Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator
We study the spectral properties of linear combinations of the Volterra dissipative operator and its adjoint operator in a separable Hilbert space.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2453 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508343821402112 |
|---|---|
| author | Gubreev, G. M. Olefir, E. I. Tarasenko, A. A. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. |
| author_facet | Gubreev, G. M. Olefir, E. I. Tarasenko, A. A. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. |
| author_sort | Gubreev, G. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:53Z |
| description | We study the spectral properties of linear combinations of the Volterra dissipative operator and its adjoint operator in a separable Hilbert space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.518
Г. М. Губреев (Полтав. нац. техн. ун-т),
Е. И. Олефир (Одес. нац. пед. ун-т),
А. А. Тарасенко (Autonomus Univ. of Hidalgo State, Mexico)
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА
ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА И ЕГО СОПРЯЖЕННОГО
We study the spectral properties of linear combinations of a Volterra dissipative operator and its adjoint in a separable
Hilbert space.
У сепарабельному гiльбертовому просторi вивчаються спектральнi властивостi лiнiйних комбiнацiй вольтеррового
дисипативного оператора та спряженого з ним.
1. Пусть B — вольтерров оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве
H. Операторы ReB :=
1
2
(B + B∗), ImB :=
1
2i
(B − B∗) играют важную роль в спектральной
теории вольтерровых операторов (теоремы Мацаева о ReB, ImB [1], фундаментальная тео-
рема о плотности спектра ReB [2] и др.). Это наблюдение явилось побудительной причиной
для изучения свойств произвольных линейных комбинаций αB + βB∗, где B — вольтерров
диссипативный (т. е. ImB ≥ 0) оператор такой, что rank ImB = n < ∞. В данной работе
сформулированы критерии полноты корневых векторов и критерии безусловной базисности
собственных векторов таких операторов. При этом использованы результаты работ [3, 4].
Чтобы исключить из рассмотрения тривиальные случаи, будем предполагать, что α+ β 6= 0,
αβ 6= 0. При изучении оператора αB + βB∗ удобно перейти к новому параметру δ := β/α и
рассматривать пропорциональный оператор
Kδ :=
1
1 + δ
B +
δ
1 + δ
B∗, δ 6= −1, δ 6= 0. (1)
В дальнейшем предполагается, что KerB = {0}. Поскольку ImB ≥ 0, rank ImB = n,
существуют векторы ϕk такие, что
(i)−1(B −B∗)h =
n∑
k=1
(h, ϕk)ϕk, h ∈ H. (2)
Напомним, что характеристической функцией оператора B называется целая внутренняя в
области C+ := {z ∈ C, Im z > 0} матрица-функция Θ(z), элементы которой определяются
равенствами [5]
Θkj(z) = δkj + iz((I − zB)−1ϕj , ϕk), 1 ≤ j, k ≤ n. (3)
Отметим, что каждая целая внутренняя в C+ матрица-функция является характеристической
для некоторого вольтеррова оператора рассматриваемого класса [5].
Из формул (1), (2) легко следует равенство
c© Г. М. ГУБРЕЕВ, Е. И. ОЛЕФИР, А. А. ТАРАСЕНКО, 2013
706 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА . . . 707
(i)−1(Kδ −K∗δ )h =
1− |δ|2
|1− δ|2
n∑
k=1
(h, ϕk)ϕk, h ∈ H, (4)
и поэтому
(1− |δ|2) ImKδ ≥ 0, |δ| 6= 1.
Заметим также, что Kδ = K∗δ , если |δ| = 1. Поскольку Kδ вполне непрерывен, в дальней-
шем случай |δ| = 1 исключаем из рассмотрения как тривиальный. Нетрудно доказать, что при
условии |δ| 6= 1 оператор Kδ вполне несамосопряжен [5] (в частности, KerKδ = {0}). Напом-
ним, что фредгольмов спектр оператора определяется равенством F (Kδ) =
{
µ−1
k : µk ∈ σ(Kδ),
µk 6= 0
}
.
Теорема 1. Фредгольмов спектр произвольного оператора Kδ, |δ| 6= 1, вида (1) беско-
нечен и совпадает с множеством корней целой функции экспоненциального типа det(δE +
+ Θ−1(z)).
В самом деле, вычисляя фредгольмову резольвенту (I − zKδ)
−1, выводим, что F (Kδ)
совпадает с множеством корней функции det Φ(z), где
Φ(z) =
1
1 + δ
(δE + Θ−1(z)), Ekj = δkj , 1 ≤ k, j ≤ n. (5)
Если предположить, что F (Kδ) конечен (пуст), то с учетом равенства [5] det Θ(z) = eiaz,
a > 0, приходим к формуле det(δΘ(z) + E) = ρ(z)eczeidz, где c, d ∈ R, ρ — некоторый
полином. Пусть для определенности |δ| < 1. Поскольку ‖Θ(z)‖ ≤ 1, z ∈ C+, в предыдущем
равенстве ρ(z) ≡ const, c = 0, d > 0. Действительно, d = 0, так как функция det(δΘ(z) + E)
внешняя в C+ [6]. Теперь воспользуемся формулой дифференцирования [1]
Sp
(
(δΘ(z) + E)δΘ′(z)
)
=
d
dz
log det(δΘ(z) + E) ≡ 0,
откуда при z = 0 заключаем, что Sp Θ′(0) = 0.Последнее невозможно, поскольку из (3) следует,
что SpΘ′(0) = i
∑n
k=1
‖ϕk‖2.
Рассмотрим задачу о полноте семейства корневых подпространств оператора Kδ. Легко
видеть, что
Kδh = B∗h+
i
1 + δ
n∑
k=1
(h, ϕk)ϕk, h ∈ H.
Из свойств оператора B следует, что Kδ является w-возмущением ранга n вольтеррова опе-
ратора B∗, которому соответствуют тривиальный матричный вес Макенхаупта w2(x) ≡ E и
целая внутренняя функция Θ(z). Соответствующие определения и доказательство этого факта
содержатся в [3]. Теперь из работы [4], посвященной изучению w-возмущений, следует, что
если выполняются два условия:
1) вес W 2(x) = Φ(x)Φ∗(x), x ∈ R, удовлетворяет матричному условию Макенхаупта, т. е.
sup
∆
‖(M(W−2))1/2(M(W 2))1/2‖ <∞, M(W±2) := |∆|−1
∫
∆
w±2(x)dx,
∆ — произвольный интервал, |∆| — его длина;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
708 Г. М. ГУБРЕЕВ, Е. И. ОЛЕФИР, А. А. ТАРАСЕНКО
2) lim sup
y→+∞
y−1 log | det Φ(iy)| = −iSp(Θ′(0)), lim sup
y→−∞
|y|−1 log |det Φ(iy)| = 0,
то семейство корневых подпространств оператора Kδ полно в пространстве H.
Из формулы (5) легко следует существование такой константы M, что ‖Φ(x)‖ ≤ M,
‖Φ−1(x)‖ ≤ M для всех x ∈ R. Это означает, что условие 1 всегда (|δ| 6= 1) выполняется.
Далее, из двух равенств условия 2 всегда имеет место одно из них (при |δ| < 1 справедливо
первое равенство, при |δ| > 1 — второе). Из теоремы Лившица [1] о полноте семейства корне-
вых подпространств диссипативного оператора следует, что условие 2 является необходимым
для полноты оператора Kδ. Таким образом, приходим к следующему результату.
Теорема 2. Пусть Kδ — произвольный оператор вида (1), Θ — характеристическая
матрица-функция оператора B. Для полноты семейства корневых подпространств операто-
ра Kδ необходимо и достаточно, чтобы
lim sup
y→+∞
y−1 log |det(δ̄E + Θ(iy))| = 0, (6)
если |δ| < 1, и
lim sup
y→+∞
y−1 log |det(δ−1E + Θ(iy))| = 0 (7)
в случае |δ| > 1.
Обозначим через {Θ} множество всех предельных значений матрицы-функции Θ(iy) при
y → +∞. Другими словами, если Θ∞ ∈ {Θ}, то существует последовательность yn → ∞
такая, что Θ∞ = limn→∞Θ(iyn). Легко видеть, что если равенство (6) не имеет места, то
число −δ̄ является общим собственным значением всех матриц Θ∞ ∈ {Θ}. Отметим, что
каждая матрица Θ∞ необратима, а параметр δ 6= 0. Поэтому может существовать не более чем
n−1 исключительных значений δ, для которых (6) не имеет места. В конце этой статьи приведен
пример, показывающий, что все указанные выше δ в самом деле могут быть исключительными
(т. е. равенство (6) для них не имеет места). Аналогично, равенство (7) может не выполняться
только для не более чем n− 1 значения параметра δ.
Следствие. Пусть rank ImB = n. Тогда существует не более n− 1 значения параметра
δ, для которых оператор Kδ может не иметь полную систему корневых подпространств.
Если существует предел limy→+∞Θ(iy), который является нильпотентной матрицей, то
множество исключительных значений δ пусто.
Приведем простую иллюстрацию к теореме 2. В пространстве L2(0, a) рассмотрим инте-
гральный оператор
(Kh)(x) =
a∫
0
k(x, t)h(t)dt, (8)
где
k(x, t) =
n∑
k=1
ϕk(x)ϕk(t), x ≥ t,
δ
n∑
k=1
ϕk(x)ϕk(t), x < t, δ 6= 0, 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА . . . 709
В этих формулах функции ϕk ∈ L2(0, a), 1 ≤ k ≤ n, линейно независимы. Назовем так
определенное ядро k(x, t) полувырожденным. Из теоремы 2 следует, что оператор (8) имеет
полную систему корневых подпространств, за исключением, быть может, не более n− 1 значе-
ния δ. Не останавливаясь на этом подробно, отметим, что можно сформулировать условия на
полувырожденное ядро, при которых множество исключительных значений δ пусто.
2. Вычислим теперь характеристическую матрицу-функцию W оператора Kδ, которая
(с учетом (4)) определяется следующим образом [5]:
Wkj(z) := δkj + iz((I − zKδ)
−1ψj , ψk), ψk =
√
aϕk, a =
1− |δ|2
|1 + δ|2
.
Предполагая, что |δ| < 1, в результате несложных преобразований получаем формулу
W (z) =
1 + δ
1 + δ̄
(Θ(z) + δ̄E)(E + δΘ(z))−1.
С другой стороны, известно, что полнота корневых векторов оператора равносильна тому, что
его характеристическая функция является матричным произведением Бляшке – Потапова [7].
Поскольку при |δ| < 1 оператор Kδ диссипативен (см. (4)), матрица W (z) является произведе-
ние Бляшке – Потапова тогда и только тогда, когда detW (z) = αB(z), z ∈ C+, α — константа
(|α| = 1), B — скалярное произведение Бляшке [7]. Таким образом, имеет место следующий
результат.
Теорема 3. Пусть Θ — произвольная целая внутренняя в области C+ матрица-функция
порядка n. Тогда для всех δ (δ 6= 0, |δ| < 1), за исключением, быть может, не более n − 1
значения δ, дробно-линейное преобразование
Π(z) := (δ̄E + Θ(z))(E + δΘ(z))−1, z ∈ C+,
является дефинитным произведением Бляшке – Потапова.
Эта теорема (для целых внутренних функций) существенно уточняет описание исключи-
тельных значений в общих теоремах о дробно-линейных преобразованиях внутренних в C+
функций. Скалярный вариант теоремы (n = 1, Θ — произвольная внутренняя функция) доказан
Фростманом [6], матричная версия (Θ — произвольная матричная внутренняя функция) уста-
новлена Гинзбургом [8]. У обоих авторов о множестве исключительных значений δ известно
лишь то, что оно имеет логарифмическую емкость нуль.
Рассмотрим теперь задачу о безусловной базисности собственных векторов произвольного
оператора Kδ. Напомним, что Λ = {λk}+∞−∞ является множеством корней функции det Φ(z), где
Φ определяется формулой (5) (фредгольмов спектр Kδ). Отметим, что корневое подпростран-
ство, соответствующее собственному числу λ−1
k , состоит только из собственных векторов тогда
и только тогда, когда Φ−1(z) в точке z = λk имеет полюс 1-го порядка. Далее, размерность
собственного подпространства Nk вычисляется по формуле
dimNk = n− rank Φ(λk).
Применим теперь основной результат о базисности работы [4] к оператору Kδ. Для этого
необходимо предварительно получить внешне-внутренние факторизации вида [9]
Φ(z) = W−(z)V−(z), z ∈ C− := {z ∈ C, Im z < 0}, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
710 Г. М. ГУБРЕЕВ, Е. И. ОЛЕФИР, А. А. ТАРАСЕНКО
в случае |δ| < 1, а также
Φ(z)Θ(z) = W+(z)V+(z), z ∈ C+, (10)
если |δ| > 1. В этих формулахW+(W−) — внешняя в области C+(C−), а V+(V−) — внутренняя в
C+(C−) матрица-функция. Нахождение указанных факторизаций опирается на теорему 3. Дей-
ствительно, учитывая (5), теорему 3 и равенство (Θ∗(z̄))−1 = Θ(z) [5], для неисключительных
δ в области C+ получаем
Φ∗(z̄) = (1 + δ̄)−1(δ̄E + (Θ∗(z̄))−1) = (1 + δ̄)−1(δ̄E + Θ(z)) = Π(z)U(z),
U(z) := (1 + δ̄)−1(E + δΘ(z)),
где Π — произведение Бляшке – Потапова, U — внешняя в C+ матрица-функция. Отсюда следует,
что в области C− имеет место факторизация (9), в которой внешний множитель W−(z) :=
:= U∗(z̄), V−(z) := Π∗(z̄) — внутренняя матрица-функция. Аналогично, если |δ| > 1 и не
является исключительным, то имеет место факторизация (10), в которой
W+(z) = (1 + δ)−1(E + (δ̄)−1Θ(z)), V+(z) = Π(z), z ∈ C+.
Предположим, что
rank Φ(λk) = n− 1, λk ∈ Λ, (11)
т. е. все собственные подпространства одномерны. Обозначим также через ck, dk векторы из
Cn, которые удовлетворяют системам уравнений
Φ(λk)ck = 0, Φ∗(λk)dk = 0, λk ∈ Λ.
Напомним также, что Θ — характеристическая функция вольтеррова оператора B. Из работы
[4] выводится следующий результат.
Теорема 4. Пусть выполняется условие (11) и δ не является исключительным значением
для оператора Kδ. Тогда в случае |δ| < 1 система собственных векторов оператора Kδ
образует безусловный базис пространства H, если
inf
λk∈Λ
|Imλk| |(Θ′(λk)ck, dk)|
‖ck‖ ‖dk‖
> 0. (12)
Если |δ| > 1, то безусловная базисность собственных векторов вытекает из условия
inf
λk∈Λ
(Imλk) |(Θ′(λk)ck, dk)|
‖Θ−1(λk)ck‖ ‖dk‖
> 0. (13)
Обратно, если при некотором a > 0 элементы матрицы e−iazΘ(z) ограничены в C+, то
сформулированные условия являются необходимыми для безусловной базисности собственных
векторов оператора Kδ.
Напомним, что в случае |δ| = 1 собственные векторы оператора Kδ образуют ортогональ-
ный базис пространства H.
Проверка условий (12), (13) сопряжена с определенными техническими трудностями. Про-
верку этих условий можно упростить, если воспользоваться теоремой Никольского – Павлова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА . . . 711
[9] о сериях Карлесона. Заметим, что неравенства (12), (13) выполняются, если последователь-
ность Λ удовлетворяет условию Карлесона [6].
Пусть вектор-функция
ϕ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)),
n∑
k=1
|ϕk(t)|2 ≡ 1,
кусочно-постоянная на сегменте [0, a] с разрывами в точках tk = (ak)/m, k = 1, 2, . . . ,m− 1.
Обозначим через ϕk постоянный вектор такой, что ϕ(t) = ϕk, если t ∈ [tk−1, tk), 1 ≤ k ≤ m,
t0 = 0, tm = a. Рассмотрим теперь соответствующий интегральный оператор (8) с полу-
вырожденным ядром. Можно доказать, что этому оператору соответствует целая внутренняя
матрица-функция
Θ(z) = (E − ϕ∗1ϕ1 + ϕ∗1ϕ1e
(iza)/m)(E − ϕ∗2ϕ2 + ϕ∗2ϕ2e
(iza)/m) . . . (E − ϕ∗mϕm + ϕ∗mϕme
(iza)/m)
и поэтому Θ∞ является произведением матриц-ортопроекторов:
Θ∞ = (E − ϕ∗1ϕ1)(E − ϕ∗2ϕ2) . . . (E − ϕ∗mϕm).
Нетрудно видеть, что равенство (6) нарушается тогда и только тогда, когда −δ̄ является ненуле-
вым собственным числом матрицы Θ∞. Аналогично, условие (7) не имеет места тогда и только
тогда, когда −δ−1 — ненулевое собственное число Θ∞. Таким образом, если Θ∞ = 0, то мно-
жество исключительных значений δ пусто. Введем для краткости обозначения Ak = E−ϕ∗kϕk,
Bk = ϕ∗kϕk и рассмотрим многочлен
P (λ) = det(δE + (A1 + λB1)(A2 + λB2) . . . (Am + λBm)).
Теорема 5. Пусть K — интегральный оператор в пространстве L2(0, a) с полувырож-
денным кусочно-постоянным ядром, δ не является исключительным. Если многочлен P (λ)
имеет только простые корни, то семейство собственных подпространств оператора K об-
разует безусловный базис пространства L2(0, a).
Отметим, что в условиях теоремы фредгольмов спектр Λ оператора K удовлетворяет усло-
вию Карлесона. Теорема утверждает, что семейство собственных подпространств образует
базис, поскольку условие (11), вообще говоря, не имеет места.
1. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамоспряженных операторов в гильбертовом
пространстве. – М.: Наука, 1965.
2. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. –
М.: Наука, 1967.
3. Губреев Г. М., Латушкин Ю. Д. Функциональные модели несамосопряженных операторов, сильно непрерыв-
ные полугруппы и матричные веса Макенхаупта // Изв. РАН. Сер. мат. – 2011. – 75, № 2. – С. 69 – 126.
4. Губреев Г. М., Тарасенко А. А. Критерий безусловной базисности собственных векторов конечномерных
возмущений вольтерровых операторов // Функцион. анализ и его прил. – 2011. – 45, № 2. – С. 86 – 91.
5. Бродский М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. – М.: Наука, 1969.
6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984.
7. Бродский М. С„ Лившиц М. С. Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежуточные
системы // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, № 1. – C. 3 – 85.
8. Гинзбург Ю. П. О почти инвариантных спектральных свойствах сжатий и мультипликативных свойствах
аналитических оператор-функций // Функцион. анализ и его прил. – 1971. – 5, № 3. – С. 32 – 41.
9. Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. – М.: Наука, 1980.
Получено 03.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2453 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:42Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/66/1126e58eb9b9d557bd35b4115a041a66.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24532020-03-18T19:15:53Z Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного Gubreev, G. M. Olefir, E. I. Tarasenko, A. A. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. We study the spectral properties of linear combinations of the Volterra dissipative operator and its adjoint operator in a separable Hilbert space. У сепарабельному гільбертовому просторі вивчаються спектральні властивості лінійних комбінацій вольтеррового дисипативного оператора та спряженого з ним. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2453 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 5 (2013); 706–711 Український математичний журнал; Том 65 № 5 (2013); 706–711 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2453/1672 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2453/1673 Copyright (c) 2013 Gubreev G. M.; Olefir E. I.; Tarasenko A. A. |
| spellingShingle | Gubreev, G. M. Olefir, E. I. Tarasenko, A. A. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. Губреев, Г. М. Олефир, Е. И. Тарасенко, А. А. Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator |
| title | Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator |
| title_alt | Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного |
| title_full | Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator |
| title_fullStr | Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator |
| title_full_unstemmed | Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator |
| title_short | Linear Combinations of the Volterra Dissipative Operator and Its Adjoint Operator |
| title_sort | linear combinations of the volterra dissipative operator and its adjoint operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2453 |
| work_keys_str_mv | AT gubreevgm linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT olefirei linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT tarasenkoaa linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT gubreevgm linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT olefirei linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT tarasenkoaa linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT gubreevgm linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT olefirei linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT tarasenkoaa linearcombinationsofthevolterradissipativeoperatoranditsadjointoperator AT gubreevgm linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT olefirei linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT tarasenkoaa linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT gubreevgm linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT olefirei linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT tarasenkoaa linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT gubreevgm linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT olefirei linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT tarasenkoaa linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo |