On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations
We study irreducible integrable *-representations of the algebra $\mathfrak{U}_{\lambda, 2}$ generated by the following relations: $$\mathfrak{U}_{\lambda, 2} = \mathbb{C} \langle a_j, a_j^{*} \,| \,a_j^{*} a_j = 1 + a_ja_j^{*},\; a_1^{*}a_2 = \lambda a_2a_1^{*},\; a_2a_1 = \lambda a_1 a_2,\; j =...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2437 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508324163747840 |
|---|---|
| author | Proskurin, D. P. Yakymiv, R. Ya. Проскурін, Д. П. Якимів, Р. Я. |
| author_facet | Proskurin, D. P. Yakymiv, R. Ya. Проскурін, Д. П. Якимів, Р. Я. |
| author_sort | Proskurin, D. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:36Z |
| description | We study irreducible integrable *-representations of the algebra $\mathfrak{U}_{\lambda, 2}$ generated by the following relations:
$$\mathfrak{U}_{\lambda, 2} = \mathbb{C} \langle a_j, a_j^{*} \,| \,a_j^{*} a_j = 1 + a_ja_j^{*},\; a_1^{*}a_2 = \lambda a_2a_1^{*},\; a_2a_1 = \lambda a_1 a_2,\; j = 1, 2 \rangle .$$
For this *-algebra, we prove an analog of the von Neumann theorem on the uniqueness of an irreducible integrable representation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
Д. П. Проскурiн (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
Р. Я. Якимiв (Нац. ун-т бiоресурсiв i природокористування України, Київ)
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ λ-ДЕФОРМАЦIЙ
КАНОНIЧНИХ КОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ
We study irreducible integrable ∗-representations of the algebra Aλ,2 generated by the following relations:
Aλ,2 = C
〈
aj , a
∗
j | a∗jaj = 1 + aja
∗
j , a
∗
1a2 = λa2a
∗
1, a2a1 = λa1a2, j = 1, 2
〉
.
For this ∗-algebra, we prove an analog of the von Neumann theorem on the uniqueness of an irreducible integrable
representation.
Изучаются неприводимые интегрируемые ∗-представления алгебры Aλ,2, порожденной соотношениями вида
Aλ,2 = C
〈
aj , a
∗
j | a∗jaj = 1 + aja
∗
j , a
∗
1a2 = λa2a
∗
1, a2a1 = λa1a2, j = 1, 2
〉
.
А именно, для этой ∗-алгебры доказан аналог теоремы Дж. фон Неймана об единственности интегрируемого
неприводимого представления.
1. Вступ. У цiй роботi ми вивчаємо незвiднi iнтегровнi зображення вiкiвської алгебри Aλ,2,
що є фактор-алгеброю вiкiвської алгебри Aλ, |λ| = 1 (див. [6]), породженої спiввiдношеннями
a∗i ai − aia∗i = 1, i = 1, 2, a∗1a2 = λa2a
∗
1, (1)
за максимальним квадратичним вiкiвським iдеалом. А саме, опишемо класи унiтарної еквiва-
лентностi незвiдних iнтегровних зображень Aλ,2.
Знайдемо твiрнi максимального квадратичного вiкiвського iдеалу Aλ (див. [6, 9]). Оператор
коефiцiєнтiв цiєї вiкiвської алгебри T : H⊗2 → H⊗2, H = C 〈e1, e2〉 , дiє на базисi e1 ⊗ e1,
e2 ⊗ e2, e1 ⊗ e2, e2 ⊗ e1 таким чином:
Tei ⊗ ei = ei ⊗ ei, T e1 ⊗ e2 = λe2 ⊗ e1, T e2 ⊗ e1 = λe1 ⊗ e2. (2)
Легко переконатись, що T задовольняє рiвняння Янга – Бакстера та ker(1 + T ) = 〈e2 ⊗ e1−
−λe1 ⊗ e2〉 . Отже, максимальний квадратичний вiкiвський iдеал I2 алгебри Aλ породжується
елементом a12 = a2a1 − λa1a2.
Таким чином, Aλ/I2 = Aλ,2 має вигляд
Aλ,2 = C
〈
a1, a2 | a∗i ai = 1 + aia
∗
i , i = 1, 2, a∗1a2 = λa2a
∗
1, a2a1 = λa1a2
〉
.
Зрозумiло, що, поклавши λ = 1, одержимо алгебру канонiчних комутацiйних спiввiдношень iз
двома твiрними в термiнах операторiв народження та знищення (див. [1]).
Зазначимо, що оператор коефiцiєнтiв T алгебри Aλ задовольняє нерiвностi −1 ≤ T ≤ 1,
причому обидвi оцiнки є точними. З результатiв робiт [2, 5] випливає iснування фокiвського
зображення πF алгебри Aλ, яке є незвiдним, причому ядро фокiвського зображення збiгається з
двостороннiм ∗-iдеалом, породженим I2. Таким чином, πF є точним незвiдним ∗-зображенням
алгебри Aλ,2. Ми доведемо, що фокiвське зображення є єдиним, з точнiстю до унiтарної еквi-
валентностi, незвiдним iнтегровним зображенням Aλ,2. Цей результат можна вважати аналогом
c© Д. П. ПРОСКУРIН, Р. Я. ЯКИМIВ, 2013
538 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ λ-ДЕФОРМАЦIЙ КАНОНIЧНИХ КОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ 539
теореми Дж. фон Неймана про єдинiсть незвiдного зображення CCR зi скiнченним числом
ступенiв волi.
2. Незвiднi iнтегровнi зображення Aλ,2. Зрозумiло, що в будь-якому зображеннi обра-
зи твiрних ai, i = 1, 2, є необмеженими операторами. Тому потрiбно дати визначення сiм’ї
необмежених операторiв, що задовольняє визначальнi спiввiдношення алгебри Aλ,2.
Спочатку нагадаємо означення аналiтичного вектора оператора (див. [3]).
Означення 1. Нехай A — лiнiйний оператор, що дiє на гiльбертовому просторi H. Век-
тор f називається аналiтичним вектором для A, якщо f ∈ D(Ak), k ∈ N, та знайдуться
C > 0, M > 0 такi, що ||Anf || ≤ C ·Mnn!.
Сформулюємо тепер означення iнтегровного зображення Aλ,2 в термiнах iнварiантних об-
ластей, подiбне до означення, наведеного в роботах [8, 10].
Означення 2. Будемо казати, що замкненi оператори Ai, i = 1, 2, якi дiють на гiльбер-
товому просторi H, визначають iнтегровне зображення Aλ,2, якщо:
1) iснує щiльна лiнiйна пiдмножина D ⊂ H, iнварiантна вiдносно Ai, A∗i , i = 1, 2;
2) для кожного x ∈ D мають мiсце рiвностi
A∗iAix = (1 +AiA
∗
i )x, i = 1, 2,
A∗1A2x = λA2A
∗
1x, A2A1x = λA1A2x;
3) вектори областi D є аналiтичними для оператора ∆ = A∗1A1 +A∗2A2.
Тепер дамо означення iнтегровного зображення Aλ,2 в термiнах обмежених операторiв.
Означення 3. Нехай A1, A2 — замкненi лiнiйнi оператори на гiльбертовому просторi
H. Побудуємо полярнi розклади Ai = SiCi, C
2
i = A∗iAi, i = 1, 2, та розглянемо Di = SiCiS
∗
i .
Будемо казати, що A1, A2 задають iнтегровне зображення Aλ,2, якщо:
1) оператори C1 та C2 комутують в сенсi розкладiв одиницi;
2) оператори S1, S2 задовольняють спiввiдношення
S∗i Si = 1, i = 1, 2, S∗1S2 = λS2S
∗
1 , S2S1 = λS1S2;
3) для довiльної дiйсної обмеженої вимiрної функцiї F (·) мають мiсце спiввiдношення
F (D2
i )Si = SiF (1 +D2
i ), F (D2
i )Sj = SjF (D2
i ), i, j = 1, 2, i 6= j.
Зауважимо, що умова 3 означення 3 виконується тодi й лише тодi, коли для довiльної
борелiвської множини δ ⊂ R+ мають мiсце спiввiдношення Ej(δ)Sj = SjEj(δ − 1), Ej(δ)Si =
= SiEj(δ), i 6= j, i, j = 1, 2. Тут i нижче через Ek(·) позначено розклад одиницi оператора D2
k.
Твердження 1. З означення 2 випливає означення 3.
Доведення. Нехай замкненi оператори A1, A2 задають iнтегровне зображення Aλ,2 в сенсi
означення 2, що дiє на просторi H. Нижче ми застосуємо мiркування, подiбнi до наведених у
роботах [8, 10].
Розглянемо лiвi полярнi розклади Ai = SiCi, де C2
i = A∗iAi та Si, i = 1, 2, — iзометричнi
оператори. Легко переконатись, що на областi D має мiсце спiввiдношення C2
1C
2
2 = C2
2C
2
1 .
Дiйсно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
540 Д. П. ПРОСКУРIН, Р. Я. ЯКИМIВ
C2
1C
2
2 = A∗1A1A
∗
2A2 = λA∗1A
∗
2A1A2 = λλA∗2A
∗
1A1A2 =
= λA∗2A
∗
1A2A1 = λλA∗2A2A
∗
1A1 = C2
2C
2
1 .
Зокрема, ∆C2
i = C2
i ∆, i = 1, 2, на D.
1. Доведемо, що вектори областi D є аналiтичними для C2
i , Ci, i = 1, 2.
Дiйсно, покажемо, що C2n
i ≤ ∆n на D. Побудуємо множину
In = {1, 2, . . . , n}n.
Тодi
∆n =
∑
(i1,...,in)∈In
C2
i1C
2
i2 . . . C
2
in =
∑
(i1,...,in)∈In
A∗i1Ai1A
∗
i2Ai2 . . . A
∗
inAin =
=
∑
(i1,...,in)∈In
A∗i1A
∗
i2 . . . A
∗
inAin . . . Ai2Ai1 ,
де використано спiввiдношення
AjA
∗
iAi = A∗iAiAj , A∗jA
∗
iAi = A∗iAiA
∗
j , i 6= j.
Оcкiльки кожен доданок у сумi є додатним на D, одержимо C2n
i = (A∗iAi)
n ≤ ∆n. Далi, для
кожного f ∈ D маємо
||C2n
i f ||2 = 〈C4nf, f〉 ≤ 〈∆2nf, f〉 = ||∆nf ||2,
крiм того, з аналiтичностi f для ∆ випливає аналiтичнiсть для C2
i . Аналогiчно
||Cni f ||2 ≤ 〈∆nf, f〉 ≤ ||∆nf || ||f ||.
З аналiтичностi f для ∆ випливає, що ||∆nf || ≤Mnn! для деякого M > 0. Тодi
||Cni f || ≤M
n
2
√
n! ≤M
n
2 n!
i вектори областi D є також аналiтичними для Ci, i = 1, 2.
Отже, оператори C2
1 , C
2
2 та ∆ переставнi на щiльнiй областi аналiтичних векторiв. Тодi вони
переставнi в термiнах розкладiв одиницi. Зокрема, для кожного f ∈ D маємо C1C2f = C2C1f.
2. Розглянемо тепер Di = SiCiS
∗
i . З аналiтичностi областi D для C2
i випливає, що для
кожного i = 1, 2 пара {Ai, A∗i } задає iнтегровне зображення CCR з одним ступенем волi. Тодi
для довiльної дiйсної обмеженої борелiвської функцiї F (·) мають мiсце спiввiдношення
D2
i Si = SiF (1 +D2
i ), i = 1, 2.
3. Покажемо тепер, що для кожного f ∈ D вектори Cif є аналiтичними для ∆, а отже, й
для C2
j , j = 1, 2. Дiйсно,
||∆nCif ||2 = 〈∆nCif,∆
nCif〉 = 〈C2
i ∆nf,∆nf〉 ≤
≤ 〈∆n+1f,∆nf〉 ≤ ||∆n+1f || ||∆nf ||.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ λ-ДЕФОРМАЦIЙ КАНОНIЧНИХ КОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ 541
Внаслiдок аналiтичностi f для деякого M > 0 виконуються нерiвностi ||∆nf || ≤Mnn!, n ∈ N.
Тодi
||∆nCif ||2 ≤M ·M2n(n!)2(n+ 1).
Розкладемо M в добуток M = M1M2, де 0 < M1 < 1, тодi
||∆nCif || ≤
√
MMn
2 n! ·Mn
1
√
n+ 1.
Оскiльки Mn
1
√
n+ 1 → 0, n → ∞, знайдеться K ∈ N таке, що для всiх n ≥ K виконується
нерiвнiсть
||∆nCif || ≤
√
MMn
2 n!
i вектор Cif є аналiтичним для ∆.
4. Вище ми перевiрили, що
A1A
∗
2A2 = A∗2A2A1, A2A
∗
1A1 = A∗1A1A2
на D. Таким чином, враховуючи переставнiсть C1 i C2 на D, одержуємо
S1C
2
2C1f = S1C1C
2
2f = C2
2S1C1f, f ∈ D.
А оскiльки для i = 1, 2 маємо kerCi = {0} та Ci(D) є щiльним в D, справджується рiвнiсть
S1C
2
2 = C2
2S1 (3)
на щiльнiй пiдмножинi D1 ⊂ D, де в якостi D1 можна взяти C1(D). З переставностi операторiв
C1 та C2 на D випливає
C4
2S1C1f = C2
2S1C
2
2C1f = C2
2S1C1C
2
2f = S1C
2
2C1C
2
2f = S1C
4
2C1f, f ∈ D.
Отже, C4
2S1 = S1C
4
2 на D1. Використовуючи iндукцiю, одержуємо рiвностi
S1C
2n
2 f = C2n
2 S1f, n ∈ N, f ∈ D1.
Зокрема, для будь-якого f ∈ D1 вектор S1f є аналiтичним для C2
2 . Оскiльки спiввiдношення
(3) виконується на щiльнiй множинi аналiтичних векторiв оператора C2
2 , для довiльної дiйсної
обмеженої борелiвської функцiї F (·) маємо
F (C2
2 )S1 = S1F (C2
2 ), F (C2
2 )S∗1 = S∗1F (C2
2 ).
Зокрема, S1 комутує зi спектральними проекторами оператора C2
2 . Аналогiчно EC1(δ)S2 =
= S2EC1(δ) для будь-якого δ ⊂ B(R+).
5. Запишемо тепер спiввiдношення A∗1A2 = λA2A
∗
1 у термiнах Si, Ci, i = 1, 2 :
C1S
∗
1S2C2f = λS2C2C1S
∗
1f, f ∈ D.
Очевидно, S∗1f ∈ D(C2C1). Оскiльки S∗1 комутує зi спектральними проекторами оператора C2
та вектор f належить D(C2), одержуємо, що S∗1f належить D(C2), S
∗
1f є аналiтичним для C2
та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
542 Д. П. ПРОСКУРIН, Р. Я. ЯКИМIВ
C2C1S
∗
1f = C1C2S
∗
1f = C1S
∗
1C2f.
Таким чином, маємо рiвнiсть
C1S
∗
1S2C2f = λS2C1S
∗
1C2f, f ∈ D.
Аналогiчно S∗1C2f ∈ D(C1), отже, S2S∗1C2f ∈ D(C1) та
C1S
∗
1S2C2f = λC1S2S
∗
1C2f.
Оскiльки kerC1 = {0} та C2(D) щiльнi в H, отримуємо рiвнiсть
S∗1S2 = λS2S
∗
1 .
6. Як показано в роботi [4], якщо iзометрiї S1, S2 задовольняють на гiльбертовому просторi
H спiввiдношення S∗1S2 = λS1S
∗
2 , то спiввiдношення S2S1 = λS1S2 виконується автоматично.
7. Нагадаємо, що Di = SiCiS
∗
i , i = 1, 2. Тодi для спектральних проекторiв Ei(σ) = EDi(σ),
σ ∈ B(R), маємо
Ei(σ) = (1− SiS∗i ) · δ0 + SiECi(σ)S∗i , i = 1, 2,
де через δ0 позначено дельта-мiру, зосереджену в нулi.
Таким чином, враховуючи рiвностi
S∗1S2 = λS1S2, S2S1 = λS1S2, EC1(σ)S2 = S2EC1(σ),
одержуємо
E1(σ)S2 = (1− S1S∗1)S2 · δ0 + S1EC1(σ)S∗1S2 =
= S2(1− S1S∗1) · δ0 + S2S1EC1(σ)S∗1 = S2E1(σ).
Твердження доведено.
Введемо тепер поняття незвiдних iнтегровних зображень та унiтарно еквiвалентних iнтег-
ровних зображень алгебри Aλ,2.
Означення 4. Будемо казати, що набiр замкнених на просторi H операторiв {A1, A2}
визначає незвiдне iнтегровне зображення алгебри Aλ,2, якщо виконуються умови означення 3
та сiм’я обмежених операторiв
B = {Si, S∗i , Ej(δj), i, j = 1, 2, δj ⊂ B(R)}
є незвiдною на H.
Означення 5. Два iнтегровних зображення алгебри Aλ,2, що визначаються наборами
{A(1)
1 , A
(1)
2 } та {A(2)
1 , A
(2)
2 }, є унiтарно еквiвалентними тодi й лише тодi, коли вiдповiднi сiм’ї
B(1) та B(2) є унiтарно еквiвалентними.
Опишемо iнтегровнi в термiнах означення 3 зображення алгебри Aλ,2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ λ-ДЕФОРМАЦIЙ КАНОНIЧНИХ КОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ 543
Теорема 1. Iснує єдине, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi, незвiдне iнтегровне
зображення ∗-алгебри Aλ,2, а саме, простiр зображення H = l2(Z+)⊗ l2(Z+) та
D1 = D ⊗ 1, D2 = 1⊗D,
S1 = S ⊗ 1, S2 = d(λ)⊗ S,
де оператори D,S, d(λ) : l2(Z+) → l2(Z+) визначено на стандартному базисi en, n ∈ Z+,
таким чином:
Den =
√
nen, Sen = en+1, d(λ)en = λnen.
Оператори A1, A2 мають вигляд
A1 = a⊗ 1,
A2 = d(λ)⊗ a,
де a — оператор народження фокiвського зображення одновимiрних CCR,
aen =
√
n+ 1en+1, n ∈ Z+.
Доведення. Нехай A1, A2 визначають незвiдне iнтегровне зображення Aλ,2 на просторi
H. Розглянемо полярнi розклади Ai = SiCi, i = 1, 2. З означення 3 випливає, що оператор
A1 задає iнтегровне зображення CCR з одним ступенем волi на H. Тодi за теоремою єдиностi
Дж. фон Неймана (див [1]) будемо мати H = l2(Z+) ⊗ K для деякого гiльбертового простору
K та
C1 = C ⊗ 1K, S1 = S ⊗ 1K,
де Cen =
√
n+ 1en, n ∈ Z+. Зазначимо також, що
D1 = S1C1S
∗
1 = SCS∗ ⊗ 1K = D ⊗ 1K,
Den = nen, n ∈ Z+.
Далi, зi спiввiдношень S2S1 = λS1S2, S
∗
1S2 = λS2S
∗
1 випливає (див. [4]), що S2 = d(λ)⊗ S̃2
для деякої iзометрiї S̃2 ∈ B(K).
Оскiльки спектральнi проектори оператора D1, що вiдповiдають числам λn =
√
n, n ∈ Z+,
мають вигляд
Pn = Sn1 (Sn1 )∗ − Sn+1
1 (Sn+1
1 )∗, n ∈ Z+,
то PnS2 = S2Pn та F (D1)S2 = S2F (D1) для будь-якої дiйсної борелiвської функцiї F (·).
Через те, що зображення одновимiрних CCR на H, що визначене оператором A2, теж є
iнтегровним та A2 = S2C2 — полярний розклад, iзометрiя S2 є чистою i спектральний розклад
оператора D2 має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
544 Д. П. ПРОСКУРIН, Р. Я. ЯКИМIВ
D2 =
∞∑
n=0
√
n
(
Sn2 (Sn2 )∗ − Sn+1
2 (Sn+1
2 )∗
)
.
Звiдси випливає, що S̃2 є чистою iзометрiєю на K i
D2 = 1l2(Z+) ⊗
∞∑
n=0
√
n
(
S̃n2 (S̃n2 )∗ − S̃n+1
2 (S̃n+1
2 )∗
)
.
Зауважимо, що будь-який оператор T ∈ B(H), переставний з Si, S∗i , i = 1, 2, буде також
переставним з усiма спектральними проекторами операторiв D1, D2. Легко переконатись, що
будь-який такий T буде мати вигляд
T = 1l2(Z+) ⊗ T̃ ,
де T̃ переставний з S̃2, S̃∗2 . Таким чином, iнтегровне збраження, визначене операторами A1,
A2, буде незвiдним на H тодi й лише тодi, коли iзометрiя S̃2 є чистою та набiр {S̃2, S̃∗2} є
незвiдним на K.
Аналогiчними мiркуваннями неважко переконатись, що iнтегровнi зображення на просторах
l2(Z+)⊗Kj , j = 1, 2, визначенi як
A
(j)
1 = a⊗ 1Kj , A
(j)
2 = d(λ)⊗ D̃(j)
2 S̃
(j)
2 , j = 1, 2,
де
D̃
(j)
2 =
∞∑
n=0
√
n
(
(S̃
(j)
2 )n(S̃
(j)
2 )∗n − (S̃
(j)
2 )n+1(S̃
(j)
2 )∗n+1
)
, j = 1, 2,
є унiтарно еквiвалентними тодi й лише тодi, коли набори {S(j)
2 , S
(j)∗
2 }, j = 1, 2, є унiтарно
еквiвалентними.
Нагадаємо, що єдиним, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi, незвiдним зображенням
∗-алгебри, породженої одним iзометричним елементом s, в якому його образ — чиста iзометрiя,
є фокiвське (див., наприклад, [7]):
πF (s) = S : l2(Z+)→ l2(Z+), Sen = en+1, n ∈ Z+.
Отже, ми можемо вважати, що в незвiдному iнтегровному зображеннi Aλ,2 K = l2(Z+), S̃2 = S.
Тодi спектральний розклад D̃2 має вигляд
D̃2 =
∑
n=0
√
n
(
Sn(Sn)∗ − Sn+1(Sn+1)∗
)
.
Отже,
A2 =
(
1l2(Z+) ⊗ D̃2
)
(d(λ)⊗ S) = d(λ)⊗ a.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ λ-ДЕФОРМАЦIЙ КАНОНIЧНИХ КОМУТАЦIЙНИХ СПIВВIДНОШЕНЬ 545
Зауваження. 1. Вектор Ω = e0⊗e0 ∈ H = l2(Z+)⊗2 є циклiчним для операторiв незвiдного
iнтегровного зображення Aλ,2 i
A∗1Ω = 0, A∗2Ω = 0.
Таким чином (див. [6]), побудоване iнтегровне зображення є зображенням Фока i для алгеб-
ри Aλ,2 має мiсце аналог теореми Дж. фон Неймана про єдинiсть незвiдного iнтегровного
зображення.
2. Безпосередня перевiрка показує, що оператори A1, A2, визначенi в теоремi 1, задоволь-
няють умови означення 2. Отже, означення 2 та 3 є еквiвалентними.
1. Bratelli O., Robinson D. W. Operator algebras and quantum statistical mechanics-2. Equilibrium states. Models in
quantum statistical mechanics. – Berlin etc.: Springer, 2002. – 532 p.
2. Bożejko M., Speicher R. Completely positive maps on Coxeter groups, deformed commutation relations, and operator
spaces // Mat. Ann. –1994. – 300. – P. 97 – 120.
3. Berezansky Yu. M., Sheftel Z. G., Us G. F. Functional analysis. – Berlin etc.: Springer, 1996. – 452 p.
4. Proskurin D. Stability of a special class of qij-CCR and extensions of higher-dimensional noncommutative tori //
Lett. Math. Phys. – 2000. – 52, № 2. – P. 165 – 175.
5. Jørgensen P. E. T., Proskurin D. P., Samoilenko Yu. S. The kernel of Fock representation of Wick algebras with braided
operator of coefficients // Pacif. J. Math. – 2001. – 198. – P. 109 – 122.
6. Jørgensen P. E. T., Schmitt L. M., Werner R. F. Positive representations of general commutation relations allowing
Wick ordering // J. Funct. Anal. – 1995. – 134. – P. 33 – 99.
7. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented algebras // Rev. Math.
and Math. Phys. – 2000. – 11. – 261 p.
8. Ostrovskyi V., Proskurin D., Turowska L. Unbounded representations of q-deformation of Cuntz algebra // Lett. Math.
Phys. – 2008. – 85, № 2-3. – P. 147 – 162.
9. Proskurin D. Homogeneous ideals in Wick ∗-algebras // Proc. Amer. Math. Soc. – 1998. – 126, № 11. – P. 3371 – 3376.
10. Pusz W., Woronowicz S. L. Twisted second quantization // Rep. Math. Phys. – 1989. – 27. – P. 251 – 263.
Одержано 15.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2437 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:24Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b5/d91075db44dcd88a383382d3ad7a65b5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24372020-03-18T19:15:36Z On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations Про *-зображення λ-деформацій канонічних комутаційних співвідношень Proskurin, D. P. Yakymiv, R. Ya. Проскурін, Д. П. Якимів, Р. Я. We study irreducible integrable *-representations of the algebra $\mathfrak{U}_{\lambda, 2}$ generated by the following relations: $$\mathfrak{U}_{\lambda, 2} = \mathbb{C} \langle a_j, a_j^{*} \,| \,a_j^{*} a_j = 1 + a_ja_j^{*},\; a_1^{*}a_2 = \lambda a_2a_1^{*},\; a_2a_1 = \lambda a_1 a_2,\; j = 1, 2 \rangle .$$ For this *-algebra, we prove an analog of the von Neumann theorem on the uniqueness of an irreducible integrable representation. Изучаются неприводимые интегрируемые ∗-представления алгебры $\mathfrak{U}_{\lambda, 2}$, порожденной соотношениями вида $$\mathfrak{U}_{\lambda, 2} = \mathbb{C} \langle a_j, a_j^{*} \,| \,a_j^{*} a_j = 1 + a_ja_j^{*},\; a_1^{*}a_2 = \lambda a_2a_1^{*},\; a_2a_1 = \lambda a_1 a_2,\; j = 1, 2 \rangle .$$ А именно, для этой ∗-алгебры доказан аналог теоремы Дж. фон Неймана об единственности интегрируемого неприводимого представления. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2437 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 4 (2013); 538-545 Український математичний журнал; Том 65 № 4 (2013); 538-545 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2437/1640 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2437/1641 Copyright (c) 2013 Proskurin D. P.; Yakymiv R. Ya. |
| spellingShingle | Proskurin, D. P. Yakymiv, R. Ya. Проскурін, Д. П. Якимів, Р. Я. On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations |
| title | On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations |
| title_alt | Про *-зображення λ-деформацій канонічних комутаційних співвідношень |
| title_full | On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations |
| title_fullStr | On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations |
| title_full_unstemmed | On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations |
| title_short | On *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations |
| title_sort | on *-representations of λ-deformations of canonical commutation relations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2437 |
| work_keys_str_mv | AT proskurindp onrepresentationsofldeformationsofcanonicalcommutationrelations AT yakymivrya onrepresentationsofldeformationsofcanonicalcommutationrelations AT proskuríndp onrepresentationsofldeformationsofcanonicalcommutationrelations AT âkimívrâ onrepresentationsofldeformationsofcanonicalcommutationrelations AT proskurindp prozobražennâldeformacíjkanoníčnihkomutacíjnihspívvídnošenʹ AT yakymivrya prozobražennâldeformacíjkanoníčnihkomutacíjnihspívvídnošenʹ AT proskuríndp prozobražennâldeformacíjkanoníčnihkomutacíjnihspívvídnošenʹ AT âkimívrâ prozobražennâldeformacíjkanoníčnihkomutacíjnihspívvídnošenʹ |