Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems
UDC 517.925.51; 681.5.03 For a class of linear descriptor systems, we establish new criteria for existence of control laws that provide the asymptotic stability and a prescribed estimate for the weighted damping level of bounded disturbances. We suggest a method of generalized $H_{\infty}$-optimizat...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2020
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2389 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508278770892800 |
|---|---|
| author | Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. |
| author_facet | Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. |
| author_sort | Mazko, A. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:35Z |
| description | UDC 517.925.51; 681.5.03
For a class of linear descriptor systems, we establish new criteria for existence of control laws that provide the asymptotic stability and a prescribed estimate for the weighted damping level of bounded disturbances. We suggest a method of generalized $H_{\infty}$-optimization of descriptor systems with controlled and observed outputs. The main computational procedures of the suggested algorithm are reduced to solving linear and quadratic matrix inequalities with additional rank constraints. We also give an example of a descriptor control system for an electrical circuit. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v72i11.2389 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v72i11.2389
УДК 517.925.51; 681.5.03
О. Г. Мазко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ
ЗБУРЕНЬ У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ КЕРУВАННЯ
For a class of linear descriptor systems, we establish new criteria for existence of control laws that provide the asymptotic
stability and a prescribed estimate for the weighted damping level of bounded disturbances. We suggest a method of generali-
zed H\infty -optimization of descriptor systems with controlled and observed outputs. The main computational procedures of
the suggested algorithm are reduced to solving linear and quadratic matrix inequalities with additional rank constraints. We
also give an example of a descriptor control system for an electrical circuit.
Для класу лiнiйних дескрипторних систем встановлено новi критерiї iснування законiв керування, що забезпечують
асимптотичну стiйкiсть та задану оцiнку зваженого рiвня гасiння обмежених збурень. Запропоновано методику
узагальненої H\infty -оптимiзацiї дескрипторних систем з керованими i спостережуваними виходами. Основнi обчис-
лювальнi процедури вiдповiдного алгоритму зводяться до розв’язання лiнiйних та квадратичних матричних нерiв-
ностей при додаткових рангових обмеженнях. Наведено приклад дескрипторної системи стабiлiзацiї електричного
кола.
1. Вступ. Дескрипторнi системи керування виникають при проектуваннi та дослiдженнi ди-
намiки складних об’єктiв механiки, електротехнiки, економiки тощо (див., наприклад, [1 – 6]).
При побудовi рiвнянь руху таких об’єктiв у змiнних, що описують реальний фiзичний процес,
необхiдно враховувати не лише диференцiальнi, а й алгебраїчнi зв’язки та обмеження у фазово-
му просторi. Тому дескрипторнi системи називають також диференцiально-алгебраїчними або
сингулярними системами. Вiдомi методи побудови та дослiдження розв’язкiв класу лiнiйних
дескрипторних систем базуються на застосуваннi теорiї канонiчних форм матричних в’язок та
узагальнених обернених матриць [2, 7].
Сучаснi напрямки дослiджень в теорiї керування як звичайних, так i дескрипторних сис-
тем складають методи робастної стабiлiзацiї та H2/H\infty -оптимiзацiї, якi забезпечують робастну
стiйкiсть станiв рiвноваги й мiнiмiзують негативний вплив зовнiшнiх збурень на динамiку керо-
ваних об’єктiв. Типовим критерiєм якостi у задачах H\infty -оптимiзацiї неперервних i дискретних
систем з нульовим початковим станом є рiвень гасiння зовнiшнiх збурень, якому вiдповiдає мак-
симальне значення вiдношення L2-норм векторiв керованого виходу об’єкта i збурень (див.,
наприклад, [8 – 11]). У [12 – 17] застосовувалися загальнiшi критерiї якостi, якi характеризують
зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень, обумовлених ненульовим початко-
вим вектором. За допомогою вагових коефiцiєнтiв у таких критерiях якостi можна встановити
прiоритети мiж компонентами керованого виходу i невизначених збурень у системi керування,
причому компонентами невизначених збурень можуть бути як зовнiшнi збурення, що дiють на
систему, так i похибки вимiрюваного виходу.
Вiдомi методи синтезу H\infty -керування базуються на критерiях виконання верхнiх оцi-
нок для вiдповiдних критерiїв якостi, встановлених у термiнах матричних рiвнянь i лiнiйних
матричних нерiвностей (ЛМН) [8, 18, 19]. Для класу лiнiйних дескрипторних систем аналогiчнi
твердження встановлено в [20 – 23]. З вiдомими методами H\infty -оптимiзацiї таких систем можна
ознайомитись, наприклад, у [5, 20, 22, 24, 25].
c\bigcirc О. Г. МАЗКО, 2020
1510 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 1511
У данiй роботi продовжено дослiдження [16, 17], присвяченi задачам синтезу узагальненого
H\infty -керування для лiнiйних дескрипторних систем. Пропонуються новi критерiї iснування i
алгоритми побудови статичних та динамiчних регуляторiв, якi забезпечують бажану оцiнку
зваженого рiвня впливу обмежених збурень на якiсть перехiдних процесiв у дескрипторних
системах з керованими i спостережуваними виходами. Практична реалiзацiя даних алгорит-
мiв зводиться до розв’язання лiнiйних i квадратичних матричних нерiвностей при додаткових
рангових обмеженнях. Характерна особливiсть отриманих результатiв порiвняно з вiдомими
полягає у застосуваннi зважених критерiїв якостi, якi дають новi можливостi при досягненнi
бажаних характеристик дескрипторних систем керування. У пунктi 2 наведено також методику
побудови найгiршого збурення й найгiршого початкового вектора щодо зваженого критерiю
якостi. Основнi твердження сформульовано у пунктi 3 без додаткових обмежень на матричнi
коефiцiєнти керованої системи та її виходiв, якi використовувались у багатьох роботах, зокрема
в [20, 22].
Будемо використовувати такi позначення: In — одинична матриця порядку n; 0n\times m — ну-
льова матриця розмiру n\times m; X = X\top > 0 (\geq 0) — додатно (невiд’ємно) визначена матриця
X; \sigma (A) (\rho (A)) — спектр (спектральний радiус) матрицi A; A - 1 (A+) — обернена (псевдо-
обернена) матриця; \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A — ядро матрицi A; WA — матриця, стовпцi якої утворюють базис
ядра матрицi A; \mathrm{C}\mathrm{o}\{ A1, . . . , A\nu \} — опуклий багатогранник (полiтоп) з вершинами A1, . . . , A\nu
у просторi матриць, \| x\| — евклiдова норма вектора x, \| w\| P =
\biggl( \int \infty
0
w\top Pw dt
\biggr) 1
2
— зважена
L2-норма вектор-функцiї w(t).
2. Допустимi дескрипторнi системи зi збуреннями. Розглянемо лiнiйну дескрипторну
систему
E \.x = Ax+Bw, z = Cx+Dw, x(0) = x0, (2.1)
де x \in \BbbR n, w \in \BbbR s i z \in \BbbR k — вiдповiдно вектори стану, зовнiшнiх збурень i виходу, x0 —
початковий вектор. Усi матричнi коефiцiєнти в (2.1) є сталими, причому в’язка матриць F (\lambda ) =
= A - \lambda E регулярна, тобто \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}F (\lambda ) \not \equiv 0 (\lambda \in \BbbC ). У випадку \rho = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E < n систему (2.1)
можна записати у виглядi
\.x1 = A1x1 +B1w, N \.x2 = x2 +B2w, z = C1x1 + C2x2 +Dw, (2.2)
де
x = R
\Biggl[
x1
x2
\Biggr]
, x0 = R
\Biggl[
x01
x02
\Biggr]
, LB =
\Biggl[
B1
B2
\Biggr]
, CR =
\bigl[
C1, C2
\bigr]
,
x1 \in \BbbR r, x2 \in \BbbR n - r, L i R — невиродженi матрицi перетворення пари (A,E) до канонiчної
форми Веєрштрасса [7]
LAR =
\Biggl[
A1 0
0 In - r
\Biggr]
, LER =
\Biggl[
Ir 0
0 N
\Biggr]
. (2.3)
Власнi значення матрицi A1 утворюють скiнченний спектр \sigma (F ) = \{ \lambda 1, . . . , \lambda r\} , а N — нiльпо-
тентна матриця iндексу \nu . Перша пiдсистема в (2.2) є динамiчною, а друга — алгебраїчною, i її
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1512 О. Г. МАЗКО
розв’язок при \nu > 1 мiстить iмпульснi складовi [5]. В’язка матриць F (\lambda ) називається стiйкою
i неiмпульсною, якщо вiдповiдно \sigma (F ) \subset \{ \lambda : \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda < 0\} i N = 0. Дескрипторна система (2.1)
називається допустимою, якщо вiдповiдна в’язка матриць F (\lambda ) регулярна, стiйка i неiмпульс-
на. Введенi властивостi матричних в’язок i систем зручно визначати в термiнах вiдповiдних
пар матриць (E,A). Зокрема, критерiєм вiдсутностi iмпульсних мод у системi (2.1) є умова [3]
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
E 0
A E
\Biggr]
= n+ \rho .
Лема 2.1 [16]. Пара матриць (E,A) неiмпульсна тодi i лише тодi, коли сумiсна стосовно
Z система матричних рiвнянь
AZE = EZA, Z = ZEZ, E = EZE.
Лема 2.2 [22]. Система (2.1) є допустимою тодi i лише тодi, коли сумiсна стосовно X
система спiввiдношень
A\top X +X\top A < 0, E\top X = X\top E \geq 0.
Нехай вектор збурень w(t) у системi (2.1) обмежений за зваженою L2-нормою \| w\| P .
Введемо для цiєї системи критерiй якостi [13]
J = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(w,x0)\in \scrW
\| z\| Q\sqrt{}
\| w\| 2P + x\top 0 X0x0
, (2.4)
де \scrW — множина пар (w, x0), для яких система (2.1) має розв’язок i виконується нерiвнiсть
\| w\| 2P + x\top 0 X0x0 \not = 0, а P = P\top > 0, Q = Q\top > 0 i X0 = E\top HE \geq 0 — ваговi матрицi
(H = H\top > 0). Значення J характеризує зважений рiвень впливу зовнiшнiх i початкових
збурень на вихiд системи (2.1). Застосування вагових матричних коефiцiєнтiв P, Q i X0 в (2.4)
дає можливiсть встановити прiоритети впливу компонент вiдповiдних векторiв w, z i x0 на
значення критерiю якостi J. Таку можливiсть доцiльно використовувати, наприклад, у випадку,
коли компонентами вектора w є не лише зовнiшнi збурення, а й похибки вимiрюваного виходу
системи (див., наприклад, [15]).
У випадку x0 \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}E вираз (2.4) позначимо через J0. Очевидно, що J0 \leq J. У випадку
одиничних матриць P = Is i Q = Ik вираз J0 характеризує типовий критерiй якостi, що
використовується в задачах H\infty -оптимiзацiї систем, i його значення збiгається з H\infty -нормою
матричної передавальної функцiї [10]:
\| Gzw\| \infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\omega \in \BbbR
\sqrt{}
\lambda max(G\top ( - i\omega )G(i\omega )), G(\lambda ) = C(\lambda E - A) - 1B +D.
У даному випадку всi компоненти векторiв збурень i виходу системи рiвноцiнно впливають на
значення критерiю якостi J0.
Вектор збурення w(t) i початковий вектор x0 називатимемо найгiршими в системi (2.1)
щодо критерiю якостi J, якщо на їхнiх значеннях в (2.4) досягається супремум, тобто \| z\| 2Q =
= J2
\bigl(
\| w\| 2P+x\top 0 X0x0
\bigr)
. Методи знаходження таких векторiв у окремих випадках запропоновано
в [12, 15].
Для класу допустимих систем (2.1) встановлено необхiднi i достатнi умови виконання
верхнiх оцiнок J0 < \gamma i J < \gamma при заданому \gamma > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 1513
Лема 2.3 [23]. Якщо iснують матрицi X i S = S\top \geq 0, що задовольняють систему ЛМН\Biggl[
S S - E\top X
S - X\top E 0
\Biggr]
\geq 0, (2.5)
\Psi (X) =
\Biggl[
A\top X +X\top A+ C\top QC X\top B + C\top QD
B\top X +D\top QC D\top QD - \gamma 2P
\Biggr]
< 0, (2.6)
то система (2.1) допустима i J0 < \gamma . Зворотне твердження виконується за умови
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
E
D\top QC
\Biggr]
= \rho . (2.7)
Умова (2.5) означає, що S = E\top X = X\top E \geq 0. Можна встановити, що ЛМН (2.6) сумiсна
щодо X тодi i лише тодi, коли
D\top QD < \gamma 2P, D\top
1 QD1 < \gamma 2P,
де D1 = D - CA - 1B. Iз даних спiввiдношень i леми 2.3 випливає, що J0 > \gamma 0, де \gamma 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\gamma :
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl[
(D\top QD - \gamma 2P )(D\top
1 QD1 - \gamma 2P )
\bigr]
= 0
\bigr\}
.
Лема 2.4 [23]. Якщо сумiсна система спiввiдношень (2.5), (2.6) i
S \leq \gamma 2X0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(S - \gamma 2X0) = \rho , (2.8)
то система (2.1) допустима i J < \gamma . Зворотне твердження виконується за умови (2.7).
За умов лем 2.3 i 2.4 нульовий стан системи (2.1) зi структурованою невизначенiстю вектора
збурень
w =
1
\gamma
\Theta z, \Theta \top P\Theta \leq Q
робастно стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова v(x) = x\top Sx. Це твердження є наслiдком
перетворення (2.3) i теореми про робастну стабiлiзацiю лiнiйної системи [13] (теорема 3.3.1).
Iз лем 2.3 i 2.4 випливають алгоритми обчислення критерiїв якостi J0 i J системи (2.1)
на основi розв’язування вiдповiдних оптимiзацiйних задач. Зокрема, за умов леми 2.4 маємо
J = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\gamma : \Psi (X) < 0, 0 \leq E\top X = X\top E \leq \gamma 2X0
\bigr\}
.
Лема 2.5. Нехай система (2.1) допустима i для деяких матриць X i S = S\top \geq 0 викону-
ються ЛМН (2.5), (2.8) i рiвняння
A\top
1 X +X\top A1 +X\top R1X +Q1 = 0, (2.9)
де A1 = A + BR - 1D\top QC, R1 = BR - 1B\top , Q1 = C\top \bigl( Q + QDR - 1D\top Q
\bigr)
C, R = \gamma 2P -
- D\top QD > 0 i \gamma = J. Тодi структурований вектор зовнiшнiх збурень у формi лiнiйного
зворотного зв’язку за станом
w = K0x, K0 = R - 1(B\top X +D\top QC), (2.10)
i довiльний початковий вектор x0 \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} (S - J2X0) є найгiршими щодо критерiю якостi J
для системи (2.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1514 О. Г. МАЗКО
Доведення. Якщо S = E\top X = X\top E \leq \gamma 2X0 i \Psi (X) \leq 0, то
\.v(x) + z\top Qz - \gamma 2w\top Pw =
\bigl[
x\top , w\top \bigr] \Psi (X)
\Biggl[
x
w
\Biggr]
\leq 0, (2.11)
де \.v(x) — похiдна функцiї v(x) = x\top Sx в силу системи (2.1). Пiсля iнтегрування даного виразу
вiд 0 до \tau , враховуючи, що v(x(\tau )) \rightarrow 0 при \tau \rightarrow \infty , маємо
\| z\| 2Q - \gamma 2\| w\| 2P \leq x\top 0 Sx0 \leq \gamma 2x\top 0 X0x0, (2.12)
тобто J \leq \gamma . Виконання обох рiвностей в (2.12) означає, що \gamma = J, а вiдповiднi вектор збурення
w(t) i початковий вектор x0 є найгiршими щодо критерiю якостi J.
Неважко переконатися, що перша рiвнiсть в (2.12) виконується, якщо вектор збурень w має
структуру (2.10), де X — розв’язок матричного рiвняння Рiккатi (2.9), а x(t) — розв’язок системи
E \.x = (A+BK0)x, x(0) = x0. При цьому права частина спiввiдношення (2.11) дорiвнює нулю.
Друга рiвнiсть в (2.12) виконується, якщо x\top 0 (S - \gamma 2X0)x0 = 0. Остання рiвнiсть за умови
S \leq \gamma 2X0 означає, що x0 \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} (S - \gamma 2X0).
Лему доведено.
3. Лiнiйнi системи з керованими i спостережуваними виходами. Розглянемо систему
керування
E \.x = Ax+B1w +B2u, x(0) = x0,
z = C1x+D11w +D12u, (3.1)
y = C2x+D21w +D22u,
де x \in \BbbR n, u \in \BbbR m, w \in \BbbR s, z \in \BbbR k i y \in \BbbR l — вектори вiдповiдно стану, керування, зовнiш-
нiх збурень, керованого i спостережуваного виходiв, а всi матричнi коефiцiєнти вiдповiдних
розмiрiв є сталими, причому пара (E,A) регулярна i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E = \rho \leq n. Нас цiкавлять закони
керування, якi гарантують бажанi оцiнки для критерiїв якостi типу (2.4) замкненої системи щодо
вектора керованого виходу z. Статичнi й динамiчнi регулятори, якi мiнiмiзують критерiй якостi
J, називатимемо J -оптимальними. J0-оптимальне керування у випадку одиничних вагових
матриць P i Q є H\infty -оптимальним.
При дослiдженнi класу систем (3.1) використовуються такi їхнi властивостi, як C -, R-
та I -керованiсть, а також двоїстi до них C -, R- та I -спостережуванiсть [5, 24]. Зокрема,
для розв’язання узагальнених задач H\infty -оптимiзацiї необхiдно, щоб трiйка матриць (E,A,B2)
була стабiлiзовною та I -керованою. Це означає, що повинна iснувати така матриця K, щоб
пара матриць (E,A + B2K) була стiйкою i неiмпульсною, тобто допустимою. Критерiями I -
керованостi трiйки (E,A,B2) i I -спостережуваностi трiйки (E,A,C2) є вiдповiднi рiвностi [26]
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
E 0 0
A E B2
\Biggr]
= n+ \rho , \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\left[
E A
0 E
0 C2
\right] = n+ \rho .
3.1. Статичний регулятор. При застосуваннi статичного регулятора за спостережуваним
виходом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 1515
u = Ky, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Im - KD22) \not = 0, (3.2)
де K — шукана матриця коефiцiєнтiв пiдсилення, замкнена система має вигляд
E \.x = A\ast x+B\ast w, z = C\ast x+D\ast w, x(0) = x0, (3.3)
де
A\ast = A+B2K\ast C2, B\ast = B1 +B2K\ast D21, C\ast = C1 +D12K\ast C2,
D\ast = D11 +D12K\ast D21, K\ast = (Im - KD22)
- 1K.
Для досягнення бажаної оцiнки J < \gamma застосуємо лему 2.4. Запишемо умову (2.6) для систе-
ми (3.3) у виглядi квадратичної матричної нерiвностi
W + U\top K\ast V + V \top K\top
\ast U + V \top K\top
\ast RK\ast V < 0, (3.4)
де
W =
\Biggl[
A\top X +X\top A+ C\top
1 QC1 X\top B1 + C\top
1 QD11
B\top
1 X +D\top
11QC1 D\top
11QD11 - \gamma 2P
\Biggr]
,
U =
\bigl[
B\top
2 X +D\top
12QC1, D
\top
12QD11
\bigr]
, V =
\bigl[
C2, D21
\bigr]
, R = D\top
12QD12 \geq 0.
Сформулюємо критерiй сумiсностi даної нерiвностi за умов m < q i l < q (q = n+ s), якi
природнi для системи (3.1).
Лема 3.1. Матрична нерiвнiсть (3.4) має розв’язок K\ast \in \BbbR m\times l тодi i лише тодi, коли:
(a) W\top
V WWV < 0
i виконується одна з умов:
(b) R = 0, W\top
U WWU < 0;
(c) R > 0, W < U\top R - 1U ;
(d) R \geq 0, 1 \leq \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}R < m, W\top
U0
\bigl(
W - U\top R+U
\bigr)
WU0 < 0, U0 = W\top
RU.
Доведення. Покажемо, що доведення наведених критерiїв iснування розв’язку K\ast квадра-
тичної матричної нерiвностi (3.4) при R \geq 0 зводяться до застосування вiдомих необхiдних
i достатнiх умов сумiсностi ЛМН (проекцiйної леми [18]). У випадку R = 0 матрична нерiв-
нiсть (3.4) лiнiйна i критерiй її сумiсностi виражають умови (a) i (b). Якщо R > 0, то за лемою
Шура матричну нерiвнiсть (3.4) можна записати у виглядi ЛМН (див., наприклад, [8, с. 8])\Biggl[
W + U\top K\ast V + V \top K\top
\ast U V \top K\top
\ast
K\ast V - R - 1
\Biggr]
< 0 або \widehat W + \widehat U\top K\ast \widehat V + \widehat V \top K\top
\ast
\widehat U < 0,
де
\widehat W =
\Biggl[
W 0
0 - R - 1
\Biggr]
, \widehat U =
\bigl[
U Im
\bigr]
, \widehat V =
\bigl[
V 0l\times m
\bigr]
.
Необхiдними i достатнiми умовами сумiсностi останньої нерiвностi є спiввiдношення
W\top \widehat U \widehat WW\widehat U < 0 i W\top \widehat V \widehat WW\widehat V < 0, тобто умови (a) i (c), оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1516 О. Г. МАЗКО
W\widehat U =
\Biggl[
Iq
- U
\Biggr]
, W\widehat V =
\Biggl[
WV 0
0 Im
\Biggr]
.
Нехай тепер R = LL\top \geq 0, L \in \BbbR m\times r i r = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}R = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}L < m. Не обмежуючи
загальностi, розв’язок (3.4) шукаємо у виглядi
K\ast = L+\top K1 + L\bot K2, L+ = (L\top L) - 1L\top , L\bot = WL\top = WR \in \BbbR m\times m - r,
де K1 \in \BbbR r\times l i K2 \in \BbbR m - r\times l — невiдомi матрицi. Враховуючи рiвнiсть K\top
\ast RK\ast = K\top
1 K1,
отримуємо ЛМН щодо K1 :
W1 + U\top
1 K1V + V \top K\top
1 U1 + V \top K\top
1 K1V < 0,
де W1 = W + U\top
0 K2V + V \top K\top
2 U0 i U1 = L+U. Її критерiєм сумiсностi, як показано вище, є
спiввiдношення W1 < U\top
1 U1 i W\top
V W1WV < 0, тобто
W - U\top R+U + U\top
0 K2V + V \top K\top
2 U0 < 0, W\top
V WWV < 0.
Знову застосовуючи критерiй сумiсностi першої ЛМН щодо K2, одержуємо умови (a) i (d).
Лему доведено.
Отже, на основi лем 2.4 i 3.1 маємо такий результат.
Теорема 3.1. Нехай виконуються умови
R0 = D\top
12QD12 > 0, R1 = \gamma 2P - D\top
11Q1D11 > 0, Q1 = Q - QD12R
- 1
0 D\top
12Q (3.5)
i сумiсна щодо X i S система спiввiдношень (2.5), (2.8) i
W\top
V
\Biggl[
A\top X +X\top A+ C\top
1 QC1 X\top B1 + C\top
1 QD11
B\top
1 X +D\top
11QC1 D\top
11QD11 - \gamma 2P
\Biggr]
WV < 0, (3.6)
A\top
2 X +X\top A2 +X\top R2X +Q2 < 0, (3.7)
де
V =
\bigl[
C2, D21
\bigr]
, A2 = A1 +B11R
- 1
1 D\top
11Q1C1, A1 = A - B2R
- 1
0 D\top
12QC1,
R2 = B11R
- 1
1 B\top
11 - B2R
- 1
0 B\top
2 , B11 = B1 - B2R
- 1
0 D\top
12QD11,
Q2 = C\top
1 (Q1 +Q1D11R
- 1
1 D\top
11Q1)C1.
Тодi iснує статичний регулятор (3.2), при якому замкнена система (3.3) допустима i має
критерiй якостi J < \gamma . Матрицю такого регулятора можна побудувати у виглядi
K = K\ast (Il +D22K\ast )
- 1, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
Il +D22K\ast
\bigr)
\not = 0,
де K\ast — розв’язок матричної нерiвностi (3.4).
Узагальнена лема про матричну невизначенiсть дозволяє побудувати сiм’ю регуляторiв (3.2)
з елiпсоїдальною множиною матриць зворотного зв’язку, тобто визначити гарантованi межi
робастностi бажаного статичного регулятора.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 1517
Лема 3.2 [13]. Нехай виконується матрична нерiвнiсть
\Omega =
\left[
W U\top V \top
U R - P0 D\top
V D - Q - 1
0
\right] < 0,
де W = W\top < 0, U, V,D,R = R\top \geq 0, P0 = P\top
0 > 0 i Q0 = Q\top
0 > 0 — матрицi вiдповiдних
розмiрiв. Тодi для довiльної матрицi K, що належить елiпсоїду \scrK 0 =
\bigl\{
K : K\top P0K \leq Q0
\bigr\}
,
виконуються спiввiдношення \rho (KD) < 1 i
W + U\top \bfD (K)V + V \top \bfD \top (K)U + V \top \bfD \top (K)R\bfD (K)V < 0,
де \bfD (K) = (I - KD) - 1K.
Iз лем 2.4, 3.2 i умови (3.4) для замкненої системи випливає таке твердження.
Теорема 3.2. Нехай iснують матрицi X, S = S\top \geq 0, P0 = P\top
0 > 0 i Q0 = Q\top
0 > 0, що
задовольняють систему спiввiдношень (2.5), (2.8) i
\Omega (X,P0, Q0) =
\left[
\Omega 1 \Omega 2 \Omega 3
\Omega \top
2 \Omega 4 \Omega 5
\Omega \top
3 \Omega \top
5 \Omega 6
\right] < 0,
де
\Omega 1 = A\top X +X\top A+ C\top
1 QC1 + C\top
2 Q0C2, \Omega 2 = X\top B1 + C\top
1 QD11 + C\top
2 Q0D21,
\Omega 3 = X\top B2 + C\top
1 QD12 + C\top
2 Q0D22, \Omega 4 = D\top
11QD11 +D\top
21Q0D21 - \gamma 2P,
\Omega 5 = D\top
11QD12 +D\top
21Q0D22, \Omega 6 = D\top
12QD12 +D\top
22Q0D22 - P0.
Тодi для довiльного керування (3.2) при K \in \scrK 0 замкнена система (3.3) є допустимою i має
критерiй якостi J < \gamma .
Нехай K = K1 — матриця регулятора (3.2), знайдена на основi теореми 3.1. Пiдставив-
ши вираз u = K1 y + v в рiвняння (3.1), отримаємо аналогiчну систему з новим вектором
керування v, до якої застосуємо теорему 3.2. В результатi для системи (3.1) отримаємо сiм’ю
регуляторiв (3.2) з елiпсоїдальною множиною матриць зворотного зв’язку
\scrK 1 =
\bigl\{
K : (K - K1)
\top P0(K - K1) \leq Q0
\bigr\}
,
при яких замкнена система є допустимою i має критерiй якостi J < \gamma .
3.2. Динамiчний регулятор. Розглянемо систему (3.1) з динамiчним регулятором
\.\xi = Z\xi + V y, u = U\xi +Ky, \xi (0) = 0, (3.8)
де \xi \in \BbbR p, p — порядок регулятора, матрицi Z, V, U i K пiдлягають визначенню. Об’єднану
систему (3.1), (3.8) можна записати у виглядi аналогiчної системи у розширеному фазовому
просторi \BbbR n+p
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1518 О. Г. МАЗКО
\widehat E \.\widehat x = \widehat A\widehat x+ \widehat B1w + \widehat B2\widehat u, \widehat x(0) = \widehat x0,
z = \widehat C1\widehat x+ \widehat D11w + \widehat D12\widehat u, (3.9)
\widehat y = \widehat C2\widehat x+ \widehat D21w,
застосувавши статичний регулятор
\widehat u = \widehat K\ast \widehat y, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(Im - KD22) \not = 0, (3.10)
де
\widehat x =
\Biggl[
x
\xi
\Biggr]
, \widehat x0 = \Biggl[
x0
0
\Biggr]
, \widehat y =
\Biggl[
y - D22u
\xi
\Biggr]
, \widehat u =
\Biggl[
u
\.\xi
\Biggr]
, \widehat E =
\Biggl[
E 0
0 Ip
\Biggr]
,
\widehat A =
\Biggl[
A 0n\times p
0p\times n 0p\times p
\Biggr]
, \widehat B1 =
\Biggl[
B1
0p\times s
\Biggr]
, \widehat B2 =
\Biggl[
B2 0n\times p
0p\times m Ip
\Biggr]
,
\widehat C1 =
\bigl[
C1, 0k\times p
\bigr]
, \widehat D11 = D11, \widehat D12 =
\bigl[
D12, 0k\times p
\bigr]
,
\widehat C2 =
\Biggl[
C2 0l\times p
0p\times n Ip
\Biggr]
, \widehat D21 =
\Biggl[
D21
0p\times s
\Biggr]
, \widehat K\ast =
\Biggl[
K\ast U\ast
V\ast Z\ast
\Biggr]
= (Im+p - \widehat K \widehat D22)
- 1 \widehat K,
\widehat K =
\Biggl[
K U
V Z
\Biggr]
= (Im+p + \widehat K\ast \widehat D22)
- 1 \widehat K\ast , \widehat D22 =
\Biggl[
D22 0l\times p
0p\times m 0p\times p
\Biggr]
. (3.11)
При цьому замкнена система (3.9), (3.10) має вигляд\widehat E \.\widehat x = \widehat A\ast \widehat x+ \widehat B\ast w, z = \widehat C\ast \widehat x+ \widehat D\ast w, \widehat x(0) = \widehat x0, (3.12)
де \widehat A\ast = \widehat A+ \widehat B2
\widehat K\ast \widehat C2, \widehat B\ast = \widehat B1 + \widehat B2
\widehat K\ast \widehat D21,\widehat C\ast = \widehat C1 + \widehat D12
\widehat K\ast \widehat C2, \widehat D\ast = \widehat D11 + \widehat D12
\widehat K\ast \widehat D21.
Оскiльки \xi 0 = 0, то її критерiй якостi \widehat J типу (2.4) з ваговою матрицею
\widehat X0 = \widehat E\top \widehat H \widehat E, \widehat H =
\Biggl[
H H\top
1
H1 H2
\Biggr]
> 0,
не залежить вiд H1, H2, i його значення збiгається з J.
Теорема 3.3. Нехай виконуються умови (3.5) i сумiсна щодо X, G, S i \Theta система спiв-
вiдношень (2.5), (2.8), (3.6) i
A\top
2 G+G\top A2 +G\top R2G+Q2 < 0, (3.13)
X - G = \Theta E, \Theta = \Theta \top \geq 0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Theta \leq p, (3.14)
де матрицi A2, R2 i Q2 визначенi в (3.7). Тодi iснує динамiчний регулятор (3.8), при якому
замкнена система (3.12) є допустимою i має критерiй якостi J < \gamma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 1519
Доведення. Запишемо умови (2.5), (2.6) i (2.8) для системи (3.12) у виглядi
0 \leq \widehat E\top \widehat X = \widehat X\top \widehat E \leq \gamma 2 \widehat X0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}( \widehat E\top \widehat X - \gamma 2 \widehat X0) = \rho + p, (3.15)\widehat W + \widehat U\top \widehat K\ast \widehat V + \widehat V \top \widehat K\top
\ast
\widehat U + \widehat V \top \widehat K\top
\ast
\widehat R \widehat K\ast \widehat V < 0, (3.16)
де
\widehat W =
\Biggl[ \widehat A\top \widehat X + \widehat X\top \widehat A+ \widehat C\top
1 Q \widehat C1
\widehat X\top \widehat B1 + \widehat C\top
1 Q \widehat D11\widehat B\top
1
\widehat X + \widehat D\top
11Q
\widehat C1
\widehat D\top
11Q
\widehat D11 - \gamma 2P
\Biggr]
, \widehat X =
\Biggl[
X X3
X1 X2
\Biggr]
,
\widehat U =
\bigl[ \widehat B\top
2
\widehat X + \widehat D\top
12Q \widehat C1, \widehat D\top
12Q \widehat D11
\bigr]
, \widehat V =
\bigl[ \widehat C2, \widehat D21
\bigr]
, \widehat R = \widehat D\top
12Q \widehat D12 \geq 0.
Неважко встановити, що за даних умов матриця \widehat X i її дiагональнi блоки повиннi бути невиро-
дженими, причому X1 = X\top
3 E i X2 = X\top
2 > 0.
Застосуємо умови (a) i (d) леми 3.1 щодо сумiсностi матричної нерiвностi (3.16):
W\top \widehat V \widehat WW\widehat V < 0, W\top \widehat U0
\bigl( \widehat W - \widehat U\top \widehat R+ \widehat U\bigr)
W\widehat U0
< 0, \widehat U0 = W\top \widehat R \widehat U. (3.17)
Перша матрична нерiвнiсть iз (3.17) набирає вигляду (3.6), оскiльки
\widehat V =
\Biggl[
C2 0l\times p D21
0p\times n Ip 0p\times s
\Biggr]
, W\widehat V =
\left[
In 0n\times s
0p\times n 0p\times s
0s\times n Is
\right] WV , V =
\bigl[
C2 D21
\bigr]
.
Перетворимо другу матричну нерiвнiсть iз (3.17), врахувавши вирази
W \widehat R =
\Biggl[
0m\times p
Ip
\Biggr]
, W\widehat U0
=
\left[
In 0n\times s
- X - 1
2 X1 0p\times s
0s\times n Is
\right] , \widehat U0 =
\bigl[
X1 X2 0p\times s
\bigr]
,
\widehat R+ =
\Biggl[
R - 1
0 0k\times p
0p\times k 0p\times p
\Biggr]
, \widehat UW\widehat U0
=
\Biggl[
B\top
2 G+D\top
12QC1 D\top
12QD11
0p\times n 0p\times s
\Biggr]
,
W\top \widehat U0
\widehat WW\widehat U0
=
\Biggl[
A\top G+G\top A+ C\top
1 Q1C1 G\top B1 + C\top
1 QD11
B\top
1 G+D\top
11QC1 D\top
11QD11 - \gamma 2P
\Biggr]
,
де G = X - X3X
- 1
2 X1 = X - \Theta E, \Theta = \Theta \top = X3X
- 1
2 X\top
3 \geq 0. В результатi отримаємо
спiввiдношення (3.14) i матричну нерiвнiсть\Biggl[
A\top
1 G+G\top A1 + C\top
1 Q1C1 - G\top B2R
- 1
0 B\top
2 G G\top B11 + C\top
1 Q1D11
B\top
11G+D\top
11QC1 - R1
\Biggr]
< 0,
яка за лемою Шура еквiвалентна нерiвностi (3.13).
Якщо iз наведених умов теореми знайдено матрицi X, G, S i \Theta , то доповнювальнi блоки
X1, X2 i X3 матрицi \widehat X можна визначити, застосувавши спектральний розклад матрицi \Theta =
= \Theta \top \geq 0 i залежнiсть X1 = X\top
3 E. При цьому ранг матрицi \Theta визначає найменший порядок
шуканого динамiчного регулятора. Щоб задовольнити рангову умову в (3.15), можна покласти
H1 = \gamma - 2X\top
3 i H2 = \gamma - 2X2 + Ip.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1520 О. Г. МАЗКО
Рис. 1. Електричне коло.
Зауваження 3.1. Можна встановити, що матрицю X у твердженнях леми 2.4, а також
теорем 3.1 – 3.3 за вiдповiдних умов завжди можна побудувати у виглядi X = S0E + E0F,
де 0 < S0 = S\top
0 < \gamma 2H, E0 = WE\top i F \in \BbbR (n - \rho )\times n. При цьому S = E\top S0E \geq 0 i
S - \gamma 2X0 = E\top (S0 - \gamma 2H)E \leq 0.
Iз доведення теореми 3.3 випливає такий алгоритм побудови динамiчного регулятора (3.8):
1) знаходження матриць X, G, S i \Theta iз системи спiввiдношень (2.5), (2.8), (3.6), (3.13)
i (3.14);
2) побудова спектрального розкладу невiд’ємно визначеної матрицi \Theta = T\Lambda T\top , де T \in
\in \BbbR n\times r, \Lambda = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ \theta 1, . . . , \theta r\} > 0, r = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Theta ;
3) формування доповнювальних блокiв X1 = T\top E, X2 = \Lambda - 1 i X3 = T матрицi \widehat X при
p = r;
4) розв’язання матричної нерiвностi (3.16) щодо \widehat K\ast i обчислення матричних коефiцiєнтiв
регулятора (3.8) за формулою (3.11).
4. Приклад. Розглянемо систему керування електричним колом, що описується у вигля-
дi (3.1) з матрицями [27]
E =
\left[
L 0 0
0 C 0
0 0 0
\right] , A =
\left[
- R1 - 1 1
0 - 1/R2 0
1 0 0
\right] , B1 = B2 =
\left[
0
1
- 1
\right] ,
C1 =
\Biggl[
0 1 0
0 0 \alpha
\Biggr]
, C2 =
\Biggl[
0 1 0
0 0 1
\Biggr]
, D12 =
\Biggl[
0
1
\Biggr]
, D11 = D21 = D22 =
\Biggl[
0
0
\Biggr]
,
де
x =
\bigl[
i v2 v1
\bigr] \top
, z =
\bigl[
v2 u+ \alpha v1
\bigr] \top
, y =
\bigl[
v2 v1
\bigr] \top
,
L = 3 — iндуктивнiсть, C = 2 — ємнiсть, R1 = 2 i R2 = 1 — опори, i — струм, v1 i v2 —
напруги, u — керуючий сигнал джерела струму з обмеженим збуренням w, \alpha = 1 — параметр
(рис. 1). У данiй системi пара матриць (E,A) є iмпульсною, а трiйки (E,A,B2) i (E,A,C2) —
вiдповiдно I -керованою та I -спостережуваною.
Виберемо ваговi матрицi критерiю якостi (2.4): P = 1, Q = I2 i X0 = E\top E. За допомогою
комп’ютерної системи Mathcad Prime при \gamma = 0,7 знайдено матрицю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 1521
Рис. 2. Поведiнка замкненої системи.
X =
\left[
0,53135 0,00692 0
0,01038 0,97992 0
- 0,15290 0,03987 - 0,88512
\right] ,
що задовольняє систему спiввiдношень (2.5), (2.8), (3.6) i (3.7), а також матрицю статичного
регулятора (3.2) K1 = -
\bigl[
0,89374 1,00974
\bigr]
, при якому замкнена система (3.3) є допустимою
i має критерiй якостi J = 0,59259 < \gamma . При цьому J0 = \| Gzw\| \infty = 0,27633. Обчислювальнi
експерименти показали, що зменшення параметра \alpha на iнтервалi [0, 1] приводить до збiльшення
мiнiмально можливих характеристик J0 i J замкненої системи при застосуваннi статичних
регуляторiв типу (3.2).
На основi теореми 3.2 побудовано елiпсоїдальну множину таких матриць регулятора (3.2)
\scrK 1 =
\bigl\{
K : (K - K1) \Gamma (K - K1)
\top \leq 1
\bigr\}
, \Gamma =
\Biggl[
27,11679 - 0,09483
- 0,09483 27,36519
\Biggr]
,
при яких замкнена система (3.3) є допустимою i її критерiй якостi J < \gamma .
Далi, для замкненої системи з матрицею регулятора K1 побудовано найгiрше збурення
w = K0x, K0 =
\bigl[
0,18527 0,38263 0,00013
\bigr]
(4.1)
i найгiрший початковий вектор x0 =
\bigl[
0,04910 0,38187 - 0,23294
\bigr] \top
щодо критерiю якостi J
(див. лему 2.5). На рис. 2 зображено поведiнку розв’язку замкненої системи при наявностi
найгiршого збурення
E \.x = A0x, x(0) = x0, (4.2)
де A0 = A + B2K1C2 + B1K0, а на рис. 3 — функцiю (4.1) даного збурення. Система (4.2) є
допустимою i має скiнченний спектр \sigma (F0) =
\bigl\{
- 0,71783\pm 0,45121 i
\bigr\}
. Її розв’язок побудовано
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
1522 О. Г. МАЗКО
Рис. 3. Найгiрше збурення щодо критерiю якостi J.
у виглядi x(t) = T \widetilde x(t), де T — матриця повного рангу, для якої виконуються спiввiдношення
A0T = ET\Lambda , \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}T = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(ET ) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E,
а \widetilde x(t) — розв’язок звичайної системи \.\widetilde x = \Lambda \widetilde x, причому \sigma (\Lambda ) = \sigma (F0) i x0 = T \widetilde x0.
На основi теореми 3.3 знайдено також матрицi динамiчного регулятора (3.8)
Z =
\Biggl[
- 0,38338 - 0,00721
0,08507 - 0,41471
\Biggr]
, V =
\Biggl[
- 0,03600 - 0,07555
- 0,00232 - 0,00068
\Biggr]
,
U =
\bigl[
0,57234 2,61512
\bigr]
, K =
\bigl[
- 0,08957 - 0,96093
\bigr]
,
при якому замкнена система (3.12) є допустимою i має критерiй якостi J = 0,47138.
Лiтература
1. S. Campbell, A. Ilchmann, V. Mehrmann, T. Reis (Eds.), Applications of differential-algebraic equations: examples
and benchmarks, Differential-Algebraic Equations Forum, Springer Nature Switzerland AG (2019).
2. A. Ilchmann, T. Reis (Eds.), Surveys in differential-algebraic equations III, Differential-Algebraic Equations Forum,
Springer Int. Publ. Switzerland (2015).
3. Guang-Ren Duan, Analysis and design of descriptor linear systems, Springer, New York etc. (2010).
4. R. Riaza, Differential-algebraic systems. Analytical aspects and circuit applications, World Sci., Singapore (2008).
5. А. А. Белов, А. П. Курдюков, Дескрипторные системы и задачи управления, Физматлит, Москва (2015).
6. A. M. Самойленко, М. I. Шкiль, В. П. Яковець, Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями,
Вища шк., Київ (2000).
7. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Наука, Москва (1988).
8. S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishman, Linear matrix inequalities in system and control theory, SIAM
Stud. Appl. Math., 15 (1994).
9. G. E. Dullerud, F. G. Paganini, A course in robust control theory. A convex approach, Springer-Verlag, Berlin (2000).
10. Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков, Робастная устойчивость и управление, Наука, Москва (2002).
11. Д. В. Баландин, М. М. Коган, Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств, Физмат-
лит, Москва (2007).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
ЗВАЖЕНА ОЦIНКА I ПОНИЖЕННЯ РIВНЯ ВПЛИВУ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 1523
12. Д. В. Баландин, М. М. Коган, Обобщенное H\infty -оптимальное управление как компромисс между H\infty -
оптимальным и \gamma -оптимальным управлениями, Автоматика и телемеханика, № 6, 20 – 38 (2010).
13. А. Г. Мазко, Робастная устойчивость и стабилизация динамических систем. Методы матричных и конусных
неравенств, Пр. Iн-ту математики НАН України, 102 (2016).
14. А. Г. Мазко, С. М. Кусий, Стабилизация по выходу и взвешенное подавление возмущений в дискретных
системах управления, Проблемы управления и информатики, № 6, 78 – 93 (2017).
15. О. Г. Мазко, С. М. Кусiй, Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiтака в режимi посадки,
Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 15, № 1, 88 – 99 (2018).
16. О. Г. Мазко, Т. О. Котов, Робастна стабiлiзацiя i зважене гасiння обмежених збурень у дескрипторних
системах керування, Укр. мат. журн., 71, № 10, 1374 – 1388 (2019).
17. О. Г. Мазко, Т. О. Котов, Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах керування, Зб.
праць Iн-ту математики НАН України, 16, № 2, 63 – 84 (2019).
18. P. Gahinet, P. Apkarian, A linear matrix inequality approach to H\infty control, Intern. J. Robust and Nonlinear Control,
4, 421 – 448 (1994).
19. S. Xu, J. Lam, Y. Zou, New versions of bounded real lemmas for continuous and discrete uncertain systems, Circuits,
Systems and Signal Process, 26, 829 – 838 (2007).
20. M. Chadli, P. Shi, Z. Feng, J. Lam, New bounded real lemma formulation and H\infty control for continuous-time
descriptor systems, Asian J. Control, 20, № 1, 1 – 7 (2018).
21. F. Gao, W. Q. Liu, V. Sreeram, K. L. Teo, Bounded real lemma for descriptor systems and its application, IFAC 14th
Triennial World Congress, Beijing, P. R., China (1999), p. 1631 – 1636.
22. I. Masubushi, Y. Kamitane, A. Ohara, N. Suda, H\infty control for descriptor systems: a matrix inequalities approach,
Automatica, 33, № 4, 669 – 673 (1997).
23. О. Г. Мазко, Оцiнка зваженого рiвня гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах, Укр. мат. журн.,
70, № 11, 1541 – 1552 (2018).
24. Yu Feng, Mohamed Yagoubi, Robust control of linear descriptor systems, Springer Nature Singapore Pte Ltd (2017).
25. Masaki Inoue, Teruyo Wada, Masao Ikeda, Eiho Uezato, Robust state-space H\infty controller design for descriptor
systems, Automatica, 59, 164 – 170 (2015).
26. D. Cobb, Robust controllability, observability and duality in singular systems, IEEE Trans. Automat. Control, 29,
1076 – 1082 (1984).
27. K. Takaba, Robust H2 control of descriptor system with time-varying uncertainty, Intern. J. Robust and Nonlinear
Control, 71, № 4, 559 – 579 (1998).
Одержано 25.02.20,
пiсля доопрацювання — 11.08.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2389 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:40Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/cd146fcac0cf2a271e8f8474e6cfd144.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23892025-03-31T08:49:35Z Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems Взвешенная оценка и понижение уровня влияния ограниченных возмущений в дескрипторных системах управления Зважена оцінка і пониження рівня впливу обмежених збурень у дескрипторних системах керування Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. UDC 517.925.51; 681.5.03 For a class of linear descriptor systems, we establish new criteria for existence of control laws that provide the asymptotic stability and a prescribed estimate for the weighted damping level of bounded disturbances. We suggest a method of generalized $H_{\infty}$-optimization of descriptor systems with controlled and observed outputs. The main computational procedures of the suggested algorithm are reduced to solving linear and quadratic matrix inequalities with additional rank constraints. We also give an example of a descriptor control system for an electrical circuit. Для класса дескрипторных систем установлены новые критерии существования законовуправления, обеспечивающих асимптотическую устойчивость и заданную оценку взвешен-ного уровня гашения ограниченных возмущений. Предложено методику обобщённой H ∞ -оптимизации дескрипторных систем с управляемыми и наблюдаемыми выходами. Основныевычислительные процедуры соответствующего алгоритма сводятся к решению линейных иквадратичных матричных неравенств при дополнительных ранговых ограничениях. Приве-дён пример дескрипторной системы стабилизации электрической цепи. УДК 517.925.51; 681.5.03 Для класу лінійних дескрипторних систем встановлено нові критерії існування законів керування, що забезпечують асимптотичну стійкість та задану оцінку зваженого рівня гасіння обмежених збурень. Запропоновано методику узагальненої $H_{\infty}$-оптимізації дескрипторних систем з керованими і спостережуваними виходами. Основні обчислювальні процедури відповідного алгоритму зводяться до розв'язання лінійних та квадратичних матричних нерівностей при додаткових рангових обмеженнях. Наведено приклад дескрипторної системи стабілізації електричного кола. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2020-11-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2389 10.37863/umzh.v72i11.2389 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 72 No. 11 (2020); 1510-1523 Український математичний журнал; Том 72 № 11 (2020); 1510-1523 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2389/8780 Copyright (c) 2020 Олексій Григорович Мазко |
| spellingShingle | Mazko, A. G. Мазко, Алексей Мазко, О. Г. Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems |
| title | Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems |
| title_alt | Взвешенная оценка и понижение уровня влияния ограниченных возмущений в дескрипторных системах управления Зважена оцінка і пониження рівня впливу обмежених збурень у дескрипторних системах керування |
| title_full | Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems |
| title_fullStr | Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems |
| title_full_unstemmed | Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems |
| title_short | Weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems |
| title_sort | weighted estimation and reduction of influence of bounded perturbations in descriptor control systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2389 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoag weightedestimationandreductionofinfluenceofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT mazkoaleksej weightedestimationandreductionofinfluenceofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT mazkoog weightedestimationandreductionofinfluenceofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT mazkoag vzvešennaâocenkaiponiženieurovnâvliâniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoaleksej vzvešennaâocenkaiponiženieurovnâvliâniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoog vzvešennaâocenkaiponiženieurovnâvliâniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoag zvaženaocínkaíponižennârívnâvplivuobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoaleksej zvaženaocínkaíponižennârívnâvplivuobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoog zvaženaocínkaíponižennârívnâvplivuobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ |