Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers
We study functional, differential, integral, self-affine, and fractal properties of continuous functions belonging to a finite-parameter family of functions with a continuum set of "peculiarities". Almost all functions of this family are singular (their derivative is equal to zero...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2427 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508312640946176 |
|---|---|
| author | Kalashnikov, A. V. Pratsiovytyi, M. V. Калашніков, А. В. Працьовитий, М. В. |
| author_facet | Kalashnikov, A. V. Pratsiovytyi, M. V. Калашніков, А. В. Працьовитий, М. В. |
| author_sort | Kalashnikov, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:16Z |
| description | We study functional, differential, integral, self-affine, and fractal properties of continuous functions belonging to a
finite-parameter family of functions with a continuum set of "peculiarities". Almost all functions of this family are singular (their derivative is equal to zero almost everywhere in the sense of Lebesgue)
or nowhere monotone, in particular, nondifferentiable.
We consider different approaches to the definition of these functions (using a system of functional equations, projectors of symbols of different representations, distribution of random variables, etc.). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51 + 519.21
М. В. Працьовитий, А. В. Калашнiков (Iн-т математики НАН України, Київ)
САМОАФIННI СИНГУЛЯРНI ТА НIДЕ НЕ МОНОТОННI ФУНКЦIЇ,
ПОВ’ЯЗАНI З Q-ЗОБРАЖЕННЯМ ДIЙСНИХ ЧИСЕЛ
We study functional, differential, integral, self-affine, and fractal properties of continuous functions belonging to a finite-
parameter family of functions with a continuum set of “peculiarities”. Almost all functions of this family are singular
(their derivative is equal to zero almost everywhere in the sense of Lebesgue) or nowhere monotone, in particular,
nondifferentiable. We consider different approaches to the definition of these functions (using a system of functional
equations, projectors of symbols of different representations, distribution of random variables, etc.).
Исследуются функциональные, дифференциальные, интегральные, самоаффинные и фрактальные свойства непре-
рывных функций, принадлежащих конечнопараметрическому семейству функций, каждая из которых имеет кон-
тинуальное множество „особенностей". Почти все функции данного семейства являются сингулярными (имеют
производную, равную нулю почти всюду в смысле меры Лебега) или нигде не монотонными, в частности недиф-
ференцируемыми. Рассматриваются разные подходы к определению таких функций (системой функциональных
уравнений, проекторов символов различных представлений, распределением случайных величин и др.).
1. Вступ. Локальна поведiнка неперервних на вiдрiзку функцiй може бути як тривiально прос-
тою, так i достатньо складною. Навiть серед строго монотонних функцiй iснують функцiї з
надзвичайно неоднорiдними локальними властивостями. До таких вiдносяться i сингулярнi
функцiї розподiлу (неперервнi функцiї, похiдна яких дорiвнює нулю майже скрiзь у розумiн-
нi мiри Лебега), iнтерес до яких в останнi десятирiччя постiйно зростає. Ще складнiшою є
поведiнка звивистих (нiде не монотонних) функцiй [17]. Цi два класи функцiй ми вiдносимо
до сiм’ї функцiй зi складною локальною будовою (функцiй, якi мають „особливостi” в кожно-
му як завгодно малому iнтервалi областi визначення). Сингулярнi функцiї часто виникають у
дослiдженнях з теорiї ймовiрностей при вивченнi розподiлiв випадкових величин типу Джессе-
на – Вiнтнера та їх аналогiв [5], зокрема нескiнченних згорток Бернуллi. Зазначимо, що вони є
домiнуючими в класах функцiй розподiлу випадкових величин, символи (цифри) яких в тiй чи
iншiй системi зображення (наприклад, ланцюговим дробом [15], рядами Остроградського 1- i
2-го видiв [16], рядами Люрота, рядами Енгеля та iн.) є незалежними випадковими величинами.
Теореми Банаха – Мазуркевича [5] та Замфiреску [12] свiдчать про те, що сiм’ї таких функцiй
„немалi”, а точнiше, є множинами другої категорiї Бера у просторi неперервних на вiдрiзку
функцiй з рiвномiрною метрикою та у просторi функцiй розподiлу з супремум-метрикою. Бiль-
ше того, тiсний зв’язок теорiї таких функцiй з теорiєю фракталiв, яка в останнiй час бурхливо
розвивається, пiдсилює вказаний iнтерес.
Зауважимо, що для вказаної категорiї функцiй iснує спiльна проблема — проблема наяв-
ностi ефективного „апарату” їх задання та дослiдження. В останнiй час з цiєю метою широко
використовуються рiзнi системи зображення дiйсних чисел (системи числення) та теорiя рядiв.
У данiй роботi дослiджується скiнченнопараметрична сiм’я неперервних функцiй, кожна з
яких є сингулярною або звивистою. Для їх задання ми використовуємо систему функцiональних
рiвнянь i узагальнення s-кового запису дiйсного числа, так зване Q-зображення, геометрiя i
метрична теорiя якого є добре вивченими [5]. Нас цiкавлять диференцiальнi i iнтегральнi,
самоафiннi i фрактальнi властивостi дослiджуваних функцiй.
c© М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, А. В. КАЛАШНIКОВ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3 405
406 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, А. В. КАЛАШНIКОВ
2. Q-зображення дiйсного числа. Введемо позначення, якi будемо використовувати при
подальшому викладi. Нехай 1 < s — фiксоване натуральне число, A = {0, 1, . . . , s − 1} —
алфавiт s-кової системи числення, Q = {q0, q1, . . . , qs−1}, qi > 0, q0 + q1 + . . . + qs−1 = 1,
γ0 = 0, γk =
∑k−1
j=0
qj , k = 1, 2, . . . , s.
Теорема 1 [1]. Для довiльного дiйсного числа x ∈ [0, 1] iснує нескiнченна послiдовнiсть
(αn) , αn ∈ A, n ∈ N, така, що
x = γα1 +
∞∑
k=2
γαk
k−1∏
j=0
qαj
≡ ∆Q
α1α2...αk...
. (1)
Подання числа x у виглядi ряду (1) називається Q-зображенням x, а його формальний
скорочений запис ∆Q
α1α2...αk... — Q-зображенням. При цьому αk = αk(x) називається k-м Q-
символом (Q-цифрою) числа x.
Злiченна множина чисел має два Q-зображення. Це числа вигляду
∆Q
α1α2...αk0...0...
≡ ∆Q
α1α2...αk(0)
= ∆Q
α1α2...αk−1(αk−1)((s−1)) ≡ ∆Q
α1α2...αk−1(αk−1)(s−1)...(s−1)....
Такi числа називаютьсяQ-рацiональними, а решта чисел —Q-iррацiональними. Для кожного
Q-iррацiонального числа x k-й Q-символ αk(x) є коректно визначеною функцiєю вiд x, а для
Q-рацiонального числа — пiсля домовленостi використовувати лише одне з двох зображень,
наприклад перше. У випадку необхiдностi ми на цьому будемо акцентувати увагу окремо.
Зауваження 1. Якщо q0 = q1 = . . . = qs−1 =
1
s
, то Q-зображення є s-ковим розкладом
числа. Тому Q-зображення є узагальненням s-кового зображення числа. Зазначимо, що Q-
символи числа є iндексами в його Q-зображеннi, а не коефiцiєнтами, як в s-ковому розкладi.
При вивченнi геометрiї Q-зображення i побудовi вiдповiдної метричної теорiї, яка займа-
ється розв’язанням задач про мiру множин чисел з умовами на їх зображення, продуктивним є
поняття цилiндра.
Означення 1. Цилiндром рангу m з основою c1c2 . . . cm, ci ∈ A, називається множина
∆Q
c1...cm , що складається з усiх чисел вiдрiзка [0, 1], якi мають Q-зображення, у якого першi m
Q-символiв збiгаються з c1, c2, . . . , cm вiдповiдно, тобто
∆Q
c1...cm =
{
x : αj(x) = ci, i = 1,m
}
.
Цилiндри мають наступнi властивостi:
1) цилiндр є вiдрiзком, а саме, ∆Q
c1...cm =
[
∆Q
c1...cm(0),∆
Q
c1...cm((s−1))
]
;
2) ∆Q
c1...cm =
s−1⋃
i=0
∆Q
c1...cmi
, sup ∆Q
c1...cmi
= inf ∆Q
c1...cm(i+1);
3)
∣∣∣∆Q
c1...cm
∣∣∣ =
∏m
i=1
qci ;
4)
∣∣∣∆Q
c1...cmi
∣∣∣ = qi
∣∣∣∆Q
c1...cm
∣∣∣ ;
5)
∞⋂
m=1
∆Q
c1...cm ≡ ∆Q
c1...cm... = x ∈ [0, 1];
6) цилiндри є метрично незалежними множинами;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
САМОАФIННI СИНГУЛЯРНI ТА НIДЕ НЕ МОНОТОННI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З Q-ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 407
7) класу цилiндрiв, що вiдповiдаютьQ-зображенню, достатньо для еквiвалентного означен-
ня фрактальної розмiрностi Хаусдорфа – Безиковича.
Останню рiвнiсть ми називаємо основним метричним вiдношенням.
3. Основний об’єкт дослiдження. Нехай p0, p1, . . . , ps−1 — дiйснi числа такi, що p0+p1+. . .
. . . + ps−1 = 1; β0 ≡ 0, βk ≡
∑k−1
i=0
pi > 0, p∗ ≡ maxi |pi| < 1. Розглядається система s
функцiональних рiвнянь
f
(
∆Q
iα1α2...αn...
)
= βi + pif
(
∆Q
α1α2...αn...
)
, i = 0, s− 1. (2)
Зауважимо, що система (2) для s-кового зображення має вигляд f
(
i+ x
s
)
= βi + pif (x) .
Знайдемо всi функцiї, якi визначенi на [0, 1], обмеженi i задовольняють систему (2).
Теорема 2. Iснує лише одна функцiя f, яка визначена в кожнiй точцi [0, 1], обмежена i
задовольняє систему (2), причому її значення обчислюється за формулою
f (x) = βα1 +
∞∑
k=2
βαk
k−1∏
j=1
pαj
, де x = ∆Q
α1α2...αn.... (3)
Доведення. Використовуючи рiвностi (2) m разiв, отримуємо розклад
f(x) = f
(
∆Q
α1α2...αn...
)
= βα1 + pα1f
(
∆Q
α2α3...αn...
)
=
= βα1 + βα2pα1 + pα1pα2f
(
∆Q
α3α4...αn...
)
= . . .
. . . = βα1 + βα2pα1 + . . .+ βαm
m−1∏
j=1
pαj +
m∏
j=1
pαj
f
(
∆Q
αm+1...αm+k...
)
.
Цей процес можна продовжувати до нескiнченностi, оскiльки функцiя f визначена в усiх
точках [0, 1], а отже, має змiст вираз f
(
∆Q
αm+1αm+2...αm+k...
)
. Оскiльки∣∣∣∣∣∣
m∏
j=1
pαj
∣∣∣∣∣∣ 6 pm∗ → 0 (m→∞),
∣∣∣f(∆Q
αm+1αm+2...αm+k...
)∣∣∣ 6 C = const,
то залишковий член m∏
j=1
pαj
f
(
∆Q
αm+1αm+2...αm+k...
)
прямує до нуля при m→∞. Тому послiдовнiсть
Bm = βα1 + βα2pα1 + . . .+ βαm
m−1∏
j=1
pαj
має границю, що є значенням функцiї f у точцi x. Отже, має мiсце розклад (3).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
408 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, А. В. КАЛАШНIКОВ
Доведемо коректнiсть означення функцiї f рiвнiстю (3), тобто покажемо, що її значення
вiд двох рiзних Q-зображень одного i того ж Q-рацiонального числа
x = ∆Q
α1...αn−1αn(0)
= ∆Q
α1...αn−1(αn−1)((s−1))
збiгаються. З цiєю метою розглянемо рiзницю
δ = f
(
∆Q
α1...αn−1αn(0)
)
− f
(
∆Q
α1...αn−1(αn−1)((s−1))
)
=
=
n−1∏
j=1
pαj
(βαn − βαn−1 − βs−1pαn−1
(
1 + ps−1 + p2s−1 + . . .+ pks−1 + . . .
))
=
=
n−1∏
j=1
pαj
(βαn −
(
βαn−1 + pαn−1
))
= 0.
Отже, вiдповiднi значення збiгаються i функцiя означена коректно.
Зауваження 2. Зрозумiло, що система (2) задає систему iтерованих функцiй, для якої
атрактором буде деяка компактна множина в R2. Але висновок про те, що цiєю множиною буде
графiк неперервної функцiї на [0, 1], взагалi кажучи, є нетривiальним.
Лема 1. Функцiя f, визначена рiвнiстю (3), є неперервною в усiх точках вiдрiзка [0, 1].
Доведення. Розглянемо довiльне x0 ∈ [0, 1] i рiзницю
f(x)− f(x0) =
m−1∏
j=1
pαj
(f(∆Q
αm(x)αm+1(x)...αm+k(x)...
)
− f
(
∆Q
αm(x0)...αm+k(x0)...
))
,
де αm(x) 6= αm(x0), але αi(x) = αi(x0) при i < m.
1. Якщо x0 — Q-iррацiональне число, то умова x→ x0 рiвносильна m→∞ i
∣∣f(x)− f(x0)
∣∣ 6 C
m−1∏
j=1
pαj → 0 (m → ∞),
тобто limx→x0 f(x) = f(x0), i функцiя f(x) є неперервною в точцi x0 за означенням.
2. Якщо x0 — Q-рацiональне число, тобто x0 = ∆Q
α1...αn−1αn(0)
= ∆Q
α1...αn−1(αn−1)((s−1)), то
можна скористатись мiркуваннями з пункту 1, але при розглядi випадку, коли x прямує до x0
злiва, досить використати друге зображення числа x0, а коли x прямує до x0 справа — перше.
Лему 1 доведено.
Наслiдок 1. Система функцiональних рiвнянь (2) у класi неперервних на [0, 1] функцiй має
єдиний розв’язок — функцiю, означену рiвнiстю (3).
4. Умови монотонностi та звивистостi функцiї. Прирiст функцiї f на вiдрiзку ∆Q
c1c2....cm
позначатимемо через µf
(
∆Q
c1...cm
)
, тобто
µf
(
∆Q
c1...cm
)
≡ f
(
∆Q
c1...cm((s−1))
)
− f
(
∆Q
c1...cm(0)
)
.
Лема 2. Має мiсце рiвнiсть µf
(
∆Q
c1c2...cm
)
=
∏m
i=1
pci .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
САМОАФIННI СИНГУЛЯРНI ТА НIДЕ НЕ МОНОТОННI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З Q-ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 409
Справдi, використовуючи вираз значення функцiї (3), маємо
µf (∆Q
c1c2...cm) =
(
m∏
i=1
pci
)(
βs−1 − β0 +
∞∑
k=1
βs−1p
k
s−1
)
=
m∏
i=1
pci .
Наслiдок 2. Функцiя f є сталою на цилiндрi ∆Q
c1c2...cm тодi i тiльки тодi, коли iснує
pck = 0, де k 6 m.
Лема 3. Якщо
∏s−1
i=0
pi 6= 0 i серед чисел p0, p1, . . . , ps−1 знайдеться pi < 0, то функцiя
f не має жодного промiжку монотонностi (є звивистою).
Доведення. Припустимо, що при виконаннi умов леми знайдеться iнтервал (a, b) ⊂ [0, 1]
монотонностi функцiї f. Але очевидно, що iснує цилiндр ∆Q
c1...cm , який повнiстю належить
(a, b), а отже, є промiжком монотонностi f.
Оскiльки p0p1 . . . ps−1 6= 0, то згiдно з лемою 2
µf (∆Q
c1c2...cm) =
m∏
i=1
pci 6= 0
i µf
(
∆Q
c1c2...cm0
)
·µf
(
∆Q
c1c2...cmi
)
< 0, тобто на одному з цилiндрiв ∆Q
c1c2...cm0, ∆Q
c1c2...cmi
функцiя
має додатний, а на iншому — вiд’ємний прирiст. А це суперечить монотонностi функцiї f на
цилiндрi ∆Q
c1c2...cm , що i доводить лему.
5. Самоафiннi властивостi. Нагадаємо, що перетворення простору R2 (бiєктивне вiдобра-
ження множини R2 на себе) називається афiнним, якщо воно зберiгає колiнеарнiсть точок,
тобто кожнi три точки, якi лежать на однiй прямiй (є колiнеарними), переводить в три точки,
що теж лежать на однiй прямiй. Афiннi перетворення R2 утворюють групу вiдносно операцiї
„композицiя” (суперпозицiя) перетворень, головним iнварiантом якої є збереження простого
вiдношення трьох точок.
Означення 2. Множина E простору R2 називається самоафiнною, якщо iснує набiр ϕ1,
ϕ2, . . . , ϕn, n > 1, афiнних перетворень R2 таких, що
E = ϕ1(E) ∪ ϕ2(E) ∪ . . . ∪ ϕn(E), де ϕi(E) 6= ϕj(E) при i 6= j. (4)
Як вiдомо, кожне афiнне перетворення ϕi аналiтично задається формулами
x′ = a
(i)
11x+ a
(i)
12y + x
(i)
0 ,
y′ = a
(i)
21x+ a
(i)
22y + y
(i)
0 ,
(5)
причому a(i)11a
(i)
22 − a
(i)
12a
(i)
21 6= 0.
Означення 3. Самоафiнною розмiрнiстю самоафiнної множини (4), (5) називається чис-
ло, яке є розв’язком рiвняння
n∑
i=1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣a
(i)
11 a
(i)
12
a
(i)
21 a
(i)
22
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
x/2 = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
410 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, А. В. КАЛАШНIКОВ
Легко бачити, що самоафiннiсть множини є узагальненням самоподiбностi [1, 5]. Мож-
на довести, що самоафiнна розмiрнiсть є числом, не меншим за розмiрнiсть Хаусдорфа –
Безиковича [5], а при деяких умовах збiгається з нею. Якщо самоафiнна множина є само-
подiбною, то її самоафiнна розмiрнiсть збiгається з самоподiбною розмiрнiстю.
Теорема 3. Якщо
∏s−1
i=0
pi 6= 0, то графiк Γ функцiї є самоафiнною множиною простору
R2, причому
Γ = ϕ0 (Γ) ∪ ϕ1 (Γ) ∪ . . . ∪ ϕs−1 (Γ) , (6)
де
ϕi :
x
′ = qix+ γi,
y′ = piy + βi,
ϕi (Γ) ∩ ϕi+1 (Γ) = Ci+1
(
i+ 1
s
;βi+1
)
. (7)
Cамоафiнна розмiрнiсть графiка Γ є розв’язком рiвняння
s−1∑
i=0
|qipi|x/2 = 1.
Доведення. Для доведення рiвностi (6) спочатку покажемо, що
ϕ0 (Γ) ∪ ϕ1 (Γ) ∪ . . . ∪ ϕs−1 (Γ) ≡ G ⊂ Γ.
Нехай M ∈ G, а отже, iснує i таке, що M ∈ ϕi (Γ) , тобто xM = x′ = qix + γi, yM = y′ =
= piy + βi. Тодi f (x′) = f
(
∆Q
iα2...αn...
)
= βi + pif
(
∆Q
α2...αn...
)
= y′, тобто M ∈ Γ.
Тепер покажемо, що Γ ⊂ G. Нехай M
(
x; f(x)
)
∈ Γ. Розглянемо число x1 = ∆Q
α2(x)α3(x)...
.
Оскiльки α1(x) ∈ A, то f(x) = pif(x1) + βi i з того, що M
(
x1; f(x1)
)
∈ Γ, випливає ϕi(M) =
= M
(
x; f(x)
)
∈ G. Рiвнiсть (6) доведено.
Оскiльки
O(0; 0)
ϕi−→ Ci (γi;βi) , C(1; 1)
ϕi−→ Ci+1 (γi+1;βi+1) , i ∈ A,
то має мiсце рiвнiсть (7).
Самоафiнна розмiрнiсть графiка Γ є розв’язком вказаного рiвняння згiдно з означенням
самоафiнної розмiрностi самоафiнної множини.
Теорему 3 доведено.
6. Iнтегральнi властивостi.
Теорема 4. Для iнтеграла Лебега має мiсце рiвнiсть
1∫
0
f(x)dx =
∑s−1
i=0
βiqi
1−
∑s−1
i=0
piqi
. (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
САМОАФIННI СИНГУЛЯРНI ТА НIДЕ НЕ МОНОТОННI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З Q-ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 411
Доведення. Використовуючи адитивну властивiсть iнтеграла Лебега, маємо
1∫
0
f(x)dx =
s−1∑
i=0
γi+1∫
γi
f(x)dx =
s−1∑
i=0
γi+1∫
γi
f
(
∆Q
α1(x)α2(x)...αn(x)...
)
dx =
=
s−1∑
i=0
γi+1∫
γi
[
βi + pif
(
∆Q
α2(x)...αn(x)...
)]
dx =
s−1∑
i=0
βiqi +
s−1∑
i=0
pi
γi+1∫
γi
f
(
∆Q
α2(x)...αn(x)...
)
dx =
=
s−1∑
i=0
βiqi +
s−1∑
i=0
pi
1∫
0
f (t) d (γi + qit) =
s−1∑
i=0
βiqi +
s−1∑
i=0
piqi
1∫
0
f (t) dt,
де t = ∆Q
α2(x)α3(x)...
. Звiдси (
1−
s−1∑
i=0
piqi
) 1∫
0
f (x) dx =
s−1∑
i=0
βiqi,
а отже, має мiсце рiвнiсть (8).
Теорему 4 доведено.
7. Сингулярнi функцiї.
Лема 4. Якщо pi = qi для всiх i ∈ A, то f(x) = x.
Доведення. Справдi, якщо x = ∆Q
α1α2...αn..., то, використовуючи рiвностi (2), маємо
f(x) = f
(
∆Q
α1α2...αn...
)
= γα1 + qα1
(
∆Q
α2...αn...
)
=
= γα1 + qα1
(
γα2 + qα2f
(
∆Q
α3...αn...
))
= . . .
. . . = γα1 + γα2qα1 + . . .+ γαnqα1qα2 . . . qαn−1 + . . . = ∆Q
α1α2...αn... = x.
Лема 5. Якщо pi > 0, i = 0, s− 1, то f є неперервною функцiєю розподiлу ймовiрностей
на вiдрiзку [0, 1].
Доведення. Оскiльки f(0) = f
(
∆Q
(0)
)
= 0 + p0f
(
∆Q
(0)
)
, то (1 − p0)f(∆Q
(0)) = 0, а отже,
f(0) = 0. З огляду на те, що f(1) = f
(
∆Q
(s−1)
)
= βs−1 + ps−1f
(
∆Q
(s−1)
)
, отримуємо (1 −
− ps−1)f
(
∆Q
(s−1)
)
= βs−1 = p0 + . . .+ ps−2 = 1− ps−1, а отже, f(1) = 1.
Нехай x1 < x2. Тодi iснує m таке, що αi(x1) = αi(x2) при i < m i αm(x1) < αm(x2). Тому
f(x2)− f(x1) =
m−1∏
j=1
pαj (x1)
×
×
βαm(x2) − βαm(x1) +
∞∑
k=1
βαm+k(x2)
k−1∏
j=0
pαm+j(x2)
− ∞∑
k=1
βαm+k(x1)
k−1∏
j=0
pαm+j(x1)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
412 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, А. В. КАЛАШНIКОВ
Але
βαm(x2) − βαm(x1) = pαm(x1) + pαm(x1)+1 + . . .+ pαm(x2)−1 > pαm(x1),
ρ =
∞∑
k=1
βαm+k(x2)
k−1∏
j=0
pαm+j(x2)
− ∞∑
k=1
βαm+k(x1)
k−1∏
j=0
pαm+j(x1)
>
> −
∞∑
k=1
βαm+k(x1)
k−1∏
j=0
pαm+j(x1)
> −pαm(x1)
∞∑
k=0
[
βs−1p
k
s−1
]
= −pαm(x1).
Тому f(x2)− f(x1) > 0 i функцiя f є неспадною. Таким чином, будучи неперервною згiдно з
лемою 1 i маючи доведенi властивостi, вона є неперервною функцiєю розподiлу ймовiрностей
на [0, 1].
Лему 5 доведено.
Теорема 5. Функцiя f є функцiєю розподiлу Fξ(x) випадкової величини ξ з незалежними
однаково розподiленими Q-символами, а саме:
ξ = ∆Q
η1η2...ηk...
, де ηk — незалежнi i P{ηk = i} = pi, i = 0, s− 1.
Доведення. Згiдно з означенням функцiї розподiлу Fξ(x) випадкової величини ξ маємо
Fξ(x) = P{ξ < x}. Оскiльки
{ξ < x} =
{
η1 < α1(x)
}
∪
{
η1 = α1(x), η2 < α2(x)
}
∪ . . .
. . . ∪
{
η1 = α1(x), η2 = α2(x), . . . , ηk−1 = αk−1(x), ηk < αk(x)
}
∪ . . . ,
причому подiї, що входять до об’єднання, несумiснi i ηk є незалежними,
P
{
η1 = α1(x), η2 = α2(x), . . . , ηk−1 = αk−1(x), ηk < αk(x)
}
= βαk(x)
k−1∏
j=1
pαj(x),
то має мiсце рiвнiсть (3). Отже, f(x) = Fξ(x).
Теорему 5 доведено.
Нагадаємо, що спектром монотонно неспадної функцiї називається множина всiх її то-
чок зростання. Вiдомо [5], що спектр є замкненою множиною, а для неперервної функцiї —
досконалою.
Лема 6 [5]. Якщо pi > 0, то спектром функцiї Fξ (функцiї розподiлу випадкової величини
ξ) є множина SF =
{
x : x = ∆α1...αn..., pαj > 0 ∀j ∈ N
}
, яка збiгається з [0, 1] при pi > 0 для
кожного i ∈ A, а якщо iснує pi = 0, є нiде не щiльною самоподiбною множиною з самоподiбною
розмiрнiстю, яка є розв’язком рiвняння
∑
i:pi 6=0
qxi = 1.
Лема 7. Якщо вQ-iррацiональнiй точцi x0 iснує скiнченна або нескiнченна похiдна f ′(x0),
то вона має вигляд
f ′(x0) = lim
n→∞
∏n
j=1
pαj(x0)∏n
j=1
qαj(x0)
=
∞∏
j=1
q−1αj(x0)
pαj(x0). (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
САМОАФIННI СИНГУЛЯРНI ТА НIДЕ НЕ МОНОТОННI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З Q-ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 413
Доведення. Оскiльки x0 = ∆Q
α1α2...αn... =
∞⋂
n=1
∆Q
α1α2...αn , то
f ′(x0) = lim
n→∞
µf
(
∆Q
α1α2...αn
)
∣∣∆Q
α1α2...αn
∣∣ = lim
n→∞
∏n
j=1
pαj(x0)∏n
j=1
qαj(x0)
=
∞∏
j=1
q−1αj(x0)
pαj(x0).
Наслiдок 3. Якщо iснує pm = 0, то функцiя f є сингулярною.
Зауваження 3. Якщо iснують pm = 0 i pi < 0, то функцiя f не є монотонною на [0, 1],
але є сингулярною.
Наслiдок 4. Якщо q−1i |pi| > 1 для довiльного i = 0, s− 1, то функцiя f не має скiнченної
похiдної в жоднiй Q-iррацiональнiй точцi вiдрiзка [0, 1].
Наприклад, умови даного твердження виконуються, якщо p0 = p1 = . . . = ps−3 = ps−1 =
2
s
,
ps−2 =
2− s
s
, зокрема при s = 3 маємо p0 = p2 =
2
3
, p1 = −1
3
.
Теорема 6. Якщо всi pi > 0 i iснує pk 6= qk, то функцiя f(x) = Fξ(x) є сингулярною,
причому строго зростаючою, якщо pi > 0, i = 0, s− 1, i канторiвського типу, якщо iснує
pm = 0.
Наслiдок 5. Якщо s = 2, то f є сингулярною строго зростаючою функцiєю.
Для qi =
1
s
, pi > 0, i = 0, s− 1, сингулярнiсть функцiї f уперше довiв Cалем [2], викорис-
тавши метод нормальних чисел, дещо пiзнiше для s = 2 це зроблено в роботi [10]. Ця функцiя
також фiгурувала в роботi [6].
Якщо всi pi > 0, причому iснує pm = 0, то спектром функцiї f буде множина канторiвського
типу чисел, в Q-зображеннях яких не використовується цифра m. Вона, як вiдомо, має нульову
мiру Лебега. На сумiжних з цiєю множиною iнтервалах функцiя є сталою, тому має похiдну,
що дорiвнює нулю. З огляду на це сингулярнiсть функцiї в даному випадку є очевидною.
8. Функцiя Fξ як неперервне перетворення вiдрiзка [0, 1]. Кажуть [14], що перетво-
рення g вiдрiзка [0, 1] зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича [5], якщо для довiльної
борелiвської множини E ⊂ [0, 1] i її образу E′ = g(E) розмiрностi Хаусдорфа – Безиковича
збiгаються, тобто α0(E) = α0(E
′). Якщо знайдеться борелiвська множина E ⊂ [0, 1] та-
ка, що α0(E) 6= α0(E
′), то кажуть, що перетворення g не зберiгає розмiрностi Хаусдорфа –
Безиковича [14]. Очевидно, що множина всiх перетворень вiдрiзка [0, 1], якi зберiгають розмiр-
нiсть Хаусдорфа – Безиковича, вiдносно операцiї „композицiї” (суперпозицiї) утворює групу,
нейтральним елементом якої є тотожне перетворення, а симетричним для кожного елемента —
обернене перетворення.
Легко бачити, що клас неперервних перетворень вiдрiзка [0, 1] вичерпується строго зроста-
ючими функцiями розподiлу ймовiрностей на [0, 1] та функцiями вигляду q(x) = 1 − F (x),
де F — функцiя розподiлу. З попереднього випливає, що функцiя (3) є строго зростаючою
функцiєю розподiлу тодi i тiльки тодi, коли всi pi > 0.
Теорема 7. Для того щоб строго монотонна функцiя f = Fξ, тобто pi > 0, i = 0, s− 1,
зберiгала розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича, необхiдно i достатньо, щоб pi = qi при всiх
i ∈ A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
414 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, А. В. КАЛАШНIКОВ
Доведення. Достатнiсть є очевидною на пiдставi леми 4. Доведемо необхiднiсть.
Скористаємося методом вiд супротивного. Припустимо, що функцiя f зберiгає розмiрнiсть
Хаусдорфа – Безиковича i при цьому iснує pi 6= qi. Нехай, αj(x) — j-й Q-символ числа x,
Ni (x, n) = #
{
j : αj(x) = i, j 6 n
}
, i ∈ A.
Якщо iснує границя
lim
n→∞
Ni (x, n)
n
≡ νi(x),
то вона називається частотою цифри i у Q-зображеннi числа x.
Розглянемо множину
E ≡ E
[
p0, p1, . . . , ps−1
]
=
{
x : ν0(x) = p0, νi(x) = pi, i = 0, s− 1
}
.
Як вiдомо [5], розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича множини E дорiвнює
α0 (E) =
ln
(
pp00 p
p1
1 . . . p
ps−1
s−1
)
ln
(
qp00 q
p1
1 . . . q
ps−1
s−1
)
i є меншою за 1 при qi 6= pi.
Образом множини E при перетвореннi Fξ є множина E′
[
p0, p1, . . . , ps−1
]
чисел [0, 1], Q′-
зображення
(
при цьомуQ′ = {p0, p1, . . . , ps−1}
)
яких мають частотиQ′-символiв p0, p1, . . . , ps−1
вiдповiдно. Тодi
α0
(
E′
)
=
ln
(
pp00 p
p1
1 . . . p
ps−1
s−1
)
ln
(
pp00 p
p1
1 . . . p
ps−1
s−1
) = 1.
Отже, α0 (E) 6= α0 (E′) , що суперечить умовi i доводить твердження.
9. Диференцiальнi властивостi звивистих функцiй. Розглянемо випадок, коли серед
чисел p0, p1, . . . , ps−1 є вiд’ємнi, але p0p1 . . . ps−1 6= 0. У цьому випадку s > 2.
Дослiдимо детально випадок s = 3.
Теорема 8. Якщо s = 3 i p1 < 0, p2 > 0, то функцiя f(x) не має нi скiнченної, нi
нескiнченної похiдної в жоднiй Q-рацiональнiй точцi вiдрiзка [0, 1].
Доведення. Нехай x0 єQ-рацiональною точкою, тобто x0 = ∆Q
a1...an(0)
= ∆Q
a1...an−1(an−1)22...2...,
де an 6= 0. Розглянемо двi послiдовностi
x
′
k = ∆Q
a1...an−1an 0...01︸︷︷︸
k
(0), x
′′
k = ∆Q
a1...an−1(an−1) 22...2(0)︸ ︷︷ ︸
k
,
якi, очевидно, прямують до x0. Для них
A
′
k =
f(x
′
k)− f(x0)
x
′
k − x0
=
µf
(
∆Q
α1α2...αan−1αn 00...0︸︷︷︸
k
)
∣∣∣∆Q
α1α2...αan−1αn 00...0︸︷︷︸
k
∣∣∣ = C
pαn
qαn
(
p0
q0
)k
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
САМОАФIННI СИНГУЛЯРНI ТА НIДЕ НЕ МОНОТОННI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З Q-ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 415
A
′′
k =
f(x0)− f(x
′′
k)
x0 − x
′′
k
=
µf
(
∆Q
α1α2...αan−1(αn−1) 22...2︸︷︷︸
k
)
∣∣∣∆Q
α1α2...αan−1(αn−1) 22...2︸︷︷︸
k
∣∣∣ = C
pαn−1
qαn−1
(
p2
q2
)k
,
де C =
∏n−1
i=1
pai
qai
— ненульова стала, причому
pαn
qαn
pαn−1
qαn−1
< 0.
Оскiльки p0 + p2 > 1, а q0 + q2 < 1, то принаймнi одне з вiдношень
p0
q0
,
p2
q2
бiльше за
1. Тому принаймнi одна з послiдовностей
(
A
′
k
)
,
(
A
′′
k
)
прямує до ±∞, а якщо обидвi, то до
нескiнченностi рiзних знакiв, оскiльки
(
A
′
k
)(
A
′′
k
)
< 0. Якщо ж
pi
qi
< 1, то A(i)
k → 0, k → ∞.
Таким чином, у жодному з випадкiв функцiя не має нi скiнченної, нi нескiнченної похiдної.
Теорему 8 доведено.
Вивчимо питання про iснування похiдної функцiї f у рацiональнiй точцi x0 = ∆Q
c1...cm(d), Q-
зображення якої має простий перiод (d). Зауважимо, що кожна Q-рацiональна точка належить
цьому класу.
Розглянемо послiдовнiсть
(
x
(r)
m
)
таку, що
x(r)m = ∆Q
c1...cm d...dr(d)︸ ︷︷ ︸
k−1
, де r 6= d.
Очевидно, що x(r)m → x0 (k →∞) . Тодi
x(r)m − x0 =
(
qk−1d
m∏
i=1
qci
)(
γr − γd + γdqr − γdqd + γdqrqd − γdq2d + . . .
)
=
(
qk−1d
m∏
i=1
qci
)
A,
де A =
(
γr − γd + γd
qr − qd
1− qd
)
,
f
(
x(r)m
)
− f (x0) =
(
pk−1d
m∏
i=1
pci
)(
βr − βd + βdpr − βdpd + βdprpd − βdp2d + . . .
)
=
=
(
pk−1d
m∏
i=1
pci
)
B,
де B = βr − βd + βd
pr − pd
1− pd
, i
δ ≡
f
(
x
(r)
m
)
− f (x0)
x
(r)
m − x0
=
B
A
m∏
i=1
(
pciq
−1
ci
) (
pdq
−1
d
)k−1
.
Оскiльки
B
A
∏m
i=1
(
pciq
−1
ci
)
= const, то при pdq
−1
d > 1 не iснує скiнченної похiдної функцiї
f у точцi x0. Бiльше того, якщо, крiм цього, pd < 0, то границi limk→∞ δ не iснує навiть
нескiнченної.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
416 М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, А. В. КАЛАШНIКОВ
Розглянемо ще одну послiдовнiсть
x(r+)
m = ∆Q
c1...cm d...d(r)︸ ︷︷ ︸
k−1
, де r 6= d.
Очевидно, що x(r+)
m → x0 (k →∞) . Тодi
x(r+)
m − x0 =
(
qk−1d
m∏
i=1
qci
)(
γr − γd +
(
γrqr + γrq
2
r + . . .
)
−
(
γdqd + γdq
2
d + . . .
))
=
=
(
qk−1d
m∏
i=1
qci
)
C,
де C =
(
γr − γd +
γrqr
1− qr
− γdqd
1− qd
)
,
f
(
x(r+)
m
)
− f (x0) =
(
pk−1d
m∏
i=1
pci
)(
βr − βd + βrpr − βdpd + βrp
2
r − βdp2d + . . .
)
=
=
(
pk−1d
m∏
i=1
pci
)
D,
де D = βr − βd +
βrpr
1− pr
− βdpd
1− pd
, i
δ ≡
f
(
x
(r)
m
)
− f (x0)
x
(r)
m − x0
=
D
C
m∏
i=1
(
pciq
−1
ci
) (
pdq
−1
d
)k−1
.
При pdq
−1
d = 1 не iснує похiдної f ′ (x0) . Це випливає з того, що
B(r)
A(r)
6= D(r+)
C(r+)
або
B(r1)
A(r1)
6= D(r2)
C(r2)
, де r1 6= d 6= r2 6= r1 ∈ A 3 r2.
Отже, має мiсце наступне твердження.
Лема 8. Якщо q−1d |pd| > 1, то f ′
(
∆Q
c1...cm(d)
)
не iснує.
З даної леми i наслiдку 4 випливає таке твердження.
Теорема 9. Якщо q−1i |pi| > 1 для всiх i ∈ A, то f є нiде не диференцiйовною функцiєю.
1. Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения. – Киев: Наук. думка,
1992. – 208 с.
2. Salem R. On some singular monotonic functions which are stricly increasing // Trans. Amer. Math. Soc. – 1943. –
P. 423 – 439.
3. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967. – 256 с.
4. Серпинскiй В. Элементарный примъръ возрастающей функцiи имъющей пости всюду производную равную
нулю // Мат. сб. – 1916. – 30, вып. 3.
5. Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Київ: Нац. пед. ун-т
iм. М. П. Драгоманова, 1998. – 296 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
САМОАФIННI СИНГУЛЯРНI ТА НIДЕ НЕ МОНОТОННI ФУНКЦIЇ, ПОВ’ЯЗАНI З Q-ЗОБРАЖЕННЯМ . . . 417
6. Marsalia G. Random variables with independent binary digits // Ann. Math. Statist. – 1971. – 42, № 2. – P. 1922 – 1929.
7. Minkowski H. Gesammeine Abhandlungen. – Berlin, 1911. – Bd 2.
8. Takagi T. A simple example of the continuous function without derivate // Proc. Phys. Math. Soc. Jap. – 1903. – 1. –
P. 176 – 177.
9. Albeverio S., Goncharenco Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Convolutions of distributions of random variables with
independent binary digits // Random Operators and Stochast. Equat. – 2007. – 15, № 1. – P. 89 – 97.
10. Chatterji S. D. Certain induced measures on the unit interval // J. London Math. Soc. – 1963. – 38. – P. 325 – 331.
11. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1934. – 324 с.
12. Zamfirescu T. Most monotone functions are singular // Amer. Math. Mon. – 1981. – 88. – P. 47 – 49.
13. Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Фрактальна геометрiя та перетворення, що зберiгають розмiрнiсть Хаус-
дорфа – Безиковича // Укр. мат. конгр. Динамiчнi системи. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2003. –
С. 77 – 93.
14. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal probability distributions and transformations preserving the Hausdorff –
Besicovitch dimension // Ergod. Theory and Dynam. Systems. – 2004. – 24. – P. 1 – 16.
15. Працьовитий М. В. Сингулярнiсть розподiлiв випадкових величин, заданих розподiлами елементiв свого
ланцюгового зображення // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 8. – C. 1086 – 1095.
16. Працьовита I. М. Про знакозмiннi s-адичнi ряди i ряди Остроградського 1- та 2-го виду // Укр. мат. журн. –
2009. – 61, № 7. – C. 958 – 968.
17. Козырев С. Б. О топологической густоте извивающихся функций // Мат. заметки. – 1983. – 33, № 1. – C. 71 – 76.
18. Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Про один клас неперервних функцiй зi складною локальною будовою,
бiльшiсть з яких сингулярнi або недиференцiйовнi // Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины.
– 2011. – 23. – C. 178 – 189.
Одержано 08.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2427 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:13Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/96/6b64c67bbd4ea51edcc758f56c1e5196.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24272020-03-18T19:15:16Z Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers Самоафінні сингулярні та ніде не монотонні функції, пов'язані з Q-зображенням дійсних чисел Kalashnikov, A. V. Pratsiovytyi, M. V. Калашніков, А. В. Працьовитий, М. В. We study functional, differential, integral, self-affine, and fractal properties of continuous functions belonging to a finite-parameter family of functions with a continuum set of "peculiarities". Almost all functions of this family are singular (their derivative is equal to zero almost everywhere in the sense of Lebesgue) or nowhere monotone, in particular, nondifferentiable. We consider different approaches to the definition of these functions (using a system of functional equations, projectors of symbols of different representations, distribution of random variables, etc.). Исследуются функциональные, дифференциальные, интегральные, самоаффинные и фрактальные свойства непрерывных функций, принадлежащих конечнопараметрическому семейству функций, каждая из которых имеет континуальное множество „особенностей". Почти все функции данного семейства являются сингулярными (имеют производную, равную нулю почти всюду в смысле меры Лебега) или нигде не монотонными, в частности недифференцируемыми. Рассматриваются разные подходы к определению таких функций (системой функциональных уравнений, проекторов символов различных представлений, распределением случайных величин и др.). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2427 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 3 (2013); 405-417 Український математичний журнал; Том 65 № 3 (2013); 405-417 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2427/1621 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2427/1622 Copyright (c) 2013 Kalashnikov A. V.; Pratsiovytyi M. V. |
| spellingShingle | Kalashnikov, A. V. Pratsiovytyi, M. V. Калашніков, А. В. Працьовитий, М. В. Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers |
| title | Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers |
| title_alt | Самоафінні сингулярні та ніде не монотонні функції, пов'язані з Q-зображенням дійсних чисел |
| title_full | Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers |
| title_fullStr | Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers |
| title_full_unstemmed | Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers |
| title_short | Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the Q-Representation of Real Numbers |
| title_sort | self-affine singular and nowhere monotone functions related to the q-representation of real numbers |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2427 |
| work_keys_str_mv | AT kalashnikovav selfaffinesingularandnowheremonotonefunctionsrelatedtotheqrepresentationofrealnumbers AT pratsiovytyimv selfaffinesingularandnowheremonotonefunctionsrelatedtotheqrepresentationofrealnumbers AT kalašníkovav selfaffinesingularandnowheremonotonefunctionsrelatedtotheqrepresentationofrealnumbers AT pracʹovitijmv selfaffinesingularandnowheremonotonefunctionsrelatedtotheqrepresentationofrealnumbers AT kalashnikovav samoafínnísingulârnítanídenemonotonnífunkcíípov039âzanízqzobražennâmdíjsnihčisel AT pratsiovytyimv samoafínnísingulârnítanídenemonotonnífunkcíípov039âzanízqzobražennâmdíjsnihčisel AT kalašníkovav samoafínnísingulârnítanídenemonotonnífunkcíípov039âzanízqzobražennâmdíjsnihčisel AT pracʹovitijmv samoafínnísingulârnítanídenemonotonnífunkcíípov039âzanízqzobražennâmdíjsnihčisel |