On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations
For systems of nonlinear functional equations, we study asymptotic properties of their solutions continuously differentiable and bounded for $t \geq T > 0$ in a neighborhood of the singular point $t = +\infty$.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2408 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508290648113152 |
|---|---|
| author | Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. |
| author_facet | Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. |
| author_sort | Pelyukh, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:14:46Z |
| description | For systems of nonlinear functional equations, we study asymptotic properties of their solutions continuously differentiable and bounded for $t \geq T > 0$ in a neighborhood of the singular point $t = +\infty$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Г. П. Пелюх (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
For systems of nonlinear functional equations, we study asymptotic properties of their solutions continuously differentiable
and bounded for t ≥ T > 0 in a neighborhood of the singular point t = +∞.
Вивчаються асимптотичнi властивостi неперервно диференцiйовних i обмежених при t ≥ T > 0 розв’язкiв систем
нелiнiйних функцiональних рiвнянь в околi особливої точки t = +∞.
Отдельные функциональные уравнения вида
x(qt) = A(t)x(t) + F
(
t, x(t), x
(
f(t)
))
, (1)
где q = const, t ∈ R, A(t) — вещественная (n× n)-матрица, F : R×Rn×Rn → Rn, f : R→ R,
известны математикам около двух столетий (см. [1, 2] и приведенную в них библиографию), и
в настоящее время существует ряд хорошо разработанных направлений теории таких уравне-
ний. К ним, в частности, относится направление, основной целью которого является изучение
структуры различного рода множеств решений. Активное и систематическое развитие этого
направления началось после появления работ [3 – 6], в которых были исследованы важнейшие
вопросы теории уравнений вида (1) в случае, когда F ≡ 0. В частности, в предположении, что
все элементы матрицы A(t) являются голоморфными в окрестности точки t = ∞ функция-
ми, было построено общее решение таких систем уравнений и исследована его структура. В
дальнейшем аналогичные результаты были получены для широких классов нелинейных функ-
циональных уравнений вида (1) в окрестностях особых точек t = 0 и t =∞ [7 – 12]. Несмотря
на это для многих классов нелинейных функциональных уравнений построить общее решение
и исследовать его структуру не представляется возможным. Тем не менее в некоторых случа-
ях удается получить весьма детальное описание структуры определенных множеств решений
широких классов нелинейных уравнений вида (1) и исследовать их свойства. Это справедливо
также по отношению к системе уравнений
x(qt) = x(t) + F
(
t, x(t), x
(
f(t)
))
, (2)
где q > 0, q 6= 1, t ∈ R+ = [0,+∞), F : R+×Rn×Rn → Rn, f : R+ → R+, которая исследуется
в настоящей статье. Основной целью статьи является установление условий существования
непрерывного q-разностного асимптотического равновесия системы (2), которое достаточно
полно характеризует структуру множества ее непрерывных решений в окрестности особой
точки.
Определение 1. Будем говорить, что система уравнений (2) имеет непрерывное при
t ≥ T > 0 q-разностное асимптотическое равновесие, если:
a) произвольное непрерывное и ограниченное при t ≥ T > 0 решение x(t) удовлетворяет
при t→ +∞ соотношению
x(t) = ω(t) + o(1), (3)
где ω(t) — непрерывная при t ≥ T вектор-функция, удовлетворяющая условию ω(qt) = ω(t);
c© Г. П. ПЕЛЮХ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1 119
120 Г. П. ПЕЛЮХ
b) для произвольной непрерывной при t ≥ T вектор-функции ω(t), удовлетворяющей усло-
вию ω(qt) = ω(t), существует непрерывное и ограниченное при t ≥ T решение x(t) системы
уравнений (2), удовлетворяющее при t→ +∞ соотношению (3).
Сначала рассмотрим случай, когда 0 < q < 1.
Условия, гарантирующие справедливость утверждения а), устанавливаются в следующей
теореме.
Теорема 1. Пуcmь выполняются условия:
1) вектор-функция F (t, x, y) является непрерывной при t ≥ T > 0, x ∈ Rn, y ∈ Rn,
F (t, 0, 0) ≡ 0 и удовлетворяет соотношению∣∣F (t, x′, y′)− F (t, x′′, y′′)∣∣ ≤ η(t)(|x′ − x′′|+ |y′ − y′′|),
где η(t) — некоторая неотрицательная непрерывная и ограниченная функция, x′, x′′, y′, y′′ ∈
∈ Rn, |x| = max1≤i≤n |xi|;
2) ряд
H(t) =
∞∑
i=1
η(q−it)
равномерно сходится при t ≥ T и 2H(t) ≤ θ < 1;
3) функция f(t) является непрерывной при t ≥ T и f(t) ≥ t.
Тогда для произвольного непрерывного и ограниченного при t ≥ T решения x(t) системы
уравнений (2) существует непрерывная при t ≥ T вектор-функция ω(t) такая, что ω(qt) =
= ω(t) и при t→ +∞ выполняется соотношение (3).
Доказательство. Действительно, если x(t) — некоторое непрерывное и ограниченное при
t ≥ T решение системы уравнений (2), то в силу условий 1 – 3 имеем тождество
x(t) = ω(t) +
∞∑
i=1
F
(
q−it, x(q−it), x
(
f(q−it)
))
,
где
ω(t) = x(t)−
∞∑
i=1
F
(
q−it, x(q−it), x
(
f(q−it)
))
.
Отсюда непосредственно следует, что вектор-функция ω(t) является непрерывной и ограни-
ченной при t ≥ T, а решение x(t) удовлетворяет условию (3).
Далее, так как x(t) — непрерывное и ограниченное при t ≥ T решение системы уравне-
ний (2), т. е. имеет место тождество
x(qt) ≡ x(t) + F
(
t, x(t), x
(
f(t)
))
,
то
ω(qt) = x(qt)−
∞∑
i=1
F
(
q−i+1t, x(q−i+1t), x
(
f(q−i+1t)
))
=
= x(t) + F
(
t, x(t), x
(
f(t)
))
− F
(
t, x(t), x
(
f(t)
))
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 121
−
∞∑
i=2
F
(
q−i+1t, x(q−i+1t), x
(
f(q−i+1t)
))
=
= x(t)−
∞∑
i=1
F
(
q−it, x(q−it), x
(
f(q−it)
))
= ω(t).
Тем самым теорема 1 доказана.
Теперь покажем, что при выполнении условий 1 – 3 имеет место утверждение b).
Теорема 2. Пусть выполняются условия 1 – 3. Тогда для произвольной непрерывной при
t ≥ T вектор-функции ω(t), удовлетворяющей условию ω(qt) = ω(t), существует непрерывное
и ограниченное при t ≥ T решение x(t) системы уравнений (2), удовлетворяющее при t→ +∞
соотношению (3).
Доказательство. Рассмотрим систему нелинейных уравнений вида
x(t) = ω(t) +
∞∑
i=1
F
(
q−it, x(q−it), x
(
f(q−it)
))
, (4)
где ω(t) — произвольная непрерывная при t ≥ T вектор-функция, удовлетворяющая условию
ω(qt) = ω(t). Поскольку произвольное непрерывное и ограниченное при t ≥ T решение систе-
мы уравнений (4) является решением системы (2)
(
в этом можно убедиться непосредственной
подстановкой (4) в (2)
)
и удовлетворяет условию (3) (следует из условий 1 – 3), для доказа-
тельства теоремы 2 достаточно установить существование непрерывного и ограниченного при
t ≥ T решения системы уравнений (4). Для этого воспользуемся методом последовательных
приближений, которые определим с помощью соотношений
x0(t) = ω(t),
xm(t) = ω(t) +
∞∑
i=1
F
(
q−it, xm−1(q
−it), xm−1
(
f(q−it)
))
, m = 1, 2, . . . . (5)
С помощью метода математической индукции нетрудно показать, что функции xm(t), m =
= 0, 1, . . . , являются непрерывными при t ≥ T. Более того, обозначив M = supt≥T |ω(t)|,
покажем, что при t ≥ T и всех m ≥ 0 выполняются неравенства∣∣xm(t)
∣∣ ≤ M
1− θ
. (6)
Действительно, функция x0(t) = ω(t) удовлетворяет неравенству (6). Предположим, что
функции xk(t), k = 0, 1, . . . ,m − 1, определенные соотношениями (5), также удовлетворяют
неравенствам (6). Тогда в силу (5), (6) и условий 1 – 3 получаем
∣∣xm(t)
∣∣ ≤M +
∞∑
i=1
∣∣F (q−it, xm−1(q−it), xm−1(f(q−it)))∣∣ ≤
≤M +
∞∑
i=1
η(q−it)
(∣∣xm−1(q−it)∣∣+ ∣∣xm−1(f(q−it))∣∣) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
122 Г. П. ПЕЛЮХ
≤M +
2M
1− θ
∞∑
i=1
η(q−it) ≤M +
M
1− θ
· θ ≤ M
1− θ
.
Следовательно, все функции xm(t), m = 0, 1, . . . , удовлетворяют при t ≥ T неравенству (6).
Докажем теперь, что при t ≥ T и всех m ≥ 1 имеет место оценка∣∣xm(t)− xm−1(t)
∣∣ ≤Mθm. (7)
В самом деле, в силу соотношений (5) и условий 1 – 3 при m = 1 имеем∣∣x1(t)− x0(t)∣∣ ≤ ∞∑
i=1
∣∣F (q−it, x0(q−it), x0(f(q−it)))∣∣ ≤
≤
∞∑
i=1
η(q−it)
(∣∣ω(q−it)∣∣+ ∣∣ω(f(q−it))∣∣) ≤
≤ 2M
∞∑
i=1
η(q−it) ≤Mθ,
т. е. оценка (7) выполняется при m = 1. Предположим, что при t ≥ T оценка (7) имеет место
при m = 2, . . . , k, и докажем ее справедливость при m = k + 1. Действительно, используя (5),
(7) и условия 1 – 3, получаем ∣∣xk+1(t)− xk(t)
∣∣ ≤
≤
∞∑
i=1
∣∣F (q−it, xk(q−it), xk(f(q−it)))− F (q−it, xk−1(q−it), xk−1(f(q−it)))∣∣ ≤
≤
∞∑
i=1
η(q−it)
(∣∣xk(q−it)− xk−1(q−it)∣∣+ ∣∣xk(f(q−it))− xk−1(f(q−it))∣∣) ≤
≤ 2Mθk
∞∑
i=1
η(q−it) ≤Mθk+1.
Таким образом, оценка (7) выполняется при t ≥ T и всех m ≥ 1.
Непосредственно из (7) следует, что последовательность вектор-функций xm(t), m =
= 0, 1, . . . , определенных с помощью соотношений (5), равномерно сходится при t ≥ T и
вектор-функция
x(t) = lim
m→∞
xm(t)
является непрерывным решением системы уравнений (4), удовлетворяющим условию
|x(t)| ≤ M
1− θ
(в этом можно убедиться, если в соотношениях (6), (7) перейти к пределу при m→∞).
Теорема 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 123
Замечание 1. Нетрудно показать, что при выполнении условий 1 – 3 решение x(t) системы
уравнений (4), определенное соотношением x(t) = limm→∞ xm(t), является единственным в
классе непрерывных и ограниченных при t ≥ T функций.
Непосредственным следствием доказанных выше теорем является следующая теорема.
Теорема 3. Если 0 < q < 1 и выполняются условия 1 – 3, то система уравнений (2) имеет
непрерывное при t ≥ T > 0 q-разностное асимптотическое равновесие.
Исследуем теперь вопрос о существовании непрерывного при t ≥ T q-разностного асимп-
тотического равновесия системы уравнений (2) в случае q > 1.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть выполняются условия 1, 3 теоремы 1 и условие
2′) ряд
H̃(t) =
∞∑
i=0
η(qit)
равномерно сходится при t ≥ T и 2H̃(t) ≤ θ̃ < 1.
Тогда для произвольного непрерывного и ограниченного при t ≥ T решения x(t) системы
уравнений (2) существует непрерывная при t ≥ T вектор-функция ω(t) такая, что ω(qt) =
= ω(t) и при t→ +∞ выполняется соотношение (3).
Действительно, пусть x(t) — некоторое непрерывное и ограниченное при t ≥ T решение
системы уравнений (2) и, таким образом, имеет место тождество
x(qt) ≡ x(t) + F
(
t, x(t), x
(
f(t)
))
. (8)
Тогда в силу условий 1, 2′, 3 это решение можно представить в виде
x(t) = ω(t)−
∞∑
i=0
F
(
qit, x(qit), x
(
f(qit)
))
,
где
ω(t) = x(t) +
∞∑
i=0
F
(
qit, x(qit), x
(
f(qit)
))
.
Нетрудно убедиться, что таким образом определенная вектор-функция ω(t) является непре-
рывной при t ≥ T, а решение x(t) удовлетворяет условию (3). Следовательно, для завершения
доказательства теоремы осталось показать, что вектор-функция ω(t) удовлетворяет равенству
ω(qt) = ω(t). Действительно, принимая во внимание (8), имеем
ω(qt) = x(qt) +
∞∑
i=0
F
(
qi+1t, x(qi+1t), x
(
f(qi+1t)
))
=
= x(t) + F
(
t, x(t), x
(
f(t)
))
+
∞∑
i=1
F
(
qit, x
(
qit), x(f(qit)
))
=
= x(t) +
∞∑
i=0
F
(
qit, x(qit), x
(
f(qit)
))
= ω(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
124 Г. П. ПЕЛЮХ
Теорема 4 доказана. Тем самым доказано, что при выполнении условий 1 – 3 утверждение а)
имеет место.
Справедливость для системы уравнений (2) утверждения b) устанавливает следующая тео-
рема.
Теорема 5. Пусть выполняются условия 1, 2′, 3. Тогда для произвольной непрерывной при
t ≥ T вектор-функции ω(t), удовлетворяющей равенству ω(qt) = ω(t), существует непрерыв-
ное и ограниченное при t ≥ T решение x(t) системы уравнений (2), удовлетворяющее при
t→ +∞ соотношению (3).
Доказательство. Поскольку произвольное непрерывное и ограниченное при t ≥ T реше-
ние системы уравнений
x(t) = ω(t)−
∞∑
i=0
F
(
qit, x(qit), x
(
f(qit)
))
, (9)
где ω(t) — произвольная непрерывная при t ≥ T вектор-функция, удовлетворяющая равенству
ω(qt) = ω(t), является решением системы уравнений (2) (в этом можно убедиться непосред-
ственной подстановкой (9) в (2)) и удовлетворяет условию (3) (следует из условий 1, 2′, 3),
для доказательства теоремы достаточно установить существование непрерывного и ограни-
ченного при t ≥ T решения системы уравнений (9). Последнее, как и в случае теоремы 2,
можно доказать с помощью метода последовательных приближений, которые в данном случае
определяются соотношениями
x0(t) = ω(t),
xm(t) = ω(t)−
∞∑
i=0
F
(
qit, xm−1(q
it), xm−1
(
f(qit)
))
, m = 1, 2, . . . .
На основании теорем 4, 5 можно утверждать, что для системы уравнений (2) справедлива
следующая теорема.
Теорема 6. Если q > 1 и выполняются условия 1, 2′, 3, то система уравнений (2) имеет
непрерывное при t ≥ T > 0 q-разностное асимптотическое равновесие.
Таким образом, для системы уравнений (2) доказана следующая теорема о существовании
непрерывного при t ≥ T > 0 q-разностного асимптотического равновесия.
Теорема 7. Пусть выполняется одно из предположений:
1) 0 < q < 1 и выполняются условия 1 – 3;
2) q > 1 и выполняются условия 1, 2′, 3.
Тогда система уравнений (2) имеет непрерывное при t ≥ T > 0 q-разностное асимпто-
тическое равновесие.
Замечание 2. Аналогично можно исследовать вопрос о существовании непрерывного при
t ∈ (0, T ], T > 0, q-разностного асимптотического равновесия системы уравнений (2), которое
в данном случае определяется следующим образом.
Определение 2. Будем говорить, что система уравнений (2) имеет непрерывное при
t ∈ (0, T ], T > 0, q-разностное асимптотическое равновесие, если:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 125
a′) произвольное непрерывное и ограниченное при t ∈ (0, T ] решение x(t) удовлетворяет
при t→ 0+ соотношению
x(t) = ω(t) + o(1), (10)
где ω(t) — непрерывная при t ∈ (0, T ] вектор-функция, удовлетворяющая условию ω(qt) = ω(t);
b′) для произвольной непрерывной при t ∈ (0, T ] вектор-функции ω(t), удовлетворяющей
условию ω(qt) = ω(t), существует непрерывное и ограниченное при t ∈ (0, T ] решение x(t)
системы уравнений (2), удовлетворяющее при t→ 0+ соотношению (10).
1. Kuczma M. Functional equations in a single variable. – Warszawa: PWN, 1968.
2. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations // Encycl. Math. its Appl. – Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1990. – 32.
3. Birkhoff G. D. The generalized Riemann problem for linear differential equations and the allied problems for linear
difference and q-difference equations // Proc. Amer. Acad. Arts Sci. – 1913. – 49. – P. 521 – 568.
4. Carmichacl R. D. The general theory of q-difference equations // Amer. J. Math. – 1912. – 34. – P. 147 – 168.
5. Birkhoff G. D., Guenther P. E. Note on a canonical form for the linear q-difference system // Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. – 1941. – 27. – P. 218 – 222.
6. Trjitzinsky W. J. Analytical theory of linear q-difference equations // Acta. Math. – 1933. – 61. – P. 1 – 38.
7. Trjitzinsky W. J. Theory of nonlinear q-difference system // Ann. mat. pura ed appl. – 1938. – 17, № 4. – P. 59 – 106.
8. Sternberg S. Local contractions and a theorem of Poincare // Amer. J. Math. – 1957. – 79. – P. 809 – 824.
9. Пелюх Г. П. О представлении решений систем нелинейных функциональных уравнений в окрестности особых
точек // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1989. – 6. – C. 22 – 25.
10. Пелюх Г. П. О непрерывных и ограниченных на вещественной оси решениях систем нелинейных функцио-
нальных уравнений // Докл. АН СССР. – 1990. – 6. – C. 1309 – 1311.
11. Пелюх Г. П. О существовании локально гладких решений систем нелинейных функциональных уравнений с
отклонениями, зависящими от неизвестных функций // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 1. – C. 64 – 77.
12. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах непрерывных решений систем нелинейных функционально-
разностных уравнений // Докл. АН. – 2002. – № 1. – C. 14 – 16.
Получено 09.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2408 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:52Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/68/a16cab402abb7507ef7554ccff0d9168.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24082020-03-18T19:14:46Z On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations Об асимптотических свойствах непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. For systems of nonlinear functional equations, we study asymptotic properties of their solutions continuously differentiable and bounded for $t \geq T > 0$ in a neighborhood of the singular point $t = +\infty$. Вивчаються асимптотичнi властивостi неперервно диференцiйовних i обмежених при $t \geq T > 0$ розв’язкiв систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь в околi особливої точки $t = +\infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2408 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 1 (2013); 119-125 Український математичний журнал; Том 65 № 1 (2013); 119-125 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2408/1583 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2408/1584 Copyright (c) 2013 Pelyukh G. P. |
| spellingShingle | Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations |
| title | On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations |
| title_alt | Об асимптотических свойствах непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений |
| title_full | On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations |
| title_fullStr | On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations |
| title_full_unstemmed | On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations |
| title_short | On the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations |
| title_sort | on the asymptotic properties of continuous solutions of the systems of nonlinear functional equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2408 |
| work_keys_str_mv | AT pelyukhgp ontheasymptoticpropertiesofcontinuoussolutionsofthesystemsofnonlinearfunctionalequations AT pelûhgp ontheasymptoticpropertiesofcontinuoussolutionsofthesystemsofnonlinearfunctionalequations AT pelûhgp ontheasymptoticpropertiesofcontinuoussolutionsofthesystemsofnonlinearfunctionalequations AT pelyukhgp obasimptotičeskihsvojstvahnepreryvnyhrešenijsistemnelinejnyhfunkcionalʹnyhuravnenij AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahnepreryvnyhrešenijsistemnelinejnyhfunkcionalʹnyhuravnenij AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahnepreryvnyhrešenijsistemnelinejnyhfunkcionalʹnyhuravnenij |