Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times
We obtain conditions for the existence of a periodic solution of a system with impulses at variable times.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2433 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508321739440128 |
|---|---|
| author | Ivashchuk, O. V. Іващук, О. В. |
| author_facet | Ivashchuk, O. V. Іващук, О. В. |
| author_sort | Ivashchuk, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:36Z |
| description | We obtain conditions for the existence of a periodic solution of a system with impulses at variable times. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. В. Iващук (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
В НЕФIКСОВАНI МОМЕНТИ ЧАСУ
We obtain conditions for the existence of a periodic solution of a system with impulses at variable times.
Получены условия существования периодического решения системы с импульсным воздействием в нефиксирован-
ные моменты времени.
Iдею застосування методу усереднення до дослiдження рiвняння з iмпульсною дiєю, що була
запропонованa М. М. Криловим та М. М. Боголюбовим [1], згодом було розвинено в роботах
А. М. Самойленка, Ю. О. Митропольського, М. О. Перестюка та iн. i поширено на широкий
клас систем з iмпульсною дiєю. Зокрема, в роботах А. М. Самойленка, М. О. Перестюка [2 – 4]
розглядалося питання про iснування граничного розривного циклу iмпульсної системи з однiєю
точкою розриву, було встановлено умови iснування перiодичних розв’язкiв iмпульсних систем,
що розглядалися, та обґрунтовано використання методу усереднення Крилова – Боголюбова при
дослiдженнi даних iмпульсних систем.
Основний результат даної роботи полягає в тому, що для iмпульсної системи з двома точка-
ми розриву в нефiксованi моменти часу встановлено умови на коефiцiєнти та функцiї системи,
при яких дана система має 2π-перiодичнй розв’язок. При дослiдженнi використовувався ме-
тод усереднення Крилова – Боголюбова та результати з теорiї чисельно-аналiтичних методiв
дослiдження перiодичних розв’язкiв [5].
Розглянемо систему
ẋ = λHx+ εX(x), ‖x‖ 6= r0, (1)
з умовою
∆‖x‖
∣∣∣
‖x‖=r0
=
εI1(x1, x2), x2 ≤ 0,
εI2(x1, x2), x2 > 0,
(2)
де x =
(
x1
x2
)
: R→ R2, H =
(
0 1
−1 0
)
, X(x) =
(
X1(x1, x2)
X2(x1, x2)
)
: R2 → R2, Ik(x1, x2) : R2 →
→ R, k = 1, 2, ε > 0 — малий параметр, λ > 0.
Нехай для X1(x), X2(x) в областi D = BR(0), R > r0, виконуються такi умови:
A) |X1(x)| ≤M1, |X2(x)| ≤M2;
B) X1(x), X2(x) неперервнi та задовольняють умову Лiпшиця по x зi сталими K1, K2
вiдповiдно.
Наша задача — вказати умови на коефiцiєнти системи (1), (2), при яких породжуються
2π-перiодичнi розв’язки цiєї системи.
Виконавши замiну
x1 = r cosϕ,
x2 = −r sinϕ,
(3)
c© О. В. IВАЩУК, 2013
486 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ В НЕФIКСОВАНI МОМЕНТИ ЧАСУ 487
вiд системи (1) перейдемо до рiвняння
dr
dϕ
=
εF (r, ϕ)
λ+ εG(r, ϕ)
, r 6= r0, (4)
де
F (r, ϕ) = X1(r cosϕ,−r sinϕ) cosϕ− εX2(r cosϕ,−r sinϕ) sinϕ,
G(r, ϕ) =
−1
r
(X1(r cosϕ,−r sinϕ) sinϕ+ εX2(r cosϕ,−r sinϕ) cosϕ).
Умова (2) пiсля замiни набере вигляду
∆r
∣∣∣
r=r0
=
εI1(r cosϕ,−r sinϕ), ϕ ∈ [2πn, π + 2πn],
εI2(r cosϕ,−r sinϕ), ϕ ∈ (π + 2πn, 2π + 2πn), n ∈ Z.
(5)
Оскiльки iмпульсна дiя вiдбувається при r = r0, то, позначивши Ĩk(ϕ) = Ik(r0 cosϕ,−r0 sinϕ),
k = 1, 2, отримаємо
∆r
∣∣∣
r=r0
=
εĨ1(ϕ), ϕ ∈ [2πn, π + 2πn],
εĨ2(ϕ), ϕ ∈ (π + 2πn, 2π + 2πn), n ∈ Z.
(6)
Припустимо, що система (4), (6) має 2π-перiодичний розв’язок r = r(ϕ), який на [0, 2π]
має рiвно два виходи на r = r0 в моменти ϕ = ϕ1 ∈ [0, π] та ϕ = ϕ2 ∈ (π, 2π). Це означає, що
на вiдрiзку [0, 2π] 2π-перiодичний розв’язок системи (4), (6) складається з трьох частин:
1) при ϕ ∈ [0, ϕ1] r = r(ϕ, 0, C) — розв’язок рiвняння (4) з початковою умовою r(0) = C,
який в момент ϕ = ϕ1 набуває значення r = r0;
2) при ϕ ∈ (ϕ1, ϕ2] r = r(ϕ,ϕ1, r0 + εĨ1(ϕ1)) — розв’язок рiвняння (4) з початковою
умовою r(ϕ1) = r0 + εĨ1(ϕ1), який в момент ϕ = ϕ2 набуває значення r = r0;
3) при ϕ ∈ (ϕ2, 2π] r = r(ϕ,ϕ2, r0 + εĨ2(ϕ2)) — розв’язок рiвняння (4) з початковою
умовою r(ϕ2) = r0 + εĨ2(ϕ2), який в момент ϕ = 2π набуває значення r = C.
Тобто 2π-перiодичний розв’язок системи (4), (6), якщо вiн iснує, повинен задовольняти умови:
a) ∃ϕ1 ∈ [0, π] : r(ϕ1, 0, C) = r0,
b) ∃ϕ2 ∈ (π, 2π) : r(ϕ2, ϕ1, r0 + εĨ1(ϕ1)) = r0,
c) r(2π, ϕ2, r0 + εĨ2(ϕ2)) = C.
Рiвняння (4) має розв’язок, який можна записати у виглядi
r = (ϕ,ϕ0, ρ0) = ρ0 +
ε
λ
ϕ∫
ϕ0
F (ρ0, τ)dτ + ε2 . . . . (7)
Пiдставивши цей розв’язок в систему a) – c), отримаємо систему рiвнянь, пiсля розв’язання якої
знайдемо значення ϕ1, ϕ2, C:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
488 О. В. IВАЩУК
C +
ε
λ
ϕ1∫
0
F (C, τ)dτ + ε2 . . . = r0,
r0 + εĨ1(ϕ1) +
ε
λ
ϕ2∫
ϕ1
F (r0 + εĨ1(ϕ1), τ)dτ + ε2 . . . = r0,
r0 + εĨ2(ϕ2) +
ε
λ
2π∫
ϕ2
F (r0 + εĨ2(ϕ2), τ)dτ + ε2 . . . = C.
(8)
З останнього рiвняння видно, що C можна подати у виглядi розкладу по степенях ε:
C = r0 +
+∞∑
k=1
Ckε
k,
r0 +
+∞∑
k=1
Ckε
k +
ε
λ
ϕ1∫
0
F (C, τ)dτ + ε2 . . . = r0,
r0 + εĨ1(ϕ1) +
ε
λ
ϕ2∫
ϕ1
F (r0 + εĨ1(ϕ1), τ)dτ + ε2 . . . = r0,
r0 + εĨ2(ϕ2) +
ε
λ
2π∫
ϕ2
F (r0 + εĨ2(ϕ2), τ)dτ + ε2 . . . = r0 +
+∞∑
k=1
Ckε
k.
(9)
Звiдси, розклавши по степенях ε функцiю F
(
r0 +
∑+∞
k=1
Ckε
k, τ
)
, отримаємо
C1 +
1
λ
ϕ1∫
0
F (r0, τ)dτ + ε . . . = 0,
Ĩ1(ϕ1) +
1
λ
ϕ2∫
ϕ1
F (r0, τ)dτ + ε . . . = 0,
− C1 + Ĩ2(ϕ2) +
1
λ
2π∫
ϕ2
F (r0, τ)dτ + ε . . . = 0.
(10)
Розглянемо систему (10) при ε = 0 у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ В НЕФIКСОВАНI МОМЕНТИ ЧАСУ 489
C1 +
1
λ
ϕ1∫
0
F (r0, τ)dτ = 0,
− C1 + Ĩ2(ϕ2) +
1
λ
2π∫
ϕ2
F (r0, τ)dτ = 0,
Ĩ1(ϕ1) + Ĩ2(ϕ2) +
1
λ
2π∫
0
F (r0, τ)dτ = 0.
(11)
Оскiльки рiвняння (10) є неперервними по C1, ϕ1, ϕ2, ε, то для iснування розв’язкiв C1, ϕ1,
ϕ2 системи (10) при малих ε достатньо, щоб система (11) мала розв’язок C1, ϕ1 ∈ [0, π],
ϕ2 ∈ (π, 2π) i цей розв’язок не перетворював на нуль якобiан функцiй, що утворюють правi
частини рiвнянь системи (11), тобто∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1
λ
∂
∂ϕ1
ϕ1∫
0
F (r0, τ)dτ 0
−1 0
∂
∂ϕ2
Ĩ2(ϕ2) +
1
λ
∂
∂ϕ2
2π∫
ϕ2
F (r0, τ)dτ
0
∂
∂ϕ1
Ĩ1(ϕ1)
∂
∂ϕ2
Ĩ2(ϕ2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0. (12)
Остання умова рiвносильна такiй:
1
λ
Ĩ ′2(ϕ2)F (r0, ϕ1)− Ĩ ′1(ϕ1)
(
Ĩ ′2(ϕ2)−
1
λ
F (r0, ϕ2)
)
6= 0. (13)
Отже, якщо iснують C1, ϕ1 ∈ [0, π], ϕ2 ∈ (π, 2π) — розв’язки системи (11) — i виконується
(13), то iснують близькi до них розв’язки системи (10).
Знайшовши таким чином C1, ϕ1, ϕ2, можна вiд умови (6) перейти до умови
∆r
∣∣
r=r0
=
εĨ1(ϕ1), ϕ = ϕ1 + 2πn,
εĨ2(ϕ2), ϕ = ϕ2 + 2πn, n ∈ Z.
(14)
2π-Перiодичний розв’язок системи (4), (14) буде розв’язком системи (4), (6).
Вiд задачi (4), (14) перейдемо до рiвняння
dr
dϕ
=
εF (r, ϕ)
λ+ εG(r, ϕ)
+
+∞∑
k=−∞
εĨ1(ϕ1)δ(ϕ− ϕ1 − 2πk) +
+∞∑
k=−∞
εĨ2(ϕ2)δ(ϕ− ϕ2 − 2πk).
Використавши формулу
+∞∑
k=−∞
δ(ϕ+ 2πk) =
1
π
(
1
2
+
+∞∑
k=0
cos kϕ
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
490 О. В. IВАЩУК
останнє рiвняння зведемо до вигляду
dr
dϕ
= ε
(
F (r, ϕ)
λ+ εG(r, ϕ)
+
Ĩ1(ϕ1)
π
(
1
2
+
+∞∑
k=0
cos k(ϕ− ϕ1)
)
−
− Ĩ2(ϕ2)
π
(
1
2
+
+∞∑
k=0
cos k(ϕ− ϕ2)
))
, ϕ 6= ϕi + 2πk, i = 1, 2, k ≥ 1. (15)
У рiвняннi (15) виконаємо замiну
r = ρ+ ε
(
Ĩ1(ϕ1)
π
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ1)
k
− Ĩ2(ϕ2)
π
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ2)
k
+
1
λ
F̃ (ρ, ϕ)
)
,
де F̃ (ρ, ϕ) — розв’язок рiвняння
∂
∂ϕ
F̃ (ρ, ϕ) = F (ρ, ϕ) − F (ρ, ϕ), F (ρ, ϕ) = F0(ρ) =
=
1
2π
∫ 2π
0
F (ρ, ϕ)dϕ. Розклавши праву частину по степенях ε, отримаємо рiвняння
dρ
dϕ
= ε
(
1
λ
F0(ρ) +
Ĩ1(ϕ1) + Ĩ2(ϕ2)
2π
)
+ε2F1(ρ, ϕ, ε), ϕ 6= ϕi+2πk, i = 1, 2, k ≥ 1. (16)
Тут F1(ρ, ϕ, ε) — неперервна по ρ i кусково-неперервна по ϕ функцiя з точками розриву першого
роду в ϕ = ϕi + 2πk, i = 1, 2, k ≥ 1.
Рiвняння першого наближення для (16) має вигляд
dρ
dϕ
= ε
(
1
λ
F0(ρ) +
Ĩ1(ϕ1) + Ĩ2(ϕ2)
2π
)
. (17)
Кожен розв’язок рiвняння (16) буде знаходитися в ε-околi деякого розв’язку рiвняння (17).
Якщо рiвняння (17) має 2π-перiодичний розв’язок, то рiвняння (16) теж має близький до нього
2π-перiодичний розв’язок.
Для дослiдження рiвняння (17) застосуємо чисельно-аналiтичний метод. Накладемо на
функцiю F (r, ϕ) додаткову умову:
C)
d
dr
F0(r0) 6= 0.
Тодi, згiдно з [5], при виконаннi умов A) – C) рiвняння (17) на деякому вiдрiзку D = [α, β],
0 < α < β, має 2π-перiодичний розв’язок ρ = r0. Отже, iснує 2π-перiодичний розв’язок ρ = ρ0
рiвняння (16), близький до ρ = r0, а значить, система (4), (6) теж має 2π-перiодичний розв’язок,
перше наближення якого можна подати у виглядi
r = ρ0 + ε
(
I1
π
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ1)
k
− I2
π
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ2)
k
+
1
λ
F̃ (ρ0, ϕ)
)
,
r = r0 + εC1 +
ε
λ
ϕ∫
ϕ0
F (r0, τ)dτ +
Ĩ1(ϕ1)
π
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ1)
k
− Ĩ2(ϕ2)
π
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ2)
k
.
Тепер можна сформулювати наступну теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ В НЕФIКСОВАНI МОМЕНТИ ЧАСУ 491
Теорема . Нехай для системи
ẋ = λHx+ εX(x), ‖x‖ 6= r0,
з умовою
∆‖x‖
∣∣∣
‖x‖=r0
=
εI1, x2 ≤ 0,
εI2, x2 > 0,
де x =
(
x1
x2
)
: R→ R2, H =
(
0 1
−1 0
)
, X(x) =
(
X1(x1, x2)
X2(x1, x2)
)
, x0 =
(
x01
x02
)
, виконуються в
деякiй областi D = {x|α < ‖x‖ < β} наступнi умови:
1) X1(x), X2(x) неперервнi, обмеженi та задовольняють умову Лiпшиця по x, I1(x), I2(x)
неперервнi,
2) iснують C1, ϕ1 ∈ [0, π] та ϕ2 ∈ (π, 2π) — розв’язки системи рiвнянь
C1 +
1
λ
ϕ1∫
0
F (r0, τ)dτ = 0,
− C1 + Ĩ2(ϕ2) +
1
λ
2π∫
ϕ2
F (r0, τ)dτ = 0,
Ĩ1(ϕ1) + Ĩ2(ϕ2) +
1
λ
2π∫
0
F (r0, τ)dτ = 0,
де F (r, ϕ) = X1(r cosϕ,−r sinϕ) cosϕ−X2(r cosϕ,−r sinϕ) sinϕ;
3)
d
dr
F0(r0) 6= 0, де F0(r) =
1
2π
∫ 2π
0
F (r, ϕ)dϕ.
Тодi система має 2π-перiодичний розв’язок.
Як приклад розглянемо рiвняння Ван дер Поля з iмпульсною дiєю
d2x
dx2
+ x = ε(1− x2)dx
dt
, ‖(x, ẋ)‖ 6= 1, (18)
∆‖(x, ẋ)‖
∣∣∣
‖(x,ẋ)‖=1
=
−ε3π
4
x2, ẋ ≤ 0,
−επ
2
ẋ2, ẋ > 0.
(19)
Виконавши у (18) замiну x = x1,
dx
dt
= x2, перейдемо до системи
ẋ1 = x2,
ẋ2 = −x1 + εx2(1− x21), ‖x‖ 6= 1,
(20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
492 О. В. IВАЩУК
∆‖(x1, x2)‖
∣∣∣
‖(x1,x2)‖=1
=
−ε3π
4
x21, x2 ≤ 0,
−επ
2
x22, x2 > 0.
(21)
Для системи (20), (21) X1(x1, x2) = 0, X2(x1, x2) = x2(1−x21) i для будь-якого R > r0 в областi
D = BR(0) виконуються умови А), B).
Пiсля замiни (3) отримаємо рiвняння
dr
dϕ
=
ε
(
r(4− r2)
8
− r
2
cos 2ϕ+
r3
8
cos 4ϕ
)
1 + ε
(
r(2− r2)
4
sin 2ϕ− r3
8
sin 4ϕ
) , r 6= 1. (22)
Умова (21) пiсля замiни набере вигляду
∆r
∣∣∣
r=1
=
−ε3π
4
cos2 ϕ, ϕ ∈ [0, π],
−επ
2
sin2 ϕ, ϕ ∈ (π, 2π).
(23)
Розв’язок рiвняння (22) з точнiстю до ε2 має вигляд
r = r(ϕ,ϕ0, 1− εC0) = 1− ε
(
C0 +
3
8
(ϕ− ϕ0)−
−1
4
(sin 2ϕ− sin 2ϕ0) +
1
32
(sin 4ϕ− sin 4ϕ0)
)
.
Цей розв’язок повинен задовольняти умови:
a) ∃ϕ1 ∈ [0, π] : r(ϕ1, 0, 1− C0ε) = 1,
b) ∃ϕ2 ∈ (π, 2π) : r
(
ϕ2, ϕ1, 1−
3π
4
cos2 ϕ1ε
)
= 1,
c) r
(
2π, ϕ2, 1−
π
2
sin2 ϕ2ε
)
= 1− C0ε.
Система рiвнянь для знаходження C0 та моментiв ϕ = ϕ1 ∈ [0, π], ϕ = ϕ2 ∈ (π, 2π) виходу
розв’язку задачi (22), (23) на r = 1 має вигляд
−C0 +
3
8
ϕ1 −
1
4
sin 2ϕ1 +
1
32
sin 4ϕ1 = 0,
−3π
4
cos2 ϕ1 +
3
8
(ϕ2 − ϕ1)−
1
4
(sin 2ϕ2 − sin 2ϕ1) +
1
32
(sin 4ϕ2 − sin 4ϕ1) = 0,
−C0 −
π
2
sin2 ϕ2 +
3
8
(2π − ϕ2) +
1
4
sin 2ϕ2 −
1
32
sin 4ϕ2 = 0.
Її розв’язком будуть C0 = −0, 036, ϕ1 = 0, 751, ϕ2 = 4, 13.
Умови теореми виконуються i система (20), (21) має 2π-перiодичний розв’язок, перше
наближення якого має вигляд
r(ϕ) = 1 + ε
(
−C0 +
3
4
cos2 ϕ1
π − ϕ1
2
+
1
2
sin2 ϕ2
π − ϕ2
2
− 1
4
sin 2ϕ+
1
32
sin 4ϕ −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ В НЕФIКСОВАНI МОМЕНТИ ЧАСУ 493
−3
4
cos2 ϕ1
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ1)
k
− 1
2
sin2 ϕ2
+∞∑
k=0
sin k(ϕ− ϕ2)
k
)
.
Оскiльки
∑+∞
k=1
sin kϕ
k
є рядом Фур’є функцiї
π − ϕ
2
при ϕ ∈ (0, 2π), то
+∞∑
k=1
sin k(ϕ− ϕi)
k
=
−π − (ϕi − ϕ)
2
, ϕ ∈ [0, ϕi),
0, ϕ = ϕi,
π − (ϕ− ϕi)
2
, ϕ ∈ (ϕi, 2π], i = 1, 2.
Отже, перше наближення розв’язку (20), (21) на [0, 2π] можна подати у виглядi (див. рису-
нок)
r(ϕ) =
1 + ε
(
−C0 +
3
8
ϕ− 1
4
sin 2ϕ+
1
32
sin 4ϕ
)
, ϕ ∈ [0, ϕ1),
1 + ε
(
−C0 −
3
4
cos2 ϕ1 +
3
8
ϕ− 1
4
sin 2ϕ+
1
32
sin 4ϕ
)
, ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2),
1 + ε
(
−C0 −
3
4
cos2 ϕ1 −
1
2
sin2 ϕ2 +
3
8
ϕ− 1
4
sin 2ϕ+
1
32
sin 4ϕ
)
, ϕ ∈ [ϕ2, 2π].
1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. – Киев: Изд-во АН УССР, 1937. – 321 с.
2. Самойленко А. М. К вопросу обоснования метода усреднения для исследования колебаний в системах, под-
верженных импульсному воздействию // Укр. мат. журн. – 1967. – 19, № 5. – C. 96 – 104.
3. Самойленко А. М. Метод усреднения в системах с толчками // Мат. физика. – 1971. – Вып. 9. – С. 63 – 96.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. О методе усреднения в системах с импульсным воздействием // Укр. мат.
журн. – 1974. – 24, № 5. – С. 411 – 418.
5. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. –
Киев: Вища шк., 1976. – 184 с.
6. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007. – 428 с.
7. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Наука, 1963. – 410 с.
Одержано 02.09.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2433 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:21Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ac/649466d34ac9e4e16c7e0976f4b9f3ac.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24332020-03-18T19:15:36Z Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times Періодичні розв'язки системи з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу Ivashchuk, O. V. Іващук, О. В. We obtain conditions for the existence of a periodic solution of a system with impulses at variable times. Получены условия существования периодического решения системы с импульсным воздействием в нефиксированные моменты времени. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2433 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 4 (2013); 486-493 Український математичний журнал; Том 65 № 4 (2013); 486-493 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2433/1632 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2433/1633 Copyright (c) 2013 Ivashchuk O. V. |
| spellingShingle | Ivashchuk, O. V. Іващук, О. В. Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times |
| title | Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times |
| title_alt | Періодичні розв'язки системи з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу |
| title_full | Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times |
| title_fullStr | Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times |
| title_full_unstemmed | Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times |
| title_short | Periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times |
| title_sort | periodic solutions of a system with impulsive action at nonfixed times |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2433 |
| work_keys_str_mv | AT ivashchukov periodicsolutionsofasystemwithimpulsiveactionatnonfixedtimes AT ívaŝukov periodicsolutionsofasystemwithimpulsiveactionatnonfixedtimes AT ivashchukov períodičnírozv039âzkisistemizímpulʹsnoûdíêûvnefíksovanímomentičasu AT ívaŝukov períodičnírozv039âzkisistemizímpulʹsnoûdíêûvnefíksovanímomentičasu |