One method for the investigation of linear functional-differential equations
We consider the scalar linear retarded functional differential equation $$\dot{x}(t) = ax(t - 1)+ bx \left( \frac tq \right) + f(t), \quad q > 1.$$ The study of linear retarded functional differential equations deals mainly with two initial-value problems: an initial-value problem with initi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2443 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508332810305536 |
|---|---|
| author | Vetrova, E. V. Cherepennikov, V. B. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. |
| author_facet | Vetrova, E. V. Cherepennikov, V. B. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. |
| author_sort | Vetrova, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:36Z |
| description | We consider the scalar linear retarded functional differential equation
$$\dot{x}(t) = ax(t - 1)+ bx \left( \frac tq \right) + f(t), \quad q > 1.$$
The study of linear retarded functional differential equations deals mainly with two initial-value problems:
an initial-value problem with initial function and an initial-value problem with initial point
(when one seeks a classical solution whose substitution into the original equation reduces it to an identity).
In the present paper, an initial-value problem with initial point is investigated by the method of polynomial quasisolutions.
We prove theorems on the existence of polynomial quasisolutions and exact polynomial solutions of the considered linear retarded functional differential equation.
The results of a numerical experiment are presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
В. Б. Черепенников (Ин-т систем энергетики СО РАН, Иркутск; Иркут. гос. техн. ун-т, Россия),
Е. В. Ветрова (Иркут. гос. ун-т, Россия)
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
We consider the scalar linear retarded functional differential equation
ẋ(t) = ax(t− 1) + bx
(
t
q
)
+ f(t), q > 1.
The study of linear retarded functional differential equations deals mainly with two initial-value problems: an initial-value
problem with initial function and an initial-value problem with initial point (when one seeks a classical solution whose
substitution into the original equation reduces it to an identity). In the present paper, an initial-value problem with initial
point is investigated by the method of polynomial quasisolutions. We prove theorems on the existence of polynomial
quasisolutions and exact polynomial solutions of the considered linear retarded functional differential equation. The results
of a numerical experiment are presented.
Розглядається скалярне лiнiйне функцiонально-диференцiальне рiвняння (ЛФДР) загаювального типу
ẋ(t) = ax(t− 1) + bx
(
t
q
)
+ f(t), q > 1.
При дослiдженнi ЛФДР в основному розглядаються двi початковi задачi: початкова задача з початковою функцiєю i
початкова задача з початковою точкою, коли шукається класичний розв’язок, пiдстановка якого у вихiдне рiвняння
перетворює його в тотожнiсть. У данiй роботi дослiджується початкова задача с початковою точкою з допомо-
гою методу полiномiальних квазiрозв’язкiв. Доведено теореми iснування полiномiальних квазiрозв’язкiв i точних
полiномiальних розв’язкiв розглядуваного ЛФДР. Наведено результати числового експерименту.
1. Постановка задачи. Рассмотрим скалярное линейное функционально-дифференциальное
уравнение запаздывающего типa
ẋ(t) = ax(t− 1) + bx
(
t
q
)
+ f̄(t), q > 1, (1.1)
где a и b — константы,
f̄(t) =
F∑
n=0
f̄nt
n. (1.2)
Исследуем начальную задачу с начальной точкой для уравнения (1.1), задав в точке t = 0
начальное условие
x(0) = x0. (1.3)
Известно, что при a = 0 начальная задача (1.1) – (1.3) имеет единственное аналитическое ре-
шение (см., например, [1]), а при b = 0 и f(t) ≡ 0 — бесконечное множество аналитических
решений, каждое из которых порождается соответствующим корнeм характеристического ква-
зиполинома. В общем случае условия существования аналитических решений начальной зада-
чи (1.1) – (1.3) авторам не известны. Применить же здесь классический метод неопределенных
коэффициентов не представляется возможным. Действительно, пусть
c© В. Б. ЧЕРЕПЕННИКОВ, Е. В. ВЕТРОВА, 2013
594 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 595
x(t) =
∞∑
n=0
xnt
n, t ∈ R. (1.4)
В этом случае
ẋ(t) =
∞∑
n=0
nxnt
n−1, x(t− 1) =
∞∑
n=0
xn(t− 1)n =
∞∑
n=0
x̃nt
n, x
(
t
q
)
=
∞∑
n=0
xn
qn
tn. (1.5)
Здесь
x̃n = xn +
∞∑
i=1
C̄i
n+ixn+i, (1.6)
C̄q
p = (−1)qCq
p , C
q
p =
p!
q!(p− q)!
— биномиальные коэффициенты.
Подставляя (1.4), (1.5) в (1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t,
получаем
nxn =
ax̃n−1 +
b
qn−1
xn−1 + f̄n−1, 1 ≤ n ≤ F + 1,
ax̃n−1 +
b
qn−1
xn−1, n ≥ F + 2.
(1.7)
Если бы в исходной начальной задаче (1.1) – (1.3) не было запаздывания, то x̃n = xn и форму-
ла (1.7) представляла бы собой рекуррентную формулу, из которой последовательность {xn}∞n=1
определялась бы единственным способом. Это означало бы существование в силу теоремы
Коши единственного аналитического решения. В данном случае наличие запаздывания прояв-
ляется в том, что, как видно из (1.6), каждый коэффициент x̃n зависит от всех последующих
коэффициентов xn+i, i = 0,∞. Построить рекуррентную формулу здесь не представляется воз-
можным, так как полученная в этом случае бесконечномерная линейная система относительно
неизвестных коэффициентов xn пока не поддается анализу в смысле однозначной вычисляе-
мости последовательности {xn}∞n=1.
Следуя методу полиномиальных квазирешений [2], вводим полином
x(t) =
N∑
n=0
xnt
n, t ∈ R. (1.8)
Тогда
ẋ(t) =
N∑
n=0
nxnt
n−1, x(t− 1) =
N∑
n=0
x̃nt
n, x
(
t
q
)
=
N∑
n=0
xn
qn
tn, (1.9)
где
x̃n = xn +
N−n∑
i=1
C̄i
n+ixn+i, n = 1, N − 1; x̃N = xN . (1.10)
При подстановке полиномов (1.8) и (1.9) в уравнение (1.1) возникает некорректность в смысле
размерности полиномов. Так, производная ẋ(t) имеет размерность N − 1, слагаемые ax(t− 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
596 В. Б. ЧЕРЕПЕННИКОВ, Е. В. ВЕТРОВА
и bx
(
t
q
)
имеют размерность N , а f̄(t) имеет размерность F . С другой стороны, как следует
из (1.7), для того, чтобы последний коэффициент xN в (1.8) определялся последним коэффи-
циентом f̄F в (2.5), необходимо, чтобы в формуле (1.8) N = F + 1.
Полагая в (1.8) N = F + 1, определяем функцию f(t) в виде
f(t) = f̄(t) + ∆(t) =
N∑
n=0
fnt
n, (1.11)
где fn = f̄n, n = 0, N − 1, а невязка ∆N (t) = fN tN , fN — неизвестный коэффициент.
С учетом введенных обозначений рассмотрим начальную задачу
ẋ(t) = ax(t− 1) + bx
(
t
q
)
+ f(t), x(0) = x0, t ∈ R. (1.12)
Определение 1.1. Задачу (1.12) будем называть согласованной по размерности полино-
мов относительно задачи (1.1) – (1.3).
Подставляя (1.8) и (1.9) в (1.12), методом неопределенных коэффициентов получаем
nxn = ax̃n−1 +
b
qn−1
xn−1 + fn−1, 1 ≤ n ≤ F + 1,
0 = ax̃N +
b
qN
xN + fN , n = F + 2.
(1.13)
Замечание 1.1. Поскольку степень полинома x(t) равна F + 1, можно выбрать степень
полинома f̄(t) в (1.2) в зависимости от желаемой степени полинома x(t), добавляя к f̄(t)
соответствующее число нулевых членов.
Определение 1.2. Если существует полином степени N = F + 1
x(t) =
N∑
n=0
xnt
n, t ∈ R, (1.14)
тождественно удовлетворяющий начальной задаче (1.12), то этот полином будем называть
полиномиальным квазирешением (ПК-решением) задачи (1.1) – (1.3).
Таким образом, задача нахождения ПК-решения степени N состоит в установлении усло-
вий существования и способов нахождения невязки ∆N (t), порождающей решение начальной
задачи (1.12) в виде полинома (1.8).
2. Основные результаты. 2.1. Теорема существования ПК-решений. Вернемся к фор-
мулам (1.13). Полагая n = 1, 2, . . . , F + 2 и учитывая (1.9) и (1.10), записываем эти формулы в
виде
(−a− 1)x1 + ax2 − ax3 + . . . + (−1)NaxN = −(a + b)x0 − f0,(
a +
b
q
)
x1 + (C̄1
2a− 2)x2 + . . . + C̄k−1
k axk + . . . + C̄N−1
N axN = −f1,
(
a +
b
q2
)
x2 + (C̄1
3a− 3)x3 + . . . + C̄k−2
k axk + . . . + C̄N−2
N axN = −f2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 597
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2.1)(
a +
b
qk
)
xk + (C̄1
k+1a− (k + 1))xk+1 + . . . + C̄m
k+maxk+m + . . . + C̄N−k
N axN = −fk,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(
a +
b
qN−1
)
xN−1 + (C̄1
Na−N)xN = −fF ,
(
a +
b
qN
)
xN + fN = 0.
Введем следующие обозначения:
as,s = −s(a + 1), s = 1, N ; a1,s = (−1)sa, s = 2, N ;
as,s−1 = a +
b
qs−1
, s = 2, N + 1;
a2+i,3+i+j = C̄2+j
3+i+ja, i = 0, N − 3, j = 0, N − 3− i;
x̄N = (x1, x2, . . . , xN , fN )T , ḡN = (−(a + b)x0 − f0,−f1,−f2, . . . ,−fF , 0)T .
(2.2)
Тогда система линейных алгебраических уравнений (2.1) в матричном виде запишется так:
MN x̄N = ḡN , (2.3)
где
MN =
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,N−1 a1,N 0
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,N−1 a2,N 0
0 a3,2 a3,3 . . . a3,N−1 a3,N 0
0 0 a4,3 . . . a4,N−1 a4,N 0
...
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 . . . aN,N−1 aN,N 0
0 0 0 . . . 0 aN+1,N 1
. (2.4)
Теорема 2.1. Пусть матрица MN линейной системы (2.3), определенная в силу урав-
нения (1.1), невырожденная. Тогда для любого x0 ∈ R начальная задача (1.1) – (1.3) имеет
единственное ПК-решение в виде полинома (1.14) степени N = F + 1 с невязкой ∆(t) = fN tN .
Действительно, в этом случае существует матрица M−1N , обратная матрице MN , и из (2.3)
получаем
x̄N = M−1N ḡN .
Следовательно, коэффициенты x1, x2, . . . , xN ПК-решения (1.14) и невязка ∆(t) вычисляются
единственным образом, что и доказывает теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
598 В. Б. ЧЕРЕПЕННИКОВ, Е. В. ВЕТРОВА
2.2. Точные полиномиальные решения. Рассмотрим начальную задачу с начальной точ-
кой для однородного функционально-дифференциального уравнения с постоянными коэффи-
циентами
ẋ(t) = ax(t− 1) + bx
(
t
q
)
, x(0) = x0, q > 1. (2.5)
Следуя алгоритму нахождения ПК-решений в виде полинома (1.14) степени N , записываем
задачу (1.12), согласованную по размерности полиномов,
ẋ(t) = ax(t− 1) + bx
(
t
q
)
+ f(t), x(0) = x0, q > 1, (2.6)
где согласно (1.11) f(t) =
∑N
n=0
fnt
n, fn = 0, n = 0, N − 1, а fN — неизвестный коэффици-
ент. Для нахождения коэффициентов xn, n = 0, N, и fN воспользуемся матричным уравнени-
ем (2.3). Здесь в силу (2.2)
x̄N = (x1, x2, . . . xN , fN )T , ḡN = (−(a + b)x0, 0, 0, . . . , 0)T . (2.7)
Пусть для k < N выполняется соотношение
a +
b
qk
= 0. (2.8)
Обозначим
x̄kN = (xk+1, xk+2, . . . , xN , fN )T , ḡkN = (0, 0, 0, . . . , 0)T . (2.9)
Рассмотрим линейную систему, состоящую из последних N −k строк линейной системы (2.3).
В матричном виде эта система запишется так:
MkN x̄kN = ḡkN , (2.10)
где
MkN =
ak+1,k+1 ak+1,k+2 ak+1,k+3 . . . ak+1,N−1 ak+1,N 0
ak+2,k+1 ak+2,k+2 ak+2,k+3 . . . ak+2,N−1 ak+2,N 0
0 ak+3,k+2 ak+3,k+3 . . . ak+3,N−1 ak+3,N 0
0 0 ak+4,k+3 . . . ak+4,N−1 ak+4,N 0
...
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 . . . aN,N−1 aN,N 0
0 0 0 . . . 0 aN+1,N 1
. (2.11)
Теорема 2.2. Пусть для начальной задачи (2.6) при k < N выполняется условие a+
b
qk
=
= 0. Тогда если матрица MN , определенная формулой (2.4), и матрица MkN невырожденные,
то для любого x0 6= 0 полином
x(t) =
k∑
n=0
xnt
n (2.12)
будет точным решением начальной задачи (2.6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 599
Доказательство. Поскольку по условию теоремы detMkN 6= 0, существует матрица M−1kN
,
обратная матрице MkN . Тогда из (2.10) находим
x̄kN = M−1kN
ḡkN .
А так как согласно (2.7) и (2.9) вектор ḡkN является нуль-вектором, вектор x̄kN тоже будет
нуль-векторм, т. е. xk+i = 0, i = 1, N − k, и fN = 0. В силу этого из (2.3) получаем
M̂kx̂k = ĝk. (2.13)
Здесь
M̂k =
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,k−1 a1,k
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,k−1 a2,k
0 a3,2 a3,3 . . . a3,k−1 a3,k
0 0 a4,3 . . . a4,k−1 a4,k
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 . . . ak,k−1 ak,k
, (2.14)
x̂k = (x1, x2, . . . , xk)T , ĝk = (−(a + b)x0, 0, . . . , 0)T . (2.15)
Поскольку по условию теоремы в (2.4) detMN 6= 0, с учетом теоремы 2.1 det M̂k 6= 0. Тогда
существует матрица M̂−1k , обратная матрице M̂k, и согласно (2.13)
x̂k = M̂−1k ĝk.
Из этого соотношения и формул (2.15) следует, что коэффициенты xi, i = 1, k, вычисляются
единственным образом, что и доказывает существование решения начальной задачи (2.6) в виде
полинома (2.12).
Замечание 2.1. При x0 = 0 начальная задача (2.6) имеет тривиальное решение x(t) ≡ 0.
Замечание 2.2. Теорема 2.2 доказывает существование решения начальной задачи (2.6) в
виде полинома. Но это не означает, что это решение единственное.
3. Численный эксперимент.
Пример 3.1. Исследуем начальную задачу для функционально-дифференциального урав-
нения
ẋ(t) =
3
16
x(t− 1)− 24x
(
t
2
)
, x(0) = 1, t ∈ R. (3.1)
Задача, согласованная по размерности полиномов относительно этой задачи, согласно (2.6)
имеет вид
ẋ(t) =
3
16
x(t− 1)− 24x
(
t
2
)
+ ∆(t), x(0) = 1,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
600 В. Б. ЧЕРЕПЕННИКОВ, Е. В. ВЕТРОВА
x(t) = xN (t) =
N∑
n=0
xnt
n, ∆(t) = ∆N (t) = fN tN .
Ниже приведены результаты расчетов по нахождению ПК-решений для N = 4, 7 и соответ-
ствующие им невязки:
x4(t) = 1− 7,765t + 24,405t2 − 33,547t3 + 19,683t4 − 3,853t4,
x5(t) = 1− 7,810t + 24,237t2 − 32,011t3 + 17,433t4 − 3,853t5,
x6(t) = 1− 7,818t + 24,271t2 − 31,986t3 + 17,258t4 − 3,677t5 + 0,290t6,
x7(t) = 1− 7,818t + 24,273t2 − 31,988t3 + 17,256t4 − 3,671t5 + 0,268t6 − 0,006t7,
∆4(t) = 26,071t4, ∆5(t) = −2,167t5, ∆6(t) = −0,054t6, ∆7(t) = 0.
x4(t)
x5(t)
x6(t)
x7(t)
4
2
0 1
–2
t
На рисунке приведены графики полученных ПК-решений начальной задачи (3.1).
Расчеты показали, что при N = 7 невязка ∆7(t) = 0. Это означает, что полученное ПК-
решение начальной задачи (3.1) в виде полинома седьмой степени является точным решением
этой задачи. Этот результат является следствием теоремы 2.2, так как в этом случае a +
b
qk
=
=
3
16
− 24
27
= 0.
1. Черепенников В. Б. Об аналитических решениях некоторых систем функционально-дифференциальных урав-
нений // Дифференц. уравнения. – 1990. – 26, № 6. – С. 1094 – 1095.
2. Черепенников В. Б. Полиномиальные квазирешения линейных систем дифференциально-разностных уравне-
ний // Изв. вузов. Математика. – 1999. – № 10. – С. 49 – 58.
Получено 20.10.11,
после доработки — 28.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2443 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:32Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f1/281250d091746421b897a7d59b204cf1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24432020-03-18T19:15:36Z One method for the investigation of linear functional-differential equations Об одном методе исследования линейных функционально-дифференциальных уравнений Vetrova, E. V. Cherepennikov, V. B. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. We consider the scalar linear retarded functional differential equation $$\dot{x}(t) = ax(t - 1)+ bx \left( \frac tq \right) + f(t), \quad q > 1.$$ The study of linear retarded functional differential equations deals mainly with two initial-value problems: an initial-value problem with initial function and an initial-value problem with initial point (when one seeks a classical solution whose substitution into the original equation reduces it to an identity). In the present paper, an initial-value problem with initial point is investigated by the method of polynomial quasisolutions. We prove theorems on the existence of polynomial quasisolutions and exact polynomial solutions of the considered linear retarded functional differential equation. The results of a numerical experiment are presented. Розглядається скалярне лiнiйне функцiонально-диференцiальне рiвняння (ЛФДР) загаювального типу $$\dot{x}(t) = ax(t - 1)+ bx \left( \frac tq \right) + f(t), \quad q > 1.$$ При дослiдженнi ЛФДР в основному розглядаються двi початковi задачi: початкова задача з початковою функцiєю i початкова задача з початковою точкою, коли шукається класичний розв’язок, пiдстановка якого у вихiдне рiвняння перетворює його в тотожнiсть. У данiй роботi дослiджується початкова задача с початковою точкою з допомогою методу полiномiальних квазiрозв’язкiв. Доведено теореми iснування полiномiальних квазiрозв’язкiв i точних полiномiальних розв’язкiв розглядуваного ЛФДР. Наведено результати числового експерименту. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2443 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 4 (2013); 594-600 Український математичний журнал; Том 65 № 4 (2013); 594-600 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2443/1652 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2443/1653 Copyright (c) 2013 Vetrova E. V.; Cherepennikov V. B. |
| spellingShingle | Vetrova, E. V. Cherepennikov, V. B. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. Ветрова, Е. В. Черепенников, В. Б. One method for the investigation of linear functional-differential equations |
| title | One method for the investigation of linear functional-differential equations |
| title_alt | Об одном методе исследования линейных функционально-дифференциальных уравнений |
| title_full | One method for the investigation of linear functional-differential equations |
| title_fullStr | One method for the investigation of linear functional-differential equations |
| title_full_unstemmed | One method for the investigation of linear functional-differential equations |
| title_short | One method for the investigation of linear functional-differential equations |
| title_sort | one method for the investigation of linear functional-differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2443 |
| work_keys_str_mv | AT vetrovaev onemethodfortheinvestigationoflinearfunctionaldifferentialequations AT cherepennikovvb onemethodfortheinvestigationoflinearfunctionaldifferentialequations AT vetrovaev onemethodfortheinvestigationoflinearfunctionaldifferentialequations AT čerepennikovvb onemethodfortheinvestigationoflinearfunctionaldifferentialequations AT vetrovaev onemethodfortheinvestigationoflinearfunctionaldifferentialequations AT čerepennikovvb onemethodfortheinvestigationoflinearfunctionaldifferentialequations AT vetrovaev obodnommetodeissledovaniâlinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenij AT cherepennikovvb obodnommetodeissledovaniâlinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenij AT vetrovaev obodnommetodeissledovaniâlinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenij AT čerepennikovvb obodnommetodeissledovaniâlinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenij AT vetrovaev obodnommetodeissledovaniâlinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenij AT čerepennikovvb obodnommetodeissledovaniâlinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhuravnenij |