Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations
We establish conditions for the oscillation of solutions of functional difference linear equations and discrete difference linear equations of the second order in the case where the corresponding solutions of their differential analogs are oscillating on a segment.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2414 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508296364949504 |
|---|---|
| author | Karpenko, O. V. Kravets, V. I. Stanzhitskii, A. N. Карпенко, О. В. Кравець, В. І. Станжицький, О. М. |
| author_facet | Karpenko, O. V. Kravets, V. I. Stanzhitskii, A. N. Карпенко, О. В. Кравець, В. І. Станжицький, О. М. |
| author_sort | Karpenko, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:01Z |
| description | We establish conditions for the oscillation of solutions of functional difference linear equations and discrete difference linear equations of the second order in the case where the corresponding
solutions of their differential analogs are oscillating on a segment. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:22:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. В. Карпенко (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ),
В. I. Кравець (Таврiй. держ. агротехн. ун-т),
О. М. Станжицький (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
КОЛИВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
We establish conditions for the oscillation of solutions of functional difference linear equations and discrete difference linear
equations of the second order in the case where the corresponding solutions of their differential analogs are oscillating on
a segment.
Установлены условия колеблемости решений функционально-разностных и дискретных разностных линейных урав-
нений второго порядка в случае, когда решения их дифференциальных аналогов являются колеблющимися на
отрезке.
Вступ. Функцiонально-рiзницевi та дискретнi рiзницевi рiвняння є важливими об’єктами ви-
вчення як з теоретичної точки зору, так i з точки зору застосувань. Їх частинним випадком
є рiзницевi схеми, що виникають при чисельному iнтегруваннi диференцiальних рiвнянь. З
iншого боку, вони є зручними математичними моделями об’єктiв, еволюцiя яких має дискрет-
ний характер. Яскравим представником останнiх є фiнансовий ринок зi змiною цiн ризикових
активiв в дискретнi моменти часу (див., наприклад, [1]). Функцiя, що описує загальний капiтал
iнвестора на такому ринку в найпростiшому випадку, задовольняє лiнiйне рiзницеве рiвняння.
Оскiльки змiнi вартостi акцiй (ризикового активу) притаманний коливний характер, то i еволю-
цiя загального капiталу має коливний характер. Тому для таких моделей особливо важливого
значення набувають коливнi розв’язки.
Коливнi властивостi розв’язкiв рiзницевих рiвнянь вивчались у багатьох роботах (див.,
наприклад, [2 – 4]).
Для рiвнянь на часових шкалах поняття узагальненого нуля розв’язку та коливнiсть дослi-
джувались у роботах [5, 6].
Особливий iнтерес становлять питання взаємозв’язку мiж якiсними властивостями розв’яз-
кiв звичайних i вiдповiдних їм рiзницевих рiвнянь при умовi, що крок h прямує до нуля.
Вони вивчалися, наприклад, у монографiї [7], де наведено широку бiблiографiю. Також у ро-
ботах [8, 9] розглядалися питання зв’язку мiж iснуванням атракторiв систем диференцiальних
i вiдповiдних їм рiзницевих рiвнянь.
У роботi [10] за автономною системою звичайних диференцiальних рiвнянь побудовано гiб-
ридну систему, що є узагальненням схеми Рунге – Кутта. Дослiджується питання рiвномiрної,
глобальної асимптотичної стiйкостi нульового розв’язку цiєї гiбридної системи. Тут показано,
що основною умовою такої стiйкостi є рiвномiрна глобальна асимптотична i локальна екс-
поненцiальна стiйкiсть нульового розв’язку вiдповiдної автономної системи диференцiальних
рiвнянь.
У роботi [11] встановлено iснування обмежених на осi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь
при умовi iснування таких розв’язкiв у вiдповiдного рiзницевого рiвняння та навпаки.
Питанням зв’язку мiж коливнiстю розв’язкiв лiнiйних рiзницевих i вiдповiдних диферен-
цiальних рiвнянь присвячено роботи [12, 13]. Так, у [12] встановлено коливнiсть розв’язкiв
c© О. В. КАРПЕНКО, В. I. КРАВЕЦЬ, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, 2013
226 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
КОЛИВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 227
лiнiйних рiзницевих рiвнянь другого порядку з достатньо малим кроком h при умовi, що таку
властивiсть мають розв’язки вiдповiдного диференцiального рiвняння. У [13] отримано обер-
нений результат, коли з коливностi розв’язкiв рiзницевих рiвнянь при малому кроцi h випливає
коливнiсть розв’язкiв вiдповiдного диференцiального рiвняння.
Але в цих роботах вивчається коливнiсть фiксованого розв’язку задачi Кошi для рiзницевого
рiвняння, якщо таку властивiсть має розв’язок задачi Кошi з такими ж початковими даними
вiдповiдного диференцiального рiвняння i навпаки. При цьому крок h вибирається свiй для
кожних початкових даних. Крiм того, вiд коефiцiєнтiв рiвняння вимагається гладкiсть, що не є
природною для такого роду рiвнянь.
Дана робота узагальнює результат роботи [12] у кiлькох аспектах.
По-перше, встановлено умови коливностi не лише розв’язкiв лiнiйних рiзницевих рiвнянь
другого порядку, але й розв’язкiв лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь другого порядку
при умовi, що властивiсть коливностi мають розв’язки вiдповiдного диференцiального рiв-
няння.
По-друге, основним моментом роботи є те, що в нiй, на вiдмiну вiд [12], показано, що крок
h, який гарантує коливнiсть розв’язкiв рiзницевих рiвнянь, можна вибрати єдиним чином для
всiх початкових даних.
Окрiм того виявилося, що для отримання результатiв умову гладкостi коефiцiєнтiв рiвняння
можна зняти, замiнивши її умовою неперервностi.
Робота складається зi вступу i двох пунктiв. У першому пунктi наведено постановку задачi
та кiлька необхiдних у подальшому допомiжних тверджень, якi на думку авторiв мають i
самостiйний iнтерес.
Основнi результати роботи викладено у другому пунктi.
1. Постановка задачi та допомiжнi твердження. Розглянемо лiнiйне диференцiальне рiв-
няння другого порядку
ẍ+ p(t)ẋ+ q(t)x = 0 (1)
та вiдповiднi йому функцiонально-рiзницеве рiвняння
42x(t) + hp(t)4x(t) + h2q(t)x(t) = 0 (2)
i рiзницеве рiвняння
42
kx(t0) + hp(t0 + kh)4kx(t0) + h2q(t0 + kh)x(t0 + kh) = 0. (3)
Тут
4x(t) = x(t+ h)− x(t),
42x(t) = 4(4x(t)) = x(t+ 2h)− 2x(t+ h) + x(t).
4kx(t0) = x(t0 + (k + 1)h)− x(t0 + kh),
42
kx(t0) = 4k(4kx(t0)).
Позначимо також через xhk = x(t0 + kh) розв’язок рiвняння (3) та tk = t0 + kh.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
228 О. В. КАРПЕНКО, В. I. КРАВЕЦЬ, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Означення 1 [12]. Скажемо, що розв’язок xhk рiвняння (3) має в точцi tk змiну знака, якщо
виконується одна з умов:
1) xhkx
h
k+1 < 0;
2) xhk = 0, xhk−1x
h
k+1 < 0.
Означення 2 [12]. Якщо на деякому iнтервалi розв’язок xhk рiвняння (3) має не менше двох
змiн знакiв, то його будемо називати коливним на цьому iнтервалi.
Рiвняння (2) буде вивчатися при умовах, що забезпечують неперервнiсть його розв’язкiв. А
тому для нього зберiгається звичайне поняття нуля розв’язку i коливнiсть розумiється так, як i
для рiвняння (1).
Наведемо тепер кiлька необхiдних у подальшому тверджень.
У просторi Rd розглянемо систему функцiонально-рiзницевих рiвнянь
xh(t+ h) = xh(t) + hX(t, xh(t)), (4)
де h > 0 — крок цього рiвняння, X(t, x) — визначена i неперервна функцiя при t ≥ 0, x ∈
∈ D — область в Rd. Будь-який розв’язок рiвняння (4) при фiксованому h > 0 однозначно
продовжується вправо за допомогою початкової функцiї ϕ(t), t ∈ [0, h], так, що xh(t) = ϕ(t)
при t ∈ [0, h]. При цьому, очевидно, повинна виконуватись умова узгодженостi
ϕ(h) = ϕ(0) + hX(0, ϕ(0)). (5)
Якщо функцiя ϕ(t) неперервна на [0, h] i виконано умову (5), то розв’язок xh(t) визначений
при t ≥ 0 до тих пiр, поки xh(t− h) належить D i є неперервною функцiєю.
Розглянемо також систему (4) при t = t0 + kh, де t0 є фiксованим:
xhk+1 = xhk + hX(t0 + kh, xhk), (6)
k = 0, 1, 2, . . . , h > 0, xhk = xh(t0 + kh), що є системою рiзницевих рiвнянь. Її розв’язки
однозначно продовжуються вправо за допомогою початкових даних xh0 = xh(t0) при k > 0 до
тих пiр, поки xhk−1 належить D.
Позначимо через Ixh максимальний iнтервал продовжуваностi вправо розв’язку xh(t) сис-
теми (4), а через Ixh
k
максимальний iнтервал продовжуваностi вправо розв’язку xhk системи (6).
Має мiсце наступна лема.
Лема 1. Нехай xh(t) — розв’язок системи (4) iз заданою початковою функцiєю ϕ ∈
∈ C([0, h]), для якої виконано умову узгодженостi (5).
Тодi для кожного t ∈ Ixh iснують єдина точка t0 ∈ [0, h] i k = k(t) такi, що xh(t) = xhk(t),
де xhk — розв’язок початкової задачi
xhk+1 = xhk + hX(t0 + kh, xhk),
xh0 = ϕ(t0).
(7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
КОЛИВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 229
Доведення леми очевидним чином випливає з означення розв’язкiв систем (4) i (6).
Отже, кожен розв’язок рiвняння (4) iз заданою початковою функцiєю ϕ(t), що задовольняє
(5), складається з точок, що є розв’язками початкової задачi (7) з початковою умовою xh0 =
= ϕ(t0), коли t0 пробiгає [0, h].
Розглянемо тепер рiвняння (1) при t ∈ [0, a], a > 0 i p, q ∈ C ([0, a]) . Будемо вивчати
розв’язки рiвняння (1) з початковими умовами x(t0) = x0, ẋ(t0) = x1, де t0 ∈ [0, h̄], а
x20 + x21 = 1. (8)
Тут h̄ є фiксованим i таким, що 0 < h̄ < a.
Нехай x(t) — такий розв’язок. Вiдомо, що вiн iснує i єдиний на всьому промiжку [0, a] [14].
Якщо даний розв’язок коливний на (0, a), то вiн має там принаймнi два нулi. Позначимо
через tk, tk+1 два послiдовних нулi на (0, a) такого коливного розв’язку. Введемо до розгляду
величину
Mx
k = max
t∈[tk,tk+1]
|x(t)|.
Дану числову послiдовнiсть (скiнченну) назвемо послiдовнiстю амплiтуд коливань розв’язку
x(t) на iнтервалi (0, a). Вiдносно цiєї послiдовностi справедливою є така лема.
Лема 2. Нехай у рiвняннi (1) функцiї p, q належать C ([0, a]) .
Тодi iснує 4 > 0 таке, що для довiльного коливного розв’язку рiвняння (1) з початковими
даними (8) має мiсце нерiвнiсть
Mx
k ≥ 4. (9)
Доведення. Припустимо, що (9) не виконується. Тодi iснує нескiнченна послiдовнiсть ко-
ливних розв’язкiв xn(t) з початковими даними t0n ∈ [0, h̄], x0n, x1n, що задовольняють умову
(8) i таких, що для кожного n з послiдовностi амплiтуд цих розв’язкiв можна вибрати таку
амплiтуду Mxn
k(n), що утворена з цих чисел послiдовнiсть {Mxn
k(n)} задовольняє умову
Mxn
k(n) → 0, n→∞. (10)
Тут Mxn
k(n) = maxt∈[tk(n),tk(n)+1] |xn(t)|.
Нехай t∗n — точка, в якiй даний максимум досягається. Тодi ẋn(t∗n) = 0, |xn(t∗n)| = Mxn
k(n).
Оскiльки множина початкових даних (8) — компакт, то з послiдовностi (t0n, x0n, x1n)
можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть. Не втрачаючи загальностi будемо вважати, що сама
послiдовнiсть (t0n x0n, x1n) є збiжною.
Отже,
(t0n, x0n, x1n)→ (t0, x0, x1), n→∞, (11)
де t0 ∈ [0, h̄], x20 + x21 = 1.
Нехай x(t) — розв’язок рiвняння (1) з початковими даними x(t0) = x0, ẋ(t0) = x1. Очевид-
но, що вiн нетривiальний.
З послiдовностi {t∗n} також видiлимо збiжну пiдпослiдовнiсть i знову позначимо її {t∗n}.
Отже, t∗n → t∗ ∈ [0, a], n→∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
230 О. В. КАРПЕНКО, В. I. КРАВЕЦЬ, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
З неперервної залежностi вiд початкових даних розв’язку задачi Кошi на скiнченному iн-
тервалi та нерiвностi
|xn(t∗n)− x(t∗)| ≤ |xn(t∗n)− x(t∗n)|+ |x(t∗n)− x(t∗)|
випливає
xn(t∗n)→ x(t∗), ẋn(t∗n)→ ẋ(t∗). (12)
Але, з iншого боку, xn(t∗n) → 0 при n → ∞ i ẋn(t∗n) = 0 для кожного n. Отже, x(t) —
тривiальний розв’язок. Отримана суперечнiсть i доводить лему.
Отже, для довiльного коливного на (0, a) розв’язку рiвняння (1) з початковими даними
(8) послiдовнiсть його амплiтуд коливань обмежена знизу деяким числом 4, не залежним вiд
розв’язку.
Нехай x(t) — такий розв’язок, а tk — його нулi на (0, a), t∗k — точки максимуму його модуля
на вiдрiзках мiж цими нулями.
Позначимо через Ix4,k такий симетричний замкнений окiл точки t∗k, що для довiльного
t ∈ Ix4,k |x(t)| ≥ 4
2
. Через |Ix4,k| позначимо довжину цього околу.
Лема 3. В умовах леми 2 iснує δ > 0 таке, що для довiльного коливного на (0, a) розв’язку
рiвняння (1) з початковими даними (8) має мiсце нерiвнiсть
|Ix4,k| ≥ 2δ. (13)
Доведення. Припустимо, що (13) не виконується. Тодi, як i в попереднiй лемi, iснує нескiн-
ченна послiдовнiсть коливних на (0, a) розв’язкiв xn(t) з початковими даними t0n ∈ [0, h], x0n,
x1n, якi задовольняють умову (8) i такi, що для кожного n з послiдовностi iнтервалiв Ixn
4,k цих
розв’язкiв можна вибрати по одному такому iнтервалу Ixn
4,k(n), що утворена з них послiдовнiсть
iнтервалiв Ixn
4,k(n) задовольняє умову
|Ixn
4,k(n)| → 0, n→∞. (14)
Умова (14), внаслiдок симетричностi iнтервалiв Ixn
4,k(n), означає, що хоча б один з односто-
роннiх околiв кожного з них стягується до нуля. Нехай це буде правий окiл.
Можна вважати, що на вiдрiзку t ∈ [tk(n), tk(n)+1] розв’язок xn(t) є невiд’ємним.
Позначимо через t∗n середину iнтервалу Ixn
4,k(n). Тодi xn(t∗n) = maxt∈[tk(n),tk(n)+1] x(t).
Нехай t(n)4,k — крайня права точка з околу Ixn
4,k(n). Тодi маємо
xn(t
(n)
4,k) =
4
2
. (15)
Але згiдно з лемою 2
xn(t∗n) ≥ 4. (16)
Провiвши тепер пряму через точки (t∗n, xn(t∗n)) i
(
t
(n)
4,k,
4
2
)
, з (15) i (16) отримуємо, що
модуль її кутового коефiцiєнта kn задовольняє нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
КОЛИВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 231
|kn| ≥
4
|Ixn
4,k(n)|
→ ∞, n→∞, (17)
внаслiдок (14).
Оскiльки ẋn(t∗n) = 0, то з побудови вказаної прямої i (17) випливає, що хоча б в однiй
точцi правого околу Ixn
4,k(n) похiдна ẋn(t) необмежено зростає за модулем. Останнє суперечить
неперервностi функцiї ẋn(t) = ẋ(t, t0, x0, x1) i компактностi внаслiдок того, що t належить
[0, a] i (8) — її областi визначення.
Лему доведено.
Поряд з системою (4) розглянемо вiдповiдну систему диференцiальних рiвнянь
dx
dt
= X(t, x) (18)
при t ≥ 0, x ∈ D — область (можливо замкнена) в Rd.
Означення 3. Розв’язки x(t) i xhk систем (18) i (6) назвемо вiдповiдними, якщо x(t0) =
= xh0 = x0 ∈ D.
Для вiдповiдних розв’язкiв справедливoю є така лема.
Лема 4. Нехай функцiя X(t, x) визначена та неперервна за сукупнiстю змiнних у своїй
областi визначення t ∈ [0, a], x ∈ D та задовольняє умови:
1) iснує M > 0 таке, що |X(t, x)| ≤M, t ∈ [0, a], x ∈ D;
2) iснує L > 0 такe, що для довiльних t ∈ [0, a], x, x1 ∈ D
|X(t, x)−X(t, x1)| ≤ L|x− x1|.
Тодi, якщо вiдповiднi розв’язки систем (6) i (18) визначенi на вiдрiзку [t0, t0 + T ], справ-
джується оцiнка
|x(t0 + kh)− xhk | ≤ C · h, (19)
в якiй стала C залежить лише вiд M, L i T.
Доведення даної леми є легкою модифiкацiєю схеми доведення леми 5.1.2 з [7, c. 114] з
урахуванням пропозицiї 5.2.2 [7, c. 118].
Наступна лема стосується лiнiйних систем (18) та (6), а саме, систем вигляду
dx
dt
= A(t)x (20)
i
xhk+1 = xhk + hA(t0 + kh)xhk . (21)
Якщо матриця A(t) неперервна при t ≥ 0, то всi розв’язки систем (20) i (21) необмежено
продовжуванi вправо. Будемо розглядати їх розв’язки з початковими даними
t0 ∈ [0, h̄], |x0| = 1, (22)
де h̄ вибрано з умови (8).
Позначимо M(T ) = max[t0,t0+T ] ‖A(t)‖, де T > 0 є фiксованим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
232 О. В. КАРПЕНКО, В. I. КРАВЕЦЬ, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Лема 5. Для всiх розв’язкiв задач Кошi систем (20) та (21) з початковими даними (22)
iснує R > 0, залежне лише вiд T i M(T ), таке, що при t ∈ [t0, t0 + T ], t0 + kh ∈ [t0, t0 + T ]
виконуються нерiвностi
|x(t)| ≤ R, |xhk | ≤ R. (23)
Доведення. Перша з нерiвностей (23) є простим наслiдком властивостей лiнiйних сис-
тем диференцiальних рiвнянь. Друга є таким же наслiдком аналогiчних властивостей систем
рiзницевих рiвнянь (див., наприклад, [15, с. 35]).
Зауваження. Число R, яке фiгурує в лемi 5, не залежить вiд h.
2. Основнi результати. Перейдемо до викладення основних результатiв роботи про зв’язок
мiж коливнiстю розв’язкiв рiвнянь (1), (2) i (3).
Данi рiвняння еквiвалентнi вiдповiдним системам
dx
dt
= y,
dy
dt
= −p(t)y − q(t)x;
(24)
x(t+ h) = x(t) + hy(t),
y(t+ h) = y(t)− h(p(t)y(t) + q(t)x(t));
(25)
xhk+1 = xhk + hyhk ,
yhk+1 = yhk − h(p(t0 + kh)yhk + q(t0 + kh)yhk ).
(26)
Системи (25) i (26) є системами вигляду (4) i (6) вiдповiдно. Тому розв’язки системи (25)
однозначно визначаються вправо початковими функцiями x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [0, h], з
виконанням умови узгодженостi
ϕ(h) = ϕ(0) + hψ(0),
ψ(h) = ψ(0)− h(p(0)ψ(0) + q(0)ϕ(0)).
(27)
Далi будемо вважати, що ϕ,ψ належать C ([0, h]) .
Розв’язки ж системи (26) однозначно визначаються вправо початковими даними
xh0(t0) = x0, y
h
0 (t0) = y0.
Теорема 1. Нехай у рiвняннi (1) функцiї p i q належать C([0, a]). Тодi iснує h0 > 0 таке,
що при всiх 0 < h ≤ h0 справджується твердження:
якщо x(t) — розв’язок рiвняння (1) з початковими умовами в точцi t0 ∈ [0, h], який має на
iнтервалi [t0, a) принаймнi три нулi, то вiдповiдний йому розв’язок рiзницевого рiвняння (3) є
коливним на [t0, a].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
КОЛИВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 233
Доведення. Будемо розглядати рiвняння (3) при h ≤ h̄, де h̄ вибрано з умови (8). Замiсть
рiвняння (3) введемо до розгляду еквiвалентну йому систему (26) i будемо вiдслiдковувати
змiну знака першої компоненти xhk її розв’язку (xhk , y
h
k ).
Для рiвняння (1), систем (24) i (26) очевидно виконано умови лем 2 – 5.
Спочатку виберемо число ρ так, щоб 0 < ρ ≤ 4
2
, де 4 — величина, що фiгурує в лемi 2.
Покладемо h1 = min{h̄, δ}, де δ — величина, що фiгурує в лемi 3.
Далi для розв’язкiв системи (24) та системи (26) при h ≤ h1 з початковими даними t0 ∈
∈ [0, h], x20 + x21 = 1 виберемо, згiдно з лемою 5, R > 0 з виконанням нерiвностi (23) при
t ∈ [t0, a] та t0 + kh ∈ [t0, a]. Сталу M(T ) при цьому можна взяти рiвною M, що залежить
лише вiд максимумiв функцiй |p(t)| i |q(t)| на вiдрiзку [0, a]. Сталу R також можна вибрати
залежною лише вiд a та M.
Тодi, розглядаючи системи (24) та (26) в областi t ∈ [0, a], x2+y2 ≤ R2, можна стверджувати,
згiдно з лемою 4, що для їх вiдповiдних розв’язкiв з початковими даними t0 ∈ [0, h], x20+x21 = 1
виконано нерiвнiсть (19) при t ∈ [t0, a] i t0 + kh ∈ [t0, a]. При цьому сталу C в нерiвностi (19)
можна взяти залежною лише вiд a, R та M.
Виберемо, нарештi, h0 ≤ h1 так, щоб при 0 < h ≤ h0 права частина нерiвностi (19)
задовольняла умову
Ch ≤ ρ. (28)
Будемо розглядати тепер систему (26) при 0 < h ≤ h0.
Нехай x(t) — довiльний нетривiальний розв’язок рiвняння (1) з початковими даними x(t0) =
= x0, ẋ(t0) = x1, t0 ∈ [0, h], що має принаймнi три нулi на (t0, a). Розглянемо вiдповiдний
йому розв’язок (xhk , y
h
k ) системи (26) i покажемо, що його перша компонента xhk має принаймнi
двi змiни знака на (t0, a).
Введемо величину r0 =
√
x20 + x21.
Внаслiдок лiнiйностi систем (24) i (26) функцiї
1
r0
(x(t), ẋ(t)) = (z(t), ξ(t)) та
1
r0
(xhk , y
h
k ) =
= (zhk , ξ
h
k ) також є їх розв’язками, при цьому компонента z(t) має тi ж самi нулi, що i x(t), а
zhk має тi ж самi змiни знака, що i xhk . Початковi ж данi розв’язку (z(t), ξ(t)) задовольняють
умову (8).
Оточимо розв’язок (z(t), ξ(t)) при t ∈ [t0, a] ρ-околом, де ρ — вибране вище число.
Розв’язок z(t) рiвняння (1) має принаймнi двi амплiтуди коливань на (t0, a). Очевидно
також, що внаслiдок умов на h0 при належному виборi n ∈ N точки вигляду t0 +nh попадають
у кожну множину Iz4,k, що фiгурує в лемi 3.
Тодi з огляду на побудову цих множин, вибiр ρ та нерiвнiсть (28) можна стверджувати, що
в точках t0 + nh ∈ Iz4,k та точцi t0 функцiя zhk зберiгає знак розв’язку z(t), а отже, має, як
мiнiмум, двi змiни знака.
Теорему доведено.
Розглянемо тепер рiвняння (2) або еквiвалентну йому систему (25). Як наслiдок зi щойно
доведеної теореми та леми 1, вiдносно коливностi розв’язкiв рiвняння (2) або коливностi першої
компоненти розв’язкiв системи (25) легко отримуємо наступний результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
234 О. В. КАРПЕНКО, В. I. КРАВЕЦЬ, О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Теорема 2. Нехай у рiвняннi (2) функцiї p i q належать C([0, a]).
Тодi iснує h0 > 0 таке, що при всiх 0 < h ≤ h0 справджується твердження:
кожен розв’язок системи (25) з початковими функцiями ϕ,ψ ∈ C([0, h]), якi задовольняють
умову (27), має коливну на (0, a) першу компоненту, якщо iснує число t0 ∈ [0, h] таке, що
розв’язок рiвняння (1) з початковими даними
x(t0) = ϕ(t0), ẋ(t0) = ψ(t0)
має на iнтервалi (t0, a) принаймнi три нулi.
Насамкiнець розглянемо рiвняння (1) спецiального вигляду
ẍ+ q(t)x = 0 (29)
та вiдповiднi йому функцiонально-рiзницеве рiвняння
42x(t) + h2q(t)x(t) = 0 (30)
i рiзницеве рiвняння
42
kx(t0) + h2q(t0 + kh)x(t0 + kh) = 0 (31)
при t ∈ [0, a] i q ∈ C([0, a]).
Позначимо
m = min
t∈[0,a]
q(t), M = max
t∈[0,a]
q(t).
Будемо вважати, що
m > 0 a >
3π√
m
. (32)
Тодi якщо
a− h̄ > 3π√
m
, (33)
то всi розв’язки рiвняння (29) з початковими умовами t0 ∈ [0, h̄] мають на iнтервалi (t0, a)
принаймнi три нулi.
Врахувавши даний факт, з теорем 1 i 2 можна отримати два наслiдки про коливнiсть розв’яз-
кiв рiвнянь (30) i (31).
Наслiдок 1. Нехай функцiя q належить C([0, a]) i виконано умови (32) та (33).
Тодi iснує h0 > 0 таке, що при всiх 0 < h ≤ h0 всi розв’язки рiвняння (25) з початковими
умовами в точцi t0 ∈ [0, h] коливнi на [t0, a).
Наслiдок 2. Нехай функцiя q належить C([0, a]) i виконано умови (32) та (33).
Тодi iснує h0 > 0 таке, що при всiх 0 < h ≤ h0 кожен розв’язок системи
x(t+ h) = x(t) + hy(t),
y(t+ h) = y(t)− hq(t)x(t)
з початковими функцiями ϕ,ψ ∈ C ([0, h]) , що задовольняють умови узгодженостi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
КОЛИВНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 235
ϕ(h) = ϕ(0) + hψ(0),
ψ(h) = ψ(0)− hq(0)ϕ(0)),
має коливну на (0, a) першу компоненту.
1. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. – М.: ФАЗИС, 1998. – 1016 с.
2. Ladas G. Explicit conditions for the oscillation of difference equations // J. Math. Anal. and Appl. – 1990. – 153. –
P. 276 – 287.
3. Öcalan Ö. Linearized oscillation of nonlinear difference equations with advanced arguments // Arch. mat. – 2009. –
45. – P. 203 – 212.
4. Öcalan Ö. Oscillation of nonlinear difference equations with several coefficients // Communs Math. Anal. – 2008. –
4, № 1. – P. 35 – 44.
5. Bohner M., Peterson A. Dynamical equations on time scales. An introduction with applications. – Boston etc.:
Birkhäuser, 2003.
6. Messer K. A second-order self adjoint dynamic equation on time skale // Dynam. Syst. and Appl. – 2002. – 8, № 8. –
P. 451 – 460.
7. Grüne L. Asymptotic behavior of dynamical and control systems pertubation and discretization. – Berlin: Springer-
Verlag, 2002. – 231 p.
8. Garay B. M., Lee K. Attractors under discretization with variable stepsize // Discrete Contin. Dynam. Syst. – 2005. –
13, № 3. – P. 827 – 841.
9. Grune L. Attraction rates, robustness, and discretization of attractors // SIAM J. Numer. Anal. – 2003. – 41, № 6. –
P. 2096 – 2113.
10. Karafyllis I., Grune L. Feedback stabilization methods for the numerical solution of systems of ordinary differential
equations // Discrete and Contin. Dynam. Syst. Ser. B. – 2011. – 16, № 1. – P. 283 – 317.
11. Станжицький О. М., Ткачук А. М. Про зв’язок мiж властивостями розв’язкiв рiзницевих та вiдповiдних їм
диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 7. – С. 989 – 996.
12. Скалкина М. А. О колебаниях решений уравнений в конечных разностях // Изв. вузов. Математика. – 1959. –
С. 138 – 144.
13. Атейвi А. М. Коливнi властивостi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь i їх стiйкiсть: Дис. . . . канд. фiз-мат.
наук. – Київ, 1997. – 76 с.
14. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння: Пiдручник. – Київ: Либiдь,
2003. – 600 с.
15. Мартинюк Д. I. Лекции по качественной теории разностных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1972. – 247 с.
Одержано 12.10.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2414 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:22:57Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/46/91376d5aba91caab330133f8037b5e46.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24142020-03-18T19:15:01Z Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations Коливність розв'язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь другого порядку Karpenko, O. V. Kravets, V. I. Stanzhitskii, A. N. Карпенко, О. В. Кравець, В. І. Станжицький, О. М. We establish conditions for the oscillation of solutions of functional difference linear equations and discrete difference linear equations of the second order in the case where the corresponding solutions of their differential analogs are oscillating on a segment. Установлены условия колеблемости решений функционально-разностных и дискретных разностных линейных урав- нений второго порядка в случае, когда решения их дифференциальных аналогов являются колеблющимися на отрезке. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2414 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 2 (2013); 226-235 Український математичний журнал; Том 65 № 2 (2013); 226-235 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2414/1595 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2414/1596 Copyright (c) 2013 Karpenko O. V.; Kravets V. I.; Stanzhitskii A. N. |
| spellingShingle | Karpenko, O. V. Kravets, V. I. Stanzhitskii, A. N. Карпенко, О. В. Кравець, В. І. Станжицький, О. М. Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations |
| title | Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations |
| title_alt | Коливність розв'язків лінійних функціонально-різницевих рівнянь другого порядку |
| title_full | Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations |
| title_fullStr | Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations |
| title_full_unstemmed | Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations |
| title_short | Oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations |
| title_sort | oscillation of solutions of the second-order linear functional-difference equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2414 |
| work_keys_str_mv | AT karpenkoov oscillationofsolutionsofthesecondorderlinearfunctionaldifferenceequations AT kravetsvi oscillationofsolutionsofthesecondorderlinearfunctionaldifferenceequations AT stanzhitskiian oscillationofsolutionsofthesecondorderlinearfunctionaldifferenceequations AT karpenkoov oscillationofsolutionsofthesecondorderlinearfunctionaldifferenceequations AT kravecʹví oscillationofsolutionsofthesecondorderlinearfunctionaldifferenceequations AT stanžicʹkijom oscillationofsolutionsofthesecondorderlinearfunctionaldifferenceequations AT karpenkoov kolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹdrugogoporâdku AT kravetsvi kolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹdrugogoporâdku AT stanzhitskiian kolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹdrugogoporâdku AT karpenkoov kolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹdrugogoporâdku AT kravecʹví kolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹdrugogoporâdku AT stanžicʹkijom kolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹdrugogoporâdku |