Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions
UDC 517.5 For any $p\in (0, \infty],$ $\omega > 0,$ $\beta \in (0, 2 \omega)$, and arbitrary measurable set $B \subset I_d := [0, d],$ $\mu B \le \beta,$ we obtain the sharp inequality of Remez type$$\|x_{\pm}\|_\infty \le\frac{\|(\varphi+c)_{\pm}\|_\infty}{\|\varphi+c\|_{L_p(I_{2\omega}\...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2352 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508260405084160 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Popovich, I. V. Кофанов, В. А. Попович, И. В Кофанов, В. А. Попович, И. В |
| author_facet | Kofanov, V. A. Popovich, I. V. Кофанов, В. А. Попович, И. В Кофанов, В. А. Попович, И. В |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-07-11T12:12:15Z |
| description | UDC 517.5
For any $p\in (0, \infty],$ $\omega > 0,$ $\beta \in (0, 2 \omega)$, and arbitrary measurable set $B \subset I_d := [0, d],$ $\mu B \le \beta,$ we obtain the sharp inequality of Remez type$$\|x_{\pm}\|_\infty \le\frac{\|(\varphi+c)_{\pm}\|_\infty}{\|\varphi+c\|_{L_p(I_{2\omega}\setminus B^c_y)}} \left\|x \right\|_{L_{p} \left(I_d \setminus B\right)}$$on the set $S_{\varphi}(\omega)$ of $d$-periodic functions $x$ having zeros with given the sine-shaped $2\omega$-periodic comparison function $\varphi$, where $c\in [-\|\varphi\|_\infty, \|\varphi\|_\infty]$ satisfies the condition$$\|x_{+}\|_\infty \cdot\|x_{-}\|^{-1}_\infty = \|(\varphi+c)_{+}\|_\infty \cdot\|(\varphi+c)_{-}\|^{-1}_\infty ,$$$B^c_y:=\{t\in [0, 2\omega]:|\varphi(t)+c| > y \}$ and $y$ is such that $\mu B^c_y = \beta$.
In particular, we obtain such type inequalities on the Sobolev sets of periodic functions and on the spaces of trigonometric polynomials and splines with given quotient $\|x_{+}\|_\infty / \|x_-\|_\infty$. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i7.2352 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i7.2352
УДК 517.5
В. А. Кофанов, И. В. Попович (Днепр. нац. ун-т)
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА
С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ФУНКЦИИ
For any p \in (0,\infty ], \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ), and arbitrary measurable set B \subset Id := [0, d], \mu B \leq \beta , we obtain the sharp
inequality of Remez type
\| x\pm \| \infty \leq \| (\varphi + c)\pm \| \infty
\| \varphi + c\| Lp(I2\omega \setminus Bc
y)
\| x\| Lp(Id\setminus B)
on the set S\varphi (\omega ) of d-periodic functions x having zeros with given sine-shaped 2\omega -periodic comparison function \varphi ,
where c \in [ - \| \varphi \| \infty , \| \varphi \| \infty ] satisfies the condition
\| x+\| \infty \cdot \| x - \| - 1
\infty = \| (\varphi + c)+\| \infty \cdot \| (\varphi + c) - \| - 1
\infty ,
Bc
y := \{ t \in [0, 2\omega ] : | \varphi (t) + c| > y\} , and y is such that \mu Bc
y = \beta .
In particular, we obtain such type inequalities on Sobolev sets of periodic functions and on spaces of trigonometric
polynomials and splines with given quotient \| x+\| \infty /\| x - \| \infty .
Для довiльних p \in (0,\infty ], \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ) i будь-якої вимiрної множини B \subset Id := [0, d], \mu B \leq \beta , отримано
точну нерiвнiсть типу Ремеза
\| x\pm \| \infty \leq \| (\varphi + c)\pm \| \infty
\| \varphi + c\| Lp(I2\omega \setminus Bc
y)
\| x\| Lp(Id\setminus B)
на класах S\varphi (\omega ) d-перiодичних функцiй x, що мають нулi, iз заданою синусоподiбною 2\omega -перiодичною функцiєю
порiвняння \varphi , де c \in [ - \| \varphi \| \infty , \| \varphi \| \infty ] задовольняє умову
\| x+\| \infty \| x - \| - 1
\infty = \| (\varphi + c)+\| \infty \| (\varphi + c) - \| - 1
\infty ,
Bc
y := \{ t \in [0, 2\omega ] : | \varphi (t) + c| > y\} , а y вибрано так, що \mu Bc
y = \beta .
Як наслiдок встановлено точнi нерiвностi такого типу на соболєвських класах диференцiйовних перiодичних
функцiй та на просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв iз заданим вiдношенням норм
\| x+\| \infty /\| x - \| \infty .
1. Введение. Пусть G \subset \bfR . Будем рассматривать пространства Lp(G), 0 < p \leq \infty , всех
измеримых функций x : G \rightarrow \bfR , для которых конечна норма (квазинорма) \| x\| Lp(G), где
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\left( \int
G
| x (t)| p dt
\right) 1/p
, если 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in G
| x (t)| , если p = \infty .
Пусть d > 0, Id — окружность, реализованная в виде отрезка [0, d] с отождествленными
концами. Для r \in \bfN , G = \bfR или G = Id через Lr
\infty (G) обозначим пространство всех функций
x \in L\infty (G), имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r - 1)-го порядка и
таких, что x(r) \in L\infty (G). Для таких G вместо \| x\| L\infty (G) будем писать \| x\| \infty .
Через E0(f)Lp(G) обозначим наилучшее приближение функции f константами в пространст-
ве Lp(G), т. е.
E0(x)Lp(G) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
c\in R
\| x - c\| Lp(G).
c\bigcirc В. А. КОФАНОВ, И. В. ПОПОВИЧ, 2020
918 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 919
Вместо E0(x)L\infty (G) будем писать E0(x)\infty .
Будем говорить, что f \in L1
\infty (\bfR ) является функцией сравнения для x \in L1
\infty (\bfR ), если
существует такое c \in \bfR , что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in R
f(t) + c, \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
x(t) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t\in R
f(t) + c,
и из равенства x(\xi ) = f(\eta ) + c, где \xi , \eta \in \bfR , следует неравенство | x\prime (\xi )| \leq | f \prime (\eta )| , если
указанные производные существуют.
Нечетную 2\omega -периодическую функцию \varphi \in L1
\infty (I2\omega ) будем называть S -функцией, если
она имеет такие свойства: \varphi четная относительно \omega /2, | \varphi | выпуклая вверх на [0, \omega ] и строго
монотонная на [0, \omega /2].
Для 2\omega -периодической S -функции \varphi через S\varphi (\omega ) обозначим класс функций x из про-
странства L1
\infty (\bfR ), для которых \varphi является функцией сравнения. Отметим, что классы S\varphi (\omega )
рассматривались в работах [1, 2]. Примерами классов S\varphi (\omega ) являются соболевские классы
\{ x \in Lr
\infty (\bfR ) : \| x\| \infty \leq A0, \| x(r)\| \infty \leq Ar\} ,
а также ограниченные подмножества пространства Tn (тригонометрических полиномов поряд-
ка не выше n) и пространства Sn,r (периодических сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в
точках k\pi /n, k \in \bfZ ).
На соболевских классах и пространствах Sn,r функцией сравнения является подходящее
сжатие и сдвиг идеального сплайна Эйлера порядка r, а на пространствах Tn — полином
C \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt с подходящей константой C (подробнее см. пп. 3 – 5).
В теории аппроксимации полиномами важную роль играют неравенства типа Ремеза
\| T\| L\infty (I2\pi )
\leq C(n, \beta ) \| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.1)
на классе Tn, где B — произвольное измеримое по Лебегу множество B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta \in
\in (0, 2\pi ), \mu — мера Лебега.
Начало этой тематике положила работа Е. Ремеза [3], в которой найдена точная константа в
неравенстве вида (1.1) для алгебраических многочленов. В неравенстве Ремеза экстремальным
является многочлен Чебышева 1-го рода. Для точной константы C(n, \beta ) в неравенстве (1.1)
для тригонометрических полиномов в ряде работ получены двусторонние оценки. Кроме того,
известно асимптотическое поведение констант C(n, \beta ) при \beta \rightarrow 2\pi [4] и \beta \rightarrow 0 [5]. Библио-
графию работ по данной тематике можно найти в [4 – 7]. В работе [5] доказано неравенство
\| T\| L\infty (I2\pi )
\leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.2)
для произвольного полинома T \in Tn, имеющего минимальный период 2\pi /m, и любого изме-
римого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , где \beta \in (0, 2\pi m/n). Равенство в (1.2)
достигается для полинома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx+
1
2
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta /2).
Не так давно была найдена [8] точная константа в неравенстве (1.1) для тригонометрических
полиномов.
Результат работы [5] был обобщен в [9], где для любой d-периодической функции x \in S\varphi (\omega )
(\varphi — заданная функция сравнения) и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset Id,
\mu B \leq \beta , доказаны неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
920 В. А. КОФАНОВ, И. В. ПОПОВИЧ
\| x\| \infty \leq
3\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B) (1.3)
и
E0(x)\infty \leq 2\| \varphi \| \infty
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B) . (1.4)
Неравенства (1.3) и (1.4) являются точными на классе S\varphi (\omega ) и обращаются в равенства для
функции x(t) = \varphi (t) +
1
2
\biggl(
\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
.
В работе [10] для произвольных p \in [1,\infty ], \omega > 0, \beta \in (0, 2\omega ) и измеримого множества
B \subset Id, \mu B \leq \beta , доказано точное неравенство типа Ремеза
E0(x)\infty \leq \| \varphi \| \infty
E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1)
\| x\| Lp(Id\setminus B) (1.5)
на классах S\varphi (\omega ) d-периодических функций x с заданной функцией сравнения \varphi .
Неравенства разных метрик типа Ремеза представлены в [11, 12].
В настоящей работе получено дальнейшее обобщение неравенства (1.5) на классы функций
x \in S\varphi (\omega ) с заданным отношением \| x+\| \infty /\| x - \| \infty (теорема 1). Как следствие получены
точные неравенства такого типа на соболевских классах дифференцируемых периодических
функций (теорема 2), а также на пространствах Tn тригонометрических полиномов (теорема 3)
и пространствах Sn,r сплайнов (теорема 4) с заданным отношением норм их положительных
и отрицательных частей.
2. Неравенства типа Ремеза на классах функций с заданной функцией сравнения. Для
функции f \in L1(Id) через m(f, y), y > 0, обозначим ее функцию распределения, определяе-
мую равенством
m(f, y) := \mu \{ t \in Id : | f(t)| > y\} , (2.1)
и пусть r(f, t) — убывающая перестановка (см., например, [13], §1.3) сужения функции | f | на
[0, d]. Положим r(f, t) = 0 для t > d.
Теорема 1. Пусть p \in (0,\infty ], \varphi — S -функция с периодом 2\omega , \beta \in (0, 2\omega ). Для любой d-
периодической функции x \in S\varphi (\omega ), имеющей нули, и измеримого множества B \subset Id, \mu B \leq \beta ,
выполнено неравенство
\| x\pm \| \infty \leq \| (\varphi + c)\pm \| \infty
\| \varphi + c\| Lp(I2\omega \setminus Bc
y(\beta )
)
\| x\| Lp(Id\setminus B), (2.2)
где c \in [ - \| \varphi \| \infty , \| \varphi \| \infty ] удовлетворяет условию
\| x+\| \infty
\| x - \| \infty
=
\| (\varphi + c)+\| \infty
\| (\varphi + c) - \| \infty
,
а Bc
y := \{ t \in [0, 2\omega ] : | \varphi (t) + c| > y\} , причем y = y(\beta ) выбрано так, что \mu Bc
y(\beta ) = \beta .
Неравенство (2.2) является точным на классе функций x \in S\varphi (\omega ), имеющих нули, с задан-
ным отношением норм \| x+\| \infty /\| x - \| \infty и обращается в равенство для функции x(t) = \varphi (t)+ c
и множества B = Bc
y(\beta ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 921
Доказательство. Зафиксируем произвольную d-периодическую функцию x \in S\varphi (\omega ), име-
ющую нули. Поскольку \varphi является функцией сравнения для x, то существует такое c \in \bfR ,
что
\| x+\| \infty = \| (\varphi + c)+\| \infty , \| x - \| \infty = \| (\varphi + c) - \| \infty . (2.3)
Пусть, для определенности, функция \varphi возрастает на
\Bigl[
- \omega
2
,
\omega
2
\Bigr]
. Для \tau \in \bfR положим
x\tau (t) := x(\tau + t), t \in \bfR . Выберем \tau 1, \tau 2 \in \bfR так, чтобы
x\tau 1
\Bigl( \omega
2
\Bigr)
= \| x+\| \infty , x\tau 2
\Bigl(
- \omega
2
\Bigr)
= \| x - \| \infty .
Так как \varphi является функцией сравнения для x, то
(x\tau 1(t))+ \geq (\varphi (t) + c)+ ,
\bigm| \bigm| \bigm| t - \omega
2
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \omega , (2.4)
и
(x\tau 2(t)) - \geq (\varphi (t) + c) - ,
\bigm| \bigm| \bigm| t+ \omega
2
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \omega , (2.5)
где u\pm := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm u, 0\} . Отметим, что из (2.4), (2.5), в частности, следуют соотношение d \geq 2\omega ,
и, кроме того, неравенства
m(x\pm , y) \geq m((\varphi (\cdot ) + c)\pm , y), y \geq 0,
где функция m(f, y) определена соотношением (2.1). Отсюда непосредственно следует, что
r(x, t) \geq r(\varphi (\cdot ) + c, t), t \geq 0. (2.6)
Заметим, что для любого измеримого множества B \subset Id, \mu B \leq \beta , выполняется неравенство
\int
B
| x(t)| pdt \leq
\beta \int
0
rp(x, t)dt,
а так как перестановка сохраняет Lp-норму функции, то
\| x\| pLp(Id\setminus B) =
\int
Id
| x(t)| pdt -
\int
B
| x(t)| pdt \geq
\geq
d\int
0
rp(x, t)dt -
\beta \int
0
rp(x, t)dt =
d\int
\beta
rp(x, t)dt.
Отсюда, принимая во внимание неравенство (2.6) и соотношение d \geq 2\omega , получаем
\| x\| pLp(Id\setminus B) \geq
2\omega \int
\beta
rp(\varphi (\cdot ) + c, t)dt =
\int
I2\omega \setminus Bc
y(\beta )
| \varphi (t) + c| pdt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
922 В. А. КОФАНОВ, И. В. ПОПОВИЧ
Таким образом, для любого измеримого множества B, \mu B \leq \beta , выполнено неравенство
\| x\| Lp(Id\setminus B) \geq \| \varphi + c\| Lp(I2\omega \setminus Bc
y(\beta )
),
из которого вследствие (2.3) непосредственно следует (2.2).
Теорема 1 доказана.
Через E\pm
0 (x)Lp(G) обозначим наилучшее одностороннее приближение функции x констан-
тами в пространстве Lp(G), т. е.
E\pm
0 (x)Lp(G) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
c\in R
\bigl\{
\| x - c\| Lp(G) : \forall t \pm (x(t) - c) \geq 0
\bigr\}
. (2.7)
Учитывая, что для S -функции \varphi справедливо равенство (лемма 1 [10])
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
c : | c| \leq \| \varphi \| \infty
\left\{
\int
I2\omega \setminus Bc
y(\beta )
| \varphi (t) + c| pdt
\right\}
1/p
= E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1), p \geq 1, (2.8)
где B1 :=
\biggl[
\omega - \beta
2
,
\omega + \beta
2
\biggr]
, и принимая во внимание (2.7), из теоремы 1 получаем следующее
утверждение.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 на классе всех функций x \in S\varphi (\omega ) имеют место
точные неравенства
E0(x)\infty \leq \| \varphi \| \infty
E0(\varphi )Lp(I2\omega \setminus B1)
\| x\| Lp(Id\setminus B), p \geq 1,
и
E\pm
0 (x)\infty \leq 2\| \varphi \| \infty
\| \varphi + \=c\| Lp(I2\omega \setminus B\=c
y(\beta )
)
E\pm
0 (x)Lp(Id\setminus B), \=c := \| \varphi \| \infty ,
а на классе функций x \in S\varphi (\omega ), имеющих нули, выполнено точное неравенство
\| x\| \infty \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c : | c| \leq \| \varphi \| \infty
\| \varphi + c\| \infty
\| \varphi + c\| Lp(I2\omega \setminus Bc
y(\beta )
)
\| x\| Lp(Id\setminus B).
Замечание 1. Первое из неравенств доказано в [10].
3. Неравенства типа Ремеза на классах дифференцируемых периодических функций.
Символом \varphi r(t), r \in \bfN , обозначим сдвиг r-го 2\pi -периодического интеграла с нулевым
средним значением на периоде от функции \varphi 0 (t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, удовлетворяющий условию
\varphi r(0) = 0. Для \lambda > 0 положим \varphi \lambda ,r (t) := \lambda - r\varphi r (\lambda t) . Ясно, что сплайн \varphi \lambda ,r (t) является
S -функцией с периодом 2\pi /\lambda . Пусть далее Kr := \| \varphi r\| \infty — константа Фавара.
Теорема 2. Пусть r \in \bfN , p \in (0,\infty ], \beta \in (0, 2\pi ). Тогда для любой функции x \in Lr
\infty (I2\pi ),
имеющей нули, и произвольного измеримого множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda , где \lambda =
=
\biggl(
Kr\| x(r)\| \infty
E0(x)\infty
\biggr) 1/r
, выполнено неравенство
\| x\pm \| \infty \leq \| (\varphi r + c)\pm \| \infty
\| \varphi r + c\| \alpha Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)\| x
(r)\| 1 - \alpha
\infty , (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 923
где \alpha =
r
r + 1/p
, c \in [ - Kr,Kr] удовлетворяет условию
\| x+\| \infty
\| x - \| \infty
=
\| (\varphi r + c)+\| \infty
\| (\varphi r + c) - \| \infty
,
а Bc
y :=
\bigl\{
t \in [0, 2\pi ] : | \varphi r(t) + c| > y
\bigr\}
, причем y = y(\beta ) выбрано так, что \mu Bc
y(\beta ) = \beta .
Неравенство (3.1) является точным на классе функций x \in Lr
\infty (I2\pi ), имеющих нули, с
заданным отношением норм \| x+\| \infty /\| x - \| \infty и обращается в равенство для функции x(t) =
= \varphi r(t) + c и множества B = Bc
y(\beta ).
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in Lr
\infty (\bfR ). Вследствие однородности неравен-
ства (3.1) можно считать, что
\| x(r)\| \infty = 1. (3.2)
Выберем \lambda из условия
E0(x)\infty = \| \varphi \lambda ,r\| \infty , (3.3)
т. е. \lambda =
\biggl(
Kr\| x(r)\| \infty
E0(x)\infty
\biggr) 1/r
. Тогда в силу теоремы сравнения Колмогорова [14] сплайн \varphi := \varphi \lambda ,r
является функцией сравнения для функции x и, следовательно, x \in S\varphi
\Bigl( \pi
\lambda
\Bigr)
. В силу теоремы 1
выполнено неравенство
\| x\pm \| \infty \leq
\| (\varphi \lambda ,r + \lambda - rc)\pm \| \infty
\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\|
Lp
\Bigl(
I 2\pi
\lambda
\setminus
Bc
y(\beta )
\lambda
\Bigr) \| x\| Lp(I2\pi \setminus B), (3.4)
а так как из (3.3) и условия теоремы 2 на константу c вытекает равенство
\| x\pm \| \infty =
\bigm\| \bigm\| (\varphi \lambda ,r + \lambda - rc)\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty , (3.5)
то из этого равенства и оценки (3.4) следует, что
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B) \geq \| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\|
Lp
\biggl(
I 2\pi
\lambda
\setminus
Bc
y(\beta )
\lambda
\biggr) .
Комбинируя последнее неравенство с равенством (3.5), применяя очевидные соотношения
\| (\varphi \lambda ,r + \lambda - rc)\pm \| \infty = \lambda - r\| (\varphi r + c)\pm \| \infty
и
\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\|
Lp
\biggl(
I 2\pi
\lambda
\setminus
Bc
y(\beta )
\lambda
\biggr) = \lambda - (r+1/p)\| \varphi r + c\|
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
\Bigr) ,
а также учитывая определение \alpha , получаем
\| x\pm \| \infty
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\leq
\| (\varphi \lambda ,r + \lambda - rc)\pm \| \infty
\| \varphi \lambda ,r + \lambda - rc\| \alpha
Lp
\biggl(
I 2\pi
\lambda
\setminus
Bc
y(\beta )
\lambda
\biggr) =
\| (\varphi r + c)\pm \| \infty
\| \varphi r + c\| \alpha
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
\Bigr) .
Отсюда в силу (3.2) следует (3.1).
Теорема 2 доказана.
Применяя соотношение (2.8) и полагая в нем \varphi = \varphi r, \omega = \pi , а также учитывая определение
(2.7), из теоремы 2 выводим следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
924 В. А. КОФАНОВ, И. В. ПОПОВИЧ
Следствие 2. В условиях теоремы 2 на классе всех функций x \in Lr
\infty (I2\pi ) имеют место
точные неравенства
E0(x)\infty \leq Kr
E0(\varphi r)\alpha Lp(I2\pi \setminus B1)
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)\| x
(r)\| 1 - \alpha
\infty , p \geq 1,
и
E\pm
0 (x)\infty \leq 2Kr
\| \varphi r +Kr\| \alpha
Lp(I2\pi \setminus BKr
y(\beta )
)
E\pm
0 (x)
\alpha
Lp(I2\pi \setminus B)\| x
(r)\| 1 - \alpha
\infty ,
а на классе функций x \in Lr
\infty (I2\pi ), имеющих нули, выполнено точное неравенство
\| x\| \infty \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c : | c| \leq Kr
\| \varphi r + c\| \infty
\| \varphi r + c\| \alpha Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)\| x
(r)\| 1 - \alpha
\infty .
Замечание 2. Первое из неравенств ранее доказано в [10], а два других (при \beta = 0) —
в [15].
4. Неравенства типа Ремеза для тригонометрических полиномов. Напомним, что Tn —
пространство тригонометрических полиномов порядка не выше n.
Теорема 3. Пусть p \in (0,\infty ], n,m \in \bfN , m \leq n, \beta \in (0, 2\pi m/n). Если тригонометриче-
ский полином T \in Tn с минимальным периодом 2\pi /m имеет нули, то для любого измеримого
множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , выполнено неравенство
\| T\pm \| \infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p \| (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c)\pm \| \infty
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B) , (4.1)
где c \in [ - 1, 1] удовлетворяет условию
\| T+\| \infty
\| T - \| \infty
=
\| (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c)+\| \infty
\| (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c) - \| \infty
,
а Bc
y := \{ t \in [0, 2\pi ] : | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t+ c| > y\} , причем y = y(\beta ) выбрано так, что \mu Bc
y(\beta ) = n\beta /m.
Неравенство (4.1) является точным на классе полиномов, имеющих нули, с заданным отно-
шением норм \| T+\| \infty /\| T - \| \infty и обращается в равенство для полиномов \tau k(t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt + c и
соответствующих множеств B = Bc
y(\beta )(k) :=
\bigl\{
t \in [0, 2\pi ] : | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt+ c| > y(\beta )
\bigr\}
, k = 1, . . . , n.
Доказательство. Зафиксируем полином T \in Tn, имеющий нули, и пусть его минимальный
период равен
2\pi
m
. Вследствие однородности (4.1) можно считать, что
E0(T )\infty = 1.
Отсюда с учетом определения константы c имеем
\| T\pm \| \infty = \| (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c)\pm \| \infty = \| (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + c)\pm \| \infty . (4.2)
Следовательно, полином \varphi (t) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt является функцией сравнения для полинома T (t)
(см., например, доказательство теоремы 8.1.1 из [16]). Ясно, что \varphi является S -функцией с пе-
риодом
2\pi
n
. Таким образом, T принадлежит S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. Поэтому в силу теоремы 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 925
\| T\pm \| \infty \leq \| (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + c)\pm \| \infty
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + c\|
Lp
\biggl(
I 2\pi
n
\setminus Bc
y(\beta )
(n)
\biggr) \| T\|
Lp
\biggl(
Ik2\pi
m
\setminus B
\biggr) ,
где Ik2\pi
m
:=
\biggl(
2\pi
m
k,
2\pi
m
(k + 1)
\biggr]
, k = 0, . . . ,m - 1. Отсюда в силу (4.2) имеем
\| T\| p
Lp
\biggl(
Ik2\pi
m
\setminus B
\biggr) \geq \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + c\| p
Lp
\biggl(
I 2\pi
n
\setminus Bc
y(\beta )
(n)
\biggr) =
=
1
n
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ) + c\| p
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
(n)
\Bigr) =
1
n
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| p
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
\Bigr) .
Суммируя эти неравенства по k = 0, 1, . . . ,m - 1 и возводя обе части полученного неравенства
в степень 1/p, имеем
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B) \geq
\Bigl( m
n
\Bigr) 1/p
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\|
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
\Bigr) .
Из последнего неравенства и равенства (4.2) следует (4.1).
Теорема 3 доказана.
Применяя соотношение (2.8) и полагая в нем \varphi (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, а также учитывая определение
(2.7), получаем такое следствие.
Следствие 3. В условиях теоремы 3 для полиномов T \in Tn с минимальным периодом 2\pi /m
имеют место неравенства
E0(T )\infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p \| T\| Lp(I2\pi \setminus B)
E0(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ))Lp(I2\pi \setminus Bm)
, p \geq 1,
и
E\pm
0 (T )\infty \leq 2
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p E\pm
0 (T )Lp(I2\pi \setminus B)
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + 1\| Lp(I2\pi \setminus Bm)
,
где Bm =
\biggl[
\pi
2
- n\beta
2m
,
\pi
2
+
n\beta
2m
\biggr]
, а для полиномов T \in Tn с минимальным периодом 2\pi /m,
имеющих нули, выполнено неравенство
\| T\| \infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c : | c| \leq 1
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| \infty
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ) + c\| Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B) .
Замечание 3. Первое из неравенств доказано в [10], а два других (при \beta = 0 и m = 1) —
в [15].
5. Неравенства типа Ремеза для периодических полиномиальных сплайнов. Пусть
r, n \in \bfN . Напомним, что символом Sn,r обозначено пространство 2\pi -периодических по-
линомиальных сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ . Ясно, что
Sn,r \subset Lr
\infty (\bfR ).
Теорема 4. Пусть p \in (0,\infty ], n,m \in \bfN , m \leq n, \beta \in (0, 2\pi m/n). Если сплайн s \in Sn,r
с минимальным периодом 2\pi /m имеет нули, то для любого измеримого множества B \subset I2\pi ,
\mu B \leq \beta , выполнено неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
926 В. А. КОФАНОВ, И. В. ПОПОВИЧ
\| s\pm \| \infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p \| (\varphi r + c)\pm \| \infty
\| \varphi r + c\| Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B) , (5.1)
где c \in [ - Kr,Kr] удовлетворяет условию
\| s+\| \infty
\| s - \| \infty
=
\| (\varphi r + c)+\| \infty
\| (\varphi r + c) - \| \infty
,
а Bc
y := \{ t \in [0, 2\pi ] : | \varphi r(t) + c| > y\} , причем y = y(\beta ) выбрано так, что \mu Bc
y(\beta ) = n\beta /m.
Неравенство (5.1) является точным на классе сплайнов, имеющих нули, с заданным отно-
шением норм \| s+\| \infty /\| s - \| \infty и обращается в равенство для сплайна s(t) := \varphi n,r(t) + n - rc и
множества
B = Bc
y(\beta )(n) :=
\bigl\{
t \in [0, 2\pi ] : | \varphi n,r(nt) + n - rc| > n - ry(\beta )
\bigr\}
.
Доказательство. Зафиксируем сплайн s \in Sn,r с минимальным периодом 2\pi /m, имеющий
нули. Вследствие однородности (5.1) можно считать, что
E0(s)\infty = \| \varphi n,r\| \infty .
Тогда в силу неравенства Тихомирова [17]\bigm\| \bigm\| \bigm\| s(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq E0(s)\infty
\| \varphi n,r\| \infty
= 1.
Следовательно, для сплайна s \in Lr
\infty (\bfR ) выполнены условия теоремы сравнения Колмогорова
[14]. Согласно этой теореме функция \varphi (t) := \varphi n,r(t) является функцией сравнения для сплайна
s. Ясно, что \varphi является S -функцией с периодом 2\pi /n. Таким образом, s принадлежит S\varphi
\biggl(
\pi
n
\biggr)
.
Поэтому в силу теоремы 1
\| s\pm \| \infty \leq \| (\varphi n,r + n - rc)\pm \| \infty
\| \varphi n,r + n - rc\|
Lp
\biggl(
I 2\pi
n
\setminus Bc
y(\beta )
(n)
\biggr) \| s\|
Lp
\biggl(
Ik2\pi
m
\setminus B
\biggr) , (5.2)
где Ik2\pi
m
:=
\biggl(
2\pi
m
k,
2\pi
m
(k + 1)
\biggr]
, k = 0, . . . ,m - 1. Заметим, что в силу равенства E0(s)\infty =
= \| \varphi n,r\| \infty и определения константы c
\| s\pm \| \infty = \| (\varphi n,r + n - rc)\pm \| \infty = n - r\| (\varphi r + c)\pm \| \infty . (5.3)
Из (5.2) и (5.3) следует, что
\| s\| p
Lp
\biggl(
Ik2\pi
m
\setminus B
\biggr) \geq \| \varphi n,r + n - rc\| p
Lp
\biggl(
I 2\pi
n
\setminus Bc
y(\beta )
(n)
\biggr) = n - (rp+1)\| \varphi r + c\| p
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
\Bigr) .
Суммируя эти неравенства по k = 0, 1, . . . ,m - 1 и возводя обе части полученного неравенства
в степень 1/p, имеем
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B) \geq n - r
\Bigl( m
n
\Bigr) 1/p
\| \varphi r + c\|
Lp
\Bigl(
I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
\Bigr) .
Из последнего неравенства и равенства (5.3) следует (5.1).
Теорема 4 доказана.
Применяя соотношение (2.8) и полагая в нем \varphi (t) = \varphi r(t), а также учитывая определе-
ние (2.7), получаем такое следствие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 927
Следствие 4. В условиях теоремы 4 для сплайнов s \in Sn,r с минимальным периодом 2\pi /m
имеют место неравенства
E0(s)\infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p Kr
E0(\varphi r)Lp(I2\pi \setminus Bm)
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B) , p \geq 1,
и
E\pm
0 (s)\infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p 2Kr
\| \varphi r +Kr\| Lp(I2\pi \setminus Bm)
E\pm
0 (s)Lp(I2\pi \setminus B),
где Bm =
\biggl[
\pi
2
- n\beta
2m
,
\pi
2
+
n\beta
2m
\biggr]
, а для сплайнов s \in Sn,r с минимальным периодом 2\pi /m,
имеющих нули, выполнено неравенство
\| s\| \infty \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1/p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c : | c| \leq Kr
\| \varphi r + c\| \infty
\| \varphi r + c\| Lp(I2\pi \setminus Bc
y(\beta )
)
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B) .
Замечание 4. Первое из неравенств доказано в [10], а два других (при \beta = 0 и m = 1) —
в [15].
Литература
1. B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J.
Anal. Math., 78, 263 – 280 (1999).
2. В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией
сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969 – 984 (2011).
3. E. Remes, Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef, Зап. Наук.-дослiд. iн-ту математики й механiки
та Харкiв. мат. т-ва, сер. 4, 13, вип. 1, 93 – 95 (1936).
4. M. I. Ganzburg, On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials, J. Approxim. Theory, 164, 1233 – 1237
(2012).
5. E. Nursultanov, С. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Constr. Approxim., 38, 101 –
132 (2013).
6. P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and polynomial inequalities, Springer, New York (1995).
7. M. I. Ganzburg, Polynomial inequalities on measurable sets and their applications, Constr. Approxim., 17, 275 – 306
(2001).
8. S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality // https://www.researchgate.net/publication/327905401.
9. В. А. Кофанов, Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов
и сплайнов, Укр. мат. журн., 68, № 2, 227 – 240 (2016).
10. А. Е. Гайдабура, В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с
заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 69, № 11, 1472 – 1485 (2017).
11. В. А. Кофанов, Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций, Укр. мат. журн.,
67, № 2, 207 – 212 (2015).
12. В. А. Кофанов, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических функ-
ций, полиномов и сплайнов, Укр. мат. журн., 69, 2, 173 – 188 (2017).
13. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наукова думка,
Киев (1992).
14. А. Н. Колмогоров, О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале, Избр. труды. Математика, механика, Наука, Москва (1985), с. 252 – 263.
15. V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Comparison of rearrangements and Kolmogorov – Nagy type inequalities
for periodic functions, Approximation Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov (Ed. B. Bojanov), Darba,
Sofia (2002), p. 24 – 53.
16. Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения,
Наук. думка, Киев (2003).
17. В. М. Тихомиров, Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближе-
ний, Успехи мат. наук, 15, вып. 3, 81 – 120 (1960).
Получено 01.02.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2352 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:23Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ff/be2ddb76c1a6eadab4494376aa162fff.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23522022-07-11T12:12:15Z Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions Точные неравенства разных метрик типа Ремеза с несимметричными ограничениями на функции Точные неравенства разных метрик типа Ремеза с несимметричными ограничениями на функции Kofanov, V. A. Popovich, I. V. Кофанов, В. А. Попович, И. В Кофанов, В. А. Попович, И. В сплайн неравенство различных метрик типа Ремеза класс функций с заданной функцией сравнения полином соболевский класс Sharp Remez type inequality of various metric a class of functions with given comparison function Sobolev class of functions polynomial UDC 517.5 For any $p\in (0, \infty],$ $\omega &gt; 0,$ $\beta \in (0, 2 \omega)$, and arbitrary measurable set $B \subset I_d := [0, d],$ $\mu B \le \beta,$ we obtain the sharp inequality of Remez type$$\|x_{\pm}\|_\infty \le\frac{\|(\varphi+c)_{\pm}\|_\infty}{\|\varphi+c\|_{L_p(I_{2\omega}\setminus B^c_y)}} \left\|x \right\|_{L_{p} \left(I_d \setminus B\right)}$$on the set $S_{\varphi}(\omega)$ of $d$-periodic functions $x$ having zeros with given the sine-shaped $2\omega$-periodic comparison function $\varphi$, where $c\in [-\|\varphi\|_\infty, \|\varphi\|_\infty]$ satisfies the condition$$\|x_{+}\|_\infty \cdot\|x_{-}\|^{-1}_\infty = \|(\varphi+c)_{+}\|_\infty \cdot\|(\varphi+c)_{-}\|^{-1}_\infty ,$$$B^c_y:=\{t\in [0, 2\omega]:|\varphi(t)+c| &gt; y \}$ and $y$ is such that $\mu B^c_y = \beta$. In particular, we obtain such type inequalities on the Sobolev sets of periodic functions and on the spaces of trigonometric polynomials and splines with given quotient $\|x_{+}\|_\infty / \|x_-\|_\infty$. УДК 517.5 Для довiльних $p\in (0, \infty],$ $\omega &gt; 0,$ $\beta \in (0, 2 \omega)$, i будь-якої вимірної множини $B \subset I_d := [0, d],$ $\mu B \le \beta,$ отримана точна нерівність типу Ремеза$$\|x_{\pm}\|_\infty \le\frac{\|(\varphi+c)_{\pm}\|_\infty}{\|\varphi+c\|_{L_p(I_{2\omega}\setminus B^c_y)}} \left\|x \right\|_{L_{p} \left(I_d \setminus B\right)}$$на класах $S_{\varphi}(\omega)$ $d$-періодичних функцій $x$, що мають нулі, із заданою синусоподібною $2\omega$-періодичною функцією порівняння $\varphi$, де $c\in [-\|\varphi\|_\infty,\|\varphi\|_\infty]$ задовольняє умову$$\|x_{+}\|_\infty \cdot\|x_{-}\|^{-1}_\infty = \|(\varphi+c)_{+}\|_\infty \cdot\|(\varphi+c)_{-}\|^{-1}_\infty ,$$$B^c_y:=\{t\in [0, 2\omega]: |\varphi(t)+c| &gt; y \}$, а $y$ обрано так, що $\mu B^c_y = \beta$. Як наслідок, отримані точні нерівності такого типу на соболєвскихкласах диференційовних періодичних функцій та на просторах тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів із заданим відношенням норм $\|x_{+}\|_\infty / \|x_-\|_\infty$. УДК 517.5 Для довiльних $p\in (0, \infty],$ $\omega &gt; 0,$ $\beta \in (0, 2 \omega)$, i будь-якої вимірної множини $B \subset I_d := [0, d],$ $\mu B \le \beta,$ отримана точна нерівність типу Ремеза$$\|x_{\pm}\|_\infty \le\frac{\|(\varphi+c)_{\pm}\|_\infty}{\|\varphi+c\|_{L_p(I_{2\omega}\setminus B^c_y)}} \left\|x \right\|_{L_{p} \left(I_d \setminus B\right)}$$на класах $S_{\varphi}(\omega)$ $d$-періодичних функцій $x$, що мають нулі, із заданою синусоподібною $2\omega$-періодичною функцією порівняння $\varphi$, де $c\in [-\|\varphi\|_\infty,\|\varphi\|_\infty]$ задовольняє умову$$\|x_{+}\|_\infty \cdot\|x_{-}\|^{-1}_\infty = \|(\varphi+c)_{+}\|_\infty \cdot\|(\varphi+c)_{-}\|^{-1}_\infty ,$$$B^c_y:=\{t\in [0, 2\omega]: |\varphi(t)+c| &gt; y \}$, а $y$ обрано так, що $\mu B^c_y = \beta$. Як наслідок, отримані точні нерівності такого типу на соболєвскихкласах диференційовних періодичних функцій та на просторах тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів із заданим відношенням норм $\|x_{+}\|_\infty / \|x_-\|_\infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-07-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2352 10.37863/umzh.v72i7.2352 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 7 (2020); 918-927 Український математичний журнал; Том 72 № 7 (2020); 918-927 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2352/8728 Copyright (c) 2020 Володимир Олександрович Кофанов, Інна Попович |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Popovich, I. V. Кофанов, В. А. Попович, И. В Кофанов, В. А. Попович, И. В Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions |
| title | Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions |
| title_alt | Точные неравенства разных метрик типа Ремеза с несимметричными ограничениями на функции Точные неравенства разных метрик типа Ремеза с несимметричными ограничениями на функции |
| title_full | Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions |
| title_fullStr | Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions |
| title_full_unstemmed | Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions |
| title_short | Sharp Remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions |
| title_sort | sharp remez type inequalities of various metrics with non-symmetric restrictions on functions |
| topic_facet | сплайн неравенство различных метрик типа Ремеза класс функций с заданной функцией сравнения полином соболевский класс Sharp Remez type inequality of various metric a class of functions with given comparison function Sobolev class of functions polynomial |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2352 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricswithnonsymmetricrestrictionsonfunctions AT popovichiv sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricswithnonsymmetricrestrictionsonfunctions AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricswithnonsymmetricrestrictionsonfunctions AT popovičiv sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricswithnonsymmetricrestrictionsonfunctions AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricswithnonsymmetricrestrictionsonfunctions AT popovičiv sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricswithnonsymmetricrestrictionsonfunctions AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezasnesimmetričnymiograničeniâminafunkcii AT popovichiv točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezasnesimmetričnymiograničeniâminafunkcii AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezasnesimmetričnymiograničeniâminafunkcii AT popovičiv točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezasnesimmetričnymiograničeniâminafunkcii AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezasnesimmetričnymiograničeniâminafunkcii AT popovičiv točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezasnesimmetričnymiograničeniâminafunkcii |