Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere
We study generalizations of the class of functions with zero integrals over the balls of fixed radius. An analog of the John uniqueness theorem is obtained for weighted spherical means on a sphere.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2445 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508335686549504 |
|---|---|
| author | Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. |
| author_facet | Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. |
| author_sort | Volchkov, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:53Z |
| description | We study generalizations of the class of functions with zero integrals over the balls of fixed radius. An analog of the John uniqueness theorem is obtained for weighted spherical means on a sphere. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Вит. В. Волчков, И. М. Савостьянова (Донец. нац. ун-т)
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЙОНА
ДЛЯ ВЗВЕШЕННЫХ ШАРОВЫХ СРЕДНИХ НА СФЕРЕ
We study generalizations of the class of functions having zero integrals over balls of fixed radius. An analog of the John
uniqueness theorem is obtained for weighted spherical means on a sphere.
Дослiджуються узагальнення класу функцiй з нульовими iнтегралами по кулях фiксованого радiуса. Отримано
аналог теореми єдиностi Ф. Йона для зважених кульових середнiх на сферi.
1. Введение. Классическая теорема единственности Ф. Йона (см. [1], а также [2], гл. 6) утверж-
дает, что если функция f ∈ C∞(Rn) с нулевыми интегралами по всем сферам фиксированного
радиуса r обращается в нуль в некотором шаре радиуса r, то f = 0 в Rn. Если n = 1,
то это утверждение выполнено, очевидно, и для f ∈ C(R1) (интеграл по нульмерной сфере
понимается как сумма значений функций в точках этой сферы). Однако при n ≥ 2 условие
бесконечной гладкости f ослабить нельзя (см. [1] для n = 2, 3 и [3] (часть 2, теорема 1.2) в
общем случае).
Теорема Ф. Йона получила дальнейшее развитие и уточнение в разных направлениях [3 – 15].
Во-первых, изучались ее обобщения для функций f, удовлетворяющих уравнению свертки
f ∗ T = 0, где T — заданное распределение с компактным носителем в Rn. Решения f предпо-
лагались равными нулю в выпуклой оболочке носителя T, а T считалось радиальным в случае
n ≥ 2. При этом даже в одномерном случае возникают содержательные проблемы и результаты
(см. [3], [5] (приложение II) – [9] (гл. 6, п. F)).
Во-вторых, были получены аналоги теоремы Ф. Йона на римановых двухточечно-однород-
ных пространствах [12 – 15]. Разработанные для этого методы оказались весьма полезными во
многих вопросах, связанных с периодичностью в среднем как на пространствах X, так и на
других однородных пространствах.
В-третьих, были доказаны так называемые „спектральные” аналоги теоремы Ф. Йона для
функций конечной гладкости. Их смысл заключается в том, что чем больше порядок гладкости
функции f, удовлетворяющей условиям типа Йона, тем больше нулевых членов в ее разложении
Фурье по сферическим гармоникам [12 – 15].
В-четвертых, выяснилось, что теорема Ф. Йона и ее аналоги имеют глубокие связи с мик-
ролокальным анализом, который широко используется в современных исследованиях по урав-
нениям с частными производными [10], [16] (гл. 8).
Помимо самостоятельного интереса полученные результаты оказались важными в связи с
их многочисленными и существенными применениями в экстремальных задачах интегральной
геометрии, в теории лакунарных рядов, в проблеме носителя, в теории гармонических функций,
а также при изучении различных классов периодических в среднем функций и их обобщений
(см. [3, 15]).
В данной работе получен аналог теоремы Ф. Йона для взвешенных шаровых средних на
двумерной сфере. Аналогичный результат был установлен ранее на евклидовом пространстве
В. В. Волчковым (см. [17], теорема 2). Однако в [17] существенно используется векторная
c© ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 611
612 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
структура Rn, а для пространств с ненулевой кривизной методы из [17] неприменимы. Отме-
тим, что рассматриваемый случай интересен и тем, что не может быть исследован с помощью
общей теории трансмутационных операторов, которая является мощным аппаратом для изу-
чения свойств решений уравнений свертки с радиальными распределениями на различных
однородных пространствах (см. [15], часть 2).
2. Формулировка основного результата. Пусть S2 — стандартная единичная сфера в R3
с внутренней метрикой d и поверхностной мерой dξ, BR = {ξ ∈ S2 : d(o, ξ) < R} — открытый
геодезический шар (сферическая шапочка) радиуса R с центром в точке o = (0, 0, 1) ∈ S2,
Lloc(BR) — множество локально интегрируемых по мере dξ функций на BR. Отметим, что
Bπ = S2\{(0, 0,−1)}, а при R > π шар BR совпадает с S2. Всюду в дальнейшем считаем,
что r — фиксированное число, принадлежащее интервалу (0;π), и r < R. Обозначим через Br
замыкание шара Br.
Пусть SO(3) — группа вращений R3. Как обычно, символами N, Z, Z+ будем обозначать
соответственно множества натуральных, целых и целых неотрицательных чисел. Для фикси-
рованного M ∈ Z+ положим
Vr,M (BR) =
f ∈ Lloc(BR) :
∫
Br
f(τξ)(ξ1 + iξ2)
Mdξ = 0 ∀τ ∈ SO(3) : τBr ⊂ BR
,
где ξ1, ξ2, ξ3 — декартовы координаты точки ξ ∈ S2.
Для s ∈ Z+ ∪ {∞} определим
V s
r,M (BR) = Vr,M (BR) ∩ Cs(BR).
При M = 0 класс Vr,M (BR) совпадает с классом функций f ∈ Lloc(BR), имеющих нулевые
интегралы по всем замкнутым геодезическим шарам радиуса r, лежащим в BR. Это эквива-
лентно тому, что f ∗ χr = 0 в BR−r, где χr — индикатор шара Br, а ∗ обозначает свертку на
сфере. Указанный случай изучался многими авторами для различных однородных пространств
(см. [3] (часть 2), [15] (часть 3), [18]). Если M > 0, то уравнение∫
Br
f(τξ)(ξ1 + iξ2)
Mdξ = 0
не сводится к уравнению свертки с радиальным распределением, что делает невозможным
применение общей теории из [15].
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть f ∈ V∞r,M (BR) и f = 0 в Br. Тогда f = 0 в BR.
Доказательство основано на методах гармонического анализа и интегральных уравнений,
при этом используются некоторые важные результаты из теории специальных функций. Отме-
тим также, что теорема 1 становится неверной для функций произвольной конечной гладкости
и радиус r в условии f = 0 в Br уменьшить нельзя (см. [15], раздел 16.2).
3. Простейшие свойства классов V s
r,M(BR). Пусть ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) ∈ S2, ϕ, θ — сфериче-
ские координаты точки ξ (0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π и ξ1 = sin θ sinϕ, ξ2 = sin θ cosϕ, ξ3 = cos θ).
Любой функции f ∈ Lloc(BR) соответствует ряд Фурье
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЙОНА ДЛЯ ВЗВЕШЕННЫХ ШАРОВЫХ СРЕДНИХ НА СФЕРЕ 613
f(ξ) ∼
∞∑
k=−∞
fk(θ)e
ikϕ, θ ∈ (0, R), (1)
где
fk(θ) =
1
2π
2π∫
0
f◦(ϕ, θ)e−ikϕdϕ,
f◦(ϕ, θ) = f(sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, cos θ).
Отметим, что функция χr, возникающая в определении класса Vr,0(BR), зависит только
от θ. Это соответствует нулевому коэффициенту в разложении (1). В связи с этим вид веса в
определении класса Vr,M (BR) является вполне естественным.
Лемма 1. Пусть f ∈ V s
r,M (BR). Тогда fk(θ)eikϕ ∈ V s
r,M (BR) для любого k ∈ Z.
Доказательство. Для краткости положим fk(ξ) = fk(θ)e
ikϕ. Обозначим через gα вращение
в плоскости (x1, x2) на угол α. Из (1) следует формула
fk(θ) =
1
2π
2π∫
0
f(gαξ)e
ikαdα. (2)
В частности, fk ∈ Cs(BR). Далее, пусть τ ∈ SO(3) и τBr ⊂ BR. Согласно (2) имеем∫
Br
f(τξ)(ξ1 + iξ2)
Mdξ =
1
2π
2π∫
0
∫
Br
f(gατξ)(ξ1 + iξ2)
Mdξeikαdα.
Учитывая, что gατBr ⊂ BR для любого α ∈ [0, 2π], отсюда получаем требуемое утверждение.
Лемма 2. Пусть s ∈ N и f ∈ V s
r,M (BR). Тогда cosϕ
∂f◦
∂θ
− sinϕ ctg θ
∂f◦
∂ϕ
∈ V s−1
r,M (BR).
Доказательство. Пусть τ ∈ SO(3) и τBr ⊂ BR. Обозначим через at вращение R3 на угол
(−t) в плоскости (x2, x3). При достаточно малых |t| из условия имеем∫
τBr
F (atξ)PM (τ−1ξ)dξ = 0, (3)
где F (x) = f(x/|x|), PM (ξ) = (ξ1 + iξ2)
M . Дифференцируя (3) по t и полагая t = 0, находим∫
τBr
h(ξ)PM (τ−1ξ)dξ = 0,
где h(ξ) = ξ3
∂F
∂x2
(ξ)− ξ2
∂F
∂x3
(ξ). Осталось заметить, что
h◦(ϕ, θ) = cosϕ
∂f◦
∂θ
− sinϕ ctg θ
∂f◦
∂ϕ
.
Лемма 3. Пусть s ∈ N и u(θ)eikϕ ∈ V s
r,M (BR) при некотором k ∈ Z. Тогда функции
(u′(θ)− k ctg θu(θ))ei(k+1)ϕ и (u′(θ) + k ctg θu(θ))ei(k−1)ϕ принадлежат V s−1
r,M (BR).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
614 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
Доказательство. Полагая f(ξ) = u(θ)eikϕ, находим
2
(
cosϕ
∂f◦
∂θ
− sinϕ ctg θ
∂f◦
∂ϕ
)
= (u′(θ)− k ctg θu(θ))ei(k+1)ϕ + (u′(θ) + k ctg θu(θ))ei(k−1)ϕ.
Теперь лемма 3 следует из лемм 1 и 2.
4. Присоединенные функции Лежандра. Для дальнейших ссылок приведем некоторые
свойства присоединенных функций Лежандра Pµν (см. [19], гл. 3, § 3, п.3.4, формула (6)). В
основном, нас будет интересовать случай, когда ν = l ∈ Z+, µ = m ∈ Z. При этом (см. [20],
гл. 3, § 3, п. 9, формула (11))
Pml (x) =
(
1 + x
1− x
)m
2 ∑
max(m,0)≤j≤l
(−1)j(l + j)!
(l − j)!(j −m)!j!
(
1− x
2
)j
. (4)
Как обычно, сумма в (4) считается равной нулю, если множество индексов суммирования
является пустым.
Функции Pml и P−ml связаны равенством
P−ml (x) = (−1)m
(l −m)!
(l +m)!
Pml (x), −l ≤ m ≤ l (5)
(см. [20], гл. 3, § 3, п. 9, формула (10)). Имеет место рекуррентное соотношение√
1− x2
dPml (x)
dx
− mx√
1− x2
Pml (x) = (l +m)(l −m+ 1)Pm−1l (x) (6)
(см. [20], гл. 3, § 4, п. 4, формула (13)). Из (6) получаем(
d
dθ
+m ctg θ
)
(Pml (cos θ)) = (l +m)(m− l − 1)Pm−1l (cos θ). (7)
Через функции Лежандра выражаются многочлены Гегенбауэра Cpl (x) и многочлены Чебышева
Tl(x) (см. [20], гл. 9, § 4, п. 8, формулы (6′), (11′)). Отметим следующие формулы дифференци-
рования:
d
dx
(
C1
l (x)(1− x2)
1
2
)
= −(l + 1)Tl+1(x)(1− x2)−
1
2 , (8)
d
dx
(
C
n
2
l (x)(1− x2)
n−1
2
)
=
(l + 1)(n+ l − 1)
2− n
C
n−2
2
l+1 (x)(1− x2)
n−3
2 , n = 3, 4, . . . . (9)
Доказательство этих соотношений легко следует из [20] (гл. 9, § 3, п. 2, формулы (4), (5) и § 4,
п. 8, формула (11′)).
Нам потребуются также некоторые интегральные формулы. Используя соотношение (8)
из [21] (раздел 1.12.1), находим
r∫
0
(sin θ)m+1P−ml (cos θ)dθ = (sin r)m+1P
−(m+1)
l (cos r), m ∈ Z+ . (10)
Далее, пусть числа θ1, θ2 и θ1 + θ2 принадлежат промежутку [0;π). Имеет место формула
умножения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЙОНА ДЛЯ ВЗВЕШЕННЫХ ШАРОВЫХ СРЕДНИХ НА СФЕРЕ 615
1
2π
2π∫
0
eikϕPl(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 cosϕ)dϕ = P kl (cos θ1)P
−k
l (cos θ2), (11)
где Pl = P 0
l (см. [20], гл. 2, § 4, п. 3, формула (2)). Отметим наконец, что интеграл (11) преоб-
разуется к виду
1
π
θ1+θ2∫
|θ1−θ2|
Pl(cos θ)Tk
(
cos θ1 cos θ2 − cos θ
sin θ1 sin θ2
)
×
× sin θdθ√
(cos θ − cos(θ1 + θ2))(cos(θ1 − θ2)− cos θ)
= P kl (cos θ1)P
−k
l (cos θ2) (12)
(см. [20], гл. 3, § 4, п. 3, формула (7)).
5. Интегральное уравнение. Для краткости положим
a = a(θ, t, r) =
cos θ − cos r cos t
sin r sin t
,
b = b(θ, t, r) = (cos θ − cos(r + t))(cos(t− r)− cos θ).
Лемма 4. Пусть 0 < r < R < π, k ∈ N. Предположим, что Φ ∈ Ck+1[0, R], Φ = 0 на
[0, r] и
t+r∫
|t−r|
Φ(θ) sin θTk(a)b−
1
2dθ = 0 (13)
при 0 < t < R− r. Тогда Φ = 0 на [0, R].
Доказательство. Прежде всего отметим, что
1− a2 =
b
(sin r sin t)2
(14)
и
db
dθ
= 2 sin θ(cos θ − cos r cos t). (15)
Определим функции Xm,n, m ∈ Z+, n = 2, 3, . . . , равенством
Xm,n(θ) =
sin θTm(a)b−
1
2 , n = 2,
sin θC
n−2
2
m (a)b
n−3
2 , n ≥ 3.
Соотношения (14), (15) и (8), (9) дают следующие формулы дифференцирования:
d
dθ
(
Xm−1,4(θ)
sin θ
)
= m sin r sin tXm,2(θ), (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
616 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА
d
dθ
(
Xm−1,n+2(θ)
sin θ
)
=
m(m+ n− 2)
n− 2
sin r sin tXm,n(θ), n ≥ 3. (17)
Выполним в (13) интегрирование по частям k раз с использованием (16), (17). В результате
получим
t+r∫
|t−r|
(DkΦ)(θ) sin θbk−
1
2dθ = 0, 0 < t < R− r, (18)
где D =
1
sin θ
d
dθ
. Для изучения уравнения (18) рассмотрим сначала случай R ≤ 2r. Тогда
0 < t < R− r ≤ r и |t− r| = r− t < r. Поскольку Φ = 0 на [0, r], отсюда и из (18) следует, что
t+r∫
r
(DkΦ)(θ) sin θbk−
1
2dθ = 0, 0 < t < R− r. (19)
Перепишем (19) в виде
cos r∫
cos t
h1(x) ((x− cos t)(cos(t− 2r)− x))k−
1
2 dx = 0, r ≤ t < R, (20)
где h1(x) =
(
DkΦ
)
(arccosx). Из (20) вытекает, что
t∫
r
h2(x)
(
sin
x+ t
2
sin
t− x− 2r
2
(cos(t− r)− cos(x− r))
)k− 1
2
dx = 0, r ≤ t < R,
где h2(x) = h1(cosx) sinx. Отсюда
1∫
t
h3(x)(x− t)k−
1
2 g1(x, t)dx = 0, cos(R− r) < t ≤ 1, (21)
где
h3(x) =
h2(r + arccosx)√
1− x2
,
g1(x, t) =
(
t+
√
1− x2 sin 2r − x cos 2r
)k− 1
2
.
Пусть cos(R− r) < y ≤ 1. Умножим (21) на (t− y)k−
1
2 и проинтегрируем по t в пределах от y
до 1. После перемены порядка интегрирования получим
1∫
y
h3(x)
x∫
y
((x− t)(t− y))k−
1
2 g1(x, t)dtdx = 0, cos(R− r) < y ≤ 1.
Выполняя во внутреннем интеграле замену переменной (x− y)z = x+ y − 2t, находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЙОНА ДЛЯ ВЗВЕШЕННЫХ ШАРОВЫХ СРЕДНИХ НА СФЕРЕ 617
1∫
y
h3(x)(x− y)2kg2(x, y)dx = 0, cos(R− r) < y ≤ 1, (22)
где
g2(x, y) =
1∫
−1
(1− z2)k−
1
2 g1
(
x,
x+ y − (x− y)z
2
)
dz.
Дифференцируя (22) 2k + 1 раз по y, получаем
h3(y)−
1∫
y
h3(x)K(x, y)dx = 0, cos(R− r) < y ≤ 1,
где
K(x, y) =
∂2k+1
∂y2k+1
(
(x− y)2kg2(x, y)
)
(2k)!g2(y, y)
.
Таким образом, функция h3 является решением однородного интегрального уравнения Воль-
терра второго рода с ограниченным ядром K(x, y). Это означает, что h3 = 0 на (cos(R− r), 1).
Учитывая, что Φ = 0 на [0, r], отсюда получаем утверждение леммы при R ≤ 2r.
Далее, предположим, что утверждение леммы справедливо для радиуса R ≤ mr, где m ≥ 2
— фиксированное натуральное число. Докажем его при R ∈ (mr, (m+1)r]. По предположению
индукции имеем Φ = 0 на [0,mr]. Поскольку t+ r < mr при t < (m− 1)r, а |t− r| < (m− 1)r
при (m− 1)r < t < R− r, из (18) снова следует утверждение (19). Как и выше, заключаем, что
Φ = 0 на [0, R].
Таким образом, лемма 4 доказана.
6. Доказательство теоремы 1. Прежде всего установим еще один вспомогательный ре-
зультат.
Лемма 5. Пусть f(ξ) = u(θ) ∈ V∞r,M (BR) и f = 0 в Br. Тогда f = 0 в BR.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что R ≤ π. Пусть 0 < ε <
< R− r. Рассмотрим функцию wε, удовлетворяющую следующим условиям: 1) wε ∈ C∞[0, π];
2) wε = 1 на [0, R− ε] и wε = 0 на [R − ε/2, π]. Для θ ∈ [0, π] положим Φ(θ) = u(θ)wε(θ), где
u = 0 на [R, π]. Тогда Φ ∈ C∞[0, π] и
Φ(θ) =
∞∑
l=0
αlPl(cos θ), (23)
где
αl =
2l + 1
2
π∫
0
Φ(θ)Pl(cos θ) sin θdθ
(см. [20], гл. 3, § 6, п. 4, формулы (21), (22)). При этом αl = O(l−c), l → +∞, для любого
фиксированного c > 0. Далее будем использовать отображение at из доказательства леммы 2,
где 0 < t < R− r − ε. Из условия имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
618 ВИТ. В. ВОЛЧКОВ, И. М. САВОСТЬЯНОВА∫
Br
F (atξ)(ξ1 + iξ2)
Mdξ = 0, (24)
где F (ξ) = Φ(arccos ξ3). Разложение (23) показывает, что
F (atξ) =
∞∑
l=0
αlPl(ξ3 cos t− ξ2 sin t).
Поэтому, переходя к сферическим координатам в (24), получаем соотношение
∞∑
l=0
αl
r∫
0
2π∫
0
Pl(cos θ cos t− sin θ sin t cosϕ)e−iMϕdϕ
(sin θ)M+1dθ = 0.
Тогда по формуле умножения (11) имеем
∞∑
l=0
αl
r∫
0
P−Ml (cos θ)(sin θ)M+1dθPMl (cos t) = 0.
Теперь, используя (10), (4) и (5), приходим к равенству
∞∑
l=M
αlP
−(M+1)
l (cos r)
(l +M)!
(l −M)!
P−Ml (cos t) = 0. (25)
Применяя к (25) дифференциальный оператор
d
dt
−M ctg t и учитывая (7), (5), (4), находим
∞∑
l=0
αlP
−(M+1)
l (cos r)PM+1
l (cos t) = 0. (26)
Поскольку Tk(−x) = (−1)kTk(x), из (26), (12) и (23) следует уравнение
t+r∫
|t−r|
Φ(θ) sin θTM+1(a(θ, t, r))(b(θ, t, r))
−1
2 dθ = 0, 0 < t < R− r − ε.
Отсюда по лемме 4 заключаем, что Φ = 0 на [0, R − ε]. В силу произвольности ε ∈ (0, R − r)
f = 0 в BR.
Лемма 5 доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 1. Из условия, леммы 1 и формулы (2) следует, что
fk ∈ V∞r,M (BR) и fk = 0 в Br при любом k ∈ Z.
Докажем индукцией по k, что fk = 0 в BR. При k = 0 утверждение следует из леммы 5.
Предположим, что утверждение верно при некотором k ∈ Z. Установим его для k+ 1 и k−1.
Используя лемму 3, делаем вывод, что (sin θ)−k−1
d
dθ
(
(sin θ)k+1fk+1(θ)
)
eikϕ ∈ V∞r,M (BR) и
(sin θ)k−1
d
dθ
(
(sin θ)1−kfk−1(θ)
)
eikϕ ∈ V∞r,M (BR). Отсюда, учитывая, что fk+1 и fk−1 равны
нулю в Br, заключаем, что эти функции нулевые и в BR. Таким образом, все fk = 0 в BR и,
значит, f = 0 в BR.
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЙОНА ДЛЯ ВЗВЕШЕННЫХ ШАРОВЫХ СРЕДНИХ НА СФЕРЕ 619
1. John F. Abhängigkeiten zwischen den Flächenintegralen einer stetigen Funktion // Math. Ann. – 1935. – 111, № 1. –
S. 541 – 559.
2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными
производными. – М.: Изд-во иностр. лит., 2011. – 156 с.
3. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003. – 454 p.
4. Smith J. D. Harmonic analisis of scalar and vector fields in Rn // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1972. – 72. –
P. 403 – 416.
5. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.
6. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
7. Любич Ю. И. К теореме единственности для функций, периодических в среднем // Зап. науч. сем. ЛОМИ. –
1978. – 81. – С. 166.
8. Каргаев П. П. О нулях функций, периодических в среднем // Мат. заметки. – 1985. – 37, № 3. – С. 322 – 225.
9. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. – М.: Мир, 1984. – 364 с.
10. Quinto E. T. Pompeiu transforms on geodesic spheres in real analytic manifolds // Isr. J. Math. – 1993. – 84. –
P. 353 – 363.
11. Зарайский Д. А. Уточнение к теореме единственности для решений уравнений свертки // Труды Ин-та прикл.
математики и механики НАН Украины. – 2006. – 12. – С. 69 – 75.
12. Волчков В. В. Теоремы единственности для решений уравнений свертки на симметрических пространствах //
Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 6. – С. 3 – 18.
13. Волчков В. В. Локальная теорема о двух радиусах на симметрических пространствах // Мат. сб. – 2007. – 198,
№ 11. – С. 21 – 46.
14. Волчков Вит. В. О функциях с нулевыми шаровыми средними на компактных двухточечно-однородных про-
странствах // Мат. сб. – 2007. – 198, № 4. – С. 21 – 46.
15. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg
group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
16. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. – М.: Мир, 1986.
– Т. 1. – 495 с.
17. Волчков В. В. Теоремы о среднем для одного класса полиномов // Сиб. мат. журн. – 1994. – 35, № 4. – С. 737 – 745.
18. Ungar P. Freak theorem about functions on a sphere // J. London Math. Soc. – 1954. – 29, № 1. – P. 100 – 103.
19. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие транcцендентные функции.– М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 296 с.
20. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991. – 576 c.
21. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – М.: Наука, 1986.
– 688 c.
Получено 26.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2445 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:35Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/ded01d9686d113d39daf97a7b130e364.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24452020-03-18T19:15:53Z Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere Аналог теоремы Йона для взвешенных шаровых средних на сфере Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. We study generalizations of the class of functions with zero integrals over the balls of fixed radius. An analog of the John uniqueness theorem is obtained for weighted spherical means on a sphere. Досліджуються узагальнення класу функцій з нульовими інтегралами по кулях фіксованого радiуса. Отримано аналог теореми единості Ф. Йона для зважених кульових середніх на сфері. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2445 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 5 (2013); 611–619 Український математичний журнал; Том 65 № 5 (2013); 611–619 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2445/1656 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2445/1657 Copyright (c) 2013 Volchkov V. V.; Savost’yanova I. M. |
| spellingShingle | Volchkov, V. V. Savost’yanova, I. M. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Волчков, Вит. В. Савостьянова, И. М. Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere |
| title | Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere |
| title_alt | Аналог теоремы Йона для взвешенных шаровых средних на сфере |
| title_full | Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere |
| title_fullStr | Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere |
| title_full_unstemmed | Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere |
| title_short | Analog of the John theorem for weighted spherical means on a sphere |
| title_sort | analog of the john theorem for weighted spherical means on a sphere |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2445 |
| work_keys_str_mv | AT volchkovvv analogofthejohntheoremforweightedsphericalmeansonasphere AT savostyanovaim analogofthejohntheoremforweightedsphericalmeansonasphere AT volčkovvitv analogofthejohntheoremforweightedsphericalmeansonasphere AT savostʹânovaim analogofthejohntheoremforweightedsphericalmeansonasphere AT volčkovvitv analogofthejohntheoremforweightedsphericalmeansonasphere AT savostʹânovaim analogofthejohntheoremforweightedsphericalmeansonasphere AT volchkovvv analogteoremyjonadlâvzvešennyhšarovyhsrednihnasfere AT savostyanovaim analogteoremyjonadlâvzvešennyhšarovyhsrednihnasfere AT volčkovvitv analogteoremyjonadlâvzvešennyhšarovyhsrednihnasfere AT savostʹânovaim analogteoremyjonadlâvzvešennyhšarovyhsrednihnasfere AT volčkovvitv analogteoremyjonadlâvzvešennyhšarovyhsrednihnasfere AT savostʹânovaim analogteoremyjonadlâvzvešennyhšarovyhsrednihnasfere |