Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system
We consider a coupled system of the Navier- Stokes and Fokker- Planck equations that describes the motion of a polydisperse suspension of solid particles in a viscous incompressible liquid. We prove the existence theorem and study some properties of global weak solutions of the initial boundary-val...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2413 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508298128654336 |
|---|---|
| author | Egorov, S. M. Khruslov, E. Ya. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. |
| author_facet | Egorov, S. M. Khruslov, E. Ya. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. |
| author_sort | Egorov, S. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:01Z |
| description | We consider a coupled system of the Navier- Stokes and Fokker- Planck equations that describes the motion of a polydisperse suspension of solid particles in a viscous incompressible liquid.
We prove the existence theorem and study some properties of global weak solutions of the initial boundary-value problem for this system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
C. М. Егоров (EPAM Systems, Харьков),
Е. Я. Хруслов (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков)
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА
We consider a coupled system of the Navier – Stokes and Fokker – Planck equations that describes the motion of a polydi-
sperse suspension of solid particles in a viscous incompressible liquid. We prove the existence theorem and study some
properties of global weak solutions of the initial boundary-value problem for this system.
Розглядається зв’язана система рiвнянь Нав’є – Стокса i Фоккера – Планка, що описує рух полiдисперсної суспензiї
твердих часток у в’язкiй нестискуванiй рiдинi. Доведено iснування i вивчено деякi властивостi глобальних слабких
розв’язкiв початково-крайової задачi для цiєї системи.
Введение. Широкий круг технических приложений, а также некоторые вопросы экологии вы-
зывают большой интерес к задаче описания движения потоков жидкостей и газов с мелкими
твердыми частицами. Такие потоки встречаются как в природе (например, перенос мелко-
дисперсных твердых взвесей в реках и морях, песчано-пылевые бури), так и в технических
устройствах (транспортные гидро- и воздухопроводы, пылеуловители и т. д.). В таких пото-
ках твердые частицы подвержены воздействиям гидродинамических сил со стороны несущей
жидкости, гравитационных сил, а также случайных толчков, вызванных броуновским движе-
нием молекул жидкости. Сами частицы также оказывают влияние на движение потока в целом.
Существует большое количество математических моделей, описывающих движение таких по-
токов при различных соотношениях между параметрами твердой и жидкой фаз смеси. Особый
интерес представляют смеси, в которых объемная концентрация твердой фазы мала, а удельная
плотность вещества велика по сравнению с удельной плотностью жидкой фазы. В таких слу-
чаях движения часто описывают с помощью так называемой двухжидкостной модели: жидкая
и твердая фазы представляются как две сплошные среды — две взаимопроникающие и взаимо-
действующие жидкости [1, 2]. Однако такая модель дает удовлетворительное описание только
в том случае, когда размеры твердых частиц приблизительно одинаковы. Если же дисперсия
размеров частиц велика, то в процессе движения происходит „расслоение” твердой фазы по
размерам частиц и средние скорости частиц во фракциях, соответствующих разным размерам,
существенно различаются. В этом случае твердую фазу нельзя представлять как одну сплош-
ную среду, и описание всего ансамбля частиц проводится с помощью функции распределения
частиц по размерам, скоростям и координатам.
Так, движение вязкой несжимаемой жидкости с твердыми мелкими частицами шарообраз-
ной формы, радиусы rε которых распределены в интервале (0, ε] (ε — малый параметр, харак-
теризующий размеры частиц и средние расстояния dε = O(ε1/3) между ними), описывается
системой уравнений
∂u
∂t
+ u · ∇xu− ν∆xu+ β
1∫
0
∫
R3
r(u− v)fdvdr −∇xp = g, (0.1)
c© C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ, 2013
192 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 193
divx u = 0, (0.2)
∂f
∂t
+ v · ∇xf + divv
[
Γr(u, v)f
]
= σr∆vf, 0 < r ≤ 1, (0.3)
Γr(u, v) = γr−2(u− v) + g1, σr = σ · r−5. (0.4)
Здесь u = u(x, t) — векторное поле скоростей несущей жидкости, p = p(x, t) — давление;
f = f(x, v, r, t) — нормированная функция распределения частиц по координатам x ∈ R3,
скоростям v ∈ R3 и приведенным радиусам r =
rε
ε
∈ (0, 1]
(
настоящая функция распределения
fε(x, v, rε, t) выражается через нее с помощью равенства fε(x, v, rε, t) =
1
ε2
f
(
x, v,
rε
ε
, t
))
; g
и g1 =
(
1− ρ0
ρ1
)
g — заданные векторы гравитационной и архимедовой сил; через ∆x и
∆v обозначены операторы Лапласа по переменным x ∈ R3 и v ∈ R3 соответственно; ∇x
— оператор градиента; точкой обозначено скалярное произведение в R3 : u · v =
∑3
i=1
uivi,
u · ∇x =
∑3
i=1
ui
∂
∂xi
.
Числовые параметры ν, β, γ, σ выражаются через характеристики составляющих смеси:
ν =
µ
ρ0
, β = 6πν, γ =
9µ
2ρ1ε2
, σ =
kTγ2
6πµε
,
где µ — динамическая вязкость несущей жидкости; ρ0, ρ1 — удельные плотности веществ жид-
кости и твердой фазы (ρ0 � ρ1); σr — коэффициент диффузии твердых частиц, обусловленный
случайными толчками со стороны молекул несущей жидкости и определяемый формулой Эйн-
штейна (см. [3, 4])
σr =
kT
mε
· 6πµrε
mε
=
σ
r5
.
Здесь mε =
4π
3
ρ1r
3
ε — масса частицы, rε — ее радиус, k — постоянная Больцмана, T — абсо-
лютная температура.
Уравнения (0.1), (0.2) — возмущенные уравнения Навье – Стокса — рассматриваются в про-
странственной области Ω ⊂ R3 (x ∈ Ω), а уравнение Фоккера – Планка (0.3), зависящее от
параметра r ∈ (0, 1], рассматривается в области Ω × R3 в фазовом пространстве R3 × R3
(x, v ∈ Ω× R3).
На границах этих областей подчиним вектор скорости u(x, t) и функцию распределения
f(x, v, r, t) граничным условиям вида
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0, (0.5)
f(x, v, r, t) = 0, (x, v) ∈ Σ−, t ≥ 0, r ∈ (0, 1], (0.6)
где через Σ− обозначена часть границы ∂Ω × R3, на которой n(x) · v < 0, n(x) — единичный
вектор внешней нормали к ∂Ω в точке x ∈ ∂Ω. Первое из этих равенств является условием
прилипания вязкой жидкости к неподвижной границе ∂Ω, а второе означает, что частицы не
входят в область Ω извне, а, достигнув границы ∂Ω изнутри, остаются на ней навсегда.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
194 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Дополним систему уравнений (0.1) – (0.4) и граничные условия (0.5), (0.6) начальными ус-
ловиями
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω, (0.7)
f(x, v, r, 0) = f0(x, v, r), (x, v) ∈ Ω× R3, r ∈ (0, 1], (0.8)
где u0(x) — заданное начальное поле скоростей жидкости, а f0(x, v, r) — заданная начальная
функция распределения частиц, такая, что f0(x, v, r) ≥ 0 и f0(x, v, r) = 0 для (x, v) ∈ Σ−,
r ∈ (0, 1].
Цель данной работы состоит в изучении вопроса о разрешимости задачи (0.1) – (0.8). Такие
вопросы для связанных кинетических (Фоккера – Планка или Власова) и гидродинамических
(Стокса, Навье – Стокса) уравнений изучены в ряде работ. Так, в работе [5] доказано существо-
вание глобальных слабых решений для системы Власова – Стокса, описывающей движение сме-
си с монодисперсной твердой фазой (когда радиусы твердых частиц одинаковы). В работе [6]
аналогичный результат получен для системы Фоккера – Планка – Навье – Стокса, описывающей
движение монодисперсного облака твердых частиц в сжимаемой жидкости. Существование
глобальных слабых решений для системы Навье – Стокса – Власова и системы Навье – Стокса –
Власова – Пуассона в случае полидисперсной твердой фазы доказано в работах [7, 8]. Вопросы
разрешимости кинетических уравнений, связанных с уравнением Пуассона, в различных клас-
сах функций изучались во многих работах (см., например, [9 – 14]).
В данной статье мы доказываем существование глобальных слабых решений для систе-
мы (0.1) – (0.4), т. е. для полидисперсной суспензии, без ограничения снизу на радиусы частиц
(0 < r ≤ 1). Вхождение окрестности 0 в область изменения радиусов r вносит существенные
трудности в исследование, поэтому в данной работе мы предполагаем, что начальная функция
распределения частиц достаточно быстро убывает на r → 0.
Опишем кратко структуру статьи. В п. 1 приведено определение слабого решения задачи
(0.1) – (0.8) и сформулрован основной результат (теоремы 1.1 и 1.2). В п. 3 проводится ре-
гуляризация системы (0.1) – (0.4) путем срезания (ограничения) силы взаимодействия между
частицами и жидкостью и ограничения скоростей частиц. Далее определяется слабое решение
регуляризованной задачи. Затем строятся конечномерные аппроксимации этого решения с по-
мощью метода Галеркина с использованием решения регуляризованного решения уравнения
Фоккера – Планка и теоремы Шаудера о неподвижной точке. Для этого в п. 2 доказана теорема
существования решения регуляризованной начально-краевой задачи для уравнения Фоккера –
Планка и установлены его свойства.
В п. 4 доказывается компактность построенных аппроксимаций. Наконец, в п. 5 с помо-
щью предельного перехода в интегральных тождествах для аппроксимаций по размерности
аппроксимации и по параметру срезания получены требуемые интегральные тождества для
слабого решения задачи (0.1) – (0.8). В п. 6 доказана теорема 2, описывающая свойства слабого
решения.
1. Определение слабого решения задачи (0.1) – (0.8) и формулировка основного ре-
зультата. Пусть Ω — ограниченная область в R3 с гладкой границей ∂Ω. Введем следующие
обозначения:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 195
G = Ω× R3 (x ∈ Ω, v ∈ R3);
(·, ·)2Ω, (·, ·)2G — скалярные произведения в L2(Ω) и L2(G) соответственно;
Q = Ω× (0, 1), D = G× (0, 1), r ∈ (0, 1);
Σ = ∂Ω× R3, Σ± =
{
(x, v) ∈ Σ, ±n(x) · v > 0
}
;
n(x) — внешняя нормаль к ∂Ω в точке x ∈ ∂Ω;
H1
0 (Ω) — соболевское пространство вектор-функций, равных 0 на ∂Ω;
J = J(Ω), J1
0 = J1
0 (Ω) — замыкания соленоидальных вектор-функций из C1
0 (Ω) в L2(Ω) и
H1
0 (Ω) соответственно;
H1
0 (R3) — замыкание функций ψ(v) ∈ C1(R3) с компактным носителем по норме
‖ψ‖1 = ‖∇ψ‖L2(R3);
L2σr
(
G× [0, T ], H1
0 (R3)
)
— пространство функций со значениями в H1(R3), определенных
на G× [0, T ] и имеющих конечную L2-норму с весом σr = σr−5 :
‖f‖2 =
T∫
0
∫
Q
∥∥f∥∥2
1
σ
r5
dxdrdt.
Будем предполагать, что начальные данные в задаче (0.1) – (0.8) удовлетворяют условиям
u0(x) ∈ J1
0 (Ω), f0(x, v, r) ∈ L∞(D), (1.1)
причем существуют α > 0, a ≥ 2
(
зависящие от f0 ∈ L∞(D)
)
такие, что
sup
D
[
f0(x, v, r) exp
( α
ra
) ]
≤ A0 <∞ (1.2)
и ∫
D
(
r−9 + r3|v|2
)
f0(x, v, r)dxdvdr ≤ A1 <∞, (1.3)
где A0, A1 зависят от f0.
Слабое решение задачи (0.1) – (0.8) будем искать в следующих классах функций:
u(x, t) ∈ UT (Ω) ≡ L∞
(
0, T ; J(Ω)
)
∩ L2
(
0, T ; J1
0 (Ω)
)
,
f(x, v, r, t) ∈ FT (D) = L2σr
(
Q× [0, T ];H1
0 (R3)
)
∩ L∞
(
D × [0, T ]
)
,
где T > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
196 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Определение 1.1. Пара (u, f) ∈ UT (Ω) × FT (D) называется слабым решением зада-
чи (0.1) – (0.8), если выполняются следующие равенства:
T∫
0
(u, ξt + u · ∇xξ)2Ω − ν(∇xu,∇xξ)2Ω − β
1∫
0
∫
R3
r(u− v)fdvdr, ξ
2Ω
+ (g, ξ)2Ω
dt +
+(u0, ξ(0))2Ω = 0, (1.4)
T∫
0
1∫
0
{
(f, φt + v · ∇xφ+ Γr · ∇vφ)2G − σr(∇vf,∇vφ)2G
}
drdt +
+
1∫
0
(
f0, φ(0)
)
2G
dr = 0 (1.5)
для любой вектор-функции ξ(x, t) и функции φ(x, v, r, t), удовлетворяющих условиям
ξ ∈ UT (Ω) ∩ L∞
(
Ω× [0, T ]
)
, ξt ∈ L2(Ω× [0, T ],
ξ(x, T ) = 0,
(1.6)
φ ∈ FT (D), φt, r
−(3/2)∇xφ, r−(5/2)∇vφ ∈ L2(D × [0, T ],
φ(x, v, r, T ) = 0, φ |Σ±1T= 0
(
Σ±1T = Σ± × (0, 1]× [0, T ]
)
.
Если эти равенства выполняются при любом T > 0, то решение (u, f) называется гло-
бальным.
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 1.1. Пусть выполняются условия (1.1) – (1.3), причем sup a > 2. Тогда суще-
ствует глобальное слабое решение задачи (0.1) – (0.8).
Если же sup a = 2, то существует слабое решение (u, f) ∈ UT (Ω) × FT (G) для T <
< supα(3γ)−1.
Доказательство теоремы приведено в пп. 3 – 5.
В следующей теореме описываются некоторые свойства слабого решения задачи (0.1) –
(0.8).
Теорема 1.2. Слабое решение
{
u(x, t), f(x, v, r, t)
}
обладает такими свойствами:
(i) функция f(x, v, r, t) непрерывна по t в слабой топологии L1(D);
(ii) f(x, v, r, t) ≥ 0;
(iii)
∫
D
f(x, v, r, t)dxdvdr ≤
∫
D
f0(x, v, r)dxdvdr;
(iv) вектор-функция u(x, t) непрерывна по t в слабой топологии L2(Ω);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 197
(v) справедлива оценка
max
0≤t≤T
‖u‖22Ω +
∫
D
r3|v|2fdxdvdr
+
T∫
0
∫
D
r|u− v|2fdxdvdrdt +
T∫
0
‖∇xu‖22Ωdt < C,
где постоянная C зависит от начальных данных {u0, f0}.
Доказательство теоремы приведено в п. 6.
2. Начально-краевая задача для уравнения Фоккера – Планка. Здесь мы рассмотрим
задачу, которая является специальной регуляризацией начально-краевой задачи собственно для
уравнения Фоккера – Планка, определяемой равенствами (0.3), (0.4), (0.6). Ее решение исполь-
зуется в п. 3 для построения аппроксимаций решения задачи (0.1) – (0.8).
Пусть VR — шар в R3 радиусаR, а ∂VR — его граница: VR =
{
v ∈ R3 : |v| < R
}
, ∂VR =
{
v ∈
∈ R3 : |v| = R
}
. Рассмотрим в области Ω× VR × [0, T ] начально-краевую задачу
∂f
∂t
+ v · ∇xf + divv
[
ΓRr (u, v)f
]
− σr∆vf = h, (x, v) ∈ Ω× VR, t ∈ (0, T ), (2.1)
ΓRr (u, v) = γr(u− v)ΘR
(
|u− v|2
)
+ g1, (2.2)
f(x, v, t) = 0, (x, v) ∈ Ω× ∂VR, t ∈ (0, T ), (2.3)
f(x, v, t) = 0, (x, v) ∈ ∂Ω× VR, v · n(x) ≤ 0, t ∈ (0, T ), (2.4)
f(x, v, 0) = f0(x, v)ΘR
(
|v|
)
, (x, v) ∈ Ω× VR, (2.5)
где ΘR(s) — срезающая функция класса C2(0,∞) такая, что ΘR(s) = 1 при S ≤ R − 1,
ΘR(s) = 0 при s ≥ R, Θ′R ≤ 0, γr = γ ·r−2, σr = σr−5 (0 < r ≤ 1 — фиксированный параметр),
h = h(x, v, t) и f0(x, v) — заданные функции.
Назовем слабым решением задачи (2.1) – (2.5) функцию f(x, v, t) ∈ L2
(
Ω× [0, T ];H1
0 (VR)
)
,
удовлетворяющую тождеству
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
{
f
(
∂φ
∂t
+ v · ∇xφ
)
+
(
ΓRr (u, v)f − σr∇vf
)
· ∇vφ
}
dxdvdt =
= −
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
hφdxdvdt−
∫
VR
∫
Ω
f0ΘRφ(x, v, 0)dxdv (2.6)
для любой функции φ(x, v, t) ∈ H1
(
Ω×VR×[0, T ]
)
такой, что φ(x, v, T ) = 0 и φ(x, v, t)|Σ+
RT
= 0,
где Σ+
RT =
{
(x, v, t) ∈ ∂Ω × VR × [0, T ], n(x) · v > 0
}
, n(x) — внешняя нормаль к ∂Ω в точке
x ∈ ∂Ω.
Теорема 2.1. Пусть h(x, v, t) ∈ L2(Ω×VR× [0, T ]; H−1(VR)), u(x, t) ∈ L∞
(
Ω× [0, T ]
)
∩
∩ L2
(
0, T ; J1(Ω)
)
, f0(x, v) ∈ L2(Ω×VR). Тогда при любых r, R (0 < r ≤ 1, R > 2) существует
единственное слабое решение задачи (2.1) – (2.5), принадлежащее классу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
198 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Y =
{
f ∈ L2
(
Ω× [0, T ];H1
0 (VR)
)
,
∂f
∂t
+ v · ∇xf ∈ L2(Ω× [0, T ];H−1(VR)
}
.
Доказательство теоремы проводится методом, изложенным в работе [12], и вынесено в
приложение.
Сформулируем основные свойства решения f(x, v, r, t) задачи (2.1) – (2.5), которые понадо-
бятся нам в дальнейшем.
(j) Положительность: если f0 ≥ 0 и h ≥ 0, то f ≥ 0.
(jj) L∞-оценка: если f0 ∈ L∞(Ω×VR) и h ∈ L∞
(
Ω×VR×[0, T ]
)
, то f ∈ L∞(Ω×VR×[0, T ])
и справедлива оценка
|f(t)|∞ ≤ |f0|∞e3γrt +
t∫
0
e3γr(t−s)|h(s)|∞ds.
(jjj) L1-оценка: если f0 ∈ L1(Ω×VR) и h ∈ L1
(
Ω×VR×[0, T ]
)
, то f ∈ L∞
(
0, T ;L1(Ω×VR)
)
и справедлива оценка
|f(t)|1 ≤ |f0|1 +
1∫
0
|h(s)|1ds.
(jv) L2-оценка: если f0 ∈ L2(Ω×VR) и h ∈ L2
(
Ω×VR×[0, T ]
)
, то f ∈ L2
(
0, T ;L2(Ω×VR)
)
и при любом δ > 0 справедлива оценка
∣∣f(t)
∣∣2
2
+ 2σr
t∫
0
∣∣∇vf(s)
∣∣2ds ≤ ∣∣f0
∣∣2
2
e(3γr+δ)t +
2
δ
t∫
0
e(3γr+δ)(t−s)
∣∣h(s)
∣∣2
2
ds.
Здесь и далее через |·|∞, |·|1 и |·|2 обозначены нормы в пространствах L∞(Ω×VR), L1(Ω×VR),
L2(Ω× VR) соответственно.
Мы докажем эти утверждения, предположив для простоты, что решение f задачи (2.1) –
(2.5) достаточно гладкое, а именно, f ∈ H1
(
Ω × VR × [0, T ]
)
. Это будет так, если исходные
данные u(x, t), f0(x, v), h(x, v, t) задачи (2.1) – (2.5) принадлежат тому же классу, что будет
выполняться в построениях следующего пункта. В общем случае, когда f ∈ Y, доказательство
требует более тонкой техники (см. [12]).
Доказательство свойства (j). Представим решение f задачи (2.1) – (2.5) в виде
f(x, v, t) = f+(x, v, t) + f−(x, v, t), (2.7)
где f+(x, v, t) = max
{
f(x, v, t), 0
}
≥ 0, f− = min
{
f(x, v, t), 0
}
≤ 0.
Ясно, что f±(x, v, t) непрерывны в силу (2.3), (2.4) и
f±|SR×[0,T ] = 0, f±|Σ−R×[0,T ] = 0,
где обозначено SR = Ω× ∂VR, Σ±R =
{
(x, v, t) ∈ ∂Ω× VR,±(n(x) · v) > 0
}
.
Производные ∂f± =
{
f±t ,∇xf±,∇vf±
}
принадлежат L2
(
Ω× VR × [0, T ]
)
, причем ∂f± =
= ∂fχ±, где χ± = χ±(x, v, t) — характеристические функции носителей функций f±(x, v, t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 199
Учитывая это, умножаем уравнение (2.1) на f− и интегрируем по x ∈ Ω и v ∈ VR. Выполняя
интегрирование по частям, получаем
1
2
d
dt
∣∣f−∣∣2
2
+
1
2
∫
Σ+
R
(f−)2n(x) · vd Σ +
1
2
∫
VR
∫
Ω
(f−)2 divv ΓRr dxdv + σr
∣∣∇vf−∣∣22 =
=
∫
VR
∫
Ω
h · f−dxdv. (2.8)
Согласно (2.2) имеем
divv ΓRr = −3γr + ΦR
r
(
|u− v|2
)
, (2.9)
где ΦR
r = 3γr
(
1 − ΘR(|u − v|2)
)
− 2γrΘ
′
R
(
|u − v|2
)
|u − v|2 — неотрицательная функция от
|u− v|2.
Поэтому из (2.8) следует неравенство
1
2
d
dt
∣∣f−∣∣2
2
− 3
2
γr
∣∣f−∣∣2
2
+ σr
∣∣∇vf ∣∣22 ≤ ∫
VR
∫
Ω
hf−dxdv. (2.10)
Отсюда, полагая f̃−(x, v, t) = e−
3
2γrtf−(x, v, t), получаем неравенство для f̃−(x, v, t) :
1
2
d
dt
∣∣f̃−∣∣2
2
+ σr
∣∣∇vf̃−∣∣22 ≤ e− 3
2
γrt
∫
VR
∫
Ω
hf̃−dxdv.
Интегрируя его по t от 0 до s (0 < s < T ), имеем
1
2
∣∣f̃−∣∣2
2
+ σr
s∫
0
∣∣∇vf̃−(t)
∣∣2
2
dt ≤
s∫
0
∫
VR
∫
Ω
e−
3
2
γrthf̃−dxdvdt+
1
2
∣∣f̃−(0)
∣∣2
2
.
Поскольку f̃− ≤ 0, учитывая, что f0 ≥ 0 и h ≥ 0, заключаем, что правая часть этого неравенства
не положительна. В то же время левая часть неотрицательна, что возможно только при f̃− ≡ 0.
Следовательно, f− ≡ 0 и, значит, согласно (2.7), решение задачи (2.1) – (2.5) f ≥ 0.
Замечание 2.1. Свойство (j) остается справедливым, если в задаче (2.1) – (2.5) равенство
нулю в граничных условиях (2.3), (2.4) заменить такими неравенствами: f(x, v, t) ≥ 0 при
(x, v) ∈ Ω× ∂VR и (x, v) ∈ Σ−R. Это используется в следующем доказательстве.
Доказательство свойства (jj). Пусть f(x, v, t) — решение задачи (2.1) – (2.5). Обозначим
f̂0 = |f0|∞ и ĥ(s) =
∣∣h(·, s)
∣∣
∞ и рассмотрим функцию
φ(x, v, t) = f̂0e
3γrt +
t∫
0
e3γr(t−s)ĥ(s)ds− f(x, v, t). (2.11)
Учитывая уравнение (2.1) для f(x, v, t) и формулу (2.9), нетрудно убедиться, что φ(x, v, t)
удовлетворяет в области Ω× VR × (0, T ) уравнению
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
200 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
∂φ
∂t
+ v · ∇xφ+ divv(Γ
R
r φ)− σr∆vφ = H(x, v, t),
где функция H(x, v, t) определяется формулой
H(x, v, t) = ĥ(t)− h(t) + ΦR
r (x, v, t)
f̂0e
3γrt +
t∫
0
e3γr(t−s)ĥ(s)ds
и, следовательно, не отрицательна.
Кроме того, из (2.11) следует, что начальные и граничные значения функции φ(x, v, t)
также неотрицательны: φ(x, v, 0) ≥ 0 и φ|SR×[0,T ] ≥ 0, φ|ΣR×[0,T ] ≥ 0. Поэтому, учитывая
замечание 2.1, заключаем, что φ(x, v, t) ≥ 0 всюду в Ω× VR × [0, T ] и, значит,
f(x, v, t) ≤ f̂0e
3γrt +
t∫
0
e3γr(t−s)ĥ(s)ds.
Отсюда в силу линейности задачи (2.1) – (2.5) следует требуемая L∞-оценка.
Доказательство свойства (jjj). Предположим, что в задаче (2.1) – (2.5) f0 ≥ 0 и h ≥ 0.
Тогда, согласно свойству (j), f ≥ 0. Интегрируя уравнение (2.1) по x ∈ Ω и v ∈ VR и учитывая
(2.3), получаем
d
dt
∫
VR
∫
Ω
f(x, v, t)dxdv
∫
Σ+
R
f(n(x) · v)dΣxv − σr
∫
∂VR
∫
Ω
∂f
∂n
dSvdx =
=
∫
VR
∫
Ω
h(x, v, t)dxdv. (2.12)
Поскольку f ≥ 0, из (2.4) следует, что производная по внешней нормали к ∂VR
∂f
∂n
≤ 0.
Поэтому второе и третье слагаемые в левой части равенства (2.12) неотрицательны. Интег-
рируя его по t, получаем неравенство
∫
VR
∫
Ω
f(x, v, t)dxdv ≤
∫
VR
∫
Ω
f0(x, v)dxdv +
t∫
0
∫
VR
∫
h(x, v, s)dxdvds.
Отсюда в силу линейности задачи (2.1) – (2.5) следует L1-оценка (jjj).
Доказательство свойства (jv). Умножим уравнение (2.1) на f(x, v, t) и проинтегрируем
по (x, v) ∈ Ω × VR. Тогда, учитывая (2.3), (2.4) и (2.9), интегрируем по частям и приходим к
неравенству, аналогичному (2.8):
1
2
d
dt
∣∣f ∣∣2
2
− 3
2
γr
∣∣f ∣∣2
2
+ σr
∣∣∇vf ∣∣22 ≤ ∫
VR
∫
Ω
hfdxdv.
Оценивая правую часть этого неравенства с помощью неравенства Юнга
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 201∣∣∣∣∣∣∣
∫
VR
∫
Ω
hfdxdv
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
δ
2
∣∣f ∣∣2
2
+
1
δ
∣∣h∣∣2
2
,
получаем
d
dt
∣∣f ∣∣2
2
− (3γr + δ)
∣∣f ∣∣2
2
+ 2σr
∣∣∇vf ∣∣22 ≤ 2
σ
∣∣h∣∣2
2
,
где δ — произвольное положительное число. Полагая f = e(3γr+δ)tf̃ , приходим к такому нера-
венству для f̃ :
d
ds
∣∣f̃(s)
∣∣2
2
+ 2σr
∣∣∇vf̃(s)
∣∣2
2
≤ 2
δ
∣∣h(s)
∣∣2
2
e−(3γr+δ)s,
где переменная t временно обозначена через s.
Умножим это неравенство на e(3γr+δ)t и проинтегрируем по s от 0 до t. Возвращаясь к
функции f(x, v, t), получаем требуемую L2-оценку (jv).
C помощью оценки (jv) нетрудно доказать, что решение f(x, v, t) задачи (2.1) – (2.5) непре-
рывно зависит от исходных данных f0(x, v, t), u(x, t) и h(x, v, t). А именно, справедливо сле-
дующее утверждение.
Утверждение (v). Пусть f1(x, v, t) и f2(x, v, t) — решения задачи (2.1) – (2.5), соответ-
ствующие исходным данным (f01, u1, h1) и (f02, u2, h2), причем f0i ∈ L2(Ω × VR), ui ∈
∈ L∞
(
Ω × [0, T ]
)
, hi ∈ L2
(
Ω × VR × [0, T ]
)
, i = 1, 2. Тогда при любом δ > 0 выполняется
неравенство
max
0≤t≤T
∥∥[ f ]
∥∥2
2
+ σr
∥∥∇v[ f ]
∥∥2
2
≤
(∥∥[ f0 ]
∥∥2
2
+
2
δ
∥∥[ h ]
∥∥2
2
)
e(3γr+δ)T+
+γ2
r
∥∥[ u ]
∥∥2
∞
(
1
2σr
∣∣f02
∣∣2
2
+
1
δσr
∥∥h2
∥∥2
2
)
e(3γr+δ)T ,
где квадратными скобками обозначены разности [f ] = f1 − f2, [u] = u1 − u2, [h] = h1 − h2,
[f0] = f01 − f02; через ‖ · ‖∞ и ‖ · ‖2 обозначены нормы в пространствах L∞(Ω × [0, T ]) и
L2
(
Ω× VR × [0, T ]
)
соответственно.
Для доказательства достаточно убедиться, что разность [f ] является решением задачи (2.1) –
(2.5), где u = u1(x, t), h = [h] − γ2[u]∇vf2 и f0 = [f0]. Поэтому применение оценки (jv) к ее
решению приводит к требуемому неравенству.
3. Построение приближенных решений. Рассмотрим следующую регуляризацию зада-
чи (0.1) – (0.8):
∂u
∂t
+ u · ∇xu− v∆xu+ β
1∫
0
∫
VR
rΘR
(
|u− v|2
)
(u− v)fdvdr −∇xp = g,
(3.1)
divx u = 0, x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),
u = 0, (x, t) ∈ ∂Ω× [0, T ], (3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
202 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
∂f
∂t
+ v · ∇xf + divv
[
ΓRr (u, v)f
]
= σr∆vf, (x, v, t) ∈ Ω× VR × [0, T ], (3.3)
f = 0, (x, v, t) ∈ ∂Ω× VR × [0, T ], v · n(x) < 0, (3.4)
f = 0, (x, v, t) ∈ Ω× ∂VR × [0, T ], (3.5)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω; f(x, v, r, 0) = f0R(x, v, r), (x, v) ∈ Ω× VR, (3.6)
где VR — шар в R3 радиуса R� 1,ΘR(s) — срезающая функция, введенная в п. 2, f0R(x, v, r) =
= f0(x, v, r)ΘR
(
|v|2
)
, ΓRr = γrΘR
(
|u− v|2
)
(u− v) + g, γr = γr−2, σr = σr−5, 0 < r ≤ 1.
Слабое решение (u, f) этой задачи вводится так же, как в определении 1.1, т. е. (u, f) ∈
∈ UT (Ω)× FT (DR) и выполняются интегральные тождества
T∫
0
(u, ξt + u · ∇xξ)2Ω − ν(∇xu,∇xξ)2Ω −
− β
1∫
0
∫
VR
rθR(|u− v|2)(u− v)fdvdr, ξ
2Ω
+ (g, ξ)2Ω
dt+
(
u0, ξ(0)
)
2Ω
= 0, (3.7)
T∫
0
1∫
0
{
(f, ψt + v · ∇xφ+ ΓRr (u, v) · ∇vφ)2GR − σr(∇vf,∇vψ)2GR
}
drdt+
+
1∫
0
(
f0, φ(0)
)
2G
dr = 0 (3.8)
для любых вектор-функций ξ(x, t) и функций φ(x, v, r, t), удовлетворяющих условиям (1.6), а
также условию φ(x, v, r, t) = 0 при x ∈ Ω, v ∈ ∂VR, t ∈ [0, T ], r ∈ (0, 1].
Будем строить приближенные решения
(
u(n), f (n)
)
задачи (3.7), (3.8), используя галеркин-
ские аппроксимации для u(n). Пусть {ψk(x)}∞k=1 — ортонормированный базис в L2(Ω), состоя-
щий из собственных функций задачи
−∆ψk(x) +∇pk(x) = λkψ
k(x), divψk(x) = 0, x ∈ Ω,
ψk(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
Положим
u(n)(x, t) =
n∑
k=1
c
(n)
k (t)ψk(x), (3.9)
где c(n)
k (t) ∈ C1[0, T ] — неизвестные функции, а f (n) определим как решения регуляризованной
начально-краевой задачи (2.1) – (2.5) для уравнения Фоккера – Планка при u(x, t) = u(n)(x, t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 203
Для нахождения c(n)
k (t) потребуем, чтобы тождество (3.7) выполнялось для u = u(n) и f = f (n)
на всех вектор-функциях ξ(x, t) = h(t)ψk(x), k = 1, 2, . . . , n, где h(t) ∈ C1[0, T ], h(T ) = 0.
Это приводит к соотношениям∂u(n)
∂t
+ u(n) · ∇xu(n) + β
1∫
0
∫
VR
rΘR(|u(n) − v|2)(u(n) − v)f (n)dvdr, ψk
2Ω
−
−ν
(
∇xu(n),∇xψk
)
2Ω
=
(
g, ψk
)
2Ω
, k = 1, 2, . . . , n, (3.10)
которые представляют собой систему дифференциально-функциональных уравнений для коэф-
фициентов c(n)
k (t) :
dc
(n)
k
dt
+
n∑
l,m=1
βklmc
(n)
l c(n)
m +
n∑
l=1
γklc
(n)
l +
+β
1∫
0
∫
VR
rΘR
∣∣∣∣∣
n∑
l=1
c
(n)
l ψl − v
∣∣∣∣∣
2
( n∑
l=1
c
(n)
l ψl − v
)
f (n)dvdr, ψk
2Ω
= gk, k = 1, 2, . . . , n,
(3.11)
с начальными условиями
c
(n)
k (0) = c0k, u
(n)
0 (x, 0) =
n∑
k=1
c0kψ
k. (3.12)
Здесь числа βklm = βkml, γkl = γlm, gk определяются равенствами
βklm =
(
ψl · ∇xψm, ψk
)
2Ω
, γlm = ν
(
∇xψk,∇xψm
)
2Ω
, gk =
(
g, ψk
)
2Ω
,
а c0k — коэффициенты разложения u0(x) по базису {ψk}∞k=1, т. е.
u0(x) =
∞∑
k=1
c0kψ
k(x). (3.13)
Лемма 3.1. Справедлива следующая априорная оценка:
max
0≤t≤T
‖u(n)‖2Ω +
β
γ
∫
D1R
r3|v|2f (n)dxdvdr
+
+2β
T∫
0
∫
D1R
rΘR
(
|u(n) − v|2
)∣∣u(n) − v
∣∣2f (n)dxdvdrdt +
+ν
T∫
0
∥∥∇u(n)
∥∥2
2Ω
dt ≤ eσT
‖u0‖22Ω +
β
γ
∫
D1R
r3|v|2f0dxdvdr
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
204 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
+
eδT − 1
δ
12βσ
γ
∫
D1R
r−2f0dxdvdr +
2
λν
‖g‖22Ω +
4βg2
1
γδ
∫
D1R
r3f0dxdvdr
, (3.14)
гдеD1R = Ω×VR×(0, 1), δ — произвольное положительное число, λ — наименьшее собственное
значение оператора Лапласа в области Ω с нулевым граничным условием на ∂Ω.
Доказательство. Умножая k-e соотношение (3.11) на c(n)
k (t) и суммируя по k от 1 до n,
приходим к равенству
1
2
d
dt
∥∥u(n)
∥∥2
2Ω
+ ν
∥∥∇u(n)
∥∥
2Ω
+
+β
1∫
0
∫
VR
rΘR(|u(n) − v|2)(u(n) − v)f (n)dvdr, u(n)
2Ω
= (g, u(n))2Ω. (3.15)
Теперь умножим уравнение (3.3) для u = u(n) и f = f (n) на r3|v|2 и проинтегрируем по x ∈ Ω,
v ∈ VR, r ∈ (0, 1]. Тогда, после интегрирования по частям с учетом (3.4), получаем
d
dt
∫
D1R
r3|v|2f (n)dxdvdr − 2γ
∫
D1R
rΘR
(
|u(n) − v|2
)
(u(n) − v)vf (n)dxdvdr +
+ 2
∫
D1R
r3g1 · vf (n)dxdvdr +
∫
Σ+
1R
r3|v|2nx · vf (n)dSxdvdr =
= 6σ
∫
D1R
r−2f (n)dxdvdr + σ
∫
Γ1R
r−2R2∂f
(n)
∂nv
dxdSvdr, (3.16)
где Σ+
1R = ∂Ω× VR × (0, 1) : nx · v ≥ 0; Γ1R = Ω× ∂VR × (0, 1), nx — внешняя нормаль к ∂Ω,
nv — внешняя нормаль к ∂VR.
В силу свойств решения задачи (2.1) – (2.5) f (n) ≥ 0 всюду, f (n) = 0 на Γ1R и, значит,
∂f
∂nv
≤ 0 на Γ1R. Поэтому последнее слагаемое в левой части равенства (3.16) неотрицательно,
а второе слагаемое в правой части не положительно. Учитывая это, из (3.15) и (3.16) получаем
неравенство
d
dt
A(n) − δA(n) + β
∫
D1R
rΣR
(
|u(n) − v|2
)
|u(n) − v|2f (n)dxdvdr +
ν
2
∥∥∇u(n)
∥∥2
2Ω
≤
≤ 1
2νλ
‖g‖22Ω +
βg2
1
γδ
∫
D1R
r3f (n)dxdvdr +
3βδ
γ
∫
D1R
r−2f (n)dxdvdr, (3.17)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 205
A(n) =
1
2
∥∥u(n)
∥∥2
2Ω
+
β
γ
∫
D1R
r3|v|2f (n)dxdvdr
,
а δ — любое положительное число.
При этом мы воспользовались неравенством Юнга∫
D1R
r3g1vf
(n)dxdvdr ≤ δ
∫
D1R
r3|v|2f (n)dxdvdr +
|g1|2
4δ
∫
D1R
r3f (n)dxdvdr
и неравенством Фридрихса
‖u‖22Ω ≤
1
λ
∥∥∇u(n)
∥∥2
2Ω
, u(n) ∈ H1
0 (Ω).
Выполняя в (3.17) замену A(n) = Ã(n)eδt и учитывая свойства (j), (jjj) решения f (n) задачи
(2.1) – (2.5), получаем неравенство
eδT
dÃ(n)
dt
+ β
∫
D1R
rΘR
(
|u(n) − v|2
)
|u(n) − v|2f (n)dxdvdr +
ν
2
∥∥∇u(n)
∥∥2
2Ω
≤
≤ eδ(T−t)
1
2νλ
‖g‖22Ω +
βg1
γδ
∫
D1R
r3f0dxdvdr +
3βδ
γ
∫
D1R
r−2f0dxdvdr
,
где 0 < t ≤ T.
Теперь, интегрируя по t в пределах 0 < t ≤ t′ (∀t′ < T ), получаем требуемую оценку.
Лемма 3.1 доказана.
Лемма 3.2. При любых n = 1, 2, . . . и R > 2 существует решение c(n)(t) =
{
c
(n)
1 (t), . . .
. . . , c
(n)
n (t)
}
∈
(
C1(0, T )
)n
задачи (3.11), (3.12), в которой f (n)(x, v, r, t) определено как ре-
шение начально-краевой задачи (2.1) – (2.5) при u =
∑n
k=1
c
(n)
k (t)ψk(x) начальной функции
f0(x, v, r), удовлетворяющей условиям (1.1) – (1.3). При этом величина интервала (0, T ) опре-
деляется так же, как в теореме 1.1.
Доказательство. Обозначим через
(
C[0, T ]
)n
пространство непрерывных n-мерных вектор-
функций w =
{
w1(t), . . . , wn(t)
}
с нормой
|w| = max
[0,T ]
{
n∑
k=1
w2
k(t)
}1/2
,
а через K ограниченное замкнутое выпуклое множество в
(
C[0, T ]
)n
:
K =
{
w : |w| ≤ C(R, T ), wk(0) = c0k, k = 1, . . . , n
}
,
где постоянная C(R, T ) будет выбрана ниже, а c0k — коэффициенты в разложении (3.13).
Возьмем произвольный элемент w0 =
{
w0
1(t), . . . , w0
n(t)
}
из K. Образуем вектор u0(x, t) =
=
∑n
k=1
w0
k(t)ψ
k(x) и решим задачу (2.1) – (2.5) при u = u0 с начальной функцией f0R(x, v, r).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
206 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Поскольку u0 ∈ C
(
0, T ; W 2
1 (Ω)
) (
в силу известных свойств собственных функций ψk(x)
)
,
такое решение существует при любом r > 0. Обозначим его через f0
R(x, v, r, t). По заданной
f0
R(x, v, r, t) найдем вектор-функциюw1(t) =
{
w1
1(t), . . . , w1
n(t)
}
как решение линеаризованной
системы уравнений (3.11) вида
dw1
k
dt
+
n∑
l,m=1
βklmw
0
l w
1
m +
n∑
l=1
γklw
1
l =
= gk − β
1∫
0
∫
VR
rΘR
(∣∣∣ n∑
k=1
w0
kψ
k − v
∣∣∣2)( n∑
l=1
w0
kψ
k − v
)
f0
Rdvdr, ψ
k
2Ω
(3.18)
с начальными условиями
w1
k(0) = c0k. (3.19)
Эта задача Коши для линейной системы обыкновенных уравнений однозначно разрешима, и тем
самым определен оператор Λ: K →
(
C[0, T ]
)n
, сопоставляющий вектор-функцииw0(t) вектор-
функцию w1(t). Используя теорему о непрерывной зависимости решения задачи Коши (3.18),
(3.19) от коэффициентов и правой части, а также свойство (jv) из п. 2, нетрудно показать, что
этот оператор непрерывен.
Покажем, что постоянную C(R, T ) в определении множеств K можно выбрать так, что Λ
будет отображать K в себя. Запишем задачу (3.18), (3.19) в терминах вектор-функций u1(x, t) =
=
∑n
k=1
w1
k(t)ψ
k(x) следующим образом:du1
dt
+ u0 · ∇xu1 + β
1∫
0
∫
VR
rΘR
(
|u0 − v|2
)
(u0 − v)f0
Rdvdr, ψ
k
2Ω
+ ν(∇u1,∇ψk)2Ω =
= (g, ψk)2Ω, k = 1, . . . , n, (3.20)
u1(x, 0) = u
(n)
0 (x), (3.21)
где u0 =
∑n
k=1
w0
k(t)ψ
k, u
(n)
0 (x) определено равенством (3.12).
Умножим k-e уравнение (3.20) на w1
k(t) и просуммируем по k. В результате получим
1
2
d
dt
∥∥u1
∥∥2
2Ω
+ ν
∥∥∇u1
∥∥
2Ω
= (g, u1)2Ω − β
1∫
0
∫
VR
rΘR
(
|u0 − v|2
)
(u0 − v)f0
Rdvdr, u
1
2Ω
.
(3.22)
Поскольку u(·, t) ∈ H1
0 (Ω) ∀t ≥ 0, первое слагаемое в правой части (3.22) можно оценить
следующим образом: ∣∣(g, u1)2Ω
∣∣ ≤ ν
4
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
+
1
νλ
∥∥g∥∥2
2Ω
, (3.23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 207
где λ — наименьшее собственное значение оператора ∆ в области Ω при нулевом граничном
условии.
Аналогичным образом, с учетом свойства (jj) решения f0
R задачи (2.1) – (2.5), оцениваем и
второе слагаемое: ∣∣∣∣∣∣∣β
1∫
0
∫
VR
rΩR
(
|u0 − v|2
)
(u0 − v)f0
Rdvdr, u
1
2Ω
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ν
4
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
+
β2R2|vR|
νλ
max
D1R
(e3γrT f0)
∫
D1R
f0dxdvdr ≤
≤ ν
4
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
+ C0(R, T ), (3.24)
где постоянная C0(R, T ) зависит от начальной функции f0(x, v, r) и в силу свойств (1.1) – (1.3)
C0(R, T ) <∞ при всех T > 0, если a > 2, и C0(R, T ) <∞ только при T <
α
3γ
, если a = 2.
Из (3.22), (3.23) и (3.12), (3.13) следует, что
max
0≤t≤T
∥∥u1
∥∥2
2Ω
+ ν
T∫
0
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
≤ 2T
νλ
∥∥g∥∥2
2Ω
+ 2TC0(R, T ) +
∥∥u0
∥∥2
2Ω
≡ C2(R, T ).
Отсюда, учитывая, что в силу равенства Парсеваля
∥∥u1
∥∥2
2Ω
=
n∑
k=1
(
w1
k(t)
)2
= |w1(t)|2,
заключаем, что при таком выборе C(R, T ) w1(t) принадлежит K.
Покажем теперь, что отображение Λ: K → K компактно. Для этого получим оценки произ-
водных
dw1
k
dt
. Умножим k-e уравнение системы (3.20) на
dw1
k
dt
и просуммируем по k от 1 до n:
∥∥u1
t
∥∥2
2Ω
+
ν
2
d
dt
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
= (g, u1
t )2Ω −
(
u0 · ∇xu1, u1
t
)
2Ω
−
−β
1∫
0
∫
VR
rΘR
(
|u0 − v|2
)
(u0 − v)f0
Rdvdr, u
1
t
2Ω
.
Отсюда, оценивая слагаемые в правой части с помощью неравенства Юнга, получаем
1
4
∥∥u1
t
∥∥2
2Ω
+
ν
2
d
dt
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
≤
∥∥g∥∥2
2Ω
+ |u0|2C(Ω)
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
+ C0(R, T ), (3.25)
где C0(R, T ) — постоянная, зависящая от начальной функции f0(x, v, r) (см. (3.24)).
Интегрируя это неравенство по t ∈ [0, T ], находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
208 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
1
2
T∫
0
∥∥u1
t
∥∥2
2Ω
dt+
ν
2
∥∥∇u1(T )
∥∥2
2Ω
≤ T
∥∥g∥∥2
2Ω
+
+|u0|2∞
T∫
0
∥∥∇u1
∥∥2
2Ω
dt+ C0(R, T )T +
ν
2
∥∥∇u1(0)
∥∥2
2Ω
. (3.26)
Учитывая, что w0(t), w1(t) принадлежат K, и, значит, в силу свойств собственных функций
ψk(x) ∈ H1
0 (Ω) нормы |u0|∞ = max0<t≤T |u0|C(Ω) и max0<t≤T ‖∇u1‖2Ω конечны (но зависят
от n), из (3.26) получаем
T∫
0
∥∥u1
t
∥∥2
2Ω
dt ≤ Cn,
откуда согласно равенству Парсеваля следует
T∫
0
n∑
k=1
(
dw1
k
dt
)2
dt ≤ Cn.
Поэтому, в силу компактности вложения H1[0, T ] в C[0, T ], образ множества K при отображе-
нии Λ компактен в C[0, T ].
Таким образом, отображение Λ удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера и, значит,
оно имеет на множестве K неподвижную точку c(t) =
{
c1(t), . . . , cn(t)
}
, которая является
решением задачи (3.11), (3.12) или, в терминах функции u(n)(x), задачи (3.10), (3.12). Из (3.9)
следует, что c(t) принадлежит C1[0, T ].
Тем самым мы построили приближенные решения u(n)(x, t), f (n)(x, v, r, t), которые удов-
летворяют интегральным тождествам
T∫
0
(u(n), ξ
(m)
t
)
2Ω
− ν
(
∇xu(n),∇ξ(m)
)
2Ω
−
−β
1∫
0
∫
VR
rΘR
(
|u(n) − v|2
)
(u(n) − v)f (n)dvdr, ξ(m)
2Ω
+ (g, ξ(m))2Ω
dt+
+
(
u
(n)
0 , ξ(m)(0)
)
2Ω
= 0, (3.27)
T∫
0
1∫
0
{
(f (n), φt + v · ∇xφ+ ΓRr (u(n), v) · ∇vφ)2G + σr(∇vf (n) · ∇vφ)2G
}
drdt+
+
1∫
0
(
f0R, φ(0)
)
2G
dr = 0 (3.28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 209
для произвольной вектор-функции ξ(m)(x, t) вида
ξ(m)(x, t) =
m∑
k=1
h
(m)
k (t)ψk(x), h
(m)
k ∈ C1[0, T ], h
(m)
k (T ) = 0 ∀m ≤ n (3.29)
и произвольной функции φ(x, t), удовлетворяющей сформулированным выше условиям
(см. (1.6)).
Если в этих тождествах выполнить предельный переход при n → ∞ и R → ∞, то мы
придем к тождествам (1.4), (1.5), т. е. к слабому решению задачи (0.1) – (0.8). Но для этого
необходимо изучить свойства компактности решений (u(n), f (n)).
4. Компактность приближений
{
u(n), f (n)
}
. Далее всюду будем считать, что R = n,
сохраняя за приближениями те же обозначения и предполагая, что f (n) продолжено нулем при
|v| > n.
Из леммы 3.1, L∞-оценки (j), L2-оценки (jv) (п. 2) и предполагаемых оценок начальных
данных (1.2), (1.3) следует, что:
1) последовательность вектор-функций
{
u(n)(x)
}
∗-слабо компактна в L∞
(
[0, T ]; J(Ω)
)
и
слабо компактна в L2
(
[0, T ); J1(Ω)
)
;
2) последовательность функций f (n)(x, v, r, t) ∗-слабо компактна в L∞
(
D× [0, T ]
)
и слабо
компактна в L2σr
(
Q× [0, T ];H1
0 (R3)
)
.
Однако, вследствие нелинейности задачи, этой информации недостаточно для выполнения
предельного перехода в интегральных тождествах (3.27), (3.28). Поэтому докажем еще ком-
пактность последовательности
{
u(n)(x, t)
}
в L2
(
Ω× [0, T ]
)
.
Лемма 4.1. При любом δ, 0 < δ < T, справедлива оценка
T−δ∫
0
∥∥u(n)(t+ δ)− u(n)(t)
∥∥2
2Ω
dt ≤ Cδ1/2, (4.1)
где C не зависит от n и δ.
Доказательство. Зафиксируем δ и t : 0 < δ < T, 0 < t < T −δ и запишем равенство (3.10)
в виде ∂u(n)
∂t
+ u(n) · ∇xu(n) + β
1∫
0
∫
Vn
rΘn
(
|u(n) − v|2
)
(u(n) − v)f (n)dvdr, η(n)
2Ω
+
+ν
(
∇xu(n),∇xη(n)
)
2Ω
=
(
g, η(n)
)
, (4.2)
где η(n) — вектор-функция вида η(n)(x, t) =
∑n
k=1
hk(t)ψ
k(x), hk(t) ∈ C[0, T ].
Проинтегрируем равенство (4.2) по τ от t до t+ δ, а затем положим η(n)(x, t) = u(n)(x, t+
+ δ)− u(n)(x, t)
(
это допустимо в силу построения u(n)(x, t)
)
. В результате получим
∥∥u(n)(t+ δ)− u(n)(t)
∥∥2
2Ω
= −
t+δ∫
t
r(u(n)(τ), u(n)(τ) · ∇x
[
u(n)(t+ δ)− u(n)(t)
])
2Ω
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
210 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
+ν
(
∇xu(n)(τ),∇x
[
u(n)(t+ δ)− u(n)(t)
])
2Ω
−
(
g, u(n)(t+ δ)− u(n)(t)
)
2Ω
+
+β
1∫
0
∫
Vn
r(Θnf
(n)
(
u(n)(τ)− v
)
dvdr, u(n)(t+ δ)− u(n)(t)
2Ω
dτ.
Отсюда следует
∥∥u(n)(t+ δ)− u(n)(t)
∥∥2
2Ω
≤
4∑
k=1
(
I
(n)
k (t+ δ) + I
(n)
k (t)
)
, (4.3)
где
I
(n)
1 (t) =
t+δ∫
t
∫
Ω
∣∣u(n)(x, τ)
∣∣2∣∣∇xu(n)(x, t)dxdτ,
I
(n)
2 (t) =
t+δ∫
t
∫
Ω
|∇xu(n)(x, τ)||∇xu(n)(x, t)|dxdτ,
I
(n)
3 (t) =
t+δ∫
t
∫
Ω
g
∣∣u(n)(x, t)
∣∣dxdτ,
I
(n)
4 (t) = β
t+δ∫
t
∫
Ω
1∫
0
∫
VR
rf (n)Θn
(
|u(n)|2
)
||u(n)(x, t)|dvdrdxdτ.
Проинтегрируем неравенство (4.3) по t от 0 до T − δ и покажем, что для каждого слагаемого в
правой части справедлива оценка
T−δ∫
0
(
Ik(t+ δ) + Ik(t)
)
dt ≤ Ckδ1/2, k = 1, . . . , 4,
где постоянные Ck не зависят от n и δ. Использовав неравенство Коши и теорему вложения
H1(Ω) в L4(Ω), запишем
T−δ∫
0
I
(n)
1 (t)dt ≤
T−δ∫
0
t+δ∫
t
∫
Ω
∣∣u(n)(x, τ)
∣∣4dx
1/2 ∫
Ω
∣∣∇xu(n)(x, t)
∣∣21/2
dτdt ≤
≤ C
T−δ∫
0
t+δ∫
t
∥∥∇xu(n)(τ)
∥∥2
2Ω
∥∥∇xu(n)(t)
∥∥
2Ω
dτdt.
Поменяем порядок интегрирования по τ и t (положив u(n)(x, t) = 0 при t < 0):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 211
T−δ∫
0
I1(t)dt ≤ C
T∫
0
∥∥∇xu(n)(τ)
∥∥2
2Ω
τ∫
τ−δ
∥∥∇xu(n)(t)
∥∥
2Ω
dtdτ.
Теперь, применяя к интегралу по t неравенство Коши, получаем
T−δ∫
0
I
(n)
1 (t)dt ≤ Cδ1/2
T∫
0
∥∥∇u(n)(t)
∥∥2
2Ω
dt
3/2
. (4.4)
Аналогично оцениваются интегралы для I(n)
2 (t) и I(n)
3 (t) :
T−δ∫
0
I
(n)
2 (t)dt ≤
T−δ∫
0
t+δ∫
t
∥∥∇xu(n)(τ)
∥∥
2Ω
∥∥∇u(n)(t)
∥∥
2Ω
≤
≤ T 1/2δ1/2
T∫
0
‖∇u(n)(t)‖22Ωdt, (4.5)
T−δ∫
0
I
(n)
3 (t)dt ≤ g
∣∣Ω∣∣1/2δ max
0<t<T
∥∥u(n)(t)
∥∥
2Ω
. (4.6)
Из (4.5), (4.6), используя лемму 3.1, получаем требуемые оценки для интегралов от I(n)
k ,
k = 1, 2, 3.
Более сложно оценивается интеграл для I(n)
4 (t). Применяя неравенство Коши по перемен-
ным v ∈ Vn и r ∈ (0, 1], получаем
I4(t) ≤ β
t+δ∫
t
∫
Ω
∣∣u(n)(x, t)
∣∣
1∫
0
∫
Vn
rf (n)dvdr
1/2
×
×
1∫
0
∫
Vn
rf (n)Θn
(
|u(n) − v|2
)∣∣u(n) − v
∣∣2dvdr
1/2
dxdτ.
Для оценки интеграла по области Ω воспользуемся неравенством Гельдера с показателями
6, 3, 2. В результате получим
I4(t) ≤ β
t+δ∫
0
∫
Ω
∣∣u(n)(x, t)
∣∣6dx
1/6
×
∫
Ω
1∫
0
∫
Vn
rf (n)(x, v, r, t)dvdr
3/2
dx
1/3
×
×
∫
Ω
1∫
0
∫
Vn
rf (n)Θn
(
|u(n) − v|2
)∣∣u(n) − v
∣∣2dvdrdx
1/2
dτ. (4.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
212 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Оценим второй сомножитель в (4.7). Для этого умножим и разделим подынтегральную
функцию на r−2
(
1+r6|v|2
)2/3
, а затем применим к интегралу по переменным v и r неравенство
Гельдера с показателями 3 и
3
2
. В результате получим
∫
Ω
1∫
0
∫
Vn
rf (n)dvdr
3/2
dx ≤
≤
∫
Ω
1∫
0
∫
Vn
r−3
(
1 + r6|v|2
)(
f (n)
)3/2
dvdr
1∫
0
∫
Vn
r9dvdr(
1 + r6|v|2
)2
1/2
dx ≤
≤ C
∣∣f (n)
∣∣1/2
∞
1∫
0
r−3
∣∣f (n)
∣∣
1
dr +
∫
G
r3|v|2f (n)dvdrdx
. (4.8)
Здесь мы воспользовались равенством
1∫
0
∫
R3
r9dvdr(
1 + r6|v|2
)2 =
∫
R3
dw(
1 + |w|2
)2 = C <∞, (4.9)
которое легко получить заменой переменной w = r3w ∈ R3.
Используя неравенства (4.7), (4.8), оценки (jj), (jjj), лемму 3.1 и учитывая свойства началь-
ной функции f0(x, v, r, t) (см. (1.2), (1.3)), получаем
I
(n)
4 (t) ≤ C1δ
1/2
∫
Ω
∣∣u(n)(x, t)
∣∣6dx
1/6
T∫
0
∫
G
rf (n)Θn
(
|u(n) − v|2
)∣∣u(n) − v
∣∣2dvdrdxdt
1/2
,
откуда в силу теоремы вложения H1
0 (Ω) в L6(Ω) и леммы 3.1 следует, что
T−δ∫
0
I
(n)
4 (t)dt ≤ C2δ
1/2
T∫
0
∥∥∇u(n)(t)
∥∥2
2Ω
dt
1/2
×
×
T∫
0
∫
G
rf (n)Θn
(
|u(n) − v|2
)∣∣u(n) − v
∣∣2dvdrdxdt
1/2
≤ C3δ
1/2,
где постоянные Ci, i = 1, 2, 3, не зависят от n. Точно так же оцениваются интегралы от
I
(n)
k (t+ δ).
Лемма 4.1 доказана.
Из лемм 3.1 и 4.1 следует компактность последовательности
{
u(n)(x, t)
}
в L2
(
Ω × [0, T ]
)
(см. [15, 16]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 213
5. Предельный переход в интегральных тождествах (3.27), (3.28). Положив R = n и ис-
пользовав результаты предыдущего пункта, выполним предельный переход в тождествах (3.27),
(3.28) при n→∞.
5.1. Предельный переход в тождестве (3.27). Выполним его сначала на пробных вектор-
функциях ξ(m) вида (3.29) при любом фиксированном m (для простоты будем обозначать
ξ(m) = ξ).
Согласно леммам 3.1 и 4.1, последовательность аппроксимирующих вектор-функций{
u(n)(x, t)
}
слабо компактна в L2
(
[0, T ];H1
0 (Ω)
)
и сильно компактна в L2
(
Ω× [0, T ]
)
, а по по-
строению последовательность начальных функций {u(n)
0 (x)} сильно сходится в L2(Ω) к u0(x).
Поэтому можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой вектор-функции
u(x, t), и обычным образом выполнить предельный переход на этой подпоследовательности в
линейных относительно u(n) членах тождества (3.27). Столь же просто выполняется предель-
ный переход в квадратичном относительно u(n) члене. Действительно, из равенства
T∫
0
(
u(n), u(n) · ∇xξ
)
2Ω
dt =
t∫
0
(
u, u · ∇xξ
)
2Ω
dt+
T∫
0
(
u(n) − u, u · ∇xξ
)
2Ω
dt +
+
T∫
0
(
u(n), (u(n), (u(n) − u) · ∇xξ
)
2Ω
dt
и сильной сходимости подпоследовательности {u(n)} к u в L2
(
Ω, [0, T ]
)
следует
lim
n→∞
T∫
0
(
u(n), u(n) · ∇xξ
)
2Ω
dt =
T∫
0
(
u, u · ∇xξ
)
2Ω
dt. (5.1)
Для простоты сходящиеся подпоследовательности всюду обозначаются тем же индексом u, что
и исходные последовательности.
Предельный переход в слагаемом, содержащем f (n)(x, v, r, t), требует более сложного ана-
лиза. Прежде всего заметим, что для любого δ > 0 найдется такое Rδ (Rδ → ∞ при δ → 0),
что
I(n)(Rδ) =
T∫
0
∫
G∩{|v|>Rδ}
rf (n)Θn
(
|u(n) − v|2
)
|u(n) − v||ξ|dxdvdrdt < δ (5.2)
равномерно относительно n (ξ = ξ(m), m фиксировано).
Действительно, учитывая, что ξ ∈ L∞
(
Ω× [0, T ]
)
, и повторяя рассуждения из п. 4, прове-
денные при оценке I4(t), получаем неравенство
I(n)(Rδ) ≤ C
1∫
0
∫
|v|>Rδ
r9dvdr(
1 + r6|v|2
)2 ,
в котором постоянная C не зависит от n (зависит от f0 и m).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
214 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Отсюда в силу абсолютной сходимости интеграла (4.9) следует (5.2) при достаточно боль-
шом Rδ.
Зафиксируем δ > 0, Rδ <∞ и обозначим
Î
(n)
Rδ
=
T∫
0
∫
Gδ
rf (n)Θ
(
|u(n) − v|2
)(
u(n) − v
)
· ξdxdvdrdt, (5.3)
ÎRδ =
T∫
0
∫
Dδ
rf(u− v) · ξdxdvdrdt, (5.4)
где Dδ = D ∩
{
v : |v| < Rδ
}
, D = Ω × R3 × (0, 1], f = f(x, v, r, t) — ∗-слабый предел
f (n)(x, v, r, t) в L∞
(
D × [0, T ]
)
а u = u(x, t) — сильный предел u(n)(x, t) в L2
(
Ω × [0, T ]
)
по
выделенной подпоследовательности.
Докажем, что
lim
n→∞
Î
(n)
Rδ
= ÎRδ . (5.5)
Представим разность Î(n)
Rδ
− ÎRδ в виде
Î
(n)
Rδ
− ÎRδ =
4∑
i=1
B
(n)
i , (5.6)
где
B
(n)
1 =
T∫
0
∫
Dδ
r
(
f (n) − f
)
(u− v) · ξdxdvdrdt,
B
(n)
2 =
T∫
0
∫
Dδ
rf (n)
[
Θn
(
|u(n) − v|2
)
−Θn
(
|u− v|2
)]
(u(n) − v) · ξdxdvdrdt,
B
(n)
3 =
T∫
0
∫
Dδ
rf (n)
[
Θn
(
|u− v|2
)
− 1
]
(u(n) − v) · ξdxdvdrdt,
B
(n)
4 =
T∫
0
∫
Dδ
rf (n)
(
u(n) − u
)
· ξdxdvdrdt.
Поскольку f (n) → f ∗-слабо в L∞
(
D × [0, T ]
)
, то B(n)
1 стремится к нулю, так как функция(
u(x, t) − v
)
· ξ(x, t) ∈ L1
(
Dδ × [0, T ]
)
, а значит, продолжая ее нулем при |v| > Rδ, получаем
функцию из L1
(
D × [0, T ]
)
.
Прежде чем оценить B(n)
2 , покажем, что при любых Rδ <∞ и κ ≥ 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 215
lim
n→∞
T∫
0
∫
|v|≤Rδ
∫
Ω
∣∣∣Θn
(
|u(n) − v|2
)
−Θn
(
|u− v|2
)∣∣∣κdxdvdt = 0. (5.7)
Для этого воспользуемся неравенствами∣∣∣Θn
(
|u(n) − v|2
)
−Θn
(
|u− v|2
)∣∣ ≤ 1,
∣∣∣Θn
(
|u(n) − v|2
)
−Θn
(
|u− v|2
)∣∣∣ ≤ Θ̂||u(n) − v|2 − |u− v|2| ≤
≤ Θ̂
∣∣u(n) − u
∣∣(|u(n)|+ |u|+ 2|v|
)
,
где Θ̂ = maxρ>0 |Θ(ρ)| не зависит от x, v и n. Тогда при κ ≥ 1 получаем
T∫
0
∫
|v|≤Rδ
∫
Ω
∣∣∣Θn
(
|u(n) − v|2
)
−Θn
(
|u− v|2
)∣∣∣κdxdvdt ≤
≤
4πR3
δ
3
Θ̂
T∫
0
∥∥u(n) − u
∥∥2
2Ω
dt
1/2
T∫
0
∥∥u(n)
∥∥2
2Ω
dt
1/2
+
+
T∫
0
‖u‖22dt
1/2
+ 2Rδ
∣∣Ω1/2
∣∣T 1/2
.
Отсюда в силу сходимости u(n) к u в L2
(
Ω× [0, T ]
)
следует (5.7).
Теперь оценим B
(n)
2 . Учитывая, что ξ принадлежит L∞
(
Ω × [0, T ]
)
, а последовательность
f (n) ограничена в L∞
(
D × [0, T ]
)
, получаем
B
(n)
2 ≤ C
T∫
0
∫
|v|<Rδ
∫
Ω
∣∣∣Θn
(
|u(n) − v|2
)
−Θn
(
|u− v|2
)∣∣∣2dxdvdt
1/2
×
×
R3/2
δ
T∫
0
∥∥u(n)
∥∥2
2Ω
1/2
+R
5/2
δ |Ω|
1/2T 1/2
,
где постоянная C не зависит от n и δ.
Отсюда в силу (5.7) и ограниченности норм u(n) в L2
(
Ω× [0, T ]
)
следует, что B(n)
2 → 0 при
n→∞. Для оценки интеграла B(n)
3 разобьем область ΩT = Ω× [0, T ] на две части:
Ω1A
T =
{
(x, t) ∈ ΩT : |u(x, t)| < A
}
, Ω2A
T = ΩT \ Ω1A
T ,
где A — некоторое положительное число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
216 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Поскольку u(x, t) принадлежит L2(ΩT ), то mes Ω2A
T → 0 при A → ∞. Теперь представим
интеграл B(n)
3 в виде суммы
B
(n)
3 = B
(n)
31 +B
(n)
32 , (5.8)
где
B
(n)
3i =
∫
ΩiAT
1∫
0
∫
|v|<Rδ
rf (n)
[
Θn
(
|u− v|2
)
− 1
]
(u(n) − v) · ξdvdrdxdt, i = 1, 2.
Так как при (x, t), принадлежащем Ω1A
T , и |v| < Rδ |u − v| ≤ (A + Rδ)
2, при достаточно
больших n
(
n2 ≥ (A+Ri)
2 + 1
)
Θn
(
|u− v|2
)
= 1, а значит, B(n)
32 = 0.
Далее, замечая, что последовательность функций
{
rf (n)
[
Θn−1
]}∞
n=1
ограничена в L∞
(
D×
× [0, T ]
)
, с помощью неравенств Коши получаем
B
(n)
32 ≤ CR
3
δ
∫
ΩT
|ξ|2dxdt
1/2
T∫
0
∥∥u(n)
∥∥2
2Ω
1/2
+
∣∣Ω2A
T
∣∣T 1/2Rδ,
где |Ω2A
T | = mes Ω2A
T , а C не зависит от δ, A и n.
Поскольку ξ(x, t) ∈ L2(ΩT ), отсюда следует, что равномерно относительно n B(n)
32 → 0 при
A→∞, и, значит, согласно (5.8) B(n)
3 → 0 при n→∞.
Аналогично оцениваем интеграл B(n)
4 :
B
(n)
4 ≤ CR3
δ
T∫
0
∥∥u(n) − u
∥∥2
Ω
dt
1/2
T∫
0
∥∥ξ∥∥2
dxdt
1/2
,
откуда в силу сильной сходимости u(n) к u в L2
(
Ω×[0, T ]
)
следует, что и B(n)
4 → 0 при n→∞.
Таким образом, все слагаемые B(n)
i в правой части (5.6) стремятся к нулю при n → ∞ и,
значит, (5.5) доказано.
Теперь, учитывая (5.2) – (5.6), выполняем переход при n → ∞ в равенстве (3.27) в сла-
гаемом, содержащем f (n), и приходим к требуемому тождеству (1.4) для вектор-функций
ξ = ξ(m)(x, t) вида (3.29). Остается только заметить, что множество таких вектор-функций
слабо плотно в пространстве H1
(
Ω × [0, T ]
)
в множестве вектор-функций, удовлетворяющих
условиям (1.6). Следовательно, тождество (1.4) установлено.
5.2. Предельный переход в тождестве (3.28). Обозначим через Dε
δ и Qεδ такие подоблас-
ти D:
Dε
δ = D ∩
{
r > ε, |v| < R(δ)
}
, Qεδ = D \Dε
δ .
Учитывая вид вектор-функции ΓRr
(
u(n), v
)
(см. (2.2)) и ограниченность последовательности{
f (n)
}
в L∞
(
D × [0, T ]
)
, записываем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 217
Iε1δ ≡
T∫
0
∫
Qεδ
f (n)
∣∣Γnr · ∇vφ∣∣dxdvdrdt ≤
≤ C
T∫
0
∫
D
rf (n)Θn
(
|u(n) − v|2
)∣∣u(n) − v
∣∣2dxdvdrdt
1/2
T∫
0
∫
Qεδ
|∇vφ
r5
dxdvdrdt
1/2
и
Iε2δ ≡
T∫
0
∫
Qεδ
f (n)|v · ∇xφ|dxdvdrdt ≤
≤ C
T∫
0
∫
D
r3|v|2f (n)dxdvdrdt
1/2
T∫
0
∫
Qεδ
|∇xφ|2
r3
dxdvdrdt
1/2
,
где постоянная C не зависит от n, R(δ) и ε.
В силу свойств функций φ(x, v, r, t) (см. (1.6)) из этих неравенств и леммы 3.1 следует, что
при любом δ > 0 существуют такие R(δ) и ε = ε(δ), что
Iε1δ < δ, Iε2δ < δ. (5.9)
Зафиксируем достаточно малое δ > 0 и подходящие ε(δ), R(δ) и продолжим вектор-
функции Γnr (u(n), v), ∇xφ и ∇vφ нулем на внешность области Dδ. Тогда, учитывая ∗-слабую
сходимость f (n)(x, v, r, t) в L∞
(
Ω× [0, T ]
)
и сильную сходимость u(n) в L2
(
Ω× [0, T ]
)
, выпол-
няем предельный переход при n → ∞ в первом интеграле тождества (3.28) по ограниченной
области Dε
δ × [0, T ] так же, как и в тождестве (3.27). После этого переходим к пределу при
δ → 0 (ε(δ)→ 0, R(δ)→∞) c учетом (5.9).
Наконец, в силу слабой сходимости f (n) к f в пространстве L2σr
(
D× [0, T ];H1
0 (R3)
)
имеем
lim
n→∞
T∫
0
1∫
0
σr
(
∇vf (n)
0 ,∇vφ
)
D
drdt =
T∫
0
1∫
0
σr
(
∇vf,∇vφ
)
D
drdt.
Таким образом, тождество (1.5) также установлено и тем самым теорема 1.1 доказана
полностью.
6. Доказательство теоремы 1.2. Пусть φ(x, v, r) — произвольная функция из L∞(D)
(
D =
= Ω× R3 × (0, 1]
)
. Рассмотрим функцию
ψ(n)(t) =
∫
D
f (n)(x, v, r, t)φ(x, v, r)dxdvdr, (6.1)
где f (n) — решение задачи (2.1) – (2.5), в которой u = u(n)(x, t) и R = n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
218 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Лемма 6.1. Функции φ(n)(t) непрерывны по t равностепенно относительно n и ограни-
чены в C[0, T ] равномерно по n.
Доказательство. Равномерная ограниченность функций ψ(n)(t) следует из свойства (jjj)
решения задачи (2.1) – (2.5) (см. п. 2). Для доказательства равностепенной непрерывности вос-
пользуемся обозначениями Dδ = D∩
{
|v| < R(δ)
}
и Qδ = D∩
{
|v| ≥ R(δ)
}
= D\Dδ и введем
функцию φεδ(x, v, r) ∈ C2
0 (Dδ) с компактным носителем в Dδ такую, что
‖φ− φεδ‖L1(D×[0,T ]) ≤
ε
2A
, (6.2)
где A = supn ‖f (n)‖L∞(D×[0,T ]).
Это возможно, поскольку φ ∈ L∞(D), область Dδ ⊂ D ограничена и, согласно (jj) и (1.6),
последовательность {f (n)} ограничена в L∞
(
D × [0, T ]
)
.
Теперь представим функцию (6.1) в виде
ψ(n)(t) =
∫
Dδ
f (n)φεδdxdvdr +
∫
Dδ
f (n)(φ− φεδ)dxdvdr +
∫
Qδ
f (n)φdxdvdr. (6.3)
Из (6.2) следует такая оценка для второго интеграла в правой части (6.3):
sup
n
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣∣
∫
Dδ
f (n)(φ− φεδ)dxdv
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
ε
2
. (6.4)
Оценим еще третий интеграл. Умножая и деля подынтегральное выражение на r−6
(
1 +
+ r12|v|2
)2/3
, с помощью неравенства Гельдера получаем∣∣∣∣∣∣∣
∫
Qδ
f (n)φdxdvdr
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ |φ|∞
∣∣f (n)
∣∣1/3
∞
∣∣Ω∣∣1/3
∫
Qδ
(
r−9 + r3|v|2
)
f (n)dxdvdr
2/3
×
×
1∫
0
∫
|v|≥R(δ)
r18(
1 + r12|v|2
)2dvdr
1/3
. (6.5)
Поскольку интеграл
1∫
0
∫
R3
r18(
1 + r12|v|2
)2dvdr =
∫
dw(
1 + |w|2
)2
сходится, последний сомножитель в (6.5) можно сделать сколь угодно малым, если выбрать
R(δ) достаточно большим. Поэтому, учитывая оценки (jj) и (jjj) для f (n)(x, v, r, t), свойства
начальной функции f0 (1.6) и лемму 3.1, заключаем, что для любого δ > 0
sup
n
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣∣
∫
Qδ
f (n)φdxdvdr
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
δ
2
. (6.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 219
Из (6.3), (6.4) и (6.6) следует, что∣∣ψ(n)(t+ ∆t)− ψ(n)(t)
∣∣ ≤ ∫
Dδ
|f (n)(t+ ∆t)− f (n)(t)||φεδ|dxdvdr + ε+ δ. (6.7)
Учитывая, что функция f (n)(x, v, r, t) является решением задачи (2.1) – (2.5) (где u = u(n) и
R = n), а φεδ принадлежит C2
0 (Dδ), из (6.4) получаем∣∣ψ(n)(t+ ∆t)− ψ(n)(t)
∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣∣
t+∆t∫
t
∫
Dδ
f (n)
[
v · ∇xφεδ + Γnr (u(n), v) · ∇vφεδ + σr∆vφεδ
]
dxdvdrdt
∣∣∣∣∣∣∣+ ε+ δ.
Отсюда с учетом того, что область Dδ ограничена, φεδ ∈ C2
0 (Dδ) и последовательности
{
f (n)
}
и
{
u(n)
}
ограничены в L∞
(
D × [0, T ]
)
и L∞
(
[0, T ];L2(Ω)
)
, приходим к неравенству∣∣ψ(n)(t+ ∆t)− ψ(n)(t)
∣∣ ≤ C(ε, δ)|∆t|+ ε+ δ,
где C(ε, δ) не зависит от n.
Поскольку ε > 0 и δ > 0 можно выбрать сколь угодно малыми, из этого неравенства следует,
что функции ψ(n) непрерывны по t равностепенно по n.
Лемма 6.1 доказана.
Из этой леммы следует, что из последовательности функций
{
ψ(n)
}
можно выбрать под-
последовательность, которая сходится к некоторой непрерывной функции ψ(t) равномерно
по t ∈ [0, T ]. Далее за этой подпоследовательностью сохраним то же обозначение
{
ψ(n)(t)
}
.
Покажем, что предельная функция ψ(t) представляется интегралом
ψ(t) =
∫
D
f(x, v, r, t)φ(x, v, r)dxdvdr, (6.8)
где f(x, v, r, t) — ∗-слабый предел последовательности
{
f (n)
}
в L∞
(
D × [0, T ]
)
.
Пусть a, b (b > a) — произвольные точки отрезка [0, T ], а χ[a,b](t) — характеристическая
функция [a, b]. Тогда, учитывая, что φεδ(x, v, r)χ[a,b](t) ∈ L1
(
D×[0, T ]
)
, а f (n) сходится ∗-слабо
в L∞
(
D × [0, T ]
)
к f(x, v, r, t), с помощью равенства (6.7) и оценок (6.4), (6.6) получаем∣∣∣∣∣∣∣
T∫
0
ψ(t)χ[a,b](t)dt−
T∫
0
∫
Dδ
fφεδχ[a,b]dxdvdrdt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
ε+ δ
2
(b− a).
Поскольку f принадлежит L∞
(
D × [0, T ]
)
, из (6.2) следует, что в этом неравенстве можно
перейти к пределу при ε→ 0 и получить∣∣∣∣∣∣∣
T∫
0
ψ(t)χ[a,b](t)dt−
T∫
0
∫
Dδ
fφχ[a,b]dxdvdrdt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
δ
2
(b− a). (6.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
220 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Так как при δ → 0 R(δ) → ∞ и, значит, области Dδ исчерпывают область D, из (6.9)
следует равенство
T∫
0
ψ(t)χ[a,b](t)dt =
T∫
0
∫
D
fφχ[a,b]dxdvdrdt
для произвольных a, b ∈ [0, T ]. Тем самым равенство (6.8) установлено. Из этого равенства
следует, что предельная функция f(x, v, r, t) непрерывна по t в слабой топологии L1(D) и,
значит, утверждение (i) теоремы 1.2 установлено.
Утверждение (ii) следует из ∗-слабой сходимости функций f (n)(x, v, r, t) к f(x, v, r, t) в
L∞
(
D × [0, T ]
)
и неотрицательности f (n)(x, v, r, t) (см. свойство (j), п. 2).
Для того чтобы установить утверждение (iii), заметим, что из (6.1) и леммы 6.1 следует, что
последовательность
{
f (n)(x, v, r, t)
}
сходится к f(x, v, r, t) равномерно по t ∈ [0, T ] в слабой
топологии L1(D). Поэтому равномерно по t ∈ [0, T ]∫
D
f(x, v, r, t)dxdvdr = lim
n→∞
∫
D
f (n)(x, v, r, t)dxdvdr,
откуда с учетом свойства (jjj) получаем утверждение (iii).
Теперь установим свойство (iv) вектор-функции u(x, t), которая является пределом в L2
(
Ω×
× [0, T ]
)
галеркинских приближений (3.9), где коэффициенты c
(n)
k (t) определяются из ра-
венств (3.10), (3.11). Покажем, что при любом фиксированном k функции c(n)
k равностепенно
(относительно n) непрерывны по t ∈ [0, T ] и равномерно (по n) ограничены в C[0, T ]. Равно-
мерная ограниченность следует из равенства Парсеваля, леммы 3.1 и свойств (1.6) начальных
данных:
max
0≤t≤T
n∑
k=1
∣∣c(n)
k (t)
∣∣2 = max
0≤t≤T
∥∥u(n)
∥∥2
2Ω
< C(u0, f0), (6.10)
где постоянная C(u0, f0) не зависит от n.
Равностепенную непрерывность докажем с помощью равенства (3.10). Учитывая, что
ċ
(n)
k (τ) =
(
∂u(n)
∂τ
, ψk
)
2Ω
,
интегрируя (3.10) по τ от t до t + ∆t и оценивая остальные слагаемые по неравенству Коши,
получаем ∣∣c(n)
k (t+ ∆t)− c(n)
k (t)
∣∣ ≤ |∆t|g‖ψk‖2Ω+
+
√
|∆t|
(
ν
∥∥∇ψk∥∥
2Ω
+ |ψk|Ω max
t
∥∥u(n)
∥∥
2Ω
) T∫
0
∥∥∇xu(n)
∥∥2
2Ω
dτ
1/2
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 221
+β
√
|∆t||ψk|Ω
max
0<τ≤T
∫
D
f (n)dxdvdr
1/2
×
×
T∫
0
∫
D
rf (n)Θn
(
|u(n) − v|2
)∣∣u(n) − v
∣∣2dxdvdrdτ
1/2
.
Отсюда в силу леммы 3.1 и свойства (jj) функции f (n)(x, v, r, t), а также свойства базисных
функций φk следует, что ∣∣c(n)
k (t+ ∆t)− c(n)
k (t)
∣∣ ≤ C(k, u0, f0)
√
|∆t|, (6.11)
где постоянная C(k, u0, f0) не зависит от n.
Таким образом, согласно (6.10) и (6.11) при любом k последовательность функций
{
c
(n)
k (t)
}
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Используя диагональный процесс, можно
выделить подпоследовательность {nj} такую, что при любом k подпоследовательность
{
c
(nj)
k
}
сходится равномерно на [0, T ] к некоторой непрерывной функции ck(t). Далее сохраняем за
этой подпоследовательностью прежнее обозначение
{
c
(n)
k (t)
}
.
Покажем теперь, что соответствующая подпоследовательность
u(n)(x, t) =
n∑
k=0
c
(n)
k (t)ψk(x)
сходится равномерно по t в слабой топологии L2(Ω). Пусть φ(x) — произвольная вектор-
функция из L2(Ω), а φk — ее коэффициенты Фурье по системе
{
ψk(x)
}
.
Для любого N нетрудно получить неравенство
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣
∫
Ω
u(n)(x, t) · φ(x)dx−
∫
Ω
u(m)(x, t) · φ(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣
N∑
k=1
φk
(
c
(n)
k (t)− c(m)
k (t)
)∣∣∣∣∣+ sup
0≤t<T
(
‖u(n)‖2Ω + ‖u(m)‖2Ω
)
×
×
∫
Ω
|φ(x)−
N∑
k=1
φkψ
k(x)|2dx
1/2
.
В силу леммы 3.1 правую часть этого неравенства можно сделать сколь угодно малой, выбрав
сначала достаточно большое N, а затем достаточно большие n и m.
Таким образом, последовательность непрерывных функций
φ̂(n)(t) =
∫
Ω
u(n)(x, t) · φ(x)dx
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
222 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
фундаментальна в C[0, T ] и, значит, сходится к некоторой непрерывной функции φ̂(t). Учиты-
вая, что u(n)(x, t) сходится в L2
(
Ω× [0, T ]
)
к u(x, t), заключаем, что
φ̂(t) =
∫
Ω
u(x, t) · φ(x)dx.
Тем самым утверждение (iv) теоремы 1.2 установлено.
Осталось убедиться в справедливости оценки (v). Это следует из неравенства (3.14). Дейст-
вительно, неравенство (3.14) сохраняется, если в нем в левой части R заменить любым фикси-
рованным числом R′ ≤ R. После этого, переходя к пределу при R = n и n → ∞ и учитывая,
что u(n) сходится к u в L2
(
D × [0, T ]
)
, а также слабо в L2
(
[0, T ], J1(Ω)
)
и равномерно по t в
слабой топологии L2(Ω), а f (n) сходится ∗-слабо в L∞
(
D× [0, T ]
)
и равномерно по t в слабой
топологии L1(D), получаем
max
0≤t≤T
‖u‖2Ω +
β
γ
∫
D1R′
r3|v|2fdxdvdr
+
+2β
T∫
0
∫
D1R′
rΘR′
(
|u− v|2
)
|u− v|2fdxdvdrdt+ ν
T∫
0
∥∥∇u∥∥2
2Ω
dx ≤
≤ eδT
∥∥u0
∥∥2
2Ω
+
β
γ
∫
D
r3|v|2f0dxdvdr
+
+
eδt − 1
δ
12βσ
γ
∫
D
r−2f0dxdvdr +
2
λν
∥∥g∥∥2
2Ω
+
4βg2
1
γδ
∫
D
r3f0dxdvdr
,
где все обозначения соответствуют лемме 3.1.
Поскольку в этом неравенстве R′ можно выбирать произвольно, из него в силу свойств
начальных данных u0 и f0 (см. (1.2), (1.3)) следует требуемая оценка (v).
A. Доказательство теоремы 2.1. Воспользуемся методом работы [12], основанным на
применении следующей теоремы Ж.-Л. Лионса [17].
Теорема A.1. Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·)
и нормой | · |, M ⊂ H — пространство с нормой ‖ · ‖, причем вложение M в H непрерывно.
Пусть E(·, φ) : M ×M → R — билинейная форма, такая, что E(·, φ) непрерывно в H
и E(φ, φ) ≥ a‖φ‖ ∀φ ∈ M, a > 0. Тогда для данной линейной формы L ∈ M ′ существует
решение f ∈ H задачи
E(f, φ) = L(φ) ∀φ ∈M. (A.1)
Определим пространства H и M следующим образом: H = L2
(
[0, T ] × Ω;H1
0 (VR)
)
и
M = D
(
[0, T ]×Ω×VR
)
— множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным
носителем в [0, T )× (Ω× VR) \ Σ+
R, где Σ+
R =
{
(u, v) ∈ ∂Ω× VR : (v, n(x)) ≥ 0
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 223
Норма в пространстве M задается формулой
‖φ‖2M = ‖φ‖2H +
1
2
∫
VR
∫
Ω
φ2(x, v, 0)dxdv,
где ‖ · ‖H — норма в L2
(
[0, T ]× Ω; H1
0 (VR)
)
.
Определим билинейную и линейную формы следующим образом:
E(f, φ) =
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
f
[
−∂φ
∂t
− v · ∇xφ+ λφ−
(
ΓRr (u, v)f − σr∇vf
)
· ∇vφ
]
dxdvdt,
L(φ) = −
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
h′φdxdvdt−
∫
VR
∫
Ω
f0ΘR
(
|v|2)φ(x, v, 0
)
dxdv,
где λ >
3β
2r2
, h′ = he−λt.
Ясно, что E(·, φ) непрерывна в L2
(
[0, T ] × Ω;H1
0 (VR)
)
. Учитывая, что suppφ ∈ [0, T ) ×
× (Ω× VR) \ Σ+
R, получаем
E(φ, φ) =
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
[(
λ− 3β
2r2
)
φ2 + σr|∇vφ|2
]
dxdvdt+
+
1
2
∫
VR
∫
Ω
φ2(x, v, 0)dxdv −
∫
Σ−R
φ2
(
v, n(x)
)
dSxdv,
где Σ−R =
{
(x, v) ∈ ∂Ω× VR :
(
v, n(x)
)
< 0
}
.
Поскольку λ− 3β
2r2
> 0 и
(
v, n(x)
)
< 0 на Σ−R, то
E(φ, φ) ≥ a
∥∥φ∥∥2
H
+
1
2
∫
VR
∫
Ω
φ2(x, v, 0)dxdv
= a
∥∥φ∥∥2
M
, a > 0.
Таким образом, условия теоремы Ж.-Л. Лионса выполнены и, согласно этой теореме, су-
ществует функция f̃ ∈ L2
(
[0, T ]× Ω;H1
0 (VR)
)
, удовлетворяющая уравнению (A.1), т. е.
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
{
f̃
[
∂φ
∂t
+ v · ∇xφ− λφ+ ΓRr · ∇vφ
]
− σr∇vf̃ · ∇vφ
}
dxdvdt =
=
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
h′φdxdvdt+
∫
VR
∫
Ω
f0ΘRφ(x, v, 0)dxdv ∀φ ∈M. (A.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
224 C. М. ЕГОРОВ, Е. Я. ХРУСЛОВ
Отсюда следует, что функция f̃ удовлетворяет в области Ω× VR × [0, T ] уравнению
∂f̃
∂t
+ v · ∇xf̃ + λf̃ + divv
[
ΓRr (u, v)f̃
]
− σr∆vf̃ = h′ (A.3)
в смысле распределений.
Учитывая, что f̃ ∈ H = L2
(
[0, T ]× Ω;H1
0 (VR)
)
, h′ ∈ L2
(
Ω× VR × [0, T ]
)
и ΓRr ∈ L∞
(
Ω×
× VR × [0, T ]
)
, с помощью (A.3) и (2.2) имеем
∂f̃
∂t
+ v · ∇xf̃ ∈ L2
(
Ω× [0, T ];H−1(VR)
)
,
т. е. f̃ ∈ F.
В работе [12] показано, что функции f̃ ∈ F имеют следы f̃(x, v, 0), f̃(x, v, T ) ∈ L2(Ω×VR)
f̃ |∂Ω×VR×[0,T ] ∈ L2
(
∂Ω× VR × [0, T ],
∣∣v · n(x)
∣∣dSxdvdt).
Учитывая это, получаем формулу Грина〈
∂f̃
∂t
+ v · ∇vf̃ , φ̃
〉
H′H
+
〈
∂φ̃
∂t
+ v · ∇xφ̃, f̃
〉
H′H
=
=
∫
VR
∫
Ω
f̃(x, v, T )φ̃(x, v, T )dxdv −
∫
VR
∫
Ω
f̃(x, v, 0)φ̃(x, v, 0)dxdv +
+
T∫
0
∫
Σ−R
f̃ φ̃v · n(x)dSxdvdt, (A.4)
где 〈·, ·〉H′H — билинейная форма H ′ ×H → R, f̃ , φ̃ ∈ F ⊂ H.
Полагая в этой формуле φ̃ = φ ∈M, с помощью (A.2), (A.3) получаем
∫
VR
∫
Ω
(f̃(x, v, 0)− f0(x, v) ·ΘR
(
|v|2
)
φdxdv +
T∫
0
∫
Σ−R
f̃φv · n(x)dSxdvdt = 0.
Поскольку φ — произвольная функция из M, отсюда следует, что f̃ удовлетворяет гранич-
ному условию (2.4) в смысле L2
(
Σ−R× [0, T ]
)
и начальному условию (2.1) в смысле L2(Ω×VR).
Поскольку f̃ принадлежит L2
(
Ω × [0, T ];H1
0 (VR)
)
, заключаем, что f̃ является решением
задачи (2.1) – (2.5) с заменой уравнения (2.1) уравнением (A.3).
Покажем, что это решение единственно. Пусть f̃ — решение задачи (A.3), (2.2) – (2.5) для
h′ = 0 и f0 = 0. Применяя формулу Грина (A.4) для φ̃ = f̃ и учитывая (A.3) и (2.2), получаем
0 =
〈
∂f̃
∂t
+ v · ∇xf̃ , f̃
〉
H′H
+ λ
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
f̃2dxdvdt +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ГЛОБАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКСА – ФОККЕРА – ПЛАНКА 225
+
1
2
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
ΓRr (u, v) · ∇vf̃2dxdvdt+ σr
T∫
0
∫
VR
∫
Ω
|∇vf̃ |2dxdvdt ≥
≥ 1
2
∫
VR
∫
Ω
f2(x, v, T )dxdv +
T∫
0
∫
Σ+
R
f2v · n(x)dSxdvdt +
+
(
λ− 3β
2r2
) T∫
0
∫
VR
∫
Ω
f̃2dxdvdt.
Так как λ >
3β
2r2
, отсюда следует, что f̃ ≡ 0. Теперь, полагая f(x, v, t) = f̃(x, v, t)eλt, заключа-
ем, что f(x, v, t) — единственное слабое решение задачи (2.1) – (2.5).
Теорема доказана.
1. Рахматулин Х. А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. математика
и механика. – 1956. – 20, № 2. – C. 184 – 195.
2. Крайко А. И. , Стернин Л. Е. К теории течения двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими
частицами // Прикл. математика и механика. – 1965. – 29, № 3. – C. 418 – 429.
3. Gardiner C. W. Handbook of stochastic methods of Physics, Chemistry and Natural Sciences. – Berlin etc.: Springer,
1981.
4. Van Kampen N. G. Stochastic processes in Physics and Chemistry. – Amsterdam etc.: North-Holland, 1990.
5. Hamdache K. Global existence and large time behaviour of solutions for the Vlasov – Stokes equations // Jap. J.
Industr. Appl. Math. – 1998. – 15. – P. 51 – 73.
6. Mellet A., Vasseur A. Global weak solution for a Vlasov – Fokker – Planck/Navier – Stokes equations // Math. Mod.
Meth., Appl. Sci. – 2007. – 17, № 7. – P. 1039 – 1063.
7. Anoshchenko O. A., Boutet de Monvel-Berthier A. The existence of a global generalized solution of the system of
equations describing suspension motion // Math. Meth., Appl. Sci. – 1997. – 20. – P. 495 – 519.
8. Anoshchenko O. A., Khruslov E., Stephan H. Global weak solutions to the Navier – Stokes – Vlasov – Poisson
system // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2010. – 6. – P. 143 – 182.
9. Арсеньев А. А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова // Журн. вычислит.
математики и мат. физики. – 1975. – 15, № 1. – P. 136 – 147.
10. Bardos C., Degond P. Global existence for the Vlasov – Poisson equation in 3 space variables with small initial
data // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. – 1985. – 2, № 2. – P. 101 – 118.
11. Schaeffer J. Global existence of smooth solutions to the Vlasov – Poisson system in three dimensions // Commun.
Partial Different. Equat. – 1991. – 16, № 8-9. – P. 1313 – 1335.
12. Degond P. Global existence of smooth solutions for the Vlasov – Fokker – Planck equations in 1 and 2 space dimen-
sions // Ann. sci. Ecole norm. super. – 1986. – 19, Ser. 4. – P. 519 – 542.
13. Bouchut F. Existence and uniqueness of a global smooth solution for the Vlasov – Poisson – Fokker – Planck system
in three dimensions // J. Funct. Anal. – 1993. – 111. – P. 239 – 258.
14. Carrillo J. A., Soler J. On the initial value problem for the Vlasov – Poisson – Fokker – Planck system with initial data
in Lp-spaces // Math. Meth. Appl. Sci. – 1995. – 18. – P. 825 – 839.
15. Антонцев С. Н., Кожиков А. В., Монахов В. К. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. – Ново-
сибирск: Наука, 1983.
16. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1970. –
288 с.
17. Lions J. L. Equations differentielles et problemes aux limites. – Berlin: Springer, 1961.
Получено 26.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2413 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c9/43ea5c32fb4247cf0303f18fa0dc58c9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24132020-03-18T19:15:01Z Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system Глобальные слабые решения системы Навье - Стокса - Фоккера - Планка Egorov, S. M. Khruslov, E. Ya. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. We consider a coupled system of the Navier- Stokes and Fokker- Planck equations that describes the motion of a polydisperse suspension of solid particles in a viscous incompressible liquid. We prove the existence theorem and study some properties of global weak solutions of the initial boundary-value problem for this system. Розглядається зв’язана система рiвнянь Нав’є – Стокса i Фоккера – Планка, що описує рух полiдисперсної суспензiї твердих часток у в’язкiй нестискуванiй рiдинi. Доведено iснування i вивчено деякi властивостi глобальних слабких розв’язкiв початково-крайової задачi для цiєї системи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2413 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 2 (2013); 192-225 Український математичний журнал; Том 65 № 2 (2013); 192-225 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2413/1593 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2413/1594 Copyright (c) 2013 Egorov S. M.; Khruslov E. Ya. |
| spellingShingle | Egorov, S. M. Khruslov, E. Ya. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. Егоров, С. М. Хруслов, Е. Я. Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system |
| title | Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system |
| title_alt | Глобальные слабые решения системы Навье - Стокса - Фоккера - Планка |
| title_full | Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system |
| title_fullStr | Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system |
| title_full_unstemmed | Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system |
| title_short | Global weak solutions of the Navier?Stokes?Fokker?Planck system |
| title_sort | global weak solutions of the navier?stokes?fokker?planck system |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2413 |
| work_keys_str_mv | AT egorovsm globalweaksolutionsofthenavierstokesfokkerplancksystem AT khrusloveya globalweaksolutionsofthenavierstokesfokkerplancksystem AT egorovsm globalweaksolutionsofthenavierstokesfokkerplancksystem AT hrusloveâ globalweaksolutionsofthenavierstokesfokkerplancksystem AT egorovsm globalweaksolutionsofthenavierstokesfokkerplancksystem AT hrusloveâ globalweaksolutionsofthenavierstokesfokkerplancksystem AT egorovsm globalʹnyeslabyerešeniâsistemynavʹestoksafokkeraplanka AT khrusloveya globalʹnyeslabyerešeniâsistemynavʹestoksafokkeraplanka AT egorovsm globalʹnyeslabyerešeniâsistemynavʹestoksafokkeraplanka AT hrusloveâ globalʹnyeslabyerešeniâsistemynavʹestoksafokkeraplanka AT egorovsm globalʹnyeslabyerešeniâsistemynavʹestoksafokkeraplanka AT hrusloveâ globalʹnyeslabyerešeniâsistemynavʹestoksafokkeraplanka |