Averaging of set-valued impulsive systems
We give a review of the development of ideas of the averaging method for some classes of set-valued impulsive systems (impulsive differential inclusions, impulsive differential equations and inclusions with Hukuhara derivative, and impulsive fuzzy differential equations and inclusions).
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2409 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508291407282176 |
|---|---|
| author | Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. |
| author_facet | Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. |
| author_sort | Perestyuk, N. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:14:46Z |
| description | We give a review of the development of ideas of the averaging method for some classes of set-valued impulsive systems
(impulsive differential inclusions, impulsive differential equations and inclusions with Hukuhara derivative, and impulsive
fuzzy differential equations and inclusions). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Н. А. Перестюк (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
Н. В. Скрипник (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ
We give a review of the development of ideas of the averaging method for some classes of set-valued impulsive systems
(impulsive differential inclusions, impulsive differential equations and inclusions with Hukuhara derivative, and impulsive
fuzzy differential equations and inclusions).
Викладено розвиток iдей методу усереднення для деяких класiв iмпульсних багатозначних систем (iмпульсних
диференцiальних включень, iмпульсних диференцiальних рiвнянь i включень з похiдною Хукухари, iмпульсних
нечiтких диференцiальних рiвнянь i включень).
Интерес к изучению систем с разрывными траекториями связан с развитием техники, в кото-
рой импульсные системы управления, импульсные вычислительные устройства играют значи-
тельную роль. Импульсные системы возникают также во многих задачах естествознания, при
рассмотрении которых соответствующие математические модели содержат условия, описываю-
щие влияние внешних сил импульсной природы, продолжительностью действия которых можно
пренебречь. Как оказалось, наличие импульсного воздействия может существенно усложнить
поведение траекторий таких систем даже для случая достаточно простых дифференциальных
уравнений.
Отдельные импульсные системы исследованы в работах многих авторов. Многочисленные
примеры таких задач можно найти в работах Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, Н. Н. Баутина,
Б. С. Калитина, А. Е. Кобринского, А. А. Кобринского, Н. А. Перестюка, А. М. Самойленко,
А. А. Чикрия, D. D. Bainov, A. B. Dishliev.
В работах Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, Е. А. Барбашина, С. Т. Завалищина, А. Н. Сесе-
кина, А. Халаная, Д. Векслера для описания систем с импульсным воздействием применялись
дифференциальные уравнения с обобщенными функциями в правой части, при этом исследо-
вались дифференциальные уравнения с импульсами в фиксированные моменты времени и не
рассматривался случай зависимости момента импульсного воздействия от фазового вектора.
Другим подходом к исследованию импульсных дифференциальных уравнений является
использование классического аппарата теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Первыми работами в данном направлении можно считать работы А. Д. Мышкиса, А. М. Са-
мойленко [1 – 3], в которых с новой точки зрения были изложены общие положения теории
систем с импульсным воздействием и определены их основные специфические черты.
В последующем исследования многих авторов были посвящены изучению вопросов устой-
чивости решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, развитию теории
периодических и почти периодических решений импульсных систем, изучению инвариантных
множеств, построению асимптотических разложений по методу малого параметра Крылова
– Боголюбова – Митропольского, методу усреднения, проблемам теории оптимального управ-
ления, изучению импульсных систем со случайными возмущениями [4 – 15].
Исследования реальных процессов, основанных на идеализированных математических мо-
делях, приводят зачастую к дифференциальным уравнениям с малыми параметрами. Для их
c© Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК, 2013
126 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 127
исследования широко используются различные асимптотические методы. Выбор конкретного
асимптотического метода зависит от структуры дифференциального уравнения, описывающе-
го динамику объекта. В последнее время методы усреднения получили широкое развитие в
нелинейной механике и теории колебаний.
Математическое обоснование метода усреднения для обыкновенных дифференциальных
уравнений берет начало в фундаментальной работе Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [7].
Большую роль в разработке метода усреднения для различных классов дифференциальных
уравнений сыграли работы Е. А. Гребеникова, Ю. А. Митропольского, Н. Н. Моисеева, Н. А. Пе-
рестюка, В. А. Плотникова, А. М. Самойленко, А. Н. Филатова и др. [9, 11, 15 – 22].
Обобщение метода усреднения для асимптотического интегрирования импульсных диффе-
ренциальных уравнений имеет большое теоретическое и практическое значение по следующим
причинам:
из-за сложной структуры импульсных систем качественное исследование связано с боль-
шими трудностями, в то время как усредненная система становится безимпульсной;
решение усредненной системы приближает решение исходной системы с любой наперед
заданной точностью на асимптотически большом временном интервале.
В данном обзоре рассмотрим развитие идей метода усреднения для некоторых классов
импульсных многозначных систем.
1. Импульсные дифференциальные включения. Следует отметить, что исследование ди-
намики любых реальных процессов с помощью дифференциальных уравнений с однозначной
правой частью соответствует идеальной модели, которая не учитывает воздействия случайных
помех, ошибок измерений при задании коэффициентов, погрешностей при задании функций,
входящих в правые части дифференциальных уравнений. Учет случайных факторов при из-
вестных вероятностных характеристиках модели осуществляется с помощью стохастических
дифференциальных уравнений, теория которых активно развивается и широко применяется
на практике. Естественным обобщением дифференциальных уравнений являются дифферен-
циальные включения, которые дают возможность описывать динамику недетерминированных
процессов без использования вероятностных характеристик модели, что во многих случаях
позволяет избежать априорных предположений относительно этих характеристик. Результаты
исследования модели с использованием аппарата дифференциальных включений позволяют
непосредственно оценить сверху все результаты вероятностных моделей, что иногда является
достаточным для приложений.
Первые исследования по дифференциальным уравнениям с многозначной правой частью
были проведены С. Зарембой и А. Маршо в 30-х гг. XX века. В этих работах была предпри-
нята попытка обобщить существовавшие в то время результаты по теории дифференциальных
уравнений на более общий случай: C. Заремба ввел понятие дифференциального уравнения в
паратингенциях, а А. Маршо — понятие дифференциального уравнения в контингенциях.
В последующие 25 лет работы в данном направлении не публиковались (отметим лишь
работы А. Д. Мышкиса), что было вызвано отсутствием приложений.
В начале шестидесятых годов появился цикл работ Т. Важевского [23] и А. Ф. Филиппо-
ва [24], в которых были получены принципиальные результаты по существованию и свойствам
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
128 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью (дифференциальных
включений). Одним из важнейших из этих результатов было установление связи дифферен-
циальных включений с задачами оптимального управления, что привело к бурному развитию
теории дифференциальных включений. Интерес к проблемам управления в годы после Второй
мировой войны был связан с острыми потребностями новых технологий, авиации, космонав-
тики, энергетики. Именно в этот период возникают такие общие методы решения оптими-
зационных проблем управления, как принцип максимума Понтрягина, метод динамического
программирования Беллмана и др.
Основные результаты теории дифференциальных уравнений с многозначной правой час-
тью изложены в работах В. И. Благодатских, Т. Важевского, А. Дончева, В. С. Мельника,
А. И. Панасюка, В. И. Панасюка, В. А. Плотникова, А. А. Толстоногова, О. П. Филатова,
А. Ф. Филиппова, М. М. Хапаева, J.-P. Aubin, K. Deimling, M. Kisielewicz и др. [21, 23, 25 – 36].
Авторы исследовали вопросы существования решений дифференциальных включений, краевых
задач, монотонных, ограниченных, периодических решений, устойчивости решений, изучали
свойства решений и интегральных воронок
(
компактность, связность, зависимость от началь-
ных условий и от правой части включения, связь между множествами решений включений
ẋ ∈ F (t, x) и ẋ ∈ coF
(
t, x)
)
, занимались установлением границы множества достижимости,
условий выпуклости семейства решений, усреднением дифференциальных включений и др.
В данном пункте рассмотрим обоснование метода усреднения на конечном и бесконечном
промежутках для дифференциальных включений, подвергающихся импульсному воздействию
в фиксированные и нефиксированные моменты времени.
Пусть conv(Rn) — пространство непустых выпуклых компактных подмножеств Rn с мет-
рикой Хаусдорфа h(F,G) = max
{
supf∈F infg∈G ‖f −g‖, supg∈G inff∈F ‖f −g‖
}
, где под ‖ · ‖
понимается евклидова норма в пространстве Rn.
Рассмотрим дифференциальное включение с многозначными импульсами
ẋ ∈ εX(t, x), t 6= τi, x(0) ∈ X0, (1)
∆x|t=τi ∈ Ii(x).
Если для любых t ≥ 0, x ∈ D существует предел
X(x) = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
X(t, x)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x)
, (2)
то поставим в соответствие включению (1) усредненное включение
ẏ ∈ εX(y), y(0) ∈ X0. (3)
Обоснование схемы полного усреднения на конечном промежутке было впервые проведено
в работах В. А. Плотникова, Л. И. Плотниковой и Н. М. Китанова [10, 21, 37 – 40].
Теорема 1 [10, 21, 37, 38]. Пусть в области Q =
{
t ≥ 0, x ∈ D ⊂ Rn
}
выполнены
следующие условия:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 129
1) многозначные отображения X : Q→ conv(Rn), Ii : D → conv(Rn) непрерывны, равно-
мерно ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица по x с постоянной λ;
2) равномерно относительно (t, x) ∈ Q существует предел (2) и
1
T
i(t, t + T ) ≤ d < ∞,
где i(t, t+ T ) — количество точек последовательности {τi} на промежутке (t, t+ T ];
3) решения включения (3) для всех x0 ∈ D′ ⊂ D при t ∈
[
0, Lε−1
]
принадлежат вместе с
некоторой ρ-окрестностью области D.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что при ε ∈ (0, ε0] и
t ∈
[
0, Lε−1
]
справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения y(t) включения (3) существует решение x(t) включения (1) такое,
что выполняется неравенство ∥∥x(t)− y(t)
∥∥ < η; (4)
2) для любого решения x(t) включения (1) существует решение y(t) включения (3) такое,
что выполняется неравенство (4).
Следствием данной теоремы является следующее утверждение.
Теорема 2 [10, 21, 37, 38]. Пусть в области Q выполнены условия 1, 2 теоремы 1 и, кроме
того,
3) R-решения [29] включения (3) для всех x0 ∈ D′ ⊂ D при t ∈
[
0, Lε−1
]
принадлежат
вместе с некоторой ρ-окрестностью области D.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что при ε ∈ (0, ε0] и
t ∈
[
0, Lε−1
]
справедливы следующие утверждения:
1) для любого R-решения Y (t) включения (3) существует R-решение X(t) включения (1)
такое, что выполняется неравенство
h(X(t), Y (t)) < η; (5)
2) для любого R-решения X(t) включения (1) существует R-решение Y (t) включения (3)
такое, что выполняется неравенство (5).
Замечание 1. В случае, когда многозначные отображения X(t, x), Ii(x) и моменты им-
пульсов τi периодичны, т. е. существуют ω > 0 и натуральное p такие, чтоX(t+ω, x) ≡ X(t, x),
Ii+p(x) ≡ Ii(x), τi+p = τi + ω, можно получить более точные оценки, а именно, показать, что
для любого L > 0 найдутся C(L) > 0 и ε0(L) > 0 такие, что справедливы теоремы 1, 2 с
η = Cε.
Данное замечание об улучшении оценки в периодическом случае справедливо и для осталь-
ных классов импульсных многозначных систем, поэтому не будем в дальнейшем на нем оста-
навливаться.
В работе [37] рассмотрено обоснование схемы полного усреднения для импульсных диф-
ференциальных включений (1) на бесконечном промежутке.
Теорема 3 [10, 21, 37, 38]. Пусть в области Q выполнены условия 1, 2 теоремы 1 и, кроме
того,
3) для всех x0 ∈ D′ ⊂ D и t ≥ 0 R-решения включения (3) равномерно асимптотически
устойчивы и принадлежит вместе с ρ-окрестностью области D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
130 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
Тогда для любого η > 0 существует такое ε0(η) > 0, что при ε ∈ (0, ε0] и t ≥ 0 вы-
полняется неравенство h
(
R(t), R̄(t)
)
≤ η, где R(t) — R-решение включения (1), R̄(t) − R-
решение включения (3), R(0) = R̄(0) = x0.
Теорема 4 [10, 21, 37, 38]. Пусть в областиQ выполнены условия 1, 2 теоремы 1 и, кроме
того,
3) усредненное включение (3) имеет периодическое R- решение R̄(τ), траектория которо-
го C является асимптотически орбитально устойчивой и принадлежит вместе с некоторой
δ-окрестностью области D.
Тогда для любого η ∈ (0, δ] можно указать такие ε0 > 0 и η0 ∈ (0, η], что при ε ∈ (0, ε0],
η1 ∈ (0, η0] и t ≥ 0 выполняется неравенство h
(
R(t), C
)
< η, где R(t) — R-решение включе-
ния (1), которое в начальный момент удовлетворяет условию h
(
R(0), C
)
< η1.
Теорема 5 [10, 21, 37, 38]. Пусть в области Q выполнены условия 1, 2 теоремы 1 и, кроме
того,
3) включение (3) имеет асимптотически устойчивое положение равновесия R̄0, которое
принадлежит вместе с некоторой ρ0-окрестностью области D.
Тогда для любых η ∈ (0, ρ0) существуют такие ε0 > 0 и η0 ∈ (0, η], что при ε ∈ (0, ε0],
η1 ∈ (0, η0] и t ≥ 0 выполняется неравенство h
(
R(t), R̄0
)
< η, где R(t) — R-решение включе-
ния (1), которое в начальный момент удовлетворяет условию h
(
R(0), R̄0
)
< η1.
В ряде случаев вместо схем полного усреднения применяются схемы частичного усредне-
ния. Такой вариант метода усреднения бывает полезен, когда для некоторых отображений не
существует среднего или же их наличие во включении не усложняет его исследования. В этом
случае импульсному дифференциальному включению (1) ставится в соответствие импульсное
дифференциальное включение
ẏ ∈ εX̃(t, y), t 6= νj , y(0) ∈ X0,
∆y|t=νj ∈ Kj(y),
где для любых t ≥ 0, x ∈ D существует предел
lim
T→∞
1
T
h
t+T∫
t
X(t, x)dt+
∑
t≤τi<t+T
Ii(x),
t+T∫
t
X̃(t, x)dt+
∑
t≤νj<t+T
Kj(x)
= 0.
Обоснование схем частичного усреднения для импульсных дифференциальных включений
содержится в [37].
В предыдущих теоремах при обосновании метода усреднения для дифференциальных вклю-
чений существенно использовалось выполнение условия Липшица для исходного или усреднен-
ного включения. В [41] условие Липшица было заменено односторонним условием Липшица.
В [42] для обыкновенных дифференциальных уравнений получено доказательство аналогичных
результатов без использования условия Липшица. В [43] доказан аналог теоремы Красносель-
ского – Крейна для импульсных дифференциальных включений.
Теорема 6 [10, 38, 43]. Пусть в области Q выполнены следующие условия:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 131
а) многозначные отображения X(t, x), Ii(x) равномерно ограничены постоянной M ;
X(t, x) непрерывно по t и равномерно непрерывно по x равномерно относительно t; Ii(x)
равностепенно непрерывны;
б) равномерно относительно (t, x) ∈ Q существует предел (2) и
1
T
i(t, t + T ) ≤ d < ∞,
где i(t, t+ T ) — количество точек последовательности {τi} на промежутке (t, t+ T ];
в) решения включения (3) для всех x0 ∈ D′ ⊂ D при t ∈
[
0, Lε−1
]
принадлежат вместе с
некоторой ρ-окрестностью области D;
г) модуль непрерывности многозначного отображения X(x) является функцией Кам-
ке [26].
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует ε0(η, L) > 0 такое, что при ε ∈ (0, ε0]
для любого решения x(t) включения (1), удовлетворяющего условию x(0) = x0, существует
решение включения (3) такое, что на промежутке
[
0, Lε−1
]
выполняется неравенство (4).
В работах В. А. Плотникова и Н. М. Китанова для дифференциальных включений, подвер-
гающихся импульсному воздействию в нефиксированные моменты времени, рассматривался
вопрос обоснования метода усреднения в форме теоремы о непрерывной зависимости реше-
ний от малого параметра.
Рассмотрим дифференциальные включения с импульсными воздействиями
ẋ ∈ F 1(t, x, ε), x(0) = x0, t 6= ετ1
i (x), t 6= σ1
i (x), (6)
∆x|t=ετ1i (x) ∈ εI1
i (x), ∆x|t=σ1
p(x) ∈ K1
p(x).
Включению (6) поставим в соответствие дифференциальное включение
ẏ ∈ F 2(t, y, ε), y(0) = x0, t 6= ετ2
i (x), t 6= σ2
i (y), (7)
∆y|t=ετ2i (y) ∈ εI2
i (y), ∆y|t=σ2
p(y) ∈ K2
p(y),
где t ∈ [0, L], x ∈ D ⊂ Rn, τ ji , σ
j
i : D → R — импульсные поверхности, F j : [0, L] × D ×
×R+ → conv(Rn), Iji , K
j
p : D → conv(Rn) — многозначные отображения, i = 1, k, p = 1, r,
j = 1, 2.
Предположим, что
lim
ε→0
h
1
∆
t+∆∫
t
F 1(t, x, ε) dt+ ε
∑
t<ετi(x)<t+∆
I1
i (x)
,
1
∆
t+∆∫
t
F 2(t, x, ε) dt+ ε
∑
t<ετ2i (x)<t+∆
I2
i (x)
= 0. (8)
Пусть Jj(t, t + ∆), j = 1, 2, — число асимптотически малых импульсов на промежутке
(t, t + ∆] (0 ≤ t, t + ∆ ≤ L) решений (6) и (7) соответственно. Обозначим через TD(x)
касательный конус в точке x ∈ D, т. е.
TD(x) =
{
y ∈ Rn : lim
s↓0
s−1 inf
z∈D
|x+ sy − z| = 0
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
132 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
Теорема 7 [10, 21, 38, 40, 44]. Пусть в области Q = {t ∈ [0, L], x ∈ D ⊂ Rn} выполнены
следующие условия:
1) многозначные отображения F j(t, x, ε), Iji (x) и функции τ ji (x) удовлетворяют условию
Липшица по x с постоянной λ, непрерывны по t и, кроме того, F j(t, x, ε) ⊂ TD(x), x+Iji (x) ⊂
⊂ D;
2) многозначные отображения F j(t, x, ε) и Iji (x) равномерно ограничены постоянной M ;
3) предел (8) существует равномерно относительно (t, x) ∈ Q;
4) числа Jj(t, t+ ∆), j = 1, 2, удовлетворяют неравенствам
1
∆
Jj(t, t+ ∆) ≤ A
ε
<∞;
5) поверхности t = ετ ji (x) не пересекаются между собой и для каждого x ∈ D, z ∈ Iji ,
j = 1, 2, выполняются неравенства τ ji (x) ≥ τ ji (x+ z),
∣∣τ ji+1(x)− τ ji (x)
∣∣ ≤M ;
6) отображения Kj
p(x) и функции σjp(x) удовлетворяют условию Липшица с постоянной
µ, кроме того, x+Kj
p(x) ⊂ D, x ∈ D;
7) поверхности t = σjp(x) не пересекаются между собой и σjp(x) ≥ σjp(x+ z) для каждого
x ∈ D и z ∈ Kj
p, j = 1, 2;
8) выполняются неравенства
µM < 1, h
(
K1
p(x),K2
p(x)
)
≤ η,
∣∣σ1
p(x)− σ2
p(x)
∣∣ ≤ η, ‖x0 − y0‖ ≤ δ.
Тогда для каждого ξ > 0 существуют η > 0 и δ > 0 такие, что:
1) для каждого решения x(t) включения (6) существует решение y(t) включения (7), для
которого справедлива оценка
∥∥x(t)− y(t)
∥∥ ≤ η, t ∈ [0, L]\
{⋃
p
[
s2
p − δp, s2
p + δp
]⋃
i
[
t2i −∆i, t
2
i + ∆i
]}
, (9)
где s2
p = σp(y((s2
p)), t
2
i = τi(y((t2i )), причем
∑
p
δp +
∑
i
∆i < Cη;
2) для каждого решения y(t) включения (7) существует решение x(t) включения (6), для
которого справедлива оценка (9).
Замечание 2. Как и в случае дифференциальных уравнений [9], можно показать, что
из теоремы 7 следуют теоремы об обосновании метода усреднения для дифференциальных
включений с импульсами в нефиксированные моменты времени.
2. Импульсные дифференциальные уравнения с производной Хукухары. Развитие тео-
рии многозначных отображений привело к вопросу о том, что понимать под производной
от многозначного отображения. Основной причиной, по которой возникают трудности при
введении данного понятия, является нелинейность пространства comp(Rn), что влечет за
собой отсутствие операции вычитания. Поэтому существует несколько подходов к опреде-
лению разности двух множеств и, соответственно, производной многозначного отображения:
M. Hukuhara ввел производную Хукухары, T. F. Bridgland — Huygens-производную, Ю. Н. Тюрин
и H. T. Banks, M. Q. Jacobs – π-производную, которая использует теорему вложения Радстрема,
А. В. Плотников – T -производную, А. Н. Витюк — дробную производную для многозначных
отображений, B. Bede, S. G. Gal ввели обобщенную производную для интервальных отобра-
жений, а А. В. Плотников и Н. В. Скрипник — обобщенную производную для многозначных
отображений. Возьмем за основу производную Хукухары.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 133
Определение 1 [45]. Пусть X, Y принадлежат conv(Rn). Множество Z ∈ conv(Rn) та-
кое, что X = Y + Z, называется разностью Хукухары множеств X и Y и обозначается
X h Y .
Определение 2 [46]. Многозначное отображение X : R → conv(Rn) дифференцируемо
по Хукухаре в точке t0 ∈ R, если существует DHX(t0) ∈ conv(Rn) такое, что пределы
lim
∆→0+
∆−1
(
X(t0 + ∆)
h
X(t0)
)
, lim
∆→0+
∆−1
(
X(t0)
h
X(t0 −∆)
)
(10)
существуют и равны DHX(t0).
В 1969 г. F. S. de Blasi и F. Iervolino рассмотрели дифференциальные уравнения с производ-
ной Хукухары [46]. В дальнейшем многие авторы изучали вопросы существования, единствен-
ности и свойства решений дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных урав-
нений, уравнений высших порядков, импульсных и управляемых уравнений с производной
Хукухары (см. библиографию в [47]).
В работах В. А. Плотникова и П. М. Китанова было получено обоснование метода полного
усреднения для импульсных дифференциальных уравнений с производной Хукухары, правые
части которых удовлетворяют условию Липшица [10]. Рассмотрим случай, когда правые части
неусредненного уравнения не удовлетворяют условию Липшица.
Рассмотрим импульсные дифференциальные уравнения с производной Хукухары вида
DHX(t) = εF (t,X), t 6= τi, X(0) = X0, (11)
∆X|t=τi = εIi(X). (12)
Системе (11), (12) поставим в соответствие частично усредненную систему
DHY (t) = εF (t, Y ), t 6= σj , Y (0) = Y0, (13)
∆Y |t=σj = εIj(Y ), (14)
где
lim
T→∞
1
T
h
T∫
0
F (t,X)dt+
∑
0≤τi<T
Ii(X),
T∫
0
F (t,X)dt+
∑
0≤σi<T
Ij(X)
= 0. (15)
Имеет место следующая теорема, устанавливающая близость решений задач (11), (12) и
(13), (14) на конечном промежутке.
Теорема 8 [48]. Пусть в области Q = {t ≥ 0, X ∈ D ⊂ conv(Rn)} выполняются следую-
щие условия:
1) многозначное отображение F (t,X) измеримо по t при каждом фиксированном X и
равномерно непрерывно по X равномерно относительно t;
2) многозначные отображения Ii(X) равностепенно непрерывны;
3) многозначное отображение F (t,X) измеримо по t при каждом фиксированном X и
удовлетворяет по X условию Липшица с ограниченной суммируемой функцией λ(t) ≥ 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
134 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
4) многозначные отображения Ij(X) удовлетворяют условию Липшица с постоянной λ;
5) существуют суммируемая функция M(t) ≥ 0 и постоянная M0 ≥ 0 такие, что
|F (t,X)| ≤M(t),
∣∣F (t,X)
∣∣ ≤M(t), |Ii(X)| ≤M0,
∣∣Ii(X)
∣∣ ≤M0,
t2∫
t1
M(t)dt ≤M0(t2 − t1)
для любого конечного промежутка [t1, t2];
6) равномерно относительно X ∈ D существует предел (15) и
1
T
i(t, t+ T ) ≤ d, 1
T
j(t, t+
+ T ) ≤ d, где i(t, t + T ), j(t, t + T ) — количество точек последовательностей {τi} и {σj}
соответственно на промежутке (t, t+ T ];
7) решение Y (·) системы (13), (14) с начальным условием Y (0) = X0 ∈ D′ ⊂ D определено
при t ≥ 0 для всех ε ∈ (0, θ] и лежит в области D с некоторой ρ-окрестностью.
Тогда для любых сколь угодно малого η > 0 и сколь угодно большого L > 0 можно указать
такое ε0(η, L) ∈ (0, θ], что при ε ∈ (0, ε0] для всех t ∈
[
0, Lε−1
]
выполняется неравенство
h
(
X(t), Y (t)
)
≤ η, где X(·) и Y (·) — решения систем (11), (12) и (13), (14) соответственно с
начальными условиями X(0) = Y (0) ∈ D′.
Замечание 3. Пусть
F (t,X) ≡ F0(X) = lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t,X)dt+
∑
0≤τi<T
Ii(X)
, Ii(X) ≡ {0}.
Тогда соотношение (15) выполняется и теорема 8 обосновывает схему полного усреднения.
3. Импульсные дифференциальные включения с производной Хукухары. В [49]
А. В. Плотниковым было введено понятие дифференциального включения с производной
Хукухары, получены некоторые свойства их решений и рассмотрена возможность примене-
ния некоторых схем усреднения для такого типа включений в стандартной форме [50, 51].
A. R. Dabrowska и T. Janiak получили некоторые аналогичные результаты для дифференциаль-
ных включений с производной Хукухары с запаздыванием. В [52] рассмотрено обоснование
метода полного и частичного усреднения для дифференциальных включений с производной
Хукухары, подвергающихся импульсному воздействию в фиксированные моменты времени.
Обозначим через cc(Rn)
(
cocc(Rn)
)
пространство, состоящее из всех непустых компактных
(и выпуклых) подмножеств пространства conv(Rn) с метрикой
χ(A,B) = max
{
max
a∈A
min
b∈B
h(a, b),max
b∈B
min
a∈A
h(a, b)
}
.
Рассмотрим дифференциальное включение с производной Хукухары с импульсными воз-
действиями в фиксированные моменты времени вида
DHX ∈ εF (t,X) t 6= τi, X(0) = X0, (16)
∆X|t=τi ∈ Ii(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 135
Если для любых t ≥ 0, X ∈ D ⊂ conv(Rn) существует предел
F0(X) = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (t,X)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X)
, (17)
то включению (16) поставим в соответствие усредненное включение
DHY ∈ εF̄ (Y ), Y (0) = X0. (18)
Теорема 9 [52]. Пусть в области Q =
{
t ≥ 0, X ∈ D ⊂ conv(Rn)
}
выполнены следующие
условия:
1) многозначные отображения F : Q → cocc(Rn), Ii : D → cocc(Rn) непрерывны, равно-
мерно ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица по X с постоянной λ;
2) равномерно относительно (t,X) ∈ Q существует предел (17) и
1
T
i(t, t+ T ) ≤ d <∞,
где i(t, t+ T ) — количество точек последовательности {τi} на промежутке (t, t+ T ];
3) решения включения (17) для всех X0 ∈ D′ ⊂ D при t ∈
[
0, Lε−1
]
принадлежат вместе
с некоторой ρ-окрестностью области D.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что при ε ∈ (0, ε0] и
t ∈
[
0, Lε−1
]
справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения Y (t) включения (18) существует решение X(t) включения (16)
такое, что выполняется неравенство
h
(
X(t), Y (t)
)
< η; (19)
2) для любого решения X(t) включения (16) существует решение Y (t) включения (18)
такое, что выполняется неравенство (19).
Таким образом, справедлива оценка χ
(
R(t), R0(t)
)
< η, где R(t) — сечение семейства
решений исходного включения, R0(t) — сечение семейства решений усредненного включения.
Для дифференциальных включений с производной Хукухары можно проводить частичное
усреднение, т. е. усреднять только некоторые слагаемые или сомножители [52].
4. Нечеткие импульсные дифференциальные уравнения. Теория нечетких множеств на-
чала развиваться с 1965 г. после работы L. A. Zadeh [53] в результате обобщения, переосмысле-
ния достижений: многозначной логики, позволившей перейти к произвольному множеству зна-
чений истинности (трехзначная логика Лукасевича, k-значная логика Поста, бесконечнозначная
логика); теории вероятностей и математической статистики, где аккумулируются всевозмож-
ные способы обработки экспериментальных данных (гистограммы, функции распределения)
и указываются пути формализации неопределенностей; дискретной математики (теория мат-
риц, теория автоматов, теория графов); многозначного анализа, предложившего инструмент
для формулирования адекватных моделей при решении множества практических задач. Фор-
мализации нечетких понятий позволяют приближенно описывать поведение систем настолько
сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому анализу. В
ряде случаев такое описание является единственно возможным, так как в реальных ситуаци-
ях закономерности, ограничения, критерии выбора в большей части субъективны и точно не
определены (см. обзоры [54 – 56]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
136 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
В 1983 г. M. L. Puri, D. A. Ralescu [57] ввели понятие H-производной и интеграла
для нечетких отображений, в котором использовался подход M. Hukuhara и R. J. Aumann
для α-срезок нечетких отображений. Аналогично, как и в теории многозначных отображений,
рассматриваются и другие понятия производной для нечетких отображений.
В 1987 г. O. Kaleva в работе [58] рассмотрел нечеткие дифференциальные уравнения
на основе H-производной. В дальнейшем в работах А. А. Мартынюка, А. В. Плотникова,
Н. В. Скрипник, В. И. Слынько, O. Kaleva, J. Y. Park, H. K. Han, S. Seikkala, C. X. Wu, S. J. Song
и др. были доказаны теоремы существования и изучались свойства решений для нечетких диф-
ференциальных уравнений на основе других понятий производной, получены условия устой-
чивости решений, рассмотрены уравнения высшего порядка, интегро-дифференциальные, им-
пульсные, управляемые нечеткие уравнения, возможность применения метода усреднения для
таких уравнений (см. [47, 59 – 63] и библиографию в них).
Введем в рассмотрение пространство En отображений u : Rn → [0, 1], удовлетворяющих
следующим условиям:
1) u полунепрерывно сверху по Бэру, т. е. для любого ỹ ∈ Rn и для любого ε > 0 существует
δ(ỹ, ε) > 0 такое, что для всех ‖y − ỹ‖ < δ выполняется неравенство u(y) < u(ỹ) + ε;
2) u нормально, т. е. существует вектор y0 ∈ Rn такой, что u(y0) = 1;
3) u нечетко выпукло, т. е. для любых y1, y2 ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется
неравенство u
(
λy1 + (1− λ)y2
)
≥ min
{
u(y1), u(y2)
}
;
4) замыкание множества
{
y ∈ Rn : u(y) > 0
}
компактно.
Обозначим через [u]α множество {y ∈ Rn : u(y) ≥ α} при 0 < α ≤ 1 и замыкание мно-
жества {y ∈ Rn : u(y) > 0} при α = 0. Будем называть множество [u]α α-срезкой нечеткого
множества u.
Нулем в пространстве En является элемент 0(y) =
{
1, y = 0,
0, y ∈ Rn\0.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(u, v) = sup
0≤α≤1
h
(
[u]α, [v]α
)
.
Теорема 10 [63]. Метрическое пространство (En, D) является полулинейным полным мет-
рическим пространством.
Определение 3 [63]. Отображение f : [t0, T ] → En называется измеримым (непрерыв-
ным), если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение fα(t) = [f(t)]α измеримо (непре-
рывно).
Определение 4 [63]. Отображение f : [t0, T ] → En называется интегрально ограничен-
ным, если существует суммируемая функция h(·) такая, что ‖y‖ ≤ h(t) для всех y ∈ f0(t).
Определение 5 [63]. Интегралом от отображения f : [t0, T ] → En на отрезке [t0, T ]
называется элемент g =
∫ T
t0
f(t)dt ∈ En такой, что [g]α =
∫ T
t0
fα(t) dt для всех α ∈ [0, 1].
Определение 6 [63]. Отображение f : [t0, T ] → En называется дифференцируемым в
точке t ∈ [t0, T ], если для любого α ∈ [0, 1] многозначное отображение fα(·) дифферен-
цируемо по Хукухаре в точке t и семейство
{
DHfα(t) : α ∈ [0, 1]
}
определяет некоторый
элемент f ′(t) ∈ En.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 137
Если f : [t0, T ]→ En дифференцируемо в точке t ∈ [t0, T ], то элемент f ′(t) будем называть
нечеткой производной от f(t) в точке t.
Определение 7. Отображение f : [t0, T ]→ En называется абсолютно непрерывным на
[t0, T ], если существует интегрируемое отображение g : [t0, T ]→ En такое, что
f(t) = f(t0) +
t∫
t0
g(s)ds для всех t ∈ [t0, T ].
Рассмотрим нечеткое импульсное дифференциальное уравнение вида
x′ = f(t, x), t 6= τi, x(t0) = x0, (20)
x(τi + 0) = ψ
(
x(τi)
)
, (21)
где t ∈ I — время, x ∈ G ⊂ En — фазовая переменная, f : I×G→ En — нечеткое отображение,
ψi : G → En, i = 1,m, — импульсные нечеткие отображения, (t0, x0) ∈ I × G — начальное
условие,τi ∈ I, i = 1,m, — моменты импульсов, занумерованные в возрастающем порядке.
Определение 8. Отображение x : I0 → En, I0 ⊂ I, называется решением задачи (20),
(21), если оно непрерывно, удовлетворяет интегральному уравнению
x′(t) = x0 +
t∫
t0
f
(
s, x(s)
)
ds
на промежутках между импульсами и условию скачка (21) в точках импульса.
Рассмотрим обоснование схемы частичного усреднения для нечетких дифференциальных
уравнений с импульсами в фиксированные моменты времени:
x′ = εf(t, x), t 6= τi, x(0) = x0, (22)
∆x|t=τi = εIi(x), (23)
где t ≥ 0, x ∈ G ⊂ En, f : R+ × G → En, Ii : G → En — нечеткие отображения, τi ∈ R+ —
моменты импульсов, занумерованные в возрастающем порядке.
Системе (22), (23) поставим в соответствие частично усредненную систему
y′ = εf(t, y), t 6= σj , y(0) = x0, (24)
∆y|t=σj = εIj(y), (25)
где отображения f : R+ ×G→ En, Ij : G→ En таковы, что
lim
T→∞
1
T
D
T∫
0
f(t, x)dt+
∑
0≤τi<T
Ii(x),
T∫
0
f(t, x)dt+
∑
0≤σj<T
Ij(x)
= 0, (26)
моменты импульсов σj ∈ R+ занумерованы множеством натуральных чисел в возрастающем
порядке.
Справедлива следующая теорема, устанавливающая близость решений задач (22), (23) и
(24), (25) на конечном промежутке.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
138 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
Теорема 11 [47]. Пусть в области Q = {t ≥ 0, x ∈ G ⊂ En} выполнены следующие
условия:
1) отображение f(t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и равномерно непре-
рывно по x равномерно относительно t;
2) отображения Ii(x) равностепенно непрерывны;
3) отображение f(t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и удовлетворяет по
x условию Липшица с ограниченной суммируемой функцией λ(t) ≥ 0;
4) отображения Ij(x) удовлетворяют условию Липшица с постоянной λ;
5) отображения f(t, x) и f(t, x) интегрально ограничены, отображения Ii(x), Ij(x) рав-
номерно ограничены, т. е. существуют суммируемая функция M(t) ≥ 0 и постоянная M0 ≥ 0
такие, что
D
(
f(t, x), 0̂
)
≤M(t), D
(
f(t, x), 0̂
)
≤M(t), D
(
Ii(x), 0̂
)
≤M0, D
(
Ij(x), 0̂
)
≤M0
и
∫ t2
t1
M(t)dt ≤M0(t2 − t1) на любом конечном промежутке [t1, t2];
6) равномерно относительно x в области G существуют предел (26) и постоянная 0 ≤
≤ d <∞ такая, что
1
T
i(t, t+T ) ≤ d, 1
T
j(t, t+T ) ≤ d, где i(t, t+T ) и j(t, t+T ) — количество
точек последовательностей {τi} и {σj} соответственно на промежутке (t, t+ T ];
7) решение y(·), y(0) = x0 ∈ G′ ⊂ G, системы (24), (25) при t ≥ 0 для всех ε ∈ (0, θ]
принадлежит вместе с некоторой ρ-окрестностью области G.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 можно указать такое ε0(η, L) ∈ (0, θ], что при ε ∈ (0, ε0]
на отрезке t ∈
[
0, Lε−1
]
выполняется неравенство D
(
x(t), y(t)
)
≤ η, где x(·) и y(·) — решения
систем (22), (23) и (24), (25) соответственно.
Следствие 1. Пусть f(t, x) ≡ f0(x) = limT→∞
1
T
(∫ T
0
f(t, x)dt+
∑
0≤τi<T
Ii(x)
)
,
Ii(x) ≡ 0̂. Тогда соотношение (26) выполнено и теорема 11 обосновывает схему полного
усреднения.
5. Импульсные нечеткие дифференциальные включения. В 1989 г. В. А. Байдосов [64,
65] и J.-P. Aubin [66] ввели понятие дифференциального включения с нечеткой правой частью,
свойства решений которых впоследствии изучались в работах S. Abbasbandy, Y. Chalco-Cano,
E. Hullermeier, V. Lakshmikantham, J.J. Nieto, J.Y. Park, H. Roman-Flores, A. A. Tolstonogov и
др. с помощью сведения их к обычным дифференциальным включениям на уровне α-срезок,
а в 2005 г. в работах В. С. Васильковской, И. В. Молчанюк, А. В. Плотникова были введены
управляемые дифференциальные включения с нечеткой правой частью.
В 2008 г. Н. В. Скрипник ввела понятие нечеткого дифференциального включения, были
рассмотрены различные понятия решения [67 – 69] и связь между ними, доказаны теоремы
существования и непрерывной зависимости для классических решений [68].
Рассмотрим пространство comp(En) [conv(En)] , состоящее из всех подмножеств F про-
странства En таких, что для любого α ∈ [0, 1] множество, составленное из α-срезок элементов
множества F, является непустым (и выпуклым) компактом в пространстве conv(Rn)
(
т. е. эле-
ментом пространства cc(Rn) [cocc(Rn)]
)
. В этом пространстве определим операции суммы и
умножения на скаляр.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 139
Определение 9 [68]. Суммой двух множеств F и G из пространства comp(En) назы-
вается множество F +G = {f + g : f ∈ F, g ∈ G}.
Определение 10 [68]. Произведением множества F ∈ comp(En) на число λ ∈ R назы-
вается множество G = λF = {g = λf : f ∈ F}.
Лемма 1 [68]. Если F, G ∈ comp(En)
(
conv(En)
)
, λ ∈ R, то
F +G, λF ∈ comp(En)
(
conv(En)
)
.
Определение 11 [68]. Метрикой, или расстоянием, между двумя множествами F, G ∈
∈ comp(En) назовем величину d(F,G) = max
{
maxf∈F ming∈GD(f, g),maxg∈G minf∈F D(f, g)
}
.
Рассмотрим нечеткое дифференциальное включение
x′ ∈ F (t, x), x(t0) = x0, (27)
где t ∈ I ⊂ R, x ∈ G ⊂ En, t0 ∈ I, x0 ∈ G — начальные условия, F : I ×G→ comp(En).
Определение 12. Абсолютно непрерывное отображение x(·) называется обычным ре-
шением дифференциального включения (27), если x′(t) принадлежит F
(
t, x(t)
)
почти всюду
на I .
В [68] доказана теорема существования и единственности решения нечеткого дифферен-
циального включения, а также непрерывной зависимости решения от начальных данных и
правых частей.
Рассмотрим обоснование схемы полного усреднения на конечном промежутке для нечеткого
импульсного дифференциального включения
x′ ∈ εF (t, x), t 6= τi, x(0) = x0, (28)
∆x|t=τi ∈ εIi(x).
Если для любых t ≥ 0, x ∈ G существует предел
F̄ (x) = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (t, x)dt+
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(x)
, (29)
то включению (28) поставим в соответствие усредненное включение
y′ ∈ εF̄ (y), y(0) = x0. (30)
Теорема 12 [70]. Пусть в области Q = {t ≥ 0, x ∈ G ⊂ En} выполняются следующие
условия:
1) нечеткие многозначные отображения F : Q → conv(En), Ii : G → conv(En) непре-
рывны, равномерно ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица по x с
постоянной λ;
2) равномерно относительно (t, x) ∈ Q существует предел (29) и
1
T
i(t, t+ T ) ≤ ν <∞,
где i(t, t+ T ) — количество точек последовательности τi на промежутке (t, t+ T ];
3) для любых x0 ∈ G′ ⊂ G и t ≥ 0 решения включения (30) принадлежат вместе с
некоторой ρ-окрестностью области G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
140 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
Тогда для любых η ∈ (0, ρ] и L > 0 существует ε0(η, L) > 0 такое, что для всех ε ∈ (0, ε0]
и t ∈
[
0, Lε−1
]
справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения y(t) включения (30) существует решение x(t) включения (28) такое,
что
D
(
x(t), y(t)
)
< η; (31)
2) для любого решения x(t) включения (28) существует решение y(t) включения (30) такое,
что справедлива оценка (31).
Аналогично можно рассмотреть обоснование схемы частичного усреденения для нечетких
импульсных дифференциальных включений [71].
6. Заключение. В данном обзоре приведены результаты по обоснованию метода усреднения
для некоторых классов импульсных многозначных систем: импульсных дифференциальных
включений, импульсных дифференциальных уравнений и включений с производной Хукухары,
импульсных нечетких дифференциальных уравнений и включений.
1. Мильман В. Д., Мышкис А. Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сиб. мат. журн. – 1960. – 1,
№ 2. – C. 233 – 237.
2. Мильман В. Д., Мышкис А. Д. Случайные толчки в линейных динамических системах // Приближенные методы
решения дифференциальных уравнений. – Киев: Изд-во АН УССР, 1963. – С. 64 – 81.
3. Мышкис А. Д., Самойленко А. М. Системы с толчками в заданные моменты времени // Мат. сб. – 1967. – 74,
№ 2. – C. 202 – 208.
4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Наука, 1974. – 503 с.
5. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы: Модели и приложения. – М.: Наука, 1991. – 256 с.
6. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н., Дрозденко С. Е. Динамические системы с импульсной структурой. – Сверд-
ловск: Средн.-Урал. кн. изд-во, 1983. – 112 с.
7. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. – Киев: Изд-во АН УССР, 1937. – 363 с.
8. Кривонос Ю. Г., Матичин И. И., Чикрий А. А. Динамические игры с разрывными траекториями. – Киев: Наук.
думка, 2005. – 220 с.
9. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1971. – 440 с.
10. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007. – 428 с.
11. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища
шк., 1987. – 288 с.
12. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем / Пер. с англ. – М.: Мир, 1971. – 309 с.
13. Chikrii A.A., Matychyn I, Chikrii K. Differencial games with impulse control // Adv. Dynam. Game Theory, Ann.
Int. Soc. Dynam. Games. – Boston: Birkhäuser, 2007. – 9. – 735 p.
14. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989. – 275 p.
15. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci., 1995. – 462 p.
16. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. – М.: Наука, 1986. – 256 с.
17. Митропольский Ю. А., Хома Г. Н. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной меха-
ники. – Киев: Наук. думка, 1983. – 216 с.
18. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. – М.: Наука, 1981. – 400 с.
19. Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. – Одесса: Одес. гос. ун-т,
1976. – 103 с.
20. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. – 188 с.
21. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 1999. – 356 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ СИСТЕМ 141
22. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне-
ний. – Ташкент: Фан, 1974. – 216 с.
23. Wazewski T. Selected papers. – Warszawa: PWN, 1990. – 572 p.
24. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. – 1967. – № 3. – C. 16 – 26.
25. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. – М.: Высш. шк., 2001. – 239 с.
26. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Топология,
обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы: Сб. обзор. ст. 2. К 50-летию института
(Труды Мат. ин-та АН СССР, Т. 169). – М.: Наука, 1985. – С. 194 – 252.
27. Дончев А. Системы оптимального управления: возмущения, приближения и анализ чувствительности / Пер. с
англ. А. В. Фролова. – М.: Мир, 1987. – 156 с.
28. Згуровский М. З., Мельник В. С. Нелинейный анализ и управление бесконечномерными системами. – Киев:
Наук. думка, 1999. – 632 с.
29. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления. – Минск:
Изд-во Белорус. ун-та, 1977. – 208 с.
30. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. – Минск:
Наука и техника, 1986. – 296 с.
31. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. – Новосибирск: Наука, 1986. –
296 с.
32. Филатов О. П., Хапаев М. М. Усреднение систем дифференциальных включений. – М.: Изд-во Моск. ун-та,
1998. – 160 с.
33. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985. – 224 с.
34. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory. – Springer-Verlag, 1984. – 348 p.
35. Deimling K. Multivalued differential equations. – Berlin: Walter de Gruyter, 1992. – 257 p.
36. Kisielewicz M. Differential inclusion and optimal control. – Warszawa: PWN, 1991. – 239 p.
37. Плотников В. А., Плотникова Л. И. Усреднение дифференциальных включений с многозначными импульсами
// Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 11. – C. 1526 – 1532.
38. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities // De Gruyter Stud. Math. – Berlin; Boston: Walter De Gruyter
GmbH and Co., 2011. – 40. – 307 p.
39. Plotnikov V. A., Ivanov R., Kitanov N. Differential inclusions with finite number of impulses in fixed moments //
Discrete Math. and Appl. Res. Math. – 1995. – № 5. – P. 246 – 254.
40. Plotnikov V. A., Ivanov R. P., Kitanov N. M. Method of averaging for impulsive differential inclusions // Pliska Stud.
Math. Bulg. – 1998. – № 12. – P. 43 – 55.
41. Donchev T. Functional differential inclusions involving dissipative and compact multifunctions // Glas. mat. – 1998.
– № 33(53). – P. 51 – 60.
42. Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи мат. наук. – 1955.
– 10, № 3(65). – C. 147 – 152.
43. Плотникова Н. В. Усреднение импульсных дифференциальных включений // Мат. студ. – 2005. – 23, № 1. –
C. 52 – 56.
44. Плотников В. А., Китанов Н. М. Непрерывная зависимость решений импульсных дифференциальных вклю-
чений и импульсных задач управления // Кибернетика и систем. анализ. – 2002. – № 5. – C. 71 – 85.
45. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvacioj. –
1967. – № 10. – P. 205 – 223.
46. de Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione mat. ital.
– 1969. – 2, № 4 – 5. – P. 491 – 501.
47. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной правой
частью. Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 2009.
48. Скрипник Н. В. Усереднення iмпульсних диференцiальних рiвнянь з похiдною Хукухари // Вiсн. Чернiв. нац.
ун-ту. – 2008. – Вип. 374. – C. 109 – 115.
49. Плотников А. В. Дифференциальные включения с производной Хукухары и некоторые задачи управления. –
Одесса, 1982. – 35 c. – Деп. в ВИНИТИ, № 2036-82. – 35 с.
50. Плотников А. В. Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары // Укр. мат. журн. –
1989. – 42, № 1. – C. 121 – 125.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
142 Н. А. ПЕРЕСТЮК, Н. В. СКРИПНИК
51. Плотников А. В. Исследование некоторых дифференциальных уравнений с многозначной правой частью: Дис.
. . . д-ра физ.-мат. наук. – Одесса, 1994.
52. Скрипник Н. В. Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары // Нелiнiйнi
коливання. – 2007. – 10, № 3. – C. 416 – 432.
53. Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. Control. – 1965. – № 8. – P. 338 – 353.
54. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. – М.: Радио и связь, 1982. – 432 с.
55. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под. ред. Д. А. Поспелова. – М.:
Наука, 1986. – 312 с.
56. Dubois D., Prade H. Theory and applications // Math. in Sci. and Eng. – New York; London: Acad. Press, 1980. –
144. – 393 p.
57. Puri M. L., Ralescu D. A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1983. – 91. – P. 552 – 558.
58. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 1987. – 24, № 3. – P. 301 – 317.
59. Мартынюк А. А., Слынько В. И. Об ограниченности движений механических систем, описываемых нечеткими
обыкновенными дифференциальными уравнениями // Прикл. механика. – 2005. – 41, № 12. – C. 93 – 99.
60. Мартынюк А. А., Слынько В. И. О глобальном существовании решений нечетких дифференциальных уравне-
ний // Дифференц. уравнения. – 2006. – 42, № 10. – C. 1324 – 1336.
61. Benchohra M., Nieto J. J., Ouahab A. Fuzzy solutions for impulsive differential equations // Communs Appl. Anal.
– 2007. – 11, № 3-4. – P. 379 – 394.
62. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor and
Francis Publ., 2003. – 178 p.
63. Park J. Y., Han H. K. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 2000. – № 110. – P. 69 – 77.
64. Байдосов В. А. Дифференциальные включения с нечеткой правой частью // Докл. АН СССР. – 1989. – 309,
№ 4. – C. 781 – 783.
65. Байдосов В. А. Нечеткие дифференциальные включения // Прикл. матемаматика и механика. – 1990. – 54,
вып 1. – C. 12 – 17.
66. Aubin J.-P. Fuzzy differential inclusions // Probl. Control Inform. Theory. – 1990. – 19, № 1. – P. 55 – 67.
67. Скрипник Н. В. Существование классических решений нечетких дифференциальных включений // Укр. мат.
вест. – 2008. – 5. – C. 244 – 257.
68. Скрипник Н. В. Квазирешения нечетких дифференциальных включений // Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14,
№ 4. – C. 528 – 535.
69. Plotnikov A. V., Skripnik N. V. The generalized solutions of the fuzzy differential inclusions // Int. J. Pure and Appl.
Math. – 2009. – 56, № 2. – P. 165 – 172.
70. Skripnik N. V. The full averaging of fuzzy impulsive differential inclusions // Surv. Math. and Appl. – 2010. – 5. –
P. 247 – 263.
71. Skripnik N.V. The partial averaging of fuzzy impulsive differential inclusions // Different. and Integr. Equat. – 2011.
– 24, № 7-8. – P. 743 – 758.
Получено 03.08.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2409 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:52Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/86/60bf1147805ec20e56367500efb11686.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24092020-03-18T19:14:46Z Averaging of set-valued impulsive systems Усреднение импульсных многозначных систем Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. We give a review of the development of ideas of the averaging method for some classes of set-valued impulsive systems (impulsive differential inclusions, impulsive differential equations and inclusions with Hukuhara derivative, and impulsive fuzzy differential equations and inclusions). Викладено розвиток iдей методу усереднення для деяких класiв iмпульсних багатозначних систем (iмпульсних диференцiальних включень, iмпульсних диференцiальних рiвнянь i включень з похiдною Хукухари, iмпульсних нечiтких диференцiальних рiвнянь i включень). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2409 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 1 (2013); 126-142 Український математичний журнал; Том 65 № 1 (2013); 126-142 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2409/1585 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2409/1586 Copyright (c) 2013 Perestyuk N. A.; Skripnik N. V. |
| spellingShingle | Perestyuk, N. A. Skripnik, N. V. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Перестюк, Н. А. Скрипник, Н. В. Averaging of set-valued impulsive systems |
| title | Averaging of set-valued impulsive systems |
| title_alt | Усреднение импульсных многозначных систем |
| title_full | Averaging of set-valued impulsive systems |
| title_fullStr | Averaging of set-valued impulsive systems |
| title_full_unstemmed | Averaging of set-valued impulsive systems |
| title_short | Averaging of set-valued impulsive systems |
| title_sort | averaging of set-valued impulsive systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2409 |
| work_keys_str_mv | AT perestyukna averagingofsetvaluedimpulsivesystems AT skripniknv averagingofsetvaluedimpulsivesystems AT perestûkna averagingofsetvaluedimpulsivesystems AT skripniknv averagingofsetvaluedimpulsivesystems AT perestûkna averagingofsetvaluedimpulsivesystems AT skripniknv averagingofsetvaluedimpulsivesystems AT perestyukna usrednenieimpulʹsnyhmnogoznačnyhsistem AT skripniknv usrednenieimpulʹsnyhmnogoznačnyhsistem AT perestûkna usrednenieimpulʹsnyhmnogoznačnyhsistem AT skripniknv usrednenieimpulʹsnyhmnogoznačnyhsistem AT perestûkna usrednenieimpulʹsnyhmnogoznačnyhsistem AT skripniknv usrednenieimpulʹsnyhmnogoznačnyhsistem |