Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$
We consider a nonlinear system on the direct product $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$. For this system, under the conditions of indefinite coercivity and indefinite monotonicity, we establish the existence of a bounded Lipschitzian invariant section over $\mathbb{R}^m$.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2407 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508289784086528 |
|---|---|
| author | Lagoda, V. A. Parasyuk, I. O. Лагода, В. А. Парасюк, І. О. |
| author_facet | Lagoda, V. A. Parasyuk, I. O. Лагода, В. А. Парасюк, І. О. |
| author_sort | Lagoda, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:14:46Z |
| description | We consider a nonlinear system on the direct product $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$. For this system, under the conditions of indefinite coercivity
and indefinite monotonicity, we establish the existence of a bounded Lipschitzian invariant section over $\mathbb{R}^m$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. А. Лагода (Київ. нац. ун-т технологiй та дизайну),
I. О. Парасюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm
IНДЕФIНIТНО МОНОТОННОЇ СИСТЕМИ В Rm × Rn
We consider a nonlinear system on the direct product Rm×Rn. For this system, under the conditions of indefinite coercivity
and indefinite monotonicity, we establish the existence of a bounded Lipschitzian invariant section over Rm.
Рассматривается нелинейная система в прямом произведении Rm × Rn. При выполнении условий индефинитной
коэрцитивности и индефинитной монотонности установлено существование у такой системы ограниченного лип-
шицевого инвариантного сечения над Rm.
1. Вступ. Розглянемо систему
ϕ̇ = a(ϕ, x), ẋ = b(ϕ, x), (1)
фазовим простором якої є прямий добуток M× Rn, де M — m-вимiрний диференцiйовний
многовид. Припускатимемо, що a(·, ·) : M× Rn 7→ TM та b(·, ·) : M× Rn 7→ Rn — локально
лiпшицевi вiдображення, причому a(ϕ, x) ∈ TϕM для всiх (ϕ, x) ∈M×Rn (TϕM — дотичний
простiр доM у точцi ϕ).
Трактуватимемо фазовий простiр системи (1) як тривiальне розшарування над M з ша-
ром Rn.
Означення 1. Обмеженим iнварiантним перерiзом системи (1) назвемо графiк неперерв-
ного обмеженого вiдображення u(·) : M 7→Rn, iнварiантний вiдносно (локального) потоку
системи (1).
Природно виникає питання: за яких умов система має обмежений iнварiантний перерiз?
Випадок, коли M є компактним многовидом, зокрема m-вимiрним тором Tm, вивчався ба-
гатьма авторами, причому переважно в рамках теорiї збурень, коли вiдображення b(·, ·) допускає
зображення
b(ϕ, x) = P (ϕ)x+ c(ϕ, x), (2)
де P (·) : M 7→ Hom(Rn) i c(·, ·) : M×Rn 7→ Rn — неперервнi (достатньо гладкi) вiдображення,
норма c(ϕ, 0) є достатньо малою, а iнварiантний перерiз шукається в околi тривiального розв’яз-
ку x = 0. Фундаментальнi результати в цьому випадку були одержанi А. М. Самойленком, який
розробив математичний апарат, що одержав назву „метод функцiй Грiна – Самойленка” [1 – 3]
(детальну бiблiографiю див. у [2]).
Менш дослiдженим є випадок, коли M — некомпактний многовид [4 – 7]. Зокрема, для
випадкуM = Rm у [7] показано, що якщо система
ϕ̇ = a(ϕ, 0), ẋ = A(ϕ)x
має функцiю Грiна – Самойленка, то оператор, який кожному обмеженому вiдображенню
f(ϕ) ∈ C (Rm 7→Rn) ставить у вiдповiднiсть обмежений iнварiантний перерiз системи
c© В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1 103
104 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК
ϕ̇ = a(ϕ, 0), ẋ = A(ϕ)x+ f(ϕ),
є c-неперервним (тобто неперервним у топологiї рiвномiрної збiжностi на кожнiй компактнiй
пiдмножинi простору Rm) [8, 9]. Цей факт дає можливiсть застосовувати метод функцiй Грiна –
Самойленка у поєднаннi з принципами нерухомої точки для встановлення умов iснування
обмеженого iнварiантного перерiзу системи (1) з правою частиною b(·, ·) вигляду (2) i функцiєю
a(ϕ, x) ≡ a(ϕ, 0).
Мета цiєї статтi полягає в тому, щоб для випадкуM = Rm знайти нелокальнi достатнi умови
iснування обмеженого iнварiантного перерiзу системи (1) на основi пiдходу, запропонованого
у [12]. А саме, будемо розглядати клас локально лiпшицевих систем вигляду (1), якi мають певнi
властивостi iндефiнiтної коерцитивностi та iндефiнiтної монотонностi. Основний результат
про iснування обмеженого iнварiантного перерiзу для таких систем буде одержано шляхом
поєднання деякої модифiкацiї топологiчного принципу Важевського з теоремою Шаудера –
Тихонова про нерухому точку (див., наприклад, [11, c. 227]). Формулювання цього результату
повнiстю збiгається з основною теоремою роботи [12]. Однак його доведення має iстотну
особливiсть. А саме, звiвши задачу iснування обмеженого iнварiантного перерiзу до задачi про
нерухому точку деякого нелiнiйного оператора χ, який дiє у просторi лiпшицевих вiдображень з
Rm у Rn, нам, на вiдмiну вiд випадку, колиM = Tm, доведеться додатково пересвiдчитися, що
цей оператор має властивiсть c-неперервностi в сенсi [7]. Зазначимо, що конструкцiя оператора
χ не використовує апарат функцiй Грiна – Самойленка.
2. Теорема про iснування лiпшицевого iнварiантного перерiзу. Далi припускаємо, що
вiдображення a(·, ·) : Rm×Rn 7→ Rm та b(·, ·) : Rm×Rn 7→ Rn для довiльного R > 0 задоволь-
няють умову Лiпшиця на множинi Rm × Bn
R(0), де Bn
R(0) — куля в Rn радiуса R з центром у
початку координат, зi сталою Лiпшиця, яка, можливо, залежить вiд R. Крiм того, припускаємо,
що система (1) допускає сiм’ю симетричних операторiв S(·) ∈ C1
(
Rm 7→Aut(Rn)
)
таку, що
sup
ϕ∈Rm
‖S(ϕ)‖ <∞, inf
ϕ∈Rm
|detS(ϕ)| > 0, (3)
i виконано умови:
(A) для кожного ϕ ∈ Rm iснують проектори P+(ϕ), P−(ϕ) на iнварiантнi пiдпростори
L+(ϕ), L−(ϕ) оператора S(ϕ) такi, що його звуження на L+(ϕ) та на L−(ϕ) є вiдповiдно
додатно та вiд’ємно визначеними операторами;
(B) iснують функцiї β(·) ∈ C (Rm 7→ [1,∞)) , q(·) ∈ C((0,∞) 7→ R), p(·) ∈ C(R+ 7→ R+),
Q(·) ∈ C(R+ 7→ R+) такi, що p(·) є неспадною i для всiх ϕ ∈ Rm, x ∈ Rn \ {0} та u ∈ Rn
справджуються нерiвностi
1
2
∂ 〈S(ϕ)x, x〉
∂ϕ
a(ϕ, u) + 〈S(ϕ)b(ϕ, x), x〉 ≥ β(ϕ)
[
q
(
‖x‖2
)
− p
(
‖u‖2
)]
‖x‖2,
∣∣∣〈b(ϕ, x), x〉
∣∣∣ ≤ β(ϕ)Q
(
‖x‖2
)
;
(C) iснують числа z0 > 0 i z∗ > z0 такi, що q(z) > p(z∗), Q(z) > 0 для всiх z ∈ (z0, z
∗] i
z∗∫
z0
[
q(z)− p(z∗)
]
z
Q(z)
dz ≥ z0
2
(λ+ − λ−) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm . . . 105
де λ+ := supϕ∈Rm λ+(ϕ), λ− := infϕ∈Rm λ−(ϕ), а λ+(ϕ) та λ−(ϕ) — вiдповiдно найбiльше та
найменше власнi значення оператора S(ϕ);
(D) iснує стала γ > 0 така, що
1
2
∂ 〈S(ϕ)(x− y), x− y〉
∂ϕ
a(ϕ, u) + 〈S(ϕ) [b(ϕ, x)− b(ϕ, y)] , x− y〉 ≥ γ ‖x− y‖2
для всiх ϕ ∈ Rm i всiх u, x, y ∈ Rn таких, що
‖u‖2 , ‖x‖2 , ‖y‖2 ≤ z∗, λ−z0 ≤ 〈S(ϕ)x, x〉 , 〈S(ϕ)y, y〉 ≤ λ+z0.
Без обмеження загальностi мiркувань далi припускаємо, що max
{
λ+, |λ−|
}
= 1, а вiдтак
sup
ϕ∈Rm
‖S(ϕ)‖ = 1. (4)
Як i у [12], умову (B) назвемо умовою iндефiнiтної S-коерцитивностi системи (1) в Rm ×
× Rn, а умову (D) — умовою iндефiнiтної S-монотонностi цiєї системи на множинi Rm ×
×
{
x : ‖x‖2 ≤ z∗
}
. Умова (C) виражає певнi взаємозалежностi швидкостей зростання функцiй
q(·), Q(·), p(·) при z →∞. Приклади функцiй, якi задовольняють цю умову, наведено у [12].
З огляду на припущення щодо лiпшицевостi правих частин системи (1) визначимо такi
чотири сталi:
la := sup
{
‖a(ϕ, x)− a(ψ, x)‖ ‖ϕ− ψ‖−1 : ϕ, ψ ∈ Rm, ϕ 6= ψ, ‖x‖2 ≤ z∗
}
,
La := sup
{
‖a(ϕ, x)− a(ϕ, y)‖ ‖x− y‖−1 : ϕ ∈ Rm, x 6= y, ‖x‖2 , ‖y‖2 ≤ z∗
}
,
lb := sup
{
‖b(ϕ, x)− b(ψ, x)‖ ‖ϕ− ψ‖−1 : ϕ, ψ ∈ Rm, ϕ 6= ψ, ‖x‖2 ≤ z∗
}
,
Lb := sup
{
‖b(ϕ, x)− b(ϕ, y)‖ ‖x− y‖−1 : ϕ ∈ Rm, x 6= y, ‖x‖2 , ‖y‖2 ≤ z∗
}
.
Основним результатом цiєї статтi є така теорема.
Теорема. Нехай виконуються умови (A) – (D) i нерiвнiсть
max
l∈[l−,l+]
A(l)∫
1
√
s− 1
B(l)
√
s+ 1
ds ≥ λ+ − λ−
2
, (5)
де
A(l) :=
[γ − λ+(la + lLa)]
2 l2
l2b
, B(l) :=
Lb + la + lLa
γ − λ+(la + lLa)
,
а l− та l+ — вiдповiдно менший та бiльший коренi рiвняння A(l) = 1. Тодi система (1) має
обмежений iнварiантний перерiз, який є графiком лiпшицевого вiдображення u(·) : Rm 7→ Rn
зi сталою Лiпшиця, що реалiзує максимум лiвої частини нерiвностi (5), а квадрат норми цього
вiдображення не перевищує z∗.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
106 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК
Зауваження 1. Як показано у [12], для виконання умови (5) достатньо припустити, що
(γ − λ+la)
[
(γ − λ+la)2 − 4λ+Lalb
]2
8λ+L2
al
2
b
[
(γ − λ+la)(1 + λ+) + 2λ+(la + Lb)
] ≥ λ+ − λ−. (6)
Зауваження 2. Оскiльки квадрат норми вiдображення u(·) з теореми не перевищує z∗, то
без обмеження загальностi подальших мiркувань, як i у [12], будемо вважати, що при ‖x‖2 > z∗
функцiю b(·, ·) перевизначено за формулою
b(ϕ, x) =
‖x‖√
z∗
b
(
ϕ,
√
z∗x
‖x‖2
)
i вiдповiдно при z > z∗ перевизначено функцiї q(·) та Q(·) рiвностями
q(z) = q(z∗), Q(z) = zQ(z∗)/z∗.
Таким чином ми забезпечуємо виконання нерiвностi q(z) > p(z∗) в умовi (С) для всiх z > z0,
а також розбiжнiсть iнтеграла
∞∫
z0
[
q(z)− p(z∗)
]
z
Q(z)
dz =∞,
що спрощує подальшi мiркування.
Доведення теореми, як i у [12], базується на такiй природнiй iдеї. Для додатного числа
l позначимо через Ul простiр вiдображень u(·) : Rm 7→ Rn таких, що supϕ∈Rm ‖u(ϕ)‖2 ≤ z∗
i ‖u(ϕ) − u(ψ)‖ ≤ l‖ϕ − ψ‖ для всiх ϕ, ψ ∈ Rm. Тепер, зафiксувавши u(·) ∈ Ul, утворимо
систему
ϕ̇ = a
(
ϕ, u(ϕ)
)
, ẋ = b(ϕ, x) (7)
i вияснимо, чи має вона обмежений iнварiантний перерiз. Оскiльки a
(
·, u(·)
)
: Rm 7→ Rn —
глобально лiпшицеве вiдображення, то перша пiдсистема в (7) визначає потiк
(
Rm, {φt(·)}t∈R
)(
задля спрощення позначень ми не вказуємо залежнiсть цього потоку вiд u(·)
)
. Якщо ξt(ϕ, x)
— непродовжуваний розв’язок системи
ẋ = b(φt(ϕ), x) (8)
з iнтервалом визначення Jϕ,x i початковим значенням ξ0(ϕ, x) = x, то пара
(
φt(ϕ), ξt(ϕ, x)
)
,
t ∈ Jϕ,x, визначає локальний потiк системи (7). Очевидно, що графiк вiдображення û(·) : Rm 7→
7→ Rn буде iнварiантним перерiзом системи (7) тодi й лише тодi, коли виконуватиметься рiвнiсть
û ◦ φt(ϕ) = ξt
(
ϕ, û(ϕ)
)
∀(t, ϕ) ∈ R× Rm,
тобто û ◦ φt(ϕ) буде розв’язком системи (8), який у момент t = 0 набуває значення û(ϕ) при
кожному ϕ ∈ Rm. Для доведення iснування вiдображення û(·), як i у [12], скористаємося тим,
що дослiджуванiй системi можна поставити у вiдповiднiсть пару допомiжних функцiй вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm . . . 107
W (ϕ, x) := 〈S(ϕ)x, x〉, V (x) :=
‖x‖2∫
z0
[
q(s)− p(z∗)
]
s
Q(s)
ds,
перша з яких є напрямною функцiєю, а друга — оцiнювальною в сенсi [12]. А саме, з огляду
на умову (B) для кожного u(·) ∈ Ul похiднi Ẇ (·, ·) та V̇ (·, ·) функцiй W (·, ·) та V (·) внаслiдок
системи (7) при ‖x‖2 > z0 задовольняють нерiвностi
Ẇ (ϕ, x) ≥ 2β(ϕ)
[
q(‖x‖2)− p(z∗)
]
‖x‖2 , (9)
∣∣∣V̇ (ϕ, x)
∣∣∣ ≤ 2
[
[q(z)− p(z∗)]z
Q(z)
]
z=‖x‖2
|〈x, b(ϕ, x)〉| ≤
≤ 2β(ϕ)
[(
q
(
‖x‖2
)
− p(z∗)
)]
‖x‖2 ≤ Ẇ (ϕ, x), (10)
крiм того, поверхнi додатного рiвня функцiї V (·) є (n − 1)-вимiрними сферами. Отже, за тер-
мiнологiєю [12] зазначенi допомiжнi функцiї утворюють V -W -пару для системи (7).
Далi iнварiантний перерiз системи (1) можна шукати як нерухому точку оператора χ, який
дiє за правилом
Ul 3 u(ϕ) 7→ χ[u](ϕ) := û(ϕ). (11)
Як буде показано, iснування такої точки в Ul, де число l задовольняє нерiвнiсть (5), випливатиме
з принципу Шаудера – Тихонова.
3. Iснування обмеженого iнварiантного перерiзу нелiнiйного розширення динамiчної
системи на Rm. Iснування обмеженого iнварiантного перерiзу системи (7) буде спиратися на
модифiкований принцип Важевського. Пояснимо, як працює цей принцип.
Нехай D — область у просторi
{
(t, x) ∈ R × Rn
}
така, що для кожного t ≥ 0 множина{
x ∈ Rn : (t, x) ∈ D
}
є непорожньою. Розглянемо систему
ẋ = f(t, x), (12)
права частина якої визначена i неперервна в деякому околi областi D. Позначимо через E ⊂
⊂ Ḋ := clD \D множину точок строгого виходу iнтегральних кривих системи (12) з областi D
(clD — замикання множини D).
Означення 2. Скажемо, що пара (D, f) має властивiсть W, якщо iснує компакт K ⊂
⊂ D ∪ E такий, що K ∩ E 6= ∅ i множину K не можна iзотопiєю по множинi clD продефор-
мувати у пiдмножину множини E , залишаючи при цьому нерухомою множину K ∩ E .
Нехай u(·) ∈ Ul. Як i у п. 2, φt(ϕ), t ∈ R, позначає розв’язок системи ϕ̇ = a
(
ϕ, u(ϕ)
)
такий,
що φ0(ϕ) = ϕ.
Твердження 1. Припустимо, що iснують числа s− < 0 , s+ > 0 такi, що на множинi{
(ϕ, x) ∈ Rm × Rn :
〈
S(ϕ)x, x
〉
= s−
}
∪
{
(ϕ, x) ∈ Rm × Rn :
〈
S(ϕ)x, x
〉
= s+
}
справджується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
108 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК
∂ 〈S(ϕ)x, x〉
∂ϕ
a
(
ϕ, u(ϕ)
)
+ 2
〈
S(ϕ)b(ϕ, x), x
〉
> 0. (13)
Тодi для кожного ϕ ∈ Rm пара
(
Dϕ, b(φt(ϕ), x)
)
, де
Dϕ :=
{
(t, x) ∈ R× Rn : s− <
〈
S
(
φt(ϕ)
)
x, x
〉
< s+
}
,
має властивiсть W, причому в ролi компакта K можна взяти n+-вимiрний елiпсоїдальний
диск
Kϕ :=
{
(t, x) ∈ {0} × Rn : x ∈ L+(ϕ) ∧ 〈S(ϕ)x, x〉 ≤ s+
}
.
Доведення. Умови твердження гарантують, що множиною точок строгого виходу (строгого
входу) iнтегральних кривих системи (8) з Dϕ (у Dϕ) є гiперповерхня E+ϕ (гiперповерхня E−ϕ ),
де
E±ϕ :=
{
(t, x) ∈ R× Rn :
〈
S(φt
(
ϕ)
)
x, x
〉
= s±
}
. (14)
Нехай e±k (·;ϕ) ∈ C1 (R 7→Rn) , k = 1, . . . , n±, — набiр вiдображень такий, що
{
e±k (t;ϕ)
}n±
k=1
— базис в L±
(
φt(ϕ)
)
, де n± := dimL±(ϕ). Позначимо через R±(t;ϕ) := ±
{
r±ij(t;ϕ)
}n±
i,j=1
додатно визначенi матрицi з елементами r±ij(t;ϕ) :=
〈
S(φt(ϕ))e±i (t;ϕ), e±j (t;ϕ)
〉
. Вiдобра-
ження Ξϕ : R × Rn− × Rn+ 7→ R × Rn, яке кожнiй точцi (t, ξ1, . . . , ξn− , η1, . . . , ηn+) ставить у
вiдповiднiсть точку (t, x) = Ξϕ(t, ξ, η), де
x =
n−∑
k=1
ξke
−
k (t;ϕ) +
√
s+ + 〈R−(t;ϕ)ξ, ξ〉
n+∑
k=1
(√
R−1+ (t;ϕ)η
)
k
e+k (t;ϕ),
а
(√
R−1+ (t;ϕ)η
)
k
— k-та компонента вектора
√
R−1+ (t;ϕ)η, є дифеоморфiзмом. Легко бачи-
ти, що коли точка η належить одиничнiй сферi Sn+−1 :=
{
η ∈ Rn+ : 〈η, η〉 = 1
}
, то точка
(t, x) = Ξϕ(t, ξ, η) справджує рiвнiсть
〈
S
(
φt(ϕ)
)
x, x
〉
= s+, тобто належить E+ϕ . Таким чи-
ном, звуження дифеоморфiзму Ξϕ на R × Rn− × Sn+−1 визначає структуру прямого добутку
многовиду E+ϕ . При цьому вiдображення
Ξϕ(0, 0, ·) : Sn+−1 7→ E+ϕ
визначає вкладення, образом якого є (n+ − 1)-вимiрний елiпсоїд Kϕ ∩ E+ϕ — представник не-
тривiального елемента групи гомологiй Hn+−1(E+ϕ ) топологiчного простору E+ϕ . Водночас цикл
Kϕ∩E+ϕ зображує тривiальний елемент групи гомологiй Hn+−1(clDϕ), оскiльки є межею елiп-
соїдального диска Kϕ ⊂ clDϕ. Звiдси випливає, що такий диск не можна iзотопiєю по clDϕ
продеформувати в пiдмножину гiперповерхнi E+ϕ , залишивши нерухомою його межу.
Твердження 1 доведено.
Далi, для довiльного x ∈ Rn, як i у п. 2, через ξt(ϕ, x) позначимо розв’язок системи (8)
такий, що ξ0(ϕ, x) = x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm . . . 109
Твердження 2. Якщо виконано умови твердження 1, то для кожного фiксованого ϕ ∈
∈ Rm знайдеться точка (0, xϕ) ∈ Kϕ \ E+ϕ така, що при t ≥ 0 графiк розв’язку ξt(ϕ, xϕ)
належить множинi Dϕ на своєму правому максимальному iнтервалi iснування I+ϕ ⊂ R+.
Доведення. Оскiльки Kϕ \ E+ϕ ⊂ Dϕ, а множина E+ϕ є компонентою межi областi Dϕ i
складається з точок строгого входу iнтегральних кривих системи (8) у цю область, то для
кожної точки (0, x) ∈ Kϕ \ E+ϕ буде виконуватися нерiвнiсть
W
(
φt(ϕ), ξt(ϕ, x)
)
≡
〈
S
(
φt(ϕ)
)
ξt(ϕ, x), ξt(ϕ, x)
〉
> s−
на правому максимальному iнтервалi iснування ξt(ϕ, x). Тепер, мiркуючи вiд супротивного,
припустимо, що твердження 2 є хибним. Тодi для кожної точки (0, x) ∈ Kϕ iснує момент
τϕ(x) ≥ 0 такий, що
(
τϕ(x), ξτϕ(x)(ϕ, x)
)
∈ E+ϕ , тобто W (φt(ϕ), ξt(ϕ, x))
∣∣
t=τϕ(x)
= s+, i при
цьому τϕ(x) = 0 лише у випадку, коли (0, x) ∈ Kϕ ∩ E+ϕ , а для iнших точок компакта Kϕ
повинна виконуватися нерiвнiсть
s− < W
(
φt(ϕ), ξt(ϕ, x)
)
< s+ ∀t ∈ [0, τϕ(x)).
Оскiльки з (13) випливає нерiвнiсть
d
dt
∣∣∣
t=τϕ(x)
W
(
φt(ϕ), ξt(ϕ, x)
)
> 0,
то за теоремою про неявну функцiю τϕ(x) неперервно залежить вiд x. Однак тодi сiм’я вiд-
ображень {
Kϕ 7→ clDϕ : (0, x) 7→
(
sτϕ(x), ξsτϕ(x)(ϕ, x)
)}
s∈[0,1]
визначала б iзотопiю, причому значенню s = 1 вiдповiдає гомеоморфiзм цiєї iзотопiї, який
вiдображає Kϕ у E+ϕ . Отримали супечнiсть iз твердженням 1, що i доводить твердження 2.
Твердження 3. Припустимо, що виконуються умови (A) – (C) i s− та s+ — довiльнi числа,
якi задовольняють нерiвностi s− < λ−z0, s+ > λ+z0. Тодi для довiльного ϕ ∈ Rm iснує точка
(0, xϕ) ∈ Kϕ \ E+ϕ така, що розв’язок ξt(ϕ, xϕ) системи (8) iснує принаймнi на пiвосi R+, його
графiк на цiй пiвосi належить областi Dϕ i при цьому
R := sup
(t,ϕ)∈R+×Rm
∥∥ξt(ϕ, xϕ)
∥∥ <∞. (15)
Доведення. Насамперед зауважимо, що оскiльки
λ− ‖x‖2 ≤ 〈S(ϕ)x, x〉 ≤ λ+ ‖x‖2 ,
то {
(ϕ, x) ∈ Rm × Rn : ‖x‖2 ≤ z0
}
⊂
{
(ϕ, x) ∈ Rm × Rn : s− < 〈S(ϕ)x, x〉 < s+
}
.
Тодi з урахуванням умов (B) i (C) та зауваження 2 умови тверджень 1 та 2 будуть виконанi.
Отже, можемо вказати точку (0, xϕ) ∈ Kϕ \ E+ϕ , про яку йдеться у твердженнi 2.
Тепер введемо двi функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
110 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК
wϕ(t) := W
(
φt(ϕ), ξt(ϕ, xϕ)
)
≡
〈
S(φt(ϕ))ξt(ϕ, xϕ), ξt(ϕ, xϕ)
〉
,
vϕ(t) := V
(
ξt(ϕ, xϕ)
)
≡
z∫
z0
[q(s)− p(z∗)]s
Q(s)
ds
z=‖ξt(ϕ,xϕ)‖2
, t ∈ I+ϕ ,
i покажемо, що I+ϕ = R+. З урахуванням нерiвностей (9), (10) та зауваження 2 для тих значень
t ∈ I+ϕ , для яких ∥∥ξt(ϕ, xϕ)
∥∥2 > z0, (16)
маємо
ẇϕ(t) ≥ 2
[
β(ψ)
(
q
(
‖x‖2
)
− p(z∗)
)
‖x‖2
]
ψ=φt(ϕ),x=ξt(ϕ,xϕ)
> 0,
(17)
|v̇ϕ(t)| ≤ 2
[
[q(z)− p(z∗)]z
Q(z)
]
z=‖ξt(ϕ,xϕ)‖2
|〈x, b(ψ, x)〉|ψ=φt(ϕ),x=ξt(ϕ,xϕ) ≤
≤ 2
[
β(ψ)
(
q(‖x‖2)− p(z∗)
)
‖x‖2
]
ψ=φt(ϕ),x=ξt(ϕ,xϕ)
,
а отже, для таких значень t виконується нерiвнiсть
|v̇ϕ(t)| ≤ ẇϕ(t). (18)
Якщо б sup I+ϕ := T+
ϕ <∞, то
‖ξt(ϕ, xϕ)‖2 →∞, t→ T+
ϕ − 0,
i з урахуванням зауваження 2
vϕ(t)→∞, t→ T+
ϕ − 0. (19)
Тодi знайдеться момент t0ϕ ∈ (0, T+
ϕ ) такий, що нерiвнiсть (16) виконується на iнтервалi
(t0ϕ, T
+
ϕ ), i на пiдставi (18) дiстаємо нерiвнiсть
vϕ(t)− vϕ(t0ϕ) ≤ wϕ(t)− wϕ(t0ϕ) < s+ − s− ∀t ∈ (t0ϕ, T
+
ϕ ),
яка суперечить (19). Отже, I+ϕ = R+, i з твердження 2 випливає, що графiк розв’язку ξt(ϕ, xϕ)
на пiвосi R+ належить областi Dϕ.
Тепер доведемо скiнченнiсть верхньої межi в (15). Можливi два випадки: 1) нерiвнiсть∥∥ξt(ϕ, xϕ)
∥∥2 ≤ z0 виконується для всiх t ≥ 0; 2) множина
T0 :=
{
t ≥ 0 : ‖ξt(ϕ, xϕ)‖2 > z0
}
(20)
є непорожньою.
Перший випадок не потребує пояснень. У другому випадку, якщо 0 ∈ T0, з урахуванням (18)
при t ∈ T0 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm . . . 111
vϕ(t) < vϕ(0) + s+ − s−.
Покажемо, що vϕ(0) допускає рiвномiрну щодо ϕ ∈ Rm оцiнку зверху. Справдi, з другої не-
рiвностi (3) випливає, що
λ0+ := inf {〈S(ϕ)x, x〉 : ϕ ∈ Rm, x ∈ L+(ϕ), ‖x‖ = 1} > 0,
а тодi λ0+ ‖xϕ‖
2 ≤ 〈S(ϕ)xϕ, xϕ〉 ≤ s+, звiдки ‖xϕ‖2 ≤ s+/λ0+ =: z+. Тому
vϕ(0) ≤
z+∫
z0
[q(s)− p(z∗)]s
Q(s)
ds.
Тепер оцiнимо vϕ(t) на кожному iнтервалi, який є зв’язною компонентою множини T0
i в лiвому кiнцi якого квадрат норми ξt(ϕ, xϕ) дорiвнює z0, якщо такий iнтервал iснує. З
урахуванням (18) у точках такого iнтервалу матимемо
vϕ(t) ≤ s+ − s−.
Отже, доведено, що vϕ(t) допускає рiвномiрну щодо (t, ϕ) ∈ T0 × Rm оцiнку зверху. А це з
урахуванням зауваження 2 забезпечує скiнченнiсть R у формулi (15).
Твердження 4. Якщо виконано умови твердження 3, то для довiльного ϕ ∈ Rm систе-
ма (8) має розв’язок x∗t (ϕ), який iснує на всiй дiйснiй осi часу i задовольняє нерiвностi
λ−z0 ≤ 〈S(φt(ϕ))x∗t (ϕ), x∗t (ϕ)〉 ≤ λ+z0 ∀t ∈ R,
‖x∗t (ϕ)‖2 ≤ z∗ ∀t ∈ R.
Доведення. Виберемо ε > 0 настiльки малим, щоб{
(ϕ, x) ∈ Rm × Rn : ‖x‖2 ≤ z0 + ε
}
⊂
{
(ϕ, x) ∈ Rm × Rn : s− < 〈S(ϕ)x, x〉 < s+
}
,
i зазначимо, що розв’язок ξt(ϕ, xϕ), про який йдеться у твердженнi 3, має таку властивiсть:
якщо множина
Tε :=
{
t ≥ 0 : ‖ξt(ϕ, xϕ)‖2 > z0 + ε
}
не є порожньою, то знайдеться число dε > 0 таке, що довжина довiльного iнтервалу (t1, t2) ⊂ Tε
не перевищує dε. Справдi, з огляду на умови (B), (C) та нерiвнiсть (17) iснує δε > 0 таке, що
на множинi Tε маємо ẇϕ(t) ≥ δε, звiдки
δε(t2 − t1) ≤ wϕ(t2)− wϕ(t1) ≤ s+ − s−,
а отже, можна покласти dε := (s+ − s−)/δε.
Тепер можна стверджувати: якщо 0 ∈ Tε, тобто ‖xϕ‖2 > z0 + ε, то не пiзнiше нiж через час
dε знайдеться момент, коли квадрат норми ξt(ϕ, xϕ) набуде значення z0 + ε.
Далi, нехай iнтервал (t1, t2) є зв’язною компонентою множини Tε i на кiнцях цього iнтервалу
квадрат норми ξt(ϕ, xϕ) дорiвнює z0 + ε. Тодi vϕ(t1) = vϕ(t2) i знайдеться точка t∗ ∈ (t1, t2), в
якiй vϕ(t) досягає максимуму. Тому з урахуванням (18) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
112 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК
wϕ(t2)− wϕ(t1) =
t∗∫
t1
ẇϕ(t)dt+
t2∫
t∗
ẇϕ(t)dt ≥
≥
t∗∫
t1
v̇ϕ(t)dt−
t2∫
t∗
v̇ϕ(t)dt = 2vϕ(t∗).
Отже, дiстаємо нерiвнiсть
vϕ(t) ≤ wϕ(t2)− wϕ(t1)
2
≤ s+ − s−
2
∀t ∈ [t1, t2],
наслiдком якої є нерiвнiсть ∥∥ξt(ϕ, xϕ)
∥∥2 ≤ ẑ ∀t ≥ dε, (21)
де ẑ — корiнь рiвняння
z∫
z0
[
q(s)− p(z∗)
]
s
Q(s)
ds =
s+ − s−
2
на пiвосi z > z0. Зауважимо, що рiзницю ẑ − z∗ можна зробити як завгодно малою за рахунок
мализни |s± − λ±z0| .
Тепер для довiльного натурального k, як i у [12], введемо до розгляду функцiю
xkt (ϕ) := ξt+k
(
φ−k(ϕ), xφ−k(ϕ)
)
.
Вона є визначеною для всiх t ≥ −k. Оскiльки
(
φt(ϕ), ξt(ϕ, x)
)
визначає локальний потiк
системи (7), то (
φt+s(ϕ), ξt+s(ϕ, x)
)
=
(
φt
(
φs(ϕ)
)
, ξt
(
φs(ϕ), ξs(ϕ, x)
))
(22)
для всiх значень t, s, для яких хоча б одна, права або лiва, частина цiєї рiвностi має сенс.
Звiдси, зокрема, випливає рiвнiсть
xkt (ϕ) = ξt
(
ϕ, ξk(φ−k(ϕ), xφ−k(ϕ))
)
,
яка означає, що xkt (ϕ) є розв’язком системи (8), визначеним при t ≥ −k з початковим значен-
ням xk0(ϕ) = ξk
(
φ−k(ϕ), xφ−k(ϕ)
)
. При цьому на пiдставi рiвностi φt+k
(
φ−k(ϕ)
)
= φt(ϕ),
твердження 3 i нерiвностi (21) дiстаємо нерiвностi
s− <
〈
S(φt(ϕ))xkt (ϕ), xkt (ϕ)
〉
< s+,
∥∥∥xkt (ϕ)
∥∥∥2 ≤ ẑ ∀t ≥ (s+ − s−)/δε − k.
Тепер з обмеженої послiдовностi xk0(ϕ) видiлимо збiжну пiдпослiдовнiсть i границю цiєї пiд-
послiдовностi позначимо через x∗0(ϕ). Дiстанемо розв’язок
x∗t (ϕ) := ξt(ϕ, x
∗
0(ϕ)),
який iснуватиме на всiй дiйснiй осi часу i задовольнятиме нерiвностi
s− < 〈S(φt(ϕ))x∗t (ϕ), x∗t (ϕ)〉 < s+, ‖x∗t (ϕ)‖2 ≤ ẑ ∀t ∈ R.
Для завершення доведення достатньо спрямувати s± до λ±z0 i, вiдповiдно, ẑ до z∗.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm . . . 113
Твердження 5. Якщо виконується умова (C), то для кожного ϕ ∈ Rm система (8) не має
розв’язку, визначеного на R, вiдмiнного вiд x∗t (ϕ) i такого, що задовольняє тi самi нерiвностi
з твердження 4, що й x∗t (ϕ).
Доведення. Припустимо, що крiм x∗t (ϕ) iснує iнший розв’язок x̃t(ϕ) системи (8) з анало-
гiчними властивостями. Введемо функцiю
sϕ(t) :=
1
2
〈
S
(
ϕt(ϕ)
)[
x∗t (ϕ)− x̃t(ϕ)
]
, x∗t (ϕ)− x̃t(ϕ)
〉
.
З одного боку, ця функцiя є обмеженою на R. З iншого боку, беручи до уваги умову (D), маємо
ṡϕ(t) ≥ γ
∥∥x∗t (ϕ)− x̃t(ϕ)
∥∥2 ∀t ∈ R.
Але
∣∣sϕ(t)
∣∣ ≤ 1
2
∥∥x∗t (ϕ)− x̃t(ϕ)
∥∥2 (див. (4)). Тому ṡϕ(t) ≥ 2γ |sϕ(t)| . Якщо тепер sϕ(0) > 0, то
sϕ(t)→∞, t→∞, якщо ж sϕ(0) < 0, то sϕ(t)→ −∞, t→ −∞. Отримали суперечнiсть.
Твердження 5 доведено.
4. Оператор χ, його властивостi та доведення основної теореми. Наслiдком тверджень 4
та 5 є наступний результат про коректнiсть конcтрукцiї оператора χ, визначеного вiдповiдно
до (11).
Твердження 6. Якщо умови (A) – (D) виконано, то для кожного u(·) ∈ Ul система (7)
має обмежений iнварiантний перерiз, який є графiком вiдображення χ[u](·) : Rm 7→ Rn, де
χ[u](ϕ) := x∗0(ϕ), а x∗0(ϕ) — початкове значення розв’язку x∗t (ϕ) з твердження 4. При цьому
зазначений iнварiантний перерiз належить множинi
S :=
{
(ϕ, x) ∈ Rm × Rn : λ−z0 ≤ 〈S(ϕ)x, x〉 ≤ λ+z0, ‖x‖2 ≤ z∗
}
.
Доведення. Покладемо û(ϕ) := x∗0(ϕ). За означенням x∗0(ϕ) графiк вiдображення û(·)
належить S. На пiдставi викладеного наприкiнцi п. 2 достатньо показати, що û
(
φt(ϕ)
)
— роз-
в’язок системи (8). Цей факт випливає з рiвностей
x∗t (ϕ) = ξt
(
ϕ, x∗0(ϕ)
)
= ξ0
(
φt(ϕ), x∗0
(
φt(ϕ)
))
= x∗0
(
φt(ϕ)
)
= û
(
φt(ϕ)
)
,
якi одержуються на пiдставi властивостi (22) локального потоку системи (7).
Твердження 6 доведено.
Твердження 7. Якщо справджується нерiвнiсть (5), то iснує l > 0 таке, що χ[u](·) ∈ Ul
для кожного u(·) ∈ Ul.
Доведення . Нехай число l реалiзує максимум лiвої частини (5) i u(·) ∈ Ul. Вiзьмемо пару
рiзних точок ϕ, ψ ∈ Rm i покладемо
yϕ,ψ(t) :=
x∗t (ϕ)− x∗t (ψ)
‖φt(ϕ)− φt(ψ)‖
≡ χ[u](φt(ϕ))− χ[u](φt(ψ))
‖φt(ϕ)− φt(ψ)‖
,
ωϕ,ψ(t) := 〈S(φt(ϕ))yϕ,ψ(t), yϕ,ψ(t)〉 .
Як i у [12], легко переконуємося в тому, що цi функцiї задовольняють нерiвностi
ω̇ϕ,ψ(t) ≥ 2
[
γ − λ+(la + lLa)
]∥∥yϕ,ψ(t)
∥∥2 − 2lb
∥∥yϕ,ψ(t)
∥∥,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
114 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК∣∣∣∣ ddt ‖yϕ,ψ(t)‖2
∣∣∣∣ ≤ 2 (Lb + la + lLa)
∥∥yϕ,ψ(t)
∥∥2 + 2lb
∥∥yϕ,ψ(t)
∥∥.
Зауважимо, що з умови (5) випливає також нерiвнiсть γ > λ+(la + lLa). Тепер, поклавши
ζ0(l) :=
(
lb
γ − λ+(la + lLa)
)2
,
для функцiй
νϕ,ψ(t) =
ζ∫
ζ0(l)
[γ − λ+(la + lLa)] z − lb
√
z
(Lb + la + lLa) z + lb
√
z
dz
ζ=‖yϕ,ψ(t)‖2
i ωϕ,ψ(t) на множинi
Θε :=
{
t ∈ R : ‖yϕ,ψ(t)‖2 > ζ0(l) + ε
}
,
де ε > 0 як завгодно мале, дiстанемо нерiвностi
ω̇ϕ,ψ(t) ≥ σε > 0,
∣∣ν̇ϕ,ψ(t)
∣∣ ≤ ω̇ϕ,ψ(t)
з достатньо малою сталою σε.Мiркуючи, як i при доведеннi твердження 4, можемо зробити такi
висновки: оскiльки функцiя ωϕ,ψ(t) обмежена, то довжина будь-якого iнтервалу, який мiститься
в Θε, є скiнченною i не перевищує
σ−1ε
[
sup
t∈R
ωϕ,ψ(t)− inf
t∈R
ωϕ,ψ(t)
]
;
в кiнцях кожного iнтервалу (t1, t2), який є компонентою зв’язностi множини Θε, квадрат норми
yϕ,ψ(t) набуває значення ζ0(l) + ε; в точках такого iнтервалу справджуються нерiвностi
νϕ,ψ(t) ≤
ωϕ,ψ(t2)− ωϕ,ψ(t1)
2
≤ λ+ − λ−
2
(ζ0(l) + ε) .
Спрямувавши ε до нуля, отримаємо
νϕ,ψ(t) ≤ λ+ − λ−
2
ζ0(l) ∀t ∈ Θ0. (23)
Але якщо справджується нерiвнiсть (5), то, як i у [12], неважко переконатися в iснуваннi такого
числа l, що наслiдком (23) є нерiвнiсть
∥∥yϕ,ψ(t)
∥∥ ≤ l для всiх t ∈ R. Зокрема,
∥∥yϕ,ψ(0)
∥∥ ≤ l
означає, що χ[u](·) ∈ Ul.
Твердження 7 доведено.
Твердження 8. Нехай l — число, iснування якого встановлює твердження 7. Тодi χ : Ul 7→
7→ Ul — c-неперервний оператор.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm . . . 115
Доведення. Потрiбно показати, що для довiльної послiдовностi {uk(·) ∈ Ul}, рiвномiрно
збiжної на кожнiй компактнiй пiдмножинi простору Rm, послiдовнiсть {χ[uk](·)} на кожнiй
компактнiй пiдмножинi простору Rm рiвномiрно збiгається до χ[u](·), де u(·) — границя послi-
довностi
{
uk(·)
}
. Мiркуючи вiд супротивного, припускаємо, що, навпаки, знайдуться послi-
довнiсть
{
uk(·) ∈ Ul
}
, рiвномiрно збiжна на кожнiй компактнiй пiдмножинi простору Rm,
додатне число ρ > 0, компакт K ⊂ Rm i послiдовнiсть точок {ϕk ∈ K} така, що
‖χ[uk](ϕk)− χ[u](ϕk)‖ ≥ ρ ∀k ∈ N.
Позначимо через
{
φkt (·)
}
та
{
φt(·)
}
потоки вiдповiдно систем
ϕ̇ = a
(
ϕ, uk(ϕ)
)
, ϕ̇ = a
(
ϕ, u(ϕ)
)
.
Тодi
xk(t;ϕk) := χ[uk]
(
φkt (ϕk)
)
, x(t;ϕk) := χ[u]
(
φt(ϕk)
)
— розв’язки вiдповiдно систем
ẋ = b(φkt
(
ϕk), x
)
, ẋ = b
(
φt(ϕk), x
)
такi, що xk(0;ϕk) = χ[uk](ϕk), x(0;ϕk) = χ[u](ϕk). Ввiвши позначення
rk(t) := x(t;ϕk)− xk(t;ϕk), %k(t) :=
∥∥∥b(φt(ϕk), xk(t;ϕk))− b(φkt (ϕk), xk(t;ϕk))∥∥∥
та утворивши функцiю
wk(t) := 〈S(φt(ϕk))rk(t), rk(t)〉 ,
з урахуванням умови (D) та (4) дiстанемо
ẇk(t) ≥ 2γ
∥∥rk(t)∥∥2 − 2%k(t)
∥∥rk(t)∥∥.
Зауважимо, що оскiльки
∥∥xk(t;ϕk)∥∥2 ≤ z∗ для всiх t ∈ R, то
sup
t∈R
|wk(t)| ≤ sup
t∈R
∥∥rk(t)∥∥2 ≤ 4z∗,
а оскiльки для довiльного вiдрiзка J ⊂ R маємо (див., наприклад, [13], теорема 5.7)
sup
t∈J
∥∥∥φt(ϕk)− φkt (ϕk)∥∥∥→ 0, k → 0,
то limk→∞ supt∈J %k(t) = 0. Зокрема, якщо для ε ∈ (0, ρ) позначити через Jε вiдрiзок довжини
16z∗/(γε2) з центром у точцi 0, то знайдеться kε ∈ N таке, що
%k(t) ≤ γε/2 ∀t ∈ Jε ∀k ≥ kε
i, отже,
ẇk(t) ≥ 2γ ‖rk(t)‖2 − γε ‖rk(t)‖ ∀t ∈ Jε ∀k ≥ kε. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
116 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК
Тепер визначимо множину
Θk,ε :=
{
t ∈ R :
∥∥rk(t)∥∥ > ε
}
.
Оскiльки
∥∥rk(0)
∥∥ ≥ ρ > ε, то 0 ∈ Θk,ε. Покажемо, що iнтервал (τ−k,ε, τ
+
k,ε), який є тiєю зв’язною
компонентою множини Θk,ε, що мiстить точку 0, належить Jε. Справдi, якщо (t1, t2) — будь-
який iнтервал такий, що 0 ∈ (t1, t2) ⊂ Jε ∩Θk,ε, то ẇk(t) ≥ γε2 для всiх t ∈ (t1, t2) i
8z∗ ≥ wk(t2)− wk(t1) ≥ γε2(t2 − t1) ⇒ |t1 − t2| ≤ 8z∗/(γε2).
Звiдси випливає, що вiдрiзок [t1, t2] складається з внутрiшнiх точок вiдрiзка Jε, i, отже, кiнцi
вiдрiзка Jε лежать за межами вiдрiзка [t1, t2]. Тодi
[
τ−k,ε, τ
+
k,ε
]
⊂ Jε. Зрозумiло, що
∥∥∥rk(τ±k,ε)∥∥∥ = ε.
Звiдси
wk(τ
+
k,ε)− wk(τ
−
k,ε) ≤ (λ+ − λ−) ε2.
Далi, на вiдрiзку Jε маємо∣∣∣∣ ddt ‖rk(t)‖2
∣∣∣∣ ≤ 2Lb
∥∥rk(t)∥∥2 + 2%k(t)
∥∥rk(t)∥∥ ≤ 2Lb
∥∥rk(t)∥∥2 + γε
∥∥rk(t)∥∥. (25)
Введемо функцiю
vk,ε(t) :=
z∫
ε2
γ
[
2s− ε
√
s
]
2Lbs+ γε
√
s
ds
z=‖rk(t)‖2
, t ∈
[
τ−k,ε, τ
+
k,ε
]
.
Очевидно, що vk,ε(τ
±
k,ε) = 0 i з урахуванням (24), (25) маємо
∣∣v̇k(t)∣∣ ≤ ẇk(t). Звiдси на пiдставi
тих самих мiркувань, що й при доведеннi твердження 4, одержуємо
2vk,ε(0) ≤ wk(τ+k,ε)− wk(τ
−
k,ε) ≤ (λ+ − λ−) ε2,
звiдки, з одного боку, vk,ε(0) ≤ (λ+ − λ−) ε2/2, а з iншого —
vk,ε(0) ≥
ρ2∫
ε2
γ [2s− ε
√
s]
2Lbs+ γε
√
s
ds.
Зрозумiло, що при достатньо малому ε ∈ (0, ρ) i k = kε прийдемо до суперечностi, адже при
ε→ 0 iнтеграл у лiвiй частинi останньої нерiвностi прямує до γρ2/Lb.
Твердження 8 доведено.
Тепер перейдемо до доведення теореми. Перевiримо щодо оператора χ виконання умов
теореми Шаудера – Тихонова [11]. Згiдно з твердженням 7 число l можна вибрати так, щоб
χ[Ul] ⊂ Ul. Множина функцiй Ul є опуклою, обмеженою, c-замкненою, одностайно непе-
рервною на кожнiй кулi в Rm, а отже, c-компактною. Внаслiдок c-неперервностi оператора χ
(твердження 8) всi умови теореми Шаудера – Тихонова виконано, а тому оператор χ має неру-
хому точку. Згiдно з твердженням 6 графiк вiдображення, яке є нерухомою точкою оператора
χ, є iнварiантним перерiзом системи (1).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ТЕОРЕМА IСНУВАННЯ IНВАРIАНТНОГО ПЕРЕРIЗУ НАД Rm . . . 117
Розглянемо випадок послабленої умови (B), коли функцiя β(·) є додатною, причому
infϕ∈Rm β(ϕ) = 0.Аналiз доведень тверджень iз п. 3 показує, що єдиною проблемою, яка тут ви-
никає, є виведення оцiнки (21), що спирається на iснування числа δε у доведеннi твердження 4.
Однак у цiй ситуацiї можна скористатися менш тонкими оцiнками з доведення твердження 3,
з яких випливає, що на множинi T0 маємо z∫
z+
[
q(s)− p(z∗)
]
s
Q(s)
ds
z=‖ξt(ϕ,xϕ)‖
≤ s+ − s−.
Звiдси можна зробити висновок, що теорема залишається правильною, якщо нерiвнiсть в умо-
вi (C) замiнити на таку:
z∗∫
z∗
[
q(z)− p(z∗)
]
z
Q(z)
dz ≥ (λ+ − λ−) z0,
де z∗ := λ+z0/λ
0
+.
5. Висновки. У цiй роботi отримано новi нелокальнi достатнi умови iснування обмеже-
них лiпшицевих iнварiантних перерiзiв над Rm для iстотно нелiнiйних динамiчних систем iз
фазовим простором Rm × Rn, якi характеризуються певними властивостями iндефiнiтної ко-
ерцитивностi та iндефiнiтної монотонностi. Використаний при цьому пiдхiд ґрунтується на
поєднаннi топологiчного принципу Важевського та принципу Шаудера – Тихонова iснування
нерухомої точки у c-неперервного i c-компактного оператора, визначеного на опуклiй множинi
Rn-значних лiпшицевих вiдображень простору Rm.
З метою ефективної реалiзацiї першого iз названих принципiв при конструюваннi зазначе-
ного оператора було використано пару допомiжних функцiй — напрямну функцiю W у виглядi
iндефiнiтної квадратичної форми щодо змiнних x ∈ Rn з коефiцiєнтами, залежними вiд коор-
динат ϕ ∈ Rm, та залежну вiд ‖x‖ оцiнювальну функцiю V. З урахуванням властивостей
iндефiнiтної коерцитивностi та iндефiнiтної монотонностi дослiджуваної системи функцiю V
вдалося вибрати так, щоб разом функцiї V та W, за термiнологiєю роботи [12], утворювали
V-W-пару. Це дало змогу, скориставшись особливостями структури поверхонь рiвня напрямної
функцiї, встановити iснування iнварiантного перерiзу системи (7) для довiльного u(·) з опук-
лої обмеженої множини Ul Rn-значних лiпшицевих вiдображень простору Rm, i, як наслiдок,
побудувати c-неперервний i c-компактний оператор χ : Ul 7→ Ul, кожна нерухома точка якого ви-
значає лiпшицевий iнварiантний перерiз системи (1). Отриманi достатнi умови iснування таких
iнварiантних перерiзiв мають аналiтичний, коефiцiєнтний характер i в кожному конкретному
випадку допускають ефективну перевiрку.
1. Cамойленко А. М. О сохранении инвариантного тора при возмущении // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1970. – 34,
№ 6. – C. 1219 – 1240.
2. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. – Dordrecht etc.: Kluwer
Acad. Publ., 1991. – 332 p.
3. Samoilenko A. M. Perturbation theory of smooth invariant tori of dynamical systems // Nonlinear Anal. – 1997. – 30,
№ 5. – P. 3121 – 3133.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
118 В. А. ЛАГОДА, I. О. ПАРАСЮК
4. Grod I. M On the smoothness of bounded invariant manifolds of linear inhomogeneous extensions of dynamical
systems // Ukr. Math. J. – 1996. – 48, № 1. – P. 154 – 157.
5. Bodnaruk S. B., Kulik V. L. On parameter dependence of bounded invariant manifolds of autonomous systems of
differential equations // Ukr Math. J. – 1996. – 48, № 6. – P. 838 – 845.
6. Samoilenko A. M., Teplins’kyi Yu. V., Semenyshyna I. V. On the Existence of a smooth bounded semiinvariant manifold
for a degenerate nonlinear system of difference equations in the space m // Nonlinear Oscillations. – 2003. – 6, № 3.
– P. 371 – 392.
7. Перестюк М. О., Слюсарчук В. Ю. Оператор Грiна – Самойленка в теорiї iнварiантних множин нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – C. 948 – 957.
8. Мухамадиев Э., Нажмиддинов Х., Садовский Б. Н. Применение принципа Шаудера – Тихонова в задаче об
ограниченных решениях дифференциальных уравнений // Функцион. анализ и его прил. – 1972. – 6, № 6. –
C. 83 – 84.
9. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116, № 4. – C. 483 – 501.
10. Ważewski T. Sur un prinsipe topologique de l’examen de l’allure asymptotique des integrales des equations
differentielles ordinaires // Ann. pol. math. – 1947. – 20. – P. 279 – 313.
11. Эдвардс Р. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1969. – 1072 с.
12. Самойленко А. М., Парасюк I. О., Лагода В. А. Лiпшицевi iнварiантнi тори iндефiнiтно монотонних систем //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 3. – C. 363 – 383.
13. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння: пiдручник. – Kиїв: Вид.-полiграф.
центр „Київ. ун-т”, 2010. – 527 с.
Одержано 08.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2407 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:51Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6b/d1ee52f8d2dc14b1672e49520138a76b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24072020-03-18T19:14:46Z Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ Теорема існування iнварiантного перерізу над $\mathbb{R}^m$ індефінітно монотонної системи в $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ Lagoda, V. A. Parasyuk, I. O. Лагода, В. А. Парасюк, І. О. We consider a nonlinear system on the direct product $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$. For this system, under the conditions of indefinite coercivity and indefinite monotonicity, we establish the existence of a bounded Lipschitzian invariant section over $\mathbb{R}^m$. Рассматривается нелинейная система в прямом произведении $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$. При выполнении условий индефинитной коэрцитивности и индефинитной монотонности установлено существование у такой системы ограниченного липшицевого инвариантного сечения над $\mathbb{R}^m$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2407 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 1 (2013); 103-118 Український математичний журнал; Том 65 № 1 (2013); 103-118 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2407/1581 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2407/1582 Copyright (c) 2013 Lagoda V. A.; Parasyuk I. O. |
| spellingShingle | Lagoda, V. A. Parasyuk, I. O. Лагода, В. А. Парасюк, І. О. Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ |
| title | Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ |
| title_alt | Теорема існування iнварiантного перерізу над $\mathbb{R}^m$ індефінітно монотонної системи в $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ |
| title_full | Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ |
| title_fullStr | Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ |
| title_full_unstemmed | Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ |
| title_short | Theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{R}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ |
| title_sort | theorem on the existence of an invariant section over $\mathbb{r}^m$ for the indefinite monotone system in $\mathbb{r}^m \times \mathbb{r}^n$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2407 |
| work_keys_str_mv | AT lagodava theoremontheexistenceofaninvariantsectionovermathbbrmfortheindefinitemonotonesysteminmathbbrmtimesmathbbrn AT parasyukio theoremontheexistenceofaninvariantsectionovermathbbrmfortheindefinitemonotonesysteminmathbbrmtimesmathbbrn AT lagodava theoremontheexistenceofaninvariantsectionovermathbbrmfortheindefinitemonotonesysteminmathbbrmtimesmathbbrn AT parasûkío theoremontheexistenceofaninvariantsectionovermathbbrmfortheindefinitemonotonesysteminmathbbrmtimesmathbbrn AT lagodava teoremaísnuvannâinvariantnogopererízunadmathbbrmíndefínítnomonotonnoísistemivmathbbrmtimesmathbbrn AT parasyukio teoremaísnuvannâinvariantnogopererízunadmathbbrmíndefínítnomonotonnoísistemivmathbbrmtimesmathbbrn AT lagodava teoremaísnuvannâinvariantnogopererízunadmathbbrmíndefínítnomonotonnoísistemivmathbbrmtimesmathbbrn AT parasûkío teoremaísnuvannâinvariantnogopererízunadmathbbrmíndefínítnomonotonnoísistemivmathbbrmtimesmathbbrn |