Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities
Existence conditions and asymptotic (as $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty)$) representations are obtained for one class of monotone solutions of an $n$th-order differential equation whose right-hand side contains a sum of terms with regularly varying nonlinearities.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2424 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508310558474240 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Klopot, A. M. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Klopot, A. M. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:16Z |
| description | Existence conditions and asymptotic (as $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty)$) representations are obtained for one class of monotone solutions
of an $n$th-order differential equation whose right-hand side contains a sum of terms with regularly varying nonlinearities. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.44
В. М. Евтухов, А. М. Клопот (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВИЛЬНО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Existence conditions and asymptotic (as t ↑ ω (ω ≤ +∞)) representations are obtained for one class of monotone solutions
of an nth-order differential equation whose right-hand side contains a sum of terms with regularly varying nonlinearities.
Встановлено умови iснування та асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення одного класу монотонних розв’яз-
кiв диференцiального рiвняння n-го порядку, що мiстить у правiй частинi суму доданкiв iз правильно змiнними
нелiнiйностями.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y(n) =
m∑
k=1
αkpk(t)
n−1∏
j=0
ϕkj(y
(j)), (1.1)
где n ≥ 2, αk ∈ {−1; 1}, pk : [a, ω[−→ ]0,+∞[, k = 1,m,— непрерывные функции, ϕkj: 4Yj −→
−→ ] 0,+∞ [, k = 1,m; j = 0, n− 1, — непрерывные и правильно меняющиеся при y(j) −→ Yj
функции порядков σkj , −∞ < a < ω ≤ +∞1, 4Yj — односторонняя окрестность Yj , Yj равно
либо 0, либо ±∞.
Согласно определению правильно меняющейся функции (см. [1, с. 9, 10], гл. 1, п. 1.1) имеют
место представления
ϕkj
(
y(j)
)
=
∣∣∣y(j)∣∣∣σkj Lkj (y(j)) , k = 1,m, j = 0, n− 1, (1.2)
где Lkj : ∆Yj −→]0,+∞[ — непрерывные и медленно меняющиеся при yj → Yj функции, т. е.
такие, для которых при любом λ > 0
lim
y(j)→Yj
y(j)∈∆Yj
Lkj
(
λy(j)
)
Lkj
(
y(j)
) = 1, k = 1,m, j = 0, n− 1. (1.3)
Кроме того, известно (см. [1, с. 10 – 15], гл. 1, п. 1.2), что предельные соотношения (1.3)
выполняются равномерно по λ на любом промежутке [c, d ] ⊂ ] 0,+∞ [ (свойство M1) и суще-
ствуют непрерывно дифференцируемые медленно меняющиеся при y(j) → Yj функции L0kj :
∆Yj −→]0,+∞[ (свойство M2) такие, что
lim
y(j)→Yj
y(j)∈∆Yj
Lkj
(
y(j)
)
L0kj
(
y(j)
) = 1 и lim
y(j)→Yj
y(j)∈∆Yj
y(j)L′0kj
(
y(j)
)
L0kj
(
y(j)
) = 0, k = 1,m, j = 0, n− 1.
(1.4)
В силу (1.2) и указанных свойств медленно меняющихся функций дифференциальное урав-
нение (1.1) является асимптотически близким при y(j) → Yj , j = 0, n− 1, к уравнению со
степенными нелинейностями
1 Считаем, что a > 1 при ω = +∞ и ω − 1 < a < ω при ω < +∞.
c© В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ, 2013
354 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 355
y(n) =
m∑
k=1
αkpk(t)
n−1∏
j=0
|y(j)|σkj .
В этом уравнении нелинейности |y(j)|σkj являются правильно меняющимися функциями как
при y(j) → 0, так и при y(j) → ±∞. Асимптотическое поведение решений этого уравнения
исследовано в работах [2 – 7].
В настоящей статье, отказываясь от предположения, что функции ϕkj(y
(j)), k = 1,m,
j = 0, n− 1, являются степенными, предполагаем, что они близки к степенным в окрестностях
точек Yj в смысле определения правильно меняющихся функций. При таких нелинейностях
асимптотика решений исследовалась (см. работы [8 – 18]) лишь для следующих трех частных
случаев уравнения (1.1):
y(n) = α0p(t)ϕ(y), y′′ = α0p(t)ϕ1(y)ϕ2(y
′), y′′ =
m∑
k=1
αkpk(t)ϕk0(y)ϕk1(y
′),
причем для двух последних из этих уравнений при более жестких, чем в (1.1), исходных
ограничениях на коэффициенты и нелинейности.
Решение y уравнения (1.1) будем называть Pω(Y1, . . . , Yn−1, λ0)-решением, где −∞ ≤ λ0 ≤
≤ +∞, если оно определено на промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетворяет условиям
y(j)(t) ∈ ∆Yj при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
y(j)(t) = Yj , j = 0, n− 1, (1.5)
lim
t↑ω
[
y(n−1)(t)
]2
y(n)(t)y(n−2)(t)
= λ0. (1.6)
Целью настоящей работы является установление необходимых и достаточных условий су-
ществования Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решений уравнения (1.1) в особых случаях, когда λ0 = 1 и
λ0 = ±∞, а также асимптотики при t ↑ ω таких решений и их производных до порядка n− 1
включительно.
Положим
πω(t) =
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞,
β = signπω(t). (1.7)
В силу результатов из [19] изучаемые решения уравнения (1.1) имеют следующие априор-
ные асимптотические свойства.
Лемма 1.1. Пусть y : [t0, ω[−→ ∆Y0 — произвольное Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решение урав-
нения (1.1). Тогда:
1) если λ0 = 1, то
y′(t)
y(t)
∼ y′′(t)
y′(t)
∼ . . . ∼ y(n)(t)
y(n−1)(t)
при t ↑ ω, lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ±∞; (1.8)
2) если λ0 = ±∞, то имеют место при t ↑ ω асимптотические соотношения
y(k−1)(t) ∼ [πω(t)]n−k
(n− k)!
y(n−1)(t), k = 1, . . . , n− 1, y(n)(t) = o
(
y(n−1)(t)
πω(t)
)
. (1.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
356 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
2. Формулировка основных результатов. Чтобы сформулировать установленные для
уравнения (1.1) теоремы, введем некоторые вспомогательные обозначения и одно определение.
Выберем числа bj ∈ ∆Yj , j = 0, n− 1, так, чтобы выполнялись неравенства
|bj | < 1 при Yj = 0, bj > 1 (bj < −1) при Yj = +∞ (Yj = −∞), (2.1)
и положим
∆Yj (bj) =
[bj , Yj [, если ∆Yj — левая окрестность Yj ,
]Yj , bj ], если ∆Yj — правая окрестность Yj ,
j = 0, n− 1. (2.2)
Из определения Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решения уравнения (1.1) ясно, что каждое такое ре-
шение и все его производные до порядка n включительно отличны от нуля на некотором
промежутке [t1, ω[⊂ [t0, ω[, причем на этом промежутке (j + 1)-я (j ∈ {0, . . . , n − 1}) произ-
водная данного решения положительна, если ∆Yj — левая окрестность Yj , и отрицательна — в
противном случае. Учитывая этот факт и выбор bj , вводим числа
ν0j = sign bj , ν1j =
1, если ∆Yj — левая окрестность Yj ,
−1, если ∆Yj — правая окрестность Yj ,
j = 0, n− 1, (2.3)
определяющие соответственно знаки j- и (j+ 1)-й производных Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решения.
При этом заметим, что для Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решения уравнения (1.1) выполняются условия
ν0jν1j < 0, если Yj = 0, ν0jν1j > 0, если Yj = ±∞, j = 0, n− 1. (2.4)
Далее, введем вспомогательные обозначения, положив
γk = 1−
n−1∑
j=0
σkj , µkn =
n−2∑
j=0
σkj(n− j − 1), k = 1,m,
Jk0(t) =
t∫
Ak0
pk(s) ds, Jk00(t) =
t∫
Ak00
Jk0(s) ds, k = 1,m,
Jkn(t) =
t∫
Akn
pk(s)|πω(s)|µkn
n−2∏
j=0
Lkj
(
ν0j |πω(s)|n−j−1
)
ds, k = 1,m,
где каждый из пределов интегрирования Akm, Akmm, m ∈ {0, 1}, выбирается равным точке
a0 ∈ [a, ω[ (справа от которой, т. е. при t ∈ [a0, ω[, подынтегральная функция непрерывна),
если при этом значении предела интегрирования соответствующий интеграл стремится к ±∞
при t ↑ ω, и равным ω, если при таком значении предела интегрирования он стремится к нулю
при t ↑ ω.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 357
Определение 2.1. Будем говорить, что медленно меняющаяся при z → Z0 функция L :
∆Z0 −→]0,+∞[, где Z0 равно либо нулю, либо ±∞ и ∆Z0 — односторонняя окрестность Z0,
удовлетворяет условию S0, если
L
(
νe[1+o(1)] ln |z|
)
= L(z)[1 + o(1)] при z → Z0 (z ∈ ∆Z0),
где ν = sign z.
Замечание 2.1. Если медленно меняющаяся при z → Z0 функция L : ∆Z0 −→ ]0,+∞[
удовлетворяет условию S0, то для любой медленно меняющейся при z → Z0 функции l:
∆Z0 −→ ]0,+∞[
L(zl(z)) = L(z)[1 + o(1)] при z → Z0 (z ∈ ∆Z0).
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из теоремы о представлении
(см. [1, с. 10], гл. 1, § 1.2) медленно меняющейся функции l и свойства M1 функции L.
Замечание 2.2 (см. [12]). Если медленно меняющаяся при z → Z0 функция L : ∆Z0 −→
−→ ]0,+∞[ удовлетворяет условию S0, а функция y : [t0, ω[−→ ∆Y0 непрерывно дифференци-
руема и такая, что
lim
t↑ω
y(t) = Y0,
y′(t)
y(t)
=
ξ′(t)
ξ(t)
[r + o(1)] при t ↑ ω,
где r — отличная от нуля вещественная постоянная, ξ — непрерывно дифференцируемая в
некоторой левой окрестности ω вещественная функция, для которой ξ′(t) 6= 0, то
L(y(t)) = L (ν|ξ(t)|r) [1 + o(1)] при t ↑ ω,
где ν = sign y(t) в левой окрестности ω.
Замечание 2.3. Если медленно меняющаяся при z → Z0 функция L : ∆Z0 −→]0,+∞[
удовлетворяет условию S0, а функция r : ∆Z0 ×K −→ R, где K — компакт в Rm, такова, что
lim
z→Z0
z∈∆Z0
r(z, v) = 0 равномерно по v ∈ K,
то
lim
z→Z0
z∈∆Z0
L
(
νe[1+r(z,v)] ln |z|
)
L(z)
= 1 равномерно по v ∈ K, где ν = sign z.
В самом деле, если бы это было не так, то существовали бы последовательность {vn} ∈ K
и последовательность {zn} ∈ ∆Z0 , сходящаяся к Z0, такие, что выполнялось бы неравенство
lim inf
n→+∞
∣∣∣∣∣L
(
νe[1+r(zn,vn)] ln |zn|
)
L(zn)
− 1
∣∣∣∣∣ > 0.
При этом ясно, что существует функция v : ∆Z0 −→ K такая, что v(zn) = vn. Для этой функ-
ции, очевидно, lim z→Z0
z∈∆Z0
r(z, v(z)) = 0 и поэтому
lim
z→Z0
z∈∆Z0
L
(
νe[1+r(z,v(z))] ln |z|
)
L(z)
= 1,
что противоречит приведенному выше неравенству.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
358 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
Теорема 2.1. Пусть для некоторого s ∈ {1, . . . ,m} выполняется неравенство γs 6= 0 и
существует непрерывная функция bs : [a, ω[−→ R \ {0} такая, что
lim
t↑ω
|πω(t)bs(t)| = +∞ и lim sup
t↑ω
ln pk(t)− ln ps(t)
βs
∫ t
a
bs(τ) dτ
< βs(γk − γs) (2.5)
при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s},
где βs = sign bs(t). Тогда для существования Pω (Y0, . . . , Yn−1, 1)-решений дифференциального
уравнения (1.1), для которых
y′(t)
y(t)
∼ bs(t) при t ↑ ω, (2.6)
необходимо, а если алгебраическое относительно ρ уравнение
(1 + ρ)n =
n−1∑
j=0
σsj(1 + ρ)j (2.7)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы
bs(t) ∼
ps(t)
γsJs0(t)
,
ps(t)
Js0(t)
∼ Js0(t)
Js00(t)
при t ↑ ω,
ν0j lim
t↑ω
|Js0(t)|1/γs = Yj , j = 0, n− 1,
(2.8)
выполнялись неравенства (2.4) и неравенства
αsν0n−1γsJs0(t) > 0, ν0jν0n−1 (γsJs0(t))
n−j−1 > 0, j = 0, n− 2, при t ∈ ]a, ω[.
(2.9)
Более того, для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптотические представ-
ления
y(j)(t) =
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)[1 + o(1)], j = 0, n− 2, (2.10)
|y(n−1)(t)|γs∏n−1
j=0
Lsj
((
γsJso0(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
) = αsν0n−1γsJs0(t)
∣∣∣∣γsJs00(t)Js00(t)
∣∣∣∣µsn [1 + o(1)], (2.11)
причем решений с такими представлениями существует l-параметрическое семейство, ес-
ли среди корней алгебраического уравнения (2.7) имеется l корней, действительные части
которых имеют знак, противоположный знаку αsν0n−1.
Замечание 2.4. Алгебраическое уравнение (2.7) заведомо не имеет корней с нулевой дей-
ствительной частью, если
∑n−2
j=0
|σsj | < |1− σsn−1|.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 359
Замечание 2.5. В силу второго из условий (2.8) и свойства M1 медленно меняющих-
ся функций в представлениях (2.10) и (2.11) отношение
γsJs00(t)
Js0(t)
может быть заменено на
γsJs0(t)
ps(t)
.
Замечание 2.6. Из второго условия в (2.8) также следует, что функции Js0, Js00 являются
(см. [1]) быстро меняющимися при t ↑ ω и имеет место соотношение
ln ps(t) ∼ ln |Js0(t)| при t ↑ ω.
Поэтому функция ps не может быть правильно меняющейся при t ↑ ω.
В теореме 2.1 асимптотические представления для Pω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решений уравне-
ния (1.1) даются в неявном виде. Частично данную проблему решает следующая теорема.
Теорема 2.2. Пусть выполняются условия теоремы 2.1 и медленно меняющиеся функции
Lsj , j = 0, n− 1, удовлетворяют условию S0. Тогда для каждого Pω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решения
со свойством (2.6) уравнения (1.1) имеют место при t ↑ ω асимптотические представления
y(j)(t) ∼ ν0n−1
(
γsJs0(t)
ps(t)
)n−j−1 ∣∣∣∣∣∣γsJs0(t)
∣∣∣∣γsJs0(t)ps(t)
∣∣∣∣µsn n−1∏
j=0
Lsj
(
ν0j |Js0(t)|1/γs
)∣∣∣∣∣∣
1/γs
, (2.12)
j = 0, n− 1.
Для Pω (Y1, . . . , yn−1,±∞)-решений уравнения (1.1) имеют место следующие утверждения.
Теорема 2.3. Пусть для некоторого s ∈ {1, . . . ,m} выполняются неравенство γs 6= 0,
условия
lim sup
t↑ω
ln pk(t)− ln ps(t)
β ln |πω(t)|
< β
n−2∑
j=0
(σsj − σkj)(n− j − 1) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}
(2.13)
и медленно меняющиеся при y(j) → Yj функции Lsj , j = 0, n− 2, удовлетворяют условию
S0. Тогда для существования Pω (Y0, . . . , Yn−1,±∞)-решений уравнения (1.1) необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись неравенства (2.4), неравенства
ν0jν0n−1π
n−j−1
ω (t) > 0, j = 0, n− 2, αsν0n−1γsJsn(t) > 0 (2.14)
в некоторой левой окрестности ω и условия
ν0j lim
t↑ω
|πω(t)|n−j−1 = Yj , j = 0, n− 2, ν0n−1 lim
t↑ω
|Jsn(t)|1/γs = Yn−1,
lim
t↑ω
πω(t)J ′sn(t)
Jsn(t)
= 0.
(2.15)
Более того, для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптотические представ-
ления
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
360 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
y(j−1)(t) ∼ [πω(t)]n−j
(n− j)!
y(n−1)(t)[1 + o(1)], j = 1, . . . , n− 1, (2.16)
|y(n−1)(t)|γs
Lsn−1(y(n−1)(t))
= αsν0n−1γs
n−2∏
j=0
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj Jsn(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω, (2.17)
причем таких решений в случае, когда ω = +∞, существует n-параметрическое семейство,
если Jsn(t) > 0 при t ∈ [a0, ω[, и (n − 1)-параметрическое семейство, если Jsn(t) < 0 при
t ∈ [a0, ω[, а в случае, когда ω < +∞ и Jsn(t) > 0 при t ∈ [a0, ω[, существует однопарамет-
рическое семейство таких решений.
Теорема 2.4. Пусть выполняются условия теоремы 2.3 и медленно меняющиеся при
y(n−1) → Yn−1 функции Lsn−1 удовлетворяют условию S0. Тогда для каждого Pω(Y0, . . . , Yn−1,
±∞)-решения уравнения (1.1) имеют место при t ↑ ω асимптотические представления (2.16) и
y(n−1)(t) =
= ν0n−1
∣∣∣∣∣∣γs
n−2∏
j=0
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj Jsn(t)Lsn−1
(
ν0n−1|Jsn(t)|1/γs
)∣∣∣∣∣∣
1/γs
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
(2.18)
3. Доказательства теорем. Доказательство теоремы 2.1. Необходимость. Пусть y :
[t0, ω[ −→ ∆Y0 — произвольное Pω (Y0, . . . , Yn−1, 1)-решение уравнения (1.1), для которо-
го имеет место асимптотическое соотношение (2.6). Тогда существует t1 ∈ [a, ω[ такое, что
y(j)(t) ∈ ∆Yj (bj), j = 0, n− 1, при t ∈ [t1, ω[, выполняются неравенства (2.4) и в силу лем-
мы 1.1, а также первого из условий (2.5)
y(k)(t)
y(k−1)(t)
∼ bs(t) при k = 1, n и ββs lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= +∞. (3.1)
Отсюда, в частности, следует, что
ln |y(k−1)(t)| ∼
t∫
a
bs(τ) dτ → ±∞, k = 1, n, при t ↑ ω. (3.2)
Учитывая эти асимптотические соотношения, представления (1.2) и условия
lim
y(j)→Yj
y(j)∈∆yj
lnLkj(y
(j))
ln |y(j)|
= 0, k = 1,m, j = 0, n− 1, (3.3)
которые выполняются в силу свойств медленно меняющихся функций (см. [1, с. 24], гл. 1,
п. 1.5), находим
lnϕkj
(
y(j)(t)
)
= σkj ln |y(j)(t)|+ lnLkj(y
(j)(t)) = [σkj + o(1)] ln |y(j)(t)| =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 361
= [σkj + o(1)]
t∫
a
bs(τ) dτ, k = 1,m, j = 0, n− 1, при t ↑ ω.
Поэтому для любого k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}
ln
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= ln
pk(t)
ps(t)
+
n−1∑
j=0
[
lnϕkj(y
j)(t)− lnϕsj(y
(j)(t)
]
=
= ln
pk(t)
ps(t)
+
t∫
a
bs(τ) dτ
n−1∑
j=0
[σkj − σsj + o(1)] =
=
∣∣∣∣∣∣
t∫
a
bs(τ) dτ
∣∣∣∣∣∣
ln pk(t)− ln ps(t)
βs
∫ t
a
bs(τ) dτ
+ βs(γs − γk) + o(1)
при t ↑ ω.
Поскольку выражение, стоящее в этом соотношении справа, в силу (3.2) и (2.5) стремится к
−∞ при t ↑ ω, то
lim
t↑ω
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= 0 при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}. (3.4)
Тогда из (1.1) следует, что для данного решения имеет место асимптотическое соотношение
y(n)(t) = αsps(t)[1 + o(1)]
n−1∏
j=0
ϕsj(y
(j)(t)) при t ↑ ω. (3.5)
Согласно (1.2) и свойству M2 медленно меняющихся функций существуют непрерывно
дифференцируемые правильно меняющиеся при y(j) → Yj функции ϕ0sj : ∆Yj −→]0,+∞[
порядков σsj , j = 0, n− 1, такие, что
ϕsj(y
(j)) ∼ ϕ0sj(y
(j)) при t ↑ ω, lim
y(j)→Yj
y(j)∈∆Yj
y(j)ϕ′0sj(y
(j))
ϕ0sj(y(j))
= σsj , j = 0, n− 1. (3.6)
В силу (3.6) и (3.1) y(k−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
′
=
=
y(k)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
1−
n−1∑
j=0
y(k−1)(t)y(j+1)(t)
y(k)(t)y(j)(t)
y(j)(t)ϕ′0sj(y
(j)(t))
ϕ0sj(y(j)(t))
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
362 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
=
y(k)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
[γs + o(1)], k = 1, . . . , n, при t ↑ ω. (3.7)
Отсюда при k = n следует, что (3.5) может быть представлено в виде y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
′
= αsγsps(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение на промежутке от t1 до t, получаем
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
= C + αsγsJs0(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω,
где C — некоторая вещественная постоянная.
В случае, когда в функции Js0 предел интегрирования As0 = a, Js0(t) → +∞ при t ↑ ω и
полученное соотношение представимо в виде
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
= αsγsJs0(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.8)
Покажем, что в случае As0 = ω, когда Js0(t)→ 0 при t ↑ ω, постоянная C = 0. Предположим
противное, т. е. что в этом случае C 6= 0. Тогда
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
= C + o(1) при t ↑ ω,
но это невозможно, так как
ln
∣∣∣∣∣∣∣
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
∣∣∣∣∣∣∣ =
t∫
a
bs(τ) dτ [γs + o(1)]→ ±∞ при t ↑ ω.
Значит, при As0 = ω также имеет место представление (3.8).
Аналогично из (3.8) с использованием (3.7) при k = n− 1 получим
y(n−2)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
= αsγ
2
sJs00(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.9)
Из (3.5), (3.8) и (3.9) c учетом (3.6) имеем
y(n)(t)
y(n−1)(t)
=
ps(t)
γsJs0(t)
[1 + o(1)],
y(n−1)(t)
y(n−2)(t)
=
Js0(t)
γsJs00(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Поэтому в силу (1.8) и (2.6) выполняются условия (2.8) и согласно тождествам
y(j)(t) =
y(j)(t)
y(j+1)(t)
. . .
y(n−2)(t)
y(n−1)(t)
y(n−1)(t), j = 0, n− 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 363
имеют место асимптотические представления (2.10). Кроме того, из (3.8) и (2.10) следует, что
выполняются неравенства (2.9).
Используя теперь приведенные выше тождества, представления (2.10) и свойство M1 мед-
ленно меняющихся при y(j) → Yj функций L0sj(y
(j)) =
ϕ0sj(y
(j))
|y(j)|σsj
, j = 0, n− 1, находим
ϕ0sj(y
(j)(t)) = |y(j)(t)|σsjL0sj(y
(j)(t)) ∼
∼
∣∣∣∣∣
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
∣∣∣∣∣
σsj
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)[1 + o(1)]
)
∼
∼
∣∣∣∣γsJs00(t)Js0(t)
∣∣∣∣(n−j−1)σsj ∣∣∣y(n−1)(t)∣∣∣σsj L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
)
,
j = 0, n− 1, при t ↑ ω.
В силу этих соотношений из (3.8) получаем представление
|yn−1(t)|γs
∣∣∣∣ Js0(t)
γsJs00(t)
∣∣∣∣µsn∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
) = αsν0n−1γsJs0(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω,
из которого с учетом первых из соотношений (1.4) следует представление (2.11).
Достаточность. Пусть выполняются условия (2.4), (2.6), (2.8), (2.9) и алгебраическое
уравнение (2.7) не имеет корней с нулевой действительной частью. Тогда в силу условий (2.5),
(2.8) и (2.9) также выполняются неравенства
lim sup
t↑ω
γs [ln pk(t)− ln ps(t)]
αsν0n−1 ln |Js0(t)|
< αsν0n−1(γk − γs) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}. (3.10)
Покажем, что в данном случае существуют Pω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решения уравнения (1.1),
допускающие при t ↑ ω асимптотические представления (2.10), (2.11), и выясним вопрос о
количестве таких решений.
Сначала рассмотрим соотношение
|Y |γs∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y
) = Qs(t)(1 + vn), (3.11)
где L0sj : ∆Yj (bj) −→]0,+∞[, j = 0, n− 1, — непрерывно дифференцируемые медленно меня-
ющиеся при y(j) → Yj функции, удовлетворяющие условиям (1.4) (при k = s), существующие
в силу свойства M2 медленно меняющихся функций, и
Qs(t) = αsν0n−1γsJs0(t)
∣∣∣∣γsJs00(t)Js0(t)
∣∣∣∣µsn .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
364 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
Положим
d =
1
2|γs|
, Rd = {z ∈ R : |z| ≤ d}, R1/2 =
{
vn ∈ R : |vn| ≤
1
2
}
и покажем, что соотношение (3.11) однозначно определяет заданную на множестве [t0, ω[×R1/2,
t0 ∈ [a, ω[, непрерывно дифференцируемую неявную функцию Y = Y (t, vn) вида
Y (t, vn) = ν0n−1 |Js0(t)|1/γs+z(t,vn) , (3.12)
где функция z такова, что
|z(t, vn)| ≤ d при (t, vn) ∈ [t0, ω[×R1/2,
lim
t↑ω
z(t, vn) = 0 равномерно по vn ∈ R1/2.
(3.13)
Полагая в (3.11)
Y = ν0n−1 |Js0(t)|1/γs+z (3.14)
и затем логарифмируя полученное при этом соотношение, после элементарных преобразований
находим
z = a(t) + b(t, vn) + Z(t, z), (3.15)
где
a(t) =
1
γs
(
lnQs(t)
ln |Js0(t)|
− 1
)
, b(t, vn) =
ln(1 + vn)
γs ln |Js0(t)|
,
Z(t, z) =
1
γs ln |Js0(t)|
n−1∑
j=0
lnL0s
(
ν0n−1
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
|Js0(t)|1/γs+z
)
.
В силу последних из неравенств (2.9), а также второго и третьего из условий (2.8)
ν0n−1 lim
t↑ω
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
|Js0(t)|1/γs+z = ν0j lim
t↑ω
∣∣∣∣γsJs00(t)Js0(t)
∣∣∣∣n−j−1 |Js0(t)|1/γs+z =
= ν0j lim
t↑ω
exp
(
ln |Js0(t)|
[
1
γs
+ z + (n− j − 1)
(
ln |γsJs00(t)|
ln |Js0(t)|
− 1
)])
=
= ν0j lim
t↑ω
exp
(
ln |Js0(t)|
[
1
γs
+ z + o(1)
])
= ν0j lim
t↑ω
|Js0(t)|1/γs = Yj ,
j = 0, n− 1, при |z| ≤ d.
Поэтому правая часть в (3.15) непрерывно дифференцируема на множестве [t1, ω[×R1/2 × Rd,
где t1 — некоторое число из промежутка [a, ω[.
Кроме того, в силу второго и третьего из условий (2.8), а также вторых из условий (1.4) и
условий (3.3) (при k = s) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 365
lim
t↑ω
a(t) = 0, lim
t↑ω
b(t, vn) = 0 равномерно по vn ∈ R1/2, (3.16)
lim
t↑ω
Z(t, z) = 0, lim
t↑ω
∂Z(t, z)
∂z
= 0 равномерно по z ∈ Rd. (3.17)
Согласно этим условиям существует число t2 ∈ [t1, ω[ такое, что на множестве [t2, ω[×R1/2×Rd
выполняются неравенство
|a(t) + b(t, v1, v2) + Z(t, z)| ≤ d (3.18)
и условие Липшица
|Z(t, z1)− Z(t, z2)| ≤
1
2
|z1 − z2| при t ∈ [t2, ω[ и z1, z2 ∈ Rd. (3.19)
Подобрав таким образом число t2, обозначим через B банахово пространство непрерывных
и ограниченных на множестве Ω = [t2, ω[×R1/2 функций z : Ω −→ R с нормой
‖z‖ = sup
{
|z(t, vn)| : (t, vn) ∈ Ω
}
.
Выделим из него подпространство B0 тех функций из B, для которых ‖z‖ ≤ d, и рассмотрим
на B0, выбрав предварительно произвольным образом число ν ∈ (0, 1), оператор
Φ(z)(t, vn) = z(t, vn)− ν [z(t, vn)− a(t)− b(t, vn)− Z(t, z(t, vn)] . (3.20)
Для любого z ∈ B0 в силу условия (3.18) имеем
|Φ(z)(t, vn)| ≤ (1− ν)|z(t, vn)|+ νd ≤ d при (t, vn) ∈ Ω.
Следовательно, ‖Φ(z)‖ ≤ d, т. е. Φ(B0) ⊂ B0.
Пусть теперь z1, z2 ∈ B0. Тогда в силу (3.19) при (t, vn) ∈ Ω
|Φ(z1)(t, vn)− Φ(z2)(t, vn)| ≤ (1− ν)|z1(t, vn)− z2(t, vn)|+ ν|Z(t, z1(t, vn))− Z(t, z2(t, vn)| ≤
≤ (1− ν)|z1(t, vn)− z2(t, vn)|+ ν
2
|z1(t, vn)− z2(t, vn)| ≤
(
1− ν
2
)
‖z1 − z2‖.
Отсюда следует, что ‖Φ(z1)− Φ(z2)‖ ≤
(
1− ν
2
)
‖z1 − z2‖.
Тем самым показано, что оператор Φ отображает пространство B0 в себя и является на нем
оператором сжатия. Тогда согласно принципу сжатых отображений существует единственная
функция z ∈ B0 такая, что z = Φ(z). В силу (3.20) эта непрерывная на множестве Ω функция
является единственным решением уравнения (3.15), удовлетворяющим условию ‖z‖ ≤ d. Из
(3.15) с учетом этого условия и (3.16), (3.17) следует, что данное решение стремится к ну-
лю при t ↑ ω равномерно по vn ∈ R1/2. Непрерывная дифференцируемость этого решения
на множестве [t0, ω[×R1/2, где t0 — некоторое число из промежутка [t2, ω[, непосредственно
следует из известной локальной теоремы о существовании неявной функци, определяемой со-
отношением (3.15). В силу замены (3.14) полученной функции z соответствует непрерывно
дифференцируемая на множестве [t0, ω[×R1/2 функция Y вида (3.12), которая является реше-
нием уравнения (3.11) и удовлетворяет условиям
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
366 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
ν0j
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn) ∈ ∆Yj , j = 0, n− 1, при (t, vn) ∈ [t0, ω[×R1/2,
(3.21)
ν0j lim
t↑ω
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn) = Yj , j = 0, n− 1, равномерно по vn ∈ R1/2.
Теперь, применяя к дифференциальному уравнению (1.1) преобразование
y(j)(t)
y(n−1)(t)
=
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
[1 + vj+1(τ)], j = 0, n− 1,
y(n−1)(t) = Y (t, vn(τ)), τ = αsν0n−1 ln |Js00(t)|1/γs ,
(3.22)
и учитывая, что функция y(n−1)(t) = Y (t, vn(τ)) при t ∈ [t0, ω[ и vn(τ) ∈ R1/2 удовлетворяет
уравнению
|y(n−1)(t)|γs∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
) = Qs(t)[1 + vn(τ)],
получаем систему дифференциальных уравнений вида
v′i = αsν0n−1
1 + vi+1 − (n− j − 1)γs[1− h(τ)](1 + vi) −
−h(τ)
(1 + vi)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
G(τ, v1, . . . , vn)
, i = 1, n− 2,
v′n−1 = αsν0n−1
1− γs[1− h(τ)](1 + vn−1) −
(3.23)
−h(τ)
(1 + vn−1)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
G(τ, v1, . . . , vn)
,
v′n = αsν0n−1
(
γsh(τ)
n−2∏
j=0
|1 + vj+1|σsjG(τ, v1, . . . , vn) −
−H(τ, v1, . . . , vn)(1 + vn)− γsq(τ)(1 + vn)
)
,
в которой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 367
h(τ(t)) =
ps(t)Js00(t)
J2
s0(t)
, q(τ) = h(τ) + µsn[1− h(τ)],
G(τ(t), v1, . . . , vn) =
Lsn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
Lsj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)(1 + vj+1)
)
∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn))
) ×
×
∑m
k=1
αkpk(t)ϕkn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕkj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)(1 + vj+1)
)
αsps(t)ϕsn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕsj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)(1 + vj+1)
) ,
H(τ(t), v1, . . . , vn) =
n−1∑
j=0
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)L′0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)
)
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)
) ×
×
γs(n− j − 1)[1− h(τ(t))] + h(τ)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
G(τ, v1, . . . , vn)
.
В силу (2.8) и (2.9) функция τ(t) = αsν0n−1 ln |Js00(t)|1/γs имеет свойства
τ ′(t) > 0 при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
τ(t) = +∞
и существует t1 ∈ [t0, ω[ такое, что на множестве
[τ1,+∞[×Rn1/2, где τ1 = τ(t1), Rn1/2 =
{
(v1, . . . , vn) ∈ Rn : |vi| ≤
1
2
, i = 1, n
}
,
правые части системы уравнений (3.23) непрерывны. Согласно второму из условий (2.8)
lim
τ→+∞
h(τ) = lim
t↑ω
h(τ(t)) = 1, lim
τ→+∞
q(τ) = 1. (3.24)
Далее, таким же образом, каким при доказательстве необходимости были установлены пре-
дельные соотношения (3.4), показываем с использованием условий (3.21) и неравенств (3.10),
что вторая дробь в представлении функции G стремится к единице при t ↑ ω равномерно по
(v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2. Кроме того, в силу условий (3.21), свойства M1 медленно меняющихся
функций, условий (1.4) и (3.24) равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2 первая дробь в представ-
лении функции G стремится к единице и функция H стремится к нулю при t ↑ ω. Поэтому
систему дифференциальных уравнений (3.23) можно записать в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
368 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
v′i = αsν0n−1
fi(τ, v1, . . . , vn) + 1 + vi+1 −
(1 + vi)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
, i = 1, n− 2,
v′n−1 = αsν0n−1
fn−1(τ, v1, . . . , vn) + 1−
(1 + vn−1)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
,
v′n = αsν0n−1
fn(τ, v1, . . . , vn) + γs
n−2∏
j=0
|1 + vj+1|σsj − γs(1 + vn)
,
где
lim
τ→+∞
fi(τ, v1, . . . , vn) = 0, i = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2.
Выделяя теперь линейные части в слагаемых, стоящих после функций fi, i = 1, n, получаем
систему дифференциальных уравнений
v′i = αsν0n−1
(
fi(τ, v1, . . . , vn) +
n∑
k=1
pikvk + Vi(v1, . . . , vn)
)
, i = 1, n, (3.25)
в которой
pii = −1− σsi−1, pii+1 = 1− σsi, pik = −σsk−1
при k 6= i, i+ 1, n, pin = 1, i = 1, n− 2,
pn−1k = −σsk−1 при k = 1, n− 2, pn−1n−1 = −1− σsn−2, pn−1n = 1,
pnk = γsσsk−1 при k = 1, n− 1, pnn = −γs,
Vi(v1, . . . , vn) = −
(1 + vi)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
− vn+
+(1 + σsi−1)vi +
n−1∑
k=1
k 6=i
σsk−1vk, i = 1, n− 1,
Vn(v1, . . . , vn) = γs
n−2∏
j=0
|1 + vj+1|σsj − γs
n−1∑
k=1
σsk−1vk.
Здесь
lim
|v1|+...+|vn|→0
∂Vi(v1, . . . , vn)
∂vk
= 0, i, k = 1, n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 369
и характеристическое уравнение det[P − ρE] = 0, где P = (pik)
n
i,k=1 и E — единичная мат-
рица размерности n × n, имеет вид (2.7). В силу условий теоремы это уравнение не имеет
корней с нулевой действительной частью. Тем самым показано, что для системы (3.25) выпол-
нены все условия теоремы 2.2 из работы [20]. Согласно этой теореме данная система имеет
по крайней мере одно решение (vi)
n
i=1 : [τ2,+∞[−→ Rn, τ2 ≥ τ1, стремящееся к нулю при
τ → +∞, причем таких решений существует l-параметрическое семейство, если среди корней
алгебраического уравнения (2.7) имеется l корней (с учетом кратных), действительные части
которых имеют знак, противоположный знаку числа αsν0n−1. Каждому такому решению в си-
лу замены (3.22) и первых из условий (1.4) соответствует решение y : [t2, ω[−→ R, t2 ∈ [a, ω[,
дифференциального уравнения (1.1), которое допускает при t ↑ ω асимптотические представ-
ления (2.10) и (2.11). Используя эти представления, условия (2.8), (2.9) и (3.10), нетрудно
проверить, что каждое такое решение уравнения (1.1) является Pω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решением.
Теорема доказана.
Замечание 3.1. Если во вторых из условий (2.5) хотя бы для одного k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}
имеет место противоположное неравенство с заменой в нем lim sup на lim inf, то, как следует
из доказательства необходимости, для этого k предел, стоящий в (3.4) слева, будет равен +∞.
Поэтому условия
lim
t↑ω
γs [ln pk(t)− ln ps(t)]
αsν0n−1 ln |Js0(t)|
≤ αsν0n−1(γk − γs) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s} (3.26)
в случае существования (конечных или равных ±∞) пределов, стоящих слева, являются необ-
ходимыми для того, чтобы на каждом Pω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решении дифференциального урав-
нения (1.1) имело место соотношение (3.5), т. е. чтобы главным в правой части (1.1) было
s-е слагаемое. В случае одного слагаемого αsps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)), стоящего в правой части
уравнения (1.1), теорема 2.1, очевидно, остается в силе без предположения о существовании
функции bs : [a, ω[−→ R\{0}, удовлетворяющей условиям (2.5), и без условий, где фигурирует
эта функция.
Доказательство теоремы 2.2. Пусть дифференциальное уравнение (1.1) имеет Pω(Y0, . . .
. . . , Yn−1, 1)-решение y : [t0, ω[−→ ∆Y0 со свойством (2.6). Тогда согласно теореме 2.1 выпол-
няются условия (2.4), (2.8), (2.9) и это решение допускает при t ↑ ω асимптотические представ-
ления (2.10), (2.11). Кроме того, из доказательства необходимости данной теоремы следует, что
выполняются условия (3.1). Поскольку функции Lsj , j = 0, n− 1, удовлетворяют условию S0
и в силу (2.8) и (3.1)((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)
)′
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)
) = (n− j − 1)
[
Js0(t)
Js00(t)
− ps(t)
Js0(t)
]
+
y(n)(t)
y(n−1)(t)
=
= (n− j − 1)[1− h(τ(t))]
Js0(t)
Js00(t)
+
Js0(t)
γsJs00(t)
[1 + o(1)] =
Js0(t)
Js00(t)
[
1
γs
+ o(1)
]
,
согласно замечанию 2.2 имеют место представления
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
370 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
Lsj
((
γsJs0(t)
ps(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
)
=
= Lsj
(
ν0j |Js0(t)|1/γs
)
[1 + o(1)], j = 0, n− 1, при t ↑ ω.
Поэтому из (2.11) имеем
∣∣y(n−1)(t)∣∣γs = αsν0n−1γsJs0(t)[1+o(1)]
∣∣∣∣γsJs00(t)Js0(t)
∣∣∣∣µsn n−1∏
j=0
Lsj
(
ν0j |Js0(t)|1/γs
)
при t ↑ ω.
Отсюда с учетом (2.8) – (2.10) следует, что имеют место асимптотические представления (2.12).
Доказательство теоремы 2.3. Необходимость. Пусть y — произвольное Pω(Y0, . . . , Yn−1,
±∞)-решение дифференциального уравнения (1.1). Тогда существует t1 ∈ [a, ω[ такое, что
y(j)(t) ∈ ∆Yj (bj), j = 0, n− 1, при t ∈ [t1, ω[, выполняются неравенства (2.4) и в силу лем-
мы 1.1 имеют место асимптотические соотношения (1.9). Из (1.9) непосредственно следуют
асимптотические представления (2.16) и первые из знаковых условий (2.14). Кроме того, из
(1.9) следует, что
y(j+1)(t)
y(j)(t)
=
n− j − 1 + o(1)
πω(t)
, j = 0, n− 1, при t ↑ ω. (3.27)
В силу этих соотношений
ln |y(j)(t)| = [n− j − 1 + o(1)] ln |πω(t)|, j = 0, n− 1, при t ↑ ω, (3.28)
и поэтому выполняется первое из условий (2.15). При этом ясно, что существует число a0 ∈
∈ [t1, ω[ такое, что ν0j |πω(t)|n−j−1 ∈ ∆Yj (bj), j = 0, n− 2, при t ∈ [a0, ω[.
Учитывая асимптотические соотношения (3.28), представления (1.2) и условия (3.3), на-
ходим
lnϕkj
(
y(j)(t)
)
= σkj ln |y(j)(t)|+ lnLkj(y
(j)(t)) = [σkj + o(1)] ln |y(j)(t)| =
= [σkj + o(1)][n− j − 1 + o(1)] ln |πω(t)| =
= [(n− j − 1)σkj + o(1)] ln |πω(t)|, k = 1,m, j = 0, n− 1, при t ↑ ω.
Поэтому для любого k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}
ln
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= ln
pk(t)
ps(t)
+
n−1∑
j=0
[
lnϕkj(y
j)(t)− lnϕsj(y
(j)(t)
]
=
= ln
pk(t)
ps(t)
− ln |πω(t)|
n−1∑
j=0
[(σsj − σkj)(n− j − 1) + o(1)] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 371
= β ln |πω(t)|
ln pk(t)− ln ps(t)
β ln |πω(t)|
− β
n−2∑
j=0
(σsj − σkj)(n− j − 1) + o(1)
при t ↑ ω,
где число β определено в (1.7). Поскольку выражение, стоящее в этом соотношении справа, в
силу условий (2.13) стремится к −∞ при t ↑ ω, выполняются условия (3.4) и поэтому имеет
место асимптотическое соотношение (3.5).
Так как функции Lsj , j = 0, n− 2, удовлетворяют условию S0 и имеют место соотноше-
ния (3.27), согласно замечанию 2.2
Lsj(y
(j)(t)) = Lsj
(
ν0j |πω(t)|n−j−1
)
[1 + o(1)], j = 0, . . . , n− 2, при t ↑ ω.
Кроме того, в силу (1.9)
|y(j)(t)|σsj =
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj |πω(t)|σsj(n−j−1) |y(n−1)(t)|σsj [1 + o(1)],
j = 0, n− 2, при t ↑ ω.
Поэтому из (3.5) с учетом (1.2) получим при t ↑ ω асимптотическое соотношение вида
y(n)(t)|y(n−1)(t)|γs−1
Lsn−1(y(n−1)(t))
=
= αs
n−2∏
j=0
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj ps(t)|πω(t)|µsn
n−2∏
j=0
Lsj
(
ν0j |πω(t)|n−j−1
)
[1 + o(1)]. (3.29)
Заменяя здесь функцию Lsn−1 функцией L0sn−1, удовлетворяющей условиям (1.4) при k = s и
j = n− 1, которая существует в силу свойства M2 медленно меняющихся функций, и замечая,
что(
|y(n−1)(t)|γs
L0sn−1(y(n−1)(t))
)′
=
ν0n−1y
(n)(t)|y(n−1)(t)|γs−1
L0sn−1(y(n−1)(t))
[
γs −
y(n−1)(t)L′0sn−1(y
(n−1)(t))
L′0sn−1(y
(n−1)(t))
]
=
=
ν0n−1y
(n)(t)|y(n−1)(t)|γs−1
L0sn−1(y(n−1)(t))
[γs + o(1)] при t ↑ ω,
имеем (
|y(n−1)(t)|γs
L0sn−1(y(n−1)(t))
)′
=
= αsν0n−1γs
n−2∏
j=0
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj ps(t)|πω(t)|µsn
n−2∏
j=0
Lsj
(
ν0j |πω(t)|n−j−1
)
[1 + o(1)],
откуда после интегрирования на промежутке от a0 до t и использования первого из условий (1.4)
(при k = s и j = n − 1) получаем с учетом второго из условий (1.5) асимптотическое пред-
ставление (2.17). В силу этого представления выполняется второе из знаковых условий (2.15).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
372 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
Кроме того, из (3.29) и (2.17) следует, что
y(n)(t)
y(n−1)(t)
=
J ′sn(t)
γsJsn(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.30)
Отсюда непосредственно следует второе из предельных условий (2.15) и в силу последнего из
условий (1.9) — третье из предельных условий (2.15).
Достаточность. Пусть выполняются условия (2.14), (2.15). Покажем, что в этом случае
дифференциальное уравнение (1.1) имеет решения, допускающие при t ↑ ω асимптотические
представления (2.16), (2.17), и выясним вопрос о количестве таких решений.
Сначала, учитывая первое из условий (2.15), подберем число a0 ∈ [a, ω[ так, чтобы
ν0j |πω(t)|n−j−1 ∈ ∆Yj (bj), j = 0, n− 2, при t ∈ [a0, ω[, и рассмотрим соотношение
|Y |γs
L0sn−1(Y )
= αsν0n−1γs
n−2∏
j=0
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj Jsn(t)[1 + vn],
в котором L0sn−1 — функция, удовлетворяющая условиям (1.4) при k = s и j = n−1, существу-
ющая в силу свойства M2 медленно меняющихся функций. Точно таким же образом, как при
доказательстве достаточности теоремы 2.1, устанавливаем, что оно однозначно определяет за-
данную на множестве [t0, ω[×R1/2, где t0 ∈ [a0, ω[ и R1/2 =
{
vn ∈ R : |vn| ≤
1
2
}
, непрерывно
дифференцируемую функцию вида
Y (t, vn) = ν0n−1|Jsn(t)|1/γs+z(t,vn). (3.31)
Здесь
|z(t, vn)| < 1
2|γs|
при (t, vn) ∈ [t0, ω[×R1/2,
lim
t↑ω
z(t, vn) = 0 равномерно по vn ∈ R1/2.
Далее, применяя к уравнению (1.1) преобразование
y(j−1)(t)
y(n−1)(t)
=
[πω(t)]n−j
(n− j)!
[1 + vj(τ)], j = 1, n− 1,
y(n−1)(t) = Y (t, vn(τ)), τ(t) = β ln |πω(t)|,
(3.32)
и учитывая, что функция y(n−1)(t) = Y (t, vn(τ)) при t ∈ [t0, ω[ и |vn(τ)| ≤ 1
2
удовлетворяет
соотношению
|y(n−1)(t)|γs
L0sn−1(y(n−1)(t))
= αsν0n−1γs
n−2∏
j=0
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj Jsn(t)[1 + vn(τ)],
получаем систему дифференциальных уравнений
v′j = β
[
(n− j)vj+1 − (n− j)vj −
h(τ)
γs
G(τ, v1, . . . , vn)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 373
×
(1 + vj)
∏n−2
i=0
|1 + vi+1|σsi
1 + vn
]
, j = 1, n− 2,
v′n−1 = β
−vn−1 − h(τ)
γs
G(τ, v1, . . . , vn)
(1 + vn−1)
∏n−2
i=0
|1 + vi+1|σsi
1 + vn
, (3.33)
v′n = βh(τ)
(
−1− vn +G(τ, v1, . . . , vn)
n−2∏
i=0
|1 + vi+1|σsi [1−H(τ, vn)]
)
,
где
h(τ(t)) =
πω(t)J ′sn(t)
Jsn(t)
, H(τ(t), vn) =
Y (t, vn)L′0sn−1(Y (t, vn))
γsL0sn−1(Y (t, vn))
,
G(τ(t), v1, . . . , vn) =
Lsn−1(Y (t, vn))
L0sn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
Lsj
(
Y [j](t, vj+1, vn)
)
∏n−2
j=0
Lsj
(
ν0j |πω(t)|n−j−1
) ×
×
∑m
k=1
αkpk(t)ϕkn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕkj
(
Y [j](t, vj+1, vn)
)
αsps(t)ϕsn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕsj
(
Y [j](t, vj+1, vn)
) ,
Y [j](t, vj+1, vn) =
[πω(t)]n−j−1
(n− j − 1)!
(1 + vj+1)Y (t, vn), j = 0, n− 2.
В силу (2.14) и первых двух из условий (2.15) существует t1 ∈ [t0, ω[ такое, что
Y (t, vn) ∈ ∆Yn−1(bn−1), Y [j](t, vj+1, vn) ∈ ∆Yj (bj), j = 1, n− 2,
при t ∈ [t1, ω[ и (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2.
Следовательно, правые части системы дифференциальных уравнений непрерывны на множе-
стве [τ1,+∞[×Rn1/2, где τ1 = β ln |πω(t1)|. Кроме того, согласно третьему из условий (2.15)
lim
τ→+∞
h(τ) = lim
t↑ω
h(τ(t)) = 0,
а согласно (1.4), (3.31) и второму из условий (2.15)
lim
τ→+∞
H(τ, vn) = lim
t↑ω
H(τ(t), vn) = 0, lim
t↑ω
Lsn−1(Y (t, vn))
L0sn−1(Y (t, vn))
= 1
равномерно по vn ∈ R1/2.
Поскольку в силу (1.2), (3.3), (3.31), правила Лопиталя и третьего из условий (2.15)
lim
t↑ω
lnϕkn−1(Y (t, vn))
ln |πω(t)|
= lim
t↑ω
σkn−1 ln |Y (t, vn|+ lnLkn−1(Y (t, vn)|)
ln |πω(t)|
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
374 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
= lim
t↑ω
[
σkn−1 +
lnLkn−1(Y (t, vn))
ln |Y (t, vn)|
]
ln |Y (t, vn)|
ln |πω(t)|
=
= lim
t↑ω
[
σkn−1 +
lnLkn−1(Y (t, vn))
ln |Y (t, vn)|
] [
1
γs
+ z(t, vn)
]
lim
t↑ω
ln |Jsn(t)|
ln |πω(t)|
=
= lim
t↑ω
[
σkn−1 +
lnLkn−1(Y (t, vn))
ln |Y (t, vn)|
] [
1
γs
+ z(t, vn)
]
lim
t↑ω
πω(t)J ′sn(t)
Jsn(t)
= 0, k = 1,m,
равномерно по vn ∈ R1/2 и
lim
t↑ω
lnϕkj(Y
[j](t, vj+1, vn))
ln |πω(t)|
= lim
t↑ω
[
σkj +
lnLkj(Y
[j](t, vj+1, vn))
ln |Y [j+1](t, vj+1, vn)|
]
ln |Y [j](t, vj+1, vn)|
ln |πω(t)|
=
= lim
t↑ω
[
σkj +
lnLkj(Y
[j](t, vj+1, vn))
ln |Y [j+1](t, vj+1, vn)|
]n− j − 1 +
ln
|1+vj+1|
(n−j−1)!
ln |πω(t)|
+
ln |Y (t, vn)|
ln |πω(t)|
=
= σkj(n− j − 1) равномерно по vj , vn ∈ R12, k = 1,m, j = 0, n− 2,
повторяя рассуждения из доказательства необходимости с использованием неравенства (2.13),
устанавливаем, что для любого k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}
lim
t↑ω
pk(t)ϕkn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕkj
(
Y [j](t, vj+1, vn)
)
ps(t)ϕsn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕsj
(
Y [j](t, vj+1, vn)
) = 0
равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2.
В силу установленных предельных соотношений систему дифференциальных уравнений (3.33)
можно записать следующим образом:
v′j = β[fj(τ, v1, . . . , vn)− (n− j)vj + (n− j)vj+1], j = 1, n− 2,
v′n−1 = β[fn−1(τ, v1, . . . , vn)− vn−1], (3.34)
v′n = βh(τ)
[
fn(τ, v1, . . . , vn) +
n−1∑
i=1
σsi−1vi − vn + V (v1, . . . , vn−1)
]
,
где функции fj : [τ1,+∞[×Rn1/2 −→ R, j = 1, n, непрерывны и таковы, что
lim
τ→+∞
fj(τ, v1, . . . , vn) = 0, j = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2,
а V — функция вида
V (v1, . . . , vn−1) =
n−1∏
i=1
|1 + vi|σsi−1 − 1−
n−1∑
i=1
σsi−1vi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 375
Теперь выберем число δ > 0 настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
δ
n−1∑
i=1
|σsi−1| < 1,
и систему (3.34) с помощью дополнительного преобразования
vj = δwj , j = 1, n− 1, vn = wn, (3.35)
сведем к системе дифференциальных уравнений
w′j = β
[
1
δ
fj(τ, δw1, . . . , δwn−1, wn)− (n− j)wj + (n− j)wj+1
]
, j = 1, n− 2,
w′n−1 = β
[
1
δ
fn−1(τ, δw1, . . . , δwn−1, wn)− wn−1
]
,
w′n = βh(τ)
[
fn(τ, δw1, . . . , δwn−1, wn) + δ
n−1∑
i=1
σsi−1wi − vn + V (δw1, . . . , δwn−1)
]
.
(3.36)
Для этой системы уравнений выполнены все условия теоремы 2.1 из работы [20]. Согласно
этой теореме данная система имеет по крайней мере одно решение (wj)
n
j=1 : [τ2,+∞[−→ Rn,
τ2 ≥ τ1, стремящееся к нулю при τ → +∞, причем в случае, когда β > 0, таких решений суще-
ствует n-параметрическое семейство, если Jsn(t) > 0 при t ∈ ]a0, ω[, и (n−1)-параметрическое
семейство, если Jsn(t) < 0 при t ∈ ]a0, ω[, а в случае, когда β < 0, существует однопарамет-
рическое семейство таких решений, если Jsn(t) > 0 при t ∈ ]a0, ω[. Каждому такому решению
в силу замен (3.35) и (3.32) соответствует Pω(Y0, . . . , Yn−1,±∞)-решение дифференциального
уравнения (1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические представления (2.16), (2.17).
Теорема доказана.
Замечание 3.2. Если в условиях (2.13) хотя бы для одного k ∈ {1, . . . ,m} \ {s} имеет
место противоположное неравенство с заменой в нем lim sup на lim inf, то, как следует из
доказательства необходимости, для этого k предел, стоящий в (3.4) слева, будет равен +∞.
Поэтому условия
lim
t↑ω
ln pk(t)− ln ps(t)
β ln |πω(t)|
≤ β
n−2∑
j=0
(σsj − σkj)(n− j − 1) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}
в случае существования (конечных или равных±∞) пределов, стоящих слева, являются необхо-
димыми для того, чтобы на каждом Pω(Y0, . . . , Yn−1,±∞)-решении дифференциального урав-
нения (1.1) имело место соотношение (3.5), т. е. чтобы главным в правой части (1.1) было
s-е слагаемое. В случае одного слагаемого αsps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)), стоящего в правой части
уравнения (1.1), теорема 2.3, очевидно, остается в силе без предположения о выполнении
неравенств (2.13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
376 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
Доказательство теоремы 2.4. Пусть дифференциальное уравнение (1.1) имеет Pω(Y0, . . .
. . . , Yn−1,±∞)-решение y : [t0, ω[−→ ∆Y0 . Тогда согласно теореме 2.3 выполняются усло-
вия (2.14), (2.15) и это решение допускает при t ↑ ω асимптотические представления (2.16),
(2.17). Кроме того, из доказательства необходимости данной теоремы следует, что имеет место
асимптотическое соотношение (3.30). Поскольку функция Lsn−1 удовлетворяет условию S0 и
имеет место (3.30), в силу замечания 2.2
Lsn−1
(
y(n−1)(t)
)
= Lsn−1
(
ν0n−1|Jsn(t)|1/γs
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Поэтому из (2.17) имеем
|y(n−1)(t)|γs = αsν0n−1γs
n−2∏
j=0
∣∣∣∣ 1
(n− j − 1)!
∣∣∣∣σsj ×
×Jsn(t)Lsn−1
(
ν0n−1|Jsn(t)|1/γs
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
и имеет место асимптотическое представление (2.18).
4. Пример уравнения с правильно меняющимися при t ↑ ω коэффициентами. Предпо-
ложим, что в дифференциальном уравнении (1.1) непрерывные функции pk : [a, ω[ −→ ]0,+∞[,
k = 1,m, являются правильно меняющимися при t ↑ ω порядков %k, k = 1,m. В этом случае
lim
t↑ω
ln pk(t)
ln |πω(t)|
= %k (4.1)
и при любом значении s ∈ {1, . . . ,m} для любой непрерывной функции bs : [a, ω[ −→ R \ {0},
удовлетворяющей условию limt↑ω πω(t)b(t) = ±∞, имеем
lim
t↑ω
ln pk(t)− ln ps(t)∫ t
a
b(τ) dτ
= lim
t↑ω
ln pk(t)− ln ps(t)
ln |πω(t)|
ln |πω(t)|∫ t
a
b(τ) dτ
= 0.
Отсюда ясно, что всегда существует s ∈ {1, . . . ,m} и βs — знак bs такие, что выполняются
неравенства
βs(γk − γs) ≥ 0 при k ∈ {1, . . . ,m} \ {s},
которые в силу замечания 3.1 являются необходимыми условиями существования Pω(Y0, Y1, . . .
. . . , Yn−1, 1)-решений дифференциального уравнения (1.1), на которых главным в правой части
уравнения является s-е слагаемое. При этом в силу (2.8) необходимо, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)J ′s0(t)
Js0(t)
= lim
t↑ω
πω(t)bs(t) = ±∞.
Однако это условие выполняться не может, так как в силу свойств правильно меняющихся
функций
lim
t↑ω
πω(t)J ′s0(t)
Js0(t)
= 1 + %s.
Значит, дифференциальное уравнение (1.1) с правильно меняющимися при t ↑ ω коэффи-
циентами не может иметь Pω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решений, на которых главным в правой части
уравнения (1.1) является какое-либо из слагаемых.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 377
Замечание 4.1. В случае быстро меняющихся при t ↑ ω коэффициентов уравнения (1.1) у
него могут существовать Pω(Y0, . . . , yn−1, 1)-решения.
Теперь с использованием теоремы 2.3 выясним вопрос о наличии у рассматриваемого здесь
дифференциального уравнения Pω(Y0, . . . , Yn−1,±∞}-решений, на которых главным в правой
части уравнения является s-е слагаемое, где s ∈ {1, . . . ,m}. В силу (4.1) и замечания 3.2 для
их существования прежде всего необходимо выполнение неравенств
β(%k − %s) ≤ β
n−2∑
j=0
(σsj − σkj)(n− j − 1) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}. (4.2)
Кроме того, необходимо выполнение неравенств (2.4), (2.14) и условий (2.15).
Поскольку в интеграле Jsn подынтегральная функция является правильно меняющейся при
t ↑ ω порядка %s + µsn, то
lim
t↑ω
πω(t)J ′sn(t)
Jsn(t)
= 1 + %s + µsn.
Поэтому в силу последнего из условий (2.15) должно выполняться равенство
%s = −1− µsn. (4.3)
На основании изложенного выше из теоремы 2.3 вытекает следующее утверждение.
Следствие 4.1. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) непрерывные функции pk :
[a, ω[−→ ]0,+∞[, k = 1,m, являются правильно меняющимися при t ↑ ω порядков %k, k = 1,m,
γs 6= 0 при некотором s ∈ {1, . . . ,m} и медленно меняющиеся при y[j] → Yj функции Lsj ,
j = 0, n− 2, удовлетворяют условию S0. Тогда для существования Pω(Y0, Y1, . . . , Yn−1,±∞)-
решений уравнения (1.1), для которых имеют место предельные соотношения (3.4), необ-
ходимо, чтобы выполнялись неравенства (2.4), (2.14), (4.2), условие (4.3) и первые два из
условий (2.15), причем для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптоти-
ческие представления (2.16), (2.17). Если же наряду с (2.4), (2.14), (4.3) и первыми двумя из
условий (2.15) выполняются строгие неравенства
β(%k − %s) < β
n−2∑
j=0
(σsj − σkj)(n− j − 1) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}, (4.4)
то существуют Pω (Y0, Y1, . . . , Yn−1,±∞)-решения уравнения (1.1). Более того, таких реше-
ний в случае, когда ω = +∞, существует n-параметрическое семейство, если Jsn(t) > 0 при
t ∈ [a0, ω[, и (n − 1)-параметрическое семейство, если Jsn(t) < 0 при t ∈ [a0, ω[, а в случае,
когда ω < +∞ и Jsn(t) > 0 при t ∈ [a0, ω[, существует однопараметрическое семейство
таких решений.
Данный результат существенно может быть уточнен в ситуации конкретного вида функций
ps и ϕsj , j = 0, n− 1.
Допустим, например, что ω = +∞ и
ps(t) = t%s lnrs t, ϕsj = |y(j)|σsj
∣∣∣ln ∣∣y(j)∣∣∣∣∣λsj , j = 0, n− 1. (4.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
378 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
В этом случае πω(t) = t, β = 1, функции Lsj(y[j]) =
∣∣ln |y(j)|∣∣λsj , j = 1, n− 1, удовлетворяют
условию S0. Кроме того, в силу (4.3)
ps(t)|πω(t)|µsn
n−2∏
j=0
Lsj
(
ν0j |πω(t)|n−j−1
)
=
n−2∏
j=0
|n− j − 1|λsj
t−1(ln t)rs+
∑n−2
j=0 λsj ,
и поэтому при t→ +∞
Jsn(t) ∼
∏n−2
j=0
|n− j − 1|λsj
1 + rs +
∑n−2
j=0
λsj
(ln t)1+rs+
∑n−2
j=0 λsj , если rs +
∑n−2
j=0
λsj 6= −1,
(∏n−2
j=0
|n− j − 1|λsj
)
ln ln t, если rs +
∑n−2
j=0
λsj = −1.
В силу этих соотношений условия (2.14) принимают вид
ν0jν0n−1 > 0, j = 0, n− 2,
(4.6)
αsν0n−1 =
sign γs
(
1 + rs +
∑n−2
j=0
λsj
)
, если rs +
∑n−2
j=0
λsj 6= −1,
sign γs, если rs +
∑n−2
j=0
λsj = −1.
Из второго из этих условий сначала определяется знак (n−1)-й производной P+∞(Y0, . . . , Yn−1,
±∞)-решения, а из первого — знаки этого решения и его производных до порядка n − 2
включительно.
Первые два из условий (2.15) запишутся в виде
ν0jYj = +∞, j = 0, n− 2,
(4.7)
ν0n−1Yn−1 =
0, если γs
(
1 + rs +
∑n−2
j=0
λsj
)
< 0,
0, если γs < 0, rs +
∑n−2
j=0
λsj = −1,
+∞, если γs
(
1 + rs +
∑n−2
j=0
λsj
)
> 0,
+∞, если γs > 0, rs +
∑n−2
j=0
λsj = −1.
Из них определяются предельные значения при t ↑ ω для P+∞(Y0, . . . , Yn−1,±∞)-решения и
его производных до порядка n− 1 включительно.
Поскольку в рассматриваемом случае все функции Lsj , j = 0, n− 1, удовлетворяют усло-
вию S0, то согласно теореме 2.4 для P+∞(Y0, . . . , Yn−1,±∞)-решений допустимы при t ↑ ω
представления (2.16), (2.18). Здесь они примут вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 379
y(k−1)(t) = C1kt
n−k (ln t)
1+rs+
∑n−2
j=0 λsj
γs (ln ln t)λsn−1/γs [1 + o(1)], k = 1, n,
если rs +
n−2∑
j=0
λsj 6= −1,
(4.81)
y(k−1)(t) = C2kt
n−k (ln ln t)1/γs (ln ln ln t)λsn−1/γs [1 + o(1)], k = 1, n,
если rs +
n−2∑
j=0
λsj = −1,
(4.82)
где
C1k =
ν0n−1
(n− k)!
∣∣∣∣∣∣∣
1 + rs +
∑n−2
j=0
λsj
γs
∣∣∣∣∣∣∣
λsn−1−1
γs
n−2∏
j=0
(n− j − 1)λsj/γs
|(n− j − 1)!|σsj/γs
,
C2k =
ν0n−1
(n− k)!
|γs|1/γs
n−2∏
j=0
(n− j − 1)λsj/γs
|(n− j − 1)!|σsj/γs
.
Таким образом, из следствия 4.1 и теоремы 2.4 вытекает следующее утверждение.
Следствие 4.2. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) непрерывные функции pk :
[a,+∞[ −→ ]0,+∞[, k = 1,m, являются правильно меняющимися при t → +∞ порядков %k,
k = 1,m, γs 6= 0 при некотором s ∈ {1, . . . ,m} и функции ps, ϕsj , j = 0, n− 1, имеют вид (4.5).
Тогда для существования P+∞(Y0, Y1, . . . , Yn−1,±∞)-решений уравнения (1.1), на которых
главным в правой части уравнения является s-е слагаемое, необходимо, чтобы выполнялись
неравенства
%k − %s ≤
n−2∑
j=0
(σsj − σkj)(n− j − 1) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}
и условия (4.3), (4.6), (4.7), причем для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимп-
тотические представления (4.8k), k ∈ {1, 2}. Если же наряду с (4.3), (4.6), (4.7) выполняются
строгие неравенства
%k − %s <
n−2∑
j=0
(σsj − σkj)(n− j − 1) при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ {s},
то существуют Pω (Y0, Y1, . . . , Yn−1,±∞)-решения уравнения (1.1). Более того, таких ре-
шений существует n-параметрическое семейство, если 1 + rs +
∑n−2
j=0
λsj ≥ 0, и (n − 1)-
параметрическое семейство — в противном случае.
5. Выводы. В данной работе для дифференциального уравнения n-го порядка вида (1.1)
с правильно меняющимися при y(j) → Yj , j = 0, n− 1, нелинейностями ϕkj , k = 1,m,
получены необходимые и достаточные условия существования Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решений в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
380 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. КЛОПОТ
особых случаях, когда λ0 = 1 и λ0 = ±∞, и установлены асимптотические представления при
t ↑ ω таких решений и их производных до порядка n− 1 включительно.
В теоремах 2.1 и 2.3 представление для (n− 1)-й производной дается в неявной форме, но
при некоторых дополнительных ограничениях (см. теоремы 2.2 и 2.4) оно может быть записано
в явном виде.
Следует также обратить внимание на то, что в силу произвольности выбора Y0 ∈ {±∞; 0} и
ω ≤ +∞ установленные результаты позволяют описывать асимптотику не только правильных
решений, стремящихся либо к нулю, либо к ±∞ при t ↑ ω, но и различного типа сингулярных
решений уравнения (1.1).
1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
2. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. – М.: Наука, 1990. – 430 c.
3. Костин А. В. Асимптотика пpавильных pешений нелинейных обыкновенных диффеpенциальных ypавнений
// Дифференц. ypавнения. – 1987. – 23, № 3. – С. 524 – 526.
4. Евтухов В. М. Асимптотические свойства монотонных решений одного класса нелинейных дифференциальных
уравнений n-го порядка // Докл. расш. зас. сем. Ин-та прикл. математики им. И. Н. Векуа. – 1988. – 3, № 3. –
С. 62 – 65.
5. Евтухов В. М. Асимптотические представления монотонных решений нелинейного дифференциального урав-
нения типа Эмдена – Фаулера n-го порядка // Докл. АН России. – 1992. – 234, № 2. – С. 258 – 260.
6. Евтухов В. М. Об одном классе монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения n-го
порядка типа Эмдена – Фаулера // Сообщ. АН Грузии. – 1992. – 145, № 2. – С. 269 – 273.
7. Evtukhov V. M., Shebanina E. V. Asymptotic behaviour of solutions of n-th order differential equations // Mem.
Different. Equat. Math. Phys. Tbilisi. – 1998. – 13. – P. 150 – 153.
8. Wong P. K. Existence and asymptotic behavior of proper solutions of a class of second-order nonlinear differential
equations // Pacif. J. Math. – 1963. – 13. – P. 737 – 760.
9. Marić V., Tomić M. Asymptotic properties of solutions of the equation y′′ = f(x)Φ(y) // Math. Z. – 1976. – 149. –
S. 261 – 266.
10. Talliaferro S. D. Asymptotic behavior of the solutions of the equation y′′ = Φ(t)f(y) // SIAM J. Math. Anal. –
1981. – 12, № 6. – P. 47 – 59.
11. Marić V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. – 2000. – 127 p.
12. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2011.
– 47, № 5. – С. 628 – 650.
13. Евтухов В. М., Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавто-
номних дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 3. – С. 310 – 331.
14. Белозерова М. А. Асимптотические свойства одного класса решений существенно нелинейных дифференци-
альных уравнений второго порядка // Мат. студ. – 2008. – 29, № 1. – С. 52 – 62.
15. Белозерова М. А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений вто-
рого порядка с нелинейностями, близкими к степенным // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 1. – С. 3 – 15.
16. Евтухов В. М., Козьма А. А. Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно
нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 924 – 938.
17. Козьма А. А. Условия существования и асимптотика одного класса решений существенно нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка // Мат. студ. – 2011. – 36, № 2. – С. 176 – 187.
18. Козьма А. А. Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономних дифференциаль-
ных уравнений второго порядка // Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14, № 4. – С. 468 – 481.
19. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1998. – 295 c.
20. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. –
С. 52 – 80.
Получено 25.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2424 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:11Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/22/36bc3286d997acaee36ded8a430e6722.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24242020-03-18T19:15:16Z Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities Асимптотика некоторых классов решений обыкновенных дифференциальных уравнений $n$-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями Evtukhov, V. M. Klopot, A. M. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. Existence conditions and asymptotic (as $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty)$) representations are obtained for one class of monotone solutions of an $n$th-order differential equation whose right-hand side contains a sum of terms with regularly varying nonlinearities. Встановлено умови iснування та асимптотичнi при $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty)$ зображення одного класу монотонних розв’язкiв диференцiального рiвняння $n$-го порядку, що мiстить у правiй частинi суму доданкiв iз правильно змiнними нелiнiйностями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2424 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 3 (2013); 354-380 Український математичний журнал; Том 65 № 3 (2013); 354-380 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2424/1615 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2424/1616 Copyright (c) 2013 Evtukhov V. M.; Klopot A. M. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Klopot, A. M. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. Евтухов, В. М. Клопот, А. М. Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities |
| title | Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities |
| title_alt | Асимптотика некоторых классов решений обыкновенных дифференциальных уравнений $n$-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями |
| title_full | Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities |
| title_fullStr | Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities |
| title_short | Asymptotic Representations for Some Classes of Solutions of Ordinary Differential Equations of Order $n$ with Regularly Varying Nonlinearities |
| title_sort | asymptotic representations for some classes of solutions of ordinary differential equations of order $n$ with regularly varying nonlinearities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2424 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticrepresentationsforsomeclassesofsolutionsofordinarydifferentialequationsofordernwithregularlyvaryingnonlinearities AT klopotam asymptoticrepresentationsforsomeclassesofsolutionsofordinarydifferentialequationsofordernwithregularlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsforsomeclassesofsolutionsofordinarydifferentialequationsofordernwithregularlyvaryingnonlinearities AT klopotam asymptoticrepresentationsforsomeclassesofsolutionsofordinarydifferentialequationsofordernwithregularlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsforsomeclassesofsolutionsofordinarydifferentialequationsofordernwithregularlyvaryingnonlinearities AT klopotam asymptoticrepresentationsforsomeclassesofsolutionsofordinarydifferentialequationsofordernwithregularlyvaryingnonlinearities AT evtukhovvm asimptotikanekotoryhklassovrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT klopotam asimptotikanekotoryhklassovrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotikanekotoryhklassovrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT klopotam asimptotikanekotoryhklassovrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotikanekotoryhklassovrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT klopotam asimptotikanekotoryhklassovrešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi |