Derivations and identities for the Chebyshev polynomials
UDC 519.114; 512.622We introduce the notion of Chebyshev derivations of the first and second kinds based on the polynomial algebra andcorresponding specific differential operators, derive the elements of their kernels, and prove that any element of the kernelof the derivations defines a polynomial i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2380 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508270876164096 |
|---|---|
| author | Bedratyuk , L. P. Lunio, N. B. Бедратюк, Л. П. Луньо, Н. Б. |
| author_facet | Bedratyuk , L. P. Lunio, N. B. Бедратюк, Л. П. Луньо, Н. Б. |
| author_sort | Bedratyuk , L. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:47:35Z |
| description | UDC 519.114; 512.622We introduce the notion of Chebyshev derivations of the first and second kinds based on the polynomial algebra andcorresponding specific differential operators, derive the elements of their kernels, and prove that any element of the kernelof the derivations defines a polynomial identity for Chebyshev polynomials of both kinds. We obtain several polynomialidentities involving the Chebyshev polynomials of both kinds, a partial case of the Jacobi polynomials, and the generalizedhypergeometric function. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i8.2380 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i8.2380
УДК 519.114; 512.622
Л. П. Бедратюк (Хмельниц. нац. ун-т),
Н. Б. Луньо (Донец. нац. ун-т iм. В. Стуса, Вiнниця)
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ ЧЕБИШОВА
We introduce the notion of Chebyshev derivations of the first and second kinds based on the polynomial algebra and
corresponding specific differential operators, derive the elements of their kernels, and prove that any element of the kernel
of the derivations defines a polynomial identity for Chebyshev polynomials of both kinds. We obtain several polynomial
identities involving the Chebyshev polynomials of both kinds, a partial case of the Jacobi polynomials, and the generalized
hypergeometric function.
Введено поняття диференцiювань Чебишова першого та другого роду, знайдено елементи ядер обох диференцiювань
i доведено, що довiльний елемент ядра кожного з диференцiювань визначає деяку полiномiальну тотожнiсть для
многочленiв Чебишова першого та другого роду. Отримано набiр тотожностей для многочленiв Чебишова обох
родiв, часткового випадку многочленiв Якобi та узагальненої гiпергеометричної функцiї.
1. Вступ. Многочлени Чебишова першого Tn(x) i другого Un(x) роду визначаються за допо-
могою звичайної породжуючої функцiї таким чином:
\scrG (Tn(x), t) =
1 - xt
1 - 2xt+ t2
=
\infty \sum
n=0
Tn(x)t
n,
\scrG (Un(x), t) =
1
1 - 2xt+ t2
=
\infty \sum
n=0
Un(x)t
n.
Похiднi обох сiмей многочленiв визначаються через самi многочлени за формулою (див.
[1, 9])
d
dx
Tn(x) = n
\Biggl(
n - 1\sum
k=1
\Bigl(
1 - ( - 1)k
\Bigr)
Tn - k(x) +
1 - ( - 1)n
2
T0(x)
\Biggr)
,
d
dx
Un(x) =
n\sum
k=1
\Bigl(
1 - ( - 1)n - k
\Bigr)
(n - k + 1)Un - k(x) =
[n2 ]\sum
k=0
(n - 2k)Un - 2k - 1(x).
Метою даної роботи є пошук полiномiальних тотожностей для вказаних сiмей многочленiв,
тобто тотожностей вигляду
P (T0(x), T1(x), . . . , Tn(x)) = 0 або P (U0(x), U1(x), . . . , Un(x)) = 0,
де P (x0, x1, . . . , xn) — многочлен вiд (n+ 1)-ї змiнної.
c\bigcirc Л. П. БЕДРАТЮК, Н. Б. ЛУНЬО, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8 1011
1012 Л. П. БЕДРАТЮК, Н. Б. ЛУНЬО
Будемо застосовувати пiдхiд, запропонований першим iз авторiв у роботi [3]. Вказаний
метод пошуку полiномiальних тотожностей базується на простому спостереженнi: якщо має
мiсце рiвнiсть
d
dx
P (T0(x), T1(x), . . . , Tn(x)) = 0,
то многочлен P (T0(x), T1(x), . . . , Tn(x)) є константою. Iншими словами, многочлен P (T0(x),
T1(x), . . . , Tn(x)) визначає тотожнiсть для многочленiв Чебишова першого роду.
Запишемо похiдну многочленiв Чебишова першого роду у виглядi
d
dx
P (T0(x), T1(x), . . . , Tn(x)) =
=
\partial
\partial x0
P (x0, x1, . . . , xn)
\bigm| \bigm| \bigm|
\{ xi=Ti(x)\}
d
dx
T0(x) + . . .+
\partial
\partial xn
P (x0, x1, . . . , xn)
\bigm| \bigm| \bigm|
\{ xi=Ti(x)\}
d
dx
Tn(x).
Тодi
d
dx
P (T0(x), T1(x), . . . , Tn(x)) =
=
\biggl(
\partial
\partial x0
P (x0, x1, . . . , xn)\scrD \scrT (x0) + . . .+
\partial
\partial xn
T (x0, x1, . . . , xn)\scrD \scrT (xn)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\{ xi=Ti(x)\}
=
= \scrD \scrT (P (x0, x1, . . . , xn))
\bigm| \bigm| \bigm|
\{ xi=Ti(x)\}
,
де диференцiальний оператор \scrD \scrT визначається за формулою
\scrD \scrT = n
\Biggl(
n - 1\sum
k=1
\Bigl(
1 - ( - 1)k
\Bigr)
xn - k +
1 - ( - 1)n
2
x0
\Biggr)
.
Зрозумiло, що якщо \scrD \scrT (P (x0, x1, . . . , xn)) = 0, то похiдна
d
dx
P (T0(x), T1(x), . . . , Tn(x)) є
сталою.
Таким чином, будь-який нетривiальний многочлен P (x0, x1, . . . , xn), який належить до ядра
диференцiювання \scrD \scrT , визначає полiномiальну тотожнiсть для многочленiв Чебишова першого
роду.
Аналогiчна конструкцiя має мiсце для многочленiв Чебишова другого роду. Введемо дифе-
ренцiальний оператор
\scrD \scrU (xn) =
n - 1\sum
k=1
\Bigl(
1 + ( - 1)n - k+1
\Bigr)
(k + 1)Uk(x).
Тодi умова
\scrD \scrU
\bigl(
P (x0, x1, . . . , xn)
\bigr)
= 0
визначає полiномiальну тотожнiсть для многочленiв другого роду.
В данiй роботi, застосовуючи вказаний пiдхiд, ми вводимо поняття диференцiювань Че-
бишова першого та другого роду. Для кожного iз вказаних диференцiювань отримано опис
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ ЧЕБИШОВА 1013
елементiв ядра, крiм того, знайдено набiр полiномiальних тотожностей для многочленiв Чеби-
шова обох родiв вигляду
Tn(x) +
n\sum
k=1
( - 2)kn
k!
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
Tn - k - 2i(x)T1(x)
k -
- (1 + ( - 1)n - k)
1
4
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) T1(x)
k
\right) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
Un(x) +
n\sum
k=1
( - 1)k
k!
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - 2i - k + 1)(n - i)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
Un - k - 2i(x)U1(x)
k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
.
2. Диференцiювання Чебишова. Нехай \BbbC [x0, x1, x2, . . . , xn] — алгебра многочленiв вiд
(n + 1)-ї змiнної x0, x1, x2, . . . , xn над полем \BbbC . Нагадаємо, що диференцiюванням алгебри
многочленiв \BbbC [x0, x1, x2, . . . , xn] називається лiнiйне вiдображення D, яке задовольняє правило
Лейбнiца:
D(fg) = D(f)g + fD(g) для всiх f, g \in \BbbC [x0, x1, x2, . . . , xn].
За допомогою правила диференцiювання частки будь-яке диференцiювання можна розширити
до поля дробiв \BbbC (x0, x1, x2, . . . , xn).
Диференцiювання D називається локально нiльпотентним (див. [7]), якщо для кожного
f \in \BbbC [x0, x1, x2, . . . , xn] iснує таке n \in \BbbN , що Dn+1(f) = 0, але Dn(f) \not = 0. Довiльне ди-
ференцiювання D повнiстю визначається елементами D(xi). Диференцiювання D називається
лiнiйним, якщо D(xi) є лiнiйною формою. Лiнiйне локально нiльпотентне диференцiювання на-
зивається диференцiюванням Вейтценбека. Диференцiювання D називається триангульованим,
якщо D(xi) \in \BbbC [x0, . . . , xi - 1] для довiльного i \leq n. Будь-яке триангульоване диференцiювання
є локально нiльпотентним.
Пiдалгебра
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D :=
\bigl\{
f \in \BbbC [x0, x1, x2, . . . , xn] | D(f) = 0
\bigr\}
алгебри многочленiв називається ядром диференцiювання D.
Вiдомо [8], що для довiльного локального диференцiювання D iснують многочлени h такi,
що D(h) \not = 0, але D2(h) = 0, тодi
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D = \BbbC
\bigl[
\sigma (x0), \sigma (x1), . . . , \sigma (xn)
\bigr] \bigl[
D(h) - 1
\bigr]
\cap \BbbC [x0, x1, . . . , xn]
i елемент
\sigma D(xn) =
\infty \sum
k=0
Dk(xn)
\lambda k
k!
, де \lambda = - h
D(h)
, D(\lambda ) = - 1, (3)
належить ядру диференцiювання \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D.
Означення 1. Елементи xn - 1
0 \sigma (xn), якi належать ядру \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\scrD \scrT , будемо називати елемен-
тами Келi локально нiльпотентного диференцiювання Чебишова першого роду \scrD \scrT .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1014 Л. П. БЕДРАТЮК, Н. Б. ЛУНЬО
Означення 2. Диференцiювання алгебри многочленiв \BbbC [x0, x1, x2, . . . , xn], якi визначають-
ся за формулами
D\scrT (x0) = 0, D\scrT (xn) = n
\Biggl(
n - 1\sum
k=1
\Bigl(
1 - ( - 1)k
\Bigr)
xn - k +
1 - ( - 1)n
2
x0
\Biggr)
,
D\scrU (x0) = 0, D\scrU (xn) =
n - 1\sum
k=0
\Bigl(
1 + ( - 1)n - k+1
\Bigr)
(k + 1)xk,
будемо називати диференцiюваннями Чебишова першого та другого роду вiдповiдно.
Наведемо кiлька перших значень обох диференцiювань Чебишова:
D\scrT (x0) = 0, D\scrU (x0) = 0,
D\scrT (x1) = x0, D\scrU (x1) = 2x0,
D\scrT (x2) = 4x1, D\scrU (x2) = 4x1,
D\scrT (x3) = 6x2 + 3x0, D\scrU (x3) = 2(3x2 + x0),
D\scrT (x4) = 8x3 + 8x1, D\scrU (x4) = 2(4x3 + 2x1),
D\scrT (x5) = 10x4 + 10x2 + 5x0, D\scrU (x5) = 2(5x4 + 3x2 + x0),
D\scrT (x6) = 12x5 + 12x3 + 12x1, D\scrU (x6) = 2(6x5 + 4x3 + 2x1),
D\scrT (x7) = 14x6 + 14x4 + 14x2 + 7x0, D\scrU (x7) = 2(7x6 + 5x4 + 3x2 + x0),
D\scrT (x8) = 16x7 + 16x5 + 16x3 + 16x1, D\scrU (x8) = 2(8x7 + 6x5 + 4x3 + 2x1).
Зрозумiло, що данi диференцiювання є триангульованими, а отже, локально нiльпотентними.
3. Ядро диференцiювання Чебишова першого роду. В роботi [4] доведено, що k-та по-
хiдна многочленiв Чебишова першого роду виражається через многочлени Чебишова першого
роду таким чином:
Dk
\scrT (xn) = 2k
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
xn - k - 2i -
- [[n - k even]]2k - 1
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1\biggl( n+k
2 - 1
k - 1
\biggr)
x0,
де через xn = x(x - 1) . . . (x - n + 1) позначено спадний факторiал, а через [[P ]] — символ
Айверсона, що дорiвнює 1, якщо P iстинне, i 0 — у протилежному випадку.
Пiсля вилучення символу Айверсона та спадного факторiала з останньої рiвностi отримаємо
Dk
\scrT (xn) = 2k
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
xn - k - 2i -
- 1
2
(1 + ( - 1)n - k)2k - 1n
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1\biggl( n - k
2
\biggr)
!
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) x0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ ЧЕБИШОВА 1015
Оскiльки D\scrT
\biggl(
- x1
x0
\biggr)
= - 1, покладемо \lambda = - x1
x0
. Знайдемо вiдображення Дiксм’є даного
диференцiювання:
\sigma (xn) =
n\sum
k=0
Dk
\scrT (xn)
\lambda k
k!
=
= xn +
\left[ n\sum
k=1
\lambda k
k!
2k
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
xn - k - 2i -
- 1
2
(1 + ( - 1)n - k)2k - 1n
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) x0
\right] .
Замiнивши \lambda на - x1
x0
, пiсля спрощення отримаємо
xn - 1
0 \sigma (xn) = xnx
n - 1
0 +
n\sum
k=1
( - 2)kn
k!
\left[ [
n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
xn - k - 2ix
k
1x
n - 1 - k
0 -
- n
(1 + ( - 1)n - k)
4
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) xk1x
n - k
0
\right] .
Таким чином, ми довели таку теорему.
Теорема 1. Ядро диференцiювання Чебишова першого роду D\scrT породжується такими
елементами Келi:
C\scrT (x0, x1, . . . , xn) =
= xnx
n - 1
0 +
n\sum
k=1
( - 2)kn
k!
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
xn - k - 2ix
k
1x
n - 1 - k
0 -
- (1 + ( - 1)n - k)
1
4
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) xk1x
n - k
0
\right) .
Наведемо кiлька перших елементiв Келi диференцiювання Чебишова першого роду:
C\scrT (x0, x1, x2) = - 2x1
2 + x2x0,
C\scrT (x0, x1, x2, x3) = 8x1
3 - 6x1x2x0 - 3x0
2x1 + x3x0
2,
C\scrT (x0, x1, x2, x3, x4) = - 24x1
4 + 24x1
2x2x0 + 8x0
2x1
2 - 8x1x3x0
2 + x4x0
3,
C\scrT (x0, x1, x2, x3, x4, x5) = 64x1
5 - 80x1
3x2x0 + 40x1
2x3x0
2 -
- 10x1x4x0
3 - 10x0
3x1x2 - 5x0
4x1 + x5x0
4.
Повертаючись до многочленiв Чебишова першого роду, отримуємо таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1016 Л. П. БЕДРАТЮК, Н. Б. ЛУНЬО
Теорема 2. Для довiльного n \in \BbbN мають мiсце такi тотожностi:
(i) Tn(x) + n
n\sum
k=1
( - 2T1(x))
k
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
1
n - i
\biggl(
n - i
k
\biggr) \biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
Tn - k - 2i(x)
\right) =
= n
n\sum
k=1
\left( (1 + ( - 1)n - k)
1
4
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) T1(x)
k
\right) + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
(ii)
n\sum
k=0
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
( - 2)n - (k+2i) 1
n - i
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
T1(x)
n - (k+2i)
\right) Tk(x) =
=
n\sum
k=0
(1 + ( - 1)n - k)
k( - 2)k
(n+ k)2
\left( n+ k
2
k
\right) 2
T1(x)
k +
1
n
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
(iii) P
( - 1
2
, - 1
2)
n (x) +
n\sum
k=1
( - x)k(n+ k - 1)!
k!2k(n - 1)!
P
(k - 1
2
,k - 1
2)
n - k (x) =
\biggl(
1
2
\biggr)
n
1
n!
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
де P
(\alpha ,\beta )
n (x) є многочленами Якобi такими, що \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P
(\alpha ,\beta )
n (x) = n.
Доведення. (i) За теоремою 1 маємо
Tn(x) +
n\sum
k=1
( - 2)kn
k!
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
Tn - k - 2i(x)T1(x)
k -
- (1 + ( - 1)n - k)
1
4
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) T1(x)
k
\right) = t,
де t — деяка стала.
Оскiльки лiва частина останньої тотожностi не залежить вiд x, для того, щоб знайти невi-
дому сталу t, покладемо x = 0. Тодi
Tn(0) +
n\sum
k=1
( - 2)kn
k!
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
Tn - k - 2i(0)T1(0)
k -
- (1 + ( - 1)n - k)
1
4
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) T1(0)
k
\right) = t.
Враховуючи, що T1(x) = x, маємо T1(0) = 0, звiдки t = Tn(0). Використовуючи формулу
явного вигляду многочленiв Чебишова першого роду
Tn(x) =
n
2\sum
k=0
\biggl(
n
2k
\biggr)
(x2 - 1)kxn - 2k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ ЧЕБИШОВА 1017
переконуємося, що Tn(0) = 0 для непарних n i Tn(0) = ( - 1)
n
2 для парних n. Поєднуючи
обидва випадки, отримуємо
t = Tn(0) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
.
(ii) Використовуючи властивостi дробових бiномiальних коефiцiєнтiв та їхнiй зв’язок iз
спадним факторiалом, одержуємо
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) =
\Gamma
\biggl(
n+ k
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
n - k
2
+ 1
\biggr)
(k - 1)!
=
\Gamma
\biggl(
n+ k
2
\biggr) \biggl(
n+ k
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
n - k
2
+ 1
\biggr)
(k - 1)!k
k
n+ k
2
=
=
\Gamma
\biggl(
n+ k
2
+ 1
\biggr)
\Gamma
\biggl(
n - k
2
+ 1
\biggr)
k!
k
n+ k
2
=
2k
n+ k
\left( n+ k
2
k
\right) ,
\biggl(
n+ k
2
- 1
\biggr) k - 1
= (k - 1)!
\left( n+ k
2
- 1
k - 1
\right) =
2k!
n+ k
\left( n+ k
2
k
\right) .
За формулою замiни iндексiв у кратних рядах [10]
n\sum
k=0
[n - k
2 ]\sum
i=0
ak,ixn - k - 2i =
n\sum
k=0
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
an - (k+2i),i
\right) xk,
враховуючи симетричнiсть бiномiальних коефiцiєнтiв, тотожнiсть (i) перетворюємо таким чи-
ном:
n\sum
k=0
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
( - 2)n - (k+2i) 1
n - i
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
T1(x)
n - (k+2i)
\right) Tk(x) -
-
n\sum
k=0
(1 + ( - 1)n - k)
k( - 2)k
(n+ k)2
\left( n+ k
2
k
\right) 2
T1(x)
k =
1
n
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
.
(iii) Використовуючи формулу k-ї похiдної многочленiв Якобi [5]
dk
dzk
P (\alpha ,\beta )
n (z) =
\Gamma (\alpha + \beta + n+ 1 + k)
2k\Gamma (\alpha + \beta + n+ 1)
P
(\alpha +k,\beta +k)
n - k (z),
i той факт, що многочлени Чебишова першого роду є частковим випадком многочленiв Якобi
P
(\alpha ,\beta )
n при \alpha = \beta = - 1/2,
Tn(x) =
P
( - 1
2
, - 1
2)
n (x)
P
( - 1
2
, - 1
2)
n (1)
= n!
P
( - 1
2
, - 1
2)
n (x)\biggl(
1
2
\biggr)
n
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1018 Л. П. БЕДРАТЮК, Н. Б. ЛУНЬО
отримуємо вираз k-ї похiдної многочленiв Чебишова першого роду через многочлени Якобi:
dk
dxk
Tn(x) =
n!\biggl(
1
2
\biggr)
n
(n+ k - 1)!
2k(n - 1)!
P
(k - 1
2
,k - 1
2)
n - k (x).
Беручи до уваги, що T1(x) = x, маємо таку тотожнiсть для часткового випадку многочленiв
Якобi:
P
( - 1
2
, - 1
2)
n (x) +
n\sum
k=1
( - x)k(n+ k - 1)!
k!2k(n - 1)!
P
(k - 1
2
,k - 1
2)
n - k (x) =
\biggl(
1
2
\biggr)
n
1
n!
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
.
Теорему 2 доведено.
Крiм того, тотожнiсть (ii) з попередньої теореми можна записати через узагальнену гiпер-
геометричну функцiю.
Теорема 3. Для многочленiв Чебишова першого роду має мiсце тотожнiсть
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
( - 2x)n - k
4F3
\left[ - n+k
2
,
- n+ k
2
+1,
- n+k
2
+
1
2
,
- n+k
2
+
1
2
- n+1, k+1, - n+1+k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 4
x2
\right] Tk(x) =
= n
n\sum
k=0
(1 + ( - 1)n - k)
k( - 2)k
(n+ k)2
\left( n+ k
2
k
\right) 2
xk + \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
де 4F3 — частковий випадок узагальненої гiпергеометричної функцiї.
Доведення. Позначимо вираз у дужках пiд знаком суми у випадку (ii) теореми 2 через ai,
тодi
ai = ( - 2)n - (k+2i) 1
n - i
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
xn - (k+2i),
a0 =
\biggl(
n
k
\biggr)
n
( - 2x)n - k,
i вiдношення ai+1 до ai пiсля спрощень набере вигляду
ai+1
ai
=
(k + 2 i+ 1 - n)2( - n+ k + 2 i)( - n+ k + 2 i+ 2)
4 ( - n+ i+ 1)(k + i+ 1)( - n+ k + i+ 1)(i+ 1)x2
.
Оскiльки за вказаного вiдношення коефiцiєнтiв степеневий ряд зображується через узагаль-
нену гiпергеометричну функцiю (див. [6]), запишемо вiдповiдне зображення
\infty \sum
i=0
( - 2)n - (k+2i) 1
n - i
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
xn - (k+2i) =
=
\biggl(
n
k
\biggr)
n
( - 2x)n - k
4F3
\left[ - n+k
2
,
- n+ k
2
+1,
- n+k
2
+
1
2
,
- n+k
2
+
1
2
- n+1, k+1, - n+1+k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 4
x2
\right] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ ЧЕБИШОВА 1019
=
[n - k
2 ]\sum
i=0
( - 2)n - (k+2i) 1
n - i
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
xn - (k+2i).
Теорему 3 доведено.
4. Ядро диференцiювання Чебишова другого роду. Формула k-ї похiдної многочленiв
Чебишова другого роду має вигляд (див. [4])
Dk
\scrU (xn) = 2k
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+ 1)xn - k - 2i.
Оскiльки D\scrU
\biggl(
- x1
2x0
\biggr)
= - 1, покладемо \lambda = - x1
2x0
, тодi вiдображення Дiксм’є набере
вигляду
\sigma (xn) =
n\sum
k=0
Dk
\scrU (xn)
\lambda k
k!
= xn +
n\sum
k=1
\lambda k
k!
2k
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+ 1)xn - k - 2i.
Замiнивши \lambda на - x1
2x0
, пiсля спрощення отримаємо
xn - 1
0 \sigma (xn) = xnx
n - 1
0 +
n\sum
k=1
( - 1)k
k!
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1\times
\times
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+ 1)xn - k - 2ix
k
1x
n - 1 - k
0 .
Таким чином, ми довели таку теорему.
Теорема 4. Ядро диференцiювання Чебишова другого роду D\scrT породжується такими
елементами Келi:
C\scrU (x0, x1, . . . , xn) = xnx
n - 1
0 +
+
n\sum
k=1
( - 1)k
k!
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i - 1)k - 1
\biggl(
k + i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+ 1)xn - k - 2ix
k
1x
n - 1 - k
0 .
Наведемо кiлька перших елементiв Келi диференцiювання Чебишова другого роду:
C\scrU (x0, x1, x2) = - x1
2 + x2x0,
C\scrU (x0, x1, x2, x3) = 2x1
3 - 3x1x2x0 - x0
2x1 + x3x0
2,
C\scrU (x0, x1, x2, x3, x4) = - 3x1
4 + 6x1
2x2x0 + x0
2x1
2 - 4x1x3x0
2 + x4x0
3,
C\scrU (x0, x1, x2, x3, x4, x5) = 4x1
5 - 10x1
3x2x0 + 10x1
2x3x0
2 + 2x0
2x1x1
3 -
- 5x1x4x0
3 - 3x0
3x1x2 - x0
4x1 + x0
4x5.
Повертаючись до многочленiв Чебишова другого роду, отримуємо таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1020 Л. П. БЕДРАТЮК, Н. Б. ЛУНЬО
Теорема 5. Для довiльного n \in \BbbN справджуються такi рiвностi:
(i) Un(x) +
n\sum
k=1
( - U1(x))
k
k
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
\biggl(
n - i
k - 1
\biggr) \biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+1)Un - k - 2i(x)
\right) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
(ii)
n\sum
k=0
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
( - 1)n - (k+2i) k + 1
i+ k + 1
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
U1(x)
n - (k+2i)
\right) Uk(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
(iii) (n+ 1)P
( 1
2
, 1
2)
n (x) +
n\sum
k=1
( - x)k(n+ k + 1)!
k!2kn!
P
(k+ 1
2
,k+ 1
2)
n - k (x) =
\left( n+
1
2
n
\right) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
де P
(\alpha ,\beta )
n (x) є многочленами Якобi такими, що \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P
(\alpha ,\beta )
n (x) = n.
Доведення. (i) За теоремою 4 маємо
Un(x) +
n\sum
k=1
( - 1)k
k!
[n - k
2 ]\sum
i=0
(n - i)k - 1
\biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+1)Un - k - 2i(x)U1(x)
k = t
для деякої сталої t.
Невiдому сталу t визначимо, як i у випадку многочленiв Чебишова першого роду:
t = Un(0) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
.
(ii) За властивiстю бiномiальних коефiцiєнтiв\biggl(
n - i
k - 1
\biggr)
=
k
n - k - i+1
\biggl(
n - i
k
\biggr)
отримаємо
Un(x) +
n\sum
k=1
( - 1)k
k
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
\biggl(
n - i
k - 1
\biggr) \biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+1)Un - k - 2i(x)( - U1(x))
k
\right) =
= Un(x) +
n\sum
k=1
( - 1)k
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
1
n - k - i+1
\biggl(
n - i
k
\biggr) \biggl(
k+i - 1
k - 1
\biggr)
(n - k - 2i+1)Un - k - 2i(x)( - U1(x))
k
\right) .
Пiсля змiни порядку пiдсумовування в кратних рядах [10]
n\sum
k=0
[n - k
2 ]\sum
i=0
ak,ixn - k - 2i =
n\sum
k=0
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
an - (k+2i),i
\right) xk,
використовуючи симетрiю бiномiальних коефiцiєнтiв, тотожнiсть (i) записуємо у виглядi
n\sum
k=0
\left( [n - k
2 ]\sum
i=0
( - 1)n - 2i - k(k + 1)
i+ k + 1
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
U1(x)
n - 2i - k
\right) Uk(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ ЧЕБИШОВА 1021
(iii) Оскiльки многочлени Чебишова другого роду є частковим випадком многочленiв Якобi
[2] P (\alpha ,\beta )
n при \alpha = \beta = 1/2,
Un(x) =
P
1
2
, 1
2
n (x)
P
( 1
2
, 1
2)
n (1)
=
(n+ 1)\Biggl(
n+
1
2
n
\Biggr) P
( 1
2
, 1
2)
n (x),
отримаємо вираз для k-ї похiдної многочленiв Чебишова через многочлени Якобi:
dk
dxk
Un(x) =
(n+ k + 1)!
2k(n+ 1)!
(n+ 1)\Biggl(
n+
1
2
n
\Biggr) P
(k+ 1
2
,k+ 1
2)
n - k (x) =
=
(n+ k + 1)!
2kn!
\Biggl(
n+
1
2
n
\Biggr) P
(k+ 1
2
,k+ 1
2)
n - k (x).
Оскiльки U1(x) = 2x, iз останнього виразу одержимо тотожнiсть для часткового випадку
многочленiв Якобi
(n+ 1)P
( 1
2
, 1
2)
n (x) +
n\sum
k=1
( - x)k(n+ k + 1)!
k!2kn!
P
(k+ 1
2
,k+ 1
2)
n - k (x) =
\Biggl(
n+
1
2
n
\Biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
.
Теорему 5 доведено.
Використавши узагальнену гiпергеометричну функцiю в тотожностi (ii), доведемо таку
теорему.
Теорема 6. Для многочленiв Чебишова другого роду має мiсце тотожнiсть
n\sum
k=0
\biggl(
n
k
\biggr)
( - 2x)n - k
4F3
\left[ - n+k
2
,
- n+ k
2
+1,
- n+k
2
+
1
2
,
- n+k
2
+
1
2
- n, k+2, - n+1+k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 4
x2
\right] Uk(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi n
2
,
де 4F3 — узагальнена гiпергеометрична функцiя.
Доведення. Позначимо вираз у дужках пiд знаком суми у випадку (ii) теореми 5 через ai,
тодi, враховуючи, що U1(x) = 2x, маємо
ai =
( - 1)n - 2i - k(k + 1)
i+ k + 1
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
(2x)n - (k+2i),
a0 =
\biggl(
n
k
\biggr)
( - 2x)n - k,
i вiдношення сусiднiх коефiцiєнтiв дорiвнює
ai+1
ai
=
(k + 2 i+ 1 - n)2( - n+ k + 2 i)( - n+ k + 2 i+ 2)
( - n+ i)(k + i+ 2)( - n+ k + i+ 1)(i+ 1)4x2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
1022 Л. П. БЕДРАТЮК, Н. Б. ЛУНЬО
Використовуючи властивостi узагальненої гiпергеометричної функцiї, маємо
\infty \sum
i=0
( - 1)n - 2i - k(k+1)
i+k+1
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
(2x)n - (k+2i) =
=
\biggl(
n
k
\biggr)
( - 2x)n - k
4 F3
\left[ - n+ k
2
,
- n+ k
2
+ 1,
- n+ k
2
+
1
2
,
- n+ k
2
+
1
2
- n, k + 2, - n+ 1 + k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 4
x2
\right] =
=
[n - k
2 ]\sum
i=0
( - 1)n - 2i - k(k+1)
i+k+1
\biggl(
n - i
k + i
\biggr) \biggl(
n - k - i - 1
i
\biggr)
(2x)n - (k+2i).
Теорему 6 доведено.
Лiтература
1. L. Fox, I. B. Parker, Chebyshev polynomials in numerical analisys, Oxford Math. Handbooks, 3 (1968).
2. J. C. Mason, D. C. Handcomb, Chebyshev polynomials, Chapman and Hall/CRC, 3 (2002).
3. L. Bedratyuk, Semi-invariants of binary forms and identities for Bernoulli, Euler and Hermite polynomials, Acta
Arith., 151, 361 – 376 (2012).
4. H. Prodinger, Representing derivatives of Chebyshev polynomials by Chebyshev polynomials and related questions,
Open Math., 15, 1156 – 1160 (2017).
5. E. D. Rainville, Special functions, Macmillan Co., New York (1960).
6. L. Ronald, L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Concrete mathematics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts
(1994).
7. G. Freudenburg, Algebraic theory of locally nilpotent derivations, Subseries: Invariant Theory and Algebraic
Transformation Groups, Encyclopaedia Math. Sci., 136, № 7 (2017).
8. A. A. Nowicki, Polynomial derivations and their rings of constants, Nicolaus Copernicus Univ. Press, Torun (1994).
9. http://www.dymoresolutions.com/UsersManual/Appendices/ChebyshevPolynomials.pdf, 4.
10. J. J. Quaintance, H. Gould, Combinatorial identities for Stirling numbers: the unpublished notes of H W gould,
Singapore, World Sci. Publ. (2016).
Одержано 19.02.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2380 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:33Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/8498380da724628a60fdc10cc15f436c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23802025-03-31T08:47:35Z Derivations and identities for the Chebyshev polynomials Диференцiювання та тотожностi для многочленiв Чебишова Bedratyuk , L. P. Lunio, N. B. Бедратюк, Л. П. Луньо, Н. Б. Чебишов combinatorial identity nilpotent derivations UDC 519.114; 512.622We introduce the notion of Chebyshev derivations of the first and second kinds based on the polynomial algebra andcorresponding specific differential operators, derive the elements of their kernels, and prove that any element of the kernelof the derivations defines a polynomial identity for Chebyshev polynomials of both kinds. We obtain several polynomialidentities involving the Chebyshev polynomials of both kinds, a partial case of the Jacobi polynomials, and the generalizedhypergeometric function. УДК 519.114; 512.622Введено поняття диференцiювань Чебишова першого та другого роду, знайдено елементи ядер обох диференцiювань i доведено, що довiльний елемент ядра кожного з диференцiювань визначає деяку полiномiальну тотожнiсть для многочленiв Чебишова першого та другого роду. Отримано набiр тотожностей для многочленiв Чебишова обох родiв, часткового випадку многочленiв Якобi та узагальненої гiпергеометричної функцiї. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-08-18 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2380 10.37863/umzh.v73i8.2380 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 8 (2021); 1011 - 1022 Український математичний журнал; Том 73 № 8 (2021); 1011 - 1022 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2380/9094 Copyright (c) 2021 Nataliia Luno |
| spellingShingle | Bedratyuk , L. P. Lunio, N. B. Бедратюк, Л. П. Луньо, Н. Б. Derivations and identities for the Chebyshev polynomials |
| title | Derivations and identities for the Chebyshev polynomials |
| title_alt | Диференцiювання та тотожностi для многочленiв Чебишова |
| title_full | Derivations and identities for the Chebyshev polynomials |
| title_fullStr | Derivations and identities for the Chebyshev polynomials |
| title_full_unstemmed | Derivations and identities for the Chebyshev polynomials |
| title_short | Derivations and identities for the Chebyshev polynomials |
| title_sort | derivations and identities for the chebyshev polynomials |
| topic_facet | Чебишов combinatorial identity nilpotent derivations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2380 |
| work_keys_str_mv | AT bedratyuklp derivationsandidentitiesforthechebyshevpolynomials AT lunionb derivationsandidentitiesforthechebyshevpolynomials AT bedratûklp derivationsandidentitiesforthechebyshevpolynomials AT lunʹonb derivationsandidentitiesforthechebyshevpolynomials AT bedratyuklp diferenciûvannâtatotožnostidlâmnogočlenivčebišova AT lunionb diferenciûvannâtatotožnostidlâmnogočlenivčebišova AT bedratûklp diferenciûvannâtatotožnostidlâmnogočlenivčebišova AT lunʹonb diferenciûvannâtatotožnostidlâmnogočlenivčebišova |