A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations
In a domain that is the Cartesian product of an interval $[0,T]$ and the space $\mathbb{R}^p$, we investigate a problem for Garding hyperbolic equations having constant coefficients with integral conditions with respect to the time variable in a class of functions almost periodic in the space varia...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2416 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508301517651968 |
|---|---|
| author | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. |
| author_facet | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. |
| author_sort | Kuz, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:01Z |
| description | In a domain that is the Cartesian product of an interval $[0,T]$ and the space $\mathbb{R}^p$, we investigate a problem for Garding hyperbolic equations having constant coefficients with integral conditions
with respect to the time variable in a class of functions almost periodic in the space variables.
A criterion for the uniqueness and sufficient conditions for the existence of a solution of the problem in different functional spaces are established.
To solve the problem of small denominators that arises in the solution of the problem, the metric approach is used. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
А. М. Кузь, Б. Й. Пташник (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ,
ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ
In a domain that is the Cartesian product of an interval [0, T ] and the space Rp, we investigate a problem for Gårding
hyperbolic equations having constant coefficients with integral conditions with respect to the time variable in a class of
functions almost periodic in the space variables. A criterion for the uniqueness and sufficient conditions for the existence
of a solution of the problem in different functional spaces are established. To solve the problem of small denominators that
arises in the solution of the problem, the metric approach is used.
В области, являющейся декартовым произведением отрезка [0, T ] и пространства Rp, исследована задача с ин-
тегральными условиями по временной координате для гиперболических по Гордингу уравнений с постоянными
коэффициентами в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Найдены критерий
единственности и достаточные условия существования в различных функциональных пространствах решения зада-
чи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые возникли при построении решения задачи, использован
метрический подход.
1. Вступ. Математичне моделювання багатьох фiзичних та бiологiчних процесiв призводить
до задач з iнтегральними умовами для рiвнянь iз частинними похiдними. Такi умови викорис-
товують, зокрема, у випадках, коли межа областi є недоступною для проведення вимiрювань
або коли неможливо безпосередньо знайти певнi фiзичнi величини, однак вiдомi їхнi середнi
значення.
Задачi з iнтегральними умовами для рiвнянь iз частинними похiдними вивчались у рiзних
аспектах у багатьох працях (див., наприклад, [1 – 12]). Такi задачi є умовно коректними, а їх
розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих знаменникiв [8]. У статтi [10] у
класi функцiй, майже перiодичних за просторовими змiнними, дослiджено задачу з умовами у
виглядi послiдовних моментiв за часом вiд шуканої функцiї для гiперболiчного за Петровським
рiвняння зi сталими дiйсними коефiцiєнтами, однорiдного за порядком диференцiювання. Вста-
новлено метричнi оцiнки знизу малих знаменникiв, якi виникли при побудовi розв’язку задачi.
У працi [5] у класi перiодичних за просторовими змiнними функцiй дослiджено задачу з
iнтегральними умовами у виглядi послiдовних моментiв вiд шуканої функцiї для безтипного
рiвняння високого порядку з молодшими членами зi сталими коефiцiєнтами. Встановлено кла-
сичну коректнiсть задачi для майже всiх (щодо мiри Гаусдорфа на прямiй) значень верхньої
межi iнтегрування. В роботi [2] дослiджено коректнiсть задачi у просторах Соболєва скiнчен-
ного порядку перiодичних по x функцiй з умовами
T∫
0
(
b11(τ) b12(τ)
b21(τ) b22(τ)
)(
u(τ, ·)
∂u(τ, ·)/∂t
)
dτ =
(
ϕ1
ϕ2
)
для гiперболiчного рiвняння
∂2u
∂t2
− a2(t)∆u = 0 в областi
{
(t, x) : t ∈ (0, T ), x ∈ Ωp
}
, де
Ωp = (R/2πZ)p — p-вимiрний тор.
У данiй працi, що є розвитком [6], дослiджено однозначну розв’язнiсть задачi iз загальнi-
шими умовами за часовою координатою (частинним випадком яких є умови типу Дiрiхле або
c© А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК, 2013
252 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 253
iнтегральнi умови у виглядi моментiв довiльного порядку вiд шуканої функцiї) у класi май-
же перiодичних за просторовими змiнними функцiй для гiперболiчного за Гордiнгом рiвняння
високого порядку зi сталими комплексними коефiцiєнтами.
2. Основнi позначення. Zp+ — множина точок з Rp, p > 1, з цiлими невiд’ємними
координатами;
x = (x1, . . . , xp) ∈ Rp, dx = dx1 . . . dxp;
k = (k1, . . . , kp) ∈ Zp, ‖k‖ =
√
k2
1 + . . .+ k2
p, |k| = |k1|+ . . .+ |kp|;
s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp+, |s| = s1 + . . .+ sp;
ŝ = (s0, s1, . . . , sp) ∈ Zp+1
+ , |ŝ| = s0 + s1 + . . .+ sp;
µk = (µk1 , . . . , µkp) ∈ Rp, ‖µk‖ =
√
µ2
k1
+ . . .+ µ2
kp
, |µk| = |µk1 |+ . . .+ |µkp |;
(µk, x) = µk1x1 + . . .+ µkpxp; Dp = (0, T )× Rp, Πp
H = [0, H]p;
Cmn — кiлькiсть усiх комбiнацiй з n елементiв по m; [a] i {a} — цiла i дробова частини числа
a ∈ R; Sq — симетрична група всiх перестановок перших q натуральних чисел; ρω — число
iнверсiй у перестановцi ω = (i1, . . . , iq) ∈ Sq; J2n — множина всiх векторiв J = (j1, . . . , j2n),
jq ∈ {0, 1}, q ∈ {1, . . . , 2n}; Cj , j = 1, 2, . . . , — додатнi сталi, якi не залежать вiд k та µk.
3. Функцiональнi простори. ChB(D
p
) — простiр функцiй u(t, x), якi є h разiв неперервно
диференцiйовними в D
p
за всiма змiнними i майже перiодичними [13, 14] по x рiвномiрно
по t ∈ [0, T ] iз нормою
∥∥u;ChB(D
p
)
∥∥ =
∑
06|ŝ|6h
max
t∈[0,T ]
sup
x∈Rp
∣∣∣∣∣ ∂|ŝ|u(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp
p
∣∣∣∣∣ ; ChB(Rp) —
простiр функцiй iз ChB(D
p
), якi не залежать вiд t; TB — простiр скiнченних тригонометрич-
них полiномiв v(x) =
∑
|k|6N
vk exp(iµk, x) з комплексними коефiцiєнтами, у якому збiжнiсть
визначається таким чином: vq
TB−−−→
q→∞
v, якщо, починаючи з деякого номера, степенi всiх по-
лiномiв vq, q ∈ N, не перевищують деякого фiксованого числа N i vqk −−−→
q→∞
vk при кож-
ному k ∈ Zp; Wα, β
B , α, β ∈ R, — простiр, отриманий шляхом поповнення простору TB
за нормою [15]
∥∥v;Wα, β
B
∥∥ =
(∑
k∈Zp
|vk|2
(
1 + |µk|
)2α
exp
(
2β|µk|
))1/2
; Ch
(
[0, T ],Wα, β
B
)
—
простiр функцiй u(t, x) таких, що для довiльного фiксованого t ∈ [0, T ] похiднi dju(t, ·)/dtj ,
j ∈ {0, 1, . . . , h}, належать простору Wα, β
B i є неперервними по t ∈ [0, T ] у нормi цього
простору,
∥∥∥u;Ch
(
[0, T ],Wα, β
B
)∥∥∥ =
∑n
j=0
max
t∈[0,T ]
∥∥∥dju(t, ·)/dtj ;Wα, β
B
∥∥∥ ; T ′B — простiр усiх ан-
тилiнiйних неперервних функцiоналiв над TB. Послiдовнiсть fq ∈ T ′B збiгається до f ∈ T ′B,
якщо 〈fq, v〉 −−−→
q→∞
〈f, v〉 для довiльного v ∈ TB
(
〈f, v〉 позначає дiю функцiонала f ∈ T ′B на
елемент v ∈ TB
)
. Елементи простору T ′B будемо називати узагальненими майже перiодичними
функцiями. Простiр TB неперервно вкладається у T ′B таким чином: якщо w ∈ TB, то елемент
fw ∈ T ′B, який вiдповiдає елементовi w, визначається так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
254 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
〈fw, v〉 = lim
H→∞
1
Hp
∫
Πp
H
w(x)v(x)dx ∀v ∈ TB.
Для довiльної функцiї f ∈ T ′B нерiвнiсть 〈f, exp(iµ, x)〉 6= 0 справджується не бiльше нiж для
злiченної кiлькостi векторiв µ ∈ Rp. Сукупнiсть векторiв {µk, k ∈ Zp}, для яких
〈f, exp(iµk, x)〉 6= 0, називається спектром узагальненої майже перiодичної функцiї f, а ряд∑
k∈Zp
fk exp(iµk, x), де fk = 〈f, exp(iµk, x)〉, — рядом Фур’є цiєї функцiї. Ch
(
[0, T ], TB
)(
Ch([0, T ], T ′B)
)
— простiр функцiй u(t, x), якi є h разiв неперервно диференцiйовними в D
p
за змiнною t i для довiльного фiксованого t ∈ [0, T ] похiднi dju(t, ·)/dtj , j ∈ {0, 1, . . . , h},
належать простору TB (T ′B) .
Теорема 1. Для довiльної узагальненої майже перiодичної функцiї f її ряд Фур’є збiгаєть-
ся до f у просторi T ′B. Навпаки, послiдовнiсть частинних сум будь-якого тригонометричного
ряду
∑
k∈Zp
ak exp(iµk, x), ak ∈ C, збiгається у T ′B до деякого елемента f ∈ T ′B i цей ряд
збiгається з рядом Фур’є для f.
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 6.2 у [16] (§6).
Наслiдок 1. Простiр TB є щiльним у T ′B.
4. Постановка задачi. В областi Dp розглядаємо задачу
L[u] :=
∑
|ŝ|62n
Aŝ
∂|ŝ|u(t, x)
∂ts0∂xs11 · · · ∂x
sp
p
= 0, n > 1, (1)
Uj [u] := αj
∂2(j−1)u
∂t2(j−1)
∣∣∣∣∣
t=0
+ βj
T∫
0
trju(t, x)dt = ϕj(x),
Un+j [u] := αn+j
∂2(j−1)u
∂t2(j−1)
∣∣∣∣∣
t=T
+ βn+j
T∫
0
trn+ju(t, x)dt = ϕn+j(x),
j ∈ {1, . . . , n}, (2)
де Aŝ ∈ C, A(2n,0,...,0) = 1; αj , βj ∈ R, α2
j + β2
j 6= 0, rj ∈ Z+, j ∈ {1, . . . , 2n}, rq > rs, q > s,
r = r1 + . . . + r2n. Вважаємо, що оператор L є гiперболiчним за Гордiнгом [17, c. 148], тобто
для всiх ξ = (ξ1, . . . , ξp) ∈ Rp
Re λj(ξ) 6 C0, j ∈ {1, . . . , 2n}, (3)
де λj(ξ) — коренi рiвняння ∑
|ŝ|62n
Aŝ(iξ1)s1 . . . (iξp)
spλs0 = 0, (4)
C0 ∈ R — деяка стала, а функцiї ϕj(x), j ∈ {1, . . . , 2n}, є майже перiодичними iз заданим
спектром Mp := {µk, k ∈ Zp}, µ−k = −µk,
d2|k|σ 6 |µk| 6 d1|k|σ, d1, d2, σ > 0. (5)
Кожна з функцiй ϕj(x) розвивається в ряд Фур’є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 255
ϕj(x) =
∑
µk∈Mp
ϕjk exp(iµk, x), (6)
ϕjk = lim
H→∞
1
Hp
∫
Πp
H
ϕj(x) exp(−iµk, x)dx, µk ∈Mp.
Далi нам знадобляться наступнi твердження.
Лема 1. Якщо функцiя v належить ChB(Rp) i має спектр Mp, то для її коефiцiєнтiв
Фур’є справджуються оцiнки
|vk| 6 (2p)h(h+ 1)
∥∥v;ChB(Rp)
∥∥(
1 + |µk|
)h , µk ∈Mp. (7)
Доведення проводиться за схемою доведення леми 1 у [6].
Лема 2. Для довiльних xq, yq ∈ C, q ∈ {1, . . . , n}, справджується рiвнiсть
n∏
q=1
(xq + yq) =
1∑
j1=0
. . .
1∑
jn=0
n∏
q=1
x
jq
q
n∏
s=1
y1−js
s .
Доведення проводиться методом математичної iндукцiї.
5. Єдинiсть розв’язку задачi. Майже перiодичний по x зi спектромMp розв’язок задачi (1),
(2) шукаємо у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
µk∈Mp
uk(t) exp(iµk, x). (8)
Пiдставляючи ряди (6), (8) у рiвняння (1) та умови (2), отримуємо для знаходження кожного з
коефiцiєнтiв uk(t), вiдповiдно, таку задачу:
l[uk] :=
∑
|ŝ|62n
Aŝ(iµk1)s1 . . . (iµkp)spu
(s0)
k (t) = 0, (9)
Uj [uk] := αj
d2(j−1)uk(0)
dt2(j−1)
+ βj
T∫
0
trjuk(t)dt = ϕjk,
Un+j [uk] := αn+j
d2(j−1)uk(T )
dt2(j−1)
+ βn+j
T∫
0
trn+juk(t)dt = ϕn+j,k,
j ∈ {1, . . . , n}. (10)
Нехай λlk := λl(µk), l ∈ {1, . . . ,m}, — рiзнi коренi рiвняння (4) при ξ = µk, µk ∈ Mp, iз
кратностями nl вiдповiдно, n1 + . . .+ nm = 2n. Для спрощення викладок вважаємо, що числа
m i nl не залежать вiд µk i λl(µk) 6= 0, µk ∈Mp, l ∈ {1, . . . ,m}.
Для коренiв λlk справджуються такi оцiнки [18]:
|λlk| 6 C1
(
1 + |µk|
)
, C1 = (2n)p max
|ŝ|62n
{Aŝ}, l ∈ {1, . . . ,m}, µk ∈Mp. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
256 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Iз (11) випливає, що стала C2 := −min
{
0, infµk∈Mp minl∈{1,...,m}
{
Reλlk/
(
1 + |µk|
)}}
iснує i
є скiнченною, причому
Reλlk > −C2
(
1 + |µk|
)
, l ∈ {1, . . . ,m}, µk ∈Mp. (12)
Нехай fqk := fq(µk, t), q ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈ Mp, — нормальна фундаментальна система
розв’язкiв рiвняння (9). Для кожного µk ∈ Mp характеристичний визначник задачi (9), (10) є
таким:
∆(µk, T ) := det ‖Uj [fqk]‖2nq,j=1 =
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α1f1(µk, 0) + β1I11 . . . α1f2n(µk, 0) + β1I2n,1
. . . . . . . . .
αnf
(2(n−1))
1 (µk, 0) + βnI1n . . . αnf
(2(n−1))
2n (µk, 0) + βnI2n,n
αn+1f1(µk, T ) + βn+1I1,n+1 . . . αn+1f2n(µk, T ) + βn+1I2n,n+1
. . . . . . . . .
α2nf
(2(n−1))
1 (µk, T ) + β2nI1,2n . . . α2nf
(2(n−1))
2n (µk, T ) + β2nI2n,2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, (13)
де
Iqj := Iqj(µk, T ) =
T∫
0
trjfq(µk, t)dt, q, j ∈ {1, . . . , 2n}. (14)
Задача (9), (10) не може мати двох рiзних розв’язкiв тодi i лише тодi, коли ∆(µk, T ) 6= 0 [20].
Теорема 2. Для того щоб задача (1), (2) мала не бiльше одного майже перiодичного по x
iз спектром Mp розв’язку у просторi C2n
(
[0, T ], TB
)(
C2n([0, T ], T ′B)
)
, необхiдно i достатньо,
щоб виконувалась умова
∆(µk, T ) 6= 0 ∀µk ∈Mp. (15)
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 1 у [6].
6. Iснування розв’язку задачi. Далi вважатимемо, що виконується умова (15). Тодi для
кожного µk ∈Mp iснує єдиний розв’язок задачi (9), (10), який зображується формулою
uk(t) =
2n∑
q,j=1
∆jq(µk, T )
∆(µk, T )
ϕjkfq(µk, t), (16)
де ∆jq(µk, T ) — алгебраїчне доповнення у визначнику ∆(µk, T ) елемента j-го рядка та q-го
стовпця. На пiдставi формул (8) i (16) формальний розв’язок задачi (1), (2) зображується рядом
u(t, x) =
∑
µk∈Mp
2n∑
q,j=1
∆jq(µk, T )
∆(µk, T )
ϕjkfq(µk, t)
exp(iµk, x). (17)
Iз (17) та теорем 1, 2 випливає наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 257
Теорема 3. Нехай справджується умова (15). Якщо функцiї ϕj(x) належать TB (T ′B) ,
то iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2) iз простору C2n
(
[0, T ], TB
)(
C2n([0, T ], T ′B)
)
, який
зображується формулою (17).
В iнших випадках питання iснування розв’язку задачi (1), (2) пов’язане з проблемою малих
знаменникiв, оскiльки вираз |∆(µk, T )|, будучи вiдмiнним вiд нуля, може набувати як завгодно
малих значень для нескiнченної кiлькостi векторiв µk ∈Mp.
Позначимо
C3 = 4nC1 max
{
1, exp(C0T )
}
, C4 = max
16j62n
{
max
{
C3|αj |, |βj |C3T
rj+1(rj + 1)−1
}}
.
Лема 3. Для алгебраїчних доповнень елементiв визначника ∆(µk, T ) справджуються
оцiнки ∣∣∆jl(µk, T )
∣∣ 6 C5
(
1 + |µk|
)4n2−n+l
, j, l ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈Mp, (18)
де C5 = (2n− 1)! (C4)2n−1.
Доведення. Для кожної з функцiй fq(µk, t), враховуючи (3), (11) та лему 12.7.7 у [19],
отримуємо такi оцiнки:
max
t∈[0,T ]
∣∣∣∣ dj−1
dtj−1
fq(µk, t)
∣∣∣∣ 6 C3
(
1 + |µk|
)2n+j−q
, (19)
j ∈ {1, . . . , 2n+ 1}, q ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈Mp.
Для елементiв
Uj [fqk] =
αjf
(2(j−1))
q (µk, 0) + βjIqj , j ∈ {1, . . . , n},
αjf
(2(j−n−1))
q (µk, T ) + βjIqj , j ∈ {n+ 1, . . . , 2n},
q ∈ {1, . . . , 2n},
визначника ∆(µk, T ) на пiдставi (14) та (19) отримуємо
|Uj [fqk]| 6 |αj ||f (2(j−1))
q (µk, 0)|+ |βj ||Iqj | 6
6 |αj |+ |βj |C3T
rj+1(rj + 1)−1(1 + |µk|)2n+1−q 6
6 C4(1 + |µk|)2n+1−q, j ∈ {1, . . . , n}, q ∈ {1, . . . , 2n}, (20)
|Uj [fqk]| 6 |αj ||f (2(j−n−1))
q (µk, T )|+ |βj ||Iqj | 6
6 C3(1 + |µk|)2n+1−q
(
|αj |(1 + |µk|)2(j−n−1) + |βj |T rj+1(rj + 1)−1
)
6
6 C4(1 + |µk|)4n−1−q, j ∈ {n+ 1, . . . , 2n}, q ∈ {1, . . . , 2n}. (21)
Для алгебраїчних доповнень визначника ∆(µk, T ) справджуються формули [21]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
258 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
∆jl(µk, T ) =
∑
ω∈S2n−1
(−1)ρω
2n∏
q=1
q 6=l,iq 6=j
Uiq [fqk], j, l ∈ {1, . . . , 2n}. (22)
На пiдставi формул (20) – (22) отримуємо
∣∣∆jl(µk, T )
∣∣ 6 ∑
ω∈S2n−1
2n∏
q=1
q 6=l,iq 6=j
∣∣Uiq [fqk]
∣∣ 6 (2n− 1)!
2n∏
q=1
q 6=l
∣∣Uq[fqk]∣∣ 6
6 (2n− 1)!(C4)2n−1
(
1 + |µk|
)4n2−n+l
= C5
(
1 + |µk|
)4n2−n+l
, j, l ∈ {1, . . . , 2n}.
З отриманих нерiвностей випливає доведення леми.
Теорема 4. Нехай справджується умова (15) та iснують сталi η > 0 i θ > 0 такi, що
для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈Mp виконується нерiвнiсть∣∣∆(µk, T )
∣∣ > (1 + |µk|
)−η
exp
(
− θ|µk|
)
. (23)
Якщо функцiї ϕj(x) належать W 4n2+n+η+α+1, β+θ
B , j ∈ {1, . . . , 2n}, то iснує розв’язок за-
дачi (1), (2) iз простору C2n
(
[0, T ],Wα, β
B
)
, який зображується формулою (17) i неперервно
залежить вiд функцiй ϕj(x), j ∈ {1, . . . , 2n}.
Доведення. На пiдставi формули (8) отримуємо
∥∥∥u;C2n
(
[0, T ],Wα, β
B
)∥∥∥ =
2n∑
l=0
max
t∈[0,T ]
∑
µk∈Mp
|u(l)
k (t)|2
(
1 + |µk|
)2α
exp
(
2β|µk|
)1/2
, (24)
де uk(t) визначенi формулами (16). Враховуючи (16), (19), (23) i лему 3, отримуємо такi оцiнки:
max
t∈[0,T ]
∣∣∣u(l)
k (t)
∣∣∣ 6 C3
2n∑
q,j=1
|∆jq(µk, T )|
|∆(µk, T )|
|ϕjk|
(
1 + |µk|
)2n+l+1−q
6
6 C6
2n∑
j=1
|ϕjk|
(
1 + |µk|
)4n2−n+l+η+1
exp
(
θ|µk|
)
, l ∈ {0, 1, . . . , 2n}, µk ∈Mp, (25)
де C6 = 2nC3C5. На пiдставi (24) та оцiнок (25) дiстаємо оцiнку∥∥∥u;C2n([0, T ],Wα, β
B )
∥∥∥ 6
6 (2n+ 1)C6
2n∑
j=1
∑
µk∈Mp
|ϕjk|2
(
1 + |µk|
)2(4n2+n+η+α+1)
exp
(
2(β + θ)|µk|
)1/2
=
= (2n+ 1)C6
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;W 4n2+n+α+η+1, β+θ
B
∥∥∥.
З отриманої нерiвностi випливає доведення теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 259
7. Метричнi оцiнки малих знаменникiв. Вияснимо можливiсть виконання нерiвностi (23),
використавши методику роботи [4]. Позначимо n̄j = n1 + . . .+ nj−1, j ∈ {2, . . . ,m+ 1};
ζq = q − 1− n̄l, θq = l, q ∈ {1, . . . , 2n}, (26)
де l := l(q) однозначно визначається з нерiвностi n̄l < q ≤ n̄l+1.
Функцiї
uqk := uqk(t) = tζq exp(λθq ,kt), q ∈ {1, . . . , 2n}, (27)
де ζq, θq визначенi формулами (26), утворюють фундаментальну систему розв’язкiв рiвнян-
ня (9).
Для фундаментальної системи (27) характеристичний визначник
∆̃(µk, T ) := det
∥∥Uj [uqk]∥∥2n
q,j=1
, µk ∈Mp,
задачi (9), (10) має вигляд
∆̃(µk, T ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α1P
0
1 (0) + β1Ĩ11 . . . α1P
0
2n(0) + β1Ĩ2n,1
. . . . . . . . .
αnP
2(n−1)
1 (0) + βnĨ1n . . . αnP
2(n−1)
2n (0) + βnĨ2n,n
αn+1P
0
1 (T ) + βn+1Ĩ1,n+1 . . . αn+1P
0
2n(T ) + βn+1Ĩ2n,n+1
. . . . . . . . .
α2nP
2(n−1)
1 (T ) + β2nĨ1,2n . . . α2nP
2(n−1)
2n (T ) + β2nĨ2n,2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, (28)
де
P hq (t) :=
dh
dth
uqk(t) = exp(λθq ,kt)
min{h,ζq}∑
j=0
Cjh
ζq!
(ζq − j)!
λh−jθq ,k
tζq−j , (29)
h ∈
{
0, 2, . . . , 2(n− 1)
}
, q ∈ {1, . . . , 2n},
Ĩqj := Ĩqj(λθq ,k, T ) =
T∫
0
trj+ζq exp(λθq ,kt)dt =
= Qqj(λθq ,k, T ) exp(λθq ,kT )−Qqj(λθq ,k, 0), q, j ∈ {1, . . . , 2n}, (30)
Qqj(λθq ,k, t) =
rj+ζq+1∑
h=1
(−1)h+1(rj + ζq)!
(rj + ζq − h+ 1)!
trj+ζq−h+1
(λθq ,k)
h
, q, j ∈ {1, . . . , 2n}. (31)
Визначники ∆̃(µk, T ) i ∆(µk, T ) пов’язанi спiввiдношенням
∆̃(µk, T ) = W (µk)∆(µk, T ), (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
260 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
в якому
W (µk) =
m∏
j=1
nj−1∏
q=1
q!
∏
m≥j>l≥1
(
λj(µk)− λl(µk)
)njnl (33)
є значенням вронскiана системи функцiй (27) при t = 0. Позначимо
Λ = (λ1k, . . . , λ1k︸ ︷︷ ︸
n1
, . . . , λmk, . . . , λmk︸ ︷︷ ︸
nm
) = (λθ1,k, . . . , λθ2n,k),
Λω = (λθi1 ,k, . . . , λθi2n ,k), (J,Λω) = j1λθi1 ,k + . . .+ j2nλθi2n ,k, ω ∈ S2n, J ∈ J2n.
(34)
Для кожного µk ∈Mp визначник (28) обчислюється за формулою [21]
∆̃(µk, T ) =
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
2n∏
q=1
(
αqviq + βq Ĩiq ,q
)
,
viq =
P
2(q−1)
iq
(0), q ∈ {1, . . . , n},
P
2(q−n−1)
iq
(T ), q ∈ {n+ 1, . . . , 2n}.
(35)
Врахувавши (30) та лему 2, запишемо рiвнiсть (35) таким чином:
∆̃(µk, T ) =
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
2n∏
q=1
(
βqQiq ,q(λθiq ,k, T ) exp(λθiq ,kT ) +
(
αqviq − βqQiq ,q(λθiq ,k, 0)
))
=
=
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
1∑
j1=0
. . .
1∑
j2n=0
∆1(ω, J, T )∆2(ω, J, T )
, (36)
де
∆1(ω, J, T ) =
2n∏
q=1
β
jq
q Q
jq
iq ,q
(λθiq ,k, T ) exp(jqλθiq ,kT ), (37)
∆2(ω, J, T ) =
2n∏
s=1
(
αsvis − βsQis,s(λθis ,k, 0)
)1−js . (38)
На пiдставi формул (29), (31), (35) i (38) зобразимо ∆2(ω, J, T ) у виглядi
∆2(ω, J, T ) = P1(ω, J, T ) exp
(
2n∑
s=n+1
(1− js)λθis ,kT
)
+ P2(ω, J), (39)
де P1(ω, J, T ) — многочлен за змiнною T з комплексними коефiцiєнтами, degP1(ω, J, T ) 6
6
1
2
∑m
q=1
nq(nq − 1), а доданок P2(ω, J) не залежить вiд T. Позначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 261
β(J) =
2n∏
q=1
β
jq
q , QJ(Λω, T ) =
2n∏
q=1
Q
jq
iq ,q
(λθiq ,k, T ). (40)
На пiдставi формул (36), (37) i (39) отримуємо
∆̃(µk, T ) =
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
1∑
j1=0
. . .
1∑
j2n=0
QJ(Λω, T ) exp
(
(J,Λω)T
), (41)
де QJ(Λω, T ), J ∈ J2n, ω ∈ S2n, — многочлени за змiнною T з комплексними коефiцiєнтами,
причому
deg QJ(Λω, T ) 6 deg QJ(Λω, T ) + deg P1(J, T ). (42)
З (31) випливає, що degQiq ,q(λlk, T ) = rq + ζiq , q ∈ {1, . . . , 2n}, звiдки, враховуючи (40),
отримуємо
degQJ(Λω, T ) =
2n∑
q=1
jqdegQiq ,q(λlk, T ) =
2n∑
q=1
jq(rq + ζiq) 6
6
2n∑
q=1
(rq + ζiq) =
2n∑
q=1
rq +
m∑
l=1
nl−1∑
q=1
q = r +
1
2
m∑
l=1
nl(nl − 1), J ∈ J2n, ω ∈ S2n, (43)
де r = r1 + . . .+ r2n. З нерiвностей (42), (43) випливає, що
deg QJ(Λω, T ) 6 r +
m∑
l=1
nl(nl − 1), J ∈ J2n, ω ∈ S2n. (44)
Для кожного µk ∈ Mp розглянемо функцiю ∆(µk, τ), що визначена на iнтервалi (0,∞)
формулою (13), в якiй T потрiбно замiнити на τ. З формул (32), (41) та нерiвностей (44)
випливає, що ∆(µk, τ) є квазiмногочленом
∆(µk, τ) =
1
W (µk)
∑
J∈J2n
exp
(
(J,Λ)τ
)
FJ(τ), (45)
в якому FJ(τ) — многочлени з комплексними коефiцiєнтами степеня NJ − 1, де NJ 6 1 +
+r+
∑m
l=1
nl(nl−1), а кiлькiсть доданкiв iз рiзними експонентами не перевищує 4n. З форму-
ли (45) випливає, що функцiя ∆(µk, τ) є аналiтичною на iнтервалi τ ∈ (0,∞). Продовжимо її
аналiтично на R i отриману функцiю позначимоD := D(µk, τ). ЧерезE
(
D, ε, [0, H]
)
позначимо
множину тих τ ∈ [0, H], для яких виконується нерiвнiсть |D(µk, τ)| 6 ε. За теоремою 2.1 iз [4]
для кожного µk ∈Mp
mesRE
(
D, ε, [0, H]
)
6 C7B(µk)
(
4εΨ(µk)
G(µk)
)1/(N−1)
, C7 := C7(N,H),
де
N :=
∑
J∈J2n
NJ 6 4n
(
1 + r +
m∑
l=1
nl(nl − 1)
)
, (46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
262 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
B(µk) := 1 + max
J∈J2n
∣∣(J,Λ)
∣∣, µk ∈Mp, (47)
Ψ(µk) := max
τ∈[0,H]
exp
(
−
(
min
J∈J2n
Re(J,Λ)
)
τ
)
, µk ∈Mp, (48)
G(µk) := max
16j64n
{∣∣∣∣∣
(
∂
∂τ
)j−1
D(µk, τ)
∣∣∣∣∣
τ=0
∣∣∣∣∣ (B(µk)
)−j}
, µk ∈Mp. (49)
Враховуючи (11), (34) i (47), маємо
B(µk) 6 1 +
m∑
l=1
nl|λlk| 6 C8
(
1 + |µk|
)
, (50)
де C8 = mC1 max16l6m{nl}. На пiдставi (12), (34) i (48) отримуємо
Ψ(µk) 6 exp(2nC2H
(
|µk|+ 1)
)
. (51)
Оцiнимо тепер знизу G(µk). Нехай η0 ∈ N таке, що
∂qD(µk, τ)
∂τ q
∣∣∣∣
τ=0
=
0, q < η0,
C9 6= 0, q = η0,
∀µk ∈Mp. (52)
Враховуючи (49), (50) та (52), одержуємо
G(µk) =
∣∣∣∣( ∂
∂τ
)η0
D(µk, τ)
∣∣∣∣
τ=0
∣∣∣∣∣(B(µk)
)−η0 > C10
(
1 + |µk|
)−η0 , (53)
де C10 = C9(C8)−η0 .
Iснування такого натурального числа η0, що справджуються умови (52), для частинного
випадку задачi (1), (2) стверджує наступна лема.
Лема 4. Якщо в умовах (2) αj = 0, j ∈ {1, . . . , 2n}, то умови (52) виконуються при
η0 = r + (2n+ 1)n i
C9 =
2n−1∏
q=1
(q!)−1
∏
2n≥j>l≥1
(rj − rl)(n− l)∏2n
j, l=1
(rj + l)
.
Доведення проводиться за схемою доведення леми 3.1 iз [4].
Теорема 5. Нехай справджуються умови (52). Для майже всiх (щодо мiри Лебега в R)
чисел T > 0 нерiвнiсть (23) виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈Mp,
коли θ = 2nC2T, а η > η0 + (p/σ + 1)
(
4n
(
1 + r +
∑m
l=1
nl(nl − 1)
)
− 1
)
.
Доведення. Розiб’ємо iнтервал [0,∞) на вiдрiзки Iq := [(q − 1)T, qT ], q ∈ N. Нехай
εη,θ(µk) =
(
1 + |µk|
)−η
exp
(
−θ|µk|
)
, Aη,θ(Iq, µk) = E
(
D(µk, τ), εη,θ(µk), Iq
)
, µk ∈Mp.
Згiдно з теоремою 2.1 iз [4], враховуючи (5), (46), (50), (51) та (53), отримуємо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 263
mesRAη,θ(I1, µk) 6 C11
(
1 + |µk|
)(4(1 + |µk|)−η exp(−θ|µk|) exp(2nC2T |µk|)
(1 + |µk|)−η0
)1/(N−1)
=
= 41/(N−1)C11
(
1 + |µk|
)η0−η
N−1 +1
6 41/(N−1)C11d2|k|
(η0−η
N−1 +1
)
σ
= C12|k|
−
(η−η0
N−1−1
)
σ
.
Позначимо z =
(
η − η0
N − 1
− 1
)
σ. Оскiльки z >
(
(p/σ + 1)− 1
)
σ > p, то ряд
∑
k∈Zp
|k|−z збi-
гається, а отже, збiжним є i ряд
∑
k∈Zp
mesRAη,θ(I1, µk). Тодi за лемою Бореля – Кантеллi [22]
мiра тих τ ∈ I1, якi потрапляють у нескiнченну кiлькiсть множин Aη,θ(I1, µk), дорiвнює ну-
лю. Аналогiчно, виконавши замiну змiнної τ = τ̄ + (q − 1)T, τ̄ ∈ I1, переконаємося, що
мiра тих τ ∈ Iq, q ∈ N, якi потрапляють у нескiнченну кiлькiсть множин Aη,θ(Iq, µk), до-
рiвнює нулю. Враховуючи, що iнтервал [0,∞) є об’єднанням злiченної кiлькостi iнтервалiв
Iq, q ∈ N, отримуємо, що нерiвнiсть |D(µk, τ)| > εη,θ(µk) виконується для майже всiх (що-
до мiри Лебега в R) чисел τ > 0 та для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв
µk ∈ Mp. Оскiльки D(µk, τ) = ∆(µk, τ) на iнтервалi (0,∞), то нерiвнiсть
∣∣∆(µk, T )
∣∣ > (1 +
+ |µk|
)−η
exp
(
−θ|µk|
)
виконується для майже всiх (щодо мiри Лебега в R) чисел T > 0 та
для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ Mp, звiдки випливає доведення
теореми.
Наслiдок 2. Нехай для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈Mp вико-
нуються нерiвностi
Reλl(µk) > −κ ln |µk|, l ∈ {1, . . . ,m}, (54)
де κ > 0 — деяка стала, що не залежить вiд µk. Тодi нерiвнiсть (23) виконується для майже
всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T > 0 та для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв
µk ∈Mp, при θ = 0 i
η > η0 + 2nκT + (p/σ + 1)
(
4n(1 + r +
m∑
l=1
nl
(
nl − 1)
)
− 1
)
, (55)
де η0 — стала, визначена умовами (52).
Доведення. На пiдставi (48), (54) отримуємо
Ψ(µk) 6 (1 + |µk|) exp(2nκT ). (56)
Покладемо εη,θ(µk) =
(
1 + |µk|
)−η
. Тодi, враховуючи (5), (46), (50), (53) та (56), одержуємо
оцiнку
mesRAη,θ(I1, µk) 6 C13
(
1 + |µk|
) (
4(1 + |µk|)−η+η0
)1/(N−1)
=
= 41/(N−1)C13
(
1 + |µk|
)η0−η
N−1 +1
6 41/(N−1)C13d2|k|
(η0−η
N−1 +1
)
σ
= C14|k|
−
(η−η0
N−1−1
)
σ
,
де η справджує нерiвнiсть (55). Оскiльки
(
η − η0
N − 1
− 1
)
σ > p, то ряд
∑
k∈Zp
|k|−z збiжний,
а отже, збiжним є i ряд
∑
k∈Zp
mesRAη,θ(I1, µk). Зi збiжностi ряду
∑
k∈Zp
mesRAη,θ(I1, µk)
випливає наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
264 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Теорема 6. Нехай виконуються умови (15) i (54), а ϕj(x) ∈ C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp), j ∈
∈ {1, . . . , 2n}, де η справджує нерiвнiсть (55). Тодi iснує розв’язок задачi (1), (2) iз простору
C2n
B (D
p
), який зображується формулою (17) i неперервно залежить вiд функцiй ϕj(x), j ∈
∈ {1, . . . , 2n}.
Доведення. На пiдставi формул (17) i (19) отримуємо
∥∥u;C2n
B (D
p
)
∥∥ 6
∑
|k|>0
C15
2n∑
q,j=1
|∆jq(µk, T )|
|∆(µk, T )|
|ϕjk|(1 + |µk|)4n+1−q
, (57)
де C15 = (2n)!C3. За умов теореми на пiдставi леми 1 виконуються оцiнки
|ϕjk| 6 C16
∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥
(1 + |µk|)[η+p/σ]+4n2+3n+2
, j ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈Mp, (58)
де C16 = (2p)[η+p/σ]+4n2+3n+2
(
[η + p/σ] + 4n2 + 3n + 2
)
. З оцiнок (5), (57), (58), леми 3 та
наслiдку 2 одержуємо
∥∥u;C2n
B (D
p
)
∥∥ 6 C17
∑
|k|>0
(
1 + |µk|
)η−1−[η+p/σ]
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥∥
6
6 C18
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥∥
∑
|k|>0
(
1 + |k|
)−z
, (59)
де C18 = C17d2, а z = p +
(
1 − {η + p/σ}
)
σ. Оскiльки z > p, то ряд
∑
|k|>0
(
1 + |k|
)−z
є
збiжним. Позначимо його суму через Sz. Тодi з (59) отримаємо
∥∥u;C2n
B (D
p
)
∥∥ 6 C18Sz
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥∥. (60)
З оцiнки (60) випливає доведення теореми.
8. Виcновки. Результати можна поширити на випадок, коли розв’язок задачi (1), (2) шу-
кається у класi функцiй, квазiперiодичних по x [6, 23], а також на гiперболiчнi за Гордiнгом
системи рiвнянь
L[~u] :=
∑
|ŝ|62n
Aŝ
∂|ŝ|~u(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp
p
= 0, (t, x) ∈ Dp,
де Aŝ — матрицi розмiру m×m зi сталими комплексними коефiцiєнтами,
~u(t, x) = col
(
u1(t, x), . . . , um(t, x)
)
.
1. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с нелинейными интегральными условиями для гиперболического уравне-
ния // Вестн. Сам. гос. ун-та. – 2009. – № 1(18). – C. 26 – 32.
2. Iлькiв В. С., Магеровська Т. В. Задача з iнтегральними умовами для рiвняння з частинними похiдними другого
порядку // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2008. – № 625. – C. 12 – 19.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 265
3. Лукина Г. А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения
Кортевега – де Фриза // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. – 2011. – Вып. 8, № 17.
– C. 52 – 61.
4. Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Дiофантовi наближення характеристичного визначника iнтегральної задачi
для лiнiйного рiвняння з частинними похiдними // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Сер. Математика. – 2004. –
Вип. 228. – C. 74 – 85.
5. Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Iнтегральна задача для лiнiйних рiвнянь з частинними похiдними // Мат. студ.
– 2007. – 28, № 2. – C. 115 – 141.
6. Кузь А. М., Пташник Б. Й. Задача з iнтегральними умовами для рiвняння Клейна – Гордона у класi функцiй,
майже перiодичних за просторовими змiнними // Прикл. пробл. механiки i математики. – 2010. – Вип. 8. –
C. 41 – 53.
7. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Диффе-
ренц. уравнения. – 2004. – 40, № 7. – C. 887 – 892.
8. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
9. Симотюк М. М., Медвiдь О. М. Задача з iнтегральними умовами для лiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними
зi сталими коефiцiєнтами // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 4. – C. 98 – 107.
10. Штабалюк П. I. Про майже перiодичнi розв’язки однiєї задачi з нелокальними умовами // Вiсн. держ. ун-ту
„Львiв. полiтехнiка”. Диференц. рiвняння та їх застосування. – 1995. – № 286. – C. 153 –165 .
11. Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary value problems for some partial differential
equations // Bull. Georg. Nat. Acad. Sci. – 2011. – 5, № 1. – P. 31 – 37.
12. Mesluob S., Bouziani A. Mixed problem with integral conditions for a certain class of hyperbolic equations // J. Appl.
Math. – 2001. – № 3. – P. 107 – 116.
13. Гутер Р. С., Кудрявцев Л. Д., Левитан Б. В. Элементы теории функций. – М.: Физматгиз, 1963. – 244 с.
14. Besicovitch A. S. Almost periodic functions. – Cambridge: Dover Publ., Inc., 1954. – 180 p.
15. Шубин М. А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производны-
ми // Успехи мат. наук. – 1978. – 33, № 2. – C. 3 – 47.
16. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
17. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне-
ний. – М.: Физматгиз, 1958. – Вып. 3. – 274 с.
18. Фаддєєв Д. К., Сомiнський I. С. Збiрник задач з вищої алгебри. -– Київ: Вища шк., 1971. – 316 с.
19. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов: в 4 т. — М.: Мир, 1986. — Т. 2. — 456 с.
20. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разло-
жении произвольных функций в ряды. – Петроград, 1917. – 308+xiv c.
21. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. – 272 с.
22. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – М.: Наука, 1977. – 143 с.
23. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 248 с.
Одержано 09.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2416 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:02Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8b/c55e058d34c979f4cb950d5eb304ea8b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24162020-03-18T19:15:01Z A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. In a domain that is the Cartesian product of an interval $[0,T]$ and the space $\mathbb{R}^p$, we investigate a problem for Garding hyperbolic equations having constant coefficients with integral conditions with respect to the time variable in a class of functions almost periodic in the space variables. A criterion for the uniqueness and sufficient conditions for the existence of a solution of the problem in different functional spaces are established. To solve the problem of small denominators that arises in the solution of the problem, the metric approach is used. В области, являющейся декартовым произведением отрезка $[0,T]$ и пространства $\mathbb{R}^p$ , исследована задача с интегральными условиями по временной координате для гиперболических по Гордингу уравнений с постоянными коэффициентами в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Найдены критерий единственности и достаточные условия существования в различных функциональных пространствах решения задачи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые возникли при построении решения задачи, использован метрический подход. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2416 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 2 (2013); 252-265 Український математичний журнал; Том 65 № 2 (2013); 252-265 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2416/1599 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2416/1600 Copyright (c) 2013 Kuz A. M.; Ptashnik B. I. |
| spellingShingle | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations |
| title | A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations |
| title_alt | Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом |
| title_full | A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations |
| title_fullStr | A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations |
| title_full_unstemmed | A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations |
| title_short | A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations |
| title_sort | problem with integral conditions with respect to time for garding hyperbolic equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2416 |
| work_keys_str_mv | AT kuzam aproblemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations AT ptashnikbi aproblemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations AT kuzʹam aproblemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations AT ptašnikbj aproblemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations AT kuzam zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlârívnânʹgíperbolíčnihzagordíngom AT ptashnikbi zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlârívnânʹgíperbolíčnihzagordíngom AT kuzʹam zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlârívnânʹgíperbolíčnihzagordíngom AT ptašnikbj zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlârívnânʹgíperbolíčnihzagordíngom AT kuzam problemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations AT ptashnikbi problemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations AT kuzʹam problemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations AT ptašnikbj problemwithintegralconditionswithrespecttotimeforgardinghyperbolicequations |