Cross Topology and Lebesgue Triples
The cross topology γ on the product of topological spaces X and Y is the collection of all sets G ⊆ X × Y such that the intersections of G with every vertical line and every horizontal line are open subsets of the vertical and horizontal lines, respectively. For the spaces X and Y from a class of sp...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2456 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508347044724736 |
|---|---|
| author | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. |
| author_facet | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. |
| author_sort | Karlova, O. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:53Z |
| description | The cross topology γ on the product of topological spaces X and Y is the collection of all sets G ⊆ X × Y such that the intersections of G with every vertical line and every horizontal line are open subsets of the vertical and horizontal lines, respectively. For the spaces X and Y from a class of spaces containing all spaces \( {{\mathbb{R}}^n} \) , it is shown that there exists a separately continuous function f : X × Y → (X × Y, γ) which is not a pointwise limit of a sequence of continuous functions. We also prove that each separately continuous function is a pointwise limit of a sequence of continuous functions if it is defined on the product of a strongly zero-dimensional metrizable space and a topological space and takes values in an arbitrary topological space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
О. О. Карлова, В. В. Михайлюк (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ХРЕСТ-ТОПОЛОГIЯ I ТРIЙКИ ЛЕБЕҐА
The cross topology γ on the product of topological spaces X and Y is the collection of all sets G ⊆ X × Y such that the
intersection of G with every vertical line and every horizontal line is an open subset of the vertical line and the horizontal
line, respectively. For spaces X and Y from a certain class that includes all spaces Rn, we prove that there exists a
separately continuous function f : X×Y → (X×Y, γ) that is not a pointwise limit of a sequence of continuous functions.
We also prove that every separately continuous function is a pointwise limit of a sequence of continuous functions if it is
defined on the product of a strongly zero-dimensional metrizable space and a topological space and acts into a topological
space.
Крест-топологией γ на произведении топологических пространств X и Y называется совокупность всех множеств
G ⊆ X × Y , пересечение которых с каждой вертикалью и горизонталью является открытым подмножеством
вертикали или горизонтали соответственно. Для пространствX и Y из некоторого класса пространств, содержащего
все пространства Rn, доказано, что существует раздельно непрерывная функция f : X×Y → (X×Y, γ), которая не
является поточечным пределом последовательности непрерывных функций. Кроме того, установлено, что каждая
раздельно непрерывная функция, заданная на произведении сильно нульмерного метризуемого и топологического
пространств и принимающая значения в любом топологическом пространстве, является поточечным пределом
последовательности непрерывных функций.
1. Вступ. Нехай X , Y i Z — топологiчнi простори. Для вiдображення f : X × Y → Z i точки
(x, y) ∈ X × Y позначимо fx(y) = fy(x) = f(x, y). Вiдображення f : X × Y → Z називається
нарiзно неперервним, якщо fx : Y → Z i fy : X → Z — неперервнi вiдображення для всiх x ∈ X
та y ∈ Y . Якщо вiдображення f : X → Y є поточковою границею послiдовностi неперервних
вiдображень fn : X → Y , то f називається вiдображенням першого класу Бера.
У 1898 роцi А. Лебеґ [1] встановив, що при X = Y = R кожна нарiзно неперервна функцiя
f : X × Y → Z належить до першого класу Бера. Набiр топологiчних просторiв (X,Y, Z) з
такою властивiстю ми будемо називати трiйкою Лебеґа.
Результат Лебеґа узагальнювався багатьма математиками (див. [2 – 6] i наведену там бiблiо-
графiю). Зокрема, А. К. Каланча i В. К. Маслюченко [4] показали, що (R,R, Z) — трiйка Лебеґа,
якщо Z — топологiчний векторний простiр. Т. Банах [5] встановив, що набiр (R,R, Z) є трiй-
кою Лебеґа у випадку, коли Z — рiвномiрно зв’язний простiр. Iз [6] (теорема 3) випливає, що
для метризовного лiнiйно зв’язного i локально лiнiйно зв’язного простору Z трiйка (R,R, Z) є
лебеґiвською.
У зв’язку iз згаданими вище результатами В. К. Маслюченко поставив наступне питання.
Питання 1.1. Чи iснує топологiчний простiр Z такий, що (R,R, Z) не є трiйкою Лебеґа?
Тут буде дано позитивну вiдповiдь на це питання. Бiльше того, ми доведемо, що (X,Y, Z)
не є трiйкою Лебеґа для топологiчних просторiв X i Y з досить широкого класу, який, зокрема,
мiстить усi простори Rn, i простору Z = X×Y , надiленого хрест-топологiєю (див. означення в
пунктi 2). У другому i третьому пунктах даної статтi встановлено деякi допомiжнi властивостi
цiєї топологiї. Четвертий пункт мiстить доведення основного результату. В останньому пунктi
показано, що умови типу зв’язностi на простори X i Y в основному результатi є iстотними; при
цьому доведено, що набiр (X,Y, Z) є трiйкою Лебеґа у випадку, колиX — сильно нульвимiрний
метризовний простiр, а Y i Z — довiльнi топологiчнi простори.
c© О. О. КАРЛОВА, В. В. МИХАЙЛЮК, 2013
722 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ХРЕСТ-ТОПОЛОГIЯ I ТРIЙКИ ЛЕБЕҐА 723
2. Компактнi множини в хрест-топологiї. Нехай X i Y — топологiчнi простори. По-
значимо через γ сукупнiсть усiх таких пiдмножин A добутку X × Y , що для кожної точ-
ки (x, y) з A iснують такi околи U та V точок x i y у просторах X i Y вiдповiдно, що
({x} × V )
⋃
(U × {y}) ⊆ A. Система γ утворює деяку топологiю на множинi X × Y , яку ми
називаємо хрест-топологiєю. Простiр X × Y з такою топологiєю позначаємо (X × Y, γ).
Для точки p = (x, y) ∈ X×Y через cross(p) позначатимемо множину ({x}×Y )∪(X×{y}).
Для довiльної множини A ⊆ X × Y позначимо cross(A) =
⋃
p∈A
cross(p).
Твердження 2.1. Нехай X та Y — T1-простори i (pn)∞n=1 — послiдовнiсть точок pn =
= (xn, yn) ∈ X × Y такi, що xn 6= xm i yn 6= ym при n 6= m. Тодi множина P = {pn : n ∈ N}
є γ-дискретною.
Доведення. Оскiльки одноточковi множини у просторах X i Y замкненi, то множина P
є γ-замкненою, причому аналогiчнi мiркування показують, що кожна множина Q ⊆ P також
γ-замкнена. Таким чином, P — замкнений дискретний пiдпростiр простору (X × Y, γ).
Твердження 2.2. Нехай X та Y — T1-простори i K ⊆ X × Y — γ-компактна множина.
Тодi iснує скiнченна множина A ⊆ X × Y така, що K ⊆ cross(A).
Доведення. Припустимо, що K 6⊆ cross(A) для довiльної скiнченної множини A ⊆ X ×Y .
Вiзьмемо довiльну точку p1 ∈ K i iндукцiєю вiдносно n ∈ N побудуємо послiдовнiсть (pn)
∞
n=1
точок pn ∈ K таку, що pn+1 ∈ K\cross(Pn), де Pn = {pk : 1 ≤ k ≤ n} для кожного n ∈ N. Згiдно
з твердженням 2.1 множина P = {pn : n ∈ N} є нескiнченною γ-дискретною пiдмножиною K,
що суперечить γ-компактностi K.
Твердження 2.3. Нехай X та Y — T1-простори i A та B — дискретнi множини в X та
Y вiдповiдно. Тодi топологiя добутку i топологiя γ збiгаються на множинi C = cross(A×B).
Доведення. Зафiксуємо точку p = (x, y) ∈ C. Використовуючи дискретнiсть множин A i
B, виберемо околи U i V точок x i y у просторах X i Y вiдповiдно такi, що |U ∩ A| ≤ 1 i
|V ∩B| ≤ 1. Тодi C ∩ (U × V ) = C ∩ cross(c) для деякої точки c ∈ C. Тому топологiя добутку
i топологiя γ збiгаються на множинi C ∩ (U × V ).
Тепер безпосередньо з тверджень 2.2 i 2.3 випливає наступна характеризацiя γ-компактних
множин.
Твердження 2.4. Нехай X та Y — T1-простори i K ⊆ X × Y . Тодi множина K є
γ-компактною тодi i тiльки тодi, коли:
1) K є компактною;
2) K ⊆ cross(C) для деякої скiнченної множини C ⊆ X × Y.
3. Зв’язнi множини i хрест-вiдображення.
Твердження 3.1. Нехай X та Y — зв’язнi простори, A ⊆ X — щiльна в X множина,
B ⊆ Y — непорожня множина i C ⊆ X × Y такi, що cross(A × B) ⊆ C. Тодi множина C є
зв’язною.
Доведення. Нехай U i V — вiдкритi пiдмножини множини C такi, що C = U t V . Зi
зв’язностi просторiвX i Y випливає, що для кожного p ∈ A×B виконується умова cross(p) ⊆ U
або cross(p) ⊆ V . Оскiльки cross(p) ∩ cross(q) 6= ∅ для довiльних рiзних точок p, q ∈ X × Y ,
то cross(A × B) ⊆ U або cross(A × B) ⊆ V . Тепер, врахувавши, що множина cross(A × B)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
724 О. О. КАРЛОВА, В. В. МИХАЙЛЮК
щiльна в X × Y , а отже i в C, одержимо, що C ⊆ U або C ⊆ V . Таким чином, U = ∅ або
V = ∅ i C є зв’язною.
Наслiдок 3.1. Нехай X та Y — нескiнченнi зв’язнi T1-простори. Тодi доповнення до будь-
якої скiнченної пiдмножини добутку X × Y є зв’язною множиною.
Доведення. Нехай C ⊆ X×Y — скiнченна множина. Виберемо скiнченнi множини A ⊆ X
та B ⊆ Y такi, що C ⊆ A×B. Зауважимо, що множини A1 = X \A i B1 = Y \B щiльнi в X
i Y вiдповiдно i cross(A1 ×B1) ⊆ (X × Y ) \ C. Залишилось використати твердження 3.1.
Означення 3.1. Топологiчний простiр X називатимемо C1-простором (або простором
з властивiстю C1), якщо доповнення до будь-якої скiнченної пiдмножини цього простору має
скiнченну кiлькiсть компонент зв’язностi.
Зауважимо, що числова пряма R має властивiсть C1. Крiм того, добуток скiнченної кiлькостi
C1-просторiв також має властивiсть C1.
Нехай X , Y — топологiчнi простори i P ⊆ X × Y . Вiдображення f : P → X × Y називати-
мемо хрест-вiдображенням, якщо f(p) ⊆ cross(p) для кожного p ∈ P .
Лема 3.1. Нехай X та Y — хаусдорфовi простори, U ⊆ X, V ⊆ Y, f : U × V → X × Y
— неперервне хрест-вiдображення, A ⊆ X та B ⊆ Y — скiнченнi множини i виконуються
наступнi умови:
1) U, V — зв’язнi C1-простори;
2) f(U × V ) ⊆ cross(A×B).
Тодi f(U × V ) ⊆ {a} × Y для деякого a ∈ A або f(U × V ) ⊆ X × {b} для деякого b ∈ B.
Доведення. Якщо множини U i V скiнченнi, то згiдно з умовою 1 вони одноточковi i
твердження леми випливає з умови 2. Якщо множина U скiнченна (одноточкова), а V не-
скiнченна, то множина F = {z ∈ U × V : f(z) ∈ cross(A × B) \ (A × Y )} є скiнченною
вiдкрито-замкненою пiдмножиною U × V . Зi зв’язностi U × V випливає, що F = ∅. Тому
f(U × V ) ⊆ A × Y . Знову врахувавши зв’язнiсть добутку U × V i неперервнiсть функцiї f ,
одержимо, що f(U × V ) ⊆ {a} × Y для деякого a ∈ A.
Нехай тепер множини U i V нескiнченнi. Тодi з умови 1 випливає, що U i V не мають
iзольованих точок. Оскiльки множини A1 = A∩U i B1 = B ∩ V замкненi i нiде не щiльнi в U
i V вiдповiдно, то множина
C = (U × V ) ∩ cross(A×B) = (U × V ) ∩ cross(A1 ×B1)
замкнена i нiде не щiльна у просторi Z = U × V .
Нехай α : U×V → X , β : U×V → Y — такi неперервнi функцiї, що f(x, y) = (α(x, y), β(x, y))
для всiх (x, y) ∈ Z. Покладемо
Zα = {(x, y) ∈ Z : α(x, y) = x}, Zβ = {(x, y) ∈ Z : β(x, y) = y}.
Зауважимо, що множина
Pα = {z ∈ Zα : α(z) ∈ A} = Zα ∩ (A× Y ) = Zα ∩ (A1 × Y )
нiде не щiльна в Z. Тому множина Qα = {z ∈ Zα : α(z) 6∈ A} щiльна у множинi intZ(Zα),
де через intZ(D) позначено внутрiшнiсть множини D ⊆ Z у просторi Z, а через D — її
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ХРЕСТ-ТОПОЛОГIЯ I ТРIЙКИ ЛЕБЕҐА 725
замикання в цьому просторi. З умови 2 випливає, що множина Qα мiститься у замкненiй
множинi {z ∈ Z : β(z) ∈ B}. Отже,
intZ(Zα) ⊆ Qα ⊆ {z ∈ Z : β(z) ∈ B},
тобто f(intZ(Zα)) ⊆ X ×B. Аналогiчно f(intZ(Zβ)) ⊆ A× Y .
Оскiльки f — хрест-вiдображення, то Z = Zα ∪ Zβ , причому Zα i Zβ замкненi в Z. Покла-
демо
G = Z \ C.
Врахувавши, що множина C замкнена i нiде не щiльна в Z, одержимо, що G є вiдкритою i
щiльною в Z множиною. Згiдно з умовою 1 множини U \A i V \B мають скiнченну кiлькiсть
компонент зв’язностi, тому множина G = (U \A)× (V \B) має скiнченну кiлькiсть компонент
зв’язностi G1, . . . , Gk. Тодi G =
k⊔
i=1
Gi, причому множини Gi замкненi в G. Тому всi множини
Gi вiдкрито-замкненi в G, зокрема вiдкритi в Z. Зауважимо, що Zα ∩ Zβ = {z ∈ Z : f(z) =
= z} ⊆ f(Z) ⊆ cross(A×B). Отже, G ∩ Zα ∩ Zβ = ∅. Тодi Gi ⊆ (Zα ∩Gi) t (Zβ ∩Gi), тому
Gi ⊆ Zα або Gi ⊆ Zβ для кожного 1 ≤ i ≤ k. Покладемо
Iα = {1 ≤ i ≤ k : Gi ⊆ Zα}, Iβ = {1 ≤ i ≤ k : Gi ⊆ Zβ},
Uα =
⋃
i∈Iα
Gi, Uβ =
⋃
i∈Iβ
Gi.
Зауважимо, що
f(Uα) ⊆ f(intZ(Zα)) ⊆ X ×B, f(Uβ) ⊆ f(intZ(Zβ)) ⊆ A× Y.
Отже, для довiльної точки z = (x, y) ∈ Uα маємо α(x, y) = x i β(x, y) ∈ B. Аналогiчно
α(x, y) ∈ A i β(x, y) = y для довiльної точки z = (x, y) ∈ Uβ . Тому z = f(z) ∈ A × B для
довiльного z ∈ Uα ∩ Uβ . Отже, множина Z0 = Uα ∩ Uβ скiнченна.
Позначимо E = Uα \Z0 i D = Uβ \Z0. Оскiльки згiдно з твердженням 3.1 множина Z \Z0
зв’язна, непорожня i Z \ Z0 = E tD, то, врахувавши, що E ∩D = ∅ i E ∩D = ∅, одержимо,
що E = ∅ або D = ∅. Вважатимемо, що E = ∅. Тодi Uβ щiльна в Z i
f(Z) ⊆ f(Uβ) ⊆ A× Y.
Враховуючи зв’язнiсть добутку U × V , отримуємо, що множина f(U × V ) зв’язна, тому iснує
таке a ∈ A, що f(U × V ) ⊆ {a} × Y .
4. Основний результат.
Твердження 4.1. Нехай X та Y — T1-простори, z0 ∈ X × Y i (zn)∞n=1 — γ-збiжна до z0
послiдовнiсть точок zn = (xn, yn) ∈ X × Y . Тодi iснує m ∈ N таке, що zn ∈ cross(z0) для всiх
n ≥ m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
726 О. О. КАРЛОВА, В. В. МИХАЙЛЮК
Доведення. Припустимо, що це не так. Тодi iндукцiєю вiдносно k ∈ N легко побудувати
строго зростаючу послiдовнiсть номерiв nk ∈ N таку, що xni 6= xnj та yni 6= ynj для рiзних
i, j ∈ N i znk 6∈ cross(z0) для всiх k ∈ N. Тепер, з одного боку, послiдовнiсть (pk)
∞
k=1 точок
pk = znk збiгається до z0, а з iншого — множина G = (X × Y ) \ {pk : k ∈ N} є околом точки
z0, що призводить до суперечностi.
Твердження доведено.
Система A пiдмножин топологiчного простору X називається π-псевдобазою [8], якщо для
довiльної непорожньої вiдкритої в X множини U iснує множина A ∈ A така, що int(A) 6= ∅ i
A ⊆ U .
Теорема 4.1. Нехай X i Y — хаусдорфовi простори без iзольованих точок, якi мають
π-псевдобази, що складаються зi зв’язних компактних C1-множин, i f : X × Y → X × Y —
тотожне вiдображення. Тодi f 6∈ B1(X × Y, (X × Y, γ)).
Доведення. Мiркуючи вiд супротивного, припустимо, що iснує послiдовнiсть неперервних
функцiй fn : X×Y → (X×Y, γ) така, що fn(x, y)→ (x, y) в (X×Y, γ) для всiх (x, y) ∈ X×Y .
Зауважимо, що кожне вiдображення fn : X×Y → X×Y є неперервним. Тому для кожного
n ∈ N множина Pn = {p ∈ X × Y : fn(p) ∈ cross(p)} замкнена. Отже, для кожного n ∈ N
множина
Fn =
⋂
m≥n
Pm = {p ∈ X × Y : ∀m ≥ n fm(p) ∈ cross(p)}
також замкнена. Крiм того, згiдно з твердженням 4.1 маємо
X × Y =
∞⋃
n=1
Fn.
З умови теореми випливає, що простiр Z = X×Y має π-псевдобазу, що складається з ком-
пактних множин. Тому вiн мiстить вiдкритий скрiзь щiльний локально компактний пiдпростiр
i, зокрема, є берiвським. Виберемо номер n0 ∈ N i компактнi зв’язнi C1-множини U ⊆ X i
V ⊆ Y так, щоб U × V ⊆ Fn0 , U0 = int(U) 6= ∅ i V0 = int(V ) 6= ∅.
Позначимо W = U × V . Згiдно з твердженням 2.4 iснують такi послiдовностi скiнченних
множин An ⊆ X i Bn ⊆ Y , що fn(W ) ⊆ (An × Y ) ∪ (X × Bn) для кожного n ∈ N. Оскiльки
простори X i Y не мають iзольованих точок, то множини U0 i V0 нескiнченнi. Виберемо точки
p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2) ∈ U0×V0 такi, що p1 6∈ cross(p2). З хаусдорфовостi просторiв X i Y
випливає, що iснують околи U1 i U2 точок x1 i x2 в U0 та V1 i V2 точок y1 i y2 в V0 вiдповiдно
такi, що U1 ∩ U2 = V1 ∩ V2 = ∅. Тепер виберемо номер N ≥ n0 такий, що fN (p1) ∈ U1 × V1 i
fN (p2) ∈ U2 × V2.
Вiдображення fN |W є хрест-вiдображенням. Згiдно з лемою 3.1 маємо fN (W ) ⊆ {a} × Y
для деякого a ∈ A або fN (W ) ⊆ X × {b} для деякого b ∈ B. Нехай fN (W ) ⊆ {a} × Y для
деякого a ∈ X . Тодi (U1 × V1) ∩ ({a} × Y ) 6= ∅ i (U2 × V2) ∩ ({a} × Y ) 6= ∅, звiдки випливає,
що a ∈ U1 ∩ U2, а це не можливо.
Теорему доведено.
Наслiдок 4.1. Нехай n,m ≥ 1 i f : Rn ×Rm → Rn ×Rm — тотожне вiдображення. Тодi
f 6∈ B1(Rn × Rm, (Rn × Rm, γ)).
Наслiдок 4.2. Набiр (Rn,Rm, (Rn × Rm, γ)) не є трiйкою Лебеґа для всiх n,m ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ХРЕСТ-ТОПОЛОГIЯ I ТРIЙКИ ЛЕБЕҐА 727
5. Нарiзно неперервнi вiдображення на нульвимiрних просторах. Нагадаємо, що непо-
рожнiй топологiчний простiр X називається сильно нульвимiрним, якщо вiн цiлком регулярний
i в кожне скiнченне функцiонально вiдкрите покриття цього простору можна вписати скiнченне
диз’юнктне вiдкрите покриття [9, с. 529].
Теорема 5.1. Нехай X — сильно нульвимiрний метризовний простiр, Y i Z — топологiчнi
простори. Тодi (X,Y, Z) — трiйка Лебеґа.
Доведення. Нехай d — метрика на просторi X , яка породжує його топологiю. Для кожного
n ∈ N розглянемо вiдкрите покриття Bn простору X кулями дiаметра ≤ 1
n
. З [7] випливає,
що в кожне покриття Bn можна вписати локально скiнченне вiдкрито-замкнене покриття Un =
= (Uα,n : 0 ≤ α < βn). Для всiх n ∈ N покладемо V0,n = U0,n i Vα,n = Uα,n \
⋃
ξ<α
Uξ,n, якщо
α > 0. Тодi Vn = (Vα,n : 0 ≤ α < βn) — локально скiнченне диз’юнктне покриття простору X
вiдкрито-замкненими множинами Vα,n, вписане в Bn.
Нехай f : X × Y → Z — нарiзно неперервна функцiя. Для всiх n ∈ N та 0 ≤ α < βn
виберемо довiльну точку xα,n ∈ Vα,n. Розглянемо функцiї fn : X × Y → Z, визначенi таким
чином:
fn(x, y) = f(xα,n, y),
якщо x ∈ Vα,n i y ∈ Y . Зрозумiло, що для кожного n ∈ N функцiя fn неперервна за сукупнiстю
змiнних, адже функцiя f неперервна вiдносно другої змiнної. Покажемо, що fn(x, y)→ f(x, y)
наX×Y . Зафiксуємо точку (x, y) ∈ X×Y i виберемо послiдовнiсть (αn)∞n=1 таку, що x ∈ Vαn,n.
Оскiльки diamVαn,n → 0, то xαn,n → x. Враховуючи, що функцiя f неперервна вiдносно першої
змiнної, одержуємо
fn(x, y) = f(xαn,n, y)→ f(x, y).
Таким чином, f ∈ B1(X × Y,Z).
Теорему доведено.
1. Lebesgue H. Sur l’approximation des fonctions // Bull. Sci. Math. – 1898. – 22. – P. 278 – 287.
2. Hahn H. Reelle Funktionen.1 Teil. Punktfunktionen. – Leipzig: Acad. Verlagsgesellscheft M.B.H., 1932.
3. Rudin W. Lebesgue first theorem // Math. Anal. and Appl., Pt B. Edited by Nachbin. Adv. Math. Suppl. Stud. 78. –
1981. – P. 741 – 747.
4. Каланча A. K., Маслюченко B. K. Розмiрнiсть Лебеґа – Чеха та берiвська класифiкацiя векторнозначних нарiзно
неперервних вiдображень // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 11. – C. 1596 – 1599.
5. Banakh T. (Metrically) quarter-stratifiable spaces and their applications // Math. Stud. – 2002. – 18, № 1. – P. 10 – 28.
6. Карлова O. O. Нарiзно неперервнi σ-дискретнi вiдображення // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2006.
– Вип. 314 – 315. – C. 77 – 79.
7. Ellis R. Extending continuous functions on zero-dimensional spaces // Math. Ann. – 1970. – 186. – P. 114 – 122.
8. Tall F. D. Stalking the Souslin tree — a topological guide // Can. Math. Bull. – 1976. – 19, № 3.
9. Энгелькинг P. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 752 с.
Одержано 28.12.11,
пiсля доопрацювання — 16.10.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2456 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:45Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/92/a33226cb57a814c49f5f44cf1c339092.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24562020-03-18T19:15:53Z Cross Topology and Lebesgue Triples Хрест-топологія і трійки Лебеґа Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. The cross topology γ on the product of topological spaces X and Y is the collection of all sets G ⊆ X × Y such that the intersections of G with every vertical line and every horizontal line are open subsets of the vertical and horizontal lines, respectively. For the spaces X and Y from a class of spaces containing all spaces \( {{\mathbb{R}}^n} \) , it is shown that there exists a separately continuous function f : X × Y → (X × Y, γ) which is not a pointwise limit of a sequence of continuous functions. We also prove that each separately continuous function is a pointwise limit of a sequence of continuous functions if it is defined on the product of a strongly zero-dimensional metrizable space and a topological space and takes values in an arbitrary topological space. Крест-топологией y на произведении топологических пространств $X$ и $Y$ называется совокупность всех множеств $G ⊆ X × Y$, пересечение которых с каждой вертикалью и горизонталью является открытым подмножеством вертикали или горизонтали соответственно. Для пространств $X$ и $Y$ из некоторого класса пространств, содержащего все пространства \( {{\mathbb{R}}^n} \) , доказано, что существует раздельно непрерывная функция f : X × Y → (X × Y, γ), которая не является поточечным пределом последовательности непрерывных функций. Кроме того, установлено, что каждая раздельно непрерывная функция, заданная на произведении сильно нульмерного метризуемого и топологического пространств и принимающая значения в любом топологическом пространстве, является поточечным пределом последовательности непрерывных функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2456 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 5 (2013); 722–727 Український математичний журнал; Том 65 № 5 (2013); 722–727 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2456/1678 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2456/1679 Copyright (c) 2013 Karlova O. O.; Mykhailyuk V. V. |
| spellingShingle | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. Cross Topology and Lebesgue Triples |
| title | Cross Topology and Lebesgue Triples |
| title_alt | Хрест-топологія і трійки Лебеґа |
| title_full | Cross Topology and Lebesgue Triples |
| title_fullStr | Cross Topology and Lebesgue Triples |
| title_full_unstemmed | Cross Topology and Lebesgue Triples |
| title_short | Cross Topology and Lebesgue Triples |
| title_sort | cross topology and lebesgue triples |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2456 |
| work_keys_str_mv | AT karlovaoo crosstopologyandlebesguetriples AT mykhailyukvv crosstopologyandlebesguetriples AT karlovaoo crosstopologyandlebesguetriples AT mihajlûkvv crosstopologyandlebesguetriples AT karlovaoo hresttopologíâítríjkilebega AT mykhailyukvv hresttopologíâítríjkilebega AT karlovaoo hresttopologíâítríjkilebega AT mihajlûkvv hresttopologíâítríjkilebega |