Locally soluble AFA-groups
Let $A$ be an $\mathbf{R}G$-module, where $\mathbf{R}$ is a ring, $G$ is a locally solvable group, $C_G (A) = 1$, and each proper subgroup $H$ of $G$ for which $A/C_A(H)$ is not an Artinian $\mathbf{R}$-module is finitely generated. It is proved that a locally solvable group $G$ that satisfies thes...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2431 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508318345199616 |
|---|---|
| author | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. |
| author_facet | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. |
| author_sort | Dashkova, O. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:36Z |
| description | Let $A$ be an $\mathbf{R}G$-module, where $\mathbf{R}$ is a ring, $G$ is a locally solvable group, $C_G (A) = 1$, and each proper subgroup $H$ of $G$ for which $A/C_A(H)$
is not an Artinian $\mathbf{R}$-module is finitely generated. It is proved that a locally solvable group $G$ that satisfies these conditions is hyperabelian
if R is a Dedekind ring. We describe the structure of $G$ in the case where $G$ is a finitely generated solvable group, $A/C_A(H)$ is not an Artinian $\mathbf{R}$-module and $\mathbf{R}$ is a Dedekind ring. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
О. Ю. Дашкова (Днепропетр. нац. ун-т)
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ AFA-ГРУППЫ
Let A be an RG-module, where R is a ring, G is a locally solvable group, CG(A) = 1, and each proper subgroup H of
G for which A/CA(H) is not an Artinian R-module is finitely generated. It is proved that a locally solvable group G that
satisfies these conditions is hyperabelian if R is a Dedekind ring. We describe the structure of G in the case where G is a
finitely generated solvable group, A/CA(G) is not an Artinian R-module and R is a Dedekind ring.
Дослiджується RG-модуль A такий, що R — кiльце, G — локально розв’язна група, CG(A) = 1 та кожна власна
пiдгрупа H групи G, для якої фактор-модуль A/CA(H) не є артиновим R-модулем, скiнченно породжена. Доведено,
що локально розв’язна група G, яка задовольняє цi умови, гiперабелева, та описано структуру групи G у випадку,
коли G є скiнченнопородженою розв’язною групою, A/CA(G) не є артиновим R-модулем та R є дедекiндовим
кiльцем.
1. Введение. Пусть A — векторное пространство над полем F. Подгруппы группы GL(F,A)
всех автоморфизмов пространства A называются линейными группами. Если A имеет конеч-
ную размерность над полем F, GL(F,A) можно рассматривать как группу невырожденных
(n×n)-матриц, где n = dimFA. Конечномерные линейные группы являются важным объектом
исследования и изучались достаточно много. В случае, когда пространство A имеет бесконеч-
ную размерность над полем F, ситуация кардинально меняется. Бесконечномерные линейные
группы исследовались мало. Изучение этого класса групп требует дополнительных ограни-
чений. К таким ограничениям относятся различные условия конечности. Одним из условий
конечности, которое достойно особого внимания, является финитарность линейной группы.
Группа G называется финитарной, если для каждого ее элемента g подпространство CA(g)
имеет конечную коразмерность в A (см., например, [1, 2]). Финитарные линейные группы
изучались многими алгебраистами, и в этом направлении был получен ряд интересных резуль-
татов [2].
В [3] авторы ввели в рассмотрение антифинитарные линейные группы. ПустьG ≤ GL(F,A),
A(wFG) — фундаментальный идеал группового кольца FG. Авторы полагают aug dimF (G) =
= dimF (A(wFG)). Линейная группа G называется антифинитарной, если каждая собственная
подгруппа H группы G, для которой размерность aug dimF (H) бесконечна, конечно порожде-
на. В [3] исследовались антифинитарные локально разрешимые линейные группы.
Если G ≤ GL(F,A), то A можно рассматривать как FG-модуль. Естественным обобще-
нием этого случая является рассмотрение RG-модуля A, где R — кольцо. Б. А. Ф. Верфриц
ввел в рассмотрение артиново-финитарные группы автоморфизмов модуля M над кольцом R
и нетерово-финитарные группы автоморфизмов модуля M над кольцом R, являющиеся ана-
логами финитарных линейных групп [4 – 6]. Группа автоморфизмов F1AutRM модуля M над
кольцом R называется артиново-финитарной, если M(g − 1) является артиновым R-модулем
для любого элемента g ∈ F1AutRM. Группа автоморфизмов FAutRM модуля M над кольцом
R называется нетерово-финитарной, если M(g− 1) является нетеровым R-модулем для любо-
c© О. Ю. ДАШКОВА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 459
460 О. Ю. ДАШКОВА
го элемента g ∈ FAutRM. Б. А. Ф. Верфриц исследовал связь между группами F1AutRM и
FAutRM [6].
При изучении модулей над групповыми кольцами с различными условиями конечности
важную роль играет понятие коцентрализатора подгруппы H в модуле A, введенное в [7].
Определение 1.1. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа. Если H ≤ G, то
фактор-модуль A/CA(H), рассматриваемый как R-модуль, называется коцентрализатором
подгруппы H в модуле.
В настоящей работе рассматривается аналог антифинитарных линейных групп в теории
модулей над групповыми кольцами.
Определение 1.2. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа. Будем говорить,
что группа G является AFA-группой, если любая собственная подгруппа H группы G, коцент-
рализатор которой в модуле A не является артиновым R-модулем, конечно порождена.
В работе изучаются локально разрешимые AFA-группы. Всюду рассматривается RG-модуль
A такой, что CG(A) = 1. Основные результаты работы — теоремы 3.2 и 3.3 — доказаны в слу-
чае, когда кольцо R является дедекиндовым кольцом. Напомним, что кольцо R называется
дедекиндовым, если выполняются следующие условия: 1) R — область целостности; 2) R —
нетерово кольцо; 3) каждый ненулевой простой идеал кольца R является максимальным идеа-
лом; 4) кольцо R целозамкнуто.
В теореме 3.2 установлена гиперабелевость локально разрешимой AFA-группы, а в тео-
реме 3.3 описана структура конечнопорожденной разрешимой AFA-группы G в случае, когда
коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым R-модулем.
2. Предварительные результаты. В настоящем пункте мы сформулируем элементарные
результаты, которые будут использоваться при доказательстве основных теорем. Всюду далее,
если специально не оговорено, рассматривается RG-модуль A такой, что R — произвольное
ассоциативное кольцо.
Лемма 2.1. Пусть A — RG-модуль.
1. Если L ≤ H ≤ G и коцентрализатор подгруппы H в модуле A является артиновым
R-модулем, то и коцентрализатор подгруппы L в модуле A — артинов R-модуль.
2. Если L,H ≤ G и коцентрализаторы подгрупп L и H в модуле A являются артиновыми
R-модулями, то коцентрализатор подгруппы 〈L,H〉 в модуле A — артинов R-модуль.
Следствие 2.1. Пусть A — RG-модуль. Множество AD(G) всех элементов x ∈ G таких,
что коцентрализатор группы 〈x〉 в модуле A — артинов R-модуль, является нормальной
подгруппой группы G.
Доказательство. Из леммы 2.1 следует, что AD(G) является подгруппой группы G. По-
скольку CA(xg) = CA(x)g для всех x, g ∈ G, подгруппа AD(G) нормальна в G.
Следствие доказано.
Следствие 2.2. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Если группа G со-
держит две собственные бесконечнопорожденные подгруппы K и L, то коцентрализатор
подгруппы 〈K,L〉 в модуле A является артиновым R-модулем.
Лемма 2.2. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Пусть H ≤ G, K —
нормальная подгруппа H такая, что H/K = Drλ∈Λ(Hλ/K), Hλ 6= K для каждого λ ∈ Λ, и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ AFA-ГРУППЫ 461
множество индексов Λ бесконечно. Тогда коцентрализатор подгруппы H в модуле A является
артиновым R-модулем.
Доказательство. Фактор-группу H/K можно представить в виде прямого произведения
H/K = H1/K × H2/K такого, что фактор-группы H1/K и H2/K бесконечно порождены.
ПосколькуG является AFA-группой, коцентрализаторы подгруппH1 иH2 в модулеA являются
артиновыми R-модулями. Так как H = 〈H1, H2〉, по лемме 2.1 коцентрализатор подгруппы H
в модуле A является артиновым R-модулем.
Лемма доказана.
Следствие 2.3. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Пусть H ≤ G, K —
нормальная подгруппа H такая, что H/K = Drλ∈Λ(Hλ/K), Hλ 6= K для каждого λ ∈ Λ,
и множество индексов Λ бесконечно. Если g — элемент группы G такой, что подгруппа Hλ
является 〈g〉-инвариантной для каждого λ ∈ Λ, то g ∈ AD(G).
Доказательство. Отметим, что подгруппа K — 〈g〉-инвариантна. Поскольку множество ин-
дексов Λ бесконечно, Drλ∈Λ(Hλ/K)〈gK〉 = (H1/K)((H2/K)〈gK〉), где фактор-группы H1/K
и (H2/K)〈gK〉 — собственные и бесконечно порождены. Следовательно, коцентрализатор под-
группы 〈H, g〉 в модуле A является артиновым R-модулем. По лемме 2.1 коцентрализатор
подгруппы 〈g〉 в модуле A является артиновым R-модулем.
Следствие доказано.
Следствие 2.4. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Пусть H ≤ G, K —
нормальная подгруппа H такая, что H/K = Drλ∈Λ(Hλ/K), Hλ 6= K для каждого λ ∈ Λ, и
множество индексов Λ бесконечно. ЕслиHλ — G-инвариантная подгруппа для каждого λ ∈ Λ,
то G = AD(G).
Следствие 2.5. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Пусть H ≤ G и K —
нормальная подгруппа H такая, что H/K — бесконечная элементарная абелева p-группа для
некоторого простого числа p. Если g — элемент группы G такой, что подгруппы H и K
〈g〉-инвариантны, и gk ∈ CG(H/K) для некоторого k ∈ N, то g ∈ AD(G).
Доказательство. Пусть 1 6= h1K ∈ H/K,H1/K = 〈h1K〉〈gK〉. Поскольку элемент g ин-
дуцирует на фактор-группе H/K автоморфизм конечного порядка, фактор-группа H1/K ко-
нечна. Так как фактор-группа H/K элементарная абелева, справедливо равенство H/K =
= H1/K × C1/K. Отметим, что множество {Cy1 |y ∈ 〈g〉} конечно. Пусть {Cy1 |y ∈ 〈g〉} =
= {U1, . . . , Um}. Тогда 〈g〉-инвариантная подгруппа
D1 = U1 ∩ . . . ∩ Um = Core〈g〉(C1)
имеет конечный индекс в подгруппе H. Поскольку подгруппа K является 〈g〉-инвариантной,
K ≤ D1. Пусть 1 6= h2K ∈ D1/K,H2/K = 〈h2K〉〈gK〉. Тогда 〈H1/K,H2/K〉 = H1/K×H2/K.
Следовательно,H/K = (H1/K×H2/K)×C2/K для некоторой подгруппы C2. Продолжив рас-
суждения аналогичным образом, мы построим бесконечное семейство {Hn/K|n ∈ N} нееди-
ничных 〈g〉-инвариантных подгрупп такое, что 〈Hn/K|n ∈ N〉 = Drn∈NHn/K. По следствию
2.3 g ∈ AD(G).
Следствие доказано.
3. Локально разрешимые AFA-группы. Напомним, что группа G имеет конечный 0-ранг
r0(G) = r, если G обладает конечным субнормальным рядом с r бесконечными циклическими
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
462 О. Ю. ДАШКОВА
факторами, все остальные факторы которого периодические. 0-Ранг группы не зависит от
выбора ряда и является числовым инвариантом.
Лемма 3.1. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Если группа G содержит
нормальную подгруппу K такую, что фактор-группа G/K абелева и имеет бесконечный 0-
ранг, то коцентрализатор группы G в модуле A является артиновым R-модулем.
Доказательство. Пусть B/K — свободная абелева подгруппа фактор-группы G/K такая,
что фактор-группа G/B периодическая. Если π(G/B) бесконечно, то по лемме 2.2 коцентра-
лизатор группы G в модуле A является артиновым R-модулем. Предположим, что множество
π(G/B) конечно. Выберем такое простое число q, что q 6∈ π(G/B). Пусть C/K = (B/K)q.
Тогда B/C — силовская q-подгруппа фактор-группы G/C. Если P/C — силовская q′-подгруппа
G/C, то G/P является бесконечной элементарной абелевой q-группой, и по лемме 2.2 коцент-
рализатор группы G в модуле A является артиновым R-модулем.
Лемма доказана.
Следствие 3.1. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Предположим, что
группа G содержит нормальную подгруппу K такую, что фактор-группа G/K почти абелева
и имеет бесконечный 0-ранг. Тогда коцентрализатор группыG в модулеA является артиновым
R-модулем.
Доказательство. Пусть L/K — нормальная абелева подгруппа фактор-группы G/K такая,
что G/L конечна. Тогда ранг r0(L/K) бесконечен. Выберем элемент g ∈ G\L. Пусть B/K —
свободная абелева подгруппа фактор-группы L/K такая, что фактор-группа L/B периодиче-
ская. Ранг r0(B/K) бесконечен. Выберем элемент a1 ∈ B\K. Пусть A1/K = (〈a1〉K/K)〈gK〉.
Поскольку фактор-группа G/L конечна, A1/K — конечнопорожденная абелева группа. Сле-
довательно, подгруппа A1/K ∩ B/K конечно порождена. Выберем максимальную подгруп-
пу C1/K фактор-группы B/K, удовлетворяющую условию (A1/K ∩ B/K) ∩ C1/K = 〈1〉.
Тогда фактор-группа L/C1 имеет конечный 0-ранг. Так как фактор-группа G/L конечна, мно-
жество {(C1/K)yK |y ∈ 〈g〉} конечно. Пусть {(C1/K)yK |y ∈ 〈g〉} = {D1/K, . . . ,Dn/K} и
E/K = D1/K ∩ . . . ∩ Dn/K. Тогда фактор-группа E/K ≤ B/K, E/K — 〈g〉-инвариантна,
и по теореме Ремака L/E имеет конечный 0-ранг. В частности, E/K имеет бесконечный 0-
ранг. Выберем элемент a2 ∈ E\K. Пусть A2/K = (〈a2〉K/K)〈gK〉. Тогда A2/K ≤ E/K,
(A1/K) ∩ (A2/K) = 1. Продолжив рассуждения аналогичным образом, построим множество
{An/K|n ∈ N} 〈g〉-инвариантных подгрупп такое, что 〈An/K|n ∈ N〉 = Drn∈N(An/K). Со-
гласно следствию 2.3 g ∈ AD(G). Тогда можно выбрать конечнопорожденную подгруппу
F ≤ G такую, что G/K = (FK/K)(L/K), и каждый элемент g подгруппы F содержится в
AD(G). Поскольку подгруппа F конечно порождена, F ≤ AD(G). По лемме 3.1 коцентрали-
затор подгруппы L в модуле A является артиновым R-модулем. Поскольку G = FL, по лемме
2.1 коцентрализатор группы G в модуле A является артиновым R-модулем.
Следствие доказано.
Лемма 3.2. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Предположим, что группа
G содержит подгруппы L ≤ K ≤ H такие, что L и K — нормальные подгруппы H, K/L —
делимая черниковская группа, H/K — почти полициклическая группа. Если коцентрализатор
подгруппы H в модуле A не является артиновым R-модулем, то H = G. Более того, либо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ AFA-ГРУППЫ 463
G = K, и тогда фактор-группа G/L — квазициклическая p-группа для некоторого простого
числа p, либо G/K — циклическая q-группа для некоторого простого числа q.
Доказательство. Предположим сначала, что фактор-группа H/L конечно порождена. По
теореме Ф. Холла (теорема 5.34 [9])H/L удовлетворяет условию максимальности для нормаль-
ных подгрупп. В частности, K/L удовлетворяет условию max − H. Получили противоречие
с тем, что K/L — делимая черниковская группа. Следовательно, фактор-группа H/L беско-
нечно порождена, и поэтому подгруппа H бесконечно порождена. Поскольку коцентрализатор
подгруппы H в модуле A не является артиновым R-модулем, то H = G.
Пусть G 6= K. Тогда G = 〈K,M〉 для некоторого конечного множества M. Посколь-
ку множество M конечно, можно выбрать подмножество S множества M такое, что G =
= 〈K,S〉 и G 6= 〈K,X〉 для любого собственного подмножества X множества S. Пусть
S = {x1, . . . , xm}. Если m > 1, то 〈K,x1, . . . , xm−1〉 и 〈K,xm〉 — собственные бесконечнопо-
рожденные подгруппы группы G. Так как G является AFA-группой, коцентрализаторы под-
групп 〈K,x1, . . . , xm−1〉 и 〈K,xm〉 в модуле A являются артиновыми R-модулями. Поскольку
G = 〈〈K,x1, . . . , xm−1〉, 〈K,xm〉〉, по лемме 2.1 коцентрализатор группы G в модуле A явля-
ется артиновым R-модулем. Противоречие. Следовательно, m = 1, и поэтому G/K = 〈xK〉 —
циклическая фактор-группа. Если G/K бесконечна, то группу G можно представить в виде
произведения двух собственных бесконечнопорожденных подгрупп. Противоречие с леммой
2.1. Если фактор-группа G/K конечна, но |π(G/K)| > 1, вновь получаем противоречие с
леммой 2.1. Следовательно, G/K — циклическая q-группа для некоторого простого числа q.
Лемма доказана.
Лемма 3.3. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Пусть H — нормальная
подгруппа группы G такая, что G/H — бесконечная почти абелева периодическая фактор-
группа. Если коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым R-модулем, то
либо G/H — квазициклическая p-группа для некоторого простого числа p, либо группа G
содержит нормальную подгруппу K такую, что G/K — циклическая q-группа для некоторого
простого числа q, H ≤ K, и K/H — делимая черниковская p-группа для некоторого простого
числа p.
Доказательство. Пусть L/H — нормальная абелева подгруппа фактор-группы G/H та-
кая, что фактор-группа G/L конечна. Если множество π(L/H) бесконечно, то по лемме 2.2
коцентрализатор подгруппы L в модуле A является артиновым R-модулем. По следствию 2.4
G = AD(G). Поскольку фактор-группа G/L конечна, с учетом леммы 2.1 коцентрализатор
группы G в модуле A является артиновым R-модулем. Противоречие. Следовательно, мно-
жество π(L/H) конечно. Тогда существует простое число p такое, что силовская p-подгруппа
P/H фактор-группы L/H бесконечна. Пусть F/H — силовская p′-подгруппа L/H. Существу-
ет конечная фактор-группа S/H такая, что G/H = (L/H)(S/H). Если фактор-группа F/H
бесконечна, то фактор-группы (P/H)(S/H) и (F/H)(S/H) бесконечно порождены, и поэтому
коцентрализаторы подгрупп PS и FS в модуле A являются артиновыми R-модулями. По лем-
ме 2.1 коцентрализатор группы G в модуле A является артиновым R-модулем. Противоречие.
Следовательно, фактор-группа F/H конечна. Пусть B/H = (P/H)p. Если фактор-группа P/B
бесконечна, то P/B бесконечно порождена, и коцентрализатор подгруппы P в модуле A яв-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
464 О. Ю. ДАШКОВА
ляется артиновым R-модулем. По следствию 2.5 G = AD(G). Поскольку фактор-группа G/P
конечна, по лемме 2.1 коцентрализатор группы G в модуле A является артиновым R-модулем.
Снова получаем противоречие. Следовательно, фактор-группа (P/H)/(B/H) конечна. По лем-
ме 3 [11] P/H = (V/H)×(D/H), гдеD/H — делимая подгруппа, а V/H конечна. ПодгруппаD
является G-инвариантной. Положим K = D. Так как фактор-группа G/D конечна, применим
лемму 3.2.
Лемма доказана.
Лемма 3.4. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Предположим, что группа
G содержит нормальные подгруппы K ≤ H такие, что фактор-группа G/H конечна, а
H/K — абелева группа без кручения. Если коцентрализатор группы G в модуле A не является
артиновым R-модулем, то H/K конечно порождена.
Доказательство. По следствию 3.1 фактор-группа H/K имеет конечный 0-ранг. Пусть
B/K — свободная абелева подгруппа фактор-группы H/K такая, что фактор-группа H/B
периодическая. В силу конечности ранга r0(H/K) фактор-группа B/K конечно порождена.
Предположим, что фактор-группа H/K бесконечно порождена. Так как G/H конечна, фактор-
группа C/K = (B/K)G/K конечно порождена. По лемме 3.3 |π(G/C)| ≤ 2. Выберем два
различных простых числа r, s такие, что r, s 6∈ π(G/C). Пусть D/K = (C/K)rs. Тогда G/D —
бесконечнопорожденная периодическая почти абелева группа. По построению |π(G/D)| ≥ 3.
Получили противоречие с леммой 3.3. Следовательно, фактор-группаH/K конечно порождена.
Лемма доказана.
Лемма 3.5. Пусть A — RG-модуль, G является AFA-группой. Предположим, что группа
G содержит нормальные подгруппы K ≤ H такие, что фактор-группа G/H конечна, а H/K
абелева и бесконечно порождена. Если коцентрализатор группы G в модуле A не является
артиновым R-модулем, то H/K черниковская.
Доказательство. По следствию 3.1 фактор-группа H/K имеет конечный 0-ранг. Пусть
T/K — периодическая часть фактор-группы H/K. По лемме 3.4 H/T конечно порождена.
Тогда H/K имеет конечнопорожденную подгруппу B/K такую, что фактор-группа H/B пе-
риодическая. Поскольку G/H конечна, фактор-группа C/K = (B/K)G/K конечно порождена.
По лемме 3.3 G/C черниковская. Отсюда следует, что фактор-группа T/K также черниковская.
Пусть D/K — делимая часть фактор-группы T/K. Тогда G/D — конечнопорожденная почти
абелева группа. Применим лемму 3.2.
Лемма доказана.
Лемма 3.6. Пусть A — RG-модуль, G — разрешимая AFA-группа, не являющаяся ква-
зициклической p-группой для некоторого простого числа p. Тогда фактор-группа G/AD(G)
является полициклической.
Доказательство. ПустьD = AD(G). Если коцентрализатор группыG в модуле A является
артиновым R-модулем, то G = AD(G). Предположим, что G 6= AD(G). Пусть D = D0 ≤
≤ D1 ≤ . . . ≤ Dn = G — субнормальный ряд группы G с абелевыми факторами. Рассмотрим
фактор Dj/Dj−1, j < n. Если этот фактор бесконечно порожден, то подгруппа Dj также бес-
конечно порождена, и поэтому коцентрализатор подгруппы Dj в модуле A является артиновым
R-модулем. В частности, Dj ≤ AD(G). Отсюда следует, что фактор Dj/Dj−1 конечно по-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ AFA-ГРУППЫ 465
рожден для каждого j = 1, . . . , n − 1. Пусть K = Dn−1. Если фактор-группа G/K конечно
порождена, то G/D — полициклическая. Предположим, что фактор-группа G/K бесконечно
порождена. По лемме 3.5 G/K — черниковская группа. Пусть P/K — делимая часть G/K.
Если P/K 6= G/K, то P — собственная бесконечнопорожденная подгруппа группы G. Следо-
вательно, коцентрализатор подгруппы P в модуле A является артиновым R-модулем. Поэтому
P ≤ AD(G), и фактор-группа G/P конечна. Противоречие. Следовательно, G/K = P/K, и
тогда G/K — квазициклическая p-группа для некоторого простого числа p. Пусть g ∈ G\K.
Так как g 6∈ AD(G), подгруппа 〈g,K〉 конечно порождена. Из конечности фактор-группы
〈g〉K/K следует, что подгруппа K конечно порождена (теорема 1.41 [9]). Так как группа G
не является квазициклической p-группой, K 6= 1. Следовательно, K содержит собственную
G-инвариантную подгруппу L конечного индекса такую, что фактор-группа G/L черников-
ская и не является делимой. Ранее было доказано, что в этом случае фактор-группа G/AD(G)
конечна.
Лемма доказана.
Теорема 3.1. Пусть A — RG-модуль, G — бесконечнопорожденная разрешимая AFA-
группа, R является либо кольцом целых чисел Z, либо кольцом целых p-адических чисел Zp∞ .
Если коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым R-модулем, а коцентра-
лизатор каждой собственной конечнопорожденной подгруппы группы G в модуле A является
артиновым R-модулем, то G изоморфна квазициклической q-группе для некоторого простого
числа q.
Доказательство. Поскольку G — AFA-группа, коцентрализатор каждой собственной бес-
конечнопорожденной подгруппы группы G в модуле A является артиновым R-модулем. Сле-
довательно, коцентрализатор каждой собственной подгруппы группы G в модуле A является
артиновым R-модулем. В случае, когда R является кольцом целых p-адических чисел Zp∞ ,
справедливость доказываемой теоремы следует из теоремы 1.3 [14].
Рассмотрим случай, когда R является кольцом целых чисел Z. Покажем, что G не имеет
собственных подгрупп конечного индекса. Предположим противное. Пусть N — собственная
подгруппа группы G и индекс |G : N | конечен. Тогда можно выбрать конечнопорожденную
подгруппу M так, чтобы выполнялось равенство G = MN. Поскольку M и N — собственные
подгруппы группы G, их коцентрализаторы в модуле A являются артиновыми Z-модулями.
Отсюда с учетом леммы 2.1 получаем, что коцентрализатор группы G в модуле A — артинов
Z-модуль. Противоречие. Следовательно, группа G не имеет собственных подгрупп конечного
индекса.
Пусть D — коммутант группы G. Поскольку группа G не имеет собственных подгрупп
конечного индекса, фактор-группа G/D бесконечна. Из леммы 2.1 следует, что абелева фактор-
группа G/D не может порождаться двумя собственными подгруппами. Пусть фактор-группа
G/D не является периодической и T/D — периодическая часть G/D. Тогда фактор-группа
G/T порождается двумя собственными подгруппами. Получили противоречие с леммой 2.1.
Следовательно, фактор-группа G/D периодическая, и поэтому G/D является квазицикличе-
ской q-группой для некоторого простого числа q [15, с. 152]. Пусть H/D — произвольная
конечная подгруппа G/D. Так как H — собственная подгруппа группы G, коцентрализатор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
466 О. Ю. ДАШКОВА
подгруппы H в модуле является артиновым Z-модулем. Следовательно, A/CA(H) — артинов
Z-модуль. Отсюда следует, что A/CA(H) — абелева группа с условием минимальности для
подгрупп, и поэтому A/CA(H) является черниковской группой. Следовательно, фактор-группа
A/CA(H) является объединением конечных подгрупп An/CA(H), n = 1, 2, . . . , и для каж-
дого n = 1, 2, . . . фактор-группа G/CG(An/CA(H)) конечна. Поскольку группа G не имеет
собственных подгрупп конечного индекса, G = CG(An/CA(H)) для каждого n = 1, 2, . . . .
Следовательно, [G,An] ≤ CA(H) для каждого n = 1, 2, . . . , и поэтому [G,A] ≤ CA(H). Из
выбора H вытекает, что [G,A] ≤ CA(G), и поэтому G действует тривиально в каждом факторе
ряда 0 ≤ CA(G) ≤ A. По теореме Калужнина [16, с. 144] группа G абелева. Поэтому группа G
изоморфна квазициклической q-группе для некоторого простого числа q.
Теорема доказана.
Лемма 3.7 (лемма 4.1 [10]). Пусть A — RG-модуль, G — локально разрешимая группа,
R — дедекиндово кольцо. Если коцентрализатор группы G в модуле A является артиновым
R-модулем, то группа G разрешима.
Теорема 3.2. Пусть A — RG-модуль, G — локально разрешимая AFA-группа, R — деде-
киндово кольцо. Тогда группа G гиперабелева.
Доказательство. Предположим, что группа G не является разрешимой. Тогда группа G
не является простой (следствие 1 к теореме 5.27 [9]). Пусть M — произвольная собственная
подгруппа группы G. Если коцентрализатор подгруппы M в модуле A является артиновым
R-модулем, то по лемме 3.7 подгруппа M разрешима. Если коцентрализатор подгруппы M в
модуле A не является артиновым R-модулем, M конечно порождена. Следовательно, и в этом
случае подгруппа M разрешима. Пусть H — подгруппа, порожденная всеми собственными
разрешимыми нормальными подгруппами группы G. Если H = G, то группа G гиперабелева.
В случае, когдаH 6= G, подгруппаH разрешима. Из выбора подгруппыH вытекает, чтоG/H —
циклическая группа простого порядка, и поэтому группа G разрешима.
Теорема доказана.
Лемма 3.8. Пусть A — RG-модуль, G — конечнопорожденная разрешимая AFA-группа.
Тогда коцентрализатор подгруппы AD(G) в модуле A является артиновым R-модулем.
Доказательство. Пусть D = AD(G) и 〈1〉 = D0 ≤ D1 ≤ . . . ≤ Dn = D — производный
ряд подгруппы D. Если каждый фактор Dj+1/Dj , j = 0, 1, . . . , n − 1, конечно порожден, то
подгруппаD полициклическая, и поэтомуD конечно порождена. По лемме 2.1 коцентрализатор
подгруппы D в модуле A является артиновым R-модулем. Пусть теперь для некоторого j =
= 0, 1, . . . , n − 1 фактор Dj+1/Dj бесконечно порожден и t — такое число, что Dt/Dt−1
бесконечно порожден, а факторы Dj+1/Dj конечно порождены для каждого j ≥ t. Отсюда
следует, что фактор-группаD/Dt — полициклическая. Поскольку группаG конечно порождена,
бесконечнопорожденная подгруппа Dt является собственной подгруппой G, и поэтому коцент-
рализатор Dt в модуле A является артиновым R-модулем. Поскольку фактор-группа D/Dt
полициклическая, D = KDt для некоторой конечнопорожденной подгруппы K. Из включения
K ≤ AD(G) следует, что коцентрализатор подгруппы K в модуле A является артиновым R-
модулем. По лемме 2.1 коцентрализатор подгруппы AD(G) в модуле A является артиновым
R-модулем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ AFA-ГРУППЫ 467
Лемма доказана.
Теорема 3.3. ПустьA — RG-модуль,G — конечнопорожденная разрешимая AFA-группа,
R — дедекиндово кольцо. Если коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым
R-модулем, то справедливы следующие утверждения:
1) фактор-группа G/AD(G) является полициклической;
2) коцентрализатор подгруппы AD(G) в модуле A является артиновым R-модулем;
3) группа G обладает рядом нормальных подгрупп H ≤ N ≤ G, таким, что фактор-группа
G/N полициклическая, а фактор-группа N/H и подгруппа H нильпотентны.
Доказательство. Справедливость первого утверждения следует из леммы 3.6, а второго —
из леммы 3.8. Докажем третье утверждение. Пусть C = CA(AD(G)). Так как фактор-мо-
дуль A/C является артиновым R-модулем, по теореме 7.13 [8] A имеет конечный ряд RG-
подмодулей 0 = C0 ≤ C1 = C ≤ C2 ≤ C3 = A такой, что C2/C1 — делимый R-модуль,
представимый в виде прямой суммы конечного числа прюферовых R-модулей, C3/C2 — ко-
нечнопорожденный R-модуль. Из доказательства следствия 6.6 [8] следует существование ряда
C2 ≤ L1 ≤ L2 . . . ≤ Lk ≤ C3 такого, что все факторы L1/C2, Li/Li−1, i = 2, . . . , k, C3/Lk —
простые RG-модули. Следовательно, A имеет конечный ряд RG-подмодулей
0 = S0 ≤ S1 = C1 ≤ S2 = C2 ≤ S3 ≤ . . . ≤ Sm = A
такой, что каждый фактор Si+1/Si, i = 2, . . . ,m − 1, является простым RG-модулем. Со-
гласно предложению 16.16 [12] фактор-группа G/CG(S2/S1) изоморфна некоторой подгруппе
GL(r,R(P∞)). Кольцо R(P∞) является целостным, поэтому R(P∞) вкладывается в некото-
рое поле. По теореме А.И.Мальцева (лемма 3.6 [13]) фактор-группа G/CG(S2/S1) является
расширением нильпотентной группы с помощью почти абелевой. Поскольку группа G конечно
порождена, фактор-группа G/CG(S2/S1) является расширением нильпотентной группы с по-
мощью полициклической. По лемме 3.5 [13] фактор-группы G/CG(Si+1/Si), i = 2, . . . ,m− 1,
почти абелевы. Отсюда следует, что фактор-группы G/CG(Si+1/Si), i = 2, . . . ,m−1, являются
полициклическими. Из выбора подгруппы C1 = S1 следует, что CG(S1) ≥ AD(G). По лемме
3.6 фактор-группа G/CG(S1) является полициклической.
Пусть H = CG(S1) ∩ CG(S2/S1) ∩ . . . ∩ CG(Sm/Sm−1). Каждый элемент подгруппы H
действует тривиально в каждом факторе Sj+1/Sj , j = 0, 1, . . . ,m − 1. По теореме Калужнина
[16, с. 144] подгруппа H нильпотентна. По теореме Ремака
G/H ↪→ G/CG(S1)×G/CG(S2/S1)× . . .×G/CG(Sm/Sm−1).
Следовательно, фактор-группа G/H является расширением нильпотентной группы N/H с по-
мощью полициклической (G/H)/(N/H), и поэтому группа G имеет ряд нормальных подгрупп
H ≤ N ≤ G такой, что фактор-группа G/N полициклическая, а фактор-группа N/H и под-
группа H нильпотентны.
Теорема доказана.
Пример. Пусть F = Q — поле рациональных чисел, A = ⊕n∈NAn, где An изоморфна
аддитивной группе поля F для каждого n ∈ N. Выберем элемент бесконечного порядка g ∈
∈ U(F ). Рассмотрим бесконечную диагональную матрицу γ = ||ujm||j,m∈N такую, что ujj = gj
для каждого j ∈ N и ujm = 0 для каждого j 6= m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
468 О. Ю. ДАШКОВА
Пусть Σ — множество всех матриц α = ||ujm||j,m∈N таких, что ujm = 0, если (j,m) 6∈
6∈ {(1, 2), (j, j)|j ∈ N}, и ujj 6= 0, j ∈ N. Пусть α, β ∈ Σ, α = ||ujm||j,m∈N, β = ||vjm||j,m∈N.
Тогда αβ = ||wjm||j,m∈N, где wjj = ujjvjj , j ∈ N, w12 = u11v12 + u12v22, и wjm = 0, если
(j,m) 6∈ {(1, 2), (j, j)|j,m ∈ N}. Следовательно, αβ ∈ Σ. Если α ∈ Σ, то α−1 = ||yjm||j,m∈N,
где yjj = u−1
jj , j ∈ N, y12 = −u−1
11 u
−1
22 u12, и yjm = 0, если (j,m) 6∈ {(1, 2), (j, j)|j,m ∈ N}.
Отсюда следует, что Σ — подгруппа GL(F,A).
Рассмотрим теперь подмножество Φ группы Σ, состоящее из матриц α = ||ujm||j,m∈N,
для которых ujj = 1 для каждого j ∈ N и ujm = 0 для каждого (j,m) 6= (1, 2), j 6= m.
Пусть α, β ∈ Φ, α = ||ujm||j,m∈N, β = ||vjm||j,m∈N. Тогда αβ = ||wjm||j,m∈N, где wjj = 1 для
каждого j ∈ N, w12 = v12 + u12, и wjm = 0 для каждого (j,m) 6= (1, 2), j 6= m. Кроме того,
α−1 ∈ Φ. Следовательно, Φ — подгруппа Σ, и Φ изоморфна аддитивной группе поля F. Если
α = ||ujm||j,m∈N, β = ||vjm||j,m∈N, α ∈ Σ, β ∈ Φ, то α−1βα = ||wjm||j,m∈N, где wjj = 1
для каждого j ∈ N, wjm = 0 для каждого (j,m) 6= (1, 2), j 6= m, и w12 = u−1
11 u22v12. Отсюда
следует, что Φ — нормальная подгруппа группы Σ.
В качестве кольца R рассмотрим кольцо многочленов R= F [x]. Зададим действие кольца
R на A следующим образом. Каждый элемент из A представим в виде последовательности эле-
ментов (a1, a2, . . . , ai, 0, 0, . . . 0, . . .), где ai ∈ Ai, i = 1, 2, . . . . Положим для любого элемента
f(x) ∈ R, f(x) = c1 + c2x+ c3x
2 + . . . + crx
r−1,
(a1, a2, . . . , ai, 0, 0, . . . 0, . . .)f(x) =
= ((c1 + c2 + . . .+ cr)a1, (c1 + c2 + . . .+ cr)a2, . . .
. . . , (c1 + c2 + . . .+ cr)ai, 0, 0, . . . 0, . . . ).
A — R-модуль, который не является артиновым R-модулем.
Пусть τ = ||ujm||j,m∈N ∈ Φ, ujj = 1 для всех j ∈ N, u12 = 1 и ujm = 0 для всех
(j,m) 6= (1, 2), j 6= m, и G = 〈γ, τ〉. Тогда G представима в виде полупрямого произведения
G = T h 〈γ〉, где подгруппа T изоморфна подгруппе аддитивной группы поля F, порожденной
элементами {gn | n ∈ Z}. По построению коцентрализатор подгруппы 〈γ〉 в модуле A не
является артиновым R-модулем. Отсюда следует, что коцентрализатор группы G в модуле A
не является артиновым R-модулем.
Имеет место изоморфизм R-модулей A/CA(T ) ' A1, где A1 — однопорожденный R-мо-
дуль. Так как AnnRA1 = 〈1−x〉, по следствию 6.3 [17] модуль A1 имеет конечный композици-
онный ряд. Отсюда следует, что A1 — артинов R-модуль, а поэтому A/CA(T ) также является
артиновым R-модулем, и коцентрализатор подгруппы T в модуле A — артинов R-модуль.
Пусть L — произвольная собственная подгруппа группыG. Если L ≤ T, то коцентрализатор
L в модуле A является артиновым R-модулем. Если же подгруппа L не содержится в T, то
в L можно выбрать элемент β = γkα, α ∈ T, для некоторого k ∈ N. Можно считать, что
k — наименьшее натуральное число в записи элементов данного вида. T можно рассматривать
как Z〈γ〉-модуль. Так как Z〈γ〉 — нетерово кольцо, каждый циклический Z〈γ〉-модуль нетеров.
Следовательно, Z〈γ〉-модуль T нетеров. Поэтому Z〈β〉-модуль T∩L также нетеров. В частности,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ AFA-ГРУППЫ 469
Z〈β〉-модуль T ∩L конечно порожден. Так как L = 〈T ∩L, β〉, подгруппа L конечно порождена.
Тем самым доказано, что построенная группа G является AFA-группой.
1. Phillips R. E. The structure of groups of finitary transformations // J. Algebra. – 1988. – 119, № 2. – P. 400 – 448.
2. Phillips R. E. Finitary linear groups: a survey. "Finite and locally finite groups"// NATO ASI. Ser. C. Math. Phys.
Sci. – 1995. – 471. – P. 111 – 146.
3. Kurdachenko L. A., Muñoz-Escolano J. M., Otal J. Antifinitary linear groups // Forum Math. – 2008. – 20, № 1. –
P. 27 – 44.
4. Wehrfritz B. A. F. Artinian-finitary groups over commutative rings // Ill. J. Math. – 2003. – 47, № 1-2. – P. 551 – 565.
5. Wehrfritz B. A. F. Artinian-finitary groups over commutative rings and non-commutative rings // J. London Math.
Soc. – 2004. – 70, № 2. – P. 325 – 340.
6. Wehrfritz B. A. F. Artinian-finitary groups are locally normal-finitary // J. Algebra. – 2005. – 287, № 2. – P. 417 – 431.
7. Курдаченко Л. А. О группах с минимаксными классами сопряженных элементов // Бесконечные группы и
примыкающие алгебраические структуры. – Киев, 1993. – С. 160 – 177.
8. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya., Semko N. N. Insight into modules over Dedekind domains. – Kyiv: Inst. Math.
Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2008. – 119 p.
9. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups // Ergeb. Math. – 1972. – Vols 1, 2.
10. Dashkova O. Yu. On modules over group rings of locally soluble groups with rank restrictions on some systems of
subgroups // Asian-Eur. J. Math. – 2010. – 3, № 1. – P. 45 – 55.
11. Курдаченко Л. А. Непериодические FC-группы и связанные классы локально нормальных групп и абелевых
групп без кручения // Сиб. мат. журн. – 1986. – 27, № 2. – С. 227 – 236.
12. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Artinian modules over group rings. – Basel etc.: Birkhäuser, 2007. – 248 p.
13. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups // Ergeb. Math. – 1973. – 229 p.
14. Dashkova O. Yu. On modules over group rings of locally soluble groups for a ring of p-adic integers // Algebra
Discrete Math. – 2009. – № 1. – P. 32 – 43.
15. Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967. – 648 с.
16. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1975. – 240 с.
17. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya. Modules over Dedekind domains. – Los Angeles: Nat. Univ., 1996. – 76 p.
Получено 06.02.12,
после доработки — 09.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2431 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:18Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/18fe7c9d34570e77ea859efcd76a1ecc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24312020-03-18T19:15:36Z Locally soluble AFA-groups Локально разрешимые AFA-группы Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. Let $A$ be an $\mathbf{R}G$-module, where $\mathbf{R}$ is a ring, $G$ is a locally solvable group, $C_G (A) = 1$, and each proper subgroup $H$ of $G$ for which $A/C_A(H)$ is not an Artinian $\mathbf{R}$-module is finitely generated. It is proved that a locally solvable group $G$ that satisfies these conditions is hyperabelian if R is a Dedekind ring. We describe the structure of $G$ in the case where $G$ is a finitely generated solvable group, $A/C_A(H)$ is not an Artinian $\mathbf{R}$-module and $\mathbf{R}$ is a Dedekind ring. Дослiджується $\mathbf{R}G$-модуль $A$ такий, що $\mathbf{R}$ — кiльце, $G$ — локально розв’язна група, $C_G (A) = 1$ та кожна власна пiдгрупа $H$ групи $G$, для якої фактор-модуль $A/C_A(H)$ не є артиновим $\mathbf{R}$-модулем, скiнченно породжена. Доведено, що локально розв’язна група $G$, яка задовольняє цi умови, гiперабелева, та описано структуру групи $G$ у випадку, коли $G$ є скiнченнопородженою розв’язною групою, $A/C_A(H)$ не є артиновим $\mathbf{R}$-модулем та $\mathbf{R}$ є дедекiндовим кiльцем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2431 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 4 (2013); 459-469 Український математичний журнал; Том 65 № 4 (2013); 459-469 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2431/1628 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2431/1629 Copyright (c) 2013 Dashkova O. Yu. |
| spellingShingle | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. Locally soluble AFA-groups |
| title | Locally soluble AFA-groups |
| title_alt | Локально разрешимые AFA-группы |
| title_full | Locally soluble AFA-groups |
| title_fullStr | Locally soluble AFA-groups |
| title_full_unstemmed | Locally soluble AFA-groups |
| title_short | Locally soluble AFA-groups |
| title_sort | locally soluble afa-groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2431 |
| work_keys_str_mv | AT dashkovaoyu locallysolubleafagroups AT daškovaoû locallysolubleafagroups AT daškovaoû locallysolubleafagroups AT dashkovaoyu lokalʹnorazrešimyeafagruppy AT daškovaoû lokalʹnorazrešimyeafagruppy AT daškovaoû lokalʹnorazrešimyeafagruppy |