Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion
We consider a scalar parabolic equation in the circle of radius r. This problem is a gasless combustion phenomenological model in the surface of a cylinder of $r$ radius. We consider the problems of the existence, asymptotic form and stability of traveling waves and the nature of gaining, losing the...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2402 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508280718098432 |
|---|---|
| author | Belan, E. P. Samoilenko, A. M. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Belan, E. P. Samoilenko, A. M. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Belan, E. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:14:46Z |
| description | We consider a scalar parabolic equation in the circle of radius r. This problem is a gasless combustion phenomenological model in the surface of a cylinder of $r$ radius. We consider the problems of the existence, asymptotic form and stability of traveling waves and the nature of gaining, losing their stability. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9+530.1
Е. П. Белан (Тавр. нац. ун-т, Симферополь),
А. М. Самойленко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СПИНОВОГО ГОРЕНИЯ
We consider a scalar parabolic equation in the circle of radius r. This problem is a gasless combustion phenomenological
model in the surface of a cylinder of r radius. We consider the problems of the existence, asymptotic form and stability of
traveling waves and the nature of gaining, losing their stability.
Розглядається скалярне параболiчне рiвняння на колi радiуса r. Ця задача є феноменологiчною моделлю безгазового
горiння на цилiндричнiй поверхнi радiуса r. Вивчаються питання iснування, асимптотичної форми та стiйкостi бi-
жучих хвиль, а також характер набуття та втрати їх стiйкостi.
Введение. Спиновым режимам горения тонкостенного кругового цилиндра радиуса r феноме-
нологически [1 – 3] соответствуют решения типа бегущих волн краевой задачи
ξ̈ + ξ = 2ε
[
ξ̇
(
1− 4
3
ξ̇2
)
+
λ2
4π2
∆ξ̇ +
βλ
2π
√
−∆ξ̇
]
, ξ(t, x+ 2πr) = ξ(t, x). (1)
Здесь ξ — координаты точек фронта горения в системе координат, в которой фронт в среднем
покоится, 0 < ε � 1 — инкремент неустойчивости малых колебаний фронта, λ > 0 — корре-
ляционная длина теплопроводностной связи соседних участков искривленного фронта, точка
означает дифференцирование по времени, ∆ — одномерный оператор Лапласа.
Феноменологическое уравнение учитывает два основных факта, относящихся к нестацио-
нарным процессам распространения фронта: наличие автоколебательной неустойчивости плос-
кого фронта, стабилизируемой нелинейными эффектами, и теплопроводностной связи соседних
участков фронта. Взаимодействие тепловых слоев, примыкающих к зоне экзотермической реак-
ции, определяется не только температурой и скоростью продвижения прилегающих участков
реакционной поверхности, но и распределением температуры вдоль всего фронта реакции [2].
Нелокальность тепловой связи отражает в уравнении (1) нелокальный оператор
√
−∆.
Согласно работе [2], количество решений типа бегущих волн задачи (1)
ξ±k = α
1/2
k cos(t∓ kθ) +O(ε), θ =
x
r
, k = 0, 1, . . . , (2)
где αk = αk(ρ), ρ = 2πr/λ,
αk = 1− k2
ρ2
+ β
k
ρ
> 0, k = 0, 1, 2, . . . , (3)
неограниченно увеличивается при возрастании ρ. В [2] было получено необходимое условие
устойчивости решений типа бегущих волн задачи (1). Вопросы о существовании, асимпто-
тической форме и устойчивости бегущих волн задачи (1) рассмотрены в [4, 5] ( β = 0), [6]
(β ≥ 0).
В данной работе приводятся доказательства полученных в [6] результатов о существова-
нии, асимптотической форме и устойчивости бегущих волн задачи (1). Доказывается также,
с помощью метода квазинормальных форм Ю. С. Колесова, что от теряющей устойчивость
c© Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1 21
22 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
бегущей волны ξ+1 ответвляется двумерный тор пространственно неоднородных периодиче-
ских по времени решений. Заметим, что полученные здесь результаты представляют интерес в
свете установленных экспериментально и численно режимов горения, отличных от спиновых
(см. [7, 8] и приведенную в них библиографию).
Отметим теперь, что задача о бифуркации рождения и развития пространственно неодно-
родных режимов из пространственно однородного предельного цикла, бегущих волн в нели-
нейных средах представляет значительный интерес [5] (гл. 4), [9] (гл. 9).
1. Начально-краевая задача. Уравнение (1) эквивалентно следующей системе уравнений:
ξ̇ = p, ξ(t, x+ 2πr) = ξ(t, x),
ṗ = −ξ − 2ε
[
p
(
1− 4
3
p2
)
+
λ2
4π2
∆p+
βλ
2π
√
−∆p
]
, p(t, x+ 2πr) = p(t, x).
(4)
Уравнение (1) или (4) рассматривается при начальных условиях
ξ|t=0 = ξ0, ξ̇|t=0 = p0 или ξ|t=0 = ξ0, p|t=0 = p0. (5)
Система (4) является системой спаренных „обыкновенного” и „параболического” уравнений.
Следуя [10] (см. § 3.4), приходим к заключению о существовании и единственности решения
задачи (4), (5) при ξ0 ∈ H1, p0 ∈ H1. Здесь H1 = H1
(
]0, 2πr[
)
— соболевское пространство
2πr-периодических функций.
Итак, уравнение (1) или, что то же самое, уравнение (4) в пространстве H1×H1 порождает
локальную динамическую систему. Далее в качестве фазового пространства уравнения (1) при-
мем пространство E = H1 ×H1. Заметим, что уравнение (1) является O(2)-эквивариантным,
т. е. инвариантным относительно группы вращений окружности и отражения x→ −x.
Отметим, что методы и результаты качественной теории полулинейных параболических
уравнений, развитые в монографии [10], применимы, разумеется, для исследования зада-
чи (1), (4).
2. Асимптотические представления бегущих волн. Пусть при фиксированных ρ и целом
n > 0 выполняется неравенство αn = αn(ρ) > 0. Следуя одночастотному методу [11], построим
решения задачи (1) в виде
ξ =
∞∑
k=0
εkσk
(
z exp(−inθ), z exp(inθ)
)
, (6)
где σ0(z, z) = z + z, а z удовлетворяет уравнению
ż = iz + εz
(
b(ε) + c1(ε)|z|2 + εc2(ε)|z|4 + . . .
)
. (7)
При этом переменная z удовлетворяет комплексно-сопряженному уравнению.
Подставим (6), (7) в уравнение (1) и выполним преобразования z exp(−inθ) → z,
z exp(inθ) → z. Приравняв теперь коэффициенты при одинаковых степенях ε и использовав
при этом равенства
ck(ε) = ck,0 + εck,1 + . . . , k = 1, 2, . . . , b(ε) = αn + εb1 + . . . , (8)
получим рекуррентную последовательность линейных неоднородных уравнений в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 23
Bσk = fk(z, z), k = 1, 2, . . . , (9)
где
Bσ = −
(
∂2σ
∂z2
z2 − 2
∂2σ
∂z∂z
zz +
∂2σ
∂z2
z2 +
∂σ
∂z
z +
∂σ
∂z
z − σ
)
.
Оператор B, рассматриваемый на пространстве многочленов относительно z, z, является диа-
гональным, причем справедливы равенства
Bzαzβ =
(
1− (α− β)2
)
zαzβ. (10)
Рассмотрим уравнение (9) при k = 1. В этом случае
f1(z, z) =
8
3
i(z − z)3 − 2i|z|2
(
c1,0z − c1,0z
)
.
В силу равенства (10) это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда коэффициенты при
|z2|z, |z2|z в его неоднородности равны нулю. Отсюда следует c1,0 = −4. Тогда уравнению (9)
при k = 1 удовлетворяет функция
σ1 = − i
3
(z3 − z3). (11)
Рассмотрим теперь уравнение (9) при k = 2. Несложно убедиться в том, что при b1 = −1
2
iα2
n
справедливо равенство
f2(z, z) = 8(z2 + z2)
[
(αn(z + z) + |z|2c1,0(z + z) + i
(
∂σ1
∂z
z − ∂σ1
∂z
z
)]
−
−2i|z|2(c1,1z − c1,1z)− 2i|z|4
(
c2,0z − c2,0z
)
. (12)
Согласно (10) это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда коэффициенты при z|z|2,
z|z|2, z|z|4, z|z|4 в его неоднородности равны нулю. Отсюда находим
c1,1 = −4iαn, c2,0 = 12i,
σ2 = −(z3 + z3)
(
αn − 4|z|2
)
− 1
3
(z5 + z5).
Несложно убедиться в том, что процесс последовательного построения разложений c1(ε), c2(ε),
b(ε), σk(z, z) неограниченно продолжим. Итак, поставленная задача о построении разложе-
ний (6), (7) разрешима.
Рассмотрим теперь уравнение (7), в которое подставлены найденные c1(ε), c2(ε), b(ε). Легко
видеть, что при увеличении параметра ρ и его переходе через значение ρn, α(ρn) = 0, из его
нуля бифурцирует предельный цикл
z = zn(t) =
1
2
α1/2
n exp(iωnt) +O(ε3), ωn = 1− 3
4
ε2α2
n +O(ε4). (13)
Подставим теперь периодическое решение z = zn(t) в (6) и воспользуемся при этом равен-
ством (11). В результате придем к заключению, что задача (1) имеет при ρ > ρn приближенные
по невязке порядка ε2 периодические по t решения
ξ̃±n (η) = α1/2
n cos η +
ε
12
α3/2
n sin 3η, η = t∓ nx
r
. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
24 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
Здесь мы использовали инвариантность задачи (1) относительно преобразования x 7→ −x.
3. Устойчивость синфазной и первой спиновой волн. Рассмотрим вопрос об устойчивости
решений ξ̃0, ξ̃
+
1 задачи (1) при α1 > 0, α3 < 0. С этой целью построим приближенные решения
задачи (1) в виде
ξ =
1∑
s=0
εsps
(
z1, z2 exp(−iθ), z3 exp(iθ), z4 exp(−2iθ), к. с.
)
, (15)
где p0(z, z) = (z1 + z2 + z3 + z4) + к. с. Переменная zk, k = 1, 2, 3, 4, в (15) удовлетворяет
уравнению
żk = izk + ε
(
γkzk + bk(z, z)
)
, k = 1, 2, 3, 4, (16)
где γ1 = 1, γ2 = γ3 = α1, γ4 = α2. Выберем формы третьей степени bk(z, z), k = 1, 2, 3, 4,
S1-инвариантными:
bk(z1, z2 exp
(
− iθ), z3 exp(iθ), z4 exp(−2iθ), к. с.
)
=
= exp
(
− is(k)θ)bk(z1, z2, z3, z4, к. с.
)
, k = 1, 2, 3, 4, (17)
где s(1) = 0, s(2) = 1, s(3) = −1, s(4) = 2. Подставим (15), (16) в уравнение (1) и затем в
полученном равенстве выполним, использовав (17), преобразование zk exp
(
− is(k)θ
)
→ zk,
k = 1, 2, 3, 4. Далее в левой и правой частях полученного равенства приравняем коэффициент
при ε. В результате для определения p1, bk, k = 1, 2, 3, 4, получим линейное уравнение
Lp1 =
8
3
i
(
4∑
k=1
(zk − zk)
)3
− iM
(
4∑
k=1
(bk − bk)
)
, (18)
где
Mb(z, z) = b(z, z) +
∂b
∂z
z − ∂b
∂z
z.
Оператор L является диагональным оператором в пространстве многочленов относительно z,
z, причем
Lzγzβ =
(
1− (γ − β, e1)2
)
zγzβ,
где zγ = zγ11 z
γ2
2 z
γ3
3 z
γ4
4 , γ = (γ1, γ2, γ3, γ4) — целочисленный вектор с неотрицательными ком-
понентами, e1 = (1, 1, 1, 1), а (∗, ∗) — скалярное произведение в евклидовом пространстве
R4. Выберем bk, k = 1, 2, 3, 4, так, чтобы в правой части (18) коэффициенты при zγzβ, где
(γ − β, e1)2 = 1 и моном zγzβ удовлетворяет одному из условий (17), были бы равны нулю.
Этими требованиями формы bk, k = 1, 2, 3, 4, определяются однозначно. Оставшиеся резонанс-
ные мономы zγzβ, т. е. те, для которых выполнено условие (γ − β, e1)2 = 1, в соответствии с
методом Галеркина опустим. Полученное относительно p1 уравнение (18) имеет решение того
же вида, что и его неоднородность. Подставим найденные bk, k = 1, 2, 3, 4, в (16) и выполним
затем замену zk = ak exp(it), k = 1, 2, 3, 4. В результате получим систему уравнений
ȧ1 = εa1
(
1− 4|a1|2 − 8|a2|2 − 8|a3|2 − 8|a4|2
)
− 4εa22a4,
ȧ2 = εa2
(
α1 − 8|a1|2 − 4|a2|2 − 8|a3|2 − 8|a4|2
)
− 4εa21a3,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 25
(19)
ȧ3 = εa3
(
α1 − 8|a1|2 − 8|a2|2 − 4|a3|2 − 8|a4|2
)
− 4εa21a2,
ȧ4 = εa4
(
α2 − 8|a1|2 − 8|a2|2 − 8|a3|2 − 4|a4|2
)
− 4εa22a1.
Исследуем теперь на устойчивость стационарное решение a1 =
1
2
, ak = 0, k = 2, 3, 4, систе-
мы (19). Ясно, что эта стационарная точка порождает окружность a1 =
1
2
exp(ig), ak = 0,
k = 2, 3, 4, g ∈ R/2πZ, стационарных точек. Матрица устойчивости этого семейства ста-
ционарных точек симметрична и блочно-диагональна. Она имеет два простых собственных
значения 0, −2ε. Остальные ее собственные значения являются двукратными. Эти собствен-
ные значения отрицательны тогда и только тогда, когда α1 < 1. Следовательно, периодическое
решение ξ̃0 задачи (1) экспоненциально орбитально устойчиво при α1 < 1 и неустойчиво при
α1 > 1. При этом синфазный устойчивый режим ξ̃0 подавляется первыми спиновыми модами
ξ̃±1 тогда, когда квадрат их общей амплитуды достигает единицы. Отметим, что этот результат
был получен в [2].
Исследование на устойчивость семейства стационарных решений a2 =
1
2
exp(ig), a1 =
= a3 = a4 = 0 системы (19) приводит к заключению, что оно экспоненциально орбитально
устойчиво тогда и только тогда, когда 2α1 > 1, (2α1 − 1)(2α1 − α2) > α2
1.
Учитывая (3), приходим к заключению, что эти условия имеют место тогда и только тогда,
когда
ρ > 3β +
√
4β2 + 10 = ρs1, β2 ≤ 2,
5
3β −
√
4β2 + 10
> ρ >
5
3β +
√
4β2 + 10
, β2 > 2.
(20)
Итак, при ρ < ρs1 может реализоваться только синфазный режим колебаний. Существующие
при ρ >
2
β +
√
β2 + 4
= ρ1 первые спиновые моды ξ̃±1 в интервале ρ1 < ρ < ρs1 неустойчивы.
Включение спиновой моды ξ̃+1 в число устойчивых режимов происходит жестко, с конечной
амплитудой, преодолевая воздействие давления спиновых мод ξ̃0, ξ̃
+
2 .
3. Существование и устойчивость бегущих волн. Рассмотрим вначале вопрос о характере
устойчивости бегущей волны ξ̃+n в связи с воздействием на нее бегущих волн ξ̃−s , ξ̃
+
p , s ≥ 0,
s 6= n, p = 2n+ s. Построим с этой целью приближенные решения задачи (1) в виде
ξ =
1∑
k=0
εkqk
(
z1exp(−inθ), z2exp(isθ), z3exp(−ipθ), к. с.
)
, (21)
где q0(z1, z2, z3, к. с.) = (z1 + z2 + z3) + к. с. Рассуждая, как и выше, относительно ak =
= zkexp(−it), k = 1, 2, 3, получаем систему
ȧ1 = εa1
(
αn − 4|a1|2 − 8|a2|2 − 8|a3|2
)
,
ȧ2 = εa2
(
αs − 8|a1|2 − 4|a2|2 − 8|a3|2
)
− 4εa21a3, (22)
ȧ3 = εa3
(
αp − 8|a1|2 − 8|a2|2 − 4|a3|2
)
− 4εa21a2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
26 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
Приближенному решению ξ̃+n задачи (1) соответствует семейство стационарных точек a1 =
=
α
1/2
n
2
exp(ig), a2 = a3 = 0, g ∈ R/2πZ, этой системы. Указанное семейство экспоненциально
орбитально устойчиво тогда и только тогда, когда 2αn > αs, (2αn − αs)(2αn − αp) > α2
n. Здесь,
напомним, p = 2n+ s.
Для анализа характера устойчивости бегущей волны ξ̃+n в связи с воздействием бегущих
волн ξ̃+s , ξ̃
+
p , 0 ≤ s < n, p = 2n − s, построим приближенные решения задачи (1) в виде (21).
Как и выше, получим систему уравнений (22), в которой p = 2n− s.
Приведенный выше анализ приводит к заключению, что на выделенную бегущую волну ξ̃+n
воздействуют упорядоченные пары бегущих волн. Эти воздействия описываются системами
вида (22), в которых p принимает значения 2n+ s, 2n− s. Итак, есть основания предполагать,
что для экспоненциальной орбитальной устойчивости бегущей волны ξ̃+n необходимо, чтобы
для каждого s ≥ 0, p 6= n
2αn > αs, (2αn − αs)(2αn − αp) > α2
n,
где p принимает значения 2n+ s, 2n− s.
Действительно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть αm = αm(ρ) > 0 для некоторого целого m ≥ 0. Тогда существует
ε > 0 такое, что для всех 0 < ε < ε0 задача (1) имеет периодические по t решения ξ∓m(η, ε),
η = ωm(ε)t∓mx
r
, где
ξ±m = α1/2
m cos η +
ε
12
α3/2
m sin 3η +O(ε2),
ωm(ε) = 1 +O(ε2).
(23)
Решения ξ±m
(
ωm
(
ε)t ∓mx
r
)
экспоненциально орбитально устойчивы тогда и только тогда,
когда:
i) 2αm − αs > 0, (2αm − αs)(2αm − α2m+s) > α2
m для всех целых s ≥ 0;
ii) 2αm − αs > 0, (2αm − αs)(2αm − α2m−s) > α2
m для всех целых 0 < s < m.
Доказательство. Центральный момент доказательства теоремы состоит в исследовании
свойств устойчивости в пространстве E уравнения
v̈ + v = 2ε
[
v̇ +
λ2
4π2
∆v̇ +
βλ
2π
√
−∆v̇ − 4αm sin2
(
t−mx
r
)
v̇
]
, (24)
полученного линеаризацией уравнения (1) на приближенном решении α1/2
m cos
(
t−mx
r
)
.
Введем в пространстве E ортопроектор
P (v, v̇) =
k0∑
−k0
Psv,
k0∑
−k0
Psv̇
, Ps(v, v̇) =
(
vs exp
(
is
x
r
)
, v̇s exp
(
is
x
r
))
,
vs =
1
2πr
2πr∫
0
v exp
(
− isx
r
)
dx, v̇s =
1
2πr
2πr∫
0
v̇ exp
(
− isx
r
)
dx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 27
выбор k0 осуществим позже. Обозначим v = h+w, h = Pv, w = (I −P )v, где I — единичный
оператор. Перейдем от уравнения (24) к системе уравнений относительно h,w и положим в ней
w = 0. В результате получим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами
ḧk + hk = 2ε
[
(αk − 2αm)ḣk + αm(e2itḣ2m+k + e−2itḣk−2m)
]
,
ḧk + hk = 2ε
[
(αk − 2αm)ḣk + αme
−2itḣk−2m
]
, 2m+ k > k0.
Следуя методу замен переменных Боголюбова – Штокало, выполним в этой системе преобра-
зование
hk = ηk + η−k +
i
4
εαm
e−2itη2m−k − e2itη2m+k, 0 ≤ k ≤ 2m,
e−2itη2m−k − e2itη2m+k, 2m < k ≤ k0,
e−2itηk−2m, 2m+ k > k0.
Переменная hk преобразуется согласно операции комплексного сопряжения к преобразованию
переменной hk. В результате получим систему, которая членами порядка ε2 отличается от
системы
η̇k = iηk + ε
[
(αk − 2αm)ηk − αme2itη−(2m+k)
]
,
η̇−k = −iη−k + ε
[
(αk − 2αm)η−k − αme−2itη−(2m−k)
]
,
η̇−k = −iη−k + ε
[
(αk − 2αm)η−k − αme−2itη(k−2m)
]
, k > 2m,
η̇k = iηk + ε(αk − 2αm)ηk, 2m+ k > k0,
где 0 ≤ k ≤ k0. Эта система заменой
ηk = eitζk, η−k = e−itζ−k
сводится к системе дифференциальных уравнений
ζ̇k = ε
[
(αk − 2αm)ζk − αmζ−(2m+k)
]
, 2m+ k < k0,
ζ̇−k = ε
[
(αk − 2αm)ζ−k − αmζ−(2m−k)
]
, 0 ≤ k ≤ 2m,
ζ̇−k = ε
[
(αk − 2αm)ζ−k − αmζ(k−2m)
]
, k > 2m,
ζ̇k = ε(αk − 2αm)ζk, 2m+ k > k0.
(25)
Матрица коэффициентов этой системы является блочно-диагональной и состоит из двумер-
ных и одномерных блоков. Если 2m + k > k0, то одномерными, повторяющимися дважды
блоками этой матрицы являются ε(αk − 2αm). Собственными значениями системы (25) явля-
ются 0 и −2εαm. Выберем теперь k0 так, чтобы 2αm−αk > 0, (2αm−αk)(2αm−α2m+k) > α2
m
для всех k ≥ k0. В силу (3) этот выбор реализуем. При указанном выборе k0 двумерные блоки
матрицы системы (25) устойчивы тогда и только тогда, когда выполнены условия i), ii) теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
28 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
Следуя [12], приходим к заключению, что свойства устойчивости уравнения (24) совпадают
с теми, о которых речь идет в теореме.
Для доказательства существования решения типа бегущей волны ξ+m задачи (1) положим
ξ = v(η, ε) = v
(
ωt−mx
r
, ε
)
, где ω = ω(ε) — некоторая, пока неизвестная, гладкая функция ε,
причем ω(0) = 1. Очевидно, функция v(η, ε) является решением задачи
ω2v′′ + v = 2ε
[
ωv′
(
1− 4
3
ω2(v′)2
)
+
λ2m2
4π2r2
ωv′′′ +
βλm
2πr
ω
√
−∆v′
]
,
v(η + 2π) = v(η),
(26)
где штрих означает дифференцирование по η. В силу (14) задача (26) при ω = 1 имеет прибли-
женное по невязке порядка ε2 решение
v̂ = α1/2
m
(
1 + ε
3
8
αm
)
cos η +
ε
12
α3/2
m sin 3η. (27)
Замена v = v̂ + y приводит уравнение (26) к виду
B(ε)y = F (y, η, ω, ε), y(η + 2π) = y(η), (28)
где
B(ε)y = y′′ + y − 2ε
[
y′
(
1− 4(v̂′)2
)
+
λ2m2
4π2r2
y′′′ +
βλm
2πr
√
−∆y′
]
,
а
F (y, η, ω, ε) = (1− ω2)y′′ − 2ε
[
(1− ω)y′ − 4
3
(1− ω3)(v̂′)2y′+
+
λ2n2
4π2r2
(1− ω)y′′ + +β
λn
2πr
(1− ω)
√
−∆y′
]
+ εf0(η, ω, ε) + εf2(y
′, η, ω, ε).
Обозначим черезH l = H l
(
]0, 2π[
)
, l ∈ Z+, пространство Соболева 2π-периодических функций.
Положим ‖ · ‖Hl = ‖ · ‖l, ‖ · ‖H = ‖ · ‖.
Несложно убедиться в справедливости оценки∥∥f0(·, ω, ε)∥∥ ≤ dε (29)
для всех ω таких, что |1 − ω| ≤ dε. Здесь и далее символом d будем обозначать положитель-
ные постоянные, не зависящие от ω, ε и точные значения которых несущественны. Функция
f2(·, η, ω, ε) : H1 → H, f2(0, η, ω, ε) = 0, удовлетворяет неравенству∥∥f2(y1, ·)− f2(y2, ·)∥∥ ≤ dmax
(
‖y‖1, ‖y2‖1
)
‖y1 − y2‖ (30)
для всех ‖yk‖1 ≤ dε, k = 1, 2.
Доказательство разрешимости уравнения (28) при соответствующем выборе ω в прост-
ранстве H3 следует развитой в работе [12] методике. Рассмотрим вопрос о разрешимости в
пространстве H3 уравнения
B(ε)y = g, g ∈ H. (31)
С этой целью спектральную задачу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 29
B(ε)y = λy, y ∈ H, (32)
рассмотрим как возмущение спектральной стационарной задачи
y′′ + y − 2ε
[
y′(1− 2αm) +
λ2n2
4π2r2
y′′′ +
βλn
2πr
√
−∆y′
]
= λy. (33)
Ясно, что эта задача имеет в пространствеH полную ортонормированную систему собственных
функций exp(ikη), k = 0,±1,±2, . . . . При этом ее собственной функции exp(ikη) соответству-
ет собственное значение −k2+1+O(ε). Следовательно, для анализа уравнения (31) достаточно
рассмотреть задачу (32) для малых λ. Перейдем теперь к исследованию задачи (32) для малых
λ. Учтем, что с точностью порядка ε2 имеет место равенство B(ε)h0 = 0, где
h0(η, ε) = sin η − ε
4
αm cos 3η.
Для анализа задачи (32) применим метод возмущений. Положим
y = a1 cos η + a2 sin η + εy1(η) + ε2y2(η) + . . . ,
λ = ελ1 + ε2λ2 + . . .
и подставим эти равенства в (32). В результате относительно y1 получим линейное неодно-
родное уравнение. Легко видеть, что оно разрешимо тогда и только тогда, когда λ1 является
собственным значением матрицы
S =
(
0 0
−4αm 0
)
.
Очевидно, a1 = (0, 1)T является собственным вектором матрицы S, а λ1 = 0 — соответствую-
щее собственное значение.
Перейдем теперь к вопросу о разрешимости уравнения
Sa = β.
Ясно, что это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда (b, β) = 0
(
(b, β) =
=
∑2
k=1
bkβk
)
для всех b таких, что ST b = 0. Если указанное условие выполнено, то сущест-
вует единственное решение a = Gβ такое, что (Gβ, a1) = 0. Очевидно, ‖Gβ‖ ≤ (4αm)−1‖β‖.
Преобразуем теперь задачу (28). Добавим в ее левую часть слагаемое−〈y, h0〉‖h0‖−2B(ε)h0.
В результате получим спектральную задачу
B̂(ε)y = λy, y ∈ H.
По определению B̂(ε)h0 = 0, причем спектральные свойства оператора B̂(ε) аналогичны
таковым для оператора B(ε). Пусть B̂∗(ε)q0 = 0 и 〈h0, q0〉 = 1. Отсюда следует, что q0(η, ε) =
= 2 sin η +O(ε). Следовательно, уравнение
B̂(ε)y = g, 〈q0, g〉 = 0, g ∈ H,
имеет единственное решение Rg такое, что 〈Rg, h0〉 = 0.
Обозначим M(ε) = {y ∈ H : 〈y, q0〉 = 0}. Очевидно, существует функция g1(·, ε) ∈ H3,
g1(η, ε) = cos η +O(ε), такая, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
30 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
M(ε) = M1(ε)⊕M2(ε), M1(ε) = Span
{
g1(·, ε)
}
.
Здесь M2(ε) — инвариантное пространство оператора B̂(ε). Из наших рассуждений следует,
что имеют место неравенства
ε‖Rg‖3 + ‖Rg‖2 ≤
d
εαm
‖g‖H , g ∈M1(ε),
ε‖Rg‖3 + ‖Rg‖2 ≤ d‖g‖H , g ∈M2(ε).
Обозначим через P̂ проектор в пространствеH на Ker B̂(ε)⊕M1(ε). Согласно определению
f0 выполняется неравенство ∥∥P̂ f0(·, ω, ε)∥∥ ≤ dε2.
Рассмотрим теперь уравнение (28). Заменим в нем B на B̂. Эту замену учтем и в правой части,
обозначив ее F̂ . В пространстве H3 рассмотрим уравнение
w −R
(
F̂ (w, ·, ε, ω)−
〈
q0, F̂ (w, ·, ε, ω) > h0
〉)
= 0. (34)
Ясно, что метод последовательных приближений с нулевой начальной точкой, примененный
к этому уравнению, приводит к сходящейся в H3 последовательности равномерно по ε, ω
в области 0 < ε < ε0, |1− ω| < dε. Предел этой последовательности w∗(ε, ω) — решение
уравнения (34). Имеет место следующее неравенство:
ε
∥∥w∗(ε, ω)
∥∥
3
+
∥∥w∗(ε, ω)
∥∥
2
≤ d
αm
ε2. (35)
Согласно (30) существует единственное решение (34), удовлетворяющее этому неравенству и
условию 〈w∗, h0〉 = 0. Функция w∗(ε, ω) ∈ H3 при ε > 0 непрерывно дифференцируема по ε,
ω и удовлетворяет уравнению
B(ε)w = F (w, η, ε, ω)−D(ε, ω)h0, (36)
где
D(ε, ω) =
〈
q0, F̂ (w∗(ε, ω), η, ε, ω)
〉
.
Итак, вопрос о разрешимости задачи (28) в пространствеH3 сводится к вопросу о разрешимос-
ти относительно ω уравнения
D(ε, ω) = 0. (37)
Несложно убедиться в том, что это уравнение эквивалентно уравнению
(1− ω3) + ε2γ(ω, ε) = 0,
где γ(ω, ε) — непрерывно дифференцируемая функция по ω, ε в окрестности точек 1, 0 соот-
ветственно. Отсюда следует существование непрерывно дифференцируемого при 0 < ε < ε0
решения ω = ω∗(ε) уравнения (32) такого, что∥∥1− ω∗(ε)
∥∥ ≤ dε2.
Следовательно, w∗
(
ε, ω∗(ε)
)
— 2π-периодическое решение уравнения при 0 < ε < ε0 и такое,
что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 31
ε
∥∥∥w∗(ε, ω∗(ε))∥∥∥
3
+
∥∥∥w∗(ε, ω∗(ε))∥∥∥
2
≤ dε2.
Теорема доказана.
4. Высокомодовая буферность. Рассмотрим вопрос о количестве устойчивых бегущих волн
задачи (1) при фиксированном значении параметра ρ. Рассмотрим вначале случай β = 0. Тогда
из теоремы 1 следует легко проверяемый критерий устойчивости бегущих волн.
Теорема 2. Предположим, что в уравнении (1) β = 0. Для того чтобы определенные
в теореме 1 периодические по t решения ξ∓m(η, ε), m ≥ 1, задачи (1) были экспоненциально
орбитально устойчивы, необходимо и достаточно, чтобы
αm >
4m2 − 1
6m2 − 1
, m = 1, 2, . . . . (38)
Пространственно однородное периодическое решение ξ0
(
ω0(ε)t, ε
)
задачи (1) экспоненциально
орбитально устойчиво.
Из этой теоремы следует, что спиновые моды ξ±m, m = 1, 2, . . . , устойчивы тогда и только
тогда, когда
m2 <
1
6
(
2r2
(
2π
λ
)2
+ 1
)
.
Перейдем теперь к случаю β > 0. Справедливы следующие утверждения.
Лемма 1. Предположим, что β > 0. Для того чтобы выполнялось условие i) теоремы 1,
достаточно, чтобы
αm >
3β2 + 16
4β2 + 16
(
1 +
β2
4
)
. (39)
Доказательство. Рассмотрим αn = 1− λ2n2
4π2r2
+
βλn
2πr
как функцию формально непрерыв-
ного переменного n. Максимальным значением αn является 1 +
β2
4
. Обозначим
λn
πr
= y,
g(y) = 1− y2
4
+ β
y
2
. Рассмотрим уравнение
g(y) = q
(
1 +
β2
4
)
,
где 0 < q < 1. Корнями этого уравнения являются
y±(β, q) = β ±
√
(β2 + 4)(1− q).
Из уравнения
3y− = y+ (40)
находим
q(β) =
3β2 + 16
4β2 + 16
.
Легко видеть, что
y−
(
β, q(β)
)
=
β
2
, y+
(
β, q(β)
)
= 3
β
2
. (41)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
32 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
Пусть выполнено неравенство (39). Рассмотрим
Am,s− = (2αm − αs)(2αm − αs+2m)− α2
m
как функцию αs, αs+2m. Докажем, что эта функция принимает положительные значения. Оче-
видно, достаточно ограничиться случаем
max(αs, αs+2m) > q(β)
(
1 +
β2
4
)
.
Из свойств задачи
g(y1) + g(y2)→ max, y1 − y2 ≥ β,
где y1 =
λs
πr
, y2 =
λ(s+ 2m)
πr
, следует, что
αs + αs+2m ≤ 2q(β)
(
1 +
β2
4
)
.
Следовательно, Am,s− > 0. Очевидно, что 2αm > αs. Таким образом, условие i) теоремы 1
выполнено.
Лемма доказана.
Лемма 2. Для того чтобы выполнялось условие ii) теоремы 1, достаточно, чтобы
0 ≤ m <
2πr
λ
3β +
√
3β2 + 12
3
, 0 < β2 ≤ 2,
2πr
λ
3β −
√
3β2 + 12
3
< m <
2πr
λ
3β +
√
3β2 + 12
3
, β2 > 2. (42)
Доказательство. Докажем, что при выполнении условия (42) величина
Am,(m−s)+ = (2αm − αm−s)(2αm − αm+s)− α2
s, 1 ≤ s ≤ m,
принимает положительные значения. Действительно, полагая
λ
2πr
= y, имеем αs(y) = 1 −
− sy2 + βsy. Справедливо равенство
Am,(m−s)+ = s2y2
(
(−6m2 + s2)y2 + 6mβy + 2− β2
)
.
Переходя далее от неравенства(
−6m2 + s2
)
y2 + 6mβy + 2− β2 > 0 (43)
к более сильному неравенству
−6m2y2 + 6mβy + 2− β2 > 0 (44)
и решая его, убеждаемся в справедливости леммы.
Из неравенств (43), (44) следует, что при m � 1 условие (42) в сущности является необ-
ходимым условием выполнения требования ii) теоремы 1, а следовательно, и необходимым
условием устойчивости бегущей волны ξ±m. Отметим, что условие (42) было получено в рабо-
те [2] как необходимое условие устойчивости спиновой моды с номером m в соответствии со
следующим принципом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 33
Принцип максимума амплитуды. Бегущая волна задачи (1) неустойчива, если квадрат
ее амплитуды меньше двух третьих максимального значения квадрата амплитуды.
Итак, в силу теорем 1, 2 и согласно неравенствам (39), (42) при β = 0, r → ∞ и фикси-
рованном λ в задаче (1) имеет место феномен буферности, т. е. неограниченно увеличивается
количество сосуществующих экспоненциально орбитально устойчивых периодических по t
решений типа бегущих волн.
В задаче (1) при β > 0 реализуется так называемая высокомодовая буферность [5]. Дейст-
вительно, пусть
nλ
πβ
< r <
(n+ 1)λ
πβ
. Тогда в силу условия i) теоремы 1 и леммы 1 все моды
ξ±m такие, что 3m < n− 1, неустойчивы. Устойчивыми же являются те бегущие волны, номера
которых удовлетворяют неравенствам (39), (42). Ясно, что количество номеров, удовлетворяю-
щих неравенствам (39), (42), неограниченно увеличивается, причем, как это обычно бывает при
высокомодовой буферности (см., например, [5]), их состав постоянно обновляется. Отметим,
что согласно [2] любая мода с фиксированным номером становится неустойчивой на достаточно
больших радиусах, если β2 > 2. Мы показали, что это свойство спиновых мод имеет место,
если β2 > 0.
Как уже отмечалось, при β = 0 синфазная волна ξ0 устойчива при любом r, что, как указано
в [3], противоречит экспериментальным фактам. При β > 0 синфазная волна ξ0 устойчива при
любом r < λ/2πβ. Синфазная мода в соответствии с [2, 3] разрушается первыми спиновыми
модами ξ+1 , ξ
−
1 тогда, когда их амплитуды достигают значения 1. Бифурцирующие из нулевого
состояния спиновые моды ξ∓1 обретают устойчивость, преодолевая давление пары спиновых
мод ξ0, ξ
±
2 . Начиная с r = rmax
1 =
λ
πβ
амплитуда спиновых мод ξ±1 при увеличении r монотонно
убывает, оставаясь при этом больше единицы. Несложный анализ приводит к заключению, что
спиновая мода ξ+1 подавляется парой спиновых мод ξ+2 , ξ
+
4 при некотором значении r из
промежутка (3rmax
1 , 4rmax
1 ). Соответственно спиновая мода ξ−1 подавляется парой спиновых
мод ξ−2 , ξ
−
4 .
В ходе проведенного здесь анализа была выявлена следующая принципиальная особенность
динамики бегущих волн задачи (1).
Принцип 1:2 взаимодействия бегущих волн. Характер устойчивости бегущей волны ξ±n
определяется воздействиями на нее следующих пар бегущих волн: ξ∓s , ξ
±
2n+s, s > 0; ξ±s , ξ
±
2n−s,
0 6 s 6 n.
5. Квазинормальная форма и ее простые структуры. Для дальнейшего анализа автоко-
лебаний задачи (1) воспользуемся, следуя [4, 5], методом квазинормальных форм.
Автоколебательные режимы задачи (1) будем искать в виде ряда
ξ = u0(t, τ, θ) + εu1(t, τ, θ) + . . . , τ = εt, θ =
x
r
, (45)
где uj(t, τ, θ + 2π) = uj(t, τ, θ), uj(t+ 2π, τ, θ) = uj(t, τ, θ), j = 1, 2, . . . , а
u0(t, τ, θ) = v(τ, θ) exp(it) + v(τ, θ) exp(−it). (46)
Подставляя равенства (45), (46) в (1) и приравнивая коэффициенты при ε, для нахождения v
получаем уравнение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
34 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
ü1 + u1 = 2
[
u̇0
(
1− 4
3
u̇20
)
+
λ2
4π2
∆u̇0 +
βλ
2π
√
−∆u̇0 −
∂u20
∂τ∂t
]
, (47)
где точка означает дифференцирование по t, а переменные τ, θ рассматриваются как параметры.
Из условия разрешимости уравнения (47) в классе 2π-периодических по t функций следует,
что v — решение краевой задачи
∂v
∂τ
=
λ2
4π2
∆v +
βλ
2π
√
−∆v + v − 4|v|2v,
v(τ, x+ 2πr) = v(τ, x), v(τ, x+ 2πr) = v(τ, x),
(48)
которая и является искомой квазинормальной формой.
Уравнение (48) при β = 0 является нелинейным уравнением с диффузией для комплексного
параметра порядка [13]. Это уравнение среди потенциальных уравнений, т. е. имеющих при
τ →∞ лишь статистические, стационарные решения, является простейшим, каноническим.
Уравнение (48) будем далее рассматривать в пространстве H1,c×H1,c, где H1,c — соболев-
ское пространство 2πr-периодических комплекснозначных функций.
Пусть v(τ, θ) — некоторое решение задачи (48). Тогда относительно u1 приходим к урав-
нению
ü1 + u1 = i
8
3
(
v3 exp(3it)− v3 exp(−3it)
)
, (49)
решением которого является
u1 = A1 exp(it) +1 exp(−it)− i1
3
(
v3 exp(3it)− v3 exp(−3it)
)
. (50)
ЗдесьA1 — гладкая по переменной τ функция, принимающая значения в пространствеH1,c. Эта
функция определяется на следующем этапе построения разложения (45), т. е. при построении
u2(t, τ, θ). Функция u2(t, τ, θ) удовлетворяет уравнению вида (47), из условия разрешимости
которого в классе периодических по t функций определяются A1, B1. Отметим теперь, что
процесс последовательного построения разложения (45) неограниченно продолжим.
Анализ стационарных решений задачи (48) начнем с ее простейших решений
v = v±n = α1/2
n exp
(
∓ inx
r
)
, n = 0, 1, 2, . . . , αn = αn(ρ) > 0, (51)
где αn(ρ) удовлетворяет равенству (3). Отметим, что решения v±n порождает окружности{
v±n exp iϕ, ϕ ∈ R/2πZ
}
стационарных решений.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть αn = αn(ρ) > 0 для некоторого целого n ≥ 0. Тогда для устойчивости
решений v±n (x, ρ) (48), удовлетворяющих равенству (51), необходимо и достаточно, чтобы:
i) 2αn(ρ)− αs(ρ) > 0,
(
2αn(ρ)− αs(ρ)
)(
2αn(ρ)− α2n+s(ρ)
)
> α2
n(ρ) для всех s ≥ 0;
ii) 2αn(ρ)− αs(ρ) > 0,
(
2αn(ρ)− αs(ρ)
)(
2αn(ρ)− α2n−s(ρ)
)
> α2
n(ρ) для всех 0 ≤ s < n.
Доказательство. Для анализа на устойчивость решения v+n задачи (48) рассмотрим линеа-
ризованную задачу
∂v
∂τ
=
λ2
4π2
∆v +
βλ
2π
√
−∆ + v − 2αnv − αn exp(−2inθ)v, θ =
x
r
,
v(τ, x+ 2πr) = v(τ, x), v(τ, x+ 2πr) = v(τ, x).
(52)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 35
Обратимся теперь к соответствующей ей спектральной задаче
λ2
4π2
∆v +
βλ
2π
√
−∆ + v − 2αnv − αn exp(−2inθ)v = µv,
v(τ, x+ 2πr) = v(τ, x), v(τ, x+ 2πr) = v(τ, x).
(53)
Рассматривая v и v как независимые переменные, приходим к заключению, что для целого
s ≥ 0 ее собственной функцией является
colon(v, v) = colon(exp(i(s+ n)θ)as, exp(i(s− n)θ)bs). (54)
Здесь при s > n вектор colon(as, bs) — собственный вектор матрицы
Bs =
(
αs+n − 2αn −αn
−αn αs−n − 2αn
)
. (55)
Если 0 ≤ s < n, то вектор colon(as, bs) является собственным вектором матрицы
Bs =
(
αs+n − 2αn −αn
−αn αn−s − 2αn
)
. (56)
Пусть теперь s < 0 целое. Тогда, используя равенство α−k = αk, k > 0, приходим к заклю-
чению, что собственной функцией спектральной задачи (53) является
colon(v, v) = colon
(
exp(i(s+ n)θ
)
bs, exp
(
i(s− n)θ)as
)
, (57)
где colon(bs, as) — собственный вектор матрицы B−s.
Отсюда следует, что спектр задачи (53) состоит из собственных значений матриц Bs, s =
= 0, 1, . . . . Ясно также, что все точки спектра задачи (53), кроме простых 0, −2αn, двукратны.
Таким образом, согласно [10], устойчивость решения v+n задачи (48) эквивалентна устойчивости
семейства симметричных матриц Bs, s = 0, 1, . . . . Условия i), ii) теоремы являются условиями
устойчивости симметричных матриц Bs, s = 0, 1, . . . .
Теорема доказана.
Критерий устойчивости стационарного решения v±n задачи (48) допускает следующую ин-
терпретацию.
Принцип 1:2 взаимодействия стационарных решений. Характер устойчивости стацио-
нарного решения v±n задачи (48) определяется воздействиями на нее следующих пар стацио-
нарных решений: v∓s , v
±
2n+s, s > 0; v±s , v
±
2n−s, 0 6 s 6 n.
Заметим, что критерий устойчивости решений типа бегущих волн задачи (1), установленный
в работе [6], такой же, как и доказанный здесь критерий устойчивости стационарных решений
задачи (48). Следовательно, в данной работе установлено соответствие между решениями типа
бегущих волн исходной задачи и стационарными решениями v±n ее квазинормальной формы.
6. Двумерные торы квазинормальной формы. Рассмотрим вопрос о характере бифурка-
ций из окружности стационарных решений задачи (48), порожденной решением v+1 . Указанная
окружность рождается из нуля неустойчивой с индексом неустойчивости 2. В силу теоремы 3
для устойчивости v+1 (x, ρ) необходимо, чтобы выполнялось условие d1,0(ρ) > 0. Здесь
d1,0(ρ) =
(
2α1(ρ)− α0(ρ)
)(
2α1(ρ)− α2(ρ)
)
− α2
1(ρ). (58)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
36 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
Согласно формуле (3) условие d1,0(ρ) > 0 приводит к неравенству
−5µ2 + 6βµ+ 2− β2 > 0, µ =
1
ρ
.
Отсюда следует, что индекс неустойчивости [14] стационарного решения v+1 , т. е. размерность
его неустойчивого многообразия, уменьшается на два порядка тогда, когда параметр ρ, возрас-
тая, проходит через значение ρ1,0, где
ρ1,0 =
5
3β +
√
4β2 + 10
. (59)
Таким образом, стационарное решение v+1 (x, ρ) задачи (48) при ρ1,0 = ρ1,0(β) обретает устой-
чивость.
Перейдем теперь к вопросу о потере устойчивости стационарного решения v+1 задачи (48).
В силу теоремы 3 для устойчивости решения v+1 (x, ρ) необходимо, чтобы выполнялось нера-
венство d1,2(ρ) > 0. Здесь
d1,2 = d1,2(ρ) =
(
2α1(ρ)− α2(ρ)
)(
2α1(ρ)− α4(ρ)
)
− α2
1(ρ). (60)
Используя, как и выше, формулу (3), приходим к следующему заключению. Уравнение d1,2(ρ) =
= 0 имеет простой положительный корень ρ1,2 = ρ1,2(β). Следовательно, стационарное реше-
ние v+1 задачи (48) теряет устойчивость тогда, когда параметр ρ проходит значение ρ1,2, возрас-
тая. При этом максимальная точка спектра геометрической кратности 2 решения v+1 проходит,
убывая, через нуль.
Итак, существуют такие ρ1,0(β) < ρ1,2(β), что: 1) если параметр ρ проходит через ρ1,0,
возрастая, то решение v+1 обретает устойчивость; 2) в точке ρ1,2 решение v+1 устойчивость
теряет.
Остановимся вначале на характере устойчивости решения v+1 . Справедлива следующая
теорема.
Теорема 4. Предположим, что выполняется неравенство
c1,0 =
[
(3α4
1 + 8α3
1(α0 − 2α1) + 8α2
1(α0 − 2α1)
2+
+8α1(α0 − 2α1)
3 + 3(α0 − 2α1)
4)(α2
1 + (α0 − 2α1)
2)−1
]
ρ=ρ1,0
> 0. (61)
Тогда существует δ > 0 такое, что при 0 < ρ − ρ1,0 < δ задача (48) имеет двумерный тор
стационарных решений
T +
1,0(ρ) =
{
exp(iψ)v+1,0(θ + ϕ, ρ), ψ, ϕ ∈ R/2πZ
}
, θ =
x
r
,
где
2v+1,0 = α
1/2
1 exp(−iθ) +
(
−d1,0(ρ)
−(4α1 − α0 − α2)c1,0
)1/2
×
× (α1 + (α0 − 2α1) exp(−2iθ)) +O
(
|ρ− ρ1,0|
)
. (62)
Здесь d1,0(ρ) удовлетворяет равенству (58).
Двумерный тор T +
1,0(ρ) неустойчив.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 37
Доказательство этой теоремы опустим. Отметим, что ее доказательство следует той же
схеме, что и доказательство следующей теоремы.
Теорема 5. Предположим, что выполняется неравенство
c1,2 =
[
(3α4
1 + 8α3
1(α2 − 2α1) + 8α2
1(α2 − 2α1)
2+
+8α1(α2 − 2α1)
3 + 3(α2 − 2α1)
4)(α2
1 + (α2 − 2α1)
2)−1
]
ρ=ρ1,2
< 0. (63)
Тогда существует δ > 0 такое, что при 0 < ρ1,2 − ρ < δ задача (48) имеет двумерный тор
стационарных решений
T +
1,2(ρ) =
{
exp(iψ)v+1,2(θ + ϕ, ρ), ψ, ϕ ∈ R/2πZ
}
, θ =
x
r
,
где
2v+1,2 = α
1/2
1 exp(iθ)+
+
(
−d1,2(ρ)
−(4α1 − α2 − α4)c1,2
)1/2(
α1 exp(−2iθ) + (α2 − 2α1) exp(4iθ)
)
+O(ρ1,2 − ρ). (64)
Здесь d1,2(ρ) удовлетворяет равенству (60).
Двумерный тор T +
1,2(ρ) стационарных решений экспоненциально орбитально устойчив.
Доказательство. Воспользуемся методом центральных многообразий [10, 15, 16], проведя
его в несколько этапов. На первом этапе построим решения задачи (48) в виде
v =
1
2
∑
k=1,−2,4
zk exp(ikθ) + σ3(z, z, θ) + σ5(z, z, θ) + . . . . (65)
Здесь z = (z1, z−2, z4), σs(z, z, θ), s = 3, 5, . . . , — формы степени s относительно z, z такие,
что
Pkσs = 0, k = 1,−2, 4, s = 3, 5, . . . . (66)
При этом z — решение системы
z′k = αkzk + gk,3(z, z) + gk,5(z, z) + . . . , k = 1,−2, 4, (67)
где штрих означает производную по τ. Подставим (65), (67) в уравнение (48). Приравняв затем
формы третьей степени, относительно σ3 получим уравнение∑
s=1,−2,4
(
∂σ3
∂zs
zs +
∂σ3
∂zs
zs
)
αs +
∑
k=1,−2,4
gk,3 exp(ikθ) =
=
λ2
4π2
∆σ3 +
βλ
2π
√
−∆σ3 + σ3 −
∣∣∣∣∣∣
∑
k=1,−2,4
zk exp(ikθ)
∣∣∣∣∣∣
2 ∑
k=1,−2,4
zk exp(ikθ). (68)
Для разрешимости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при
exp(ikθ), k = 1,−2, 4, были равны. Этот критерий приводит к однозначному определению
gk,3, k = 1,−2, 4. Далее, находим σ3 из уравнения (68) в том виде, какова его неоднородность.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
38 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
Подставим теперь найденные gk,3, k = 1,−2, 4, в систему (67) и опустим слагаемые,
порядок малости которых выше третьего. Положим затем z−2 = z2. В результате получим
систему уравнений
z′1 = z1
(
α1 − |z1|2 − 2|z2|2 − 2|z4|2
)
− 2z1z2z4,
z′2 = z2
(
α2 − 2|z1|2 − |z2|2 − 2|z4|2
)
− z21z4, (69)
z′4 = z4
(
α4 − 2|z1|2 − 2|z2|2 − |z4|2
)
− z21z2.
Эта система имеет гладкую по параметру ρ ветвь стационарных решений (α
1/2
1 , 0, 0), кото-
рая в силу S1-эквивариантности системы (69) порождает окружность стационарных решений{
(exp iϕα
1/2
1 , 0, 0), ϕ ∈ R/2πZ
}
. Ее матрица устойчивости является блочно-диагональной:
A1,2 = diag(B1,1, B1,2, B1,2).
Здесь
B1,1 =
(
−α1 −α1
−α1 −α1
)
, B1,2 =
(
α2 − 2α1 −α1
−α1 α4 − 2α1
)
. (70)
Спектр матрицы A1,2 содержит простую нулевую точку. Легко видеть, что одно собственное
значение матрицы A1,2 геометрической кратности два проходит слева направо через нуль, если
параметр ρ проходит значение ρ1,2, возрастая. Для исследования характера ветвления решения
(α
1/2
1 , 0, 0) системы (69) обратимся к соответствующей ей овеществленной системе. Затем в
ней выполним преобразование z1 = α
1/2
1 +x1, zk = xk, k = 2, 4. В результате получим систему
x′1 = −2α1x1 − 3α
1/2
1 x21 − 2α
1/2
1
(
x22 + x24 + x2x4
)
+O
(
|x|3
)
,
x′2 = x2(α2 − 2α1)− α1x4 + x2
(
− 4α
1/2
1 x1 − 2x21 − x22 − 2x24
)
− 2α
1/2
1 x1x4 − x21x4, (71)
x′4 = −α1x2 + x4(α4 − 2α1) + x4
(
− 4α
1/2
1 x1 − 2x21 − 2x22 − x24
)
− 2α
1/2
1 x1x2 − x21x2.
Нулевое решение этой системы при увеличении ρ и его прохождении через значение ρ1,2 теряет
устойчивость. При этом его простое максимальное собственное значение проходит с ненулевой
скоростью через нуль. Несложный анализ приводит к следующему заключению. Существует
инвариантное многообразие системы (71), представимое в виде
α
1/2
1 x1 = −x22 − x24 − x2x4 +O
(
|(x2, x4)|3
)
. (72)
Рассмотрим ограничение системы (71) на этом инвариантном многообразии:
x′2 = x2(α2 − 2α1)− α1x4 + x2
(
3x22 + 2x24 + 4x2x4
)
+ 2
(
x22 + x24 + x2x4
)
x4 + o
(
|(x2, x4)|3
)
,
(73)
x′4 = −α1x2 + x4(α4 − 2α1) + x4
(
2x22 + 3x24 + 4x2x4
)
+ 2
(
x22 + x24 + x2x4
)
x2 + o
(
|(x2, x4)|3
)
.
Построим теперь центральное многообразие системы (73) при ρ = ρ1,2, касательное в нуле к
критическому пространству Span{h(1)}, где
h(1) = colon(α1, α2 − 2α1)ρ=ρ1,2 , (74)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 39
в виде
colon(x2, x4) = sh(1) + s3h(3) + s5h(5) + . . . . (75)
Ограничение системы (73) при ρ = ρ1,2 на ее центральном многообразии приводит к уравнению
s′ = c1s
3 + c3s
5 + . . . . (76)
Здесь ck, k = 1, 3, . . . , — подлежащие определению постоянные. Подставим ряды (75), (76)
в (73) и приравняем затем коэффициенты при одинаковых степенях s. В результате относи-
тельно h(3) получим уравнение
B1,2(ρ1,2)h
(3) = −c1h(1) + b(3), (77)
в котором матрица B1,2 удовлетворяет равенству (70), а b(3) — равенству
b(3) = colon((3α3
1 + 6α2
1(α2 − 2α1) + 4α1(α2 − 2α1)
2 + 2(α2 − 2α1)
3,
2α3
1 + 4α2
1(α2 − 2α1) + 6α1(α2 − 2α1)
2 + 3(α2 − 2α1)
3)ρ=ρ1,2 . (78)
Необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (77) является ортогональ-
ность его неоднородности вектору h(1). Отсюда следует равенство c1 = c1,2, где постоянная
c1,2 определена формулой (63). При этом уравнение (77) имеет единственное ортогональное
вектору h(1) решение h(3).
Рассмотрим теперь уравнение
B1,2(ρ1,2)h
(5) = c3h
(1) − b(5). (79)
Условие его разрешимости приводит к однозначному определению постоянной c3. Затем нахо-
дим вектор h(5), ортогональный вектору h(1).
Как известно [10], процесс последовательного построения коэффициентов разложений (75),
(76) неограниченно продолжим. Полученные при этом ряды являются асимптотически сходя-
щимися.
Обратимся теперь к однопараметрическому семейству уравнений (73). В силу принципа
сведения [10, 15, 16] динамика указанного семейства в окрестности точки бифуркации опреде-
ляется семейством уравнений на прямой
s′ = −d1,2(ρ)(4α1 − α2 − α4)
−1(ρ1,2)s+ c1,2s
3. (80)
В этом семействе уравнений реализуется суперкритическая бифуркация типа вилки и от его
нулевого решения при ρ = ρ1,2 ответвляются два стационарных решения
s±(ρ) = ±
(
−d1,2(ρ)
−(4α1 − α2 − α4)(ρ)c1
)1/2
. (81)
Следовательно, в однопараметрическом семействе уравнений (73) при ρ = ρ1,2 от нулевого
решения ответвляются два устойчивых стационарных решения
s± = ±
(
−d1,2
−c1,2
)1/2
h(1) +O
(
(ρ− ρ1,2)1/2
)
. (82)
Для системы (69) это означает, что от окружности стационарных решений
{
exp(iψ)(α
1/2
1 , 0,
0), ψ ∈ R/2πZ
}
при ρ = ρ1,2 ответвляется двумерный тор стационарных решений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
40 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО{
exp(iψ)(exp(iϕ)(α
1/2
1 +O
(
(ρ− ρ1,2)
)
, exp(−2iϕ)
(
−d1,2
−c
)1/2
α1 +O((ρ− ρ3/21,2
)
,
exp(4iϕ)
(
−d1,2
−c
)1/2
(α2 − α1) +O
(
(ρ− ρ1,2)3/2
)
, ψ, ϕ ∈ R/2πZ
}
. (83)
Перейдем теперь к исследованию устойчивости этого тора стационарных решений систе-
мы (69). С этой целью построим двупараметрическое семейство решений системы (69) при
критическом значении параметра ρ = ρ1,2 в виде
colon(z1, z1, z2, z4, z2, z4) = α
1/2
1 (ρ1,2)h(0) + sh(1) + sh(2) + g2
(
(s, s)
)
+ g3
(
(s, s)
)
+ . . . . (84)
Здесь h(0) = colon(1, 1, 0, 0, 0, 0), h(1) = colon(0, 0, α1(ρ1,2), (α2 − 2α1)(ρ1,2), 0, 0), h(2) =
= colon(0, 0, 0, 0, α1(ρ1,2), (α2 − 2α1)(ρ1,2)), gk(s, s), k = 2, 3, . . . , — формы степени k относи-
тельно (s, s), а переменная s удовлетворяет уравнению
s′ = f2(s, s) + f3(s, s) + . . . . (85)
В этом уравнении fk(s, s) k = 2, 3, . . . , — формы степени k. Переменная s удовлетворяет,
разумеется, комплексно-сопряженному уравнению. Подставим ряды (84), (85) в (69) и прирав-
няем затем коэффициенты при одинаковых степенях s. В результате относительно g2 получим
уравнение
A1,2g2 =
= −h(1)f2 − h(2)f2 + ss
(
α
1/2
1 (α2
1 + (α2 − 2α1)
2 + α1(α2 − 2α1))
)
(ρ1,2)
(
colon(1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)
)
,
(86)
где hf2 = h(1)f2,1 + h(1)f2,2, f2 = (f2,1, f2,2). Уравнению (86) при f2 = 0 удовлетворяет квад-
ратичная форма
g2 = −s1s2α−1/21 (α2
1 + (α2 − 2α1)
2 + α1(α2 − 2α1))
(
colon(1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)
)
. (87)
Здесь, разумеется, αk = α1(ρ1,2), k = 1, 2. Рассмотрим теперь уравнение относительно g3:
A1,2g3 = −h(1)f3 − h(2)f3 +G3. (88)
Условием разрешимости этого уравнения является ортогональность его неоднородности векто-
ру h(1). Отсюда следует равенство
f3(s, s) = colon
(
F3(s, s), F3(s, s)
)
, (89)
где
F3(s) = c1,2s
3s. (90)
Возвращаясь теперь к однопараметрическому семейству уравнений (69), приходим к заклю-
чению, что ее нормальной формой в окрестности точки бифуркации (ρ1,2, α
1/2
1 , 0, 0) является
система
s′ = −d1,2(ρ)(4α1 − α2 − α4)
−1(ρ1,2)s+ c1,2s
2s. (91)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 41
Пусть параметр ρ проходит через значение ρ1,2, возрастая. Тогда, очевидно, одно собственное
значение геометрической кратности для нулевого решения системы (91) переходит с нену-
левой скоростью с отрицательной на положительную ось. При этом от нулевого решения
системы (91) ответвляется экспоненциально орбитально устойчивая окружность стационарных
точек |s|2 =
−d1,2
−(4α1 − α2 − α4)(ρ1,2)c1,2
. Учтем теперь равенство (73). В результате убеждаемся
в справедливости теоремы.
Остановимся на условии теоремы 4 о величине c1,0 = c1,0(β). Проведенные численные
расчеты дают основания для следующего заключения: c1,0(β) > 0 — монотонно возрастающая
функция β. Критическое же значение α1
(
(ρ1,0(β)
)
— монотонно убывающая функция β, которая
при β →∞ стремится к
1
2
.Приведем несколько примеров: 1) β = 1, ρ1,0 = 0,741658, α1(ρ1,0) =
= 0,53033, c1,0 = 0,604694; 2) β = 3, ρ1,0 = 0,31681, α1(ρ1,0) = 0,50612, c1,0 = 0, 719662.
Итак, включение окружности стационарных решений v+1 в класс устойчивых режимов
сопровождается ветвлением из нее двумерного неустойчивого тора стационарных решений.
Перейдем теперь к вопросу о реализуемости условия теоремы 5 о знаке c12. Согласно
численным расчетам c1,2 = c1,2(β) < 0, причем−c12(β) — монотонно возрастающая функция β.
Функция ρ12 = ρ12(β) монотонно убывает. Критическое же значение α1
(
(ρ12)(β)
)
— монотонно
возрастающая функция β. Приведем несколько результатов численных расчетов: 1) β = 0, 5,
ρ1,2 = 8, 98653, c1,2 = −1, 06825; 2) β = 1, ρ1,2 = 4, 4753, c1,2 = −1, 27713; 3) β = 3,
ρ1,2 = 1, 46139, c1,2 = −3, 94639.
Итак, в силу теоремы 4 от теряющей устойчивость окружности v+1 стационарных решений
ответвляется двумерный устойчивый тор стационарных решений.
Заметим, что интервал устойчивости стационарного решения v+1 (β) с ростом β сужается.
7. Автомодельные периодические структуры. Проведенный в двух предыдущих пунктах
анализ позволяет ответить на вопрос о характере бифуркаций из бегущей волны ξ̃+1 зада-
чи (1). В силу теоремы 1 решение ξ+1 обретает устойчивость при увеличении параметра ρ и
его прохождении через значение ρ1,0. На промежутке (ρ1,0, ρ1,2) периодическое решение ξ+1
экспоненциально орбитально устойчиво. Решение ξ+1 теряет устойчивость в точке ρ1,2.
Для ответа на вопрос о характере бифуркации ξ+1 при увеличении параметра ρ и его прохож-
дении через значение ρ1,0 рассмотрим разложение (45), в котором положим v(τ, θ) = v+1,0(θ),
где v+1,0(θ) удовлетворяет (64). В результате заключаем, что функция
ξ+1,0(t, θ) = α
1/2
1 cos(t− θ) +
(
−d1,0(ρ)
−(4α1 − α0 − α2)c1,0
)1/2
(α1 + cos(t− 2θ)
удовлетворяет исходной задаче с точностью порядка ε, ρ− ρ1,0 по невязке.
Можно, разумеется, построить приближенное, бифурцирующее из ξ+1 решение с точностью
порядка ε2 по невязке. Последнее позволяет использовать для доказательства существования
периодического решения развитую в [12] методику (см. также [5]) и доказать следующую
теорему.
Теорема 6. Предположим, что выполняется неравенство c1,0 > 0, где c1,0 удовлетво-
ряет равенству (63). Тогда существуют δ > 0, ε0 > 0 такие, что для всех 0 < ε < ε0,
0 < ρ− ρ1,0 < δ задача (1) имеет двумерный тор периодических решений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
42 Е. П. БЕЛАН, А. М. САМОЙЛЕНКО
T+
1,0(ρ) =
{
ξ+1,0(ω1,0(t+ s), (θ + ϕ), ρ), s, ϕ ∈ R/2πZ
}
, θ =
x
r
,
где
ξ+1,0(t, θ) = α
1/2
1 cos(t− θ) +
(
−d1,0(ρ)
−(4α1 − α0 − α2)c1,0
)1/2
(α1 + cos(t− 2θ) +O
(
ε, |ρ− ρ1,0|
)
,
ω1,0 = 1 +O
(
ε2, |ρ− ρ1,0|
)
.
Здесь d1,0(ρ) удовлетворяет равенству (58).
Тор T+
1,0(ρ) неустойчив.
Рассуждая, как и выше, приходим к следующей теореме.
Теорема 7. Предположим, что выполняется неравенство c1,2 < 0, где c1,0 удовлетво-
ряет равенству (63.) Тогда существуют δ > 0, ε0 > 0 такие, что для всех 0 < ε < ε0,
0 < ρ− ρ1,0 < δ задача (1) имеет двумерный тор периодических решений
T+
1,2(ρ) =
{
ξ+1,2(ω1,2(t+ s), (θ + ϕ), ρ), s, ϕ ∈ R/2πZ
}
, θ =
x
r
,
где
ξ+1,2(t, θ) = α
1/2
1 cos(t− θ) +
(
−d1,2(ρ)
−(4α1 − α0 − α2)c1,2
)1/2
(α1 cos(t− 2θ)+
+(α2 − 2α1) cos(t+ 4θ) +O
(
ε, |ρ− ρ1,0|
)
, ω1,2 = 1 +O
(
ε2, |ρ− ρ1,0|
)
.
Здесь d1,2(ρ) удовлетворяет равенству (60).
Тор T+
1,2(ρ) экспоненциально орбитально устойчив.
Заключение. Высокомодовая буферность уравнения была установлена в работе авторов [6].
Выявлена и причина зтого феномена — особый тип взаимодействия бегущих волн, сформули-
рованный в форме принципа 1:2. Напомним, что вопрос о взаимодействии бегущих волн в
исходной задаче был поставлен в работе [2] для решения задачи об устойчивости бегущей
волны с волновым числом n. Ответом на указанный вопрос можно считать установленное
в [2] необходимое условие устойчивости n-бегущей волны. Отметим теперь, что принцип 1:2
взаимодействия бегущих волн для случая синфазной волны соответствует утверждению из об-
зорной работы [3] о том, что синфазная волна подавляется первыми, вторыми и т. д. спиновыми
волнами. Таким образом, есть основания рассматривать этот принцип в качестве распростра-
нения на общий случай приведенного утверждения из работы [3].
Полученные в данной работе результаты исследования на устойчивость пространственно
неоднородных решений уравнения (48), результаты по исследованию на устойчивость бегущих
волн в [17 – 19] дают основания для следующего заключения. Принцип 1:2 взаимодействия
бегущих волн отражает универсальное свойство бегущих волн параболических уравнений с
малой диффузией.
Согласно теореме 7 от теряющей устойчивость первой бегущей волны ответвляется устой-
чивый 2-тор автомодельных периодических решений. Есть основания предполагать, что и от
каждой теряющей устойчивость бегущей волны ответвляется устойчивый 2-тор автомодель-
ных периодических решений. В отличие от бегущих волн, сохраняющих квазигармоническую
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 43
форму при увеличении параметра ρ, автомодельные периодические решения представляют зна-
чительно более сложные по форме структуры. Вопрос о судьбе этих устойчивых при рождении
структур при отходе параметра ρ от соответствующего бифуркационного значения представляет
значительный интерес.
Задача о характере потери устойчивости бегущих волн в системах параболических уравне-
ний с малыми коэффициентами диффузии рассматривалась в монографии [5] (см. гл. 4, 20.4).
В ней построена квазинормальная форма исходной задачи в окрестности бегущей волны. В
соответствии с теоремой 20.3 [5] грубому состоянию равновесия (циклу) ее квазинормальной
формы соответствует двумерный (трехмерный) инвариантный тор исходной задачи. В пред-
ложенном в данной работе подходе по анализу бифуркаций из бегущих волн использован
универсальный характер взаимодействия бегущих волн.
1. Алдушин А. П., Зельдович Я. Б., Маломед Б. А. К феноменологической теории спинового горения // Докл.
АН СССР. – 1980. – 251, № 5. – C. 1102 – 1106.
2. Алдушин А. П., Маломед Б. А. Феноменологическое описание нестационарных неоднородных волн горе-
ния // Физика горения и взрыва. – 1981. – 17, № 1. – C. 3 – 12.
3. Зельдович Я. Б., Маломед Б. А. Сложные волновые режимы в распределенных динамических системах // Изв.
вузов. Радиофизика. – 1982. – 15, № 6. – C. 591 – 618.
4. Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в теории горения // Докл. АН. – 2004. – 396, № 2. – C. 170 – 173.
5. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах
с диффузией. – М.: Физматлит, 2005. – 430 с.
6. Самойленко А. М., Белан Е. П. Динамика бегущих волн феноменологического уравнения спинового горе-
ния // Докл. АН. – 2006. – 406, № 6. – C. 738 – 741.
7. Bayliss A., Matkowsky B. J., Aldushin A. P. Dynamics of hot spots in solid fuel combustion // Physica D. – 2002. –
166. – P. 114 – 130.
8. Ивлева Т П., Мержанов А. Г. Представление о режимах распространения твердого пламени // Докл. АН. –
2003. – 378, № 1. – C. 62 – 64.
9. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах.
– М.: Наука, 2007. – 484 с.
10. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – М.: Мир, 1985. – 376 с.
11. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Наука, 1974. – 504 с.
12. Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных парабо-
лических уравнений с малой диффузией // Мат. сб. – 1986. – 130(172), № 4. – C. 488 – 499.
13. Гапонов-Грехов А. В. , Ломов А. С. , Осипов Г. В., Рабинович М. И. Рождение и динамика двумерных структур
в неравновесных диссипативных системах // Нелинейные волны. Динамика и эволюция. – 1989. – C. 61 – 73.
14. Бабин А. В., Вишик M. И. Аттpакторы эволюционных уравнений. – М.: Наука, 1989. – 296 c.
15. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1964. – 28, № 4.
– C. 1297 – 1324.
16. Марсден Дж, Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. – М.: Мир, 1980. – 368 с.
17. Белан Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространствен-
ной переменной // Журн. мат. физики, анализа, геометрии. – 2005. – 1, № 1. – C. 3 – 34.
18. Шиян О. В. О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля с малой диффузией // Доп.
НАН України. – 2007. – № 7. – C. 27 – 32.
19. Шиян О. В. О динамике бегущих волн в системе уравнений вандерполевского типа с малой диффузией // Труды
Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2008. – 16. – C. 208 – 222.
Получено 21.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2402 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:42Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/da/cd128547673ab7765cdaeeb7421462da.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24022020-03-18T19:14:46Z Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion Динамика периодических режимов феноменологического уравнения спинового горения Belan, E. P. Samoilenko, A. M. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. We consider a scalar parabolic equation in the circle of radius r. This problem is a gasless combustion phenomenological model in the surface of a cylinder of $r$ radius. We consider the problems of the existence, asymptotic form and stability of traveling waves and the nature of gaining, losing their stability. Розглядається скалярне параболiчне рiвняння на колi радiуса r. Ця задача є феноменологiчною моделлю безгазового горiння на цилiндричнiй поверхнi радiуса $r$. Вивчаються питання iснування, асимптотичної форми та стiйкостi бiжучих хвиль, а також характер набуття та втрати їх стiйкостi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2402 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 1 (2013); 21-43 Український математичний журнал; Том 65 № 1 (2013); 21-43 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2402/1571 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2402/1572 Copyright (c) 2013 Belan E. P.; Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Belan, E. P. Samoilenko, A. M. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. Белан, Е. П. Самойленко, А. М. Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion |
| title | Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion |
| title_alt | Динамика периодических режимов феноменологического уравнения спинового горения |
| title_full | Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion |
| title_fullStr | Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion |
| title_full_unstemmed | Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion |
| title_short | Dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion |
| title_sort | dynamics of periodic modes for the phenomenological equation of spin combustion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2402 |
| work_keys_str_mv | AT belanep dynamicsofperiodicmodesforthephenomenologicalequationofspincombustion AT samoilenkoam dynamicsofperiodicmodesforthephenomenologicalequationofspincombustion AT belanep dynamicsofperiodicmodesforthephenomenologicalequationofspincombustion AT samojlenkoam dynamicsofperiodicmodesforthephenomenologicalequationofspincombustion AT belanep dynamicsofperiodicmodesforthephenomenologicalequationofspincombustion AT samojlenkoam dynamicsofperiodicmodesforthephenomenologicalequationofspincombustion AT belanep dinamikaperiodičeskihrežimovfenomenologičeskogouravneniâspinovogogoreniâ AT samoilenkoam dinamikaperiodičeskihrežimovfenomenologičeskogouravneniâspinovogogoreniâ AT belanep dinamikaperiodičeskihrežimovfenomenologičeskogouravneniâspinovogogoreniâ AT samojlenkoam dinamikaperiodičeskihrežimovfenomenologičeskogouravneniâspinovogogoreniâ AT belanep dinamikaperiodičeskihrežimovfenomenologičeskogouravneniâspinovogogoreniâ AT samojlenkoam dinamikaperiodičeskihrežimovfenomenologičeskogouravneniâspinovogogoreniâ |