarrow \sigma ], \{ x, \sigma \} \subset \BbbR n, t > 0, де a — функцiя (символ), що задовольняє пев-
нi умови, J, J - 1 — пряме та обернене перетворення Фур’є або Бесселя. До ПДО належать
диференцiальнi оператори, оператори дробового диференцiювання та iнтегрування, оператори
згортки, оператор Бесселя B\nu = d2/dx2 + (2\nu + 1)x - 1d/dx, \nu > - 1/2, який у своїй струк-
турi мiстить вираз 1/x i формально зображується у виглядi B\nu = F - 1
B\nu
\bigl[
- \sigma 2FB\nu
\bigr]
, де FB\nu —
iнтегральне перетворення Бесселя, та iн.
На сьогоднi у теорiї задачi Кошi для еволюцiйних псевдодиференцiальних рiвнянь у питан-
нях коректної розв’язностi задачi Кошi, зображення розв’язку у випадку, коли початковi умови
є елементами рiзних функцiональних просторiв (зокрема, i просторiв узагальнених функцiй),
досягнуто значних результатiв, якi є надбанням вiтчизняних та зарубiжних математикiв.
При дослiдженнi проблеми про класи єдиностi та класи коректностi задачi Кошi для рiвнянь
з частинними похiдними частково використовуються простори типу S, введенi I. М. Гельфандом
та Г. Є. Шиловим в [1]. Функцiї з таких просторiв на дiйснi осi разом з усiма своїми похiдними
при | x| \rightarrow \infty спадають швидше, нiж \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- a| x| 1/\alpha
\bigr\}
, a > 0, \alpha > 0, x \in \BbbR . У працях [2 – 8]
встановлено, що простори типу S та S\prime , топологiчно спряженi до просторiв типу S, є природ-
ними множинами початкових даних задачi Кошi для широких класiв рiвнянь з частинними
похiдними скiнченного та нескiнченного порядкiв, при яких розв’язки є цiлими функцiями за
просторовими змiнними. Наприклад, для рiвняння теплопровiдностi \partial u/\partial t = \partial 2u/\partial x2 фунда-
c\bigcirc В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН, 2020
886 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 887
ментальний розв’язок задачi Кошi — функцiя G(t, x) =
\bigl(
2
\surd
\pi t
\bigr) - 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- x2/4t
\bigr\}
— при кожному
t > 0, як функцiя x, є елементом простору S1/2
1/2 [7, с. 46], який вiдноситься до просторiв типу S.
Узагальненням задачi Кошi для таких рiвнянь є нелокальна багатоточкова за часом задача
з умовою
\sum m
k=0
\alpha kBku(t, \cdot )
\bigm| \bigm|
t=tk
= f, де t0 = 0, \{ t1, . . . , tm\} \subset (0, T ], \{ \alpha 0, \alpha 1, . . . , \alpha m\} \subset \BbbR ,
m \in \BbbN , — фiксованi числа, B0, B1, . . . , Bm — певнi псевдодиференцiальнi оператори (зокре-
ма, оператори диференцiювання нескiнченного порядку). Якщо \alpha 0 = 1, \alpha 1 = . . . = \alpha m = 0,
B0 \equiv I — одиничний оператор, то маємо, очевидно, задачу Кошi. При цьому вказана умова
трактується у класичному розумiннi або в слабкому сенсi, якщо f — узагальнена функцiя. Не-
локальнi за часом задачi вiдносяться до нелокальних крайових задач для рiвнянь з частинними
похiдними. Такi задачi виникають при моделюваннi багатьох процесiв та задач практики крайо-
вими задачами для рiвнянь з частинними похiдними з нелокальними умовами (див., наприклад,
[9, 10]).
У данiй роботi дослiджується нелокальна багатоточкова за часом задача для рiвняння
\partial u(t, x)/\partial t = A\varphi u(t, x), t \in (0, T ], x \in \BbbR , у просторах типу S з умовою
m\sum
k=0
\alpha kBku(t, \cdot )
\bigm| \bigm|
t=tk
= f,
де f — узагальнена функцiя типу ультрарозподiлiв, A\varphi , B0, B1, . . . , Bm — псевдодиференцiаль-
нi оператори з аналiтичними символами, якi можна розумiти як оператори диференцiювання
„нескiнченного порядку”:
A\varphi = F - 1
\sigma \rightarrow x[\varphi (\sigma )Fx\rightarrow \sigma ] =
\infty \sum
k=0
ck(id/dx)
k,
Bk = F - 1
\sigma \rightarrow x
\bigl[
\varphi k(\sigma )F
- 1
x\rightarrow \sigma
\bigr]
=
\infty \sum
j=0
bjk(id/dx)
j , k \in \{ 0, 1, . . . ,m\} ,
функцiї \varphi ,\varphi 0, . . . , \varphi m — символи операторiв A\varphi , B0, B1, . . . , Bm — задовольняють певнi умо-
ви, якi узагальнюють вiдому умову „параболiчностi” для параболiчних псевдодиференцiальних
рiвнянь, F i F - 1 — пряме та обернене перетворення Фур’є. Введено поняття оператора ди-
ференцiювання нескiнченного порядку в просторах типу S i обґрунтовано його коректнiсть,
встановлено: 1) властивостi фундаментального розв’язку зазначеної нелокальної багатоточко-
вої за часом задачi; 2) розв’язнiсть вказаної задачi, а також знайдено аналiтичне зображення
розв’язку у виглядi згортки фундаментального розв’язку з початковою узагальненою функцiєю.
1. Простори типу \bfitS та \bfitS \prime . Для довiльних \alpha , \beta > 0 покладемо (див. [1])
S\beta
\alpha (\BbbR ) \equiv S\beta
\alpha :=
\Bigl\{
\varphi \in C\infty (\BbbR )
\bigm| \bigm| \bigm| \exists c > 0 \exists A > 0 \exists B > 0 \forall \{ k,m\} \subset \BbbZ +
\forall x \in \BbbR :
\bigm| \bigm| xk\varphi (m)(x)
\bigm| \bigm| \leq cAkBmkk\alpha mm\beta
\Bigr\}
.
Простiр S\beta
\alpha можна охарактеризувати ще й так [1]: S\beta
\alpha складається з тих i лише тих нескiн-
ченно диференцiйовних на \BbbR функцiй, якi задовольняють нерiвностi\bigm| \bigm| \varphi (m)(x)
\bigm| \bigm| \leq c1B
m
1 m
m\beta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - c2| x| 1/\alpha \} , m \in \BbbZ +, x \in \BbbR ,
з деякими додатними сталими c1, c2, B1, залежними вiд функцiї \varphi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
888 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Якщо 0 < \beta < 1 i \alpha \geq 1 - \beta , то S\beta
\alpha складається з тих i лише тих функцiй \varphi , якi допускають
аналiтичне продовження в комплексну площину i задовольняють нерiвнiсть
| \varphi (x+ iy)| \leq c3 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| x| 1/\alpha + b| y| 1/(1 - \beta )
\Bigr\}
, c3, a, b > 0, \{ x, y\} \subset \BbbR .
Простори S\beta
\alpha нетривiальнi, якщо \alpha + \beta \geq 1; для довiльних \alpha , \beta правильною є рiвнiсть
S\beta
\alpha = S\alpha \cap S\beta [2].
Топологiчна структура у просторах S\beta
\alpha визначається так. Символом S\beta ,B
\alpha ,A позначатимемо
сукупнiсть функцiй \varphi \in S\beta
\alpha , якi задовольняють таку умову:
\forall A > A \forall B > B :
\bigm| \bigm| \bigm| xk\varphi (m)(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq cA
k
B
m
kk\alpha mm\beta , \{ k,m\} \subset \BbbZ +.
Ця множина перетворюється в повний злiченно-нормований простiр, якщо норми в нiй ввести
за допомогою спiввiдношень
\| \varphi \| \delta \rho = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x,k,m
\bigm| \bigm| xk\varphi (m)(x)
\bigm| \bigm|
(A+ \delta )k(B + \rho )mkk\alpha mm\beta
, \{ \delta , \rho \} \in
\biggl\{
1,
1
2
,
1
3
, . . .
\biggr\}
.
Якщо A1 < A2, B1 < B2, то S\beta ,B1
\alpha ,A1
неперервно вкладається в S\beta ,B2
\alpha ,A2
i S\beta
\alpha =
\bigcup
A,B>0
S\beta ,B
\alpha ,A .
Отже, в S\beta
\alpha можна ввести топологiю iндуктивної границi просторiв S\beta ,B
\alpha ,A [1].
У просторах S\beta
\alpha операцiя зсуву аргумента Tx : \varphi (\xi ) \rightarrow \varphi (\xi +x) є визначеною i неперервною.
Ця операцiя є диференцiйовною (навiть нескiнченно диференцiйовною [1]) у тому розумiннi,
що граничнi спiввiдношення
\bigl(
\varphi (x+ h) - \varphi (x)
\bigr)
/h\rightarrow \varphi \prime (x), h\rightarrow 0, справджуються для кожної
функцiї \varphi \in S\beta
\alpha у сенсi збiжностi за топологiєю простору S\beta
\alpha .
У просторах S\beta
\alpha операцiя диференцiювання є визначеною i неперервною. Простори типу
S досконалi (тобто це простори, всi обмеженi множини яких компактнi); вони тiсно пов’язанi
мiж собою перетворенням Фур’є, а саме, правильною є формула F
\Bigl[
S\beta
\alpha
\Bigr]
= S\alpha
\beta , де
F
\Bigl[
S\beta
\alpha
\Bigr]
:=
\left\{ \psi : \psi (\sigma ) =
\int
\BbbR
\varphi (x)ei\sigma xdx, \varphi \in S\beta
\alpha
\right\} .
Символом
\bigl(
S\beta
\alpha
\bigr) \prime
позначатимемо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв на вiд-
повiдному просторi основних функцiй зi слабкою збiжнiстю, а його елементи називатимемо
узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв. Якщо f \in
\bigl(
S\beta
\alpha
\bigr) \prime
, то до цього ж простору
належить також кожна похiдна f (p), p \in \BbbN (тобто елементи простору
\bigl(
S\beta
\alpha
\bigr) \prime
є нескiнченно
диференцiйовними), зсув f(ay + b), a \not = 0, добуток \alpha f, де \alpha — мультиплiкатор у просторi
основних функцiй.
Оскiльки в основному просторi S\beta
\alpha визначено операцiю зсуву аргумента Tx : \varphi (\xi ) \rightarrow \varphi (\xi +
+ x), то згортку узагальненої функцiї f \in
\bigl(
S\beta
\alpha
\bigr) \prime
з основною функцiєю \varphi задамо формулою
(f \ast \varphi )(x) =
\bigl\langle
f\xi , T - x \v \varphi (\xi )
\bigr\rangle
\equiv
\bigl\langle
f\xi , \varphi (x - \xi )
\bigr\rangle
, \v \varphi (\xi ) := \varphi ( - \xi )\bigl(
тут запис
\bigl\langle
f\xi , \varphi (x - \xi )
\bigr\rangle
означає дiю функцiонала f на основу функцiю \varphi , як функцiю змiнної
\xi при фiксованому x
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 889
Iз властивостi нескiнченної диференцiйовностi операцiї зсуву аргумента у просторi S\beta
\alpha
випливає, що згортка f \ast \varphi — це звичайна нескiнченно диференцiйовна на \BbbR функцiя.
Нехай f \in
\bigl(
S\beta
\alpha
\bigr) \prime
. Якщо f \ast \varphi \in S\beta
\alpha \forall \varphi \in S\beta
\alpha i зi спiввiдношення \varphi \nu \rightarrow 0 при \nu \rightarrow +\infty за
топологiєю простору S\beta
\alpha випливає, що f \ast \varphi \nu \rightarrow 0 при \nu \rightarrow +\infty за топологiєю простору S\beta
\alpha ,
то функцiонал f називається згортувачем у просторi S\beta
\alpha .
Оскiльки F - 1
\bigl[
S\alpha
\beta
\bigr]
= S\beta
\alpha (F - 1 — обернене перетворення Фур’є), а також i F
\bigl[
S\alpha
\beta
\bigr]
= S\beta
\alpha ,
бо кожний простiр типу S разом iз функцiєю \varphi (x) мiстить i функцiю \varphi ( - x), то перетворення
Фур’є узагальненої функцiї f \in
\bigl(
S\beta
\alpha
\bigr) \prime
визначимо за допомогою спiввiдношення
\langle F [f ], \varphi \rangle = \langle f, F [\varphi ]\rangle , \varphi \in S\alpha
\beta .
Сукупнiсть функцiй, якi є продовженнями функцiй iз простору S\beta
\alpha , \{ \alpha , \beta \} \subset (0, 1), \alpha +\beta \geq
\geq 1, в \BbbC , позначимо через S\beta
\alpha (\BbbC ). Iз результатiв, наведених в [11], випливає, що S\beta
\alpha (\BbbC ) =
= W\Omega
M , де W\Omega
M — один iз просторiв типу W, введених Б. Л. Гуревичем [12] (див. також [11]),
побудований за функцiями M(x) = x1/\alpha , \Omega (y) = y1/(1 - \beta ), \{ x, y\} \subset (0,\infty ). У просторах
W\Omega
M вводиться топологiя iндуктивної границi злiченно-нормованих просторiв W\Omega ,b
M,a, a, b > 0;
система норм у просторах W\Omega ,b
M,a визначається формулами
\| \varphi \| \delta \rho = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbC
\Bigl(
| \varphi (z)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
a(1 - \delta )| x| 1/\alpha + (b+ \rho )| y| 1/(1 - \beta )
\Bigr\} \Bigr)
,
\varphi \in S\beta
\alpha (\BbbC ) \equiv W\Omega
M , z = x+ iy, \delta \in \{ 1/2, 1/3, . . .\} , \rho \in \BbbN .
Звiдси випливає (див. [1]), що послiдовнiсть функцiй \{ \varphi \nu (x), \nu \geq 1\} \subset S\beta
\alpha , x \in \BbbR , \{ \alpha , \beta \} \subset
\subset (0, 1), \alpha + \beta \geq 1, збiгається до нуля в S\beta
\alpha тодi й лише тодi, коли послiдовнiсть функцiй
\{ \varphi \nu (z), \nu \geq 1\} , z \in \BbbC , збiгається до нуля в S\beta
\alpha (\BbbC ), тобто [11] рiвномiрно збiгається до нуля в
кожнiй обмеженiй множинi, при цьому виконується нерiвнiсть
| \varphi \nu (z)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| x| 1/\alpha + b| y| 1/(1 - \beta )
\Bigr\}
, z = x+ iy \in \BbbC ,
зi сталими c, a, b > 0, не залежними вiд \nu . Мультиплiкатором у просторi S\beta
\alpha (\BbbC ) є кожна цiла
функцiя f(z), z \in \BbbC , яка задовольняє умову [13]
\forall \varepsilon > 0 \exists c\varepsilon > 0 \forall z = x+ iy \in \BbbC : | f(z)| \leq c\varepsilon \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
\varepsilon | x| 1/\alpha + \varepsilon | y| 1/(1 - \beta )
\Bigr\}
.
2. Оператори диференцiювання нескiнченного порядку в просторах типу \bfitS . Нехай
g(z) =
\sum \infty
n=0
cnz
n, z \in \BbbC , — деяка цiла функцiя. Говоритимемо, що у просторi S\beta
\alpha , \{ \alpha , \beta \} \subset
\subset (0, 1), задано оператор диференцiювання нескiнченного порядку
g(D) :=
\infty \sum
n=0
cn(iD)n, D =
d
dx
,
якщо для довiльної функцiї \varphi \in S\beta
\alpha ряд
\psi (x) \equiv g(D)\varphi (x) :=
\infty \sum
n=0
cn(iD)n\varphi (x), x \in \BbbR ,
зображує основну функцiю з простору S\beta
\alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
890 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Теорема 1. Якщо функцiя g — мультиплiкатор у просторi S\alpha
\beta , \{ \alpha , \beta \} \subset (0, 1), \alpha + \beta = 1,
то у просторi S\beta
\alpha оператор g(D) \equiv Ag є визначеним i неперервним, при цьому
Ag\varphi (x) = F - 1[g(\sigma )F [\varphi ]].
Доведення. Нехай \varphi \in S\beta
\alpha , тодi
\psi (x) =
\infty \sum
n=0
cn(iD)n\varphi (x) =
\infty \sum
n=0
cn
\bigl(
F - 1[\sigma F [\varphi ]]
\bigr) n
(x) =
\infty \sum
n=0
cnF
- 1[\sigma nF [\varphi ]] (x).
Доведемо, що \psi \in S\beta
\alpha . Iз властивостей перетворення Фур’є (прямого та оберненого) у прос-
торах типу S випливає, що для доведення твердження достатньо встановити, що F [\psi ] \in S\alpha
\beta .
Запишемо (поки що формально) спiввiдношення
F [\psi ](x) =
\infty \sum
n=0
cn\sigma
nF [\varphi ](x) = g(\sigma )F [\varphi ](\sigma ). (1)
Оскiльки F [\varphi ] \in S\alpha
\beta , а g — мультиплiкатор у просторi S\alpha
\beta , то gF [\varphi ] \in S\alpha
\beta . Отже, залишилося
довести коректнiсть проведених перетворень i обґрунтувати правильнiсть формули (1). Функцiя
gF [\varphi ] допускає аналiтичне продовження в усю комплексну площину, при цьому (gF [\varphi ])(z) \in
\in S\alpha
\beta (\BbbC ), z = \sigma + i\tau \in \BbbC . Отже, для доведення твердження достатньо встановити, що
rn(z) :=
\infty \sum
k=n+1
ckz
kF [\varphi ](z) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ,
у просторi S\alpha
\beta (\BbbC ). Iншими словами, потрiбно показати, що: 1) \{ rn, n \geq 1\} \subset S\alpha
\beta (\BbbC ); 2) послi-
довнiсть \{ rn, n \geq 1\} рiвномiрно збiгається до нуля в кожнiй обмеженiй областi комплексної
площини, i при цьому виконуються нерiвностi
| rn(z)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| \sigma | 1/\beta + b| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
, z = \sigma + i\tau \in \BbbC , n \in \BbbN ,
з деякими сталими a, b, c > 0, не залежними вiд n.
Коефiцiєнти Тейлора cn, n \in \BbbZ +, функцiї g обчислюються за формулою Кошi
cn =
1
2\pi i
\int
\Gamma R
g(z)
zn+1
dz, n \in \BbbZ +,
де \Gamma R — коло радiуса R з центром у точцi z0 = 0. Звiдси та з умови теореми (g — мультиплiкатор
в S\alpha
\beta ) випливає, що
| cn| \leq c\varepsilon \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R
\Bigl(
R - n/2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\varepsilon R1/\beta
\bigr\} \Bigr)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R
\Bigl(
R - n/2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\varepsilon R1/(1 - \alpha )
\bigr\} \Bigr)
.
Оцiнимо окремо коефiцiєнти c2k i c2k+1, k \in \BbbZ +. Отже,
| c2k| \leq c\varepsilon \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R
\Bigl(
R - k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\varepsilon R1/\beta
\bigr\} \Bigr)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R
\Bigl(
R - k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\varepsilon R1/(1 - \alpha )
\bigr\} \Bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 891
Безпосередньо отримуємо
| c2k| \leq c\varepsilon L
k\varepsilon (1 - \alpha +\beta )kk - (1 - \alpha +\beta )k, L =
\biggl(
e
\beta
\biggr) \beta \biggl( e
1 - \alpha
\biggr) 1 - \alpha
. (2)
Аналогiчно,
| c2k+1| \leq \~c\varepsilon L
k\varepsilon (1 - \alpha +\beta )kk - (1 - \alpha +\beta )k. (3)
Далi встановимо оцiнку функцiї \alpha n(z) := | cnznF [\varphi ](z)| , z \in \BbbC , при фiксованому n \in \BbbN , якщо
n = 2k i n = 2k + 1, врахувавши при цьому нерiвностi (2) та (3) вiдповiдно.
Нехай n = 2k. Оскiльки F [\varphi ] \in S\alpha
\beta , то
\exists c, a, b > 0 \forall z = \sigma + i\tau \in \BbbC : | F [\varphi ](z)| \leq c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| \sigma | 1/\beta + b| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
.
Крiм того,
| z| 2k =
\bigl(
\sigma 2 + \tau 2
\bigr) k \leq
\bigl(
2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \sigma 2, \tau 2\}
\bigr) k \leq 2k
\Bigl(
| \sigma | 2k + | \tau | 2k
\Bigr)
.
Отже,
\alpha 2k(z) \leq cc\varepsilon L
k\varepsilon (1 - \alpha +\beta )kk - (1 - \alpha +\beta )k
\Bigl(
| \sigma | 2k + | \tau | 2k
\Bigr)
e - a| \sigma | 1/\beta +b| \tau | 1/(1 - \alpha )
=
= cc\varepsilon L
k\varepsilon (1 - \alpha +\beta )k
\Bigl(
k - (1 - \alpha +\beta )k| \sigma | 2ke - a| \sigma | 1/\beta +b| \tau | 1/(1 - \alpha )
+
+k - (1 - \alpha +\beta )k| \tau | 2ke - a| \sigma | 1/\beta eb| \tau |
1/(1 - \alpha )
\Bigr)
\equiv
\equiv cc\varepsilon L
k\varepsilon (1 - \alpha +\beta )k
\bigl(
\Delta \prime
k(z) + \Delta \prime \prime
k(z)
\bigr)
.
Далi врахуємо нерiвнiсть
| \sigma | 2ke -
a
2
| \sigma | 1/\beta \leq Lk
1k
2k\beta , L1 =
\biggl(
4
ae
\biggr) 2\beta
,
застосувавши яку, знайдемо
\Delta \prime
k(z) = k - (1 - \alpha +\beta )k| \sigma | 2k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| \sigma | 1/\beta
\Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
b| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
\leq
\leq \~c1L
k
1k
2k\beta k - (1 - \alpha +\beta )k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a
2
| \sigma | 1/\beta
\Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
b| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
.
Оскiльки \alpha + \beta = 1, то 2\beta - (1 - \alpha + \beta ) = 0, а тому
\Delta \prime
k(z) \leq \~c1L
k
1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a
2
| \sigma | 1/\beta
\Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
b| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
.
Оцiнимо \Delta \prime \prime
k(z). Маємо
| \tau | 2k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
b| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
= | \tau | 2k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- | \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
(b+ 1)| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
\leq
\leq Lk
2k
2(1 - \alpha )k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
(b+ 1)| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
, L2 =
\biggl(
2(1 - \alpha )
e
\biggr) 2/(1 - \alpha )
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
892 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Тодi
\Delta \prime \prime
k(z) \leq \~c2L
k
2k
2(1 - \alpha )kk - (1 - \alpha +\beta )k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| \sigma | 1/\beta
\Bigr\}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
(b+ 1)| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
=
= \~c2L
k
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a| \sigma | 1/\beta + (b+ 1)| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
(тут знову враховано умову \alpha + \beta = 1). Урахувавши цi нерiвностi, отримаємо
\alpha 2k(z) \leq \~c\varepsilon \~L
2k
2
\bigl( \surd
\varepsilon
\bigr) 2\gamma k
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a1| \sigma | 1/\beta + b1| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
,
\gamma = 1 - \alpha + \beta = 2(1 - \alpha ) = 2\beta , a1 = a/2, b1 = b+1. Аналогiчно оцiнюємо \alpha 2k+1(z), k \in \BbbZ +,
z \in \BbbC . В результатi приходимо до нерiвностi
\alpha n(z) \leq \~\beta \~An
\bigl( \surd
\varepsilon
\bigr) \gamma n
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a2| \sigma | 1/\beta + b2| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
, n \in \BbbZ +, z \in \BbbC ,
причому всi сталi не залежать вiд n.
Вiзьмемо \varepsilon = (2 \~A) - 2/\gamma . Тодi
\sum \infty
k=n+1
Ak(
\surd
\varepsilon )\gamma k = 2 - n, тобто
| rn(z)| \leq
\~\beta
2n
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a2| \sigma | 1/\beta + b2| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
, z \in \BbbC . (4)
З (4) випливає, що rn \in S\alpha
\beta (\BbbC ) при кожному n \in \BbbN (тобто умова 1 виконується). Iз (4) випливає
також, що послiдовнiсть \{ rn, n \geq 1\} збiгається до нуля при n \rightarrow \infty рiвномiрно в будь-якiй
обмеженiй областi Q \subset \BbbC , при цьому
| rn(z)| \leq \~\beta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a2| \sigma | 1/\beta + b2| \tau | 1/(1 - \alpha )
\Bigr\}
, n \in \BbbN , z \in \BbbC ,
де сталi \~\beta , a2, b2 > 0 не залежать вiд n. Цим доведено, що оператор g(D) \equiv Ag визначено у
просторi S\beta
\alpha , кожну обмежену множину цього простору вiн переводить в обмежену множину
цього ж простору. Отже, вказаний оператор є неперервним у просторi S\beta
\alpha (зазначимо, що у
просторах S\beta
\alpha клас обмежених операторiв збiгається з класом неперервних операторiв [1]),
при цьому iз спiввiдношення (1) випливає, що Ag\varphi (x) = F - 1
\bigl[
g(\sigma )F [\varphi ]
\bigr]
. Отже, Ag можна
розумiти як псевдодиференцiальний оператор, побудований за аналiтичним (цiлим) символом —
функцiєю g, яка задовольняє вiдповiднi умови.
3. Нелокальна багатоточкова за часом задача. Розглянемо еволюцiйне рiвняння
\partial u
\partial t
= Agu, (t, x) \in (0, T ]\times \BbbR \equiv \Omega , (5)
де Ag — псевдодиференцiальний оператор (див. п. 2), побудований за функцiєю g, яка є мульти-
плiкатором у просторi S1 - \alpha
\alpha , \alpha \in (0, 1), i такою, що eg \in S1 - \alpha
\alpha . Символом P 1 - \alpha
\alpha позначатимемо
клас функцiй g, якi задовольняють вказанi умови. Наприклад, нехай g(z) = N(z), z = x+iy, —
полiном степеня 2b, b \in \BbbN , над полем комплексних чисел, який задовольняє таку умову:
\exists c > 0 \forall x \in R : \mathrm{R}\mathrm{e}N(x) \leq - c| x| 2b.
Очевидно, що N — мультиплiкатор у просторi S1 - \alpha
\alpha , де \alpha = 1/(2b). Крiм того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 893\bigm| \bigm| eN(x)
\bigm| \bigm| = eReN(x) \leq e - c| x| 2b , x \in \BbbR ,
\exists c1 > 0 \forall z = x+ iy \in \BbbC :
\bigm| \bigm| eN(z)
\bigm| \bigm| \leq e| N(z)| \leq ec1| z|
2b
.
Тодi, використовуючи теореми з [1], якi є узагальненнями теореми Фрагмена – Лiндельофа,
переконуємося, що цiла функцiя eN(z) задовольняє нерiвнiсть\bigm| \bigm| eN(z)
\bigm| \bigm| \leq c0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- c2| x| 2b + c3| y| 2b
\Bigr)
, c0, c2, c3 > 0. (6)
З нерiвностi (6) та характеристики просторiв S\beta
\alpha випливає, що eN \in S1 - \alpha
\alpha , \alpha = 1/(2b).
Оскiльки g \in P 1 - \alpha
\alpha , то eg \in S1 - \alpha
\alpha . Отже, iснують такi c0, a, b > 0, що\bigm| \bigm| eg(z)\bigm| \bigm| \leq c0e
- a| \sigma | 1/\alpha +b| \tau | 1/\alpha , z = \sigma + i\tau \in \BbbC .
Тодi \bigm| \bigm| etg(z)\bigm| \bigm| \leq \Bigl[ c0e - a| \sigma | 1/\alpha +b| \tau | 1/\alpha
\Bigr] t
, z = \sigma + i\tau \in \BbbC .
Далi вважаємо, що стала c0 > 0 задовольняє умову c0 \leq 1. Тодi\bigm| \bigm| etg(z)\bigm| \bigm| \leq e - at| \sigma | 1/\alpha +bt| \tau | 1/\alpha . (7)
Для (5) задамо умову
\mu u(t, \cdot )| t=0 -
m\sum
k=1
\mu kBku(t, \cdot )| t=tk = f, f \in S1 - \alpha
\alpha , (8)
де \{ t1, . . . , tm\} \subset (0, T ], m \in \BbbN , \{ \mu , \mu 1, . . . , \mu m\} \subset (0,+\infty ) — фiксованi числа, \mu >
\sum m
k=1
\mu k,
B1, . . . , Bm — псевдодиференцiальнi оператори у просторi S1 - \alpha
\alpha , побудованi за функцiями
(символами) g1, . . . , gm вiдповiдно, якi задовольняють такi умови:
\forall \varepsilon > 0 : 0 \leq gk(\sigma ) \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\varepsilon | \sigma | 1/\alpha
\bigr\}
, \sigma \in \BbbR , k \in \{ 1, . . . ,m\} ,
\exists Lk > 0 \forall \varepsilon > 0 : | Ds
\sigma gk(\sigma )| \leq Ls
ks
s(1 - \alpha ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
\varepsilon | \sigma | 1/\alpha
\Bigr\}
, (9)
s \in \BbbN , \sigma \in \BbbR , k \in \{ 1, . . . ,m\} .
Задачу (5), (8) називатимемо нелокальною багатоточковою за часом задачею для рiвняння (5).
Класичний розв’язок задачi (5), (8) шукаємо за допомогою перетворення Фур’є у виглядi
u(t, x) = F [v(t, \sigma )](x). Для функцiй v : \Omega \rightarrow \BbbR отримуємо задачу з параметром \sigma :
dv(t, \sigma )
dt
= g(\sigma )v(t, \sigma ), (t, \sigma ) \in \Omega , (10)
\mu v(t, \sigma )| t=0 -
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )v(t, \sigma )| t=tk = \~f(\sigma ), \sigma \in \BbbR , (11)
де \~f(\sigma ) = F - 1[f ](\sigma ). Загальний розв’язок рiвняння (10) має вигляд
v(t, \sigma ) = c \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ tg(\sigma )\} , (t, \sigma ) \in \Omega , (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
894 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
де c = c(\sigma ) визначимо з умови (11). Пiдставивши (12) в (11), одержимо
c = \~f(\sigma )
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ tkg(\sigma )\}
\Biggr) - 1
, \sigma \in \BbbR .
Введемо позначення G(t, x) = F - 1
\bigl[
Q(t, \sigma )
\bigr]
(x), де
Q(t, \sigma ) = Q1(t, \sigma )Q2(\sigma ), Q1(t, \sigma ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ tg(\sigma )\} ,
Q2(\sigma ) =
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ tkg(\sigma )\}
\Biggr) - 1
=
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )Q1(tk, \sigma )
\Biggr) - 1
.
Тодi, мiркуючи формально, знаходимо
u(t, x) =
\int
\BbbR
G(t, x - \xi )f(\xi )d\xi = G(t, x) \ast f(x), (t, x) \in \Omega .
Справдi,
u(t, x) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )
\left( \int
\BbbR
f(\xi )e - i\sigma \xi d\xi
\right) ei\sigma x d\sigma =
=
\int
\BbbR
(2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )ei\sigma (x - \xi ) d\sigma f(\xi )d\xi -
\int
\BbbR
G(t, x - \xi )f(\xi )d\xi =
= G(t, x) \ast f(x), (t, x) \in \Omega . (13)
Коректнiсть проведених тут перетворень та збiжнiсть вiдповiдних iнтегралiв, а отже, правиль-
нiсть формули (13) випливають з властивостей функцiї G, якi наведемо нижче. Властивостi
функцiї G пов’язанi з властивостями функцiї Q, оскiльки G = F - 1[Q]. Отже, насамперед
дослiдимо властивостi функцiї Q(t, \sigma ) як функцiї аргумента \sigma .
Лема 1. Для функцiї Q1(t, \sigma ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ tg(\sigma )\} , g \in P 1 - \alpha
\alpha , t > 0, \sigma \in \BbbR , та її похiдних (за
змiнною \sigma ) правильними є оцiнки
Ds
\sigma Q1(t, \sigma ) \leq Asts\alpha ss(1 - \alpha ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a1t| \sigma | 1/\alpha
\Bigr\}
, s \in \BbbZ +, (14)
де сталi A, a1 > 0 не залежать вiд t.
Доведення. За iнтегральною формулою Кошi
Ds
\sigma Q1(t, \sigma ) =
s!
2\pi i
\int
\Gamma R
Q1(t, z)
(z - \sigma )s+1
dz, z \in \BbbZ +,
де \Gamma R — коло радiуса R з центром у точцi \sigma \in \BbbR . Використовуючи (7), отримуємо нерiвностi
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq
s!
Rs
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in \Gamma R
| Q1(t, z)| \leq
s!
Rs
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- at| \sigma 0| 1/\alpha + btR1/\alpha
\Bigr\}
,
де \sigma 0 — точка максимуму функцiї \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- at| \xi | 1/\alpha
\bigr\}
, \xi \in [\sigma - R, \sigma +R].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 895
Зауважимо, що
\sigma 0 =
\left\{
0, якщо | \sigma | \leq R,
\sigma +R, якщо \sigma \leq - R,
\sigma - R, якщо \sigma \geq R.
Оскiльки \alpha \in (0, 1), то 1/\alpha - 1 > 0, тому \xi 1/\alpha =
1
\alpha
\int \xi
0
\tau 1/\alpha - 1d\tau . Отже, M(\xi ) = \xi 1/\alpha є
опуклою донизу на промiжку (0,\infty ) функцiєю, яка задовольняє нерiвнiсть
M(\xi 1) +M(\xi 2) \leq M(\xi 1 + \xi 2), \xi 1, \xi 2 \in (0,+\infty )
(див. [11, с. 8]), або нерiвнiсть M(\xi 1) - M(\xi 1+\xi 2) \leq - M(\xi 2). Звiдси випливає iснування таких
сталих \~a > 0, \~\~a > 0, що
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - M(\sigma 0)\} \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- M(\~a\sigma ) +M(\~\~aR)
\bigr\}
\forall R > 0, \sigma \geq 0.
Отже, виконується нерiвнiсть
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- at| \sigma 0| 1/\alpha
\bigr\}
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a1t| \sigma | 1/\alpha + a2tR
1/\alpha
\Bigr\}
, a1, a2 > 0.
Тодi
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq
s!
Rs
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a1t| \sigma | 1/\alpha + b1tR
1/\alpha
\Bigr\}
, b1 = b+ a2, s \in \BbbZ +, t > 0, \sigma \in \BbbR .
Для кожного s \in \BbbZ + функцiя gs,t(R) = R - s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ b1tR1/\alpha \} є диференцiйовною на (0,\infty ), до
того ж
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +\infty
gs,t(R) = +\infty , s \in \BbbZ +, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
R\rightarrow +0
gs,t(R) =
\Biggl\{
+\infty , s \in \BbbN ,
1, s = 0.
Оскiльки gs,t(R) > 0, R \in (0,+\infty ), то ця функцiя досягає свого iнфiмуму, який знаходимо за
допомогою методiв диференцiального числення:
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
R>0
gs,t(R) = \omega st\alpha ss - \alpha s, \omega =
\biggl(
b1e
\alpha
\biggr) \alpha
.
Таким чином,
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq s! \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} gs,t(R) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- a1t| \sigma | 1/\alpha
\bigr\}
= s!\omega st\alpha ss - \alpha s \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- a1t| \sigma | 1/\alpha
\bigr\}
, s \in \BbbZ +.
На пiдставi формули Стiрлiнга переконуємося, що при фiксованому s \in \BbbZ + виконується нерiв-
нiсть
| Ds
\sigma Q1(t, \sigma )| \leq Asts\alpha ss(1 - \alpha ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- a1t| \sigma | 1/\alpha
\bigr\}
, t > 0, x \in \BbbR ,
де сталi A, a1 > 0 не залежать вiд t.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Функцiя Q2 — мультиплiкатор у просторi S2 - \alpha
\alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
896 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Доведення. Оцiнимо похiднi функцiї Q2. З цiєї метою скористаємося формулою Фаа де
Бруно диференцiювання складеної функцiї
Ds
\sigma (F (\varphi )) =
s\sum
m=1
dm
d\varphi m
F (\varphi )
\sum s!
m1! . . .ml!
\biggl(
d
d\sigma
\varphi (\sigma )
\biggr) m1
\times
\times
\biggl(
1
2!
d2
d\sigma 2
\varphi (\sigma )
\biggr) m2
. . .
\biggl(
1
l!
dl
d\sigma l
\varphi (\sigma )
\biggr) ml
, s \in \BbbN
(знак суми поширюється на всi розв’язки в цiлих невiд’ємних числах рiвняння m1 +2m2 + . . .
. . .+ lml = s, m1 + . . .+ml = m). У цiй формулi покладемо F = \varphi - 1, \varphi = R, де
R(\sigma ) = \mu -
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ tkg(\sigma )\} .
Тодi Q2(\sigma ) = F (R) = R - 1 i
| Ds
\sigma Q2(\sigma )| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s\sum
m=1
dm
dRm
R - 1
\sum s!
m1! . . .ml!
\biggl(
d
d\sigma
R(\sigma )
\biggr) m1
\times
\times
\biggl(
1
2!
d2
d\sigma 2
R(\sigma )
\biggr) m2
. . .
\biggl(
1
l!
dl
d\sigma l
R(\sigma )
\biggr) ml
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Враховуючи властивостi функцiй g1, . . . , gm (див. (9)) i нерiвностi (14), знаходимо
\bigm| \bigm| Dj
\sigma R(\sigma )
\bigm| \bigm| \leq m\sum
k=1
\mu k
j\sum
i=0
Ci
j
\bigm| \bigm| Di
\sigma gk(\sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Dj - i
\sigma etkg(\sigma )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
m\sum
k=1
\mu k
j\sum
i=0
Ci
jL
i
ki
i(1 - \alpha )Aj - it
(j - i)\alpha
k (j - i)(j - i)(1 - \alpha ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a1tk| \sigma | 1/\alpha + \varepsilon | \sigma | 1/\alpha
\Bigr\}
.
Нехай \~L = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ L1, . . . , Lm\} , L1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, T\} . Тодi
\bigm| \bigm| Dj
\sigma R(\sigma )
\bigm| \bigm| \leq m\sum
k=1
\mu k
j\sum
i=0
Ci
j
\~Liii(1 - \alpha )Aj - iL
(j - i)\alpha
1 (j - i)(j - i)(1 - \alpha ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
- a1t1| \sigma | 1/\alpha + \varepsilon | \sigma | 1/\alpha
\Bigr\}
.
Поклавши далi \varepsilon = a1t1/2, прийдемо до оцiнки
\bigm| \bigm| Dj
\sigma R(\sigma )
\bigm| \bigm| \leq c \~Ajj(j(1 - \alpha )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- a1t1
2
| \sigma | 1/\alpha
\biggr\}
, s \in \BbbN ,
де c =
\sum m
k=1
\mu k, \~A = 2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ L,AL\alpha
1 \} . Крiм того,
dm
dRm
R - 1 = ( - 1)mm!R - (m+1)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 897
R - 1(\sigma ) \equiv Q2(\sigma ) =
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ tkg(\sigma )\}
\Biggr) - 1
\leq
\leq
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\varepsilon | \sigma | 1/\alpha - a1t1
2
| \sigma | 1/\alpha
\biggr\} \Biggr) - 1
\leq
\Biggl(
\mu -
m\sum
k=1
\mu k
\Biggr) - 1
\equiv \beta 0 > 0,
оскiльки, за умовою, \mu >
\sum m
k=1
\mu k. Пропускаючи далi технiчнi викладки, записуємо остаточ-
ний результат: похiднi функцiї Q2 задовольняють нерiвностi
| Ds
\sigma Q2(\sigma )| \leq c\prime Ls
0s
s(2 - \alpha ), \sigma \in \BbbR , s \in \BbbN . (15)
З нерiвностi (15) та обмеженостi функцiї Q2 на \BbbR випливає, що Q2 — мультиплiкатор у прос-
торi S2 - \alpha
\alpha .
Лему 2 доведено.
Зауваження. З лем 1 i 2 випливає, що Q(t, \cdot ) = Q1(t, \cdot )Q2(\cdot ) \in S2 - \alpha
\alpha при кожному t \in
\in (0, T ]. Отже, G(t, \cdot ) = F - 1[Q(t, \cdot )] \in S\alpha
2 - \alpha при кожному t \in (0;T ].
Оскiльки 0 < t1 < t2 < . . . < tm, то (див. (7), (9))
gk(\sigma )e
tkg(\sigma ) \leq gke
- atk| \sigma | 1/\alpha \leq gke
- at1| \sigma | 1/\alpha , k \in \{ 1, . . . ,m\} ,
i
\mu -
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )e
tkg(\sigma ) = \mu
\Bigl(
1 - 1
\mu
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )e
tkg(\sigma )
\Bigr)
.
Тодi
1
\mu
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )e
tkg(\sigma ) \leq 1
\mu
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )e
- atkg(\sigma ) \leq
\leq 1
\mu
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )e
- at1| \sigma | 1/\alpha \leq 1
\mu
m\sum
k=1
\mu k < 1, \sigma \in \BbbR .
Використовуючи цю нерiвнiсть i полiномiальну формулу, знаходимо
Q2(x) =
1
\mu
\Biggl(
1 - 1
\mu
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )Q1(tk, \sigma )
\Biggr) - 1
=
1
\mu
\infty \sum
r=0
\mu - r
\Biggl(
m\sum
k=1
\mu kgk(\sigma )e
tkg(\sigma )
\Biggr) r
=
=
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
\Bigl(
\mu 1g1(\sigma )e
t1g(\sigma )
\Bigr) r1
. . .
\Bigl(
\mu mgm(\sigma )etmg(\sigma )
\Bigr) rm
=
=
\infty \sum
r=0
\mu - (r+1)
\sum
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
\mu r11 . . . \mu rmm gr11 (\sigma ) . . . grmm (\sigma ) \~Q1(\lambda , \sigma ),
де \lambda = t1r1 + . . .+ tmrm, \~Q1(\lambda , \sigma ) = e(t1r1+...+tmrm)g(\sigma ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
898 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Отже,
G(t, x) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )e - i\sigma x d\sigma = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
etg(\sigma )Q2(\sigma )e
- i\sigma x d\sigma =
=
\infty \sum
r=0
1
\mu r+1
\sum
r1+...+rm=r
r!\mu r11 . . . \mu rmm
r1! . . . rm!
\~G(\lambda + t, x), (16)
де
\~G(\lambda + t, x) = (2\pi ) - 1
\int
\BbbR
gr11 (\sigma ) . . . grmm (\sigma )e(t1r1+...+tmrm+t)g(\sigma )e - i\sigma x d\sigma .
Лема 3. Функцiя G(t, x), t \in (0, T ], як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями у
просторi S\alpha
2 - \alpha , диференцiйовна за змiнною t.
Доведення. Iз властивостi неперервностi перетворення Фур’є (прямого та оберненого)
у просторах типу S випливає, що для доведення твердження досить показати, що функцiя
F [G(t, x)] = Q(t, \sigma ), як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями у просторi F [S\alpha
2 - \alpha ] =
= S2 - \alpha
\alpha , диференцiйовна по t. Iншими словами, потрiбно довести, що граничне спiввiдношення
\Phi \Delta t(\sigma ) :=
1
\Delta t
[Q(t+\Delta t, \sigma ) - Q(t, \sigma )] \rightarrow \partial
\partial t
Q(t, \sigma ), \Delta t\rightarrow 0,
виконується в тому розумiннi, що:
1) Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma ) - \rightarrow
\Delta t\rightarrow 0
Ds
\sigma (g(\sigma )Q(t, \sigma )), s \in \BbbZ +, рiвномiрно на кожному вiдрiзку [a, b] \subset \BbbR ;
2)
\bigm| \bigm| Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )
\bigm| \bigm| \leq \=c \=Bsss(2 - \alpha ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \=a| \sigma | 1/\alpha
\bigr\}
, s \in \BbbZ +, де сталi \=c, \=a, \=B > 0 не залежать вiд
\Delta t, якщо \Delta t є досить малим.
Функцiя Q(t, \sigma ), (t, \sigma ) \in \Omega , диференцiйовна по t у звичайному розумiннi, тому за теоремою
Лагранжа про скiнченнi прирости
\Phi \Delta t(\sigma ) = g(\sigma )Q(t+ \theta \Delta t, \sigma ), 0 < \theta < 1.
Отже,
Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma ) =
s\sum
l=0
C l
sD
l
\sigma g(\sigma )D
s - l
\sigma Q(t+ \theta \Delta t, \sigma ) (17)
i
Ds
\sigma
\biggl(
\Phi \Delta t(\sigma ) -
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )
\biggr)
=
s\sum
l=0
C l
sD
l
\sigma g(\sigma )
\Bigl[
Ds - l
\sigma Q(t+ \theta \Delta t, \sigma ) - Ds - l
\sigma Q(t, \sigma )
\Bigr]
.
Оскiльки
Ds - l
\sigma Q(t+ \theta \Delta t, \sigma ) - Ds - l
\sigma Q(t, \sigma ) = Ds - l+1
\sigma Q(t+ \theta 1\Delta t, \sigma )\theta \Delta t, 0 < \theta 1 < 1,
то звiдси та з (14), (15) випливає, що Ds - l+1
\sigma Q(t + \theta \Delta t, \sigma )\theta \Delta t \rightarrow 0, \Delta t \rightarrow 0, рiвномiрно на
довiльному вiдрiзку [a, b] \subset \BbbR . Тодi i Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma ) \rightarrow Ds
\sigma
\biggl(
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )
\biggr)
при \Delta t \rightarrow 0 рiвномiрно
на довiльному вiдрiзку [a, b] \subset \BbbR . Отже, умова 1 виконується.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 899
Доведемо, що виконується умова 2. Оскiльки, за умовою, функцiя g — мультиплiкатор у
просторi S1 - \alpha
\alpha , то
\forall \varepsilon > 0 \exists c\varepsilon > 0 \forall s \in \BbbZ + \forall \sigma \in \BbbR :
\bigm| \bigm| Ds
\sigma g(\sigma )
\bigm| \bigm| \leq c\varepsilon \varepsilon
sss(1 - s)e\varepsilon | \sigma |
1/\alpha
. (18)
Враховуючи (17), (18), а також оцiнки (14), (15), якi задовольняють похiднi функцiй Q1(t, \sigma ),
Q2(\sigma ), отримуємо
\bigm| \bigm| Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )
\bigm| \bigm| \leq \~cc\varepsilon
s\sum
l=0
C l
s\varepsilon
lll(1 - \alpha ) \~Bs - l(s - l)(s - l)(2 - \alpha )e\varepsilon | \sigma |
1/\alpha
e - a1(t+\theta \Delta t)| \sigma | 1/\alpha e\varepsilon | \sigma |
1/\alpha
t\alpha \omega .
Покладемо \varepsilon =
a1t
2
. Тодi
\bigm| \bigm| Ds
\sigma \Phi \Delta t(\sigma )
\bigm| \bigm| \leq \~\~c \~\~Bsss(2 - \alpha )t\alpha \omega \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \~a| \sigma | 1/\alpha
\bigr\}
,
де \~\~c = \~cc\varepsilon ,
\~\~B = 2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\varepsilon , \~B
\bigr\}
, \~a = a1t/2, причому всi сталi не залежать вiд \Delta t.
Лему 3 доведено.
Наслiдок 1. Правильною є формула
\partial
\partial t
\bigl(
f \ast G(t, \cdot )
\bigr)
= f \ast \partial G(t, x)
\partial t
\forall f \in
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha
\bigr) \prime
, t \in (0, T ].
Доведення. За означенням згортки узагальненої функцiї з основною маємо
f \ast G(t, x) =
\bigl\langle
f\xi , T - x
\v G(t, \xi )
\bigr\rangle
, \v G(t, \xi ) = G(t, - \xi ).
Тодi
\partial
\partial t
(f \ast G(t, x)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
\bigl[
(f \ast G(t+\Delta t, \cdot )) - (f \ast G(t, \cdot ))
\bigr]
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
\biggl\langle
f\xi ,
1
\Delta t
\bigl[
T - x
\v G(t+\Delta t, \xi ) - T - x
\v G(t, \xi )
\bigr] \biggr\rangle
.
На пiдставi леми 3 граничне спiввiдношення
1
\Delta t
\bigl[
T - x
\v G(t+\Delta t, \cdot ) - T - x
\v G(t, \cdot )
\bigr]
- \rightarrow
\Delta t\rightarrow 0
\partial
\partial t
T - x
\v G(t, \cdot )
виконується в сенсi збiжностi за топологiєю простору S\alpha
2 - \alpha , тому з урахуванням неперервностi
функцiонала f
\partial
\partial t
\bigl(
f \ast G(t, x)
\bigr)
=
\biggl\langle
f\xi , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
1
\Delta t
\bigl[
T - x
\v G(t+\Delta t, \xi ) - T - x
\v G(t, \xi )
\bigr] \biggr\rangle
=
=
\biggl\langle
f\xi ,
\partial
\partial t
T - x
\v G(t, \xi )
\biggr\rangle
=
\biggl\langle
f\xi , T - x
\partial
\partial t
\v G(t, \xi )
\biggr\rangle
= f \ast \partial G(t, x)
\partial t
,
що й потрiбно було довести.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
900 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Лема 4. У просторi
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha
\bigr) \prime
справджується граничне спiввiдношення
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
G(t, \cdot ) -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
BlG(t, \cdot ) = \delta , (19)
де \delta — дельта-функцiя Дiрака.
Доведення. Використавши властивiсть неперервностi перетворення Фур’є та функцiї G(t, \cdot ),
як абстрактної функцiї параметра t зi значеннями у просторi S\alpha
2 - \alpha , спiввiдношення (19) замi-
нимо граничним спiввiдношенням
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
F [G(t, \cdot )] -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
F [BlG(t, \cdot )] = F [\delta ] (20)
у просторi (S2 - \alpha
\alpha )\prime . Урахувавши зображення функцiї G та операторiв Bl, l \in \{ 1, . . . ,m\} ,
спiввiдношення (20) запишемо у виглядi
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
Q(t, \sigma ) -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
gl(\sigma )Q(t, \sigma ) = 1. (21)
Для доведення спiввiдношення (21) беремо довiльну функцiю \psi \in S2 - \alpha
\alpha i, використовуючи
теорему про граничний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега та розумiючи gl(\cdot )Q(t, \cdot ), l \in
\in \{ 1, . . . ,m\} , як регулярну узагальнену функцiю з простору
\bigl(
S2 - \alpha
\alpha
\bigr) \prime
, знаходимо
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\langle Q(t, \cdot ), \psi \rangle -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
\langle gl(\cdot )Q(t, \cdot ), \psi \rangle =
= \mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\int
\BbbR
Q(t, \sigma )\psi (\sigma ) d\sigma -
m\sum
l=1
\mu l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tl
\int
\BbbR
gl(\sigma )Q(t, \sigma )\psi (\sigma ) d\sigma =
=
\int
\BbbR
\left[ \mu
\mu -
\sum m
k=1
\mu kgk(\sigma )Q1(tk, \sigma )
-
m\sum
l=1
\mu l
gl(\sigma )Q1(tl, \sigma )
\mu -
\sum m
k=1
\mu kgk(\sigma )Q1(tk, \sigma )
\right] \psi (\sigma ) d\sigma =
=
\int
\BbbR
\mu -
\sum m
l=1
\mu lgl(\sigma )Q1(tl, \sigma )
\mu -
\sum m
k=1
\mu kgk(\sigma )Q1(tk, \sigma )
\psi (\sigma ) d\sigma =
\int
\BbbR
\psi (\sigma ) d\sigma = \langle 1, \psi \rangle .
Звiдси випливає, що спiввiдношення (21) виконується у просторi
\bigl(
S2 - \alpha
\alpha
\bigr) \prime
, а отже, правильним
є спiввiдношення (19).
Лему 4 доведено.
Символом
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha ,\ast
\bigr) \prime
позначатимемо сукупнiсть усiх функцiоналiв iз простору
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha
\bigr) \prime
, якi
є згортувачами у просторi S\alpha
2 - \alpha .
Наслiдок 2. Нехай \omega (t, x) = f \ast G(t, x), f \in
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha ,\ast
\bigr) \prime
, (t, x) \in \Omega . Тодi у просторi
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha
\bigr) \prime
справджується граничне спiввiдношення
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
\omega (t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
Bk\omega (t, \cdot ) = f. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ПРО УЗАГАЛЬНЕНУ ЗАДАЧУ КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 901
Доведення. Оскiльки
\omega (t, x) = f \ast G(t, x) =
\bigl\langle
f\xi , T - x
\v G(t, \xi )
\bigr\rangle
, f \in
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha ,\ast
\bigr) \prime
,
то з властивостей неперервностi G(t, \cdot ), як абстрактної функцiї параметра t iз значеннями у
просторi S\alpha
2 - \alpha , випливає неперервнiсть \omega (t, \cdot ), як абстрактної функцiї параметра t зi значен-
нями в цьому ж просторi. Тодi, враховуючи властивiсть неперервностi перетворення Фур’є та
формулу F [f \ast G] = F [f ]F [G] = F [f ]Q, яка є правильною для довiльної узагальненої функцiї
f iз класу
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha ,\ast
\bigr) \prime
, вiд (22) переходимо до спiввiдношення
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
F [\omega (t, \cdot )] -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
F
\bigl[
Bk\omega (t, \cdot )
\bigr]
= F [f ]
у просторi
\bigl(
S2 - \alpha
\alpha
\bigr) \prime
або
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
Q(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
gk(\cdot )Q(t, \cdot ) = 1,
яке, як доведено ранiше (див. (21)), справджується в цьому просторi. Це доводить, що у просторi\bigl(
S\alpha
2 - \alpha
\bigr) \prime
спiввiдношення (22) виконується.
Наслiдок 2 доведено.
Функцiя G є розв’язком рiвняння (5). Справдi,
\partial
\partial t
G(t, x) =
\partial
\partial t
F - 1
\bigl[
Q(t, \sigma )
\bigr]
= F - 1
\biggl[
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )
\biggr]
.
З iншого боку,
AgG(t, x) = F - 1
\sigma \rightarrow x
\bigl[
g(\sigma )Fx\rightarrow \sigma [G(t, x)]
\bigr]
= F - 1
\bigl[
g(\sigma )Q(t, \sigma )
\bigr]
= F - 1
\biggl[
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )
\biggr]
.
Звiдси випливає, що функцiя G задовольняє рiвняння (5).
Далi функцiю G називатимемо фундаментальним розв’язком багатоточкової задачi для рiв-
няння (5).
З наслiдку 2 випливає, що для рiвняння (5) багатоточкову за часом задачу можна сформу-
лювати так: знайти розв’язок рiвняння (5), який задовольняє умову
\mu \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
u(t, \cdot ) -
m\sum
k=1
\mu k \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tk
Bku(t, \cdot ) = f, f \in
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha ,\ast
\bigr) \prime
, (23)
де граничне спiввiдношення розглядається у просторi
\bigl(
S\alpha
2 - \alpha
\bigr) \prime
(обмеження на параметри \mu ,
\mu 1, . . . , \mu m, t1, . . . , tm такi ж, як у випадку задачi (5), (8)).
Теорема 2. Нелокальна багатоточкова за часом задача (5), (23) є розв’язною, розв’язок
дається формулою u(t, x) = f \ast G(t, x), (t, x) \in \Omega , де G — фундаментальний розв’язок
задачi (5), (23).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
902 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Доведення. Переконаємося в тому, що функцiя u(t, x) є розв’язком рiвняння (5). Справдi
(див. наслiдок 1),
\partial u(t, x)
\partial t
=
\partial
\partial t
\bigl(
f \ast G(t, x)
\bigr)
= f \ast \partial G(t, x)
\partial t
,
Agu(t, x) = F - 1
\bigl[
g(\sigma )F [f \ast G]
\bigr]
(t, x).
Оскiльки f — згортувач у просторi S\alpha
2 - \alpha , то
F [f \ast G(t, x)](\sigma ) = F [f ](\sigma )F [G(t, x)](\sigma ) = F [f ](\sigma )Q(t, \sigma ).
Отже,
Agu(t, x) = F - 1
\bigl[
g(\sigma )Q(t, \sigma )F [f ](\sigma )
\bigr]
(x) = F - 1
\biggl[
\partial
\partial t
Q(t, \sigma )F [f ](\sigma )
\biggr]
(x) =
= F - 1
\biggl[
F
\biggl[
\partial
\partial t
G
\biggr]
F [f ](\sigma )
\biggr]
(x) = F - 1
\biggl[
F
\biggl[
f \ast \partial G
\partial t
\biggr] \biggr]
(x) = f \ast \partial G(t, x)
\partial t
.
Звiдси випливає, що функцiя u(t, x), (t, x) \in \Omega , задовольняє рiвняння (5). З наслiдку 2 випливає,
що u задовольняє умову (23) в указаному сенсi.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функций, Физматгиз, Москва (1958).
2. В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук, Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений, Наук. думка,
Киев (1984).
3. M. L. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, Boundary-value problems for operator differential equations, Kluwer, Dordrecht
etc. (1991).
4. А. И. Кашпировский, Граничные значения решений некоторых классов однородных дифференциальных урав-
нений в гильбертовом пространстве: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук, Киев (1981).
5. М. Л. Горбачук, П. И. Дудников, О начальных данных задачи Коши для параболических уравнений, при которых
решения бесконечно дифференцируемы, Докл. АН УССР, Сер. А, № 4, 9 – 11 (1981).
6. В. В. Городецький, Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу, Рута, Чернiвцi
(1998).
7. В. В. Городецький, Множини початкових значень гладких розв’язкiв диференцiально-операторних рiвнянь
параболiчного типу, Рута, Чернiвцi (1998).
8. В. В. Городецький, Еволюцiйнi рiвняння в злiченно нормованих просторах нескiнченно диференцiйовних функ-
цiй, Рута, Чернiвцi (2008).
9. А. М. Нахушев, Уравнения математической биологии, Высш., шк., Москва (1995).
10. И. А. Белавин, С. П. Капица, С. П. Курдюмов, Математическая модель глобальных демографических процессов
с учетом пространственного распределения, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 38, № 6, 885 – 902
(1988).
11. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Физматгиз, Москва
(1958).
12. Б. Л. Гуревич, Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-
разностных схем, Докл. АН СССР, 99, № 6, 893 – 896 (1954).
13. В. А. Лiтовченко, Цiлковита розв’язнiсть задачi Кошi у просторах типу S для рiвнянь, параболiчних за
Петровським, Укр. мат. журн., 54, № 11, 1467 – 1479 (2002).
Одержано 21.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2321 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:09Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fc/e7faebe05e393195afbabed3c881a1fc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23212022-03-26T11:01:54Z On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order Об обобщенной задаче Коши для одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка Про узагальнену задачу Коші для одного класу диференціальних рівнянь нескінченного порядку Horodets’kyi , V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецкий, В. В. Martynyuk, O. V. Петришин, Р. И. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. I. Cauchy problem UDC 517.98 We establish the solvability of a nonlocal multipoint time problem (which is treated as a generalization of the Cauchy problem) for an evolution equation with a pseudodifferential operator (a differentiation operator of infinite order) with initial conditions in the space of generalized functions having type of ultra distributions. УДК 517.98Установлено розрешимость нелокальной многоточечной по времени задачи (которая трактуется как некое обобщение задачи Коши) для эволюционного уравнения с псевдодифференциальным оператором (оператором дифференцирования бесконечного порядка) с начальным условием в пространстве обобщенных функций типа ультрараспределений. УДК 517.98 Встановлено розв’язнiсть нелокальної багатоточкової за часом задачi (яка трактується як певне узагальнення задачi Кошi) для еволюцiйного рiвняння з псевдодиференцiальним оператором (оператором диференцiювання нескiнченного порядку) з початковою умовою у просторi узагальнених функцiй типу ультрарозподiлiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-07-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2321 10.37863/umzh.v72i7.2321 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 7 (2020); 886-902 Український математичний журнал; Том 72 № 7 (2020); 886-902 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2321/8726 Copyright (c) 2020 Ольга Василівна Мартинюк, Василь Городецький, Роман Петришин |
| spellingShingle | Horodets’kyi , V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецкий, В. В. Martynyuk, O. V. Петришин, Р. И. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. I. On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order |
| title | On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order |
| title_alt | Об обобщенной задаче Коши для одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка Про узагальнену задачу Коші для одного класу диференціальних рівнянь нескінченного порядку |
| title_full | On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order |
| title_fullStr | On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order |
| title_full_unstemmed | On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order |
| title_short | On generalized Cauchy problem for one class of differential equation of infinite order |
| title_sort | on generalized cauchy problem for one class of differential equation of infinite order |
| topic_facet | Cauchy problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2321 |
| work_keys_str_mv | AT horodetskyivv ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT martynyukov ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT petryshynri ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT gorodeckijvv ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT martynyukov ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT petrišinri ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT gorodecʹkijvv ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT martinûkov ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT petrišinri ongeneralizedcauchyproblemforoneclassofdifferentialequationofinfiniteorder AT horodetskyivv obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT martynyukov obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT petryshynri obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT gorodeckijvv obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT martynyukov obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT petrišinri obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT gorodecʹkijvv obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT martinûkov obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT petrišinri obobobŝennojzadačekošidlâodnogoklassadifferencialʹnyhuravnenijbeskonečnogoporâdka AT horodetskyivv prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT martynyukov prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT petryshynri prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT gorodeckijvv prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT martynyukov prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT petrišinri prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT gorodecʹkijvv prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT martinûkov prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku AT petrišinri prouzagalʹnenuzadačukošídlâodnogoklasudiferencíalʹnihrívnânʹneskínčennogoporâdku |