Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space
UDC 514.13, 515.12, 513.83, 517.5 We consider the problem of shadow in the Lobachevsky space. This problem can be treated as the problem of finding the conditions that ensure that the points belong to the generalized convex hull of a family of sets. We determine the boundary values of parameters, fo...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2397 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508277760065536 |
|---|---|
| author | Kostin, A. V. Костін , А. В. |
| author_facet | Kostin, A. V. Костін , А. В. |
| author_sort | Kostin, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:21Z |
| description | UDC 514.13, 515.12, 513.83, 517.5
We consider the problem of shadow in the Lobachevsky space. This problem can be treated as the problem of finding the conditions that ensure that the points belong to the generalized convex hull of a family of sets. We determine the boundary values of parameters, for which the same configurations of balls ensure that the point belongs to a generalized convex hull of balls in the Euclidean and hyperbolic spaces. In addition to balls, we consider families of horoballs, as well as combinations of balls and horoballs. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i1.2397 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i1.2397
УДК 514.13, 515.12, 513.83, 517.5
А. В. Костiн (Казан. федер. ун-т, Єлабуз. iн-т, Росiя)
ДЕЯКI УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI ПРО ТIНЬ У ПРОСТОРI ЛОБАЧЕВСЬКОГО
We consider the problem of shadow in the Lobachevsky space. This problem can be treated as the problem of finding the
conditions that ensure that the points belong to the generalized convex hull of a family of sets. We determine the boundary
values of parameters, for which the same configurations of balls ensure that the point belongs to a generalized convex
hull of balls in the Euclidean and hyperbolic spaces. In addition to balls, we consider families of horoballs, as well as
combinations of balls and horoballs.
Розглянуто узагальнення задачi про тiнь у гiперболiчному просторi. Цю задачу можна розглядати як задачу про
знаходження умов, якi забезпечують належнiсть точок до узагальнено опуклої оболонки сiм’ї множин. Визначено
граничнi значення параметрiв, при яких однi й тi ж конфiгурацiї куль забезпечують належнiсть точки до узагальнено
опуклої оболонки куль в евклiдовому й гiперболiчному просторах. Крiм куль розглянуто сiм’ї орикуль, а також
комбiнацiї куль i орикуль.
1. Попереднi вiдомостi. Задачу про тiнь в евклiдовому просторi сформулював Г. Худайберганов
у статтi [1]:
яке мiнiмальне число попарно неперетинних куль iз центрами на (n - 1)-вимiрнiй сферi
n-вимiрного евклiдового простору й радiусом меншим за радiус сфери є достатнiм для того,
щоб будь-яка пряма, що проходить через центр сфери, перетинала хоча б одну з цих куль?
У роботi Г. Худайберганова цю задачу було розв’язано для двовимiрного випадку. Доведено,
що для того щоб будь-яка пряма, що проходить через центр кола, перетинала хоча б один iз
кругiв iз центрами на нiй, достатньо двох кругiв. Там же було висловлено припущення, що в
n-вимiрному випадку достатньо n куль. Це припущення виявилося помилковим. Розв’язанню
цiєї задачi й рiзнобiчному розвитку iдей присвячено велику кiлькiсть робiт Ю. Б. Зелiнського
та його учнiв i колег [2 – 11].
Повне розв’язання задачi в постановцi Г. Худайберганова наведено в роботi [3]. У цiй роботi
показано, що для того щоб будь-яка пряма, що проходить через центр сфери n-вимiрного евклi-
дового простору, перетинала хоча б одну з куль iз центрами на цiй сферi, достатньо (n+1)-ї кулi
радiуса меншого, нiж радiус сфери. При цьому якщо вимiрнiсть простору бiльша нiж два, то
кулi не можуть бути одного радiуса. Аналогiчна ситуацiя має мiсце i в просторi Лобачевського
[15]. Означення узагальненої опуклостi у просторi Лобачевського, що використовуються в ро-
ботi, будуть калькою вiдповiдних означень для евклiдового простору з робiт Ю. Б. Зелiнського
та його колег. Необхiднi вiдомостi з геометрiї Лобачевського див. в [13, 14]. Кривину гiперболiч-
ного простору скрiзь покладаємо рiвною K = - 1
\rho 2
, де \rho — деяка додатна матерiальна стала.
Означення 1. Множину U з n-вимiрного простору Лобачевського Hn називають m-
опуклою вiдносно довiльної фiксованої точки M \in Hn\setminus U, якщо iснує m-вимiрна площина, яка
проходить через точку M i не має з множиною U спiльних точок.
Перетин будь-якої сiм’ї множин, m-опуклих вiдносно точки M, є m-опуклим вiдносно
точки M.
c\bigcirc А. В. КОСТIН, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1 61
62 А. В. КОСТIН
Означення 2. Множину U \in Hn, m-опуклу вiдносно кожної точки M \in Hn\setminus U, назива-
ють m-опуклою.
Це означення також задовольняє аксiому опуклостi: перетин m-опуклих множин теж є
m-опуклим.
Означення 3. Мiнiмальна m-опукла множина, що мiстить множину U \in Hn, назива-
ється m-опуклою оболонкою множини U.
Узагальненням поняття m-опуклостi є поняття m-напiвопуклостi.
Означення 4. Множину U з n-вимiрного простору Лобачевського Hn називають m-
напiвопуклою вiдносно довiльної фiксованої точки M \in Hn\setminus U, якщо iснує m-вимiрна пiвпло-
щина, що проходить через точку M i не має з множиною U спiльних точок.
Означення 5. Множину U \in Hn, m-напiвопуклу вiдносно кожної точки M \in Hn\setminus U,
називають m-напiвопуклою. Мiнiмальну m-напiвопуклу множину, що мiстить множину U \in
\in Hn, називають m-напiвопуклою оболонкою множини U.
2. Основнi результати. У теоремах 1 – 4 цiєї роботи встановлено мiнiмальну кiлькiсть
кругiв i орикругiв на гiперболiчнiй площинi, необхiдну й достатню для належностi точки до 1-
опуклої або 1-напiвопуклої оболонки кругiв або орикругiв вiдповiдно. Для випадку з кругами
зазначена точка є центром кола, на якому лежать центри кругiв. У теоремах 5 – 7 визначено
умови, при яких точка O в тривимiрному просторi Лобачевського належить 1-опуклiй оболонцi
куль, центри яких розташованi на двох вiдстанях вiд точки O, зокрема якщо одна з вiдстаней
стає нескiнченною, то кулi замiнюються орикулями, а також визначено умови, коли точка
належить 1-опуклiй оболонцi комбiнацiї куль i орикуль. У теоремi 8 оцiнено число орикуль,
достатнє для належностi точки до їхньої 1-напiвопуклої оболонки у тривимiрному просторi
Лобачевського.
3. Належнiсть точки до узагальнено опуклої оболонки на площинi Лобачевського.
Означення 6. Орициклом називається лiнiя, яка ортогонально перетинає в’язку паралель-
них прямих на гiперболiчної площинi. Орикругом [12] називається частина площини Лобачев-
ського, обмежена орициклом.
Всi орицикли на гiперболiчнiй площинi кривини K = - 1
\rho 2
мають однакову кривину
1
\rho
i
поєднуються рухами гiперболiчної площини. У зв’язку з цим задача про тiнь для орикругiв є
одним з аналогiв задачi про тiнь для кругiв одного й того ж радiуса. Коло, на якому лежать цен-
три кругiв, що утворюють тiнь, переходить у межу на нескiнченностi гiперболiчної площини.
У стандартних моделях Келi – Клейна й Пуанкаре ця межа є абсолютом.
У роботi [3] наведено ще одне доведення того факту, що для розв’язання задачi про тiнь
на евклiдовiй площинi достатньо двох кругiв. Це доведення у [15] поширено на гiперболiчну
площину, тобто справджується таке твердження.
Теорема 1. Нехай S1 — коло радiуса R на площинi Лобачевського H2 i N — мiнiмальне
число вiдкритих (замкнених) неперетинних кругiв у H2, що мають центри на S1, радiуси,
меншi нiж R, i таких, що центр S1 належить їхнiй 1-опуклiй оболонцi. Тодi N = 2.
У гiперболiчнiй геометрiї стандартнi евклiдовi конструкцiї допускають природнi узагальнен-
ня (див., наприклад, [15, 16]). Граничним переходом, спрямовуючи до нескiнченностi радiус
кола, на якому лежать центри кругiв, що утворюють тiнь, можна було б отримати вiдповiдне
теоремi 1 твердження для орикругiв. Наведемо iнше розв’язання цiєї задачi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ДЕЯКI УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI ПРО ТIНЬ У ПРОСТОРI ЛОБАЧЕВСЬКОГО 63
Теорема 2. Нехай M — довiльна фiксована точка на площинi Лобачевського i N(M) —
мiнiмальне число вiдкритих (замкнених) неперетинних орикругiв таких, що M належить їхнiй
1-опуклiй оболонцi. Тодi N(M) = 2.
Доведення. Орикруг є опуклою, в стандартному розумiннi цього термiна, множиною. Тому
одного орикруга для утворення тiнi в точцi M недостатньо. Проведемо через точку M пару
неортогональних прямих. У два сумiжних кути, що утворенi ними, впишемо по орикругу.
Вiдстань вiд точки M до орикруга, вписаного в кут \alpha , дорiвнює - \rho \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \alpha
2
\bigm| \bigm| \bigm| . Два замкнених
орикруги, вписанi в нерiвнi сумiжнi кути, утворюють тiнь у точцi M. Трохи наблизимо один з
орикругiв до точки M, зсунувши його по осi, що проходить через M, так, щоб вiн не перетнувся
з другим орикругом. Ця мiнiмальна конфiгурацiя забезпечує належнiсть точки M до 1-опуклої
оболонки двох вiдкритих орикругiв.
Зауваження 1. Граничнi орицикли двох неперетинних орикругiв мають загальну вiсь, що
проходить через їхнi невласнi центри на нескiнченностi. Вони ортогональнi до цiєї осi й звер-
ненi опуклостями у протилежнi сторони. Тому їх завжди можна наблизити так, щоб вони
лишилися неперетинними. Теорему 1 можна було б довести аналогiчно до теореми 2.
Належнiсть точки M до 1-напiвопуклої оболонки сiм’ї множин означає, що кожен промiнь
iз початком у M перетинається хоча б з однiєю множиною з сiм’ї.
Теорема 3. Нехай M — довiльна фiксована точка на площинi Лобачевського H2 i Ns(M) —
мiнiмальне число вiдкритих (замкнених) неперетинних орикругiв таких, що M належить їхнiй
1-напiвопуклiй оболонцi. Тодi Ns(M) = 3.
Доведення. Орикруг як опукла множина не може перекрити розгорнутий кут iз вершиною
в точцi M. Тому двох орикругiв недостатньо, щоб кожен промiнь iз початком у точцi M
перетинався хоча б iз одним з орикругiв. Проведемо з точки M три променi, що утворюють
три рiзних кути \alpha > \beta > \gamma , меншi за розгорнутий. Впишемо в кожен iз утворених кутiв по
орикругу. Для замкнених орикругiв ця конфiгурацiя забезпечує належнiсть точки M — початку
променiв — до 1-напiвопуклої оболонки орикругiв. Трохи зсунувши два з орикругiв по осях,
що проходять через точку M, у сторону цiєї точки так, щоб три орикруги все ще залишалися
попарно неперетинними, переконаємося, що трьох вiдкритих орикругiв достатньо для того,
щоб точка M належала їхнiй 1-напiвопуклiй оболонцi.
У статтi [9] (див. також [3]) доведено, що для того щоб центр кола S1 на евклiдовiй площинi
належав 1-напiвопуклiй оболонцi вiдкритих (замкнених) кругiв, що мають радiуси, меншi за
радiус кола S1, i центри на цьому колi, достатньо трьох кругiв. Для доведення центри кругiв
розташовуємо у вершинах гострокутного рiзнобiчного трикутника зi сторонами a, b, c. Їхнi
радiуси беремо рiвними p - a, p - b, p - c, де p — пiвпериметр. Потiм сторони трикутника
зв’язуємо з радiусом описаного кола i за допомогою програми Derive показуємо, що необхiдне
спiввiдношення мiж сторонами, при якому круги не захоплюють центра кола S1, реалiзовано.
Подiбне розв’язання для площини Лобачевського є громiздким, оскiльки пiвпериметр, радi-
ус описаного кола i сторони трикутника будуть аргументами гiперболiчних функцiй. Проте
мiркування, аналогiчнi доведенню теореми 3, вiдразу дають потрiбний результат.
Теорема 4. Нехай S1 — коло радiуса R на площинi Лобачевського H2 i Ns — мiнiмальне
число вiдкритих (замкнених) неперетинних кiл у H2, що мають центри на S1, радiуси, меншi
за R, i таких, що центр S1 належить їхнiй 1-напiвопуклiй оболонцi. Тодi Ns = 3.
Доведення. Нехай точка O є центром кола S1 \in H2. Проведемо три променi з початком у
точцi O, що утворюють кути
\alpha 1 > \alpha 2 > \alpha 3, \alpha 1 < \pi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
64 А. В. КОСТIН
Кути можуть мало вiдрiзнятися вiд 2\pi /3. Впишемо в кожен iз утворених кутiв по колу з центром
на S1. Замкненi круги, обмеженi цими колами, не перетинаються i забезпечують належнiсть
центра кола S1 до 1-напiвопуклої оболонки кругiв. Вiдстань мiж парою таких кругiв
2\rho \cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha i + \alpha j
4
\Bigr)
- \rho \cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha i
2
\Bigr)
- \rho \cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha j
2
\Bigr)
не невiд’ємна й могла б дорiвнювати нулю лише за умови \alpha i = \alpha j , що при нашому виборi
променiв неможливо. Тому завжди є можливiсть трохи збiльшити радiуси кругiв так, щоб i не-
перетиннi вiдкритi круги забезпечували належнiсть центра O кола S1 до їхньої 1-напiвопуклої
оболонки. При цьому достатньо збiльшити радiуси двох кругiв.
4. Належнiсть точки до \bfone -опуклої оболонки куль i орикуль у тривимiрному просторi
Лобачевського. Якщо центри куль лежать на однiй сферi S2 з центром у точцi O в тривимiр-
ному просторi Лобачевського, то для належностi точки O до 1-опуклої оболонки куль потрiбно,
як i в тривимiрному евклiдовому просторi, чотири кулi [15]. Доведення цього факту повнiстю
аналогiчне евклiдовому. Якщо центри куль, що утворюють тiнь, не розмiщувати на однiй сферi,
а дозволити двi можливi вiдстанi вiд них до точки O, то число куль, що утворюють тiнь, можна
зменшити.
Теорема 5. Нехай O — довiльна фiксована точка у просторi Лобачевського H3 i N(O) —
мiнiмальне число вiдкритих (замкнених) неперетинних куль, що не мiстять точку O i таких,
що O належить їхнiй 1-опуклiй оболонцi. Тодi N(O) = 3. При цьому iснують конфiгурацiї , в
яких центри куль, що утворюють тiнь, розташованi на двох сферах iз центром у точцi O.
Доведення. Оскiльки кулi у просторi Лобачевського опуклi, як i в евклiдовому просторi,
двох куль для утворення тiнi недостатньо. Спочатку розташуємо одну кулю B1 досить малого
радiуса r1 таким чином, щоб точка O лежала на сферi, що обмежує цю кулю. Через точку O
проведемо площину, що дотикається до сфери. У дотичнiй площинi через точку O проведемо
пару неортогональних прямих l i m. Впишемо в два сумiжних кути, утворенi прямими l i m,
по колу так, щоб їхнi центри були вiддаленi на вiдстань R вiд точки O. Побудуємо двi кулi B2 i
B3 так, щоб цi кола були великими колами на їхнiх граничних сферах. Трохи збiльшимо радiус
однiєї з куль B2 або B3. Очевидно, що при достатньо малому r1 вiдкритi кулi B1, B2 i B3 не
перетинатимуться i забезпечать належнiсть точки O до їхньої 1-опуклої оболонки. Далi, трохи
зменшивши радiус першої кулi i, за необхiдностi, збiльшивши ще радiус однiєї з решти куль,
переконаємося, що трьох неперетинних замкнених куль, що не мiстять точку O, достатньо для
того, щоб кожна пряма, що проходить через цю точку, перетиналася хоча б iз однiєю з цих куль.
З’ясуємо, в яких межах у зазначенiй конфiгурацiї куль може змiнюватися радiус кулi B1,
якщо бiльший iз кутiв, утворених прямими l i m, дорiвнює \alpha , а центри двох куль, що залиши-
лися, вiддаленi вiд точки O на вiдстань R.
Нехай у кут величиною \alpha вписано екватор кулi B2 з радiусом r2 i центром у точцi O2. У
прямокутному трикутнику O1OO2 маємо
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
r1 + r2
\rho
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
r1
\rho
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
.
Звiдси
\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
r1
\rho
=
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
r2
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
r2
\rho
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ДЕЯКI УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI ПРО ТIНЬ У ПРОСТОРI ЛОБАЧЕВСЬКОГО 65
Позначимо через T точку дотику кулi B2 з однiєю з прямих l i m. Трикутник OTO2, очевидно,
також є прямокутним. У цьому трикутнику
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
OT
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
OO2
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha
2
.
Враховуючи введенi позначення, цю рiвнiсть записуємо так:
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
r2
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha
2
.
Використовуючи останнє спiввiдношення, отримуємо
\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
r1
\rho
=
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
-
\sqrt{}
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}2
R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha
2
.
Таким чином, верхня межа для радiуса кулi B1 дорiвнює
\rho \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\left(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
-
\sqrt{}
1 + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}2
R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\alpha
2
\right) .
У статтi [11] знайдено умови, що забезпечують належнiсть центра O елiпсоїда обертання
до 1-опуклої оболонки куль iз центрами на цьому елiпсоїдi. Крiм того, показано, що якщо
вiдношення бiльшої пiвосi елiпса до меншої бiльше нiж 2
\surd
2, то три вiдкритi (замкненi) кулi з
центрами на елiпсоїдi, отриманому обертанням елiпса навколо бiльшої осi, дають розв’язання
цiєї задачi. Розглянута вище конфiгурацiя куль у тривимiрному просторi Лобачевського H3 в
границi дасть те ж саме спiввiдношення вiдстаней до точки O \in H3 вiд центрiв трьох куль,
тобто вiдношення радiусiв двох сфер. Центри куль, що утворюють тiнь, при цьому також будуть
лежати на елiпсоїдi обертання. Але, щоб не мiняти вигляд конфiгурацiї, елiпсоїд буде одержано
обертанням елiпса навколо меншої осi. Нехай, як i вище, центр кулi B1(O1, r1) вiддалений вiд
точки O на вiдстань r1. Граничнi значення радiусiв двох iнших куль i вiдстанi до їхнiх центрiв
отримаємо з умови, що кожен iз них перекриває кут \pi /2 в площинi, що проходить через точку
O перпендикулярно до O1O. Оскiльки в данiй граничнiй конфiгурацiї величина кута \alpha = \pi /2,
з прямокутного трикутника O1TO2 отримуємо такi залежностi:
\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
O2T
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
OT
\rho
i
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
OO2
\rho
=
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
OT
\rho
,
де OT = r2, OO2 = R. Враховуючи дотик куль, у прямокутному трикутнику O1OO2 маємо,
як i вище, O1O2 = r1 + r2 i
\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
r2
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
2r1
\rho
.
Звiдси випливає, що OT = 2r1 (в евклiдовому просторi, очевидно, в аналогiчнiй конфiгурацiї
вiдстань OT дорiвнювала б радiусу r2 другої кулi). В результатi отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
66 А. В. КОСТIН
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
OO2
\rho
=
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
2r1
\rho
.
Таким чином, справджується така теорема.
Теорема 6. Нехай a — бiльша, b — менша пiввiсь елiпса з центром у точцi O i
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
a
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
2b
\rho
>
\surd
2;
елiпсоїд отримано обертанням елiпса навколо меншої осi в тривимiрному просторi Лобачев-
ського H3. Тодi мiнiмальне число неперетинних куль iз центрами на елiпсоїдi, що не мiстять
точку O i таких, що O належить їхнiй 1-опуклiй оболонцi, дорiвнює трьом. При цьому мож-
ливi всi варiанти комбiнацiй вiдкритих i замкнених куль: всi кулi можуть бути вiдкритими,
замкненими, або частина вiдкритими, а частина замкненими.
Граничне значення
\surd
2 спiввiдношення гiперболiчних синусiв довжин вiдрiзкiв a i 2b до-
сягається в цiй конфiгурацiї тодi, коли куля B1 i одна з решти куль B2 або B3 вiдкритi, а
третя куля замкнена. Очевидно, якщо a i b малi порiвняно з \rho , то, з огляду на головнi частини
нескiнченно малих, отримуємо в граничному випадку спiввiдношення a = 2
\surd
2b, що має мiсце
в евклiдовому просторi.
Зауваження 2. У задачах гiперболiчної геометрiї вкрай рiдкiснi нетривiальнi рацiональнi
залежностi мiж довжинами вiдрiзкiв. Як правило, залежностi, що зустрiчаються, трансцендент-
нi, а рацiональнi залежностi наочнi й належать до абсолютної геометрiї, а не власне гiпербо-
лiчної. Не дивно, що й у розглянутiй конфiгурацiї спiввiдношення OT = 2r1, не очевидне з
точки зору геометрiї гiперболiчного простору, також належить до абсолютної геометрiї, тобто
не залежить вiд аксiоми паралельностi.
В евклiдовому просторi радiус кулi B1 в розглядуванiй конфiгурацiї може бути як завгодно
великим; важливо лише, щоб зберiгалося спiввiдношення вiдрiзкiв. У просторi Лобачевського
ситуацiя буде iншою.
Означення 7. Орисферою називають поверхню, що ортогонально перетинає в’язку пара-
лельних прямих у гiперболiчному просторi. Орикульою називають область простору Лобачев-
ського, обмежену орисферою.
Спрямовуючи вiдстань вiд точки O до центрiв куль B2 i B3 до нескiнченностi, а точнi-
ше, вiддаляючи в нескiнченнiсть центри куль B2 i B3, в границi конфiгурацiю з трьох куль
замiнюємо кулею й двома орикулями. Тобто справджується таке твердження.
Теорема 7. Нехай O — довiльна фiксована точка в тривимiрному просторi Лобачевського
H3. Тодi iснують конфiгурацiї з однiєї кулi, радiус якої обмежений зверху числом
\rho
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
1+
\surd
2
\bigr)
,
i двох орикуль, що не мiстять O. Цi конфiгурацiї забезпечують належнiсть точки O до 1-
опуклої оболонки куль i орикуль.
Доведення. Граничне значення радiуса кулi B1 можна визначити або з рiвностi
\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
r2
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
2r1
\rho
,
спрямовуючи r2 до нескiнченностi, або незалежно, вважаючи, що вiдрiзок OT вiдповiдає куту
паралельностi \pi /4. Решта є очевидним. Граничне ж значення досягається лише у випадку, коли
куля й одна з орикуль вiдкритi, а друга орикуля замкнена. У конфiгурацiї з трьох куль граничне
значення
\rho
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
1 +
\surd
2
\bigr)
радiуса кулi B1 не досягається.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ДЕЯКI УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI ПРО ТIНЬ У ПРОСТОРI ЛОБАЧЕВСЬКОГО 67
5. Належнiсть точки до \bfone -напiвопуклої оболонки орикуль у тривимiрному просторi
Лобачевського. Оцiнимо зверху число орикуль, яке гарантуватиме належнiсть точки до їхньої
1-напiвопуклої оболонки. Нехай двi орикулi \Omega 1, \Omega 2 дотикаються в точцi O. Якщо орикулi \Omega 1,
\Omega 2 вiдкритi, то з променiв iз початком у точцi O не перетинаються з ними тiльки променi,
що лежать у площинi, яка дотикається до граничних орисфер орикуль у точцi O. Ця площина
перпендикулярна до загальної осi граничних орисфер. Позначимо цю площину через \Sigma . Нехай
орикуля \Omega 3 має невласний центр у нескiнченно вiддаленiй точцi площини \Sigma i дотикається
до орикуль \Omega 1, \Omega 2. Орикуля \Omega 3 перетинається з площиною \Sigma по орикругу \omega 3. З’ясуємо, пiд
яким кутом видно цей орикруг iз точки O. Це дозволить визначити, яке число орикуль iз
невласними центрами в нескiнченно вiддалених точках площини \Sigma потрiбно розмiстити, щоб
кожен промiнь iз початком у точцi O перетинався хоча б iз однiєю з орикуль сiм’ї. Орикруг
\omega 3 видно з точки O пiд тим же кутом, що й будь-який iнший орикруг, який одержується при
перетинi орикулi \Omega 3 площинами, що проходять через точку O i невласний центр орикулi \Omega 3.
Якщо сiчна площина проходить через невласнi центри орикуль \Omega 1, \Omega 2, \Omega 3, то вона перетинає
їхнi граничнi орисфери по орициклах, що дотикаються. Неважко показати, що з точки O третiй
орицикл видно пiд кутом \pi /3. Отже, можна розмiстити шiсть орикуль з невласними центрами,
що дотикаються, в нескiнченно вiддалених точках площини \Sigma , якi будуть дотикатись орикуль
\Omega 1, \Omega 2. Це ж саме можна було б отримати, використавши елементарнi геометричнi мiркування.
Розглянемо модель Пуанкаре тривимiрного простору Лобачевського з метрикою
ds2 = \rho 2
dx2 + dy2 + dz2
y2
.
Орисфери в цiй моделi зображуються евклiдовими площинами, паралельними площинi абсо-
люту z = 0, i евклiдовими сферами, що дотикаються до абсолюту. Очевидно, що коли як
орикулю \Omega 1 взяти орикулю z \geq c, а як орикулю \Omega 2 — орикулю, що дотикається до неї, то
навколо орикулi \Omega 2 можна розмiстити ще шiсть орикуль, що дотикаються до орикулi \Omega 1, або
навколо однiєї бiльярдної кулi на столi розмiстити шiсть куль, що дотикаються до неї.
Теорема 8. Нехай O — довiльна фiксована точка в тривимiрному просторi Лобачевського
H3. Нехай Ns(O) — мiнiмальне число одночасно вiдкритих (одночасно замкнених) неперетин-
них орикуль, що не мiстять точку O i таких, що O належить їхнiй 1-напiвопуклiй оболонцi,
N \prime
s(O) — мiнiмальне число вiдкритих або замкнених неперетинних орикуль, що не мiстять
точку O i таких, що O належить їхнiй 1-напiвопуклiй оболонцi. Тодi Ns(O) \leq 9, N \prime
s(O) \leq 8.
Доведення. Якщо орикулi \Omega 1, \Omega 2 в розглянутiй вище конфiгурацiї вiдкритi, а з решти
шести орикуль три попарно неперетиннi орикулi вiдкритi, а три — замкненi, то кожен промiнь
iз початком у точцi O, що не належить сiм’ї з восьми орикуль, буде перетинатися з однiєю
з орикуль сiм’ї. Нехай тепер всi орикулi сiм’ї вiдкритi (або всi орикулi замкненi). У площинi
\Sigma проведемо сiм променiв, що утворюють кути рiзної величини. При цьому достатньо, щоб
сусiднi кути були рiзними, а бiльший iз кутiв був менший нiж \pi /3. Вiзьмемо сiм орикуль з
невласними центрами в площинi \Sigma , що дотикаються до цих променiв. Трохи вiддаливши вiд
точки O орикулi \Omega 1, \Omega 2 i трохи наблизивши тi, що залишилися, переконаємося, що кожен
промiнь iз початком у точцi O буде перетинатися хоча б iз однiєю вiдкритою (замкненою)
орикульою з обраної сiм’ї орикуль.
Зауваження 3. У розглянутiй конфiгурацiї з орикульою перетинається кожен промiнь iз
початком у точцi O, що лежить всерединi дотичного конуса до граничної орисфери. Внутрiшня
геометрiя на цьому конусi має ту ж кривину, що й простiр, в який вiн вкладений. Якщо тепер
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
68 А. В. КОСТIН
точку O вiддаляти вiд орисфери по її осi в нескiнченнiсть, то в границi його твiрнi стануть
паралельними. Частина отриманої поверхнi до лiнiї, по якiй вона дотикається до орисфери,
iзометрична воронцi Бельтрамi – Мiндiнга. Частина, що залишилася, вкладається у тривимiрний
псевдоевклiдiв простiр у виглядi одного з аналогiв псевдосфери (див., наприклад, [17]).
6. Заключнi зауваження. У статтi [3] за допомогою аналогiчної конфiгурацiї куль в ев-
клiдовому просторi доведено, що для того щоб центр сфери належав 1-напiвопуклiй оболонцi
куль, достатньо десяти куль iз центрами на цiй сферi, якi не мiстять центра сфери. Ситуацiя з
орикулями наводить на думку, що якщо радiус сфери S2 \in H3 буде бiльший за певне значення
R0, то для належностi центра сфери до 1-напiвопуклої оболонки куль буде достатньо дев’яти
вiдкритих або замкнених куль iз центрами на цiй сферi. Якщо ж радiус сфери буде менший
за R0, то в цiй конфiгурацiї буде потрiбно десять куль, як i в евклiдовому просторi. Можна
показати, що це значення R0 наближено дорiвнює \rho \cdot 0,185773. У двовимiрному випадку в
задачi про належнiсть усiх точок всерединi кола до 1-опуклої оболонки кругiв iз центрами на
нiй зi збiльшенням радiуса кола повинно збiльшуватися число кругiв [15]. Тут же ми маємо
протилежний ефект.
Лiтература
1. Г. Худайберганов, Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров, Деп. в ВИНИТИ, 21,
1772 – 1185 (1982).
2. Ю. Б. Зелинский, И. Ю. Выговская, Х. К. Дакхил, Задача о тени и смежные задачи, Proc. Int. Geom. Cent., 9,
№ 3-4, 50 – 58 (2016).
3. И. Ю. Выговская, Ю. Б. Зелинский, М. В. Стефанчук, Обобщенно выпуклые множества и задача о тени, Укр.
мат. журн., 67, № 12, 1658 – 1666 (2015).
4. Ю. Б. Зелинский, М. В. Стефанчук, Узагальнення задачi про тiнь, Укр. мат. журн., 68, № 6, 757 – 762 (2016).
5. Y. B. Zelinskii, Generalized convex envelopes of sets and the problem of shadow, J. Math. Sci., 211, № 5, 710 – 717
(2015).
6. Y. B. Zelinskii, Problem of shadow (complex case), Adv. Math., 5, № 1, 1 – 5 (2016).
7. Y. B. Zelinskii, The problem of the shadows, Bull. Soc. Sci. Lett. Lódź, Sér. Rech. Déform., 66, № 1, 37 – 42 (2016).
8. Ю. Б. Зелинский, Задача о тени для семейства множеств, Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 12,
197 – 204 (2015).
9. Ю. Б. Зелинский, И. Ю. Выговская, М. В. Стефанчук, Задача о тени, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., № 5,
15 – 19 (2015).
10. Т. М. Осипчук, М. В. Ткачук, Задача о тени для областей в евклидовых пространствах, Укр. мат. вiсн., 13,
№ 4, 532 – 542 (2016).
11. М. В. Ткачук, Т. М. Осипчук, Задача о тени для эллипсоида вращения, Зб. праць Iн-ту математики НАН
України, 12, № 3, 243 – 250 (2015).
12. Ж. Кайдасов, Е. В. Шикин, Об изометрическом погружении в E3 выпуклой области плоскости Лобачевского,
содержащей два орикруга, Мат. заметки, 39, № 4, 612 – 617 (1986).
13. Б. А. Розенфельд, Неевклидовы пространства, Наука, Москва (1969).
14. Н. М. Несторович, Геометрические построения в плоскости Лобачевского, Гостехтеориздат, Москва; Ленин-
град (1951).
15. А. В. Костин, Задача о тени в пространстве Лобачевского, Укр. мат. журн., 70, № 11, 1525 – 1532 (2018).
16. A. V. Kostin, I. K. Sabitov, Smarandache theorem in hyperbolic geometry, Math. Phys., Anal. and Geom., 10, № 2,
221 – 232 (2014).
17. А. В. Костин, Об асимптотических линиях на псевдосферических поверхностях, Владикавказ. мат. журн., 21,
№ 1, 16 – 26 (2019).
Одержано 11.03.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2397 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:39Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/42/1423a741566416bc3ae40aefa60e6142.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23972025-03-31T08:49:21Z Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space Некоторые обобщения задачи о тени в пространстве Лобачевского Деякi узагальнення задачi про тiнь в просторi Лобачевського Kostin, A. V. Костін , А. В. problem of shadow, Lobachevsky space, generalized convexity, sphere, ball, horocycle, horosphere, horoball problem of shadow, Lobachevsky space, generalized convexity, sphere, ball, horocycle, horosphere, horoball UDC 514.13, 515.12, 513.83, 517.5 We consider the problem of shadow in the Lobachevsky space. This problem can be treated as the problem of finding the conditions that ensure that the points belong to the generalized convex hull of a family of sets. We determine the boundary values of parameters, for which the same configurations of balls ensure that the point belongs to a generalized convex hull of balls in the Euclidean and hyperbolic spaces. In addition to balls, we consider families of horoballs, as well as combinations of balls and horoballs. В статье рассматриваются обобщения задачи о тени в гиперболическом про-странстве. Эту задачу можно рассматривать как задачу о нахождении усло-вий, обеспечивающих принадлежность точек обобщ¨енно выпуклой оболочке се-мейства множеств. Определяются граничные значения параметров, при кото-рых одни и те же конфигурации шаров обеспечивают принадлежность точкиобобщ¨енно выпуклой оболочке шаров в евклидовом и гиперболическом про-странствах. Кроме шаров, в статье р УДК 514.13, 515.12, 513.83, 517.5 Розглянуто узагальнення задачі про тінь у гіперболічному просторі. Цю задачу можна розглядати як задачу про знаходження умов, які забезпечують належність точок до узагальнено опуклої оболонки сім'ї множин. Визначено граничні значення параметрів, при яких одні й ті ж конфігурації куль забезпечують належність точки до узагальнено опуклої оболонки куль в евклідовому й гіперболічному просторах. Крім куль розглянуто сім'ї орикуль, а також комбінації куль і орикуль. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-01-22 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2397 10.37863/umzh.v73i1.2397 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 1 (2021); 61 - 68 Український математичний журнал; Том 73 № 1 (2021); 61 - 68 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2397/8896 Copyright (c) 2021 Andrey Kostin |
| spellingShingle | Kostin, A. V. Костін , А. В. Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space |
| title | Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space |
| title_alt | Некоторые обобщения задачи о тени в пространстве Лобачевского Деякi узагальнення задачi про тiнь в просторi Лобачевського |
| title_full | Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space |
| title_fullStr | Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space |
| title_full_unstemmed | Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space |
| title_short | Some generalisation of the shadow problem in the Lobachevsky space |
| title_sort | some generalisation of the shadow problem in the lobachevsky space |
| topic_facet | problem of shadow Lobachevsky space generalized convexity sphere ball horocycle horosphere horoball problem of shadow Lobachevsky space generalized convexity sphere ball horocycle horosphere horoball |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2397 |
| work_keys_str_mv | AT kostinav somegeneralisationoftheshadowprobleminthelobachevskyspace AT kostínav somegeneralisationoftheshadowprobleminthelobachevskyspace AT kostinav nekotoryeobobŝeniâzadačiotenivprostranstvelobačevskogo AT kostínav nekotoryeobobŝeniâzadačiotenivprostranstvelobačevskogo AT kostinav deâkiuzagalʹnennâzadačiprotinʹvprostorilobačevsʹkogo AT kostínav deâkiuzagalʹnennâzadačiprotinʹvprostorilobačevsʹkogo |