On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations
We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of impulsive hyperbolic equations. Conditions for the existence of a unique solution of the problem are established by the method of functional parameters, and an algorithm for its determination is proposed.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2421 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508305949982720 |
|---|---|
| author | Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. |
| author_facet | Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. |
| author_sort | Assanova, A. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:16Z |
| description | We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of impulsive hyperbolic equations. Conditions for the existence of a unique solution of the problem are established by the method of functional parameters, and an algorithm for its determination is proposed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
А. Т. Асанова
(Ин-т математики и мат. моделирования М-ва образования и науки Республики Казахстан, Алматы)
О НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of impulsive hyperbolic equations. Conditions for the
existence of a unique solution of the problem are established by the method of functional parameters, and an algorithm for
its determination is proposed.
Розглядається нелокальна крайова задача для системи гiперболiчних рiвнянь з iмпульсним впливом. Методом уве-
дення функцiональних параметрiв встановлено умови iснування єдиного розв’язку дослiджуваної задачi та запро-
поновано спосiб його знаходження.
Нелокальные краевые задачи для систем гиперболических уравнений исследовались многими
авторами (см. [1 – 3] и приведенную в них библиографию). Наиболее изученными в теории
нелокальных краевых задач являются периодические краевые задачи для уравнений в частных
производных гиперболического типа [4 – 8]. Как известно, многие задачи теории автоматиче-
ского управления, теории ядерных реакторов, динамических систем приводят к периодическим
краевым задачам для дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями. Всесто-
роннее исследование периодических решений систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений с импульсными воздействиями проводились в работах [9 – 12]. Вопросы существования
периодических решений уравнений в частных производных гиперболического типа с импульс-
ными воздействиями рассматривались в работах [13 – 15]. Одной из первых работ, посвящен-
ных изучению периодических решений систем гиперболических уравнений со смешанными
производными, является статья [16]. В этой работе численно-аналитический метод [17, 18]
развит для систем уравнений в частных производных гиперболического типа с импульсными
воздействиями и установлены условия существования периодических по времени решений.
В работах [19 – 23] были исследованы вопросы существования, единственности и непре-
рывной зависимости от данных решения нелокальной краевой задачи с данными на харак-
теристиках для системы гиперболических уравнений со смешанной производной. На основе
метода введения функциональных параметров, являющегося обобщением метода параметри-
зации [24, 25], были получены условия ее однозначной, корректной разрешимости в терминах
коэффициентов системы и граничных матриц.
В настоящей работе метод введения функциональных параметров применяется к нелокаль-
ным краевым задачам для системы гиперболических уравнений с импульсными воздействи-
ями. Построены алгоритмы нахождения приближенного решения рассматриваемой задачи и
установлены условия существования единственного решения в терминах исходных данных.
Результаты работы были частично анонсированы на Украинском математическом конгрессе в
2009 г.
c© А. Т. АСАНОВА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3 315
316 А. Т. АСАНОВА
Рассматривается нелокальная краевая задача для системы гиперболических уравнений вто-
рого порядка с импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени на прямо-
угольнике Ω̄ = [0, T ]× [0, ω]
∂2u
∂t∂x
= A(t, x)
∂u
∂x
+B(t, x)
∂u
∂t
+ C(t, x)u+ f(t, x), t 6= ti, (1)
u(t, 0) = ψ(t), t ∈ [0, T ], (2)
P2(x)
∂u(0, x)
∂x
+ P1(x)
∂u(t, x)
∂t
∣∣∣∣
t=0
+ P0(x)u(0, x) + S2(x)
∂u(T, x)
∂x
+
+S1(x)
∂u(t, x)
∂t
∣∣∣∣
t=T
+ S0(x)u(T, x) = ϕ(x), x ∈ [0, ω], (3)
∂u(ti + 0, x)
∂x
− ∂u(ti − 0, x)
∂x
= Ui(x)
∂u(ti + 0, x)
∂x
+ ϕi(x), i = 1, k, (4)
где u = col (u1, u2, . . . , un), (n×n)-матрицы A(t, x), B(t, x), C(t, x) и n-вектор-функция f(t, x)
непрерывны на Ω̄, (n × n)-матрицы Pi(x), Si(x), i = 0, 2, Uj(x), и n-вектор-функция ϕ(x),
ϕj(x), j = 1, k, непрерывны на [0, ω], n-вектор-функция ψ(t) непрерывно дифференцируема
на [0, T ], 0 < t1 < t2 < . . . < tk < T,
‖u(t, x)‖ = max
i=1,n
|ui(t, x)|, ‖A(t, x)‖ = max
i=1,n
n∑
j=1
|aij(t, x)|.
Решением задачи (1) – (4) будем называть кусочно-непрерывную на Ω̄ функцию u(t, x), име-
ющую кусочно-непрерывные на Ω̄ частные производные
∂u(t, x)
∂x
,
∂u(t, x)
∂t
,
∂2u(t, x)
∂t∂x
, удовле-
творяющую системе (1) при всех (t, x) ∈ Ω, кроме линий t = ti, i = 1, k, краевым условиям (2),
(3) и условиям импульсного воздействия в фиксированные моменты времени (4).
Краевая задача (1) – (4) является нелокальной задачей: задается значение искомой функции
на характеристике x = 0, даются линейная комбинация значений решения и его производных
по x, t на характеристиках t = 0, t = T, а также условие возможных разрывов производной
по x решения в фиксированные моменты времени — на характеристиках t = ti, i = 1, k. Такая
постановка нелокальной краевой задачи исследуется впервые.
Для решения задачи (1) – (4) применяется метод введения функциональных параметров
[19], разработанный для исследования и решения нелокальных краевых задач для систем ги-
перболических уравнений со смешанной производной. Суть метода заключается во введении
дополнительных параметров в качестве значений искомого решения по переменной t в опре-
деленных линиях области Ω. Краевая задача для систем гиперболических уравнений сводится
к эквивалентной многохарактеристической краевой задаче с функциональными параметрами,
зависящими от x. Свойства решений и его частных производных переходят в свойства функ-
циональных параметров. С помощью этого метода были получены коэффициентные условия
однозначной разрешимости нелокальных краевых задач для систем гиперболических уравне-
ний со смешанными производными [19, 23]. Также на основе эквивалентности корректных
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
О НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 317
разрешимостей краевой задачи с данными на характеристиках для систем гиперболических
уравнений и семейства двухточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений были установлены критерии корректной разрешимости рассматриваемой
задачи [20 – 22].
В данной работе дополнительные параметры вводятся как значения искомой функции на
характеристиках t = ti, i = 0, k, t0 = 0, tk+1 = T.
С помощью прямых t = ti, i = 1, k, область Ω разбивается на подобласти Ωr = [tr−1, tr)×
× [0, ω], r = 1, k + 1. Через ur(t, x) обозначим сужение функции u(t, x) на Ωr, r = 1, k + 1.
Вводятся параметры µr(x) = ur(tr−1, x), r = 1, k + 1, и задача (1) – (4) путем замены неиз-
вестной функции u(t, x) = ũr(t, x) + µr(x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1, сводится к следующей
эквивалентной многохарактеристической краевой задаче с параметрами:
∂2ũr
∂t∂x
= A(t, x)
∂ũr
∂x
+B(t, x)
∂ũr
∂t
+ C(t, x)ũr +A(t, x)µ̇r(x)+
+C(t, x)µr(x) + f(t, x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1, (5)
ũr(tr−1, x) = 0, r = 1, k + 1, (6)
ũr(t, 0) = ψ(t)− ψ(tr−1), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, k + 1, (7)
P2(x)µ̇1(x) + P1(x)
∂ũ1(t, x)
∂t
∣∣∣∣
t=0
+ P0(x)µ1(x) + S2(x)µ̇k+1(x) + S2(x) lim
t→T−0
∂ũk+1(t, x)
∂x
+
+S1(x) lim
t→T−0
∂ũk+1(t, x)
∂t
+ S0(x)µk+1(x) + S0(x) lim
t→T−0
ũk+1(t, x) = ϕ(x), x ∈ [0, ω], (8)
µ̇i+1(x)− µ̇i(x)− lim
t→ti−0
∂ũi(t, x)
∂x
= Ui(x)µ̇i+1(x) + ϕi(x), i = 1, k. (9)
Решением задачи (5) – (9) является система пар (µ(x), ũ([t], x)) с элементами µ(x) = (µ1(x),
µ2(x), . . . , µk+1(x))′, ũ([t], x) = (ũ1(t, x), ũ2(t, x), . . . , ũk+1(t, x))′, где функции ũr(t, x) непре-
рывны на Ωr, имеют непрерывные частные производные
∂ũr(t, x)
∂x
,
∂ũr(t, x)
∂t
,
∂2ũr(t, x)
∂t∂x
на
Ωr, r = 1, k + 1, конечный левосторонний предел limt→tr−0
∂ũr(t, x)
∂x
, r = 1, k + 1, а функции
µr(x) непрерывно дифференцируемы по x на [0, w], удовлетворяют системе гиперболических
уравнений (5) и условиям (6) – (9).
Задачи (1) – (4) и (5) – (9) эквивалентны в том смысле, что если функция u(t, x) является ре-
шением задачи (1) – (4), то система пар (µ(x), ũ([t], x)), где µ(x) = (µ1(x), µ2(x), . . . , µk+1(x))′,
ũ([t], x) = (ũ1(t, x), ũ2(t, x), . . . , ũk+1(t, x))′, ur(t, x) = u(t, x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1,
limt→T−0 uk+1(t, x) = u(T, x), µr(x) = ur(tr−1, x), ũr(t, x) = ur(t, x)−ur(tr−1, x), r = 1, k + 1,
будет решением задачи (5) – (9), и наоборот, если (µr(x), ũr(t, x)), r = 1, k + 1, — решение за-
дачи (5) – (9), то функция u(t, x), определяемая равенствами
u(t, x) = µr(x) + ũr(t, x), (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
318 А. Т. АСАНОВА
u(T, x) = µk+1(x) + lim
t→T−0
ũk+1(t, x),
будет решением задачи (1) – (4).
В отличие от задачи (1) – (4) здесь появились начальные условия (6) в качестве значе-
ний неизвестной функции на характеристиках t = tr−1, r = 1, k + 1. При фиксированных
µr(x), µ̇r(x), r = 1, k + 1, функции ũr(t, x), r = 1, k + 1, являются решениями задачи Гурса на
Ωr c условиями (6), (7).
Введя обозначения ṽr(t, x) =
∂ũr(t, x)
∂x
, w̃r(t, x) =
∂ũr(t, x)
∂t
, из (6), (7) получим ṽr(tr−1,
x) = 0, w̃r(t, 0) = ψ̇(t), и задачу Гурса сведем к системе трех интегральных уравнений
w̃r(t, x) = ψ̇(t) +
x∫
0
[
A(t, ξ)ṽr(t, ξ) +B(t, ξ)w̃r(t, ξ) + C(t, ξ)ũr(t, ξ)+
+f(t, ξ) +A(t, ξ)µ̇r(ξ) + C(t, ξ)µr(ξ)
]
dξ, (10)
ṽr(t, x) =
t∫
tr−1
[
A(τ, x)ṽr(τ, x) +B(τ, x)w̃r(τ, x) + C(τ, x)ũr(τ, x)+
+f(τ, x) +A(τ, x)µ̇r(x) + C(τ, x)µr(x)
]
dτ, (11)
ũr(t, x) = ψ(t)− ψ(tr−1) +
t∫
tr−1
dτ
x∫
0
[
A(τ, ξ)ṽr(τ, ξ) +B(τ, ξ)w̃r(τ, ξ)+
+C(τ, ξ)ũr(τ, ξ) + f(τ, ξ) +A(τ, ξ)µ̇r(ξ) + C(τ, ξ)µr(ξ)
]
dξ. (12)
Вместо ṽr(τ, x) подставим соответствующую правую часть (11) и, повторив этот процесс ν,
ν = 1, 2, . . . , раз, получим представление функции ṽr(t, x):
ṽr(t, x) = Gνr(t, x, ṽr) +Hνr(t, x, ũr, w̃r) + Fνr(t, x) +Dνr(t, x)µ̇r(x) + Eνr(t, x)µr(x), (13)
где
Gνr(t, x, ṽr) =
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τν−2∫
tr−1
A(τν−1, x)
τν−1∫
tr−1
A(τν , x)ṽr(τν , x)dτν . . . dτ1,
Hνr(t, x, ũr, w̃r) =
t∫
tr−1
[
B(τ1, x)w̃r(τ1, x) + C(τ1, x)ũr(τ1, x)
]
dτ1 + . . .
. . .+
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τν−2∫
tr−1
A(τν−1, x)
τν−1∫
tr−1
[
B(τν , x)w̃r(τν , x) + C(τν , x)ũr(τν , x)
]
dτν . . . dτ1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
О НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 319
Fνr(t, x) =
t∫
tr−1
f(τ1, x)dτ1 + . . .+
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τν−2∫
tr−1
A(τν−1, x)
τν−1∫
tr−1
f(τν , x)dτν . . . dτ1,
Dνr(t, x) =
t∫
tr−1
A(τ1, x)dτ1 + . . .+
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τν−1∫
tr−1
A(τν , x)dτν . . . dτ1,
Eνr(t, x) =
t∫
tr−1
C(τ1, x)dτ1 + . . .+
t∫
tr−1
A(τ1, x) . . .
τν−2∫
tr−1
A(τν−1, x)
τν−1∫
tr−1
C(τν , x)dτν . . . dτ1,
(t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1.
Переходя в правой части (13) к пределу при t → tr − 0, находим limt→tr−0 ṽr(t, x), r =
= 1, k + 1, x ∈ [0, ω]. Подставляя их в (8), (9) для неизвестных вектор-функций µr(x), r =
= 1, k + 1, получаем систему k + 1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка, не разрешенных относительно производных:
Qν(x)µ̇(x) = −Eν(x)µ(x)− Fν(x)−Hν(x, ũ, w̃)−Gν(x, ṽ), (14)
где
Qν(x) =
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
P2(x) 0 0 . . . 0 S2(x)[I +Dν(k+1)(T, x)]
−I −Dν1(t1, x) I − U1(x) 0 . . . 0 0
0 −I −Dν2(t2, x) I − U2(x) . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . −I −Dνk(tk, x) I − Uk(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
I — единичная матрица размерности n× n,
Eν(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
P0(x) 0 0 . . . 0 S0(x) + S2(x)Eν(k+1)(T, x)
Eν1(t1, x) 0 0 . . . 0 0
0 Eν2(t2, x) 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . Eνk(tk, x) 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
Fν(x) =
(
S2(x)Fν(k+1)(T, x)− ϕ(x),−Fν1(t1, x)− ϕ1(x), . . . ,−Fνk(tk, x)− ϕk(x)
)′
,
Hν(x, ũ, w̃) =
(
S2(x)Hν(k+1)(T, x, ũk+1, w̃k+1) + P1(x)w̃1(0, x) + S1(x)w̃k+1(T, x)+
+S0(x)ũk+1(T, x),−Hν1(t1, x, ũ1, w̃1), . . . ,−Hνk(tk, x, ũk, w̃k)
)′
,
Gν(x, ṽ) =
(
S2(x)Gν(k+1)(T, x, ṽk+1),−Gν1(t1, x, ṽ1), . . . ,−Gνk(tk, x, ṽk)
)′
.
Из условий согласования в точках (tr−1, 0), r = 1, k + 1, следует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
320 А. Т. АСАНОВА
λr(0) = ψ(tr−1), r = 1, k + 1. (15)
Если известны функции µr(x), µ̇r(x), r = 1, k + 1, то, решая систему интегральных урав-
нений (10) – (12), находим функции ũr(t, x), w̃r(t, x), ṽr(t, x) и из системы функций (µr(x) +
+ ũr(t, x)) получаем решение исходной задачи. Если же известны функции ũr(t, x), w̃r(t, x),
ṽr(t, x), то, решая уравнение (14) при условии (15), находим µ̇r(x) µr(x) и снова из системы
функций (µr(x) + ũr(t, x)) получаем решение задачи (1) – (4).
Здесь неизвестными являются как функции µr(x), µ̇r(x), так и функции ũr(t, x), w̃r(t, x),
ṽr(t, x). Поэтому применяется итерационный метод и решение функциональных соотноше-
ний (10) – (12), (14) с условием (15) находится как пределы последовательностей {µ(m)
r (x)},
{µ̇(m)
r (x)}, {ũ(m)
r (t, x)}, {w̃(m)
r (t, x)}, {ṽ(m)
r (t, x)}, определяемых по следующему алгоритму:
Шаг 0. Предполагая в правой части (14) µr(x) = ψ(tr−1), ũr(t, x) = ψ(t) − ψ(tr−1),
w̃r(t, x) = ψ̇(t), ṽr(t, x) = 0 и считая, что матрица Qν(x) обратима при всех x ∈ [0, ω], из
уравнения (14) находим µ̇
(0)
r (x), r = 1, k + 1. Используя условия (15), получаем функции
µ
(0)
r (x) : µ
(0)
r (x) = ψ(tr−1) +
∫ x
0
µ̇(0)r (ξ)dξ. Из системы интегральных уравнений (10) – (12),
где µr(x) = µ
(0)
r (x), µ̇r(x) = µ̇
(0)
r (x), определяем функции ũ
(0)
r (t, x), w̃
(0)
r (t, x), ṽ
(0)
r (t, x),
r = 1, k + 1.
Шаг 1. Из системы (14), где в правой части µr(x) = µ
(0)
r (x), ũr(t, x) = ũ
(0)
r (t, x), w̃r(t, x) =
= w̃
(0)
r (t, x), ṽr(t, x) = ṽ
(0)
r (t, x), r = 1, k + 1, в силу обратимости Qν(x) при x ∈ [0, ω]
находим µ̇
(1)
r (x), r = 1, k + 1. Вновь используя условия (15), получаем µ
(1)
r (x) : µ
(1)
r (x) =
= ψ(tr−1) +
∫ x
0
µ̇(1)r (ξ)dξ. Из систем интегральных уравнений (10) – (12), где µr(x) = µ
(1)
r (x),
µ̇r(x) = µ̇
(1)
r (x), определяем функции ũ(1)r (t, x), w̃
(1)
r (t, x), ṽ
(1)
r (t, x), r = 1, k + 1, и т. д.
Метод введения функциональных параметров процесс нахождения неизвестных функций
разбивает на два этапа:
1) нахождение введенных функциональных параметров µr(x) µ̇r(x) из соотношения (14) с
условием (15);
2) нахождение неизвестных функций ũr(t, x), w̃r(t, x), ṽr(t, x) из системы интегральных
уравнений (10) – (12).
Условия следующего утверждения обеспечивают осуществимость предложенного алгорит-
ма и однозначную разрешимость задачи (1) – (4).
Теорема 1. Пусть при некотором ν, ν ∈ N, (n(k+1)×n(k+1))-матрицаQν(x) обратима
при всех x ∈ [0, ω] и выполняются неравенства:
a) ‖[Qν(x)]−1‖ ≤ γν(x),
b) qν(x) = γν(x) max
(
‖S2(x)‖,max
i=1,k
‖I − Ui(x)‖
)eα(x)h − 1−
ν∑
j=1
[α(x)h]j
j!
≤χ< 1, где
γν(x) — положительная, непрерывная по x ∈ [0, ω] функция, α(x) = maxt∈[0,T ] ‖A(t, x)‖, h =
= maxi=1,k+1(ti − ti−1), χ — константа.
Тогда краевая задача с импульсным воздействием (1) – (4) имеет единственное решение.
Доказательство. При предположениях относительно данных задачи имеют место нера-
венства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
О НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 321
‖Eν(x)‖ ≤ ‖P0(x)‖+ ‖S0(x)‖+ max{‖S2(x)‖, 1}h
ν−1∑
j=0
[α(x)h]j
j!
max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖,
‖Fν(x)‖ ≤ ‖ϕ(x)‖+ max
i=1,k
‖ϕi(x)‖+ max{‖S2(x)‖, 1}h
ν−1∑
j=0
[α(x)h]j
j!
max
t∈[0,T ]
‖f(t, x)‖,
‖Hν(x, ũ, w̃)‖ ≤ a0(x) max
r=1,k+1
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖w̃r(t, x)‖+ ‖ũr(t, x)‖
]
, (16)
где
a0(x) = ‖P1(x)‖+ ‖S1(x)‖+ ‖S0(x)‖+ max{‖S2(x)‖, 1}h
ν−1∑
j=0
[α(x)h]j
j!
×
×max
{
max
t∈[0,T ]
‖B(t, x)‖, max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖
}
.
Пусть C̃(Ωr, R
n) — множество непрерывных и ограниченных на Ωr функций ũr : Ωr → Rn.
В силу условия а) при фиксированных µr(x), ũr(t, x), w̃r(t, x), ṽr(t, x), r = 1, k + 1, система
функций µ̇r(x), r = 1, k + 1, определяется единственным образом из системы уравнений (14) и
µ̇(x) = −[Qν(x)]−1
{
Eν(x)µ(x) + Fν(x) +Hν(x, ũ, w̃) +Gν(x, ṽ)
}
, x ∈ [0, ω], µ ∈ Rn(k+1).
Для любого r, r = 1, k + 1, при фиксированных µr(x) ∈ C([0, ω], Rn), µ̇r(x) ∈ C([0, ω], Rn)
система интегральных уравнений (10) – (12) имеет единственное решение {ũr(t, x), w̃r(t, x),
ṽr(t, x)}, где ũr, w̃r,ṽr принадлежат C̃(Ωr, R
n) и справедливы оценки
sup
t∈[tr−1,tr)
‖ṽr(t, x)‖ ≤
[
eα(x)(tr−tr−1) − 1
]
‖µ̇r(x)‖+
+(tr − tr−1)eα(x)(tr−tr−1)
{
sup
t∈[tr−1,tr)
‖f(t, x)‖+ sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, x)‖‖µr(x)‖+
+ max
(
sup
t∈[tr−1,tr)
‖B(t, x)‖, sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, x)‖
)}
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖ũr(t, x)‖+ ‖w̃r(t, x)‖
]
, (17)
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖ũr(t, x)‖+ ‖w̃r(t, x)‖
]
≤
{
sup
t∈[tr−1,tr)
‖ψ(t)− ψ(tr−1)‖+
+ sup
t∈[tr−1,tr)
‖ψ̇(t)‖+ (1 + tr − tr−1)
x∫
0
[
1 + α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)
]
sup
t∈[tr−1,tr)
‖f(t, ξ)‖dξ+
+(1+tr−tr−1)
x∫
0
α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)‖µ̇r(ξ)‖dξ + (1+tr−tr−1)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
322 А. Т. АСАНОВА
×
x∫
0
[
1 + α(ξ)(tr−tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)
]
sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, ξ)‖‖µr(ξ)‖dξ
×
× exp
{
(1 + tr − tr−1)
x∫
0
[
1 + α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)
]
×
×max
{
sup
t∈[tr−1,tr)
‖B(t, ξ)‖, sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, ξ)‖
}
dξ
}
. (18)
Из нулевого и первого шага построенного выше алгоритма следуют оценки
max
r=1,k+1
‖µ̇(0)r (x)‖ ≤ γν(x)
(
‖Eν(x)‖ max
r=1,k+1
‖ψ(tr−1)‖+ ‖Fν(x)‖+
+a0(x) max
r=1,k+1
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖ψ̇(t)‖+ ‖ψ(t)− ψ(tr−1)‖
])
= d1(x),
max
r=1,k+1
‖µ(0)r (x)− ψ(tr−1)‖ ≤
x∫
0
d1(ξ)dξ = d2(x),
max
r=1,k+1
‖µ̇(1)r (x)− µ̇(0)r (x)‖ ≤ γν(x)‖Eν(x)‖d2(x) + χd2(x)+
+γν(x)
[
eb1(x)a0(x) + a1(x)
]
max
r=1,k+1
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖ψ̇(t)‖+ ‖ψ(t)− ψ(tr−1)‖
]
+
+γν(x)
[
a2(x)eb1(x)(1 + h)
x∫
0
(
1 + α(ξ)heα(ξ)h
)
max
t∈[0,T ]
‖f(t, ξ)‖dξ+
+a1(x) max
t∈[0,T ]
‖f(t, x)‖
]
+ γν(x)eb1(x)
[
(1 + h)a2(x)b2(x) + a1(x) max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖
]
×
×
max
r=1,k+1
‖ψ(tr−1)‖+
x∫
0
‖d2(ξ)‖dξ
= d(x),
где
a1(x) = hmax(‖S2(x)‖, 1)
[
eα(x)h − 1− . . .− (α(x)h)ν−1
(ν − 1)!
]
,
a2(x) = ‖P1(x)‖+ ‖S1(x)‖+ ‖S0(x)‖+
+ max{‖S2(x)‖, 1}heα(x)ha0(x) max
[
max
t∈[0,T ]
‖B(t, x)‖, max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖
]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
О НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 323
b1(x) =
x∫
0
[1 + α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)] max
[
max
t∈[0,T ]
‖B(t, ξ)‖, max
t∈[0,T ]
‖C(t, ξ)‖
]
dξ.
Из интегрального уравнения (11) с помощью неравенства Беллмана – Гронуолла для разно-
стей последовательных приближений ṽ(m)
r (t, x)− ṽ(m−1)r (t, x) получаем оценку
‖ṽ(m)
r (t, x)− ṽ(m−1)r (t, x)‖ ≤
[
eα(x)(t−tr−1) − 1
]
‖µ̇(m)
r (x)− µ̇(m−1)r (x)‖+
+(t− tr−1)eα(x)(t−tr−1)
(
sup
t∈[tr−1,tr)
max{‖B(t, x)‖, ‖C(t, x)‖}×
× sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖w̃(m)
r (t, x)− w̃(m−1)
r (t, x)‖+ ‖ũ(m)
r (t, x)− ũ(m−1)r (t, x)‖
]
+
+ sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, x)‖‖µ(m)
r (x)− µ(m−1)r (x)‖
)
, r = 1, k + 1. (19)
Для разностей последовательных приближений µ(m)
r (x)− µ(m−1)r (x), ũ
(m)
r (t, x)− ũ(m−1)r (t, x),
w̃
(m)
r (t, x)−w̃(m−1)
r (t, x), r = 1, k + 1, m = 1, 2, . . . , с учетом неравенств (17) – (19) справедливы
оценки
‖µ(m)
r (x)− µ(m−1)r (x)‖ ≤
x∫
0
‖µ̇(m)
r (ξ)− µ̇(m−1)r (ξ)‖dξ, (20)
max
r=1,k+1
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖w̃(m)
r (t, x)− w̃(m−1)
r (t, x)‖+ ‖ũ(m)
r (t, x)− ũ(m−1)r (t, x)‖
]
≤
≤
x∫
0
b2(ξ, x) max
r=1,k+1
‖µ̇(m)
r (ξ)− µ̇(m−1)r (ξ)‖dξ, (21)
где
b2(ξ, x) = eb1(x)(1 + tr − tr−1)
[
α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1) + b3(x)
]
,
b3(x) =
x∫
0
[
1 + α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)
]
max
t∈[0,T ]
‖C(t, ξ)‖dξ.
Отсюда следует
‖ṽ(m)
r (t, x)− ṽ(m−1)r (t, x)‖ ≤
[
eα(x)(t−tr−1) − 1
]
‖µ̇(m)
r (x)− µ̇(m−1)r (x)‖+
+(t− tr−1)eα(x)(t−tr−1)
x∫
0
[
max
{
max
t∈[0,T ]
‖B(t, x)‖, max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖
}
b2(ξ, x)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
324 А. Т. АСАНОВА
+ max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖
]
‖µ̇(m)
r (ξ)− µ̇(m−1)r (ξ)‖dξ.
Тогда для разности µ̇(m+1)
r (x)− µ̇(m)
r (x), учитывая оценку (16), имеем
max
r=1,k+1
‖µ̇(m+1)
r (x)− µ̇(m)
r (x)‖ ≤ ‖[Qν(x)]−1‖
‖Eν(x)‖ max
r=1,k+1
‖µ(m)
r (x)− µ(m−1)r (x)‖+
+a0(x) max
r=1,k+1
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖w̃(m)
r (t, x)− w̃(m−1)
r (t, x)‖+ ‖ũ(m)
r (t, x)− ũ(m−1)r (t, x)‖
]
+
+ max
(
‖S2(x)‖,max
i=1,k
‖I − Ui(x)‖
)
×
× max
r=1,k+1
tr∫
tr−1
α(x) . . .
τν−2∫
tr−1
α(x)
τν−1∫
tr−1
α(x)‖ṽ(m)
r (τν , x)− ṽ(m−1)r (τν , x)‖dτνdτν−1 . . . dτ1
.
Подставляя сюда (18) и вычисляя повторные интегралы, а также принимая во внимание оценки
(20), (21), получаем
max
r=1,k+1
‖µ̇(m+1)
r (x)− µ̇(m)
r (x)‖ ≤ χ max
r=1,k+1
‖µ̇(m)
r (x)− µ̇(m−1)r (x)‖+
+
x∫
0
a3(ξ, x) max
r=1,k+1
‖µ̇(m)
r (ξ)− µ̇(m−1)r (ξ)‖dξ, (22)
где
a3(ξ, x) = γν(x)
max{‖S2(x)‖,max
i=1,k
‖I − Ui(x)‖}h max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖
ν−1∑
j=0
[α(x)h]j
j!
+
+a0(x)b0(ξ, x) + max
{
‖S2(x)‖,max
i=1,k
‖I − Ui(x)‖
}
h
eα(x)h − ν−1∑
j=0
[α(x)h]j
j!
[ max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖+
+ max
{
max
t∈[0,T ]
‖B(t, x)‖, max
t∈[0,T ]
‖C(t, x)‖
}
a0(ξ, x)
] .
Для функции Λm(x) = maxr=1,k+1 ‖µ̇
(m+1)
r (x) − µ̇(m)
r (x)‖ на основе (22) установим нера-
венство
Λm(x) ≤
m∑
j=0
m!
(m− j)!j!
χm−j
1
j!
x∫
0
a3(ξ, x)dξ
j
max
x∈[0,ω]
d(x) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
О НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 325
≤ χm
m∑
j=0
m!
(m− j)!j!
1
j!
(
ã3
χ
)j
d̃, (23)
где ã3 = maxx∈[0,ω]
∫ x
0
a3(ξ, x)dξ, d̃ = maxx∈[0,ω] d(x). Поскольку χ ∈ (0, 1), выберем чис-
ло θ ∈ (0, (1 − χ)/χ) и рассмотрим последовательность zm =
1
m!
(
b̃1
θχ
)m
. Несложно про-
верить, что limm→∞ zm = 0, т. е. z∗ = 0. Согласно следствию теоремы Теплица из тео-
рии пределов, отсюда следует, что z̃m =
1
(1 + θ)m
∑m
j=0
m!
(m− j)!j!
θjzj → 0 при m→∞.
Тогда существует число d3 > 0, ограничивающее последовательность z̃k, и из (23) полу-
чаем основную оценку Λm(x) ≤ χm(1 + θ)mz̃md̃ ≤ χm1 d̃d3, где χ1 = χ(1 + θ) < 1,
т. е. последовательность {Λm(x)} мажорируется геометрической прогрессией. Отсюда следу-
ет равномерная сходимость ряда
∑∞
m=1
Λm(x) при x ∈ [0, ω], обеспечивающая равномерную
сходимость последовательности {µ̇(m)
r (x)} к непрерывной на x ∈ [0, ω] функции µ̇∗r(x) при
всех r = 1, k + 1. Из неравенства (20) вытекает равномерная сходимость последовательности
{µ(m)
r (x)} к функции µ∗r(x) ∈ C([0, ω], Rn).На основе оценок (21), (19) следует равномерная от-
носительно (t, x) ∈ Ωr сходимость последовательностей {ũ(m)
r (t, x)}, {w̃(m)
r (t, x)}, {ṽ(m)
r (t, x)},
r = 1, k + 1, соответственно к функциям ũ∗r(t, x), w̃∗r(t, x), ṽ∗r (t, x), принадлежащим C̃(Ωr, R
n).
Очевидно, что функция u∗(t, x), получаемая из систем функций (µ∗r(x)+ ũ∗r(t, x)), является ре-
шением задачи (1) – (4).
Докажем единственность решения задачи (1) – (4). Пусть существуют два решения u∗(t, x) и
u∗∗(t, x). Тогда соответствующие им системы пар (µ∗r(x), ũ∗r(t, x)), (µ∗∗r (x),
ũ∗∗r (t, x)), r = 1, k + 1, будут решениями многохарактеристической краевой задачи с пара-
метрами (5) – (9). Функции µ∗r(x), µ∗∗r (x), r = 1, k + 1, удовлетворяют системам
µ̇∗(x) = −[Qν(x)]−1
{
Eν(x)µ∗(x) + Fν(x) +Hν(x, ũ∗, w̃∗) +Gν(x, ṽ∗)
}
, (24)
µ̇∗∗(x) = −[Qν(x)]−1
{
Eν(x)µ̇∗∗(x) + Fν(x) +Hν(x, ũ∗∗, w̃∗∗) +Gν(x, ṽ∗∗)
}
. (25)
Аналогично (17), (18) из системы интегральных уравнений (10) – (12) получаем
sup
t∈[r−1,tr)
‖ṽ∗r (t, x)− ṽ∗∗r (t, x)‖ ≤
[
eα(x)(tr−tr−1) − 1
]
‖µ̇∗r(x)− µ̇∗∗r (x)‖+
+(tr − tr−1)eα(x)(tr−tr−1) sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, x)‖‖µ∗r(x)− µ∗∗r (x)‖+
+(tr − tr−1)eα(x)(tr−tr−1) max
{
sup
t∈[tr−1,tr)
‖B(t, x)‖, sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, x)‖
}
×
× sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖ũ∗r(t, x)− ũ∗∗r (t, x)‖+ ‖w̃∗r(t, x)− w̃∗∗r (t, x)‖
]
,
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖ũ∗r(t, x)− ũ∗∗r (t, x)‖+ ‖w̃∗r(t, x)− w̃∗∗r (t, x)‖
]
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
326 А. Т. АСАНОВА
≤
(1 + tr − tr−1)
x∫
0
α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)‖µ̇∗r(ξ)− µ̇∗∗r (ξ)‖dξ+
+(1 + tr − tr−1)
x∫
0
[
1 + α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1)
]
sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, ξ)‖‖µ∗r(ξ)− µ∗∗r (ξ)‖dξ
×
× exp
x∫
0
(1 + α(ξ)(tr − tr−1)eα(ξ)(tr−tr−1))max
{
sup
t∈[tr−1,tr)
‖B(t, ξ)‖, sup
t∈[tr−1,tr)
‖C(t, ξ)‖
}
dξ
.
Аналогично (20), (21) имеем
‖µ∗r(x)− µ∗∗r (x)‖ ≤
x∫
0
‖µ̇∗r(ξ)− µ̇∗∗r (ξ)‖dξ,
max
r=1,k+1
sup
t∈[tr−1,tr)
[
‖ũ∗r(t, x)− ũ∗∗r (t, x)‖+ ‖w̃∗r(t, x)− w̃∗∗r (t, x)‖
]
≤
≤
x∫
0
b2(ξ, x) max
r=1,k+1
‖µ̇∗r(ξ)− µ̇∗∗r (ξ)‖dξ. (26)
Тогда из систем (24), (25) для разностей µ̇∗r(x)− µ̇∗∗r (x) следует оценка
max
r=1,k+1
‖µ̇∗r(x)− µ̇∗∗r (x)‖ ≤ χ max
r=1,k+1
‖µ̇∗r(x)− µ̇∗∗r (x)‖+
x∫
0
a3(ξ, x) max
r=1,k+1
‖µ̇∗r(ξ)− µ̇∗∗r (ξ)‖dξ,
откуда
max
r=1,k+1
‖µ̇∗r(x)− µ̇∗∗r (x)‖ ≤ 1
1− χ
x∫
0
ā3(ξ) max
r=1,k+1
‖µ̇∗r(ξ)− µ̇∗∗r (ξ)‖dξ, (27)
где ā3(ξ) = maxx∈[0,ω] a3(ξ, x).
Из (27) с помощью неравенства Гронуолла – Беллмана получаем
maxr=1,k+1 ‖µ̇
∗
r(x) − µ̇∗∗r (x)‖ = 0. В силу соотношений µ∗r(x) = ψ(tr−1) +
∫ x
0
µ̇∗r(ξ)dξ,
µ∗∗r (x) = ψ(tr−1) +
∫ x
0
µ̇∗∗r (ξ)dξ имеем µ∗r(x) = µ∗∗r (x), r = 1, k + 1. Тогда из неравенства
(26) следует, что ũ∗r(t, x) = ũ∗∗r (t, x) при всех (t, x) ∈ Ωr, r = 1, k + 1, и u∗(t, x) = u∗∗(t, x).
Теорема доказана.
Основным условием однозначной разрешимости исследуемой задачи является существо-
вание числа ν ∈ N, при котором матрица Qν(x) обратима для всех x ∈ [0, ω]. Поскольку
(n(k+1)×n(k+1))-матрица Qν(x) имеет специальную блочно-ленточную структуру, то спра-
ведливы следующие утверждения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
О НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 327
Лемма 1. Пусть матрицы I − Ui(x) (или I + Dνi(ti, x)), i = 1, k, обратимы для всех
x ∈ [0, ω]. (n(k+1)×n(k+1))-Матрица Qν(x) при x ∈ [0, ω] обратима тогда и только тогда,
когда обратима (n× n)-матрица
Mν(x) = P2(x) + S2(x)[I +Dν(k+1)(T, x)]
1∏
s=k
[I − Us(x)]−1[I +Dνs(ts, x)]
(
или Lν(x) = P2(x)
k∏
s=1
[I +Dνs(ts, x)]−1[I − Us(x)] + S2(x)[I +Dν(k+1)(T, x)]
)
.
Лемма 2. Если матрица Mν(x) (или Lν(x)) обратима, то [Qν(x)]−1 = {gij(x)}, i, j =
= 1, k + 1, где
g11(x) = M−1ν (x),
g1l(x) = −M−1ν (x)S2(x)
l−1∏
s=k
[I +Dνs(ts, x)][I − Us(x)]−1, 1 < l ≤ k + 1,
grl(x) = [I − Ur−1(x)]−1[I +Dν,r−1(tr−1, x)]gr−1,l(x), l 6= r,
grr(x) = [I − Ur−1(x)]−1[I +Dν,r−1(tr−1, x)]gr−1,r(x) + [I − Ur−1(x)]−1, r = 2, 3, . . . , k + 1,(
или gk+1,1(x) = L−1ν (x),
gk+1,l(x) = L−1ν (x)(−1)l
l−1∏
s=1
[I +Dνs(ts, x)]−1, 1 < l ≤ k + 1,
grl(x) = −[I +Dν,r(tr, x)]−1[I − Ur(x)]gr+1,l(x), l 6= r + 1,
gr,r+1(x) = −[I +Dν,r(tr, x)]−1[I − Ur(x)]gr+1,r(x)− [I +Dν,r(tr, x)]−1, r = 1, 3, . . . , k
)
.
Из леммы 1 следует, что достаточно проверить обратимость матриц I − Ui(x) (или I +
+ Dνi(ti, x)), i = 1, k, размерности которых совпадают с размерностью исходной системы.
Если матрицы I − Ui(x) (или I +Dνi(ti, x)), i = 1, k, обратимы, то можно найти их обратные
и получить оценку. Как видно из рекуррентных формул леммы 2, величина γν(x) вычисляется
через обратные матриц I−Ui(x), i = 1, k, и нормы матриц S2(x), [I+Dνs(ts, x)], s = 1, k (или
через обратные матриц I +Dνi(ti, x), i = 1, k, и нормы матриц [I − Us(x)], s = 1, k).
Таким образом, теорема дает достаточные условия существования единственного решения
задачи (1) – (4) в терминах исходных данных: коэффициентной матрицы A(t, x), граничных
матриц S2(x), P2(x), матриц импульсного воздействия Ui(x) и линий возможных разрывов
t = ti, i = 1, k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
328 А. Т. АСАНОВА
1. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными.
– Киев: Наук. думка, 1984. – 264 c.
2. Митропольский Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследования квазиволновых
уравнений гиперболического типа. – Киев: Наук. думка, 1991. – 232 с.
3. Kiguradze T. Some boundary value problems for systems of linear partial differential equations of hyperbolic type //
Mem. Different. Equat. and Math. Phys. – 1994. – 1. – P. 1 – 144.
4. Cesari L. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Proc. Int. Symp. Nonlinear Vibrations (Kiev,
1961). – Kiev: Izd. Akad. Nauk Ukr. SSR, 1963. – 2. – P. 440 – 457.
5. Vejvoda O., Herrmann L., Lovicar V. et al. Partial differential equations: time-periodic solutions. – Prague etc.:
Martinus Nijhoff Publ., 1982. – 358 p.
6. Самойленко А. М., Ткач Б. П. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений
с частными производными. – Киев: Наук. думка, 1992. – 208 с.
7. Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Асимптотические методы исследования периодических решений
нелинейных гиперболических уравнений. – М.: Наука, 1998. – 191 с.
8. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Периодические и ограниченные на плоскости решения систем гиперболических
уравнений // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – С. 562 – 572.
9. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. – Киев:
Вища шк., 1987. – 287 с.
10. Bainov D. D., Simeonov P. S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. – New York etc.: Halsted
Press,1989. – 345 p.
11. Hu S., Lakshmikantham V. Periodic boundary value problems for second order impulsive differential systems //
Nonlinear Anal. – 1989. – 13, № 1. – P. 75 – 85.
12. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989. – 434 p.
13. Rogovchenko S. P. Periodic solutions for hyperbolic impulsive systems (in Russian). – Kiev, 1988. – 20 p. – (Preprint/
Ukr. Acad. Sci. Inst. Math. № 88.3).
14. Perestyuk N. A., Tkach A. B. Periodic solutions for weakly nonlinear partial system with pulse influense // Ukr. Math.
J. – 1997. – 49, № 4. – P. 601 – 605.
15. Bainov D. D., Minchev E., Myshkis A. Periodic boundary value problems for impulsive hyperbolic systems // Commun.
Appl. Anal. – 1997. – 1, № 4. – P. 1 – 14.
16. Tkach A. B. Numerical-analytic method of finding periodic solutions for systems of partial differential equations with
pulse influence // Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, № 2. – P. 278 – 288.
17. Самойленко А. М. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. I // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, № 4. – С. 16 – 23.
18. Самойленко А. М. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. II // Укр. мат. журн. – 1966. – 18, № 2. – C. 9 – 18.
19. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для систем гипербо-
лических уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 10. – С. 1343 – 1354.
20. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем гипер-
болических уравнений // Докл. РАН. – 2003. – 391, № 3. – С. 295 – 297.
21. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Корректная разрешимость нелокальных краевых задач для систем гиперболи-
ческих уравнений //Дифференц. уравнения. – 2005. – 41, № 3. – С. 337 – 446.
22. Джумабаев Д. С., Асанова А. Т. Признаки корректной разрешимости линейной нелокальной краевой задачи
для систем гиперболических уравнений // Доп. НАН України. – 2010. – № 4. – С. 7 – 11.
23. Asanova A. T. On a boundary-value problem with data on non-characteristic intersecting lines for a system of
hyperbolic equations with mixed derivative // Nonlinear Oscillations. – 2012. – 15, № 1. – P. 3 – 12.
24. Джумабаев Д. С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений // Вестн. АН КазССР. – 1988. – № 1. – С. 48 – 52.
25. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1989. – 29, № 1. – С. 50 – 66.
Получено 03.09.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2421 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:06Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/50/a18bbbafc606a7de7851ba26fce20850.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24212020-03-18T19:15:16Z On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations О нелокальной краевой задаче для систем гиперболических уравнений с импульсными воздействиями Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. We consider a nonlocal boundary-value problem for a system of impulsive hyperbolic equations. Conditions for the existence of a unique solution of the problem are established by the method of functional parameters, and an algorithm for its determination is proposed. Розглядається нелокальна крайова задача для системи гiперболiчних рiвнянь з iмпульсним впливом. Методом уведення функцiональних параметрiв встановлено умови iснування єдиного розв’язку дослiджуваної задачi та запропоновано спосiб його знаходження. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2421 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 3 (2013); 315-328 Український математичний журнал; Том 65 № 3 (2013); 315-328 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2421/1609 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2421/1610 Copyright (c) 2013 Assanova A. T. |
| spellingShingle | Assanova, A. T. Асанова, А. Т. Асанова, А. Т. On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations |
| title | On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations |
| title_alt | О нелокальной краевой задаче для систем гиперболических уравнений с импульсными воздействиями |
| title_full | On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations |
| title_fullStr | On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations |
| title_full_unstemmed | On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations |
| title_short | On a Nonlocal Boundary-Value Problem for Systems of Impulsive Hyperbolic Equations |
| title_sort | on a nonlocal boundary-value problem for systems of impulsive hyperbolic equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2421 |
| work_keys_str_mv | AT assanovaat onanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofimpulsivehyperbolicequations AT asanovaat onanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofimpulsivehyperbolicequations AT asanovaat onanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofimpulsivehyperbolicequations AT assanovaat onelokalʹnojkraevojzadačedlâsistemgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaat onelokalʹnojkraevojzadačedlâsistemgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaat onelokalʹnojkraevojzadačedlâsistemgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi |