Normally solvable operator equations in a Banach space
On the basis of a generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of linear, bounded, normally solvable operators in Banach spaces, we propose a procedure for the construction of a generalized inverse for a linear, bounded, normally solvable operator whose kernel and image are complement...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2411 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508293158404096 |
|---|---|
| author | Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. |
| author_facet | Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. |
| author_sort | Boichuk, О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:01Z |
| description | On the basis of a generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of linear, bounded, normally solvable operators in Banach spaces,
we propose a procedure for the construction of a generalized inverse for a linear, bounded, normally solvable operator whose kernel and image are complementable in the indicated spaces.
This construction allows one to obtain a solvability criterion for linear normally solvable operator equations and a formula for finding their general solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. А. Покутный (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
On the basis of a generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of linear, bounded, normally solvable
operators in Banach spaces, we propose a procedure for the construction of a generalized inverse for a linear, bounded,
normally solvable operator whose kernel and image are complementable in the indicated spaces. This construction allows
one to obtain a solvability criterion for linear normally solvable operator equations and a formula for finding their general
solutions.
На основi узагальнення вiдомої леми Е. Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв
у банахових просторах запропоновано конструкцiю узагальнено-оберненого оператора до лiнiйного обмеженого
нормально розв’язного, ядро та образ якого доповнювальнi в цих просторах. Ця конструкцiя дозволяє отримати
критерiй розв’язностi та формулу для зображення загального розв’язку лiнiйних нормально розв’язних операторних
рiвнянь.
Многочисленные задачи теории функционально-дифференциальных уравнений и краевых за-
дач для них [1, 2] могут быть записаны в виде линейного операторного уравнения Lz = f
с ограниченным оператором. Такая запись позволяет сосредоточиться на общих закономер-
ностях, присущих каждому классу задач. В случае, когда оператор L всюду и однозначно
разрешим, т. е. когда существует ограниченный обратный оператор L−1, такие уравнения хо-
рошо изучены. Если же оператор L не является всюду разрешимым, возникают задачи об
обобщенном обращении операторов в функциональных пространствах [1]. Известно [3, 4], что
при построении обобщенно-обратных операторов к нормально разрешимым классическая кон-
струкция Э. Шмидта применима лишь для фредгольмовых операторов. Поэтому актуальной
является задача о возможности построения ограниченных обобщенно-обратных операторов к
различным классам линейных ограниченных нефредгольмовых операторов в банаховых про-
странствах. Так, в [5] с использованием теоремы Ф. В. Аткинсона [3], которая описывает
класс нетеровых операторов и обобщает известную теорему С. М. Никольского [6], получе-
на конструкция обобщенно-обратного оператора к нетеровому. Однако она не охватывает все
множество обобщенно-обратимых операторов [7]. В работе выделен класс ограниченных опе-
раторов, действующих в бесконечномерных банаховых пространствах, для которых удается
построить конструкцию ограниченного обобщенно-обратного оператора, аналогичную извест-
ной конструкции Э. Шмидта.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
Lz = f (1)
в предположении, что L — линейный ограниченный оператор, действующий из банахова про-
странства B1 в банахово пространство B2, L : B1→ B2.
Пусть ядро N(L) и образ R(L) оператора L дополняемы [8, 9] в банаховых пространствах
B1 и B2 соответственно. Это значит [7, с. 139], что оператор L обобщенно обратим. С каждой
c© А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2 163
164 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
парой взаимно дополняемых пространств связаны ограниченные проекторы [8] PN(L) и PR(L),
которые индуцируют разбиение B1 и B2 в прямые топологические суммы
B1 = N(L)⊕X ,
B2 = Y ⊕R(L),
(2)
PN(L) : B1→ N(L), PR(L) : B2→ R(L). Дополнительные проекторы на подпространства X и Y
соответственно будем обозначать PX = IB1−PN(L) и PY = IB2−PR(L).
Известно [8, c. 73], что если подпространство X1 дополняемо подпространством X2 в бана-
ховом пространстве B, то оно имеет бесконечно много различных дополнений X̃2. С каждой
парой взаимно дополняемых подпространств связан ограниченный проектор PX1 . Норма про-
ектора может служить оценкой „качества” дополнения: чем больше ‖PX1‖, тем „хуже” допол-
нение. Описание ограниченных проекторов P̃X1 в общем виде, порождающих это множество
дополнений, дается в лемме А. Собчика [8, c. 80].
В дальнейшем класс линейных ограниченных обобщенно-обратимых операторов, действу-
ющих из банахова пространства B1 в банахово пространство B2, будем обозначать GI(B1,B2).
Очевидно, что оператор из GI(B1,B2) является нормально разрешимым.
Ставится задача о нахождении условий существования и построении ограниченного обоб-
щенно-обратного оператора L− к оператору L ∈ GI(B1,B2), установлении критерия разреши-
мости и представлении решений уравнения (1).
Вспомогательный результат. Поставленная задача будет рассматриваться в предположе-
нии, что выполнено одно из следующих условий:
1. Подпространство N(L) линейно изоморфно дополняемому в Y подпространству Y1,
N(L) ∼= Y1 ⊂ Y.
Это значит, что существуют линейный ограниченный обратимый оператор J1 : N(L)→ Y1
такой, что J1N(L) = Y1, J−1
1 Y1 = N(L), и ограниченный проектор PY1 : B2→ B2, разбивающий
подпространство Y в прямую сумму замкнутых подпространств
Y = Y1⊕Y2, (3)
где Y1 = PY1B2, Y2 = PY2B2, PY2 = (PY −PY1) — ограниченный проектор. В этом случае
справедливы следующие разложения для тождественных операторов:
IB1 = PN(L)+PX ,
IB2 = PY1 +PY2 +PR(L)
(4)
пространств B1 и B2 соответственно.
2. Подпространство Y линейно изоморфно дополняемому в N(L) подпространству N1(L),
Y ∼= N1(L) ⊂ N(L).
В этом случае существуют линейный ограниченный обратимый оператор J2 : N1(L)→ Y
такой, что J2N1(L)=Y, J−1
2 Y =N1(L), и ограниченный проектор PN1(L) : B1→B1, разбивающий
подпространство N(L) в прямую сумму замкнутых подпространств
N(L) = N1(L)⊕N2(L),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 165
где N1(L) =PN1(L)B1, N2(L) =PN2(L)B1, PN2(L) =PN(L)−PN1(L) — ограниченный проектор.
В этом случае имеем два разложения
IB1 = PN1(L)+PN2(L)+PX ,
IB2 = PY +PR(L).
3. Подпространство N(L) линейно изоморфно подпространству Y, N(L)∼= Y.
В этом случае существует линейный ограниченный обратимый оператор J3 : N(L) → Y
такой, что J3N(L) = Y, J−1
3 Y = N(L).
Продолжим нулем операторы J1 и J3 на подпространстве X , а J2 на подпространстве X ⊕
⊕N2(L) и обозначим расширения операторов Ji, i = 1,2,3, на пространство B1 через PY1 : B1→
→ Y1 ⊆ Y. Аналогично продолжим нулем оператор J−1
1 на подпространстве Y2⊕R(L), а опера-
торы J−1
2 , J−1
3 на подпространстве R(L) и обозначим через PN1(L) : B2→ N1(L)⊆ N(L) расши-
рения операторов J−1
i , i = 1,2,3, на пространство B2. В случае 3 Y1 ≡Y, N1(L)≡N(L) и поэтому
PY1 ≡PY , PN1(L) ≡PN(L).
Лемма 1. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено одно из условий 1 или 2. Тогда
оператор L = L+PY1 имеет ограниченный односторонне обратный
L−1
l,r =
{
(L+PY1)
−1
l − левый, если N(L)∼= Y1 ⊂ Y,
(L+PY )
−1
r − правый, если N(L)⊃ N1(L)∼= Y.
Общий вид односторонне обратных операторов L−1
l0,r0
задается формулой
L−1
l0,r0
=
{
L−1
l (IB2−P̃Y2) − левый, если N(L)∼= Y1 ⊂ Y,
(IB1−P̃N2(L))L
−1
r − правый, если N(L)⊃ N1(L)∼= Y,
где P̃N2(L) : B1→ N2(L) и P̃Y2 : B2→ Y2− произвольные ограниченные проекторы.
Доказательство. Пусть, например, N(L) изоморфно подпространству Y1 ⊂Y. Покажем, что
оператор L+PY1 имеет ограниченный левый обратный. Для этого необходимо и достаточно
показать, что [7, c. 61]:
i) N(L) = N(L+PY1) = {0};
ii) R(L+PY1) дополняемо в B2.
Покажем это.
i) Пусть существует элемент z0 ∈ B1, z0 6= 0, такой, что
(L+PY1)z0 = Lz0 +PY1z0 = 0. (5)
Из (5) следует, что
Lz0 ∈ R(L), PY1z0 ∈ Y1.
Подпространства R(L) и Y взаимно дополняют друг друга, Y1⊂Y, следовательно, R(L)
⋂
Y1 =
= {0}. Таким образом, они имеют только один общий элемент — нулевой, Lz0 = 0 и PY1z0 = 0,
т. е. z0 ∈N(L) и z0 ∈N(PY1)⊂ X одновременно. Подпространства N(L) и X взаимно дополняют
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
166 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
друг друга. Следовательно, N(L)
⋂
X = {0}. Отсюда следует, что z0 = 0. Полученное противо-
речие доказывает, что N(L+PY1) = {0}.
ii) Дополняемость R(L+PY1) следует из ограниченности проектора PY2 и соотношения (3).
Таким образом, оператор L+PY1 имеет левый обратный.
Известно [7], что левые обратные операторы в общем виде записываются следующим об-
разом: L−1
l0 = L−1
l PR(L), где PR(L) — некоторый проектор со свойством R(PR(L)) = R(L). Как
следует из (4), таким свойством обладает проектор IB2 − P̃Y2 , т. е. R(IB2 − P̃Y2) = R(L), где
P̃Y2 : B2 → Y2 — ограниченный проектор, построенный в общем виде. Отсюда следует, что
общее представление левых обратных операторов таково:
L−1
l0 = L−1
l (IB2−PỸ2
).
В случае, когда Y изоморфно подпространству N1(L)⊂N(L), имеем Y1≡Y и PY1 ≡PY . Для
существования ограниченного правого обратного оператора к оператору L+PY необходимо и
достаточно показать, что [7, c. 62]:
i) R(L) = R(L+PY ) = B2;
ii) N(L+PY ) дополняемо в B1.
Для этого случая доказательство аналогично проведенному выше.
Замечание 1. Если оператор L∈GI(B1,B2) нетеров (ind L= dimker L−dimker L∗ 6= 0<∞),
то лемма 1 переходит в лемму 2.4 из [5, c. 47; 2].
Замечание 2. В отличие от конечномерного случая, когда ядро и коядро оператора L ко-
нечномерны, для ограниченности односторонне обратного оператора L−1
l0,r0
в бесконечномерном
случае требования дополняемости нуль-пространства N(L) и образа R(L) оказывается недоста-
точно, так как ядро и образ оператора L могут оказаться недополняемыми. Поэтому дополняе-
мость подпространств Y1, N1(L) в Y и N(L), соответственно, является существенным условием
и выполняется в банаховых пространствах далеко не всегда (в отличие от гильбертовых, име-
ющих ортогональное дополнение к любому подпространству).
В качестве иллюстрации приведем следующий пример.
Пример 1. Рассмотрим оператор Pnz = (z1,z2, . . . ,zn,0,0, . . .), где z = (z1,z2, . . . ,zn, zn+1, . . .),
действующий на конечномерное подпространство бесконечномерного банахового простран-
ства, Pn : lp→ lq, где p < q, p,q∈ [1;+∞], p 6= 2. Линейность и ограниченность такого оператора
очевидна. Ядро N(Pn) оператора Pn состоит из всех векторов пространства lp, у которых первые
n координат равны нулю. Очевидно, что бесконечномерное подпространство N(Pn) дополняемо
в пространстве lp. Его дополнением служит изоморфное Rn подпространство, состоящее из
элементов, у которых все координаты, начиная с (n+1)-й, равны нулю. Известно [8], что бес-
конечномерное подпространство X пространства lp дополняемо тогда и только тогда, когда оно
изоморфно lp. Отсюда, в частности, следует, что lp не дополняемо в lq. Множество значений
оператора Pn, очевидно, изоморфно Rn, и, следовательно, дополняемо в lq. Его дополнением
является подпространство, изоморфное lq. На основании изложенного выше можно сделать
вывод о том, что оператор Pn индуцирует следующие разбиения подпространств lp и lq :
lp = N(Pn)⊕X ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 167
lq = Y ⊕R(Pn),
где подпространство N(Pn) изоморфно lp, а подпространство Y изоморфно lq. Таким образом,
подпространство N(Pn) изоморфно недополняемому в Y подпространству Y1.
Лемма 2. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено условие 3. Тогда оператор
L = L+PY имеет ограниченный обратный
L−1
= (L+PY )
−1
.
Доказательство. Поскольку N(L) изоморфно Y, по лемме 1 существуют ограниченный
левый и правый обратный операторы к оператору L. Отсюда следует, что существует ограни-
ченный обратный оператор L−1
.
Замечание 3. Если оператор L ∈ GI(B,B) действует из банахова пространства B в себя и
N(L) изоморфно Y, то он называется приводимо-обратимым и доказанная лемма переходит в
теорему 1.6 из [11, с. 28].
Замечание 4. Если оператор L∈GI(B1,B2) фредгольмов (indL = 0), то лемма 2 переходит
в известную лемму Е. Шмидта [4, с. 340].
Основной результат.
Теорема 1. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено одно из условий 1 или 2. Тогда
оператор
L− =
{
(L+PY1)
−1
l −PN(L) − левый, если N(L)∼= Y1 ⊂ Y,
(L+PY )
−1
r −PN1(L) − правый, если N(L)⊃ N1(L)∼= Y,
(6)
является ограниченным обобщенно-обратным к оператору L.
Общий вид обобщенно-обратных операторов L−0 к оператору L дается формулой
L−0 = (IB1−P̃N(L))L
−(IB2−P̃Y ),
где P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→ Y — произвольные бесконечномерные ограниченные проек-
торы.
Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо и достаточно проверить, что L−
удовлетворяет равенству [7, c. 140]
L = LL−L. (7)
Пусть, для определенности, N(L) изоморфно подпространству Y1 ⊂ Y. Тогда существует
левый обратный оператор L−1
l0 . Предварительно покажем, что
LL−1
l0 = IB2−PY . (8)
Действительно, поскольку PY PY1 = PY1 и PY (Lz) = 0, так как Lz ∈ R(L), подействовав
справа оператором L+PY1 на обе части равенства (8), получим тождество, доказывающее это
соотношение:
L = L(IB1−PN2(L)) = LL−1
l0 L≡ (IB2−PY )(L+PY1) = L+PY1−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
168 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
−PY L−PY PY1 = L+PY1−PY1 = L.
Далее покажем, что
LL− = IB2−PY . (9)
Так как LPN1(L) = 0, используя равенство (8) и представление (6), получаем
LL− = L(L−1
l0 −PN1(L)) = LL−1
l0 −LPN1(L) = IB2−PY .
С учетом (9) проверим выполнение соотношения (7). Имеем
LL−L = (IB1−PY )L = L−PY L = L,
так как PY L = 0. Ограниченность оператора L− следует из ограниченности оператора L−1
l0,r0
и
оператора PN1(L).
Из теоремы 5.2 [7, c. 140] следует, что обобщенно-обратные операторы L−0 в общем виде
записываются так: L−0 = P1L−P2, где произвольные ограниченные проекторы P1 и P2 удо-
влетворяют свойствам (IB1−P1)B1 = N(L), P2B2 = R(L). В качестве таких проекторов можно
взять проекторы IB1−P̃N(L) и IB2−P̃Y , где P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→Y — произвольные
ограниченные бесконечномерные проекторы, построенные в общем виде.
В случае, когда Y изоморфно подпространству N1(L)⊂ N(L), теорема доказывается анало-
гично.
Замечание 5. Если оператор L ∈ GI(B1,B2) имеет конечномерные ядро и коядро, т. е.
является нетеровым, то конструкция (6) переходит в конструкцию (2.14) из [5, c. 53; 2].
В связи с множественностью дополнений, о которой шла речь в начале работы, обобщенно-
обратный оператор L− определяется неоднозначно. С каждой парой ограниченных проекторов
PN(L) и PY связан свой обобщенно-обратный оператор.
Замечание 6. Если PN(L) : B1→ N(L) и PY : B2→ Y — ограниченные проекторы и L− —
некоторый связанный с ними обобщенно-обратный оператор к оператору L, такой, что LL− =
= IB2 −PY , L−L = IB1 −PN(L), то любой другой обобщенно-обратный к L оператор L̃− (свя-
занный с проекторами P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→ Y ) имеет вид
L̃− = (IB1 +PN(L)−P̃N(L))L
−(IB2 +PY −P̃Y ),
где R(P̃N(L)) = R(PN(L)) = N(L), R(P̃Y ) = R(PY ) = R(L), IB1 , IB2 — тождественные операторы
в пространствах B1,B2 соответственно [12, c. 827].
Для случая, когда N(L) изоморфно Y, имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено условие 3. Тогда оператор
L− = (L+PY )
−1−PN(L) = L−1−PN(L) (10)
является ограниченным обобщенно-обратным к оператору L.
Общий вид обобщенно-обратных операторов L−0 к оператору L дается формулой
L−0 = (IB1−P̃N(L))L
−(IB2−P̃Y ),
где P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→ Y — произвольные ограниченные бесконечномерные проек-
торы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 169
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Замечание 7. Если оператор L ∈ GI(B1,B2) имеет конечномерные ядро и коядро и
dimN(L) = dimN(L∗), т. е. он является фредгольмовым, то конструкция (10) переходит в кон-
струкцию из [4, c. 340].
Далее получим условия разрешимости и представление общего решения операторного урав-
нения (1).
Из (3) следует, что общее решение операторного уравнения (1) с линейным ограниченным
обобщенно-обратимым оператором L представляет собой прямую сумму
z = z̃+ z̄
общего решения z̃ соответствующего (1) однородного уравнения Lz = 0 и частного решения
z̄ = L− f неоднородного уравнения (1).
Поскольку оператор L принадлежит GI(B1,B2), линейное операторное уравнение (1) явля-
ется нормально разрешимым, и для его разрешимости [10] необходимо и достаточно, чтобы
элемент y∈B2 принадлежал образу R(L) оператора L. Поскольку R(L) = N (PY ), из (2) следует,
что y ∈ B2 будет принадлежать образу R(L) оператора L тогда и только тогда, когда
PY f = 0. (11)
Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть L принадлежит GI(B1,B2). Операторное уравнение (1) разрешимо
для тех и только тех y ∈ B2, для которых выполняется условие (11), и при этом оно имеет
семейство решений
z = PN(L)ẑ+L− f , (12)
где PN(L)ẑ — общее решение соответствующего (1) однородного уравнения Lz = 0, ẑ — произ-
вольный элемент банахового пространства B1, L− f — частное решение операторного урав-
нения (1), L− — ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору L.
Доказательство. Подставив решение (12) в исходное уравнение (1), с учетом соотношений
(9) и (11) получим
Lz = LPN(L)ẑ+LL− f = LL− f = (IB2−PY ) f =
= IB2 f −PY f = IB2 f = f ,
так как LPN(L) = 0, а PY f = 0 по условию теоремы.
Теорема доказана.
Об аналитическом представлении проекторов. Проекторы, используемые в данной ста-
тье, могут быть представлены аналитически, если банаховы пространства B1 и B2 имеют
топологические базисы. Для определенности предположим, что пространство B1 имеет базис
Шаудера. Тогда подпространство N(L) также имеет базис Шаудера.
Напомним, что последовательность { fn,n∈N} векторов банахового пространства называет-
ся базисом Шаудера или топологическим базисом этого пространства, если каждый его вектор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
170 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
z однозначно раскладывается в ряд z = ∑
∞
n=1 λn fn, сходящийся по норме. Такое пространство
обязательно сепарабельное.
Проектор PN(L) может быть представлен с помощью биортогональной системы функцио-
налов к элементам базиса, которая существует в силу минимальности базисной системы [15].
Пусть последовательность { fi}, i ∈ N, является базисом N(L), а γi ∈ (B1)
∗ — соответствующая
ей биортогональная система линейных непрерывных функционалов γi( f j) = δi j, i, j ∈ N. Тогда
PN(L)z = lim
n→∞
PN(n)(L)z,
где PN(n)(L) — монотонная последовательность проекторов на подпространства N(n)(L)⊂ N(L),
PN(n)(L)z = ∑
n
i=1 γi(z) fi, n = 1,2,3, . . . .
Аналогично могут быть найдены и другие проекторы в случае существования базиса Ша-
удера (являющегося одновременно и минимальной системой) в соответствующих простран-
ствах.
Отметим, что любое сепарабельное гильбертово пространство имеет базис Шаудера, како-
вым является каждая тотальная ортонормированная система векторов (в то время как среди
сепарабельных банаховых пространств встречаются не имеющие топологического базиса).
В случае, когда пространства B1 и B2 гильбертовы и ядро обладает минимальной ортого-
нальной системой { fα ,α ∈ A}, проектор на нуль-пространство L имеет вид
PN(L)z = ∑
α∈A
( f ∗α ,z) fα ,
где f ∗α : ( f ∗α , fβ ) = δαβ , A — множество произвольной мощности [13, c. 239].
Если гильбертово пространство сепарабельно, то условие минимальности системы векторов
{ fi, i ∈ N} эквивалентно следующему [14]: для любого j величина
δ
2
j = lim
n→∞
Γ ( f j, f j+1, . . . , fn)
Γ ( f j+1, f j+2, . . . , fn)
> 0,
где Γ (g1,g2, . . . ,gn) — определитель Грама системы векторов {gi}n
i=1.
В этом случае проектор на нуль-пространство N(L) можно найти следующим образом:
PN(L)z = lim
n→∞
PN(n)(L)z,
где
PN(n)(L)z =
n
∑
i, j=1
α
(−1)
i j ( f j,z) fi, n = 1,2,3, . . . ,
α
(−1)
i j — элементы матрицы, обратной к матрице Грама Γ ( f1, f2, . . . , fn). Существование предела
и то, что так определяемый оператор будет проектором, следует из теоремы 7 [15, c. 230] в силу
монотонности последовательности проекторов PN(n)(L)z. В случае, когда N(L) — конечномерное
подпространство, конструкция проектора переходит в известную для n-нормальных операто-
ров [16].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 171
Пример 2. Найдем условия разрешимости и общий вид решений операторного уравнения
(Lz)(t) = z(t)+M(t)
1∫
0
N(s)z(s)ds = f (t), (13)
в котором оператор-функции
M(t) = diag{et ,et , . . . ,et ,et , . . .},
N(s) = diag{s,0,s,0, . . . ,s,0, . . .}
действуют из банахова пространства C([0,1],c) в себя с нормами |||M|||C([0,1],c)= supt∈[0,1]‖M(t)‖c,
|||N|||C([0,1],c) = supt∈[0,1]‖N(t)‖c, вектор-функция f (t) действует из отрезка [0,1] в банахово про-
странство c всех сходящихся числовых последовательностей: f (t)∈C([0,1],c) := { f (·) : [0,1]→
→ c}.
Из определения оператор-функций M(t) и N(t) следует, что
|||M|||C([0,1],c) = sup
t∈[0,1],i, j∈N
|mi j(t)|= sup
t∈[0,1]
|et | ≤ e,
|||N|||C([0,1],c) = sup
t∈[0,1],i, j∈N
|ni j(t)|= sup
t∈[0,1]
|t| ≤ 1.
Тогда
‖L‖C([0,1],c) = sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
‖Lz‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
=
= sup
z∈C([0,1],c),z6=0
‖z(t)+M(t)
∫ 1
0 N(s)z(s)ds‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z6=0
‖z(t)‖C([0,1],c)+‖M(t)‖C([0,1],c)
∫ 1
0 ‖N(s)‖C([0,1],c)‖z(s)‖C([0,1],c)ds
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
(1+ e)‖z‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤ 1+ e.
Таким образом, оператор L является линейным ограниченным оператором, действующим
из банахового пространства непрерывных на промежутке [0,1] функций C([0,1],c) в себя.
Бесконечномерные подпространства N(L) и Y изоморфны как подпространства сепарабельного
банахового пространства C([0,1],c) [10, c. 55 ].
Используя изложенную выше теорию, построим обобщенно-обратный оператор L− к опе-
ратору L.
Для оператора L проекторы PN(L) и PYL имеют вид
(PN(L)z)(t) = X(t)
1∫
0
Γ (s)z(s)ds, (PYL f )(t) =Ψ
1∫
0
Φ(s) f (s)ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
172 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
а операторы PYL и PN(L) — соответственно вид
(PYLz)(t) =Ψ
1∫
0
Γ (s)z(s)ds, (PN(L) f )(t) = X(t)
1∫
0
Φ(s) f (s)ds,
где
X(t) = diag
{
X(4×2)(t),X(4×2)(t), . . .
}
, Γ (t) = diag
{
Γ(2×4)(t),Γ(2×4)(t), . . .
}
,
X(4×2)(t) =
(
et 0 0 0
0 0 et 0
)T
, Γ(2×4)(t) =
(
t 0 0 0
0 0 t 0
)
,
Φ(t) = diag
{
Φ(2×4)(t),Φ(2×4)(t), . . .
}
, Ψ = diag
{
Ψ(4×2)(t),Ψ(4×2)(t), . . .
}
,
Φ(2×4)(t) =
(
t 0 0 0
0 0 t 0
)
, Ψ(4×2)(t) =
(
2 0 0 0
0 0 2 0
)T
,
1∫
0
Γ (s)X(s)ds = E∞,
1∫
0
Φ(s)Ψds = E∞,
E∞ — бесконечная единичная матрица.
Из ограниченности оператор-функций X(t) и Γ (t) следует ограниченность проектора PN(L) :
‖PN(L)‖C([0,1],c) = sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
‖PN(L)z‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
=
= sup
z∈C([0,1],c),z6=0
‖X(t)
∫ 1
0 Γ (s)z(s)ds‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
‖X(t)‖C([0,1],c)
∫ 1
0 ‖Γ (s)‖C([0,1],c)‖z(s)‖C([0,1],c)ds
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z6=0
e
‖z‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤ e.
Аналогично убеждаемся в ограниченности проектора PY , операторов PYL и PN(L). Вслед-
ствие ограниченности проекторов PN(L) и PY нуль-пространство N(L) и подпространство Y
дополняемы в пространстве C([0,1],c). Следовательно, оператор L является обобщенно обра-
тимым. Бесконечномерные подпространства N(L) и Y изоморфны как подпространства сепа-
рабельного банахового пространства C([0,1],c) [10, c. 55].
По лемме 2 оператор
((L+PYL)z)(t) = z(t)+M(t)
1∫
0
N(s)z(s)ds+Ψ
1∫
0
Γ (s)z(s)ds =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 173
= z(t)+M(t)
1∫
0
N(s)z(s)ds,
где
M(t) = diag
{
M(2×3)(t),M(2×3)(t), . . .
}
,
N(s) = diag
{
N(3×2)(s),N(3×2)(s), . . .
}
,
M(2×3)(t) =
(
et 0 −2
0 et 0
)
, N(3×2)(s) =
(
s 0 s
0 0 0
)T
,
имеет ограниченный обратный.
Оператор, обратный к оператору L = L+PYL , имеет вид
((L+PYL)
−1 f )(t) = f (t)+M(t)S−1
1∫
0
N(s) f (s)ds,
где S−1 = diag
{
S−1
(3×3),S
−1
(3×3), . . .
}
— оператор, обратный к оператору S = E∞−D,
S−1
(3×3) =
2 0 −1
0 1 0
−1 0 0
, D =
1∫
0
N(s)M(s)ds.
Тогда, использовав теорему 2, получим обобщенно-обратный оператор L− к оператору L :
(L− f )(t) = ((L+PYL)
−1−PN(L) f )(t) = f (t)+M(t)S−1
1∫
0
N(s) f (s)ds−
−X(t)
1∫
0
Φ(s) f (s)ds = f (t)+M1(t)
1∫
0
N1(s) f (s)ds,
где
M1(t) = diag
{
M(2×4)(t),M(2×4)(t), . . .
}
,
N1(s) = diag
{
N(4×2)(s),N(4×2)(s) . . .
}
;
M(2×4)(t) =
(
2(et −1) 0 −et −et
0 et 0 0
)
, N(4×2)(s) =
(
s 0 s s
0 0 0 0
)T
.
Оператор L обобщенно обратим и, следовательно, нормально разрешим. Тогда по теореме
3 при выполнении условия
(PYL f )(t) =Ψ
1∫
0
Φ(s) f (s)ds = 0 (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
174 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
уравнение (13) имеет решение. Условие (14) выполняется, если компоненты вектор-функции
f (t) = col( f1(t), f2(t), f3(t), . . .) удовлетворяют соотношениям
1∫
0
s f2k−1(s)ds = 0, k = 1,2,3, . . . . (15)
При выполнении условий (15) операторное уравнение (13) имеет семейство решений
z(t) = (PN(L)ẑ)(t)+(L− f )(t) = X(t)
1∫
0
Γ (s)ẑ(s)ds+ f (t)+M1(t)
1∫
0
N1(s) f (s)ds,
где ẑ(t) — произвольный элемент банахова пространства C([0,1],c).
1. Ben-Israel A., Greville T. N. E. Generalized Inverses. – Second ed. – New York: Springer, 2003.
2. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – 317 p.
3. Аткинсон Ф. В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах // Мат. сб.
Нов. сер. – 1951. – 28, № 1. – C. 3 – 14.
4. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 527 с.
5. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи.
– Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 320 с.
6. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Изв. АН СССР. – 1943.
– 7, № 3. – C. 147 – 163.
7. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. –
Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
8. Кадец М. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // Успехи мат. наук. –
1973. – 28, вып. 6. – С. 77 – 94.
9. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
– М.: Наука, 1970. – 534 с.
10. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
11. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. – Киев: Наук.
думка, 1978. – 218 с.
12. Nashed M. Z., Votruba G. F. A unified approach to generalized inverses of linear operators. I. Algebraic, topological
and projectional properties // Bull. Amer. Math. Soc. – 1974. – 80, № 5. – P. 825 – 830.
13. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. – Киев: Наук. думка, 1990. – 600 с.
14. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Харьков: Вища
шк., 1977. – Т. 1. – 315 с.
15. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 750 с.
16. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных
операторов // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, № 2. – C. 43 – 115.
Получено 25.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2411 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:54Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/f0c50f235119e1342cdb45b2ea4d076c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24112020-03-18T19:15:01Z Normally solvable operator equations in a Banach space Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. On the basis of a generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of linear, bounded, normally solvable operators in Banach spaces, we propose a procedure for the construction of a generalized inverse for a linear, bounded, normally solvable operator whose kernel and image are complementable in the indicated spaces. This construction allows one to obtain a solvability criterion for linear normally solvable operator equations and a formula for finding their general solutions. На основi узагальнення вiдомої леми Е. Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв у банахових просторах запропоновано конструкцiю узагальнено-оберненого оператора до лiнiйного обмеженого нормально розв’язного, ядро та образ якого доповнювальнi в цих просторах. Ця конструкцiя дозволяє отримати критерiй розв’язностi та формулу для зображення загального розв’язку лiнiйних нормально розв’язних операторних рiвнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2411 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 2 (2013); 163-174 Український математичний журнал; Том 65 № 2 (2013); 163-174 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2411/1589 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2411/1590 Copyright (c) 2013 Boichuk О. A.; Zhuravlev V. F.; Pokutnyi О. О. |
| spellingShingle | Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Pokutnyi, О. О. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. Бойчук, А. А. Журавлев, В. Ф. Покутный, А. А. Normally solvable operator equations in a Banach space |
| title | Normally solvable operator equations in a Banach space |
| title_alt | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве |
| title_full | Normally solvable operator equations in a Banach space |
| title_fullStr | Normally solvable operator equations in a Banach space |
| title_full_unstemmed | Normally solvable operator equations in a Banach space |
| title_short | Normally solvable operator equations in a Banach space |
| title_sort | normally solvable operator equations in a banach space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2411 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT zhuravlevvf normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT pokutnyioo normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT bojčukaa normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT žuravlevvf normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT pokutnyjaa normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT bojčukaa normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT žuravlevvf normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT pokutnyjaa normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT boichukoa normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT zhuravlevvf normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT pokutnyioo normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT bojčukaa normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT žuravlevvf normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT pokutnyjaa normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT bojčukaa normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT žuravlevvf normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT pokutnyjaa normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve |