Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators
We obtain a constructive description of all Hilbert function spaces that are interpolation spaces with respect to a couple of Sobolev spaces $[H^{(s_0)}(\mathbb{R}^n), H^{(s_1)}(\mathbb{R}^n)]$ of some integer orders $s_0$ and $s_1$ and that form an extended Sobolev scale. We find equivalent defi...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2426 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508313045696512 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:16Z |
| description | We obtain a constructive description of all Hilbert function spaces that are interpolation spaces with respect to a couple of Sobolev spaces
$[H^{(s_0)}(\mathbb{R}^n), H^{(s_1)}(\mathbb{R}^n)]$ of some integer orders $s_0$ and $s_1$ and that form an extended Sobolev scale.
We find equivalent definitions of these spaces with the use of uniformly elliptic pseudodifferential operators positive definite in $L_2(\mathbb{R}^n)$.
Possible applications of the introduced scale of spaces are indicated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.2+517.982.27
В. А. Михайлец, А. А. Мурач (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛА
И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ*
We obtain a constructive description of all Hilbert function spaces that are interpolation spaces with respect to a couple of
Sobolev spaces [H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)] of some integer orders s0 and s1 and that form an extended Sobolev scale. We
find equivalent definitions of these spaces with the use of uniformly elliptic pseudodifferential operators positive definite
in L2(Rn). Possible applications of the introduced scale of spaces are indicated.
Отримано конструктивний опис усiх гiльбертових функцiональних просторiв, якi є iнтерполяцiйними для пари
соболєвських просторiв [H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)] деяких цiлих порядкiв s0 i s1 та утворюють розширену соболєвську
шкалу. Знайдено еквiвалентнi означення таких просторiв за допомогою додатно визначених в L2(Rn) рiвномiрно
елiптичних псевдодиференцiальних операторiв. Зазначено можливi застосування введеної шкали просторiв.
1. Введение. В теории уравнений с частными производными центральное место занимают
вопросы существования, единственности и регулярности решений. При этом свойства регу-
лярности решений выражаются в терминах их принадлежности к одному из функциональных
пространств эталонной шкалы. Чем тоньше градуирована эта шкала, тем содержательнее такие
результаты. Известны фундаментальные применения пространств Соболева к изучению диф-
ференциальных уравнений, в частности, эллиптического типа. Однако [1, 2] для ряда важных
задач анализа шкала {H(s) : s ∈ R} оказалась недостаточно тонкой.
Около полувека назад появилась [3 – 5] теория более общих, чем соболевские, пространств
Хермандера. Они оказались полезными во многих вопросах. Однако их применения к эллипти-
ческим операторам до недавнего времени имели частный характер. Это связано с отсутствием
аналитического аппарата, пригодного для работы с такими пространствами. В случае про-
странств Соболева таковым является классическая теория интерполяции. Так, произвольное
пространство H(s) дробного порядка можно получить путем интерполяции некоторой пары
пространств целых порядков. Это существенно облегчает как введение самих пространств (на-
пример, на многообразиях), так и разработку теории эллиптических уравнений, поскольку при
интерполяции сохраняются свойства ограниченности и нетеровости линейных операторов.
В связи с этим представляется полезным выделить среди гильбертовых пространств Хер-
мандера те, которые получаются посредством произвольной интерполяции пар гильбертовых
пространств Соболева. Им соответствуют необязательно степенные функциональные парамет-
ры интерполяции. В работах [6, 7] авторами был введен и исследован класс такого рода изо-
тропных пространств Хермандера
Hs,ϕ(Rn) := B2,µ(Rn) для µ(ξ) := (1 + |ξ|2)s/2ϕ
(
(1 + |ξ|2)1/2
)
, (∗)
которые образуют уточненную соболевскую шкалу. Здесь числовой параметр s принадлежит
R, а функциональный параметр ϕ медленно меняется на бесконечности по Карамата. Напри-
мер, в качестве ϕ допускаются логарифмическая функция, ее итерации, любые их степени,
а также произведения таких функций. Класс пространств (∗) содержит соболевскую шкалу
*Поддержана грантом № 01/01.12 НАН Украины (в рамках совместного украинско-российского проекта НАН Ук-
раины и Российского фонда фундаментальных исследований).
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2013
392 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 393
{H(s)} = {Hs,1}, привязан к ней числовым параметром s, но градуирован тоньше, чем собо-
левская шкала. Числовой параметр s определяет основную (степенную) гладкость, а функцио-
нальный параметр ϕ задает дополнительную (субстепенную) гладкость. Последняя может как
расширить, так и сузить пространство {H(s)}. В работах [6 – 11] удалось перенести в полном
объеме классическую „соболевскую” теорию эллиптических краевых задач на случай уточнен-
ной соболевской шкалы (∗).
Вместе с тем оставался открытым вопрос об описании (с точностью до эквивалентности
норм) класса всех гильбертовых функциональных пространств, которые могут быть получены
в результате интерполяции пространств соболевской шкалы. Конструктивный ответ на него
дается в настоящей работе. Он формулируется непосредственно в терминах условий на ради-
альную весовую функцию, которая задает изотропное пространство Хермандера. Она долж-
на принадлежать введенному В. Г. Авакумовичем классу RO-меняющихся на бесконечности
функций.
2. Расширенная соболевская шкала. Пусть n ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, а измеримая по Лебегу
функция µ : Rn → (0,∞) является весовой, т. е. существуют числа c ≥ 1 и l > 0 такие, что
µ(ξ)
µ(η)
≤ c (1 + |ξ − η|)l для любых ξ, η ∈ Rn.
По определению [3] (п. 2.2) пространство Хермандера Bp,µ(Rn) состоит из всех распреде-
лений медленного роста u ∈ S ′(Rn) таких, что их преобразование Фурье û является локально
суммируемой по Лебегу в Rn функцией, удовлетворяющей включению µ û ∈ Lp(Rn). Норма в
комплексном линейном пространстве Bp,µ(Rn) определена по формуле
‖u‖Bp,µ(Rn) := ‖µ û‖Lp(Rn). (1)
При p = 2 она гильбертова.
Пространство Bp,µ(Rn) полно относительно нормы (1) и непрерывно вложено в S ′(Rn).
Если 1 ≤ p < ∞, то это пространство сепарабельно, и множество C∞0 (Rn) плотно в нем
(см. [3] (п. 2.2) или [4] (п. 10.1)).
Отметим, что в гильбертовом случае (когда p = 2) пространства Хермандера совпадают с
пространствами, введенными и изученными Л. Р. Волевичем и Б. П. Панеяхом [5] (см. также
монографию [12] (п. 1.4)).
Среди пространств Хермандера нам нужны гильбертовы изотропные пространстваB2,µ(Rn),
которым соответствуют радиальные весовые функции µ(ξ) = ϕ(〈ξ〉) аргумента ξ ∈ Rn. Здесь
〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2, а класс функциональных параметров ϕ определен следующим образом.
Пусть RO — класс всех измеримых по Борелю функций ϕ : [1,∞) → (0,∞), для которых
существуют числа a > 1 и c ≥ 1 такие, что
c−1 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c для любых t ≥ 1, λ ∈ [1, a] (2)
(вообще, a и c зависят от ϕ). Эти функции называют RO-меняющимися (или OR-меняющимися)
на бесконечности. Класс RO-меняющихся функций введен В. Г. Авакумовичем и достаточно
полно изучен (см., например, монографии [13, 14]). Отметим некоторые важные свойства этого
класса.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
394 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Предложение 1. (i) Любая функция ϕ ∈ RO ограничена и отделена от нуля на каждом
отрезке [1, b], 1 < b <∞.
(ii) Верно следующее описание класса RO:
ϕ ∈ RO ⇔ ϕ(t) = exp
(
β(t) +
t∫
1
α(τ)
τ
dτ
)
, t ≥ 1,
где вещественные функции α и β и измеримы по Борелю и ограничены на полуоси [1,∞).
(iii) Для произвольной функции ϕ : [1,∞) → (0,∞) условие (2) равносильно следующему:
существуют числа s0, s1 ∈ R, s0 ≤ s1, и c ≥ 1 такие, что
t−s0ϕ(t) ≤ c τ−s0ϕ(τ), τ−s1ϕ(τ) ≤ c t−s1ϕ(t) для всех t ≥ 1, τ ≥ t. (3)
Условие (3) показывает, что функция t−s0ϕ(t) эквивалентна некоторой возрастающей функ-
ции, а функция t−s1ϕ(t) — некоторой убывающей функции на полуоси [1,∞). При этом экви-
валентность понимается в слабом смысле, а возрастание и убывание — в нестрогом смысле.
Напомним, что положительные функции ψ1 и ψ2 называются эквивалентными (в слабом смыс-
ле) на некотором множестве Q, если их отношения ψ1/ψ2 и ψ2/ψ1 ограничены на Q. В этом
случае пишем ψ1 � ψ2 на Q
Положив в условии (3) λ := τ/t, перепишем его в эквивалентном виде
c−1λs0 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ cλs1 для всех t ≥ 1, λ ≥ 1. (4)
Для произвольной функции ϕ ∈ RO обозначим
σ0(ϕ) := sup {s0 ∈ R : выполняется левое неравенство в (4)},
σ1(ϕ) := inf {s1 ∈ R : выполняется правое неравенство в (4)}.
Очевидно, что−∞ < σ0(ϕ) ≤ σ1(ϕ) <∞. Числа σ0(ϕ) и σ1(ϕ) равны соответственно нижнему
и верхнему индексам Матушевской функции ϕ [14, с. 72].
Пусть функция ϕ принадлежит классу RO. По определению Hϕ(Rn) — гильбертово про-
странство B2,µ(Rn), где µ(ξ) := ϕ(〈ξ〉) для всех ξ ∈ Rn. В пространстве Hϕ(Rn) определено
скалярное произведение по формуле
(u1, u2)ϕ :=
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) û1(ξ) û2(ξ) dξ.
Оно порождает норму ‖u‖ϕ := (u, u)
1/2
ϕ , введенную в (1).
В случае степенной функции ϕ(t) = ts, где s ∈ R, пространство Hϕ(Rn) совпадает с
гильбертовым пространством Соболева H(s)(Rn) порядка s.
Класс гильбертовых функциональных пространств
{Hϕ(Rn) : ϕ ∈ RO} (5)
мы называем расширенной соболевской шкалой (на Rn).
Отметим следующие важные свойства этой шкалы, вытекающие из соответствующих свойств
пространств Хермандера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 395
Предложение 2. Пусть ϕ,ϕ1 ∈ RO. Тогда: (i) Функция ϕ(t)/ϕ1(t) ограничена в окрест-
ности бесконечности тогда и только тогда, когда Hϕ1(Rn) ↪→ Hϕ(Rn). Это вложение непре-
рывное и плотное.
(ii) Для любых вещественных чисел s0 < σ0(ϕ) и s1 > σ1(ϕ) справедливы непрерывные и
плотные вложения H(s1)(Rn) ↪→ Hϕ(Rn) ↪→ H(s0)(Rn).
(iii) Пространства Hϕ(Rn) и H1/ϕ(Rn) взаимно двойственные относительно расширения
по непрерывности скалярного произведения в пространстве1 L2(Rn).
(iv) Для каждого фиксированного целого числа k ≥ 0 неравенство
∞∫
1
t2k+n−1ϕ−2(t) dt <∞
равносильно вложению Hϕ(Rn) ↪→ Ckb(Rn). Это вложение непрерывно 2.
3. Характеризация шкалы. Напомним базисное для нас определение. Пусть [X0, X1] —
пара комплексных гильбертовых пространствX0 иX1 таких, чтоX1 непрерывно вложено вX0.
Комплексное гильбертово пространство H называется интерполяционным для пары [X0, X1],
если:
(i) справедливы непрерывные вложения X1 ↪→ H ↪→ X0;
(ii) произвольный линейный оператор T : X0 → X0, ограниченный на каждом из про-
странств X0 и X1, является также ограниченным оператором на пространстве H .
Из условия (ii) следует неравенство для норм операторов
‖T‖H→H ≤ c max
{
‖T‖X0→X0 , ‖T‖X1→X1
}
,
где число c > 0 не зависит от оператора T [15, с. 28].
Сформулируем основной результат статьи. Рассмотрим дискретную соболевскую шкалу
гильбертовых пространств
{H(s)(Rn) : s ∈ Z}. (6)
Теорема 1. Расширенная соболевская шкала (5) совпадает с классом всех гильбертовых
пространств, интерполяционных относительно соболевской шкалы (6). А именно, гильбертово
пространство H является интерполяционным для некоторой пары соболевских пространств
[H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)], где s0, s1 ∈ Z и s0 < s1, тогда и только тогда, когда H = Hϕ(Rn) с
точностью до эквивалентности норм для некоторого ϕ ∈ RO.
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся несколько фактов из теории интерпо-
ляции гильбертовых пространств. Для наших целей достаточно ограничиться сепарабельными
комплексными пространствами.
Упорядоченную пару [X0, X1] комплексных гильбертовых пространств X0 и X1 назовем
допустимой, если эти пространства сепарабельны и справедливо непрерывное и плотное вло-
жение X1 ↪→ X0.
1Отметим, что ϕ ∈ RO⇔ 1/ϕ ∈ RO.
2Здесь Ckb (Rn) — банахово пространство всех функций u : Rn → C, имеющих непрерывные и ограниченные в
Rn производные до порядка k включительно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
396 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Напомним определение интерполяции с функциональным параметром гильбертовых про-
странств. Оно является естественным обобщением классического интерполяционного мето-
да Ж.-Л. Лионса и С. Г. Крейна на случай, когда вместо числового параметра интерполя-
ции используется достаточно общая функция. Это обобщение появилось в статье К. Фояша,
Ж.-Л. Лионса [16, с. 278] и затем было исследовано рядом авторов.
Обозначим через B множество всех измеримых по Борелю функций ψ : (0,∞) → (0,∞),
которые ограничены на каждом отрезке [a, b], 0 < a < b < ∞, и отделены от нуля на каждом
множестве [r,∞), r > 0.
Пусть произвольно заданы функция ψ ∈ B и допустимая пара гильбертовых пространств
X = [X0, X1]. Для пары X существует изометрический изоморфизм J : X1 ↔ X0 такой, что
J является самосопряженным положительно определенным оператором в пространстве X0 с
областью определения X1. Оператор J называется порождающим для пары X . Этот оператор
определяется парой X однозначно.
В пространстве X0 определен как борелевская функция от J оператор ψ(J). Обозначим
через [X0, X1]ψ или, короче, Xψ область определения оператора ψ(J), наделенную скалярным
произведением
(u1, u2)Xψ := (ψ(J)u1, ψ(J)u2)X0
и соответствующей нормой ‖u ‖Xψ = (u, u)
1/2
Xψ
. Пространство Xψ гильбертово и сепарабельно.
Функция ψ ∈ B называется интерполяционным параметром, если для произвольных допу-
стимых пар X = [X0, X1] и Y = [Y0, Y1] гильбертовых пространств и для любого линейного
отображения T, заданного на X0, выполняется следующее. Если при каждом j ∈ {0, 1} суже-
ние отображения T на пространство Xj является ограниченным оператором T : Xj → Yj , то и
сужение отображения T на пространство Xψ является ограниченным оператором T : Xψ → Yψ.
Если функция ψ — интерполяционный параметр, то будем говорить, что пространство Xψ
получено интерполяцией пары X с параметром ψ. В этом случае выполняются непрерывные
и плотные вложения X1 ↪→ Xψ ↪→ X0, а пространство Xψ является интерполяционным для
пары X .
Классический результат Ж.-Л. Лионса и С. Г. Крейна состоит в том, что степенная функция
ψ(t) := tθ, где 0 < θ < 1, является интерполяционным параметром. При этом показатель θ
является числовым параметром интерполяции.
Приведем описание всех интерполяционных параметров (в смысле данного выше опреде-
ления).
Пусть заданы функция ψ : (0,∞) → (0,∞) и число r ≥ 0. Функция ψ называется псевдо-
вогнутой на полупрямой (r,∞), если существует вогнутая функция ψ1 : (r,∞)→ (0,∞) такая,
что ψ � ψ1 на (r,∞). Функция ψ называется псевдовогнутой в окрестности бесконечности,
если она псевдовогнута на некоторой полупрямой (r,∞), где r — достаточно большое число.
Предложение 3. Функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром тогда и толь-
ко тогда, когда она псевдовогнута в окрестности бесконечности.
Этот факт вытекает из описания класса всех интерполяционных функций для весовых
пространств типа Lp(Rn), полученного Ж. Петре [17] (см. также [15, с. 118]). Доказательство
предложения 3 приведено, например, в [1] (п. 1.1.9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 397
В. И. Овчинникову [18, с. 511] принадлежит описание (с точностью до эквивалентности
норм) всех гильбертовых пространств, интерполяционных для произвольной фиксированной
пары гильбертовых пространств. Применительно к рассмотренному нами случаю его результат
можно сформулировать следующим образом.
Пусть X = [X0, X1] — произвольная допустимая пара гильбертовых пространств.
Предложение 4. Предположим, что гильбертово пространство H является интерпо-
ляционным для пары X . Тогда существует псевдовогнутая в окрестности бесконечности
функция ψ ∈ B такая, что пространства H и Xψ равны, а нормы в них эквивалентны.
Таким образом, класс всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пары X,
совпадает с классом пространств Xψ, где ψ ∈ B — произвольная псевдовогнутая функция в
окрестности бесконечности.
В этой связи нам будет полезно следующее свойство псевдовогнутых функций [1, с. 41]
(лемма 1.2).
Предложение 5. Пусть заданы функция ψ ∈ B и число r ≥ 0. Функция ψ псевдовогнута
на полупрямой (r,∞) тогда и только тогда, когда существует число c > 0 такое, что
ψ(τ1)
ψ(τ2)
≤ c max
{
1,
τ1
τ2
}
для любых τ1, τ2 > r. (7)
Отметим, что в случае r = 0 этот факт установлен Ж. Петре [17], при этом условие ψ ∈ B
излишне.
Доказательству теоремы 1 предпошлем следующую интерполяционную лемму.
Лемма 1. Пусть s0, s1 ∈ R, s0 < s1, а функция ψ ∈ B является интерполяционным
параметром. Положим
ϕ(t) := ts0 ψ(ts1−s0) при t ≥ 1. (8)
Тогда функция ϕ принадлежит классу RO и выполняется следующее равенство пространств
и норм в них:
[H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)]ψ = Hϕ(Rn). (9)
Доказательство. Сначала покажем, что ϕ принадлежит классу RO. В силу определения,
функция ϕ измерима по Борелю на полупрямой [1,∞). Покажем, что она удовлетворяет усло-
вию (2). Поскольку ψ — интерполяционный параметр, в силу предложения 3 функция ψ псев-
довогнута на полупрямой (r,∞) для некоторого r � 1. Поэтому на основании предложения 5
имеем следующее:
ϕ(λt)
ϕ(t)
= λs0
ψ((λt)s1−s0)
ψ(ts1−s0)
≤ λs0 c1 max{1, λs1−s0} = c1 λ
s1 ,
ϕ(t)
ϕ(λt)
= λ−s0
ψ(ts1−s0)
ψ((λt)s1−s0)
≤ λ−s0 c1 max{1, λs0−s1} = c1 λ
−s0
для произвольных t > r1 := r1/(s1−s0) и λ ≥ 1. Здесь число c1 > 0 не зависит от t и λ. Отсюда
получаем неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
398 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
c−12 ≤
ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c 2 для любых t > r1, λ ∈ [1, 2]. (10)
Кроме того, поскольку ψ ∈ B, то ϕ � 1 на отрезке [1, 2 r1], следовательно,
c−13 ≤
ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c 3 для любых t ∈ [1, r1], λ ∈ [1, 2]. (11)
В формулах (10) и (11) числа c 2, c 3 ≥ 1 не зависят от t и λ. На основании этих формул
заключаем, что функция ϕ удовлетворяет условию (2), где a = 2 и c = max{c 2, c 3}, т. е. ϕ
принадлежит классу RO.
Теперь докажем равенство (9). Пара соболевских пространств [H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)] допус-
тимая. Псевдодифференциальный оператор с символом 〈ξ〉s1−s0 , где ξ ∈ Rn, является порож-
дающим оператором J для этой пары. С помощью преобразования Фурье F : H(s0)(Rn) ↔
↔ L2(Rn, 〈ξ〉2s0 dξ) оператор J приводится к оператору умножения на функцию 〈ξ〉s1−s0 .
Следовательно, оператор ψ(J) приводится к оператору умножения на функцию ψ(〈ξ〉s1−s0) =
= 〈ξ〉−s0ϕ(〈ξ〉). Поэтому для любой функции u ∈ C∞0 (Rn) можно записать
‖u‖2
[H(s0)(Rn),H(s1)(Rn)]ψ
= ‖ψ(J)u‖2
H(s0)(Rn) =
=
∫
Rn
|(ψ̂(J)u)(ξ)|2 〈ξ〉2s0 dξ =
∫
Rn
|ψ(〈ξ〉s1−s0) û(ξ)|2 〈ξ〉2s0 dξ =
=
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) |û(ξ)|2 dξ = ‖u‖2ϕ для всех u ∈ C∞0 (Rn).
Отсюда следует равенство пространств (9) и норм в них, так как множество C∞0 (Rn) плотно
в каждом из этих пространств. (Заметим, что множество C∞0 (Rn) плотно в интерполяцион-
ном пространстве [H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)]ψ, поскольку это множество плотно в соболевском
пространстве H(s1)(Rn), которое в свою очередь непрерывно и плотно вложено в указанное
интерполяционное пространство.)
Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 1. Необходимость. Предположим, что гильбертово простран-
ство H является интерполяционным для некоторой пары соболевских пространств
[H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)], где s0, s1 ∈ Z и s0 < s1. Тогда в силу предложения 4 существует
псевдовогнутая в окрестности бесконечности функция ψ ∈ B такая, что
H = [H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)]ψ
с точностью до эквивалентности норм. Отсюда на основании предложения 3 и леммы 1 заклю-
чаем, что H = Hϕ(Rn), где функциональный параметр ϕ ∈ RO определен по формуле (8).
Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что гильбертово пространство H равно Hϕ(Rn) с точно-
стью до эквивалентности норм для некоторого ϕ ∈ RO. Выберем числа s0, s1 ∈ Z так, чтобы
s0 < σ0(ϕ), s1 > σ1(ϕ), и положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 399
ψ(τ) :=
τ−s0/(s1−s0) ϕ(τ1/(s1−s0)) при τ ≥ 1,
ϕ(1) при 0 < τ < 1.
(12)
Борелевская функция ψ принадлежит классу B (в силу предложения 1 (i)) и удовлетворяет
равенству (8). Кроме того, она является интерполяционным параметром. Это устанавливается
с помощью предложений 3 и 5 следующим образом.
Для произвольных τ1 ≥ τ2 ≥ 1 в силу правого неравенства в формуле (4) имеем соотноше-
ния
ψ(τ1)
ψ(τ2)
=
τ
−s0/(s1−s0)
1 ϕ(τ
1/(s1−s0)
1 )
τ
−s0/(s1−s0)
2 ϕ(τ
1/(s1−s0)
2 )
≤ λ−s0/(s1−s0)1 c λ
s1/(s1−s0)
1 = c λ1 = c max
{
1,
τ1
τ2
}
,
где λ1 := τ1/τ2 ≥ 1, а число c > 0 не зависит от τ1 и τ2. Аналогично, для любых τ2 ≥ τ1 ≥ 1
на основании левого неравенства в (4) можно записать оценку
ψ(τ1)
ψ(τ2)
≤ λs0/(s1−s0)2 c λ
−s0/(s1−s0)
2 = c = c max
{
1,
τ1
τ2
}
,
где λ2 := τ2/τ1 ≥ 1. Таким образом, выполняется неравенство (7), в котором r = 1, и функция ψ
псевдовогнута на полупрямой (1,∞) в силу предложения 5. Отсюда на основании предложения
3 делаем вывод, что ψ — интерполяционный параметр.
Напомним, что ψ удовлетворяет соотношению (8). Поэтому согласно лемме 1 выполняет-
ся равенство пространств (9). Следовательно, пространство H, равное Hϕ(Rn) с точностью
до эквивалентности норм, является интерполяционным для выбранной пары соболевских про-
странств [H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)], где, напомним, s0, s1 ∈ Z.
Достаточность доказана. Тем самым установлена теорема 1.
4. Эллиптические операторы и шкала. Согласно определению, норма в пространстве
Hϕ(Rn), ϕ ∈ RO, удовлетворяет равенству
‖u‖ϕ = ‖ϕ(1−∆)u‖L2(Rn) для любого u ∈ C∞0 (Rn).
Здесь, как обычно, ∆ — оператор Лапласа в Rn, а ϕ(1−∆) — функция ϕ от оператора 1−∆,
рассматриваемого как неограниченный самосопряженный оператор в L2(Rn). Оказывается, что
вместо оператора 1 − ∆ можно использовать равномерно эллиптический псевдодифференци-
альный оператор (ПДО), удовлетворяющий некоторым условиям. При этом получим эквива-
лентную норму в пространстве Hϕ(Rn). Соответствующий результат будет установлен ниже в
теореме 2.
Предварительно приведем необходимые нам результаты, относящиеся к равномерно эллип-
тическим ПДО, заданным в Rn.
Следуя [19] (п. 1.1), обозначим через Ψm(Rn), m ∈ R, класс всех ПДО A в Rn таких,
что их символ a(x, ξ) является комплекснозначной бесконечно дифференцируемой функцией
аргументов x, ξ ∈ Rn, удовлетворяющей следующему условию: для любых мультииндексов α
и β существует число cα,β > 0, при котором∣∣∂αx ∂βξ a(x, ξ)
∣∣ ≤ cα,β 〈ξ〉m−|β| для всех x, ξ ∈ Rn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
400 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
(Здесь, как обычно, |β| := β1 + . . . + βn для мультииндекса β = (β1, . . . , βn).) Число m
называется (формальным) порядком ПДО A ∈ Ψm(Rn).
Отметим, что ПДО класса Ψm(Rn) являются ограниченными операторами в соответству-
ющих парах пространств расширенной соболевской шкалы. А именно, для любого ПДО A ∈
∈ Ψm(Rn) сужение линейного отображения u 7→ Au, u ∈ S ′(Rn), на пространство Hϕ(Rn)
является ограниченным оператором
A : Hϕ(Rn)→ Hϕρ−m(Rn) для любого ϕ ∈ RO.
Здесь и далее ρ(t) := t при t ≥ 1. Заметим, что ϕρ−m ∈ RO. В случае (гильбертовых)
пространств Соболева это свойство ПДО известно [19] (теорема 1.1.2). Общая ситуация про-
извольного ϕ ∈ RO следует из соболевского случая с помощью интерполяционной леммы 1.
Пусть A — произвольный ПДО класса Ψm(Rn), где m > 0. Предположим, что он удовле-
творяет следующим условиям:
(i) ПДО A равномерно эллиптический в Rn, т. е. существуют положительные числа c1 и c2
такие, что
(x, ξ ∈ Rn, |ξ| ≥ c2) ⇒ |a(x, ξ)| ≥ c1|ξ|m;
(ii) неограниченный оператор u 7→ Au, где u ∈ C∞0 (Rn), является положительно опреде-
ленным в гильбертовом пространстве L2(Rn), т. е. существует число r > 0 такое, что
(Au, u)(0) ≥ r ‖u‖(0) для любого u ∈ C∞0 (Rn).
Здесь и далее через (·, ·)(0) и ‖ · ‖(0) обозначены соответственно скалярное произведение и
норма в пространстве L2(Rn) = H(0)(Rn).
Из условий (i) и (ii) следует, что отображение u 7→ Au, u ∈ Hm(Rn), является неограни-
ченным самосопряженным и положительно определенным оператором в пространстве L2(Rn)
(см. [19] (п. 3.1 b и п. 2.3)). Обозначим этот оператор через A0. Его спектр расположен на
полуоси [r,∞).
Лемма 2. Сужение отображения u 7→ Au, u ∈ S ′(Rn), на пространство Hϕ(Rn) явля-
ется изоморфизмом
A : Hϕ(Rn)↔ Hϕρ−m(Rn) для любого ϕ ∈ RO. (13)
Доказательство. Сначала отметим, что в парах пространств Соболева отображение u 7→
7→ Au определяет изоморфизм
A : H(s)(Rn)↔ H(s−m)(Rn) для любого s ∈ R. (14)
В случае s = m это непосредственно следует из указанных выше свойств оператора A0.
Отсюда следует изоморфизм (14) для произвольного s > m. Действительно, для любого
f ∈ H(s−m)(Rn) существует единственное решение u ∈ H(m)(Rn) уравнения Au = f . Но
поскольку ПДО A равномерно эллиптический в Rn, то u ∈ H(s)(Rn) (см. [19] (теорема 1.8.5)).
Следовательно, непрерывное отображение (14) взаимно однозначно и поэтому является изо-
морфизмом (по теореме Банаха об обратном операторе). Случай s ≤ 0 получается теперь
переходом к оператору, сопряженному к (14), а случай 0 < s < m — аналогично случаю s > m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 401
Для произвольного ϕ ∈ RO изоморфизм (13) установим с помощью интерполяции. Выберем
целые числа s0 < σ0(ϕ) и s1 > σ1(ϕ). Рассмотрим изоморфизмы пар соболевских пространств:
A : H(sj)(Rn)↔ H(sj−m)(Rn) для j = 0, 1. (15)
Определим функцию ψ по формуле (12). Как показано в доказательстве теоремы 1, эта функция
является интерполяционным параметром. Поэтому изоморфизмы (15) влекут за собой еще один
изоморфизм
A :
[
H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)
]
ψ
↔
[
H(s0−m)(Rn), H(s1−m)(Rn)
]
ψ
. (16)
Согласно (12) функция ϕ удовлетворяет равенству (8), которое можно записать в таком виде:
ϕ(t)t−m := ts0−m ψ
(
t(s1−m)−(s0−m)
)
при t ≥ 1.
Следовательно, в силу леммы 1 справедливы интерполяционные формулы (9) и[
H(s0−m)(Rn), H(s1−m)(Rn)
]
ψ
= Hϕ%−m(Rn).
Они вместе с (16) влекут изоморфизм (13).
Лемма 2 доказана.
Доопределим ϕ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1. Поскольку SpecA0 ⊂ (0,∞), в гильбертовом
пространстве L2(Rn) определен оператор ϕ(A
1/m
0 ) как борелевская функция ϕ(t1/m), t > 0, от
положительного самосопряженного оператора A0.
В силу предложения 2 (ii) положим
H∞(Rn) :=
⋂
s∈R
H(s)(Rn) =
⋂
ϕ∈RO
Hϕ(Rn).
Лемма 3. Справедливы следующие утверждения:
(i) Область определения оператора ϕ(A
1/m
0 ) содержит множество H∞(Rn).
(ii) Отображение
u 7→ ‖ϕ(A
1/m
0 )u‖(0) =: ‖u‖ϕ,A, u ∈ H∞(Rn), (17)
является гильбертовой нормой.
Доказательство. (i) В силу предложения 1 (iii) (где полагаем t := 1) существуют числа k ∈
∈ N и c > 0 такие, что ϕ(τ1/m) ≤ c τk для всех τ ≥ 1 (достаточно выбрать целое k > σ1(ϕ)/m).
Следовательно,
H∞(Rn) ⊂ Hkm(Rn) = DomAk0 ⊆ Domϕ(A
1/m
0 ).
(ii) Для отображения (17) все свойства нормы очевидны, за исключением свойства положи-
тельной определенности. Докажем его. Для произвольной функции u ∈ H∞(Rn) на основании
спектральной теоремы запишем
‖ϕ(A
1/m
0 )u‖2(0) =
∞∫
r
ϕ2(t1/m) d(Et u, u)(0), (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
402 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
‖u‖2L2(Rn) =
∞∫
r
d(Et u, u)(0). (19)
Здесь Et, t ≥ r, — разложение единицы, соответствующее самосопряженному оператору A0 в
пространстве L2(Rn). Теперь, если левая часть равенства (18) равна 0, мера (E(·)u, u)L2(Rn)
множества [r,∞) также равна 0, поскольку ϕ > 0. Отсюда в силу (19) получаем, что u = 0 в
Rn. Таким образом, отображение (17) — норма и, очевидно, она гильбертова.
Лемма 3 доказана.
Обозначим через Hϕ
A(Rn) пополнение пространства C∞0 (Rn) по гильбертовой норме (17).
Теорема 2. Для произвольной функции ϕ ∈ RO нормы в пространствах Hϕ(Rn) и
Hϕ
A(Rn) эквивалентны на плотном множестве C∞0 (Rn). Тем самым Hϕ(Rn) = Hϕ
A(Rn) с
точностью до эквивалентности норм.
Доказательство. Предположим сначала, что функция ϕ ∈ RO удовлетворяет условию
σ0(ϕ) > 0. Выберем число k ∈ N так, чтобы km > σ1(ϕ). Поскольку оператор Ak0 замкнут
и положительно определен в пространстве L2(Rn), его область определения DomAk0 является
гильбертовым пространством относительно скалярного произведения (Aku1, A
ku2)(0) функций
u1, u2. При этом пара гильбертовых пространств [L2(Rn),DomAk0] допустима и оператор Ak0
является порождающим для нее. Кроме того, пространства DomAk0 и H(km)(Rn) совпадают с
точностью до эквивалентности норм в силу леммы 2. Определим интерполяционный параметр
ψ по формуле (12), где s0 := 0 < σ0(ϕ) и s1 = km > σ1(ϕ). Так как ϕ(t) = ψ(tkm) при t > 0,
в силу леммы 1 имеем
‖u‖ϕ = ‖u‖[H0(Rn),H(km)(Rn)]ψ � ‖u‖[L2(Rn),DomAk0 ]ψ
=
= ‖ψ(Ak0)u‖(0) = ‖ϕ(A
1/m
0 )u‖(0) = ‖u‖ϕ,A,
где u ∈ H∞(Rn), а знак � обозначает эквивалентность норм.
В случае σ0(ϕ) > 0 теорема доказана.
Пусть теперь функция ϕ ∈ RO произвольна. Выберем число k ∈ N так, чтобы σ0(ϕ)+km > 0.
Тогда σ0(ϕρkm) > 0 и по уже доказанному
‖v‖ϕρkm � ‖v‖ϕρkm,A, v ∈ H∞(Rn). (20)
В силу леммы 2 ПДО Ak задает изоморфизм
Ak : Hϕρkm(Rn)↔ Hϕ(Rn).
Обозначим через A−k оператор, обратный к Ak. Пусть u принадлежит C∞0 (Rn). Воспользовав-
шись формулой (20) для v := A−ku ∈ H∞(Rn), получим требуемую эквивалентность норм
‖u‖ϕ � ‖A−ku‖ϕρkm � ‖A−ku‖ϕρkm,A = ‖ϕ(A
1/m
0 )Ak0A
−ku‖(0) = ‖u‖ϕ,A.
Теорема 2 доказана.
Выделим следующий важный случай.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 403
Теорема 3. Предположим, что функция ϕ ∈ RO отделена от нуля на полуоси [1,∞).
Тогда пространство Hϕ(Rn) совпадает с областью определения оператора ϕ(A
1/m
0 ), причем
норма в пространстве Hϕ(Rn) эквивалентна норме графика оператора ϕ(A
1/m
0 ).
Доказательство. Пространство Domϕ(A
1/m
0 ) гильбертово относительно скалярного про-
изведения графика замкнутого оператора ϕ(A
1/m
0 ). По условию существует число c > 0 такое,
что ϕ(t) ≥ c при t > 0. Следовательно,
‖ϕ(A
1/m
0 )u‖(0) ≥ c ‖u‖(0)) для любого u ∈ H∞(Rn).
Отсюда в силу теоремы 2 следует требуемая эквивалентность норм на множестве H∞(Rn).
Остается доказать его плотность в пространстве Domϕ(A
1/m
0 ).
Пусть u принадлежит Domϕ(A
1/m
0 ). Поскольку ϕ(A
1/m
0 )u принадлежит L2(Rn), существу-
ет последовательность функций vj ∈ C∞0 (Rn) такая, что vj → ϕ(A
1/m
0 )u в L2(Rn) при j →∞.
Так как 1/ϕ(t1/m) ≤ 1/c при t > 0, оператор ϕ−1(A1/m
0 ) ограничен в пространстве L2(Rn).
Следовательно,
uj := ϕ−1(A
1/m
0 )vj → u, ϕ(A
1/m
0 )uj = vj → ϕ(A
1/m
0 )u
в L2(Rn) при j → ∞. Иными словами, uj → u по норме графика оператора ϕ(A
1/m
0 ). Кроме
того, поскольку vj ∈ C∞0 (Rn), для каждого k ∈ N в силу леммы 2 имеем
uj = A−k0 ϕ−1(A
1/m
0 )Ak0 vj ∈ H(km)(Rn).
Следовательно, uj принадлежит H∞(Rn) и тем самым плотность множества H∞(Rn) в про-
странстве Domϕ(A
1/m
0 ) установлена.
Теорема 3 доказана.
5. Дополнения и замечания. В последнее время пространства Хермандера и их различные
аналоги, называемые пространствами обобщенной гладкости, активно исследуются как сами
по себе, так и с точки зрения приложений. Для таких пространств показателем гладкости
является не числовой, а функциональный параметр. В этой связи отметим недавние монографии
Б. Панеяха [12], Х. Трибеля [20], Н. Якоба [21] и Ф. Никола, Л. Родино [22].
Среди пространств обобщенной гладкости расширенная соболевская шкала занимает осо-
бое место благодаря своим интерполяционным свойствам. Они обуславливают различные ее
применения в теории эллиптических операторов [23 – 30]. Можно ожидать, что расширенная
соболевская шкала окажется полезной и в других областях математического анализа и теории
дифференциальных уравнений, в частности там, где используются интерполяционные шкалы
гильбертовых пространств (см., например, [31, 32]).
1. Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т
математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (Доступно на arXiv: 1106.3214.)
2. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
3. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.)
4. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. II: Differential operators with constant coefficients.–
Berlin: Springer, 1983. – viii+391 p. (Рус. перевод: Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных опера-
торов с частными производными. – М.: Мир, 1986. – Т. 2. – 456 с.)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
404 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
5. Volevich L. R., Paneah B. P. Certain spaces of generalized functions and embedding theorems // Rus. Math. Surv. –
1965. – 20, № 1. – P. 1 – 73.
6. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic operators in a refined scale of function spaces // Ukr. Math. J. – 2005. – 57,
№ 5. – P. 817 – 825.
7. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
8. Mikhailets V. A., Murach A. A. A regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided
improved scale of spaces // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 11. – P. 1748 – 1767.
9. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
10. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr. Math.
J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
11. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic problems and Hörmander spaces // Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2009. –
191. – P. 447 – 470.
12. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.– Berlin: Wiley–VCH, 2000. – 348 p.
13. Seneta E. Regularly varying functions. – Berlin: Springer, 1976. – 112 p. (Рус. перевод: Сенета Е. Правильно
меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.)
14. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
15. Bergh J., Löfström J. Interpolation spaces. An introduction. – Berlin: Springer, 1976. – x+207 p. (Рус. перевод:
Берг Й, Лeфстрeм Й. Интерполяционные пространства. Введение. – М.: Мир, 1980. – 264 с.)
16. Foiaş C., Lions J.-L. Sur certains théorèmes d’interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1961. – 22, № 3-4. –
P. 269 – 282.
17. Peetre J. On interpolation functions. II // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1968. – 29, № 1-2. – P. 91 – 92.
18. Ovchinnikov V. I. The methods of orbits in interpolation theory // Math. Rep. Ser. 1. – 1984. – № 2. – P. 349 – 515.
19. Agranovich M. S. Elliptic operators on closed manifolds // Encycl. Math. Sci. Partial Different. Equat. VI. – Berlin:
Springer, 1994. – 63. – P. 1 – 130.
20. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
21. Jacob N. Pseudodifferential operators and Markov processes (in 3 volumes). – London: Imperial College Press, 2001,
2002, 2005. – xxii+493 p., xxii+453 p., xxviii+474 p.
22. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – x+306 p.
23. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 6. – P. 874 – 893.
24. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
25. Murach A. A. Douglis-Nirenberg elliptic systems in the refined scale of spaces on a closed manifold // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 2. – P. 142 – 158.
26. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic systems of pseudodifferential equations in the refined scale on a closed
manifold // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. – 2008. – 56, № 3-4. – P. 213 – 224.
27. Murach A. A. On elliptic systems in Hörmander spaces // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 3. – P. 467 – 477.
28. Зинченко Т. Н., Мурач А. А. Эллиптические по Дуглису – Ниренбергу системы в пространствах Хермандера //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 11. – С. 1477 – 1491.
29. Mikhailets V. A., Murach A. A. On the unconditional almost-everywhere convergence of general orthonormal series //
Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 10. – P. 1543 – 1550.
30. Mikhailets V. A., Murach A. A. General forms of the Menshov – Rademacher, Orlicz, and Tandori theorems on
orthogonal series // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2011. – 17, № 4. – P. 330 – 340.
31. Hegland M. Error bounds for spectral enhancement which are based on variable Hilbert scale inequalities // J. Integral
Equat. and Appl. – 2010. – 22, № 2. – P. 285 – 312.
32. Mathé P., Tautenhahn U. Interpolation in variable Hilbert scales with application to innverse problems // Inverse
Problems. – 2006. – 22, № 6. – P. 2271 – 2297.
Получено 15.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2426 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:13Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/87/c4c532d0d951c76c8b499da533ee9f87.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24262020-03-18T19:15:16Z Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators Расширенная соболевская шкала и эллиптические операторы Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. We obtain a constructive description of all Hilbert function spaces that are interpolation spaces with respect to a couple of Sobolev spaces $[H^{(s_0)}(\mathbb{R}^n), H^{(s_1)}(\mathbb{R}^n)]$ of some integer orders $s_0$ and $s_1$ and that form an extended Sobolev scale. We find equivalent definitions of these spaces with the use of uniformly elliptic pseudodifferential operators positive definite in $L_2(\mathbb{R}^n)$. Possible applications of the introduced scale of spaces are indicated. Отримано конструктивний опис усiх гiльбертових функцiональних просторiв, якi є iнтерполяцiйними для пари соболєвських просторiв $[H^{(s_0)}(\mathbb{R}^n), H^{(s_1)}(\mathbb{R}^n)]$ деяких цiлих порядкiв $s_0$ i $s_1$ та утворюють розширену соболєвську шкалу. Знайдено еквiвалентнi означення таких просторiв за допомогою додатно визначених в $L_2(\mathbb{R}^n)$. рiвномiрно елiптичних псевдодиференцiальних операторiв. Зазначено можливi застосування введеної шкали просторiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2426 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 3 (2013); 392-404 Український математичний журнал; Том 65 № 3 (2013); 392-404 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2426/1619 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2426/1620 Copyright (c) 2013 Mikhailets V. A.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators |
| title | Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators |
| title_alt | Расширенная соболевская шкала и эллиптические операторы |
| title_full | Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators |
| title_fullStr | Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators |
| title_full_unstemmed | Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators |
| title_short | Extended Sobolev Scale and Elliptic Operators |
| title_sort | extended sobolev scale and elliptic operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2426 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva extendedsobolevscaleandellipticoperators AT murachaa extendedsobolevscaleandellipticoperators AT mihajlecva extendedsobolevscaleandellipticoperators AT muračaa extendedsobolevscaleandellipticoperators AT mihajlecva extendedsobolevscaleandellipticoperators AT muračaa extendedsobolevscaleandellipticoperators AT mikhailetsva rasširennaâsobolevskaâškalaiélliptičeskieoperatory AT murachaa rasširennaâsobolevskaâškalaiélliptičeskieoperatory AT mihajlecva rasširennaâsobolevskaâškalaiélliptičeskieoperatory AT muračaa rasširennaâsobolevskaâškalaiélliptičeskieoperatory AT mihajlecva rasširennaâsobolevskaâškalaiélliptičeskieoperatory AT muračaa rasširennaâsobolevskaâškalaiélliptičeskieoperatory |