Multipoint Problem for B-Parabolic Equations
We establish conditions for the well-posedness of a problem for one class of parabolic equations with the Bessel operator in one of the space variables in a bounded domain with multipoint conditions in the time variable and some boundary conditions in the space coordinates. A solution of the problem...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2428 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508315736342528 |
|---|---|
| author | Ptashnik, B. I. Tymkiv, I. R. Пташник, Б. Й. Тимків, І. Р. |
| author_facet | Ptashnik, B. I. Tymkiv, I. R. Пташник, Б. Й. Тимків, І. Р. |
| author_sort | Ptashnik, B. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:16Z |
| description | We establish conditions for the well-posedness of a problem for one class of parabolic equations with the Bessel operator in one of the space variables in a bounded domain with multipoint conditions in the time variable and some boundary conditions in the space coordinates. A solution of the problem is constructed in the form of a series in a system of orthogonal
functions. We prove a metric theorem on lower bounds for the small denominators appearing in the solution of the problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95+511.2
Б. Й. Пташник (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв),
I. Р. Тимкiв (Iвано-Франк. нац. техн. ун-т нафти i газу)
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ*
We establish conditions for the well-posedness of a problem for one class of parabolic equations with the Bessel operator
in one of the space variables in a bounded domain with multipoint conditions in the time variable and some boundary
conditions in the space coordinates. A solution of the problem is constructed in the form of a series in a system of orthogonal
functions. We prove a metric theorem on lower bounds for the small denominators appearing in the solution of the problem.
Установлены условия корректности задачи с многоточечными условиями по временной переменной и некоторыми
краевыми условиями по пространственным координатам для одного класса параболических уравнений с оператором
Бесселя по одной из пространственных переменных в ограниченной области. Построено решение задачи в виде
ряда по системе ортогональных функций. Доказана метрическая теорема об оценках снизу малых знаменателей,
которые возникли при построении решения.
1. Вступ. Еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя за просторовими координатами описують
деякi дифузiйнi процеси, явища тепломасопереносу, зустрiчаються в задачах гiдродинамiки,
кристалографiї [1 – 3]. У згаданих працях, а також в роботi [4] для таких рiвнянь вивчались
задача Кошi та мiшанi задачi. Задачi з iнтегральними умовами для лiнiйних та нелiнiйних пара-
болiчних рiвнянь другого порядку з оператором Бесселя (B-параболiчних рiвнянь) вивчались у
працях [5 – 7]. Нелокальнi багатоточковi задачi для B-параболiчного рiвняння другого порядку
вивчено у роботi [8], а для систем B-параболiчних рiвнянь — у працi [2].
У данiй статтi дослiджено коректну розв’язнiсть задачi з локальними багатоточковими умо-
вами за часом для параболiчного рiвняння з оператором Бесселя за однiєю з просторових
змiнних в обмеженiй областi, що є декартовим добутком (p − 1)-вимiрного тора (p ≥ 2) i
прямокутника. Результати роботи частково анонсовано у [9].
Багатоточковi задачi для регулярних гiперболiчних, параболiчних та безтипних рiвнянь
дослiджувались у багатьох роботах, зокрема в [10 – 14], де встановлено, що такi задачi є, взагалi,
некоректними, а їх розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих знаменникiв,
для розв’язання якої природним виявився метричний пiдхiд.
Далi використовуватимемо такi позначення: ~b = (b1, . . . , bp) ∈ Np, p ≥ 2, — заданий вектор,
b — найменше спiльне кратне чисел b1, . . . , bp, qj := b/bj , j ∈ {1, . . . , p}; x = (x1, . . . , xp) :=
:= (x′, xp), x
′ ∈ Ω, де Ω — (p − 1)-вимiрний тор (R/2πZ)p−1, xp ∈ [0, `], Q = Ω × (0, `),
D = {(t, x) ∈ Rp+1 : 0 < t < T, x ∈ Q}; s = (s1, . . . , sp) := (s′, sp) ∈ Zp+, |s|∗ =
∑p−1
j=1
sjqj +
+ 2spqp, |s′| = s1 + . . . + sp−1, |s| = |s′| + sp; k = (k1, . . . , kp) := (k′, kp), k
′ ∈ Zp−1, kp ∈ N,
|k′| = |k1|+ . . .+ |kp−1|, (k′, x′) = k1x1 + . . .+ kp−1xp−1; ST = {~t = (t1, . . . , tn) ∈ [0, T ]n : 0 ≤
≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ T}; Γ(r), r > 0, — гамма-функцiя; Cmn , 1 ≤ m ≤ n, — кiлькiсть
комбiнацiй з n елементiв по m; mesRnA — мiра Лебега в Rn множини A ⊂ Rn.
2. Постановка задачi. В областi D розглянемо задачу
∂nu(t, x)
∂tn
+
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s
∂s0+|s
′|Bspν u(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp−1
p−1
= f(t, x), (t, x) ∈ D, (1)
*Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проект № 41.1/004).
c© Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ, 2013
418 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 419
u(tj , x) = ϕj(x), j ∈ {1, . . . , n}, ~t ∈ ST , x ∈ Q, (2)
|u(t, x)|xp=0
∣∣<∞, ∂2m+1u(t, x)
∂x2m+1
p
∣∣∣∣
xp=0
= 0, m ∈ {0, 1, . . . , nbp − 2}, t ∈ [0, T ],
Bqνu(t, x)
∣∣
xp=`
= 0, q ∈ {0, 1, . . . , nbp − 1}, t ∈ [0, T ],
(3)
деAs0,s ∈ C; Bν =
∂2
∂x2p
+
2ν + 1
xp
∂
∂xp
— оператор Бесселя порядку ν, ν ≥ −1
2
, Bqνu = Bν(Bq−1ν u),
q ∈ {1, . . . , nbp}, B0νu = u. Вигляд областi D накладає умови 2π-перiодичностi за змiнними
x1, . . . , xp−1 на шуканий розв’язок та функцiї f(t, x) i ϕj(x), j ∈ {1, . . . , n}.
Припустимо, що рiвняння (1) є
−→
2b-параболiчним (див. [15; 2, с. 11]) в областi D, тобто для
довiльного η ∈ Rp ξ-коренi рiвняння
ξn +
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(iη1)
s1 . . . (iηp−1)
sp−1(iηp)
2spξs0 = 0 (4)
справджують нерiвностi
Re ξr(η) ≤ −δ(η2b11 + . . .+ η
2bp
p ), δ > 0, r ∈ {1, . . . , n}. (5)
Вiдомо [16], що задача
BνJ(xp) + λJ(xp) = 0, |J(0)| <∞, J(`) = 0,
має повну ортогональну в ваговому просторi L2((0, `);x
2ν+1
p ) систему власних функцiй{
jν
(√
λkpxp
)
, kp ∈ N
}
i множину власних значень Λ := {λkp = (σkp/`)
2, kp ∈ N}, де
jν
(√
λkpxp
)
=
∞∑
r=0
(−1)rΓ(ν + 1)
Γ(ν + 1 + r)Γ(r + 1)
√
λkpxp
2
2r
— нормована функцiя Бесселя, а σkp , kp ∈ N, — σ-коренi рiвняння jν(σ`) = 0; при цьому
справедливими є оцiнки
C1k
2
p ≤ λkp ≤ C2k
2
p, 0 < C1 < C2, kp ∈ N. (6)
Очевидно, що система функцiй
{
exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
, k ∈ Zp−1 × N
}
є повною i ортого-
нальною у ваговому просторi L2(Q;x2ν+1
p ). Нехай
f(t, x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
fk(t) exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
,
ϕj(x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
ϕjk exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
, j ∈ {1, . . . , n},
де
fk(t) = P(λkp)
∫
Q
f(t, x) exp (−(ik′, x′))jν
(√
λkpxp
)
x2ν+1
p dx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
420 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
ϕjk = P(λkp)
∫
Q
ϕj(x) exp (−(ik′, x′))jν
(√
λkpxp
)
x2ν+1
p dx, j ∈ {1, . . . , n},
P(λkp) = (2π)−p+1
`∫
0
x2ν+1
p j2ν
(√
λkpxp
)
dxp
−2 .
Позначимо W = Zp−1 × Λ, λk = (k′, λkp) ∈ W; ‖λk‖2
~b = k2b11 + . . . + k
2bp−1
p−1 + (λkp)bp ;
wλk(α; γ; 2~b) = (1 + ‖λk‖2
~b)α exp (γ‖λk‖2
~b), α, γ ∈ R; C(m,~2bm)(D), m ∈ N, — простiр визна-
чених i неперервних в D функцiй v(t, x) (2π-перiодичних по x1, . . . , xp−1), для яких iснують
неперервнi похiднi
∂s0+|s|v(t, x)
∂ts0∂xs11 · · · ∂x
sp
p
, де 2bs0 + s1q1 + . . .+ spqp ≤ 2bm, з нормою
‖v;C(m,~2bm)(D)‖ =
∑
2bs0+s1q1+...+spqp≤2bm
max
(t,x)∈D
∣∣∣∣∣ ∂s0+|s|v(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp
p
∣∣∣∣∣ ;
Eγ
α, ~2b
— простiр функцiй ϕ(x) =
∑
|k′|≥0
∑∞
kp=1
ϕk exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
, для яких є скiн-
ченною норма
‖ϕ;Eγ
α, ~2b
‖ =
√∑
|k′|≥0
∑
kp∈N
|ϕk|2w2
λk
(α; γ; 2~b ) ;
Cm([0, T ];Eγ
α, ~2b
) — простiр визначених в D функцiй v(t, x) таких, що для кожного фiксованого
t ∈ [0, T ] похiднi ∂qv(t, x)/∂tq, q ∈ {0, 1, . . . ,m}, належать простору Eγ
α, ~2b
i є неперервними
по t в нормi цього простору,∥∥∥v;Cm([0, T ];Eγ
α, ~2b
)
∥∥∥ =
m∑
q=0
max
0≤t≤T
∥∥∂qv(t, ·)/∂tq;Eγ
~α, ~2b
∥∥.
3. Єдинiсть розв’язку задачi. Розв’язок задачi (1) – (3) шукаємо у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
uk(t) exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
. (7)
Кожна функцiя uk(t), k ∈ Zp−1 × N, є, вiдповiдно, розв’язком багатоточкової задачi
dnuk(t)
dtn
+
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(ik1)
s1 . . . (ikp−1)
sp−1(−λkp)sp
ds0uk(t)
dts0
= fk(t), (8)
uk(tj) = ϕjk, j ∈ {1, . . . , n}, ~t ∈ ST . (9)
Розглянемо вiдповiдну до (8), (9) однорiдну задачу
dnuk(t)
dtn
+
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(ik1)
s1 . . . (ikp−1)
sp−1(−λkp)sp
ds0uk(t)
dts0
= 0, (10)
uk(tj) = 0, j ∈ {1, . . . , n}, ~t ∈ ST . (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 421
Запишемо для (10) характеристичне рiвняння
µn +
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(ik1)
s1 . . . (ikp−1)
sp−1(−λkp)spµs0 = 0. (12)
Позначимо через µ1(λk), . . . , µl(k)(λk) рiзнi коренi рiвняння (12) з кратностями n1(k), . . .
. . . , nl(k)(k) вiдповiдно, n1(k) + . . . + nl(k)(k) = n. Для цих коренiв справджуються оцiнки
[17, с. 102]
|µq(λk)| ≤ C3(1 + ‖λk‖2
~b), λk ∈ W, q ∈ {1, . . . , l(k)}, (13)
де C3 = 2 maxm∈{1,...,n}
{
maxs,|s|∗=2bm{|An−m,s|1/m}
}
. Зауважимо, що при ηr = kr, r ∈
∈ {1, . . . , p − 1}, ηp =
√
λkp рiвняння (4) збiгається з рiвнянням (12). Тому, враховуючи (5),
отримуємо
Reµq(λk) ≤ −δ‖λk‖2
~b, λk ∈ W, q ∈ {1, . . . , l(k)}. (14)
Враховуючи, що |Reµq(λk)| ≤ |µq(λk)|, q ∈ {1, . . . , l(k)}, на пiдставi оцiнок (13) отримує-
мо, що величина γ0 = supλk∈W maxq∈{1,...,l(k)}
{
|Reµq(λk)|/(1 + ‖λk‖2
~b)
}
є скiнченною. Тому
справджуються оцiнки
| exp (µq(λk)t)| = exp
(
− |Reµq(λk)|t
(1 + ‖λk‖2~b)
(1 + ‖λk‖2
~b)
)
≥ C4 exp (−γ0T‖λk‖2
~b), t ∈ [0, T ],
(15)
де λk ∈ W, q ∈ {1, . . . , l(k)}, C4 = exp (−γ0T ).
Для побудови фундаментальної системи розв’язкiв рiвняння (10) використаємо подiленi
рiзницi функцiї exp (µt), µ ∈ C, t ∈ R.
Означення . НехайM = (µ1, . . . , µ1︸ ︷︷ ︸
n1
, . . . , µl, . . . , µl︸ ︷︷ ︸
nl
) — набiр комплексних чисел. Подiленою
рiзницею порядку χ = n1+. . .+nl, яка вiдповiдає наборуM, функцiї ψ(µ, t) комплексної змiнної
µ, де t — дiйсний параметр, називають функцiю (див. [18, с. 228])
RM (ψ(µ, t)) =
l∑
j=1
1
(nj − 1)!
(
∂
∂µ
)nj−1
ψ(µ, t)
l∏
i=1,i 6=j
(µ− µi)−ni
∣∣∣∣∣∣
µ=µj
. (16)
Якщо функцiя ψ(µ, t) аналiтична в опуклiй областi V ⊂ C, що мiстить точки µ1, . . . , µl, то
справедливою є формула (в якiй ζ0 = 1, ζl = 0)
RM (ψ(µ, t)) =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζl−2∫
0
l∏
j=1
(ζj−1 − ζj)nj−1
(nj − 1)!
∂χ−1ψ(µ, t)
∂µχ−1
∣∣∣∣∣
µ=µ1+
l∑
j=2
(µj−µj−1)ζj−1
dζl−1 . . . dζ1.
(17)
Нехай
Mqrq(k) =
µ1(λk), . . . , µ1(λk)︸ ︷︷ ︸
n1(k)
, . . . , µq−1(λk), . . . , µq−1(λk)︸ ︷︷ ︸
nq−1(k)
, µq(λk), . . . , µq(λk)︸ ︷︷ ︸
rq
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
422 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {1, . . . , l(k)},
— набори, складенi з коренiв рiвняння (12), χqrq(k) = rq + n1(k) + . . . + nq−1(k). Побудуємо
систему функцiй{
uk,q,rq(t) := RMqrq (k)
(exp (µt)), rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {1, . . . , l(k)}
}
, (18)
кожна з яких є подiленою рiзницею порядку χqrq(k) функцiї exp (µt), що вiдповiдає набору
Mqrq(k). На пiдставi формул (17), (18) знаходимо
uk,1,r1(t) = tr1−1 exp (µ1(λk)t)/(r1 − 1)!, r1 ∈ {1, . . . , n1(k)}, (19)
uk,q,rq(t) =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζq−2∫
0
φ(ζ1, . . . , ζq−1)t
χqrq (k)−1×
× exp
µ1(λk) +
q∑
j=2
(µj(λk)− µj−1(λk))ζj−1
t
dζq−1 . . . dζ1, q ∈ {2, . . . , l(k)}, (20)
де rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, t ∈ [0, T ], а φ(ζ1, . . . , ζq−1) визначається формулою
φ(ζ1, . . . , ζq−1) =
(1− ζ1)n1(k)−1
(n1(k)− 1)!
q−1∏
j=2
(ζj−1 − ζj)nj(k)−1
(nj(k)− 1)!
ζ
rq−1
q−1
(rq − 1)!
. (21)
У формулi (21) точка (ζ1, . . . , ζq−1) належить симплексу Sq =
{
(ζ1, . . . , ζq−1) ∈ [0, 1]q−1 : 0 ≤
≤ ζq−1 ≤ ζq−2 ≤ . . . ≤ ζ1 ≤ 1
}
. Звiдки випливає, що φ(ζ1, . . . , ζq−1) ≥ 0.
Безпосередньою перевiркою можна показати, що сукупнiсть функцiй (19), (20) утворює
фундаментальну систему розв’язкiв рiвняння (10).
Характеристичний визначник задачi (8), (9) є таким:
∆(λk,~t ) = det
∥∥uk,q,rq(tj)
∥∥q∈{1,...,l(k)}
j∈{1,...,n}, rq∈{1,...,nq(k)}. (22)
На пiдставi (16), (18) знаходимо
uk,q,rq(t) =
q−1∑
j=1
1
(nj(k)− 1)!
(
∂
∂µ
)nj(k)−1
×
×
exp (µt)
q−1∏
i=1,i 6=j
(µ− µi(λk))−ni(k)(µ− µq(λk))−rq
∣∣∣∣∣∣
µ=µj(λk)
+
+
1
(rq − 1)!
(
∂
∂µ
)rq−1 (
exp (µt)
q−1∏
i=1
(µ− µi(λk))−ni(k)
)∣∣∣∣∣
µ=µq(λk)
, t ∈ [0, T ], (23)
де rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {1, . . . , l(k)}. Враховуючи формули (22), (23), отримуємо
∆(λk,~t ) =
∏
1≤i<j≤l(k)
(µj(λk)− µi(λk))−ni(k)nj(k) det
∥∥∥∥∥ t
rq−1
j exp (µq(λk)tj)
(rq − 1)!
∥∥∥∥∥
q∈{1,...,l(k)}
j∈{1,...,n}, rq=1,nq(k)
.
(24)
Вiдомо [19], що задача (10), (11) має лише тривiальний розв’язок тодi i тiльки тодi, коли
∆(λk,~t ) 6= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 423
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1) – (3) у просторi C(n, ~2bn)(D) необхiдно i
достатньо, щоб виконувалась умова
det
∥∥∥trq−1j exp (µq(λk)tj)/(rq − 1)!
∥∥∥q∈{1,...,l(k)}
j∈{1,...,n}, rq∈{1,...,nq(k)}
6= 0 ∀λk ∈ W. (25)
Доведення. Необхiднiсть. Якщо при деякому λk0 ∈ W умова (25) не виконується, то
∆(λk0 ,~t ) = 0, i однорiдна задача, що вiдповiдає задачi (1) – (3), має нетривiальнi розв’язки
u(t, x) = uk0(t) exp (ik
′0, x′)jν
(√
λk0pxp
)
, де uk0(t) — нетривiальний розв’язок задачi (10),
(11) при λk = λk0 . Тому розв’язок задачi (1) – (3), якщо вiн iснує, не буде єдиним.
Достатнiсть встановлюється за схемою доведення теореми 5.3 з [10] (гл. 2).
4. Iснування розв’язку задачi. Далi вважатимемо, що виконується умова (25). Тодi для
кожного λk ∈ W iснує розв’язок задачi (8), (9), який зображується формулою
uk(t) =
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
n∑
j=1
∆j,q,rq(λk,~t )
∆(λk,~t )
ϕjkuk,q,rq(t) +
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ, (26)
де ∆j,q,rq(λk,~t ) — алгебраїчне доповнення елемента uk,q,rq(tj) у визначнику ∆(λk,~t ), а G(t, τ ;
λk) — функцiя Грiна [19] задачi (10), (11), яка визначена у квадратi K = {(t, τ) : 0 ≤ t ≤ T,
0 ≤ τ ≤ T} i в областi Kj = {(t, τ) : 0 ≤ t ≤ T, tj < τ < tj+1}, j ∈ {0, 1, . . . , n}, t0 = 0,
tn+1 = T, збiгається, вiдповiдно, з функцiєю
Gj(t, τ ;λk) =
sgn(t− τ)
2
uk,l(k),nl(k)(t− τ) +
j∑
m=1
(−1)m+1Fm(t, τ ;λk)−
−
n∑
m=j+1
(−1)m+1Fm(t, τ ;λk), j ∈ {0, 1, . . . , n}, (27)
Fm(t, τ ;λk) =
1
2
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
∆m,q,rq(λk,~t )
∆(λk,~t )
×
×uk,q,rq(t)uk,l(k),nl(k)(tm − τ), m ∈ {1, . . . , n}. (28)
При τ = tj , j ∈ {0, 1, . . . , n}, доозначуємо функцiю G(t, τ ;λk) за неперервнiстю по τ справа,
а при τ = T — за неперервнiстю злiва.
На основi формул (7), (26) формальний розв’язок задачi (1) – (3) зображується рядом
u(t, x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
n∑
j=1
∆j,q,rq(λk,~t )
∆(λk,~t )
ϕjkuk,q,rq(t) +
+
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ
exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
. (29)
Збiжнiсть ряду (29), взагалi, пов’язана з проблемою малих знаменникiв, оскiльки вели-
чина |∆(λk,~t )|, будучи вiдмiнною вiд нуля, може набувати як завгодно малих значень для
нескiнченної кiлькостi λk ∈ W.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
424 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
Теорема 2. Нехай справджується умова (25) та iснують сталi ω ∈ R i θ > 0 такi, що
для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ W виконується нерiвнiсть
|∆(λk,~t )| ≥ (1 + ‖λk‖2
~b)−ω exp (−θ‖λk‖2
~b). (30)
Якщо f ∈ C
(
[0, T ];Eγ1
α0, ~2b
)
, ϕj ∈ Eγ2
α0, ~2b
, j ∈ {1, . . . , n}, де α0 = α + n + ω, γ1 = γ +
+ γ0T + |θ− (n− 1)δt1|, γ2 = γ + θ− (n− 1)δt1, то iснує розв’язок задачi (1) – (3) з простору
Cn
(
[0, T ];Eγ
α, ~2b
)
, який зображується рядом (29) i неперервно залежить вiд функцiй f(t, x)
та ϕj(x), j ∈ {1, . . . , n}.
Доведення. Iз формули (26) на пiдставi елементарної нерiвностi (|a1| + . . . + |an|)2 ≤
≤ n(|a1|2 + . . .+ |an|2) одержуємо
∥∥u;Cn([0, T ];Eγ
α, ~2b
)
∥∥ =
n∑
s0=0
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
max
0≤t≤T
|u(s0)k (t)|2w2
λk
(α; γ; 2~b)
1/2
≤
≤
n∑
s0=0
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
2n2
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
n∑
j=1
|∆j,q,rq(λk,~t )|2
|∆(λk,~t )|2
|ϕjk|2 max
0≤t≤T
|u(s0)k,q,rq
(t)|2+
+2 max
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ d
s0
dts0
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
w2
λk
(α; γ; 2~b)
1/2
. (31)
Оцiнимо тепер зверху модулi величин ∆j,q,rq(λk,~t ), u
(s0)
k,q,rq
(t) i
ds0
dts0
∫ T
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ,
якi входять у (31). На пiдставi (19), (20) отримуємо формули
u
(s0)
k,1,r1
(t) =
s0∑
j=0
Cjs0
(tr1−1)(j)
(r1 − 1)!
(µ1(λk))
s0−j exp (µ1(λk)t), r1 ∈ {1, . . . , n1(k)}, (32)
u
(s0)
k,q,rq
(t) =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζq−2∫
0
φ(ζ1, . . . , ζq−1)
s0∑
j=0
Cjs0(tχqrq (k)−1)(j)×
×
(
µs0−j exp (µt)
)∣∣∣∣
µ=µ1(λk)+
∑q
j=2(µj(λk)−µj−1(λk))ζj−1
dζq−1 . . . dζ1, q ∈ {2, . . . , l(k)}, (33)
в яких s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, t ∈ [0, T ]. Враховуючи оцiнки (13), (14), отри-
муємо, що для довiльної точки (ζ1, . . . , ζq−1), q ∈ {2, . . . , l(k)}, симплекса Sq справджуються
нерiвностi∣∣∣∣∣∣µ1(λk) +
q∑
j=2
(µj(λk)− µj−1(λk))ζj−1
∣∣∣∣∣∣ ≤ |µ1(λk)|(1− ζ1) + |µ2(λk)|(ζ1 − ζ2) + . . .
. . .+ |µq−1(λk)|(ζq−2 − ζq−1) + |µq(λk)|ζq−1 ≤ C3(1 + ‖λk‖2
~b), q ∈ {2, . . . , l(k)}, (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 425
Reµ1(λk) +
q∑
j=2
(Reµj(λk)− Reµj−1(λk))ζj−1 ≤ −δ‖λk‖2
~b, q ∈ {2, . . . , l(k)}. (35)
На пiдставi формул (21), (33) та оцiнок (34), (35) маємо
max
0≤t≤T
|u(s0)k,q,rq
(t)| ≤ (χqrq(k)− 1)!C5Φwλk(n; 0; 2~b), (36)
де rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {2, . . . , l(k)}, s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, C5 = (2n − 1) ×
×maxj∈{0,1,...,n−1}{T j(C3)
n−j}, а
Φ =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζq−2∫
0
φ(ζ1, . . . , ζq−1)dζq−1 . . . dζ1. (37)
Iнтегруючи в (37) частинами по кожнiй змiннiй, отримуємо
Φ = ((χqrq(k)− 1)!)−1. (38)
Iз (36) – (38) одержуємо
max
0≤t≤T
|u(s0)k,q,rq
(t)| ≤ C5wλk(n; 0; 2~b), rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {2, . . . , l(k)}, s0 ∈ {0, 1, . . . , n}.
(39)
Iз формул (32) на пiдставi оцiнок (13), (14) знаходимо
max
0≤t≤T
|u(s0)k,1,r1
(t)| ≤ C6wλk(n; 0; 2~b), r1 ∈ {1, . . . , n1(k)}, s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, (40)
де C6 = (2n − 1) maxj∈{0,1,...,n−1}{(C3)
n−jT j/j!}. Оскiльки ∆j,q,rq(λk,~t ), j ∈ {1, . . . , n}, q ∈
∈ {1, . . . , l(k)}, rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, є алгебраїчним доповненням елемента uk,q,rq(tj) у визнач-
нику ∆(λk,~t ), то, враховуючи оцiнки (39), (40), одержуємо
|∆j,q,rq(λk)| ≤ C7wλk(0;−(n− 1)δt1; 2~b), (41)
де j ∈ {1, . . . , n}, q ∈ {1, . . . , l(k)}, rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, C7 = (n − 1)!(C5)
n−1. Згiдно з
означенням та властивостями функцiї Грiна багатоточкової задачi (10), (11) (див. [19]) маємо
ds0
dts0
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ =
n∑
j=0
tj+1∫
tj
∂s0Gj(t, τ ;λk)
∂ts0
fk(τ)dτ + δs0nfk(t), s0 ∈ {0, 1, . . . , n},
(42)
де δs0n — символ Кронекера. Iз формул (27), (28), (42) на пiдставi оцiнок (15), (30), (39) – (41)
знаходимо
max
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ d
s0
dts0
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ C8fkwλk(n+ ω; γ0T + |θ − (n− 1)δt1|; 2~b), (43)
де s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, fk = max0≤t≤T |fk(t)|, C8 = (n+ 1)TC5(1 + (C4)
−1C5C7)/2 + 1. Врахо-
вуючи оцiнки (30), (39) – (41), (43), iз (31) отримуємо
∥∥u;Cn([0, T ];Eγ
α, ~2b
)
∥∥ ≤ C9
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
f
2
kw
2
λk
(α+ n+ ω; γ + γ0T + |θ − (n− 1)δt1|; 2~b)
1/2 +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
426 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
+C10
n∑
j=1
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
|ϕjk|2w2
λk
(α+ n+ ω; γ + θ − (n− 1)δt1; 2~b)
1/2 ≤
≤ C11
∥∥f ;C([0, T ];Eγ1
α0, ~2b
)
∥∥+
n∑
j=1
∥∥ϕj ;Eγ2
α0, ~2b
)
∥∥ ,
де C9 =
√
2(n + 1)C8, C10 =
√
2n3(n + 1)C5C7, C11 = max{C9;C10}. Iз останньої нерiвностi
випливає доведення теореми.
5. Оцiнки знизу малих знаменникiв. Дослiдимо питання про можливiсть виконання
нерiвностi (30). Для цього нам знадобиться наступна лема, доведена у [12].
Лема 1. Нехай для квазiмногочлена y(t) =
∑m
i=1
pi(t) exp (zit), в якому всi zi ∈ C,
i ∈ {1, . . . ,m}, є рiзними, pi(t) — многочлен з комплексними коефiцiєнтами степеня ni − 1,
ni ∈ N, i ∈ {1, . . . ,m}, справджується умова
|y(n)(t) + a1y
(n−1)(t) + . . .+ any(t)| ≥ δ1 > 0 ∀t ∈ [a, c],
де ai, i ∈ {1, . . . , n}, — деякi комплекснi числа. Тодi для довiльного ε ∈ (0, ε1), ε1 = δ1/((2n +
+ 2)An), A = 1 + maxi∈{1,...,n} |ai|1/i,
mesR{t ∈ [a, c] : |y(t)| < ε} ≤ C12N(ε/δ1)
1/n,
N = 1 + max
i∈{1,...,m}
{|zi|}, C12 = C12(n, c− a, n1, . . . , nm).
Позначимо b̃ = min
j∈{1,...,p}
{bj}; mr(k) := n1(k) + . . .+ nr(k), r ∈ {1, . . . , l(k)}, m0(k) := 0,
Zq(λk) := 1, q ∈ {1, . . . , n1(k)},
Zq(λk) := (µj(λk)− µ1(λk))n1(k) . . . (µj(λk)− µj−1(λk))nj−1(k), q ∈ {n1(k) + 1, . . . , n},
(44)
gq(t, λk) := exp (µj(λk)t)t
q−mj−1(k)−1/(q −mj−1(k)− 1)!, q ∈ {1, . . . , n}, (45)
Pq(β, λk) :=
j−1∏
s=1
(β − µs(λk))ns(k)(β − µj(λk))q−mj−1(k), q ∈ {1, . . . , n}. (46)
У рiвностях (44) – (46) iндекс j := j(q) однозначно визначається з умови mj−1(k) < q ≤
≤ mj(k); H(λk,~t ) = det
∥∥gr(tj , λk)∥∥r∈{1,...,n}j∈{1,...,n}, ~τq = (t1, . . . , tq), q ∈ {1, . . . , n}, причому ~τn = ~t,
Hq(λk, ~τq ) = det
∥∥gr(tj , λk)∥∥r∈{1,...,q}j∈{1,...,q}.
Теорема 3. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в Rn) векторiв ~t ∈ [0, T ]n нерiвнiсть (30)
виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ W при ω > n(n−1)(1+p/b̃)/2
i θ = nγ0T.
Доведення. Згiдно з лемою Бореля – Кантеллi [20, c. 13], для доведення теореми досить
показати, що при ω = n(n− 1)(1 + p/(2b̃))/2 + e , e > 0, i θ = nγ0T ряд∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
mesRnW θ
ω (λk), (47)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 427
де W θ
ω(λk) = {~t ∈ [0, T ]n : |∆(λk,~t )| < (1+‖λk‖2
~b)−ω exp (−θ‖λk‖2
~b)}, є збiжним. Розглянемо
множини
V (λk) = {~t ∈ [0, T ]n : |H(λk,~t )| < ρn(λk)},
Vq(λk) = {~t ∈ [0, T ]n : |Hq(λk, ~τq )| < ρq(λk), |Hq−1(λk, ~τq−1 )| ≥ ρq−1(λk)}, q ∈ {2, . . . , n},
де
ρq(λk) = wλk(−q(q−1)(1+p/(2b̃))/2−e(q−1)/(n−1);−qγ0T ; 2~b)
q∏
j=1
|Zj(λk)|, q ∈ {1, . . . , n}.
Iз (24), (44) випливає, що ∆(λk,~t ) = H(λk,~t )
∏n
j=1
Z−1j (λk), λk ∈ W. Тому ряд (47)
збiгається тодi i тiльки тодi, коли збiжним є ряд∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
mesRnV (λk). (48)
Встановимо збiжнiсть ряду (48). Зауважимо, що
V (λk) ⊂
n⋃
q=2
Vq(λk), λk ∈ W. (49)
На пiдставi (49) та адитивностi мiри Лебега маємо
mesRnV (λk) ≤
n∑
q=2
mesRnVq(λk). (50)
Згiдно з теоремою Фубiнi [21, с. 119]
mesRnVq(λk) =
∫
[0,T ]n−1
mesRVq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn)dt1 . . . dtq−1dtq+1 . . . dtn, (51)
де Vq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn) = {tq ∈ [0, T ] : ~t ∈ Vq(λk)}, q ∈ {2, . . . , n}.
Для оцiнки зверху мiри Лебега множин Vq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn), q ∈ {2, . . . , n}, λk ∈
∈ W, застосуємо лему 1. Зауважимо, що функцiя Hq(λk, ~τq), q ∈ {2, . . . , n}, як функцiя змiнної
tq (при фiксованих t1, . . . , tq−1), є квазiмногочленом, модулi показникiв експонент якого не
перевищують C3T (1 + ‖λk‖2
~b); крiм того, з розвинення визначника Hq(λk, ~τq), q ∈ {2, . . . , n},
за елементами останнього рядка та (46) випливають рiвностi
Pq−1(∂/∂tq, λk)Hq(λk, ~τq ) = exp (µj(λk)tq)Hq−1(λk, ~τq−1 )Zq(λk), q ∈ {2, . . . , n}, (52)
де iндекс j := j(q) однозначно визначається з умови mj−1(k) < q ≤ mj(k).
Якщо ~t ∈ Vq(λk), q ∈ {2, . . . , n}, то з формул (52), на пiдставi оцiнок (15) та означення
множин Vq(λk), отримуємо∣∣Pq−1(∂/∂tq, λk)Hq(λk, ~τq )
∣∣ ≥ ρ1(λk)ρq−1(λk)|Zq(λk)| ∀tq ∈ [0, T ], q ∈ {2, . . . , n}. (53)
Очевидно, що для кожного q ∈ {2, . . . , n} степiнь многочлена Pq−1(β, λk) за змiнною β до-
рiвнює q − 1, а модуль коефiцiєнта при βq−j−1, j ∈ {0, 1, . . . , q − 1}, в цьому многочленi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
428 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
не перевищує C13(1 + ‖λk‖2
~b)j , де C13 = C13(n,C3). Тому на пiдставi леми 1 з оцiнок (53)
отримуємо
mesRVq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn) ≤ C14(1 + ‖λk‖2
~b) q−1
√
ρq(λk)
ρ1(λk)ρq−1(λk)|Zq(λk)|
≤
≤ C14(1 + ‖λk‖2
~b)−p/(2b̃)−ẽ, q ∈ {2, . . . , n}, (54)
де C14 = C14(n, T, γ0), ẽ = e/(n− 1)2. На пiдставi (50), (51) i (54) маємо
mesRnV (λk) ≤
n∑
q=2
mesRnVq(λk) ≤ (n− 1)C14T
n−1(1 + ‖λk‖2
~b)−p/(2b̃)−ẽ. (55)
Оскiльки, згiдно з оцiнками (6), (1 + ‖λk‖2
~b)−1 ≤ (C1)
−bp(1 + ‖k‖2~b)−1 ≤ C15(1 + |k|)−2b̃, де
C15 = C15(C1, p), то на пiдставi (55) одержуємо∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
mesRnV (λk) ≤ C16
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
(1 + |k|)−(p+2b̃ẽ) <∞,
де C16 = (n− 1)C14C15T
n−1.
Теорему доведено.
З теорем 2, 3 випливає таке твердження.
Теорема 4. Нехай справджується умова (25), f ∈ C
(
[0, T ];Eγ1
α0, ~2b
)
, ϕj ∈ Eγ2
α0, ~2b
, j ∈
∈ {1, . . . , n}, де α0 > α+n+n(n−1)(1+p/(2b̃))/2, γ1 = γ+(n+1)γ0T−(n−1)δt1, γ2 = γ1−γ0T.
Для майже всiх (щодо мiри Лебега в Rn) векторiв ~t ∈ [0, T ]n iснує єдиний розв’язок задачi (1) –
(3) з простору Cn
(
[0, T ];Eγ
α, ~2b
)
, який зображується рядом (29) i неперервно залежить вiд
функцiй f(t, x) та ϕj(t, x), j ∈ {1, . . . , n}.
Зауваження. У деяких випадках нерiвнiсть (30) справджується для довiльного вектора
~t ∈ ST . Покажемо це на прикладi задачi з умовами (2), (3) для рiвняння(
∂
∂t
+
p−1∑
r=1
(−1)br
∂2br
∂x2brr
+ (−1)bpBbpν
)n
u(t, x) = 0, (t, x) ∈ D. (56)
У випадку задачi (2), (3), (56) вiдповiдний визначник ∆(λk,~t ) визначається формулою
∆(λk,~t ) =
n−1∏
r=1
(r!)−1
∏
1≤q<r≤n
(tr − tq) exp
(
−(t1 + . . .+ tn)‖λk‖2
~b
)
. (57)
Легко бачити, що для визначника (57) нерiвнiсть (30) справджується для всiх векторiв λk ∈ W
i довiльного ~t ∈ ST при ω = 0 i θ = nT.
Результати роботи можна поширити на системи B-параболiчних рiвнянь вигляду (1).
1. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. – М.: Наука, 1978. – 463 с.
2. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с.
3. Конаков П. К., Веревочкин Т. Е. Тепломассообмен при получении монокристаллов. – М.: Металлургия, 1971. –
387 с.
4. Городецький В. В., Ленюк О. М. Двоточкова задача для одного класу еволюцiйних рiвнянь // Мат. ст. – 2007. –
28, № 2. – С. 175 – 182.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 429
5. Mesloub S. On a singular two dimensional nonlinear evolution equation with nonlocal conditions // Nonlinear Anal.:
Theory, Methods and Appl. – 2008. – 68, № 9. – P. 2594 – 2607.
6. Bouziani A. On thee-point boundary value problem with a weighted integral condition for a classe of singular parabolic
equations // Abstr and Appl. Anal. – 2002. – 7, № 10. – P. 517 – 530.
7. Denche M., Marhoune A. L. A thee-point boundary value problem with an integral condition for parabolic equations
with the Bessel operators // Appl. Math. Lett. – 2000. – 13. – P. 85 – 89.
8. Лавренчук В. П. Деякi нелокальнi задачi для параболiчного рiвняння другого порядку з оператором Бесселя //
Крайовi задачi з рiзними виродженнями i особливостями: Зб. наук. праць. – Чернiвцi, 1990. – С. 111 – 119.
9. Тимкiв I. Р. Багатоточкова задача для 2 ~B-параболiчного рiвняння // Третя мiжн. конф. молодих вчених, при-
свячена Я. Б. Лопатинському „Диференцiальнi рiвняння та їх застосування” (Львiв, 3 – 6 жовтня 2010 р.): Тез.
доп. – Донецьк, 2010. – С. 89 – 91.
10. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными.
– Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
11. Пташник Б. Й., Галун К. С. Багатоточкова задача для факторизованих гiперболiчно-параболiчних операторiв
// Доп. НАН України. – 2009. – № 11. – С. 33 – 38.
12. Пташник Б.Й., Симотюк М. М. Багатоточкова задача для неiзотропних диференцiальних рiвнянь iз частинними
похiдними зi сталими коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 2. – С. 241 – 254.
13. Пташник Б. Й., Тимкiв I. Р. Багатоточкова задача для параболiчного рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами в
цилiндричнiй областi // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2011. – 54, № 1. – С. 15 – 26.
14. Силюга Л. П. Багатоточкова задача для параболiчних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами // Мат. методи та
фiз.-мех. поля. – 2000. – 43, № 4. – С. 42 – 48.
15. Эйдельман С. Д. Об одном классе параболических систем // Докл. АН СССР. – 1960. – 133, № 1. – С. 40 – 43.
16. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. – 1951. – 6,
№ 2(42). – С. 102 – 143.
17. Фаддєєв Д. К., Сомiнський I. С. Збiрник задач з вищої алгебри. – Київ: Вища шк., 1971. – 316 с.
18. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
19. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разло-
жении произвольных функций в ряды. – Петроград, 1917. – xiv+308 с.
20. Спринжук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – М.: Наука, 1977. – 143 с.
21. Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. – Киев: Вища шк., 1989. – 152 с.
Одержано 06.07.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2428 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:16Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cf/aba185f32d017e2f91e414c82fe117cf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24282020-03-18T19:15:16Z Multipoint Problem for B-Parabolic Equations Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь Ptashnik, B. I. Tymkiv, I. R. Пташник, Б. Й. Тимків, І. Р. We establish conditions for the well-posedness of a problem for one class of parabolic equations with the Bessel operator in one of the space variables in a bounded domain with multipoint conditions in the time variable and some boundary conditions in the space coordinates. A solution of the problem is constructed in the form of a series in a system of orthogonal functions. We prove a metric theorem on lower bounds for the small denominators appearing in the solution of the problem. Установлены условия корректности задачи с многоточечными условиями по временной переменной и некоторыми краевыми условиями по пространственным координатам для одного класса параболических уравнений с оператором Бесселя по одной из пространственных переменных в ограниченной области. Построено решение задачи в виде ряда по системе ортогональных функций. Доказана метрическая теорема об оценках снизу малых знаменателей, которые возникли при построении решения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2428 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 3 (2013); 418-429 Український математичний журнал; Том 65 № 3 (2013); 418-429 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2428/1623 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2428/1624 Copyright (c) 2013 Ptashnik B. I.; Tymkiv I. R. |
| spellingShingle | Ptashnik, B. I. Tymkiv, I. R. Пташник, Б. Й. Тимків, І. Р. Multipoint Problem for B-Parabolic Equations |
| title | Multipoint Problem for B-Parabolic Equations |
| title_alt | Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь |
| title_full | Multipoint Problem for B-Parabolic Equations |
| title_fullStr | Multipoint Problem for B-Parabolic Equations |
| title_full_unstemmed | Multipoint Problem for B-Parabolic Equations |
| title_short | Multipoint Problem for B-Parabolic Equations |
| title_sort | multipoint problem for b-parabolic equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2428 |
| work_keys_str_mv | AT ptashnikbi multipointproblemforbparabolicequations AT tymkivir multipointproblemforbparabolicequations AT ptašnikbj multipointproblemforbparabolicequations AT timkívír multipointproblemforbparabolicequations AT ptashnikbi bagatotočkovazadačadlâbparabolíčnihrívnânʹ AT tymkivir bagatotočkovazadačadlâbparabolíčnihrívnânʹ AT ptašnikbj bagatotočkovazadačadlâbparabolíčnihrívnânʹ AT timkívír bagatotočkovazadačadlâbparabolíčnihrívnânʹ |