Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions
For functions from the sets $C^{ψ}_{β} C$ and $C^{ψ}_{β} L_s,\; 1 ≤ s ≤ ∞$ generated by sequences $ψ(k) > 0$ satisfying the d’Alembert condition $\lim_{k→∞}\frac{ψ(k + 1)}{ψ(k)} = q,\; q ∈ (0, 1)$, we obtain asymptotically unimprovable estimates for the deviations of de la Vallee Poussin sums...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2436 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508325275238400 |
|---|---|
| author | Musienko, A. P. Serdyuk, A. S. Мусієнко, А. П. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Musienko, A. P. Serdyuk, A. S. Мусієнко, А. П. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Musienko, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:36Z |
| description | For functions from the sets $C^{ψ}_{β} C$ and $C^{ψ}_{β} L_s,\; 1 ≤ s ≤ ∞$ generated by sequences $ψ(k) > 0$ satisfying the d’Alembert condition $\lim_{k→∞}\frac{ψ(k + 1)}{ψ(k)} = q,\; q ∈ (0, 1)$, we obtain asymptotically unimprovable estimates for the deviations of de la Vallee Poussin sums in the uniform metric in terms of the best approximations of the $(ψ, β)$-derivatives of functions of this sort by trigonometric polynomials in the metrics of the spaces $L_s$. It is proved that the obtained estimates are unimprovable in some important functional subsets of $C^{ψ}_{β} C$ and $C^{ψ}_{β} L_s$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
А. П. Мусiєнко, А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА
НА МНОЖИНАХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ*
For functions from the sets Cψβ C and Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞ generated by sequences ψ(k) > 0 satisfying the d’Alembert
condition limk→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ (0, 1), we obtain asymptotically unimprovable estimates for the deviations of de la
Vallée Poussin sums in the uniform metric in terms of the best approximations of the (ψ, β)-derivatives of functions of this
sort by trigonometric polynomials in the metrics of the spaces Ls. It is proved that the obtained estimates are unimprovable
in some important functional subsets of Cψβ C та Cψβ Ls.
Для функций из множеств Cψβ C и Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, порождаемых последовательностями ψ(k) > 0, которые
удовлетворяют условию Даламбера limk→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ (0, 1), получены асимптотически неулучшаемые
оценки уклонений в равномерной метрике сумм Валле Пуссена. Эти оценки выражаются через значения наилучших
приближений (ψ, β)-производных таких функций тригонометрическими полиномами в метриках пространств Ls.
Доказано, что полученные оценки остаются неулучшаемыми на некоторых важных функциональных подмножествах
из Cψβ C и Cψβ Ls.
Нехай C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй f з нормою ‖f‖C = max
t
|f(t)|; Ls —
простiр 2π-перiодичних сумовних функцiй з нормою
‖f‖s = ‖f‖Ls =
2π∫
0
∣∣f(t)
∣∣sdt
1/s
, 1 ≤ s <∞,
ess sup
0≤t≤2π
∣∣f(t)
∣∣, s =∞.
У данiй роботi розглядаються множини LψβN i CψβN перiодичних функцiй, що введенi
О. I. Степанцем [1, 2] таким чином. Нехай f — 2π-перiодична сумовна функцiя (f ∈ L1) i
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) ≡
∞∑
k=0
Ak(f ;x)
— її ряд Фур’є. Нехай, далi, ψ(k) — довiльна послiдовнiсть дiйсних чисел i β — фiксоване дiйсне
число.
Якщо ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk sin
(
kx+
βπ
2
))
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї ϕ, то цю функцiю називають (ψ, β)-похiдною функцiї
f i позначають через fψβ [1, c. 25]. Множину всiх функцiй f, якi задовольняють таку умову,
позначають через Lψβ . Якщо f ∈ Lψβ i в той же час fψβ ∈ N, де N ⊂ L1, то записують f ∈ LψβN.
*Виконано за часткової пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень України (проект
№ GP/Ф36/068).
c© А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК, 2013
522 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 523
Якщо Fψβ = f, то функцiю F називають (ψ, β)-iнтегралом функцiї f, при цьому записують
F (x) = J ψβ (f ;x). Покладемо Lψβ
⋂
C = Cψβ , L
ψ
βN
⋂
C = CψβN. Далi роль N вiдiграватимуть
простори C чи Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, або ж деякi їх пiдмножини.
В рамках роботи будемо вважати, що послiдовнiсть ψ(k), яка породжує класи LψβN i CψβN,
задовольняє умову Dq, q ∈ (0, 1), тобто додатна i задовольняє рiвнiсть
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q. (1)
В такому випадку будемо використовувати запис: ψ ∈ Dq. Множини CψβN, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1),
складаються з 2π-перiодичних функцiй f(x), якi допускають регулярне продовження у смугу
|Imz| ≤ ln
1
q
комплексної площини.
Вiдомо [2, c. 136], що класи LψβN, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), складаються з функцiй, якi майже
скрiзь можна зобразити у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Ψβ(t)dt, ϕ ∈ N, ϕ ⊥ 1, (2)
з ядром
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
.
Якщо ж f ∈ CψβN, то рiвнiсть (2) виконується для всiх x ∈ R.
У випадку, коли
ψ(k) = e−αk
r
, α > 0, r > 0, k ∈ N, (3)
множини LψβN i CψβN будемо позначати через Lα,rβ N i Cα,rβ N вiдповiдно. Множини Cα,rβ N
складаються з узагальнених iнтегралiв Пуассона (див., наприклад, [3, c. 926]), тобто функцiй
вигляду
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Pα,r,β(t) dt, ϕ ∈ N, ϕ ⊥ 1, a0 ∈ R, (4)
де Pα,r,β(t) =
∑∞
k=1
e−αk
r
cos
(
kt− βπ
2
)
— узагальненi ядра Пуассона з параметрами α > 0
r > 0, β ∈ R. Функцiю ϕ в рiвностi (4) будемо позначати через fα,rβ . Узагальненi iнтеграли
Пуассона (тобто функцiї f вигляду (4)) будемо позначати через J α,rβ (ϕ).
При r = 1 ядра Pα,r,β(t) є звичайними ядрами Пуассона з параметрами α i β, тобто
Pα,1,β(t) =
∑∞
k=1
e−αk cos
(
kt− βπ
2
)
, а iнтеграли J α,1β (ϕ) — звичайними iнтегралами Пуас-
сона функцiї ϕ ∈ N. Неважко переконатися, що при r = 1 послiдовнiсть ψ(k) вигляду (3)
задовольняє умову Dq, де q = e−α.
Одиничну кулю просторуLs, 1 ≤ s ≤ ∞, позначимо черезUs : Us =
{
f : f ∈ Ls, ‖f‖s ≤ 1
}
.
Для скорочення запису покладемо Cψβ Us = Cψβ,s, L
ψ
βUs = Lψβ,s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
524 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
Пiдпростiр тригонометричних полiномiв tm−1, порядок яких не перевищуєm−1, позначимо
через T2m−1. Величина Em(f)X = inftm−1∈T2m−1 ‖f − tm−1‖X є найкращим наближенням
функцiї f ∈ X ⊂ L1 у метрицi простору X тригонометричними полiномами порядку m − 1.
Далi роль X вiдiграватимуть простори C або Ls, 1 ≤ s ≤ ∞.
Якщо f ∈ L1, то полiноми вигляду
Vn,p(f) = Vn,p(f ;x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
Sk(f ;x),
де Sk(f) = Sk(f ;x) — частиннi суми Фур’є порядку k функцiї f, а p = p(n), p ≤ n, — певний
натуральний параметр, називають сумами Валле Пуссена функцiї f. При p = 1 суми Валле
Пуссена Vn,p(f) є частинними сумами Фур’є Sn−1(f) порядку n − 1; якщо ж p = n, то суми
Vn,p(f) перетворюються у вiдомi суми Фейєра σn−1(f) порядку n− 1 σn−1(f) = σn−1(f ;x) =
=
1
n
∑n−1
k=0
Sk(f ;x).
Для сум Валле Пуссена має мiсце нерiвнiсть Лебега (див., наприклад, [4, c. 61])∥∥f − Vn,p(f)
∥∥
C
≤
(
‖Vn,p‖+ 1
)
En−p+1(f)C , (5)
де ‖Vn,p‖
df
= sup‖f‖C≤1 ‖Vn,p(f ; ·)‖C — норма оператора Vn,p. При p = 1 формула (5) належить
А. Лебегу [5]. Оцiнки величин ‖Vn,p‖ встановлювались у роботах Валле Пуссена [6], С. М. Нi-
кольського [7], С. Б. Стєчкiна [8] та iн. Подальший розвиток вказаної тематики пов’язаний з
дослiдженнями О. Д. Габiсонiї [9], А. А. Захарова [10], С. Б. Стєчкiна [4] та iн. У цих роботах
значення величин
∥∥ρn,p(f ; ·)
∥∥
C
, де ρn,p(f ;x)
df
= f(x)−Vn,p(f ;x), оцiнювались через найкращi
наближення Em(f)C . Зазначимо, що остаточнi порядковi результати в даному напрямi нале-
жать С. Б. Стєчкiну [4, c. 62], який довiв, що для довiльної функцiї f ∈ C i будь-яких n, p ∈ N,
p ≤ n, виконується нерiвнiсть
‖ρn,p(f ; ·)‖C ≤ A
n−1∑
k=0
En−p+k+1(f)C
p+ k
, (6)
де A — деяка абсолютна стала. Ним же було доведено, що нерiвнiсть (6) є точною за порядком
для досить широкої множини функцiональних компактiв. Дiйсно, якщо ε = εm, m ∈ N, —
довiльна монотонно незростаюча, нескiнченно мала послiдовнiсть, а C(ε) — множина функцiй
ϕ ∈ C, для яких Em(ϕ)C ≤ εm ∀m ∈ N, то iснують абсолютнi сталi A1 i A2 такi, що для всiх
n, p ∈ N, p ≤ n,
A1
n−1∑
k=0
εn−p+k+1
p+ k
≤ sup
f∈C(ε)
∥∥ρn,p(f ; ·)
∥∥
C
≤ A2
n−1∑
k=0
εn−p+k+1
p+ k
. (7)
При p = 1 i p = n спiввiдношення (7) доведено в роботах [11] i [12] вiдповiдно.
Асимптотична поведiнка величин
E(N;Vn,p)X = sup
f∈N
‖f − Vn,p(f)‖X , X ⊂ L1, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 525
на деяких важливих класах перiодичних функцiй N ⊂ X при X = C дослiджувались у ба-
гатьох роботах (див., наприклад [13 – 16]). Детальнiше ознайомитись з вiдомими результатами
у даному напрямку та з iсторiєю питання можна, наприклад, у бiблiографiчних коментарях
до монографiй [2, 17, 19]. На класах LψβN та CψβN асимптотична поведiнка величин (8) при
ψ ∈ Dq дослiджувалась у роботах [18 – 25]. Для класiв Cψβ,s при ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), 1 ≤ s ≤ ∞,
β ∈ R, найбiльш завершенi результати по дослiдженню асимптотики величин E(Cψβ,s;Vn,p), n,
p ∈ N, p ≤ n, мiстяться в роботах [23, c. 1674; 25, c. 4], з яких, зокрема, випливає, що при
n− p→∞ має мiсце рiвнiсть
E(Cψβ,s;Vn,p)C =
ψ(n− p+ 1)
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)+
+O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
, (9)
де
1
s
+
1
s′
= 1,
Kq,p(u) = 2−1/u
∥∥∥∥∥
√
1− 2qp cos pt+ q2p
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
u
, 1 ≤ u ≤ ∞, q ∈ (0, 1), p ∈ N, (10)
σ(u, p) =
1 при u = 1 i p = 1,
2 при 1 < u ≤ ∞ i p = 1,
3 при 1 ≤ u ≤ ∞ i p ∈ N\{1},
(11)
δ(s) =
0, s = 2,
1, s ∈ [1,∞] \ {2},
(12)
εm = εm(ψ) = sup
k≥m
∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
− q
∣∣∣∣, (13)
а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
У роботi [26] встановлено аналоги нерiвностей Лебега для функцiй f з Lα,1β Ls, 1 ≤ s ≤ ∞,
α > 0, в яких оцiнки вiдхилень
∥∥f(·) − Sn−1(f ; ·)
∥∥
s
виражалися через найкращi наближення
функцiй fα,1β у метриках просторiв Ls. А саме, доведено, що для довiльних f ∈ Lα,1β Ls, α > 0,
β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, має мiсце нерiвнiсть∥∥f − Sn−1(f)
∥∥
s
≤
(
8qn
π2
K(q) +O(1)
qn
(1− q)2n
)
En(fα,1β )Ls , (14)
де q = e−α,
K(q) =
π/2∫
0
dv√
1− q2 sin2 v
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
526 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по
параметрах n, q, β, s, f ∈ Lα,1β Ls. При s = 1,∞ доведено асимптотичну непокращуванiсть
одержаних нерiвностей. У [27] результати роботи [26] було узагальнено на випадок сум Валле
Пуссена.
Дану роботу, яка є продовженням дослiджень [26, 27], присвячено встановленню асимпто-
тично непокращуваних аналогiв нерiвностей типу Лебега для сум Vn,p(f) на множинах Cψβ Ls
при ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R i 1 ≤ s ≤ ∞.
Теорема 1. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, β ∈ R, n, p ∈ N, p ≤ n, i 1 ≤ s ≤ ∞. Тодi для
довiльної функцiї f ∈ Cψβ Ls справджується нерiвнiсть
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤ ψ(n− p+ 1)
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)+
+ O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(f
ψ
β )Ls , (15)
в якiй s′ =
s
s− 1
, а Kq,p(s
′), σ(s′, p), δ(s) i εn−p+1 визначаються формулами (10), (11), (12) i
(13) вiдповiдно.
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, i довiльних n, p ∈ N, p ≤ n, у мно-
жинi Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така, що En−p+1(F
ψ
β )
Ls
=
= En−p+1(f
ψ
β )
Ls
, i для неї при n− p→∞ виконується рiвнiсть
∥∥ρn,p(F ;x)
∥∥
C
=
ψ(n− p+ 1)
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,pL(s′)+
+ O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(F
ψ
β )Ls . (16)
У (15) i (16) O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Iз теореми 1 випливає, що нерiвнiсть (15) є асимптотично точною при n− p→∞ на всiх
множинах Cψβ Ls при довiльних q ∈ (0, 1), β ∈ R i 1 ≤ s ≤ ∞. Покажемо, що ця ж нерiвнiсть
залишається асимптотично точною i на деяких важливих пiдмножинах iз Cψβ Ls. Дiйсно, роз-
глядаючи точнi верхнi межi обох частин (15) по класах Cψβ,s, 1 ≤ s ≤ ∞, i враховуючи, що
En−p+1(f
ψ
β )Ls ≤ 1, отримуємо
E
(
Cψβ,s;Vn,p
)
C
≤ ψ(n− p+ 1)
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)+
+ O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
. (17)
Спiвставляючи останнє спiввiдношення з асимптотичною рiвнiстю (9), приходимо до висновку,
що в (17) можна поставити знак рiвностi.
Важливими прикладами ядер Ψβ, коефiцiєнти ψ(k) яких задовольняють умову ψ ∈ Dq, є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 527
полiгармонiчнi ядра Пуассона (див. [29, c. 256, 257])
Pq,β(l, t) =
∞∑
k=1
ψl(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, l ∈ N, β ∈ R, (18)
де
ψl(k) = qk
1 +
l−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
ν=0
(k + 2ν)
, q ∈ (0, 1); (19)
ядра Пуассона для рiвняння теплопровiдностi (див. [30, c. 269])
Pq,β(t) =
∞∑
k=1
2
qk + q−k
cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R; (20)
ядра Неймана (див. [2, c. 361])
Nq,β(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, (21)
та iн.
Для величин εm вигляду (13), що породжуються послiдовностями ψ(k) = ψl(k) ядер Pq,β(l, t),
при l = 1 справджується тотожнiсть
εm ≡ 0, (22)
а при l ∈ N \ {1}, як доведено в [31, c. 108] (див. також [32, c. 180]), виконується нерiвнiсть
εm(l) ≤ (2l − 3)q
m
, m ∈ N; (23)
для εm, породжених послiдовностями ψ(k) =
2
qk + q−k
ядер Pq,β(t), справджується оцiнка
εm = sup
k≥m
q2k+1(1− q2)
1 + q2(k+1)
=
q2m+1(1− q2)
1 + q2(m+1)
< q2m+1; (24)
для εm, що породжуються послiдовностями ψ(k) =
qk
k
ядер Nq,β(t), легко довести рiвнiсть
εm = sup
k≥m
q
k + 1
=
q
m+ 1
. (25)
Iз теореми 1 i формул (22) – (25) отримуємо наступнi твердження.
Наслiдок 1. Нехай множини Cψβ Ls, β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, породжуються коефiцiєнтами
ψ(k) = ψl(k) ядер Pq,β(l, t), l ∈ N, вигляду (18). Тодi для довiльних f ∈ Cψβ Ls, n, p ∈ N, p ≤ n,
виконується нерiвнiсть
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤ qn−p+1
p
1 +
l−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
ν=0
(k + 2ν)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
528 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
×
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
+
lq
(n− p+ 1)(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(f
ψ
β )Ls , (26)
де s′ =
s
s− 1
, а Kq,p(s
′), σ(s′, p) i δ(s) визначаються формулами (10), (11) i (12) вiдповiдно.
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, i довiльних n, p ∈ N, p ≤ n, у мно-
жинi Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така, що En−p+1(F
ψ
β )
Ls
=
= En−p+1(f
ψ
β )
Ls
, i для неї при n− p→∞ виконується рiвнiсть
∥∥ρn,p(F ;x)
∥∥
C
=
qn−p+1
p
1 +
l−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
ν=0
(k + 2ν)
×
×
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
+
lq
(n− p+ 1)(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(F
ψ
β )Ls . (27)
У (26) i (27) O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Наслiдок 2. Нехай множини Cψβ Ls, β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, породжуються коефiцiєнтами
ψ(k) =
2
qk + q−k
ядер Pq,β(t) вигляду (20). Тодi для довiльних f ∈ Cψβ Ls, n, p ∈ N, p ≤ n,
справджується нерiвнiсть ∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ 2qn−p+1
(1 + q2(n−p+1))p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
+
q2(n−p)+3
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(f
ψ
β )Ls , (28)
де s′ =
s
s− 1
, а Kq,p(s
′), σ(s′, p) i δ(s) визначаються формулами (10), (11) i (12) вiдповiдно.
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, i довiльних n, p ∈ N, p ≤ n, у мно-
жинi Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така, що En−p+1(F
ψ
β )
Ls
=
= En−p+1(f
ψ
β )
Ls
, i для неї при n− p→∞ виконується рiвнiсть∥∥ρn,p(F ;x)
∥∥
C
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 529
=
2qn−p+1
(1 + q2(n−p+1))p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
+
q2(n−p)+3
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(F
ψ
β )Ls . (29)
У (28) i (29) O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Наслiдок 3. Нехай множини Cψβ Ls, β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, породжуються коефiцiєнтами
ψ(k) =
qk
k
ядер Nq,β(t) вигляду (21). Тодi для довiльних f ∈ Cψβ Ls, n, p ∈ N, p ≤ n, справд-
жується нерiвнiсть ∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ qn−p+1
p(n− p+ 1)
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
+
q
(n− p+ 2)(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(f
ψ
β )Ls , (30)
де s′ =
s
s− 1
, а Kq,p(s
′), σ(s′, p) i δ(s) визначаються формулами (10), (11) i (12) вiдповiдно.
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, i довiльних n, p ∈ N, p ≤ n, у мно-
жинi Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така, що En−p+1(F
ψ
β )
Ls
=
= En−p+1(f
ψ
β )
Ls
, i для неї при n− p→∞ виконується рiвнiсть∥∥ρn,p(F ;x)
∥∥
C
=
=
qn−p+1
p(n− p+ 1)
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
+
q
(n− p+ 2)(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(F
ψ
β )Ls . (31)
У (30) i (31) O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Оскiльки, як зазначалося вище, при p = 1 суми Валле Пуссена Vn,p(f) перетворюються в
суми Фур’є Sn−1(f), то з (15) для довiльної f ∈ Cψβ Ls, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), 1 ≤ s ≤ ∞, випливає
нерiвнiсть ∥∥f(x)− Sn−1(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ ψ(n)
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,1(s
′) +O(1)
(
qδ(s)
n(1− q)σ(s′,1)
+
εn
(1− q)2
))
En(fψβ )Ls . (32)
У роботi [34] (див. формулу (25)) показано, що при 1 ≤ u <∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
530 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
Kq,1(u) = π1/uF 1/u
(u
2
,
u
2
; 1; q2
)
,
де F (a, b; c; z) = 1+
∑∞
k=1
(a)k(b)k
(c)k
zk
k!
, (x)k = x(x+1)(x+2) . . . (x+k−1) — гiпергеометрична
функцiя Гаусса. Тому для 1 < s ≤ ∞ нерiвнiсть (32) можемо записати у виглядi∥∥f(x)− Sn−1(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ ψ(n)
(
‖ cos t‖s′
π
F 1/s′
(
s′
2
,
s′
2
; 1; q2
)
+O(1)
(
qδ(s)
n(1− q)σ(s′,1)
+
εn
(1− q)2
))
En(fψβ )Ls . (33)
Якщо s′ = 1, то (див. [35, c. 919])
F
(
1
2
,
1
2
; 1; q2
)
= 2K(q), (34)
де K(q) — повний елiптичний iнтеграл першого роду.
Iз (33), з урахуванням (11), (12) i (34), для довiльної f ∈ Cψβ L∞, β ∈ R, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1),
можемо записати нерiвнiсть ∥∥f(x)− Sn−1(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ ψ(n)
(
8
π2
K(q) +O(1)
(
q
n(1− q)
+
εn
(1− q)2
))
En(fψβ )L∞ . (35)
Якщо ψ(k) = e−αk, α > 0, то з (35) випливає нерiвнiсть (14) при s =∞.
Розглядаючи точнi верхнi межi обох частин (35) по класах Cψβ,∞, отримуємо
E
(
Cψβ,∞;Sn−1
)
C
≤ ψ(n)
(
8
π2
K(q) +O(1)
(
q
n(1− q)
+
εn
(1− q)2
))
. (36)
Спiвставляючи це спiввiдношення з отриманою в роботi [28, с. 384] асимптотичною при n→∞
рiвнiстю
E
(
Cψβ,∞;Sn−1
)
C
= ψ(n)
(
8
π2
K(q) +O(1)
(
q
n(1− q)
+
εn
(1− q)2
))
, (37)
приходимо до висновку, що при s =∞ у спiввiдношеннi (36) можна поставити знак рiвностi.
При s′ = 2, як легко переконатися,
F 1/s′
(
s′
2
,
s′
2
; 1; q2
)
= F 1/2(1, 1; 1; q2) =
1√
1− q2
. (38)
Iз (33), з урахуванням (11), (12) i (38), для довiльних f ∈ Cψβ L2, β ∈ R, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1),
можемо записати нерiвнiсть
∥∥f(x)− Sn−1(f ;x)
∥∥
C
≤ ψ(n)
(
1√
π(1− q2)
+O(1)
εn
(1− q)2
)
En(fψβ )L2 . (39)
Розглядаючи точнi верхнi межi обох частин нерiвностi (39) по класах Cψβ,2, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 531
E
(
Cψβ,2;Sn−1
)
C
≤ ψ(n)
(
1√
π(1− q2)
+O(1)
εn
(1− q)2
)
. (40)
Як випливає з формули (30) роботи [26] i формули (65′) роботи [33], у спiввiдношеннi (40)
можна поставити знак рiвностi. Зазначимо також, що в [36] встановлено точнi рiвностi величин
E(Cψβ,2;Sn−1) за умови
∑∞
k=1
ψ2(k) <∞.
При s′ =∞, як випливає з (10),
Kq,1(s
′) = Kq,1(∞) =
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
∞
=
1
1− q
. (41)
Iз (32), з урахуванням (11), (12) i (41), для довiльної f ∈ Cψβ L1, β ∈ R, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1),
можемо записати нерiвнiсть∥∥f(x)− Sn−1(f ;x)
∥∥
C
≤ ψ(n)
(
1
π(1− q)
+O(1)
εn + q/n
(1− q)2
)
En(fψβ )L1 . (42)
Розглядаючи точнi верхнi межi обох частин нерiвностi (42) по класах Cψβ,1, отримуємо
E
(
Cψβ,1;Sn−1
)
C
≤ ψ(n)
(
1
π(1− q)
+O(1)
εn + q/n
(1− q)2
)
. (43)
Як випливає з формули (30) роботи [26] i формули (63) роботи [33], в (43) при n→∞ можна
поставити знак рiвностi.
Доведення теореми 1. Нехай f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞. Тодi в кожнiй точцi x ∈ R (див.,
наприклад, [37, c. 810]) має мiсце iнтегральне зображення
ρn,p(f ;x) = f(x)− Vn,p(f ;x) =
1
π
π∫
−π
fψβ (x− t)Ψ1,n,p(t)dt, (44)
в якому
Ψj,n,p(t) =
∞∑
k=n−p+j
τn,p(k)ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, j ∈ N, (45)
а τn,p(k) визначається таким чином:
τn,p(k) =
1− n− k
p
, n− p+ 1 ≤ k ≤ n− 1,
1, k ≥ n.
(46)
Покладемо
rn,p(t) =
∞∑
k=n−p+2
τn,p(k)
(
ψ(k)
ψ(n− p+ 1)
− qk
qn−p+1
)
cos
(
kt− βπ
2
)
. (47)
Враховуючи (47), запишемо (44) у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
532 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
ρn,p(f ;x) = ψ(n− p+ 1)
q−(n−p+1)
π
π∫
−π
fψβ (x− t)×
×
∞∑
k=n−p+1
τn,p(k)qk cos
(
kt− βπ
2
)
dt+
1
π
π∫
−π
fψβ (x− t)rn,p(t)dt
.
Провiвши елементарнi перетворення, з урахуванням (46) одержимо
∞∑
k=n−p+1
τn,p(k)qk cos
(
kt− βπ
2
)
=
1
p
n−1∑
k=n−p
∞∑
j=k+1
qj cos
(
jt− βπ
2
)
.
У роботi [21, c. 99, 100] було показано, що
n−1∑
k=n−p
∞∑
j=k+1
qj cos
(
jt− βπ
2
)
= Zq(t)Pq,β,n,p(t),
де
Zq(t) =
1√
1− 2q cos t+ q2
,
Pq,β,n,p(t) =
n∑
k=n−p+1
qk cos
(
kt+ θq(t)−
βπ
2
)
, θq(t) = arctg
q sin t
1− q cos t
.
Функцiї Zq(t)Pq,β,n,p(t) i rn,p(t) ортогональнi до будь-якого тригонометричного полiнома
tn−p, порядок якого не перевищує n− p. Тому для довiльного полiнома tn−p з T2(n−p)+1
ρn,p(f ;x) =
ψ(n− p+ 1)
π
π∫
−π
δn,p(x− t)
(
q−(n−p+1)
p
Zq(t)Pq,β,n,p(t) + rn,p(t)
)
dt
, (48)
де
δn,p(·) = fψβ (·)− tn−p(·). (49)
В [25, c. 6, 7] встановлено, що при n− p→∞ має мiсце рiвномiрна по t, n, p, q, ψ i β оцiнка∣∣rn,p(t)∣∣ = O(1)
εn−p+1
(1− q)2
min
{
1,
1
p(1− q)
}
. (50)
Враховуючи (50), iз рiвностi (48) одержуємо
ρn,p(f ;x) =
ψ(n− p+ 1)
πp
π∫
−π
δn,p(x− t)
(
q−(n−p+1)Zq(t)Pq,β,n,p(t)+
+O(1)
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
})
dt. (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 533
Далi, вибираючи в (51) в ролi tn−p(·) полiном t∗n−p(·) найкращого наближення у просторi Ls
функцiї fψβ (·), тобто такий, що
‖fψβ − t
∗
n−p‖s = En−p+1(f
ψ
β )Ls , 1 ≤ s ≤ ∞,
i застосовуючи нерiвнiсть∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
K(t− u)ϕ(u)du
∥∥∥∥∥∥
C
≤ ‖K‖s′‖ϕ‖s, ϕ ∈ Ls, K ∈ Ls′ , 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1 (52)
(див., наприклад, [38, c. 43]), маємо
‖ρn,p(f ;x)‖C ≤
ψ(n− p+ 1)
πp
(
q−(n−p+1)
∥∥Zq(t)Pq,β,n,p(t)∥∥s′+
+O(1)
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
})
En−p+1(f
ψ
β )Ls . (53)
На пiдставi спiввiдношення (69) роботи [23] для s′, 1 ≤ s′ ≤ ∞, при n → ∞ має мiсце
асимптотична рiвнiсть∥∥Zq(t)Pq,β,n,p(t)∥∥s′ = qn−p+1
(
‖ cos t‖s′
π1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
)
. (54)
При s = 2 (див. [23, c. 1680]) рiвнiсть (54) можна покращити, оскiльки
∥∥Zq(t)Pq,β,n,p(t)∥∥2 =
∥∥∥∥∥∥
n−1∑
k=n−p
∞∑
j=k+1
qj cos
(
jt− βπ
2
)∥∥∥∥∥∥
2
=
=
√
πqn−p+1
√
1 + q2 − q2p(2p+ 1− q2(2p− 1))
(1− q2)3
=
= qn−p+1Kp,q(2) = qn−p+1 ‖ cos t‖2√
π
Kp,q(2). (55)
Поєднуючи нерiвнiсть (53) з оцiнками (54) i (55), одержуємо (15).
Доведемо другу частину теореми. Для цього досить показати, що для довiльної функцiї
ϕ ∈ Ls можна вказати функцiю Φ(·) = Φ(ϕ; ·), для якої En−p+1(Φ)Ls = En−p+1(ϕ)Ls при всiх
n, p ∈ N, p ≤ n, i, крiм того, має мiсце рiвнiсть∣∣ρn,p(Φ; 0)
∣∣ =
ψ(n− p+ 1)
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)+
+O(1)
(
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(Φ
ψ
β )Ls . (56)
На пiдставi iнтегрального зображення (48), оцiнки (50) та ортогональностi функцiї
Zq(t)Pq,β,n,p(t) до будь-якого тригонометричного полiнома tn−p ∈ T2(n−p)+1 для довiльної функ-
цiї f з множини Cψβ Ls, ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
534 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
∣∣ρn,p(f ;x)
∣∣ = ψ(n− p+ 1)
q−(n−p+1)
∣∣∣∣∣ 1
πp
π∫
−π
fψβ (x− t)Zq(t)Pq,β,n,p(t)dt
∣∣∣∣∣+
+O(1)
εn−p+1
(1− q)2
min
{
1,
1
p(1− q)
}
En−p+1
(
fψβ
)
Ls
=
= ψ(n− p+ 1)
(
q−(n−p+1)
∣∣∣ρn,p(J α,1β (fψβ );x
)∣∣∣+
+O(1)
εn−p+1
(1− q)2
min
{
1,
1
p(1− q)
}
En−p+1(f
ψ
β )Ls
)
, (57)
де α = ln
1
q
.
Внаслiдок теореми 3 роботи [27, c. 313] для довiльної функцiї ϕ ∈ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, знай-
деться функцiя ϕ(t) така, що
En−p+1(ϕ)Ls = En−p+1(ϕ)Ls , (58)
i для неї виконується рiвнiсть
|ρn,p(J α,1β (ϕ); 0)| =
=
qn−p+1
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) +O(1)
qδ(s)
(n− p+ 1)(1− q)σ(s′,p)
)
En−p+1(ϕ)Ls . (59)
Функцiя F = J ψβ (ϕ) є шуканою, оскiльки для неї згiдно з (57) – (59) виконується (56).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, β ∈ R, n, p ∈ N, p ≤ n, i 1 ≤ s ≤ ∞. Тодi для
довiльної функцiї f ∈ LψβL1 виконується нерiвнiсть∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
Ls
≤ ψ(n− p+ 1)
p
(
‖ cos t‖s
π1+1/s
Kq,p(s)+
+O(1)
(
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(f
ψ
β )L1 , (60)
де Kq,p(s) i σ(s, p) визначаються формулами (10) i (11) вiдповiдно, а O(1) — величина, рiвно-
мiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Доведення. Нехай f ∈ LψβL1. На пiдставi iнтегрального зображення (51) та тверджен-
ня 1.5.5 iз роботи [38, с. 43] отримуємо∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
Ls
≤ ψ(n− p+ 1)
πp
(
q−(n−p+1)
∥∥Zq(t)Pq,β,n,p(t)∥∥s+
+O(1)
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
})∥∥δn,p(x− t)∥∥1, 1 ≤ s ≤ ∞, (61)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 535
де δn,p визначається рiвнiстю (49). Вибравши в (61) в якостi tn−p полiном найкращого наближен-
ня t∗n−p функцiї f в метрицi простору L1, одержимо
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
Ls
≤ ψ(n− p+ 1)
πp
(
q−(n−p+1)
∥∥Zq(t)Pq,β,n,p(t)∥∥s+
+O(1)
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
})
En−p+1(f
ψ
β )L1 . (62)
На пiдставi рiвностi (69) роботи [23] маємо
∥∥Zq(t)Pq,β,n,p(t)∥∥s = qn−p+1
(
‖ cos t‖s
π1/s
Kq,p(s) +O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
)
. (63)
З (62) i (63) випливає (60).
Теорему 2 доведено.
З теореми 2 i оцiнок (22) – (25) отримуємо наступнi твердження.
Наслiдок 4. Нехай множини LψβL1, β ∈ R, породжуються коефiцiєнтами ψ(k) = ψl(k)
ядер Pq,β(l, t), l ∈ N, вигляду (18). Тодi для довiльних f ∈ LψβL1, n, p ∈ N, p ≤ n, 1 ≤ s ≤ ∞
виконується нерiвнiсть
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
Ls
≤ qn−p+1
p
1 +
l−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
ν=0
(k + 2ν)
×
×
‖ cos t‖s
π1+1/s
Kq,p(s) +O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
+
lqmin
{
p,
1
1− q
}
(n− p+ 1)(1− q)2
En−p+1(f
ψ
β )L1 ,
де Kq,p(s) i σ(s, p) визначаються формулами (10) i (11) вiдповiдно, а O(1) — величина, рiвно-
мiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Наслiдок 5. Нехай множиниLψβL1, β ∈ R, породжуються коефiцiєнтами ψ(k) =
2
qk + q−k
ядер Pq,β(t) вигляду (20). Тодi для довiльних f ∈ LψβL1, n, p ∈ N, p ≤ n, 1 ≤ s ≤ ∞ виконується
нерiвнiсть
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
Ls
≤ 2qn−p+1(
1 + q2(n−p+1)
)
p
(
‖ cos t‖s
π1+1/s
Kq,p(s)+
+O(1)
(
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
+
q2(n−p)+3
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
En−p+1(f
ψ
β )L1 ,
де Kq,p(s) i σ(s, p) визначаються формулами (10) i (11) вiдповiдно, а O(1) — величина, рiвно-
мiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
536 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
Наслiдок 6. Нехай множини LψβL1, β ∈ R, породжуються коефiцiєнтами ψ(k) =
qk
k
ядер
Nq,β(t) вигляду (21). Тодi для довiльних f ∈ LψβL1, n, p ∈ N, p ≤ n, 1 ≤ s ≤ ∞ справджується
нерiвнiсть
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
Ls
≤ qn−p+1
p(n− p+ 1)
‖ cos t‖s
π1+1/s
Kq,p(s)+
+O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)σ(s,p)
+
qmin
{
p,
1
1− q
}
(n− p+ 1)(1− q)2
En−p+1(f
ψ
β )L1 ,
де Kq,p(s) i σ(s, p) визначаються формулами (10) i (11) вiдповiдно, а O(1) — величина, рiвно-
мiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 c.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40,
ч. I. – 427 c.
3. Фалалеев Л. П. О приближении функций обобщенными операторами Абеля – Пуассона // Сиб. мат. журн. –
2001. – 42, № 4. – C. 926 – 936.
4. Steckin S. B. On the appoximation of periodic functions by de la Vallée Poussin sums // Anal. math. – 1978. – 4. –
P. 61 – 74.
5. Lebesgue H. Sur la représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisantes á une condition de Lipschitz
// Bull. Soc. math. France. – 1910. – 38. – P. 184 – 210.
6. Ch. de la Vallée Poussin Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle. – Paris: Gautier-Villars,
1919. – 150 p.
7. Никольский С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1940. – 4. – C. 509 – 520.
8. Стечкин С. Б. О суммах Валле Пуссена // Докл. АН СССР. – 1951. – 80. – C. 545 – 548.
9. Габисония О. Д. О приближении функций многих переменных целыми функциями // Изв. вузов. Математика.
– 1965. – 2(45). – C. 30 – 35.
10. Захаров А. А. Об оценке уклонения непрерывных периодических функций от сумм Валле Пуссена // Мат.
заметки. – 1968. – 3. – C. 77 – 84.
11. Осколков К. И. К неравенству Лебега в равномерной метрике и на множестве полной меры // Мат. заметки. –
1975. – 18. – C. 515 – 526.
12. Стечкин С. Б. О приближении периодических функций суммами Фейера // Тр. Матем. ин-та АН СССР. –
1961. – 62. – C. 48 – 60.
13. Kolmogoroff A. N. Zur Grössenordnung des Restgliedes Fouriershen Reihen differenzierbarer Funktionen // Ann.
Math. – 1935. – 36. – S. 521 – 526.
14. Никольский С. М. Асимптотическая оценка остатка при приближении суммами Фурье // Докл. АН СССР. –
1941. – 22, № 6. – C. 386 – 389.
15. Никольский С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами // Тр. Мат.
ин-та АН СССР. – 1945. – 15. – C. 1 – 76.
16. Тиман А. Ф. Обобщение некоторых результатов А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского // Докл. АН СССР. –
1951. – 81, № 4. – C. 509 – 511.
17. Степанец А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами Валле Пуссена // Працi Iн-ту математики
НАН України. – 2007. – 68. – 386 c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ . . . 537
18. Рукасов В. I., Чайченко С. О. Наближення аналiтичних перiодичних функцiй сумами Валле Пуссена // Укр.
мат. журн. – 2002. – 54, № 12. – C. 1653 – 1668.
19. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40,
ч. II. – 424 c.
20. Рукасов В. И. Приближение суммами Валле Пуссена классов аналитических функций // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 6. – C. 806 – 816.
21. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 1. –
C. 97 – 107.
22. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле Пуссена в рiвномiрнiй та iнтегральних метри-
ках // Доп. НАН України. – 2009. – 6. – C. 34 – 39.
23. Сердюк А. С. Приближение интегралов Пуассона суммами Валле Пуссена в равномерной и интегральных
метриках // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 12. – C. 1672 – 1686.
24. Serdyuk A. S., Ovsii Ie.Yu. Uniform approximation of Poisson integrals of functions from the class Hω by de la Vallée
Poussin sums // Anal. math. – 2012. – 38, № 4. – P. 305 – 325.
25. Serdyuk A. S., Ovsii Ie.Yu., Musienko A. P. Approximation of classes of analytic functions by de la Vallée Poussin
sums in uniform metric // Rend. mat. – 2012. – 32. – P. 1 – 15.
26. Степанец А. И., Сердюк А. С. Неравенства Лебега для интегралов Пуассона // Укр. мат. журн. – 2000. – 52,
№ 6. – C. 798 – 808.
27. Сердюк А. С., Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена при наближеннi iнтегралiв
Пуассона // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010.
– 7, № 1. – C. 298 – 316.
28. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналити-
ческих функций // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 3. – C. 375 – 395.
29. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. – 376 с.
30. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 408 c.
31. Сердюк А. С., Чайченко С. О. Наближення класiв аналiтичних функцiй лiнiйним методом спецiального вигля-
ду // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 1. – C. 102 – 109.
32. Serdyuk А. S., Sokolenko I. V. Asymptotic behavior of best approximations of classes of periodic analitic functions
defined by moduli of continuity // Bulg.-Turk.-Ukr. Sci. Conf. ”Math. Anal., Different. Equat. and their Appl.” (Sunny
Beach, 15 – 20 Sept., 2010). – Sofia: Acad. Publ. House ”Prof. Marin Drinov”, 2011. – P. 173 – 182.
33. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн.
– 2005. – 57, № 8. – C. 1079 – 1096.
34. Сердюк А. С. Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами на класах перiодичних аналiтич-
них функцiй // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 5. – C. 698 – 712.
35. Грандштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. –
1108 с.
36. Сердюк А. С., Соколенко I. В. Рiвномiрнi наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй лiнiйними
методами // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2011.
– 8, № 1. – C. 181 – 189.
37. Рукасов В. И. Приближение суммами Валле Пуссена классов аналитических функций // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 6. – C. 806 – 816.
38. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 422 c.
Одержано 15.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2436 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:25Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1b/99123764e8e28d9db3942b05eb71fb1b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24362020-03-18T19:15:36Z Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах аналітичних функцій Musienko, A. P. Serdyuk, A. S. Мусієнко, А. П. Сердюк, А. С. For functions from the sets $C^{ψ}_{β} C$ and $C^{ψ}_{β} L_s,\; 1 ≤ s ≤ ∞$ generated by sequences $ψ(k) > 0$ satisfying the d’Alembert condition $\lim_{k→∞}\frac{ψ(k + 1)}{ψ(k)} = q,\; q ∈ (0, 1)$, we obtain asymptotically unimprovable estimates for the deviations of de la Vallee Poussin sums in the uniform metric in terms of the best approximations of the $(ψ, β)$-derivatives of functions of this sort by trigonometric polynomials in the metrics of the spaces $L_s$. It is proved that the obtained estimates are unimprovable in some important functional subsets of $C^{ψ}_{β} C$ and $C^{ψ}_{β} L_s$. Для функций из множеств $C^{ψ}_{β} C$ и $C^{ψ}_{β} L_s,\; 1 ≤ s ≤ ∞$ порождаемых последовательностями $ψ(k) > 0$, которые удовлетворяют условию Даламбера $\lim_{k→∞}\frac{ψ(k + 1)}{ψ(k)} = q,\; q ∈ (0, 1)$, получены асимптотически неулучшаемые оценки уклонений в равномерной метрике сумм Валле Пуссена. Эти оценки выражаются через значения наилучших приближений $(ψ, β)$-производных таких функций тригонометрическими полиномами в метриках пространств $L_s$. Доказано, что полученные оценки остаются неулучшаемыми на некоторых важных функциональных подмножествах из $C^{ψ}_{β} C$ и $C^{ψ}_{β} L_s$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2436 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 4 (2013); 522-537 Український математичний журнал; Том 65 № 4 (2013); 522-537 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2436/1638 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2436/1639 Copyright (c) 2013 Musienko A. P.; Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Musienko, A. P. Serdyuk, A. S. Мусієнко, А. П. Сердюк, А. С. Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions |
| title | Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions |
| title_alt | Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах аналітичних функцій |
| title_full | Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions |
| title_fullStr | Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions |
| title_full_unstemmed | Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions |
| title_short | Lebesgue-type inequalities for the de la Valee-Poussin sums on sets of analytic functions |
| title_sort | lebesgue-type inequalities for the de la valee-poussin sums on sets of analytic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2436 |
| work_keys_str_mv | AT musienkoap lebesguetypeinequalitiesforthedelavaleepoussinsumsonsetsofanalyticfunctions AT serdyukas lebesguetypeinequalitiesforthedelavaleepoussinsumsonsetsofanalyticfunctions AT musíênkoap lebesguetypeinequalitiesforthedelavaleepoussinsumsonsetsofanalyticfunctions AT serdûkas lebesguetypeinequalitiesforthedelavaleepoussinsumsonsetsofanalyticfunctions AT musienkoap nerívnostítipulebegadlâsumvallepussenanamnožinahanalítičnihfunkcíj AT serdyukas nerívnostítipulebegadlâsumvallepussenanamnožinahanalítičnihfunkcíj AT musíênkoap nerívnostítipulebegadlâsumvallepussenanamnožinahanalítičnihfunkcíj AT serdûkas nerívnostítipulebegadlâsumvallepussenanamnožinahanalítičnihfunkcíj |