Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$
UDC 517.5 The paper deals with the problem of estimating the error of approximation of a branched continued fraction, which is a generalization of a continued fraction. Using the method of fundamental inequalities, truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2342 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508257893744640 |
|---|---|
| author | Antonova, T. M. Dmytryshyn, R. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. |
| author_facet | Antonova, T. M. Dmytryshyn, R. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. |
| author_sort | Antonova, T. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-05T15:20:28Z |
| description | UDC 517.5
The paper deals with the problem of estimating the error of approximation of a branched continued fraction, which is a generalization of a continued fraction. Using the method of fundamental inequalities, truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots,$ whose elements belong to some rectangular sets of a complex plane, are established. The obtained results have been applied to multidimensional $S$, $A$-fraction with independent variables. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i7.2342 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i7.2342
УДК 517.5
Т. М. Антонова (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”),
Р. I. Дмитришин (Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, Iвано-Франкiвськ)
ОЦIНКИ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ ГIЛЛЯСТОГО ЛАНЦЮГОВОГО
ДРОБУ
\sum \bfitN
\bfiti \bfone =\bfone
\bfita \bfiti (\bfone )
\bfone +
\sum \bfiti \bfone
\bfiti \bftwo =\bfone
\bfita \bfiti (\bftwo )
\bfone +
\sum \bfiti \bftwo
\bfiti \bfthree =\bfone
\bfita \bfiti (\bfthree )
\bfone +
. . .
The paper deals with the problem of estimating the error of approximation of a branched continued fraction, which is a
generalization of a continued fraction. Using the method of fundamental inequalities, truncation error bounds for branched
continued fraction
\sum N
i1=1
ai(1)
1 +
\sum i1
i2=1
ai(2)
1 +
\sum i2
i3=1
ai(3)
1 +
. . . , whose elements belong to some rectangular sets
of a complex plane, are established. The obtained results have been applied to multidimensional S-, A-fraction with
independent variables.
Розглянуто задачу оцiнювання похибки наближення для гiллястого ланцюгового дробу, який є багатовимiрним уза-
гальненням неперервного дробу. За допомогою методу фундаментальних нерiвностей встановлено оцiнки швидкостi
збiжностi гiллястого ланцюгового дробу
\sum N
i1=1
ai(1)
1 +
\sum i1
i2=1
ai(2)
1 +
\sum i2
i3=1
ai(3)
1 +
. . . , елементи якого нале-
жать деяким прямокутним множинам комплексної площини. Отриманi результати застосовано до багатовимiрних
S-, A-дробiв iз нерiвнозначними змiнними.
1. Вступ. Нехай N — фiксоване натуральне число, i(k) = (i1, i2, . . . , ik) — мультиiндекс,
зокрема i(1) = i1, та \scrI = \{ i(k) : 1 \leq ip \leq ip - 1, 1 \leq p \leq k, i0 = N, k \in \BbbN \} — множина
мультиiндексiв.
Дослiджується збiжнiсть гiллястого ланцюгового дробу (ГЛД)
N\sum
i1=1
ai(1)
1 +
i1\sum
i2=1
ai(2)
1 +
i2\sum
i3=1
ai(3)
1 +
. . . , (1)
де N — розмiрнiсть ГЛД, ai(k), i(k) \in \scrI , — комплекснi сталi. Наведемо кiлька понять, що
стосуються теорiї ГЛД (див., наприклад, [2, 6]).
Cкiнченний ГЛД
fn =
N\sum
i1=1
ai(1)
1 +
i1\sum
i2=1
ai(2)
1 +
. . .
+
in - 1\sum
in=1
ai(n)
1
називають n-м пiдхiдним дробом ГЛД (1), n \geq 1.
ГЛД (1) збiгається, якщо не бiльше нiж скiнченна кiлькiсть його пiдхiдних дробiв не має
сенсу, i послiдовнiсть його пiдхiдних дробiв \{ fn\} n\in \BbbN збiгається до скiнченної границi f, тобто
f = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty fn. У цьому випадку f називають значенням ГЛД (1). Iнакше ГЛД (1) розбiгається.
Рiзницю (f - fn) називають похибкою наближення n-м пiдхiдним дробом, n \geq 1.
Послiдовнiсть \{ Ei(k)\} i(k)\in \scrI непорожнiх множин Ei(k), i(k) \in \scrI , iз \BbbC називають послiдов-
нiстю множин збiжностi ГЛД (1), якщо iз того, що ai(k) \in Ei(k) для всiх i(k) \in \scrI , випливає, що
ГЛД (1) збiгається. Послiдовнiсть множин збiжностi \{ Ei(k)\} i(k)\in \scrI ГЛД (1) називають послiдов-
нiстю його множин рiвномiрної збiжностi, якщо iснує послiдовнiсть додатних чисел \{ \lambda n\} n\in \BbbN ,
яка залежить лише вiд \{ Ei(k)\} i(k)\in \scrI , збiгається до нуля i така, що
| fn+k - fn| \leq \lambda n для n \geq 1, k \geq 0,
для кожної послiдовностi \{ ai(k)\} i(k)\in \scrI такої, що ai(k) \in Ei(k) для всiх i(k) \in \scrI .
c\bigcirc Т. М. АНТОНОВА, Р. I. ДМИТРИШИН, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7 877
878 Т. М. АНТОНОВА, Р. I. ДМИТРИШИН
Деякi методи доведення збiжностi неперервних дробiв та їх багатовимiрних узагальнень —
ГЛД — є методами доведення iснування границь послiдовностей пiдхiдних дробiв i тому не
дають оцiнок похибок наближень (див., наприклад, [2, 5, 6, 11, 13, 14, 16, 18]). Однак цi оцiнки
мають важливе значення для застосування їх до наближення функцiй однiєї чи багатьох змiнних.
Методику проведення аналiзу похибок наближень неперервних дробiв детально викладено у
книзi [18]. На жаль, загалом ця методика не переноситься на ГЛД.
Одним iз методiв дослiдження збiжностi, який дозволяє оцiнювати похибки наближень ГЛД,
є метод фундаментальних нерiвностей [3, 4, 6]. Аналоги цього методу також встановленi i для
ГЛД (1) [1, 2]. Важливою складовою методу фундаментальних нерiвностей є оцiнки так званих
залишкiв, якi для цих ГЛД можна визначити таким чином:
G
(n)
i(k) = 1 +
ik\sum
ik+1=1
ai(k+1)
G
(n)
i(k+1)
, i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n - 1, n \geq 2, (2)
з початковими умовами G
(s)
i(s) = 1, i(s) \in \scrI , s \geq 1. Вважатимемо, що для ГЛД (1) виконуються
фундаментальнi нерiвностi, якщо
G
(s)
i(k) \not = 0 для всiх i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq s, s \in \BbbN , (3)
та iснують додатнi сталi M i \rho l, l \geq 1, такi, що для всiх s \geq 1, n \geq 2 i 1 \leq k \leq n - 1
виконуються нерiвностi
| ai(1)| \leq M | G(s)
i(1)| , 1 \leq i1 \leq N, | ai(k+1)| \leq \rho k| G
(n)
i(k)G
(n)
i(k+1)| , i(k) \in \scrI , 1 \leq ik+1 \leq ik. (4)
У роботi [1] доведено таку теорему.
Теорема 1. Нехай елементи ГЛД (1) такi, що виконуються нерiвностi (3), (4) i
CN - 1
N+n
n\prod
l=1
\rho l \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty . (5)
Тодi ГЛД (1) збiгається до значення f i для похибки наближення його n-м пiдхiдним дробом
fn справджується оцiнка | f - fn| \leq MCN - 1
N+n
\prod n
l=1
\rho l, n \geq 1.
Зауважимо, що у випадку, коли \rho l \leq \rho < 1 для всiх l \geq 1, умова (5) виконується, оскiль-
ки CN - 1
N+n\rho
n+1 = (\rho n+N )(N - 1)/(N - 1)!, i степеневий ряд
\sum \infty
n=1
\rho n+N та ряд, складений iз
(N - 1)-х похiдних його членiв, збiгаються.
Ця робота є продовженням дослiджень, розпочатих в [1, 2], де встановлено деякi ознаки
збiжностi ГЛД (1) з дiйсними i комплексними елементами за допомогою методу фундаменталь-
них нерiвностей.
Вiдмiтимо також роботу [12], у якiй встановлено оцiнку похибки наближення для ГЛД
N\sum
i1=1
1
bi(1) +
i1\sum
i2=1
1
bi(2) +
i2\sum
i3=1
1
bi(3) +
. . . ,
де bi(k), i(k) \in \scrI , — сталi, якi належать кутовим множинам комплексної площини.
2. Оцiнки похибок наближень. Нехай \{ ti(k)\} i(k)\in \scrI , k\geq 2 i \{ \alpha i(k)\} i(k)\in \scrI — послiдовностi
дiйсних чисел. Позначимо
xi(k) = \Re
\bigl(
ai(k)e
i(\alpha i(k - 1)+\alpha i(k))
\bigr)
, yi(k) = \Im
\bigl(
ai(k)e
i(\alpha i(k - 1)+\alpha i(k))
\bigr)
, i(k) \in \scrI , k \geq 2, (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ОЦIНКИ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ ГIЛЛЯСТОГО ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ . . . 879
\mu i(k) = (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k) + (1 - Ti(k))
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k))
1/2, Ti(k) =
ik\sum
ik+1=1
ti(k+1), i(k) \in \scrI , (7)
u
(n)
i(k) = \Re
\bigl(
G
(n)
i(k)e
i\alpha i(k)
\bigr)
, v
(n)
i(k) = \Im
\bigl(
G
(n)
i(k)e
i\alpha i(k)
\bigr)
, i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n, n \in \BbbN . (8)
Дослiдимо збiжнiсть ГЛД (1) у випадку, коли величини xi(k) й yi(k) для всiх i(k) \in \scrI i
k \geq 2 набувають вiдповiдно недодатних i невiд’ємних значень. З цiєю метою доведемо таку
лему.
Лема 1. Нехай елементи ГЛД (1) задовольняють нерiвностi
- ti(k)\mu i(k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k - 1) \leq xi(k) \leq 0, yi(k) \geq 0 для всiх i(k) \in \scrI i k \geq 2, (9)
де xi(k), yi(k) i \mu i(k), i(k) \in \scrI , k \geq 2, означено вiдповiдно в (6) i (7); ti(k), k \geq 2, та \alpha i(k),
i(k) \in \scrI , — деякi дiйснi числа такi, що
ti(k) > 0, k \geq 2, Ti(k) \leq 1, 0 \leq \alpha i(k) \leq \pi /2, Ti(k) - \alpha i(k) \not = 1, i(k) \in \scrI , (10)
де Ti(k), i(k) \in \scrI , означено в (7). Тодi для всiх i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n, n \in \BbbN , виконуються
нерiвностi
u
(n)
i(k) \geq (1 - Ti(k)) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k), v
(n)
i(k) \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k), (11)
де u
(n)
i(k) i v(n)i(k), i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n, n \in \BbbN , означено у (8).
Доведення проведемо для довiльного натурального числа n за iндукцiєю по k для кожного
мультиiндексу i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n.
Для k = n i для всiх i(n) \in \scrI нерiвностi (11) є очевидними. Припустимо, що вони
виконуються для k = p i для всiх i(p) \in \scrI таких, що p \leq n. Тодi з урахуванням позначень (7),
(8) та умов (10) для залишкiв (2) маємо\bigm| \bigm| G(n)
i(p)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| G(n)
i(p)e
i\alpha i(p)
\bigm| \bigm| \geq \mu i(p) > 0, i(p) \in \scrI , p \leq n, (12)
а для k = p - 1 i для довiльного мультиiндексу i(p - 1) \in \scrI записуємо
G
(n)
i(p - 1)e
i\alpha i(p - 1) = ei\alpha i(p - 1) +
ip - 1\sum
ip=1
(xi(p) + iyi(p))
\bigl(
u
(n)
i(p) - iv
(n)
i(p)
\bigr) \bigm| \bigm| G(n)
i(p)
\bigm| \bigm| 2 .
Звiдси з урахуванням нерiвностей (9), (10) i припущень iндукцiї отримуємо
u
(n)
i(p - 1) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(p - 1) +
ip - 1\sum
ip=1
xi(p)u
(n)
i(p) + yi(p)v
(n)
i(p)\bigm| \bigm| G(n)
i(p)
\bigm| \bigm| 2 \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(p - 1)
\left( 1 -
ip - 1\sum
ip=1
ti(p)\mu i(p)u
(n)
i(p)\bigm| \bigm| G(n)
i(p)
\bigm| \bigm| 2
\right) \geq
\geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(p - 1)
\bigl(
1 - Ti(p - 1)
\bigr)
,
v
(n)
i(p - 1) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(p - 1) +
ip - 1\sum
ip=1
yi(p)u
(n)
i(p) - xi(p)v
(n)
i(p)\bigm| \bigm| G(n)
i(p)
\bigm| \bigm| 2 \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(p - 1).
Лему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
880 Т. М. АНТОНОВА, Р. I. ДМИТРИШИН
Для зручностi позначимо
R
(n)
i(k),j = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k) +
\sum
1\leq ik+1\leq ik, ik+1 \not =j
xi(k+1)u
(n)
i(k+1) + yi(k+1)v
(n)
i(k+1)\bigm| \bigm| G(n)
i(k+1)
\bigm| \bigm| 2 , (13)
Q
(n)
i(k),j = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k) +
\sum
1\leq ik+1\leq ik, ik+1 \not =j
yi(k+1)u
(n)
i(k+1) - xi(k+1)v
(n)
i(k+1)\bigm| \bigm| G(n)
i(k+1)
\bigm| \bigm| 2 , (14)
де i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n - 1, n \geq 2, i 1 \leq j \leq ik. Тодi для довiльного j, 1 \leq j \leq ik, записуємо
G
(n)
i(k)e
i\alpha i(k) = R
(n)
i(k),j + iQ
(n)
i(k),j +
xi(k),j + iyi(k),j
u
(n)
i(k),j + iv
(n)
i(k),j
, i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n - 1, n \geq 2,
звiдки випливає, що для всiх j, 1 \leq j \leq ik, справджуються рiвностi
\bigm| \bigm| G(n)
i(k)
\bigm| \bigm| 2 = \bigl(
R
(n)
i(k),j
\bigr) 2
+
\bigl(
Q
(n)
i(k),j
\bigr) 2
+
| ai(k),j | 2\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 + 2R
(n)
i(k),j
xi(k),ju
(n)
i(k),j + yi(k),jv
(n)
i(k)j\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 +
+2Q
(n)
i(k),j
yi(k),ju
(n)
i(k),j - xi(k),jv
(n)
i(k)j\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 , i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n - 1, n \geq 2. (15)
Теорема 2. Нехай iснують додатнi сталi L i d такi, що елементи ГЛД (1) задовольняють
нерiвностi (9), (10) i
| ai(k)| \leq L, d \leq (\mu i(k),j)
2
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k) +
\bigl(
(1 - Ti(k))
2 - (ti(k),j)
2
\bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k)
\bigr)
(16)
для всiх i(k) \in \scrI та j, 1 \leq j \leq ik. Тодi ГЛД (1) збiгається до значення f i для кожного n \geq 1
для похибки наближення його n-м пiдхiдним дробом fn справджується оцiнка
| f - fn| \leq CN - 1
N+n
Ln+1
d0(L2 + d)n/2
, (17)
де d0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}1\leq i1\leq N \mu i(1).
Доведення. Покажемо, що виконуються нерiвностi (3) i (4). Зауважимо, що оскiльки вико-
нуються умови леми 1, то правильними є оцiнки (11) i (12).
Використовуючи нерiвностi (12), (16), для довiльного iндексу i1, 1 \leq i1 \leq N, отримуємо
| ai(1)| /
\bigm| \bigm| G(n)
i(1)
\bigm| \bigm| \leq L/\mu i(1) \leq L/d0.
Нехай n — довiльне натуральне число, n \geq 2. Використовуючи нерiвностi (9) – (12) i (16),
для кожного мультиiндексу i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n - 1, i кожного iндексу j, 1 \leq j \leq ik, оцiнюємо
величини | ai(k),j | 2/
\bigm| \bigm| G(n)
i(k)G
(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2.
Для довiльного мультиiндексу i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n - 1, i довiльного iндексу j, 1 \leq j \leq ik,
спочатку для величин R
(n)
i(k),j i Q(n)
i(k),j , означених вiдповiдно в (13) i (14), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ОЦIНКИ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ ГIЛЛЯСТОГО ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ . . . 881
R
(n)
i(k),j \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k) +
\sum
1\leq ik+1\leq ik, ik+1 \not =j
xi(k+1)u
(n)
i(k+1)\bigm| \bigm| G(n)
i(k+1)
\bigm| \bigm| 2 \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k)
\left( 1 -
\sum
1\leq ik+1\leq ik, ik+1 \not =j
ti(k+1)
\right) =
(18)
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k)
\bigl(
1 - Ti(k) + ti(k),j
\bigr)
,
Q
(n)
i(k),j \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k). (19\prime )
Далi, iз (15) враховуючи (18) i (19\prime ), отримуємо
\bigm| \bigm| G(n)
i(k)
\bigm| \bigm| 2 \geq (R
(n)
i(k),j)
2 + 2R
(n)
i(k),j
xi(k),ju
(n)
i(k),j\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 + (Q
(n)
i(k),j)
2 +
| ai(k),j | 2\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 \geq
\geq (1 - Ti(k) - ti(k),j)R
(n)
i(k),j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k) +
| ai(k),j | 2\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k) + ((1 - Ti(k))
2 - (ti(k),j)
2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k) +
| ai(k),j | 2\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2
i, крiм цього, враховуючи, що | ai(k),j | 2/
\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 \leq L2/(\mu i(k),j)
2, маємо
| ai(k),j | 2
| G(n)
i(k)G
(n)
i(k),j | 2
\leq
| ai(k),j | 2/
\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k) +
\bigl(
(1 - Ti(k))2 - (ti(k),j)2
\bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k) + | ai(k),j | 2/
\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 \leq L2
L2 + d
.
Вибираючи M = L/d0 i \rho n = L/(L2 + d)1/2, n \geq 1, на пiдставi теореми 1 i зауваження до
неї отримуємо твердження цiєї теореми.
Теорему 2 доведено.
Зауважимо, що для певних можливих значень чисел послiдовностей \{ ti(k)\} i(k)\in \scrI , k\geq 2 та
\{ \alpha i(k)\} i(k)\in \scrI iз теореми 2 можна безпосередньо отримати ряд простих i конструктивних умов
для встановлення швидкостi збiжностi ГЛД (1) i, як наслiдок, послiдовностi множин їх рiвно-
мiрної збiжностi. Наприклад, нехай
ti(k) = 1/ik - 1 для всiх i(k) \in \scrI i k \geq 2 та \alpha i(k) = \alpha ik для всiх i(k) \in \scrI . (19)
Тодi маємо такi два наслiдки.
Наслiдок 1. Нехай iснує додатна стала L така, що елементи ГЛД (1) для всiх i(k) \in \scrI ,
k \geq 2, задовольняють нерiвностi
| ai(k - 1)| \leq L, - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ik - 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha ik \leq ik - 1\Re
\bigl(
ai(k)e
i(\alpha ik - 1
+\alpha ik
)\bigr) \leq 0,
\Im
\bigl(
ai(k)e
i(\alpha ik - 1
+\alpha ik
)\bigr) \geq 0,
де \alpha k, 1 \leq k \leq N, — деякi дiйснi числа такi, що \pi /4 < \alpha k \leq \pi /2, 1 \leq k \leq N. Тодi ГЛД (1)
збiгається до значення f i для кожного n \geq 1 для похибки наближення його n-м пiдхiдним
дробом fn виконується оцiнка (17), де
d0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
1\leq i1\leq N
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i1 | , d = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i(2)\in \scrI
\bigl\{
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i2 | (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i1 - i - 2
1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i1)
\bigr\}
. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
882 Т. М. АНТОНОВА, Р. I. ДМИТРИШИН
Наслiдок 2. Послiдовнiсть множин \{ Ei(k)\} i(k)\in \scrI , де
Ei(1) =
\bigl\{
z \in \BbbC : | z| \leq L
\bigr\}
, 1 \leq i1 \leq N,
Ei(k) =
\bigl\{
z \in \BbbC : - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha \leq 2ik - 1\Re (ze2i\alpha ) \leq 0, 0 \leq \Im (ze2i\alpha ) \leq K
\bigr\}
, i(k) \in \scrI , k \geq 2,
L, K, \alpha — деякi дiйснi числа такi, що L > 0, K > 0, \pi /4 < \alpha \leq \pi /2, є послiдовнiстю множин
рiвномiрної збiжностi ГЛД (1).
Для випадку, коли визначенi за формулою (6) величини xi(k) та yi(k) для всiх i(k) \in \scrI i
k \geq 2 набувають недодатних значень, за схемою доведення леми 1 отримуємо таку лему.
Лема 2. Нехай елементи ГЛД (1) задовольняють нерiвностi
- ti(k)\mu i(k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k - 1) \leq xi(k) \leq 0, yi(k) \leq 0 для всiх i(k) \in \scrI i k \geq 2, (21)
де xi(k), yi(k) i \mu i(k), i(k) \in \scrI , k \geq 2, означено вiдповiдно в (6) i (7); ti(k), k \geq 2, та \alpha i(k),
i(k) \in \scrI , — деякi дiйснi числа такi, що
ti(k) > 0, k \geq 2, Ti(k) \leq 1, - \pi /2 \leq \alpha i(k) \leq 0, Ti(k) + \alpha i(k) \not = 1, i(k) \in \scrI , (22)
Ti(k), i(k) \in \scrI , означено в (7). Тодi для всiх i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n, та n \in \BbbN виконуються
нерiвностi u(n)i(k) \geq (1 - Ti(k)) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k), v
(n)
i(k) \leq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k), де u
(n)
i(k) i v(n)i(k), i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n,
n \in \BbbN , означено у (8).
На пiдставi леми 2, мiркуючи, як i при доведеннi теореми 2, i замiнюючи нерiвнiсть (19\prime )
нерiвнiстю Q
(n)
i(k),j \leq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k) для всiх i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n - 1, n \geq 2 та j, 1 \leq j \leq ik,
отримуємо такий результат.
Теорема 3. Нехай iснують додатнi сталi L i d такi, що елементи ГЛД (1) задовольняють
нерiвностi (21), (22) i (16) для всiх i(k) \in \scrI та j, 1 \leq j \leq ik. Тодi ГЛД (1) збiгається до
значення f i для кожного n \geq 1 для похибки наближення його n-м пiдхiдним дробом fn
справджується оцiнка (17).
За умови (19) наступнi два наслiдки безпосередньо випливають iз теореми 3.
Наслiдок 3. Нехай iснує додатна стала L така, що елементи ГЛД (1) для всiх i(k) \in \scrI ,
k \geq 2, задовольняють нерiвностi
| ai(k - 1)| \leq L, - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ik - 1
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha ik | \leq ik - 1\Re
\Bigl(
ai(k)e
i(\alpha ik - 1
+\alpha ik
)
\Bigr)
\leq 0,
\Im
\Bigl(
ai(k)e
i(\alpha ik - 1
+\alpha ik
)
\Bigr)
\leq 0,
де \alpha k, 1 \leq k \leq N, — деякi дiйснi числа такi, що - \pi /2 \leq \alpha k < - \pi /4, 1 \leq k \leq N. Тодi ГЛД (1)
збiгається до значення f i для кожного n \geq 1 для похибки наближення його n-м пiдхiдним
дробом fn виконується оцiнка (17), де d0 i d означено у (20).
Наслiдок 4. Послiдовнiсть множин \{ Ei(k)\} i(k)\in \scrI , де
Ei(1) = \{ z \in \BbbC : | z| \leq L\} , 1 \leq i1 \leq N,
Ei(k) =
\bigl\{
z \in \BbbC : - | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha | \leq 2ik - 1\Re (ze2i\alpha ) \leq 0, - K \leq \Im (ze2i\alpha ) \leq 0
\bigr\}
, i(k) \in \scrI , k \geq 2,
L, K, \alpha — деякi дiйснi числа такi, що L > 0, K > 0, - \pi /2 \leq \alpha < - \pi /4, є послiдовнiстю
множин рiвномiрної збiжностi ГЛД (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ОЦIНКИ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ ГIЛЛЯСТОГО ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ . . . 883
Нехай тепер визначенi за формулою (6) величини xi(k) та yi(k) для всiх i(k) \in \scrI i k \geq 2
набувають невiд’ємних значень. Тодi правильними є такi два твердження.
Лема 3. Нехай елементи ГЛД (1) задовольняють нерiвностi
ti(k)\nu i(k) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k - 1) \geq xi(k) \geq 0, yi(k) \geq 0 для всiх i(k) \in \scrI i k \geq 2, (23)
де xi(k), yi(k), k \geq 2, означено в (6);
\nu i(k) =
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k) + (1 - Ti(k))
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k)
\bigr) 1/2
, i(k) \in \scrI ; (24)
ti(k), k \geq 2, та \alpha i(k), i(k) \in \scrI , — деякi дiйснi числа такi, що
ti(k) > 0, k \geq 2, Ti(k) \leq 1, 0 \leq \alpha i(k) \leq \pi /2, Ti(k) - \alpha i(k) \not = 1 - \pi /2, i(k) \in \scrI . (25)
Тодi для всiх i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n, n \in \BbbN , виконуються нерiвностi u(n)i(k) \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k), v
(n)
i(k) \geq
\geq (1 - Ti(k)) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k), де u
(n)
i(k) i v(n)i(k), i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n, n \in \BbbN , означено у (8).
Теорема 4. Нехай iснують додатнi сталi L i d такi, що елементи ГЛД (1) задовольняють
нерiвностi (23), (25) i
| ai(k)| \leq L, d \leq (\nu i(k),j)
2
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k) +
\bigl(
(1 - Ti(k))
2 - (ti(k),j)
2
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k)
\bigr)
(26)
для всiх i(k) \in \scrI та j, 1 \leq j \leq ik. Тодi ГЛД (1) збiгається до значення f i для кожного
n \geq 1 для похибки наближення його n-м пiдхiдним дробом fn справджується оцiнка (17), де
d0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}1\leq i1\leq N \nu i(1).
Зауважимо, що доведення леми 3 i теореми 4 проводимо за схемами доведення вiдповiдно
леми 1 i теореми 2, при цьому величини u
(n)
i(p - 1) i v
(n)
i(p - 1), означенi у (8), та R
(n)
i(k),j i Q
(n)
i(k),j ,
означенi вiдповiдно у (13) i (14), оцiнюємо так:
u
(n)
i(p - 1) \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(p - 1), R
(n)
i(k),j \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k),
v
(n)
i(p - 1) \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(p - 1) -
ip - 1\sum
ip=1
xi(p)v
(n)
i(p)\bigm| \bigm| G(n)
i(p)
\bigm| \bigm| 2 \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(p - 1)
\left( 1 -
ip - 1\sum
ip=1
ti(p)\nu i(p)v
(n)
i(p)\bigm| \bigm| G(n)
i(p)
\bigm| \bigm| 2
\right) \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(p - 1)(1 - Ti(p - 1)),
Q
(n)
i(k),j \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k) -
\sum
1\leq ik+1\leq ik, ik+1 \not =j
xi(k+1)v
(n)
i(k+1)\bigm| \bigm| G(n)
i(k+1)
\bigm| \bigm| 2 \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k)
\left( 1 -
\sum
1\leq ik+1\leq ik, ik+1 \not =j
ti(k+1)
\right) =
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k)
\bigl(
1 - Ti(k) + ti(k),j
\bigr)
,
а
\bigm| \bigm| G(n)
i(k)
\bigm| \bigm| 2 з урахуванням (15) — таким чином:
\bigm| \bigm| G(n)
i(k)
\bigm| \bigm| 2 \geq \Bigl(
R
(n)
i(k),j
\Bigr) 2
- 2Q
(n)
i(k),j
xi(k),jv
(n)
i(k),j\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 + (Q
(n)
i(k),j)
2 +
| ai(k),j | 2\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 \geq
\geq (1 - Ti(k) - ti(k),j)Q
(n)
i(k),j \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k) + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k) +
| ai(k),j | 2\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 \geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
884 Т. М. АНТОНОВА, Р. I. ДМИТРИШИН
\geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \alpha i(k) +
\bigl(
(1 - Ti(k))
2 - (ti(k),j)
2
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \alpha i(k) +
| ai(k),j | 2\bigm| \bigm| G(n)
i(k),j
\bigm| \bigm| 2 .
Далi, також без доведення, наведемо ще два результати, оскiльки їхнi доведення подiбнi до
доведення леми 3 i теореми 4.
Лема 4. Нехай елементи ГЛД (1) задовольняють нерiвностi
ti(k)\nu i(k)| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k - 1)| \geq xi(k) \geq 0, yi(k) \leq 0 для всiх i(k) \in \scrI i k \geq 2, (27)
де xi(k), yi(k) i \nu i(k), i(k) \in \scrI , k \geq 2, означено вiдповiдно в (6) i (24); ti(k), k \geq 2, та \alpha i(k),
i(k) \in \scrI , — деякi дiйснi числа такi, що
ti(k) > 0, k \geq 2, Ti(k) \leq 1, - \pi /2 \leq \alpha i(k) \leq 0, Ti(k) - \alpha i(k) \not = 1 + \pi /2, i(k) \in \scrI , (28)
Ti(k), i(k) \in \scrI , означено в (7). Тодi для всiх i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n, n \in \BbbN , виконуються
нерiвностi u(n)i(k) \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha i(k), v
(n)
i(k) \leq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha i(k)(1 - Ti(k)), де u
(n)
i(k) i v(n)i(k), i(k) \in \scrI , 1 \leq k \leq n,
n \in \BbbN , означено у (8).
Теорема 5. Нехай iснують додатнi сталi L i d такi, що елементи ГЛД (1) задовольняють
нерiвностi (26) – (28) для всiх i(k) \in \scrI та j, 1 \leq j \leq ik. Тодi ГЛД (1) збiгається до значення f
i для кожного n \geq 1 для похибки наближення його n-м пiдхiдним дробом fn справджується
оцiнка (17).
3. Деякi застосування. Хоча результати п. 2 є цiкавими у наведеному виглядi, мабуть,
їхня найбiльша цiннiсть пов’язана з отриманням похибок наближень для ГЛД (1), елементи
ai(k), i(k) \in \scrI , яких є функцiями однiєї або багатьох комплексних змiнних. Iлюстрацiю цього
використання покажемо на застосуваннi до багатовимiрних S-, A-дробiв iз нерiвнозначними
змiнними. Зображення деяких аналiтичних функцiй багатьох змiнних цими ГЛД можна знайти
у роботах [7 – 10, 15, 17]. ГЛД вигляду
N\sum
i1=1
ci(1)zi1
1 +
i1\sum
i2=1
ci(2)zi2
1 +
i2\sum
i3=1
ci(3)zi3
1 +
. . . , (29)
де ci(k) > 0 для всiх i(k) \in \scrI , z = (z1, z2, . . . , zN ) \in \BbbC N , називають багатовимiрним S -дробом
iз нерiвнозначними змiнними.
Приклад 1. Нехай для заданого L > 0 послiдовнiсть \{ ci(k)\} i(k)\in \scrI додатних чисел задоволь-
няє нерiвностi ci(1) \leq L/2, 1 \leq i1 \leq N, ci(k) \leq L/(2ik - 1) для всiх i(k) \in \scrI , k \geq 2, i gn(z) —
n-й пiдхiдний дрiб багатовимiрного S-дробу з нерiвнозначними змiнними (29). Тодi для всiх
zk = | zk| ei\alpha , 1 \leq k \leq N, таких, що | zk| \leq (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha )/
\bigl(
L| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\alpha |
\bigr)
, 1 \leq k \leq N, i \pi /4 < \alpha \leq \pi /3,
iснує g(z) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty gn(z) i
| g(z) - gn(z)| \leq CN - 1
N+nM
n+1/(d0(M
2 + d)n/2), n \geq 1,
де d0 i d означено у (20), M = (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha )/(2| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 3\alpha | ).
Цей приклад випливає iз наслiдку 1, де ai(k) = ci(k)zik , i(k) \in \scrI , та \alpha k = \alpha , 1 \leq k \leq N.
Багатовимiрний A-дрiб iз нерiвнозначними змiнними — це ГЛД вигляду
N\sum
i1=1
pi(1)zi1
1 +
i1\sum
i2=1
( - 1)\delta i1,i2pi(2)zi1zi2
1 +
i2\sum
i3=1
( - 1)\delta i2,i3pi(3)zi2zi3
1 +
. . . , (30)
де pi(k) \in \BbbC \setminus \{ 0\} для всiх i(k) \in \scrI , \delta i,j — символ Кронекера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ОЦIНКИ ПОХИБКИ НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ ГIЛЛЯСТОГО ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ . . . 885
Приклад 2. Нехай для заданого L > 0 послiдовнiсть \{ pi(k)\} i(k)\in \scrI дiйсних чисел задоволь-
няє нерiвностi 0 < pi(1) \leq (L/2)1/2, 1 \leq i1 \leq N, - L/(2ik - 1) \leq ( - 1)\delta ik - 1,ikpi(k) < 0 для всiх
i(k) \in \scrI , k \geq 2, i hn(z) — n-й пiдхiдний дрiб багатовимiрного A-дробу з нерiвнозначними
змiнними (30). Тодi для всiх zk = | zk| ei\alpha , 1 \leq k \leq N, таких, що | zk| \leq
\bigl(
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha | /(L \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 4\alpha )
\bigr) 1/2
,
1 \leq k \leq N, i - \pi /2 < \alpha < - 3\pi /8, iснує h(z) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty hn(z) i
| h(z) - hn(z)| \leq CN - 1
N+nM
n+1/2/(d0(M
2 + d)n/2), n \geq 1,
де d0 i d означено в (20), M = | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\alpha | /(2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 4\alpha ).
Цей результат безпосередньо випливає iз наслiдку 3, де ai(1) = pi(1)zi1 , 1 \leq i1 \leq N,
ai(k) = ( - 1)\delta ik - 1,ikpi(k)zik - 1
zik , i(k) \in \scrI , k \geq 2, та \alpha k = \alpha , 1 \leq k \leq N.
Лiтература
1. Т. М. Антонова, Швидкiсть збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Волин. мат. вiсн., 6,
5 – 11 (1999).
2. Т. М. Антонова, Д. I. Боднар, Областi збiжностi гiлястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Теорiя
наближення функцiй та її застосування: Працi Iн-ту математики НАН України, 31, 5 – 18 (2000).
3. Т. М. Антонова, С. М. Возна, Про один аналог методу фундаментальних нерiвностей для дослiдження
збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Сер. фiз.-
мат. науки, 871, 5 – 12 (2017).
4. Т. М. Антонова, О. М. Сусь, Про деякi послiдовностi множин рiвномiрної збiжностi двовимiрних неперервних
дробiв, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 58, № 1, 47 – 56 (2015).
5. О. Є. Баран, Деякi областi збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду, Карпат. мат. публ.,
5, № 1, 4 – 13 (2013).
6. Д. И. Боднар, Ветвящиеся цепные дроби, Наук. думка, Киев (1986).
7. Д. I. Боднар, Р. I. Дмитришин, Багатовимiрнi приєднанi дроби з нерiвнозначними змiнними i кратнi степеневi
ряди, Укр. мат. журн., 71, № 3, 325 – 339 (2019).
8. Р. I. Дмитришин, Двовимiрне узагальнення qd-алгоритму Рутисхаузера, Мат. методи та фiз.-мех. поля, 56,
№ 4, 6 – 11 (2013).
9. Р. I. Дмитришин, Приєднанi гiллястi ланцюговi дроби з двома нерiвнозначними змiнними, Укр. мат. журн., 66,
№ 9, 1175 – 1184 (2014).
10. Р. I. Дмитришин, Про розвинення деяких функцiй у двовимiрний g-дрiб з нерiвнозначними змiнними, Мат. методи
та фiз.-мех. поля, 53, № 4, 28 – 34 (2010).
11. T. M. Antonova, M. V. Dmytryshyn, S. M. Vozna, Some properties of approximants for branched continued fractions
of the special form with positive and alternating-sign partial numerators, Carpathian Math. Publ., 10, № 1, 3 – 13
(2018).
12. I. B. Bilanyk, A truncation error bound for some branched continued fractions of the special form, Mat. Stud., 52,
№ 2, 115 – 123 (2019).
13. I. B. Bilanyk, D. I. Bodnar, L. M. Byak, Representation of a quotient of solutions of a four-term linear recurrence
relation in the form of a branched continued fraction, Carpathian Math. Publ., 11, № 1, 33 – 41 (2019).
14. R. I. Dmytryshyn, Convergence of some branched continued fractions with independent variables, Mat. Stud., 47,
№ 2, 150 – 159 (2017).
15. R. I. Dmytryshyn, Multidimensional regular C -fraction with independent variables corresponding to formal multiple
power series, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 1 – 18 (2019), doi:10.1017/prm.2019.2.
16. R. I. Dmytryshyn, On some of convergence domains of multidimensional S -fractions with independent variables,
Carpathian Math. Publ., 11, № 1, 54 – 58 (2019).
17. R. I. Dmytryshyn, The two-dimensional g-fraction with independent variables for double power series, J. Approxim.
Theory, 164, № 12, 1520 – 1539 (2012).
18. W. B. Jones, W. J. Thron, Continued fractions: analytic theory and applications, Addison-Wesley Publ. Co., Reading,
Mass. (1980).
Одержано 27.01.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2342 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:20Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a6/5a774469d80bc4750bce5a64b9a6fba6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23422020-08-05T15:20:28Z Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ Оценки погрешности приближения для ветвящейся цепной дроби $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ Оцінки похибки наближення для гіллястого ланцюгового дробу $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ Antonova, T. M. Dmytryshyn, R. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. UDC 517.5 The paper deals with the problem of estimating the error of approximation of a branched continued fraction, which is a generalization of a continued fraction. Using the method of fundamental inequalities, truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots,$ whose elements belong to some rectangular sets of a complex plane, are established. The obtained results have been applied to multidimensional $S$, $A$-fraction with independent variables. УДК 517.5 Рассматривается задача оценивания погрешности приближения для ветвящейся цепной дроби, которая является многомерным обобщением непрерывной дроби. Используя метод фундаментальных неравенств, установлены оценки скорости сходимости ветвящейся цепной дроби $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots,$ элементы которой принадлежат некоторым прямоугольным множествам комплексной плоскости. Полученные результаты применены к многомерным $S$, $A$-дробям с неравнозначными переменными. УДК 517.5 Розглядається задача оцінювання похибки наближення для гіллястого ланцюгового дробу, який є багатовимірним узагальненням неперервного дробу. Використовуючи метод фундаментальних нерівностей, встановлено оцінки швидкості збіжності гіллястого ланцюгового дробу $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots,$ елементи якого належать деяким прямокутним множинам комплексної площини. Отримані результати застосовано до багатовимірних $S$, $A$-дробів з нерівнозначними змінними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-07-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2342 10.37863/umzh.v72i7.2342 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 7 (2020); 877-885 Український математичний журнал; Том 72 № 7 (2020); 877-885 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2342/8725 Copyright (c) 2020 Роман Дмитришин, Тамара Антонова |
| spellingShingle | Antonova, T. M. Dmytryshyn, R. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. Антонова, Т. М. Дмитришин, Р. I. Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| title | Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| title_alt | Оценки погрешности приближения для ветвящейся цепной дроби $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ Оцінки похибки наближення для гіллястого ланцюгового дробу $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| title_full | Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| title_fullStr | Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| title_full_unstemmed | Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| title_short | Truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| title_sort | truncation error bounds for branched continued fraction $\sum_{i_1=1}^n\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^{i_1}\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\sum_{i_3=1}^{i_2}\frac{a_{i(3)}}{1}{\atop+}\ldots$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2342 |
| work_keys_str_mv | AT antonovatm truncationerrorboundsforbranchedcontinuedfractionsumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmytryshynri truncationerrorboundsforbranchedcontinuedfractionsumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm truncationerrorboundsforbranchedcontinuedfractionsumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmitrišinri truncationerrorboundsforbranchedcontinuedfractionsumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm truncationerrorboundsforbranchedcontinuedfractionsumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmitrišinri truncationerrorboundsforbranchedcontinuedfractionsumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm ocenkipogrešnostipribliženiâdlâvetvâŝejsâcepnojdrobisumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmytryshynri ocenkipogrešnostipribliženiâdlâvetvâŝejsâcepnojdrobisumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm ocenkipogrešnostipribliženiâdlâvetvâŝejsâcepnojdrobisumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmitrišinri ocenkipogrešnostipribliženiâdlâvetvâŝejsâcepnojdrobisumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm ocenkipogrešnostipribliženiâdlâvetvâŝejsâcepnojdrobisumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmitrišinri ocenkipogrešnostipribliženiâdlâvetvâŝejsâcepnojdrobisumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm ocínkipohibkinabližennâdlâgíllâstogolancûgovogodrobusumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmytryshynri ocínkipohibkinabližennâdlâgíllâstogolancûgovogodrobusumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm ocínkipohibkinabližennâdlâgíllâstogolancûgovogodrobusumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmitrišinri ocínkipohibkinabližennâdlâgíllâstogolancûgovogodrobusumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT antonovatm ocínkipohibkinabližennâdlâgíllâstogolancûgovogodrobusumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots AT dmitrišinri ocínkipohibkinabližennâdlâgíllâstogolancûgovogodrobusumi11nfracai11atopsumi21i1fracai21atopsumi31i2fracai31atopldots |