Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections
We prove that any Hermitian matrix, whose trace is integer and all eigenvalues lie in $[1+1/(k-3),k-1-1/(k-3)],$ is a sum of $k$ orthoprojections. For sums of $k$ orthoprojections, it is shown that the ratio of the number of eigenvalues not exceeding 1 to the number of eigenvalues not less than 1, t...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2378 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508269476315136 |
|---|---|
| author | Rabanovich, V. I. Рабанович, В. І. Рабанович, В. І. |
| author_facet | Rabanovich, V. I. Рабанович, В. І. Рабанович, В. І. |
| author_sort | Rabanovich, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:43Z |
| description | We prove that any Hermitian matrix, whose trace is integer and all eigenvalues lie in $[1+1/(k-3),k-1-1/(k-3)],$ is a sum of $k$ orthoprojections. For sums of $k$ orthoprojections, it is shown that the ratio of the number of eigenvalues not exceeding 1 to the number of eigenvalues not less than 1, taking into account the multiplicity, is not greater than $k-1$. Examples of Hermitian matrices that satisfy the ratio for eigenvalues and, at the same time, can not be decomposed into a sum of $k$ orthoprojections are also suggested. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i5.2378 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i5.2378
УДК 512.643, 517.98
В. I. Рабанович (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI
СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ
We prove that any Hermitian matrix, whose trace is integer and all eigenvalues lie in [1 + 1/(k - 3), k - 1 - 1/(k - 3)],
is a sum of k orthoprojections. For sums of k orthoprojections, it is shown that the ratio of the number of eigenvalues not
exceeding 1 to the number of eigenvalues not less than 1, taking into account the multiplicity, is not greater than k - 1.
Examples of Hermitian matrices that satisfy the ratio for eigenvalues and, at the same time, can not be decomposed into a
sum of k orthoprojections are also suggested.
Доведено, що ермiтова матриця з цiлим слiдом i власними значеннями мiж 1+1/(k - 3) i k - 1 - 1/(k - 3) є сумою
k ортопроекторiв. Показано, що у суми k ортопроекторiв вiдношення кiлькостi власних значень, що меншi або
дорiвнюють одиницi, з урахуванням кратностi до кiлькостi власних значень, якi бiльшi або дорiвнюють одиницi, не
перевищує k - 1. Наведено приклади ермiтових матриць, якi задовольняють вказане спiввiдношення щодо кiлькостi
власних значень, але не є сумою k ортопроекторiв.
У цiй статтi розглядаються суми ортопроекторiв, тобто ермiтових матриць P \ast
i = Pi, P
2
i = Pi.
Оскiльки ортопроектори — це невiд’ємнi оператори, то суми проекторiв є невiд’ємновизначеними
матрицями. Зокрема, при виконаннi розкладу
A = P1 + P2 + . . .+ Pk (1)
справедливою є рiвнiсть слiдiв
\mathrm{t}\mathrm{r}A = \mathrm{t}\mathrm{r}P1 + \mathrm{t}\mathrm{r}P2 + . . .+ \mathrm{t}\mathrm{r}Pk = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}P1 + \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}P2 + . . .+ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Pk,
тому \mathrm{t}\mathrm{r}A \geq \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}A. В роботi [9] було доведено таку теорему.
Теорема 1. Матриця A є сумою ортопроекторiв тодi i тiльки тодi, коли \mathrm{t}\mathrm{r}A \in \BbbZ ,
A\ast = A i \mathrm{t}\mathrm{r}A \geq \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}A.
Для такого розкладу достатньо \mathrm{t}\mathrm{r}A ортопроекторiв. Зокрема, довiльна невiд’ємновизначена
(n\times n)-матриця зi слiдом n є сумою n ортопроекторiв. Звичайно, число \mathrm{t}\mathrm{r}A не завжди є най-
меншою кiлькiстю ортопроекторiв, необхiдних для справедливостi розкладу (1), i цiкавою є
задача знаходження розкладу матрицi в суму якомога найменшого числа ортопроекторiв. З
такими задачами пов’язанi, наприклад, iтерацiйнi алгоритми Крилова для пiдпросторiв, якi
можуть бути використанi в паралельних процесах, кiлькiсть яких залежить вiд кiлькостi орто-
проекторiв [5].
Останнiм часом у зв’язку з рiзними застосуваннями збiльшилась кiлькiсть робiт iз теорiї
фреймiв, оператори яких тiсно пов’язанi з сумами ортопроекторiв [1, 4]. Зокрема, алгоритми
спектрального тетрiсу по набору власних значень матрицi A з урахуванням їхньої кратностi
дають набiр векторiв \vec{}f1, \vec{}f2, . . . , \vec{}ftrA, велика частина з яких є попарно ортогональними. Ви-
бираючи з такого набору пiднабори Wj =
\bigl\{
\vec{}f j
1 , . . . ,
\vec{}f j
mj
\bigr\}
взаємно ортогональних мiж собою
векторiв, отримують пiдпростори Hj , якi породженi векторами з Wj i такi, що сума ортопро-
екторiв на цi пiдпростори унiтарно еквiвалентна A, тобто
PH1 + PH2 + . . .+ PHk
= \~A,
c\bigcirc В. I. РАБАНОВИЧ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5 679
680 В. I. РАБАНОВИЧ
де \~A = U\ast AU, U — унiтарна матриця. Зазначений алгоритм дає спосiб знаходження розкладу
ермiтової матрицi A з цiлим слiдом у суму деякої кiлькостi ортопроекторiв, яка залежить,
взагалi кажучи, як вiд впорядкування власних чисел матрицi перед застосуванням алгоритму
спектрального тетрiсу, так i вiд способу вибору пiднаборiв. Так, в роботi [2] наведено алгоритм
побудови розкладу (1) для ермiтової матрицi A, всi власнi числа якої лежать мiж 2 i k - 2, а
нецiлi власнi числа ще й не перевищують k - 3. Зв’язок мiж фреймами i сумою ортопроекторiв
розглянуто в [4].
Основною метою роботи є знаходження бiльш широких умов на власнi числа матрицi A,
щоб iснував розклад (1) в залежностi вiд \mathrm{t}\mathrm{r}A i k . У випадку, коли A — скалярна матриця,
повну вiдповiдь щодо iснування розкладу отримано в [10]. Крiм того, що скалярна матриця
\alpha I повинна мати цiлий слiд, сам скаляр \alpha повинен лежати на вiдрiзку [\beta k, k - \beta k], \beta k =
=
\bigl(
k -
\surd
k2 - 4k
\bigr)
/2, або бути точкою в однiй iз чотирьох орбiт динамiчних систем, породжених
вiдображенням f(x) = 1+ 1/(k - 1 - x) на [0, k], якi стартують iз точок 0, 1, i вiдображенням
g(x) = k - x/(x - 1) на [0, k], якi стартують iз точок k - 1 i k . Для розкладу скалярної матрицi
в суму ортопроекторiв однакового рангу аналогiчну задачу розв’язано в [3] (див. також [7]).
Ми покажемо, що матриця A з умовою (1+1/(k - 3))I \leq A \leq (k - 1 - 1/(k - 3))I є сумою
k ортопроекторiв, наведемо кiлька необхiдних умов на кiлькiсть власних чисел матрицi A, що
не перевищують одиницi, для того щоб A була сумою k ортопроекторiв.
Необхiднi i достатнi умови iснування розкладу матрицi в суму ортопроекторiв можна отри-
мати в термiнах виконання нерiвностей Хорна для наборiв ермiтових матриць [11]. А саме,
нехай ермiтова матриця A унiтарно еквiвалентна дiагональнiй матрицi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\gamma 1, . . . , \gamma n) , де
\gamma 1 \geq \gamma 2 \geq . . . \geq \gamma n . Спектр \alpha
(i)
1 \geq . . . \geq \alpha
(i)
n кожного ортопроектора Pi задається його рангом
або слiдом, ni = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}A = \mathrm{t}\mathrm{r}A, який дорiвнює кратностi власного значення 1. Матриця A є
сумою ортопроекторiв iз вказаними спектрами тодi i тiльки тодi, коли \mathrm{t}\mathrm{r}A = \mathrm{t}\mathrm{r}P1+ . . .+\mathrm{t}\mathrm{r}Pn
i набори чисел \gamma i, \alpha
(m)
j задовольняють нерiвностi Хорна вигляду\sum
s\in \Gamma
\gamma s \leq
\sum
i\in I(1)
\alpha
(1)
i +
\sum
j\in I(2)
\alpha
(2)
j + . . .+
\sum
l\in I(k)
\alpha
(k)
l , (2)
де множини iндексiв мають однакову кiлькiсть вiд 1 до k - 1 елемента [11]. Проте кiлькiсть
нерiвностей Хорна збiльшується експоненцiйно з розмiром матрицi, i хоча цi нерiвностi є
залежними, вибiр мiнiмальної незалежної множини нерiвностей є непростою, взагалi кажучи,
задачею [12].
Далi ми будемо використовувати позначення 0n i In для нульової i одиничної матриць з
Mn(\BbbC ) та \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an) для дiагональної матрицi з числами або блоками a1, a2, . . . , an
на головнiй дiагоналi. Запис Eij буде означати матричну одиницю з елементом, що дорiвнює
одиницi на позицiї (i, j) в матрицi i нулю на iнших позицiях. Цiлу частину дiйсного числа x
ми позначаємо через [x], а дробову — через \{ x\} , \{ x\} = x - [x].
1. Достатнi умови розкладу матрицi в суму ортопроекторiв. Нагадаємо властивостi
спектра суми двох ортопроекторiв, якi ми використаємо далi [6].
Пропозицiя 1. Нехай P1, P2 — ортопроектори в гiльбертовому просторi H . Тодi для
кожного x /\in \{ 0, 1, 2\} з того, що x \in \sigma (P1 + P2), випливає, що 2 - x \in \sigma (P1 + P2). При цьому
x i 2 - x мають однакову кратнiсть як власнi значення P1 + P2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ 681
Для спрощення позначень введемо двi функцiї \phi +, \phi - : [0, 1] - \rightarrow M2(\BbbC ):
\phi +(x) =
\Biggl(
x
\surd
x - x2
\surd
x - x2 1 - x
\Biggr)
, \phi - (x) =
\Biggl(
x -
\surd
x - x2
-
\surd
x - x2 1 - x
\Biggr)
.
Значення функцiї \phi +(x) так само, як i значення функцiї \phi - (x), є ортопроекторною матри-
цею при кожному x \in [0, 1]. Зазначимо, що \phi +(x) + \phi - (x) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (2x, 2 - 2x).
При доведеннi теореми 2 суттєво використовуються конструкцiї сум ортопроекторiв в \BbbC 2,
якi описанi в такiй лемi (детальнiше див. [6]).
Лема 1. Нехай 0 < \alpha \leq 1. Для кожного 0 \leq \gamma \leq \alpha iснує таке x \in [0, 1], що власнi
значення матрицi
\biggl(
\alpha 0
0 0
\biggr)
+ \phi +(x) будуть числа \gamma й \alpha + 1 - \gamma .
Доведення. Справдi, визначимо матрицю B за формулою
B =
\Biggl(
\alpha 0
0 0
\Biggr)
+ \phi +(x) =
\Biggl(
\alpha + x
\surd
x - x2
\surd
x - x2 1 - x
\Biggr)
.
Визначник \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B - \lambda I) = \lambda 2 - (1+\alpha )\lambda +\alpha (1 - x). Звiдси при x = (1 - \gamma )(\alpha - \gamma )/\alpha отримуємо
пару коренiв характеристичного многочлена матрицi B : \gamma й 1 + \alpha - \gamma .
Наслiдок 1. Нехай 0 < \alpha \leq \beta . Для кожного \gamma \in [0, \alpha ] iснує таке x \in [0, 1], що власними
значення матрицi
\biggl(
\alpha 0
0 0
\biggr)
+ \beta \phi +(x) будуть числа \gamma й \alpha + \beta - \gamma .
В наступнiй лемi розглядається частковий випадок теореми 2 про розклад матрицi з влас-
ними числами мiж 1 та 2 в суму k ортопроекторiв з k \geq 5.
Лема 2. Нехай ai \in \BbbR , 1 + 1/(k - 3) \leq ai < 2, i = 1, . . . , n - 1, k \geq 5. Тодi матриця
A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an - 1, \{ - a1 - . . . - an - 1\} ) має цiлий слiд i розкладається в суму k орто-
проекторiв P1, . . . , Pk . До того ж можна вибрати ортопроектори так, щоб два ортопро-
ектори з наперед заданими значеннями iндексiв i\ast та j\ast задовольняли умову ортогональностi
Pi\ast Enn = 0n = Pj\ast Enn.
Доведення. При n = 2 матриця має два власних значення, A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, 2 - a1) i є сумою
навiть двох ортопроекторiв. Тому далi вважаємо n \geq 3. Пiдрахуємо слiд матрицi A:
\mathrm{t}\mathrm{r}A = a1 + a2 + . . .+ an - 1 + \{ - a1 - . . . - an - 1\} =
= a1 + a2 + . . .+ an - 1 + ( - a1 - . . . - an - 1 - [ - a1 - a2 - . . . - an - 1]) =
= - [ - a1 - . . . - an - 1].
Отже, \mathrm{t}\mathrm{r}A \in \BbbZ за умовою леми \mathrm{t}\mathrm{r}A \geq n.
За послiдовнiстю значень ai iндуктивно визначаємо два набори чисел mi \in \BbbZ \cup \{ 0\} , ri \in \BbbR .
Число m1 є найменшим невiд’ємним цiлим числом, що задовольняє нерiвностi
1 \leq (a1 - 1) + (a2 - 1) + . . .+ (am1 - 1) < 2,
r1 = m1 - a1 - a2 - . . . - am1 - 1,
i при mj - 1 = n припиняється побудова послiдовностi, а при mj - 1 < n число mj однозначно
визначається як цiле число, що задовольняє нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
682 В. I. РАБАНОВИЧ
- 1 \leq
mj\sum
i=mj - 1
(ai - 1) - rj - 1 - 2 \leq 0, (3)
в яких rj обчислюємо за формулою
rj = mj - mj - 1 + 1 + rj - 1 -
mj - 1\sum
i=mj - 1
ai. (4)
Кiлькiсть ai обмежена i при якомусь значеннi iндексу j, наприклад при j = p, нерiвнiсть (3)
не використовується навiть при mp = n. Тодi покладемо mp = n. Вiн буде останнiм елементом
послiдовностi mj . При цьому rp також обчислюється за формулою (4). Оскiльки 1/(k - 3) \leq
\leq ai - 1 i за побудовою 0 \leq amj - 1 - 1 - rj - 1 \leq 1, то лiва частина нерiвностей (3) виконується
при mj - mj - 1 \leq k - 3.
Спосiб знаходження чисел ri можна описати ще й таким чином. Розглядаються числа
w1 = a1, w2 = a1 + a2, wi = a1 + a2 + . . .+ ai . Тодi ri = \{ - wmi - 1\} . Зауважимо, що wn - 1 —
це сума всiх ai, а тому rp = \{ - a1 - . . . - am - 1\} .
Щоб побудувати ортопроектори Pi, в суму яких розкладається матриця A, ми використаємо
p крокiв для обчислення матриць P
(j)
i , а потiм утворимо пряму суму:
Pi = P
(1)
i \oplus U\ast
2P
(2)
i U2 \oplus . . .\oplus U\ast
pP
(p)
i Up. (5)
Крок 1. За теоремою 1 iснують ортопроектори P
(1)
1 , P
(1)
2 , . . . , P
(1)
k - 2 \in Mm1(\BbbC ) такi, що
P
(1)
1 + P
(1)
2 + . . .+ P
(1)
k - 2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, . . . , am1 - 1, r1) .
Покладемо за означенням P
(1)
k - 1 = \phi +
\bigl(
(am1 - r1)/2
\bigr)
, P
(1)
k = \phi -
\bigl(
(am1 - r1)/2
\bigr)
.
Крок 2. Знову за теоремою 1 iснують ортопроектори P
(2)
1 , P
(2)
2 , . . . , P
(2)
k - 4 \in Mm2 - m1(\BbbC )
такi, що виконується еквiвалентнiсть
M2 = P
(2)
1 + P
(2)
2 + . . .+ P
(2)
k - 4 \approx
\approx \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0,m2 - m1 - 1 - am1+2 - . . . - am2 - 1, am1+2, . . . , am2 - 1) .
Без обмеження загальностi можна вважати, що
M2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} ((m2 - m1 - 1 - am1+2 - . . . - am2 - 1)\phi +(x), am1+2, . . . , am2 - 1)
при деякому x \in [0, 1]. За наслiдком 1 iснує число x2 таке, що сума E11(2+ r1 - am1) + (m2 -
- m1 - 1 - am1+2 - . . . - am2 - 1)\phi +(x) має власнi числа r2 та am1+1 . Отже, iснує така унiтарна
матриця U2 \in Mm2 - m1(\BbbC ), що
U\ast
2 (M2 + E11(2 + r1 - am1))U2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (am1+1, am1+2, . . . , am2 - 1, r2)
при x = x2 . Зафiксуємо U2 i ортопроектори P
(2)
i при x = x2 . Покладемо за означенням
P
(2)
k - 3 = \phi +
\bigl(
(am2 - r2)/2
\bigr)
, P
(2)
k - 2 = \phi -
\bigl(
(am2 - r2)/2
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ 683
Крок 3. На непарному кроцi ми повторюємо парний крок з однiєю вiдмiннiстю: окре-
мо визначаються ортопроектори P
(3)
k - 1 i P
(3)
k . За теоремою 1 iснують ортопроектори P
(3)
1 ,
P
(3)
2 , . . . , P
(3)
k - 4 \in Mm2 - m1(\BbbC ) такi, що виконується еквiвалентнiсть
M3 = P
(3)
1 + P
(3)
2 + . . .+ P
(3)
k - 4 \approx
\approx \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0,m3 - m2 - 1 - am2+2 - . . . - am3 - 1, am2+2, . . . , am3 - 1) .
Без обмеження загальностi можна вважати, що
M3 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} ((m3 - m2 - 1 - am2+2 - . . . - am3 - 1)\phi +(x), am2+2, . . . , am3 - 1)
при деякому x \in [0, 1]. За наслiдком 1 iснує таке число x3, що сума E11(2+ r2 - am2) + (m3 -
- m2 - 1 - am2+2 - . . . - am3 - 1)\phi +(x) має власнi числа r3 та am2+1 . Отже, iснує така унiтарна
матриця U3 \in Mm3 - m2(\BbbC ), що
U\ast
3
\bigl(
M3 + E11(2 + r2 - am2)
\bigr)
U3 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (am2+1, am2+2, . . . , am3 - 1, r3)
при x = x3 . Зафiксуємо U3 i ортопроектори P
(3)
i при x = x3 . Покладемо за означенням
P
(3)
k - 1 = \phi +
\bigl(
(am3 - r3)/2
\bigr)
, P
(3)
k = \phi -
\bigl(
(am3 - r3)/2
\bigr)
.
I так далi.
Крок p. Як i в попереднiх кроках, отримуємо набори ортопроекторiв P
(p)
1 , P
(p)
2 , . . . , P
(p)
k - 4
з Mmp - mp - 1(\BbbC ), число xp \in [0, 1], матрицю
Mp = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
(mp - mp - 1 - 1 - amp - 1+2 - . . . - amp - 1)\phi +(xp), amp - 1+2, . . . , amp - 1
\bigr)
i унiтарну матрицю Up такi, що
U\ast
p
\bigl(
Mp + E11(2 + rp - 1 - amp - 1)
\bigr)
Up = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
amp - 1+1, amp - 1+2, . . . , amp - 1, rp
\bigr)
.
Тепер ортопроектори Pi визначаються за формулою (5) для i = 1, 2, . . . , k - 4, i в залеж-
ностi вiд парностi p набори Pk - 3, Pk - 2, Pk - 1, Pk будуть визначенi по-рiзному. А саме, при
непарному p
Pj = V \ast
1 (P
(1)
j \oplus 0m2 - m1 - 1 \oplus P
(2)
j \oplus 0m4 - m2 - 2 \oplus P
(4)
j \oplus 0m6 - m4 - 2\oplus
\oplus P
(6)
j \oplus . . .\oplus 0mp - 1 - mp - 3 - 2 \oplus P
(p - 1)
j \oplus 0mp - mp - 1 - 1)V1 при j = k - 3, k - 2
i
V1 = Im2 \oplus U3 \oplus Im4 - m3 \oplus U5 \oplus Im6 - m5 \oplus . . .\oplus Up - 2 \oplus Imp - 1 - mp - 2 \oplus Up,
a
Pl = V \ast
2 (0m1 - 1 \oplus P
(1)
l \oplus 0m3 - m1 - 2 \oplus P
(3)
l \oplus 0m5 - m3 - 2 \oplus P
(5)
l \oplus
\oplus 0m7 - m5 - 2 \oplus P
(7)
l \oplus . . .\oplus P
(p - 2)
l \oplus 0mp - mp - 2 - 1)V2 при l = k - 1, k
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
684 В. I. РАБАНОВИЧ
V2 = Im1 \oplus U2 \oplus Im3 - m2 \oplus U4 \oplus Im5 - m4 \oplus . . .\oplus Up - 1 \oplus Imp - mp - 1 .
Аналогiчно, при парному p останнiй прямий доданок ортопроекторiв Pj i Pl дещо змiниться:
Pj = V \ast
1 (P
(1)
j \oplus 0m2 - m1 - 1 \oplus P
(2)
j \oplus 0m4 - m2 - 2 \oplus P
(4)
j \oplus 0m6 - m4 - 2\oplus
\oplus P
(6)
j \oplus . . .\oplus 0mp - 2 - mp - 4 - 2 \oplus P
(p - 2)
j \oplus 0mp - mp - 2 - 1)V1 при j = k - 3, k - 2
i
V1 = Im2 \oplus U3 \oplus Im4 - m3 \oplus U5 \oplus Im6 - m5 \oplus . . .\oplus Up - 1 \oplus Imp - mp - 1 ,
a
Pl = V \ast
2 (0m1 - 1 \oplus P
(1)
l \oplus 0m3 - m1 - 2 \oplus P
(3)
l \oplus 0m5 - m3 - 2 \oplus P
(5)
l \oplus
\oplus 0m7 - m5 - 2 \oplus P
(7)
l \oplus . . .\oplus P
(p - 1)
l \oplus 0mp - mp - 1 - 1)V2 при l = k - 1, k
i
V2 = Im1 \oplus U2 \oplus Im3 - m2 \oplus U4 \oplus Im5 - m4 \oplus . . .\oplus Up - 1 \oplus Imp - 1 - mp - 2 \oplus Up.
За побудовою
P1 + . . .+ Pk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an - 1, rp) , (6)
i, як зазначено вище, rp = \{ - a1 - . . . - an - 1\} . Тому сума ортопроекторiв дорiвнює A.
Залишилося розглянути питання про ортогональнiсть ортопроекторiв Pi i матрицi Enn .
Нехай e1, . . . , en — стандартний ортонормований базис у просторi стовпчикiв \BbbC n, а матрицi
Pi, V1, V2 задають дiю вiдповiдних лiнiйних операторiв у цьому просторi в даному базисi.
Позначимо Wp = \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\langle emp - 1+1, emp - 1+2, . . . , en\rangle . При непарному p останнiй прямий доданок
у розкладi матрицi V2 дорiвнює Imp - mp - 1 , тому Wp iнварiантний вiдносно дiї V2, а отже,
Wp пiд дiєю i ортопроектора Pk - 1, i ортопроектора Pk переходить у нульовий вектор, тому
Pk - 1Enn = PkEnn = 0. Аналогiчно, при парному p останнiй прямий доданок у розкладi
матрицi V1 дорiвнює Imp - mp - 1 , тому Wp iнварiантний вiдносно дiї V1, а отже, Wp пiд дiєю
ортопроекторiв Pk - 3 i Pk - 2 переходить у нульовий вектор, тому Pk - 3Enn = Pk - 2Enn =
= 0. Тепер, якщо потрiбно отримати розклад матрицi A в суму k ортопроекторiв з умовою
ортогональностi двох ортопроекторiв iз заданими iндексами i\ast та j\ast , ми безпосередньо в (6)
виконуємо перенумерацiю так, щоб знайдена пара ортопроекторiв (остання чи передостання в
залежностi вiд парностi p) стала на позицiї i\ast та j\ast .
Лему 2 доведено.
Наслiдок 2. В умовах леми 2 матриця B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an - 1, 1 + \{ - a1 - . . . - an - 1\} )
є сумою ортопроекторiв P1, . . . , Pk з тiєю ж умовою ортогональностi Pi\ast Enn = 0n = Pj\ast Enn .
Доведення. Достатньо довести наслiдок для i\ast = k - 1 i j\ast = k . При n = 2 матриця B
має слiд, що дорiвнює 3, B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, 3 - a1) , а отже, за теоремою 1 матриця B є сумою
трьох ортопроекторiв P1, P2 i P3 . При n = 3 матриця B має слiд, що дорiвнює 4 або 5,
B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, 1 + \{ - a1 - a2\} ) i є сумою п’яти ортопроекторiв P1, . . . , P5, що задовольняють
вiдповiдну умову ортогональностi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ 685
P1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
0, \phi +
\bigl(
(a1 + a2)/2 - 1
\bigr) \bigr)
, P2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\bigl(
0, \phi -
\bigl(
(a1 + a2)/2 - 1
\bigr) \bigr)
,
P4 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\phi +(a1/2), 0), P5 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\phi - (a1/2), 0),
i лише при \mathrm{t}\mathrm{r}B > 4 ортопроектор P3 буде ненульовим, що дорiвнює \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, 0, 1).
Тому далi вважаємо n \geq 4. За лемою 2 матриця
A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an - 2, \{ - a1 - . . . - an - 2\} )
є сумою k ортопроекторiв Q1, . . . , Qk, причому можна вважати, що Q1En - 1 n - 1 = 0n - 1 =
= Q2En - 1 n - 1 . Визначаємо двi величини: t = an - 1 - \{ - a1 - . . . - an - 2\} i
\epsilon =
\left\{ 0, 2 - t \geq 1,
1, 2 - t < 1.
Покладаючи
P1 = (Q1 \oplus 0) + (0n - 2 \oplus \phi +(t/2)), P2 = (Q2 \oplus 0) + (0n - 2 \oplus \phi - (t/2)),
P3 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (Q3, \epsilon ) , Pi = Qi \oplus 0, i = 4, . . . , k,
отримуємо розклад \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, . . . , an - 1, \epsilon + 2 - t) = P1 + . . .+Pk, де кожен Pi — ортопроектор.
За побудовою Pk - 1Enn = PkEnn = 0n, до того ж 0 < 2 - t < 2 i
2 - t = 2 - an - 1 + \{ - a1 - . . . - an - 2\} = 2 - ( - a1 - . . . - an - 1) - [ - a1 - . . . - an - 2].
Тобто рiзниця 2 - t збiгається з \{ - a1 - a2 - . . . - an - 1\} або бiльша за неї рiвно на одиницю.
Тому \epsilon + 2 - t = 1 + \{ - a1 - a2 - . . . - an - 1\} i матриця B дiйсно є сумою ортопроекторiв
P1, . . . , Pk з вiдповiдною умовою ортогональностi.
Наслiдок 2 доведено.
Доведення наступної леми повторює кроки алгоритму спектрального тетрiсу [2]. Для скоро-
чення позначень ми використовуємо матрицю I0 як елемент дiагональної матрицi. Це означає,
що на вiдповiдному мiсцi в дiагональнiй матрицi немає прямого доданка i його потрiбно вилу-
чити з множини дiагональних елементiв.
Лема 3. Нехай 0 \leq \alpha \leq 2, bi \in \BbbR , 2 \leq bi \leq k - 2, i = 1, . . . , s - 1, 1 < bs < k - 3, s \geq 2 i\sum s
i=1
bi - \alpha цiле. Тодi iснують iндекси i\ast , j\ast , ортопроектори R1, . . . , Rk з умовою Rn - 1E11 =
= 0s = RnE11, для яких матриця \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b1, b2, . . . , bs) розкладається в суму \alpha E11+R1+. . .+Rk,
i Ri\ast Ess = 0s = Rj\ast Ess . Якщо при цьому вiдомо додатково, що 1 < \alpha , то можна збiльшити
допустимi межi для bs : 1 < bs \leq k - 2.
Доведення. Побудуємо послiдовнiсть n1, . . . , ns \in \{ 0, 1, . . . , k - 4\} та числа g1, . . . , gs \in
\in [0, 2] за правилом: n1 таке, що виконуються нерiвностi
b1 - \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(2, 1 + \alpha ) \leq n1 \leq b1 - \alpha , (7)
причому n1 вибирається найбiльшим цiлим iз вiдрiзка [0, k - 4], потiм g1 = b1 - \alpha - n1 .
Якщо вибрано nm - 1 i gm - 1, то nm вибирається найбiльшим цiлим iз вiдрiзка [0, k - 4], що
задовольняє нерiвностi
bm + gm - 1 - 4 \leq nm \leq bm + gm - 1 - 2, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
686 В. I. РАБАНОВИЧ
а
gm = bm + gm - 1 - nm - 2, m = 2, . . . , s. (9)
Це можливо, оскiльки b1 \leq k - 2 i b1 - 2 \leq k - 4, а отже, нерiвностi (7) виконуються при
деякому n1 \in [0, k - 4]. Крiм того, з (7) випливає, що 0 \leq g1 \leq 2. А якщо накладено додаткову
умову 1 < \alpha , то g1 < 1. Аналогiчно, з того, що 0 \leq gm - 1 \leq 2 i 2 \leq bm - 1 \leq k - 2 випливає,
що нерiвностi (8) виконуються при деякому nm \in [0, k - 4], а отже, 0 \leq gm \leq 2. Додаткова
умова gm - 1 < 1 приводить до нерiвностi gm < 1. Зауважимо, що, використовуючи послiдовно
(9) для m = s, s - 1, . . . , 2, отримуємо спiввiдношення
gs = (bs - ns - 2) + gs - 1 =
s\sum
i=1
bi -
s\sum
i=1
ni - \alpha - 2(s - 1),
а оскiльки
\sum s
i=1
bi - \alpha \in \BbbZ , то gs \in \BbbZ , тобто gs \in \{ 0, 1, 2\} .
По послiдовностi nj i gj визначаємо функцiї \delta i та \bigtriangleup t, i = 1, 2, . . . , k - 4, t = 1, 2,
j = 1, . . . , s:
\delta i(nj) =
\left\{ 1, i \leq nj ,
0, i > nj ,
\bigtriangleup t(gs) =
\left\{ 1, t \leq gs,
0, t > gs,
i ортопроектори
Ri = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\delta i(n1), \delta i(n2), . . . , \delta i(ns)) .
Крiм того, задаємо чотири ортопроектори:
Rk - 3 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl(
\phi +(g1/2), \phi +(g3/2), . . . , \phi +
\biggl(
1
2
g2[s/2] - 1
\biggr)
,\bigtriangleup 1(gs)I2\{ s/2\}
\biggr)
,
Rk - 2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl(
\phi - (g1/2), \phi - (g3/2), . . . , \phi -
\biggl(
1
2
g2[s/2] - 1
\biggr)
,\bigtriangleup 2(gs)I2\{ s/2\}
\biggr)
,
Rk - 1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl(
0, \phi +(g2/2), \phi +(g4/2), . . . , \phi +
\biggl(
1
2
g2[(s - 1)/2]
\biggr)
,\bigtriangleup 1(gs)I2\{ (s - 1)/2\}
\biggr)
,
Rk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}
\biggl(
0, \phi - (g2/2), \phi - (g4/2), . . . , \phi -
\biggl(
1
2
g2[(s - 1)/2]
\biggr)
,\bigtriangleup 2(gs)I2\{ (s - 1)/2\}
\biggr)
.
За побудовою, використовуючи формули (8), (9), отримуємо рiвнiсть
k\sum
i=1
Ri + \alpha E11 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (g1 + n1 + \alpha , g2 + 2 - g1 + n2, . . . , gs + 2 - gs - 1 + ns) =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b1, . . . , bs) .
Властивiсть ортогональностi Rn - 1E11 = 0s = RnE11 перевiряється безпосереднiм множенням.
Проаналiзуємо тепер останнi елементи на дiагоналях матриць Pk - 3, Pk - 2, Pk - 1 i Pk . При
непарному s I2\{ s/2\} = I1, i тому останнi елементи на дiагоналях у Pk - 3 i Pk - 2 будуть нулями
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ 687
або одиницями в залежностi вiд значень функцiй \bigtriangleup 1(gs) i \bigtriangleup 2(gs). Аналогiчно, при парному
s I2\{ (s - 1)/2\} = I1, i тому останнi елементи на дiагоналях у Pk - 1 i Pk будуть нулями або
одиницями в залежностi вiд значень функцiй \bigtriangleup 1(gs) i \bigtriangleup 2(gs). Зазначимо, що за побудовою ns
вибирається найбiльшим з [0, k - 4] так, щоб gs \geq 0. Оскiльки gs - 1 - 2 \leq 0 i при bs < k - 3
виконується bs - (k - 4) < 1, то gs < 1, а отже, gs = 0. При додаткових умовах \alpha > 1 i
bs \leq k - 2 маємо gs - 1 - 2 < - 1 та
bs - (k - 4) + (gs - 1 - 2) < 1.
Отже, i в цьому випадку gs = 0. Оскiльки \bigtriangleup 1(0) = \bigtriangleup 2(0) = 0, то у пари матриць Pk - 3 i Pk - 2
або Pk - 1 i Pk на останньому мiсцi дiагоналей стоять нулi. Щоб виконати умову ортогональностi
Ri\ast Es = 0s = Rj\ast Ess, залишилося покласти iндекси i\ast , j\ast рiвними k - 3, k - 2 при непарному
s i k - 1 та k при парному s.
Лему 3 доведено.
Наслiдок 3. Якщо в умовах леми 3 не вимагати умови ортогональностi Ri\ast Es = 0s =
= Rj\ast Ess, то умову на bs можна послабити до 1 < bs \leq k - 2.
Справдi, ортопроектори P1, P2, . . . , Pk можна задати за формулами з доведення леми 3, але
оскiльки bs може бути бiльшим за k - 3, параметр gs може набувати значень 1 i 2. Таким чином,
ми отримуємо розклад \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b1, b2, . . . , bs) у зазначену суму матриць, але умову ортогональностi
забезпечити, взагалi кажучи, не можемо.
Теорема 2. Нехай A є ермiтовою (n\times n)-матрицею над \BbbC з цiлим слiдом. Якщо всi власнi
числа A лежать у множинi
\bigl[
1 + 1/(k - 3), k - 1 - 1/(k - 3)
\bigr]
, то A розкладається в суму k
ортопроекторiв, k \geq 5.
Доведення достатньо провести для дiагональної матрицi, оскiльки з iснування розкла-
ду для такої матрицi буде випливати iснування розкладу i для унiтарно еквiвалентної до неї
матрицi, тобто для довiльної ермiтової матрицi, що задовольняє умови теореми. До того ж
якщо ми знайдемо розклад у суму ортопроекторiв дiагональної матрицi з конкретним поряд-
ком слiдування елементiв на дiагоналi, то будемо мати й розклади дiагональних матриць з
довiльним порядком слiдування цих самих елементiв на дiагоналi. Отже, нехай A \in Mn(\BbbC ),
A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am, b1, . . . , bs, c1, . . . , cq) , де 1 +
1
k - 3
\leq a1 \leq a2 \leq . . . \leq am < 2 \leq b1 \leq
\leq b2 \leq . . . \leq bs \leq k - 2 < c1 \leq c2 \leq . . . \leq cq \leq k - 1 - 1
k - 3
. При n = 1 матриця A — це цiле
число b1 i є сумою b1 ортопроекторiв.
В залежностi вiд значень чисел m, s i q будемо мати 7 принципових випадкiв побудови
розкладу матрицi A в суму ортопроекторiв.
Випадок 1. При s = q = 0 теорема 2 безпосередньо випливає з леми 2. Справдi, за ле-
мою 2 для матрицi B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an - 1, \{ - a1 - . . . - an - 1\} ) iснують ортопроектори P1,
P2, . . . , Pk, якi в сумi дають B i Pk \bot Enn . Покладемо Qk рiвним Pk + Enn . Тодi Qk —
ортопроектор i
C = P1 + . . .+ Pk - 1 +Qk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an - 1, 1 + \{ - a1 - . . . - an - 1\} ) .
З iншого боку, оскiльки \mathrm{t}\mathrm{r}A є цiлим, то an + \{ a1 + . . .+ an - 1\} \in \BbbZ , тобто \{ an\} = \{ - a1 - . . .
. . . - an - 1\} . Внаслiдок того, що 1+ 1/(k - 3) \leq an < 2, маємо an - 1 = \{ - a1 - . . . - an - 1\} , а
тому C = A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
688 В. I. РАБАНОВИЧ
Нехай далi di = k - ci, i = 1, . . . , q . Звичайно, кожне di задовольняє нерiвностi 1 +
+ 1/(k - 3) \leq di < 2.
Випадок 2. При m = s = 0 матриця D = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (d1, . . . , dq) має цiлий слiд i є сумою k
ортопроекторiв. Наприклад, D = Q1 + . . .+Qk, де кожна матриця Qi є ортопроектором. Але
тодi матриця A, для якої kIq - D = A, теж є сумою k ортопроекторiв вигляду Iq - Q1,
Iq - Q2, . . . , Iq - Qk .
Випадок 3. При m = q = 0 i s > 0, покладаючи \alpha = 0, з огляду на лему 3 i наслiдок 3
приходимо до висновку, що матриця A є сумою k ортопроекторiв.
Випадок 4. При q = 0 i m, s > 0 ми використаємо лему 2 i наслiдок 3. При m = 1 матриця
A1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b1, . . . , bs, a1) є сумою k ортопроекторiв за наслiдком 3 при \alpha = 0. Отже, нехай далi
m > 1. За лемою 2 матриця A2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am - 1, \{ - a1 - a2 - . . . - am - 1\} ) є сумою
k ортопроекторiв, наприклад ортопроекторiв Q1, Q2, . . . , Qk, причому Qk - 1, Qk \bot Emm . За
наслiдком 3 при \alpha = 2 - am + \{ - a1 - a2 - . . . - am - 1\} матриця \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b1, b2, . . . , bs) є сумою
\alpha E11+R1+ . . .+Rk, , де Ri — ортопроектори з Ms(\BbbC ) та Rk - 1E11 = RkE11 = 0s . Вибираючи
ортопроектори Pi рiвними Qi \oplus Ri при i = 1, 2, . . . , k - 2 i
Pk - 1 = Qk - 1 \oplus Rk - 1 + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0m - 1, \phi +((am - \{ - a1 - a2 - . . . - am - 1\} )/2), 0s - 1) ,
Pk = Qk \oplus Rk + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0m - 1, \phi - ((am - \{ - a1 - a2 - . . . - am - 1\} )/2), 0s - 1) ,
отримуємо
\sum k
1
Pi = A.
Випадок 5. При m = 0 i q, s > 0 матриця \^A = kIn - A має всi власнi числа мiж 1+1/(k - 3)
i k - 2, а отже, задовольняє умови випадку 4. Таким чином, \^A є сумою ортопроекторiв,
\^A = P1 + . . .+ Pk, i оскiльки In - Pi — ортопроектор, то i A = (In - P1) + . . .+ (In - Pk) є
сумою k ортопроекторiв.
Випадок 6. Нехай s = 0 i m, q > 0. Щоб коректно використати лему 2 для загального
випадку, нам необхiдно, щоб m \geq 2 i q \geq 2. Тому розглянемо частковi випадки окремо.
6.1) Нехай m = q = 1. Тодi A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a, c) , i оскiльки 1 + 1/(k - 3) \leq a < 2, k - 2 < c \leq
\leq k - 1 - 1/(k - 3), то k - 1 + 1/(k - 3) < a + c = \mathrm{t}\mathrm{r}A < k + 1 - 1/(k - 3). З iншого боку,
\mathrm{t}\mathrm{r}A \in \BbbZ . Звiдси \mathrm{t}\mathrm{r}A = k . За теоремою 1 матриця A є сумою k ортопроекторiв.
6.2) Нехай m = 1 i q > 1. Тодi A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a, c1, c2, . . . , cq). Побудуємо нову матрицю
B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\{ - d1 - d2, . . . , dq - 1\} , d1, d2, . . . , dq). За лемою 2 матриця B є сумою ортопроекторiв
Q1, . . . , Qk, причому Qk - 1E11 = QkE11 = 0q, Qi \in Mq(\BbbC ), i = 1, . . . , k . Покладаючи P =
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, Iq) , визначаємо ортопроектори Pi :
Pi = P - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, Qi) , i = 1, . . . , k - 3.
Введемо параметр \epsilon \in \BbbR , \epsilon = a - 1, якщо a+\{ c1+ . . .+ cq - 1\} > 2 i \epsilon = a — в iнших випадках.
Тепер визначаємо Pk - 2, Pk - 1 i Pk :
Pk - 2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a - \epsilon , Iq) - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, Qk - 2) , Pk - 1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\phi +(\epsilon /2), Iq - 1) - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, Qk - 1) ,
Pk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\phi - (\epsilon /2), Iq - 1) - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, Qk).
За побудовою
k\sum
i=1
Pi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a, 2 - \epsilon + k - 2 - \{ - d1 - d2 - . . . - dq - 1\} , c1, . . . , cq - 1) . (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ 689
Зауважимо, що \mathrm{t}\mathrm{r}A = a+ c1 + . . .+ cq \in \BbbN i a - \epsilon \in \{ 0, 1\} , звiдки
2 - \epsilon + k - 2 - \{ - d1 - d2 - . . . - dq - 1\} = k - \epsilon -
\Biggl\{
-
q - 1\sum
i=1
(k - ci)
\Biggr\}
=
= k - \epsilon -
\Biggl\{
q - 1\sum
i=1
ci
\Biggr\}
= k - \epsilon -
\Biggl(
q - 1\sum
i=1
ci -
\Biggl[
q - 1\sum
i=1
ci
\Biggr] \Biggr)
= cq - Nq,
де Nq \in \BbbZ . З iншого боку, за визначенням \epsilon виконуються нерiвностi
k - 2 \leq k -
\Biggl(
\epsilon +
\Biggl\{
q - 1\sum
i=1
ci
\Biggr\} \Biggr)
< k - 1.
Тому Nq = 0 i дiагональна матриця з (10) буде унiтарно еквiвалентною матрицi A, а отже, A
є сумою k ортопроекторiв.
6.3) Нехай m > 1 i q = 1. Тодi A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am, c). Зауважимо, що матриця
D = kIm+1 - A буде мати одне власне число, менше за 2, i бiльше нiж одне власне число,
що бiльше за k - 2. Тобто D задовольняє умови пп. 6.2. Отже, як D, так i A є сумами k
ортопроекторiв.
6.4) Нехай m > 1 i q > 1. Визначимо два числа:
\epsilon 1 =
\left\{ 1, am \geq 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} ,
0, am < 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} ,
x = am - (\epsilon 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} ),
\epsilon 2 =
\left\{ 0, x+ \{ - d1 - . . . - dq - 1\} < 1,
1, x+ \{ - d1 - . . . - dq - 1\} \geq 1.
За лемою 2 i наслiдком 3 iснують такi ортопроектори Q1, . . . , Qk, що
Q1 + . . .+Qk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am - 1\} , \epsilon 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} ) ,
i такi ортопроектори W1, . . . ,Wk, що
W1 + . . .+Wk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\{ - d1 - . . . - dq - 1\} , d1, . . . , dq - 1) .
При цьому можна вважати, що Qk - 1, Qk \bot Emm, а Wk - 1,Wk \bot E11 . Визначаємо ортопро-
ектори P1, . . . , Pk за формулами Pi = Qi \oplus (Iq - Wi) при i = 1, 2, . . . , k - 3,
Pk - 2 = Qk - 2 \oplus (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\epsilon 2, Iq - 1) - Wk - 2),
Pk - 1 = Qk - 1 \oplus (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, Iq - 1) - Wk - 1) + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0m - 1, \phi +(x/2), 0q - 1) ,
Pk = Qk \oplus (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0, Iq - 1) - Wk) + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0m - 1, \phi - (x/2).0q - 1) .
З отриманих формул маємо
P1 + P2 + . . .+ Pk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am, t, c1, c2, . . . , cq - 1) , (11)
де t = 2 - x + k - 3 + \epsilon 2 - \{ - d1 - . . . - dq - 1\} . Зауважимо, що k - 2 < t \leq k - 1. З iншого
боку, \{ t\} = \{ cq\} . Тому t = cq, а отже, з розкладу (11) випливає, що A також є сумою k
ортопроекторiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
690 В. I. РАБАНОВИЧ
Випадок 7. Нехай s,m, q > 0. Зауважимо, що коли
\sum m
1
ai \in \BbbZ , то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am)
є сумою k ортопроекторiв за випадком 1, а \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b1, b2, . . . , cq) — сумою k ортопроекторiв за
випадком 5. Отже, будемо далi вважати, що
\sum m
i=1
ai /\in \BbbZ . Як i в попередньому пунктi, введемо
двi величини:
\epsilon 1 =
\left\{ 1, am \geq 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} ,
0, am < 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} ,
\alpha =
\left\{ 2 - am + (\epsilon 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} ), m > 1,
3 - a1, m = 1.
Спочатку покажемо, що
\^A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am, b1, . . . , bs - 1, [bs] - \epsilon 2 + \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} )
є сумою k ортопроекторiв при деякому цiлому \epsilon 2 .
При m = 1 вiзьмемо Qi = 0, i = 1, . . . , k - 3, k - 1, k, Qk - 2 = 1, а при m > 1 за
лемою 2 i наслiдком 3 для матрицi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am - 1, \epsilon 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1) iснують
ортопроектори Q1, . . . , Qk такi, що
Q1 +Q2 + . . .+Qk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , am - 1, \epsilon 1 + \{ - a1 - . . . - am - 1\} )
з умовою Qk - 1Emm = QkEmm = 0m . Покладемо
\epsilon 2 =
\left\{ 1, [bs] + \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} > bs,
0, [bs] + \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} \leq bs,
\beta = 2 - \epsilon 2 - \{ bs\} + \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} .
За побудовою \alpha > 1. Використовуючи лему 3, отримуємо ортопроектори R1, . . . , Rk такi, що
\alpha E11 +R1 +R2 + . . .+Rk = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (b1, . . . , bs - 1, [bs] - \epsilon 2 + \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} ) ,
причому Ri\ast Ess = Rj\ast Ess = 0s. Без обмеження загальностi можна вважати, що i\ast , j\ast \not = 1.
Звiдси, визначаючи \^Qi = Qi \oplus Ri, i = 1, . . . , k - 2,
\^Qk - 1 = Qk - 1 \oplus Rk - 1 + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0m - 1, \phi +(1 - \alpha /2), 0s - 1) ,
\^Qk = Qk \oplus Rk + \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (0m - 1, \phi - (1 - \alpha /2), 0s - 1) ,
отримуємо \^Q1 + \^Q2 + . . .+ \^Qk = \^A. Покладемо
\epsilon 3 =
\left\{ 1, k - 2 + \beta - \{ - d1 - . . . - dq - 1\} \geq k - 1,
0, k - 2 + \beta - \{ - d1 - . . . - dq - 1\} < k - 1.
Тепер, як i у випадку 6, при q > 1 для матрицi D = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\epsilon 3 + \{ - d1 - . . . - dq - 1\} , d1, . . . , dq - 1)
знаходимо розклад у суму ортопроекторiв D = W1 + . . .+Wk, причому внаслiдок довiльностi
початкової нумерацiї Wi можна вважати, що Wi\ast E11 = 0q i Wj\ast E11 = 0q . При q = 1 будемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ 691
вважати, що W1 = \epsilon 3, а всi iншi Wi є нульовими. Залишилося визначити ортопроектори, сума
яких унiтарно еквiвалентна матрицi A. Нехай, за визначенням, Pi = \^Qi \oplus (Iq - Wi), i \not = i\ast ,
i \not = j\ast ,
Pi\ast = \^Qi\ast \oplus ( - Wi\ast ) + 0m+s - 1 \oplus \phi +
\bigl(
(\{ bs\} + \epsilon 2 - \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} )/2
\bigr)
\oplus Iq - 1,
Pj\ast = \^Qj\ast \oplus ( - Wj\ast ) + 0m+s - 1 \oplus \phi -
\bigl(
(\{ bs\} + \epsilon 2 - \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} )/2
\bigr)
\oplus Iq - 1.
Тодi
k\sum
i=1
Pi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, . . . , am, b1, . . . , bs, t, c1, . . . , cq - 1) , (12)
де t = 2 - \{ bs\} - \epsilon 2 - \epsilon 3 + \{ \alpha - b1 - . . . - bs - 1\} + k - 2 - \{ - d1 - . . . - dq - 1\} . За формулами
для \alpha , \beta , \epsilon 2 i \epsilon 3 маємо k - 2 \leq t < k - 1. З iншого боку, \{ t\} = \{ cq\} , оскiльки матриця в (12)
має цiлий слiд, що разом iз попередньою нерiвнiстю дає t = cq . Таким чином, побудована сума
ортопроекторiв унiтарно еквiвалентна A, а отже, A також є сумою k ортопроекторiв.
Теорему 2 доведено.
2. Приклади сум ортопроекторiв i залежнiсть мiж їхнiми власними числами. Як дове-
дено в [15] (твердження 3.3) довiльну (n\times n)-матрицю зi слiдом n+m, яка є прямою сумою m
матриць iз простим спектром (розмiру не меншого за 2), можна розкласти в суму трьох iдем-
потентiв. Кожна матриця з простим спектром є прямою сумою матриць iз простим спектром.
Звiдси, як наслiдок, маємо таке твердження.
Твердження 1. Нехай A є (n \times n)-матрицею з цiлим слiдом i простим спектром над \BbbC .
Якщо n+ 1 \leq \mathrm{t}\mathrm{r}A \leq 3n/2, то A є сумою трьох iдемпотентних матриць.
Аналогiчне твердження не є справедливим для сум ортопроекторiв, навiть якщо припустити
додатновизначенiсть i обмеженiсть матрицi. Є проста оцiнка для необхiдного числа ортопро-
екторiв у розкладi (1). Для ермiтової матрицi введемо двi величини — числовi характеристики
кiлькостi її власних значень: NV (A) — кiлькiсть власних значень матрицi A, якi не меншi за
одиницю, i Nv(A) — кiлькiсть власних значень матрицi A, якi не перевищують одиницi.
Теорема 3. Нехай ненульова матриця A задовольняє розклад A = P1 + P2 + . . . + Pk, де
Pi, i = 1, . . . , k, — ортопроектор. Тодi виконується нерiвнiсть Nv(A)/NV (A) \leq k - 1.
Доведення. Без обмеження загальностi можна вважати, що \mathrm{t}\mathrm{r}P1 \geq \mathrm{t}\mathrm{r}P2 \geq . . . \geq \mathrm{t}\mathrm{r}Pk .
Нехай (\lambda 1, \lambda 2, . . . , \lambda m, 0, . . . , 0) — матрицi P1 + P2 з урахуванням кратностi. Розглянемо число
1 < \lambda i < 2. За твердженням 1 число \lambda i належить \sigma (P1 + P2) тодi i тiльки тодi, коли 2 - \lambda i \in
\in \sigma (P1 + P2). Отже, кiлькiсть власних значень P1 + P2, що бiльшi за одиницю, збiгається з
кiлькiстю власних значень P1 + P2, що меншi за одиницю. Крiм того, власне значення \lambda = 1
вважають як функцiєю Nv, так i функцiєю NV . Залишилось власне значення \lambda = 2, наявнiсть
якого збiльшує лише значення NV . Тому NV (P1 + P2) \geq Nv(P1 + P2). Зазначимо, що P1 —
невiд’ємна матриця i має власне значення 1 кратностi \mathrm{t}\mathrm{r}P1 . Тому внаслiдок монотонностi i
матриця P1 + P2, для якої P1 + P2 \geq P1, має як мiнiмум \mathrm{t}\mathrm{r}P1 власних значень, не менших за
1, якщо рахувати й їхнi кратностi. Таким чином, NV (P1 + P2) \geq \mathrm{t}\mathrm{r}P1 .
Тепер ми використаємо теорему Вейля про одновимiрне збурення ермiтової матрицi [13].
Нагадаємо, що власнi числа b1 \geq . . . \geq bn ермiтової матрицi B та власнi числа c1 \geq . . . \geq cn
матрицi C = B+P, де P — ортопроектор рангу один, перемежовуються, тобто c1 \geq b1 \geq c2 \geq
\geq b2 \geq c3 \geq . . . \geq bn - 1 \geq cn \geq b1 . Це означає, що при одновимiрному збуреннi значення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
692 В. I. РАБАНОВИЧ
функцiї NV (P1 + P2) не зменшиться, а значення функцiї Nv(P1 + P2) може збiльшитися як
максимум на одиницю, оскiльки лише одне нульове власне значення може перетворитися на
ненульове. Матриця A є послiдовним збуренням матрицi P1+P2 одноранговими ортопроекто-
рами. Кiлькiсть однорангових збурень дорiвнює \mathrm{t}\mathrm{r}P3 + \mathrm{t}\mathrm{r}P4 + . . . + \mathrm{t}\mathrm{r}Pk . Звiдси отримуємо
нерiвностi
Nv(P1 + P2 + . . .+ Pk) \leq Nv(P1 + P2) + \mathrm{t}\mathrm{r}P3 + \mathrm{t}\mathrm{r}P4 + . . .+ \mathrm{t}\mathrm{r}Pk \leq
\leq NV (P1 + P2) + \mathrm{t}\mathrm{r}P3 + \mathrm{t}\mathrm{r}P4 + . . .+ \mathrm{t}\mathrm{r}Pk. (13)
Враховуючи нерiвностi NV (P1+P2+ . . .+Pk) \geq NV (P1+P2) \geq \mathrm{t}\mathrm{r}P1, дiлимо (13) на NV (A)
й отримуємо
Nv(A)
NV (A)
\leq 1 +
\mathrm{t}\mathrm{r}P3 + \mathrm{t}\mathrm{r}P4 + . . .+ \mathrm{t}\mathrm{r}Pk
\mathrm{t}\mathrm{r}P1
\leq k - 1.
Теорему 3 доведено.
Розглянемо рiзнi приклади застосування цiєї теореми.
Приклад 1. Нехай a1, . . . , an попарно рiзнi, 0 < ai < 1, i = 1, . . . , n - 1, 1 < an < 2,
a1+ . . .+an = n+1. Матриця A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an) має слiд n+1, її спектр простий i при
n > k нерiвнiсть з теореми 3 не виконується. Отже, A є сумою не менш нiж n ортопроекторiв.
Як показує наступний приклад, умови теореми 3 не є достатнiми.
Приклад 2. Матриця (1+1/(k - 1))Ik - 1 не є сумою менш нiж k ортопроекторiв (див. [10]).
Але й матрицi з простим спектром, що задовольняють нерiвнiсть щодо кiлькостi власних зна-
чень з теореми 3, можуть не бути сумою k ортопроекторiв.
Приклад 3. Нехай a1, . . . , an попарно рiзнi, \epsilon > 0, 1 < ai < 1 + \epsilon , i = 1, . . . , n, a1 + . . .
. . . + an = n +m. Матриця A = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (a1, a2, . . . , an) має слiд n +m, її спектр простий i при
(k - 1)\epsilon < 1 не є сумою k ортопроекторiв.
Твердження з прикладу 3 базується на лемi 2 з [14], яка постулює таку властивiсть сум
ортопроекторiв: при малих \epsilon з того, що сума проекторiв P1+. . .+Pk менша за (1+\epsilon )I, випливає,
що сума P1+ . . .+Pk не менша за (1 - (k - 1)\epsilon )P\scrH , де P\scrH — ортопроектор на замикання суми
пiдпросторiв \mathrm{I}\mathrm{m}P1 + . . .+ \mathrm{I}\mathrm{m}Pk . Тому при k - 1 < 1/\epsilon така сума з k ортопроекторiв повинна
мати власне значення в iнтервалi (0, 1). А в матрицi A всi власнi значення бiльшi за одиницю.
Зауважимо, що в прикладi 3 можна взяти всi ai не меншими за 1 + 1/(k - 3). Тодi з
теореми 2 випливає, що A є сумою k ортопроекторiв. З iншого боку, як показує приклад 3,
при \epsilon < 1/(k - 4) матриця A не є сумою k - 3 ортопроекторiв. Якою буде найменша кiлькiсть
ортопроекторiв — число k - 2, k - 1 або k, в суму яких можна розкласти A, вже залежить вiд
конкретних значень ai .
Автор вдячний В. Л. Островському i Ю. С. Самойленку за кориснi зауваження i поради при
обговореннi цiєї тематики.
Лiтература
1. P. G. Casazza, G. Kutyniok, Finite frames theory and applications, Appl. and Numer. Harmon. Anal., Birkhäuser,
New York (2013), p. 437 – 478.
2. R. Calderbank, P. G. Casazza, A. Heinecke, G. Kutyniok, A. Pezeshki, Sparse fusion frames: existence and constructi-
on, Adv. Comput. Math., 35, 1 – 31 (2011).
3. P. G. Casazza, M. Fickus, D. G. Mixon, Y. Wang, Z. Zhou, Constructing tight fusion frames, Appl. Comput. Harmon.
Anal., 30, 175 – 187 (2011).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
ЗОБРАЖЕННЯ ЕРМIТОВОЇ МАТРИЦI СУМОЮ ФIКСОВАНОГО ЧИСЛА ОРТОПРОЕКТОРIВ 693
4. J. Leng, D. Han, Orthogonal projection decomposition of matrices and construction of fusion frames, Adv. Comput.
Math., 38, № 2, 369 – 381 (2013).
5. P. E. Björstad, J. Mandel, On the spectra of sums of orthogonal projections with applications to parallel computing,
BIT Numer. Math., 31, № 1, 76 – 88 (1991).
6. K. Nishio, The structure of real linear combination of two projections, Linear Algebra and Appl., 66, 169 – 176
(1985).
7. В. Л. Островський, Д. Ю. Якименко, Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв, Зб.
праць Iн-ту математики НАН України, 12, № 1, 154 – 165 (2015).
8. A. Böttcher, I. M. Spitkovsky, A gentle guide to the basics of two projections theory, Linear Algebra and Appl., 432,
1412 – 1459 (2010).
9. P. A. Fillmore, On sums of projections, J. Funct. Anal., 4, 146 – 152 (1969).
10. S. A. Kruglyak, V. I. Rabanovich, Yu. S. Samoı̌lenko, Decomposition of a scalar matrix into a sum of orthogonal
projections, Linear Algebra and Appl., 370, 217 – 225 (2003).
11. W. Fulton, Eigenvalues, invariant factors, highest weights, and Schubert calculus, Bull. Amer. Math. Soc., 37, № 3,
209 – 249 (2000).
12. W. Fulton, Eigenvalues of majorized Hermitian matrices and Littlewood – Richardson coefficients, Linear Algebra
and Appl., 319, 23 – 36 (2000).
13. R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2013).
14. S. A. Kruglyak, V. I. Rabanovich, Yu. S. Samoı̌lenko, On sums of projections, Funct. Anal. and Appl., 36, № 3,
182 – 195 (2002).
15. J.-H. Wang, The length problem for a sums of idempotents, Linear Algebra and Appl., 215, 135 – 159 (1995).
16. P. Y. Wu, Additive combinations of special operators, Funct. Anal. and Oper. Theory, Banach Center Publ., Warszawa,
30, 337 – 361 (1994).
Одержано 18.02.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2378 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:31Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/65/197856d7866101c7a9df79e6a3ffb265.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23782022-03-26T11:01:43Z Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections Зображення ермітової матриці сумою фіксованого числа ортопроекторів Зображення ермітової матриці сумою фіксованого числа ортопроекторів Rabanovich, V. I. Рабанович, В. І. Рабанович, В. І. Ортопроектор Ермітова матриця Нерівності Хорна Фрейм УДК 512.643 УДК 517.98 Orthoprojection Hermitian matrix Horn inequlities Frame. We prove that any Hermitian matrix, whose trace is integer and all eigenvalues lie in $[1+1/(k-3),k-1-1/(k-3)],$ is a sum of $k$ orthoprojections. For sums of $k$ orthoprojections, it is shown that the ratio of the number of eigenvalues not exceeding 1 to the number of eigenvalues not less than 1, taking into account the multiplicity, is not greater than $k-1$. Examples of Hermitian matrices that satisfy the ratio for eigenvalues and, at the same time, can not be decomposed into a sum of $k$ orthoprojections are also suggested. Доказано, что эрмитовая матрица с целым следом и собственными значениями между $1+1/(k-3)$ и $k-1-1/(k-3)$ есть суммою $k$ ортопроекторов. Показано, что у суммы $k$ ортопроекторов отношение колличества собственных значений с учетом кратности менших либо равных единицы к колличеству собственных значений большых либо равных единице не превосходит $k-1$. Приведены примеры эрмитовых матриц, которые удолетворяют указанному отношению на колличество собственных значений, но при этом не являющиеся суммою $k$ ортопроекторов. УДК 512.643, 517.98 Доведено, що ермітова матриця з цілим слідом і власними значеннями між $1+1/(k-3)$ і $k-1-1/(k-3)$ є сумою $k$ ортопроекторів. Показано, що у суми $k$ ортопроекторів відношення кількості власних значень, що менші або дорівнюють одиниці, з урахуванням кратності до кількості власних значень, які більші або дорівнюють одиниці, не перевищує $k-1$. Наведено приклади ермітових матриць, які задовольняють вказане співвідношення щодо кількості власних значень, але не є сумою $k$ ортопроекторів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-04-29 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2378 10.37863/umzh.v72i5.2378 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 5 (2020); 679–693 Український математичний журнал; Том 72 № 5 (2020); 679–693 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2378/8696 Copyright (c) 2020 Viacheslav Rabanovich |
| spellingShingle | Rabanovich, V. I. Рабанович, В. І. Рабанович, В. І. Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections |
| title | Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections |
| title_alt | Зображення ермітової матриці сумою фіксованого числа ортопроекторів Зображення ермітової матриці сумою фіксованого числа ортопроекторів |
| title_full | Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections |
| title_fullStr | Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections |
| title_full_unstemmed | Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections |
| title_short | Decomposition of a Hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections |
| title_sort | decomposition of a hermitian matrix into a sum of a fixed number of orthoprojections |
| topic_facet | Ортопроектор Ермітова матриця Нерівності Хорна Фрейм УДК 512.643 УДК 517.98 Orthoprojection Hermitian matrix Horn inequlities Frame. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2378 |
| work_keys_str_mv | AT rabanovichvi decompositionofahermitianmatrixintoasumofafixednumberoforthoprojections AT rabanovičví decompositionofahermitianmatrixintoasumofafixednumberoforthoprojections AT rabanovičví decompositionofahermitianmatrixintoasumofafixednumberoforthoprojections AT rabanovichvi zobražennâermítovoímatricísumoûfíksovanogočislaortoproektorív AT rabanovičví zobražennâermítovoímatricísumoûfíksovanogočislaortoproektorív AT rabanovičví zobražennâermítovoímatricísumoûfíksovanogočislaortoproektorív |