$H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions
UDC 517.5 We compute the upper bounds for $H^2$-norms of the partial sums of Fourier series with respect to the Laguerre basis on the unit ball in the space of bounded holomorphic functions on the unit disk. We give an application of the main result to the solving of some extremal problems of the th...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2371 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508267457806336 |
|---|---|
| author | Savchuk , V. V. Савчук, В. В. Савчук, В. В. |
| author_facet | Savchuk , V. V. Савчук, В. В. Савчук, В. В. |
| author_sort | Savchuk , V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:21Z |
| description | UDC 517.5
We compute the upper bounds for $H^2$-norms of the partial sums of Fourier series with respect to the Laguerre basis on the unit ball in the space of bounded holomorphic functions on the unit disk. We give an application of the main result to the solving of some extremal problems of the theory of approximation of holomorphic functions. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i1.2371 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i1.2371
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
\bfitH \bftwo -НОРМИ ЧАСТИННИХ СУМ РЯДIВ ФУР’Є ЗА БАЗИСОМ ЛАГЕРРА
ДЛЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ*
We compute the upper bounds for H2 -norms of the partial sums of Fourier series with respect to the Laguerre basis on the
unit ball in the space of bounded holomorphic functions on the unit disk. We give an application of the main result to the
solving of some extremal problems of the theory of approximation of holomorphic functions.
Обчислено значення точної верхньої межi H2 -норм частинних сум ряду Фур’є за базисом Лагерра на одиничнiй
кулi простору обмежених голоморфних функцiй в одиничному крузi. Наведено застосування основного результату
до розв’язання певних екстремальних задач теорiї наближення голоморфних функцiй.
1. Вступ. Основний результат. Нехай \BbbD := \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} , \BbbT := \{ t \in \BbbC : | t| = 1\} i d\sigma —
нормована мiра Лебега на \BbbT .
Простiр Гардi Hp, 1 \leq p \leq \infty , складається з усiх голоморфних в \BbbD функцiй f, для яких
+\infty > \| f\| p :=
\left\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\rho \in [0,1)
\biggl( \int
\BbbT
| f(\rho t)| pd\sigma (t)
\biggr) 1/p
, 1 \leq p <\infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in \BbbD | f(z)| , p = \infty .
Вiдомо, що функцiї з Hp мають майже скрiзь на \BbbT недотичнi граничнi значення, якi будемо
позначати также через f, причому f \in Lp(\BbbT ).
Система функцiй
\varphi k(z) :=
\sqrt{}
1 - | a| 2
1 - za
wk
a(z), k = 0, 1, . . . , | a| < 1, (1)
де
wa(z) :=
z - a
1 - za
, | a| < 1,
називається базисом Лагерра в просторi H2. Така назва закрiпилася в сучаснiй лiтературi,
мабуть, пiд впливом робiт [1, 2] (див. також iсторичнi коментарi в [3, с. 163 – 165]), в яких було
використано iдею, що аналог системи (1) для простору Гардi у правiй пiвплощинi
\widetilde \varphi k(s) :=
\surd
2\alpha
s+ \alpha
\biggl(
s - \alpha
s+ \alpha
\biggr) k
, \alpha > 0, s \in \BbbH + := \{ \zeta \in \BbbC : \mathrm{R}\mathrm{e} \zeta > 0\} ,
є перетворенням Лапласа ортонормованої на \BbbR + системи функцiй
\psi k(x) :=
\surd
2\alpha e - \alpha xLk(2\alpha x), k = 0, 1, . . . ,
де
* Виконано у рамках проекту Ф84/177-2019 (грант Президента України докторам наук для здiйснення наукових
дослiджень на 2019 р.).
c\bigcirc В. В. САВЧУК, 2021
128 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
H2 -НОРМИ ЧАСТИННИХ СУМ РЯДIВ ФУР’Є ЗА БАЗИСОМ ЛАГЕРРА . . . 129
Lk(x) :=
k\sum
j=0
\biggl(
k
j
\biggr)
( - 1)j
j!
xj (2)
— многочлени Лагерра.
При a = 0 базис Лагерра збiгається з базисом Тейлора, тобто \varphi k(z) = zk.
Скрiзь далi ми будемо ототожнювати базис Лагерра \varphi з точкою a, яка його породжує за
правилом (1), а пiд Hp розумiтимемо одиничну кулю простору Гардi, тобто клас голоморфних
функцiй f, для яких \| f\| p \leq 1.
Для подальшого викладу потрiбно таке твердження.
Твердження 1. Нехай функцiя f є голоморфною в \BbbD i a \in \BbbD . Тодi:
1) у крузi \BbbD справджується рiвнiсть
f =
\infty \sum
k=0
\widehat fa(k)\varphi k, (3)
в якiй ряд збiгається рiвномiрно i абсолютно в \BbbD , а \widehat fa(k) — коефiцiєнти Тейлора функцiї
Fa(z) := Fa(f)(z) :=
\sqrt{}
1 - | a| 2
1 + za
(f \circ w - a) (z);
2) для деякого цiлого n \geq 0 рiвностi \widehat fa(k) = 0, k = 0, 1, . . . , n, справджуються тодi i
тiльки тодi, коли f можна зобразити у виглядi f = wn+1
a g, де g — функцiя, голоморфна в \BbbD ,
до того ж \widehat fa(k) = 0 для всiх цiлих k \geq 0 тодi i тiльки тодi, коли f \equiv 0;
3) для будь-якого k \in \BbbZ + справджується рiвнiсть
\widehat fa(k) =\sqrt{} 1 - | a| 2
k\sum
j=0
\biggl(
k
j
\biggr)
f (j)(a)
j!
(1 - | a| 2)j( - a)k - j ; (4)
4) якщо функцiя f належить H1, то
\widehat fa(k) = \int
\BbbT
f\varphi kd\sigma , k = 0, 1, . . . ; (5)
5) функцiя f належить H2, якщо i тiльки якщо
\infty \sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat f0(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 = \infty \sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 \leq 1; (6)
6) для будь-якого n \in \BbbZ + справджується рiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
n\sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 : f \in H2
\Biggr\}
= 1. (7)
Максимум у (7) при всiх n \in \BbbZ + досягається лише для функцiй вигляду
f\ast (z) = \omega \varphi 0(z) = \omega
\sqrt{}
1 - | a| 2
1 - za
, | \omega | = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
130 В. В. САВЧУК
Усi пункти цього твердження у такому чи iншому виглядi є вiдомими, але задля зручностi
та цiлiсностi викладу матерiалу ми наведемо його доведення в п. 3.
Розглянемо приклад розкладу голоморфної функцiї в ряд за базисом Лагерра, яким ще раз
аргументуємо, чому система (1) асоцiюється з системою многочленiв Лагерра (2).
Приклад 1. Нехай a \in \BbbD \setminus \{ 0\} i x \in \BbbC . Тодi
1\sqrt{}
1 - | a| 2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
ax(z - a)
1 - | a| 2
\biggr)
=
\infty \sum
k=0
( - a)kLk (x)\varphi k(z) \forall z \in \BbbD (8)
i
\varphi k(z) =
1
( - a)k
\sqrt{}
1 - | a| 2
\int
\BbbR +
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- 1 - za
1 - | a| 2
x
\biggr)
Lk(x)dx \forall z \in \BbbD , k = 0, 1, . . . . (9)
Справдi, рiвнiсть (8) випливає з формули для твiрної функцiї системи многочленiв Лагерра
(див., наприклад, [4, с. 41])
1
1 - t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- xt
1 - t
\biggr)
=
\infty \sum
k=0
Lk(x)t
k, | t| < 1,
при t = - awa(z), а (9) одержуємо почленним iнтегруванням (8) вiдносно x з вагою e - xLk(x)
уздовж пiвосi \BbbR +.
Твердження 1, зокрема, показує, що будь-яку голоморфну функцiю у крузi \BbbD можна вiдтво-
рити за значеннями функцiї та всiх її похiдних у фiксованiй точцi a \in \BbbD за допомогою ряду (3).
При цьому ряд (3) є рядом Фур’є за системою \varphi для функцiї f \in H1. Вiн має схожi, або навiть
такi ж властивостi, як i вiдповiдний ряд Тейлора – Маклорена. Але примiтною вiдмiннiстю є
те, що у рiвностi (7) при a \not = 0 екстремальна функцiя не є сталою на вiдмiну вiд випадку, коли
a = 0, i явно залежить вiд системи \varphi .
У зв’язку з цим природно виникає питання: як впливає вибiр точки a \in \BbbD на величину суми\sum n
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 для iндивiдуальної функцiї f \in H2?
В контекстi цього питання основним результатом статтi є така теорема.
Теорема 1. Нехай a \in \BbbD , m \in \BbbZ + i
H\infty ,m,a :=
\Bigl\{
f \in H\infty : f (k)(a) = 0, k = 0, 1, . . . ,m - 1
\Bigr\}
, H\infty ,0,a = H\infty .
Тодi для будь-якого цiлого n \geq m
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
n\sum
k=m
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 : f \in H\infty ,m,a
\Biggr\}
= 1 - | a| 2(n - m+1). (10)
Максимум для всiх n \geq m досягається для функцiї
f\ast = ei\theta wm
a , \BbbR \ni \theta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Теорема 1 є корисною в екстремальних задачах про наближення голоморфних функцiй у
крузi \BbbD . В п. 2 ми наведемо кiлька наслiдкiв у цьому напрямку, а в п. 3 — доведення основного
результату.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
H2 -НОРМИ ЧАСТИННИХ СУМ РЯДIВ ФУР’Є ЗА БАЗИСОМ ЛАГЕРРА . . . 131
2. Наслiдки. Насамперед зазначимо, що з теореми 1 безпосередньо випливає часткова
вiдповiдь на поставлене вище питання. А саме, має мiсце таке твердження.
Наслiдок 1. Для будь-якої обмеженої голоморфної в \BbbD функцiї f при даному n \in \BbbZ + i як
завгодно малому \varepsilon > 0 можна вибрати (нескiнченною кiлькiстю способiв) точку a \in \BbbD так,
щоб
n\sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 \leq \varepsilon .
Iнший важливий наслiдок теореми 1 стосується збiжностi рядiв (3) в метрицi простору Hp
при 2 \leq p \leq \infty для внутрiшнiх функцiй.
Нагадаємо, що функцiя f називається внутрiшньою, якщо f \in H\infty i | f | = 1 майже скрiзь
на \BbbT .
Позначимо через I множину всiх внутрiшнiх функцiй в \BbbD i нехай
Sn,a(f) =
n\sum
k=0
\widehat fa(k)\varphi k, n \in \BbbZ +,
— частинна сума порядку n+ 1 ряду (3).
Наслiдок 2. Нехай 2 \leq p \leq \infty , a \in \BbbD i m \in \BbbZ +. Тодi для будь-якого цiлого n \geq m
справджується рiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\| f - Sn,a(f)\| p : f \in I \cap H\infty ,m,a
\bigr\}
= | a| n - m+1, (11)
де мiнiмум досягається для функцiї f\ast = ei\theta wm
a , \BbbR \ni \theta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Зокрема, для будь-якої функцiї
f \in I при k \rightarrow \infty \widehat fa(k) \not = o
\Bigl(
ak
\Bigr)
.
Справдi, за нерiвнiстю Гельдера i рiвнiстю Парсеваля (6) з теореми 1 випливає, що для
будь-якої функцiї f \in I
\| f - Sn,a(f)\| 2p \geq \| f - Sn,a(f)\| 22 =
= \| f\| 22 - \| Sn,a(f)\| 22 \geq
\geq 1 -
\bigl(
1 - | a| 2(n - m+1)
\bigr)
= | a| 2(n - m+1). (12)
З iншого боку, для функцiї f\ast = ei\theta wm
a , \BbbR \ni \theta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, згiдно з твердженням 1
\widehat fa(k) = ei\theta
\sqrt{}
1 - | a| 2
\int
\BbbT
\biggl(
t - a
1 - ta
\biggr) m - k 1
1 - ta
d\sigma (t) =
=
\left\{ 0, 0 \leq k \leq m - 1, m \in \BbbN ,
ei\theta
\sqrt{}
1 - | a| 2( - a)k - m, k \geq m, m \in \BbbZ +.
(13)
Отже, справедливою є формула
(f\ast - Sn,a(f\ast )) (z) = ei\theta
\sqrt{}
1 - | a| 2
\infty \sum
k=n+1
( - a)k - m\varphi k(z) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
132 В. В. САВЧУК
= ei\theta
1 - | a| 2
1 - za
\infty \sum
k=n+1
( - a)k - mwk
a(z) =
= ei\theta ( - a) - m 1 - | a| 2
1 - za
( - awa(z))
n+1
1 + awa(z)
= ei\theta ( - a)n - m+1wn+1
a (z),
за якою для функцiї f\ast у (12) виконуються рiвностi.
Наслiдок 2 цiкаво зiставити з одним результатом iз [5] про те, що для внутрiшнiх функцiй
таких, що f \not \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} i | f | > 0 в \BbbD , H2-норми залишкiв рядiв Тейлора – Маклорена мають
оцiнку
\| f - Sn,0(f)\| 2 \geq
Cf
n
1
4
, n \in \BbbN ,
де Cf — додатна стала, що залежить лише вiд f(0).
З результатiв робiт [6 – 9] можна зробити висновок про те, що базис Лагерра, як частинний
випадок системи Такенаки – Мальмквiста, є оптимальним у розв’язаннi певних екстремальних
задач наближення голоморфних функцiй на компактних множинах в одиничному крузi чи у
верхнiй пiвплощинi.
За допомогою наслiдку 2 ми з’ясуємо наскiльки „поганi” апроксимативнi властивостi має
базис Лагерра у випадку наближення голоморфних функцiй на всьому крузi \BbbD .
Для цього нагадаємо необхiднi поняття.
Нехай L — множина всiх нижньотрикутних матриць (\lambda k,n)0\leq k\leq n над полем комплексних
чисел i \frakA — клас функцiй, голоморфних в \BbbD , \frakA \subset Hp .
Величина
\scrE n(\frakA , a)p := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
n\sum
k=0
\lambda k,n \widehat fa(k)\varphi k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
: f \in \frakA
\right\} : (\lambda k,n) \in L
\right\}
називається найкращим лiнiйним наближенням класу \frakA за базисом Лагерра. Якщо вказано
матрицю (\lambda k,n)0\leq k\leq n, яка реалiзує iнфiмум у величинi \scrE n(\frakA , a)p, то кажуть, що побудовано
найкращий лiнiйний метод наближення класу за базисом Лагерра.
Колмогоровським поперечником класу \frakA \subset Hp у просторi Hp називається величина
dn(\frakA )p := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \| f - u\| p : u \in Un\} : f \in \frakA
\bigr\}
: Un
\bigr\}
,
де iнфiмум береться за всiма n-вимiрними пiдпросторами Un простору Hp (див., наприклад,
[10]). Пiдпростiр Un, для якого досягається iнфiмум, називається оптимальним пiдпростором
для колмогоровського поперечника класу \frakA .
Зрозумiло, що \scrE n(\frakA , a)2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - Sn,a(f)\| 2 : f \in \frakA
\bigr\}
i для будь-якого a \in \BbbD завжди
\scrE n(\frakA , a)p \geq dn(\frakA )p. Таким чином, справджується таке твердження.
Наслiдок 3. Нехай 2 \leq p \leq \infty , a \in \BbbD i \frakA \subset Hp. Якщо \frakA \cap I \not = \varnothing , то для будь-якого
n \in \BbbZ +
\scrE n(\frakA , a)p \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl(
| a| n+1, dn+1(\frakA )p
\bigr)
.
Це твердження, зокрема, показує, що для тих функцiональних класiв \frakA , для яких \frakA \cap I \not = \varnothing
i dn+1(\frakA )p < | a| n+1, лiнiйна оболонка Un+1 = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{ \varphi 0, \varphi 1, . . . , \varphi n\} не є оптимальним пiд-
простором для поперечника. Навiть бiльше, як видно з наступного прикладу, для таких класiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
H2 -НОРМИ ЧАСТИННИХ СУМ РЯДIВ ФУР’Є ЗА БАЗИСОМ ЛАГЕРРА . . . 133
\frakA апроксимативнi можливостi найкращого лiнiйного методу наближення за базисом Лагер-
ра можуть бути гiршi, нiж можливостi найкращого лiнiйного методу наближення за базисом
Тейлора.
Приклад 2. Нехай 2 \leq p \leq \infty , \rho > 1 i Hp
\rho — клас функцiй f, голоморфних у крузi
\BbbD \rho := \{ z \in \BbbC : | z| < \rho \} , для яких f(\rho \cdot ) \in Hp. Тодi для будь-якого a \in \BbbD такого, що
\rho - 1 < | a| < 1, справджуються спiввiдношення
\scrE n(Hp
\rho , a) \geq | a| n+1 > \rho - (n+1) = \scrE n(Hp
\rho , 0), n \in \BbbZ +.
Зокрема, для будь-якої функцiї f \in Hp
\rho при k \rightarrow \infty \bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| \gnapprox \bigm| \bigm| \bigm| \widehat f0(k)\bigm| \bigm| \bigm| . (14)
Справдi, 1 належить Hp
\rho . Тому згiдно з (13) i наслiдком 2
\scrE n
\bigl(
Hp
\rho , a
\bigr)
p
\geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 -
n\sum
k=0
\lambda k,n
\sqrt{}
1 - | a| 2( - a)k\varphi k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
: (\lambda k,n)0\leq k\leq n \in L
\right\} \geq
\geq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 -
n\sum
k=0
\sqrt{}
1 - | a| 2( - a)k\varphi k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
= | a| n+1.
З iншого боку (див., наприклад, [10, с. 250]), справджуються спiввiдношення
dn+1
\bigl(
Hp
\rho
\bigr)
p
= \scrE n
\bigl(
Hp
\rho , 0
\bigr)
p
= \rho - (n+1).
Для перевiрки (14) припустимо супротивне. Тодi при достатньо великих n
| a| n+1 \leq \| f - Sn,a(f)\| 2 = O (1) \| f - Sn,0(f)\| 2 = O
\Bigl(
\rho - (n+1)
\Bigr)
,
що суперечить умовi \rho - 1 < | a| < 1.
Наступний наслiдок теореми 1 є цiкавим з точки зору екстремальної задачi про значення
величини [11]
\scrG n(z,\Gamma ,\frakA ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
j=0
f (j)(z)
j!
\gamma j,n(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| : f \in \frakA
\right\} , n \in \BbbZ +, (15)
де \Gamma = (\gamma j,n)0\leq j\leq n — нижньотрикутна матриця, елементами якої є обмеженi функцiї \gamma j,n :
\BbbD \rightarrow \BbbC , i \frakA — деякий клас функцiй, голоморфних в \BbbD .
Вперше таку екстремальну задачу розв’язав Е. Ландау [12] при \gamma j,n(z) = (1 - z)j i z = 0:
\scrG n(0,\Gamma , H
\infty ) =
n\sum
j=0
\biggl(
(2j - 1)!!
(2j)!!
\biggr) 2
,
зокрема \scrG n(0,\Gamma , H
\infty ) \simeq 1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}n при n\rightarrow \infty .
Для таких самих \gamma j,n i довiльного z \in \BbbD \setminus \{ 0\} в [13] знайдено асимптотику при n\rightarrow \infty :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
134 В. В. САВЧУК
\scrG n(z,\Gamma , H
\infty ) \simeq
\left\{
1
2\pi
\mathrm{l}\mathrm{n}n, 0 < z < 1,
1\sqrt{}
2\pi | z|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - z
1 - ei arg z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\surd
n
\biggl(
| 1 - z|
1 - | z|
\biggr) n
, z \in \BbbD \setminus [0, 1).
За допомогою теореми 1 i формули (4) легко знайти величину (15) при
\gamma j,n(z) = ( - z)j(1 - | z| 2)j
n - j\sum
k=0
\biggl(
k + j
j
\biggr)
| z| 2k, j = 0, 1, . . . , n, z \in \BbbD . (16)
Наслiдок 4. Нехай n \in \BbbZ + i \gamma j,n такi, як у (16). Тодi для будь-якого z \in \BbbD
\scrG n(z,\Gamma , H
\infty ) =
1 - | z| 2(n+1)
1 - | z| 2
.
Функцiя f\ast = ei\theta = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, \theta \in \BbbR , є екстремальною.
Справдi, за нерiвнiстю Кошi – Буняковського i теоремою 1, перепозначаючи в нiй a = z,
для будь-якої функцiї f \in H\infty одержуємо спiввiдношення\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\sum
k=0
( - z)k \widehat fz(k)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\Biggl(
n\sum
k=0
| z| 2k
\Biggr) 1
2
\Biggl(
n\sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fz(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2\Biggr)
1
2
\leq
\leq 1 - | z| 2(n+1)\sqrt{}
1 - | z| 2
,
в яких рiвностi досягаються для функцiї f\ast (див. (13)).
З iншого боку, за формулою (4) пiсля змiни порядку пiдсумовування одержуємо
n\sum
k=0
( - z)k \widehat fz(k) =\sqrt{} 1 - | z| 2
n\sum
k=0
zk
k\sum
j=0
\biggl(
k
j
\biggr)
f (j)(z)
j!
( - 1)j(1 - | z| 2)jzk - j =
=
\sqrt{}
1 - | z| 2
n\sum
j=0
f (j)(z)
j!
( - z)j(1 - | z| 2)j
n\sum
k=j
\biggl(
k
j
\biggr)
| z| 2(k - j),
що й потрiбно було показати.
3. Доведення. Доведення твердження 1. 1. Зрозумiло, що функцiя Fa є голоморфною в
\BbbD . Нехай
Fa(z) =
\infty \sum
k=0
ckz
k (17)
— її розклад в ряд Тейлора – Маклорена.
Тодi
f(z) =
\sqrt{}
1 - | a| 2
1 - za
(Fa \circ wa) (z) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
H2 -НОРМИ ЧАСТИННИХ СУМ РЯДIВ ФУР’Є ЗА БАЗИСОМ ЛАГЕРРА . . . 135
=
\sqrt{}
1 - | a| 2
1 - za
\infty \sum
k=0
ck (wa(z))
k =
\infty \sum
k=0
ck\varphi k(z) \forall z \in \BbbD , (18)
причому рiвномiрна й абсолютна збiжнiсть останнього ряду та єдинiсть його коефiцiєнтiв
рiвносильнi такiй самiй збiжностi та єдиностi коефiцiєнтiв ряду в (17).
2. Якщо \widehat fa(k) = 0 при k = 0, 1, . . . , n, то згiдно з (17) Fa(z) = zn+1
\sum \infty
k=0
\widehat fa(k+n+1)zk
i навпаки. Отже,
f(z) =
\sqrt{}
1 - | a| 2
1 - za
(Fa \circ wa) (z) = wn+1
a (z)g(z) \forall z \in \BbbD ,
де g(z) =
\sum \infty
k=0
\widehat fa(k + n+ 1)\varphi k(z).
3. Для обчислення коефiцiєнта ck у (18) (що рiвносильно \widehat fa(k)) вiзьмемо k-ту похiдну
функцiї z \mapsto \rightarrow f(z)(1 - za)k в точцi z = a. Оскiльки
f(z)(1 - za)k = Pk - 1(z) +
\sqrt{}
1 - | a| 2
\infty \sum
j=k
cj(1 - za)k - 1wj
a(z),
де Pk - 1(z) =
\sqrt{}
1 - | a| 2
\sum k - 1
j=0
cj(1 - za)k - j - 1(z - a)j – алгебраїчний многочлен степеня k - 1
(P - 1 = 0), то
dk
dzk
\Bigl(
f(z)(1 - za)k
\Bigr)
=
\sqrt{}
1 - | a| 2
\infty \sum
j=k
cj
dk
dzk
\Bigl(
(1 - za)k - 1wj
a(z)
\Bigr)
. (19)
Застосувавши до лiвої частини (19) правило Лейбнiца i врахувавши, що у правiй частинi за
цим самим правилом
dk
dzk
\Bigl(
(1 - za)k - 1wj
a(z)
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z=a
=
\left\{
k!
1 - | a| 2
, j = k,
0, j = k + 1, . . . ,
одержимо (4).
4. Для доведення (5) достатньо скористатися формулою Кошi
f(z) =
\int
\BbbT
f(t)
1 - tz
d\sigma (t), z \in \BbbD ,
i розкладом ядра Кошi в рiвномiрно збiжний ряд:
1
1 - tz
=
1
(1 - ta)(1 - za)
1 - | a| 2
1 - t - a
1 - ta
z - a
1 - za
=
=
\infty \sum
k=0
\varphi k(t)\varphi k(z), t \in \BbbT , z \in \BbbD .
5. Для доведення (6) зауважимо, що в наших позначеннях
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
136 В. В. САВЧУК\int
\BbbT
| Fa(\rho t)| 2 d\sigma (t) =
\infty \sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 \rho 2k \forall \rho \in [0, 1).
Тому спiввiдношення (6) рiвносильне Fa \in H2.
З iншого боку, якщо Fa належить H2, то\int
\BbbT
| Fa| 2 d\sigma =
\int
\BbbT
| (f \circ w - a)(t)| 2
1 - | a| 2
| 1 + ta| 2
d\sigma (t) =
\int
\BbbT
| f | 2 d\sigma .
6. Якщо виконується (7) при деякому n, то для екстремальної функцiї f, для якої досягається
максимум у (7), \widehat fa(k) = 0 при k \geq n+ 1. Отже, виконання (7) при всiх цiлих n \geq 0 можливе
тiльки якщо \widehat fa(k) = 0 для всiх натуральних k.
Для доведення теореми 1 нам потрiбна така лема, не позбавлена й самостiйного iнтересу.
Лема 1. Нехай функцiї f, g, h голоморфнi в \BbbD i такi, що f = gh, i a \in \BbbD . Тодi для
будь-якого цiлого n \geq 0 виконуються рiвностi
Sn,a(f) = Sn,a
\bigl(
Sn,a(g)h
\bigr)
= Sn,a
\bigl(
gSn,a(h)
\bigr)
.
Доведення. Розглянемо функцiю Rn := hSn(g) - Sn(f). Оскiльки функцiя Rn голоморфна
в \BbbD i \varphi n+1w
k
a = \varphi n+k+1, то згiдно з твердженням 1 Rn розкладається в ряд
Rn = f - Sn(f) - h
\bigl(
g - Sn(g)
\bigr)
=
=
\infty \sum
k=n+1
\widehat fa(k)\varphi k - h
\infty \sum
k=n+1
\widehat ga(k)\varphi k =
=
\infty \sum
k=n+1
\widehat fa(k)\varphi k - wn+1
a h
\infty \sum
k=0
\widehat ga(k + n+ 1)\varphi k.
Звiдси згiдно з п. 2 твердження 1 випливає рiвнiсть Sn,a(Rn) = 0, що й потрiбно було довести.
Доведення теореми 1. Згiдно з твердженням 1, якщо f \in H\infty ,m,a, то f = wm
a h, де h =
=
\sum \infty
k=0
\widehat fa(k +m)\varphi k \in H\infty .
Отже, за лемою 1 i формулою (13) для будь-якої функцiї f \in H\infty ,m,a маємо спiввiдношення
n\sum
k=m
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat fa(k)\bigm| \bigm| \bigm| 2 = \| Sn,a(Sn,a (wm
a )h)\| 22 \leq
\leq \| Sn,a (wm
a )h\| 22 \leq
n\sum
k=m
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat (wm
a )a(k)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 =
= (1 - | a| 2)
n\sum
k=m
| a| 2(k - m) =
= (1 - | a| 2)1 - | a| 2(n - m+1)
1 - | a| 2
= 1 - | a| 2(n - m+!),
в яких рiвностi досягаються для функцiї f = ei\theta wm
a .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
H2 -НОРМИ ЧАСТИННИХ СУМ РЯДIВ ФУР’Є ЗА БАЗИСОМ ЛАГЕРРА . . . 137
Лiтература
1. Y. W. Lee, Synthesis of electric networks by means of the Fourier transforms of Laguerre functions, J. Math. and
Phys., 11, № 1 – 4, 83 – 113 (1932).
2. E. Hille, Bilinear formulas in the theory of the transformation of Laplace, Compos. Math., 6, 93 – 102 (1939).
3. P. R. Masani, Norbert Wiener, 1894 – 1964, Birkhäuser, Basel etc. (1990).
4. B. G. S. Doman, The classical orthogonal polynomials, World Sci., Singapore (2016).
5. D. J. Newman, H. S. Shapiro, The Taylor coefficients of inner functions, Michigan. Math. J., 9, 249 – 255 (1962).
6. В. В. Савчук, Найкращi лiнiйнi методи наближення та оптимальнi ортонормованi системи простору Гардi,
Укр. мат. журн., 60, № 5, 661 – 671 (2008).
7. В. В. Савчук, Найкращi лiнiйнi методи наближення гармонiчних функцiй, Нелiнiйнi коливання, 11, № 2,
242 – 251 (2008).
8. В. В. Савчук, С. О. Чайченко, Найкращi наближення ядра Кошi на дiйснiй осi, Укр. мат. журн., 66, № 1,
1540 – 1549 (2014).
9. В. В. Савчук, Найкращi наближення ядра Кошi – Сегьо в середньому на одиничному колi, Укр. мат. журн., 70,
№ 5, 708 – 714 (2018).
10. A. Pinkus, n-Widths in approximation theory, Springer-Verlag, Berlin (1985).
11. С. Я. Хавинсон, Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих
дополнительным условиям внутри области, Успехи мат. наук., 18, № 2, 25 – 98 (1963).
12. E. Landau, D. Gaier, Darstellung und Bergundung eininger neurer Ergebnisse der Functionentheorie, Springer-Verlag,
Berlin (1986).
13. С. Я. Хавинсон, Оценка сумм Тейлора ограниченных аналитических функций в круге, Докл. АН СССР, 80,
№ 3, 333 – 336 (1951).
Одержано 13.02.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2371 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:30Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a3/36587979769b6bf9110c24e7f341eba3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23712025-03-31T08:49:21Z $H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions $H^2$--нормы частных сумм рядов Фурье по базису Лагерра для ограниченных голоморфных функций $H^2$ - норми частинних сум рядів Фур’є за базисом Лагерра для обмежених голоморфних функцій Savchuk , V. V. Савчук, В. В. Савчук, В. В. базис Лагера, простір Гарді, частинна сума, внутрішні функції Laguerre bases, Hardy space, partial sum, inner functions UDC 517.5 We compute the upper bounds for $H^2$-norms of the partial sums of Fourier series with respect to the Laguerre basis on the unit ball in the space of bounded holomorphic functions on the unit disk. We give an application of the main result to the solving of some extremal problems of the theory of approximation of holomorphic functions. Вычислены точные верхние грани для $H ^ 2 $ -- норм частных сумм рядов Фурье по базису Лагерра на единичном шаре пространства ограниченных голоморфных функций в единичном круге. Мы даем приложение основного результата к решению некоторых экстремальных задач теории приближений голоморфных функций. УДК 517.5 Обчислено значення точної верхньої межі $H^2$-норм частинних сум ряду Фур'є за базисом Лагерра на одиничній кулі простору обмежених голоморфних функцій в одиничному крузі. Наведено застосування основного результату до розв'язання певних екстремальних задач теорії наближення голоморфних функцій. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-01-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2371 10.37863/umzh.v73i1.2371 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 1 (2021); 128 - 137 Український математичний журнал; Том 73 № 1 (2021); 128 - 137 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2371/8909 Copyright (c) 2021 Віктор Васильович Савчук |
| spellingShingle | Savchuk , V. V. Савчук, В. В. Савчук, В. В. $H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions |
| title | $H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions |
| title_alt | $H^2$--нормы частных сумм рядов Фурье по базису Лагерра для ограниченных голоморфных функций $H^2$ - норми частинних сум рядів Фур’є за базисом Лагерра для обмежених голоморфних функцій |
| title_full | $H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions |
| title_fullStr | $H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions |
| title_full_unstemmed | $H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions |
| title_short | $H^2$ - norms of the partial sums of Fourier series by Laguerre basis for bounded holomorphic functions |
| title_sort | $h^2$ - norms of the partial sums of fourier series by laguerre basis for bounded holomorphic functions |
| topic_facet | базис Лагера простір Гарді частинна сума внутрішні функції Laguerre bases Hardy space partial sum inner functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2371 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv h2normsofthepartialsumsoffourierseriesbylaguerrebasisforboundedholomorphicfunctions AT savčukvv h2normsofthepartialsumsoffourierseriesbylaguerrebasisforboundedholomorphicfunctions AT savčukvv h2normsofthepartialsumsoffourierseriesbylaguerrebasisforboundedholomorphicfunctions AT savchukvv h2normyčastnyhsummrâdovfurʹepobazisulagerradlâograničennyhgolomorfnyhfunkcij AT savčukvv h2normyčastnyhsummrâdovfurʹepobazisulagerradlâograničennyhgolomorfnyhfunkcij AT savčukvv h2normyčastnyhsummrâdovfurʹepobazisulagerradlâograničennyhgolomorfnyhfunkcij AT savchukvv h2normičastinnihsumrâdívfurêzabazisomlagerradlâobmeženihgolomorfnihfunkcíj AT savčukvv h2normičastinnihsumrâdívfurêzabazisomlagerradlâobmeženihgolomorfnihfunkcíj AT savčukvv h2normičastinnihsumrâdívfurêzabazisomlagerradlâobmeženihgolomorfnihfunkcíj |