Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges
UDC 519.177 Consider a spectral problem for a star graph of Stieltjes strings. At the central vertex the generalized Neumann conditions are imposed. All but one (called the root) pendant vertices of the graph are clamped. We consider two problems: (i) with the Neumann condition at the root (the Neum...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2398 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508278464708608 |
|---|---|
| author | Pivovarchik, V. Dudko, A. V. Дудко, А. Пивоварчик, В. Дудко, А. |
| author_facet | Pivovarchik, V. Dudko, A. V. Дудко, А. Пивоварчик, В. Дудко, А. |
| author_sort | Pivovarchik, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:49:21Z |
| description | UDC 519.177
Consider a spectral problem for a star graph of Stieltjes strings. At the central vertex the generalized Neumann conditions are imposed. All but one (called the root) pendant vertices of the graph are clamped. We consider two problems:
(i) with the Neumann condition at the root (the Neumann problem),
(ii) with the Dirichlet condition at the root (the Dirichlet problem). In [V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings, Linear Algebra and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013)], the spectra of such problems were described and the corresponding inverse problem of recovering the values of masses and lengths of the intervals between them was solved by using the spectra of the two (Neumann and Dirichlet) problems. In the present paper, in contrast to the results mentionedabove we solve the inverse problem where the number of point masses on the edges is prescribed. We find necessary and sufficient conditions guaranteeing that two sequences of real numbers are the spectra of the Dirichlet and Neumann problems for a star graph with prescribed numbers of masses on the edges and prescribed lengths of edges. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i1.2398 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i1.2398
УДК 519.177
А. Дудко, В. Пивоварчик (Пiвденноукр. нац. пед. ун-т iм. К. Д. Ушинського, Одеса)
ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА
ДЛЯ ЗIРКОВОГО ГРАФА ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН
IЗ ЗАДАНИМИ КIЛЬКОСТЯМИ МАС НА РЕБРАХ
Consider a spectral problem for a star graph of Stieltjes strings. At the central vertex the generalized Neumann conditions
are imposed. All but one (called the root) pendant vertices of the graph are clamped. We consider two problems: 1) with the
Neumann condition at the root (the Neumann problem), 2) with the Dirichlet condition at the root (the Dirichlet problem).
In paper [V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of
Stieltjes strings, Linear Algebra and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013)], the spectra of such problems were described
and the corresponding inverse problem of recovering the values of masses and lengths of the intervals between them was
solved by using the spectra of the two (Neumann and Dirichlet) problems. In the present paper, in contrast to the results
mentioned above we solve the inverse problem where the number of point masses on the edges is prescribed. We find
necessary and sufficient conditions guaranteeing that two sequences of real numbers are the spectra of the Dirichlet and
Neumann problems for a star graph with prescribed numbers of masses on the edges and prescribed lengths of edges.
Розглянуто спектральну задачу для зiркового графа зi стiльтьєсiвських струн. У центральнiй вершинi накладено
узагальненi умови Неймана. Всi висячi вершини, крiм однiєї (кореня), закрiплено. Ми розглядаємо двi задачi: 1) з
умовою Неймана у коренi (задача Неймана), 2) з умовою Дiрiхле у коренi (задача Дiрiхле). У статтi [V. Pivovarchik,
N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings, Linear Algebra
and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013)] описано спектри таких задач i розв’язано вiдповiдну обернену задачу
вiдновлення величин мас i довжин iнтервалiв мiж ними, виходячи зi спектрiв двох задач (Неймана i Дiрiхле). На
вiдмiну вiд вказаних результатiв ми розв’язуємо обернену задачу, в якiй кiлькостi мас на ребрах задано, та знаходимо
умови на двi послiдовностi дiйсних чисел, необхiднi та достатнi, щоб вони були спектрами задач Дiрiхле та Неймана
для зiркового графа з заданими кiлькостями точкових мас та заданими довжинами ребер.
1. Вступ. Cтiльтьєсiвська струна — це пружна нитка (тобто струна нульової щiльностi), яка
несе на собi скiнченну кiлькiсть точкових мас. Повну теорiю прямої та оберненої задач для
однiєї струни розвинули Ф. Р. Гантмахер i M. Г. Крейн у [6]. Пряма задача полягає в описi
спектра малих поперечних коливань такої струни за рiзних крайових умов, а обернена задача —
у вiдновленнi параметрiв струни, виходячи зi спектрiв коливань цiєї струни.
Коливання графiв, ребра яких — стiльтьєсiвськi струни (або задачi механiки, якi приводять
до таких же рiвнянь), розглядались у багатьох роботах (див., наприклад, [3 – 5, 7]). Оберненi
задачi для зiркового графа зi стiльтьєсiвських струн розглядались у [2, 12, 13], а для випадку
демпфованих коливань графа — у [9, 15]. Зокрема, у [12] було розв’язано таку задачу: задано
повнi довжини ребер зiркового графа, спектр задачi для цього графа з коренем у висячiй
вершинi, де накладено умову Неймана, та спектр задачi на цьому графi з умовою Дiрiхле у
коренi; знайти параметри струн, тобто величини точкових мас та довжини iнтервалiв мiж ними.
У данiй роботi ми розглядаємо обернену спектральну задачу для зiркового графа зi стiль-
тьєсiвських струн з коренем у висячiй вершинi, але додатково до повних довжин ребер та
двох спектрiв задано також кiлькостi мас на ребрах. Ми використовуємо деякi результати з
робiт [12, 13].
У пунктi 2 наведено рiвняння, що описують динамiку коливань та крайовi умови задачi про
коливання зiркового графа.
c\bigcirc А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК, 2021
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1 47
48 А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК
Пункт 3 присвячено прямiй спектральнiй задачi. Розглянуто чотири спектральнi задачi:
1) спектральну задачу для зiркового графа T з q \geq 3 ребрами (якi є стiльтьєсiвськими струна-
ми), з коренем в однiй iз висячих вершин i з умовою Неймана у коренi, 2) спектральну задачу
для того ж зiркового графа з умовою Дiрiхле у коренi, 3) спектральну задачу на зiрковому графi
T \prime з q - 1 ребром, отриманому видаленням з T кореневого ребра (тобто ребра, iнцидентного з
коренем), з узагальненою умовою Неймана у центральнiй вершинi, 4) спектральну задачу для
графа T \prime з узагальненою умовою Дiрiхле у центральнiй вершинi. Задачi 3, 4 є допомiжними,
вони були розв’язанi у [12, 13]. Ми розглядаємо їх тому, що їхнi спектри пов’язанi зi спектрами
задач 1, 2. Основними у пунктi 3 є теореми 6 i 7.
У пунктi 4 розв’язано обернену задачу: в теоремi 10 сформульовано умови на двi послi-
довностi дiйсних чисел, достатнi для того, щоб одна з них була спектром задачi 1, а друга —
спектром задачi 2. Цi умови збiгаються з необхiдними умовами, отриманими в пунктi 3.
2. Зiрковий граф з коренем у висячiй вершинi. У цьому пунктi будемо розглядати плос-
кий зiрковий граф iз q, q \geq 3, стiльтьєсiвських струн, з’єднаних у центральнiй вершинi, де
знаходиться точкова маса M \geq 0, висячi вершини зафiксовано, окрiм однiєї — кореня, який
позначимо через \bfv . Нехай ребра графа розташовано в однiй площинi, граф розтягнутий i може
коливатися у напрямку, перпендикулярному до площини рiвноважного стану графа. У цент-
ральнiй вершинi виконуються умови неперервностi i балансу сил. Розглядаємо два випадки:
1) корiнь може вiльно рухатись у напрямку, перпендикулярному до площини рiвноважного
стану графа; 2) корiнь закрiплено. Ми вивчаємо власнi частоти коливань такого графа.
Далi струну (ребро), iнцидентну з коренем, будемо називати кореневою, всi iншi струни
(ребра) матимуть iндекси j = 1, 2, . . . , q - 1, q \geq 3. Коренева струна подiлена на \bfn +1, \bfn \in \BbbN 0,
iнтервал довжин \bfl k > 0, k = 0, 1, . . . ,\bfn - 1, i \bfl n \geq 0 точковими масами величин \bfm k > 0,
k = 1, 2, . . . ,\bfn (нумерацiя у напрямку вiд кореня до центра); повну довжину кореневої струни
позначено через \bfl :=
\sum n
k=0
\bfl k. Ребро ej , j = 1, 2, . . . , q - 1, подiлено на nj + 1, nj \in \BbbN 0,
iнтервал довжин l
(j)
k > 0, k = 0, 1, . . . , nj , точковими масами величин m
(j)
k > 0, k = 1, 2, . . . , nj
(нумерацiя у напрямку вiд висячої вершини до центра); довжина j -ї струни lj :=
\sum nj
k=0
l
(j)
k .
Позначимо через \bfv k(t), k = 1, 2, . . . ,\bfn , поперечне змiщення k-ї точкової маси \bfm k на
кореневiй струнi у момент часу t, а через \bfv 0(t), \bfv n+1(t), поперечнi змiщення кiнцiв кореневої
струни (якщо \bfl n = 0, то \bfv n+1(t) = \bfv n(t)). Для iнших q - 1 ребер позначимо через v
(j)
k (t),
k = 1, 2, . . . , nj , поперечне змiщення k-ї маси m
(j)
k на j -й струнi у момент часу t, а через
v
(j)
0 (t), v
(j)
nj+1(t) поперечнi змiщення кiнцiв j -ї струни. Вважаємо, що струни натягнуто силою,
що дорiвнює 1. Тодi рiвняння Лагранжа для малих поперечних коливань графа мають вигляд
(пор. з [6], гл. III.1):
\bfv k(t) - \bfv k+1(t)
\bfl k
+
\bfv k(t) - \bfv k - 1(t)
\bfl k - 1
+\bfm k
\partial 2
\partial t2
\bfv k(t) = 0, k = 1, 2, . . . , \~\bfn , (1)
v
(j)
k (t) - v
(j)
k+1(t)
l
(j)
k
+
v
(j)(t)
k - u
(j)
k - 1(t)
l
(j)
k - 1
+m
(j)
k
\partial 2
\partial t2
v
(j)
k (t) = 0, (2)
k = 1, 2, . . . , nj , j = 1, 2, . . . , q - 1,
\bfv n+1(t) = v
(1)
n1+1(t) = v
(2)
n2+1(t) = . . . = v
(q - 1)
nq - 1+1(t), (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ ЗIРКОВОГО ГРАФА ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН . . . 49
\bfv \~n+1(t) - \bfv \~n(t)
\bfl \~n
+
q - 1\sum
j=1
v
(j)
nj+1(t) - v
(j)
nj (t)
l
(j)
nj
=
\left\{
0, якщо \bfl n > 0,
\bfm n
\partial 2
\partial t2
\bfv n(t), якщо \bfl n = 0,
(4)
v
(j)
0 (t) = 0, j = 1, 2, . . . , q - 1. (5)
Тут \~\bfn = \bfn , якщо \bfl n > 0, i \~\bfn = \bfn - 1, якщо \bfl n = 0. Рiвняння (1), (2) описують коливання
точкових мас. Рiвняння (3) — це умови неперервностi у центральнiй вершинi графа. Рiвняння (4)
описує коливання центральної вершини.
Умова Неймана, що вiдповiдає вiльному руху кореня у напрямку, перпендикулярному до
площини рiвноваги, має вигляд
\bfv 1(t) = \bfv 0(t),
а умова Дiрiхле у коренi графа
\bfv 0(t) = 0.
3. Спектральнi задачi з коренем у висячiй вершинi. Вiдокремлюючи змiннi у (1) – (5)
згiдно з \bfv k(t) = \bfu ke
i\lambda t, v
(j)
k (t) = u
(j)
k ei\lambda t, де \lambda — спектральний параметр, отримуємо рiзницевi
рiвняння для амплiтуд \bfu k й u
(j)
k :
\bfu k - \bfu k+1
\bfl k
+
\bfu k - \bfu k - 1
\bfl k - 1
- \bfm k\lambda
2\bfu k = 0, k = 1, 2, . . . , \~\bfn , (6)
u
(j)
k - u
(j)
k+1
l
(j)
k
+
u
(j)
k - u
(j)
k - 1
l
(j)
k - 1
- m
(j)
k \lambda 2u
(j)
k = 0, (7)
k = 1, 2, . . . , nj , j = 1, 2, . . . , q - 1,
\bfu n+1 = u
(1)
n1+1 = u
(2)
n2+1 = . . . = u
(q - 1)
nq - 1+1, (8)
\bfu \~n+1 - \bfu \~n
\bfl \~n
+
q - 1\sum
j=1
u
(j)
nj+1 - u
(j)
nj
l
(j)
nj
=
\left\{ 0, якщо \bfl n > 0,
- \bfm n\lambda
2\bfu n, якщо \bfl n = 0,
(9)
u
(j)
0 = 0, j = 1, 2, . . . , q - 1. (10)
Умова Неймана у коренi має вигляд
\bfu 1 = \bfu 0. (11)
Задачу (6) – (11) назвемо задачею Неймана (N2) i позначимо її спектр через \{ \mu k\} nk= - n,k \not =0.
Також ми розглядаємо умову Дiрiхле у коренi:
\bfu 0 = 0. (12)
Задачу (6) – (10), (12) назвемо задачею Дiрiхле (D2) i позначимо її спектр через \{ \lambda k\} nk= - n,k \not =0.
Разом з цими задачами розглянемо допомiжнi спектральнi задачi на зiрковому графi T \prime ,
який отримано з вихiдного графа T видаленням кореневого ребра \bfe разом з точковою масою у
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
50 А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК
центральнiй вершинi, якщо така є. Задачу
u
(j)
k - u
(j)
k+1
l
(j)
k
+
u
(j)
k - u
(j)
k - 1
l
(j)
k - 1
- m
(j)
k \lambda 2u
(j)
k = 0, k = 1, 2, . . . , nj , j = 1, 2, . . . , q - 1, (13)
u
(1)
n1+1 = u
(2)
n2+1 = . . . = u
(q - 1)
nq - 1+1, (14)
q - 1\sum
j=1
u
(j)
nj+1 - u
(j)
nj
l
(j)
nj
= 0, (15)
u
(j)
0 = 0, j = 1, 2, . . . , q - 1, (16)
назвемо задачею Неймана (N1) i позначимо її спектр через \{ \xi k\} n - n
k= - n+n,k \not =0. Задачу
u
(j)
k - u
(j)
k+1
l
(j)
k
+
u
(j)
k - u
(j)
k - 1
l
(j)
k - 1
- m
(j)
k \lambda 2u
(j)
k = 0, k = 1, 2, . . . , nj , j = 1, 2, . . . , q - 1, (17)
u
(j)
nj+1 = 0, j = 1, 2, . . . , q - 1, (18)
u
(j)
0 = 0, j = 1, 2, . . . , q - 1, (19)
назвемо задачею Дiрiхле (D1) i позначимо її спектр через \{ \nu k\} n - n
k= - n+n,k \not =0.
Очевидно, що \{ \nu k\} n - n
k= - n+n,k \not =0 =
q - 1
\cup
j=1
\{ \nu (j)k \} nj
- n1,k \not =0, де \{ \nu (j)k \} nj
- nj ,k \not =0 — спектр задачi Дiрiх-
ле – Дiрiхле для струни ej (на j -му ребрi):
u
(j)
k - u
(j)
k+1
l
(j)
k
+
u
(j)
k - u
(j)
k - 1
l
(j)
k - 1
- m
(j)
k \lambda 2u
(j)
k = 0, k = 1, 2, . . . , nj ,
u
(j)
nj+1 = u
(j)
0 = 0.
У цьому пунктi ми встановимо зв’язок мiж задачами (N2), (D2) та задачами (N1) i (D1).
При цьому будемо використовувати технiку з монографiї [6] (див. також [10]), розглядаючи
рiвняння на ребрах ej , j = 1, 2, . . . , q - 1, та на кореневому ребрi.
Таким чином ми отримуємо розв’язки \bfu k, k = 1, 2, . . . ,\bfn +1, рекурентних спiввiдношень (6)
та розв’язки u
(j)
k , k = 1, 2, . . . , nj + 1, j = 1, 2, . . . , q - 1, рекурентних спiввiдношень (7):
\bfu k =
\left\{ \bfR 2k - 2(\bfl 0, \lambda
2)\bfu 1 для умови Дiрiхле (12),
\bfR 2k - 2(\infty , \lambda 2)\bfu 1 для умови Неймана (11),
(20)
u
(j)
k = R
(j)
2k - 2(\lambda
2)u
(j)
1 , k = 1, 2, . . . , nj , j = 1, 2, . . . , q - 1, (21)
де \bfR 2k - 2(\cdot , \lambda 2) i R(j)
2k - 2(\lambda
2) — многочлени степеня 2k - 2. Покладемо
\bfR 2k - 1(\cdot , \lambda 2) :=
\bfR 2k(\cdot , \lambda 2) - \bfR 2k - 2(\cdot , \lambda 2)
\bfl k
, k = 1, 2, . . . ,\bfn ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ ЗIРКОВОГО ГРАФА ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН . . . 51
R
(j)
2k - 1(\lambda
2) :=
R
(j)
2k (\lambda
2) - R
(j)
2k - 2(\lambda
2)
l
(j)
k
, k = 1, 2, . . . , nj .
Тодi, завдяки (13) та початковим умовам (16), многочлени R
(j)
0 (\lambda 2), R
(j)
1 (\lambda 2), . . . , R
(j)
2nj
(\lambda 2),
j = 1, 2, . . . , q - 1, задовольняють рiвняння
R2k - 1(\lambda
2) = - \lambda 2mkR2k - 2(\lambda
2) +R2k - 3(\lambda
2). (22)
Многочлени, що вiдповiдають кореневому ребру, задовольняють рекурентнi спiввiдношення
\bfR 2k - 1(\bfl 0, \lambda
2) = - \lambda 2\bfm k\bfR 2k - 2(\bfl 0, \lambda
2) +\bfR 2k - 3(\bfl 0, \lambda
2). (23)
Використовуючи (10) – (12), отримуємо
R0(l0, \lambda
2) = 1, R - 1(l0, \lambda
2) =
1
l0
, (24)
\bfR 0(\bfl 0, \lambda
2) = 1, \bfR - 1(\bfl 0, \lambda
2) =
\left\{
1
\bfl 0
, якщо \bfl 0 \in (0,\infty ),
0, якщо \bfl 0 = \infty .
(25)
Пiдставляючи (20), (21) в умови (8), (9), одержуємо систему лiнiйних рiвнянь для \bfu 1, u
(j)
1 ,
j = 1, 2, . . . , q - 1:
\bfR 2\~n(\infty , \lambda 2)\bfu 1 = R
(1)
2n1
(\lambda 2)u
(1)
1 = R
(2)
2n2
(\lambda 2)u
(2)
1 = . . . = R
(q - 1)
2nq - 1
(\lambda 2)u
(q - 1)
1 ,
\Bigl(
\bfR 2\~n - 1(\infty , \lambda 2) - M\lambda 2\bfR 2n - 2(\infty , \lambda 2)
\Bigr)
\bfu 1 +
q - 1\sum
j=1
R
(j)
2nj - 1(\lambda
2)u
(j)
1 = 0,
де
M =
\left\{ 0, якщо \bfl n > 0,
\bfm n, якщо \bfl n = 0.
Тому спектр задачi (6) – (11) збiгається з множиною коренiв многочлена
\phi (\infty , \lambda 2) = \bfR 2\~n(\infty , \lambda 2)
q - 1\sum
j=1
\left[ R(j)
2nj - 1(\lambda
2)
q - 1\prod
k=1, k \not =j
R
(k)
2nk
(\lambda 2)
\right] +
+
\Bigl(
\bfR 2\~n - 1(\infty , \lambda 2) - M\lambda 2\bfR 2n - 2(\infty , \lambda 2)
\Bigr) q - 1\prod
k=1
R
(k)
2nk
(\lambda 2), (26)
а спектр задачi (6) – (10), (12) — з множиною коренiв многочлена
\phi (\bfl 0, \lambda
2) = \bfR 2\~n(\bfl 0, \lambda
2)
q - 1\sum
j=1
\left[ R(j)
2nj - 1(\lambda
2)
q - 1\prod
k=1, k \not =j
R
(k)
2nk
(\lambda 2)
\right] +
+(\bfR 2\~n - 1(\bfl 0, \lambda
2) - M\lambda 2\bfR 2n - 2(\bfl 0, \lambda
2))
q - 1\prod
k=1
R
(k)
2nk
(\lambda 2). (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
52 А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК
Твердження 1. 1. Справджуються рiвняння
\phi (\bfl 0, z) = \bfR 2\~n(\bfl 0, z)\phi N,q - 1(z) +
\Bigl(
\bfR 2\~n - 1(\bfl 0, \lambda
2) - M\lambda 2\bfR 2n - 2(\bfl 0, \lambda
2)
\Bigr)
\phi D,q - 1(z), (28)
\phi (\infty , z) = \bfR 2\~n(\infty , z)\phi N,q - 1(z) +
\Bigl(
\bfR 2\~n - 1(\infty , z) - M\lambda 2\bfR 2n - 2(\infty , z)
\Bigr)
\phi D,q - 1(z), (29)
де \phi D,q - 1(z) — характеристичний многочлен задачi (17) – (19), а \phi N,q - 1(z) — характеристич-
ний многочлен задачi (13) – (16).
2. Якщо \phi (\bfl 0, z) = \phi (\infty , z) = 0 для деякого z, то \phi N,q - 1(z) = \phi D,q - 1(z) = 0.
Доведення. 1. Рiвняння (28), (29) еквiвалентнi рiвнянням (26), (27).
2. Завдяки тотожностi Лагранжа (див. [12], лема 3.5) визначник системи (28), (29) в обох
випадках \bfl 0 = 0 i \bfl 0 > 0 має вигляд
\bfR 2n(\bfl 0, z)\bfR 2n - 1(\infty , z) - \bfR 2n - 1(\bfl 0, z)\bfR 2n(\infty , z) = - 1
\bfl 0
\not = 0.
Тому \phi N,q - 1(z) = \phi D,q - 1(z) = 0.
Твердження доведено.
Означення 1. Комплекснозначна функцiя \omega , визначена на вiдкритiй пiдмножинi \BbbC , нази-
вається неванлiннiвською, якщо:
1) область її визначення мiститься у \BbbC \setminus \BbbR i \omega аналiтична на \BbbC \setminus \BbbR ;
2) \omega (z) = \omega (z) при z \in \BbbC \setminus \BbbR ;
3) \mathrm{I}\mathrm{m}z \mathrm{I}\mathrm{m}\omega (z) \geq 0 при \mathrm{I}\mathrm{m}z \not = 0;
ця функцiя називається S -функцiєю, якщо додатково:
4) \omega аналiтична при z /\in [0,\infty ),
5) \omega (z) > 0 при z \in ( - \infty , 0);
S -функцiя називається S0-функцiєю, якщо
6) 0 не є полюсом \omega .
Теорема 1 ([12], теорема 3.7). Пiсля скорочення спiльних множникiв (якщо такi є) у чи-
сельнику i знаменнику функцiя
\phi (\bfl 0, z)
\phi (\infty , z)
стає S0-функцiєю.
Теорема 2 ([12], теорема 3.12). Власнi значення \{ \mu k\} nk= - n, k \not =0, \mu - k = - \mu k, задачi
Неймана (N2) та власнi значення \{ \lambda k\} nk= - n, k \not =0, \lambda - k = - \lambda k, задачi Дiрiхле (D2) мають
такi властивостi:
1) 0 < \mu 1 < \lambda 1 \leq \mu 2 \leq . . . \leq \mu n \leq \lambda n ;
2) кратностi власних значень \mu k i \lambda k не перевищують q - 1; якщо \mu k = \lambda k (або = \lambda k+1),
то сума кратностей \mu k i \lambda k (або \lambda k+1) не перевищує 2q - 3;
3) якщо \mu k = \lambda k (або = \lambda k+1), то \mu k є коренем функцiї \phi q - 1(z) :=
\phi D,q - 1(z)
\phi N,q - 1(z)
.
Зауважимо, що максимальна кратнiсть власного значення для довiльного графа зi стiльтьє-
сiвських струн залежить лише вiд форми графа (див. [1]).
Щоб сформулювати необхiднi умови на можливi кратностi власних значень задач Нейма-
на та Дiрiхле, будемо використовувати поняття векторного мажорування, введене Мюрхе-
дом [11] для випадку векторiв iз цiлими координатами й узагальнене Хардi, Лiттлвудом та
Пойа (див. [8]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ ЗIРКОВОГО ГРАФА ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН . . . 53
Означення 2. Нехай x = (xi)
s
i=1 i y = (yi)
t
i=1 — два вектори з невiд’ємними координа-
тами, упорядкованими у незростаючому порядку: x1 \geq x2 \geq . . . \geq xs \geq 0, y1 \geq y2 \geq . . .
. . . \geq yt \geq 0. Нехай s = t. Тодi кажемо, що x мажорує y (x \succ y), якщо виконуються такi
умови:
t\sum
i=1
xi =
t\sum
i=1
yi,
\tau \sum
i=1
xi \geq
\tau \sum
i=1
yi, \tau = 1, 2, . . . , t - 1.
Якщо s \not = t, то доповнюємо коротший вектор нулями i покладаємо \widetilde x = (xi)
max\{ s,t\}
i=1 i\widetilde y = (yi)
max\{ s,t\}
i=1 з xi = 0 при i = s+ 1, . . . ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ s, t\} , yi = 0 при i = t+ 1, . . . ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ s, t\} . Тодi
кажемо, що x мажорує y, x \succ y, якщо \widetilde x мажорує \widetilde y, \widetilde x \succ \widetilde y.
Зауваження 1. Якщо вектор x = (xi)
s
i=1 мажорує вектор (yi)
t
i=1, то кiлькiсть ненульових
координат вектора x менша або дорiвнює кiлькостi ненульових координат вектора y,
x \succ y \rightarrow \#
\bigl\{
i \in \{ 1, . . . , s\} : xi > 0
\bigr\}
\leq \#
\bigl\{
i \in \{ 1, . . . , t\} : yi > 0
\bigr\}
.
Зауваження 2. Для вектора x = (xi)
s
i=1 \in Rs позначимо через x\downarrow = (x\downarrow i )
s
i=1 \in Rs век-
тор з тими ж координатами, але упорядкованими у незростаючому порядку, тобто iснує така
перестановка \pi iндексiв \{ 1, 2, . . . , s\} , що
x\downarrow i = x\pi (i), i = 1, 2, . . . , s, x\downarrow 1 \geq x\downarrow 2 \geq . . . \geq x\downarrow s.
Означення 3. Нехай x = (xi)
s
i=1 i y = (yi)
s
i=1 — два вектори з невiд’ємними координата-
ми, упорядкованими у незростаючому порядку: x1 \geq x2 \geq . . . \geq xs \geq 0, y1 \geq y2 \geq . . . \geq yt \geq 0.
Тодi говоримо, що x слабко мажорує y, якщо
x
w
\succ y : \Leftarrow \Rightarrow
\tau \sum
i=1
xi \geq
\tau \sum
i=1
yi, \tau = 1, 2, . . . , t.
Наступна теорема — це теорема 2.10 зi статтi [13], сформульована у наших термiнах. Ми
застосовуємо її до зiркового графа T \prime .
Теорема 3. Нехай \{ \xi k\} n - n
- n+n,k \not =0 — множина власних значень задачi Неймана (\mathrm{N}1), \xi k >
> 0, \xi - k = - \xi k, k > 0, з урахуванням можливих кратностей. Позначимо через rN кiлькiсть
невiд’ємних рiзних власних значень задачi Неймана \xi ks , через (ps(N))rNs=1 вектор їхнiх кратнос-
тей, а через p\downarrow (N) =
\bigl(
p\downarrow s(N)
\bigr) rN
s=1
вiдповiдний вектор кратностей у незростаючому порядку.
Тодi:
1) 0 < \xi 21 < \xi 22 \leq \xi 23 \leq . . . \leq \xi 2n - n - 1 \leq \xi 2n - n ;
2) якщо pi(N) > 1, то pi - 1(N) = pi+1(N) = 1, i = 2, . . . , rN - 1, а якщо prN (N) > 1, то
prN - 1(N) = 1;
3)
\sum rN
i=1
pi(N) = n - \bfn ;
4) rN \geq n1 + n2 ;
5) \{ N1 - 1, N2 - 1, . . . , Nn1 - 1\} \succ
\bigl\{
p\downarrow 1(N), p\downarrow 2(N), . . . , p\downarrow rN - n1
(N)
\bigr\}
.
Зауважимо, що твердження 4 є неявним наслiдком властивостi мажорування 5. Узагальнення
нерiвностi з п. 4 на випадок довiльного дерева отримано у [14].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
54 А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК
Означення 4. Нехай \{ \alpha k\} \tau k=1 i \{ \sigma k\} \tau k=1 — двi послiдовностi, що чергуються, тобто
0 < \alpha 1 < \sigma 1 < . . . < \alpha \tau < \sigma \tau .
Нехай \{ \alpha \^ks
\} \^\tau s=1 — довiльна пiдпослiдовнiсть \{ \alpha k\} \tau k=1, а \{ \sigma \v ks
\} \v \tau s=1 — довiльна пiдпослiдовнiсть
\{ \sigma k\} \tau k=1, де 0 \leq \^\tau \leq \tau i 0 \leq \v \tau \leq \tau .
Назвемо
\bigl\{
\{ \alpha \^ks
\} \^\tau s=1, \{ \sigma \v ks
\} \v \tau s=1
\bigr\}
неповною парою довжини \leq \tau .
Зауваження 3. Нехай \{ \beta k\} p1 - p1,k \not =0 = \{ \mu k\} n - n,k \not =0 \cap \{ \lambda k\} n - n,k \not =0, причому \beta - k = - \beta k i 0 <
< \beta 1 \leq \beta 2 \leq . . . \leq \beta p1 , а \{ \beta ks\} r - r,s \not =0 — послiдовнiсть рiзних елементiв у \{ \beta k\} p1 - p1,k \not =0, зануме-
рованих так, що 0 < \beta k1 < \beta k2 < . . . < \beta kr . Тодi послiдовностi \{ \mu k\} n - n,k \not =0 i \{ \lambda k\} n - n,k \not =0 можна
записати у виглядi \{ \mu k\} n - n,k \not =0 = \{ \gamma k\} n - p1
- n+p1,k \not =0 \cup \{ \beta k\} p1 - p1,k \not =0 i \{ \lambda k\} n - n,k \not =0 = \{ \delta k\} n - p1
- n+p1,k \not =0 \cup
\cup \{ \beta k\} p1 - p1,k \not =0, де
0 < \gamma 1 < \delta 1 < . . . < \gamma n - p1 < \delta n - p1 .
Позначимо через
\bigl\{
\~p(\beta k1), . . . , \~p(\beta kr)
\bigr\}
вектор кратностей елементiв послiдовностi \{ \beta k\} p1 - p1,k \not =0.
Нехай
\bigl\{
\~p\downarrow (\beta k1), . . . , \~p
\downarrow (\beta kr)
\bigr\}
— вiдповiдний упорядкований вектор.
За означенням кожне \beta ks є коренем як \phi (\infty , \lambda 2), так i \phi (\bfl 0, \lambda 2) кратностi, яка є кратнiстю
\beta ks як кореня функцiї \phi N,q - 1(\lambda
2). Тодi, застосовуючи теорему 3.3 з [13] до графа T \prime , отримуємо
таку теорему.
Теорема 4. 1. Кiлькiсть r рiзних елементiв \{ \beta ks\} rs=1 у \{ \beta k\} p1k=1 задовольняє нерiвнiсть
r \leq
\biggl\lfloor
n - \bfn
2
\biggr\rfloor
, де \lfloor \cdot \rfloor — цiла частина;
2. Виконується нерiвнiсть p(\beta ks) \leq q - 2 для всiх ks.
Позначимо \{ \beta \^ks
\} \^n - \^n,s \not =0 = \{ \beta ks\} r - r,k \not =0 \cap \{ \gamma k\} n - p1
- n+p1,k \not =0, \{ \beta \v ks
\} \v n - \v n,s \not =0 = \{ \beta ks\} r - r,k \not =0 \cap
\cap \{ \delta k\} n - p1
- n+p1,k \not =0 .
Приклад. Нехай g = 4, \bfn = n1 = n2 = n3 = 4. Тодi
0 < \mu 1 < \lambda 1 < \mu 2 = \lambda 2 = \mu 3 = \lambda 3 < \mu 4 < \lambda 4 < \mu 5 = \lambda 5 = \mu 6 = \lambda 6 = \mu 7 < \lambda 7 < \mu 8 < \lambda 8 =
= \mu 9 = \lambda 9 = \mu 10 = \lambda 10 < \mu 11 < \lambda 11 < \mu 12 < \lambda 12 = \mu 13 = \lambda 13 = \mu 14 =
= \lambda 14 < \mu 15 = \lambda 15 < \mu 16 < \lambda 16.
У цьому випадку p1 = 9, r = 5 i
\beta 1 = \beta 2 = \mu 2, \beta 3 = \beta 4 = \mu 5, \beta 5 = \lambda 6 = \mu 9, \beta 6 = \beta 7 = \mu 13, \beta 8 = \mu 15,
k1 = 1, k2 = 3, k3 = 5, k4 = 6, k5 = 8,
\^k1 = k2 = 3, \v k1 = k3 = 5, \v k2 = k4 = 6,
\{ \beta \^ks
\} 1 - 1,s \not =0 = \{ \pm \beta k2\} = \{ \pm \beta 3\} , \{ \beta \v ks
\} 2 - 2,k \not =0 = \{ \pm \beta k3 ,\pm \beta k4\} = \{ \pm \beta 5,\pm \beta 6\} .
Теорема 5. Послiдовностi \{ \beta \^ks
\} \^ns=1 i \{ \beta \v ks
\} \v ns=1 утворюють неповну пару довжини, що не
перевищує \bfn .
Доведення. За означенням \beta ks — корiнь обох многочленiв \phi (\infty , \lambda 2) i \phi (\bfl 0, \lambda 2) кратностi,
що дорiвнює принаймнi кратностi \beta ks як кореня \phi N,q - 1(\lambda
2).
Кратнiсть \beta \^ks
як кореня \phi (\infty , \lambda 2) перевищує на одиницю кратнiсть \beta \^ks
як кореня \phi N,q - 1(\lambda
2)
тодi й тiлькi тодi, коли \bfR 2n(\infty , \beta 2
\^ks
) = 0. Тому 0 \leq \^\bfn \leq \bfn .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ ЗIРКОВОГО ГРАФА ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН . . . 55
Кратнiсть \beta \v ks
як кореня \phi (\bfl 0, \lambda
2) перевищує на одиницю кратнiсть \beta \v ks
як кореня \phi N,q - 1(\lambda
2)
тодi й тiльки тодi, коли \bfR 2n(\bfl 0, \beta
2
\v ks
) = 0. Отже, 0 \leq \v \bfn \leq \bfn . Оскiльки коренi \bfR 2n(\bfl 0, \lambda
2)
чергуються з коренями \bfR 2n(\infty , \lambda 2), приходимо до висновку, що \{ \beta \^ks
\} \^ns=1 i \{ \beta \v ks
\} \v ns=1 — неповна
пара довжини, що не перевищує \bfn .
Теорему доведено.
Будемо використовувати таке позначення:
Ni(T
\prime ) := \#
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , q - 1\} : nj \geq i
\bigr\}
.
Теорема 6 ([13], теорема 2.7). Нехай \{ \xi k\} n - n
k= - n - n,k \not =0 — послiдовнiсть власних значень за-
дачi (13) – (16), \xi k > 0, \xi - k = - \xi k, k > 0, а \{ \nu k\} n - n
k= - n - n,k \not =0 — послiдовнiсть власних значень
задачi (17) – (19), \nu k > 0, \nu - k = - \nu k, k > 0, обидвi з урахуванням кратностей. Позначимо
через \{ \nu ks\}
rD
- rD,s \not =0 послiдовнiсть рiзних власних значень задачi (17) – (19), через rD кiлькiсть
рiзних додатних власних значень, а через
\bigl\{
\~p\downarrow (\nu k1), . . . , \~p
\downarrow (\nu krD )
\bigr\}
вектор їхнiх кратностей,
упорядкований у незростаючому порядку.
Тодi:
1) 0 < \xi 21 < \nu 21 \leq . . . \leq \xi 2n - n \leq \nu 2n - n;
2) \nu k - 1 = \xi k тодi й тiльки тодi, коли \xi k = \nu k ;
3)
\bigl(
N1(T
\prime ), N2(T
\prime ), . . . , Nn1(T
\prime )
\bigr)
\succ
\bigl\{
\~p\downarrow (\nu k1), . . . , \~p
\downarrow (\nu krD )
\bigr\}
.
Теорема 7. Нехай
\bigl\{
\~p\downarrow (\beta k1), . . . , \~p
\downarrow (\beta kr)
\bigr\}
— впорядкований вектор кратностей елементiв
множини
\bigl\{
\beta ks
\bigr\} r
- r,s \not =0
. Тодi \{ M1, . . . ,Mm\}
w
\succ
\bigl\{
\~p\downarrow (\beta k1), . . . , \~p
\downarrow (\beta kr)
\bigr\}
, де Mj = Nj(T
\prime ) - 1, якщо
Nj(T
\prime ) \geq 2 i m = \#\{ j : Nj(T
\prime ) \geq 2\} .
Доведення. Нехай \beta ks \in \{ \mu k\} nk= - n,k \not =0 \cap \{ \lambda k\} nk= - n,k \not =0 i \beta ks = \xi k = \nu k, тодi за теоремою 2
маємо p(\beta ks) = p(\xi k) = p(\nu k) - 1. З твердження 3 теореми 6 випливає, що\bigl(
N1(T
\prime ) - 1, N2(T
\prime ) - 1, . . . , Nn1(T
\prime ) - 1
\bigr)
\succ
\bigl\{
\~p\downarrow (\nu k1) - 1, . . . , \~p\downarrow (\nu krD ) - 1
\bigr\}
.
Оскiльки p(\beta ks) > 0 тодi й тiльки тодi, коли p(\nu k) \geq 2, приходимо до висновку, що
\{ M1, . . . ,Mm\}
w
\succ
\bigl\{
\~p\downarrow (\beta k1), . . . , \~p
\downarrow (\beta kr)
\bigr\}
.
Теорему доведено.
4. Обернена задача. У цьому пунктi ми покажемо, що твердження 1, 3 теореми 2, тверд-
ження 1 теореми 4 та слабке мажорування у теоремi 7 — це не лише необхiднi, але й достатнi
умови для того, щоб двi послiдовностi були спектрами задач (6) – (11) i (6) – (10), (12).
Лема 3.13 з [12] у наших термiнах формулюється таким чином.
Лема 1. Нехай q \in \BbbN , q \geq 3, n \in \BbbN , n - p1 \in \BbbN , \gamma > \bfl > 0. Нехай послiдовностi
\{ \mu k\} n - p1
- n+p1,k \not =0, \{ \lambda k\} n - p1
- n+p1,k \not =0 \subset \BbbR такi, що
0 < \mu 1 < \lambda 1 < \mu 2 < . . . < \mu n - p1 < \lambda n - p1 ,
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
56 А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК
\Phi (z) := \gamma
\prod n - p1
k=1
\Bigl(
1 - z
\lambda 2
k
\Bigr)
\prod n - p1
k=1
\Bigl(
1 - z
\mu 2
k
\Bigr) = a0 +
1
- b1z +
1
a1 +
1
- b2z + . . .+
1
an - p1 - 1 +
1
- bn - p1z +
1
an - p1
.
(30)
Тодi ak > 0, k = 0, 1, . . . , n - p1, bk > 0, k = 1, 2, . . . , n - p1, i \Phi має вигляд
\Phi (z) = a0 +
1
- b1z +
1
a1 +
1
- b2z + . . .+
1
an - 1 +
1
- bnz +
1
an - a1n + \widehat fn(z)
,
де
\widehat fn(z) := a1n +
1
- bn+1z +
1
an+1 +
1
- bn+2z + . . .+
1
an - p1 - 1 +
1
- bn - p1z +
1
an - p1
, (31)
\bfn вибрано так, що
n - 1\sum
k=0
ak < \bfl ,
n\sum
k=0
ak \geq \bfl ,
n - 1\sum
k=0
ak + an - a1n + \widehat fn(0) = \gamma , \widehat fn(0) > 0,
i \widehat fn(z) — S0-функцiя.
Теорема 8 ([12], теорема 3.14). Нехай q \in \BbbN , q \geq 2, \{ \bfl \} \cup \{ lj\} q - 1
j=1 \subset (0,\infty ), n \in \BbbN .
Припустимо, що \{ \mu k\} n - n, k \not =0, \{ \lambda k\} n - n, k \not =0 \subset R такi, що:
0) \mu - k = - \mu k, \lambda - k = - \lambda k ;
1) 0 < \mu 1 < \lambda 1 \leq \mu 2 \leq . . . \leq \mu n \leq \lambda n ;
2) кратностi \mu k у \{ \mu k\} nk= - n, k \not =0 i кратностi \lambda k у \{ \lambda k\} nk= - n, k \not =0 не перевищують q - 1;
3) якщо \mu k = \lambda k (або = \lambda k+1), то \widehat fn(\lambda 2
k) = 0 з \widehat fn, означеним у лемi 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ ЗIРКОВОГО ГРАФА ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН . . . 57
Тодi iснує зiрковий граф з q стiльтьєсiвських струн, тобто числа \{ \bfn \} , \{ nj\} q - 1
j=1 \subset \BbbN 0 =
= \{ 0\} \cup \BbbN , маси \{ \bfm k\} nk=1,
\bigl\{
m
(j)
k
\bigr\} nj
k=1
\subset (0,\infty ) i довжини iнтервалiв
\bigl\{
\bfl k
\bigr\} n
k=0
(\bfl n \geq 0, \bfl k > 0
при k = 1, 2, . . . ,\bfn - 1),
\bigl\{
l
(j)
k
\bigr\} nj
k=0
\subset (0,\infty ), j = 1, 2, . . . , q - 1, мiж ними з
\sum n
k=0
\bfl k = \bfl ,\sum nj
k=0
l
(j)
k = lj i
n = \bfn +
q - 1\sum
j=1
nj
такi, що \{ \mu k\} n - n, k \not =0 — спектр задачi Неймана (13) – (16) а \{ \lambda k\} n - n, k \not =0 — спектр задачi
Дiрiхле (17) – (19).
Наступна теорема — це теорема 3.2 з [13] у наших термiнах, застосована до дерева T \prime .
Теорема 9. Нехай q \in \BbbN , q \geq 3, (lj)
q - 1
j=1 \subset (0,\infty ), n \in \BbbN . Припустимо, що данi по-
слiдовностi \{ \xi k\} n - n
- n+n,k \not =0, \{ \nu k\} n - n
- n+n,k \not =0 такi, що \xi k, \nu k > 0, \xi - k = - \xi k, \nu - k = - \nu k при
k > 0, i задано (nj)
q - 1
j=1 \subset \BbbN , n1 \geq n2 \geq . . . \geq nq - 1 з
\sum q - 1
j=1
nj = n - \bfn . Позначи-
мо Ni := \#
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , q - 1\} : nj \geq i
\bigr\}
для i = 1, 2, . . . , n1, через rD кiлькiсть рiзних
додатних елементiв у \{ \nu k\} n - n
- n+n,k \not =0, через p(\nu k), k = 1, 2, . . . , rD, їхнi кратностi, i нехай\bigl(
p\downarrow (\nu k1), p
\downarrow (\nu k2), . . . , p
\downarrow (\nu krD )
\bigr)
— вiдповiдний вектор кратностей у незростаючому порядку.
Тодi умови:
1) 0 < \xi 21 < \nu 21 \leq . . . \leq \xi 2n - n \leq \nu 2n - n,
2) \nu k - 1 = \xi k тодi й тiльки тодi, коли \xi k = \nu k,
3)
\bigl(
N1(T
\prime ), N2(T
\prime ), . . . , Nn1(T
\prime )
\bigr)
\succ
\bigl(
p\downarrow (\nu k1), p
\downarrow (\nu k2), . . . , p
\downarrow (\nu krD )
\bigr)
є необхiдними i достатними для iснування набору додатних мас \{ m(j)
k \} nj
k=1, набору довжин
iнтервалiв
\bigl\{
l
(j)
k
\bigr\} nj
k=0
, j = 1, 2, . . . , q - 1, з
\sum nj
k=0
l
(j)
k = lj таких, що спектральна задача
Неймана (13) – (16) на зiрковому графi T \prime має спектр \{ \xi k\} n - n
- n+n,k \not =0, а спектральна задача
Дiрiхле (17) – (19) на T \prime — спектр \{ \nu k\} n - n
- n+n,k \not =0.
Тепер сформулюємо основний результат цiєї статтi.
Теорема 10. Нехай q \in \BbbN , q \geq 3, \{ lj\} q - 1
j=1 \subset (0,\infty ), \bfl \in (0,\infty ), n \in \BbbN , nj \in \BbbN , j =
= 1, 2, . . . , q - 1, \bfn \in \BbbN , \bfn +
\sum q - 1
j=1
nj = n, p1 \in \BbbN , p1 \leq n - \bfn , r \in \BbbN (p1 \geq r \geq n1 + n2,
n1 \geq n2 \geq . . . \geq nq - 1, i припустимо, що \{ \mu k\} nk= - n, k \not =0 = \{ \gamma k\} n - p1
k= - n+p1,k \not =0 \cup \{ \beta k\} p1k= - p1,k \not =0,
\{ \lambda k\} nk= - n, k \not =0 = \{ \delta k\} n - p1
k= - n+p1,k \not =0\cup \{ \beta k\}
p1
k= - p1,k \not =0 \subset \BbbR , \{ \beta ks\} rs=1 — рiзнi елементи послiдовнос-
тi \{ \beta k\} p1k=1 такi, що:
0) \mu - k = - \mu k, \lambda - k = - \lambda k ;
1) 0 < \gamma 1 < \delta 1 < \gamma 2 < . . . < \gamma n - p1 < \delta n - p1 ;
2) кiлькiсть r рiзних елементiв \beta ks послiдовностi \{ \beta k\} p1k=1 задовольняє нерiвнiсть r \leq
\leq
\biggl\lfloor
n - \bfn
2
\biggr\rfloor
;
3) для всiх \beta k \widehat fn(\beta 2
k) = 0 з \widehat fn, означеною у (30), (31) з \gamma = \bfl +
\biggl( \sum q - 1
k=1
1
lk
\biggr) - 1
i деяким
a1n, 0 < a1n \leq an ;
4) \{ M1, . . . ,Mm\}
w
\succ
\bigl\{
\~p\downarrow 1, \~p
\downarrow
2, . . . , \~p
\downarrow
r
\bigr\}
, де Mj = Nj(T
\prime ) - 1 при Nj(T
\prime ) \geq 2 i Mj = 0 при
Nj \leq 1, m = \#\{ j : Nj(T
\prime ) \geq 2\} , а
\bigl\{
\~p\downarrow 1, \~p
\downarrow
2, . . . , \~p
\downarrow
r
\bigr\}
— впорядкований вектор кратностей
елементiв послiдовностi \{ \beta ks\} rs=1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
58 А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК
Тодi iснує зiрковий граф з q стiльтьєсiвських струн, тобто величини мас \{ \bfm k\} nk=1,\bigl\{
m
(j)
k
\bigr\} nj
k=1
\subset (0,\infty ) i довжини iнтервалiв \{ \bfl k\} nk=0 (\bfl n \geq 0, \bfl k > 0 при k = 0, 1, . . . ,\bfn - 1)
з
\sum n
k=0
\bfl k = \bfl , \{ l(j)k \} nj
k=0 \subset (0,\infty ), j = 1, 2, . . . , q - 1, мiж ними з
\sum nj
k=0
l
(j)
k = lj такi, що
\{ \mu k\} nk= - n, k \not =0 — спектр задачi Неймана (6) – (11), а \{ \lambda k\} nk= - n, k \not =0 — спектр задачi Дiрiхле
(6) – (10), (12).
Доведення. Як у лемi 1, побудуємо функцiю
\Phi (z) := \gamma
\prod n - p1
k=1
\Bigl(
1 - z
\gamma 2k
\Bigr)
\prod n - p1
k=1
\Bigl(
1 - z
\delta 2k
\Bigr) =
= a0 +
1
- b1z +
1
a1 +
1
- b2z + . . .+
1
an - 1 +
1
- bnz +
1
an - a1n + \widehat fn(z)
, (32)
де \widehat fn має вигляд (31) з деяким a1n, що задовольняє нерiвностi 0 < a1n \leq an.
Шуканий граф будуємо таким чином. Виберемо \bfm k := bk, k = 1, 2, . . . ,\bfn , у якостi ве-
личин мас на кореневому ребрi, а \bfl k := ak (k = 0, 1, . . . ,\bfn - 1) i \bfl n := an - a1n у якостi
довжин iнтервалiв мiж ними. Для побудови всiх iнших ребер використаємо функцiю \widehat fn з (31)
i теорему 9.
Iз зображення \widehat fn у виглядi ланцюгового дробу (31) отримуємо, що \widehat fn — S0-функцiя. Крiм
того, \widehat fn є вiдношенням двох многочленiв gn(z) i hn(z) степеня n - p1 - \bfn :
\widehat fn(z) = gn(z)
hn(z)
,
Згiдно з лемою 1 коренi та полюси \widehat fn, тобто коренi gn та hn, строго чергуються.
Покладемо
\widetilde gn(z) := gn(z)
p1\prod
k=1
(z - \beta 2
k),
\widetilde hn(z) := hn(z)
p1\prod
k=1
(z - \beta 2
k).
Кiлькiсть коренiв \nu 2k многочлена \widetilde gn(z) i коренiв \xi 2k многочлена \widetilde hn(z) з урахуванням кратностей
дорiвнює n - \bfn .
Покажемо тепер, що послiдовностi \{ \xi k\} n - n
- n+n,k \not =0 i \{ \nu k\} n - n
- n+n,k \not =0 задовольняють умови
теореми 9.
Чергування в умовi 1 теореми 9, окрiм другої строгої нерiвностi, справедливе тому, що
коренi многочленiв gn i hn додатнi, строго чергуються, а \widetilde gn i \widetilde hn утворенi з gn, hn множенням
на спiльний многочлен. Якщо \xi k = \nu k, то з умови 3 теореми 10 випливає, що \nu k = \beta s,
p(\xi k) = p(\beta s) = p(\nu k) - 1 i, отже, умова 2 теореми 9 виконується.
Оскiльки всi елементи послiдовностей \{ \nu k\} n - n
- n+n,[\not =0\setminus \{ \beta k\}
p1
- p1,k \not =0 i \{ \xi k\} n - n
- n+n,[ \not =0\setminus \{ \beta k\}
p1
- p1,k \not =0
простi, з умови 4 теореми 10 випливає умова 3 теореми 9.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
ОБЕРНЕНА СПЕКТРАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ ЗIРКОВОГО ГРАФА ЗI СТIЛЬТЬЄСIВСЬКИХ СТРУН . . . 59
Метод вiдновлення величин мас \{ m(j)
k \} nj
k=1 i довжин iнтервалiв \{ l(j)k \} nj
k=0, j = 1, 2, . . . , q - 1,
описано у [13] (див. доведення теореми 3.2).
Залишилося довести, що отриманi данi \{ \bfm k\} nk=1, \{ m
(j)
k \} nj
k=1, \{ \bfl k\}
n
k=0, \{ l
(j)
k \} nj
k=0 породжу-
ють задачу (6) – (11) зi спектром \{ \mu k\} n - n,k \not =0 i задачу (6) – (10), (12) зi спектром \{ \lambda k\} n - n,k \not =0.
Отриманi методом iз роботи [13] послiдовностi \{ m(j)
k \} nj
k=1 i
\bigl\{
l
(j)
k
\bigr\} nj
k=0
, j = 1, 2, . . . , q - 1,
генерують задачу (13) – (16) з характеристичним многочленом
q - 1\sum
j=1
\left[ R(j)
2nj - 1(\lambda
2)
q - 1\prod
k=1, k \not =j
R
(k)
2nk
(\lambda 2)
\right]
i задачу (17) – (19) з характеристичним многочленом
q - 1\prod
k=1
R
(k)
2nk
(\lambda 2),
де \prod q - 1
k=1
R
(k)
2nk
(\lambda 2)\sum q - 1
j=1
\Bigl[
R
(j)
2nj - 1(\lambda
2)
\prod q - 1
k=1, k \not =j
R
(k)
2nk
(\lambda 2)
\Bigr] = \widehat fn(z).
Нехай \Phi (\bfl 0, z) — мнгочлен, побудований за допомогою (22) – (25), (27), i \Phi (\infty , z) — много-
член, побудований за допомогою (22) – (25), (26) iз використанням даних \{ \bfm k\} nk=1,
\bigl\{
m
(j)
k
\bigr\} nj
k=1
,
\{ \bfl k\} nk=0,
\bigl\{
l
(j)
k
\bigr\} nj
k=0
. Тодi
\Phi (z) = \bfl 0
\Phi (\bfl 0, z)
\Phi (\infty , z)
,
i за лемою 1
\Phi (z) = \bfl 0 +
1
- \bfm 1z +
1
\bfl 1 +
1
- \bfm 2z + . . .+
1
\bfl n - 1 +
1
- \bfm nz +
1
\bfl n + \widehat fn(z)
. (33)
Порiвнюючи (33) з (32), приходимо до висновку, що всi \gamma k є коренями \Phi (\bfl 0, z), а всi \delta k —
коренями \Phi (\infty , z). Оскiльки кожне \beta k збiгається з деякими \mu s i \lambda s (або \lambda s - 1), кратностi
задовольняють нерiвностi p(\beta k) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mu s, \lambda s\} або p(\beta k) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \mu s, \lambda s - 1\} .
Теорему доведено.
Зауваження 4. З умови 3 теореми 10 випливає, що якщо \{ \lambda \v ks
\} \v n - \v n,s \not =0 — пiдпослiдовнiсть
послiдовностi \{ \lambda k\} n - n,k \not =0 така, що кожне \lambda \v ks
збiгається з деяким \beta k, i \{ \mu \^ks
\} \^n - \^n,s \not =0 — пiдпо-
слiдовнiсть послiдовностi \{ \mu k\} n - n,k \not =0 така, що кожне \mu \^ks
збiгається з деяким \beta k, то \{ \mu \^ks
\} \^ns=1
i \{ \lambda \v ks
\} \v ns=1 утворюють неповну пару довжини, що не перевищує \bfn .
Зауваження 5. Теорема 10 вiдрiзняється вiд теореми 8 умовою 4, що гарантує заданi
значення \bfn i nj при j = 1, 2, . . . , q - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
60 А. ДУДКО, В. ПИВОВАРЧИК
Зауваження 6. Оскiльки твердження 1, 3 теореми 8 еквiвалентнi умовам 0, 1, 3 теореми 10,
твердження 1 теореми 4 еквiвалентне умовi 2 теореми 10, а твердження теореми 7 збiгається з
умовою 4 теореми 10, умови теореми 10 є необхiдними i достатнiми.
Лiтература
1. O. Boyko, O. Martynyuk, V. Pivovarchik, On maximal multiplicity of eigenvalues of finite-dimensional spectral
problem on a graph, Methods Funct. Anal. and Topology, 25, № 2, 104 – 117 (2019).
2. O. Boyko, V. Pivovarchik, Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings, Methods Funct. Anal. and
Topology, 14, № 2, 159 – 167 (2008).
3. J. Genin, J. S. Maybee, Mechanical vibrations trees, J. Math. Anal. and Appl., 45, 746 – 763 (1974).
4. G. Gladwell, Inverse problems in vibration, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (2004).
5. G. Gladwell, A. Morassi, Matrix inverse eigenvalue problems, Dynamical Inverse Problems: Theory and Appl., 529,
1 – 29 (2011).
6. F. R. Gantmakher, M. G. Krein, Oscillating matrices and kernels and vibrations of mechanical systems (in Russian),
GITTL, Moscow, Leningrad (1950); English transl.: Revised ed., AMS Chelsea Publ., Providence, RI (2002).
7. В. A. Марченко, Введение в теорию обратных задач спектрального анализа, Акта, Харкiв (2005).
8. A. Marshall, I. Olkin, B. Arnold, Inequalities: Theory of majorization and its applications, Second Ed., Springer, New
York (2011).
9. M. Möller, V. Pivovarchik, Damped star graphs of Stieltjes strings, Proc. Amer. Math. Soc., 145, № 4, 1717 – 1728
(2017).
10. M. Möller, V. Pivovarchik, Direct and inverse finite-dimensional spectral problems on graphs, Operator Theory: Adv.
and Appl., 283 (2020).
11. R. F. Muirhead, Some methods applicable to identities and inequalities of symmetric algebraic functions of n letters,
Proc. Edinburgh Math. Soc., 21, 144 – 157 (1903).
12. V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes
strings, Linear Algebra and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013).
13. V. Pivovarchik, C. Tretter, Location and multiplicities of eigenvalues for a star graph of Stieltjes strings, J. Difference
Equat. and Appl., 21, № 5, 383 – 402 (2015).
14. В. Пивоварчик, Про мiнiмальну кiлькiсть рiзних власних значень у задачi на деревi зi стiльтьєсiвських струн,
Укр. мат. журн., 72, № 1, 135 – 141 (2020).
15. L. Yang, G. Wei, V. Pivovarchik, Direct and inverse spectral problems for a star graph of Stieltjes strings damped
at a pendant vertex, Inverse Problems and Imaging (2020).
Одержано 16.03.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2398 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:40Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/a57af65e69057a7febfa758c3f5a5f01.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-23982025-03-31T08:49:21Z Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges Обратная спектральная задача для звездного графа из стильтьесовских струн с заданными количествами мас на ребрах Обернена спектральна задача для зіркового графу зі стільтьєсівських струн із заданими кількостями мас на ребрах Pivovarchik, V. Dudko, A. V. Дудко, А. Пивоварчик, В. Дудко, А. spectrum graph Neuman condition Spectral theory UDC 519.177 Consider a spectral problem for a star graph of Stieltjes strings. At the central vertex the generalized Neumann conditions are imposed. All but one (called the root) pendant vertices of the graph are clamped. We consider two problems: (i) with the Neumann condition at the root (the Neumann problem), (ii) with the Dirichlet condition at the root (the Dirichlet problem). In [V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings, Linear Algebra and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013)], the spectra of such problems were described and the corresponding inverse problem of recovering the values of masses and lengths of the intervals between them was solved by using the spectra of the two (Neumann and Dirichlet) problems. In the present paper, in contrast to the results mentionedabove we solve the inverse problem where the number of point masses on the edges is prescribed. We find necessary and sufficient conditions guaranteeing that two sequences of real numbers are the spectra of the Dirichlet and Neumann problems for a star graph with prescribed numbers of masses on the edges and prescribed lengths of edges. УДК 519.177 Розглянуто спектральну задачу для зiркового графа зi стiльтьєсiвських струн. У центральнiй вершинi накладено узагальненi умови Неймана. Всi висячi вершини, крiм однiєї (кореня), закрiплено. Ми розглядаємо двi задачi: 1) з умовою Неймана у коренi (задача Неймана), 2) з умовою Дiрiхле у коренi (задача Дiрiхле). У [V. Pivovarchik, N. Rozhenko, C. Tretter, Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings, Linear Algebra and Appl., 439, № 8, 2263 – 2292 (2013)] описано спектри таких задач i розв’язано вiдповiдну обернену задачу вiдновлення величин мас i довжин iнтервалiв мiж ними виходячи зi спектрiв двох задач (Неймана i Дiрiхле). На вiдмiну вiд вказаних результатiв ми розв’язуємо обернену задачу, в якiй кiлькостi мас на ребрах задано, та знаходимо умови на двi послiдовностi дiйсних чисел, необхiднi та достатнi, щоб вони були спектрами задач Дiрiхле та Неймана для зiркового графа з заданими кiлькостями точкових мас та заданими довжинами ребер. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-01-20 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2398 10.37863/umzh.v73i1.2398 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 1 (2021); 47 - 60 Український математичний журнал; Том 73 № 1 (2021); 47 - 60 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2398/8893 Copyright (c) 2021 В. М. Пивоварчик, А. Дудко |
| spellingShingle | Pivovarchik, V. Dudko, A. V. Дудко, А. Пивоварчик, В. Дудко, А. Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges |
| title | Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges |
| title_alt | Обратная спектральная задача для звездного графа из стильтьесовских струн с заданными количествами мас на ребрах Обернена спектральна задача для зіркового графу зі стільтьєсівських струн із заданими кількостями мас на ребрах |
| title_full | Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges |
| title_fullStr | Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges |
| title_full_unstemmed | Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges |
| title_short | Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges |
| title_sort | inverse spectral problem for a star graph of stieltjes strings with prescribed numbers of masses on the edges |
| topic_facet | spectrum graph Neuman condition Spectral theory |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2398 |
| work_keys_str_mv | AT pivovarchikv inversespectralproblemforastargraphofstieltjesstringswithprescribednumbersofmassesontheedges AT dudkoa inversespectralproblemforastargraphofstieltjesstringswithprescribednumbersofmassesontheedges AT v inversespectralproblemforastargraphofstieltjesstringswithprescribednumbersofmassesontheedges AT dudkoa inversespectralproblemforastargraphofstieltjesstringswithprescribednumbersofmassesontheedges AT pivovarčikv inversespectralproblemforastargraphofstieltjesstringswithprescribednumbersofmassesontheedges AT dudkoa inversespectralproblemforastargraphofstieltjesstringswithprescribednumbersofmassesontheedges AT pivovarchikv obratnaâspektralʹnaâzadačadlâzvezdnogografaizstilʹtʹesovskihstrunszadannymikoličestvamimasnarebrah AT dudkoa obratnaâspektralʹnaâzadačadlâzvezdnogografaizstilʹtʹesovskihstrunszadannymikoličestvamimasnarebrah AT v obratnaâspektralʹnaâzadačadlâzvezdnogografaizstilʹtʹesovskihstrunszadannymikoličestvamimasnarebrah AT dudkoa obratnaâspektralʹnaâzadačadlâzvezdnogografaizstilʹtʹesovskihstrunszadannymikoličestvamimasnarebrah AT pivovarčikv obratnaâspektralʹnaâzadačadlâzvezdnogografaizstilʹtʹesovskihstrunszadannymikoličestvamimasnarebrah AT dudkoa obratnaâspektralʹnaâzadačadlâzvezdnogografaizstilʹtʹesovskihstrunszadannymikoličestvamimasnarebrah AT pivovarchikv obernenaspektralʹnazadačadlâzírkovogografuzístílʹtʹêsívsʹkihstrunízzadanimikílʹkostâmimasnarebrah AT dudkoa obernenaspektralʹnazadačadlâzírkovogografuzístílʹtʹêsívsʹkihstrunízzadanimikílʹkostâmimasnarebrah AT v obernenaspektralʹnazadačadlâzírkovogografuzístílʹtʹêsívsʹkihstrunízzadanimikílʹkostâmimasnarebrah AT dudkoa obernenaspektralʹnazadačadlâzírkovogografuzístílʹtʹêsívsʹkihstrunízzadanimikílʹkostâmimasnarebrah AT pivovarčikv obernenaspektralʹnazadačadlâzírkovogografuzístílʹtʹêsívsʹkihstrunízzadanimikílʹkostâmimasnarebrah AT dudkoa obernenaspektralʹnazadačadlâzírkovogografuzístílʹtʹêsívsʹkihstrunízzadanimikílʹkostâmimasnarebrah |