On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations
For a system of linear differential equations of order $p$ with identically degenerate coefficient matrix of the leading derivatives, we establish conditions under which it has a general solution of the Cauchy type. The structure of this solution is determined. Conditions for the existence and uniq...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2419 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508303240462336 |
|---|---|
| author | Pafyk, S. P. Yakovets, V. P. Пафик, С. П. Яковець, В. П. |
| author_facet | Pafyk, S. P. Yakovets, V. P. Пафик, С. П. Яковець, В. П. |
| author_sort | Pafyk, S. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:01Z |
| description | For a system of linear differential equations of order $p$ with identically degenerate coefficient matrix of the leading derivatives, we establish conditions under which it has a general solution of the Cauchy type.
The structure of this solution is determined. Conditions for the existence and uniqueness of a solution of the corresponding initial-value problem are also found. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.928
С. П. Пафик (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ),
В. П. Яковець (Ун-т менеджменту освiти Нац. акад. пед. наук України, Київ)
ПРО СТРУКТУРУ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТА УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI
ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНИХ ЛIНIЙНИХ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ
For a system of linear differential equations of order p with identically degenerate coefficient matrix of the leading
derivatives, we establish conditions under which it has a general solution of the Cauchy type. The structure of this solution
is determined. Conditions for the existence and uniqueness of a solution of the corresponding initial-value problem are also
found.
Для системы линейных дифференциальных уравнений p-го порядка с тождественно вырожденной матрицей при
старших производных найдены условия, при выполнении которых она имеет общее решение типа Коши. Определена
структура этого решения. Установлены также условия существования и единственности решения соответствующей
начальной задачи.
Розглянемо систему рiвнянь вигляду
Ap(t)
dpx
dtp
+Ap−1(t)
dp−1x
dtp−1
+ . . .+A1(t)
dx
dt
+A0(t)x = f(t), t ∈ [a; b], (1)
де Ai(t), i = 0, p, — квадратнi матрицi n-го порядку, f(t) — n-вимiрний вектор, якi можуть мати
як дiйснi, так i комплекснозначнi елементи, x(t) — шуканий n-вимiрний вектор.
Вважатимемо, що
detAp(t) = 0 ∀t ∈ [a; b], (2)
тобто матриця Ap(t) при старшiй похiднiй тотожно вироджена на заданому промiжку.
Питання про структуру загального розв’язку систем даного типу, якi досить часто зустрiча-
ються в процесi розв’язання практичних задач, вивчалось iншими авторами у випадках p = 1, 2.
Зокрема, у роботах [1, 2] знайдено умови, при виконаннi яких вироджена лiнiйна система пер-
шого порядку зводиться до центральної канонiчної форми i має загальний розв’язок типу Кошi.
Виходячи з цього, у [3] визначено умови, при виконаннi яких загальний розв’язок типу Кошi
має система (1) при p = 2. У данiй роботi цi результати узагальнюються на систему рiвнянь (1)
довiльного порядку p.
Позначимо через
Lk(t) =
k∑
i=0
Ck−ip−iAp−i(t)
dk−i
dtk−i
, k = 1, p, (3)
диференцiальнi оператори, що дiють в унiтарному просторi Un n-вимiрних вектор-функцiй
класу Ck[a; b], k ≥ p.
Означення 1. Будемо говорити, що матриця Ap(t) має на вiдрiзку [a; b] жорданiв лан-
цюжок векторiв завдовжки s вiдносно операторiв Li(t), i = 1, p, якщо iснують ненульовi
вектори ϕj(t) ∈ Un, j = 1, s, такi, що для всiх t ∈ [a; b] виконуються спiввiдношення
Ap(t)ϕ1(t) = 0,
c© С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ, 2013
296 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ПРО СТРУКТУРУ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТА УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЗАДАЧI КОШI . . . 297
Ap(t)ϕj(t) +
min(j−1,p)∑
k=1
Lk(t)ϕj−k(t) = 0, j = 2, s,
а рiвняння
Ap(t)z +
min(s,p)∑
k=1
Lk(t)ϕs+1−k(t) = 0
не має розв’язку в жоднiй точцi вiдрiзка [a; b].
Якщо матрицяAp(t) має кiлька жорданових ланцюжкiв вiдносно операторiв Li(t), i = 1, p,
то вектори, якi їх утворюють, називатимемо жордановим набором матрицi Ap(t) вiдносно
операторiв Li(t), i = 1, p.
Нехай жорданiв набiр матрицi Ap(t) вiдносно операторiв Li(t), i = 1, p, складається з
векторiв ϕ(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, що утворюють r ланцюжкiв завдовжки si, i = 1, r.
Згiдно з означенням 1 цi вектори для всiх t ∈ [a; b] задовольняють спiввiдношення
Ap(t)ϕ
(1)
i (t) = 0, i = 1, r, (4)
Ap(t)ϕ
(j)
i (t) +
min(j−1,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(j−k)
i (t) = 0, j = 2, si, i = 1, r. (5)
Позначимо через ψ(1)
j (t), j = 1, r, базиснi елементи нуль-простору матрицiA∗
p(t), спряженої
до матрицi Ap(t). Тодi завдяки сумiсностi рiвнянь (5) маємоmin(j,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(j+1−k)
i (t), ψ
(1)
l (t)
= 0, j = 1, si − 1, i = 1, r, t ∈ [a; b]. (6)
У свою чергу з несумiсностi рiвнянь
Ap(t)z +
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t) = 0, i = 1, r,
випливає, що r-вимiрнi вектори
li(t) = col
[(
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t), ψ
(1)
1 (t)
)
, . . .
. . . ,
(
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t), ψ(1)
r (t)
)]
, i = 1, r,
не дорiвнюють нульовому в жоднiй точцi вiдрiзка [a; b].
Якщо при цьому
det
∥∥∥∥∥∥
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t), ψ
(1)
j (t)
∥∥∥∥∥∥
r
1
6= 0 ∀t ∈ [a; b], (7)
то, дотримуючись [2, с. 85], даний жорданiв набiр будемо називати повним.
Припустимо тепер, що виконуються наступнi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
298 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
1◦) Ai(t) ∈ C3m−2[a; b], i = 1, p;
2◦) f(t) ∈ Cm−1[a; b];
3◦) rankAp(t) = n− r = const;
4◦) матриця Ap(t) має на вiдрiзку [a; b] повний жорданiв набiр векторiв вiдносно операторiв
Li(t), i = 1, p, який складається з r ланцюжкiв завдовжки si, i = 1, r, де max si = m.
Виконавши в системi (1) замiну
yi =
di−1x
dti−1
, i = 1, p, (8)
i ввiвши позначення
y = col[y1, y2, . . . , yp], (9)
зведемо її до еквiвалентної системи рiвнянь першого порядку
B̃(t)
dy
dt
= Ã(t)y + f̃(t), (10)
в якiй
B̃(t) = diag{E, . . . , E,Ap(t)}, (11)
Ã(t) =
0 E 0 . . . 0 0
0 0 E . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0 E
−A0(t) −A1(t) −A2(t) . . . −Ap−2(t) −Ap−1(t)
, (12)
f̃(t) = col[0, . . . , 0, f(t)], (13)
де E, 0 — одинична та нульова матрицi n-го порядку вiдповiдно.
Покажемо, що система (10) задовольняє умови теорем 2.1, 2.2 iз [2], якi гарантують її
звiднiсть до центральної канонiчної форми та наявнiсть у неї загального розв’язку типу Кошi.
Дiйсно, з умов 1◦ – 3◦ одразу випливає, що Ã(t), B̃(t) ∈ C3m−2[a; b], f̃(t) ∈ Cm−1[a; b],
rank B̃(t) = pn− r = const.
Знайдемо жорданiв набiр матрицi B̃(t) вiдносно оператора L̃(t) = Ã(t)− B̃(t)
d
dt
у просторi
Upn достатньо гладких pn-вимiрних вектор-функцiй.
Нехай g
(1)
i (t), i = 1, r, — власнi вектори матрицi B̃(t), що вiдповiдають її нульовому
власному значенню. Подамо їх у виглядi g(1)i (t) = col
[
g
(1)
i1 (t), g
(1)
i2 (t), . . . , g
(1)
ip (t)
]
, i = 1, r, де
g
(1)
ik (t), k = 1, p, — n-вимiрнi вектор-стовпцi. Вiдповiдно до структури матрицi B̃(t) матимемо
g
(1)
ik (t) = 0, k = 1, p− 1,
g
(1)
ip (t) = ϕ
(1)
i (t), i = 1, r,
(14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ПРО СТРУКТУРУ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТА УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЗАДАЧI КОШI . . . 299
де ϕ(1)
i (t), i = 1, r, — власнi вектори матрицi Ap(t), що вiдповiдають її нульовому власному
значенню.
Отже,
g
(1)
i (t) = col
[
0, 0, . . . , 0, ϕ
(1)
i (t)
]
, i = 1, r. (15)
Зафiксуємо один iз цих власних векторiв i будемо шукати вiдповiднi йому приєднанi векто-
ри. Перший iз них позначимо g(2)i (t) та подамо у виглядi g(2)i (t) = col
[
g
(2)
i1 (t), g
(2)
i2 (t), . . . , g
(2)
ip (t)
]
,
i = 1, r, де g(2)ik (t), k = 1, p, — n-вимiрнi вектор-стовпцi. За означенням жорданового ланцюжка
цей вектор повинен задовольняти рiвняння
B̃(t)g
(2)
i (t) = L̃(t)g
(1)
i (t).
Врахувавши структуру матриць Ã(t), B̃(t), з нього дiстанемо
g
(2)
ik (t) = 0, k = 1, p− 2,
g
(2)
i,p−1(t) = ϕ
(1)
i (t),
Ap(t)g
(2)
ip (t) +Ap−1(t)ϕ
(1)
i (t) +Ap(t)
dϕ
(1)
i (t)
dt
= 0. (16)
Додавши та вiднявши в лiвiй частинi рiвняння (16) вектор C1
p−1Ap(t)
dϕ
(1)
i (t)
dt
i взявши до уваги
формули (3), запишемо його у виглядi
Ap(t)
(
g
(2)
ip (t)− C1
p−1
dϕ
(1)
i (t)
dt
)
+ L1(t)ϕ
(1)
i (t) = 0.
Згiдно з умовою 4◦ та спiввiдношеннями (5) це рiвняння розв’язне при всiх t ∈ [a; b], i з нього
знайдемо
g
(2)
ip (t) = ϕ
(2)
i (t) + C1
p−1
dϕ
(1)
i (t)
dt
, (17)
де ϕ(2)
i (t) — перший приєднаний вектор i-го жорданового ланцюжка матрицi Ap(t) вiдносно
операторiв Lk(t), k = 1, p.
Отже,
g
(2)
i (t) = col
[
0, . . . , 0, ϕ
(1)
i (t), ϕ
(2)
i (t) + C1
p−1
dϕ
(1)
i (t)
dt
]
.
Аналогiчно, позначивши другий приєднаний вектор через g(3)i (t) i подавши його у виглядi
g
(3)
i (t) = col
[
g
(3)
i1 (t), g
(3)
i2 (t), . . . , g
(3)
ip (t)
]
, з рiвняння
B̃(t)g
(3)
i (t) = L̃(t)g
(2)
i (t)
дiстанемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
300 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
g
(3)
ik (t) = 0, k = 1, p− 3,
g
(3)
i,p−2(t) = ϕ
(1)
i (t),
g
(3)
i,p−1(t) = ϕ
(2)
i (t) + C1
p−2
dϕ
(1)
i (t)
dt
,
Ap(t)g
(3)
ip (t) +Ap−2(t)ϕ
(1)
i (t) +Ap−1(t)ϕ
(2)
i (t) + C1
p−1Ap−1(t)
dϕ
(1)
i (t)
dt
+
+Ap(t)
dϕ
(2)
i (t)
dt
+ C1
p−1Ap(t)
d2ϕ
(1)
i (t)
dt2
= 0. (18)
Додавши i вiднявши в лiвiй частинi рiвняння (18) вектори C2
p−1Ap(t)
d2ϕ
(1)
i (t)
dt2
та
C1
p−1Ap(t)
dϕ
(2)
i (t)
dt
, запишемо його у виглядi
Ap(t)
(
g
(3)
ip (t)− C1
p−1
dϕ
(2)
i (t)
dt
− C2
p−1
d2ϕ
(1)
i (t)
dt2
)
+ L1(t)ϕ
(2)
i (t) + L2(t)ϕ
(1)
i (t) = 0,
звiдки згiдно з умовою 4◦ та спiввiдношенням (6) випливає
g
(3)
ip (t) = ϕ
(3)
i (t) + C1
p−1
dϕ
(2)
i (t)
dt
+ C2
p−1
d2ϕ
(1)
i (t)
dt2
, (19)
де ϕ(3)
i (t) — другий приєднаний вектор i-го жорданового ланцюжка матрицi Ap(t) вiдносно
операторiв Lk(t), k = 1, p. Отже,
g
(3)
i (t) = col
[
0, . . . , 0, ϕ
(1)
i (t), ϕ
(2)
i (t) + C1
p−2
dϕ
(1)
i (t)
dt
, ϕ
(3)
i (t) + C1
p−1
dϕ
(2)
i (t)
dt
+ C2
p−1
d2ϕ
(1)
i (t)
dt2
]
.
Продовжуючи цей процес, методом математичної iндукцiї встановимо, що рiвняння
B̃(t)g
(j)
i (t) = L̃(t)g
(j−1)
i (t), i = 1, r,
розв’язнi при j = 1, si вiдносно векторiв g(j)i (t) = col
[
g
(j)
i1 (t), g
(j)
i2 (t), . . . , g
(j)
ip (t)
]
, при цьому n-
вимiрнi вектори g(j)ik (t) виражаються через вектори ϕ(j)
i (t), j = 1, si, i-го жорданового ланцюжка
матрицi Ap(t) вiдносно операторiв Lk(t), k = 1, p, за формулою
g
(j)
ik (t) =
k−1∑
l=0
C lk−1
dlϕ
(j+k−p−l)
i (t)
dtl
, k = 1, p. (20)
Водночас переконуємось, що рiвняння B̃(t)z = L̃(t)g
(si)
i (t), i = 1, r, несумiснi.
Отже, матриця B̃(t) має вiдносно оператора L̃(t) жорданiв набiр векторiв, який складається
з r ланцюжкiв завдовжки si, i = 1, r. Покажемо, що цей жорданiв набiр є повним. Для цього
скористаємось наступним твердженням.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ПРО СТРУКТУРУ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТА УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЗАДАЧI КОШI . . . 301
Лема 1. При всiх t ∈ [a; b] виконується рiвнiсть
(
L̃(t)g
(si)
i (t), h
(1)
j (t)
)
= −
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t), ψ
(1)
j (t)
, i, j = 1, r, (21)
де h
(1)
j (t), ψ
(1)
j (t), j = 1, r, — базиснi елементи нуль-просторiв матриць B̃∗(t) та A∗
p(t)
вiдповiдно.
Доведення. Враховуючи структуру матрицi B̃∗(t), неважко переконатися, що
h
(1)
j (t) = col
[
0, . . . , 0, ψ
(1)
j (t)
]
, j = 1, r. (22)
Взявши до уваги формули (20), (22) та структуру (12), (13) матриць Ã(t), B̃(t), будемо мати
(
L̃(t)g
(si)
i (t), h
(1)
j (t)
)
= −
(
min(si,p−1)∑
k=0
(
k∑
l=0
C lkAk(t)
dlϕ
(si+1+k−p−l)
i (t)
dtl
+
+Ckp−1Ap(t)
dk+1ϕ
(si−k)
i (t)
dtk+1
)
, ψ
(1)
j (t)
)
. (23)
Перегрупувавши доданки у правiй частинi рiвностi (23), дiстанемо
(
L̃(t)g
(si)
i (t), h
(1)
j (t)
)
= −
(
min(si,p−1)∑
k=0
(
k∑
l=0
C lp+l−k−1Ap+l−k−1(t)
dlϕ
(si−k)
i (t)
dtl
+
+Ckp−1Ap(t)
dk+1ϕ
(si−k)
i (t)
dtk+1
)
, ψ
(1)
j (t)
)
. (24)
Додавши та вiднявши p− 1 раз вiд виразу
min(si,p−1)∑
k=0
(
k∑
l=0
C lp+l−k−1Ap+l−k−1(t)
dlϕ
(si−k)
i (t)
dtl
+ Ckp−1Ap(t)
dk+1ϕ
(si−k)
i (t)
dtk+1
)
вектор Ck+1
p−1Ap(t)
dk+1ϕ
(si−k)
i (t)
dtk+1
, k = 0, p− 2, перегрупувавши доданки в отриманiй рiвностi
та змiнивши iндекс k на k − 1, матимемо
(
L̃(t)g
(si)
i (t), h
(1)
j (t)
)
= −
(
min(si,p)∑
k=1
k∑
l=0
C lp+l−kAp+l−k(t)
dlϕ
(si+1−k)
i (t)
dtl
−
−
min(si,p−1)∑
k=1
Ckp−1Ap(t)
dkϕ
(si−k)
i (t)
dtk
, ψ
(1)
j (t)
)
,
або (
L̃(t)g
(si)
i (t), h
(1)
j (t)
)
= −
(
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
302 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
−
min(si,p−1)∑
k=1
Ckp−1Ap(t)
dkϕ
(si−k)
i (t)
dtk
, ψ
(1)
j (t)
)
.
Оскiльки A∗
p(t)ψ
(1)
j (t) = 0, то
(
L̃(t)g
(si)
i (t), h
(1)
j (t)
)
= −
(
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t), ψ
(1)
j (t)
)
,
що й потрiбно було довести.
З формули (21) та умови 4◦ одразу випливає, що
det
∥∥∥∥∥(L̃(t)g(si)i (t), h
(1)
j (t)
)∥∥∥∥∥
r
1
=
= (−1)r det
∥∥∥∥∥
(
min(si,p)∑
k=1
Lk(t)ϕ
(si+1−k)
i (t), ψ
(1)
j (t)
)∥∥∥∥∥
r
1
6= 0 ∀t ∈ [a; b].
Отже, побудований вище жорданiв набiр векторiв матрицi B̃(t) вiдносно оператора L̃(t) є
повним.
Таким чином, для системи рiвнянь (10) виконуються всi умови теореми 2.2 iз [2, с. 62]. Тодi
згiдно з цiєю теоремою загальний розв’язок системи рiвнянь (10) матиме вигляд
y(t) = Ypn−s(t)c+ ỹ(t), (25)
де Ypn−s(t) — матриця розмiрностi pn× (pn− s), стовпцями якої є pn− s лiнiйно незалежних
розв’язкiв вiдповiдної однорiдної системи; c — довiльний сталий (pn − s)-вимiрний вектор;
ỹ(t) — частинний розв’язок системи (10); s = s1 + s2 + . . . + sr — сума довжин жорданових
ланцюжкiв матрицi B̃(t) вiдносно оператора L̃(t).
Вiдповiдно до замiни (8) першi n координат вектора (25) утворюють розв’язок вихiдної
системи рiвнянь (1), а наступнi — його похiднi до p-го порядку. Тому n-вимiрнi вектори xi(t),
i = 1, pn− s, складенi з перших n елементiв стовпцiв матрицi Ypn−s(t), є лiнiйно незалежними
розв’язками однорiдної системи рiвнянь, яка вiдповiдає (1).
Утворивши з цих векторiв (n× (pn− s))-матрицю
Xpn−s(t) =
[
x1(t), x2(t), . . . , xpn−s(t)
]
i позначивши через x̃(t) частинний розв’язок системи рiвнянь (1), складений iз перших n
координат вектора ỹ(t), загальний розв’язок системи рiвнянь (1) отримаємо у виглядi
x(t) = Xpn−s(t)c+ x̃(t), (26)
де c — довiльний сталий (pn− s)-вимiрний вектор.
Пiдсумовуючи наведенi викладки, можемо сформулювати таку теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ПРО СТРУКТУРУ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТА УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЗАДАЧI КОШI . . . 303
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1◦ – 4◦, то загальний розв’язок системи рiвнянь (1)
визначається формулою (26), де Xpn−s(t) — прямокутна матриця розмiрностi n × (pn − s),
складена з pn − s лiнiйно незалежних розв’язкiв однорiдної системи, яка вiдповiдає (1) (s =
= s1+s2+. . .+sr), c — довiльний сталий (pn−s)-вимiрний вектор; x̃(t) — частинний розв’язок
системи (1).
Як показано при доведеннi теореми 1, при виконаннi її умов матриця B̃(t) має повний
жорданiв набiр векторiв вiдносно оператора L̃(t), що складається з r ланцюжкiв завдовжки si,
i = 1, r. Тодi згiдно з [2, с. 55], матриця B̃∗(t) матиме повний жорданiв набiр векторiв вiдносно
оператора L̃∗(t) = Ã∗(t) +
d
dt
B̃∗(t), що складається з r жорданових ланцюжкiв такої самої
довжини. Це дозволяє довести наступне твердження.
Лема 2. Якщо виконуються умови 3◦, 4◦, то спряжена матриця A∗
p(t) має на вiдрiзку
[a; b] повний жорданiв набiр векторiв вiдносно операторiв
L∗
k(t) =
k∑
i=0
(−1)k−iCk−ip−i
dk−i
dtk−i
A∗
p−i(t), k = 1, p, (27)
що складається з r жорданових ланцюжкiв завдовжки si, i = 1, r.
Доведення. Як зазначалося, при виконаннi умов 3◦, 4◦ матриця B̃∗(t) матиме повний
жорданiв набiр векторiв вiдносно оператора L̃∗(t) = Ã∗(t) +
d
dt
B̃∗(t), що складається з r
ланцюжкiв завдовжки si, i = 1, r. Позначимо через h(j)i (t) = col
[
h
(j)
i1 (t), h
(j)
i2 (t), . . . , h
(j)
ip (t)
]
,
j = 1, si, i = 1, r, вiдповiднi вектори цього набору. Зафiксуємо i. При виконаннi умов 3◦, 4◦
система
B̃∗(t)h
(2)
i (t) = L̃∗(t)h
(1)
i (t)
є сумiсною. Згiдно з (11), (12), (22) вона набирає вигляду
h
(2)
ik (t) = −A∗
k−1(t)ψ
(1)
i (t), k = 1, p− 1, (28)
A∗
p(t)h
(2)
ip (t) +A∗
p−1(t)ψ
(1)
i (t)− d
dt
(A∗
p(t)ψ
(1)
i (t)) = 0. (29)
Додавши i вiднявши у лiвiй частинi рiвняння (29) вектор C1
p−1
d
dt
(A∗
p(t)ψ
(1)
i (t)) i взявши до
уваги (27), матимемо
A∗
p(t)h
(2)
ip (t) + L∗
1(t)ψ
(1)
i (t) = 0.
Отже,
ψ
(2)
i (t) = h
(2)
ip (t), (30)
де ψ(2)
i (t) — перший приєднаний вектор i-го жорданового ланцюжка матрицi A∗
p(t) вiдносно
операторiв L∗
k(t), k = 1, p.
Аналогiчно визначаємо другий приєднаний вектор ψ(3)
i (t) цього ланцюжка. При виконаннi
умов 3◦, 4◦ система
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
304 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
B̃∗(t)h
(3)
i (t) = L̃∗(t)h
(2)
i (t)
є сумiсною. Згiдно з (11), (12), (28), (30) цю систему можна записати у виглядi
h
(3)
ik (t) = −A∗
k−2(t)ψ
(1)
i (t)−A∗
k−1(t)ψ
(2)
i (t)− d
dt
(
A∗
k−1(t)ψ
(1)
i (t)
)
, k = 1, p− 1, (31)
A∗
p(t)h
(3)
ip (t) +A∗
p−2(t)ψ
(1)
i (t) +A∗
p−1(t)ψ
(2)
i (t)− d
dt
(
A∗
p(t)ψ
(2)
i (t)
)
= 0. (32)
У рiвностi (32) послiдовно виконаємо такi перетворення:
1) додамо i вiднiмемо вектор C1
p−1
d
dt
(
A∗
p(t)ψ
(2)
i (t)
)
;
2) використавши формулу (27), в отриманiй рiвностi видiлимо доданок L∗
1(t)ψ
(2)
i (t);
3) пiдставимо замiсть вектора
d
dt
(
A∗
p(t)ψ
(2)
i (t)
)
рiвний йому вектор− d
dt
(
A∗
p−1(t)ψ
(1)
i (t)
)
+
+
d2
dt2
(
A∗
p(t)ψ
(1)
i (t)
)
;
4) додамо i вiднiмемо вектор C2
p−1
d2
dt2
(
A∗
p(t)ψ
(1)
i (t)
)
;
5) використавши (27), в отриманiй рiвностi видiлимо доданок L∗
2(t)ψ
(1)
i (t).
В результатi рiвнiсть (32) набере вигляду
A∗
ph
(3)
ip (t) + L∗
1(t)ψ
(2)
i (t) + L∗
2(t)ψ
(1)
i (t) = 0,
звiдки
ψ
(3)
i (t) = h
(3)
ip (t).
Продовживши цей процес, методом математичної iндукцiї встановимо, що матриця A∗
p(t) має
на вiдрiзку [a; b] r жорданових ланцюжкiв завдовжки si, i = 1, r, вiдносно операторiв L∗
k(t),
k = 1, p, вектори яких ψ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, пов’язанi з векторами h
(j)
ik (t), k = 1, p,
j = 1, si, i = 1, r, такими спiввiдношеннями:
h
(j)
ik (t) = −
k−1∑
α=0
j−α−2∑
l=0
Cαl+α
dl
dtl
(
A∗
k−α−1(t)ψ
(j−α−l−1)
i (t)
)
, k = 1, p, (33)
ψ
(j)
i (t) = h
(j)
ip (t). (34)
Покажемо, що цей жорданiв набiр є повним. Оскiльки за умовою жорданiв набiр матрицi
B̃∗(t) вiдносно оператора L̃∗(t) повний, то
det
∥∥∥(L∗(t)h
(si)
i (t), g
(1)
j (t)
)∥∥∥r
1
6= 0 ∀t ∈ [a; b],
звiдки, враховуючи (11), (12), (15), (33), (34), маємо
det
∥∥∥∥∥
(
−A∗
p−1(t)ψ
(si)
i (t)−
p−2∑
α=0
si−α−2∑
l=0
Cαl+α
dl
dtl
(
A∗
p−α−2(t)ψ
(si−α−l−1)
i (t)
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ПРО СТРУКТУРУ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТА УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТI ЗАДАЧI КОШI . . . 305
+
d
dt
(
A∗
p(t)ψ
(si)
i (t)
)
, ϕ
(1)
j (t)
)∥∥∥∥∥
r
1
6= 0 ∀t ∈ [a; b]. (35)
Виконаємо над виразом
−A∗
p−1(t)ψ
(si)
i (t)−
p−2∑
α=0
si−α−2∑
l=0
Cαl+α
dl
dtl
(
A∗
p−α−2(t)ψ
(si−α−l−1)
i (t)
)
+
d
dt
(
A∗
p(t)ψ
(si)
i (t)
)
у формулi (35) p− 1 раз (k = 1, p− 1) наступнi перетворення:
1) додамо i вiднiмемо вектор Ckp−1
dk
dtk
(
A∗
p(t)ψ
(si+1−k)
i (t)
)
;
2) використавши формулу (27), видiлимо доданок L∗
k(t)ψ
(si+1−k)
i (t);
3) замiнимо в отриманому виразi вектор
dk
dtk
(
A∗
p(t)ψ
(si+1−k)
i (t)
)
на рiвний йому вектор
− dk
dtk
(
A∗
p−1(t)ψ
(si−k)
i (t)
)
+
p−2∑
α=0
si−k−α−2∑
l=0
Cαl+α
dl
dtl
(
A∗
p−α−2(t)ψ
(si−α−l−1)
i (t)
)
−
− d
dt
(
A∗
p(t)ψ
(si−k)
i (t)
)
.
В результатi отримаємо
det
∥∥∥∥∥∥
min(si,p)∑
k=1
L∗
k(t)ψ
(si+1−k)
i (t), ϕ
(1)
j (t)
∥∥∥∥∥∥
r
1
6= 0 ∀t ∈ [a; b],
звiдки випливає, що жорданiв набiр матрицi A∗
p(t) вiдносно операторiв L∗
k(t), k = 1, p, є
повним.
Лему доведено.
Розглянемо тепер для системи (1) задачу Кошi з початковими умовами
dk
dtk
x(t)
∣∣∣
t=t0
= x
(k)
0 , k = 0, p− 1. (36)
Щоб знайти умови її розв’язностi, розглянемо вiдповiдну задачу Кошi для еквiвалентної
системи (10) першого порядку з початковою умовою
y(t0) = y0, (37)
де y0 = col
[
x
(0)
0 , . . . , x
(k)
0 , . . . , x
(p−1)
0
]
.
Згiдно з теоремою 2.4 iз [2, с. 67] для iснування i єдиностi розв’язку задачi (10), (37)
необхiдно i достатньо, щоб вектор y0 задовольняв умову
k−1∑
i=0
di
dti
(
Ã(t)y0 + f̃(t), h
(k−i)
j (t)
) ∣∣∣
t=t0
= 0, k = 1, sj , j = 1, r. (38)
Виразимо цю умову через коефiцiєнти вихiдної системи (1), вектори ψ(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
та початковi вектори x(k)0 , k = 0, p− 1. Врахувавши (12), (13), (33), (34), (37), дiстанемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
306 С. П. ПАФИК, В. П. ЯКОВЕЦЬ
k−1∑
i=0
p−1∑
s=1
s−1∑
α=0
k−i−α−2∑
l=0
Cαl+α
dl+i
dtl+i
(
As−α−1(t)x
(s)
0 , ψ
(k−i−α−l−1)
j (t)
)
−
−
k−1∑
i=0
p−1∑
s=0
di
dti
(
As(t)x
(s)
0 , ψ
(k−i)
j (t)
)∣∣∣
t=t0
= 0, k = 1, sj , j = 1, r. (39)
На пiдставi еквiвалентностi початкових задач (1), (36) та (10), (37) приходимо до такого
твердження.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1◦ – 4◦, то для того, щоб задача Кошi (1), (36)
мала розв’язок, необхiдно i достатньо, щоб початковi вектори x(s)0 , s = 0, p− 1, задовольняли
умову (39), де ψ(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r, — n-вимiрнi вектори, що утворюють жорданiв набiр
матрицi A∗
p(t) вiдносно операторiв L∗
k(t) =
∑k
i=0
(−1)k−iCk−ip−i
dk−i
dtk−i
A∗
p−i(t), k = 1, p. При
виконаннi цiєї умови розв’язок задачi (1), (36) буде єдиним.
1. Самойленко А. М., Яковець В. П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной канониче-
ской форме // Доп. НАН України. – 1993. – № 4. – С. 10 – 15.
2. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями. –
Київ: Вища шк., 2000. – 293 с.
3. Яковець В. П. Деякi властивостi вироджених лiнiйних систем // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 9. – С. 1278 –
1296.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – Изд. 4-е, доп. – М.: Наука, 1988. – 548 с.
Одержано 21.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2419 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:04Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1d/82bd3c33e431958a5034185a8f7dce1d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24192020-03-18T19:15:01Z On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations Про структуру загального розв'язку та умови розв'язності задачі Коші для вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь вищих порядків Pafyk, S. P. Yakovets, V. P. Пафик, С. П. Яковець, В. П. For a system of linear differential equations of order $p$ with identically degenerate coefficient matrix of the leading derivatives, we establish conditions under which it has a general solution of the Cauchy type. The structure of this solution is determined. Conditions for the existence and uniqueness of a solution of the corresponding initial-value problem are also found. Для системы линейных дифференциальных уравнений $p$-го порядка с тождественно вырожденной матрицей при старших производных найдены условия, при выполнении которых она имеет общее решение типа Коши. Определена структура этого решения. Установлены также условия существования и единственности решения соответствующей начальной задачи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2419 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 2 (2013); 296-305 Український математичний журнал; Том 65 № 2 (2013); 296-305 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2419/1605 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2419/1606 Copyright (c) 2013 Pafyk S. P.; Yakovets V. P. |
| spellingShingle | Pafyk, S. P. Yakovets, V. P. Пафик, С. П. Яковець, В. П. On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations |
| title | On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations |
| title_alt | Про структуру загального розв'язку та умови розв'язності задачі Коші для вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь вищих порядків |
| title_full | On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations |
| title_fullStr | On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations |
| title_full_unstemmed | On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations |
| title_short | On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations |
| title_sort | on the structure of the general solution and conditions of solvability of the cauchy problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2419 |
| work_keys_str_mv | AT pafyksp onthestructureofthegeneralsolutionandconditionsofsolvabilityofthecauchyproblemfordegeneratelinearsystemsofhigherorderdifferentialequations AT yakovetsvp onthestructureofthegeneralsolutionandconditionsofsolvabilityofthecauchyproblemfordegeneratelinearsystemsofhigherorderdifferentialequations AT pafiksp onthestructureofthegeneralsolutionandconditionsofsolvabilityofthecauchyproblemfordegeneratelinearsystemsofhigherorderdifferentialequations AT âkovecʹvp onthestructureofthegeneralsolutionandconditionsofsolvabilityofthecauchyproblemfordegeneratelinearsystemsofhigherorderdifferentialequations AT pafyksp prostrukturuzagalʹnogorozv039âzkutaumovirozv039âznostízadačíkošídlâvirodženihlíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT yakovetsvp prostrukturuzagalʹnogorozv039âzkutaumovirozv039âznostízadačíkošídlâvirodženihlíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT pafiksp prostrukturuzagalʹnogorozv039âzkutaumovirozv039âznostízadačíkošídlâvirodženihlíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT âkovecʹvp prostrukturuzagalʹnogorozv039âzkutaumovirozv039âznostízadačíkošídlâvirodženihlíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív |