The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces
UDC 515.1 Let $M$ be a connected compact orientable surface and let $P$ be the real line $\mathbb{R}$ or circle $S^1.$ The group $\mathcal{D}$ of diffeomorphisms on $M$ acts in the space of smooth mappings $C^{\infty} (M,P)$ by the rule $(f,h)\longmapsto f\circ h,$ where $h \in \mathcal{D},$ $f\in C...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2383 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508273545838592 |
|---|---|
| author | Kuznietsova, I. V. Soroka, Yu. Yu. I. V. Yu. Yu. Кузнєцова, І. В. Сорока, Ю. Ю. |
| author_facet | Kuznietsova, I. V. Soroka, Yu. Yu. I. V. Yu. Yu. Кузнєцова, І. В. Сорока, Ю. Ю. |
| author_sort | Kuznietsova, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:48:28Z |
| description | UDC 515.1
Let $M$ be a connected compact orientable surface and let $P$ be the real line $\mathbb{R}$ or circle $S^1.$ The group $\mathcal{D}$ of diffeomorphisms on $M$ acts in the space of smooth mappings $C^{\infty} (M,P)$ by the rule $(f,h)\longmapsto f\circ h,$ where $h \in \mathcal{D},$ $f\in C^\infty (M,P).$For $f\in C^{\infty}(M,P),$ let $\mathcal{O}(f)$ denote the orbit of $f$ relative to the specified action. By $\mathcal{M}(M,P)$ we denote the set of isomorphism classes of the fundamental groups $\pi_1\mathcal{O}(f)$ of orbits of all Morse mappings $f\colon M\to P.$
S. I. Maksymenko and B. G. Feshchenko studied the sets of isomorphism classes $\mathcal{B}$ and $\mathcal{T}$ of groups generated by direct products and certain wreath products. In this case, they succeeded to prove the inclusions $\mathcal{M}(M,P) \subset \mathcal{B}$ under the condition that $M$ is distinct from the 2-sphere $S^2$ and 2-torus $T^2$ and $\mathcal{M} (T^2, \mathbb{R})\subset \mathcal{T}.$In the present paper, we show that these inclusions are equalities and describe some subclasses from $\mathcal{M} (M,P)$ under certain restrictions on the behavior of functions on the boundary $\partial M.$
We also prove that for any group $G \in \mathcal{B}$ $(G \in \mathcal{T})$, the center $Z(G)$ and the quotient group by the commutator subgroup $G/[G,G]$ are free Abelian groups of the same rank easily calculated by using the geometric properties of a Morse mapping $f$ such that $\pi_1\mathcal{O}(f)\simeq G.$ In particular, this rank is the first Betti number of the orbit $\mathcal{O}(f)$ of $f.$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i2.2383 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i2.2383
УДК 515.1
I. В. Кузнєцова, Ю. Ю. Сорока (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ
Let M be a connected compact orientable surface and let P be the real line \BbbR or circle S1. The group \scrD (M) of
diffeomorphisms on M acts in the space of smooth mappings C\infty (M,P ) by the rule (f, h) \mapsto - \rightarrow f \circ h, where h \in
\in \scrD (M), f \in C\infty (M,P ). For f \in C\infty (M,P ), let \scrO (f) denote the orbit of f relative to the specified action. By
\scrM (M,P ) we denote the set of isomorphism classes of the fundamental groups \pi 1\scrO (f) of orbits of all Morse mappings
f : M \rightarrow P.
S. I. Maksymenko and B. G. Feshchenko studied the sets of isomorphism classes \scrB and \scrT of groups generated by
direct products and certain wreath products. In this case, they succeeded to prove the inclusions \scrM (M,P ) \subset \scrB under the
condition that M is distinct from the 2-sphere S2 and 2-torus T 2 and \scrM (T 2,\BbbR ) \subset \scrT . In the present paper, we show that
these inclusions are equalities and describe some subclasses from \scrM (M,P ) under certain restrictions on the behavior of
functions on the boundary \partial M.
We also prove that for any group G \in \scrB (G \in \scrT ) the center Z(G) and the quotient group by the commutator
subgroup G/[G,G] are free Abelian groups of the same rank easily calculated by using the geometric properties of a
Morse mapping f such that \pi 1\scrO (f) \simeq G. In particular, this rank is the first Betti number of the orbit \scrO (f) of f.
Нехай M — зв’язна компактна орiєнтовна поверхня i P — дiйсна пряма \BbbR або коло S1. Зауважимо, що група
\scrD (M) дифеоморфiзмiв M дiє на просторi гладких вiдображень C\infty (M,P ) за правилом (f, h) \mapsto - \rightarrow f \circ h, де
h \in \scrD (M), f \in C\infty (M,P ). Для f \in C\infty (M,P ) позначимо через \scrO (f) його орбiту вiдносно вказаної дiї.
Нехай \scrM (M,P ) — множина класiв iзоморфiзму фундаментальних груп \pi 1\scrO (f) орбiт усiх вiдображень Морса
f : M \rightarrow P.
В роботах С. I. Максименка та Б. Г. Фещенка було розглянуто множини класiв \scrB i \scrT iзоморфiзму груп, що
породжуються прямими добутками та певними типами вiнцевих добуткiв, i доведено включення \scrM (M,P ) \subset \scrB ,
якщо M вiдмiнна вiд 2-сфери S2 i 2-тора T 2, та \scrM (T 2,\BbbR ) \subset \scrT . В данiй статтi показано, що вказанi включення є
рiвностями, та описано деякi пiдкласи в \scrM (M,P ) при певних обмеженнях на поведiнку функцiй на межi \partial M.
Також доведено, що для довiльної групи G \in \scrB (G \in \scrT ) центр Z(G) i фактор-група по комутанту G/[G,G] є
вiльними абелевими групами однакового рангу, який легко обчислити iз геометричних властивостей вiдображення
Морса f такого, що \pi 1\scrO (f) \simeq G. Зокрема, цей ранг є першим числом Беттi орбiти \scrO (f) вiдображення f.
1. Вступ. Нехай M — компактна поверхня, \scrD (M) — група C\infty -дифеоморфiзмiв M i P —
дiйсна пряма \BbbR або коло S1. Визначимо природну праву дiю групи \scrD (M) на просторi гладких
вiдображень C\infty (M,P ) за правилом (f, h) \mapsto - \rightarrow f \circ h, де h \in \scrD (M), f \in C\infty (M,P ). Нехай
\scrO (f) = \{ f \circ h | h \in \scrD (M)\} — орбiта f вiдносно цiєї дiї, а \scrS (f) = \{ h \in \scrD (M) | f \circ h = f\} —
стабiлiзатор f.
Надiлимо простори \scrD (M), C\infty (M,P ) вiдповiдними C\infty -топологiями Уiтнi. Позначимо
через \scrD (M,X) групу дифеоморфiзмiв M, нерухомих на замкненiй пiдмножинi X \subset M, а
через \scrO (f,X) i \scrS (f,X) орбiту i стабiлiзатор f вiдносно дiї \scrD (M,X). Нехай також \scrO f (f) i
\scrO f (f,X) позначають компоненти зв’язностi f в \scrO (f) i \scrO (f,X) вiдповiдно.
Оскiльки \pi 1\scrO f (f) i \pi 1\scrO (f) у точцi f iзоморфнi, то для спрощення позначень будемо
позначати \pi 1\scrO f (f) i \pi 1\scrO f (f,X) через \pi 1\scrO (f) i \pi 1\scrO (f,X) вiдповiдно.
Означення 1.1. Позначимо через \scrF (M,P ) простiр гладких вiдображень f \in C\infty (M,P ),
що задовольняють такi умови:
(1) вiдображення f набуває сталих значень на кожнiй компонентi зв’язностi межi \partial M i
не має критичних точок на \partial M ;
c\bigcirc I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2 179
180 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
(2) для кожної критичної точки z вiдображення f iснує локальне зображення fz : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR
функцiї f бiля z таке, що fz - fz(0) є однорiдним многочленом \BbbR 2 \rightarrow \BbbR без кратних множникiв.
Вiдображення f \in C\infty (M,P ) називається вiдображенням Морса, якщо воно задовольняє
умову 1 i всi його критичнi точки є невиродженими. Множину всiх вiдображень Морса з M
в P позначатимемо \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P ). Вiдображення Морса f будемо називати вiдображенням
загального положення, якщо f набуває рiзних значень у рiзних критичних точках.
Зауважимо, що згiдно з лемою Морса кожне вiдображення Морса f задовольняє умову 2
з однорiдними многочленами fz - fz(0) = \pm x2 \pm y2 для кожної критичної точки z, тому
\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P ) \subset \scrF (M,P ).
Означення 1.2. Кожному вiдображенню f \in \scrF (M,P ) можна поставити у вiдповiднiсть
(неперервну) функцiю \varepsilon f iз множини компонент зв’язностi межi \partial M у \{ \pm 1\} , яка набуває
значення - 1, якщо на компонентi межi f має локальний мiнiмум, i +1, якщо на компонентi
межi f має локальний максимум.
Нехай \scrE M — множина всiх неперервних функцiй \varepsilon : \partial M \rightarrow \{ \pm 1\} .
Для \varepsilon \in \scrE M позначимо через \scrF (M,P, \varepsilon ) (\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P, \varepsilon )) пiдмножину класу \scrF (M,P )
(\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P )) функцiй f, для яких \varepsilon f = \varepsilon .
Гомотопiчнi типи стабiлiзаторiв та орбiт функцiй iз класу \scrF (M,P ) були обчисленi у роботах
С. I. Максименка [4, 5], Б. Г. Фещенка [1, 6], а для функцiй Морса у роботах О. А. Кудрявцевої
[7 – 10]. Зокрема, у роботi [5] показано, що якщо M \not = S2 або \BbbR P 2, то \scrO f (f) є асферичною*,
причому якщо f є вiдображенням Морса загального положення, то орбiта \scrO f (f) гомотопiчно
еквiвалентна (S1)k \simeq \BbbZ k для деякого k. Якщо ж M = S2 або \BbbR P 2, то \pi i\scrO f (f) \simeq \pi i(SO(3))
для i \geq 2, а якщо f є функцiєю загального положення, то \scrO f (f) гомотопiчно еквiвалентна
(S1)k \times SO(3) для деякого k. Далi, О. А. Кудрявцева узагальнила цi результати i показала,
що якщо M орiєнтовна, а f : M \rightarrow \BbbR — функцiя Морса, то iснує вiльна дiя деякої скiнченної
групи H на k-торi (S1)k така, що \scrO f (f) гомотопiчно еквiвалентна (S1)k/H, якщо M \not = S2,
i гомотопiчно еквiвалентна ((S1)k/H)\times SO(3), якщо M = S2.
Нехай M — орiєнтовна поверхня, вiдмiнна вiд 2-сфери i 2-тора. Як зазначено вище, \scrO f (f)
є асферичною i, зокрема, її гомотопiчний тип визначається лише фундаментальною групою
\pi 1\scrO f (f). Точну алгебраїчну структуру таких груп описано в роботi [4]. Щоб сформулювати цi
результати, розглянемо класи груп \scrB та \scrT .
Класи \bfscrB та \bfscrT . Нехай G — група i n,m \in \BbbN . Визначимо неефективнi правi дiї \alpha :
Gnm \times \BbbZ 2 \rightarrow Gnm, \beta : Gn \times \BbbZ \rightarrow Gn групи \BbbZ 2 на Gnm i \BbbZ на Gn циклiчними зсувами
координат за формулами
\alpha
\bigl(
(gi,j)
n,m
i,j=1, (a, b)
\bigr)
=
\bigl(
gi+a,j+b
\bigr) n,m
i,j=1
, \beta
\bigl(
(gi)
n
i=1, a
\bigr)
= (gi+a)
n
i=1,
де a, b \in \BbbZ . Цi дiї дозволяють ввести структури груп на декартових добутках множин Gnm\times \BbbZ
та Gn \times \BbbZ за такими стандартними формулами:
(g1, a1, b1) \cdot (g2, a2, b2) = (\alpha (g1, a2, b2)g2, a1 + a2, b1 + b2), g1, g2 \in Gnm, a1, a2, b1, b2 \in \BbbZ ,
(g1, a1) \cdot (g2, a2) = (\beta (g1, a2)g2, a1 + a2), g1, g2 \in Gn, a1, a2 \in \BbbZ .
* Тобто \pi i\scrO f (f) \simeq 0 для всiх i \geq 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 181
Отриманi групи позначимо через G \wr n,m \BbbZ 2 i G \wr n \BbbZ вiдповiдно. Зауважимо, що цi групи є
вiнцевими добутками G з \BbbZ 2 i G з \BbbZ вiдносно дiй \alpha та \beta .
Зазначимо, що мають мiсце iзоморфiзми
G \wr
1
\BbbZ \simeq G\times \BbbZ , 1 \wr
n
\BbbZ \simeq \BbbZ ,
G \wr
1,1
\BbbZ 2 \simeq G\times \BbbZ 2, 1 \wr
n,m
\BbbZ 2 \simeq \BbbZ 2.
Означення 1.3. Нехай \scrB — мiнiмальна множина класiв iзоморфiзму груп, що задовольняє
такi умови:
1) 1 \in \scrB ;
2) якщо G1, G2 \in \scrB , то G1 \times G2 \in \scrB ;
3) якщо G \in \scrB i n \geq 1, то G \wr n \BbbZ \in \scrB .
Нехай також \scrT — множина класiв iзоморфiзмiв груп, що складаються з груп вигляду
G \wr n,m \BbbZ 2, де G \in \scrB i n,m \geq 1.
Нехай також \scrB O — пiдклас \scrB , що складається з груп (A \times B) \wr n \BbbZ , де A,B \in \scrB \setminus \{ 1\} i
n \geq 1. Крiм того, що \scrB O \subset \scrB \subset \scrT .
Зауваження 1.1. Легко бачити, що G належить класу \scrB (\scrT ) тодi i тiльки тодi, коли G
отримується з тривiальної групи скiнченним числом операцiй \times , \wr n\BbbZ (та останньою операцiєю
\wr n,m\BbbZ 2 у випадку класу \scrT ). Таким чином, кожну групу G \in \scrB (G \in \scrT ) можна записати як
слово в алфавiтi \scrA \scrB = \{ 1,\BbbZ , (, ) ,\times , \wr 2, \wr 3, \wr 4, . . .\} (\scrA \scrT = \{ 1,\BbbZ , (, ) ,\times , \wr 2, \wr 3, . . . , \wr 1,1, \wr 1,2, . . .\} ).
Будемо називати таке слово реалiзацiєю групи G в алфавiтi \scrA \scrB (\scrA \scrT ). Очевидно, реалiзацiя не
є однозначно визначеною. Наприклад, iснують такi реалiзацiї однiєї i тiєї ж групи:\biggl(
1 \wr
3
\BbbZ
\biggr)
\times \BbbZ = \BbbZ \times
\biggl(
1 \wr
3
\BbbZ
\biggr)
= \BbbZ \times \BbbZ = 1\times \BbbZ \times \BbbZ .
Означення 1.4. Нехай \Delta — розбиття многовиду M на компоненти зв’язностi множин
рiвня вiдображення f. Фактор-простiр \Gamma f =M\diagup \Delta називають графом Кронрода – Рiба вiдо-
браження f.
У статтi [11] (лема 3.1) показано, що для будь-якої функцiї f \in \scrF (T 2,\BbbR ) на 2-торi граф
Кронрода – Рiба \Gamma f або є деревом, або має єдиний цикл.
Введемо позначення
\scrG X(M,P ) := \{ \pi 1\scrO (f,X) | f \in \scrF (M,P )\} ,
\scrM X(M,P ) := \{ \pi 1\scrO (f,X) | f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P )\} ,
\scrG X(M,P, \varepsilon ) := \{ \pi 1\scrO (f,X) | f \in \scrF (M,P, \varepsilon )\} ,
\scrM X(M,P, \varepsilon ) := \{ \pi 1\scrO (f,X) | f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P, \varepsilon )\} ,
\scrG \Psi := \{ \pi 1\scrO (f) | f \in \scrF (T 2,\BbbR ), \Gamma f — дерево\} ,
\scrM \Psi := \{ \pi 1\scrO (f) | f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(T 2,\BbbR ), \Gamma f — дерево\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
182 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
\scrG O := \{ \pi 1\scrO (f) | f \in \scrF (T 2,\BbbR ), \Gamma f мiстить єдиний цикл\} ,
\scrM O := \{ \pi 1\scrO (f) | f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(T 2,\BbbR ), \Gamma f мiстить єдиний цикл\} .
Очевидно, що
\scrM X(M,P ) \subset \scrG X(M,P ), \scrM \Psi \subset \scrG \Psi ,
\scrM X(M,P, \varepsilon ) \subset \scrG X(M,P, \varepsilon ), \scrM O \subset \scrG O.
У роботах [1 – 4] було отримано такi результати.
Твердження 1.1 [2]. Нехай M — зв’язна компактна поверхня i f \in \scrF (M,P ). Тодi \scrO f (f) =
= \scrO f (f, \partial M). Зокрема,
\pi 1\scrO (f) \simeq \pi 1\scrO (f, \partial M),
а тому \scrG \partial M (M,P ) = \scrG (M,P ).
Твердження 1.2. Нехай M — зв’язна компактна орiєнтовна поверхня, вiдмiнна вiд 2-
сфери.
1. Якщо M також вiдмiнна вiд 2-тора, то \scrG \partial M (M,P ) \subset \scrB [4].
2. Якщо M — 2-тор, то
а) \scrG \Psi \subset \scrT [1],
б) \scrG O \subset \scrB [3, 12].
Бiльш точнi формулювання твердження 1.2 наведено у твердженнях 2.4, 4.1 i 4.2.
Основнi результати. Позначимо через Z(G) i [G,G] центр i комутант G вiдповiдно.
Наступна теорема показує, що число символiв \BbbZ у реалiзацiї групи G \in \scrB в алфавiтi \scrA \scrB
(групи G \in \scrT в алфавiтi \scrA \scrT ) однозначно визначається групою G.
Теорема 1.1. Нехай G \in \scrB (G \in \scrT ), \omega — довiльна реалiзацiя G в алфавiтi \scrA \scrB (\scrA \scrT ) i
\beta 1(\omega ) — число символiв \BbbZ у реалiзацiї \omega . Тодi мають мiсце iзоморфiзми
Z(G) \sim = G/[G,G] \sim = \BbbZ \beta 1(\omega ).
Зокрема, число \beta 1(\omega ) залежить тiльки вiд групи G.
З твердження 1.2 i теореми 1.1 отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 1.1. Нехай M — зв’язна компактна орiєнтовна поверхня, вiдмiнна вiд 2-сфери,
i f \in \scrF (M,P ), де P = \BbbR для випадку M = T 2. Нехай також G = \pi 1\scrO (f), \omega — довiльна
реалiзацiя G в алфавiтi \scrA \scrB для M \not = T 2 i в алфавiтi \scrA \scrT для M = T 2, а \beta 1(\omega ) — кiлькiсть
символiв \BbbZ у реалiзацiї \omega . Тодi перша цiлочислова група гомологiй H1(\scrO f (f),\BbbZ ) орбiти \scrO f (f)
є вiльною абелевою групою рангу \beta 1(\omega ):
H1(\scrO f (f),\BbbZ ) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ).
Зокрема, \beta 1(\omega ) — перше число Беттi орбiти \scrO f (f).
Доведення. Використаємо загальновiдому теорему Гуревича [13], згiдно з якою для кож-
ного лiнiйно зв’язного топологiчного простору X має мiсце iзоморфiзм
H1(X,\BbbZ ) \simeq \pi 1X
\big/
[\pi 1X,\pi 1X].
На пiдставi теореми Гуревича, тверджень 1.1, 1.2 i теореми 1.1 отримуємо
H1(\scrO f (f),\BbbZ ) \simeq \pi 1\scrO (f)/[\pi 1\scrO (f), \pi 1\scrO (f)] = G/[G,G] \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 183
Теорема 1.2. 1. Нехай M — зв’язна компактна орiєнтовна поверхня, вiдмiнна вiд 2-тора
i 2-сфери, а \varepsilon : \partial M \rightarrow \{ \pm 1\} — довiльне вiдображення з \scrE M . Тодi:
а) якщо M = S1 \times [0, 1], а \varepsilon — стала, тобто набуває однакових значень на компонентах
межi \partial M, то
\scrM \partial A(A,P, \varepsilon ) = \scrG \partial A(A,P, \varepsilon ) = \scrB \setminus \{ 1\} ;
б) якщо M = S1 \times [0, 1], а \varepsilon набуває рiзних значень на компонентах межi \partial M або
M \not = S1 \times [0, 1], то
\scrM \partial M (M,P, \varepsilon ) = \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ) = \scrB .
2. Мають мiсце тотожностi
\scrM \Psi = \scrG \Psi = \scrT , \scrM O = \scrG O = \scrB O.
Опишемо коротко структуру статтi.
У п. 2 описано як обчислювати \pi 1\scrO (f) для вiдображень f на зв’язних компактних орiєн-
товних поверхнях M, вiдмiнних вiд 2-тора i 2-сфери. Зокрема, наведено конструкцiї, якi лежать
в основi доведення твердження 1.2(1).
У п. 3 доведено теорему 1.2(1).
У п. 4 описано як обчислювати \pi 1\scrO (f) для функцiй f на торi. Зокрема, наведено конструк-
цiї, якi лежать в основi доведення твердження 1.2(2). Крiм того, доведено теорему 1.2(2).
У п. 5 доведено теорему 5.1 про центри вiнцевих добуткiв довiльних груп A i B у випадку
неефективної дiї B на множинi X. У теоремi 5.2 стверджується, що центр довiльної групи G з
класiв \scrB i \scrT iзоморфний \BbbZ \beta 1(\omega ), де \omega — довiльна реалiзацiя G. Ця теорема є першою частиною
одного з основних результатiв — теореми 1.1.
У п. 6 знайдено комутант групи G \wr n \BbbZ (теорема 6.1) i фактор-групи G \wr n \BbbZ
\big/
[G \wr n \BbbZ , G \wr n \BbbZ ]
(теорема 6.2). У теоремi 6.3 стверджується, що фактор-група G/[G,G], де G \in \scrB (G \in \scrT ),
також iзоморфна \BbbZ \beta 1(\omega ), що є другою частиною теореми 1.1.
2. Побудова групи за заданим вiдображенням. У цьому пунктi описано конструкцiї, якi
лежать в основi доведення твердження 1.2(1). Нехай M — поверхня i f \in \scrF (M,P ).
Означення 2.1. Множини рiвня f та їхнi компоненти зв’язностi називаються критични-
ми, якщо вони мiстять хоча б одну критичну точку, i регулярними, якщо не мiстять.
Означення 2.2. Нехай X — компонента зв’язностi множини рiвня вiдображення f. Пiд-
многовид R \subset M називається f -регулярним околом X, якщо:
1) R є зв’язним,
2) компоненти зв’язностi межi \partial R є компонентами зв’язностi деяких регулярних множин
рiвня вiдображення f,
3) R мiстить X, а R \setminus X не мiстить критичних точок f.
Бiльш загально, нехай X = \cup k
i=1Xi — незв’язне об’єднання компонент зв’язностi Xi мно-
жин рiвня вiдображення f. Для кожного Xi, i = 1, . . . , k, виберемо його f -регулярний окiл
таким чином, щоб Ui \cap Uj = \varnothing для i \not = j. Тодi об’єднання U = \cup k
i=1Ui називається f -
регулярним околом X.
Означення 2.3. Нехай X — компонента зв’язностi множини рiвня вiдображення f, RX —
f -регулярний окiл X i D1, . . . , Dq — компоненти зв’язностi M \setminus RX , дифеоморфнi 2-дискам.
Тодi об’єднання NX = RX \cup D1 \cup . . . \cup Dq будемо називати канонiчним околом X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
184 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
У статтi [4] показано, що обчислення фундаментальних груп орбiт вiдображень iз класу
\scrF (M,P ) зводиться до обчислення таких груп для вiдображень, заданих на дисках i цилiндрах.
А саме, було отримано таке твердження.
Твердження 2.1 ([4], теорема 5.4). Нехай M — зв’язна компактна орiєнтовна поверхня з
вiд’ємною ейлеровою характеристикою i f \in \scrF (M,P ). Нехай також K — об’єднання всiх
неекстремальних критичних компонент множин рiвня f, у яких ейлерова характеристика
їхнiх канонiчних околiв менша за нуль, R — f -регулярний окiл K i X1, . . . , Xk — компоненти
зв’язностi M \setminus R. Тодi:
1) Xi є 2-диском або цилiндром для кожного i, i = 1, . . . , k,
2) \pi 1\scrO (f, \partial M) \simeq \pi 1\scrO (f, \partial M \cup R) \simeq
\prod k
i=1
\pi 1\scrO (f | Xi , \partial Xi).
Для вiдображень на дисках та цилiндрах було отримано такi результати.
Твердження 2.2 ([4], теорема 5.6). Нехай f \in \scrF (D2, P ) має єдину критичну точку z. Тодi
z є локальним екстремумом, до того ж:
1) якщо z невироджена, то \pi 1\scrO (f, \partial D2) є тривiальною групою,
2) якщо z вироджена, то \pi 1\scrO (f, \partial D2) \simeq \BbbZ .
Твердження 2.3 ([4], теорема 5.5). Нехай f \in \scrF (S1 \times [0, 1], P ). Тодi:
1) якщо f не має критичних точок, то \pi 1\scrO (f, S1 \times 0) є тривiальною групою,
2) \pi 1\scrO (f, \partial (S1 \times [0, 1])) \simeq \pi 1\scrO (f, S1 \times 0),
3) нехай M — 2-диск або цилiндр, V — компонента зв’язностi \partial M та fM \in \scrF (M,P );
нехай також W — регулярна компонента зв’язностi деякої множини рiвня вiдображення fM ,
яка розбиває M на двi компоненти зв’язностi, а A i B — замикання цих компонент; бiльш
того, нехай h(W ) =W для всiх h \in \scrS (fM , V ); будемо вважати, що V \subset A; тодi A — цилiндр,
B — 2-диск або цилiндр i має мiсце iзоморфiзм
\pi 1\scrO (fM , \partial M) \simeq \pi 1\scrO (fM | A, \partial A)\times \pi 1\scrO (fM | B, \partial B).
Наслiдок 2.1. Нехай f \in \scrF (S1 \times [0, 1], P ), R — f -регулярний окiл компоненти зв’язностi
межi \partial (S1 \times [0, 1]) та A = S1 \times [0, 1] \setminus R. Тодi
\pi 1\scrO (f, \partial (S1 \times [0, 1])) \simeq \pi 1\scrO (f | A, \partial A).
Введемо такi позначення:
(M,V ) — одна з пар (D2, \partial D2), (S1 \times [0, 1], S1 \times 0), f \in \scrF (M,P ).
K — „найближча” до V критична компонента зв’язностi деякої множини рiвня f, тобто
K — єдина критична компонента така, що компонента зв’язностi M \setminus K, яка мiстить V, не
мiстить критичних точок.
RK — f -регулярний окiл K.
\bfZ — множина компонент зв’язностi M \setminus RK . Оскiльки h(RK) = RK для будь-якого
h \in \scrS (f, V ), то h переставляє елементи \bfZ , тобто виникає природна дiя \scrS (f, V ) на \bfZ .
\scrS (\bfZ ) = \{ h \in \scrS (f, V ) | h(Z) = Z для кожного Z \in \bfZ \} — ядро неефективностi дiї \scrS (f, V )
на \bfZ . Таким чином, \scrS (f, V )/\scrS (\bfZ ) ефективно дiє на \bfZ .
\bfZ fi\mathrm{x} = \{ X0, X1, . . . , Xa\} — множина елементiв \bfZ , якi є iнварiантними вiдносно дiї \scrS (f, V ).
Занумеруємо Xi так, щоб X0 був цилiндром, який мiстить V, а X1 — цилiндром, який мiстить
компоненту межi S1 \times 1 у випадку M = S1 \times [0, 1]. Тодi якщо M = D2, то Xi будуть дисками
при i = 1, . . . , n, а якщо M = S1 \times [0, 1], то при i = 2, . . . , n.
\bfZ \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g} = \bfZ \setminus \bfZ fi\mathrm{x} = \{ Y1, Y2, . . . , Yb\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 185
Твердження 2.4 ([4], теорема 5.8). 1. Нехай \bfZ \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g} = \varnothing , тобто \bfZ = \bfZ fi\mathrm{x} = \{ X0, X1, . . . , Xa\} .
Тодi
\pi 1\scrO (f, \partial M) \simeq
a\prod
i=1
\pi 1\scrO (f | Xi , \partial Xi)\times \BbbZ .
2. Нехай \bfZ \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g} = \{ Yi\} bi=1 \not = \varnothing . Тодi \scrS (f, V )/\scrS (\bfZ ) \simeq \BbbZ m для деякого m \geq 2, причому \BbbZ m
дiє напiввiльно на \bfZ , тобто вiльно на \bfZ \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}. Тому m дiлить b i ця дiя має c = b/m орбiт.
Зафiксуємо будь-якi 2-диски Y1, Y2 . . . , Yc, якi належать попарно рiзним орбiтам дiї \BbbZ m. Тодi
\bfZ fi\mathrm{x} = \{ X0\} або \bfZ fi\mathrm{x} = \{ X0, X1\} . Бiльш того, виконуються такi властивостi:
a) якщо \bfZ fi\mathrm{x} = \{ X0\} , то
\pi 1\scrO (f, \partial M) \simeq
c\prod
i=1
\pi 1\scrO (f | Yi , \partial Yi) \wr m \BbbZ ;
b) якщо ж \bfZ fi\mathrm{x} = \{ X0, X1\} , то
\pi 1\scrO (f, \partial M) \simeq
c\prod
i=1
\pi 1\scrO (f | Yi , \partial Yi) \wr m \BbbZ \times (\pi 1\scrO (f | X1 , \partial X1)) .
Наслiдок 2.2. Нехай M = S1 \times [0, 1] i f \in \scrF (M,P, \varepsilon ), де \varepsilon \equiv 1 або \varepsilon \equiv - 1.
Тодi \pi 1\scrO (f, \partial M) \in \scrB \setminus \{ 1\} .
Таким чином, у статтi [4] описано як саме отримати групу з класу \scrB за заданим вiдобра-
женням. Ми опишемо як за заданою групою G \in \scrB побудувати вiдображення f1 \in \scrF (D2, P ) i
f2 \in \scrF (S1 \times [0, 1], P ) так, щоб \pi 1\scrO (f1, \partial D
2) \simeq G i \pi 1\scrO (f2, S
1 \times 0) \simeq G.
3. Побудова вiдображення з заданою фундаментальною групою орбiти на поверхнi.
Лема 3.1. Нехай C = S1 \times [0, 1], V = S1 \times 0, f \in \scrF (C,P ), h \in \scrS (f, V ) i W — регулярна
компонента зв’язностi деякої множини рiвня вiдображення f. Якщо W iзотопна до V, то
h(W ) =W.
Доведення. Позначимо h(W ) = W \prime . Оскiльки W iзотопна до V, то W розбиває C на
цилiндри A0 \supset V i A1. Нехай h(A0) = B0 i h(A1) = B1. Тодi W \prime розбиває C на цилiндри
B0 \supset V i B1.
Припустимо, що W \prime \not = W. Оскiльки W i W \prime є компонентами зв’язностi множини рiвня
вiдображення f, то W \cap W \prime = \varnothing . А оскiльки W i W \prime iзотопнi до V, то або A0 \subset B0, або
B0 \subset A0. Не втрачаючи загальностi, можна вважати, що A0 \subset B0. Нехай C \prime = B0 \setminus A0. Тодi C \prime
є цилiндром, компонентами межi якого є W i W \prime . Оскiльки h \in \scrS (f, V ), то W i W \prime належать
спiльнiй множинi рiвня вiдображення f, а отже, A0 i B0 = A0 \cup C \prime мiстять рiзну кiлькiсть
критичних точок вiдображення f, що неможливо. Отже, h(W ) =W.
Лему 3.1 доведено.
Приклад 3.1. Нехай G = A\times B, де A,B \in \scrB , i C = S1 \times [ - 1, 1] — цилiндр. Припустимо,
що для будь-яких \varepsilon 1, \varepsilon 2 \in \scrE C iснують вiдображення fA \in \scrF (C,P, \varepsilon 1), fB \in \scrF (C,P, \varepsilon 2) (fA \in
\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P, \varepsilon 1), fB \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P, \varepsilon 2)), для яких мають мiсце iзоморфiзми
\pi 1\scrO (fA, \partial C) \simeq A, \pi 1\scrO (fB, \partial C) \simeq B.
Покажемо, що тодi для будь-якого \varepsilon \in \scrE C iснує вiдображення f \in \scrF (C,P, \varepsilon )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
186 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
а б
Рис. 1
(f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P, \varepsilon )) таке, що
\pi 1\scrO (f, \partial C) \simeq A\times B.
Неважко побудувати вiдображення fA \in \scrF (S1 \times [ - 1, 0], P, \varepsilon A), fB \in \scrF (S1 \times [0, 1], P, \varepsilon B),
f \prime B \in \scrF (S1 \times [0, 1], P, \varepsilon \prime B) (fA \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(S1 \times [ - 1, 0], P, \varepsilon A), fB \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(S1 \times [0, 1], P, \varepsilon B),
f \prime B \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(S1 \times [0, 1], P, \varepsilon \prime B)), якi задовольняють такi умови:
1) \pi 1\scrO (fA, \partial (S
1 \times [ - 1, 0])) \simeq A, \pi 1\scrO (fB, \partial (S
1 \times [0, 1])) \simeq \pi 1\scrO (f \prime B, \partial (S
1 \times [0, 1])) \simeq B;
2) \varepsilon A(S
1\times ( - 1)) = - 1, \varepsilon A(S
1\times 0) = 1, \varepsilon B(S
1\times 0) = - 1, \varepsilon B(S
1\times 1) = 1, \varepsilon \prime B(S
1\times 0) = - 1,
\varepsilon \prime B(S
1 \times 1) = - 1;
3) fA, fB i f \prime B збiгаються з проекцiєю \varphi (x, t) = t в околi S1 \times 0.
Визначимо вiдображення g \in \scrF (C,P ) i g\prime \in \scrF (C,P ) (g \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P ) i g\prime \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P )),
зображенi на рис. 1, так, щоб
g| S1\times [ - 1,0] = g\prime | S1\times [ - 1,0] = fA, g| S1\times [0,1] = fB, g\prime | S1\times [0,1] = f \prime B.
Тодi
\varepsilon g(S
1 \times ( - 1)) = - 1, \varepsilon g\prime (S
1 \times ( - 1)) = - 1,
\varepsilon g(S
1 \times 1) = 1, \varepsilon g\prime (S
1 \times 1) = - 1.
Аналогiчно - g \in \scrF (C,P ), - g\prime \in \scrF (C,P ) ( - g \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P ), - g\prime \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P )) i \varepsilon - g =
= - \varepsilon g, \varepsilon - g\prime = - \varepsilon g\prime . Тодi за твердженням 2.3(3) мають мiсце iзоморфiзми
\pi 1\scrO (g, \partial C) \simeq \pi 1\scrO (g\prime , \partial C) \simeq \pi 1\scrO ( - g, \partial C) \simeq \pi 1\scrO ( - g\prime , \partial C) \simeq A\times B.
Отже, для будь-якого \varepsilon \in \scrE C iснує вiдображення f \in \scrF (C,P, \varepsilon ) (f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P, \varepsilon )) таке, що
\pi 1\scrO (f, \partial C) \simeq A\times B.
Приклад 3.2. Нехай G = A \wr n \BbbZ , де A \in \scrB , i C = S1 \times [0, 1] — цилiндр. Припустимо,
що iснує вiдображення fDA
\in \scrF (DA, P ) (fDA
\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(DA, P )) з диска DA в P, для якого
\pi 1\scrO (fDA
, \partial DA) \simeq A.
Тодi для довiльного \varepsilon \in \scrE C неважко побудувати вiдображення f \in \scrF (C,P, \varepsilon ) (f \in
\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(C,P, \varepsilon )) таке, що:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 187
Рис. 2
1) f має критичний рiвень K, показаний на рис. 2, на якому лежать n невироджених
сiдлових точок;
2) всi iншi критичнi точки мiстяться в дисках D0, . . . , Dn - 1;
3) \pi 1\scrO (fDi , \partial Di) \simeq A, i = 0, . . . , n - 1;
4) iснує iзоморфiзм h \in \scrS (f, S1 \times 0) такий, що h(Di) = D(i+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n, i = 0, . . . , n - 1.
Тодi за твердженням 2.4 має мiсце iзоморфiзм \pi 1\scrO (f, \partial C) \simeq A \wr n \BbbZ .
Нагадаємо, що для будь-якої функцiї \varepsilon \in \scrE M визначено класи
\scrG X(M,P, \varepsilon ) := \{ \pi 1\scrO (f,X) | f \in \scrF (M,P, \varepsilon )\} , (1)
\scrM X(M,P, \varepsilon ) := \{ \pi 1\scrO (f,X) | f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P, \varepsilon )\} . (2)
Теорема 1.2. 1. Нехай M — зв’язна компактна орiєнтовна поверхня, вiдмiнна вiд 2-тора
i 2-сфери, а \varepsilon \in \scrE M . Тодi:
1) якщо M — цилiндр i \varepsilon \equiv 1 або \varepsilon \equiv - 1, то \scrM \partial A(A,P, \varepsilon ) = \scrG \partial A(A,P, \varepsilon ) = \scrB \setminus \{ 1\} ,
2) якщо M — цилiндр i \varepsilon (\partial M) = \{ \pm 1\} або M не є цилiндром, то
\scrM \partial M (M,P, \varepsilon ) = \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ) = \scrB .
Доведення. Включення \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ) \subset \scrB , а отже i \scrM \partial M (M,P, \varepsilon ) \subset \scrB , безпосередньо
випливають з твердження 2.4. Покажемо включення в iнший бiк для випадку 2 i включення
\scrB \setminus \{ 1\} \subset \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ), \scrB \setminus \{ 1\} \subset \scrM \partial M (M,P, \varepsilon ) для випадку 1.
1. Покажемо, що \{ 1\} \subset \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ), де M = S1 \times [0, 1] — цилiндр i \varepsilon (\partial M) = \{ \pm 1\} .
Нехай f \in \scrF (S1 \times [0, 1], P, \varepsilon ) не має критичних точок. Тодi \varepsilon (\partial (S1 \times [0, 1])) = \{ \pm 1\} та за
твердженням 2.3(1), (2) маємо \pi 1\scrO (f, \partial (S1 \times [0, 1])) \simeq \pi 1\scrO (f, S1 \times 0) \simeq \{ 1\} .
2. Покажемо, що \scrB \subset \scrG \partial D2(D2, P, \varepsilon ) i \scrB \setminus \{ 1\} \subset \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ), де M — цилiндр.
Нехай G \in \scrB \setminus \{ 1\} . Оскiльки 1 \wr
n
\BbbZ = \BbbZ i B\times 1 = B для довiльної B \in \scrB , то iснує реалiзацiя
\omega групи G у виглядi
G = G1 \times G2 \times . . .\times Gn,
де кожна група Gi має вигляд Gi = \BbbZ або Gi = Hi \wr ki \BbbZ , Hi \in \scrB \setminus \{ 1\} .
Позначимо через s(\omega ) сумарну кiлькiсть символiв \times , \wr n для всiх n \geq 1 у реалiзацiї \omega .
Доведення будемо проводити iндукцiєю по s(\omega ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
188 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
База iндукцiї. Побудова вiдображення з D2 в P за тривiальною групою. Нехай f \in
\in \scrF (D2, P ) має єдину невироджену критичну точку. Тодi за твердженням 2.2(1) маємо
\pi 1\scrO (f, \partial D2) \simeq \{ 1\} .
Побудова вiдображення з D2 в P за групою \BbbZ . Нехай f \in \scrF (D2, P ) має єдину вироджену
критичну точку. Тодi за твердженням 2.2(2) маємо \pi 1\scrO (f, \partial D2) \simeq \BbbZ .
Побудова вiдображення з цилiндра C в P за групою \BbbZ . Нехай f \in \scrF (D2, P ) має єдину
невироджену критичну точку, тобто \pi 1\scrO (f, \partial D2) \simeq \{ 1\} . Iз прикладу 3.2 при A = \{ 1\} випли-
ває, що для довiльного \varepsilon \prime \in \scrE C можна побудувати вiдображення fC \in \scrF (C,P, \varepsilon \prime ), для якого
\pi 1\scrO (fC , \partial C) \simeq 1 \wr n \BbbZ \simeq \BbbZ .
Iндукцiйне припущення. Припустимо, що якщо s(\omega ) < n, то G \in \scrG \partial D2(D2, P, \varepsilon ) i G \in
\in \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ), де M — цилiндр.
Iндукцiйний перехiд. Покажемо, що якщо s(\omega ) = n, то G \in \scrG \partial D2(D2, P, \varepsilon ) i G \in
\in \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ), де M — цилiндр. Для випадку, коли M — цилiндр, це випливає з прикладiв 3.1,
3.2. Покажемо, що для випадку з диском це також виконується.
Маючи вiдображення fC\prime \in \scrF (C \prime , P, \varepsilon \prime ) з цилiндра C \prime в P, де \varepsilon \prime \in \scrE C\prime , та вмiючи бу-
дувати вiдображення з диска в P за тривiальною групою, можна побудувати вiдображення
f \in \scrF (D,P ) з диска D в P таке, що
\pi 1\scrO (f, \partial D) \simeq \pi 1\scrO (fC\prime , \partial C \prime ).
А саме, можемо визначити вiдображення f \in \scrF (D,P ) з диска D радiуса 2 в P таке, що:
1) f( \widehat D) = [1, 2], f(D\setminus \widehat D) = [0, 1], де \widehat D \subset D — диск радiуса 1 iз центром у центрi диска D,
2) \pi 1\scrO (f | \widehat D, \partial ( \widehat D)) \simeq \{ 1\} , \pi 1\scrO (f |
D\setminus \widehat D, \partial (D \setminus \widehat D)) \simeq \pi 1\scrO (fC\prime , \partial C \prime ).
Зауважимо, що прообраз f - 1(1) = S1 \times 1 є iнварiантним вiдносно будь-якого h \in \scrS (f, \partial D).
Тодi за твердженням 2.3(3)
\pi 1\scrO (f, \partial D) \simeq \pi 1\scrO (f |
D\setminus \widehat D, \partial (D \setminus \widehat D)\times \pi 1\scrO (f \widehat D, \partial \widehat D) \simeq \pi 1\scrO (fC\prime , \partial C \prime )\times \{ 1\} .
Отже, G \in \scrG \partial D2(D2, P, \varepsilon ) i G \in \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ), де M — цилiндр.
3. Нехай поверхня M вiдмiнна вiд диска та цилiндра. Покажемо, що \scrB \subset \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ).
Побудуємо вiдображення f \in \scrF (M,P, \varepsilon ), яке має хоча б одну точку локального максимуму,
всi сiдловi точки якого лежать на спiльнiй компонентi зв’язностi K деякої множини рiвня вiдо-
браження f i всi локальнi екстремуми якого є невиродженими. Оскiльки \scrB \subset \scrG \partial D2(D2, P ), то
для G \in \scrB iснує вiдображення fD2 \in \scrF (D2, P ) з диска D2 в P таке, що \pi 1\scrO (fD2 , \partial D2) \simeq G.
Змiнимо вiдображення f у f -регулярному околi Dm деякої точки локального максимуму таким
чином, щоб \pi 1\scrO (f | Dm , \partial Dm) \simeq G. Нехай N — канонiчний окiл компоненти K, який мiстить
усi компоненти зв’язностi межi \partial M. Тодi N = M, а отже, N має вiд’ємну ейлерову харак-
теристику. Нехай також R — f -регулярний окiл компоненти K, який мiстить усi компоненти
зв’язностi межi \partial M i для якого Dm є компонентою зв’язностi замикання M \setminus R. Всi iншi
компоненти зв’язностi M \setminus R також є дисками, позначимо їх через D1, D2, . . . , Dn. Тодi за
твердженням 2.1 має мiсце iзоморфiзм
\pi 1\scrO (f, \partial M) \simeq \pi 1\scrO (f | Dm , \partial Dm)\times
n\prod
i=1
\pi 1\scrO (f | Di , \partial Di).
Оскiльки за твердженням 2.2 для кожного i = 1, . . . , n маємо \pi 1\scrO (f | Di , \partial Di) \simeq \{ 1\} , то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 189
\pi 1\scrO (f, \partial M) \simeq \pi 1\scrO (f | Dm , \partial Dm) \simeq G.
4. Легко бачити, що справджуються не тiльки доведенi включення, а й аналогiчнi включення
для фундаментальних груп орбiт функцiй Морса, а саме:
1) \{ 1\} \subset \scrM \partial M (M,P, \varepsilon ), де M = S1 \times [0, 1] — цилiндр i \varepsilon (\partial M) = \{ \pm 1\} ,
2) \scrB \subset \scrM \partial D2(D2, P, \varepsilon ) i \scrB \setminus \{ 1\} \subset \scrG \partial M (M,P, \varepsilon ), де M — цилiндр,
3) \scrB \subset \scrM \partial M (M,P, \varepsilon ), де поверхня M вiдмiнна вiд диска i цилiндра.
Для цього достатньо повторити попереднi мiркування, змiнивши вiдображення за групою \BbbZ з
D2 в P таким чином.
Побудова вiдображення за групою \BbbZ з D2 в P . Нехай f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(DA, P ) — вiдображення
з 2-диска DA в P, яке має єдину невироджену критичну точку, тобто \pi 1\scrO (f, \partial DA) \simeq \{ 1\} .
Аналогiчно до прикладу 3.2 при A = \{ 1\} можна побудувати вiдображення fD2 \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(D2, P )
з диска D2 в P, для якого \pi 1\scrO (fD2 , \partial D2) \simeq 1 \wr n \BbbZ \simeq \BbbZ .
Теорему 1.2(1) доведено.
Зауваження 3.1. З твердження 2.3(1), (3) випливає, що у випадку, коли M — цилiндр i \varepsilon \equiv 1
або \varepsilon \equiv - 1, можна побудувати f \in \scrF (M,P, \varepsilon ) (f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(M,P, \varepsilon )) так, щоб f(\partial M) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
4. Побудова групи за заданою функцiєю на торi. Нехай T 2 = \BbbR 2/\BbbZ 2 — 2-тор, f \in
\in \scrF (T 2,\BbbR ) i \Gamma f — граф Кронрода – Рiба функцiї f. Позначимо через pf : T 2 \rightarrow \Gamma f проекцiю
T 2 на \Gamma f . Нехай також \scrD \mathrm{i}\mathrm{d}(T
2) — компонента зв’язностi тотожного вiдображення \mathrm{i}\mathrm{d}T 2 в \scrD (T 2)
i \scrS \prime (f) = \scrS (f) \cap \scrD \mathrm{i}\mathrm{d}(T
2).
Нагадаємо, що \Gamma f або є деревом, або мiстить єдиний цикл. У твердженнях 4.1, 4.2 описано
структуру \pi 1\scrO (f) для обох випадкiв.
1. Нехай \Gamma f є деревом. Тодi згiдно з лемою 2.4 [1] iснує єдиний критичний рiвень K функцiї
f такий, що для f -регулярного околу NK рiвня K, iнварiантного вiдносно \scrS \prime (f), всi компо-
ненти зв’язностi замикання T 2 \setminus NK є 2-дисками. Такi 2-диски позначимо через D1, . . . , Db, а
рiвень K будемо називати спецiальним. Оскiльки NK є iнварiантним вiдносно \scrS \prime (f), то диски
D1, . . . , Db також є iнварiантними вiдносно \scrS \prime (f). Тому кожне h \in \scrS \prime (f) iндукує перестановку
\rho (h) дискiв D1, . . . , Db. Таким чином, маємо гомоморфiзм \rho : \scrS \prime (f) \rightarrow \Sigma \{ Di\} bi=1 з \scrS \prime (f) у
групу перестановок дискiв D1, . . . , Db. Нехай GK := \rho (\scrS \prime (f)) — пiдгрупа в \Sigma \{ Di\} bi=1.
Твердження 4.1 [1, 6, 14]. Мають мiсце такi властивостi:
1) для деяких n,m \geq 1 має мiсце iзоморфiзм GK \simeq \BbbZ m \times \BbbZ n,
2) iснує перерiз s : GK \rightarrow \scrS \prime (f) гомоморфiзму \rho , тобто такий гомоморфiзм, що \rho \circ s =
= \mathrm{i}\mathrm{d}GK
,
3) пiдгрупа s(GK) \simeq \BbbZ m \times \BbbZ n вiльно дiє на T 2, а отже i на D1, . . . , Db; нехай r —
кiлькiсть орбiт цiєї дiї , тодi кожна орбiта складається з однакової кiлькостi дискiв mn, а
отже, b = mnr,
4) у кожнiй орбiтi вiльної дiї \BbbZ m \times \BbbZ n виберемо по одному диску та позначимо їх
D1, . . . , Dr; тодi має мiсце iзоморфiзм
\pi 1\scrO (f) \simeq
\Biggl(
r\prod
i=1
\pi 1\scrO (f | Di , \partial Di)
\Biggr)
\wr m,n \BbbZ 2.
2. Нехай \Gamma f мiстить єдиний цикл. Виберемо довiльну точку x на довiльному ребрi цього
циклу. Тодi C = p - 1
f (x) є регулярною компонентою зв’язностi деякої множини рiвня функцiї
f, яка не розбиває T 2. Нехай
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
190 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
\scrC = \{ h(C) | h \in \scrS \prime (f)\} = \{ C0 = C,C1, . . . , Cn - 1\} .
Оскiльки кожна Ci, i = 0, . . . , n - 1, не розбиває тор i всi Ci попарно не перетинаються, то
вони є попарно iзотопними. Отже, їх можна перепозначити так, щоб у випадку n \geq 2 для
кожного i = 0, . . . , n - 1 кривi Ci та C(i+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n обмежували цилiндр, який не мiстить iнших
кривих iз \scrC .
Нехай RCi — f -регулярнi околи Ci, i = 0, . . . , n - 1, такi, що
\{ h(RC) | h \in \scrS \prime (f)\} = \{ RC0 , RC1 , . . . , RCn - 1\} .
Тодi компоненти зв’язностi замикання T 2 \setminus \cup n - 1
i=0 RCi — цилiндри. Позначимо довiльний такий
цилiндр через Q.
Твердження 4.2 [3, 12]. 1. Iснує h \in \scrS \prime (f) такий, що:
a) h не має нерухомих точок,
b) hn = \mathrm{i}\mathrm{d}T 2 ,
c) h(Ci) = C(i+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n, i = 0, . . . , n - 1.
Таким чином, h iндукує вiльну дiю \BbbZ n на T 2, яка зберiгає f, є iнварiантною та циклiчно
переставляє компоненти Ci, i = 0, . . . , n - 1. Звiдси маємо комутативну дiаграму
T 2
p
##
f //\BbbR
T 2/\BbbZ n ,
g
OO
де фактор-вiдображення p : T 2 \rightarrow T 2/\BbbZ n є n-листим накриттям тора T 2/\BbbZ n, а функцiя
g \in \scrF (T 2/\BbbZ n,\BbbR ) має граф Кронрода – Рiба з єдиним циклом.
2. Має мiсце iзоморфiзм
\pi 1\scrO (f) \simeq \pi 1\scrO (f | Q, \partial Q) \wr n \BbbZ .
Нагадаємо, що \scrT — множина класiв iзоморфiзмiв груп, що складаються з груп вигляду
G \wr n,m \BbbZ 2, де G \in \scrB i n,m \geq 1, а \scrB O — пiдклас \scrB , що складається з груп (A \times B) \wr n \BbbZ , де
A,B \in \scrB \setminus \{ 1\} i n \geq 1.
Теорема 1.2. 2. Мають мiсце тотожностi
\scrM \Psi = \scrG \Psi = \scrT , \scrM O = \scrG O = \scrB O.
Доведення. З твердження 4.1 випливають включення
\scrG \Psi \subset \scrT , \scrM \Psi \subset \scrT .
1. Покажемо, що мають мiсце включення \scrG O \subset \scrB O, \scrM O \subset \scrB O.
Нехай f \in \scrF (T 2,\BbbR ) — така функцiя на торi, що \Gamma f мiстить єдиний цикл. Тодi за тверджен-
ням 4.2 маємо iзоморфiзм \pi 1\scrO (f) \simeq \pi 1\scrO (f | Q, \partial Q) \wr n \BbbZ , де Q \subset T 2 — цилiндр, визначений
вище. Позначимо через \partial Q - 1 i \partial Q1 компоненти зв’язностi межi \partial Q. Тодi f(\partial Q - 1) < f(C)
i f(\partial Q1) < f(C), де C \in \scrC . Зауважимо, що \varepsilon f | Q(\partial Q) = \pm 1. Тому за теоремою про середнє
значення iснує компонента зв’язностi W множини рiвня вiдображення f, для якої f(W ) =
= f(C). Позначимо через C - 1 i C1 цилiндри, на якi W розбиває Q. Тодi за твердженням 2.3(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 191
Рис. 3
маємо iзоморфiзм
\pi 1\scrO (f | Q, \partial Q) \simeq \pi 1\scrO (f | C - 1 , \partial C - 1)\times \pi 1\scrO (f | C1 , \partial C1),
причому \varepsilon f | C - 1
(\partial C - 1) \equiv - 1 i \varepsilon f | C1
(\partial C1) \equiv 1. З наслiдку 2.2 випливає, що \pi 1\scrO (f | C - 1 , \partial C - 1),
\pi 1\scrO (f | C1 , \partial C1) \in \scrB O. Отже, \scrG O \subset \scrB O, звiдки \scrM O \subset \scrB O.
2. Покажемо, що мають мiсце включення
\scrT \subset \scrG \Psi , \scrT \subset \scrM \Psi , \scrB O \subset \scrG O, \scrB O \subset \scrM O.
Для групи G побудуємо функцiю f \in \scrF (T 2,\BbbR ) (f \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(T 2,\BbbR )), для якої \pi 1\scrO (f) \simeq G.
\bfGamma \bfitf є деревом. Нехай G \in \scrT . Тодi G = A \wr m,n \BbbZ , де A \in \scrB , n,m \geq 1.
Побудуємо функцiю f0 \in \scrF (T 2,\BbbR ) (f0 \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(T 2,\BbbR )), зображену на рис. 3, яка має
двi сiдловi критичнi точки на критичному рiвнi K, один невироджений максимум v0 i один
невироджений мiнiмум v1. Тодi для iнварiантного вiдносно \scrS \prime (f0) f0-регулярного околу RK
рiвня K замикання T 2 \setminus RK складається з двох 2-дискiв: диска D0, який мiстить точку макси-
муму, i диска D1, який мiстить точку мiнiмуму. Змiнимо функцiю f0 у f0-регулярному околi
D0 точки максимуму таким чином, щоб \pi 1\scrO (f | D0 , \partial D0) \simeq A. Це можна зробити з огляду на
теорему 1.2(1).
Вiзьмемо mn-листе накриття p : T 2 \rightarrow T 2, задане формулою p(x, y) = (mx\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1,
ny\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1), де x \in \BbbR /\BbbZ , y \in \BbbR /\BbbZ , i зображене на рис. 4 при m = 3, n = 4. Нехай
p - 1(D0) = \{ Di,j
0 \} m,n
i,j=1, p
- 1(D1) = \{ Di,j
1 \} m,n
i,j=1 — множини компонент зв’язностi прообразiв
дискiв D0 i D1. Тодi функцiя f : T 2 \rightarrow \BbbR , визначена за формулою f := f0 \circ p, є шуканою.
Дiйсно, легко бачити, що \Gamma f — дерево i K — спецiальний рiвень. Тодi за твердженням 4.1 для
деяких k, l \geq 1 маємо GK \simeq \BbbZ k \times \BbbZ l.
Покажемо, що GK \simeq \BbbZ m \times \BbbZ n. Зауважимо, що дифеоморфiзми тора hi,j(x, y) =
\biggl(
x +
+
i
m
\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1, y +
j
n
\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1
\biggr)
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, належать \scrS \prime (f). Тому група цих дифео-
морфiзмiв \scrH = \{ hi,j\} m,n
i,j=1 є пiдгрупою \scrS \prime (f).
Зазначимо, що \rho (\scrH ) iн’єктивно вкладається в GK i множини \BbbD 0 = \{ Di,j
0 \} m,n
i,j=1, \BbbD 1 =
= \{ Di,j
1 \} m,n
i,j=1 є iнварiантними вiдносно \scrS \prime (f). Оскiльки за твердженням 4.1 група s(GK) дiє
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
192 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
Рис. 4
вiльно на \{ Di,j
0 \} m,n
i,j=1, то кiлькiсть елементiв у s(GK) i GK збiгається з кiлькiстю дискiв у
орбiтi диска D1,1
0 , тобто дорiвнює mn. Кiлькiсть елементiв у \rho (\scrH ) також дорiвнює mn. Тому
GK = \rho (\scrH ) \simeq H \simeq \BbbZ m \times \BbbZ n.
Тодi за твердженнями 4.1, 2.2 маємо
\pi 1\scrO (f) \simeq
\Bigl(
\pi 1\scrO (f |
D1,1
0
)\times \pi 1\scrO (f |
D1,1
1
)
\Bigr)
\wr m,n \BbbZ 2 \simeq
\simeq (A\times 1) \wr m,n \BbbZ 2 \simeq A \wr m,n \BbbZ 2.
\bfGamma \bfitf не є деревом. Нехай G \in \scrB O. Тодi G = (A \times B) \wr n \BbbZ , де A,B \in \scrB \setminus \{ 1\} i n \geq 1.
Побудуємо функцiю g \in \scrF (T 2,\BbbR ) (g \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(T 2,\BbbR )), яка має двi сiдловi критичнi точки, один
максимум i один мiнiмум. Нехай x — деяка точка на ребрi цього циклу, C = p - 1
f (x) — вiдповiдна
регулярна компонента зв’язностi деякої множини рiвня функцiї g i C \prime — друга компонента
зв’язностi цiєї множини рiвня. Позначимо через RC i RC\prime регулярнi околи компонент C i C \prime
вiдповiдно. Тодi компоненти зв’язностi CA i CB замикання T 2 \setminus (RC \cup RC\prime ) є цилiндрами та
g| CA
\in \scrF (CA,\BbbR ,+1), g| CB
\in \scrF (CB,\BbbR , - 1), причому g(\partial CA) = a, g(\partial CB) = b для деяких
a, b \in \BbbR .
За теоремою 1.2(1) та зауваженням 3.1 можна вибрати такi функцiї fA \in \scrF (CA,\BbbR , - 1),
fB \in \scrF (CB,\BbbR ,+1) (fA \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(CA,\BbbR , - 1), fB \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(CB,\BbbR ,+1)), для яких
\pi 1\scrO (fA) = A, \pi 1\scrO (fB) = B,
а якщо замiнити g| CA
, g| CB
на fA, fB вiдповiдно, то g \in \scrF (T 2,\BbbR ) (g \in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(T 2,\BbbR )).
Вiзьмемо n-листе накриття p : T 2 \rightarrow T 2, задане формулою p(x, y) = (nx\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1, y), де
x \in \BbbR /\BbbZ , y \in \BbbR /\BbbZ . Зауважимо, що всi компоненти зв’язностi замикання T 2 \setminus p - 1(RC) є
цилiндрами. Позначимо довiльний такий цилiндр через Q.
Тодi за твердженням 4.2 функцiя f := g \circ p є шуканою, тобто f \in \scrF (T 2,\BbbR ) (f \in
\in \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}(T 2,\BbbR )), \Gamma f мiстить єдиний цикл i
\pi 1\scrO (f) \simeq \pi 1\scrO (f | Q, \partial Q) \wr n \BbbZ насл. 2.1\simeq (A\times B) \wr n \BbbZ .
Теорему 1.2(2) доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 193
5. Центри вiнцевих добуткiв. Нехай A i B — двi групи. Припустимо, що B дiє на
множинi X. Iншими словами, ми маємо гомоморфiзм \varphi з B у групу перестановок \Sigma (X). Для
b \in B позначимо через \varphi b : X \rightarrow X вiдповiдну перестановку. Нехай також \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A) — група
всiх вiдображень f : X \rightarrow A вiдносно операцiї поточкового множення. Тодi група B дiє на
\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A) за таким правилом: результат дiї b \in B на f \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A) є композицiєю
f \circ \varphi b : X - \rightarrow X - \rightarrow A.
Напiвпрямий добуток \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A) \rtimes \varphi B вiдносно цiєї дiї називається необмеженим вiнцевим
добутком A i B та позначається AWrXB. Таким чином, це прямий добуток \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A) \times B
з операцiєю множення, визначеною формулою
(f1, b1) \cdot (f2, b2) =
\bigl(
(f1 \circ \varphi b2) \cdot f2, b1 \cdot b2
\bigr)
для (f1, b1), (f2, b2) \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A)\rtimes \varphi B.
Позначимо через \sigma (f) носiй функцiї f \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A):
\sigma (f) = \{ x \in X | f(x) \not = e, де e — одиниця групи A\} ,
а через \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}fi\mathrm{n}(X,A) пiдмножину \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A), що складається лише з функцiй зi скiнченним
носiєм | \sigma (f)| < \infty . Напiвпрямий добуток \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}fi\mathrm{n}(X,A)\rtimes \varphi B називається обмеженим вiнцевим
добутком, позначатимемо його AwrXB.
Зауваження 5.1. Якщо X = \BbbZ n i B = \BbbZ дiє на X циклiчними зсувами, то AWr\BbbZ n\BbbZ є
вiнцевим добутком A \wr n \BbbZ . Якщо ж X = \BbbZ n\times \BbbZ m i B = \BbbZ 2 дiє на X 2-циклiчними зсувами, то
AWr\BbbZ n\times \BbbZ m\BbbZ 2 є вiнцевим добутком A \wr n,m \BbbZ 2.
Центр групи A позначимо через Z(A). Нехай \~D(A) позначає пiдгрупу \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,Z(A)) функ-
цiй h : X \rightarrow Z(A), сталих на кожнiй орбiтi дiї B на X, а D(A) — пiдгрупу \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}fi\mathrm{n}(X,Z(A))
функцiй з такою ж властивiстю.
З теореми 4.2 [15] випливає, що мають мiсце iзоморфiзми
Z(AWrXB) \sim = \~D(A), Z(AwrXB) \sim = D(A),
де група B дiє на X ефективно.
У випадку неефективної дiї B на X для довiльних груп A, B отримуємо бiльш загальну си-
туацiю. У цьому пунктi ми узагальнюємо теорему 4.2 [15] i розглядаємо випадок неефективної
дiї B на X.
Позначимо множину всiх орбiт B на X через \scrO , а множину скiнченних орбiт через \scrO fi\mathrm{n}.
Нагадаємо, що прямий добуток множин V, iндексований нескiнченною множиною, складається
з усiх нескiнченних послiдовностей елементiв з V, а пряма сума — лише з послiдовностей зi
скiнченним числом елементiв, вiдмiнних вiд нуля.
Теорема 5.1. Мають мiсце iзоморфiзми
Z(AWrXB) = \~D(A)\times
\bigl(
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \cap Z(B)
\bigr) \sim = \Biggl( \prod
\lambda \in \scrO
Z(A)
\Biggr)
\times
\bigl(
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \cap Z(B)
\bigr)
, (3)
Z(AwrXB) = D(A)\times
\bigl(
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \cap Z(B)
\bigr) \sim =
\left( \bigoplus
\lambda \in \scrO fi\mathrm{n}
Z(A)
\right) \times
\bigl(
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \cap Z(B)
\bigr)
. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
194 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
Нехай \~Q — пiдгрупа AWrXB, елементи (f, l) якої задовольняють такi умови:
a) f є сталою на кожнiй орбiтi B на X, тобто f(x) = a\lambda для будь-якого x \in O\lambda , O\lambda \in \scrO ,
а кожен a\lambda є елементом центра Z(A),
b) l \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \cap Z(B), де Z(B) — центр B.
Очевидно, якщо елемент з AWrXB задовольняє умови a) i b), то елемент належить центру,
тому \~Q \subset Z(AWrXB).
Для будь-якого y \in X i c \in A визначимо вiдображення gy,c \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A) за формулою
gy,c(x) =
\left\{ c, якщо x = y,
e, якщо x \not = y.
(5)
Нехай S — множина елементiв (gy,c, p) з AWrXB, де p \in B. Множина S є також пiд-
множиною AwrXB. Позначимо через \~C(S) i C(S) централiзатор множини S у AWrXB
i централiзатор множини S у AwrXB вiдповiдно. Зрозумiло, що Z(AWrXB) \subset \~C(S) i
Z(AwrXB) \subset C(S). Тому для групи \~Q маємо вкладення
\~Q \subset Z(AWrXB) \subset \~C(S).
Лема 5.1. Виконуються рiвностi
Z(AWrXB) = \~C(S) = \~Q.
Доведення. Достатньо перевiрити вкладення \~C(S) \subset \~Q.
Припустимо, що (gy,c, p) \in S i (f, l) \in \~C(S), де f, gy,c \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,A), gy,c визначено у (5) i
l, p \in B. Тодi за означенням маємо рiвнiсть (f, l)(gy,c, p) = (gy,c, p)(f, l). Отже,
((f \circ \varphi p) \cdot gy,c, lp) = ((gy,c \circ \varphi l) \cdot f, pl) .
Тому lp = pl для будь-якого p, звiдки випливає, що l \in Z(B), i ми отримуємо
(f \circ \varphi p(x)) \cdot gy,c(x) = (gy,c \circ \varphi l(x)) \cdot f(x). (6)
Для x \not = y, x \not = \varphi - 1
l (y) у (6) маємо
f \circ \varphi p(x) = f(x). (7)
Рiвнiсть (7) виконується для кожного p \in B, тому f набуває одного й того ж значення на
всiй орбiтi.
Зазначимо, що можна вибрати gy,c(x) з iншим фiксованим елементом y. Тому f є сталою
на кожнiй орбiтi B на X, тобто f(x) = a\lambda для кожного x \in O\lambda , O\lambda \in \scrO .
Залишилось показати, що кожен a\lambda є елементом центра Z(A) i l \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi .
Для цього проаналiзуємо рiвнiсть (6) при x = y. Можливi два випадки:
1) якщо \varphi l(y) = y, то
f(y)gy,c(y) = gy,c(y)f(y),
2) якщо \varphi l(y) \not = y, то
f(y)gy,c(y) = f(y).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 195
Другий випадок неможливий, оскiльки gy,c(y) \not = e. Тому l \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi . З першого випадку випли-
ває, що для кожного y \in X маємо f(y) \in Z(A), оскiльки gy,c(y) = c, де c — довiльний елемент
A. Отже, умови 1 i 2 виконуються.
Лема 5.2. Центр Z(AwrXB) є перетином Z(AWrXB) i AwrXB, тобто
Z(AwrXB) = Z(AWrXB) \cap (AwrXB).
Доведення. Дiйсно, вкладення (Z(AWrXB) \cap (AwrXB)) \subset Z(AwrXB) є очевидним.
Перевiримо протилежне вкладення. Припустимо, що (f, l) \in Z(AwrXB). Оскiльки S \subset
\subset AwrXB, отримуємо
Z(AwrXB) \subset C(S) \subset \~C(S) \cap (AwrXB)
лема 5.1
= Z(AWrXB) \cap (AwrXB).
Доведення теореми 5.1. Для необмеженого вiнцевого добутку AWrXB кiлькiсть орбiт у
Z(AWrXB) може бути нескiнченною, а для обмеженого вiнцевого добутку AwrXB кiлькiсть
орбiт у Z(AwrXB) може бути лише скiнченною.
Згiдно з лемами 5.1 i 5.2 мають мiсце бiєкцiї
\psi 1 : Z(AWrXB) \rightarrow
\prod
\lambda \in \Lambda
Z(A)\times
\bigl(
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \cap Z(B)
\bigr)
,
\psi 2 : Z(AwrXB) \rightarrow
\bigoplus
\lambda \in \Lambda fi\mathrm{n}
Z(A)\times
\bigl(
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \cap Z(B)
\bigr)
,
визначенi за формулами \psi 1(f, l) = (a1, a2, . . . , as1 , l), \psi 2(f, l) = (a1, a2, . . . , as2 , l). Легко пере-
вiрити, що \psi 1 i \psi 2 є гомоморфiзмами.
Теорему 5.1 доведено.
Наслiдок 5.1.
Z
\Bigl(
A \wr
n
\BbbZ
\Bigr)
= \{ (a, a, . . . , a, nk) | a \in Z(A), k \in \BbbZ \} \sim = D(A)\times n\BbbZ \sim = Z(A)\times \BbbZ , (8)
Z
\Bigl(
A \wr
n,m
\BbbZ 2
\Bigr)
=
\Bigl\{
(a)n,mi,j=1, nk,mp) | a \in Z(A), k, p \in \BbbZ
\Bigr\}
\sim =
\sim = D(A)\times n\BbbZ \times m\BbbZ \sim = Z(A)\times \BbbZ 2, (9)
Z(A\times B) \sim = Z(A)\times Z(B). (10)
Дiйсно, для груп A \wr
n
\BbbZ i A \wr
n,m
\BbbZ 2 маємо тiльки одну орбiту дiї B на X. Згiдно з теоремою 5.1
отримуємо (8) i (9), (10) є очевидним. Наприклад,
Z
\Bigl( \bigl(
(\BbbZ \wr 3 \BbbZ )\times (\BbbZ \wr 5 \BbbZ )
\bigr)
\wr 7 \BbbZ
\Bigr)
\sim = Z
\Bigl(
(\BbbZ \wr 3 \BbbZ )\times (\BbbZ \wr 5 \BbbZ )
\Bigr)
\times 7\BbbZ \sim =
\sim = Z
\Bigl(
(\BbbZ \wr 3 \BbbZ )\times (\BbbZ \wr 5 \BbbZ )
\Bigr)
\times \BbbZ \sim = Z
\bigl(
\BbbZ \wr 3 \BbbZ
\bigr)
\times Z
\bigl(
\BbbZ \wr 5 \BbbZ
\bigr)
\times \BbbZ \sim =
\sim = \BbbZ \times 3\BbbZ \times \BbbZ \times 5\BbbZ \times \BbbZ \sim = \BbbZ 4 \times \BbbZ .
Теорема 5.2. Нехай G \in \scrB (G \in \scrT ), \omega — довiльна реалiзацiя G в алфавiтi \scrA \scrB (\scrA \scrT ), а
\beta 1(\omega ) — кiлькiсть символiв \BbbZ у реалiзацiї \omega . Тодi Z(G) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
196 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
Доведення. Справедливiсть теореми випливає з наслiдку 5.1 та iндукцiї по кiлькостi сим-
волiв 1 i \BbbZ у реалiзацiї \omega , яку позначатимемо через l(\omega ). Для зручностi позначимо через \widetilde \omega
групу з класу \scrB (\scrT ), визначену словом \omega . Зокрема, \omega є реалiзацiєю \widetilde \omega в алфавiтi \scrA (чи в \scrA \scrT ).
Оскiльки \widetilde \omega є групою, iзоморфною G, маємо
Z(G) = Z(\widetilde \omega ).
Очевидно, якщо l(\omega ) = 1, то \omega — це або 1, або \BbbZ , тому Z(G) \simeq 1 або Z(G) \simeq \BbbZ вiдповiдно.
Припустимо, що Z(G) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ) для всiх слiв з l(\omega ) \leq k. Покажемо це для l(\omega ) = k + 1. У
цьому випадку реалiзацiя \omega — це або 1) прямий добуток \omega 1 \times \omega 2 такий, що l(\omega 1) + l(\omega 2) =
= k + 1, l(\omega 1) \leq k, l(\omega 2) \leq k, або 2) вiнцевий добуток \omega 1 \wr n \BbbZ , де l(\omega 1) = k, або 3) вiнцевий
добуток \omega 1 \wr n,m \BbbZ 2, де l(\omega 1) = k - 1. Iз наслiдку 5.1, iндуктивного припущення та очевидного
спостереження \beta 1(\omega 1) + \beta 1(\omega 2) = \beta 1(\omega 1 \times \omega 2) випливає, що у першому випадку
Z(\widetilde \omega 1 \times \widetilde \omega 2) \sim = Z(\widetilde \omega 1)\times Z(\widetilde \omega 2) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega 1) \times \BbbZ \beta 1(\omega 2) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega 1)+\beta 1(\omega 2) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega 1\times \omega 2) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ),
у другому випадку
Z(\widetilde \omega ) \simeq Z(\widetilde \omega 1 \wr n \BbbZ ) \simeq Z(\widetilde \omega 1)\times \BbbZ \simeq \BbbZ \beta 1(\omega 1) \times \BbbZ \simeq \BbbZ \beta 1(\omega 1\wr n\BbbZ ) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ),
а у третьому випадку
Z(\widetilde \omega ) \simeq Z(\widetilde \omega 1 \wr n,m \BbbZ 2) \simeq Z(\widetilde \omega 1)\times \BbbZ 2 \simeq \BbbZ \beta 1(\omega 1) \times \BbbZ 2 \simeq \BbbZ \beta 1(\omega 1\wr n,m\BbbZ 2) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ).
Теорему 5.2 доведено.
6. Комутант.
Теорема 6.1. Для довiльної групи G комутант G \wr
n,m
\BbbZ 2 збiгається з групою
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
=
\left\{ \Bigl( (gi,j)n,mi,j=1, 0, 0
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n,m\prod
i,j=1
gi,j \in [G,G]
\right\} .
Доведення. Спочатку покажемо, що кожен g =
\bigl(
(gi,j)
n,m
i,j=1, 0, 0
\bigr)
такий, що
\prod n,m
i,j=1
gi,j \in
\in [G,G], належить
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
.
Доведемо, що елементи h1, h2 групи G \wr
n,m
\BbbZ 2,
h1 =
\bigl(
(gi,j)
n,m
i,j=1, k, s
\bigr)
, h2 =
\bigl(
(gi,1)
n
i=1, . . . , (gi,m - 2)
n
i=1, (gi,m - 1gi,m)ni=1, e, k, s
\bigr)
,
належать одному i тому ж класу спряженостi, тобто
h2 = h1f, де f \in
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
. (11)
Дiйсно, f =
\Bigl(
(e, . . . , e, (gi,m)ni=1, (g
- 1
i,m)ni=1), 0, 0
\Bigr)
задовольняє рiвнiсть (11). Легко перевiри-
ти, що f \in
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 197
Аналогiчно, за iндукцiєю отримуємо, що елементи
h1 =
\left( \left( n,m\prod
i,j=1
gi,j
\right) , k, s
\right) , h3 =
\left( \left( \left( m\prod
j=1
gi,j
\right) n
i=1
. . . , e, e
\right) , k, s
\right) ,
належать одному i тому ж класу спряженостi.
Елементи h3, h4 групи G \wr
n,m
\BbbZ 2,
h4 =
\left(
\left(
\prod n,m
i,j=1
gi,j . . . e e e
. . . . . . . . . . . . . . .
e . . . e e e
\right) k, s
\right) ,
також належать одному i тому ж класу спряженостi, оскiльки в цьому випадку можна покласти
f =
\left(
\left(
e . . . e e
. . . . . . . . . . . . . . .\prod m
j=1
gn,j . . . e e\Bigl( \prod m
j=1
gn,j
\Bigr) - 1
. . . e e
\right)
0, 0
\right)
.
Зауважимо, що для елементiв
\alpha =
\bigl(
(ai,j)
n,m
i,j=1, 0, 0
\bigr)
, a1,1 = a, ai,j = e, i = j \not = 1,
\beta =
\bigl(
(bi,j)
n,m
i,j=1, 0, 0
\bigr)
, b1,1 = b, bi,j = e, i = j \not = 1,
з G \wr
n,m
\BbbZ 2 виконується рiвнiсть
[\alpha , \beta ] =
\left(
\left(
[a, b] . . . e e
. . . . . . . . . . . . . . .
e . . . e e
e . . . e e
\right) 0, 0
\right) . (12)
Отже, кожен g =
\bigl(
(gi,j)
n,m
i,j=1, 0, 0
\bigr)
такий, що
\prod n,m
i,j=1
gi,j \in [G,G], належить класу спряже-
ностi елемента h4 при k = 0, s = 0, i згiдно з (12) g \in
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
.
Нехай тепер g =
\bigl(
(gi,j)
n,m
i,j=1, k, s
\bigr)
\in
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
, а також a = ((ai,j)
n,m
i,j=1, c, d) i
b = ((bi,j)
n,m
i,j=1, l, p) — елементи з G \wr
n,m
\BbbZ 2. Маємо
aba - 1b - 1 =
\bigl( \bigl(
ai - c,j - dbi - c - l,j - d - pa
- 1
i - c - l,j - d - pb
- 1
i - l,j - p
\bigr) n,m
i,j=1
, 0, 0
\bigr)
. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
198 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
Тому k = 0. Очевидно також, що кожний елемент ai,j , bi,j , a
- 1
i,j , b
- 1
i,j входить у запис (13) рiвно
один раз для кожного комутатора aba - 1b - 1 та оберненого до нього.
Кожен g \in
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
породжується комутаторами з такою властивiстю, тому
добуток його перших n координат має вигляд
n\prod
i=1
gi = ci11 c
i2
2 . . . c
ir
r , ir \in \{ \pm 1\} , ci \in G,
де ci не обов’язково рiзнi, але сума степенiв однакових елементiв завжди дорiвнює нулю.
Оскiльки cicj = cjci[c
- 1
i , c - 1
j ], ми можемо скоротити всi ci за допомогою перестановок,
тому залишаться лише комутатори. Отже,
\prod n
i=1
gi \in [G,G].
Теорему 6.1 доведено.
Аналогiчними до доведення теореми 6.1 мiркуваннями можна встановити такий наслiдок.
Наслiдок 6.1. Для довiльної групи G комутант G \wr
n
\BbbZ збiгається з групою
\biggl[
G \wr
n
\BbbZ , G \wr
n
\BbbZ
\biggr]
=
\Biggl\{
(g1, g2, . . . , gn, 0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
n\prod
i=1
gi \in [G,G]
\Biggr\}
.
Теорема 6.2. Для довiльної групи G мають мiсце такi iзоморфiзми фактор-груп:
G \wr
n
\BbbZ
\big/
[G \wr n \BbbZ , G \wr n \BbbZ ] \sim = G/[G,G]\times \BbbZ ,
G \wr
n,m
\BbbZ 2
\big/ \biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
\sim = G/[G,G]\times \BbbZ 2.
Доведення. Побудуємо гомоморфiзми
\eta : G \wr n \BbbZ \rightarrow G/[G,G]\times \BbbZ , \mu : G \wr n,m \BbbZ 2 \rightarrow G/[G,G]\times \BbbZ 2,
визначенi формулами
\eta ((gi)
n
i=1, k) =
\Biggl( \Biggl(
n\prod
i=1
gi
\Biggr)
[G,G], k
\Biggr)
,
\mu ((gi,j)
n,m
i,j=1, k, p) =
\left( \left( n,m\prod
i,j=1
gi,j
\right) [G,G], k, p
\right) .
Для перевiрки, що \eta є гомоморфiзмом, проведемо обчислення
\eta (a1, a2, . . . , an, k)\eta (b1, b2, . . . , bn, p) = (a1a2 . . . an[G,G], k)(b1b2 . . . bn[G,G], p) =
= (a1a2 . . . anb1b2 . . . bn[G,G], k + p),
\eta ((a1, a2, . . . , an, k)(b1, b2, . . . , bn, p)) =
= \eta (a(1+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nb1, a(2+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nb2, . . . , a(n+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nbn, k + p) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
ПЕРШI ЧИСЛА БЕТТI ОРБIТ ФУНКЦIЙ МОРСА НА ПОВЕРХНЯХ 199
= (a(1+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nb1a(2+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nb2 . . . a(n+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nbn[G,G], k + p).
Оскiльки G/[G,G] абелева, маємо\bigl(
a(1+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nb1a(2+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nb2 . . . a(n+p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}nbn[G,G], k + p
\bigr)
=
=
\bigl(
a1a2 . . . anb1b2 . . . bn[G,G], k + p
\bigr)
,
тому \eta є гомоморфiзмом.
Гомоморфiзм \eta є сюр’єктивним, оскiльки для кожного елемента (h, n) \in G/[G,G]\times \BbbZ iснує
елемент (h, e, e, . . . , n), що задовольняє рiвнiсть
\varphi (h, e, e, . . . , n) = (h, n).
Тодi ядро \eta має вигляд \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \eta =
\Bigl\{
(g1, g2, . . . , gn, 0)
\bigm| \bigm| \bigm| \prod n
i=1
gi \in [G,G]
\Bigr\}
i збiгається з
[G \wr n \BbbZ , G \wr n \BbbZ ] .
Аналогiчно перевiряється, що \mu є сюр’єктивним гомоморфiзмом. Ядро \mu має вигляд \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\mu =
=
\Bigl\{
(gi,j)
n,m
i,j=1, 0, 0)
\bigm| \bigm| \bigm| \prod n,m
i,j=1
gi,j \in [G,G]
\Bigr\}
i збiгається з
\biggl[
G \wr
n,m
\BbbZ 2, G \wr
n,m
\BbbZ 2
\biggr]
.
Теорему 6.2 доведено.
Теорема 6.3. Нехай G \in \scrB (G \in \scrT ), \omega — довiльна реалiзацiя G в алфавiтi \scrA \scrB (\scrA \scrT ) i
\beta 1(\omega ) — кiлькiсть символiв \BbbZ у реалiзацiї \omega . Тодi G/[G,G] \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ).
Доведення аналогiчне доведенню теореми 5.2. Замiсть зауваження 5.1 достатньо застосу-
вати теорему 6.2 i твердження про те, що для довiльних двох груп A та B виконується
A\times B/[A\times B,A\times B] \simeq A/[A,A]\times B/[B,B]. (14)
Для доведення (14) достатньо перевiрити, що вiдображення \varphi : A\times B \rightarrow A/[A,A]\times B/[B,B],
визначене формулою
(a, b) \mapsto \rightarrow
\bigl(
a[A,A], b[B,B]
\bigr)
,
є сюр’єктивним гомоморфiзмом з ядром \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi = [A\times B,A\times B].
Оскiльки \varphi є добутком сюр’єктивних гомоморфiзмiв \varphi 1, \varphi 2, визначених формулами
\varphi 1 : A\times B \rightarrow A/[A,A], \varphi 1(a, b) = a[A,A],
\varphi 2 : A\times B \rightarrow B/[B,B], \varphi 2(a, b) = b[B,B],
воно також є сюр’єктивним гомоморфiзмом.
Далi, зауважимо, що
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi =
\bigl\{
(a, b) | a \in [A,A], b \in [B,B]
\bigr\}
.
Перевiримо, що \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi \subset [A\times B,A\times B]. Дiйсно, нехай
\Bigl( \prod
[ai, bi],
\prod
[cj , dj ]
\Bigr)
\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi , де
ai, bi \in A, cj , dj \in B, тодi\Biggl( \prod
i
[ai, bi],
\prod
j
[cj , dj ]
\Biggr)
=
\Biggl( \prod
i
[ai, bi], e
\Biggr) \Biggl(
e,
\prod
j
[cj , dj ]
\Biggr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
200 I. В. КУЗНЄЦОВА, Ю. Ю. СОРОКА
=
\prod
i
([ai, bi], e)
\prod
j
(e, [cj , dj ]) =
=
\prod
i
\bigl[
(ai, e), (bi, e)
\bigr] \prod
j
\bigl[
(e, cj), (e, dj)
\bigr]
\in [A\times B,A\times B].
Навпаки, для будь-якого комутатора [(a, b), (c, d)] в [A\times B,A\times B] маємо\bigl[
(a, b), (c, d)
\bigr]
= (a, b)(c, d)(a - 1, b - 1)(c - 1, d - 1) =
\bigl(
[a, c], [b, d]
\bigr)
\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi .
Теорему 6.3 доведено.
Тепер ми можемо отримати очевидне доведення основного результату статтi — теореми 1.1.
З теореми 5.2 при тих же припущеннях отримуємо, що Z(G) \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ), а з теореми 6.3 — що
G/[G,G] \simeq \BbbZ \beta 1(\omega ). Тодi, очевидно,
Z(G) \sim = G/[G,G] \sim = \BbbZ \beta 1(\omega ).
Автори висловлюють подяку С. I. Максименку за увагу та плiднi дискусiї.
Лiтература
1. B. G. Feshchenko, Deformation of smooth functions on 2-torus whose Kronrod – Reeb graphs is a tree, Pr. Inst. Mat.
Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Zastos., 12 204 – 219 (2015).
2. S. I. Maksymenko, Homotopy types of right stabilizers and orbits of smooth functions on surfaces, Ukr. Math. J., 64,
№ 9, 1186 – 1203 (2012).
3. S. I. Maksymenko, B. G. Feshchenko, Smooth functions on 2-torus whose Kronrod – Reeb graph contains a cycle,
Methods Funct. Anal. and Topology, 21, № 1, 22 – 40 (2015).
4. S. Maksymenko, Deformations of functions on surfaces by isotopic to the identity diffeomorphisms, Topology and
Appl., 282, Article 107312 (2020).
5. S. I. Maksymenko, Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces, Ann. Global Anal. and
Geom., 29, № 3, 241 – 285 (2006).
6. B. Feshchenko, Actions of finite groups and smooth functions on surfaces, Methods Funct. Anal. and Topology, 22,
№ 3, 210 – 219 (2016).
7. E. A. Kudryavtseva, Special framed Morse functions on surfaces, Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh., № 4,
14 – 20 (2012).
8. E. A. Kudryavtseva, The topology of spaces of Morse functions on surfaces, Math. Notes, 92, № 1-2, 219 – 236
(2012).
9. E. A. Kudryavtseva, On the homotopy type of spaces of Morse functions on surfaces, Sb. Math., 204, № 1, 75 – 113
(2013).
10. E. A. Kudryavtseva, Topology of spaces of functions with prescribed singularities on the surfaces, Dokl. Akad. Nauk,
93, № 3, 264 – 266 (2016).
11. B. Feshchenko, Deformations of smooth functions on 2-torus, Proc. Int. Geom. Cent., 12, № 3, 30 – 50 (2019).
12. S. I. Maksymenko, B. G. Feshchenko, Orbits of smooth functions on 2-torus and their homotopy types, Mat. Stud.,
44, № 1, 67 – 84 (2015).
13. A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2002).
14. S. I. Maksymenko, B. G. Feshchenko, Homotopy properties of spaces of smooth functions on 2-torus, Ukr. Math. J.,
66, № 9, 1205 – 1212 (2014).
15. J. D. P. Meldrum, Wreath products of groups and semigroups, Pitman Monogr. and Surv. Pure and Appl. Math.,
vol. 74, Longman, Harlow (1995).
Одержано 26.05.20,
пiсля доопрацювання — 09.01.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2383 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:35Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/32/cbdb0337dddb7741765ec34d574ec132.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23832025-03-31T08:48:28Z The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces Перші числа Бетті орбіт функцій Морса на поверхнях Kuznietsova, I. V. Soroka, Yu. Yu. I. V. Yu. Yu. Кузнєцова, І. В. Сорока, Ю. Ю. Вінцеві добутки, Групи гомологій, функції Морса Wreath products, Homology groups, Morse functions UDC 515.1 Let $M$ be a connected compact orientable surface and let $P$ be the real line $\mathbb{R}$ or circle $S^1.$ The group $\mathcal{D}$ of diffeomorphisms on $M$ acts in the space of smooth mappings $C^{\infty} (M,P)$ by the rule $(f,h)\longmapsto f\circ h,$ where $h \in \mathcal{D},$ $f\in C^\infty (M,P).$For $f\in C^{\infty}(M,P),$ let $\mathcal{O}(f)$ denote the orbit of $f$ relative to the specified action. By $\mathcal{M}(M,P)$ we denote the set of isomorphism classes of the fundamental groups $\pi_1\mathcal{O}(f)$ of orbits of all Morse mappings $f\colon M\to P.$ S. I. Maksymenko and B. G. Feshchenko studied the sets of isomorphism classes $\mathcal{B}$ and $\mathcal{T}$ of groups generated by direct products and certain wreath products. In this case, they succeeded to prove the inclusions $\mathcal{M}(M,P) \subset \mathcal{B}$ under the condition that $M$ is distinct from the 2-sphere $S^2$ and 2-torus $T^2$ and $\mathcal{M} (T^2, \mathbb{R})\subset \mathcal{T}.$In the present paper, we show that these inclusions are equalities and describe some subclasses from $\mathcal{M} (M,P)$ under certain restrictions on the behavior of functions on the boundary $\partial M.$ We also prove that for any group $G \in \mathcal{B}$ $(G \in \mathcal{T})$, the center $Z(G)$ and the quotient group by the commutator subgroup $G/[G,G]$ are free Abelian groups of the same rank easily calculated by using the geometric properties of a Morse mapping $f$ such that $\pi_1\mathcal{O}(f)\simeq G.$ In particular, this rank is the first Betti number of the orbit $\mathcal{O}(f)$ of $f.$ В этой статье мы изучаем алгебраические свойства некоторого класса групп $\classGroups$ порожденного прямыми произведениями и сплетениями. Такой класс групп возникает при вычислении фундаментальных групп орбит функций Морса на компактных многообразиях. Мы доказываем, что для произвольной группы $G\in\classGroups$ ранг центра $Z(G)$ и фактор-группа по комутанту $G/[G,G]$ совпадают. Более того, этот ранг является первым числом Бетти орбиты функции Морса. УДК 515.1 Нехай $M$ -зв'язна компактна орієнтовна поверхня і $P$ - дійсна пряма $\mathbb{R}$ або коло $S^1.$ Зауважимо, що група $\mathcal{D}$ дифеоморфізмів $M$ діє на просторі гладких відображень $C^{\infty} (M,P)$ за правилом $(f,h) \longmapsto f \circ h,$ де $h\in\mathcal{D},$ $f\in C^\infty (M,P).$Для $f\in C^{\infty}(M,P)$ позначимо через $\mathcal{O}(f)$ його орбіту відносно вказаної дії. Нехай $\mathcal{M}(M,P)$ - множина класів ізоморфізму фундаментальних груп $\pi_1\mathcal{O}(f)$ орбіт усіх відображень Морса&nbsp; $f\colon M\to P.$ В роботах С. І. Максименка та Б. Г. Фещенка було розглянуто множини класів $\mathcal{B}$ і $\mathcal{T}$ ізоморфізму груп, що породжуються прямими добутками та певними типами вінцевих добутків, і доведено включення $\mathcal{M}(M,P) \subset \mathcal{B},$ якщо $M$ відмінна від 2-сфери $S^2$ і 2-тора $T^2,$ та $\mathcal{M} (T^2, \mathbb{R})\subset \mathcal{T}.$В даній статті показано, що вказані включення є рівностями, та описано деякі підкласи в $\mathcal{M} (M,P)$ при певних обмеженнях на поведінку функцій на межі $\partial M.$ Також доведено, що для довільної групи $G \in \mathcal{B}$ $(G \in \mathcal{T})$ центр $Z(G)$ і фактор-група по комутанту $G/[G,G]$ є вільними абелевими групами однакового рангу, який легко обчислити із геометричних властивостей відображення Морса $f$ такого, що $\pi_1\mathcal{O}(f) \simeq G.$ Зокрема, цей ранг є першим числом Бетті орбіти $\mathcal{O}(f)$ відображення $f.$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-02-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2383 10.37863/umzh.v73i2.2383 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 2 (2021); 179 - 200 Український математичний журнал; Том 73 № 2 (2021); 179 - 200 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2383/8937 Copyright (c) 2021 Ірина Кузнєцова |
| spellingShingle | Kuznietsova, I. V. Soroka, Yu. Yu. I. V. Yu. Yu. Кузнєцова, І. В. Сорока, Ю. Ю. The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces |
| title | The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces |
| title_alt | The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces Перші числа Бетті орбіт функцій Морса на поверхнях |
| title_full | The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces |
| title_fullStr | The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces |
| title_full_unstemmed | The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces |
| title_short | The first Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces |
| title_sort | first betti numbers of orbits of morse functions on surfaces |
| topic_facet | Вінцеві добутки Групи гомологій функції Морса Wreath products Homology groups Morse functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2383 |
| work_keys_str_mv | AT kuznietsovaiv thefirstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT sorokayuyu thefirstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT iv thefirstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT yuyu thefirstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT kuznêcovaív thefirstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT sorokaûû thefirstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT kuznietsovaiv peršíčislabettíorbítfunkcíjmorsanapoverhnâh AT sorokayuyu peršíčislabettíorbítfunkcíjmorsanapoverhnâh AT iv peršíčislabettíorbítfunkcíjmorsanapoverhnâh AT yuyu peršíčislabettíorbítfunkcíjmorsanapoverhnâh AT kuznêcovaív peršíčislabettíorbítfunkcíjmorsanapoverhnâh AT sorokaûû peršíčislabettíorbítfunkcíjmorsanapoverhnâh AT kuznietsovaiv firstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT sorokayuyu firstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT iv firstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT yuyu firstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT kuznêcovaív firstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces AT sorokaûû firstbettinumbersoforbitsofmorsefunctionsonsurfaces |