Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis
UDC 517.988.5+517.988.63 For nonlinear autonomous differential operators defined in the space of functions bounded and continuous on the axis, necessary and sufficient conditions of being $C^1$-diffeomorphisms are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2323 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508248254185472 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:33Z |
| description | UDC 517.988.5+517.988.63
For nonlinear autonomous differential operators defined in the space of functions bounded and continuous on the axis, necessary and sufficient conditions of being $C^1$-diffeomorphisms are obtained. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i11.2323 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i11.2323
УДК 517.988.5+517.988.63
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
УМОВИ ОБОРОТНОСТI
НЕЛIНIЙНИХ АВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ
У ПРОСТОРI ОБМЕЖЕНИХ НА ОСI ФУНКЦIЙ
For nonlinear autonomous differential operators defined in the space of functions bounded and continuous on the axis,
necessary and sufficient conditions of being C1 -diffeomorphisms are obtained.
Отримано необхiднi й достатнi умови, за яких нелiнiйнi автономнi диференцiальнi оператори, що визначенi у
просторi обмежених i неперервних на осi функцiй зi значеннями в банаховому просторi, є C1 -дифеоморфiзмами.
Статтю присвячено встановленню необхiдних та достатнiх умов, при виконаннi яких нелiнiйнi
автономнi диференцiальнi оператори, що дiють у просторi обмежених i неперервно дифе-
ренцiйовних на осi функцiй зi значеннями в нескiнченновимiрному банаховому просторi, є
дифеоморфiзмами класу C1. Такi оператори можна використовувати, наприклад, при вивчен-
нi властивостей розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь та дослiдженнi оборотностi
нелiнiйних операторiв, що є композицiями диференцiальних операторiв.
1. Загальнi умови оборотностi диференцiйовних вiдображень. Будемо використовувати
потрiбнi для подальшого загальноприйнятi позначення та означення, запозиченi з [1 – 4].
Важливим для подальшого є таке твердження.
Твердження 1 [5]. Нехай X i Y — банаховi простори i F : X \rightarrow Y — C1-вiдображення.
Вiдображення F : X \rightarrow Y є C1-дифеоморфiзмом тодi i тiльки тодi, коли:
1) вiдображення F сюр’єктивне;
2) вiдображення F iн’єктивне;
3) вiдображення F є локальним C1-дифеоморфiзмом у кожнiй точцi x \in X або похiдна
(DF )x : X \rightarrow Y є неперервно оборотним оператором для кожної точки x \in X.
Це твердження отримано з використанням необхiдних i достатнiх умов iснування оберненої
функцiї [1 – 4, 6].
Зазначимо, що в твердженнi 1 X i Y — довiльнi банаховi простори над полем \BbbR або \BbbC
з нормами \| \cdot \| X i \| \cdot \| Y вiдповiдно i при використаннi твердження 1 потрiбно перевiряти
виконання для вiдображення F перших двох умов твердження.
2. Необхiднi й достатнi умови iн’єктивностi вiдображення \bfitF . Важливою для подальшого
є така умова iн’єктивностi C1-вiдображення F : X \rightarrow Y. Кожнiй точцi (x1, x2) множини
\scrK (X) = \{ (y1, y2) \in X \times X : y1 \not = y2\}
спiвставимо диференцiйовну на вiдрiзку [0, 1] функцiю F (x1 + \tau (x2 - x1)) зi значеннями в Y.
Очевидно, що
dF (x1 + \tau (x2 - x1))
d\tau
= (DF )x1+\tau (x2 - x1)(x2 - x1), \tau \in [0, 1],
i
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11 1507
1508 В. Ю. СЛЮСАРЧУК\left( 1\int
0
(DF )x1+\tau (x2 - x1) d\tau
\right) (x2 - x1) = F (x2) - F (x1). (1)
Розглянемо оператор \scrI x1,x2,F : X \rightarrow Y, що визначається рiвнiстю
\scrI x1,x2,F =
1\int
0
(DF )x1+\tau (x2 - x1) d\tau , (2)
i ядро \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \scrI x1,x2,F = \{ x \in X : \scrI x1,x2,Fx = 0\} цього оператора.
На пiдставi (1) i (2) справджується таке твердження.
Твердження 2. C1-вiдображення F : X \rightarrow Y iн’єктивне тодi i тiльки тодi, коли
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \scrI x1,x2,F = \{ 0\} для всiх (x1, x2) \in \scrK (X). (3)
Зауваження 1. Виконання спiввiдношення (3) аналогiчне виконанню спiввiдношення
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A = \{ 0\} для лiнiйного неперервного оператора A : X \rightarrow Y (у теоремi Банаха про оберне-
ний оператор [7]). Якщо F (x) = Ax, то (DF )x = A для всiх x \in X (оператор A : X \rightarrow Y є
C1-вiдображенням), i тому \scrI x1,x2,F (x2 - x1) = A(x2 - x1). Отже, якщо \scrI x1,x2,F (x2 - x1) \not = 0
для всiх x1, x2 \in X, x1 \not = x2, то \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A = \{ 0\} , i навпаки.
Зауваження 2. Перевiрка в твердженнi 1 виконання для вiдображення F умови сюр’єктивностi
є складною задачею навiть у випадку лiнiйного F (див., наприклад, задачi про обмеженi
розв’язки лiнiйних диференцiальних або рiзницевих рiвнянь [8 – 12]). Вимога виконання цiєї
умови в твердженнi 1 є природною вимогою (вона мiститься i в формулюваннi теореми Банаха
про обернений оператор [7]). Для деяких класiв вiдображень F твердження 1 є правильним i
без умови 1. Простим прикладом такого вiдображення є лiнiйний автономний диференцiаль-
ний оператор L, що дiє в просторi визначених i обмежених на \BbbR неперервно диференцiйовних
функцiй зi значеннями в \BbbC . Також твердження 1 є узагальненням теореми Банаха про обернений
оператор.
3. Достатнi умови сюр’єктивностi вiдображення \bfitF . Позначимо через \scrE множину всiх
вiдображень A \in L(X,Y ), кожне з яких має неперервне обернене A - 1.
Нехай BX [0, r], де r \in (0,+\infty ), — замкнена куля \{ x \in X : \| x\| X \leq r\} в X.
Справджується твердження, що дає достатнi умови сюр’єктивностi вiдображення F.
Твердження 3. Нехай для кожного числа H \geq 0 iснують такi число r > 0 i вiдображення
A \in \scrE , що:
1) F - A : BX [0, r] \rightarrow Y — цiлком неперервне вiдображення;
2) виконується спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in BX [0,r]
\| Fx - Ax\| Y \leq r
\| A - 1\| L(Y,X)
- H. (4)
Тодi для кожного y \in Y рiвняння Fx = y має хоча б один розв’язок x \in X.
Це твердження отримано автором у [13]. У випадку лiнiйного вiдображення F виконання
спiввiдношення (4) є необхiдним для сюр’єктивностi цього вiдображення [13].
Iншi умови сюр’єктивностi вiдображення F наведено в [5].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ АВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 1509
4. Умови оборотностi автономних диференцiальних операторiв. Спочатку наведемо де-
якi означення i позначення, потрiбнi для дослiдження диференцiальних операторiв.
Нехай E — банаховий простiр iз нормою \| \cdot \| E . Позначимо через C0(\BbbR , E) банаховий
простiр обмежених i неперервних на \BbbR функцiй x = x(t) зi значеннями у просторi E з нормою
\| x\| C0(\BbbR ,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\| x(t)\| E ,
а через Cn(\BbbR , E), де n \in \BbbN , банаховий простiр усiх функцiй x \in C0(\BbbR , E), для кожної з яких
dx/dt, . . . , dnx/dtn \in C0(\BbbR , E), з нормою
\| x\| Cn(\BbbR ,E) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\| x\| C0(\BbbR ,E),
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0(\BbbR ,E)
, . . . ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dnxdtn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0(\BbbR ,E)
\Biggr\}
.
Аналогiчно визначається банаховий простiр Ck(\BbbR , E) при k \in \{ 1, . . . , n - 1\} i n \geq 2.
У просторi C0(\BbbR , E) визначимо оператор зсуву Sh, h \in \BbbR , за допомогою спiввiдношення
(Shx)(t) = x(t+ h), t \in \BbbR .
Елемент y \in Ck(\BbbR , E) називається майже перiодичним [14], якщо замикання множини
\{ Shy : h \in \BbbR \} у просторi Ck(\BbbR , E) є компактною пiдмножиною цього простору.
Множини Bk(\BbbR , E), k \in \{ 0, 1, . . . , n\} , майже перiодичних елементiв просторiв Ck(\BbbR , E),
k \in \{ 0, 1, . . . , n\} , вiдповiдно є пiдпросторами цих просторiв iз нормами
\| x\| Bk(\BbbR ,E) = \| x\| Ck(\BbbR ,E), k \in \{ 0, 1, . . . , n\} .
Оператор A \in L
\bigl(
Ci(\BbbR , E), Cj(\BbbR , E)
\bigr)
, де i, j \in \{ 0, 1, . . . , n\} , називається майже перiо-
дичним, якщо замикання множини \{ S\tau AS - \tau : \tau \in \BbbR \} у просторi L
\bigl(
Ci(\BbbR , E), Cj(\BbbR , E)
\bigr)
є
компактним у цьому просторi [15, 16].
Позначимо через S множину всiх C1-вiдображень g : E \rightarrow E, для кожного з яких похiдна
Фреше (Dg)x є рiвномiрно неперервною на кожнiй обмеженiй множинi M \subset E .
Розглянемо автономний диференцiальний оператор \frakD : Cn(\BbbR , E) \rightarrow C0(\BbbR , E), що визна-
чається формулою
(\frakD x)(t) =
dnx(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
gk
\biggl(
dkx(t)
dtk
\biggr)
, t \in \BbbR , (5)
де x \in Cn(\BbbR , E), gk \in S, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} i d0x(t)/dx0 = x(t).
При виконаннi таких вимог до вiдображень gk, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , диференцiальний
оператор \frakD є C1-вiдображенням.
Справдi, з урахуванням (1), (2) для довiльних x, u \in Cn(\BbbR , E) i t \in \BbbR отримуємо
(\frakD (x+ u))(t) - (\frakD x)(t) =
\Biggl(
dn(x(t) + u(t))
dtn
+
n - 1\sum
k=0
gk
\biggl(
dk(x(t) + u(t))
dtk
\biggr) \Biggr)
-
-
\Biggl(
dnx(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
gk
\biggl(
dkx(t)
dtk
\biggr) \Biggr)
=
dnu(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
\biggl(
gk
\biggl(
dk(x(t) + u(t))
dtk
\biggr)
- gk
\biggl(
dkx(t)
dtk
\biggr) \biggr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1510 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
=
\Biggl(
dnu(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
(Dgk) dkx(t)
dtk
dku(t)
dtk
\Biggr)
+
+
n - 1\sum
k=0
\biggl(
gk
\biggl(
dk(x(t) + u(t))
dtk
\biggr)
- gk
\biggl(
dkx(t)
dtk
\biggr) \biggr)
-
n - 1\sum
k=0
(Dgk) dkx(t)
dtk
dku(t)
dtk
=
=
\Biggl(
dnu(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
(Dgk) dkx(t)
dtk
dku(t)
dtk
\Biggr)
+
n - 1\sum
k=0
1\int
0
(Dgk) dkx(t)
dtk
+\tau
dku(t)
dtk
d\tau
dku(t)
dtk
-
-
n - 1\sum
k=0
(Dgk) dkx(t)
dtk
dku(t)
dtk
=
\Biggl(
dnu(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
(Dgk) dkx(t)
dtk
dku(t)
dtk
\Biggr)
+
+
n - 1\sum
k=0
1\int
0
\biggl(
(Dgk) dkx(t)
dtk
+\tau
dku(t)
dtk
- (Dgk) dkx(t)
dtk
\biggr)
d\tau
dku(t)
dtk
.
Оскiльки на пiдставi рiвномiрної неперервностi похiдних (Dgk)x, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , на
кожнiй обмеженiй множинi M \subset E виконується спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\| u\| Cn(\BbbR ,E)\rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum n - 1
k=0
\int 1
0
\biggl(
(Dgk) dkx(t)
dtk
+\tau
dku(t)
dtk
- (Dgk) dkx(t)
dtk
\biggr)
d\tau
dku(t)
dtk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\| u\| Cn(\BbbR ,E)
= 0,
то згiдно з означенням похiдної Фреше (див. [17, с. 196]) похiдну (D\frakD )x диференцiального
оператора \frakD в точцi x = x(t) записуємо у виглядi
((D\frakD )xu)(t) =
dnu(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
(Dgk) dkx(t)
dtk
dku(t)
dtk
, u \in Cn(\BbbR , E), t \in \BbbR . (6)
Завдяки включенням gk \in S, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , ця похiдна є неперервною по x на Cn(\BbbR , E).
Тому оператор \frakD є C1-вiдображенням.
Для подальшого нам також потрiбен оператор
\scrI x1,x2,\frakD =
1\int
0
(D\frakD )x1+\tau (x2 - x1) d\tau , (7)
де x1, x2 \in C1(\BbbR , E), аналогiчний оператору \scrI x1,x2,F , що визначається рiвнiстю (2).
Завдяки (6), (7) для всiх x1, x2, u \in Cn(\BbbR , E)
(\scrI x1,x2,\frakD u)(t) =
dnu(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
1\int
0
(Dgk) dkx1(t)
dtk
+\tau
\biggl(
dkx2(t)
dtk
- dkx1(t)
dtk
\biggr) d\tau
dku(t)
dtk
, t \in \BbbR .
Пiсля проведеної пiдготовчої роботи наведемо умови оборотностi оператора \frakD .
Згiдно з твердженнями 1, 2 справджується така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ АВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 1511
Теорема 1. Нехай gk \in S, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} .
C1-вiдображення \frakD : Cn(\BbbR , E) \rightarrow C0(\BbbR , E), що визначається спiввiдношенням (5), є C1-
дифеоморфiзмом тодi i тiльки тодi, коли:
1) \frakD Cn(\BbbR , E) = C0(\BbbR , E);
2) \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \scrI x1,x2,\frakD = \{ 0\} для всiх (x1, x2) \in \scrK (Cn(\BbbR , E));
3) для кожної точки x \in Cn(\BbbR , E) вiдображення (D\frakD )x, що визначається спiввiдношен-
ням (6), має обернений неперервний оператор
\bigl(
(D\frakD )x
\bigr) - 1
: C0(\BbbR , E) \rightarrow Cn(\BbbR , E).
Зауваження 3. Для нелiнiйного автономного оператора \frakD : Cn(\BbbR , E) \rightarrow C0(\BbbR , E) лiнiйнi
диференцiальнi оператори (D\frakD )x : Cn(\BbbR , E) \rightarrow C0(\BbbR , E), x \in Cn(\BbbR , E), у випадку x(t) \not \equiv c,
c \in E, є неавтономними операторами. Для перевiрки виконання умови 3 теореми 1 можна
використовувати результати, викладенi, наприклад, у [8 – 11].
Зауваження 4. Завдяки включенням gk \in S, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , i автономностi операто-
ра \frakD виконується спiввiдношення \frakD Bn(\BbbR , E) \subset B0(\BbbR , E). Також для кожного x \in Bn(\BbbR , E)
лiнiйний оператор (D\frakD )x : Cn(\BbbR , E) \rightarrow C0(\BbbR , E) є майже перiодичним i (D\frakD )xB
n(\BbbR , E) \subset
\subset B0(\BbbR , E).
Отже, з урахуванням зауваження 4 i тверджень 1, 2 за допомогою замiни в теоремi 1
просторiв Cn(\BbbR , E) i C0(\BbbR , E) на Bn(\BbbR , E) i B0(\BbbR , E) вiдповiдно отримуємо таку теорему.
Теорема 2. Нехай gk \in S, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} .
C1-вiдображення \frakD : Bn(\BbbR , E) \rightarrow B0(\BbbR , E), що визначається спiввiдношенням (5), є C1-
дифеоморфiзмом тодi i тiльки тодi, коли:
1) \frakD Bn(\BbbR , E) = B0(\BbbR , E);
2) \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \scrI x1,x2,\frakD = \{ 0\} для всiх (x1, x2) \in \scrK (Bn(\BbbR , E));
3) для кожної точки x \in Bn(\BbbR , E) вiдображення (D\frakD )x, що визначається спiввiдношен-
ням (6), має обернений неперервний оператор
\bigl(
(D\frakD )x
\bigr) - 1
: B0(\BbbR , E) \rightarrow Bn(\BbbR , E).
5. Приклад \bfitC 1-вiдображення, що не є елементом множини S. Важливою вимогою в
теоремах 1, 2 є рiвномiрна неперервнiсть похiдних Фреше (Dgk)x, k = 0, n - 1, на обмежених
пiдмножинах банахового простору E.
У випадку скiнченновимiрного банахового простору E ця вимога для C1-вiдображень gk :
E \rightarrow E, k \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , виконується завдяки теоремi Кантора [18, с. 179].
Покажемо, що у випадку нескiнченновимiрного простору E вiдображення g : E \rightarrow E класу
C1 може не бути елементом множини S.
Вважатимемо, що простiр E збiгається з банаховим простором l1 послiдовностей дiйсних
чисел x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) з нормою
\| x\| l1 =
\infty \sum
n=1
| xn| .
Будемо використовувати елементи
e1 = (1, 0, 0, 0, . . .), e2 = (0, 1, 0, 0, . . .), e3 = (0, 0, 1, 0, . . .), . . . \in l1.
Вiзьмемо довiльне C1-вiдображення g0 : \BbbR \rightarrow \BbbR , що задовольняє умови:
а) g0(x) = 0 для всiх x з деякого околу U нуля;
б) g\prime 0(1) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1512 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Визначимо вiдображення g : l1 \rightarrow l1 рiвнiстю
g(x) =
\sum
1\leq n
ng0(xn)en. (8)
Покажемо, що:
1) g : l1 \rightarrow l1 — диференцiйовне в кожнiй точцi x \in l1 вiдображення;
2) похiдна Фреше (Dg)x неперервна по x на l1;
3) похiдна Фреше (Dg)x є необмеженою на одиничнiй сферi.
Спочатку придiлимо увагу першiй властивостi.
Розглянемо довiльний елемент u = (u1, u2, . . . , un, . . .) \in l1. Згiдно з (8) i вимогами до
вiдображення g0 : \BbbR \rightarrow \BbbR справджуються рiвностi
g(x+ u) - g(x) =
\sum
1\leq n
ng0(xn + un)en -
\sum
1\leq n
ng0(xn)en =
\sum
1\leq n
n
\bigl(
g0(xn + un) - g0(xn)
\bigr)
en =
=
\sum
1\leq n
ng\prime 0(xn)un en +
\sum
1\leq n
n
\bigl(
g0(xn + un) - g0(xn)
\bigr)
en -
\sum
1\leq n
ng\prime 0(xn)un en =
=
\sum
1\leq n
ng\prime 0(xn)un en +
\sum
1\leq n
n
\Bigl( \bigl(
g0(xn + un) - g0(xn)
\bigr)
- g\prime 0(xn)un
\Bigr)
en =
=
\sum
1\leq n
ng\prime 0(xn)un en +
\sum
1\leq n
n
\left( 1\int
0
\bigl(
g\prime 0(xn + \tau un) - g\prime 0(xn)
\bigr)
d\tau
\right) un en. (9)
Оскiльки на пiдставi умови а) i рiвномiрної неперервностi похiдної g\prime 0(x) на кожному вiдрiзку
[a, b] виконується спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\| u\| l1\rightarrow 0
\sum
1\leq n
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( \int 1
0
\bigl(
g\prime 0(xn + \tau un) - g\prime 0(xn)
\bigr)
d\tau
\biggr)
un
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\| u\| l1
= 0,
то з урахуванням рiвностей (9) на пiдставi означення похiдної Фреше [17, с. 196] похiдну (Dg)x
вiдображення g : l1 \rightarrow l1 в точцi x записуємо у виглядi
((Dg)xu)n =
\sum
1\leq n
ng\prime 0(xn)un en, n \geq 1. (10)
Отже, вiдображення g : l1 \rightarrow l1 диференцiйовне в кожнiй точцi x \in l1.
Далi покажемо неперервнiсть похiдної Фреше (Dg)x по x на l1, тобто що для кожного
x \in l1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\~x\rightarrow x
\| (Dg)\~x - (Dg)x\| L(l1,l1) = 0. (11)
Згiдно з (10) та означенням норми в l1
\| (Dg)\~x - (Dg)x\| L(l1,l1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| u\| l1=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
1\leq n
ng\prime 0(\~xn)un en -
\sum
1\leq n
ng\prime 0(xn)un en
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l1
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ АВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 1513
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| u\| l1=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
1\leq n
n
\bigl(
g\prime 0(\~xn) - g\prime 0(xn)
\bigr)
un en
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l1
\leq
\sum
1\leq n
n
\bigm| \bigm| g\prime 0(\~xn) - g\prime 0(xn)
\bigm| \bigm| . (12)
Завдяки умовi а) для кожного достатньо малого \varepsilon > 0 iснує такий номер n(\varepsilon ), що
\sum
1\leq n
n
\bigm| \bigm| g\prime 0(\~xn) - g\prime 0(xn)
\bigm| \bigm| = n(\varepsilon )\sum
n=1
n
\bigm| \bigm| g\prime 0(\~xn) - g\prime 0(xn)
\bigm| \bigm| ,
якщо
\| \~x - x\| l1 < \varepsilon .
Тому на пiдставi рiвномiрної неперервностi похiдної g\prime 0(x) на кожному вiдрiзку [a, b]
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\~x\rightarrow x
\sum
1\leq n
n
\bigm| \bigm| g\prime 0(\~xn) - g\prime 0(xn)
\bigm| \bigm| = 0,
i, отже, з урахуванням (12) спiввiдношення (11) справджується.
Таким чином, друга властивiсть також виконується.
Оскiльки на пiдставi (10) та умови б) для кожних n \in \BbbN i u \in l1
((Dg)enu)n = ng\prime 0(1)unen = nunen,
то
\| (Dg)en\| L(l1,l1) \geq n.
Отже, третя властивiсть також виконується, тобто похiдна Фреше (Dg)x є необмеженою на
одиничнiй сферi.
Звiдси випливає, що похiдна Фреше (Dg)x не може бути рiвномiрно неперервним по x
вiдображенням на одиничнiй сферi.
Таким чином, C1-вiдображення g : l1 \rightarrow l1, що визначається рiвнiстю (8), не є елементом
множини S.
6. Умови сюр’єктивностi диференцiального оператора \bffrakD . Будемо вважати, що банахо-
вий простiр E є скiнченновимiрним.
Позначимо через \scrG множину всiх упорядкованих n-множин \scrB = \{ B0, B1, . . . , Bn - 1\} , де
Bk \in L(E,E), k = 0, n - 1, кожнiй з яких вiдповiдає лiнiйний неперервний оператор \scrL \scrB :
Cn(\BbbR , E) \rightarrow C0(\BbbR , E), що має неперервний обернений (\scrL \scrB )
- 1 i визначається формулою
(\scrL \scrB x)(t) =
dnx(t)
dtn
+
n - 1\sum
k=0
Bk
dkx(t)
dtk
, t \in \BbbR .
Наведемо твердження, аналогiчне твердженню 3, що дає достатнi умови виконання рiвностi
\frakD Cn(\BbbR , E) = C0(\BbbR , E).
Теорема 3. Нехай для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i множина \scrB =
= \{ B0, B1, . . . , Bn - 1\} \in \scrG , що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| Cn - 1(\BbbR ,E)\leq r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n - 1\sum
k=0
gk
\biggl(
dkx(t)
dtk
\biggr)
-
n - 1\sum
k=0
Bk
dkx(t)
dtk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
E
\leq r
\| (\scrL B) - 1\| L(C0(\BbbR ,E),Cn - 1(\BbbR ,E))
- H.
Тодi оператор \frakD : Cn(\BbbR , E) \rightarrow C0(\BbbR , E), що визначається рiвнiстю (5), є сюр’єктивним.
Теорема 3 є окремим випадком загальних тверджень, отриманих автором у [19].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
1514 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
7. Приклад диференцiального оператора, що є \bfitC 1-дифеоморфiзмом. Розглянемо дифе-
ренцiальний оператор \scrL : C1(\BbbR ,\BbbR ) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbR ), що визначається формулою
(\scrL x)(t) = dx(t)
dt
+ g(x(t)), t \in \BbbR ,
де g : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервна функцiя.
У статтi [20] встановлено таке твердження.
Твердження 4. Диференцiальний оператор \scrL : C1(\BbbR ,\BbbR ) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbR ) є iн’єктивним i сюр’єк-
тивним оператором тодi i тiльки тодi, коли:
1) функцiя g : \BbbR \rightarrow \BbbR є строго монотонною;
2) g\BbbR = \BbbR .
Згiдно з цим твердженням i твердженням 1 справджується така теорема.
Теорема 4. Нехай g : \BbbR \rightarrow \BbbR — неперервно диференцiйовна функцiя.
Диференцiальний оператор \scrL : C1(\BbbR ,\BbbR ) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbR ) є C1-дифеоморфiзмом тодi i тiльки
тодi, коли:
1) функцiя g : \BbbR \rightarrow \BbbR є строго монотонною;
2) g\BbbR = \BbbR ;
3) g\prime (x) \not = 0 для всiх x \in \BbbR .
8. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Оборотностi нелiнiйних вiдображень
у банаховому просторi та її застосуванням придiлено значну увагу (див., наприклад, [21 – 24]).
Твердження 1 є окремим випадком отриманих автором у [5] тверджень про умови, коли
Ck -вiдображення F : X \rightarrow Y, k \in \BbbN , є Ck -дифеоморфiзмом.
Основнi теореми 1 i 2 про оборотнiсть автономного диференцiального оператора \frakD є но-
вими. Для перевiрки в цих теоремах виконання умови 3 щодо оборотностi (D\frakD )x можна
використовувати результати робiт [8 – 11, 16, 25 – 27].
Приклад C1-вiдображення в п. 5, що не є елементом множини S, наведено вперше й от-
римано з використанням iдеї побудови неперервних монотонних i необмежених на одиничнiй
сферi сепарабельного гiльбертового простору H вiдображень [28, с. 41].
Теорему 4 про необхiднi i достатнi умови, при виконаннi яких диференцiальний оператор \scrL :
C1(\BbbR ,\BbbR ) \rightarrow C0(\BbbR ,\BbbR ) є дифеоморфiзмом класу C1, наведено вперше.
Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з’ясовувались
у [28 – 30].
Лiтература
1. С. Ленг, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, Мир, Москва (1967).
2. Дж. Милнор, А. Уоллес, Дифференциальная топология, Мир, Москва (1972).
3. М. Голубицкий, В. Гийемин, Устойчивые отображения и их особенности, Мир, Москва (1977).
4. В. А. Зорич, Математический анализ, ч. II, Наука, Москва (1984).
5. В. Ю. Слюсарчук, Необхiднi i достатнi умови оборотностi нелiнiйних диференцiйовних вiдображень, Укр.
мат. журн., 68, № 4, 563 – 576 (2016).
6. В. Ю. Слюсарчук, Оборотнiсть теореми про обернену функцiю для диференцiйовних функцiй, Буков. мат.
журн., 2, № 4, 112 – 113 (2014).
7. А. М. Колмогоров, С. В. Фомiн, Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу, Вища шк., Київ (1974).
8. Х. Л. Массера, Х. Х. Шеффер, Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства,
Мир, Москва (1970).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНИХ АВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 1515
9. М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов, Нелинейные почти периодические колебания, Наука,
Москва (1970).
10. Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространст-
ве, Наука, Москва (1970).
11. Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, В. Л. Кулик, Исследования дихотомии линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с помощью функций Ляпунова, Наук. думка, Киев (1990).
12. В. E. Слюсарчук, Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем, Укр. мат. журн., 35, № 1,
109 – 115 (1983).
13. В. Ю. Слюсарчук, Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь, Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту,
2, № 2 – 3, 157 – 163 (2012).
14. S. Bochner, Beiträge zur Theorie der Fastperiodischen, I Teil. Funktionen einer Variablen; II Teil. Funktionen
mehrerer Variablen, Math. Ann., 96, 119 – 147, 383 – 409 (1927).
15. Э. Мухамадиев, Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций,
Мат. заметки, 11, № 3, 269 – 274 (1972).
16. В. Е. Слюсарчук, Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов, Мат. сб.,
116(158), № 4(12), 483 – 501 (1981).
17. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Краткий курс функционального анализа, Высш. шк., Москва (1982).
18. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, в 3-х т., т. 2, Наука, Москва (1966).
19. В. Е. Слюсарчук, Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений, Мат. сб., 203, № 5, 135 – 160 (2012).
20. V. E. Slyusarchuk, Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded and almost-periodic
solutions of nonlinear differential equations, Acta Appl. Math., 65, № 1 – 3, 333 – 341 (2001).
21. В. А. Зорич, Теорема М. А. Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства, Мат. сб., 74 (116),
№ 3, 417 – 433 (1967).
22. M. Radulescu, S. Radulescu, Global inversion theorems and applications to differential equations, Nonlinear Anal.,
4, № 4, 951 – 965 (1980).
23. В. А. Треногин, Глобальная обратимость нелинейных операторов и метод продолжения по параметру, Докл.
РАН, 350, № 4, 455 – 457 (1996).
24. В. Ю. Слюсарчук, Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь, Вид-во Нац. ун-ту водн.
госп-ва та природокористування, Рiвне (2011).
25. В. Е. Слюсарчук, Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов, Мат. сб., 130
(172), № 1(5), 86 – 104 (1986).
26. В. Е. Слюсарчук, Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов, Мат. заметки, 42, № 2, 262 – 267 (1987).
27. В. Е. Слюсарчук, Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов, Укр. мат. журн., 41, № 2, 201 – 205 (1989).
28. Ю. В. Трубников, А. И. Перов, Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями, Наука и
техника, Минск (1986).
29. L. Amerio, Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati, Ann.
Mat. Pura ed Appl., 39, № 2, 97 – 119 (1955).
30. Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти, Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений, Наука,
Москва (1974).
Одержано 23.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2323 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:11Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/14/bb69f1fa8fba478be930e2454f55e314.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23232025-03-31T08:46:33Z Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis Условия обратимости нелинейных автономных дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций Умови оборотності нелінійних автономних диференціальних операторів у просторі обмежених на осі функцій Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. Диференціальні оператори Differential operators UDC 517.988.5+517.988.63 For nonlinear autonomous differential operators defined in the space of functions bounded and continuous on the axis, necessary and sufficient conditions of being $C^1$-diffeomorphisms are obtained. Получены необходимые и достаточные условия, когда нелинейные автономные дифференциальные операторы, определенные в пространстве ограниченных и непрерывных на оси функций, являются $C^1$-диффеоморфизмами &nbsp; УДК 517.988.5+517.988.63 Отримано необхідні та достатні умови, коли нелінійні автономні диференціальні оператори, що визначені у просторі обмежений і неперервних на осі функцій зі значеннями в банаховому просторі, є $C^1$-дифеоморфізмами. &nbsp; Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-11-23 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2323 10.37863/umzh.v73i11.2323 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 11 (2021); 1507 - 1515 Український математичний журнал; Том 73 № 11 (2021); 1507 - 1515 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2323/9148 Copyright (c) 2021 Василь Юхимович Слюсарчук |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Slyusarchuk, V. Слюсарчук, В. Ю. Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis |
| title | Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis |
| title_alt | Условия обратимости нелинейных автономных дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций Умови оборотності нелінійних автономних диференціальних операторів у просторі обмежених на осі функцій |
| title_full | Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis |
| title_fullStr | Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis |
| title_full_unstemmed | Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis |
| title_short | Invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis |
| title_sort | invertibility conditions for nonlinear autonomous differential operators in the space of functions bounded on the axis |
| topic_facet | Диференціальні оператори Differential operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2323 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu invertibilityconditionsfornonlinearautonomousdifferentialoperatorsinthespaceoffunctionsboundedontheaxis AT slyusarchukv invertibilityconditionsfornonlinearautonomousdifferentialoperatorsinthespaceoffunctionsboundedontheaxis AT slûsarčukvû invertibilityconditionsfornonlinearautonomousdifferentialoperatorsinthespaceoffunctionsboundedontheaxis AT slyusarchukvyu usloviâobratimostinelinejnyhavtonomnyhdifferencialʹnyhoperatorovvprostranstveograničennyhnaosifunkcij AT slyusarchukv usloviâobratimostinelinejnyhavtonomnyhdifferencialʹnyhoperatorovvprostranstveograničennyhnaosifunkcij AT slûsarčukvû usloviâobratimostinelinejnyhavtonomnyhdifferencialʹnyhoperatorovvprostranstveograničennyhnaosifunkcij AT slyusarchukvyu umovioborotnostínelíníjnihavtonomnihdiferencíalʹnihoperatorívuprostoríobmeženihnaosífunkcíj AT slyusarchukv umovioborotnostínelíníjnihavtonomnihdiferencíalʹnihoperatorívuprostoríobmeženihnaosífunkcíj AT slûsarčukvû umovioborotnostínelíníjnihavtonomnihdiferencíalʹnihoperatorívuprostoríobmeženihnaosífunkcíj |