Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces
UDC 517.983 Using the theory of generalized inversion of operators and integral operators, we obtain a criterion for solvability and a general form of solutions of linear boundary-value problem for integro-differential equation with a degenerate kernel in Banach space.
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2322 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508248460754944 |
|---|---|
| author | Boichuk , A. A. Zhuravlev , V. F. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. |
| author_facet | Boichuk , A. A. Zhuravlev , V. F. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. |
| author_sort | Boichuk , A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 517.983
Using the theory of generalized inversion of operators and integral operators, we obtain a criterion for solvability and a general form of solutions of linear boundary-value problem for integro-differential equation with a degenerate kernel in Banach space. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.2322 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.2322
УДК 517.983
О. A. Бойчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
В. П. Журавльов (Полiс. нац. ун-т, Житомир)
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ФРЕДГОЛЬМА
З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ
Using the theory of generalized inversion of operators and integral operators, we obtain a criterion for solvability and a
general form of solutions of linear boundary-value problem for integro-differential equation with a degenerate kernel in
Banach space.
Iз використанням теорiї узагальненого обернення операторiв i узагальненого обернення iнтегральних операторiв
отримано критерiй розв’язностi i загальний вигляд розв’язкiв лiнiйної крайової задачi для iнтегро-диференцiального
рiвняння з виродженим ядром у банаховому просторi.
Побудова математичних моделей процесiв, якi вiдбуваються в реальному свiтi, приводить до
крайових задач для рiзноманiтних операторних рiвнянь.
З точки зору фiзичних застосувань iнтегро-диференцiальнi рiвняння та крайовi задачi для
них становлять великий iнтерес, тому їхньому дослiдженню присвячено велику кiлькiсть праць.
Крайовi задачi для iнтегро-диференцiальних рiвнянь з багатоточковими та нелокальними
граничними умовами розглянуто в [1]. У [2] встановлено умови iснування i єдинiсть розв’язку
для класу iмпульсних дробових iнтегро-диференцiальних рiвнянь з нелокальними граничними
умовами. У [3] для iнтегро-диференцiального рiвняння Фредгольма з багатоточковими або
нелокальними iнтегральними граничними умовами отримано критерiй iснування й єдиностi
точного розв’язку та його аналiтичне зображення. Дослiдженню iснування єдиного розв’язку
двоточкової крайової задачi для iнтегро-диференцiального рiвняння присвячено роботу [4].
Побудова точних розв’язкiв крайових задач для iнтегро-диференцiальних рiвнянь є дос-
татньо важкою проблемою, тому у бiльшостi випадкiв розв’язки отримуються чисельними
методами. Розв’язання iнтегро-диференцiальних рiвнянь Фредгольма високого порядку чисель-
ними методами розглянуто у [5], а у [6] запропоновано чисельний метод розв’язання iнтегро-
диференцiальних рiвнянь, який ґрунтується на апроксимацiї розв’язку кубiчними сплайнами.
Достатнi умови iснування та єдиностi кусково-неперервних м’яких розв’язкiв дробових
iнтегро-диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi з не миттєвими iмпульсами отрима-
но в [7]. У [8] методами теорiї фундаментальних оператор-функцiй дослiджено задачу Кошi
для iнтегро-диференцiального рiвняння у банахових просторах з фредгольмовим оператором у
головнiй частинi. Побудовано фундаментальну оператор-функцiю, за допомогою якої отрима-
но конструктивну формулу для узагальненого розв’язку в класi розподiлiв з обмеженим злiва
носiєм. Описано умови збiгу класичного i узагальненого розв’язкiв.
Крайовi задачi, в яких вихiдне операторне рiвняння не є скрiзь розв’язним, а оператор
дiє у нескiнченновимiрних банахових або гiльбертових просторах, вивчались мало, оскiльки
їхнє розв’язання залежить вiд можливостi розв’язання вихiдного операторного рiвняння i вiд
крайових умов, якi накладаються на розв’язок. Крайовi задачi для iнтегро-диференцiальних
c\bigcirc О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11 1469
1470 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
рiвнянь належать саме до такого типу задач, оскiльки iнтегро-диференцiальний оператор не
має оберненого [9].
Тому актуальною є потреба встановлення коефiцiєнтних умов iснування та методiв побу-
дови загальних розв’язкiв крайових задач для iнтегро-диференцiальних рiвнянь Фредгольма з
виродженим ядром у банахових просторах в аналiтичному виглядi.
Постановка задачi. Нехай \bfB , \bfB 1, \bfB 2 — банаховi простори, \scrI = [a, b] — скiнченний
промiжок.
Розглянемо крайову задачу для iнтегро-диференцiального рiвняння
\.z(t) -
b\int
a
\Biggl[
n\sum
i=1
Pi(t)Wi(s)z(s) +
n\sum
i=1
Qi(t)Vi(s) \.z(s)
\Biggr]
ds = f(t), (1)
\ell z(\cdot ) = \alpha . (2)
Позначивши операторнi матрицi так:
P (t) =
\bigl[
P1(t), . . . , Pn(t)
\bigr]
, Q(s) =
\bigl[
Q1(t), . . . , Qn(t)
\bigr]
,
W (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl[
W1(t), . . . ,Wn(t)
\bigr]
, V (s) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl[
V1(t), . . . , Vn(t)
\bigr]
,
запишемо крайову задачу (1), (2) у виглядi
\.z(t) -
b\int
a
\Bigl[
P (t)W (s)z(s) +Q(t)V (s) \.z(s)
\Bigr]
ds = f(t), (3)
\ell z(\cdot ) = \alpha , (4)
де оператор-функцiї P (t) та Q(t) дiють з \bfB 1 у \bfB 2, сильно неперервнi з нормами | | | P | | | =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| P (t)\| B1\rightarrow B2 = P0 < \infty та | | | Q| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| Q(t)\| B1\rightarrow B2 = Q0 < \infty , а оператор-
функцiї W (t) та V (t) дiють з \bfB 2 у \bfB 1, сильно неперервнi з нормами | | | W | | | =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| W (t)\| B2\rightarrow B1 = W0 < \infty та | | | V | | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| V (t)\| B2\rightarrow B1 = V0 < \infty , вектор-функцiя
f(t) дiє з вiдрiзка \scrI у \bfB 2 : f(t) \in \bfC (\scrI ,\bfB 2) :=
\bigl\{
f(\cdot ) : \scrI \rightarrow \bfB 2, | | | f | | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| f(t)\|
\bigr\}
, \ell :
\bfC 1(\scrI ,\bfB 2) \rightarrow \bfB — лiнiйний векторний функцiонал, \alpha \in \bfB . Тут \bfC (\scrI ,\bfB 2) — банаховий простiр
неперервних на \scrI вектор-функцiй зi значеннями у \bfB 2, \bfC
1(\scrI ,\bfB 2) — банаховий простiр непе-
рервно диференцiйовних вектор-функцiй з нормою | | | z| | | =
\sum 1
k=0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| z
(k)(t)\| , де z(k)(t) —
k-та похiдна вiд z(t). Похiдна \.z(t) розумiється в сенсi [10, c. 140].
Розв’язком z(t) крайової задачi (3), (4) будемо називати таку вектор-функцiю z(t), яка
задовольняє рiвняння (3) i крайову умову (4). При цьому z(t) \in \bfC 1(\scrI ,\bfB 2), \.z(t) \in \bfC (\scrI ,\bfB 2).
У цiй роботi отримано критерiй розв’язностi та загальний вигляд розв’язкiв лiнiйної кра-
йової задачi (3), (4) для iнтегро-диференцiального рiвняння з виродженим ядром у банахових
просторах. При цьому використано теорiю узагальненого обернення операторiв у банахових
просторах [11 – 13] iз урахуванням специфiки, яка притаманна iнтегро-диференцiальним опе-
раторам.
Розв’язок лiнiйного iнтегро-диференцiального рiвняння. Для розв’язання поставленої
задачi необхiдно отримати умови розв’язностi та загальний вигляд розв’язкiв рiвняння (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1471
Замiною \.z(t) = y(t) або
z(t) =
t\int
a
y(s)ds+ c0, c0 \in \bfB 2, (5)
рiвняння (3) зводимо до iнтегрального рiвняння
y(t) -
b\int
a
P (t)W (s)
\left[ s\int
a
y(\tau )d\tau + c0
\right] ds -
b\int
a
Q(t)V (s)y(s)ds = f(t). (6)
Змiнивши порядок iнтегрування в першому iнтегралi в (6), отримаємо
y(t) -
b\int
a
P (t)\widetilde W (s)y(s)ds -
b\int
a
Q(t)V (s)y(s)ds = f(t) + P (t)Wc0, (7)
де
\widetilde W (s) =
b\int
s
W (\tau )d\tau , W = \widetilde W (a).
Позначимо операторнi матрицi
M(t) =
\Bigl[
P (t), Q(t)
\Bigr]
, N(s) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\Bigl[ \widetilde W (s), V (s)
\Bigr]
. (8)
Тодi рiвняння (7) можна записати у виглядi
y(t) - M(t)
b\int
s
N(s)y(s)ds = g(t), (9)
де
g(t) = f(t) + P (t)Wc0. (10)
Нехай D = IB1\times B1 - A, A =
\int b
a
N(s)M(s) ds, D : \bfB 1 \times \bfB 1 \rightarrow \bfB 1 \times \bfB 1 — обмежений
узагальнено оборотний оператор. Тодi iснують обмеженi проектори [14] \scrP N(D) : \bfB 1 \times \bfB 1 \rightarrow
\rightarrow N(D) — на нуль-простiр N(D) та \scrP YD
: \bfB 1\times \bfB 1 \rightarrow YD — на пiдпростiр YD = \bfB 1\times \bfB 1\ominus R(D)
оператора D, а також D - — обмежений узагальнено обернений оператор до оператора D [13].
Оскiльки оператор D — це (2\times 2)-вимiрна операторна матриця, то проектори \scrP N(D) \scrP YD
—
це теж (2\times 2)-вимiрнi операторнi матрицi, якi мають таку структуру:
\scrP N(D) =
\Biggl[
p11 p12
p21 p22
\Biggr]
, \scrP YD
=
\Biggl[
q11 q12
q21 q22
\Biggr]
. (11)
Вiдомо [15], що при виконаннi умови
\scrP YD
b\int
a
N(s)g(s)ds = 0, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1472 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
i лише при нiй, iнтегральне рiвняння (6) має сiм’ю розв’язкiв
y(t) = M(t)\scrP N(D)
\Biggl[
c1
c1
\Biggr]
+ g(t) +M(t)D -
b\int
a
N(s)g(s)ds, (13)
де c1 — довiльний елемент iз банахового простору \bfB 1.
З урахуванням структури операторної матрицi M(t) (8) та проектора \scrP N(D) (11) у рiвнян-
нi (13) запис M(t)\scrP N(D)
\biggl[
c1
c1
\biggr]
означає, що
M(t)\scrP N(D)
\Biggl[
c1
c1
\Biggr]
=
\bigl[
P (t), Q(t)
\bigr] \Biggl[ p11 p12
p21 p22
\Biggr] \Biggl[
c1
c1
\Biggr]
=
=
\Bigl[
P (t)p11 +Q(t)p21, P (t)p12 +Q(t)p22
\Bigr] \Biggl[ c1
c1
\Biggr]
=
=
\Bigl[
P (t)(p11 + p12) +Q(t)(p21 + p22)
\Bigr]
c1.
Тому далi загальний розв’язок (13) iнтегрального рiвняння (9) будемо записувати так:
y(t) = X1(t)c1 + g(t) +M(t)D -
b\int
a
N(s)g(s)ds,
де X(t) = P (t)(p11 + p12) +Q(t)(p21 + p22), c1 — довiльний елемент банахового простору \bfB 1.
Для знаходження значення c0 \in \bfB 2, при якому умова розв’язностi (12) буде виконуватись,
пiдставимо g(t) з (10) у (12). В результатi отримаємо операторне рiвняння
\scrP YD
b\int
a
N(s)
\bigl[
f(s) + P (s)Wc0
\bigr]
ds = 0,
з якого знайдемо значення c0 \in \bfB 2.
Позначивши
S = \scrP YD
b\int
a
N(s)P (s)Wds = \scrP YD
AW, S : \bfB 2 \rightarrow \bfB 1 \times \bfB 1,
A =
b\int
a
N(s)P (s)ds, A : \bfB 2 \rightarrow \bfB 1 \times \bfB 1,
b0 = - \scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds, b0 \in \bfB 1 \times \bfB 1,
отримаємо операторне рiвняння
Sc0 = b0. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1473
Нехай оператор S є узагальнено оборотним, а отже нормально розв’язним. Тодi iснують
обмеженi проектори \scrP N(S) : \bfB 2 \rightarrow \bfB 2, \scrP YS
: \bfB 1 \times \bfB 1 \rightarrow \bfB 1 \times \bfB 1 i обмежений узагальнено
обернений оператор S - : \bfB 1 \times \bfB 1 \rightarrow \bfB 2 до оператора S.
Операторне рiвняння (14) розв’язне тодi i лише тодi, коли виконується умова [13]
\scrP YS
b0 = \scrP YS
\scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds = 0,
при виконаннi якої рiвняння (14) має сiм’ю розв’язкiв
c0 = \scrP N(S)c2 + S - b0, (15)
де c2 — довiльний елемент iз банахового простору \bfB 2.
Врахувавши (15), пiдставимо g(s) = f(s)+P (s)W
\bigl[
\scrP N(S)c2+S - b0
\bigr]
у розв’язок (13) iнтег-
рального рiвняння (9):
y(t) = X1(t)c1 + f(t) + P (t)W\scrP N(S)c2 + P (t)WS - b0+
+M(t)D -
b\int
a
N(s)
\Bigl[
f(s) + P (s)W
\bigl(
\scrP N(S)c2 + S - b0
\bigr) \Bigr]
ds.
Пiсля перетворень отримаємо загальний розв’язок iнтегрального рiвняння (9):
y(t) =
\Bigl[
X1(t), L(t)\scrP N(S)
\Bigr] \Biggl[ c1
c2
\Biggr]
+ f(t)+
+M(t)D -
b\int
a
N(s)f(s)ds - L(t)S - \scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds,
де L(t) =
\Bigl[
P (t) +M(t)D - A
\Bigr]
W, c1 \in \bfB 1, c2 \in \bfB 2 — довiльнi сталi.
Тодi, врахувавши замiну (5), отримаємо загальний розв’язок iнтегро-диференцiального рiв-
няння (3):
z(t) =
t\int
a
y(s)ds+ c0 =
\Bigl[
X1(t), X2(t)
\Bigr] \Biggl[ c1
c2
\Biggr]
+
+ \~f(t) + \widetilde M(t)D -
b\int
a
N(s)f(s)ds -
- \widetilde L(t)S - \scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds - S - \scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds, (16)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1474 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
\~f(t) =
t\int
a
f(s)ds, \widetilde M(t) =
t\int
a
M(s)ds, \widetilde L(t) = t\int
a
L(s)ds,
(17)
X1(t) =
t\int
a
X1(s)ds, X2(t) = \widetilde L(s)\scrP N(S) + \scrP N(S).
Позначивши
F (t) =
\Bigl[ \widetilde M(t)D - - \widetilde L(t)S - \scrP YD
- S - \scrP YD
\Bigr] b\int
a
N(s)f(s)ds,
остаточно отримаємо
z(t) =
\Bigl[
X1(t), X2(t)
\Bigr] \Biggl[ c1
c2
\Biggr]
+ \~f(t) + F (t). (18)
Таким чином, для iнтегро-диференцiального рiвняння (3) справедливою є така теорема.
Теорема 1. Нехай оператори D : \bfB 1 \rightarrow \bfB 1 та S : \bfB 2 \rightarrow \bfB 1 узагальнено оборотнi. Тодi
iнтегро-диференцiальне рiвняння (3) розв’язне для тих i лише тих f(t) \in \bfC ([a, b],\bfB 2), якi
задовольняють умову
\scrP YS
\scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds = 0, (19)
i при цьому має сiм’ю розв’язкiв (18).
Зауваження 1. Iнтегро-диференцiальне рiвняння
(Lz)(t) := \.z(t) +H(t)z(t) -
b\int
a
\Biggl[
n\sum
i=1
Pi(t)Wi(s)z(s) +
n\sum
i=1
Qi(t)Vi(s) \.z(s)
\Biggr]
ds = f(t),
де оператор-функцiя H(t) дiє з банахового простору \bfB 2 в банаховий простiр \bfB 2 i силь-
но неперервна з нормою | | | H| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| H(t)\| B2\rightarrow B2 = H0 < \infty , за допомогою замiни
z(t) = Y (t)y(t), де Y (t) — фундаментальний оператор [10, c. 148] рiвняння \.z(t) = - H(t)z(t),
зводиться до вигляду (3).
Зауваження 2. Якщо у рiвняннi (1) Pi(t) = Qi(t), i = 1, n, то у позначеннях (8) M(t) =
= P (t), N(s) = \widetilde W (s) + V (s) i iнтегро-диференцiальне рiвняння (3) набирає вигляду
\.z(t) - M(t)
b\int
a
\Bigl[
W (s)z(s) + V (s) \.z(s)
\Bigr]
ds = f(t). (20)
У цьому випадку iнтегро-диференцiальне рiвняння (20) буде розв’язним для тих i лише тих
f(t), якi задовольняють умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1475
\scrP YS
\scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds = 0,
при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв [12]
z(t) =
\Bigl[ \widetilde M(t)\scrP N(D),
\bigl( \widetilde M(t) \widetilde D\scrP N(S) + \scrP N(S)
\bigr) \Bigr] \Biggl[ c1
c2
\Biggr]
+ \~f(t) + F (t),
де
\widetilde M(t) =
t\int
a
M(s)ds, \~f(t) =
t\int
a
f(s)ds,
F (t) =
\Bigl[ \widetilde M(t)D - S - \scrP YD
\Bigr] b\int
a
N(s)f(s)ds, (21)
D = D - - \widetilde DS - \scrP YD
, \widetilde D = (IB2 +D - A)W.
Зауваження 3. Якщо \scrP YD
= 0, то оператор D буде n-нормальним [17] (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}YD = 0).
У цьому випадку умова розв’язностi (12) буде завжди виконуватись i iнтегральне рiвняння (9)
з урахуванням (15) буде мати розв’язок
y(t) = X1(t)c1 + f(t) + P (t)Wc0 +M(t)D - 1
r
b\int
a
N(s)
\Bigl[
f(s) + P (s)Wc0
\Bigr]
ds =
=
\Bigl[
X1(t), L(t)
\Bigr] \Biggl[ c1
c2
\Biggr]
+ f(t) +M(t)D - 1
r
b\int
a
N(s)f(s)ds,
де L(t) =
\Bigl[
P (t) + M(t)D - 1
r A
\Bigr]
W, D - 1
r — правий обернений оператор [18] до оператора D,
c1 \in \bfB 1, c2 \in \bfB 2 — довiльнi сталi.
Умова розв’язностi (19) iнтегро-диференцiального рiвняння (3) теж буде завжди виконува-
тись, i воно буде мати сiм’ю розв’язкiв
z(t) =
\Bigl[
X1(t), X2(t)
\Bigr] \Biggl[ c1
c2
\Biggr]
+ \~f(t) + \widetilde M(t)D - 1
r
b\int
a
N(s)f(s)ds,
де \widetilde M(t), \widetilde L(t) i \~f(t) визначено у (17), X1(t) =
\int t
a
X1(s)ds, X2(t) = \widetilde L(t) + IB2 , оскiльки
оператор S = \scrP YD
AW = 0, а \scrP N(S) = IB2 .
Зауваження 4. Якщо \scrP N(D) = 0, то оператор D буде n-нормальним [17] (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D = 0).
У цьому випадку при виконаннi умови (12) iнтегральне рiвняння (9) буде мати сiм’ю розв’язкiв,
яка буде залежати лише вiд параметра c2 \in \bfB 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1476 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
y(t) = L(t)\scrP N(S)c2 + f(t)+
+M(t)D - 1
l
b\int
a
N(s)f(s)ds - L(t)S - \scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds,
де L(t) =
\Bigl[
P (t) + M(t)D - 1
l A
\Bigr]
W, D - 1
l — лiвий обернений оператор [18] до оператора D,
c2 \in \bfB 2 — довiльна стала.
У цьому випадку при виконаннi умови (19), i лише при нiй, iнтегро-диференцiальне рiв-
няння (3) буде мати сiм’ю розв’язкiв
z(t) = X2(t)c2 + \~f(t) + F (t).
Крайовi задачi у банахових просторах. Далi розглянемо крайову задачу (3), (4).
Пiдставивши розв’язок (18) у крайову умову (4), отримаємо операторне рiвняння вiдносно
довiльних сталих c1 \in \bfB 1, c2 \in \bfB 2 :
[Q1, Q2]
\Biggl[
c1
c2
\Biggr]
= \alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot ), (22)
де Q1 = \ell X1(\cdot ), Q2 = \ell X2(\cdot ) — лiнiйнi обмеженi оператори.
Вiдомо [16], що операторна матриця Q = [Q1, Q2] має обмежену узагальнено обернену
тодi i лише тодi, коли оператори Q1 та \widehat Q2 = \scrP YQ1
Q2 узагальнено оборотнi. Нехай оператори
Q1 та \widehat Q2 узагальнено оборотнi. Наслiдком узагальненої оборотностi оператора Q є нормальна
розв’язнiсть операторного рiвняння (22).
Використовуючи теорему 3 з [16, c. 478] про розв’язнiсть рiвняння з операторною матрицею,
приходимо до висновку, що рiвняння (22) розв’язне тодi i лише тодi, коли виконується умо-
ва [11, 13]
\scrP YQ
\bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\bigr]
= 0. (23)
При виконаннi цiєї умови рiвняння (22) має сiм’ю розв’язкiв\Biggl[
c1
c2
\Biggr]
= \scrP N(Q)
\Biggl[
\^c1
\^c2
\Biggr]
+Q - \bigl[ \alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\bigr]
, (24)
де [16]
\scrP YQ
= \scrP Y \widehat Q2
\scrP YQ1
, \scrP N(Q) =
\Biggl[
\scrP N(Q1) - Q -
1 Q2\scrP N( \widehat Q2)
0 \scrP
N( \widehat Q2)
\Biggr]
, (25)
Q - =
\Biggl[
Q -
1 - Q -
1 Q2
\widehat Q -
2 \scrP YQ1\widehat Q -
2 \scrP YQ1
\Biggr]
.
Для скорочення записiв позначимо
\widetilde \scrP 2 = - Q -
1 Q2\scrP N( \widehat Q2)
, \widetilde Q -
1 = Q -
1 - Q -
1 Q2
\widehat Q -
2 \scrP YQ1
, \widetilde Q -
2 = \widehat Q -
2 \scrP YQ1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1477
Тодi (24) набере вигляду\Biggl[
c1
c2
\Biggr]
=
\left[ \scrP N(Q1)
\widetilde \scrP 2
0 \scrP
N( \widehat Q2)
\right] \Biggl[
\^c1
\^c2
\Biggr]
+
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\bigr]
, (26)
де \^c1 \in \bfB 1, \^c2 \in \bfB 2 — довiльнi сталi.
Пiдставивши знайденi c1 та c2 з (26) у (18), отримаємо загальний розв’язок крайової зада-
чi (3), (4):
z(t) =
\Bigl[
X1(t), X2(t)
\Bigr] \left\{
\left[ \scrP N(Q1)
\widetilde \scrP 2
0 \scrP
N( \widehat Q2)
\right] \Biggl[
\^c1
\^c2
\Biggr]
+
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr] \bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\bigr] \right\} + \~f(t) + F (t).
Пiсля перетворень будемо мати
z(t) =
\Bigl[
X1(t)\scrP N(Q1), X1(t) \widetilde \scrP 2 +X2(t)\scrP N( \widehat Q2)
\Bigr] \Biggl[ \^c1
\^c2
\Biggr]
+
+ \~f(t) -
\Bigl[
X1(t) \widetilde Q -
1 +X2(t) \widetilde Q -
2
\Bigr]
\ell \~f(\cdot )+
+F (t) -
\Bigl[
X1(t) \widetilde Q -
1 +X2(t) \widetilde Q -
2
\Bigr]
\ell F (\cdot ) +
\Bigl[
X1(t) \widetilde Q -
1 +X2(t) \widetilde Q -
2
\Bigr]
\alpha ,
або
z(t) =
\Bigl[
X1(t)\scrP N(Q1), X1(t) \widetilde \scrP 2 +X2(t)\scrP N( \widehat Q2)
\Bigr] \Biggl[ \^c1
\^c2
\Biggr]
+
+G[ \~f, F ](t) +
\Bigl[
X1(t) \widetilde Q -
1 +X2(t) \widetilde Q -
2
\Bigr]
\alpha .
Оператор G[ \~f, F ](t) — узагальнений оператор Грiна напiводнорiдної крайової задачi (\alpha =
= 0), дiя якого на функцiї \~f, F вiдбувається таким чином:
G[ \~f, F ](t) = \~f(t) -
\Bigl[
X1(t) \widetilde Q -
1 +X2(t) \widetilde Q -
2
\Bigr]
\ell \~f(\cdot )+
+F (t) -
\Bigl[
X1(t) \widetilde Q -
1 +X2(t) \widetilde Q -
2
\Bigr]
\ell F (\cdot ). (27)
Теорема 2. Нехай оператори D : \bfB 1 \rightarrow \bfB 1, S : \bfB 2 \rightarrow \bfB 1, Q1 : \bfB 1 \rightarrow \bfB та \widehat Q2 : \bfB 2 \rightarrow \bfB
узагальнено оборотнi.
Тодi вiдповiдна до (3), (4) однорiдна (f(t) = 0, \alpha = 0) крайова задача має сiм’ю розв’язкiв
z(t) =
\Bigl[
X1(t)\scrP N(Q1), X1(t) \widetilde \scrP +X2(t)\scrP N( \widehat Q2)
\Bigr] \Biggl[ \^c1
\^c2
\Biggr]
,
де \^c1 \in \bfB 1 i \^c2 \in \bfB 2 — довiльнi елементи з банахових просторiв \bfB 1 i \bfB 2.
Неоднорiдна крайова задача (3), (4) має розв’язки для тих i лише тих f(t) \in \bfC
\bigl(
[a, b],\bfB 2
\bigr)
та \alpha \in \bfB , якi задовольняють систему умов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1478 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
\scrP YS
\scrP YD
b\int
a
N(s)f(s)ds = 0,
\scrP Y \widehat Q2
\scrP YQ1
\left\{ \alpha - \ell
(\cdot )\int
a
f(s)ds - \ell
\left[ (\cdot )\int
a
\widetilde M(s)Dds - S - \scrP YD
\right] b\int
a
N(\tau )f(\tau )d\tau
\right\} = 0.
При виконаннi цих умов вона має сiм’ю розв’язкiв
z(t) = X(t)\scrP N(Q)\^c+G[ \~f, F ](t) +X(t)Q - \alpha ,
де X(t) =
\Bigl[
X1(t), X2(t)
\Bigr]
, \^c = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}[\^c1, \^c2], Q
- =
\Biggl[ \widetilde Q -
1\widetilde Q -
2
\Biggr]
, G[ \~f, F ](t) — узагальнений оператор
Грiна (27).
Крайовi задачi в евклiдових просторах. У випадку, коли крайова задача для iнтегро-
диференцiального рiвняння розглядається в евклiдових просторах, теорему 2 можна конкрети-
зувати та спростити.
Розглянемо крайову задачу (3), (4) за умови, що P (t) = Q(t). Тодi вона буде мати вигляд
\.z(t) - M(t)
b\int
a
\Bigl[
W (s)z(s) + V (s) \.z(s)
\Bigr]
ds = f(t), (28)
\ell z(\cdot ) = \alpha , (29)
оскiльки, як зазначено у зауваженнi 2, M(t) = P (t) i N(s) = \widetilde W (s) + V (s).
Нехай M(t) — (n \times m)-вимiрна матриця, W (t) i V (t) — (m \times n)-вимiрнi матрицi, f(t) —
(n \times 1)-вимiрна матриця, елементи яких належать до простору \bfL 2[a, b], \ell : \bfD n
2 [a, b] \rightarrow \bfR k —
k-вимiрний лiнiйний векторний функцiонал, \alpha \in \bfR k.
Розв’язок крайової задачi будемо шукати у класi функцiй z(t) таких, що z(t) \in \bfD n
2 [a, b],
\.z(t) \in \bfL n
2 [a, b]. У цьому випадку можна застосувати методи побудови псевдообернених матриць
та ортопроекторiв [13].
Оператор D = Im - A, A =
\int b
a
N(s)M(s) ds та ортопроектори PN(D) i PN(D\ast ) будуть
(m\times m)-вимiрними матрицями.
Нехай \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}D = n1. Позначимо через PNr(D) (m \times r)-вимiрну матрицю, яку складено з
r = m - n1 лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-ортопроектора PN(D), через PNr(D\ast ) (r\times m)-
вимiрну матрицю, яку складено з r лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроектора PN(D\ast )
на нуль-простiр N(D\ast ) матрицi D\ast , спряженої до матрицi D, а через D+ матрицю, псевдо-
обернену до матрицi D.
Тодi S = PNr(D\ast )W — (r \times n)-вимiрна матриця, b0 = - PNr(D\ast )
\int b
a
N(s)f(s)ds.
Нехай \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S = n2. Позначимо через PNp(S) (n \times p)-вимiрну матрицю, яку складено з
p = n - n2 лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-ортопроектора PN(S), через PNd(S\ast ) (d\times r)-
вимiрну матрицю, яку складено з d = r - n2 лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроектора
PN(S\ast ), а через S+ матрицю, псевдообернену до матрицi S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1479
Тодi iнтегро-диференцiальне рiвняння (28) має розв’язок для тих i лише тих f(t) \in \bfR n, якi
задовольняють d = r - n2 лiнiйно незалежних умов [12]
PNd(S\ast )PNr(D\ast )
b\int
a
N(s)f(s)ds = 0,
i при цьому має (r + p)-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
z(t) =
\Bigl[ \widetilde M(t)PNr(D),
\bigl( \widetilde M(t) \widetilde DPNp(S) + PNp(S)
\bigr) \Bigr] \Biggl[ cr
cp
\Biggr]
+ \~f(t) + F (t) =
= Xr+p(t)cr+p + \~f(t) + F (t). (30)
Тут Xr+p(t) =
\Bigl[ \widetilde M(t)\scrP Nr(D), \widetilde M(t) \widetilde D\scrP Np(S)+\scrP Np(S)
\Bigr]
— (n\times (r+ p))-вимiрна фундаментальна
матриця вiдповiдного до (28) однорiдного рiвняння, cr+p = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}[cr, cp] \widetilde D = (Im + D+A)W,
cr \in \bfR r, cp \in \bfR p — довiльнi сталi, \widetilde M(t) i \~f(t) мають вигляд (21),
F (t) =
\Bigl\{ \widetilde M(t)
\Bigl[
D+ - \widetilde DS+PNr(D\ast )
\Bigr]
- S+PNr(D\ast )
\Bigr\} b\int
a
N(s)f(s)ds.
Пiдставивши розв’язок (30) у крайову умову (29), отримаємо алгебраїчне рiвняння вiдносно
довiльних сталих cr \in \bfR r та cp \in \bfR p :
Qcr+p = [Q1, Q2]
\Biggl[
cr
cp
\Biggr]
= \alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot ), (31)
де Q = [Q1, Q2] —
\bigl(
k \times (r + p)
\bigr)
-вимiрна стала матриця, Q1 = \ell Xr(\cdot ), Q2 = \ell Xp(\cdot ).
Нехай \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q = n3. Позначимо через PN\rho (Q)
\bigl(
(r+p)\times \rho
\bigr)
-вимiрну матрицю, яку складено з
\rho = r+p - n3 лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-ортопроектора PN(Q), через PN\nu (Q\ast ) (\nu \times k)-
вимiрну матрицю, яку складено з \nu = k - n3 лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроектора
PN(Q\ast ), а через Q+
\bigl(
(r + p)\times k
\bigr)
-вимiрну матрицю, псевдообернену до матрицi Q.
Тодi алгебраїчне рiвняння (31) має розв’язки для тих i лише тих \alpha й f(t), якi задовольняють
\nu лiнiйно незалежних умов [13]
PN\nu (Q\ast )
\Bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\Bigr]
= 0.
При виконаннi цих умов воно має \rho -параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
cr+p = PN\rho (Q)\^c\rho +Q+
\Bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\Bigr]
, (32)
де \^c\rho — довiльний вектор з евклiдового простору R\rho .
Пiдставивши (32) у (30), отримаємо загальний розв’язок крайової задачi (28), (29):
z(t) = Xr+p(t)
\Bigl\{
PN\rho (Q)\^c\rho +Q+
\Bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\Bigr] \Bigr\}
+ \~f(t) + F (t) =
= X\rho (t)\^c\rho +G[ \~f, F ](t) +Xr+p(t)Q
+\alpha ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1480 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
де X\rho (t) = Xr+p(t)PN\rho (Q) — (n\times \rho )-вимiрна фундаментальна матриця вiдповiдної до (28), (29)
крайової задачi, яка складена з \rho лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi Xr+p(t), G[ \~f, F ](t) —
узагальнений оператор Грiна напiводнорiдної (\alpha = 0) крайової задачi (28), (29), дiя якого на
функцiї \~f(t) та F (t) вiдбувається за правилом
G[ \~f, F ](t) =
\Bigl[
\~f(t) - Xr+p(t)Q
+\ell \~f(\cdot )
\Bigr]
+
\Bigl[
F (t) - Xr+p(t)Q
+\ell F (\cdot )
\Bigr]
. (33)
Таким чином, для крайової задачi (28), (29), яка розглядається в евклiдовому просторi,
справедливою є така теорема.
Теорема 3. Нехай \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}D = n1, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S = n2, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Q = n3.
Тодi вiдповiдна до (28), (29) однорiдна (f(t) = 0, \alpha = 0) крайова задача має \rho -параметричну
сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
z(t) = X\rho (t)\^c\rho ,
де \^c\rho \in \bfR \rho — довiльний вектор-стовпець констант.
Неоднорiдна крайова задача (28), (29) має розв’язки для тих i лише тих \alpha \in \bfR k та
f(t) \in \bfL 2[a, b], якi задовольняють систему d+ \nu лiнiйно незалежних умов
PNd(S\ast )PNr(D\ast )
b\int
a
N(s)f(s)ds = 0,
PN\nu (Q\ast )
\Bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\Bigr]
= 0.
При виконаннi цих умов вона має сiм’ю \rho лiнiйно незалежних розв’язкiв
z(t) = X\rho (t)\^c\rho +G[ \~f, F ](t) +Xr+p(t)Q
+\alpha ,
де G[ \~f, F ](t) — узагальнений оператор Грiна (33) напiводнорiдної (\alpha = 0) крайової задачi (28),
(29).
Зауваження 5. Дослiдження умов розв’язностi та побудову загальних розв’язкiв iнтегро-
диференцiальних рiвнянь i крайових задач для них в евклiдових просторах iз використанням
псевдообернених матриць та проекторiв уперше було проведено у [19], де було застосовано
iнший пiдхiд, нiж у данiй статтi.
Приклад. Розглянемо крайову задачу для iнтегро-диференцiального рiвняння
\.z(t) - M(t)
2\int
0
\Bigl[
W (s)z(s) + V (s) \.z(s)
\Bigr]
ds = f(t), (34)
\ell z(\cdot ) =
2\int
0
R(s)z(s)ds = \alpha . (35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1481
Для цiєї задачi
M(t) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Biggl\{ \Biggl[
0 t - 1 0
1 0 3t
\Biggr]
,
\Biggl[
0 t - 1 0
1 0 3t
\Biggr]
, . . .
\Biggr\}
,
W (s) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 s - 3
2
- 3
2
0
1 0
\right] ,
\left[
0 s - 3
2
- 3
2
0
1 0
\right] , . . .
\right\} ,
V (s) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
1 0
- 1 0
s - 1
s - 1
2
\right] ,
\left[
1 0
- 1 0
s - 1
s - 1
2
\right] , . . .
\right\} ,
R(s) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
s - 1 0
s 0
0 2s - 3
\right] ,
\left[
s - 1 0
s 0
0 2s - 3
\right] , . . .
\right\} .
Нехай \bfc — банаховий простiр збiжних числових послiдовностей, оператор-функцiї M(t),
W (t), V (t) i H(t) дiють з банахового простору неперервно диференцiйовних на промiжку [0, 2]
функцiй \bfC
\bigl(
[0, 2], \bfc
\bigr)
у себе з нормами | | | M | | |
C
\bigl(
[0,2],c
\bigr) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,2] \| M(t)\| c, | | | W | | |
C
\bigl(
[0,2],c
\bigr) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,2] \| W (t)\| c, | | | V | | |
C
\bigl(
[0,2],c
\bigr) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,2] \| V (t)\| c, | | | R| | |
C
\bigl(
[0,2],c
\bigr) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [0,2] \| R(t)\| c,
вектор-функцiя f(t) \in \bfC
\bigl(
[0, 2], \bfc
\bigr)
дiє з вiдрiзка [0, 2] у простiр \bfc .
Очевидно, що L є лiнiйним обмеженим оператором, який дiє з банахового простору непе-
рервно диференцiйовних на промiжку [0, 2] функцiй \bfC 1
\bigl(
[0, 2], \bfc
\bigr)
у банаховий простiр
\bfC
\bigl(
[0, 2], \bfc
\bigr)
, а вектор-функцiонал \ell дiє з банахового простору \bfC
\bigl(
[0, 2], \bfc
\bigr)
у простiр \bfc , \alpha \in \bfc .
Iнтегро-диференцiальне рiвняння (34) має розв’язок для тих i лише тих f(t), якi задоволь-
няють умову
\scrP YS
\scrP YD
2\int
0
N(s)f(s)ds = 0,
де
N(s) = \widetilde W (s) + V (s) =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
1 - s2
2
+
3s
2
- 1
3s
2
- 4 0
1
s - 1
2
\right] ,
\left[
1 - s2
2
+
3s
2
- 1
3s
2
- 4 0
1
s - 1
2
\right] , . . .
\right\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1482 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
\widetilde W (s) =
2\int
s
W (\tau )d\tau , W = \widetilde W (0) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 - 1
- 3 0
2 0
\right] ,
\left[
0 - 1
- 3 0
2 0
\right] , . . .
\right\} ,
D = I -
2\int
0
N(s)M(s)ds = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
4
3
0 0
0 0 0
0 0 0
\right] ,
\left[
4
3
0 0
0 0 0
0 0 0
\right] , . . .
\right\} ,
\scrP N(D) = \scrP YD
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 0 0
0 1 0
0 0 1
\right] ,
\left[
0 0 0
0 1 0
0 0 1
\right] , . . .
\right\} ,
D - = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
3
4
0 0
0 0 0
0 0 0
\right] ,
\left[
3
4
0 0
0 0 0
0 0 0
\right] , . . .
\right\} ,
S = \scrP YD
W = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 0
- 3 0
2 0
\right] ,
\left[
0 0
- 3 0
2 0
\right] , . . .
\right\} ,
\scrP N(S) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Biggl\{ \Biggl[
0 0
0 1
\Biggr]
,
\Biggl[
0 0
0 1
\Biggr]
, . . .
\Biggr\}
, \scrP YS
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
1 0 0
0 1
3
2
0 0 0
\right] ,
\left[
1 0 0
0 1
3
2
0 0 0
\right] , . . .
\right\} .
Пiсля перетворень переконуємось, що iнтегро-диференцiальне рiвняння (34) буде розв’яз-
ним тодi i лише тодi, коли компоненти вектор-функцiї f(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
f1(t), f2(t), . . .
\bigr)
задовольня-
ють умови [12]
2\int
0
\Bigl[
2(3s - 5)f2k - 1(s) + 3(s - 1)f2k(s)
\Bigr]
ds = 0, k = 1, 2, 3, . . . .
З’ясуємо, якi ще умови потрiбно накласти на правi частини крайової задачi (34), (35), щоб
вона мала розв’язок.
Для цiєї крайової задачi маємо
\widetilde M(t) =
t\int
0
M(s)ds = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[ 0 t2
2
- t 0
t 0
3t2
2
\right] ,
\left[ 0 t2
2
- t 0
t 0
3t2
2
\right] , . . .
\right\} ,
X1(t) = \widetilde M(t)\scrP N(D) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[ 0 t2
2
- t 0
0 0
3t2
2
\right] ,
\left[ 0 t2
2
- t 0
0 0
3t2
2
\right] , . . .
\right\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1483
X2(t) = \widetilde M(t) \widetilde D\scrP N(S) + \scrP N(S) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[ 0 0
0 1 - 3t
4
\right] ,
\left[ 0 0
0 1 - 3t
4
\right] , . . .
\right\} .
Тодi
Q1 = \ell X1(\cdot ) =
2\int
0
R(s)X1(s)ds = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 0 0
0 - 2
3
0
0 0 0
\right] ,
\left[
0 0 0
0 - 2
3
0
0 0 0
\right] , . . .
\right\} ,
Q2 = \ell X2(\cdot ) =
2\int
0
R(s)X2(s)ds = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 0
0 0
0 - 3
2
\right] ,
\left[
0 0
0 0
0 - 3
2
\right] , . . .
\right\} ,
\scrP N(Q1) = \scrP YQ1
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
1 0 0
0 0 0
0 0 1
\right] ,
\left[
1 0 0
0 0 0
0 0 1
\right] , . . .
\right\} ,
\widehat Q2 = \scrP YQ1
Q2 = Q2, \scrP
N( \widehat Q2)
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\Biggl\{ \Biggl[
1 0
0 0
\Biggr]
,
\Biggl[
1 0
0 0
\Biggr]
, . . .
\Biggr\}
,
\scrP Y \widehat Q2
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
1 0 0
0 1 0
0 0 0
\right] ,
\left[
1 0 0
0 1 0
0 0 0
\right] , . . .
\right\} ,
Q -
1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 0 0
0 - 3
2
0
0 0 0
\right] ,
\left[
0 0 0
0 - 3
2
0
0 0 0
\right] , . . .
\right\} ,
\widehat Q -
2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[ 0 0 0
0 0 - 2
3
\right] ,
\left[ 0 0 0
0 0 - 2
3
\right] , . . .
\right\} .
Далi складемо умову розв’язностi (23).
За формулою (25) маємо
\scrP YQ
= \scrP Y \widehat Q2
\scrP YQ1
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
1 0 0
0 0 0
0 0 0
\right] ,
\left[
1 0 0
0 0 0
0 0 0
\right] , . . .
\right\} .
Обчислимо
\ell \~f(\cdot ) =
2\int
0
R(s)
s\int
0
f(\tau )d\tau ds =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1484 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
=
2\int
0
s\int
0
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
(s - 1)f1(\tau )
sf1(\tau )
(2s - 3)f2(\tau )
\right] ,
\left[
(s - 1)f3(\tau )
sf4(\tau )
(2s - 3)f4(\tau )
\right] , . . .
\right\} d\tau ds
i
\ell F (\cdot ) =
2\int
0
R(s)
\Biggl\{ \widetilde M(s)D - S - \scrP YD
2\int
0
N(\tau )f(\tau )d\tau
\Biggr\}
ds =
=
2\int
0
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0
- 2f1(\tau ) +
\tau - 1
2
f2(\tau )
3\tau - 6
2
f1(\tau ) +
\tau 2 + 3\tau - 1
4
f2(\tau )
\right] ,
\left[
0
- 2f3(\tau ) +
\tau - 1
2
f4(\tau )
3\tau - 6
2
f3(\tau ) +
\tau 2 + 3\tau - 1
4
f4(\tau )
\right] , . . .
\right\} d\tau ,
де
\widetilde D =
\Bigl[
I - D - A
\Bigr]
W = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0 - 3
4
- 3 0
2 0
\right] ,
\left[
0 - 3
4
- 3 0
2 0
\right] , . . .
\right\} ,
D = D - - \widetilde DS - \scrP YD
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
3
4
1
2
3
4
0 0
3
2
0 0 - 1
\right] ,
\left[
3
4
1
2
3
4
0 0
3
2
0 0 - 1
\right] , . . .
\right\} .
Тодi, пiдставивши отриманi величини у формулу (23), отримаємо умову розв’язностi опе-
раторного рiвняння (22):
\scrP YQ
\bigl[
\alpha - \ell \~f(\cdot ) - \ell F (\cdot )
\bigr]
=
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
1 0 0
0 0 0
0 0 0
\right] ,
\left[
1 0 0
0 0 0
0 0 0
\right] , . . .
\right\}
\left[
\left[
\alpha 1
\alpha 2
...
\right] -
-
2\int
0
s\int
0
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
(s - 1)f1(\tau )
sf1(\tau )
(2s - 3)f2(\tau )
\right] ,
\left[
(s - 1)f4(\tau )
sf4(\tau )
(2s - 3)f5(\tau )
\right] , . . .
\right\} d\tau ds -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
КРИТЕРIЙ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЛIНIЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1485
-
2\int
0
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\left\{
\left[
0
- 2f1(\tau ) +
\tau - 1
2
f2(\tau )
3\tau - 6
2
f1(\tau ) +
\tau 2 + 3\tau - 1
4
f2(\tau )
\right] ,
\left[
0
- 2f3(\tau ) +
\tau - 1
2
f4(\tau )
3\tau - 6
2
f3(\tau ) +
\tau 2 + 3\tau - 1
4
f4(\tau )
\right] , . . .
\right\} d\tau
\right] = 0.
Пiсля перетворень отримаємо умови на компоненти вектора \alpha та компоненти вектор-функцiї f(t):
\alpha 3k - 2 -
2\int
0
s\int
0
(s - 1)f2k - 1(\tau )d\tau ds = 0, k = 1, 2, . . . .
Таким чином, крайова задача (34), (35) розв’язна для тих i лише тих \alpha \in \bfc i f(t) \in
\in \bfC
\bigl(
[0, 2], \bfc
\bigr)
, якi задовольняють систему умов
2\int
0
\Bigl[
2(3s - 5)f2k - 1(s) + 3(s - 1)f2k(s)
\Bigr]
ds = 0,
(36)
\alpha 3k - 2 -
2\int
0
s\int
0
(s - 1)f2k - 1(\tau )d\tau ds = 0, k = 1, 2, . . . .
Наприклад, при \alpha 3k - 2 =
2
3
, \alpha 3k - 1 =
2
3
, \alpha 3k =
2
3
, f2k - 1(t) = 2t - 1, f2k(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, k =
= 1, 2, . . . , система умов (36) буде виконуватись i крайова задача (34), (35) буде мати розв’язок.
Лiтература
1. N. N. Vassiliev, I. N. Parasidis, E. Providas, Exact solution method for Fredholm integro-differential equations with
multipoint and integral boundary conditions, Part 1. Extension method, Информационно-управляющие системы,
№ 6, 14 – 23 (2018).
2. Gupta Vidushi, Dabas Jaydev, Existence results for a fractional integro-differential equation with nonlocal boundary
conditions and fractional impulsive conditions, Nonlinear Dynamics and Syst. Theory, 15, № 4, 370 – 382 (2015).
3. K. D. Tsilika, An exact solution method for Fredholm integro-differential equations, Информационно-управляющие
системы, № 4, 2 – 8 (2019).
4. D. S. Dzhumabaev, E. A. Bakirova, Criteria for the unique solvability of a linear two-point boundary-value problem
for systems of integro-differential equations, Different. Equat., 49, № 9, 914 – 937 (2013).
5. M. Turkyilmazoglu, An effective approach for numerical solutions of high-order Fredholm integro-differential equati-
ons, Appl. Math. and Comput., 227, 384 – 398 (2014).
6. И. М. Черевко, И. В. Якимов, Численный метод решения краевых задач для интегро-дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом, Укр. мат. журн., 41, № 6, 854 – 860 (1989).
7. Kumar Pradeep, Haloi Rajib, D. Bahuguna, D. N. Pandey, Existence of solutions to a new class of abstract non-
instantaneous impulsive fractional integro-differential equations, Nonlinear Dynamics and Syst. Theory, 16, № 1,
73 – 85 (2016).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1486 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
8. М. В. Фалалеев, Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей произ-
водной в банаховых пространствах и их приложения, Изв. Иркут. гос. ун-та. Математика, вып. 2, 90 – 102
(2012).
9. Ю. К. Ландо, Об индексе и нормальной разрешимости интегро-дифференциальных операторов, Дифференц.
уравнения, 4, № 6, 1112 – 1126 (1968).
10. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве, Наука, Москва (1970).
11. A. M. Samoilenko, A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev, Linear boundary value problems for normally solvable operator
equations in a banach space, Different. Equat., 50, № 3, 1 – 11 (2014).
12. A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev, Solvability criterion of integro-differential equations with degenerate kernel in
Banach spaces, Nonlinear Dynamics and Syst. Theory, 18, № 4, 331 – 341 (2019).
13. А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко, Нормально разрешимые краевые задачи, Наук. думка, Киев
(2019).
14. М. М. Попов, Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха, Математика
сьогоднi’07, вип. 13, 78 – 116 (2007).
15. V. P. Zhuravl’ov, Generalized inversion of Fredholm integral operators with degenerate kernels in Banach spaces, J.
Math. Sci., 212, № 3, 275 – 289 (2016).
16. В. Ф. Журавлев, Н. П. Фомин, П. Н. Забродский, Условия разрешимости и представление решений уравнений
с операторными матрицами в банаховых пространствах, Укр. мат. журн., 71, № 4, 471 – 485 (2019).
17. С. Г. Крейн, Линейные уравнения в банаховом пространстве, Наука, Москва (1971).
18. В. Ф. Журавлев, Критерий разрешимости и представление решений линейных n-(d)-нормальных оператор-
ных уравнений в банаховом пространстве, Укр. мат. журн., 62, № 2, 167 – 182 (2010).
19. А. М. Самойленко, О. А. Бойчук, С. А. Кривошея, Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-диференцiальних
рiвнянь з виродженим ядром, Укр. мат. журн., 48, № 11, 1576 – 1579 (1996).
Одержано 22.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2322 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:11Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/bb521a1cab2c61079feaf7e60e4de384.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23222025-03-31T08:49:35Z Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces Критерій розв’язності лінійних крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах Boichuk , A. A. Zhuravlev , V. F. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. UDC 517.983 Using the theory of generalized inversion of operators and integral operators, we obtain a criterion for solvability and a general form of solutions of linear boundary-value problem for integro-differential equation with a degenerate kernel in Banach space. УДК 517.983 Із використанням теорії узагальненого обернення операторів і узагальненого обернення інтегральних операторів отримано критерій розв'язності і загальний вигляд розв'язків лінійної крайової задачі для інтегро-диференціального рівняння з виродженим ядром у банаховому просторі.&nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2322 10.37863/umzh.v72i11.2322 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1469-1486 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1469-1486 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2322/8776 Copyright (c) 2020 Олександр Бойчук, Валерій Журавльов |
| spellingShingle | Boichuk , A. A. Zhuravlev , V. F. Бойчук, О. А. Журавльов, В. П. Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces |
| title | Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces |
| title_alt | Критерій розв’язності лінійних крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах |
| title_full | Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces |
| title_fullStr | Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces |
| title_full_unstemmed | Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces |
| title_short | Solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential Fredholm equations with a degenerate kernel in Banach spaces |
| title_sort | solvability criterion of linear boundary-value problems for integro-differential fredholm equations with a degenerate kernel in banach spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2322 |
| work_keys_str_mv | AT boichukaa solvabilitycriterionoflinearboundaryvalueproblemsforintegrodifferentialfredholmequationswithadegeneratekernelinbanachspaces AT zhuravlevvf solvabilitycriterionoflinearboundaryvalueproblemsforintegrodifferentialfredholmequationswithadegeneratekernelinbanachspaces AT bojčukoa solvabilitycriterionoflinearboundaryvalueproblemsforintegrodifferentialfredholmequationswithadegeneratekernelinbanachspaces AT žuravlʹovvp solvabilitycriterionoflinearboundaryvalueproblemsforintegrodifferentialfredholmequationswithadegeneratekernelinbanachspaces AT boichukaa kriteríjrozvâznostílíníjnihkrajovihzadačdlâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹfredgolʹmazvirodženimâdromubanahovihprostorah AT zhuravlevvf kriteríjrozvâznostílíníjnihkrajovihzadačdlâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹfredgolʹmazvirodženimâdromubanahovihprostorah AT bojčukoa kriteríjrozvâznostílíníjnihkrajovihzadačdlâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹfredgolʹmazvirodženimâdromubanahovihprostorah AT žuravlʹovvp kriteríjrozvâznostílíníjnihkrajovihzadačdlâíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹfredgolʹmazvirodženimâdromubanahovihprostorah |