Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class
We establish necessary and sufficient conditions for the retrieval, to within a shift, of a composition of three Poisson distributions and a uniform distribution on five or six elements of the group of Walsh functions according to the absolute values of their characteristic functions.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2455 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508345867173888 |
|---|---|
| author | Il’inskaya, I. P. Neguritsa, D. S. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. |
| author_facet | Il’inskaya, I. P. Neguritsa, D. S. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. |
| author_sort | Il’inskaya, I. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:53Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for the retrieval, to within a shift, of a composition of three Poisson distributions and a uniform distribution on five or six elements of the group of Walsh functions according to the absolute values of their characteristic functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
И. П. Ильинская, Д. С. Негурица (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
О ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕРАХ НА ГРУППЕ ФУНКЦИЙ УОЛША
С ТРИВИАЛЬНЫМ КЛАССОМ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
We establish necessary and sufficient conditions for the renewal, up to a shift, of a composition of three Poisson distributions
and the uniform distribution on five or six elements on the group of Walsh functions from the absolute values of their
characteristic functions.
Знайдено умови, необхiднi та достатнi для того, щоб композицiя трьох розподiлiв Пуассона та рiвномiрний розподiл
на п’яти або шести елементах на групi функцiй Уолша вiдновлювалися за модулем їх характеристичної функцiї з
точнiстю до зсуву.
1. Введение. Задача о том, какие вероятностные меры на Rn или, в более общем случае, на
локально компактной абелевой группе восстанавливаются по модулю своей характеристиче-
ской функции с точностью до сдвига и центральной симметрии, возникла в физике (см. [1]).
Пусть m1 и m2 — вероятностные меры на локально компактной абелевой группе X, m̂1 и m̂2
— их характеристические функции, заданные на группе характеров Y := X∗ группы X:
m̂i(y) =
∫
X
(x, y)mi(dx) ,
где (x, y) — значение характера y ∈ Y на элементе x группы X . Меры m1 и m2 назовем эквива-
лентными (m1 ∼ m2), если |m̂1(y)| ≡ |m̂2(y)|. Легко видеть, что любая мера m эквивалентна
свертке m ∗ δx этой меры с мерой δx, сосредоточенной в точке x ∈ X, и мере m, определяемой
равенством m(E) := m(−E) для любого борелевского множества E. Будем говорить, что мера
m имеет тривиальный класс эквивалентности, если выполняется импликация
m1 ∼ m =⇒ m1 = m ∗ δx или m1 = m ∗ δx
для некоторого x ∈ X. Построению классов мер на локально компактных абелевых группах,
имеющих тривиальный класс эквивалентности, посвящены работы [2 – 7]. Настоящая статья
продолжает исследования, начатые в работе [7]. Она посвящена построению классов мер с
тривиальным классом эквивалентности, заданных на группе функций Уолша, или, что то же
самое, на прямой сумме (Z/2Z)∞ счетного числа двухэлементных групп.
2. Основные определения. Обозначим через rk(t), k = 0, 1, 2, . . . , t ∈ [0, 1], классические
функции Радемахера (см. [8], § 1.1), определяемые равенством
rk(t) = sgn(sin(2k+1πt)) .
В точках разрыва функции rk(t) будем считать непрерывными справа. Функции Уолша wn(t),
n = 0, 1, 2, . . . , t ∈ [0, 1] (см. [8], гл. 1) — это всевозможные конечные произведения функций Ра-
демахера. Нумеруются функции Уолша следующим образом. Положим w0(t) ≡ 1. Представим
число n в двоичной записи:
n =
k∑
i=0
εi2
i , (1)
c© И. П. ИЛЬИНСКАЯ, Д. С. НЕГУРИЦА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 717
718 И. П. ИЛЬИНСКАЯ, Д. С. НЕГУРИЦА
где k = k(n) зависит от n, εk = 1, εi = 0 или 1 при i = 0, 1, 2, . . . , k − 1. Положим
wn(t) =
k∏
i=0
(ri(t))
εi = rk(t)
k−1∏
i=0
(ri(t))
εi . (2)
Ясно, что произведение двух функций Уолша является функцией Уолша. Функции Уолша об-
разуют ортонормированную систему на отрезке [0, 1] относительно меры Лебега. Обозначим
через W множество всех функций Уолша. Наделим W операцией поточечного умножения и
дискретной топологией. Множество W является топологической абелевой группой относи-
тельно введенной операции. Группа W изоморфна прямой сумме (Z/2Z)∞ счетного числа
двухэлементных групп. Изоморфизм (с учетом равенств (1) и (2)) устанавливается соотноше-
нием
wn → (ε0, ε1, ε2, . . . , εk, 0, 0, . . .) .
В [8] (§ 1.2) показано, что группой характеров группы W можно считать модифицирован-
ный отрезок [0, 1]∗, который отличается от обычного отрезка [0, 1] тем, что у него двоично-
рациональные точки m/2j раздвоены: левая точка (m/2j)− 0 соответствует конечному разло-
жению числа m/2j в двоичную дробь, а правая точка (m/2j)+0 — бесконечному разложению,
в котором, начиная с некоторого места, расположены единицы. Операция сложения чисел из
[0, 1]∗ вводится так, что соответствующие двоичные знаки чисел складываются по модулю два.
Функции Уолша wn(t) можно рассматривать теперь и как функции на [0, 1]∗, доопределив их в
точках (m/2j)− 0 по непрерывности слева.
Обозначим через M1(W ) сверточную полугруппу вероятностных мер на группе W. По-
скольку W — счетное множество, каждая вероятностная мера m ∈ M1(W ) задается набором
чисел {an}∞n=0, an > 0,
∑∞
n=0
an = 1. Характеристическая функция меры m имеет вид
m̂(t) =
∞∑
n=0
anwn(t) , t ∈ [0, 1]∗ .
Мультипликативную полугруппу характеристических функций мер изM1(W ) обозначим через
M̂1(W ). В работе [9] изучалась арифметика полугруппы M1(W ). В настоящей статье будут
получены условия, при которых некоторые классы мер из M1(W ) (или M1((Z/2Z)∞)) имеют
тривиальный класс эквивалентности. В действительности рассматриваемые нами меры можно
считать заданными не на группе (Z/2Z)∞, а на ее конечных подгруппах (Z/2Z)r.
Заметим, что каждый элемент группы W обратен самому себе. Поэтому приведенное в
первом пункте определение того, что мера m имеет тривиальный класс эквивалентности, фор-
мулируется следующим образом.
Определение 1. Мера m ∈ M1(W ) имеет тривиальный класс эквивалентности, если
выполняется импликация
m1 ∼ m =⇒ m1(E) = m(wsE) ∀E ⊂W
для некоторого s = 0, 1, 2, . . . .
В терминах характеристических функций это определение означает следующее.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
О ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕРАХ НА ГРУППЕ ФУНКЦИЙ УОЛША С ТРИВИАЛЬНЫМ КЛАССОМ . . . 719
Определение 2. Характеристическая функция m̂ ∈ M̂1(W ) имеет тривиальный класс
эквивалентности, если выполняется импликация
|m̂1(t)| = |m̂(t)| , m̂1 ∈ M̂1(W ) =⇒ m̂1(t) = ws(t) · m̂(t) , t ∈ [0, 1]∗ ,
для некоторого s = 0, 1, 2, . . . , т. е. не существует функций m̂1 ∈ M̂1(W ), отличных от
функций вида ws · m̂, удовлетворяющих равенству |m̂1(t)| = |m̂(t)|, t ∈ [0, 1]∗.
Заметим, что в определении 2 достаточно требовать, чтобы равенство |m̂1(t)| = |m̂(t)|
выполнялось для всех t ∈ [0, 1], за исключением двоично-рациональных точек. В силу непре-
рывности характеристической функции оно будет выполняться при всех t ∈ [0, 1]∗.
3. Основные результаты. В работе [7] были получены условия, необходимые и доста-
точные для того, чтобы распределение Пуассона, композиция двух распределений Пуассона и
композиция трех распределений Пуассона специального вида на группе W имели тривиаль-
ный класс эквивалентности. Сформулируем эти результаты. В следующих ниже теоремах мы
опускаем аргумент t ∈ [0, 1]∗ характеристических функций m̂.
Теорема A [7]. Распределение Пуассона с характеристической функцией
m̂ = exp{a(wi − 1)}, a > 0, i = 1, 2, . . . ,
имеет тривиальный класс эквивалентности.
Теорема B [7]. Композиция двух распределений Пуассона с характеристической функцией
m̂ = exp{a(wi − 1) + b(wj − 1)}, a, b > 0, i, j = 1, 2, . . . , i 6= j,
имеет тривиальный класс эквивалентности тогда и только тогда, когда
e−2a + e−2b + e−2(a+b) > 1 .
Теорема C [7]. Композиция трех распределений Пуассона с характеристической функ-
цией
m̂ = exp{a(wi − 1) + b(wj − 1) + c(wiwj − 1)},
a, b, c > 0, i, j = 1, 2, . . . , i 6= j,
имеет тривиальный класс эквивалентности тогда и только тогда, когда
e−2(a+b) + e−2(b+c) + e−2(c+a) > 1.
Кроме того, в работе [7] исследовался вопрос о тривиальности класса эквивалентности для
равномерного распределения на двух, трех и четырех точках.
Теорема D [7]. Равномерное распределение на двух и четырех точках имеет тривиальный
класс эквивалентности. Равномерное распределение на трех точках имеет нетривиальный
класс эквивалентности.
Отметим, что меры в теореме A можно считать заданными на группе Z/2Z, в теоремах B
и C — на группе (Z/2Z)2, в теореме D — на группах (Z/2Z)r, r = 1, 2, 3.
В настоящей статье указаны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы компози-
ция трех распределений Пуассона общего вида и равномерное распределение на пяти и шести
точках на группе W имели тривиальный класс эквивалентности.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
720 И. П. ИЛЬИНСКАЯ, Д. С. НЕГУРИЦА
Теорема 1. Композиция трех распределений Пуассона с характеристической функцией
m̂ = exp{a(wi − 1) + b(wj − 1) + c(wk − 1)}, (3)
a, b, c > 0, i, j, k = 1, 2, . . . , i 6= j, j 6= k, k 6= i, wiwj 6= wk,
имеет тривиальный класс эквивалентности тогда и только тогда, когда выполняется или
система неравенств
e−2a + e−2b + e−2(a+b) > 1 ,
e−2b + e−2c + e−2(b+c) > 1 ,
e−2a − e−2b + e−2c + e−2(a+b) + e−2(b+c) − e−2(c+a) + e−2(a+b+c) > 1 ,
(4)
или одна из двух систем, получающихся из данной циклической перестановкой переменных
a, b, c.
Следствие. Композиция трех распределений Пуассона с характеристической функцией
вида (3) при условии a = b = c имеет тривиальный класс эквивалентности тогда и только
тогда, когда выполняется неравенство
e−6a + e−4a + e−2a > 1 .
Замечание. Теорема A получается из теоремы 1 при b = c = 0, а теорема B — при c = 0.
Теорема 2. Равномерное распределение на пяти точках с характеристической функцией
m̂ = (1/5)(1 + wi + wj + wk + wl) ,
где i, j, k, l — попарно различные натуральные числа, имеет тривиальный класс эквивалент-
ности тогда и только тогда, когда
m̂ 6= (1/5)(1 + wi + wj + wk + wiwj) ,
т. е. когда никакая из функций wi, wj , wk, wl не равна произведению двух других.
Теорема 3. Равномерное распределение на шести точках с характеристической функ-
цией
m̂ = (1/6)(1 + wi + wj + wk + wl + wm) ,
где i, j, k, l, m — попарно различные натуральные числа, имеет тривиальный класс эквива-
лентности тогда и только тогда, когда
m̂ 6= (1/6)(1 + wi + wj + wk + wiwj + wiwk) ,
т. е. когда никакие две функции из wi, wj , wk, wl, wm не равны попарным произведениям
остальных функций.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
О ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕРАХ НА ГРУППЕ ФУНКЦИЙ УОЛША С ТРИВИАЛЬНЫМ КЛАССОМ . . . 721
Меры в теореме 1 можно считать заданными на группе (Z/2Z)3, в теоремах 2 и 3 — на
группах (Z/2Z)4 и (Z/2Z)5 соответственно.
Опишем кратко схему доказательства теоремы 1. Функцию вида (3) можно записать в виде
m̂ = α1 + α2wi + α3wj + α4wk + α5wiwj + α6wiwk + α7wjwk + α8wiwjwk , (5)
где параметры αu > 0 зависят от a, b, c,
∑8
u=1
αu = 1. Если функция m̂1 ∈ M̂1(W ) удовле-
творяет условию
|m̂1| = |m̂| , (6)
то m̂1 имеет вид
m̂1 = ws(β1 + β2wi + β3wj + β4wk + β5wiwj + β6wiwk + β7wjwk + β8wiwjwk) ,
где βv > 0,
∑8
v=1
βv = 1, а i, j, k — те же, что и в (5). Поскольку функции Уолша принимают
только значения 1 и −1, рассмотрим равенство (6) в следующих восьми случаях: wi(t) = δ1,
wj(t) = δ2, wk(t) = δ3, где δ1, δ2, δ3 = ±1. При этом равенство (6) записывается в виде
27 = 128 систем из восьми линейных уравнений с восемью неизвестными βv и восемью пара-
метрами αu. Для решения этих систем была составлена компьютерная программа и получено
128 решений, зависящих от параметров αu. Далее был проведен скрупулезный и довольно
громоздкий анализ этих решений для выяснения вопроса, при каких условиях на a, b, c каждая
конкретная система (или группа систем): а) не имеет решения, удовлетворяющего условиям
βv > 0, б) имеет тривиальное решение, т. е. такое, при котором m̂1 = ws · m̂, в) имеет нетри-
виальное решение. Объединение всех полученных результатов дало систему неравенств (4) и
системы, получающиеся из нее циклическими перестановками переменных a, b, c.
При доказательстве теорем 2 и 3 равенство (6) дает 215 и 231 систем из шестнадцати и трид-
цати двух линейных уравнений от шестнадцати и тридцати двух неизвестных соответственно.
Поскольку решения этих систем числовые, а не параметрические, вопрос о тривиальности
класса эквивалентности решается после проведения вычислений на компьютере значительно
легче, чем при доказательстве теоремы 1.
1. Rosenblatt J. Phase retrieval // Communs Math. Phys. – 1984. – 95. – P. 317 – 343.
2. Carnal H., Dozzi M. On a decomposition problem for multivariate probability measures // J. Multivar. Anal. – 1989.
– 31. – P. 165 – 177.
3. Carnal H., Fel’dman G.M. Phase retrieval for probability measures on abelian groups, I // J. Theor. Probab. – 1995.
– 8, № 3. – P. 717 – 725.
4. Carnal H., Fel’dman G.M. Phase retrieval for probability measures on abelian groups, II // J. Theor. Probab. – 1997.
– 10, № 4. – P. 1065 – 1074.
5. Карналь Г., Фельдман Г.М. Об одном свойстве целых характеристических функций конечного порядка с
вещественными нулями // Докл. АН. – 1999. – 366, № 2. – С. 162 – 163.
6. Carnal H., Feldman G.M. A stability property for probability measures on abelian groups // Statist. and Probab. Lett.
– 2000. – 49. – P. 39 – 44.
7. Ильинская И.П. Восстановление фазы для вероятностных мер на группе характеров группы Кантора – Уолша
// Доп. НАН України. – 2003. – № 8. – С. 11 – 14.
8. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. – М.: Наука, 1987. – 344 с.
9. Il’inskaya I. P. The arithmetic of a semigroup of series of Walsh functions // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. – 2000. –
P. 365 – 378.
Получено 14.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2455 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:44Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f7/986f2b8134de72967bf87dcd392d96f7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24552020-03-18T19:15:53Z Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class О вероятностных мерах на группе функций Уолша с тривиальным классом эквивалентности Il’inskaya, I. P. Neguritsa, D. S. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. We establish necessary and sufficient conditions for the retrieval, to within a shift, of a composition of three Poisson distributions and a uniform distribution on five or six elements of the group of Walsh functions according to the absolute values of their characteristic functions. Знайдено умови, необхідні та достатні для того, щоб композиція трьох розподілів Пуассона та рівномірний розподіл на п'яти або шести елементах на групі функцій Уолша відновлювалися за модулем їх характеристичної функції з точністю до зсуву. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2455 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 5 (2013); 717–721 Український математичний журнал; Том 65 № 5 (2013); 717–721 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2455/1676 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2455/1677 Copyright (c) 2013 Il’inskaya I. P.; Neguritsa D. S. |
| spellingShingle | Il’inskaya, I. P. Neguritsa, D. S. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. Ильинская, И. П. Негурица, Д. С. Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class |
| title | Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class |
| title_alt | О вероятностных мерах на группе функций Уолша с тривиальным классом эквивалентности |
| title_full | Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class |
| title_fullStr | Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class |
| title_full_unstemmed | Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class |
| title_short | Probability Measures on the Group of Walsh Functions With Trivial Equivalence Class |
| title_sort | probability measures on the group of walsh functions with trivial equivalence class |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2455 |
| work_keys_str_mv | AT ilinskayaip probabilitymeasuresonthegroupofwalshfunctionswithtrivialequivalenceclass AT neguritsads probabilitymeasuresonthegroupofwalshfunctionswithtrivialequivalenceclass AT ilʹinskaâip probabilitymeasuresonthegroupofwalshfunctionswithtrivialequivalenceclass AT neguricads probabilitymeasuresonthegroupofwalshfunctionswithtrivialequivalenceclass AT ilʹinskaâip probabilitymeasuresonthegroupofwalshfunctionswithtrivialequivalenceclass AT neguricads probabilitymeasuresonthegroupofwalshfunctionswithtrivialequivalenceclass AT ilinskayaip overoâtnostnyhmerahnagruppefunkcijuolšastrivialʹnymklassomékvivalentnosti AT neguritsads overoâtnostnyhmerahnagruppefunkcijuolšastrivialʹnymklassomékvivalentnosti AT ilʹinskaâip overoâtnostnyhmerahnagruppefunkcijuolšastrivialʹnymklassomékvivalentnosti AT neguricads overoâtnostnyhmerahnagruppefunkcijuolšastrivialʹnymklassomékvivalentnosti AT ilʹinskaâip overoâtnostnyhmerahnagruppefunkcijuolšastrivialʹnymklassomékvivalentnosti AT neguricads overoâtnostnyhmerahnagruppefunkcijuolšastrivialʹnymklassomékvivalentnosti |