On various moduli of smoothness and $K$-functionals
UDC 517.5 In this survey paper, exact rate of approximation of functions by linear means of Fourier series and Fourier integrals and corresponding $K$-functionals are expressed via special moduli of smoothness.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2384 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508274899550208 |
|---|---|
| author | Trigub , R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. |
| author_facet | Trigub , R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. |
| author_sort | Trigub , R. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-26T11:01:55Z |
| description | UDC 517.5
In this survey paper, exact rate of approximation of functions by linear means of Fourier series and Fourier integrals and corresponding $K$-functionals are expressed via special moduli of smoothness. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i7.2384 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i7.2384
УДК 517.5
Р. М. Тригуб (Донецк. нац. ун-т)
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И \bfitK -ФУНКЦИОНАЛАХ
In this survey paper, exact rate of approximation of functions by linear means of Fourier series and Fourier integrals and
corresponding K -functionals are expressed via special moduli of smoothness.
Статтю, що має оглядовий характер, присвячено визначенню точного порядку наближення функцiй лiнiйними
середнiми рядiв та iнтегралiв Фур’є i знаходженню K -функцiоналiв через спецiальнi модулi гладкостi.
1. Введение. Для непрерывной 2\pi -периодической функции f : \BbbR \rightarrow \BbbC , f \in C(\BbbT ), \BbbT = [ - \pi , \pi ],
модуль гладкости порядка r \in \BbbN и шага h > 0 определяют так:
\omega r(f ;h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{ \bigm| \bigm| \Delta r
\delta f(x)
\bigm| \bigm| : x \in \BbbT , \delta \in (0, h]
\bigr\}
, \Delta r
\delta f(x) =
r\sum
\nu =0
\biggl(
r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f(x+ \nu \delta )
(разность функции порядка r и шага \delta > 0).
Модуль непрерывности \omega = \omega 1 использовал Лебег. При r \geq 2 модуль гладкости ввел
С. Н. Бернштейн (1912 г.), а основные его свойства изучил Маршо (1927 г.).
Известно, например, что
\omega r(f ;h) = O(h\alpha ), 0 < \alpha \leq r, h\rightarrow 0,
тогда и только тогда, когда f [\alpha ] \in Lip
\bigl(
\alpha - [\alpha ]
\bigr)
(при нецелом \alpha ), \omega 2
\bigl(
f (\alpha - 1);h
\bigr)
= O(h) (при
целом \alpha < r) и, наконец, f (r - 1) \in Lip1 (при \alpha = r).
Подобным образом определяется модуль гладкости \omega r(f ;h)p функции в метрике Lp, а
вместо R может быть компакт в \BbbC .
Общие свойства модулей гладкости см. в [1, 3 – 5]. Теорему о продолжении функции с
сохранением порядка убывания \omega r при h \rightarrow 0 доказал О. В. Бесов [2], общую теорему о
продолжении — Ю. А. Брудный (см. [7]), а некоторые свойства (например, о модуле гладкости
произведения функций) — автор.
С. Н. Бернштейн [8] применил модуль гладкости более общего вида, определяемый „раз-
ностью” порядка r \geq 2:
f(x) -
r\sum
k=1
akf(x+ bk\delta ),
r\sum
k=1
ak = 1,
r\sum
k=1
akb
s
k = 0,
1 \leq s \leq r - 1, 1 = b1 < b2 < . . . < br.
Это частный случай такого модуля (f ограничена и непрерывна на прямой, а \mu — конечная
борелевская мера):
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\delta \leq h
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
- \infty
f(x - \delta u)d\mu (u)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
введенного в [9], который изучали H. Shapiro и J. Boman (см., например, [10]).
Ранее [11] автор ввел модуль
c\bigcirc Р. М. ТРИГУБ, 2020
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7 971
972 Р. М. ТРИГУБ
\~\omega r(f ;h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1h
h\int
0
\Delta r
\delta f(x)d\delta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
(верхняя грань по шагу заменена интегральным средним), который оказался по порядку экви-
валентным \omega r(f ;h). Этот линеаризованный модуль удобен в применении ([3], см. ниже пп. 2.2
в п. 2).
В 60-е годы прошлого века для построения интерполяционных пространств между двумя
банаховыми пространствами E1 и E2 вещественным методом были введены (J. L. Lions и
J. Peetre) K -функционалы (f \in E1 + E2, h > 0)
K(f ;h) = K(f ;h,E1, E2) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ \| f1\| E1 + h\| f2\| E2 , f = f1 + f2\}
(см. [12], а также [4]).
В случае, когда хотя бы одно из пространств является пространством гладких функций,
K -функционал, как и модуль гладкости, определяет при h\rightarrow 0 промежуточную гладкость.
Z. Ciesielski [13] поставил вопрос о формулах для K -функционалов, выражаемых для пе-
риодических функций через средние их рядов Фурье.
В работе [14] найдены такие формулы для пространств, определяемых дифференциальны-
ми операторами \Delta r (\Delta — оператор Лапласа) и D2r =
\sum d
j=1
\partial 2r
\partial x2rj
, d \in \BbbN , x = (x1, . . . , xd),
r \in \BbbN . Для оператора Лапласа \Delta (r = 1) другая форма указана в [15] (см. пп. 3.4, 3.5). При этом
автор использовал двусторонние (порядковые) неравенства для приближения индивидуальных
функций классическими средними рядов Фурье (одномерный случай см. в [16] или [5]). Этой
проблемой (двусторонними оценками) успешно занимались В. В. Жук [17, 18], Э. В. Сторо-
женко [19], М. Ф. Тиман и В. П. Пономаренко [20], а в случае любого числа переменных —
Э. С. Белинский [21], Р. М. Тригуб [22], О. И. Кузнецова [23], Ю. Л. Носенко [24]. После статьи
Z. Ditzian и K. G. Ivanov [25] такие результаты о точном порядке приближения функций извест-
ными полиномами часто называют „strong converse inequalities”. Следует еще отметить V. Totik,
X. L. Zhou, К. В. Руновского и Ю. С. Коломойцева (см. ссылки в статье B. R. Draganov [26]).
Еще нужно упомянуть о подобных результатах в пространстве Lp, p > 0, и пространствах
Харди Hp, 0 < p \leq 1, на диске [27], полуплоскости [28] и шаре [29].
Для определения точного порядка приближения функции на торе \BbbT d или на всем про-
странстве \BbbR d обычно используют один из следующих двух методов. Первый из них основан
на прямых теоремах теории приближений (типа Джексона) и экстремальных свойствах це-
лых функций экспоненциального типа (типа неравенства Бернштейна). Этот метод применим
и к нелинейным операторам приближения. Второй основан на принципе сравнения мульти-
пликаторов (впервые применен в [11, 30]). Таким образом получают и прямые теоремы, и
экстремальные свойства полиномов и целых функций экспоненциального типа. Достоинством
этого метода является точность.
Из точных по порядку оценок приближения линейными средними рядов и интегралов Фурье
следуют конструктивные характеристики классов функций, определение классов насыщения и
новые формулы для K -функционалов.
По поводу определения мультипликатора в Lp, p \in [1,+\infty ], и вычисления его нормы
(особенно просто при p = 2) см. [31] (Lp, p \in (1,+\infty )) и [32] (p = 1 и p = \infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 973
При p \in (1,+\infty ) достаточные условия для мультипликаторов интегралов Фурье исследова-
ли М. Рисс, Марцинкевич, И. Г. Михлин, Хермандер, П. И. Лизоркин. О связи мультипликаторов
Фурье для интегралов и рядов Фурье см. [32] (гл. VII).
Мультипликатор Фурье интегралов Фурье из L1 в L1 определяется преобразованием Фурье
конечной комплекснозначной борелевской меры (свойства таких мер см. в [33]):
W (\BbbR d) =
\left\{ f(x) =
\int
\BbbR d
e - i(x,u)d\mu (u), \| f\| W = \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\mu <\infty
\right\} ,
W0(\BbbR d) =
\left\{ f(x) = \^g(x) =
\int
\BbbR d
e - i(x,u)g(u)du, \| f\| W0 = \| g\| L1 <\infty
\right\} .
Этим банаховым алгебрам Винера посвящена обзорная статья [34]. В ней есть и пункт о по-
ложительно определенных функциях, т. е. функциях с условием \| f\| W = f(0) (преобразование
Фурье положительной меры).
Для перехода от приближений к K -функционалам применяем лемму 2.8.
Таким образом, нелинейная задача определения K -функционала решается применением
линейных операторов (и даже сверточных) (см. также [35, 36]).
Ряд Фурье 2\pi -периодической по xj , 1 \leq j \leq d, функции f \in L1(\BbbT d), \BbbT d = [ - \pi , \pi ]d, будем
записывать в виде
\biggl(
(x, y) =
\sum d
j=1
xjyj , | x| =
\sqrt{}
(x, x)
\biggr)
f \sim
\sum
k\in \BbbZ d
\^fkek, ek = ei(k,x), \^fk =
1
(2\pi )d
\int
\BbbT d
f(x)e - i(k,x)dx.
Средние \Phi \varepsilon (f) рядов Фурье, определяемые функцией \varphi : \BbbR d \rightarrow \BbbC , имеют вид
\Phi \varepsilon (f) = \Phi \varepsilon (f, x) \sim
\sum
k\in \BbbZ d
\varphi (\varepsilon k) \^fkek, \varepsilon > 0.
Если ядро интегрального оператора \Phi \varepsilon является рядом Фурье конечной борелевской периоди-
ческой меры, то \Phi \varepsilon (f) — свертка функции с мерой, а если является рядом Фурье некоторой
функции, то оператор \Phi \varepsilon : Lp(\BbbT d) \rightarrow Lp(\BbbT d) компактный при любом p \geq 1.
Принцип сравнения. Если \varphi и \psi : \BbbR d \rightarrow \BbbC непрерывны, из условия \psi (x) = 1 следует, что
\phi (x) = 1 (это и необходимо), а переходная функция g =
1 - \varphi
1 - \psi
после возможного доопределе-
ния по непрерывности принадлежит W (\BbbR d), то при любом p \in [1,\infty ] и \varepsilon > 0\bigm\| \bigm\| f - \Phi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
p
\leq \| g\| W
\bigm\| \bigm\| f - \Psi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
p
для всех функций f \in Lp(\BbbT d), для которых конечна правая часть.
Если, дополнительно, тригонометрический ряд
\sum
k\in \BbbZ d
\varphi (\varepsilon k)ek является рядом Фурье, то
при p = \infty множитель \| g\| W в правой части нельзя уменьшить в общем случае.
(См. [3], пп. 7.1.11, 7.1.12, и замечание перед следствием 1.)
Отметим, что \| g\| W = g(0), если g(x) = g0(| x| ), g0 \in C[0,+\infty ), g0 \in Cm(0,+\infty ) при
m = [d/2] , ( - 1)mg
(m)
0 выпукла вниз, g(+\infty ) \geq 0 и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +0,t\rightarrow +\infty g
(m+1)
0 (t) = 0 (правая
производная) (см. [37] или [3], п. 6.3.7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
974 Р. М. ТРИГУБ
Рассмотрим далее K -функционалы следующего вида.
Пусть d\alpha — дифференциальный оператор, определяемый матрицей \{ \mu k,\alpha \} k\in \BbbZ d\setminus \{ 0\} такой,
что \mu k,\alpha \not = 0 и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| k| \rightarrow \infty \mu k,\alpha = \infty , а именно,
d\alpha f \sim
\sum
k \not =0
\mu k,\alpha \^fkek
(при \mu k,\alpha = - | k| 2\alpha это \Delta \alpha , где \Delta — оператор Лапласа).
Если
W (d\alpha )p =
\Bigl\{
f \in Lp(\BbbT d) : d\alpha f \in Lp(\BbbT d)
\Bigr\}
,
то
K
\bigl(
\varepsilon ; f, Lp,W (d\alpha )p
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g
\{ \| f - g\| p + \varepsilon \| d\alpha g\| p\} .
Для перехода к K -функционалам ниже используется лемма 2.8 из п. 2.
По поводу интегралов Фурье см. замечание 2 в п. 3.
В п. 2 настоящей статьи изучаются функции на \BbbR , в п. 3 — на \BbbR d, d \geq 2, а в п. 4 — модули
гладкости в банаховых пространствах. В п. 5 приведены примыкающие нерешенные вопросы.
Через c(a, b) будем обозначать положительные величины, зависящие лишь от a и b.
2. Модули гладкости и \bfitK -функционалы на \BbbT и \BbbR . Для того чтобы объединить перио-
дические и непериодические функции на прямой, можно ввести семейство норм (N > 0)
\| f\| p,N = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
\left( x+N\int
x - N
| f(u)| pdu
\right) 1/p
.
Если функция f принадлежит Lp(\BbbT ) и 2\pi -периодична, то \| f\| p = \| f\| p,\pi , а если f принадлежит
Lp(\BbbR ), то \| f\| p = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}N\rightarrow \infty \| f\| p,N .
Обозначим через \tau t оператор сдвига (\tau tf)(x) = f(x + t). Теперь можно переходить от
неравенств в метрике C к неравенствам в Lp, p \in [1,\infty ).
2.1. Пусть E — линейное множество ограниченных и равномерно непрерывных функций на
\BbbR , замкнутое относительно равномерной сходимости, а линейный оператор A действует из
E в E и \| Af\| \infty \leq a\| f\| \infty (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}-норма). Если еще множество E инвариантно относительно
сдвига и оператор A коммутирует со сдвигом (A\tau t = \tau tA для всех t \in \BbbR ), то и для любого
p \in [1,+\infty ), N > 0 и f \in E
\| Af\| p,N \leq a\| f\| p,N .
Доказательство см. в [3], п. 1.2.7.
Отметим, что после усреднения линейного ограниченного оператора A по сдвигам полу-
чаем оператор A0, коммутирующий со сдвигами и сохраняющий многие свойства A (см. [3],
п. 7.1.1).
Введем линеаризованный модуль гладкости (f \in L1,loc(\BbbR ), норма в Lp(\BbbT ) или Lp(\BbbR ))
\~\omega r(f ;h) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1h
h\int
0
\Delta r
\delta f(\cdot )d\delta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1\int
0
\Delta r
thf(\cdot )dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
(верхняя грань по шагу \delta заменена интегральным средним).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 975
Очевидно, что при любом h > 0 выполняется \~\omega r(f ;h) \leq \omega r(f ;h).
2.2. Для любого p \in [1,+\infty ] и любой функции f \in Lp (Lp(\BbbR ) или Lp(\BbbT ), если функция
периодическая) при всех h > 0
\omega r(f ;h)p \leq c(r)\~\omega r(f ;h)p.
Нужно доказать, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\theta \in (0,1]
\bigm\| \bigm\| \Delta r
\theta hf(\cdot )
\bigm\| \bigm\| \leq c(r)\~\omega r(f ;h). Применим принцип сравнения для
периодических функций (см. во введении) с учетом того, что
\Delta r
\theta hf \sim
\sum
k\in \BbbZ
\bigl(
1 - ei\theta hk
\bigr) r \^fkek,
1\int
0
\Delta r
thf(\cdot )dt =
\sum
k\in \BbbZ
1\int
0
\bigl(
1 - eithk
\bigr) r
dt \^fkek.
Нужно доказать (h = \varepsilon ), что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\theta
\| gr,\theta \| W <\infty , gr,\theta =
\varphi r,\theta
\psi r
, \varphi r,\theta (x) =
\bigl(
1 - ei\theta x
\bigr) r
,
\psi r(x) =
1\int
0
\bigl(
1 - eitx
\bigr) r
dt = 1 +
r\sum
\nu =1
( - 1)\nu
\biggl(
r
\nu
\biggr)
ei\nu x - 1
i\nu x
.
Имеем gr,\theta (0) = (r + 1)\theta r. То, что \psi r(x) \not = 0 при x \in \BbbR \setminus \{ 0\} при любом r \in \BbbN , доказано
автором с использованием теоремы Линдемана о трансцендентности значений показательной
функции (см. лемму 8.3.5 в) в [3]).
Учитывая, что при \lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| ei\lambda (\cdot )\bigm\| \bigm\|
W
= 1, получаем
\| gr,\theta \| W =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi r,\theta (1 - \psi r)
\psi r
+ \varphi r
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
W
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \varphi r,\theta (1 - \psi r)
\psi r
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
W0
+ 2r.
Приведем некоторые достаточные условия принадлежности W0(\BbbR ).
A\bfone . Аналог признака Бернштейна – Саса абсолютной сходимости рядов Фурье. Если
при p \in (1, 2] f \in Lp(\BbbR ) \cap C0(\BbbR ) и при \alpha \in
\biggl(
1
p
, 1
\biggr]
\omega (f ;h)p \leq h\alpha , h \in (0, 1],
то f \in W0(\BbbR ) и \| f\| W0 \leq c(\alpha , p) (Титчмарш, 1927 г.). См. п. 5.1 в [34].
Б\bfone . Если f \in C0(\BbbR ) \cap ACloc(\BbbR ), а
\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| u| \geq x
\bigm| \bigm| f \prime (u)\bigm| \bigm| dx <\infty ,
то f \in W0(\BbbR ) тогда и только тогда, когда
\int \infty
0
\bigm| \bigm| f(x) - f( - x)
\bigm| \bigm|
x
dx <\infty (см. [3], п. 6.5.9, или
следствие 12.7 в [34]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
976 Р. М. ТРИГУБ
В\bfone . Если f \in C1(\BbbR ), а при | x| \rightarrow \infty
f(x) = O
\biggl(
1
| x| \alpha
\biggr)
, \alpha > 0, f \prime (x) = O
\biggl(
1
| x| \beta
\biggr)
, \beta \in \BbbR ,
то f \in W0(\BbbR ) при \alpha + \beta > 1 (см. [38], а также следствие 10.6 в [34]).
Применим принцип сравнения для периодических функций (см. во введении) с учетом того,
что
\Delta r
\theta hf \sim
\sum
k\in \BbbZ
\bigl(
1 - ei\theta hk
\bigr) r \^fkek,
1\int
0
\Delta r
thf(\cdot )dt =
\sum
k\in \BbbZ
1\int
0
\bigl(
1 - eithk
\bigr) r
dt \^fkek.
Для доказательства п. 2.2 можно применить A1 при p = 2
\bigl(
\omega (f ;h)2 \leq \| f \prime \| 2h
\bigr)
или B1
(\alpha = \beta = 1). Кроме того, c(r) \geq r + 1 (cм. п. 2.7).
Применения этой теоремы.
1. (Другая формулировка при r = 1.) Если функция Стеклова
fh(x) =
1
h
h\int
0
f(x+ t)dt, h > 0,
то \| f - fh\| \asymp \omega (f ;h) (двойное неравенство с абсолютными положительными константами).
2. Для доказательства известной теоремы Джексона – Стечкина можно взять любую функ-
цию \phi \in C(r+1)(\BbbR ) с носителем на [ - 1, 1] и условиями \phi (0) = 1, \phi (\nu )(0) = 0, 1 \leq \nu \leq r. В
силу принципа сравнения\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k
\phi
\biggl(
k
n
\biggr)
\^fkek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c(\phi )\~\omega
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
\leq c(\phi )c(r)\omega
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
.
2.3. Если при \varepsilon > 0 и n = [1/\varepsilon ]
\tau r,n(f) =
\sum
k\in \BbbZ
\varphi r(k\varepsilon ) \^fkek,
где \varphi r(x) =
\bigl(
1 - | x| r
\bigr)
+
для четного r и \varphi r(x) =
\bigl(
1 - | x| r+1
\bigr)
+
+ i| x| r
\bigl(
1 - | x|
\bigr)
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} x для
нечетного r, то при p \in [1,+\infty ]\bigm\| \bigm\| f - \tau r,n(f)
\bigm\| \bigm\|
p
\asymp \omega r
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
p
(двустороннее неравенство с константами, зависящими лишь от r).
Доказательство аналогично предыдущему c заменой \omega r на \~\omega r. А после применения лем-
мы 2.8 (см. ниже) получаем известный факт (см., например, [12]):
если dr(f ;x) =
dr
dxr
f(x), то
K
\bigl(
\varepsilon , f, Lp,W (dr)p
\bigr)
\asymp \omega r(f ; \varepsilon )p.
2.4. При натуральных \alpha и r >
\alpha
2
, \.\Delta hf(x) = f(x - h) - f(x + h) (симметричная первая
разность) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
| u| \geq 1
1
| u| r+\alpha
\.\Delta 2r
\varepsilon uf(\cdot )du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp \omega \alpha (f ; \varepsilon )p (\alpha — четное),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 977\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
| u| \geq 1
1
| u| r+\alpha
\.\Delta 2r
\varepsilon uf(\cdot )du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp \omega \alpha +1(f ; \varepsilon )p +
1
\varepsilon
\omega \alpha +1( \~F ; \varepsilon )p (\alpha — нечетное).
Здесь норма в Lp(\BbbT ), а \~F — сопряженная к периодическому интегралу f.
Доказательство. Как следует из теоремы 3.9, доказанной ниже, при d = 1 левая часть
совпадает по порядку с \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k\in \BbbZ
\bigl(
1 - (\varepsilon | k| )\alpha
\bigr)
+
\^fkek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
а точный порядок приближения такими полиномами давно известен (при \alpha четном установил
автор, а при \alpha нечетном — В. В. Жук, см. также [3], п. 8.5.8).
Вид K -функционала приведен ниже.
Поскольку с ростом \alpha модуль \omega \alpha почти уменьшается (\omega \alpha (f ;h) \leq 2\omega \alpha - 1(f ;h)), то и инте-
гралы в левой части с ростом \alpha почти убывают, если только \alpha < 2r конечно.
Введем теперь усложненный линеаризованный модуль гладкости нецелого порядка
r > 0 (см. также замечание 1 ниже).
Для f \in C(\BbbT ) и целого q >
r
2
> 0
\~\omega r(f ;h)\infty =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \int
1
1
ur+1
\Bigl(
\.\Delta 2q
huf(\cdot ) + \gamma 0 \.\Delta
2q+1
hu f(\cdot )
\Bigr)
du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
при
\gamma 0 =
1
2
\mathrm{t}\mathrm{g}
r\pi
2
\left( \infty \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2q+1 tdt
tr+1
\right) - 1 \infty \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2q t
tr+1
dt.
2.5. Пусть dr(f) = f (r) \sim
\sum
k \not =0
| k| rei
\pi
2
r\cdot signk \^fkek, r /\in \BbbN ,
\varphi r(x) =
\bigl(
1 - | x| r
\bigr)
+
- i\mathrm{t}\mathrm{g}
\Bigl( r\pi
2
\Bigr)
| x| r
\bigl(
1 - | x|
\bigr)
+
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} x.
Тогда
K
\bigl(
\varepsilon r, f ;C, f (r)
\bigr)
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k
\varphi r(\varepsilon k) \^fkek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\asymp \~\omega r(f ; \varepsilon )\infty
(двойные неравенства с положительными константами, зависящими лишь от r и q).
Эти соотношения справедливы, конечно, и в Lp(\BbbT ) при p \in [1,+\infty ). Но при p \in (1,+\infty )
\gamma 0 можно выбирать произвольно (например, \gamma 0 = 0). Тогда константы зависят и от p.
(См. [3], п. 8.3.1. Здесь добавлен только K -функционал.)
Для всех классических методов суммирования найдены, уже довольно давно, точные по-
рядки приближения через обычные модули гладкости или специальные. Оставался только сле-
дующий метод, введенный еще С. Н. Бернштейном [8] (Dn — ядро Дирихле, \varphi n(0) = 1,
s \geq r + 2):
\tau s,r,n(f) = \gamma
\pi \int
- \pi
r\sum
\nu =1
( - 1)\nu +1
\biggl(
r
\nu
\biggr)
f(x - u)Ds
n(u)du =
\sum
k\in \BbbZ
\varphi n
\biggl(
k
n
\biggr)
\^fkek.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
978 Р. М. ТРИГУБ
На этот вопрос обратил внимание В. И. Иванов (общая оценка приближения сверху через
\omega r при s = r + 2 доказана С. Б. Стечкиным, см., например, [1], а также [3, 4]).
Как обнаружила О. В. Котова, уже при r = 2 и s = 4 имеем \varphi n(x) = 1 не только при x = 0,
как это у всех классических методов суммирования рядов Фурье.
Для решения этой задачи автор ввел специальный модуль гладкости (и даже два, см. [40,
41]), а Ю. С. Коломойцев — вид K -функционала [40]. Точный порядок приближения этими
полиномами при больших n найден в [41]. Случай малых s и r при всех n \in \BbbN см. в [42].
Перейден теперь к рядам Фурье степенного типа, т. е. к функциям из пространства Харди
Hp(D), D =
\bigl\{
z : | z| < 1
\bigr\}
, p > 0.
Введем разные модули гладкости.
Пусть f(eit) — предельная функция на окружности \partial D. При r \in \BbbN и h > 0 контурный или
граничный модуль гладкости определяется так:
\omega r(f ;h)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\delta \leq h
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
r\sum
\nu =1
\biggl(
r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f
\bigl(
(\cdot )ei\nu \delta
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Hp(D)
,
радиальный модуль гладкости
\biggl(
h \in
\biggl(
0,
2
r
\biggr] \biggr)
\omega r(f ; \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}, h)p =
\left( \pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
r\sum
\nu =0
\biggl(
r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f
\bigl(
eit(1 - \nu h)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dt
\right) 1
p
и, наконец, линеаризованный граничный модуль (q \in \BbbN )
\~\omega (f ;h)p =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
[0,1]q
r\sum
\nu =0
\biggl(
r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f
\Bigl(
(\cdot )ei\nu h
\sum q
j=1 uj
\Bigr)
du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Hp
(q-кратный интеграл по кубу).
2.6. Предположим, что r \in \BbbN , p \in (0,+\infty ], f \in Hp(D) и h \in
\biggl(
0,
1
r + 1
\biggr]
.
а) Если q = 1 при p \geq 1 и q =
\biggl[
1
p
+
1
2
\biggr]
при p \in (0, 1), то \omega r(f ;h)p \asymp \~\omega r(f ;h)p.
б) Если S0(z) \equiv 0, а Sr - 1(z) =
\sum r - 1
k=0
1
k!
f (k)(0)zk при r \geq 2, то
\omega r(f ; \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}, h)p \asymp \omega r(f - Sr - 1;h)p
(двойные неравенства с положительными константами, зависящими только от r и p).
См. п. 8.4.1 в [3]. Там же показано применение новых модулей гладкости к неравенству
Харди – Литтлвуда о росте модулей производных функций при подходе к границе \partial D.
Учитывая, что при r = 1 имеем \omega 1(f, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};h)p = \| f - f1 - h\| p (приближение средними
Абеля – Пуассона), получаем при p \in (0, 1], и тем более при p > 1, такое следствие:\bigm\| \bigm\| f - f1 - h
\bigm\| \bigm\|
Hp
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\delta \leq h
\bigm\| \bigm\| f - f1 - \delta
\bigm\| \bigm\|
Hp
\asymp \omega (f ;h)p.
Вернемся к периодическим функциям с полным рядом Фурье.
2.7. а) Всегда \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0
\omega r(f ;h)p
hr
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h\in
\bigl[
0, 1
r
\bigr] \omega r(f ;h)p
hr
. А для того чтобы \omega r(f ;h)p \leq hr
или, что то же самое, \~\omega r(f ;h)p \leq hr
r + 1
, необходимо и достаточно, чтобы существовала
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 979
абсолютно непрерывная производная f (r - 1) и
\bigm\| \bigm\| f (r)\bigm\| \bigm\|
p
\leq 1 при p \in (1,+\infty ], а при p = 1 полная
вариация f (r - 1) была не больше единицы (см. [3]).
б) Для любой функции из Lp, p \in (0, 1), выполняется
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\omega r(f ;h)p
h
r - 1+ 1
p
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<h\leq \pi
2
\omega r(f ;h)p
h
r - 1+ 1
p
.
А \omega r(f ;h)p \leq h
r - 1+ 1
p тогда и только тогда, когда f (r - 1) — ступенчатая функция или
кусочно-постоянная (возможно, после исправления на множестве нулевой меры) и при любом
наборе точек x0 < x1 < . . . < xn
n - 1\sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| f (r - 1)(xk) - f (r - 1)(xk+1)
\bigm| \bigm| \bigm| p \leq
\left( r\int
0
1
(r - 1)!
\bigm| \bigm| \Delta r
1( - t)r - 1
+
\bigm| \bigm| pdt
\right) - 1
.
См. [44].
2.8. Лемма. Пусть d\alpha \Phi \varepsilon (f) \in Lp, p \geq 1, \varepsilon > 0. Если при некотором a, не зависящем от
f и \varepsilon , выполняются следующие три условия (\alpha ) и \beta ) и необходимы):
\alpha )
\bigm\| \bigm\| f - \Phi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
p
\leq a\varepsilon
\bigm\| \bigm\| d\alpha f\bigm\| \bigm\| p (в предположении, что d\alpha f \in Lp),
\beta ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\varepsilon >0
\bigm\| \bigm\| \Phi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
p
\leq a\| f\| p,
\gamma ) \varepsilon
\bigm\| \bigm\| d\alpha \Phi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
p
\leq a
\bigm\| \bigm\| f - \Phi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
p
,
то
K
\bigl(
\varepsilon ; f, Lp,W (d\alpha )p
\bigr)
\asymp
\bigm\| \bigm\| f - \Phi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
p
(двустороннее неравенство с положительными константами, не зависящими от f и \varepsilon ).
Доказательство. Установим оценку сверху. В силу определения K -функционала
K
\bigl(
\varepsilon , f, Lp,W (d\alpha )p
\bigr)
\leq \| f - \Phi \varepsilon (f)\| p + \varepsilon \| d\alpha (\Phi \varepsilon (f))\| p.
Применяем условие \gamma ).
Перейдем к установлению оценки снизу. Имеем
\| f - \Phi \varepsilon (f)\| p =
\bigm\| \bigm\| (f - g) - \Phi \varepsilon (f - g) +
\bigl(
g - \Phi \varepsilon (g)
\bigr) \bigm\| \bigm\|
p
.
Применяем условия \beta ) и \alpha ):
\| f - \Phi \varepsilon (f)\| p \leq (1 + a)\| f - g\| + a\varepsilon \| d\alpha g\| \leq (1 + a)
\bigl(
\| f - g\| + \varepsilon \| d\alpha g\|
\bigr)
.
Осталось взять нижнюю грань по g \in W (d\alpha ).
Заметим, что вид оператора d\alpha по \Phi \varepsilon определяется по классу насыщения для f - \Phi \varepsilon (f), а
для доказательства условий \alpha ), \beta ) и \gamma ) можно применять принцип сравнения.
См. также [45].
Замечание 1 (о других модулях). Уже довольно давно рассматривают (и в том же смысле)
модули гладкости и нецелого порядка \alpha > 0:
\omega \alpha (f ;h) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\delta \leq h
\| \Delta \alpha
\delta (f)\| , \Delta \alpha
\delta (f) =
\infty \sum
\nu =0
( - 1)\nu
\biggl(
\alpha
\nu
\biggr)
f(\cdot + \nu \delta ),
\biggl(
\alpha
\nu
\biggr)
=
\nu (\nu - 1) \cdot \cdot \cdot (\alpha - \nu + 1)
\nu !
.
При этом (см. [36])
\| \Delta \alpha
\delta (f)\| \leq \| f\|
\infty \sum
\nu =0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( \alpha \nu
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \| f\|
[\alpha ]\sum
\nu =0
\biggl(
\alpha
\nu
\biggr)
(1 + ( - 1)[\alpha ]+\nu ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
980 Р. М. ТРИГУБ
Свойства таких модулей см. в [46]. Как доказано в [47], такой модуль не эквивалентен соответ-
ствующему линеаризованному во всяком случае при нецелом \alpha > 5.
Иногда рассматривают на прямой следующее условие:
\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p} \alpha :
\bigm| \bigm| f(x) - f(y)
\bigm| \bigm| \leq | x - y| \alpha \bigl(
1 + | x|
\bigr) \alpha \bigl(
1 + | y|
\bigr) \alpha
(см. следствие из п. 5.1 в [34]).
А для функций на отрезке [ - 1, 1], например, крайние точки играют особую роль:\bigm| \bigm| f(x) - f(y)
\bigm| \bigm| \leq \Biggl( | x - y|
\surd
1 - x2 +
\sqrt{}
1 - y2 + | x - y|
\Biggr) \alpha
(см. [3, с. 172], и вопрос 5 ниже в п. 5).
Если \varphi (x) =
\surd
1 - x2, то модуль Дитциана – Тотика (Д-Т модуль) функции f \in Lp[ - 1, 1],
p \in [1,+\infty ], равен по определению
\omega \varphi
r (f ;h)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\delta \leq h
\bigm\| \bigm\| \.\Delta r
\delta \varphi f(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
p
,
где Lp — норма по отрезку [ - 1, 1] в предположении, что \.\Delta r
\delta \varphi = 0, если r\varphi \delta или - r\varphi \delta не
принадлежат [ - 1, 1],
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g
\Bigl(
\| f - g\| p + hr
\bigm\| \bigm\| \varphi rg(r)
\bigm\| \bigm\|
p
\Bigr)
\asymp \omega \varphi
r (f ;h)p
(см. [48], а также [4]).
Модули гладкости изучали и для аналитических функций на множествах комплексной плос-
кости (см. [43] (модуль определяется разделенными разностями), а также [5]).
3. Модули гладкости и \bfitK -функционалы в \BbbT \bfitd и \BbbR \bfitd . Для функции f \in Lp, p \in [1,+\infty ],
модуль гладкости естественно ввести следующим образом (E \subset \BbbR d, E \not = \varnothing ):
\omega r(f ;E;h)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in E
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
r\sum
\nu =0
\biggl(
r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f(\cdot + \nu hu)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
.
Для монотонности по шагу h > 0 множество E считаем звездным относительно нуля.
Будем предполагать еще, что E — компакт в шаре радиуса 1. Если E — единичный шар,
то будем писать \omega \circ
r (наибольший модуль). Наименьший модуль получаем, если в качестве
E взять отрезок, выходящий из нуля (модуль по направлению или частный модуль). Если
E — объединение d единичных отрезков в направлении прямоугольных осей координат, то
будем писать \omega +
r (f ;h). В теореме типа Джексона пишут обычно сумму частных модулей в
направлении каждой оси (см. [1], п. 5.3.1).
Определение \Phi \varepsilon (f) см. в конце п. 1, 3.1 – 3.4 есть в [14, 22] (см. также [3], гл. VIII).
3.1. Неравенство
c1(r, d)\omega
+
r (f ; \varepsilon ) \leq
\bigm\| \bigm\| f - \Phi \varepsilon (f)
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq c2(r, d)\omega
\circ
r (f ; \varepsilon )
не может выполняться для всех функций из C(\BbbT d) при r \in \BbbN и d \geq 2, если \varphi непрерывна на
своем носителе, содержащемся в кубе [ - 1, 1]d.
Введем теперь линеаризованный модуль гладкости четного порядка (\mu — конечная ком-
плекснозначная борелевская мера)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 981
\~\omega 2r(f ;\mu ;h) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
\BbbR d
2r\sum
\nu =0
\biggl(
2r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f
\bigl(
\cdot +(\nu - r)hu
\bigr)
d\mu (u)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
(интеграл от симметричной разности \.\Delta 2r по мере \mu ).
Если d\mu = \chi E(u)du (\chi E — индикатор E ), то в случае, когда E — единичный шар, пишем
\~\omega \circ
2r(f ;h), а в случае d\mu =
\sum d
j=1
\chi Ejduj , Ej = [ - 1, 1] на оси Oxj , 1 \leq j \leq d, пишем \~\omega +
2r(f ;h)
(L\infty = C ).
3.2. Пусть множество E имеет следующую симметрию: любая точка E остается в E
после перестановки местами двух координат или перемены знака любой координаты. Тогда
при p \in [1,+\infty ]
\~\omega 2(f,E, h)p \asymp \~\omega \circ
2(f, h)p.
3.3. При r \geq 2 и d \geq 2 модули \~\omega \circ
2r и \~\omega 2
2r (E — единичный квадрат) не сравнимы в C(\BbbT d)
при h\rightarrow 0.
3.4. Если \Delta — оператор Лапласа, r \in \BbbN и \delta >
d - 1
2
, то при p \in [1,+\infty ] и \varepsilon > 0
K
\bigl(
\varepsilon 2r, f, Lp,\Delta
r
\bigr)
p
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k\in \BbbZ d
\bigl(
1 - \varepsilon 2r| k| 2r
\bigr) \delta
+
\^fkek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp \~\omega \circ
2r(f, \varepsilon )p.
3.5. Если D2r =
\sum d
j=1
\partial 2r
\partial x2rj
, r \in \BbbN и \delta >
d - 1
2
, то при p \in [1,+\infty ] и \varepsilon > 0
K
\bigl(
\varepsilon 2r, f, Lp, D2r
\bigr)
p
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k\in \BbbZ d
\left( 1 - \varepsilon 2r
d\sum
j=1
k2rj
\right) \delta
+
\^fkek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp \~\omega +
2r(f, \varepsilon )p.
3.6. Если S\square
\nu (f), \nu \in \BbbZ +, — \nu -я квадратная частная сумма ряда Фурье функции f \in
\in C(\BbbT 2), а
d1(f) \sim
\sum
k\in \BbbZ 2
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| k1| , | k2|
\bigr\}
\^fkek,
то для приближения суммами Марцинкевича имеем\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f - 1
n+ 1
n\sum
\nu =0
S\square
\nu (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \int
1
\Bigl(
\.\Delta 2
t(e\circ 1+e\circ 2)/n
+ \.\Delta 2
t(e\circ 1 - e\circ 2)/n
\Bigr)
f(\cdot )dt
t2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\asymp K
\biggl(
1
n
; f, C,W (d1)\infty
\biggr)
,
где (e\circ 1, e
\circ
2) — стандартный базис в \BbbR 2, а под интегралом содержится сумма вторых сим-
метричных разностей в направлении биссектрис первой и четвертой четвертей \BbbR 2.
Первое соотношение доказано О. И. Кузнецовой (см. [23]).
3.7. Если \Delta +
r,\delta f(x) =
\sum d
j=1
\sum 2r
\nu =0
\biggl(
2r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f
\bigl(
x+(\nu - r)\delta e\circ j
\bigr)
, где \{ e\circ j\} d1 — стандартный
базис, то при r \in \BbbN и p \in [1,+\infty ]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
982 Р. М. ТРИГУБ
\~\omega +
2r(f, h)p \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\delta \leq h
\bigm\| \bigm\| \Delta +
r,\delta f(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
p
, \~\omega \circ
2r(f, h)p \asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\delta \leq h
\bigm\| \bigm\| (\Delta +
1,\delta )
rf(\cdot )
\bigm\| \bigm\|
p
.
Этот модуль гладкости при r = 1 иначе использовал Z. Ditzian [15].
3.8. При любом \alpha > 0, \beta >
d - 1
2
, натуральном r >
\alpha
2
, p \in [1,+\infty ] и d\alpha (f) \sim
\sim
\sum
k\in \BbbZ d
\sum d
j=1
| kj | \alpha \^fkek
K
\bigl(
\varepsilon \alpha , f, Lp,W (d\alpha )p
\bigr)
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k\in \BbbZ d
\left( 1 -
d\sum
j=1
\varepsilon \alpha | kj | \alpha
\right) \beta
+
\^fkek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
d\sum
j=1
\infty \int
1
1
u1+\alpha
\.\Delta 2r
\varepsilon uejf(\cdot )du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
(двусторонние неравенства с положительными константами, зависящими только от d, \alpha , \beta
и r).
Таким образом, при целом r можно обойтись обычными модулями, а при нецелых r необ-
ходимо вводить специальные.
3.9. При любом \alpha > 0, \beta >
d - 1
2
, натуральном r >
1
2
(\alpha + d - 1) и d\alpha (f) \sim
\sim
\sum
k\in \BbbZ d
(\varepsilon | k| )\alpha \^fkek для всех f \in Lp(\BbbT d) и \varepsilon > 0
K
\bigl(
\varepsilon \alpha , f, Lp,W (d\alpha )p
\bigr)
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k\in \BbbZ d
(1 - \varepsilon \alpha | kj | \alpha )+ \^fkek
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
| u| \geq 1
1
| u| \alpha +r
\.\Delta 2r
\varepsilon uf(\cdot )du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
.
Теоремы 3.8 и 3.9 анонсированы автором в статье [23], но доказательство приводится впер-
вые. Так же доказываются и другие теоремы, приведенные в настоящей статье.
Доказательство теоремы 3.9. Сначала, применив принцип сравнения, докажем второе
соотношение (о точном порядке приближения), а затем, использовав лемму 2.8, получим первое
соотношение. Для этого нам понадобятся некоторые свойства банаховых алгебр W0(\BbbR d) и
W (\BbbR d).
Очевидно, что функции из W ограниченные и равномерно непрерывные, а если f принад-
лежит W0 (идеал в W ), то f принадлежит C0(\BbbR d) (f(\infty ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| x| \rightarrow \infty f(x) = 0 в силу леммы
Римана – Лебега).
Алгебра W (\BbbR d) с ростом d расширяется.
А. Начнем с необходимых условий.
Если f принадлежит W0(\BbbR d), то ее радиальная часть f0(t), t \in (0,+\infty ) (интегральное
среднее по сфере | x| = t), удовлетворяет следующим условиям: f0 \in Cd1(0,+\infty ), d1 =
=
\biggl[
d - 1
2
\biggr]
,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
tkf
(k)
0 (t) = 0, 0 \leq k \leq d1,
а при d \geq 3 и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +0
tkf
(k)
0 (t) = 0, 0 \leq k \leq d1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 983
Кроме того, при любом t > 0 сходится интеграл
\int t
0
f
(d1)
0 (t+ u) - f
(d1)
0 (t - u)
u
d+1
2
- d1
du (не обя-
зательно абсолютно). См. [22] или п. 6.5.7 в [3].
Б. Функция f принадлежит W (W0) в точке, если она допускает продолжение с некоторой
ее окрестности до функции из W (\BbbR d) (W0(\BbbR d)). Как известно, если f принадлежит W (W0) в
любой точке, включая \infty (окрестность \infty — это | x| > M ), то f принадлежит W (\BbbR d) (W0(\BbbR d))
(локальные свойства). Различие между функциями из W и W0 существует только в окрест-
ности \infty .
Если f принадлежит W (\BbbR d), то
1
| x| \alpha
f(x) принадлежит W0(\BbbR d) в окрестности \infty при
\alpha > 0 (см. ниже в самом конце в п. Д).
Используется ниже и
1
f
-теорема Винера (см., например, [34]): если f(x) - f(\infty ) \in W0(\BbbR d),
f(\infty ) \not = 0 и f(x) \not = 0 для x \in \BbbR d, то и
1
f(x)
- 1
f(\infty )
\in W0(\BbbR d).
В. Достаточные условия принадлежности W0(\BbbR d).
Если y = (y1, . . . , yd) и yj \not = 0, 1 \leq j \leq d, а y(x) = (y1x1, . . . , ydxd), то при любом h \in \BbbR d
\bigm\| \bigm\| f\bigl( y(\cdot ) + h
\bigr) \bigm\| \bigm\|
W
= \| f\| W .
Если ряд Фурье непрерывной периодической функции f сходится абсолютно, то f \in W (\BbbR d)
и \| f\| W =
\sum
k\in \BbbZ d
\bigm| \bigm| \^fk\bigm| \bigm| . А для этого достаточно, чтобы гладкость функции в L2(\BbbT d) была
больше
d
2
(см., например, [32], гл. VII, п. 3).
При 0 < a < b положим \chi a,b(x) = 1 при | x| \leq a, \chi a,b(x) = 0 при | x| \geq b и \chi a,b \in C\infty (\BbbR d).
В силу формулы обращения преобразования Фурье \chi a,b \in W0(\BbbR d) при любом d \geq 1.
Если в некоторой окрестности точки x0 \in \BbbR d функция f имеет гладкость в L2 (еще лучше,
в C ) больше
d
2
, то она принадлежит W0(\BbbR d) в этой окрестности.
Действительно, после умножения на \chi a,b(x - x0) при достаточно малых a и b она допус-
кает продолжение до периодической функции из W (\BbbR d), и после умножения продолженной
функции на \chi a,b(x - x0) получаем функцию из W0(\BbbR d).
Г. Дополнение к В.
При d = 1, как заметил А. Зигмунд, можно предполагать для абсолютной сходимости ряда
Фурье гладкость в C только больше нуля, если добавить гладкость в L1(\BbbT ) (ограниченность
вариации).
Если при d \geq 2 добавить выпуклость, то гладкость в C больше
d
2
можно заменить на
гладкость в C больше
d - 1
2
. Точнее, если f, как функция от xj , 1 \leq j \leq d, имеет в окрестности
точки частную производную
\partial d1
\partial xd1
f
\biggl(
d1 =
\biggl[
d - 1
2
\biggr] \biggr)
, удовлетворяющую условию Липшица
степени больше
d+ 1
2
- d1 - 1 равномерно по остальным d - 1 переменным и выпуклую по
xj (вверх или вниз) или меняющую выпуклость при переходе через точку, то f в этой точке
принадлежит W0 (см. более точную теорему в [22], п. 4.III или в [3], п. 6.4.5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
984 Р. М. ТРИГУБ
Д. Радиальные функции f0
\bigl(
| x|
\bigr)
.
Для того чтобы F0
\bigl(
| x|
\bigr)
\in W0(\BbbR d) при d \geq 2, необходимо и достаточно, чтобы существовала
функция f0
\bigl(
| x|
\bigr)
\in W0(\BbbR 1) такая, что при t \geq 0
F0(t) =
1\int
0
f0(ut)
\bigl(
1 - u2
\bigr) d - 3
2 du.
Функция f0 по F0 определяется однозначно: при нечетном d простым дифференциро-
ванием, а при четном d дифференцированием полуцелого порядка (см. [3], п. 6.3.6 и [49]
соответственно). См. также п. 6.5.8 в [3] (используется и асимптотика преобразования Фурье
радиальных функций с условиями типа выпуклости).
Преобразование Фурье радиальной функции есть функция радиальная, а множество ради-
альных функций из W (\BbbR d) с ростом d уменьшается.
При нечетном d из п. Б1 (п. 2) можно вывести следующее достаточное условие.
Если f0 \in C[0,+\infty ), f
(d1)
0 \in ACloc(0,+\infty ) и
\int \infty
0
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}u\geq t
\bigm| \bigm| \bigm| ud1f (d1+1)
0 (u)
\bigm| \bigm| \bigm| dt < \infty , то
f0
\bigl(
| x|
\bigr)
\in W (\BbbR 2d1+1) тогда и только тогда, когда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
tkf
(k)
0 (t) = 0, 0 \leq k \leq d1 =
d - 1
2
.
Из приведенной выше формулы видно, что если f0(t) = t\gamma и \gamma > - 1, то и F0(t) = ct\gamma ,
c \not = 0. Так что | x| \alpha , \alpha > 0, принадлежит W0 вне окрестности \infty , а | x| \alpha , \alpha < 0, принадлежит
W0 вне окрестности нуля.
Пример 1.
\bigl(
1 - | x| \alpha
\bigr) \beta
+
принадлежит W (\BbbR d) при \alpha > 0 и \beta >
d - 1
2
, и только в этом
случае.
Необходимость условия на \beta следует из п. А при t = 1.
При любом m \in \BbbN в достаточно малой окрестности нуля
\bigl(
1 - | t| \alpha
\bigr) \beta
+
=
m\sum
k=0
ak,\alpha ,\beta | t| k\alpha + h(| t| )
\bigl(
h \in Cn при n < \alpha (m+ 1)
\bigr)
. Выбираем m так, чтобы \alpha (m+ 1) >
d
2
+ 1 (см. п. В). В точках,
в которых | x| = 1, применяем п. Г.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству второго соотношения в теореме 3.9. В
силу принципа сравнения нужно проверить, что g =
\psi
\varphi
и
1
g
\in W (\BbbR d), где
\psi (x) =
\int
| u| \geq 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r(x, u)
| u| \alpha +d
du, \varphi (x) = 1 -
\bigl(
1 - | x| \alpha
\bigr) \beta
+
.
Очевидно, что \psi (x) > 0 и \varphi (x) > 0 при x \not = 0.
Применяя к синусу формулу Эйлера и бином Ньютона, получаем
\psi (x) =
1
\alpha
\biggl(
2r
r
\biggr)
+
2r\sum
\nu =0, \nu \not =r
\biggl(
2r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu +r
\int
| u| \geq 1
1
| u| \alpha +d
e2i(r - \nu )(x,u)du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 985
Отсюда \psi (\infty ) =
1
\alpha
\biggl(
2r
r
\biggr)
, а \psi - \psi (\infty ) \in W0(\BbbR d) (по определению алгебры W0).
Из примера Д и
1
f
-теоремы Винера следует, что вне окрестности нуля
1
\varphi (x)
- 1 =
1
1 -
\bigl(
1 - | x| \alpha
\bigr) \beta
+
- 1 \in W0(\BbbR d).
Следовательно, вне окрестности нуля g - g(\infty ) =
\psi
\varphi
- \psi (\infty ) \in W0(\BbbR d).
Остается окрестность нуля, в которой имеем
\psi (x) =
\int
\BbbR d
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r(x, u)
| u| \alpha +d
du -
\int
| u| \leq 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r(x, u)
| u| \alpha +d
du.
Первый интеграл после замены переменных (вращение \BbbR d) равен
\int
\BbbR d
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r(x, u)
| u| \alpha +d
du =
\int
\BbbR d
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r(| x| \cdot | u| )
| u| \alpha +d
du =
\infty \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r u| x|
u\alpha +1
du = | x| \alpha
\infty \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r u
u\alpha +1
du.
Аналогично получаем \psi (x) = | x| \alpha
\int \infty
| x|
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2r t
t\alpha +1
dt, где
\psi (x)
| x| \alpha
принадлежит W0 вне окрестности
\infty как целая функция от | x| . Кроме того,
\varphi (x)
| x| \alpha
=
1 -
\bigl(
1 - | x| \alpha
\bigr) \beta
+
| x| \alpha
= \varphi 1(| x| \alpha ),
где \varphi 1(0) = \beta и \varphi 1 аналитична в некоторой окрестности нуля. Следовательно, и
1
\varphi 1(| x| \alpha )
принадлежит W0(\BbbR d) в этой окрестности нуля. Поэтому и в окрестности нуля
g(x) =
\psi (x)
\varphi (x)
=
\psi (x)
| x| \alpha
| x| \alpha
\varphi (x)
\in W0(\BbbR d).
Таким образом, и в целом g(x) - g(\infty ) =
\psi (x)
\varphi (x)
- \psi (\infty ) принадлежит W0(\BbbR d), а в си-
лу теоремы Винера и
1
g
- 1
\psi (\infty )
принадлежит W0(\BbbR d). Второе соотношение в теореме 3.9
доказано.
Для вывода формулы для K-функционала понадобится лемма 2.8, сформулированная для
функций d переменных (доказательство не меняется).
Теперь докажем первое соотношение в теореме 3.9. Для доказательства условия \alpha ) в силу
принципа сравнения нужно проверить, что
\varphi (x)
| x| \alpha
принадлежит W (\BbbR d). А это уже доказано в
малой окрестности нуля, в окрестности точек с | x| = 1 и | x| > 1.
Условие \beta ) выполняется всегда, если есть сходимость в C(\BbbT d) (по теореме Банаха –
Штейнгауза). Условие \gamma ) выполняется, так как уже доказано, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
986 Р. М. ТРИГУБ
| x| \alpha
\varphi (x)
\bigl(
1 - | x| \alpha
\bigr) \beta
+
\in W0(\BbbR d).
Теорема 3.9 доказана.
Замечание 2 (о непериодических функциях). Модули гладкости функции f : \BbbR d \rightarrow \BbbC из
Lp(\BbbR d) определяются обычным образом, как и K -функционалы. Мультипликатор интегралов
Фурье в Lp, как ограниченный линейный оператор, определяемый на функциях из L2 \cap Lp,
определяется одной ограниченной и измеримой функцией \varphi : \BbbR d \rightarrow \BbbC (см. [31], гл. IV), кото-
рую, как доказано в [50], можно при p \in (1,+\infty ), не уменьшая общности, считать ограничен-
ной и непрерывной почти всюду, следующим образом:
f(x) \mapsto \rightarrow
\int
\BbbR d
\varphi (y) \^f(y)ei(x,y)dy.
А метод \Phi \varepsilon (f) суммирования интегралов Фурье равен\int
\BbbR d
\varphi (\varepsilon y) \^f(y)ei(x,y)dy
\biggl(
\varphi (0) =
1
(2\pi )d
\biggr)
.
Принцип сравнения остается в той же формулировке и с тем же достаточным условием \| g\| W <
< \infty . Для норм мультипликаторов рядов и интегралов Фурье, определяемых одной и той же
функцией \varphi , есть простые связи в одну и другую стороны (см. [32], гл. VII, пп. 3.8 и 3.18), так
что подобные приведенным выше соотношения для периодических функций и рядов Фурье
имеют место и для интегралов Фурье.
Приведем лишь один пример [51]. Если \Phi \varepsilon (f ;x) =
1
(2\pi )d
\int
\BbbR d
f(x+ \varepsilon y) \^\varphi (y)dy, где
\varphi (x) =
\bigl(
1 - | x| 2r
\bigr) \delta
+
, r \in \BbbN , \delta >
d - 1
2
,
то при p \geq 1 в Lp(\BbbR d) (L\infty = C)
\| f - \Phi \varepsilon (f)\| p \asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\int
| u| \leq 1
\.\Delta 2r
\varepsilon uf(\cdot )du
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g
\bigl\{
\| f - g\| p + \varepsilon 2r\| \Delta rg\| p
\bigr\}
,
где \Phi \varepsilon (f) — средние Бохнера – Рисса.
Но в случае пространства Lp, p \in (1,+\infty ), есть более слабые достаточные условия (на-
пример, теорема Марцинкевича о мультипликаторах, см. [31]).
Таким образом получаются, например, неравенства
K
\bigl(
\varepsilon 2r; f ;Lp,\Delta
r
\bigr)
\asymp \~\omega \circ
2r(f, \varepsilon )p \asymp \omega \circ
2r(f, \varepsilon )p.
(См. пп. 8.2.9 и 8.3.2в) в [3].)
Еще нужно отметить, что в случае числовых функций нескольких переменных имеются
разные модули гладкости (полные, частные, смешанные). По поводу соотношений между ними
см. [6, 52], а также [53].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 987
Пример 2. Полный модуль гладкости второго порядка ведет себя так, как сумма двух част-
ных модулей того же порядка и смешанного модуля в случае пространства L1(C) и как сумма
частных модулей в Lp, если p \in (1,+\infty ).
Приведем еще несколько замечаний общего характера.
В 1919 г. вышла первая книга по теории приближений, в которой собраны теоремы Чебы-
шева, Вейерштрасса, Маркова, Бернштейна, Джексона, Лебега, Фейера и самого автора кни-
ги Валле Пуссена. Появились прямые и обратные теоремы конструктивной теории функций
(термин Бернштейна), и стали вычислять наилучшие приближения отдельных функций по-
линомами данной степени (см., например, [1], гл. 7). А после заметки Колмогорова (1935 г.)
возникли задачи о приближении класса функций (например, W r ) и поперечники классов. Одно
из последних прямых обобщений теоремы Колмогорова см. в [54].
В настоящей статье изучается приближение индивидуальных функций конкретными опе-
раторами. Упомянем еще один результат в этом направлении. Это теорема типа Вороновской с
указанием погрешности приближения \omega 2m
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
, m \in \BbbN . Теорема является новой даже для
средних Фейера рядов Фурье [55]. А из таких теорем можно вывести и теоремы об асимптотике
приближения некоторых классов.
4. Случай банахова пространства. Пусть E1 и E2 — два нормированных пространства
с нормами | \cdot | 1 и | \cdot | 2 соответственно, а f : E1 \rightarrow E2 — ограниченная функция
\bigl(
\| f\| \infty =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in E | f(x)| 2 <\infty
\bigr)
.
Предположим еще, что при любых x и y \in E1 выполняется | f(x+ y)| 2 \leq | f(x)| 2.
Модуль гладкости порядка r \in \BbbN и шага | h| 1 определим обычным образом:
\omega r(f, | h| 1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in E1,| \delta | 1\leq | h| 1
\bigm| \bigm| \Delta r
\delta f(x)
\bigm| \bigm|
2
, \Delta r
\delta f(x) =
r\sum
\nu =0
\biggl(
r
\nu
\biggr)
( - 1)\nu f(x+ \nu \delta ).
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0 \omega r(f, | h| 1) = 0 — это критерий равномерной непрерывности f (для доказательства
при r \geq 2 можно применить r - 1 раз обобщенное неравенство Маршо, доказанное ниже перед
п. 4.4). Всегда (см. ниже п. 4.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\omega r(f, | h| 1)
| h| r1
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h\in E1
\omega r(f, | h| 1)
| h| r1
.
Если верхняя грань конечна, то будем писать f \in W r. W r \subset W r - 1 (см. ниже обобщенное
неравенство Маршо).
Если f дифференцируема на E1, т. е. существует линейный ограниченный оператор f \prime (x) :
E1 \rightarrow E2 такой, что при x \in E1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\biggl(
f(x+ h) - f(x)
| h| 1
- f \prime (x)h\circ
\biggr)
= 0
\biggl(
h\circ =
h
| h| 1
\biggr)
,
то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h
\omega 1(f, | h| 1)
| h| 1
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x
\| f \prime (x)\| E1\rightarrow E2 .
При любом r \in \BbbN \omega r убывает вместе с | h| 1 и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
988 Р. М. ТРИГУБ
\omega r(f ; | h| 1) \leq 2\omega r - 1(f ; | h| 1) \leq . . . \leq 2r - 1\omega 1(f ; | h| 1) \leq 2r\| f\| \infty \equiv 2r\omega 0(f ; | h| 1).
Исходя из тождества
\Delta r
n\delta f(x) =
n - 1\sum
\nu 1=0
. . .
n - 1\sum
\nu r=0
\Delta r
\delta f
\bigl(
x+ (\nu 1 + . . .+ \nu r)\delta
\bigr)
, n \in \BbbN (\ast )
(при r = 1 оно очевидно, а далее доказывается по индукции), получаем следующее.
4.1. \omega r(f ;n| h| 1) \leq nr\omega r(f ; | h| 1), \omega r(f ;\lambda | h| 1) \leq (\lambda + 1)r\omega r(f ; | h| 1), \lambda > 0.
Кроме того, при | u| 1 \leq | v| 1
\omega r(f ; | v| 1)
| v| r1
\leq 2r
\omega r(f ; | u| 1)
| u| r1
(подробнее см., например, в [3 – 5]).
4.2. \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0
\omega r(f ; | h| 1)
| h| r1
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}h
\omega r(f ; | h| 1)
| h| r1
.
Для доказательства обозначим верхнюю грань через Mr \in (0,+\infty ] и возьмем произвольное
число M \in (0,Mr). Тогда существует такое \delta \not = 0, что \omega r(f ; | \delta | 1) > M | \delta | r1 и при 0 < | h| 1 \leq
\leq | \delta | 1, и n =
\biggl[
| \delta | 1
| u| 1
\biggr]
(целая часть); учитывая, что n| h| 1 \leq | \delta | 1 < (n + 1)| h| 1 и h \rightarrow 0 при
n\rightarrow \infty , из п. 4.1 получаем
\omega r(f ; | \delta | 1) \leq
\biggl(
| \delta | 1
| h| 1
+ 1
\biggr) r
\omega r(f ; | h| 1) \leq (n+ 2)r\omega r(f ; | h| 1).
Поэтому
M <
\omega r(f ; | \delta | 1)
| \delta | r1
\leq \omega r(f ; | \delta | 1)
nr| h| r1
\leq
\biggl(
1 +
2
n
\biggr) r \omega r(f ; | h| 1)
| h| r1
\leq
\biggl(
1 +
2
n
\biggr) r
Mr
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\omega r(f ; | h| 1)
| h| r1
=Mr.
4.3. При любом целом k \geq 0
\omega r(f ; | h| 1) \leq
r
2
k\sum
\nu =0
1
2\nu r
\omega r+1(f ; 2
\nu | h| 1) +
1
2(k+1)r
\omega r(f ; 2
k - 1| h| 1).
Для доказательства применяем тождество (\ast ) при n = 2:
2r\Delta r
hf(x) - \Delta r
2hf(x) =
r\sum
\nu =0
\biggl(
r
\nu
\biggr) \Bigl[
\Delta r
hf(x) - \Delta r
hf(x+ \nu h)
\Bigr]
=
=
r\sum
\nu =1
\biggl(
r
\nu
\biggr) \nu - 1\sum
m=0
\Delta r+1
h f(x+mh) =
r - 1\sum
m=0
\Delta r+1
h f(x+mh)
r\sum
\nu =m+1
\biggl(
r
\nu
\biggr)
(изменен порядок суммирования). В результате имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 989
\bigm| \bigm| 2r\Delta r
hf(x)
\bigm| \bigm|
2
\leq \omega r(f ; 2| h| 1) + \omega r+1(f ; | h| 1)
r - 1\sum
m=0
r\sum
\nu =m+1
\biggl(
r
\nu
\biggr)
.
Но двойная сумма равна r \cdot 2r - 1. Поэтому
\omega r(f ; | h| 1) \leq
r
2
\omega r+1(f ; | h| 1) +
1
2r
\omega r(f ; 2| h| 1).
Заменяя в этом неравенстве | h| 1 на 2| h| 1 и применяя его k раз, получаем искомое соотношение.
Перейдем теперь от сумм к интегралам.
Если \varphi и \psi — положительные функции на \BbbR + = [0,+\infty ), \varphi убывает, а \psi возрастает и при
некотором c > 0 \psi (x+ 1) \leq c\psi (x) для x \in \BbbR +, то
k\sum
\nu =1
\varphi (\nu )\psi (\nu ) \leq c
k\int
0
\varphi (x)\psi (x)dx.
В данном случае, когда \psi (x) = \omega r+1(f ; 2
x| h| 1), c = 2r+1 (см. п. 4.1 при n = 2). Поэтому
\omega r(f ; | h| 1) \leq
r
2
\omega r+1(f ; | h| 1) +
1
2(k+1)r
\omega r(f ; 2
k+1| h| 1) + 2r+1
k\int
0
\omega r+1(f ; 2
x| h| 1)
2rx
dx,
и после замены 2x| h| 1 = v в интеграле
\omega r(f ; | h| 1) \leq
r
2
\omega r+1(f ; | h| 1) +
1
2(k+1)r
\omega r(f ; 2
k+1| h| 1) +
2r+1
\mathrm{l}\mathrm{n} 2
| h| r1
2k| h| 1\int
| h| 1
\omega r+1(f ; v)
vr+1
dv.
При | h| 1 \leq 1, выбирая k так, чтобы 1 \leq 2k| h| 1 < 2, получаем
\omega r(f ; | h| 1) \leq
1
2r
\omega r(f ; 4)| h| r1 +
r
2
\omega r+1(f ; | h| 1) +
2r+1
\mathrm{l}\mathrm{n} 2
| h| r1
2\int
| h| 1
\omega r+1(f ; v)
vr+1
dv \leq
\leq 1
2r
\omega r(f ; 4)| h| r1 + c(r)| h| r1
2\int
| h| 1
\omega r+1(f ;u)
ur+1
du
\bigl(
применено неравенство из п. 4.1 при | u| 1 = | h| 1 и | v| 1 \in
\bigl[
| h| 1, 2
\bigr] \bigr)
.
Это обобщенное неравенство Маршо.
4.4. Если \omega r+1(f ; 1) = 0, то при любом h \in E1 \omega r(f ; | h| 1) \equiv \omega r(f ; 1)| h| r1.
В силу монотонности \omega r+1(f ; | h| 1) = 0 при | h| 1 \leq 1, а значит, и при всех h (см. п. 4.1). В
силу пп. 4.3 и 4.1
\omega r(f ; | h| 1) \leq
1
2(k+1)r
\omega r(f ; 2
k+1| h| 1) \leq \omega r(f ; | h| 1).
Поэтому при любом k и h \not = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
990 Р. М. ТРИГУБ
\omega r(f ; | h| 1)
| h| r1
=
\omega r(f ; 2
k+1| h| 1)
2(k+1)r| h| r1
или
\omega r
\biggl(
f ;
| h| 1
2k+1
\biggr)
\biggl(
| h| 1
2k+1
\biggr) r =
\omega r(f ; | h| 1)
| h| r1
.
Осталось перейти к пределу при k \rightarrow \infty (см. п. 4.2) и положить | h| 1 = 1.
4.5. Для любых r и m \in \BbbN существует c(r,m) такое, что при | h| 1 \leq 1:
а) \omega r
r+m(f ; 1)\omega r+m
r (f ; | h| 1) \leq c(r,m)\omega r+m
r (f ; 1)\omega r
r+m(f ; | h| 1);
б) \omega r+m(f ; 1)\omega r(f ; | h| r+m
1 ) \leq c(r,m)\omega r(f ; 1)\omega r+m(f ; | h| r1);
в) \omega r+m(f ; 1)\omega r(f ; | h| 1)\omega m(f ; | h| 1) \leq c(r,m)\omega r(f ; 1)\omega m(f ; 1)\omega r+m(f ; | h| 1).
Доказательство не отличается от приведенного в [3], п. 4.6.5.
4.6. Если E2 — банахова алгебра
\bigl(
| fg| 2 \leq | f | 2| g| 2
\bigr)
, то при r = 1 и | h| 1 \leq 1
\omega (fg; | h| 1) \leq \| f\| \infty \omega (g; | h| 1) + \| g\| \infty \omega (f ; | h| 1),
а при r \geq 2
\omega r(fg; | h| 1) \leq c(r)
\Biggl[
\| g\| \infty \omega r(f ; | h| 1) + \| f\| \infty \omega r(g; | h| 1)+
+\| f\| \infty \| g\| \infty | h| r1 + \| f\| \infty \| g\| \infty
\biggl(
\omega r(f ; | h| 1)
\omega r(f ; 1)
+
\omega r(g; | h| 1)
\omega r(g; 1)
\biggr) \Biggr]
,
где по предположению
0
0
= 0.
В [3] такое неравенство доказано для случая f \in Lp, p \in [1,+\infty ], и g \in L\infty (с использова-
нием производных).
Исходим из того, что при некоторых положительных числовых коэффициентах \{ ak,r\} ,
\{ bk,r\} и \{ ck,r\} (при r = 1 сумма отсутствует)
\Delta r
h(fg;x) = g(x)\Delta r
hf(x) + f(x+ rh)\Delta r
hg(x) +
r - 1\sum
k=1
ak,r\Delta
k
bk,rh
f(x)\Delta r - k
ck,rh
g(x).
Следовательно,
\omega r(fg; | h| 1) \leq \| g\| \infty \omega r(f ; | h| 1) + \| h\| \infty \omega r(g; | h| 1) + c1(r)
r - 1\sum
k=1
\omega k(f ; | h| 1)\omega r - k(g; | h| 1).
При r \geq 2 предположим сначала, что \omega r(f ; 1)\omega r(g; 1) \not = 0. Применяем п. 4.5 а):
r - 1\sum
k=1
\omega k(f ; | h| 1)\omega r - k(f ; | h| 1) \leq c2(r)
r - 1\sum
k=1
\omega k(f ; 1)
\omega
k
r
r (f ; 1)
\omega
k
r
r (f ; | h| 1)
\omega r - k(g; 1)
\omega
1 - k
r
r - k (g; 1)
\omega
1 - k
r
r (g; | h| 1).
Учтем теперь, что \omega k(f ; 1) \leq 2k\| f\| \infty , \omega r - k(g; 1) \leq 2r - k\| g\| \infty , а при \delta \in [0, 1], x1 > 0 и
x2 > 0
x\delta 1x
1 - \delta
2 \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x1, x2\} < x1 + x2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 991
Искомое неравенство доказано.
Пусть теперь \omega r(f ; 1) = 0, а \omega r(g; 1) \not = 0. Тогда в силу п. 4.4
\omega r - 1(f ; | h| 1) \equiv \omega r - 1(f ; 1)| h| r - 1
1 .
При r \geq 3 применяем неравенство Маршо из п. 4.3 в интегральной форме с заменой r на
r - 2:
\omega r - 2(f ; | h| 1) \leq 2r\omega r - 2(f ; 1)| h| r - 2
1 + c3(r)\omega r - 1(f ; 1)| h| r - 2
1 \leq c4(r)\omega r - 2(f ; 1)| h| r - 2
1 .
Следовательно, при любом k \in [1, r - 1] \omega r - k(f ; | h| 1) \leq c5(r)\omega r - k(f ; 1)| h| r - k
1 . Поэтому
r - 1\sum
k=1
\omega k(f ; | h| 1)\omega r - k(g; | h| 1) =
r - 1\sum
k=1
\omega r - k(f ; | h| 1)\omega k(g; | h| 1) \leq
\leq c6(r)
r - 1\sum
k=1
\omega r - k(f ; 1)| h| r - k
1 \omega k(g; | h| 1).
В силу п. 4.1 (| v| 1 = 1)
| h| r - k
1 \leq 2r - k\omega r - k(g; | h| 1)
\omega r - k(g; 1)
,
а в силу п. 4.5 в)
\omega r - k(g; | h| 1)\omega k(g; | h| 1)
\omega r - k(g; 1)
\leq c7(r)
\omega r(g; | h| 1)\omega k(g; 1)
\omega r(g; 1)
.
Поэтому
r - 1\sum
k=1
\omega k(f ; | h| 1)\omega r - k(g; | h| 1) \leq c8(r)
\omega r(g; | h| 1)
\omega r(g; 1)
r - 1\sum
k=1
\omega r - k(f ; 1)\omega k(g; 1),
и можно еще учесть, что \omega m(f ; | h| 1) \leq 2m\| f\| \infty .
Остался случай \omega r(f ; 1) = \omega r(g; 1) = 0. В силу предыдущего при k \in [1, r - 1]
\omega k(f ; | h| 1) \leq c5(r)\omega k(f ; 1)| h| k1, \omega r - k(g; | h| 1) \leq c5(r)\omega r - k(g; 1)| h| r - k
1 .
Поэтому
r - 1\sum
k=1
\omega k(f ; | h| 1)\omega r - k(g; | h| 1) \leq (c5(r))
2
r - 1\sum
k=1
\omega k(f ; 1)\omega r - k(g; 1)| h| r1.
Свойство 4.6 доказано.
Замечание 3. Предположим, что в формуле из п. 4.6 при \omega r(g; 1) = 0 и \omega r(f ; 1) \not = 0 можно
убрать последнее слагаемое.
Учитывая, что в этом случае \omega r(f + g; | h| 1) \equiv \omega r(f ; | h| 1), а g2 = (f + g)g - fg, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
992 Р. М. ТРИГУБ
\omega r(g
2; | h| 1) \leq \omega r((f + g)g; | h| 1) + \omega r(fg; | h| 1) \leq
\leq c(r)
\Bigl[
\| g\| \infty \omega r(f ; | h| 1) + \| f + g\| \infty \| g\| \infty | h| r1 + \omega r(fg; | h| 1)
\Bigr]
.
Заменяя f на \varepsilon f и переходя к пределу при \varepsilon \rightarrow 0, имеем
\omega r(g
2; | h| 1) \leq c(r)\| g\| 2\infty | h| r1, g2 \in W r.
Если считать, что g — „полином степени не выше r - 1”, то это неравенство типа Маркова.
Можно изучать и модули гладкости нецелого порядка r > 0.
Те же свойства 4.1 – 4.6 справедливы для вектор-функций, например, на шаре | x| 1 \leq 1 (при
естественных ограничениях на величину шага | h| ).
Функцию, заданную на шаре, можно продолжить с сохранением модуля непрерывности на
все пространство, полагая, например,
f(x) = f
\biggl(
x
| x| 1
(2 - | x| 1)
\biggr)
, 1 < | x| \leq 2, f(x) = f(0), | x| 1 > 2.
По-видимому, можно продолжить функцию с сохранением \omega r при r \geq 2 (по порядку)
методом Хестенса (см., например, [4], [3], п. 4.6.12).
Это были полные модули гладкости.
Частный модуль гладкости (в направлении единичного вектора e) определяется разностью
\Delta
e
r
h
f(x) =
r\sum
\nu =0
( - 1)\nu
\biggl(
r
\nu
\biggr)
f(x+ \nu he), | h| 1 \in (0, 1].
Смешанная разность (e1 и e2 — два линейно независимых единичных вектора)
\Delta
e1,e2
r1,r2
h1,h2
f(x) = \Delta
e2
r2
h2
\biggl(
\Delta
e1
r1
h1
f
\biggr)
(x).
Соотношения между полным модулем гладкости, частными и смешанными в случае число-
вых функций на \BbbR d и стандартного базиса выводятся в [6] из некоторых тождеств, доказанных
непосредственно (без использования преобразования Фурье). Так что те же неравенства спра-
ведливы и в случае банаховых пространств.
В начале этого пункта введена полунорма
| f | W r = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h
\omega r(f ; | h| 1)
| h| r1
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\omega r(f ; | h| 1)
| h| 1
.
Положим для ограниченной f : E1 \rightarrow E2
Kr(\varepsilon , f) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g\in W r
\{ | f - g| 2 + \varepsilon | g| W r\} при \varepsilon > 0.
Лемма 1. Для того чтобы Kr(\varepsilon
r, f) \asymp \omega r(f ; \varepsilon ), необходимо и достаточно, чтобы для
любой такой функции f при любом \varepsilon > 0 существовала такая g\varepsilon (f) \in W r, что
| f - g\varepsilon (f)| 2 \leq c(r)\omega r(f, \varepsilon ), | g\varepsilon (f)| W r \leq c(r)
\omega r(f, \varepsilon )
\varepsilon r
.
Необходимость и достаточность очевидны.
Отметим еще, что при E1 = \BbbR можно ввести интеграл (например, как предел интегральных
сумм). Но тогда можно ввести и функцию типа Стеклова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 993
fr,h(x) =
1
hr
h\int
0
d\delta 1
h\int
0
d\delta 2 . . .
h\int
0
r\sum
\nu =1
( - 1)\nu +1
\biggl(
r
\nu
\biggr)
f
\bigl(
x+ \nu
r\sum
m=1
\delta m
\bigr)
d\delta r, h > 0.
Ее применение см. в [3], пп. 4.6.7 – 4.6.10. Легко проверить, что
| f - fr,h| 2 \leq \omega r(f, rh), | fr,h| W r \leq
\bigl(
2r - 1
\bigr) \omega r(f, rh)
hr
,
так как
\Delta r
hfr,h(x) =
1
hr
h\int
0
d\delta 1 . . .
h\int
0
r\sum
\nu =1
( - 1)\nu +1
\biggl(
r
\nu
\biggr)
\Delta r
hf
\Biggl(
x+ \nu
r\sum
m=1
\delta m
\Biggr)
d\delta r,
\| fr,h\| W r \leq 1
hr
r\sum
\nu =1
\biggl(
r
\nu
\biggr)
\omega r(f ;h) = (2r - 1)
\omega r(f ;h)
hr
.
Производную f (r) можно определить как линейный ограниченный оператор E1 \rightarrow E2 такой,
что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta r
hf(x)
| h| 1
- f (r)(x)(h\circ )r
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
= 0
\biggl(
h\circ =
h
| h| 1
\biggr)
.
Следует заметить, что из существования f (r) при r \geq 2 не следует, возможно, существова-
ния f (r - 1).
5. Некоторые нерешенные вопросы. 1. Как выглядит точный порядок приближения сум-
мами Марцинкевича (средние арифметические кубических частных сумм Фурье) для периоди-
ческих функций трех и более переменных (какой разностный оператор нужно использовать)?
См. п. 3.6 (d = 2).
2. Определить специальный модуль непрерывности \omega \ast такой, чтобы для всех f \in C(\BbbT ) и
n \in \BbbN было \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
n\sum
k=0
\bigm| \bigm| f(\cdot ) - Sk(f ; \cdot )
\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\asymp \omega \ast (f ; \varepsilon n)
при некоторой нуль-последовательности \{ \varepsilon n\} , не зависящей от функции.
3. В этой статье для оценки порядка приближения сверху и снизу сверткой функции с
данным ядром применяется метод мультипликаторов Фурье. Поэтому ответ дается в терминах
коэффициентов ядра, т. е. спектра интегрального оператора. А при каких достаточно общих
условиях на само ядро Kn
\| f - f \ast Kn\| \asymp \omega r
\biggl(
f ;
1
n
\biggr)
?
При r = 1 и r = 2 эта задача решена в [57]. А какой ответ при r \geq 3?
4. В п. 3 настоящей статьи изучается приближение операторами эллиптического типа, у
которых символ равен нулю только в нуле.
Следующий (первый) случай другого типа изучен Э. С. Белинским [58]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
994 Р. М. ТРИГУБ
Пусть Dr =
\partial r1+...+rd
\partial xr11 . . . \partial xrdd
— смешанная производная порядка r =
\sum d
j=1
rj , где
0 < r1 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . . \leq rd.
Предположим, что
\int \pi
- \pi
f(x)dxj = 0, 1 \leq j \leq d, и для s \in \BbbZ d
+
\delta s(f) =
\sum
k\in \rho (s)
\^fkek, \rho (s) =
\bigl\{
k \in \BbbZ d : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , 1 \leq j \leq d
\bigr\}
.
Тогда при p \in (1,+\infty ) и
\biggl[
1
\varepsilon
\biggr]
= 2n (J — единичный оператор)
K
\bigl(
\varepsilon r1 , f, Lp,W (Dr)p
\bigr)
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
s : (s,r)\leq r,n
\bigl(
J - 2 - r,nDr
\bigr)
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
.
Каков модуль гладкости, порожденный смешанной производной в Lp, 1 \leq p \leq \infty , и каков
K -функционал в C?
5. Для функций на отрезке роль концевых точек особая.
Два важных результата о Д-Т модулях см. в замечании 1 (п. 2).
Приведем еще один результат (V. Totik [59], см. также [4]):
для классических полиномов Бернштейна Bn на [ - 1, 1]
\| f - Bn(f)\| C \asymp \omega \varphi
2
\biggl(
f ;
1\surd
n
\biggr)
.
Но существенно ранее были хорошо изучены приближения алгебраическими полиномами
(прямые и обратные теоремы) с учетом положения точки (С. М. Никольский, А. Ф. Тиман,
В. К. Дзядык, G. Freud, Ю. А. Брудный, Р. М. Тригуб). (См., например, [4], [3], п. 4.7.) А для
тех же полиномов Бернштейна давно доказано, что на [ - 1, 1]
| f(x) - Bn(f, x)| \leq c\omega 2
\left( f ;\Biggl( \surd
1 - x2
n
\Biggr) 1
2
\right)
\infty
,
но такая же оценка приближения снизу не является справедливой [60].
Для функций на отрезке есть ряды Фурье – Якоби, для функций на множествах комплексной
плоскости — ряды Фабера. Как сформулировать и применить принцип сравнения методов
суммирования таких рядов (с учетом положения точки)?
Возможны ли двусторонние оценки приближения на [ - 1, 1] вида \omega r
\Biggl(
f ;
\surd
1 - x2
n
+
1
n2
\Biggr)
\infty
?
В случае нелинейных операторов такие приближения возможны:
Пусть s \in \BbbZ +. Тогда для любой функции f \in Cs[ - 1, 1] при r \in \BbbN и n \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(r + s - 1, 3)
существует полином pn степени не выше n такой, что при x \in [ - 1, 1]
\delta sn(x)\omega r
\bigl(
f (s); \delta n(x)
\bigr)
\leq pn(x) - f(x) \leq c(s, r)\delta sn(x)\omega r
\bigl(
f (s); \delta n(x)
\bigr)
,
где \delta n(x) =
\surd
1 - x2
n
+
1
n2
(см. [57]).
В заключение выражаю благодарность Ю. A. Брудному за ценные замечания, учтенные в
статье.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
О РАЗНЫХ МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И K -ФУНКЦИОНАЛАХ 995
Литература
1. А. Ф. Тиман, Теория приближения функций действительного переменного, Физматгиз, Москва (1960).
2. O. V. Besov, Investigation of a family of functions spaces in connection with theorems of imbedding and extension,
Tr. Mat. Inst. Steklovа, 60, 42 – 81 (1961).
3. R. Trigub, E. Belinsky, Fourier analysis and approximation of functions, Kluwer-Springer, Dordrecht (2004).
4. R. A. De Vore, G. G. Lorentz, Constructive approximation, Springer, Berlin; New York (1993).
5. V. K. Dzyadyk, I. A. Shevchuk, Theory of uniform approximation of functions by polinomials, Walter de Gruyter,
Berlin; New York (2008).
6. М. Ф. Тиман, О разностных свойствах функций многих переменных, Изв. АН СССР, сер. мат., 33, №3, 667 – 676
(1969).
7. Yu. A. Brudnyi, Extension of functions preserving order of moduli of continuity. Studies in function theory of several
variables, State Univ., Yaroslavl (1980).
8. С. Н. Бернштейн, О свойствах однородных функциональных классов, Докл. АН СССР, 57, 111 – 114 (1947).
9. J. Marcinkiewics, A. Zygmund, On the differentiability of functions and summability of trigonometrical series, Fund.
Math., 26, 1 – 43 (1936).
10. J. Boman, Equivalence of generalized modulus of continuity, Ark. Mat., 18, №1, 73 – 100 (1980).
11. R. M. Trigub, Linear summation methods and the absolute convergence of Fourier series, Izv. Akad. Nauk SSSR,
Ser. Mat., 32, 24 – 29 (1968).
12. I. Bergh, I. Löfström, Interpolation spaces. An introduction, Springer (1976).
13. Z. Ciesielski, Bases and K -functionals for Sobolev spaces on compact manifolds of class C\infty , Tr. Mat. Inst. Steklova,
164, 197 – 202 (1983).
14. R. M. Trigub, A formula for the K -functional of a couple of spaces of functions of several variables, Studies in the
Theory of Functions of Several Real Variables, Yaroslavl, 122 – 127 (1988).
15. Z. Ditzian, A measure of smothness related to the Laplacian, Trans. Amer. Math. Soc., 326, 407 – 422 (1991).
16. R. M. Trigub, Constructive characterizations of some functions classes, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 29,
615 – 630 (1965).
17. V. V. Zhuk, On approximation of periodic functions by linear methods of Fourier series, Dokl. Akad. Nauk SSSR,
173, 30 – 33 (1967).
18. V. V. Zhuk, Approximation of periodic functions, Leningrad. Univ. Press, Leningrad (1982) (in Russian).
19. E. A. Storozhenko, On a problem of Hardy – Littlewood, Mat. Sb., 119, 564 – 583 (1982).
20. M. F. Timan, V. G. Ponomarenko, On approximation of periodic functions of two variables by summs of Marcinkiewicz
type, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 9, 59 – 67 (1975).
21. E. S. Belinsky, Approximation by the Bochner – Riesz means and spherical modulus of continuity, Dop. Akad. Nauk
Ukr. RSR, Ser. A, 7, 579 – 581 (1975).
22. R. M. Trigub, Absolute convergence of Fourier integrals, summability of Fourier series, and polynomial approximation
of functions on the torus, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Math., 44, 1318 – 1409 (1980).
23. O. I. Kuznetsova, R. M. Trigub, Two-sided estimates of the approximation of functions by Riesz and Marcinkiewicz
means, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 251, 34 – 36 (1980).
24. Yu. L. Nosenko, Approximative properties of the Riesz means of double Fourier series, Ukr. Mat. Zh., 31, №1,
157 – 165 (1979).
25. Z. Ditzian, K. G. Ivanov, Strong converse inequalities, J. Anal. Math., 61, 61 – 111 (1993).
26. B. R. Draganov, Exact estimates of the rate of approximation on convolution operators, J. Approxim. Theory, 162,
952 – 979 (2010).
27. R. M. Trigub, Multipliers in the Hardy spaces Hp(\BbbD m for p \in (0, 1] and approximation properties of methodes for
the summation of power series, Mat. Sb., 188, 145 – 160 (1997).
28. A. V. Tovstolis, Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and their applications, Methods
Funct. Anal. and Topology, 4, 68 – 89 (1998).
29. Vit. V. Volchkov, Multipliers of power series in Hardy spaces, Ukr. Mat. Zh., 50, №5, 585 – 587 (1998).
30. H. S. Shapiro, Some Tauberian theorem with applications to approximation theory, Bull. Amer. Math. Soc., 74,
500 – 504 (1968).
31. E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Univ. Press, Princeton (1970).
32. E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton Univ. Press, Princeton (1971).
33. B. М. Makarov, A. N. Podkorytov, Real analysis: measures, integrals and applications, St.Petersburg (2011).
34. E. Liflyand, S. Samko, R. Trigub, The Wiener algebra of absolutely convergent Fourier integrals: an overview, J.
Anal. Math. Phys. (2012).
35. R. M. Trigub, Multipliers of Fourier series, Ukr. Mat. Zh., 43, №12, 1686 – 1693 (1991).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
996 Р. М. ТРИГУБ
36. R. M. Trigub, Multipliers of Fourier and K -functionals of spaces smoothness functions, Ukr. Mat. Visn., 2, №2,
236 – 280 (2005).
37. R. Askey, Summability of Jacobi series, Trans. Amer. Math. Soc., 179, 71 – 81 (1973).
38. E. Liflyand, R. Trigub, Conditions for the absolute convergence of Fourier integrals, J. Approxim. Theory, 163,
438 – 459 (2011).
39. S. B. Stechkin, On the order of the best approximations of continuous functions, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.,
15, №3, 219 – 242 (1951).
40. Yu. S. Kolomoitsev, R. M. Trigub, On one nonclassical method of approximation of periodic functions by trigonometric
polynomials, Ukr. Math. Bull., 9, №3 (2012).
41. R. M. Trigub, The exact order of approximation to periodic functions by Bernstein – Stechkin polinomials, Sb. Math.,
204, №12, 1819 – 1838 (2013).
42. O. V. Kotova, R. M. Trigub, Exact order of approximation of periodic functions by one nonclassical method of
summation of Fourier series, Ukr. Math. J., 64, №7, 1090 – 1108 (2012).
43. P. M. Tamrazov, Smoothness and polynomial approximation, Naukova Dumka, Kiev (1975) (in Russian).
44. Yu. S. Kolomoitsev, Description of a class of functions with the condition \omega r(f ;h)p \leq Mh
r - 1+ 1
p for p \in (0, 1),
Vestnik Dnepr. Univ., Ser. Mat., 8, 31 – 43 (2003).
45. R. Trigub, Fourier multipliers and comparison of linear operators, Oper. Theory: Adv. and Appl., 191, 499 – 513
(2009).
46. Yu. Kolomoitsev, S. Tikhonov, Properties of moduli of smoothness in Lp(\BbbR d), arXiv.org > математика > arXiv:
1907.12788v3[math.CA] 25 Mar 2020.
47. Yu. Kolomoitsev, On moduli of smoothness and averaged differences of fractional order, Fract. Calc. and Appl.
Anal., 20, №4, 988 – 1009 (2017).
48. Z. Ditzian, V. Totik, Moduli of smoothness, Berlin, New York (1987).
49. R. M. Trigub, On Fourier multipliers and absolutely convergent of Fourier integrals of radial functions, Ukr. Mat.
Zh., 62, №9, 1280 – 1293 (2010).
50. V. V. Lebedev, A. M. Olevskii, Lp -мультипликаторы Фурье с ограниченными степенями, Изв. РАН, сер. мат.,
вып. 70, №3, 129 – 166 (2006).
51. O. V. Kotova, R. M. Trigub, Approximative properties of the summation methods of Fourier integrals, J. Math. Sci.,
211, №5, 668 – 683 (2015).
52. Ю. А. Брудный, Исследование свойств непериодических функций многих переменных методами теории при-
ближений, Успехи мат. наук, вып. 20, №5, 270 – 272 (1965).
53. A. Brudnyi, Y. Brudnyi, Methods of geometric analysis in extension and trace problems, Monogr. Math., 1, 170 – 178
(2011).
54. А. М. Швецова, Приближение частными суммами Фурье и наилучшее приближение некоторых классов
функций, Anal. Math., 27, 201 – 222 (2001).
55. Р. М. Тригуб, Асимптотика приближения непрерывных периодических функций линейными средними их рядов
Фурье, Изв. РАН, сер. мат., вып. 84, №3, 185 – 202 (2020).
56. K. M. Davis, Y.-C. Chang, Lectures on Bochner – Riesz means, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 114 (1987).
57. R. M. Trigub, Exact order of approximation of periodic functions by linear polynomials operators, East J. Approxim.,
15, №1, 25 – 50 (2009).
58. E. S. Belinsky, Strong summability of periodic functions and embilding theorems, Dokl. Akad. Nauk, 332, 133 – 134
(1993).
59. V. Totik, Approximation by Bernstein polinomials, Amer. J. Math., 114, 995 – 1018 (1994).
60. Jia-ding Cao, H. Gonska, D. Kasco, On the impossibility of certaine lower estimates for sequences of linear operators,
Math. Balkanica (N.S.), 19, №1-2, 39 – 58 (2005).
61. R. M. Trigub, Approximation of functions by polynomials with various constraints, Izv. Nats. Akad. Nauk Armen.
Mat., 44, №4, 35 – 52 (2009).
Получено 24.02.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2384 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:37Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c6/39b5cca6f766f0266bc9806e23561bc6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23842022-03-26T11:01:55Z On various moduli of smoothness and $K$-functionals О разных модулях гладкости и $K$-функционалах О разных модулях гладкости и $K$-функционалах Trigub , R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. UDC 517.5 In this survey paper, exact rate of approximation of functions by linear means of Fourier series and Fourier integrals and corresponding $K$-functionals are expressed via special moduli of smoothness. Статья посвящена определению точного порядка приближения функций линейными средними рядов и интегралов Фурье и нахождению K-функционалов через специальные модули гладкости. УДК 517.5Статтю, що має оглядовий характер, присвячено визначенню точного порядка наближення функцiй лiнiйними середнiми рядiв i iнтегралiв Фур’є i знаходженню $K$-функцiоналiв через спецiальнi модулi гладкостi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-07-15 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2384 10.37863/umzh.v72i7.2384 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 7 (2020); 971-996 Український математичний журнал; Том 72 № 7 (2020); 971-996 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2384/8733 Copyright (c) 2020 Роальд Тригуб |
| spellingShingle | Trigub , R. M. Тригуб, Р. М. Тригуб, Р. М. On various moduli of smoothness and $K$-functionals |
| title | On various moduli of smoothness and $K$-functionals |
| title_alt | О разных модулях гладкости и $K$-функционалах О разных модулях гладкости и $K$-функционалах |
| title_full | On various moduli of smoothness and $K$-functionals |
| title_fullStr | On various moduli of smoothness and $K$-functionals |
| title_full_unstemmed | On various moduli of smoothness and $K$-functionals |
| title_short | On various moduli of smoothness and $K$-functionals |
| title_sort | on various moduli of smoothness and $k$-functionals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2384 |
| work_keys_str_mv | AT trigubrm onvariousmoduliofsmoothnessandkfunctionals AT trigubrm onvariousmoduliofsmoothnessandkfunctionals AT trigubrm onvariousmoduliofsmoothnessandkfunctionals AT trigubrm oraznyhmodulâhgladkostiikfunkcionalah AT trigubrm oraznyhmodulâhgladkostiikfunkcionalah AT trigubrm oraznyhmodulâhgladkostiikfunkcionalah |