Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations
We study properties of a fundamental solution of a nonlocal multipoint (with respect to time) problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators constructed on the basis of constant symbols. The correct solvability of this problem in the class of generalized functions of distribution type...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2423 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508309613707264 |
|---|---|
| author | Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. |
| author_facet | Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. |
| author_sort | Horodets’kyi, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:16Z |
| description | We study properties of a fundamental solution of a nonlocal multipoint (with respect to time) problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators constructed on the basis of constant symbols.
The correct solvability of this problem in the class of generalized functions of distribution type is proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, Р. I. Петришин (Чернiв. нац. ун-т)
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ
ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ
We study properties of a fundamental solution of a nonlocal multipoint (with respect to time) problem for evolution equations
with pseudo-Bessel operators constructed on the basis of constant symbols. The correct solvability of this problem in the
class of generalized functions of distribution type is proved.
Исследованы свойства фундаментального решения нелокальной многоточечной по времени задачи для эволюцион-
ных уравнений с псевдобесселевыми операторами, построенными по постоянным символам. Доказана корректная
разрешимость такой задачи в классе обобщенных функций типа распределений.
Теорiя нелокальних крайових задач як роздiл загальної теорiї крайових задач для рiвнянь з
частинними похiдними iнтенсивно розвивається з сiмдесятих рокiв минулого столiття. Не-
локальними крайовими задачами прийнято називати задачi, в яких замiсть задання значень
розв’язку або його похiдних на фiксованiй частинi межi задається зв’язок цих значень iз зна-
ченнями тих самих функцiй на iнших внутрiшнiх або межових многовидах. До таких задач
належать i нелокальнi багатоточковi за часом задачi. Загальне означення нелокальних умов та
їх класифiкацiя були запровадженi А. М. Нахушевим [1].
Дослiдження таких задач зумовлене багатьма застосуваннями у механiцi, фiзицi, хiмiї, бiо-
логiї, екологiї та iнших природничо-наукових дисциплiнах, якi виникають при математичному
моделюваннi тих чи iнших процесiв [2 – 8]. Доцiльнiсть використання нелокальних умов з точ-
ки зору загальної теорiї крайових задач уперше вiдмiтив О. О. Дезiн [9], який дослiджував
розв’язнi розширення диференцiальних операторiв, породжених загальною диференцiальною
операцiєю зi сталими коефiцiєнтами. Вiн показав, що для постановки коректної крайової задачi
необхiдно використовувати поряд з локальними i нелокальнi умови. А. М. Мамян встано-
вив [10], що iснують такi рiвняння з частинними похiдними в шарi, для яких неможливо сфор-
мулювати жодну коректну локальную задачу; водночас коректнi задачi iснують, якщо залучити
нелокальнi умови.
Двоточкову за часом задачу для рiвняння теплопровiдностi та B-параболiчного рiвняння
зi сталими коефiцiєнтами дослiдив М. I. Матiйчук [11]. Двоточкову та m-точкову (m ≥ 2)
за часом задачi для одного класу еволюцiйних рiвнянь з псевдодиференцiальними оператора-
ми, якi будуються за допомогою перетворення Бесселя та негладкими однорiдними символами,
незалежними вiд просторових змiнних, дослiджували В. В. Городецький, О. М. Ленюк, Д. I. Спi-
жавка [12, 13]. Такi оператори вони назвали псевдобесселевими i їх формально можна подати
у виглядi F−1
Bν
[aFBν ], де FBν , F
−1
Bν
— перетворення Бесселя, a — символ оператора. У пра-
цi [14] побудовано новi класи негладких у фiксованiй точцi однорiдних символiв та новi класи
псевдодиференцiальних операторiв, якi мiстять клас псевдобесселевих операторiв, розглянутих
у [12, 13]. Дослiджено задачу Кошi для еволюцiйних рiвнянь з такими операторами у просторах
узагальнених початкових функцiй.
Нелокальнi багатоточковi за часом задачi для таких рiвнянь на теперiшнiй час не вивча-
лись. Метою цiєї роботи є побудова та дослiдження властивостей фундаментального розв’язку
c© В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3 339
340 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
нелокальної m-точкової (m ≥ 1) за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь, що мiстять вказанi
псевдодиференцiальнi оператори, встановлення коректної розв’язностi задачi у випадку, коли
гранична функцiя є узагальненою функцiєю типу розподiлiв. Дослiдження таких задач з кра-
йовими умовами в тих чи iнших просторах узагальнених функцiй (встановлення їх коректної
розв’язностi, побудова та властивостi розв’язкiв тощо) є актуальним, оскiльки граничнi функ-
цiї можуть мати особливостi в однiй або декiлькох точках. Якщо цi особливостi степеневого
порядку, то такi функцiї допускають регуляризацiю у просторах узагальнених функцiй скiн-
ченного порядку типу розподiлiв Соболєва – Шварца. Якщо ж порядок особливостей вищий за
степеневий, то цi функцiї є узагальненими функцiями нескiнченного порядку (наприклад, уль-
трарозподiлами, гiперфункцiями). Тут знайдено клас X ′ узагальнених граничних функцiй, для
яких розв’язок u(t, ·) багатоточкової задачi зображується у виглядi згортки граничної функцiї
з фундаментальним розв’язком цiєї задачi (який є елементом простору X основних функцiй),
при цьому розв’язок має тi ж властивостi, що i фундаментальний розв’язок, тобто u(t, ·) ∈ X
при кожному t ∈ (0, T ], а вiдповiдну крайову умову u(t, ·) задовольняє у просторi X ′.
1. Простори основних та узагальнених функцiй. 1.1. Простори θM,ρ, Φν
β,γ. Нехай M,
ρ : R → [0,+∞) — неперервнi, парнi на R функцiї, диференцiйовнi, монотонно зростаючi на
(0,∞), limx→+∞M(x) = limx→+∞ ρ(x) = 0, M(0) = ρ(0) = 0, причому ρ(x) =
∫ x
0
ω(ξ)dξ
для x ≥ 0, де ω — зростаюча й неперервна на [0,∞) функцiя, ω(0) = 0, limx→+∞ ω(x) = +∞.
Функцiя ρ опукла на [0,+∞), тобто а) ∀{x1, x2} ⊂ [0,+∞) : ρ(x1) + ρ(x2) ≤ ρ(x1 + x2);
б) ∀α ≥ 1 ∀x ∈ [0,∞) : ρ(αx) ≥ αρ(x); в) ∀α ∈ (0, 1) ∀x ∈ [0,∞) : ρ(αx) ≤ αρ(x).
Припускаємо також, що виконуються наступнi умови:
∀ε > 0 ∃x0 = x0(ε) > 0 ∀x ≥ x0 : ρ(εx) ≥M(x),
ρ(x) ∼
x→0+0
xγ , γ ∈ (1,+∞), M(x) ∼
x→0+0
xβ, β ∈ (0, 1],
де γ та β — фiксованi параметри.
Символом θM,ρ позначимо сукупнiсть усiх неперервних, парних на R функцiй ϕ : R → R,
нескiнченно диференцiйовних на R \ {0}, для яких
∃a > 0 ∀k ∈ Z+ ∃ck > 0 ∀x ∈ R \ {0} :
Mk(x)|Dk
xϕ(x)| ≤ ck
k∑
l=1
ρl(x) · e−ρ(ax) (1)
(якщо k = 0, то суми немає; якщо k = 1, то l = 1 i т. д.; якщо k = 0, то (1) справджується для
всiх x ∈ R; сталi ck, a > 0 залежать вiд функцiї ϕ).
Зазначимо, що однорiднi порядку γ > 1 функцiї iз простору θ|x|,|x|γ трактуються як негладкi
у точцi 0 однорiднi символи, за якими будуються псевдодиференцiальнi оператори вигляду
F−1[αF ], α ∈ θ|x|,|x|γ , де F, F−1 — пряме та обернене перетворення Фур’є [14, 15].
Вiдзначимо основнi властивостi функцiй iз простору θM,ρ, доведенi в [15]: у функцiї Dk
xϕ,
ϕ ∈ θM,ρ, x 6= 0, k ∈ N, iснують скiнченнi одностороннi границi limx→±0D
k
xϕ(x), функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI . . . 341
D2k
x ϕ, x 6= 0, k ∈ N, у точцi x = 0 має усувний розрив, кожна функцiя ϕ ∈ θM,ρ у точцi 0 за-
довольняє умову Дiнi.
Нехай ν — фiксоване число з множини {3/2, 5/2, 7/2, . . . }. На функцiях з простору θM,ρ
визначено перетворення Бесселя FBν :
FBν [ϕ](ξ) =
∞∫
0
ϕ(x)jν(xξ)x2ν+1dx, ϕ ∈ θM,ρ,
де jν — нормована функцiя Бесселя. Нехай FBν [θM,ρ] := Φν
β,γ . Елементами простору Φν
β,γ є
нескiнченно диференцiйовнi на R функцiї, якi задовольняють нерiвностi [16]
|Dm
ξ FBν [ϕ](ξ)| ≤ αm(1 + |ξ|)−(ω0+m), m ∈ Z+, ξ ∈ R, ϕ ∈ θM,ρ,
ω0 = p̃0 + [β−1[γ]], p̃0 = 1 + p0, p0 = 2ν + 1, [·] — цiла частина числа.
Φν
β,γ перетворюється в злiченно-нормований простiр, якщо систему норм в ньому ввести
за формулами
‖ϕ‖p := sup
ξ∈[0,∞)
{
p∑
k=0
Λ(ξ)ω̃0+2k|D2k
ξ ϕ(ξ)|
}
, ϕ ∈ Φν
β,γ , p ∈ Z+,
де Λ(ξ) := 1 + ξ, ξ ∈ [0,∞), ω̃0 = ω0 − ε, 0 < ε < 1 — фiксований параметр.
Збiжнiсть у просторi Φν
β,γ — це збiжнiсть за кожною нормою ‖ · ‖p, p ∈ Z+.
Перетворення Бесселя неперервно вiдображає θM,ρ на Φν
β,γ [16]; на функцiях iз простору
Φν
β,γ визначено обернене перетворення Бесселя F−1
Bν
:
F−1
Bν
[ψ](x) = cν
∞∫
0
ψ(σ)jν(σx)σ2ν+1dσ, cν = (22νΓ2(ν + 1))−1, ψ ∈ Φν
β,γ .
У просторi Φν
β,γ є визначеним i неперервним оператор узагальненого зсуву аргументу T ξx ,
який вiдповiдає оператору Бесселя [17]:
T ξxϕ(x) = bν
π∫
0
ϕ(
√
x2 + ξ2 − 2xξ cosω) sin2ν ωdω, ϕ ∈ Φν
β,γ ,
де bν = Γ(ν+ 1)/(Γ(1/2)Γ(ν+ 1/2)). Операцiя узагальненого зсуву аргументу ϕ→ T ξxϕ дифе-
ренцiйовна (навiть нескiнченно диференцiйовна) у просторi Φν
β,γ в тому розумiннi, що граничнi
спiввiдношення (∆ξ)−1(T ξ+∆ξ
x ϕ(x)−T ξxϕ(x))→ ∂T ξxϕ(x)/∂ξ, ∆ξ → 0, справджуються у про-
сторi Φν
β,γ .
Дотримуючись [18], згортку двох функцiй iз простору Φν
β,γ визначимо формулою
(ϕ ∗ ψ)(x) =
∞∫
0
T ξxϕ(x)ψ(ξ)ξ2ν+1dξ, {ϕ,ψ} ⊂ Φν
β,γ .
1.2. Простiр узагальнених функцiй (Φν
β,γ)′. Символом (Φν
β,γ)′ позначимо простiр усiх лi-
нiйних неперервних функцiоналiв на Φν
β,γ зi слабкою збiжнiстю, а його елементи називатимемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
342 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
узагальненими функцiями. Оскiльки Φν
β,γ =
⋂∞
p=0
Φν
β,γ,p, де Φν
β,γ,p — поповнення простору Φν
β,γ
за p-ю нормою, до того ж вкладення Φν
β,γ,p+1 ⊂ Φν
β,γ,p, p ∈ Z+, неперервнi, щiльнi й компактнi,
то (Φν
β,γ)′ =
⋃∞
p=0(Φν
γ,β,p)
′. Отже, якщо f ∈ (Φν
β,γ)′, то f ∈ (Φν
β,γ,p)
′ при деякому p ∈ Z+;
найменше з таких p називається порядком f, тобто кожна узагальнена функцiя f ∈ (Φν
β,γ)′ має
скiнченний порядок.
Оскiльки у просторi Φν
β,γ визначено операцiю узагальненого зсуву аргументу, то згортку
узагальненої функцiї f ∈ (Φν
β,γ)′ з основною функцiєю задамо формулою
(f ∗ ϕ)(x) = 〈fξ, T ξxϕ(x)〉 ≡ 〈fξ, T xξ ϕ(ξ)〉, ϕ ∈ Φν
β,γ ,
при цьому f ∗ ϕ — нескiнченно диференцiйовна на R функцiя (iндекс ξ в fξ означає, що
функцiонал f дiє на T ξxϕ(x) як на функцiю аргументу ξ).
Врахувавши те, що FBν [ϕ] ∈ Φν
β,γ , якщо ϕ ∈ θM,ρ, перетворення Бесселя узагальненої
функцiї f ∈ (Φν
β,γ)′ визначимо за допомогою спiввiдношення 〈FBν [f ], ϕ〉 = 〈f, FBν [ϕ]〉, ϕ ∈
∈ θM,ρ. Звiдси, з властивостей лiнiйностi i неперервностi функцiонала f та перетворення
Бесселя випливає лiнiйнiсть i неперервнiсть функцiонала FBν [f ], заданого на просторi θM,ρ,
тобто FBν [f ] ∈ θ′M,ρ.
2. Структура та властивостi фундаментального розв’язку m-точкової задачi. Нехай
p ∈ N є фiксованим, {γi}pi=1 ⊂ (1,+∞) \ {2, 3, 4, . . .}, до того ж γ1 < γ2 < . . . < γp, ρi : R →
→ [0,∞), i = {1, . . . , p}, — функцiї, якi задовольняють тi ж умови, що i функцiя ρ з п. 1,
причому ρi ∼
x→+0
xγi , i ∈ {1, . . . , p}, i
∃L > 0 ∀x ≥ 0: ρi(x) ≤ Lρ1(x), i ∈ {2, 3, . . . , p},
ai : R→ [0,∞), i ∈ {1, . . . , p}, — неперервнi, парнi на R функцiї, однорiднi порядку γi (вiдпо-
вiдно), нескiнченно диференцiйовнi на R \ {0} такi, що:
1) ∀i ∈ {1, . . . , p} ∀k ∈ N ∃bki > 0 ∀x ∈ R \ {0} : Mk(x)|Dk
xai(x)| ≤ bkiρi(x);
2) ∀i ∈ {1, . . . , p} ∃c0i, c̃0i > 0 ∀x ∈ R : c0iρi(x) ≤ ai(x) ≤ c̃0i(1 + ρi(x)).
Безпосередньо переконуємося в тому, що функцiї a1, . . . , ap є мультиплiкаторами у просторi
θM,ρ1 . У зв’язку з цим розглянемо оператори Ai: Φν
β,γ1
→ Φν
β,γ1
, якi визначаються формулами
Aiϕ = FBν [aiF
−1
Bν
[ϕ]], ϕ ∈ Φν
β,γ1 , i ∈ {1, . . . , p}.
Iз властивостей перетворення Бесселя (прямого та оберненого) випливає лiнiйнiсть i непе-
рервнiсть операторiв Ai, i ∈ {1, . . . , p}, у просторi Φν
β,γ1
, якi далi називатимемо псевдобессе-
левими операторами.
Для еволюцiйного рiвняння
∂u
∂t
+
p∑
i=1
Aiu = 0, (t, x) ∈ (0, T ]× R ≡ Ω, (2)
розглянемо багатоточкову задачу
µu(t, ·)|t=0 − µ1u(t, ·)|t=t1 − . . .− µmu(t, ·)|t=tm = ϕ, (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI . . . 343
де T ∈ (0,∞), m ∈ N, {µ, µ1, . . . , µm} ⊂ (0,∞), {t1, . . . , tm} ⊂ (0, T ] — фiксованi числа, до
того ж µ > µ02m, µ0 = max{µ1, . . . , µm}, 0 < t1 < t2 < . . . < tm ≤ T, ϕ ∈ Φν
β,γ1
.
Розв’язок задачi (2), (3) шукаємо у виглядi u(t, x) = FBν [v(t, σ)](x). Для функцiї v : Ω→ R
отримуємо наступну задачу з параметром σ:
dv(t, σ)
dt
+
p∑
i=1
ai(σ)v(t, σ) = 0, (t, σ) ∈ Ω, (4)
µv(t, σ)|t=0 −
m∑
k=1
µkv(t, σ)|t=tk = ϕ̃(σ), σ ∈ R, (5)
де ϕ̃(σ) := F−1
Bν
[ϕ](σ). Загальний розв’язок рiвняння (4) має вигляд
v(t, σ) = c exp
{
−t
p∑
i=1
ai(σ)
}
, (t, σ) ∈ Ω, (6)
де c = c(σ) визначається з умови (5). Пiдставивши (6) в (5), знайдемо
c = ϕ̃(σ)
(
µ−
m∑
k=1
µk exp
{
−tk
p∑
i=1
ai(σ)
})−1
, σ ∈ R.
Отже, формальним розв’язком задачi (2), (3) є функцiя
u(t, x) =
∞∫
0
v(t, σ)jν(σx)σ2ν+1dσ, (t, x) ∈ Ω.
Введемо позначення
G(t, x) := cν
∞∫
0
Q(t, σ)jν(σx)σ2ν+1dσ, (7)
де
Q(t, σ) = exp
{
−t
p∑
i=1
ai(σ)
}(
µ−
m∑
k=1
µk exp
{
−tk
p∑
i=1
ai(σ)
})−1
.
Тодi, знову мiркуючи формально, отримуємо
u(t, x) =
∞∫
0
T ξxG(t, x)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ, (t, x) ∈ Ω.
Справдi,
u(t, x) =
∞∫
0
Q(t, σ)
cν ∞∫
0
ϕ(ξ)jν(σξ)ξ2ν+1dξ
jν(σx)σ2ν+1dσ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
344 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Оскiльки jν(σξ)jν(σx) = T ξxjν(σx) [17], то, врахувавши властивостi оператора узагальненого
зсуву аргументу [17], знайдемо
u(t, x) =
∞∫
0
cν ∞∫
0
Q(t, σ)T ξxjν(σx)σ2ν+1dσ
ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ =
=
∞∫
0
T ξxG(t, x)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ. (8)
Коректнiсть проведених тут перетворень та збiжнiсть вiдповiдних iнтегралiв, а отже, пра-
вильнiсть формул (8), випливають iз властивостей функцiїG, якi ми наведемо нижче. Передусiм
дослiдимо властивостi функцiї G як функцiї аргументу x.
Оскiльки
µ−
m∑
k=1
µk exp
{
−tk
p∑
i=1
ai(σ)
}
= µ
(
1− 1
µ
m∑
k=1
µk exp
{
−tk
p∑
i=1
ai(σ)
})
,
до того ж
∑m
k=1
µk < mµ0 < µ0 · 2m < µ, то
1
µ
m∑
k=1
µk exp
{
−tk
p∑
i=1
ai(σ)
}
≤ 1
µ
m∑
k=1
µk < 1.
Використавши полiномiальну формулу, одержимо(
µ−
m∑
k=1
µk exp
{
−tk
p∑
i=1
ai(σ)
})−1
=
1
µ
∞∑
r=0
µ−r
(
m∑
k=1
µke
−tka(σ)
)r
=
=
∞∑
r=0
µ−(r+1)
( ∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
(µ1e
−t1a(σ))r1 . . . (µme
−tma(σ))rm
)
=
=
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
µr11 . . . µrmm e−(t1r1+...+tmrm)a(σ),
де a(σ) :=
∑p
i=1
ai(σ). Звiдси маємо
G(t, x) = cν
∞∫
0
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
µr11 . . . µrmm ×
×e−(t1r1+...+tmrm+t)a(σ)jν(σx)σ2ν+1dσ =
=
∞∑
r=0
1
µr+1
∑
r1+...+rm=r
r!µr11 . . . µrmm
r1! . . . rm!
G̃(t1r1 + . . .+ tmrm + t, x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI . . . 345
де
G̃(t1r1 + . . .+ tmrm + t, x) = cν
∞∫
0
e−(t1r1+...+tmrm+t)a(σ)jν(σx)σ2ν+1dσ,
G̃(t, x) — фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (2) , для якого правильними є
оцiнки [14]
|Ds
xG̃(t, x)| ≤ cstβ̃(tβ̃0 + |x|)−(ω0+s), s ∈ Z+, (t, x) ∈ Ω, (9)
де ω0 = 2ν+2+[β−1[γ1]], β̃ = [β−1[γ1]]/γp, β̃0 = 1/γ1, якщо 0 < t < 1, iнакше β̃ = [β−1[γp]]/γ1,
β̃0 = 1/γp; стала cs > 0 не залежить вiд t. Врахувавши (9), знайдемо
|Ds
xG(t, x)| ≤ cs
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!µr11 . . . µrmm
r1! . . . rm!
(t1r1 + . . .+ tmrm + t)β̃×
×((t1r1 + . . .+ tmrm + t)β̃0 + |x|)−(ω0+s) ≤
≤ cs
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!µr0
r1! . . . rm!
(Tr + t)β̃((t1r + t)β̃0 + |x|)−(ω0+s) ≤
≤ c̃s
∞∑
r=0
µ̃r(t+ rT )β̃((t+ rt1)β̃0 + |x|)−(ω0+s), s ∈ Z+, (t, x) ∈ Ω, (10)
де µ̃ = µ02mµ−1 < 1. Оскiльки t + rt1 ≥ t ∀r ∈ Z+, то з (10) випливає, що при кожному
t ∈ (0, T ] функцiя G, як функцiя аргументу x, є елементом простору Φν
β,γ1
.
На пiдставi цiєї властивостi робимо висновок про коректнiсть формул (8), при цьому
u(t, x) = G(t, x) ∗ ϕ(x).
Функцiя G(t, ·) є неперервною функцiєю аргументу t ∈ (0, T ]. Справдi, iз властивостей
функцiй ai, i ∈ {1, . . . , p}, випливає, що для t ≥ t0 > 0 справджуються нерiвностi
|Q(t, σ)| ≤
(
µ−
m∑
k=1
µk
)−1
exp
{
−t0
p∑
i=1
c0iρi(σ)
}
≤
≤
(
µ−
m∑
k=1
µk
)−1
exp{−t0c01ρ1(σ)} ≤ α exp{−t0c01|σ|γ1}.
Тодi, врахувавши iнтегральну формулу Пуассона для нормованої функцiї Бесселя [19, с. 780]
jν(σ) =
2Γ(ν + 1)√
πΓ(ν + 1/2)
π/2∫
0
cos(σ cos θ) sin2ν θdθ, σ ∈ R, ν > −1/2,
знайдемо |Q(t, σ)jν(σx)σ2ν+1| ≤ α0 exp{−α1|σ|γ1}. Звiдси вже випливає рiвномiрна збiжнiсть
у довiльнiй смузi {(t, x) : t0 ≤ t ≤ T, x ∈ R}, t0 > 0, iнтеграла (7), тому функцiя G(t, ·) є
неперервною у кожнiй точцi промiжку (0, T ]. Аналогiчно доводимо диференцiйовнiсть по t
функцiї G, а також неперервнiсть ∂G(t, ·)/∂t по t (при фiксованому x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
346 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Лема 1. Функцiя G(t, ·), t ∈ (0, T ], як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями у
просторi Φν
β,γ1
, диференцiйовна по t.
Доведення. Необхiдно довести, що граничне спiввiдношення
Ψ∆t(x) :=
1
∆t
[G(t+ ∆t, x)−G(t, x)] −→
∆t→0
∂
∂t
G(t, x)
виконується в розумiннi збiжностi у просторi Φν
β,γ1
, тобто (див. [16]):
1) ∀α ∈ Z+ D2α
x Ψ∆t ⇒ D2α
x
(
∂
∂t
G(t, ·)
)
, ∆t → 0, рiвномiрно вiдносно x на кожному
вiдрiзку [a, b] ⊂ [0,+∞);
2) ∀p ∈ Z+ ∃c = c(p) > 0: ‖Ψ∆t‖p ≤ c, де стала c > 0 не залежить вiд ∆t.
Функцiя G(t, x) диференцiйовна по t у звичайному розумiннi, тому внаслiдок теореми
про скiнченнi прирости маємо Ψ∆t(x) = ∂G(t + θ∆t, x)/∂t, 0 < θ < 1; для зручностi далi
вважатимемо, що 0 < t < 1. Отже,
D2α
x Ψ∆t(x) = −cν
∞∫
0
a(σ)Q(t+ θ∆t, σ)D2α
x jν(σx)σ2ν+1dσ, a(σ) =
p∑
i=1
ai(σ).
Крiм того,
D2α
x
(
∂
∂t
G(t, x)
)
= −cν
∞∫
0
a(σ)Q(t, σ)D2α
x jν(σx)σ2ν+1dσ.
Врахувавши нерiвностi |D2α
x jν(σx)| ≤ bνσ
2α, x ∈ R, σ ≥ 0, а також умови, якi задовольняють
функцiї-символи ai, i ∈ {1, . . . , p}, знайдемо∣∣∣D2α
x
(
Ψ∆t(x)− ∂
∂t
G(t, x)
) ∣∣∣ ≤ c ∞∫
0
a(σ)e−ta(σ)|e−θ∆ta(σ) − 1|σ2ν+2α+1dσ ≤
≤ c1
∞∫
0
a2(σ)e−ta(σ)σ2ν+2α+1dσ · |∆t| ≤ c2|∆t|, α ∈ Z+,
сталi c, c1, c2 > 0 не залежать вiд ∆t. Звiдси вже випливає виконання умови 1.
Доведемо, що умова 2 також виконується. Для цього скористаємося нерiвностями∣∣∣Dα
x
(
∂
∂t
G(t, x)
) ∣∣∣ ≤ cα ∞∑
r=0
µ̃r(t+ rT )β̃−γp/γ1((t+ rt1)β̃0 + |x|)−(ω0+α), (11)
(t, x) ∈ Ω, α ∈ Z+, 0 < t < 1,
доведення яких проводиться за схемою доведення нерiвностей (10). Врахувавши (11), для
досить малих значень параметра ∆t таких, що t+ θ∆t ≥ t/2, отримаємо нерiвностi
|D2α
x Ψ∆t(x)| ≤ cαt−γp/γ1
∞∑
r=0
µ̃r(r + 1)
((t/2)β̃0 + |x|)ω0+2α
≤
c̃α|x|
−(ω0+2α), |x| ≥ 1,
˜̃cα, |x| < 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI . . . 347
де сталi c̃α, ˜̃cα > 0 залежать вiд t, але не залежать вiд ∆t. Тодi для довiльного фiксованого
p ∈ Z+ маємо
sup
x∈[0,∞)
{
p∑
α=0
(Λ(x))ω0+2α|D2α
x Ψ∆t(x)|
}
≤ cp,
де cp = c(p, t) > 0. Отже, ∀p ∈ Z+ ∃cp > 0: ‖Ψ∆t‖p ≤ cp, причому стала cp > 0 не залежить
вiд ∆t. Випадок t ≥ 1 розглядається аналогiчно.
Лему доведено.
Оскiльки G(t, ·) належитъ Φν
β,γ1
, то для довiльної узагальненої функцiї f ∈ (Φν
β,γ1
)′ має
сенс формула f ∗G(t, ·) (див. п. 1).
Наслiдок 1. Правильною є формула
∂
∂t
(f ∗G(t, ·)) = f ∗ ∂
∂t
G(t, ·), t ∈ (0, T ].
Доведення. Згiдно з означенням згортки узагальненої функцiї з основною маємо
f ∗G(t, x) = 〈fξ, T ξxG(t, x)〉 = 〈fξ, T xξ G(t, ξ)〉.
Тодi
∂
∂t
(f ∗G(t, x)) = lim
∆t→0
1
∆t
[f ∗G(t+ ∆t, x)− f ∗G(t, x)] =
= lim
∆t→0
〈
fξ,
1
∆t
[T ξxG(t+ ∆t, x)− T ξxG(t, x)]
〉
.
За лемою 1 граничне спiввiдношення
1
∆t
[T ξxG(t+ ∆t, x)− T ξxG(t, x)] −→
∆t→0
∂
∂t
T ξxG(t, x)
виконується в сенсi збiжностi за топологiєю простору Φν
β,γ1
, тому
∂
∂t
(f ∗G(t, x)) =
〈
fξ, lim
∆t→0
1
∆t
[T ξxG(t+ ∆t, x)− T ξxG(t, x)]
〉
=
=
〈
fξ,
∂
∂t
T ξxG(t, x)
〉
=
〈
fξ, T
ξ
x
∂
∂t
G(t, x)
〉
= f ∗ ∂
∂t
G(t, x),
що й потрiбно було довести.
Лема 2. У просторi (Φν
β,γ1
)′ справджується граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
−
m∑
l=1
µl lim
t→tl
G(t, ·) = δ (12)
(тут δ — дельта-функцiя Дiрака).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
348 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
Доведення. Оскiльки G(t, ·) належить Φν
β,γ1
при кожному t > 0, то Q(t, ·) = F−1
Bν
[G(t, ·)] ∈
∈ θM,ρ1 при кожному t > 0. Скориставшись властивiстю неперервностi перетворення Бесселя
(прямого та оберненого) та функцiї G(t, ·) як абстрактної функцiї параметра t iз значеннями у
просторi Φν
β,γ1
, спiввiдношення (12) замiнимо еквiвалентним граничним спiввiдношенням
µ lim
t→+0
F−1
Bν
[G(t, ·)]−
m∑
l=1
µl lim
t→tl
F−1
Bν
[G(t, ·)] = F−1
Bν
[δ] (13)
у просторi θ′M,ρ1
. Врахувавши зображення функцiї G, спiввiдношення (13) запишемо у виглядi
µ lim
t→+0
Q(t, ·)−
m∑
l=1
µl lim
t→tl
Q(t, ·) = 1. (14)
Для доведення (14) вiзьмемо довiльну функцiю ψ ∈ θM,ρ1 i на пiдставi теореми про гранич-
ний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега знайдемо
µ lim
t→+0
〈Q(t, ·), ψ〉 −
m∑
l=1
µl lim
t→tl
〈Q(t, ·), ψ〉 =
= µ lim
t→+0
∞∫
0
Q(t, σ)ψ(σ)σ2ν+1dσ −
m∑
l=1
µl lim
t→tl
∞∫
0
Q(t, σ)ψ(σ)σ2ν+1dσ =
=
∞∫
0
[
µQ(0, σ)−
m∑
l=1
µlQ(tl, σ)
]
ψ(σ)σ2ν+1dσ =
=
∞∫
0
µ
µ−
∑m
k=1
µk exp
{
−tk
∑p
i=1
ai(σ)
} −
−
m∑
l=1
µl
exp
{
−tl
∑p
i=1
ai(σ)
}
µ−
∑m
k=1
µk exp
{
−tk
∑p
i=1
ai(σ)
}
×
×ψ(σ)σ2ν+1dσ =
∞∫
0
ψ(σ)σ2ν+1dσ = 〈1, ψ〉.
Звiдси вже дiстаємо, що спiввiдношення (14) виконується у просторi θM,ρ1 , а отже, правильним
є спiввiдношення (12).
Лему доведено.
Нехай f належить (Φν
β,γ1
)′. Якщо f ∗ ϕ ∈ Φν
β,γ1
∀ϕ ∈ Φν
β,γ1
i iз спiввiдношення ϕn → 0 при
n→∞ за топологiєю простору Φν
β,γ1
випливає, що f ∗ϕn → 0 при n→∞ за топологiєю про-
стору Φν
β,γ1
, то функцiонал f називається згортувачем у просторi Φν
β,γ1
. Зауважимо, шо оскiльки
Φν
β,γ1
— досконалий простiр iз диференцiйовною операцiєю узагальненого зсуву аргументу, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI . . . 349
кожний фiнiтний функцiонал є згортувачем у просторi Φν
β,γ1
[20, с. 173]. Символом (Φν
β,γ1,∗)
′
позначатимемо клас узагальнених функцiй з (Φν
β,γ1
)′, якi є згортувачами у просторi Φν
β,γ1
.
Наслiдок 2. Нехай ω(t, x) = f ∗G(t, x), f ∈ (Φν
β,γ1,∗)
′, (t, x) ∈ Ω. Тодi у просторi (Φν
β,γ1
)′
справджується граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
ω(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
ω(t, ·) = f. (15)
Доведення. Оскiльки f ∗G(t, x) = 〈fξ, T ξxG(t, x)〉, то з умови f ∈ (Φν
β,γ1,∗)
′ та властивостi
неперервностi G(t, ·) як абстрактної функцiї параметра t ∈ (0, T ] iз значеннями у просторi
Φν
β,γ1
випливає неперервнiсть ω(t, ·) як абстрактної функцiї параметра t ∈ (0, T ] iз значеннями
у просторi Φν
β,γ1
. Тодi, врахувавши властивiсть неперервностi перетворення F−1
Bν
та формулу
(див. [14])
F−1
Bν
[f ∗G] = F−1
Bν
[f ] · F−1
Bν
[G] = F−1
Bν
[f ] ·Q(t, ·),
яка правильна для довiльної узагальненої функцiї f з класу (Φν
β,γ1,∗)
′, спiввiдношення (15)
запишемо в еквiвалентному виглядi
µ lim
t→+0
F−1
Bν
[ω(t, ·)]−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
F−1
Bν
[ω(t, ·)] =
= F−1
Bν
[f ](µ lim
t→+0
Q(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
Q(t, ·)) = F−1
Bν
[f ]
(вказанi спiввiдношення розглядаються у просторi θ′M,ρ1
). Врахувавши (14), прийдемо до (15).
Твердження доведено.
Функцiя G є розв’язком рiвняння (2). Справдi,
∂
∂t
G(t, x) =
∂
∂t
FBν [Q(t, σ)] = FBν
[
∂
∂t
Q(t, σ)
]
.
З iншого боку,
p∑
i=1
AiG(t, x) = FBν
[
p∑
i=1
ai(σ)F−1
Bν
[G(t, x)]
]
=
= FBν
[
p∑
i=1
ai(σ)Q(t, σ)
]
= −FBν
[
∂
∂t
Q(t, σ)
]
.
Звiдси випливає, що G задовольняє рiвняння (2).
Зауваження 1. Далi функцiю G називатимемо фундаментальним розв’язком m-точкової
задачi для рiвняння (2).
3. Коректна розв’язнiсть m-точкової задачi. З наслiдку 2 випливає, що для рiвняння (2)
m-точкову задачу можна сформулювати так. Розглянемо задачу про вiдшукання розв’язку рiв-
няння (2), який задовольняє умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
350 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
µ lim
t→+0
u(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
u(t, ·) = f, (16)
де f належить (Φν
β,γ1,∗)
′, границi в (16) розглядаються у просторi (Φν
β,γ1
)′, параметри µ, µ1, . . .
. . . , µm, t1, . . . , tm задовольняють тi ж умови, що i у випадку задачi (2), (3). Правильним є
наступне твердження.
Теорема . Задача (2), (3) коректно розв’язна. Розв’язок зображується формулою u(t, x) =
= f ∗G(t, x), (t, x) ∈ Ω, деG — фундаментальний розв’язокm-точкової задачi для рiвняння (2),
при цьому u(t, ·) належить Φν
β,γ1
при кожному t ∈ (0, T ].
Доведення. Насамперед переконаємося в тому, що функцiя u(t, x) є розв’язком рiвняння (2).
Справдi (див. наслiдок 1),
∂u(t, x)
∂t
=
∂
∂t
(f ∗G(t, x)) = f ∗ ∂
∂t
G(t, x),
p∑
i=1
Aiu(t, x) = FBν
[
p∑
i=1
ai(σ)F−1
Bν
[f ∗G(t, x)](σ)
]
(x).
Оскiльки f — згортувач у просторi Φν
β,γ1
, то
F−1
Bν
[f ∗G] = F−1
Bν
[f ] · F−1
Bν
[G] = F−1
Bν
[f ] ·Q.
Отже,
p∑
i=1
Aiu(t, x) = FBν
[
p∑
i=1
ai(σ)Q(t, σ)F−1
Bν
[f ](σ)
]
=
= −FBν
[
∂
∂t
Q(t, σ)F−1
Bν
[f ]
]
= −FBν
[
F−1
Bν
[
∂
∂t
G
]
· F−1
Bν
[f ]
]
=
= −FBν
[
F−1
Bν
[
f ∗ ∂G
∂t
]]
= −f ∗ ∂G(t, x)
∂t
.
Звiдси дiстаємо, що функцiя u(t, x) задовольняє рiвняння (2). З наслiдку 2 випливає, що
u задовольняє умову (16) у вказаному сенсi. Зазначимо також, що u неперервно залежить вiд
функцiї f ∈ (Φν
β,γ1,∗)
′, оскiльки операцiя згортки має властивiсть неперервностi.
Залишилося переконатися в тому, що задача (2), (16) має єдиний розв’язок. Для цього
розглянемо задачу Кошi
∂v
∂t
−
p∑
i=1
A∗i v = 0, (t, x) ∈ [0, t0)× R ≡ Ω′, 0 ≤ t < t0 ≤ T, (17)
v(t, ·)|t=t0 = ψ, ψ ∈ (Φν
β,γ1,∗)
′, (18)
де A∗i = Ai — звуження спряженого оператора до оператора Ai на простiр Φν
β,γ1
⊂ (Φν
β,γ1
)′,
i ∈ {1, . . . , p}. Умову (18) розумiємо в слабкому сенсi. Задача Кошi (17), (18) є коректно
розв’язною; при цьому v(t, ·) належить Φν
β,γ1
при кожному t ∈ [0, t0) (див. [14]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI . . . 351
Нехай Qtt0 : (Φν
β,γ1,∗)
′ → Φν
β,γ1
— оператор, який зiставляє функцiоналу ψ ∈ (Φν
β,γ1,∗)
′ розв’я-
зок задачi (17), (18). Оператор Qtt0 є лiнiйним i неперервним, вiн визначений для довiльних t i
t0 таких, що 0 ≤ t < t0 ≤ T ; при цьому
dQtt0ψ
dt
−
p∑
i=1
A∗iψ = 0, lim
t→t0
Qtt0ψ = ψ
(границя розглядається у просторi (Φν
β,γ1
)′).
Далi розв’язок u(t, x) задачi (2), (16) розумiтимемо як регулярний функцiонал з простору
(Φν
β,γ1,∗)
′ ⊃ Φν
β,γ1
. Доведемо, що задача (2), (16) має єдиний розв’язок у просторi (Φν
β,γ1,∗)
′.
Для цього досить довести, що єдиним розв’язком рiвняння при нульовiй граничнiй функцiї
може бути лише функцiонал u(t, x) ≡ 0. Застосуємо функцiонал u(t, x) до функцiї Qtt0g ∈
∈ Φν
β,γ1
∈ (Φν
β,γ1,∗)
′, де g — довiльно фiксований елемент простору (Φν
β,γ1,∗)
′, 0 < t < t0 ≤ T.
Диференцiюючи по t i використовуючи рiвняння (2), (17), знаходимо
∂
∂t
〈u(t, ·), Qtt0g〉 =
〈∂u
∂t
,Qtt0g
〉
+
〈
u,
∂
∂t
Qtt0g
〉
=
= −
〈 p∑
i=1
Aiu,Q
t
t0g
〉
+
〈
u,
p∑
i=1
A∗iQ
t
t0g
〉
=
= −
〈 p∑
i=1
Aiu,Q
t
t0g
〉
+
〈 p∑
i=1
Aiu,Q
t
t0g
〉
= 0,
g ∈ (Φν
β,γ1,∗)
′, 0 < t < t0 ≤ T.
Звiдси випливає, що 〈u(t, ·), Qtt0g〉 є сталою величиною. Iз властивостей абстрактних функцiй
випливає спiввiдношення limt→t0〈u(t, ·), Qtt0g〉 = 〈u(t0, ·), g〉 = const ≡ c у довiльнiй точцi
t0 ∈ (0, T ]. Отже, якщо в (16) f = 0, то
µ lim
t→+0
〈u(t, ·), g〉 −
m∑
k=1
µk lim
t→tk
〈u(t, ·), g〉 = c
(
µ−
m∑
k=1
µk
)
= 0,
тобто c = 0. Таким чином, 〈u(t0, ·), g〉 = 0 для довiльного елемента g ∈ (Φν
β,γ1,∗)
′ ⊃ Φν
β,γ1
,
тобто u(t0, x) — нульовий функцiонал на (Φν
β,γ1,∗)
′. Оскiльки t0 ∈ (0, T ] i t0 вибрано довiльним
чином, то u(t, ·) ≡ 0 для всiх t ∈ (0, T ].
Теорему доведено.
Зауваження 2. Функцiя G(t, ·) — фундаментальний розв’язок m-точкової задачi (2), (16),
як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями у просторi Φν
β,γ1
, є неперервною функцiєю
цього параметра (див. лему 1). Звiдси та з означення згортувача у просторi Φν
β,γ1
випливає, що
граничнi спiввiдношення
u(t, ·) = f ∗G(t, ·)−→
t→ti
f ∗G(ti, ·) = u(ti, ·), ti ∈ (0, T ], i ∈ {1, . . . ,m},
справджуються у просторi Φν
β,γ1
, оскiльки G(t, ·)→ G(ti, ·) при t→ ti за топологiєю простору
Φν
β,γ1
. Зокрема, звiдси дiстаємо, що u(t, ·) → u(ti, ·) при t → ti, ti ∈ (0, T ], i ∈ {1, . . . ,m},
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
352 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, Р. I. ПЕТРИШИН
рiвномiрно на довiльному вiдрiзку [a, b] ⊂ R. Вказану збiжнiсть у спiввiдношеннi (16) значно
погiршує перший доданок; це пояснюється тим, що для функцiїG(t, ·) точка t = 0 є особливою,
при цьому G(t, ·) →
(
µ−
∑m
k=1
µk
)−1
δ при t →+0 у просторi (Φν
β,γ1
)′. При доведеннi цiєї
властивостi використовується рiвнiсть
∞∫
0
G(t, x)x2ν+1dx =
(
µ−
m∑
k=1
µk
)−1
, t ∈ (0, T ],
яка випливає з формули
Q(t, σ) =
∞∫
0
G(t, x)jν(σx)x2ν+1dx
при σ = 0, оскiльки jν(0) = 1, a1(0) = a2(0) = . . . = ap(0) = 0. Граничне спiввiдношення
u(t, ·) = f ∗G(t, ·) −→
t→+0
f ∗
(
µ−
m∑
k=1
µk
)−1
δ =
(
µ−
m∑
k=1
µk
)−1
f
справджується у просторi (Φν
β,γ1
)′. Однак за певних обмежень на граничну узагальнену функ-
цiю f можна отримати локальне покращення збiжностi згортки f ∗G(t, ·) при t→ +0, а саме,
якщо f збiгається на вiдкритiй множинiQ ⊂ R з функцiєю g, яка є мультиплiкатором у просторi
Φν
β,γ1
(тобто f на Q збiгається з гладкою функцiєю), то u(t, x) → g(x) при t → +0 у кожнiй
точцi довiльного вiдрiзка [a, b] ⊂ Q. Звiдси вже випливає, що за вказаних обмежень граничне
спiввiдношення
µ lim
t→+0
u(t, x)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
u(t, x) = g(x)
справджується у кожнiй точцi вiдрiзка [a, b] ⊂ Q.
1. Нахушев А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями //
Дифференц. уравнения. – 1985. – 21, № 1. – С. 92 – 101.
2. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и
его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 1. –
С. 77 – 81.
3. Майков А. Р., Поезд А. Д., Якунин С. А. Экономический метод вычисления нестационарных нелокальных по
времени условий излучения для волновых систем // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1990. – 30,
№ 8. – С. 1267 – 1271.
4. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
5. Белавин И. А., Капица С. П., Курдюмов С. П. Математическая модель глобальных демографических процессов
с учетом пространственного распределения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1988. – 38, № 6. –
С. 885 – 902.
6. Bouzinab A., Arino O. On the existence and uniqueness for an age-dependent population model with nonlinear growth
// Facta Univ. Ser. Math. Inf. – 1993. – 8. – P. 55 – 68.
7. Cannon I. R., J. van der Hoek. Diffusion subject to the specification of mass // J. Math. Anal. and Appl. – 1986. –
115, № 2. – P. 517 – 529.
8. Song J. Some developments in mathematical demography and their application to the People’s Republic of China //
Theor. Pop. Biol. – 1982. – 22, № 3. – P. 382 – 391.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЇ БАГАТОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧI . . . 353
9. Дезин А. А. Операторы с первой производной по „времени” и нелокальные граничные условия // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1967. – 31, № 1. – С. 61 – 86.
10. Мамян А. Х. Общие граничные задачи в слое // Докл. АН СССР. – 1982. – 267, № 2. – С. 292 – 296.
11. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с.
12. Городецький В. В., Ленюк О. М. Двоточкова задача для одного класу еволюцiйних рiвнянь // Мат. студ. – 2007. –
28, № 2. – С. 175 – 182.
13. Городецький В. В., Спiжавка Д. I. Багатоточкова задача для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими опе-
раторами // Доп. НАН України. – 2009. – № 12. – С. 7 – 12.
14. Мартинюк О. В., Городецький В. В. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь з необмеженими за
часом коефiцiєнтами // Доп. НАН України. – 2012. – № 2. – С. 19 – 23.
15. Мартинюк О. В. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь у злiченно-нормованих просторах нескiн-
ченно диференцiйовних функцiй. I // Математичне та комп’ютерне моделювання. Фiз.-мат. науки: зб. наук.
праць. – Кам’янець-Подiльський: Кам’янець-Подiл. нац. ун-т, 2011. – Вип. 5. – С. 179 – 192.
16. Мартинюк О. В. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь у злiченно-нормованих просторах нескiн-
ченно диференцiйовних функцiй. II // Математичне та комп’ютерне моделювання. Фiз.-мат. науки: зб. наук.
праць. – Кам’янець-Подiльський: Кам’янець-Подiл. нац. ун-т, 2012. – Вип. 6. – С. 162 – 176.
17. Левитан Б. И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. – 1951. – 6,
вып. 2. – С. 102 – 143.
18. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциаль-
ным оператором Бесселя // Мат. сб. – 1955. – 36, № 2. – С. 299 – 310.
19. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике. – М.: Наука, 1977. – 832 с.
20. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.
Одержано 05.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2423 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/62/8bf560255264c1c3d217bcd0bc186462.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24232020-03-18T19:15:16Z Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations Коректна розв'язність нелокальної багатоточкової за часом задачі для одного класу еволюційних рівнянь Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. We study properties of a fundamental solution of a nonlocal multipoint (with respect to time) problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators constructed on the basis of constant symbols. The correct solvability of this problem in the class of generalized functions of distribution type is proved. Исследованы свойства фундаментального решения нелокальной многоточечной по времени задачи для эволюционных уравнений с псевдобесселевыми операторами, построенными по постоянным символам. Доказана корректная разрешимость такой задачи в классе обобщенных функций типа распределений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2423 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 3 (2013); 339-353 Український математичний журнал; Том 65 № 3 (2013); 339-353 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2423/1613 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2423/1614 Copyright (c) 2013 Horodets’kyi V. V.; Martynyuk O. V.; Petryshyn R. I. |
| spellingShingle | Horodets’kyi, V. V. Martynyuk, O. V. Petryshyn, R. I. Городецький, В. В. Мартинюк, О. В. Петришин, Р. І. Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations |
| title | Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations |
| title_alt | Коректна розв'язність нелокальної багатоточкової за часом задачі для одного класу еволюційних рівнянь |
| title_full | Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations |
| title_fullStr | Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations |
| title_full_unstemmed | Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations |
| title_short | Correct Solvability of a Nonlocal Multipoint (in Time) Problem for One Class of Evolutionary Equations |
| title_sort | correct solvability of a nonlocal multipoint (in time) problem for one class of evolutionary equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2423 |
| work_keys_str_mv | AT horodetskyivv correctsolvabilityofanonlocalmultipointintimeproblemforoneclassofevolutionaryequations AT martynyukov correctsolvabilityofanonlocalmultipointintimeproblemforoneclassofevolutionaryequations AT petryshynri correctsolvabilityofanonlocalmultipointintimeproblemforoneclassofevolutionaryequations AT gorodecʹkijvv correctsolvabilityofanonlocalmultipointintimeproblemforoneclassofevolutionaryequations AT martinûkov correctsolvabilityofanonlocalmultipointintimeproblemforoneclassofevolutionaryequations AT petrišinrí correctsolvabilityofanonlocalmultipointintimeproblemforoneclassofevolutionaryequations AT horodetskyivv korektnarozv039âznístʹnelokalʹnoíbagatotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasuevolûcíjnihrívnânʹ AT martynyukov korektnarozv039âznístʹnelokalʹnoíbagatotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasuevolûcíjnihrívnânʹ AT petryshynri korektnarozv039âznístʹnelokalʹnoíbagatotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasuevolûcíjnihrívnânʹ AT gorodecʹkijvv korektnarozv039âznístʹnelokalʹnoíbagatotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasuevolûcíjnihrívnânʹ AT martinûkov korektnarozv039âznístʹnelokalʹnoíbagatotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasuevolûcíjnihrívnânʹ AT petrišinrí korektnarozv039âznístʹnelokalʹnoíbagatotočkovoízačasomzadačídlâodnogoklasuevolûcíjnihrívnânʹ |