Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion
The separation method is used obtain sufficient conditions for the solvability of the main (according to Galiullin’s classification) inverse problem in the class of first-order Itô stochastic differential systems with random perturbations from the class of Wiener processes and diffusion degenerate w...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2454 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508345288359936 |
|---|---|
| author | Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. |
| author_facet | Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. |
| author_sort | Ibraeva, G. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:53Z |
| description | The separation method is used obtain sufficient conditions for the solvability of the main (according to Galiullin’s classification) inverse problem in the class of first-order Itô stochastic differential systems with random perturbations from the class of Wiener processes and diffusion degenerate with respect to a part of variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.5:519.216
Г. Т. Ибраева, М. И. Тлеубергенов
(Ин-т математики М-ва образования и науки Республики Казахстан, Алматы)
ОБ ОСНОВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
С ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ДИФФУЗИЕЙ
Using the separation method, we obtain sufficient conditions for the solvability of the main (according to Galiullin’s
classification) inverse problem in the class of first-order Itô stochastic differential systems with random perturbations from
the class of Wiener processes and with diffusion degenerate in a part of variables.
Методом вiдокремлення отримано достатнi умови розв’язностi основної за класифiкацiєю А. С. Галiуллiна оберненої
задачi у класi стохастичних диференцiальних систем Iто першого порядку з випадковими збуреннями з класу
вiнерових процесiв i вироджуваною щодо частини змiнних дифузiєю.
Введение. Основы теории и общие методы решения обратных задач дифференциальных систем
разработаны в [1 – 3] для детерминированных систем, уравнения которых являются обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Так, в работе [1] построено множество ОДУ,
которые имеют заданную интегральную кривую. Эта работа впоследствии оказалась осново-
полагающей в становлении и развитии теории обратных задач динамики систем, описываемых
ОДУ. В работах [2, 3] изложены постановка, классификация обратных задач дифференциаль-
ных систем и их решение в классе ОДУ. Следует отметить, что один из общих методов решения
обратных задач динамики в классе ОДУ — метод квазиобращения, предложенный в работе [3],
позволяет получить необходимые и достаточные условия разрешимости. Наряду с указанным
методом там же предлагаются метод разделения и метод проектирования, дающие, вообще
говоря, лишь достаточные условия разрешимости обратных задач, полезные для конкретных
прикладных обратных задач.
Но повышение требований к точности и работоспособности материальных систем приво-
дит к ситуации, когда многие наблюдаемые явления уже не могут быть объяснены с позиции
детерминированных процессов. Это обстоятельство требует, в частности, привлечения вероят-
ностных законов для моделирования поведения реальных систем.
Поэтому важной представляется задача обобщения методов решения обратных задач диф-
ференциальных систем на класс стохастических дифференциальных уравнений [4, 5].
Стохастическими дифференциальными уравнениями типа Ито описываются многочислен-
ные и важные в приложении модели механических систем, учитывающие воздействие внешних
случайных сил: например, движение искусственного спутника Земли под действием сил тяготе-
ния и аэродинамических сил [6] или флуктуационный дрейф тяжелого гироскопа в кардановом
подвесе [7] и многие другие.
В работах [8 – 10] обратные задачи динамики рассматриваются при дополнительном предпо-
ложении о наличии случайных возмущений из класса винеровских процессов и, в частности,
методом квазиобращения решены: 1) основная обратная задача динамики — построение мно-
жества стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито, имеющих
заданное интегральное многообразие; 2) задача восстановления уравнений движения — по-
строение множества управляющих параметров, входящих в заданную систему стохастических
c© Г. Т. ИБРАЕВА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ, 2013
712 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ОБ ОСНОВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ . . . 713
дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито, по заданному интегральному много-
образию и 3) задача замыкания уравнений движения — построение множества замыкающих
стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито по заданной системе
уравнений и заданному интегральному многообразию.
1. Постановка задачи. Общая задача построения стохастических уравнений. Пусть
задано множество
Λ(t) : λ(y, z, t) = 0, где λ ∈ Rm, λ = λ(y, z, t) ∈ C121
yzt . (1)
Требуется построить уравнение движения в классе систем стохастических дифференциальных
уравнений Ито первого порядка вида
ẏ = f1(y, z, t),
ż = f2(y, z, t) + σ(y, z, t)ξ̇
(2)
так, чтобы множество (1) было интегральным многообразием системы уравнений (2). Здесь
y ∈ Rl, z ∈ Rp, l+p = n; ξ ∈ Rk, σ(y, z, t) — матрица размерности p×k,
{
ξ1(t, ω), ..., ξk(t, ω)
}
— система независимых винеровских процессов.
Будем говорить, что некоторая функция g(x, t) принадлежит классу K, g ∈ K, если g
непрерывна по t, t ∈ [0,∞], липшицева по x во всем пространстве x = (yT , zT )T ∈ Rn,
‖g(x, t)− g(x̃, t)‖ ≤ B‖x− x̃‖ (3′)
и удовлетворяет условию линейного роста по x
‖g(x, t)‖ ≤ B(1 + ‖x‖) (3′′)
с некоторой постоянной B.
Предполагается, что вектор-функции f1, f2 и (p×k)-матрица σ принадлежат классу K, что
обеспечивает в произвольной окрестности множества (1) существование и единственность с
точностью до стохастической эквивалентности решения
(
y(t)T , z(t)T
)T
системы уравнений (2)
с начальным условием
(
y(t0)
T , z(t0)
T
)T
= (yT0 , z
T
0 )T , являющегося непрерывным с вероятно-
стью 1 строго марковским процессом [4, с. 107].
Поставленная задача:
1) в случае отсутствия случайных возмущений (σ ≡ 0) достаточно полно исследована в
работах [2, 3];
2) обобщает рассмотренную в [8] задачу построения стохастических дифференциальных
уравнений Ито второго порядка
ẍ = f(x, ẋ, t) + σ(x, ẋ, t)ξ̇ (2′)
по заданному множеству
Λ(t) : λ(x, ẋ, t) = 0, где λ ∈ Rm, λ = λ(x, ẋ, t) ∈ C121
xẋt , (1′)
так, чтобы множество (1′) было интегральным многообразием уравнения (2′).
В данной работе основная обратная задача при наличии случайных возмущений — зада-
ча построения стохастического дифференциального уравнения первого порядка типа Ито по
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
714 Г. Т. ИБРАЕВА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
заданным свойствам движения — решается методом разделения. В терминах коэффициентов
получены достаточные условия существования заданного интегрального многообразия у по-
строенного множества уравнений.
Для решения поставленной задачи построения системы уравнений (2) по заданному инте-
гральному многообразию (1) по правилу Ито дифференцирования сложной функции [11, с. 201]
λ = λ(y, z, t) в случае винеровского процесса имеем
λ̇ =
∂λ
∂t
+
∂λ
∂y
f1 +
∂λ
∂z
f2 + S +
∂λ
∂z
σξ̇, (4)
где S =
1
2
∂2λ
∂z∂z
: σσT , а под
∂2λ
∂z∂z
: D, следуя [11], понимается вектор, элементами которо-
го являются следы произведений матриц вторых производных соответствующих элементов
λµ(y, z, t) вектора λ(y, z, t) по компонентам z на матрицу D
∂2λ
∂z∂z
: D =
tr
(
∂2λ1
∂z∂z
D
)
...
tr
(
∂2λm
∂z∂z
D
)
,
и вводятся произвольные типа Н. П. Еругина [1] m-мерная вектор-функция и (m× k)-матри-
ца В, имеющие свойство A(0, y, z, t) ≡ 0, B(0, y, z, t) ≡ 0:
λ̇ = A(λ, y, z, t) +B(λ, y, z, t)ξ̇. (5)
Сравнивая уравнения (4) и (5), приходим к соотношениям
∂λ
∂t
+
∂λ
∂y
f1 +
∂λ
∂z
f2 + S = A,
∂λ
∂z
σ = B.
(6)
Следуя методу разделения [3, c.21], предварительно матрицы
∂λ
∂z
, σ и вектор-функцию f2
представим в виде
∂λ
∂z
= (G1, G2), σ =
(
σ′
σ′′
)
, f2 =
(
f ′2
f ′′2
)
,
где G1 — матрица размерности m×m, G2 — (m× (p−m))-матрица, σ′ — (m× k)-матрица, σ′′
— ((p−m)× k)-матрица, f ′2 — m-вектор, f ′′2 — (p−m)-вектор.
Тогда систему (6) можно представить в виде
G1f
′
2 +G2f
′′
2 = A−
(
∂λ
∂t
+
∂λ
∂y
f1 + S
)
,
G1σ
′ +G2σ
′′ = B.
(7)
Предположим, что det G1 6= 0, тогда решение данной системы (7) можно представить в
виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ОБ ОСНОВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ . . . 715
f ′2 = G−11
(
A−
(
∂λ
∂t
+
∂λ
∂y
f1 + S
)
−G2f
′′
2
)
, (8)
σ′ = G−11 (B −G2σ
′′). (9)
Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для того чтобы множество (1) было интегральным многообразием системы
дифференциальных уравнений (2), достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) квадратная подматрица G1 матрицы
∂λ
∂z
была невырожденной, det G1 6= 0;
2) при произвольно заданных f1, f ′′2 ∈ K первые m координат f ′2 вектора f2 имели вид (8);
3) при произвольно заданных σ′′ ∈ K подматрица σ′ матрицы σ имела вид (9).
2. Линейный случай стохастической общей задачи. По заданному линейному множеству
Λ(t) : λ ≡ G1(t)y +G2(t)z + l(t) = 0, λ ∈ Rm, y ∈ Rl, z ∈ Rp, (10)
требуется построить линейную по сносу стохастическую систему уравнений первого порядка
с вырожденной по части переменных диффузией вида
ẏ = Φ1(t)y + Ψ1(t)z + b1(t), ż = Φ2(t)y + Ψ2(t)z + b2(t) + T ξ̇, (11)
для которой множество (10) являлось бы интегральным многообразием, т. е. по заданным мат-
рицам G1(t), G2(t) и m-мерной функции l(t) определить матрицы Φ1(t), Φ2(t), Ψ1(t), Ψ2(t)
и вектор-функции b1(t) и b2(t), а также матрицу T (t) так, чтобы для построенной системы
уравнений (11) заданные свойства (10) были интегральным многообразием.
В рассматриваемой задаче уравнение возмущенного движения (4) имеет вид
λ̇ = Ġ1(t)y + Ġ2(t)z + l̇(t) +G1(t) [ Φ1(t)y + Ψ1(t)z + b1(t) ] +
+G2(t) [Φ2(t)y + Ψ2(t)z + b2(t)] +G2T ξ̇, (12)
а, с другой стороны, с помощью произвольной вектор-функции Еругина A = A1(t)λ и матри-
цы-функции B1(λ, y, z, t) со свойством B1(0, y, z, t) ≡ 0 имеем
λ̇ = A1λ+B1ξ̇. (13)
Из соотношений (12) и (13) следуют равенства
Ġ1(t)y + Ġ2(t)z + l̇(t) +G1(t)Φ1(t)y +G1(t)Ψ1(t)z +G1(t)b1(t)+
+G2(t)Φ2(t)y +G2(t)Ψ2(t)z +G2(t)b2(t) = A1 [G1(t)y +G2(t)z + l(t)],
G2(t)T (t) = B1,
которые преобразуются к виду
G2(t)Φ2(t) = A1G1(t)− Ġ1(t)−G1(t)Φ1(t), G2(t)Ψ2(t) = A1G2(t)− Ġ2(t)−G1(t)Ψ1(t),
(14)
G2(t)b2(t) = A1l(t)− l̇(t)−G1(t)b1(t), G2(t)T (t) = B1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
716 Г. Т. ИБРАЕВА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
Для применения метода разделения [3, с. 21] предварительно введем обозначения M1 =
= A1G1(t) − Ġ1(t) − G1(t)Φ1(t), M2 = A1G2(t) − Ġ2(t) − G1(t)Ψ1(t), M3 = A1l(t) − l̇(t) −
−G1(t)b1(t) и, далее, систему (14) представим в виде
G′2Ψ
′
2 +G
′′
2 Ψ′′2 = M1, G′2Ψ
′
2 +G
′′
2 Ψ′′2 = M2,
G′2b2(t)
′ +G
′′
2 b3(t)
′′ = M3, G′2T
′ +G
′′
2 T
′′ = B1,
(15)
где матрицы G2, Φ2, Ψ2, T и вектор-функция b2(t) разбиты на соответствующие подматрицы:
G2 = (G′2, G
′′
2), Φ2 =
(
Φ′2
Φ′′2
)
, Ψ2 =
(
Ψ′2
Ψ′′2
)
, T =
(
T ′
T ′′
)
, b2(t) =
(
b′2(t)
b′′2(t)
)
.
Здесь G′2 — (m × m)-матрица, G
′′
2 — (m × (p − m))-матрица, Φ′2 — (m × l)-матрица, Φ′′2 —
((p−m)× l)-матрица, Ψ′2 — (m×p)-матрица, Ψ′′2 — ((p−m)×p)-матрица, T ′ — (m×r)-матрица,
T ′′ — ((r −m)× r)-матрица, b′2(t) — m-вектор-функция, b′′2(t)− (p−m)-вектор-функция.
Предположим, что det G′2 6= 0, тогда из (15) следуют соотношения
Φ′2 = (G′2)
−1(M1 −G
′′
2 Φ′′2(t)), Ψ′2 = (G′2)
−1(M2 −G
′′
2 Ψ′′2),
b′2(t) = (G′2)
−1(M3 −G
′′
2 b
′′(t)), T ′ = (G′2)
−1(B1 −G
′′
2 T
′′).
(16)
Следовательно, имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы линейное множество (10) было интегральным многообразием
системы линейных по сносу дифференциальных уравнений (11), достаточно, чтобы выполня-
лись следующие условия:
1) квадратная подматрица G′2 прямоугольной матрицы G2 имела свойство detG′2 6= 0;
2) при произвольно заданных непрерывных матрицах Φ1, Φ′′2, Ψ1, Ψ′′2 T
′′ матрицы Φ′2, Ψ′2,
T ′ и первые m координат b′2 непрерывной вектор-функции b2 имели вид (16).
1. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную инте-
гральную кривую // Прикл. математика и механика. – 1952. – 10, вып. 6. – С. 659 – 670.
2. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики. – М., 1986. – 224 с.
3. Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Уравнения программных движений. – М., 1986. – 88 с.
4. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их пара-
метров. – М., 1969. – 368 с.
5. Samoilenko A. M., Stanzhytskyi O. Qualitative and asymptotic analysis of differential equations with random
perturbations // World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A. – 2011. – 78. – 312 p.
6. Сагиров П. Стохастические методы в динамике спутников // Механика: Период. сб. переводов иностр. статей. –
1974. – № 5(147). – С. 28–47; № 6(148). – С. 3 – 38.
7. Синицын И. Н. О флуктуациях гироскопа в кардановом подвесе //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. –
1976. – № 3. – С. 23 – 31.
8. Тлеубергенов М. И. Об обратной задаче динамики при наличии случайных возмущений //Изв. МН-АН РК. Сер.
физ.-мат. – 1998. – № 3. – С. 55 – 61.
9. Тлеубергенов М. И. Об обратной задаче восстановления стохастических дифференциальных систем //Диффе-
ренц. уравнения. – 2001. – 37, № 5. – С. 714 – 716.
10. Тлеубергенов М. И. Об обратной стохастической задаче замыкания //Докл. МН-АН РК. – 1999. – № 1. –
С. 53 – 60.
11. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. – М., 1990. –
632 с.
Получено 08.11.11,
после доработки — 06.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2454 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:44Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/75/e89d73f8400aec3a2666b3ffe034a875.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24542020-03-18T19:15:53Z Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion Об основной обратной задаче дифференциальных систем с вырождающейся диффузией Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. The separation method is used obtain sufficient conditions for the solvability of the main (according to Galiullin’s classification) inverse problem in the class of first-order Itô stochastic differential systems with random perturbations from the class of Wiener processes and diffusion degenerate with respect to a part of variables. Методом відокремлення отримано достатні умови розв'язності основної за класифікацією А. С. Галіулліна оберненої задачі у класі стохастичних диференціальних систем Іто першого порядку з випадковими збуреннями з класу вінерових процесів і вироджуваною щодо частини змінних дифузією. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2454 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 5 (2013); 712–716 Український математичний журнал; Том 65 № 5 (2013); 712–716 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2454/1674 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2454/1675 Copyright (c) 2013 Ibraeva G. T.; Tleubergenov M. I. |
| spellingShingle | Ibraeva, G. T. Tleubergenov, M. I. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Ибраева, Г. Т. Тлеубергенов, М. И. Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion |
| title | Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion |
| title_alt | Об основной обратной задаче дифференциальных систем
с вырождающейся диффузией |
| title_full | Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion |
| title_fullStr | Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion |
| title_full_unstemmed | Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion |
| title_short | Main Inverse Problem for Differential Systems With Degenerate Diffusion |
| title_sort | main inverse problem for differential systems with degenerate diffusion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2454 |
| work_keys_str_mv | AT ibraevagt maininverseproblemfordifferentialsystemswithdegeneratediffusion AT tleubergenovmi maininverseproblemfordifferentialsystemswithdegeneratediffusion AT ibraevagt maininverseproblemfordifferentialsystemswithdegeneratediffusion AT tleubergenovmi maininverseproblemfordifferentialsystemswithdegeneratediffusion AT ibraevagt maininverseproblemfordifferentialsystemswithdegeneratediffusion AT tleubergenovmi maininverseproblemfordifferentialsystemswithdegeneratediffusion AT ibraevagt obosnovnojobratnojzadačedifferencialʹnyhsistemsvyroždaûŝejsâdiffuziej AT tleubergenovmi obosnovnojobratnojzadačedifferencialʹnyhsistemsvyroždaûŝejsâdiffuziej AT ibraevagt obosnovnojobratnojzadačedifferencialʹnyhsistemsvyroždaûŝejsâdiffuziej AT tleubergenovmi obosnovnojobratnojzadačedifferencialʹnyhsistemsvyroždaûŝejsâdiffuziej AT ibraevagt obosnovnojobratnojzadačedifferencialʹnyhsistemsvyroždaûŝejsâdiffuziej AT tleubergenovmi obosnovnojobratnojzadačedifferencialʹnyhsistemsvyroždaûŝejsâdiffuziej |