Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical
We present a constructive description of monogenic functions that take values in a three-dimensional commutative harmonic algebra with one-dimensional radical by using analytic functions of complex variable. It is shown that monogenic functions have the Gâteaux derivatives of all orders.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2450 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508341747318784 |
|---|---|
| author | Plaksa, S. A. Pukhtaevich, R. P. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. |
| author_facet | Plaksa, S. A. Pukhtaevich, R. P. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. |
| author_sort | Plaksa, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:53Z |
| description | We present a constructive description of monogenic functions that take values in a three-dimensional commutative harmonic algebra with one-dimensional radical by using analytic functions of complex variable. It is shown that monogenic functions have the Gâteaux derivatives of all orders. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.96
С. А. Плакса, Р. П. Пухтаевич (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
С ОДНОМЕРНЫМ РАДИКАЛОМ
We present a constructive description of monogenic functions that take values in a three-dimensional commutative harmonic
algebra with one-dimensional radical by using analytic functions of a complex variable. It is proved that monogenic functions
have the Gâteaux derivatives of all orders.
Наведено конструктивний опис моногенних функцiй, що набувають значень у тривимiрнiй комутативнiй гармо-
нiчнiй алгебрi з одновимiрним радикалом, за допомогою аналiтичних функцiй комплексної змiнної. Доведено, що
моногеннi функцiї мають похiднi Гато усiх порядкiв.
Эффективность применения методов теории аналитических функций комплексной переменной
к исследованию плоских потенциальных полей побуждает математиков к развитию аналогич-
ных методов для пространственных полей.
В работах [1 – 7] рассмотрены некоторые коммутативные ассоциативные алгебры, в которых
существуют тройки линейно независимых элементов, удовлетворяющие условиям
e2
1 + e2
2 + e2
3 = 0, e2
k 6= 0 при k = 1, 2, 3 . (1)
Такие алгебры называют гармоническими (см. [1, 4, 6]).
В работе [1] показано, что каждая функция Φ(ζ), представимая в виде ряда по степеням
переменной ζ := xe1 + ye2 + ze3 с действительными x, y, z, вследствие равенства (1) удовле-
творяет равенствам (
∂2
∂x2 +
∂2
∂y2 +
∂2
∂z2
)
Φ(ζ) = Φ′′(ζ) (e2
1 + e2
2 + e2
3) = 0 (2)
(здесь Φ′′(ζ) — результат формального двойного дифференцирования упомянутого ряда), а
следовательно, и трехмерному уравнению Лапласа.
В работе [2] развит метод формального конструирования решений трехмерного уравне-
ния Лапласа с использованием степенных рядов в любой гармонической алгебре над полем
комплексных чисел.
В работе [3] показано, что для каждой дважды дифференцируемой по Гато функции Φ(ζ)
выполняются равенства (2), в которых Φ′′(ζ) — производная Гато второго порядка, и доказано,
что трехмерные гармонические алгебры с единицей существуют только над полем комплексных
чисел. В работе [4] найдены все трехмерные гармонические алгебры с единицей, а в моногра-
фии [6] описаны все гармонические базисы {e1, e2, e3} в них, удовлетворяющие условиям (1).
В работе [7] рассмотрены моногенные (т. е. непрерывные и дифференцируемые по Гато
функции) в одной из гармонических алгебр, а именно: в трехмерной гармонической алгебре
A3 с двумерным радикалом. При этом, опираясь на разложение алгебры моногенных функций в
прямую сумму алгебры главных продолжений аналитических функций комплексной перемен-
ной и алгебры моногенных функций, принимающих значения в максимальном идеале алгебры
c© С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ, 2013
670 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 671
A3 (см. также [8, 9]), получено конструктивное описание всех моногенных функций с помо-
щью аналитических функций комплексной переменной и, как следствие, доказана бесконечная
дифференцируемость по Гато всех моногенных функций.
Ниже рассматриваются моногенные функции в трехмерной гармонической алгебре A2 с од-
номерным радикалом, устанавливается их конструктивное описание с помощью аналитических
функций комплексной переменной и бесконечная дифференцируемость по Гато. Отметим, что в
отличие от случаев, изученных в работах [7 – 9], главные продолжения аналитических функций
комплексной переменной, вообще говоря, не определены в той области, где рассматриваются
заданные моногенные функции.
1. Предварительные сведения. Рассмотрим коммутативную ассоциативную алгебру A2
над полем комплексных чисел C с базисом {I1, I2, ρ}, для элементов которого выполняются
правила умножения:
I1
2 = I1, I2
2 = I2, I1I2 = ρ2 = I1ρ = 0, I2ρ = ρ, (3)
при этом единица алгебры представляется в виде 1 = I1 + I2.
В теореме 1.8 из [6] показано, что в алгебреA2 гармоническими являются базисы {e1, e2, e3},
разложения которых по базису {I1, I2, ρ} имеют вид
e1 = I1 + I2,
e2 = n1I1 + n2I2 + n3ρ,
e3 = m1I1 +m2I2 +m3ρ,
(4)
где nk,mk при k = 1, 2, 3 — комплексные числа, удовлетворяющие системе
1 + n2
1 +m2
1 = 0,
1 + n2
2 +m2
2 = 0,
n2n3 +m2m3 = 0,
m3(n2 − n1) + n3(m1 −m2) 6= 0,
(5)
и хотя бы одно из чисел в каждой из пар (n1, n2), (m1,m2) отлично от нуля. При этом умноже-
нием элементов гармонических базисов вида (4) на произвольные обратимые элементы алгебры
могут быть получены все гармонические базисы в алгебре A2 (см. [6, c. 35]).
Алгебра A2 содержит два максимальных идеала I1 := {α1I2 + α2ρ : α1, α2 ∈ C}, I2 :=
:= {β1I1 + β2ρ : β1, β2 ∈ C}, пересечением которых является одномерный радикал {γρ : γ ∈
∈ C} .
Определим два линейных функционала f1 : A2 → C и f2 : A2 → C, положив
f1(I1) = 1, f1(I2) = f1(ρ) = 0 (6)
и
f2(I2) = 1, f2(I1) = f2(ρ) = 0. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
672 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ
Ядрами функционалов f1 и f2 являются соответственно максимальные идеалы I1 и I2,
поэтому указанные функционалы являются непрерывными и мультипликативными (см. [10, c.
147]).
Выделим в алгебре A2 линейную оболочку E3 := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : x, y, z ∈ R} над
полем действительных чисел R, порожденную векторами гармонического базиса {e1, e2, e3}.
Области Ω трехмерного пространства R3 поставим в соответствие конгруэнтную область Ωζ :=
:= {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ Ω} в E3. Всюду в дальнейшем ζ := xe1 + ye2 + ze3 и x, y,
z ∈ R .
Непрерывная функция Φ : Ωζ → A2 называется моногенной в области Ωζ ⊂ E3, если
Φ дифференцируема по Гато в каждой точке этой области, т. е. если для каждого ζ ∈ Ωζ
существует элемент Φ′(ζ) алгебры A2 такой, что выполняется равенство
lim
ε→0+0
(Φ(ζ + εh)− Φ(ζ)) ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ E3. (8)
Φ′(ζ) называется производной Гато функции Φ в точке ζ.
Рассмотрим разложение функции Φ : Ωζ → A2 по базису {e1, e2, e3} :
Φ(ζ) = U1(x, y, z)e1 + U2(x, y, z)e2 + U3(x, y, z)e3 . (9)
В предположении, что функции Uk : Ω → C, k = 1, 2, 3, являются дифференцируемыми в
области Ω, т. е. во всех точках (x, y, z) ∈ Ω выполняются соотношения
Uk(x+ ∆x, y + ∆y, z + ∆z)− Uk(x, y, z) =
∂Uk(x, y, z)
∂x
∆x+
+
∂Uk(x, y, z)
∂y
∆y +
∂Uk(x, y, z)
∂z
∆z + o
(√
(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2
)
,
(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 → 0,
в теореме 1.3 из [6] установлены необходимые и достаточные условия моногенности функции
Φ (аналоги условий Коши – Римана), которые всюду в области Ωζ в свернутом виде выражаются
равенствами
∂Φ
∂y
=
∂Φ
∂x
e2,
∂Φ
∂z
=
∂Φ
∂x
e3. (10)
Ниже будет показано, что из моногенности функции Φ : Ωζ → A2 следует бесконечная
дифференцируемость компонент U1, U2, U3 разложения (9) в области Ω.
Из разложения резольвенты
(t− ζ)−1 =
1
t− x− n1y −m1z
I1 +
1
(t− x− n2y −m2z)
I2 +
y
(t− x− n2y −m2z)2
ρ, (11)
∀ t ∈ C : t 6= x+ n1y +m1z, t 6= x+ n2y +m2z,
следует, что точки (x, y, z) ∈ R3, соответствующие необратимым элементам ζ ∈ A2, лежат на
прямых
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 673
L1 : x+ yRen1 + zRem1 = 0, y Imn1 + z Imm1 = 0, (12)
L2 : x+ yRen2 + zRem2 = 0, y Imn2 + z Imm2 = 0 (13)
в трехмерном пространстве R3.
Прямые L1 и L2 имеют, по крайней мере, одну общую точку (0, 0, 0), но могут и совпадать.
Например, для гармонического базиса
e1 = 1,
e2 = i
√
2I1 − i
√
2I2 − iρ,
e3 = I1 + I2 +
√
2ρ
имеет место равенство L1 = L2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = 0, y = 0}.
2. Вспомогательные утверждения. Область Ω ⊂ R3 называют выпуклой в направлении
прямой L, если она содержит каждый отрезок, соединяющий две ее точки и параллельный
прямой L.
Лемма 1. Пусть область Ω ⊂ R3 является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2, а
функция Φ: Ωζ → A2 моногенна в области Ωζ . Если точки ζ1, ζ2 ∈ Ωζ такие, что ζ1 − ζ2 ∈
∈ {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ L1}, то
Φ(ζ1)− Φ(ζ2) ∈ I1. (14)
Если же точки ζ1, ζ2 ∈ Ωζ такие, что ζ1 − ζ2 ∈ {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ L2}, то
Φ(ζ1)− Φ(ζ2) ∈ I2. (15)
Соотношение (14) доказывается по схеме доказательства леммы 1 работы [7], в котором
вместо прямой L надо взять прямую L1, а вместо функционала f нужно использовать функци-
онал f1. Аналогично доказывается соотношение (15) с заменой L1 и f1 соответственно на L2
и f2.
Пусть область Ω является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2. Обозначим через D1
и D2 области в C, на которые область Ωζ отображается соответственно функционалами f1 и f2.
Введем в рассмотрение линейный оператор A1, который каждой моногенной функции
Φ: Ωζ → A2 ставит в соответствие аналитическую функцию F1 : D1 → C по формуле
F1(ξ1) := f1(Φ(ζ)) , (16)
где ξ1 := f1(ζ) = x+n1y+m1z и ζ ∈ Ωζ . Из леммы 1 следует, что значение F1(ξ1) не зависит
от выбора точки ζ, для которой f1(ζ) = ξ1 .
Введем также в рассмотрение линейный операторA2, который каждой моногенной функции
Φ: Ωζ → A2 ставит в соответствие аналитическую функцию F2 : D2 → C по формуле
F2(ξ2) := f2(Φ(ζ)) , (17)
где ξ2 := f2(ζ) = x+ n2y +m2z и ζ ∈ Ωζ . Из леммы 1 следует также, что значения F2(ξ2) не
зависят от выбора точки ζ, для которой f2(ζ) = ξ2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
674 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ
В работах [7 – 9] в некоторых конкретных коммутативных алгебрах построены в явном виде
подобно равенствам (16) и (17) операторы A, отображающие моногенные функции Φ со значе-
ниями в этих алгебрах на аналитические функции комплексной переменной. Далее, в указанных
работах использованы главные продолжения аналитических функций комплексной переменной
как обобщенно обратные кA операторыA(−1), удовлетворяющие равенствуAA(−1)A = A.При
этом было установлено, что для каждой моногенной функции Φ значения моногенной функции
Φ − A(−1)AΦ принадлежат некоторому максимальному идеалу I заданной алгебры. Наконец,
после описания всех моногенных функций со значениями в идеале I в работах [7, 9] получены
конструктивные описания всех моногенных функций Φ с помощью аналитических функций
комплексной переменной.
Отметим, что главные продолжения аналитических функций комплексной переменной в
определенную область линейной оболочки E3 ⊂ A2 построены в явном виде в теореме 1.9
из [6]. Однако, операторы, обобщенно обратные к операторам A1 и A2, не могут быть заданы с
помощью главных продолжений аналитических функций комплексной переменной, поскольку
эти продолжения, вообще говоря, не определены в области Ωζ , где рассматриваются заданные
моногенные функции Φ: Ωζ → A2.
Перейдем к построению операторов, обобщенно обратных к операторам A1 и A2.
Введем в рассмотрение оператор B1, который каждой аналитической функции F1 : D1 → C
ставит в соответствие функцию Φ1 : Ωζ → A2 по формуле
Φ1(ζ) := F1(ξ1)I1 ∀ ζ ∈ Ωζ , ξ1 = f1(ζ), (18)
и оператор B2, который каждой аналитической функции F2 : D2 → C ставит в соответствие
функцию Φ2 : Ωζ → A2 вида
Φ2(ζ) := F2(ξ2)I2 + (n3y +m3z)F
′
2(ξ2)ρ ∀ ζ ∈ Ωζ , ξ2 = f2(ζ). (19)
Лемма 2. Пусть область Ω является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2, а
F1 : D1 → C и F2 : D2 → C — аналитические функции, заданные соответственно в облас-
тях D1 и D2. Тогда (18) и (19) — моногенные функции в области Ωζ .
Доказательство. Покажем, что для функции (18) в области Ωζ выполняются условия (10),
которые при Φ = Φ1 с учетом соотношений (3), (4) принимают вид
∂F1(ξ1)
∂y
I1 = n1
∂F1(ξ1)
∂x
I1 ,
∂F1(ξ1)
∂z
I1 = m1
∂F1(ξ1)
∂x
I1 .
(20)
С этой целью выделим действительную и мнимую части выражения
ξ1 = (x+ yRen1 + zRem1) + i(y Imn1 + z Imm1) := τ1 + iη1 (21)
и запишем систему (20) в виде(
∂F1
∂τ1
Ren1 +
∂F1
∂η1
Imn1
)
I1 = n1
∂F1
∂τ1
I1 ,(
∂F1
∂τ1
Rem1 +
∂F1
∂η1
Imm1
)
I1 = m1
∂F1
∂τ1
I1 .
(22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 675
Теперь очевидно, что равенства (22) являются следствием классических условий Коши –
Римана для аналитической функции F1 : D1 → C, которые в свернутом виде выражаются
равенством
∂F1
∂η1
= i
∂F1
∂τ1
.
Следовательно, функция (18) является моногенной в области Ωζ .
Покажем также, что для функции (19) в области Ωζ выполняются условия (10), которые
при Φ = Φ2 с учетом соотношений (3), (4) принимают вид
∂F2(ξ2)
∂y
I2 +
(
n3F
′
2(ξ2) + (n3y +m3z)
∂F ′2(ξ2)
∂y
)
ρ =
= n2
∂F2(ξ2)
∂x
I2 +
(
n3
∂F2(ξ2)
∂x
+ n2(n3y +m3z)
∂F ′2(ξ2)
∂x
)
ρ ,
∂F2(ξ2)
∂z
I2 +
(
m3F
′
2(ξ2) + (n3y +m3z)
∂F ′2(ξ2)
∂z
)
ρ =
= m2
∂F2(ξ2)
∂x
I2 +
(
m3
∂F2(ξ2)
∂x
+m2(n3y +m3z)
∂F ′2(ξ2)
∂x
)
ρ .
(23)
Выделим действительную и мнимую части выражения
ξ2 = (x+ yRen2 + zRem2) + i(y Imn2 + z Imm2) := τ2 + iη2 (24)
и аналогично равенствам (20) установим, что следствием классических условий Коши – Римана
∂F2
∂η2
= i
∂F2
∂τ2
для аналитической функции F2 : D2 → C являются равенства
∂F2(ξ2)
∂y
= n2
∂F2(ξ2)
∂x
,
∂F2(ξ2)
∂z
= m2
∂F2(ξ2)
∂x
, (25)
а также равенства
∂F ′2(ξ2)
∂y
= n2
∂F ′2(ξ2)
∂x
,
∂F ′2(ξ2)
∂z
= m2
∂F ′2(ξ2)
∂x
. (26)
Кроме того, справедливо тождество
F ′2(ξ2) ≡ ∂F2(ξ2)
∂x
. (27)
Теперь очевидным следствием соотношений (25) – (27) являются равенства (23). Таким об-
разом, функция (19) является моногенной в области Ωζ .
Лемма доказана.
Из леммы 2 следует, что обобщенно обратные операторы к операторам A1 и A2 задаются
соответственно равенствами A(−1)
1 = B1 и A(−1)
2 = B2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
676 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ
Заметим, что главное продолжение функции F : D → C, аналитической в жордановой
области D ⊂ C, определено в области {ζ ∈ E3 : f1(ζ) ∈ D, f2(ζ) ∈ D} и представляется
суммой (ср. с [6, с. 37]):
1
2πi
∫
Γζ
F (t) (t− ζ)−1 dt = (B1F )(ζ) + (B2F )(ζ) ,
где замкнутая жорданова спрямляемая кривая Γζ лежит в области D и охватывает точки f1(ζ)
и f2(ζ).
3. Конструктивное описание моногенных функций в алгебре A2. Справедлив следу-
ющий аналог теоремы 1 из [7] (см. также теорему 2.4 из [6]) для моногенных функций
Φ: Ωζ → A2.
Теорема 1. Пусть область Ω является выпуклой в направлениях прямых L1 и L2. Тогда
каждая моногенная в области Ωζ функция Φ: Ωζ → A2 представляется в виде
Φ(ζ) = (B1A1Φ)(ζ) + Φ10(ζ) = (B2A2Φ)(ζ) + Φ20(ζ) ,
где Φ10 : Ωζ → I1 и Φ20 : Ωζ → I2 — некоторые моногенные в области Ωζ функции, принима-
ющие значения соответственно в идеалах I1 и I2.
Доказательство. Рассмотрим функцию Φ10 := Φ−B1A1Φ, которая в силу леммы 2 явля-
ется моногенной в области Ωζ . Учитывая равенства (16), (18) и (6), получаем
f1(Φ10(ζ)) = f1(Φ(ζ))− f1(B1A1Φ(ζ)) = F1(ξ)− F1(ξ) = 0,
т. е. Φ10(ζ) ∈ I1.
Аналогично устанавливается, что функция Φ20 := Φ − B2A2Φ является моногенной в
области Ωζ и Φ20(ζ) ∈ I2.
Теорема доказана.
В следующей теореме описаны все моногенные функции, принимающие значения в идеале
I1 алгебры A2, с помощью аналитических функций соответствующей комплексной переменной.
Теорема 2. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямой L2. Тогда каждая
моногенная функция Φ10 : Ωζ → I1 со значениями в идеале I1 представляется в виде
Φ10(ζ) = F11(ξ2) I2 +
(
F12(ξ2) + (n3y +m3z)F
′
11(ξ2)
)
ρ (28)
∀ ζ = xe1 + ye2 + ze3 ∈ Ωζ ,
где F11 : D2 → C, F12 : D2 → C — некоторые аналитические в области D2 функции и ξ2 :=
:= x+ n2y +m2z.
Доказательство. Поскольку Φ10 принимает значения в идеале I1, справедливо равенство
Φ10(ζ) = V1(x, y, z) I2 + V2(x, y, z) ρ , (29)
где Vk : Ω→ C при k = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 677
Из моногенности функции Φ10 в области Ωζ следует существование частных производных
∂Φ10
∂x
,
∂Φ10
∂y
,
∂Φ10
∂z
, удовлетворяющих условиям (10) при Φ = Φ10. Подставляя в них выра-
жения (4), (29), а также учитывая однозначность разложения элементов алгебры A2 по базису
{I1, I2, ρ}, получаем систему уравнений для нахождения функций V1, V2:
∂V1
∂y
= n2
∂V1
∂x
,
∂V2
∂y
= n2
∂V2
∂x
+ n3
∂V1
∂x
,
∂V1
∂z
= m2
∂V1
∂x
,
∂V2
∂z
= m2
∂V2
∂x
+m3
∂V1
∂x
.
(30)
Используя соотношение (24) и тот факт, что Imn2 и Imm2 одновременно не могут быть
равными нулю для гармонического базиса (4), из первого и третьего уравнений системы (30)
получаем равенство
∂V1
∂η2
= i
∂V2
∂τ2
. (31)
Теперь так же, как и при доказательстве теоремы 2 из [7], с использованием теоремы 6 из
[11] доказывается равенство V1(x1, y1, z1) = V1(x2, y2, z2) для точек (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ Ω
таких, что отрезок, соединяющий эти точки, параллелен прямой L2. Из указанного равенства
и равенства (31) следует, что функция V1(x, y, z) := F11(ξ2), где F11 — произвольная аналити-
ческая в области D2 функция, является общим решением системы
∂V1
∂y
− n2
∂V1
∂x
= 0 ,
∂V1
∂z
−m2
∂V1
∂x
= 0 ,
(32)
состоящей из первого и третьего уравнений системы (30).
Далее, из второго и четвертого уравнений системы (30) для нахождения функции V2(x, y, z)
получаем систему уравнений
∂V2
∂y
− n2
∂V2
∂x
= n3
∂F11
∂x
,
∂V2
∂z
−m2
∂V2
∂x
= m3
∂F11
∂x
.
(33)
Ее частным решением является функция
v2(x, y, z) := (n3y +m3z)F
′
11(ξ2) .
Следовательно, общее решение системы (33) представляется как сумма ее частного решения
и общего решения соответствующей однородной системы, аналогичной системе (32), в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
678 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ
V2(x, y, z) = F12(ξ2) + (n3y +m3z)F
′
11(ξ2),
где F12 — произвольная аналитическая в области D2 функция.
Теорема доказана.
В следующей теореме описаны все моногенные функции, принимающие значения в идеале
I2 алгебры A2, с помощью аналитических функций соответствующей комплексной переменной.
Теорема 3. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямых L1 и L2. Тогда
каждая моногенная функция Φ20 : Ωζ → I2 со значениями в идеале I2 представляется в виде
Φ20(ζ) = F21(ξ1) I1 + F22(ξ2)ρ ∀ ζ = xe1 + ye2 + ze3 ∈ Ωζ , (34)
где F21 : D1 → C, F22 : D2 → C — некоторые функции, аналитические соответственно в
областях D1, D2, и ξ1 := x+ n1y +m1z, ξ2 := x+ n2y +m2z.
Доказательство. Функция Φ20, принимающая значения в идеале I2, представляется в виде
Φ20(ζ) = W1(x, y, z) I1 +W2(x, y, z) ρ , (35)
где Wk : Ω→ C при k = 1, 2.
Из моногенности функции Φ20 в области Ωζ следует существование частных производных
∂Φ20
∂x
,
∂Φ20
∂y
,
∂Φ20
∂z
, удовлетворяющих условиям (10) при Φ = Φ20. Подставляя в них выра-
жения (4), (35), а также учитывая однозначность разложения элементов алгебры A2 по базису
{I1, I2, ρ}, получаем систему уравнений для нахождения функций W1, W2 :
∂W1
∂y
= n1
∂W1
∂x
,
∂W2
∂y
= n2
∂W2
∂x
,
∂W1
∂z
= m1
∂W1
∂x
,
∂W2
∂z
= m2
∂W2
∂x
.
Таким же способом, как при доказательстве теоремы 2 найдена функция V1, получаем
W2(x, y, z) := F22(ξ2), где F22 — произвольная аналитическая в области D2 функция. Ана-
логично устанавливаем, что W1(x, y, z) := F21(ξ1), где F21 — произвольная аналитическая в
области D1 функция.
Теорема доказана.
Из теоремы 1 и равенств (18), (19), (28), (34) следует, что в случае, когда область Ω яв-
ляется выпуклой в направлении прямых L1 и L2, каждая моногенная функция Φ: Ωζ → A2
представляется равенствами
Φ(ζ) = F1(ξ1)I1 + F11(ξ2) I2 +
(
F12(ξ2) + (n3y +m3z)F
′
11(ξ2)
)
ρ , (36)
Φ(ζ) = F21(ξ1) I1 + F2(ξ2)I2 +
(
(n3y +m3z)F
′
2(ξ2) + F22(ξ2)
)
ρ . (37)
Из равенств (36), (37) и единственности разложения элементов алгебры A2 по базису
{I1, I2, ρ} следуют равенства
F1(ξ1) = F21(ξ1) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
КОНСТРУКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 679
F2(ξ2) = F11(ξ2) ,
F12(ξ2) = F22(ξ2) .
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямых L1 и L2. Тогда
каждая моногенная функция Φ: Ωζ → A2 представляется в виде
Φ(ζ) = F1(ξ1) I1 + F2(ξ2)I2 +
(
(n3y +m3z)F
′
2(ξ2) + F0(ξ2)
)
ρ (38)
∀ ζ = xe1 + ye2 + ze3 ∈ Ωζ ,
где F1 — некоторая аналитическая в областиD1 функция, F0 и F2 — некоторые аналитические
в области D2 функции, ξ1 := x+ n1y +m1z и ξ2 := x+ n2y +m2z.
Отметим, что равенство (38) указывает способ явного построения любой из моногенных
функций Φ: Ωζ → A2 с помощью трех соответствующих аналитических функций комплексной
переменной.
Следующее утверждение вытекает непосредственно из равенства (38), правая часть кото-
рого является моногенной функцией в области Xζ := {ζ ∈ E3 : f1(ζ) ∈ D1, f2(ζ) ∈ D2}.
Теорема 5. Пусть область Ω является выпуклой в направлении прямых L1 и L2, а функ-
ция Φ: Ωζ → A2 моногенна в области Ωζ . Тогда Φ продолжается до функции, моногенной в
области Xζ .
Принципиальным следствием равенства (38) является также следующее утверждение, спра-
ведливое для произвольной области Ωζ .
Теорема 6. Пусть функция Φ: Ωζ → A2 моногенна в области Ωζ . Тогда производные
Гато всех порядков функции Φ являются моногенными функциями в области Ωζ .
Доказательство. Поскольку шар Θ с центром в произвольной точке (x0, y0, z0) ∈ Ω,
целиком содержащийся в области Ω, является выпуклой областью, в окрестности Θζ :=
:= {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ Θ} точки ζ0 = x0e1 + y0e2 + z0e3 справедливо разложе-
ние (38), компоненты которого — бесконечно дифференцируемые функции в области Θ. Поэто-
му и компоненты U1, U2, U3 разложения (9), являющиеся линейными комбинациями указанных
компонент разложения (38), также являются бесконечно дифференцируемыми функциями в
области Θ. Следовательно, производная Гато Φ′, удовлетворяющая в Θζ условиям вида (10),
является моногенной функцией и производные Гато всех порядков функции Φ также являются
моногенными функциями в Θζ .
Теорема доказана.
В силу теоремы 6 и соотношений (1) выполняются равенства (2), т. е. произвольная моно-
генная в области Ωζ функция Φ(ζ) удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа, а веще-
ственные и мнимые части компонент U1, U2, U3 разложения (9) образуют шестерку простран-
ственных гармонических функций в области Ω .
1. Ketchum P. W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30, № 4. –
P. 641 – 667.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
680 С. А. ПЛАКСА, Р. П. ПУХТАЕВИЧ
2. Kunz K. S. Application of an algebraic technique to the solution of Laplace’s equation in three dimensions // SIAM
J. Appl. Math. – 1971. – 21, № 3. – P. 425 – 441.
3. Мельниченко И. П. О представлении моногенными функциями гармонических отображений // Укр. мат. журн.
– 1975. – 27, № 5. – С. 606 – 613.
4. Мельниченко И. П. Алгебры функционально-инвариантных решений трехмерного уравнения Лапласа // Укр.
мат. журн. – 2003. – 55, № 9. – С. 1284 – 1290.
5. Плакса С. А. Условия Коши – Римана для пространственных гармонических функций // Зб. праць Iн-ту мате-
матики НАН України. – 2006. – 3, № 4. – C. 396 – 403.
6. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Коммутативные алгебры и пространственные потенциальные поля. – Киев:
Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 230 с.
7. Плакса С. А., Шпаковский В. С. Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре
третьего ранга // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – С. 1078 – 1091.
8. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Потенциальные поля с осевой симметрией и алгебры моногенных функций
векторного аргумента. III // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 2. – C. 228 – 243.
9. Грищук С. В., Плакса С. А. Моногенные функции в бигармонической алгебре // Укр. мат. журн. – 2009. – 61,
№ 12. – С. 1587 – 1596.
10. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 829 с.
11. Толстов Г. П. О криволинейном и повторном интеграле // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1950. – 35. – C. 3 – 101.
Получено 28.03.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2450 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:40Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/42/99fbe55d238996ea50c1755d105d3142.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24502020-03-18T19:15:53Z Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом Plaksa, S. A. Pukhtaevich, R. P. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. We present a constructive description of monogenic functions that take values in a three-dimensional commutative harmonic algebra with one-dimensional radical by using analytic functions of complex variable. It is shown that monogenic functions have the Gâteaux derivatives of all orders. Наведено конструктивний опис моногенних функцій, що набувають значень у тривимірній комутативній гармонічній алгебрі з одновимірним радикалом, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Доведено, що моногенні функції мають похідні Гато усіх порядків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2450 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 5 (2013); 670–680 Український математичний журнал; Том 65 № 5 (2013); 670–680 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2450/1666 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2450/1667 Copyright (c) 2013 Plaksa S. A.; Pukhtaevich R. P. |
| spellingShingle | Plaksa, S. A. Pukhtaevich, R. P. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаевич, Р. П. Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title | Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_alt | Конструктивное описание моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с одномерным радикалом |
| title_full | Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_fullStr | Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_full_unstemmed | Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_short | Constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_sort | constructive description of monogenic functions in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2450 |
| work_keys_str_mv | AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT pukhtaevichrp constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT puhtaevičrp constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT puhtaevičrp constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom AT pukhtaevichrp konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom AT puhtaevičrp konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom AT puhtaevičrp konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkcijvtrehmernojgarmoničeskojalgebresodnomernymradikalom |